工業用ゴム材料の非線形粘弾性シミュレーションに関する研究 ( Text_ 全文 )

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1 Title 工業用ゴム材料の非線形粘弾性シミュレーションに関する研究 ( Text_ 全文 ) Author(s) 前田, 成人 Citation Issue Date 7-3 URL Rights

2 博士 工学 学位論文 Doctoral Dissertation of Engineering 工業用ゴ 材料 非線形粘弾性シ ュ ーションに関する研究 A Study on Nonlinear Viscoelastic Simulation for Industrial Rubber Materials 7 年 3 月 March 7 前田成人 Naruto Maeda 琉球大学大学院理工学研究科生産エネ ギー工学専攻 Material, Structural and Energy Engineering Course Graduate School of Engineering and Science University of the Ryukyus

3 博士 工学 学位論文 Doctoral Dissertation of Engineering 工業用ゴ 材料 非線形粘弾性シ ュ ーションに関する研究 A Study on Nonlinear Viscoelastic Simulation for Industrial Rubber Materials 7 年 3 月 March 7 前田成人 Naruto Maeda 琉球大学大学院理工学研究科生産エネ ギー工学専攻 Material, Structural and Energy Engineering Course Graduate School of Engineering and Science University of the Ryukyus 指導教員 : 宮﨑達二郎 Supervisor : Tatsujiro Miyazaki

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5 概要 本論文, ゴ 材料 微小変形 大変形 対象 し 統一的 力学シ ュ ーション法 開発 目的 し い こ 目的 達成, 従来 材料試験 数値シ ュ ーション 関 問題 解決 取 組, ゴ 材料 微小変形領域 け 粘弾性特性 表 スター曲線 算出方法 い 検討し 本論文, 従来 手法 困難 あ 周波数一定 温度 散 動的粘弾性試験 結果 スター曲線 時間 温度換算則 算出 実用的手法 提案し 幾 ゴ 材料 実験結果 本法 適用し, 良好 予測結果 得 こ 確認し, ゴ 材料 大変形特性 計測 二軸引張試験法 い 提案し 単軸引張試験 矩形型 試験片 使用し, 純 断試験 一様二軸引張 試験 付 試験片 使用し, 付 試験片 け 半径 数値実験 結果 基 い 決定し 本法 有効性 い 数値解析 実験 両面 検証し, 正確 応力 関係 得 こ 示さ 提案し 二軸引張試験方法 正確 計測し ゴ 応力 関係 用い, 超弾性構成則 性能評価 行 具体的, ) ゴ 単軸 二軸引張試験 結果 再現 性能, ) 単軸場 多軸場へ 予測性能, 3 ) カーボン ラッ 充 量 材料定数 相関性 い 検証し 以上 こ 基 検討し, 右 C a u c h y G r e e n ンソ 第一 変量 関数 し 表さ 超弾性構成則 優 性能 得, 超弾性構成則 け 第二 変量項や絡 合い項 要 あ 可能性 示唆さ, カーボン ラッ 充 S B R 最 適し い 超弾性モ e i g h t c h a i n モ あ こ わ 最後, 微小変形 大変形時 ゴ 材料 粘弾性特性 再現 非線形粘弾性構成則 提案し 提案し 材料モ, 超弾性挙動 表 ネッ ワー A 微小変形時 粘弾性挙動 表 ネッ ワー B, 大変形時 粘弾性挙動 表 ネッ ワー C 構成さ, ネッ ワー B C 全体 力学挙動 及ぼ 寄 率, スイッチン 関数 制御 し 提案モ 有効性 検証 カーボン ラッ 充 S B R 材料試験 行 提案モ, 微小変形時 ゴ スター曲線 再現可能 あ,, 大変形時 粘弾性特性 い 概 再現 こ し, 提案モ 使用 こ, 広い変形 度域 変形領域 ゴ 材料 粘弾性特性 統一的 シ ュ ーション こ 可能 ii

6 Abstract The objective of this study is to develop a numerical simulation technique for studying the properties of industrial rubber materials under various degrees of deformation, ranging from infinitesimal to large. In order to achieve this objective, technical issues with respect to material testing and numerical simulations were investigated. First, the method for calculating the master curve representing the dynamic properties of rubber materials at infinitesimal deformation was investigated. In this study, a new technique for predicting the master curve from limited data, measured under temperature variance and constant frequency in a dynamic measurement tester, has been proposed. Investigations of the method s effectiveness and stability have been performed with some materials. As a result, the new method showed an excellent predictive performance. Second, the biaxial tensile testing method was proposed to measure the properties of rubber materials at large deformation. The proposed method employs sheet-shaped specimens with notches for pure shear and equibiaxial tension tests. The notch radius was based on detailed numerical investigations. Performance evaluations, based on both numerical calculations and experiments, revealed that the proposed method enables the precise calculation of the nominal stress stretch relationship for uniform deformations. The performance of each of the major hyperelastic models for rubbers was evaluated with the data obtained from the method proposed above. The following three characteristics of the models were examined: ) reproducibility, ) prediction ability, and 3) correlation between material constants and carbon-black content. The examinations concluded that the model containing only the terms of the first invariant of the right Cauchy Green tensor is an appropriate one for carbon-black filled SBR. These detailed examinations revealed that the eight chain model offered an excellent performance. A nonlinear viscoelastic constitutive equation reproducing the viscoelastic properties of rubber materials, for infinitesimal to large deformation, was proposed. The proposed model consists of: network A, for equilibrium response; network B, reproducing the viscoelastic response of infinitesimal deformation; and network C, reproducing the viscoelastic response of large deformation. A switching function to control network B and C was also developed. To verify the effectiveness of the proposed model, material tests with carbon-black filled SBR were conducted. Consequently, the proposed constitutive model successfully reproduced not only the master curve at infinitesimal deformation but also the experimental data of large deformations. Therefore, the proposed constitutive model enables the simulation of the viscoelastic behavior of industrial rubber materials under various degrees of deformation and strain rate iii

7 研究関連論文業績 学術論文 査読有 () 藤川正毅, 前田成人, 真壁朝敏, 児玉勇司, 小石正隆 (3) 周波数一定 温度 散 動的粘弾性試験結果 ゴ スター曲線 予測 方法, 日本機械学会論文集 A 編,V ol.79,pp () Fu jikawa, M., Maeda, N., Y amabe, J., Kodama, Y. and Koishi, M. () D etermining stress strain in rubber with in-plane biaxial tensile tester. E xperimental Mechanics, Vol.5, pp (3) 前田成人, 藤川正毅, 宮﨑達二郎, 真壁朝敏, 山辺純一郎, 小石正隆 () 動的粘弾性試験結果 ゴ スター曲線 予測 新しい計算法 開発, 日本機械学会論文集,V ol., D O I:.99/transjsme.- 特許 () 小石正隆, 藤川正毅, 前田成人, 粘弾性材料 シ ュ ーション方法, 構造体 シ ュ ーション方法, 粘弾性材料 シ ュ ーション装置, 及, ラ, 申請中 講演論文 国際学会 () Maeda, N., Fujikawa, M., Makabe, C., Y amabe, J., Kodama, Y. and Koishi, M. (5) Performance evaluation of various h yperelastic constitutive models of rubbers. Constitutive Models for Rubber IX, pp () Maeda, N., Fujikawa, M., Miyazaki, T., Yamabe, J. and Koishi, M. () Performance and validity evaluation of various h yperelastic constitutive models for carbon-black filled SBR. IR C. iv

8 目 第 章序論... 3 参考文献... 第 章周波数一定 温度 散 動的粘弾性試験結果 曲線 予測 計算方法 開発.... 緒言.... 周波数一定 温度 散 動的粘弾性試験結果 曲線 予測 計算方法..... 線形粘弾性論 基礎 貯蔵弾性率 E 損失弾性率 E 関係..... 曲線 予測 計算方法....3 動的粘弾性試験結果 適用 動的粘弾性試験 計測 従来法 曲線 作成 本法 予測性能 検証 前法 比較 計算結果 定性 検証.... 結言... 3 参考文献... 第 3 章 軸引張試験機 公称応力 伸長比関係 計測方法 緒言 軸引張試験装置 公称応力 伸長比 計測方法 提案 軸引張試験装置 概要 純 断 一様 軸引張試験 場合 単軸引張試験 場合 半 決定 限要素 使用 料構成則 純 断 一様 軸引張試験 半 調査 数値実験 提案手法 効性 検証 単軸引張試験 検討 提案手法 汎用性 い 実験 提案手法 効性 検証 試験方法 概要 計測結果 料定数 同定 同定 料定数 検証 結言... 参考文献... 3

9 第 章主要 超弾性構成則の性能評価 緒言 カ ボンブラッ 充てんSBR 材料の材料試験 単軸引張試験 純せん断 一様二軸引張試験 計測結果 主要 超弾性構成則の性能評価 超弾性構成則の概要 性能評価 び材料定数同定の方法 現象論型超弾性構成則の性能評価 物理論型超弾性構成則の性能評価.... 考察 結言... 7 参考文献 第 5 章微小 大変形 けるゴムの動特性解析のための非線形粘弾性構成則の開発 緒言 提案する非線形粘弾性構成則 ネッ ワ A eight chain モ ル ネッ ワ B 微小変形用の粘弾性モ ル ネッ ワ C 大変形用の粘弾性モ ル スイッチン 関数 実験結果への適用 材料試験 提案モ ルの再現性能の評価 結言 参考文献... 9 第 章結論... 9 付録 謝辞...

10 第 章序論 料 自動車用 や ン 免振装置 様々 業製品 使用 い 業製品 設計 強度評価 行う 料 力学特性 料試験や数値 ョン 把握 要 あ 料 力学挙動 変形状態や変形 変形 度 最大経験 温度 様々 要素 影響 非常 複雑 変動 知 Panye, 9; Mullins, 9; Rey et al., 3 複雑 力学挙動 実験的 数値的 評価 方法 い 未 研究段階 あ 部 多い. 料 力学特性 変形 変形 度 関係 簡易的 示 あ 中 領域 (I) 変形 微 ~.% 程度 あ 静的変形 領域 あ 領域 料 線形弾性体 扱う 料試験や数値解析 容易 行う 可能 あ 領域 (II) 微 変形 動的 変形 え 領域 あ 料 線形粘弾性体 扱わ 領域 (II) 料 力学特性 計測 料試験 周期的 入力 負荷 動的粘弾性試験 JIS 規格化 広く利用 い 山, 西, 3; 熊谷他, 数値解析 関 線形粘弾性 用い 精度 良い ョン 行う 荒井他, 5; 中, 勝山, 中 領域 (III) 静的 大変形 % 以 え 領域 示 料 非線形 弾性挙動 示 領域 力学特性 詳細 計測 様々 変形 単軸引張 や一様 軸引張 応力 関係 得 必要 あ Steinmann et al., JIS や ASTM 規格化 い 単軸引張試験 あ 純 断 や一様 軸引張 Deformation rate (II) linear viscoelasticity (IV) nonlinear viscoelasticity (I) linear elasticity (III) hyperelasticity Amount of deformation Fig.. Schematic representation of mechanical behavior of rubbers. 3

11 計測方法 い 未 確立 い い 領域 (III) 対象 数値解析 超弾性構成則 広く利用 様々 数式 提案 い Marckmann and Verron, ; Hoss and Marczak, ; Steinmann et al., ; Hossain and Steinmann, 中 領域 (IV) 変形 や変形 度 依 非常 複雑 力学挙動 示 領域 あ 領域 包括的 計測 実験方法 規格化 多種多様 料試験 実施 い 領域 (IV) 料 非線形粘弾性体 扱わ 様々 非線形粘弾性構成則 提案 い 未 研究段階 あ Bergstöm and Boyce, 99; Höfer and Lion, 9; Rendek and Lion, ; Netzker et al., ; Koprowski-Theiss et al., 業用部 使用 い 料 領域 (I)~(IV) 全 領域 含 複雑 変形 生 い 予想 力学挙動 再現 統一的 料構成則 開発 望 い 既 料構成則 中 領域 (I) (II) 対象 線形粘弾性 や 領域 (I) (III) 包括 超弾性 領域 (III) (IV) 対象 い 非線形粘弾性 あ 領域 (II) (IV) 両方 再現可能 料構成則 い 著者 知 限 い い 料定数同定 容易 観点 料 数 少 い方 優 あ 料定数同定 必要 料試験 少 い方 望 い 以 背景 本研究 広い変形 変形 度 範 料 力学特性 統一的 再現 可能 料構成則 開発 目的 料試験 方法や計測結果 処理方法 い 検討 以 各章 概要 記 第 章 微 変形時 料 粘弾性特性 測定 動的粘弾性試験 い 検討. 領域 (II) 対応 研究 あ 従来 方法 料 曲線 作成 周波数 温度 走査 動的粘弾性試験 行う必要 あ 第 章 一定周波数 温度 走査 動的粘弾性試験 結果 料 曲線 計算 手法 提案 周波数 散 計測 無い場合 曲線 予測 可能 少 い計測条件 料 粘弾性特性 得 可能 第 3 章 料 大変形特性 測定 軸引張試験 い 検討 領域 (III) 対応 い 軸引張試験装置 状 試験片 使用 多軸変形場 料 応力 関係 正確 計測 試験方法 提案 提案手法 効性 数値解析 実験 両面 検討 第 章 主要 超弾性構成則 性能評価 行う 第 3 章 提案 実験方法 用い 単軸引張 純 断 一様 軸引張 応力 関係 計測 結果 検討 得 結果 基 主要 超弾性構成則 再現性能 単軸場 多軸場 予測性能 い 調査検討 結果 考察 第 5 章 微 変形 大変形 対象 非線形粘弾性構成則 構築. 領域 (I)-(IV) 包括 あ 提案 料構成則 3 ワ

12 構成 ワ A. 領域 (III) 対応 超弾性挙動 表現 あ 第 章 結果 基 い eight chain 使用 ワ B 微 変形時 粘弾性特性 領域 (II) 表現 あ 非整数階微 利用 少 い 料定数 広い変形 度域 粘弾性特性 再現 ワ C 大変形時 粘弾性特性 領域 (IV) 表現 あ ワ B ワ C ン 関数 制御 領域 (II) (IV) 両方 再現可能 料構成則 構築 最後 第 章 各章 得 結果 5

13 参考文献 ) 荒井政大, 中 淳之, 辰己正和, 伊藤寛明, 松倉利顕, 杉本公一, 温度場 均一性 考慮 ン 解析, 計算数理 学論文, Vol.5, No. (5), pp.77-. ) Bergström, J. S. and Boyce, M. C., Constitutive modeling of the large strain timedependent behavior of elastomers, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol., No.5 (99), pp ) Christensen, R. M., Theory of Viscoelasticity, An Introduction, second edition (9), Academic Press. ) 山 夫, 西 孝, 用 実車摩耗 物性値 用い ン, 日本 会, Vol., No. (3), pp ) Höfer, P. and Lion, A., Modelling of frequency- and amplitude-dependent material properties of filler-reinforced rubber, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol.57, No.3 (9), pp.5-5. ) Hoss, L. and Marczak, R. J., A new constitutive model for rubber-like materials, Asociación Argentina de Mecánica Computacional, Vol.XXIX (), pp ) Hossain, M. and Steinmann, P., More hyperelastic models for rubber-like materials: consistent tangent operators and comparative study, Journal of the Mechanical Behavior of Materials, Vol., No.- (3), pp.7-5. ) Koprowski-Theiss, N., Johlitz, M. and Diebels, S., Characterizing the time dependence of filled EPDM, Rubber Chemistry and Technology, Vol., No. (), pp ) 熊谷 秀, 鈴木渉, 山 英, 口徹, 飯生悟, 遠藤 信, 各種多層 ン ン-block- ン-block- ン複合物 諸物性, 日本 会, Vol.3, No. (), pp.5 3. ) Marckmann, G. and Verron, E., Comparison of hyperelastic models for rubber-like materials, Rubber Chemistry and Technology, Vol.79, No.5 (), pp ) Mullins, L., Effect of stretching on the properties of rubber, Rubber Chemistry and Technology, Vol., No. (9), pp.-3. ) 中 省, 勝山陽, 樹脂 含 四層積層体 熱負荷過程 変形予測, 日本機械学会論文, Vol., No.37 (), DOI:.99/transjsme.5-. 3) Netzker, C., Dal, H. and Kaliske, M., An endochronic plasticity formulation for filled rubber, International Journal of Solids and Structures, Vol.7, No.-9 (), pp

14 ) Payne, A. R., The dynamic properties of carbon black-loaded natural rubber vulcanizates. Part I, Journal of Applied Polymer Science, Vol., No.9 (9), pp ) Rendek, M. and Lion, A., Amplitude dependence of filler-reinforced rubber: Experiments, constitutive modelling and FEM Implementation, International Journal of Solids and Structures, Vol.7, No. (), pp ) Rey, T., Chagnon, G., Le Cam, J. B. and Favier, D., Influence of the temperature on the mechanical behaviour of filled and unfilled silicone rubbers, Polymer Testing, Vol.3, No.3 (3), pp ) Steinmann, P., Hossain, M. and Possart, G., Hyperelastic models for rubber-like materials: consistent tangent operators and suitability for Treloar s data, Archive of Applied Mechanics, Vol., No.9 (), pp

15 第 章周波数一定 温度 散 動的粘弾性試験結果 曲線 予測 計算方法 開発. 緒言 業用 料 自動車用 や 免振装置 様々 や場所 利用 い 料 力学的 特性 把握 要 あ 料 う 固体高 子 料 時間や温度 力学挙動 変化 一般 知 粘弾性固体 呼 い 國尾, 97 粘弾性固体 応力や 解析 最 基本的 学問 一 線形粘弾性論 あ, 國尾, 97 線形粘弾性論 組 合わ 数学 用い 粘弾性力学挙動 表現 解析 種々 温度や 度条件 計測 断片的 広い温度や時間領域 わ 曲線 作成 実用的 応力 挙動 表現 可能 料 粘弾性特性 計測 最 一般的 方法 動的粘弾性試験 あ 動的粘弾性試験装置 特徴 広い範 周波数 散 温度 散 計測 可能 再現性 良い計測 可能 3 他 試験方法 応力 和試験や 試験 比 高効率 挙 JIS 規格 設定 い 学術面 実用面 多く 計測結果 報告 い 山, 西, 3; 熊谷他, 料 動的粘弾性試験 関 JIS 規格 JIS K 39 7 改正以前 記載 周波数一定 温度 散 以 Freq-C/Temp-S Frequency-Constant and Temperature-Sweep 計測条件 標準 い 7 改正以降 周波数 走査 周波数特性 測定 い い 積極的 周波数 散 温度 散 以 Freq-S/Temp-S Frequency-Sweep and Temperature-Sweep 計測条件 推奨 い 言い い 現 Freq-C/Temp-S 条件 計測結果 多く 実 曲線 作成 困 場合 あ い 精度 高い応力 解析 困 動的粘弾性試験 試験結果 曲線 作成 手 い 多く 報告 あ 株式会社 ン, 5; Lorenz et al., 3; Naya et al., 3 多く Freq-S/Temp-S 実験条件 得 計測結果 対象 あ Freq-C/Temp-S いう限 実験条件 得 計測結果 適用 い Freq-C/Temp-S 曲線 予測 新 方法 開発 計測結果 再利用 可能 藤川 Freq-C/Temp-S 実験条件 動的粘弾性試験結果 曲線 予測 計算方法 提案 藤川他, 3 提案 料 力学特性 線形粘弾性論 基 く 仮定 貯蔵弾性率 損失弾性率 間 あ 関係式 出 前進差 法 要領 計算 曲線 算出 あ 具体的 計算手 い 付録 A 記 曲線 本来 周波数 温度 広く変化 得 計測結果 得 あ 提案 温度 変化 Freq-C/Temp-S 計測結果 曲線 推定可能 示 藤川 論文 計算式 出過程 い 解析対象 料 周波数 ω 対 E や E 変動 い 仮定 料 粘弾性効果 例え tanδ 大 い 意味

16 tanδ 最大値 い場合 料 予測結果 非常 良好 あ tanδ 最大値 付近 近 く 料 予測性能 悪化 論文 曲線全域 見 場合 差 く 予測 結果 十 用 あ 結論付 い tanδ 最大値 超え 料 対 予測精度 悪化 予想 様々 料 応力 解析 高精度 実施 予測性能 向 必要 あ 考え 本研究 Freq-C/Temp-S 実験条件 得 動的粘弾性試験結果 対象 曲線 高精度 予測 新 い計算方法 提案 特 本論文 手法 本法 前法 藤川他, 3 比 粘弾性効果 大 い tanδ 大 い 料 対 予測精度 向 い 幾 例題 通 確 本法 効性 汎用性 示 目的 9

17 . 周波数一定 温度 散 動的粘弾性試験結果 曲線 予測 計算方法.. 本論文 使用 線形粘弾性論 基礎 い 記.. 本論文 提案 計算方法 い 概要 詳細 記 最後 計算手 設定 仮定.. 線形粘弾性論 基礎 貯蔵弾性率 E 損失弾性率 E 関係線形粘弾性体 時刻 t 応力 σ(t) ε(t) 関係 式 (.) え ( ) t dε τ σ ( t) = E ( t τ ) dτ dτ r (.) E r (t) 和弾性率 あ 動的粘弾性試験 想定 式 (.) う 周期関数状 入力 考え ε ( t) ε i t = e ω (.) ε 振幅 ω 角周波数 i = あ 式 (.) 式 (.) 代入 整理 和弾性率 E r (t) 貯蔵弾性率 E (ω) 損失弾性率 E (ω) 関係 以 う 算出 Christensen, 9 ( ) ( ) E ω = E + ω E η sinωηdη (.3) r ( ) ( ) E ω = ω E η cosωηdη (.) r 弾性率 E 時間 依 E _ r(t) E r (t) 式 (.5) 関係 い い r ( ) ( ) E t = E + E t (.5) r 式 (.3) 式 (.) 整理 E _ r(t) E (ω) E (ω) 間 関係式 r ( ) E t r ( ) E t ( ω) E E = sinωtdω π (.) ω ( ω) E = cosωtdω π (.7) ω 式 (.7) 式 (.3) 代入 整理 E (ω) E (ω) 関係 式 Gross, 953 ( λ) ω E ( ω) E = dλ (.) E π λ ω λ ( ) 角周波数 ω 微 式 (.9) 得

18 ( ω) ω λe ( λ) de = dλ dω π (.9) ω λ ( ) de (ω)/dω E (ω) 互い 立 い 示 E (ω) E (ω) 周波数 対 傾 情報 包 い 線形粘弾性論 E r (t) 数式 一般化 一般 く用い N E ( t) = E + E exp( t τ ) (.) r i i i= N 数 E 単 弾性係数 E i τ i 弾性係数 和時間 あ 式 (.) 式 (.) 動的粘弾性試験 想定 式 (.) 代入 整理 実部 貯蔵弾性率 E (ω) 虚部 損失弾性率 E (ω) 以 う ω τ E = E + E ( ω) i ( ω) E = N i i (.) i= + ω τi ωτ N Ei (.) i= + ω τi 一方 料 多く 高 子 料 力学挙動 時間 周波数 依 性 温度依 性 間 あ 換算 行え 示 特徴 料 熱 的 単純 あ い 計測対象 料 熱 的 単純 あ 式 う 計測温度 T exp 計測周波数 ω exp 実験 あ 基準温度 T 換算周波数 ω い 観察 換算 可能 exp ( T ) exp = T (.3) ω α ω α T (T) 温度 T 基準 温度 T 時間 温度換算因子 あ 一般 温度 T 昇 対 単調 減少.. 曲線 予測 計算方法本節 Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験結果 曲線 予測 方法 い 曲線 基準温度 T 計測 最 温度 T min 設定 T = T min (a) 本法 概要本法 概要 い. う 例 参照 解説.(a) Freq-S/Temp-S 実験条件 得 動的粘弾性試験 計測結果 一例 あ 3 種類 計測周波数 ω ω ω 3 計測 各温度 E E 示 い.(b) (c).(a)

19 E, E E, E E, E E' (ω ) E'' (ω ) E' (ω ) E'' (ω ) E' (ω 3 ) E'' (ω 3 ) T ω ω (a) (b) (c) Fig.. Results of dynamic mechanical analysis (DMA) and master curve calculated with arbitrary time-temperature shift factors: (a) schematic illustration of DMA results; (b) master curve calculated with a suitable shift factor; (c) master curve calculated with an unsuitable shift factor. 作成 曲線 あ.(b) 通常 手続 株式会社 ン, 5; Lorenz et al., 3; Naya et al., 3 曲線 作成 例 あ 各 曲線 い 時間 温度換算因子 適 あ 言え 一方.(c).(b) 異 時間 温度換算因子 用い 作成 曲線 あ 結果 曲線 合わ 全域 わ 良 あ 時間 温度換算因子 適 あ 判断 Freq-C/Temp-S 実験条件 得 動的粘弾性試験 観点 考え 例え. 中 E (ω ) E (ω ) い 中 赤 場合 記 う 合わ 評価 い.(b) 曲線 良好 あ.(c) 曲線 良 あ 判断 い Freq-C/Temp-S 実験条件 曲線 予測 一般 困 本研究 Freq-C/Temp-S 実験条件 曲線 予測 de (ω)/dω E (ω) 関係式 あ 式 (.9) 入 方法 提案 わ 本法 曲線 合わ 評価 代わ 式 (.9) de (ω)/dω E (ω) 関係 満足 い 評価 曲線 推定 あ 実験結果 E E 共 散 あ 評価 い 本法 式 (.9) 評価 直接行う代わ 時間 温度換算 適用 E E 例え.(b) や (c) E (ω ) E (ω ) 一般化 最適化 結果 残差 計算 評価 式 (.) 一般化 式 (.9) 満足 利用 あ わ 一般化.(b) や (c) E (ω ) E (ω ) 再現性 式 (.9) 満足 い 程度 評価 あ

20 (b) 本法 計算方法 最 化 関数 出 以 案 計測結果 E (ω exp,t exp ) E (ω exp,t exp ) 再現 う 一般化 料定数値 E E i τ i 時間 温度換算因子 α T 同時 最適化計算 い ω exp T exp 実験 周波数 温度 あ E (ω exp,t exp j ) E (ω exp,t exp j ) 式 (.3) 基準温度場 換算 (f exp ) j (f exp ) j 様 書く ( f exp ) E ( ) ( exp exp ) ( exp ) ( ) ( exp exp ω, T E j ω, T j, f E ω j, T E ω, T j ), ( j,,, M ) j = = = = = (.) j M 計測値 総数 あ ω j = α T (T j exp )ω exp あ 周波数 ω j 一 般化 貯蔵弾性率 (f cal ) j 損失弾性率 (f cal ) j 式 (.) (.) N N cal j i cal j i ( f ) = E + E, i ( f ) = E, i ( j =,,, M ) (.5) j ω τ ω τ + ω τ + ω τ j i= j i i= j i 以 基 最 化 関数 F 式 う 設定 F = F + FH (.) F 式 (.) 式 (.5) 相対誤差 乗和 あ 式 (.7) 表 ( ) ( ) ( f ) ( ) ( ) ( f ) cal exp cal exp M f f f f j j j j = + exp exp j= j j F (.7) F H 和 滑度合い 表 関数 あ 和 滑性 Emri and Tschoegl, 99 Prony 級数近似 入 あ F H 文献 藤 川他, F 相当 あ 計算方法 詳細 文献 参照 い (c) 本法 計算方法 最適化計算 い 本法 い 最適化問題 未知数 E E i τ i α T 中 和時間 τ i 予 設定 く 一般 Prony 級数近似 和時間 τ i 対数軸 等間隔 設定 多い, 國尾, 97 際 τ i 範 曲線 周波数範 逆数 同等以 推奨 い 例え log τ i 範 周波数域 最大値 最 値 ω max ω min 時 少 く log(/ω max ) ~ log(/ω min ) 包含 う 設定 本法 現段階 曲線 周波数範 明 あ 計測 最 温度 基準温度 い 周波数域 最 値 ω min =ω exp 和時間 K = log(/ω exp ) 床関数 基準 log τ i = {K, K +.5, K +., } 設定 和時間 限値 未知 あ 十 広い範 く 設定 影響 い.3.3 詳細 検証 以 最適化 料定数 E E i α T 正値 あ 保証 log E log E i log α T 未知変数 最適化計算 行う 本法 式 (.) 関数 F 最 化 log E log E i log α T 準 ン法 3

21 計算 計算 Excel 作成 各初期条件 log E = log E i = log α T = 温度 昇 対 α T 単調減少 う 制約条件 付加 (d) 本法 本法 曲線 作成 手 以 う あ. Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験 結果 E E. 曲線 基準温度 計測 最 温度 T min 一般化 和時間 τ i 対数軸 等間隔 十 広く設定 具体的 K = log(/ω exp ) 用い log τ i = {K, K +.5, K +., } う 設定 3. 式 (.) 最 化 う log E log E i log α T 最適化計算 本論文 準 ン法 使用 本法 料 力学特性 以 仮定 設定 い. 熱 的 単純 料 あ. 力学挙動 線形粘弾性論 従い 一般化 近似可能 あ 記 仮定 微 変形時 一般 許容 あ 本法 前法 藤川他, 3 設定 周波数 ω 対 E や E 変動 い いう仮定 排除 い 前報 検証 料 含 多く 料 対 適用可能 あ 期

22 .3 動的粘弾性試験結果 適用本章 種類 料 5 vol% 充 ン ン 以 SBR/Silica5 vol% ン 充 ン ン 以 SBR/CB 対象 動的粘弾性試験 行い 提案手法 効性 検証.3. 節 本論文 使用 料 動的粘弾性試験 い 記 計測条件 Freq-S/Temp-S 実験結果 抽出 Freq-C/Temp-S 実験結果 本法 適用 本法 効性 検討 前報 比較 行い 本法 前報 課題 解決 い 検証.3.3 和時間 設定範 や計測周波数 い 本法 予測結果 え 影響 い 調査 本法 汎用性や 定性 い 評価.3. 動的粘弾性試験 計測 従来法 曲線 作成 ン ン 社製 RSAIII 用い 動的粘弾性試験 行い 貯蔵弾性率 E 損失弾性率 E tanδ (= E /E ) 計測 試験片 短冊状 変形方法 引張型 用 計測周波数.9. rad/s 範 種類 rad/s 35 C 7 C 5 C 毎 計測 以 計測条件 得 SBR/Silica5 SBR/CB 計測結果. 示 結果 SBR/Silica5 tanδ 最大値. 程度 あ 対 SBR/CB tanδ 最大値 約.5 比較的大 い値 示 Freq-S/Temp-S 得 結果 従来 手 例え 株式会社 ン, 5 基 曲線 作成 時間 温度換算則 料 一般的 W.L.F 式 Williams et al., 955 用 logα T ( T) ( ) C T TR = C + T T R (.) T R = T g + 5 C T g 転移温度 C C 料定数 あ 良好 合わ 得 う W.L.F 式 T g C C 求 結果 SBR/Silica5 T g = 3.5 C C =. C = 73. C SBR/CB T g = 3. C C =. C = 9. C 得 以 時間 温度換算則 作成 曲線.3 示 基準温度 T = 35 C い 料 E E tanδ 合わ 良い滑 曲線 得 い 本章 う Freq-S/Temp-S 得 曲線 正解 曲線 呼 5

23 Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 - ω =.9 rad/s ω = 3.9 rad/s ω = 7.5 rad/s ω = 5.7 rad/s ω = 3. rad/s ω =. rad/s - - Temperature ( ) (a) SBR/Silica5.5 E E E tanδ.5 tanδ Storage modulus and loss modulus (MPa) ω =.9 rad/s ω = 3.9 rad/s ω = 7.5 rad/s ω = 5.7 rad/s ω = 3. rad/s ω =. rad/s E tanδ - - Temperature ( ) (b) SBR/CB Fig.. DMA results under frequency and temperature variances. Storage modulus, loss modulus, and tanδ are plotted with the red, blue, and black symbols. 3 tanδ Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 - Fig..3 ω =.9 rad/s ω = 3.9 rad/s ω = 7.5 rad/s ω = 5.7 rad/s ω = 3. rad/s ω =. rad/s E E E tanδ Reduced frequency (rad/s) (a) SBR/Silica5 T = 35 C.5.5 tanδ Storage modulus and loss modulus (MPa) E ω =.9 rad/s ω = 3.9 rad/s ω = 7.5 rad/s ω = 5.7 rad/s ω = 3. rad/s ω =. rad/s T = 35 C tanδ Reduced frequency (rad/s) (b) SBR/CB Master curves determined by the conventional procedure. Storage modulus, loss modulus, and tanδ are plotted with the red, blue, and black symbols. 3 tanδ

24 .3. 本法 予測性能 検証 前法 比較本 Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験 結果 用い.. 示 手 以 本法 proposal 記 従い 計測 最 温度 T min = 35 C 基準温度 曲線 作成 正解 曲線 前法 藤川他, 3 用い Freq-C/Temp-S 得 曲線 比較 本法 性能 検証 Freq-C/Temp-S 実験結果. 周波数. rad/s 結果 出. 使用 Freq-S/Temp-S Freq-C/Temp-S 実験結果 抽出 使用 理 同 実験結果 利用 実験誤差等 影響 除外 本法 性能 評価 あ.. 計算手 従い 和時間 τ i 設定 本 計測周波数 ω exp. rad/s あ 和時間 K = log(/ω exp ) = 3 基準 log τ i = { 3,.5,,, } 設定. 試験結果 前法 本法 計算 時間 温度換算因子.5 示 比較 正解 曲線 得 exact 中 合わ 示 前法 本法 得 曲線 予測結果 正解 曲線 共..7 本法 得 一般化 料. 示..7 い 前法 本法 予測 曲線 正解 曲線 比 周波数領域 若 い結果 い Freq-C/Temp-S 計測値 Freq-S/Temp-S 比 少 い 影響 あ.5(a).(a).7(a) SBR/Silica5 い 前法 本法 良好 結果 得 一方 tanδ 最大値 大 い SBR/CB い 前法 予測 時間 温度換算因子.5(b) 曲線.(b) 予測結果 良く い 前法 出 際 設定 周波数 ω 対 E や E 変動 い いう仮定 許容 い い あ 考え 対 本法 計算法 出過程 記 仮定 設定 必要 い tanδ 最大値 超え SBR/CB 対 良好 予測精度 結果 得 い 言え.5(b).7(b). 前法 求 曲線 tanδ 最大値近傍 折 線状 傾向 見 対 本法 求 tanδ 曲線 SBR/Silica5 SBR/CB 正解 曲線 同 う 全域 滑 結果 得 い 以 本法 前法 課題 あ 問題点 tanδ 大 い 料 い 曲線 予測精度 悪化 tanδ 最大値付近 折 線状 克服 前法 比 本法 時間 温度換算因子 算出精度 向 確 7

25 Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 - Storage modulus Loss modulus tanδ - - Temperature ( ) (a) SBR/Silica5 Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 E E E tan δ.5.5 tanδ - - Storage modulus Loss modulus tanδ tanδ - - Temperature ( ) (b) SBR/CB Fig.. DMA results under a constant frequency of. rad/s and temperature variance. The data were extracted from the experimental results under frequency and temperature variances in Fig... E 3 tanδ Time-temperature shift factor (-) Temperature ( ) (a) SBR/Silica5 exact proposal Fujikawa et al.,3 Time-temperature shift factor (-) exact proposal Fujikawa et al.,3 - - Temperature ( ) (b) SBR/CB Fig..5 Predictions of time-temperature shift factor by previous and proposed methods and the exact time-temperature shift factor.

26 Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 - E' (exact) E' (exact) E'' (exact) tanδ (exact) 3 E'' (exact) tanδ (exact) E' (Fujikawa et al.,3) E' (Fujikawa et al.,3) E'' (Fujikawa et al.,3) E'' (Fujikawa et al.,3) tanδ (Fujikawa et al.,3) tanδ (Fujikawa et al.,3).5 T = 35 C T = 35 C Storage modulus and loss modulus (MPa) E E E tanδ Reduced frequency (rad/s).5 tanδ - - E tanδ Reduced frequency (rad/s) 3 tanδ (a) SBR/Silica5 (b) SBR/CB Fig.. Predictions of master curve by the previous method. Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 - E' (exact) E'' (exact) tanδ (exact) 3 E' (proposal) E'' (proposal) tanδ (proposal).5 T = 35 C T = 35 C E E E tanδ Reduced frequency (rad/s).5 tanδ Storage modulus and loss modulus (MPa) - - E E' (exact) E'' (exact) tanδ (exact) E' (proposal) E'' (proposal) tanδ (proposal) tanδ Reduced frequency (rad/s) 3 tanδ (a) SBR/Silica5 (b) SBR/CB Fig..7 Predictions of master curve by the proposed method. 9

27 3 3 E i (MPa) E = 5.7(MPa) τ i (s) (a) SBR/Silica5 E i (MPa) - - E =.(MPa) τ i (s) (b) SBR/CB Fig.. Parameters of generalized Maxwell model identified by the proposed method..3.3 計算結果 定性 検証本法 定性 検証 目的 前 例題 諸条件 いく 変更 解析 行う 和時間 設定範 変更 場合 い 検討 十 広い 和時間 設定 和時間 設定 計算結果 影響 え い 確 あ 続い 前 計測周波数. rad/s 実験結果 抽出 対 回 異 周波数.9 rad/s 実験結果 抽出 本法 適用 本法 計測 周波数 常 定 曲線 予測結果 算出可能 あ 確 あ (i) 和時間 設定 計算結果 影響 調査本法 計算結果 定性 検証 予 設定 和時間 い 影響 調査 回 以 3 種類 検討 (A) log τ i 範 3 間隔.5 設定 log τ i = { 3,.5,,, }.3. 節 同条件 (B) log τ i 範 3 間隔.5 設定 log τ i = { 3,.5,,, } (C) log τ i 範 3 間隔.5 設定 log τ i = { 3,.5,,, }.3. 同 実験結果. 用い 記 3 種類 条件 本法 適用 結果.9 示 結果 全 条件 曲線 完全 一致 和時間 範 十 広く設定 い 本法 解析結果 定 い 確

28 (ii) 計測周波数 計算結果 影響 調査本法 計算結果 定性 検証.3. 異 周波数.9 rad/s Freq-C/Temp-S 実験結果. 対象 本法 適用. 前 実験結果. 比較. 温領域 tanδ 極値 対 本節 用い 実験結果 tanδ 全領域 温度 昇 対 単調減少 い 見 目 tanδ く い 出 周波数 異 生 差 あ 和時間 設定範 log τ i = {,.5,,, } 本法 曲線 予測 結果. 示 比較 本法.3. 計算結果 合わ 示 結果 対象 一定周波数 異 実験結果 場合 同 曲線 得 以 本法 任意 周波数 Freq-C/Temp-S 粘弾性試験結果 適用 計算結果 定 い 言え Storage modulus and loss modulus (MPa) 3-3 T = 35 C (A) T = 35 C (B) (C).5 Storage modulus and loss modulus (MPa) E E E (A) (B) (C) tanδ Reduced frequency (rad/s).5 tanδ - - E tanδ Reduced frequency (rad/s) 3 tanδ (a) SBR/Silica5 (b) SBR/CB Fig..9 Predictions of master curve by the proposed method under various setting of ranges of relaxation time.

29 Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 - Storage modulus Loss modulus tanδ - - Temperature ( ).5 E E E tanδ.5 tanδ Storage modulus and loss modulus (MPa) Storage modulus Loss modulus tanδ E tanδ - - Temperature ( ) 3 tanδ (a) SBR/Silica5 (b) SBR/CB Fig.. DMA results under a constant frequency of.9 rad/s and temperature variance. These data were extracted from the experimental results under frequency and temperature variances in Fig... Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 - ω =. rad/s ω =. rad/s ω =.9 rad/s ω =.9 rad/s T.5 = 35 C T = 35 C Storage modulus and loss modulus (MPa) 3 E E E tanδ Reduced frequency (rad/s) (a) SBR/Silica5.5 tanδ - - E tanδ Reduced frequency (rad/s) (b) SBR/CB 3 tanδ Fig.. Master curves predicted with DMA results measured under constant frequencies of. rad/s and.9 rad/s.

30 . 結言 本論文 Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験結果 対象 料 曲線 計算 方法 提案 得 結果 以 () 本法 一般化 再現性 評価 実験 得 E E 曲線 算出 あ 計算方法 実験結果 一般化 相対誤差和 最 時間 温度換算則 α T 一般化 料 同時 最適化計算 方法 提案 () 本法 時間 温度換算則 適用可能 線形粘弾性体 対象 微 変形時 料 広く適用可能 あ (3) 種類 料 5 vol% 充 ン ン SBR/Silica5 vol% ン 充 ン ン SBR/CB 動的粘弾性試験結果 対象 本法 効性 検証 結果 本法 前法 藤川他, 3 生 tanδ 大 い 料 い 算出精度 悪化 tanδ 最大値付近 折 線状 いう問題 改善 前法 同等以 予測性能 い 前報 藤川他, 3 設定 周波数 ω 対 E や E 変動 い いう仮定 除外 あ () 本法 予測 曲線 初期条件 設定 和時間や計測 一定周波数 影響 わ 本法 初期条件 周波数一定 温度 散 試験結果 広い周波数範 曲線 一意 予測 (5).3 節 付録 B 回確 全 結果 本法 前法 同等以 予測性能 あ 確 3

31 参考文献 ) Christensen, R. M., Theory of Viscoelasticity, An Introduction, second edition (9), Academic Press. ) Emri, I. and Tschoegl, N. W., Generating line spectra from experimental responses. Part IV: Application to experimental data, Rheologica Acta, Vol.33, No. (99), pp.-7. 3) 藤川正毅, 貴央, 久, 原康子, 林 哉, 線形粘弾性特性係数関数 実用的近似法, 日本機械学会論文 A, Vol.7, No.73 (), pp ) 藤川正毅, 前 成人, 真壁朝敏, 児玉勇, 石正, 周波数一定 温度 散 動的粘弾性試験結果 曲線 予測 方法, 日本機械学会論文 A, Vol.79, No.5 (3), pp ) Gross, B., Mathematical Structure of the Theories of Viscoelasticity (953), Hermann. ) 山 夫, 西 孝, 用 実車摩耗 物性値 用い ン, 日本 会, Vol., No. (3), pp ) 熊谷 秀, 鈴木渉, 山 英, 口徹, 飯生悟, 遠藤 信, 各種多層 ン ン-block- ン-block- ン複合物 諸物性, 日本 会, Vol.3, No. (), pp.5 3. ) 國尾武, 時間 温度 依 粘弾性固体 力学的挙動 粘弾性 関 基礎, 料, Vol. (97), pp ) Lorenz, B., Pyckhout-Hintzen, W. and Persson, B. N. J., Master curve of viscoelastic solid: Using causality to determine the optimal shifting procedure, and to test the accuracy of measured data, Polymer, Vol.55, No. (), pp ) 株式会社 ン, Mech D&A News Vol.5-3 (online), available from < ( 参照日 5 日 ). ) Naya, S., Meneses, A., Tarrío-Saavedra, J., Artiaga, R., López-Beceiro, J. and Gracia-Fernández, C., New method for estimating shift factors in time-temperature superposition models, Journal of Thermal Analysis and Calorimetry, Vol.3, No. (3), pp.53. ) 久, 國尾武, 粘弾性挙動 特性係数, 料, Vol. (97), pp.. 3) Williams, M. L., Landel, R. F. and Ferry, J. D., The temperature dependence of relaxation mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming liquids, Journal of the American Chemical Society, Vol.77, No. (955), pp

32 第 3 章 軸引張試験機 公称応力 伸長比関係 計測方法 3. 緒言 料 自動車用 や衝撃吸 O ン 用い 産業界 要 役割 果 い 限要素法 料 構造解析 行う際 最 基本的 料構成則 超弾性 使用 Ogden, 997; Holzapfel, 超弾性 料定数 精確 決定 単軸引張 加え 純 断 一様 軸引張 公称応力 伸長比関係 必要 Steinmann et al., ; Hossain and Steinmann, 3 多軸変形場 公称応力 伸長比関係 計測 方法 多数報告 い 例え ン 用い 計測 提案 い Reuge et al., ; Rachik et al., ; Sasso et al., 方法 計測 応力 伸長比関係 一様 軸変形場 あ 単軸引張 や純 断 応力 伸長比関係 計測 料試験 試験装置 必要 料 応力 伸長比挙動 試験温度や負荷 度 影響 変化 知 計測条件 統一 応力 伸長比関係 計測 一 試験装置 行わ 望 い い ン 計測 他 十 型試験片 用い 軸引張試験 報告 い Sasso et al., 3; Zhao et al., 3 十 型試験片 計測 試験片中心部 一様変形領域 外側 腕部 伸 大 く 計測 得 最大 一様変形領域 3% 程度 あ 業用 料 実用 変形域 考え % 程度 公称応力 伸長比関係 計測 望 い 他 形 試験片 使用 多軸引張試験 Woo et al., 見 単軸引張 や純 断 計測 向 あ う 背景 本研究 単軸引張 純 断 一様 軸引張試験 単一 試験機 行う 状試験片 軸引張試験 Treloar, 9; Blatz and Ko, 9; Kawabata et al., 9; Betra et al., 5; Tada et al., 注目 3. 概要 示 3.(a) 理想的 純 断 一様 軸引張 変形状態 あ 3.(b) 軸引張試験装置 用い 状試験片 軸試験 い 様子 あ 一軸拘束 軸引張 状態 引張 方向 伸長比 λ x λ 拘束方向 伸長比 λ y 非 縮性 仮定 厚 方向 伸長比 λ z /λ x う 厚 方向 伸長比 引張 方向 伸長比 逆数 い 変形状態 一般 純 断変形 呼 試験片 一様 変形 理想的 変形状態 3.(a) 得 公称応力 伸長比関係 引張荷 変 関係 簡単 計算 実際 一様変形場 試験片中心部 得 特 部近傍 非一様 変形 3.(b) う 部間 非一様変形 計測 引張荷 顕著 影響 え 非一様変形場 引張荷 変 公称応力 伸長比関係 求 困 あ 記 問題 わ 軸引張試験装置 使用 研究 多く Blatz et al.(9) や Kawabata et al.(9) 状試験片 用い 軸引張試験 行 い 5

33 対 Treloar(9) 部間 込 設 試験片 軸引張試験 行 い 研究 非一様変形 影響 考慮 得 公称応力 伸長比関係 計測精度 い 明 あ 問題 解決 藤川 () 状 試験片 軸試験 引張荷 引張変 公称応力 公称 算出 簡易計算式 提案 計算式 隣 合う 具間 変形 単軸引張状態 仮定 得 引張荷 具間 応力 中 影響 差 引く あ 数値実験 検証 公称応力 伸長比 算出精度 良好 あ 確 い 予 単軸引張試験 行う必要 あ 3.(b) う 四 ン い 軸引張試験装置 適用 い 問題 残 い 本研究 実用 要 中程度 変形領域 % 程度 対象 業用 料 多軸変形 単軸引張 純 断 一様 軸引張 時 公称応力 伸長比関係 正確 計測 目的 試験 四 ン い 軸引張試験装置 使用 試験片 部間 非一様変形 影響 減 設 形状 い 限要素法 用い 数値実験 検討 計測 引張荷 変 公称応力 伸長比 求 新 い計算方法 提案 本法 効性 数値計算 実験 両面 検討 shape before deformation shape after uniform biaxial deformation Pure shear Equibiaxial Pure shear Equibiaxial (a) (b) Fig. 3. (a) Schematic illustrations of ideal biaxial deformation and (b) photographs of real biaxial deformation of rubber test piece obtained in the in-plane biaxial tensile test.

34 3. 軸引張試験装置 公称応力 伸長比 計測方法 提案本節 軸引張試験 単軸引張 純 断 一様 軸引張 公称応力 伸長比関係 精度 く計測 目的 試験片 形状 計測方法 処理方法 い 提案 本論文 利用 試験片 基本形状 単軸引張試験 7 5. mm 3 状矩形型 純 断 一様 軸引張試験 7 7. mm 3 状正方形型 3.. 軸引張試験装置 概要 3. 本研究 使用 軸引張試験装置 社製 示 一辺当 数 具間 距 L 5 mm 隣 合う 間距 c mm あ 軸引張試験 得 公称応力 s exp 伸長比 λ exp 式 う 定義 s exp, i Fexp, i l, i l, i =, λexp, i = +, =, L B l, i l, i ( i x y) (3.) F exp,i (i = x, y) 引張荷 B 試験片厚 あ l,i l,i (i = x, y) 試験片中心部 mm 正方形領域 reference area 辺 長 あ 変形後 辺 長 l',i l',i (i = x, y) 公称応力 s exp 引張荷 F exp 試験片断面積 A = L B 割 求 伸長比 λ exp reference area 辺 長 変化 求 Fig. 3. Photographs of biaxial deformations of rubber test piece obtained with in-plane biaxial tensile test apparatus. 7

35 3.. 純 断 一様 軸引張試験 場合 状 料 軸引張試験 部近傍 非一様変形 発生 計測 引張荷 変 所望 変形状態 公称応力 伸長比関係 計算 困 非一様変形 影響 減 3.3(a) 示 う 付 試験片 提案 試験片 付 試験片 呼 無い試験片 従来 試験片 呼 従来 試験片 付 試験片 一様 軸引張 公称応力 s exp = s exp,x = s exp,y 比較 3. 示 試験片 応力 中 影響 一様変形場 応力 s uni 求 困 あ 例え 従来 試験片 3.(a) 部間周辺 応力 中 生 s uni < s exp 同様 付 試験片 3.(b) 底 応力 中 影響 s uni < s exp 付 試験片 3.(c) 示 う 寸法 変え 底 応力 中 引張荷 影響 操作 可能 最適 寸法 3.(c-) 設定 s uni s exp 得 以 観点 限要素法 数値実験 行い 式 (3.) s exp λ exp 関係 一様変形場 公称応力 伸長比関係 一致 う 形状 決定 形状 定 あ 以 仮定 設定 軸試験機 3. 示 う 一辺 具間距 L 5 mm 使用 先端 形状 半 状 半 中心 具先端 結 直線 あ 3.(c) 参照 半 定 過程 3.3 節 述 Reference area Reference area ρ ρ 7 (a) For pure shear and equibiaxial tension tests (mm) (b) For uniaxial tension test (mm) Fig. 3.3 Test pieces for uniaxial tension, pure shear, equibiaxial tension tests. The region with an area of mm at the center of the test piece is defined as the reference area.

36 (a) Conventional specimen (b) Multiple-notch specimen (case ) (c-) Notch radius smaller than the optimum one (c-) Optimum notch radius (c) Multiple-notch specimen (case ) (c-3) Notch radius larger than the optimum one Fig. 3. Comparison of the experimental nominal stress s exp in conventional and multiple-notch specimens (a quarter of the model). 9

37 3..3 単軸引張試験 場合 料 応力 伸長比挙動 試験温度や負荷 度 影響 著 く 複数 変形 料試験 行う際 試験条件 揃え 同一 試験装置 利用 望 い 単軸引張試験 い 純 断や一様 軸引張 同 軸試験装置 用い 計測 行う 3.3(b) 単軸引張試験 使用 試験片 形状 寸法 示 単軸引張試験 隣 合う 具間 非一様変形 計測結果 悪影響 い 無い矩形型試験片 使用 試験 引張荷 F exp 標点間距 l',x l',x 計測 式 (3.) 公称応力 s exp 伸長比 λ exp 算出 3

38 3.3 半 決定本節 限要素法 用い 数値実験 行い 付 試験片 半 決定 試験片 加 容易 観点 穴 直 ρ 整数 う 場合 対象 検討 行 3.3. 限要素 使用 料構成則 限要素解析 対称性 考慮 試験片 / 部 化.5 mm 節点四辺形完全積 面応力要素 使用 部 料 剛性 大 く十 力 締 付 行わ い 考え 解析 被 部 剛体 扱う 料 料構成則 料定数 記 う 設定 料 W W = W _ + U 等容成 W _ 体積成 U 加算 解 W _ 最 一般的 超弾性 一 あ Ogden Ogden, 97 N k= µ k λ λ λ k αk αk αk ( 3 3) W = α + + (3.) λ _ 伸長比 λ 偏差成 あ 体積変化率 J = det F 用い λ _ = J /3 λ 表 F 変形勾配 ン あ µ k α k 料定数 あ 一般 参照 い 値 µ =. MPa α =.3 µ =. 3 MPa α = 5. µ 3 = 9. 3 MPa α 3 =. Holzapfel, 料 微 縮 料 U MSC.Mentat 3 自動的 算出 U = 9K ( J /3 ) / K = 7 MPa 用 3.3. 純 断 一様 軸引張試験 半 調査本 前 条件 付 試験片 用い 純 断 一様 軸引張 限要素解析 行い 半 い 調査 比較 従来 試験片 い 同様 解析 行う 付 試験片 従来 試験片 形状 境界条件 3.5(a) 3.5(b) 示 3.5(a) 示 い 付 試験片 半.5 mm あ 解析 部 強制変 え 従来 試験片 解析結果 3. 示 3.(a) 見 伸長比 λ ap 定義 示 い 3.(b) 3.(c) λ ap =. 純 断 一様 軸引張 応力 布 あ 3.(b) 3.(c) reference area 一様変形 得 い 部近傍 高い応力 中 生 い 3.(d) 解析結果 式 (3.) 求 公称応力 伸長比関係 Ogden 理論解 比較 あ Ogden 純 断 一様 軸引張 理論解 式 得 s N αk αk ( λ ) = µ ( λ λ ) for pure shear (3.3) theory, x x k x x k= s N αk αk ( λ ) = µ ( λ λ ) for equibiaxial tension (3.) theory, x x k x x k= 3

39 3.(d) 数値実験 得 従来 試験片 公称応力 伸長比関係 理論解 大 く異 結果 部付近 応力 中 影響 原因 考え 3.7 付 試験片 FEM 結果 示 3.7(b) 3.7(c) 純 断 一様 軸引張 応力 布 λ ap =. ρ =.5 mm あ 底付近 応力 中 生 い reference area 一様 変形状態 得 い 半 ρ = mm FEM 結果 算出 公称応力 伸長比関係 3.7(d) 示 3.(d) 同様 FEM 結果 計算 s exp λ exp 関係 Ogden 得 理論解 比較 検証 3.(c) 対応 ρ い 応力 過大 見積 一方 ρ 大 い 応力 く見積 結果 ρ =.5 mm 付 試験片 式 (3.) 求 公称応力 伸長比関係 理論解 良好 一致 示 以 ρ =.5 mm 付 試験片 用い 軸試験 一様変形 公称応力 伸長比関係 高精度 求 確 Chucking jig Rubber Chucking jig Rubber (a) Multiple-notch test piece (ρ =.5 mm) (b) Conventional test piece Fig. 3.5 Finite element models for multiple-notch and conventional test pieces. 3

40 Apparent stretch, λap = +d / L (Displacement: d/) y x Reference area (a) Test piece shape (b) Pure shear (MPa) (c) Equibiaxial tension (MPa) Nominal stress (MPa).5.5 Exact solution FEM PS (conventional) FEM BT (conventional) Equibiaxial tension (BT) pure shear (PS).... (d) Relationship between nominal stress and stretch Fig. 3. Stress distribution of σ xx in pure shear and equibiaxial tension tests: (a) (c) are for the conventional test piece, (d) is comparison between numerical solution by FEM and theoretical one. 33

41 Apparent stretch, λap = +d / L (Displacement: d/) y x Reference area (a) Test piece shape (b) Pure shear (MPa) (c) Equibiaxial tension (MPa) Nominal stress (MPa).5 BT Exact solution ρ =. ρ = 5. ρ = 3. (proposal) ρ = 3. (proposal) PS.... (d) Relationship between nominal stress and stretch Fig. 3.7 Stress distribution of σ xx in pure shear and equibiaxial tension tests: (a) (c) are for the multiple-notch test piece, (d) is comparison between numerical solution by FEM and theoretical one. 3

42 3. 数値実験 提案手法 効性 検証本節 提案手法 効性 汎用性 数値実験 評価 3.. 単軸引張試験 数値実験 行い 効性 検証 3.. 様々 料 Neo Hooke Yeoh Mooney Rivlin 数値実験 行い 提案手法 汎用性 検証 3.. 単軸引張試験 検討 軸引張試験装置 用い 単軸引張試験 い 検討 3.(a) 試験片 形状 境界条件 示 純 断試験や一様 軸引張試験 同様 対称性 考慮 / 部 化 部 強制変 え 以 条件 行 FEM 解析 得 F exp l',x l',x s exp λ exp 計算 Ogden 単軸引張試験 公称応力 伸長比関係 理論値 式 得 s N αk αk ( λ ) = µ ( λ λ ) for uniaxial tension (3.5) theory, x x k x x k= 3.(b) 数値解析 得 公称応力 伸長比関係 理論値 比較 示 結果 良く一致 い 軸引張試験装置 用い 単軸引張試験 高精度 公称応力 伸長比関係 得 Chucking jig Rubber Nominal stress (MPa).... Exact solution FEM UT (proposal) (a) Finite element model.... (b) Result of FEM Fig. 3. FEM analysis of uniaxial tension test with in-plane biaxial experiment apparatus: (a) is finite element model and (b) is comparison between numerical solution by FEM and theoretical one. 35

43 3.. 提案手法 汎用性 い 提案手法 汎用性 調査 目的 Ogden 以外 幾 料構成則 FEM 解析 行 使用 料構成則 式 (3.)-(3.) 示 通 あ Case : Neo Hooke Treloar, 9 ( ) W = c I (3.) 3 I = λ _ + λ _ + λ _ 3 あ 料定数 c =. MPa Case : Yeoh Yeoh, 993 ( 3) ( 3) ( 3) 3 W = c I + c I + c I (3.7) 3 料定数 c =. MPa c =. MPa c 3 =. MPa Case 3: Mooney Rivlin Mooney, 9; Rivlin, 9 ( 3) c ( I 3) W = c I + (3.) I = λ _ λ _ + λ _ λ _ 3 + λ _ λ _ 3 あ 料定数 c =. MPa c =. MPa 以 料構成則 純 断 一様 軸引張 FEM 解析 行い 試験片 半 ρ s exp λ exp 関係 影響 い 調査 結果 示 料構成則 い 依 ρ =.5 mm 付 試験片 高精度 公称応力 伸長比関係 得 提案手法 任意 料特性 持 料 適用可能 あ いえ 3

44 Nominal stress (MPa) Exact solution ρ =. ρ =. ρ = 3. (proposal) ρ = 5. Increasing ρ Nominal stress (MPa) Exact solution ρ =. ρ =. ρ = 3. (proposal) ρ = 5. Increasing ρ.... (a) Pure shear.... (b) Equibiaxial tension Fig. 3.9 Effect of notch radius on the stress stretch relationships of the multiple-notch specimens under pure shear and equibiaxial tension deformation calculated by FEM. The Neo Hooke model was used for FEM analysis. Nominal stress (MPa) 5 5 Exact solution ρ =. ρ =. ρ = 3. (proposal) ρ = 5. Increasing ρ Nominal stress (MPa) 5 5 Exact solution ρ =. ρ =. ρ = 3. (proposal) ρ = 5. Increasing ρ.... (a) Pure shear.... (b) Equibiaxial tension Fig. 3. Effect of notch radius on the stress stretch relationships of the multiple-notch specimens under pure shear and equibiaxial tension deformation calculated by FEM. The Yeoh model was used for FEM analysis. 37

45 Nominal stress (MPa) 5 5 Exact solution ρ =. ρ =. ρ = 3. (proposal) ρ = 5. Increasing ρ Nominal stress (MPa) 5 5 Exact solution ρ =. ρ =. ρ = 3. (proposal) ρ = 5. Increasing ρ.... (a) Pure shear.... (b) Equibiaxial tension Fig. 3. Effect of notch radius on the stress stretch relationships of the multiple-notch specimens under pure shear and equibiaxial tension deformation calculated by FEM. The Mooney Rivlin model was used for FEM analysis. 3

46 3.5 実験 提案手法 効性 検証本節 提案手法 効性 実験的手法 評価 提案 試験片形状 用い 業用 料 軸引張試験 行い 得 結果 対象 Ogden ン 料定数 同定 十 型試験片 軸引張試験 行い 実験結果 FEM 解析 結果 比較 同定 料定数 妥当性 検証 3.5. 試験方法 概要実験 ン ン SBR ン 体積 率 % % 充 SBR/CB SBR/CB 使用 試験片 厚. mm 作成 提案 試験片形状 用い 実験 室温 5 C 行い 引張 度. mm/s 軸方向 付 引張荷 計測 試験中 Reference area 変形 撮影 l',i l',i (i = x, y) 非接触 計測 3.5. 計測結果 料定数 同定提案手法 計測 s exp λ exp 関係 3. 示 Ogden 一 ン 結果 合わ 示 Ogden 料定数 Ogden 解析的 算出 公称応力値 実験値 差 乗和 計算 実数値 GA 樋口他, 最 化 決定 3. 単軸引張 純 断 一様 軸引張 全 力学特性 再現 料定数 得 確 3 Nominal stress (MPa) Exp PS Exp BT Ogden Exp PS Exp UT Exp BT.... (a) SBR/CB Exp UT Nominal stress (MPa) Ogden Exp PS Exp UT Exp BT.... (b) SBR/CB Fig. 3. Experimental nominal stress stretch relationships for uniaxial tension (UT), pure shear (PS), and equibiaxial tension (BT), and the fitted curves of the Ogden model with material constants identified from the proposed multiple-notch test pieces. 39

47 3.5.3 同定 料定数 検証前 同定 料定数 妥当性 検証 3.3(a) う 十 試験片 用い 軸試験 行 試験片厚. mm 十 試験片 軸試験 様々 変形 混 複雑 変形状態 い 十 試験片 用い 軸試験 F exp d 挙動 FEM 解析 再現 料定数 様々 変形 対応 適 言え 試験 試験片 部 一辺 全域 挟 込 伸長 3. 示 標線間距 d 撮影 計測 3.3(b) FEM 解析 形状 境界条件 示 い 前章 同様 面応力状態 仮定 節点四辺形完全積 要素 使用 一辺当 要素 長.5 mm 料 料定数 前 用い 3.5 実験 FEM 解析 引張荷 F exp (= F exp,x = F exp,y ) 変 d 結果 示 従来 試験片 同定 料定数 用い FEM 解析 行 結果 3.5 合わ 示 付 試験片 得 料定数 SBR/CB N = µ =.379 MPa α =.7 µ = 5.3 MPa α =.7 SBR/CB N = 3 µ =.35 MPa α =.3 µ =.75 MPa α = 5.55 µ 3 =.7 MPa α 3 =.9 あ 従来 試験片 得 料定数 SBR/CB N = 3 µ = 3. MPa α =.39 µ =. MPa α =. µ 3 =.7 MPa α 3 =.9 SBR/CB N = 3 µ = 5.9 MPa α =. µ = 5. MPa α =. µ 3 =.5 MPa α 3 =.9 あ 従来 試験片 同定 料定数 料 い 実験値 過大 荷 見積 結果 対 提案手法 同定 料定数 料 良好 再現結果 得 d = 3 mm 時 変形状態 い FEM 解析 結果 実験結果 良く再現 い 以 本法 料 力学特性 高精度 計測 可能 あ いえ 本法 実験結果 同定 料定数 料 数値解析 用 あ 合わ 確

48 Chucking 7 mm L = 5 mm 3 mm F exp,x Rubber Fig. 3.3 F exp, y (a) Test piece shape (b) Boundary condition of the finite element model Shape and dimensions of cruciform specimen and its finite element model. L L' d = L L Fig. 3. (a) No-load condition (b) Loading condition Photographs of deformation behavior of cruciform specimens under equibiaxial tension. Tensile load (N) Exp Exp FEM (proposal) FEM (conventional) SBR/CB FEM Fig. 3.5 SBR/CB 3 d (mm) Load displacement relationships of cruciform specimens under equibiaxial tension.

49 3. 結言本研究 業用 料 実用 要 中程度 変形 % 程度 対象 単軸引張 純 断 一様 軸引張 公称応力 伸長比関係 精度良く計測 試験方法 提案 本法 軸引張試験装置 付 試験片 使用 あ FEM 数値解析 実験 両面 検証 行 得 知見 以 示 () 純 断 一様 軸引張試験 部近傍 均一変形 影響 減 目的 状 料 形穴 入 試験片 提案 半 数値実験 基 い 決定 () 本法 効性 検証 FEM 用い 数値実験 行 結果 様々 超弾性構成則 Ogden Neo Hooke Yeoh Mooney Rivlin い 公称応力 伸長比関係 精度良く再現 確 (3) 本法 効性 い 実験的 検証 ン 体積 率 % % 充 SBR 料 軸引張試験 行 得 実験結果 Ogden 料定数 同定 単軸引張 純 断 一様 軸引張 良好 ン 得 () 十 試験片 用い 軸引張試験 同定 料定数 妥当性 い 検証 本法 同定 料定数 用い FEM 解析 実験結果 十 再現可能 あ 確 (5) 以 本法 力学特性 要 単軸引張 純 断 一様 軸引張 公称応力 伸長比関係 高精度 計測可能 方法 あ 示 超弾性 料定数 決定 実験方法 用 あ 確

50 参考文献 ) Batra, R. C., Mueller, I. and Strehlow, P., Treloar s biaxial tests and Kearley s bifurcation in rubber sheets, Mathematics and Mechanics of Solids, Vol., No. (5), pp ) Blatz, P. J. and Ko, W. L., Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials, Transactions of the Society of Rheology, Vol., No. (9), pp ) 藤川正毅, 神 武, 真壁朝敏, 軸引張 試験 公称応力 簡易計算法, 実験力学, Vol., No. (), pp.-9. ) 樋口 英, 筒井茂義, 山 幸, 実数値 GA ン 交 提案, 人 知能学会論文, Vol., No. (), pp ) Holzapfel, G., Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for engineering (), Wiley. ) Hossain, M. and Steinmann, P., More hyperelastic models for rubber-like materials: consistent tangent operators and comparative study, Journal of the Mechanical Behavior of Materials, Vol., No.- (3), pp ) Kawabata, S., Matsuda, M., Tei, K. and Kawai, H., Experimental survey of the strain energy density function of isoprene rubber vulcanizate, Macromolecules, Vol., No. (9), pp.5-. ) Mooney, M., A theory of large elastic deformation, Journal of applied physics, Vol., No.9 (9), pp ) Ogden, R. W., Large deformation isotropic elasticity on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol.3, No.57 (97), pp ) Ogden, R. W., Non-Linear Elastic Deformation (997), Dover Publications. ) Rachik, M., Schmidt, F., Reuge, N., Le Maoult, Y. and Abbé, F., Elastomer biaxial characterization using bubble inflation technique. II: Numerical investigation of some constitutive models, Polymer Engineering and Science, Vol., No.3 (), pp ) Reuge, N., Schmidt, F. M., Le Maoult, Y., Rachik, M. and Abbé, F., Elastomer biaxial characterization using bubble inflation technique. I: Experimental investigations, Polymer Engineering and Science, Vol., No.3 (), pp ) Rivlin, R. S., Large Elastic Deformations of Isotropic Materials. IV. Further Developments of the General Theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences, Vol., No.35 (9), pp

51 ) Sasso, M., Chiappini, G., Rossi, M., Cortese, L. and Mancini, E., Visco-hyper-pseudoelastic characterization of a fluoro-silicone rubber, Experimental Mechanics, Vol.5, No.3 (), pp ) Sasso, M., Palmieri, G., Chiappini, G. and Amodio, D., Characterization of hyperelastic rubber-like materials by biaxial and uniaxial stretching tests based on optical methods, Polymer Testing, Vol.7, No. (), pp ) Steinmann, P., Hossain, M. and Possart, G., Hyperelastic models for rubber-like materials: consistent tangent operators and suitability for Treloar s data, Archive of Applied Mechanics, Vol., No.9 (), pp ) Tada, T., Urayama, K., Mabuchi, T., Muraoka, K. and Takigawa, T., Nonlinear stress relaxation of carbon black-filled rubber vulcanizates under various types of deformation, Journal of Polymer Science Part B: Polymer physics, Vol., No. (), pp ) Treloar, L. R. G., Stress-strain data for vulcanized rubber under various types of deformation, Transactions of the Faraday Society, Vol. (9), pp ) Woo, C. S., Kim, W. D. and Park, H. S., Finite element analysis and design of rubber specimen for mechanical test, Constitutive Models for Rubber VII (), pp ) Zhao, X., Berwick, Z. C., Krieger, J. F., Chen, H., Chambers, S. and Kassab, G. S., Novel design of cruciform specimens for planar biaxial testing of soft materials, Experimental Mechanics, Vol.5, No.3 (), pp ) Yeoh, O. H., Some forms of the strain energy function for rubber, Rubber Chemistry and Technology, Vol., No.5 (993), pp

52 第 章主要 超弾性構成則 性能評価. 緒言 業用 料 や 建築物 利用 役割 要 あ 製品 設計や開発 滑 進 力学挙動 数値計算 評価 需要 非常 大 い 力学挙動 数値 ョン 料構成則 定 要 あ 料 大変形性 非 微 縮性 料 料構成則 特徴 表現可能 い 超弾性 力学挙動 数値計算 最 基礎 料構成則 あ 超弾性 関 研究 現 多く 報告 あ 商用 限要素解析 多く 標準搭載 い 解析者 中 料構成則 出 一般 択 解析者 知識や経験 判断 現 様々 超弾性 提案 い 超弾性構成則 出過程 現象論 物理論 種類 類 現象論 数学的 あ 密度関数 変 や主伸長比 多 式 表現 多い 物理論 高 子鎖 物理論 基 い 統計学的手法 あ 主要 超弾性 性能 関 研究 多く行わ い 例え Marckmann and Verron() Treloar(9) 実験 ( 未充 天然 ; 単軸引張 純 断 一様 軸引張 ) Kawabata et al.(9) 実験 ( 未充 ン ; 軸引張 ) 用い 種類 超弾性 性能評価 行い ン 付 行 い Steinmann et al.() Hossain and Steinmann() 5 個 超弾性 い Treloar(9) 実験 対象 各変形 単軸引張 純 断 一様 軸引張 再現性能 評価 変形 実験結果 同定 料定数 他 種類 実験結果 予測 可能 あ 検討 行 い Seibert and Schöche() ン 充 水素化 (HNBR) 単軸引張 一様 軸引張試験結果 対象 種類 超弾性 性能評価 行 い 述 調査報告 多く % 超え 3% 付近以 大変形領域 実験結果 対象 超弾性構成則 性能評価 行 い 実使用条件 業用 料 変形領域 ~% 程度 あ 場合 多く 焦点 応力 関係 正確 再現 超弾性構成則 見出 要 領域 焦点 当 研究 あ 見 い 述 調査報告 多く 超弾性構成則 性能評価 ンや 軸引張試験機 得 軸場 応力 伸長比 結果 利用 い ン 計測 い変形域 5% 以 正確 応力 関係 得 困 あ 知 Mott et al., 実用 要 域 ~% 性能評価 用い わ く い 軸引張試験 関 第 3 章 述 う 具 影響 計測結果 影響 問題 近 指摘 従来 性能評価 結 5

53 果 影響 え 可能性 あ 実用的 超弾性構成則 性能評価 い 改 検討 余地 あ いえ 本研究 料 実稼働領域 ~% 対象 超弾性構成則 性能評価 行う 料試験 い 第 3 章 提案 多軸場 高精度 応力 関係 得 計測方法 用 試料 ン 充 異 3 種類 SBR 使用 本研究 性能評価 () 超弾性構成則 実験結果 再現 能力 () 単軸場 多軸場 予測性能 (3) ン 充 料定数 相関関係 3 目 い 検証

54 . ン 充 SBR 料 料試験 ン CB 5 vol% 充 ン ン SBR 力学特性 公称応力 伸長比関係 計測 行 本論文 SBR/CB SBR/CB5 SBR/CB 記 回 料試験 一般的 単軸引張 純 断 一様 軸引張試験 行 試験方法 計測結果 本節.. 単軸引張試験単軸引張試験 用い ン 型試験片. 示 中 ン 部 試験片 締 付 部 示 矢印 方向 伸長 実験 島津製作所製 万能試験機 使用 試験片 標点間距 l exp 引張荷 F exp 計測 計測 変 荷 関係 F exp l exp 公称応力 伸長比関係 P exp λ exp 変換 式 用い P exp Fexp l =, λexp = t B l exp (.) B 試験片厚 t 試験片幅 l 変形前 標点間距 あ 単軸引張 試験 公称 % 試験片 破断 伸長.. 純 断 一様 軸引張試験純 断 一様 軸引張試験 第 3 章 提案 計測方法 試験片形状 適用 方法 論文 実験 数値計算 詳細 妥当性 用性 検証 % 変形域 い 高精度 公称応力 伸長比関係 得 あ 試験機 社製 型 軸引張試験機 使用 一辺当 具 数 向 い合う 具間 距 L 5 mm あ. 軸引張試験用 試験片 形状 示 試験片 部近傍 非一様変形状態 影響 減 目的 設 置や直 料 公称応力 伸長比関係 精度良く算出 う 調整 い 軸引張試験 得 公称応力 P exp 伸長比 λ exp 定義 引張荷 F exp 具間 断面積 L B 除 値 P exp 定義.3 う 試験片中心部 mm 正方形領域 Reference area 長 l,i, l,i (i = x, y) 引張試験中 長 l,i, l,i (i = x, y) 変形前後 辺 長 比 λ exp P exp λ exp 計算式 以 P exp, i Fexp, i l, i l, i =, λexp, i = +, =, L B l, i l, i ( i x y) (.) 純 断 一様 軸引張試験 第 3 章 計測精度 保証 い % 計測 行う 7

55 Fig.. Experimental setup for uniaxial tensile test (all dimensions are in mm). Fig.. Specimen for pure shear and equibiaxial tensile test. Fig..3 Experimental setup for pure shear and equibiaxial tensile test.

56 ..3 計測結果実験 得 公称応力 伸長比 関係. 示 全 試験 雰 気温度 T = 5 C 行わ 引張 度. /min 行 い 一般 知 い う CB 含 多く 剛性 昇 い 一方 単軸引張試験 最大伸長比 減少 結果 Nominal stress (MPa) uniaxial tension pure shear biaxial tension Nominal stress (MPa) uniaxial tension pure shear biaxial tension Nominal stress (MPa) uniaxial tension pure shear biaxial tension (a) SBR/CB (b) SBR/CB5 (c) SBR/CB Fig.. Experimental nominal stress stretch relationships for uniaxial tension (UT), pure shear (PS), and equibiaxial tension (BT). 9

57 .3 主要 超弾性構成則 性能評価本節 本研究 性能評価 行う超弾性構成則 い.3. 本論文 必要 超弾性構成則 関 基礎理論 示.3. 性能評価 概要 料定数 同定方法 記.3.3 現象論 超弾性 性能評価 行い.3. 物理論 超弾性構成則 性能 評価.3. 超弾性構成則 概要一般 超弾性体 変形や 成 微 共役 応力 生 う 密度関数 Ψ 物質 定義 例え 非 縮性超弾性体 第一 Piola Kirchhoff 応力 P 公称応力 等価 変形勾配 ン F 用い 式 う 表 Holzapfel, Ψ P = F pf T (.3) p 静水 力 あ 付 T ン 転置 表わ い 主公称応力 P i 主伸長比 λ i 関係 式 う Ψ p Pi =, =,,3 λ λ i i ( i ) (.) 変形勾配 ン F 変形状態 各成 以 う λ = λ / λ UT / F (.5) λ PS F = (.) λ λ BT F = λ (.7) λ λ 伸長方向 伸長比 あ 付 UT PS BT 単軸引張 純 断 一様 軸引張 意味 い F UT F PS F BT 入力 式 (.3) 式 (.) 計算 各超弾性 解析的 公称応力 求 5

58 .3. 性能評価 料定数同定 方法 本研究 行う性能評価 3 目 test ~3 詳細 (a) test 超弾性構成則 性能 最 要 実験 得 あ ゆ 変形 応力 伸長比関係 再現 得 う あ test 超弾性 実験 得 3 種類 変形 単軸引張 純 断 一様 軸引張 応力 伸長比挙動 再現 能力 い 調査 料定数 同定方法 示 test 全 3 種類 変形 計測結果 対象 各超弾性 料定数 同定 料試験 得 伸長方向 公称応力 伸 UT 長比 P exp UT PS λ exp exp PS BT BT P λ exp P exp λ exp 付 exp 実験結果 あ 示 密度関数 Ψ 式 (.) UT PS BT 解析的 求 伸長方向 公称応力 P cal P cal P cal 付 cal 解析的 計算 あ 示 計算式 異 具体的 数式 付録 C 超弾性 再現 公称応力 実験 値 差 乗和 E 式 う 表 E = P P UT N UT UT UT UT { ( λ i ) cal ( λ i )} UT exp exp, exp, N i= PS + PS N N PS PS PS PS { Pexp ( λexp, i ) Pcal ( λexp, i )} i= BT + BT N N BT BT BT BT { Pexp ( λexp, i ) Pcal ( λexp, i )} i= (.) N UT N PS N BT 単軸 純 断 一様 軸引張試験 実験結果 総数 あ 式 (.) 変形 計測値 数 差 乗和 基準化 あ 超弾性 料定数 E く う 求 い E 目的関数 最 化問題 解く 料定数 決定 最 化問題 料定数 索 ン 交 用い 実数値 GA 樋口他, 用い (b) test 限要素法 実部品 応力解析 変形挙動 多軸場 あ 関わ 引張 試験 結果 定 料構成則 用い 解析 行わ 多い 単軸引張試験 多軸場 応力 挙動 予測可能 料構成則 索 く 実用 要 あ test 単軸引張試験結果 料定数 決定 場 合 純 断や一様 軸引張試験 実験結果 予測 得 調査 test 最 化 目的関数 E う UT N UT UT UT UT E = { P ( λ ) ( )} i Pcal λ i (.9) UT exp exp, exp, N i= test 同様 料定数 索 実数値 GA 用い 5

59 (c) test 3 本研究 性能評価 ン 異 3 種類 SBR 対象 い 各超弾性 料定数 ン 間 明確 相関関係 配合 変更 料 力学挙動 予測 際 用 情報 料 配合 超弾性構成則 料定数 相関関係 調査 研究 い test 3 test 同定 超弾性 料定数 ン 間 相関関係 い 調査.3.3 現象論型超弾性構成則 性能評価本節 現象論型 超弾性構成則 性能評価 行う 現象論 数学的 あ 密度関数 変 や主伸長比 関数 表現 幾 伸長比や 変 多 式 形式 表 高 用い 高い近似精度 得 高 実験誤差 影響 擾乱 生 可能性 あ 注意 必要 あ (a) Ogden Ogden Ogden, 97 密度関数 主伸長比 λ i Cauchy Green 変形 ン C 固 値 方根 関数 表 現象論 あ 商用 FEM 広く搭載 い 一般的 料構成則 あ 密度関数 う 表 N k= µ k λ λ λ k αk αk αk { 3 3} Ψ = α + + (.) µ k α k 料定数 あ µ k α k あ 本研究 N =,, 3 場合 い 検討 N =,, 3 test 結果.5-.7 示 N = 単軸引張 や純 断 い 概 良好 再現結果 示 一様 軸引張 高 域 実験値 差 大 く 結果 N =, 3 場合 全 実験結果 対 高精度 再現 結果 得 test 結果.-. 示 い 場合 単軸引張 対 良い 得 い 予測 純 断 一様 軸引張 応力 伸長比挙動 実験値 大 く い 以 Ogden 適当 数 N 設定 高い再現性能 示 単軸場 多軸場 予測 能力 皆無 あ 表.-. 同定 料定数 示 ン 料定数 相関性 い いえ 5

60 Nominal stress (MPa) fitted 3 fitted.5 fitted.5 (a) UT (b) PS (c) BT Fig..5 Results of performance evaluation (test ): Ogden model (N = ). CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) Nominal stress (MPa) fitted 3 fitted.5 fitted.5 (a) UT (b) PS (c) BT Fig.. Results of performance evaluation (test ): Ogden model (N = ). CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) Nominal stress (MPa) fitted 3 fitted.5 fitted.5 (a) UT (b) PS (c) BT Fig..7 Results of performance evaluation (test ): Ogden model (N = 3). CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) 53

61 Nominal stress (MPa) fitted 3 predicted.5 predicted.5 (a) UT (b) PS (c) BT Fig.. Results of performance evaluation (test ): Ogden model (N = ). CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) Nominal stress (MPa) fitted 3 predicted.5 predicted.5 (a) UT (b) PS (c) BT Fig..9 Results of performance evaluation (test ): Ogden model (N = ). CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) Nominal stress (MPa) fitted 3 predicted.5 predicted.5 (a) UT (b) PS (c) BT Fig.. Results of performance evaluation (test ): Ogden model (N = 3). CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) 5

62 Table. Material parameters (test ): Ogden model (N = ). µ (MPa) α SBR/CB.75. SBR/CB SBR/CB Table. Material parameters (test ): Ogden model (N = ). µ (MPa) α SBR/CB.5.55 SBR/CB SBR/CB Table.3 Material parameters (test ): Ogden model (N = ). µ (MPa) µ (MPa) α α SBR/CB SBR/CB SBR/CB Table. Material parameters (test ): Ogden model (N = ). µ (MPa) µ (MPa) α α SBR/CB SBR/CB SBR/CB Table.5 Material parameters (test ): Ogden model (N = 3). µ (MPa) µ (MPa) µ 3 (MPa) α α α 3 SBR/CB SBR/CB SBR/CB Table. Material parameters (test ): Ogden model (N = 3). µ (MPa) µ (MPa) µ 3 (MPa) α α α 3 SBR/CB SBR/CB SBR/CB

63 (b) Mooney Rivlin Mooney Rivlin Mooney, 9; Rivlin, 9 密度関数 Cauchy Green 変形 ン 第一 変 I 第 変 I 構成 Mooney Rivlin 多く 商用 FEM 一般 標準 搭載 一般的 料構成則 あ 密度関数 う 表 ( 3) c ( I 3) Ψ = c I + (.) c c 料定数 あ c c あ c = 特 Neo Hooke いう I I 式 (.) (.3) 得 ( ) I = tr C = λ + λ + λ (.) 3 { ( ) ( )} I = tr C tr C = λ λ + λλ3 + λ3 λ (.3) test test 結果.. 示 test test 良い再現結果 得 特 伸長 応力 立 挙動 全く表現 い い Mooney Rivlin 単軸引張 や純 断変形 応力 立 挙動 表 可能 あ 変形 い領域 効 力学 あ 思わ 同定 料定数 表.7. 示 c CB 増加 大 く 傾向 c SBR/CB test 除い 微 値 5

64 Nominal stress (MPa) fitted 3 fitted.5 fitted.5 (a) UT (b) PS (c) BT CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) Fig.. Results of performance evaluation (test ): Mooney Rivlin model. Nominal stress (MPa) fitted 3 predicted.5 predicted.5 (a) UT (b) PS (c) BT CB (experiment) CB5 (experiment) CB (experiment) CB (model) CB5 (model) CB (model) Fig.. Results of performance evaluation (test ): Mooney Rivlin model. Table.7 Material parameters (test ): Mooney Rivlin model. c (MPa) c (MPa) SBR/CB SBR/CB SBR/CB Table. Material parameters (test ): Mooney Rivlin model. c (MPa) c (MPa) SBR/CB SBR/CB5.7.9 SBR/CB