POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni učitelj LUCIJA ŽNIDARIČ MENTOR: doc. dr. PRIMOŽ ŠPARL POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014

Mentorju doc. dr. Primožu Šparlu Hvala za vodenje, dragocene nasvete in strokovno pomoč pri nastajanju diplomskega dela. Družini in prijateljem Hvala za vso podporo in razumevanje v času študija.

Kazalo 1 Uvod 1 2 Grupe 3 2.1 Osnovni pojmi........................... 3 2.2 Podgrupe.............................. 5 2.3 Direktni produkt.......................... 8 3 Preslikave grup 10 3.1 Homomorfizmi............................ 10 3.2 Izomorfizmi in avtomorfizmi.................... 11 4 Delovanje grup 14 4.1 Delovanje.............................. 14 4.2 Delovanje grupe na grupah..................... 15 5 Poldirektni produkt grup 18 5.1 Zunanji poldirektni produkt.................... 18 5.2 Notranji poldirektni produkt.................... 21 5.3 Direktni in poldirektni produkt.................. 22 6 Poldirektni produkt cikličnih grup 24 7 Zaključek 33 Literatura 34

Tabele 6.1 Zaporedja redov grup Z 8 ψ Z 10.................. 27 6.2 Zaporedja redov nekomutativnih grup reda 80........... 28 6.3 Zaporedja redov grup Z 15 ψ Z 4.................. 29 6.4 Zaporedja redov grup Z 15 ψ Z 2.................. 30 Slike 6.1 Posplošeni Petersenov graf GP(15,4)............... 31

Povzetek V diplomskem delu obravnavamo konstrukcijo grup, imenovano poldirektni produkt grup. Gre za posplošitev direktnega produkta, ki omogoča konstrukcije precej večjega nabora grup. Poiščemo kriterij, kdaj je dana grupa poldirektni produkt grup, in prikažemo razliko med direktnim in poldirektnim produktom. Ogledamo si konkretne zglede poldirektnih produktov grup, osredotočimo se predvsem na poldirektne produkte cikličnih grup. Pokažemo tudi, da se poldirektni produkti pojavljajo kot grupe simetrij kombinatoričnih objektov, kot so grafi in da je lahko dana grupa izomorfna večim poldirektnim produktom. MSC (2010) klasifikacija: 20B25, 20D40, 20F28, 20K25 Ključne besede: grupa, ciklična grupa, direktni produkt grup, poldirektni produkt grup

Abstract In this BSc thesis we consider a construction of groups called semidirect product, which is a generalization of direct products. Semidirect products provide a much larger collection of groups than direct products. We find a criterion, which enables us to determine whether a group is isomorphic to a semidirect product and discuss the difference between direct and semidirect products. We construct various examples of semidirect products and in particular semidirect products of cyclic groups. We exemplify that semidirect group products also take a role as symmetry groups of combinatorial objects such as graphs. MSC (2010) classification: 20B25, 20D40, 20F28, 20K25 Key words: group, cyclic group, direct product of groups, semidirect product of groups

Poglavje 1 Uvod Teorija grup je del abstraktne algebre, ki se ukvarja s proučevanjem algebrskih struktur, imenovanih grupe. O grupi govorimo, kadar imamo množico elementov in na njej definirano dvočleno operacijo, ki ustreza določenim lastnostim. Grupe so zanimive že same po sebi, pomembne so pa tudi zato, ker so sestavni del bolj kompleksnih algebrskih struktur, kot so kolobarji, polja, vektorski prostori, algebre, itd. Njeni rezultati segajo tudi izven okvirov algebre, saj lahko na primer z grupami opišemo tudi simetrije različnih matematičnih struktur, kot so geometrijski objekti ali grafi, pojavlja pa se tudi na področju topologije, teorije števil, itd. Študij teorije grup je zaradi tega še posebej zanimiv, saj le-ta na abstraktnem nivoju združi različne veje matematike. Grupe so tako ene izmed najpomembnejših abstraktnih algebrskih struktur. Pri njihovem proučevanju nas zanimajo njihove lastnosti in struktura. Matematiki se že precej časa ukvarjajo s problemom, kako klasificirati vse končne grupe, klasifikacija enostavnih končnih grup pa je danes že kompletna, kar pomeni, da poznamo vse enostavne grupe, iz katerih lahko konstruiramo končne grupe [1]. Ta problem je torej precej zahteven, zato se včasih zadovoljimo že s tem, da znamo iz že znanih grup na nek način konstruirati nove. Bazična konstrukcija grup izhaja iz njihovega direktnega produkta, ki zajame le ožji del bogate zbirke grup. V diplomskem delu bomo zato predstavili poldirektni produkt grup, ki je posplošitev direktnega produkta in omogoča konstrukcijo cele vrste novih grup, poiskali bomo kriterij za ugotavljanje, kdaj je moč neko dano grupo dobiti kot poldirektni produkt dveh manjših grup. Nadalje bomo pokazali razliko med direktnim in poldirektnim produktom in si ogledali konkretne zglede poldirektnih produktov, ki bodo povzeli njegovo bistvo. Struktura diplomskega dela temelji na petih pomembnejših sklopih, ki zaobjamejo njegovo bistvo. V drugem poglavju tako najprej na kratko definiramo osnovne pojme teorije grup, spoznamo strukturo grup ter njihov direktni produkt in s tem postavimo temelje, na katerih bomo gradili novo konstrukcijo grup. Nadalje si v tretjem poglavju ogledamo pojem homomorfizma, izomorfizma in avtomorfizma grup. Predvsem slednji so izjemnega pomena za poldirektni produkt grup. V četrtem poglavju se posvetimo delovanjem grup. 1

2 POGLAVJE 1. UVOD V petem poglavju nato vpeljemo pojem poldirektnega produkta in poiščemo kriterij za ugotavljanje, kdaj je neka grupa izomorfna poldirektnemu produktu dveh manjših grup. V šestem poglavju poldirektni produkt grup podrobneje predstavimo na manjši množici grup, to so ciklične grupe, in pokažemo konkretne zglede poldirektnih produktov cikličnih grup ter njihovo uporabo v teoriji grafov.

Poglavje 2 Grupe Raznolikost grup se odraža skozi njihovo strukturo in bazične lastnosti. V želji, da bi jih karseda dobro spoznali, bomo najprej definirali osnovne pojme, ki določajo te abstraktne algebrske strukture in predstavili njihove ključne značilnosti. Spoznali bomo pojem podgrupe in edinke ter predstavili nekaj rezultatov, ki bodo bistveni pri razumevanju poldirektnega produkta grup. Na koncu tega poglavja bomo predstavili tudi osnovno konstrukcijo grup, to je direktni produkt grup. Trditve in izreke, ki so morda manj znani, bomo dokazali, standardne osnovne rezultate pa bomo prepustili bralcu. Snov tega razdelka, kot tudi vseh ostalih, je povzeta po [3],[4], [7]. 2.1 Osnovni pojmi Sodobni pristop k abstraktni algebri se prične z abstraktno definicijo grupe. Definicija. Grupa je urejeni par (G, ), kjer je G neprazna množica in binarna (dvočlena) operacija na G, to je, g 1 g 2 G za vsak g 1, g 2 G, če velja: 1. operacija je asociativna na G, to je: (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) za vsak g 1, g 2, g 3 G, 2. obstaja nevtralni element e G tako, da: g e = e g = g za vsak g G, 3. za vsak g G obstaja inverz g G tako, da: g g = g g = e. Če je dodatno operacija komutativna, to je, če za vsaka g 1, g 2 g 1 g 2 = g 2 g 1, pravimo, da je grupa (G, ) komutativna. G velja Opomba. Red grupe G je kardinalno število množice G in ga označimo z G. Kadar je G končna množica, je (G, ) končna grupa. Običajno bomo namesto (G, ), če ne bo možnosti za nesporazum, govorili kar o grupi G. Tudi namesto g 1 g 2 bomo običajno pisali kar g 1 g 2. 3

4 POGLAVJE 2. GRUPE Trditev 2.1 Naj bo G grupa. Tedaj velja: 1. v G obstaja natanko en nevtralni element e G, 2. za vsak g G obstaja natanko en inverz g G, 3. (g ) = g za vsak g G, 4. (g 1 g 2 ) = (g 2 ) (g 1 ), 5. v G veljata pravili krajšanja z leve in z desne, to je: g 1 g 2 = g 1 g 3 g 2 = g 3 in g 2 g 1 = g 3 g 1 g 2 = g 3 za vsak g 1, g 2, g 3 G. Lahko se torej dogovorimo, da bomo enolično določeni inverz elementa g v G označili z g 1, enolično določeni nevtralni element grupe G pa z e. Kadar bomo govorili o več grupah hkrati, bomo nevtralnemu elementu dodali še oznako grupe tako, da bo na primer nevtralni element grupe G imel oznako e G, nevtralni element grupe H pa oznako e H. Definicija. Naj bo S podmnožica grupe G tako, da lahko vsak g G zapišemo kot končni produkt elementov iz S in njihovih inverzov. Potem pravimo, da je S množica generatorjev grupe G, ali drugače, da S generira G, in pišemo G = S. Definicija. Naj bo G grupa in g G. Red elementa g je najmanjše naravno število n (če obstaja) tako, da velja g n = e. Označimo ga z g in pravimo, da je g element reda n. Kadar takšno naravno število n ne obstaja, pravimo, da je g neskončnega reda, kar označimo z g =. Definicija. Naj bo G grupa. Če obstaja g G, za katerega velja g = G, pravimo, da je G ciklična grupa. Končno ciklično grupo reda n označimo s C n. Trditev 2.2 Naj bo C n ciklična grupa reda n in g C n. Če je C n = g, torej g je element reda n, potem za poljuben r velja, da je C n = g r natanko tedaj, ko je D(n, r) = 1, to je, ko je g r reda n. Eulerjeva funkcija ϕ(n) nam da število naravnih števil, ki so manjša od naravnega števila n in njemu tuja. Velja ϕ(n) = n(1 p 1 1 )(1 p 1 2 ) (1 p 1 k ), kjer so p 1, p 2,..., p k vsi različni praštevilski delitelji števila n, to je n = p r 1 1 p r 2 2... p r k k, za r 1, r 2,..., r k N. Zgled. Grupa Z n je množica vseh elementov iz Z n, ki so tuji z n, operacija v grupi pa je množenje po modulu n. Red te grupe je ϕ(n).

2.2. PODGRUPE 5 Zgled. Oglejmo si sedaj nekaj osnovnih standardnih družin grup. Ciklična grupa Z n Z n je komutativna grupa, katere elementi so ostanki pri deljenju z n, ki jih seštevamo po modulu n. Red grupe Z n je n. Tako na primer v grupi Z 7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} velja 5 + 4 = 2. Določili smo, da ciklično grupo reda n označimo s C n, vendar na tem mestu uporabljamo drugačno oznako, saj je tokrat operacija v grupi seštevanje, v abstraktni ciklični pa je operacija multiplikativna. Kar se tiče same strukture grupe pa gre za eno in isto grupo. Simetrična grupa S A S A je množica vseh permutacij (bijekcij nase) množice A. Kadar je A = {1, 2, 3,..., n}, simetrično grupo množice A označimo s S n. Operacija v grupi je seveda komponiranje preslikav. Grupa S n je reda n!. Tako je na primer S 3 = {id, (12), (13), (23), (123), (132)}. Dogovorimo se, da preslikave vedno komponiramo iz desne proti levi. Tako je na primer (123)(23) = (12). Diedrska grupa D n Diedrsko grupo D n tvorijo vse simetrije pravilnega n-kotnika, to so rotacije in zrcaljenja, in kompozitumi le-teh. Grupa D n je podmnožica simetrične grupe S n in je reda 2n. Najznačilnejša prezentacija diedrske grupe je D n = r, z r n = z 2 = e, zrz 1 = r 1. Grupo D 4 lahko zato predstavimo kot D 4 = r, z r 4 = z 2 = e, zrz 1 = r 1, torej D 4 = {e, r, r 2, r 3, z, zr, zr 2, zr 3 }, kjer na primer velja (zr)(zr 2 ) = (r 3 z)(zr 2 ) = (r 3 zzr 2 ) = r 5 = r. Bralca opozorimo, da je nevtralni element v grupi Z n enak 0, nevtralni element grupe S n, torej identično preslikavo, pa največkrat označimo z id. 2.2 Podgrupe Vsaka grupa je v prvi vrsti množica, zato vsebuje različne podmnožice elementov. V tem razdelku bomo spoznali podmnožice grup, ki imajo še posebej lepe značilnosti in sicer, da so tudi same zase grupe. Ugotovili bomo, kdaj je neka podmnožica podgrupa in spoznali nekatere pomembne posebne podgrupe, ki jih lahko najdemo v grupi.

6 POGLAVJE 2. GRUPE Definicija. Naj bo G grupa in H njena neprazna podmnožica. Potem je H podgrupa grupe G, kar označimo s H G, če je grupa za podedovano operacijo iz G. Trditev 2.3 Neprazna podmnožica H grupe G je njena podgrupa natanko tedaj, kadar za vsak h 1, h 2 H velja h 1 h 1 2 H. Definicija. Naj bo G grupa, H njena podgrupa in g G. Množico gh = {gh h H} imenujemo levi odsek grupe G po podgrupi H. Podobno je Hg = {hg h H} desni odsek grupe G po podgrupi H. Množico vseh levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H imenujemo kvocientna množica. Označimo jo z G/H. Njeno kardinalnost, torej število levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H, označimo z [G : H]. Izrek 2.4 (Lagrangeev izrek) Naj bo G končna grupa in H njena podgrupa. Tedaj velja, da red H deli red G in da je [G : H] = G H. Posledica 2.5 Naj bo G končna grupa in x G. Potem red elementa x deli red grupe G. Nadalje velja x G = e za vsak x G. Izrek 2.6 (Cauchyjev izrek). Naj bo G končna grupa in naj bo p praštevilo, ki deli njen red. Tedaj v G obstaja element reda p. Trditev 2.7 Naj bo H podgrupa grupe G in naj bosta g 1, g 2 G. Množica vseh levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H tvori particijo množice G. Nadalje je g 1 H = g 2 H natanko tedaj, ko je g1 1 g 2 H. V tem primeru sta g 1 in g 2 predstavnika istega odseka. Dva leva (desna) odseka sta bodisi enaka bodisi disjunktna. Definicija. Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Definiramo C H (K) = {h H hkh 1 = k, k K}. Množico C H (K) imenujemo centralizator podgrupe K v podgrupi H. Kadar je H = G, je C G (K) = {g G gkg 1 = k, k K}. Ker lahko pogoj gkg 1 = k prevedemo na gk = kg, je C G (K) množica tistih elementov iz G, ki komutirajo z vsakim elementom iz K. Kadar je tudi K = G, množico C G (G) imenujemo center grupe G in jo posebej označimo kot Z(G). Torej, Z(G) = {g G gx = xg, x G} je množica vseh elementov iz G, ki komutirajo z vsemi elementi v G. Center grupe, Z(G), je podgrupa grupe G, v kar se bo bralec zlahka prepričal. Še več, kadar je G komutativna, je Z(G) = G.

2.2. PODGRUPE 7 Definicija. Naj bo H podgrupa grupe G. Množico N G (H) definiramo kot N G (H) = {g G ghg 1 = H}, kjer je ghg 1 = {ghg 1 h H} in jo imenujemo normalizator podgrupe H v grupi G. Bralec se bo prepričal, da je tudi normalizator podgrupe, N G (H), podgrupa grupe G. Definicija. Naj bo H podgrupa grupe G. Kadar za vsak g G velja ghg 1 = H, to je, ko velja N G (H) = G, podgrupo H imenujemo edinka grupe G in pišemo H G. Trditev 2.8 Naj bo N podgrupa grupe G. Naslednje trditve so ekvivalentne. 1. N G 2. gn = Ng za vsak g G 3. G/N je grupa za operacijo g 1 Ng 2 N = g 1 g 2 N, kjer g 1, g 2 G Oglejmo si sedaj, kaj lahko povemo o množici, ki sestoji iz vseh produktov po dveh elementov dveh podgrup poljubne končne grupe. Definicija. Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Označimo HK = {hk h H, k K}. Trditev 2.9 Naj bosta H in K končni podgrupi grupe G. Potem velja HK = H K H K. Dokaz: HK je unija levih odsekov grupe G po podgrupi K, namreč HK = h H hk. Ker vsak odsek po K vsebuje K elementov, lahko ugotovimo, kolikšno je število različnih levih odsekov oblike hk, h H. Torej: h 1 K = h 2 K h 1 2 h 1 H K h 1 (H K) = h 2 (H K). Posledično je število različnih odsekov oblike hk enako številu različnih odsekov h(h K) za h H. Po Lagrangeevem izreku je to število H enako Zato HK sestavlja in trditev sledi. H H K H K. različnih odsekov grupe G po podgrupi K (reda K ) Trditev 2.10 Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Velja HK G natanko tedaj, ko HK = KH.

8 POGLAVJE 2. GRUPE Dokaz: Denimo najprej, da velja HK = KH in naj bosta a, b HK. Pokažimo, da velja ab 1 HK in s tem posledično, HK G (po trditvi 2.3). Naj bo a = h 1 k 1 in b = h 2 k 2, za neke h 1, h 2 H, k 1, k 2 K. Torej je b 1 = k2 1 h 1 2 in zato ab 1 = h 1 k 1 k2 1 h 1 2. Označimo k 3 = k 1 k 1 2 K in h 3 = h 1 2 H. Torej ab 1 = h 1 k 3 h 3. Po predpostavki velja HK = KH in tako je k 3 h 3 = h 4 k 4 za neka h 4 H, k 4 K. Torej ab 1 = h 1 h 4 k 4 in ker je h 1 h 4 H, k 4 K, vidimo, da res velja ab 1 HK, kot smo želeli. Pokažimo sedaj še obrat. Predpostavimo, da je HK G. Ker velja tudi K HK in H HK, zaradi zaprtosti podgrupe za operacijo velja KH HK. Naj bo hk HK. Ker je HK po predpostavki podgrupa grupe G, lahko pišemo hk = a 1 za nek a HK. Če je a = h 1k 1, potem hk = (h 1 k 1 ) 1 = k 1 h 1 KH, od koder sledi HK KH in zato res HK = KH. Trditev 2.11 Naj bosta H in K podgrupi grupe G in H N G (K). Potem je HK podgrupa grupe G. Če je torej K G, je HK G za vsak H G. Dokaz: Pokažimo, da velja HK = KH. Naj bo h H in k K. Ker je H N G (K), velja hkh 1 K, zato hk = (hkh 1 )h KH, torej HK KH. Podobno je kh = h(h 1 kh) HK, zato KH HK. Sledi HK = KH. Če je K G, potem velja N G(K) = G in trditev sledi. Trditev 2.12 Naj bosta H in K podgrupi grupe G in H K = {e}. Potem lahko vsak element množice HK na enoličen način zapišemo kot produkt hk, kjer je h H in k K. Dokaz: Naj bosta h 1, h 2 H in k 1, k 2 K. Če velja h 1 k 1 = h 2 k 2, je h 1 2 h 1 = k 2 k1 1 H K. Po predpostavki je torej h 2 = h 1 in k 2 = k 1. 2.3 Direktni produkt grup Sedaj, ko smo definirali osnovne pojme in lastnosti grup, se brž vprašamo, ali lahko iz že znanih grup konstruiramo nove. Odgovor je seveda da. V tem razdelku tako predstavimo osnovno konstrukcijo grup, to je direktni produkt grup, ki je prvi bistveni korak k razumevanju poldirektnega produkta. Trditev 2.13 Naj bosta (G, ) in (H, ) grupi. Množica urejenih parov kartezičnega produkta G H = {(g, h) g G, h H} je za operacijo (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ) grupa. Definicija. Naj bosta G in H grupi. Grupo, kot smo jo opisali v zgornji trditvi, imenujemo direktni produkt grupe G in grupe H in ga označimo z G H.

2.3. DIREKTNI PRODUKT 9 Trditev 2.14 Naj bodo G 1, G 2,... G n končne grupe. Potem je direktni produkt G 1 G 2 G n grupa reda G 1 G 2 G n. Trditev 2.15 Naj bosta H in K podgrupi grupe G tako, da velja 1. H G in K G, 2. H K = e. Tedaj je grupa HK izomorfna grupi H K. Opomba. Pojem izomorfizma bomo definirali v naslednjem poglavju. Nekoliko poenostavljeno povedano gre, do poimenovanja natančno, za eno in isto grupo. Definicija. Naj bosta H in K edinki grupe G s trivialnim presekom. Tedaj grupo HK imenujemo notranji direktni produkt grup H in K, grupi H K pa pravimo zunanji direktni produkt grup H in K. Opomba. Kadar govorimo o zunanjem direktnem produktu, mislimo grupo, ki jo konstruiramo iz dveh danih (znanih) grup, medtem ko z notranjim direktnim produktom ugotovimo, da je naša grupa izomorfna grupi, ki jo lahko konstruiramo kot direktni produkt. Razlika med zunanjim in notranjim direktnim produktom je sicer le v notaciji. Elementi notranjega direktnega produkta so tako oblike hk, medtem ko elemente zunanjega direktnega produkta pišemo kot urejene pare (h,k), kjer je h H, k K. Zgled. Oglejmo si direktni produkt grup D 4 in Z 3, torej D 4 Z 3. Grupa D 4 Z 3 vsebuje 24 elementov oblike (z i r j, k), kjer je i {0, 1}, j Z 4 in k Z 3. Na prvi komponenti urejenega para imamo tako vse elemente grupe D 4, na drugi komponenti pa vse elemente grupe Z 3. Nevtralni element grupe je (e, 0). Operaciji iz grup D 4 in Z 3 se v grupo D 4 Z 3 preneseta po komponentah. Tako je na primer (zr, 2)(zr 2, 0) = (zrzr 2, 2 + 0) = (r, 2).

Poglavje 3 Preslikave grup Pri proučevanju grup se takoj, ko jih bolje spoznamo, vprašamo, kdaj reči, da sta dve na videz različni grupi pravzaprav enaki. V tem poglavju bomo spoznali različne preslikave grup ter definirali, kdaj sta za nas dve grupi enaki. Zanimale nas bodo tudi tovrstne preslikave grup samih nase, saj le-te, kot se bo izkazalo, zase tvorijo novo grupo, ki bo v nadaljevanju za nas igrala pomembno vlogo. 3.1 Homomorfizmi grup Definicija. Naj bosta (G, ) in (H, ) grupi. Preslikavo ψ : G H, za katero velja ψ(x y) = ψ(x) ψ(y) za vse x, y G, imenujemo homomorfizem grup. V skladu z našim dogovorom, da pri splošnih grupah znak za operacijo spuščamo, se enakost iz zgornje definicije prevede v ψ(xy) = ψ(x)ψ(y). Definicija. Naj bo ψ : G H homomorfizem grup. Jedro homomorfizma ψ (oznaka Ker(ψ)) je množica Ker(ψ) = {g G ψ(g) = e H }. Slika homomorfizma ψ (oznaka Im(ψ)) je množica Im(ψ) = {h H h = ψ(g) za nek g G}. Trditev 3.1 Naj bosta G in H grupi in ψ : G H homomorfizem grup. Tedaj velja naslednje: 1. ψ(e G ) = e H, 2. ψ(g 1 ) = ψ(g) 1 za vsak g G, 3. ψ(g n ) = ψ(g) n za vsak n Z, 4. Ker(ψ) G in Im(ψ) H. 10

3.2. IZOMORFIZMI IN AVTOMORFIZMI 11 Trditev 3.2 Naj bosta G in H grupi. Potem je preslikava ψ : G H, za katero velja ψ(g) = e H za vsak g G, homomorfizem grup. Opomba. Homomorfizem, kot smo ga opisali v zgornji trditvi, imenujemo trivialni homomorfizem grup. Trditev 3.3 Naj bo ψ : G H homomorfizem grup. Če je x G končnega reda, potem je tudi ψ(x) končnega reda in red elementa ψ(x) H deli red elementa x. Dokaz: Naj bo x = r. Potem je x r = e, od koder po trditvi 3.1 sledi ψ(x) r = ψ(x r ) = ψ(e) = e. Torej je tudi ψ(x) končnega reda in po posledici 2.5 deli red elementa x. 3.2 Izomorfizmi in avtomorfizmi grup Kot smo že omenili, se brž, ko grupe bolje spoznamo, vprašamo, kdaj reči, da sta dve na videz različni grupi pravzaprav enaki. To določa pojem izomorfizma grup. Definicija. Naj bosta G in H grupi. Preslikava ψ : G H je izomorfizem grup, kadar velja: 1. ψ je homomorfizem grup, to je, ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) za vsak x, y G in 2. ψ je bijekcija. Opomba. Kadar obstaja izomorfizem grup ψ : G H, pravimo, da sta grupi G in H izomorfni, kar označimo z G = H. Grupe največkat proučujemo do izomorfizma natančno. Izrek 3.4 (Izrek o izomorfizmu). Naj bo ψ : G H homomorfizem grup. Potem je G/Ker(ψ) = Im(ψ). Oglejmo si sedaj posebno vrsto izomorfizmov grup, namreč takšnih, ko izomorfizem preslika grupo samo nase. Definicija. Naj bo G grupa. Izomorfizem ψ : G G, ki preslika grupo G samo vase, imenujemo avtomorfizem grupe G. Trditev 3.5 Množica vseh avtomorfizmov grupe G, Aut(G), je za operacijo kompozituma preslikav grupa. Definicija. Grupo, opisano v zgornji trditvi, imenujemo grupa avtomorfizmov grupe G. Dokaz: Ker je vsak avtomorfizem grupe G bijekcija na G, gre za permutacije na G, torej je Aut(G) podmnožica simetrične grupe S G. Zato je dovolj preveriti, da je Aut(G) S G. Naj bosta ψ, φ : G G avtomorfizma grupe G.

12 POGLAVJE 3. PRESLIKAVE GRUP Jasno je, da je kompozitum bijekcij bijekcija, zato je tudi ψ φ bijekcija. Ker za vsak g, h G velja (ψ φ)(gh) = ψ(φ(gh)) = ψ(φ(g)φ(h)) = ψ(φ(g))ψ(φ(h)) = (ψ φ)(g)(ψ φ)(h), je ψ φ homomorfizem grupe G. Torej je tudi ψ φ avtomorfizem grupe G. Ker je ψ avtomorfizem, je tudi bijekcija in zato obstaja inverzna preslikava ψ 1, ki je ravno tako bijekcija. Prepričati se moramo le še, da je ψ 1 homomorfizem, in s tem avtomorfizem grupe G. Naj bosta x, y G, za katera velja, da je x = ψ 1 (g) in y = ψ 1 (h) za poljubna elementa g, h G. Od tod sledi, da je ψ(x) = g in ψ(y) = h. Torej ψ 1 (gh) = ψ 1 (ψ(x)ψ(y)) = ψ 1 (ψ(xy)) = xy = ψ 1 (g)ψ 1 (h), od koder sledi, da je ψ 1 Aut(G). Za konec tega razdelka si oglejmo za nas še posebej zanimiv primer grupe avtomorfizmov. Trditev 3.6 Grupa avtomorfizmov ciklične grupe Z n je izomorfna multiplikativni grupi Z n reda ϕ(n), kjer je ϕ Eulerjeva funkcija. Dokaz: Naj bo ψ Aut(Z n ). Tedaj je ψ(1) = a za nek a Z n. Ker je ψ homomorfizem, velja ψ(i) = ψ(1) + ψ(1) + + ψ(1) = ia. }{{} i Torej je avtomorfizem ψ z vrednostjo ψ(1) natanko določen. Ker je ψ avtomorfizem, po trditvi 3.1 ohranja rede elementov, torej je 1 = ψ(1) = n. Tako je ψ(1) = Z n, od koder po trditvi 2.2 sledi D(ψ(1), n) = 1 in zato ψ(1) Z n. Pokažimo, da je τ : Aut(Z n ) Z n, kjer je τ(ψ) = ψ(1), izomorfizem grup. τ je homomorfizem grup, saj za ψ, φ Aut(Z n ), kjer ψ(1) = a in φ(1) = b, velja Preslikava τ je injektivna, kajti τ(ψ φ) = (ψ φ)(1) = ψ(φ(1)) = ψ(b) = ψ(1) + ψ(1) +... ψ(1) }{{} b = ab = ψ(1)φ(1) = τ(ψ)τ(φ). τ(ψ) = τ(φ) ψ(1) = φ(1) ψ(i) = iψ(1) = iφ(1) = φ(i) ψ = φ.

3.2. IZOMORFIZMI IN AVTOMORFIZMI 13 Pokažimo sedaj še, da je τ tudi surjektivna preslikava. Naj bo a Z n. Definirajmo ψ : Z n Z n tako, da velja i ai in pokažimo, da je ψ avtomorfizem. ψ(i + j) = a(i + j) = ai + aj = ψ(i) + psi(j), torej je ψ homomorfizem grup. Da je ψ injektiven, sledi iz dejstva D(a, n) = 1. Torej je ψ tudi surjektiven in zato ψ Aut(Z n ). Ker je τ(ψ) = a, je τ surjektivna preslikava in trditev sledi.

Poglavje 4 Delovanje grup Grupe lahko manipulirajo z različnimi množicami. Manipulaciji, ki poteka pod določenimi pogoji, pravimo delovanje. V drugem poglavju smo že omenili, da diedrsko grupo D n tvorijo simetrije pravilnega n-kotnika. Z drugimi besedami povedano, grupa D n deluje na pravilni n-kotnik tako, da vsak element grupe premika njegova vozlišča in s tem implicira simetrije. V tem razdelku bomo delovanje grup spoznali v spošnem. Nadalje si bomo ogledali tudi, na kakšen način lahko grupa naravno deluje sama na sebi, obravnavali pa bomo tudi pomemben zgled delovanja ene grupe na drugi, ki bo igralo ključno vlogo v naslednjem poglavju. 4.1 Delovanje Definicija: Delovanje grupe G na množici A je preslikava : G A A (kjer namesto (g, a) pišemo g a), ki zadošča naslednjima pogojema: 1. e a = a za vsak a A, 2. g 1 (g 2 a) = (g 1 g 2 ) a za vsak g 1, g 2 G in vsak a A. Opomba. Bralca velja opomniti, da je delovanje, kot smo ga opisali zgoraj, v bistvu levo delovanje grupe na množici. Grupa lahko na neki množici deluje tudi z desne strani, kar imenujemo desno delovanje grupe in ga definiramo podobno kot levo delovanje. Mi se bomo v nadaljevanju opredelili na levo delovanje. Trditev 4.1 Naj grupa G deluje na množici A. Potem za vsak g G velja: 1. preslikava σ g : A A, kjer je σ g (a) = g a, je bijekcija in 2. preslikava ψ : G S A, definirana kot ψ(g) = σ g, je homomorfizem grup. 14

4.2. DELOVANJE GRUPE NA GRUPAH 15 Dokaz: Da se prepričamo, da je σ g bijekcija množice A, je dovolj, če pokažemo, da ima preslikava obojestranski inverz σ g 1. Za vsak a A velja (σ g 1 σ g )(a) = σ g 1(σ g (a)) = g 1 (g a) = (g 1 g) a = e a = a. Vidimo, da je (σ g 1 σ g ) trivialna preslikava A A. Ker je g poljuben, lahko vlogi g in g 1 zamenjamo in se tako zlahka prepričamo, da je tudi (σ g σ g 1) trivialna preslikava na A. Sledi, da ima σ g obojestranski inverz, zato je bijekcija na A. Oglejmo si sedaj še preslikavo ψ : G S A, kjer je ψ(g) = σ g. Po prvi točki je σ g S A. Pokažimo, da je ψ homomorfizem grup, to je, da velja ψ(g 1 g 2 ) = ψ(g 1 ) ψ(g 2 ). Pri tem se spomnimo, da je operacija v grupi S A komponiranje preslikav. Torej za vsak a A velja (ψ(g 1 g 2 ))(a) = σ g1 g 2 (a) = (g 1 g 2 ) a = g 1 (g 2 a) = σ g1 (σ g2 (a)) = (σ g1 σ g2 )(a) = (ψ(g 1 ) ψ(g 2 ))(a). Torej je ψ res homomorfizem grup. Trditev 4.2 Preslikava G A A, definirana kot g a = a za vsak g G, a A, je delovanje grupe G na množici A. Da je tako definirana preslikava res delovanje, se bo prepričal bralec sam. Definicija. Naj grupa G deluje na neprazni množici A tako, da g a = a za vsak g G, a A. Takšno delovanje imenujemo trivialno delovanje, oziroma pravimo, da G na A deluje trivialno. 4.2 Delovanje grupe na grupah Grupa lahko podobno kot na poljubno množico, naravno deluje tudi sama nase. Eno izmed takšnih delovanj je konjugiranje v grupi, ki si ga bomo sedaj pobliže ogledali. Trditev 4.3 Naj bo G grupa. Konjugiranje v G je delovanje grupe G same nase. To je, če za vsak g, a G definiramo g a = gag 1, smo s tem definirali delovanje grupe G na množici G.

16 POGLAVJE 4. DELOVANJE GRUP Dokaz: Prepričajmo se, da predpis g a = gag 1 res določa delovanje grupe G na množici G. Velja e a = eae 1 = a in g 1 (g 2 a) = g 1 (g 2 ag 1 2 ) = g 1 (g 2 ag 1 2 )g 1 1 = (g 1 g 2 )a(g 1 g 2 ) 1 = (g 1 g 2 ) a za vsak g 1, g 2, a G in trditev sledi. Izrek 4.4 Naj bo N edinka in H podgrupa grupe G. Tedaj H naravno deluje na N s konjugiranjem, kjer za vsak h H in n N definiramo h n = hnh 1. Za vsak h H je konjugiranje s h avtomorfizem edinke N in tako nam to delovanje porodi homomorfizem iz podgrupe H v grupo Aut(N) z jedrom C H (N). Nadalje je kvocientna grupa G/C H (N) izomorfna podgrupi grupe Aut(N). Dokaz: Ker je N edinka v grupi G, je h n N za vsak h H, n N. Da zgornji predpis definira delovanje podgrupe H na edinki N, se sedaj dokaže povsem podobno, kot v dokazu trditve 4.3. Po trditvi 4.1 je preslikava σ h : N N, kjer je σ h (n) = h n, bijekcija. Vsak σ h je homomorfizem N N, saj za vsak n 1, n 2 N velja σ h (n 1 n 2 ) = h(n 1 n 2 )h 1 = hn 1 (h 1 h)n 2 h 1 = (hn 1 h 1 )(hn 2 h 1 ) = σ h (n 1 )σ h (n 2 ). Torej je σ h avtomorfizem edinke N. Po trditvi 4.1 je ψ : H S N, definiran kot ψ(h) = σ h, homomorfizem grup. Po prejšnji opazki je slika preslikave ψ vsebovana v podgrupi Aut(N) grupe S N. Končno, Ker(ψ) = {h H σ h = id} = {h H hnh 1 = n n N} = C H (N). Po izreku o izomorfizmu potem neposredno sledi, da je kvocientna grupa G/C H (N) izomorfna podgrupi grupe Aut(N). Zgled. Naj bo N = r D 9 = r, z r 9 = z 2 = e, zrz 1 = r 1 in H = r 3, z D 9. Oglejmo si delovanje podgrupe H na edinko N s konjugiranjem, to je h n = hnh 1 za vsak h H, n N. To delovanje nam po trditvi 4.4 določa homomorfizem iz H v grupo Aut(N), označimo ga s ψ. Ker je N = C 9, je Aut(N) = Z 9 = Z 6. Jedro homomorfizma ψ : H Aut(N) je C H (N) = {h H hnh 1 = n n N} = {e, r 3, r 6 }. Potem je H/C H (N) = {C H (N), zc H (N)} = Z 2. Res, vsak h C H (N) na N deluje trivialno in zato ψ(n) = n za vsak n N. Vsak h zc H (N) = {z, zr 3, zr 6 }

4.2. DELOVANJE GRUPE NA GRUPAH 17 pa deluje na N tako, da hnh 1 = n 1 in zato ψ(n) = n 1 za vsak n N. Naslednja trditev je za nas najpomembnejši rezultat tega poglavja, saj je bistvenega pomena za razumevanje poldirektnega produkta grup, ki ga bomo spoznali v naslednjem poglavju. Trditev 4.5 Naj bosta H in N grupi in naj bo ψ : H Aut(N) homomorfizem grup. Tedaj lahko definiramo delovanje H na N s predpisom h n = (ψ(h))(n) za vsak h H, n N. Dokaz: Ker je ψ homomorfizem grup, je h n = (ψ(h))(n) N. Nadalje je po trditvi 3.1 e n = (ψ(e))(n) = n za vsak n N. Ker velja še, da je h 1 (h 2 n) = h 1 ((ψ(h 2 ))(n)) = (ψ(h 1 ))((ψ(h 2 ))(n)) = ((ψ(h 1 )ψ(h 2 ))(n) = ((ψ(h 1 h 2 ))(n) = (h 1 h 2 ) n za vsak h 1, h 2 H in vsak n N, je to res delovanje. Definicija. V primeru iz trditve 4.5 bomo rekli, da gre za naravno levo delovanje grupe H na grupi N. Zgled. Oglejmo si sedaj naravno levo delovanje grupe Z 4 na grupi Z 3. Naj bo ψ : Z 4 Aut(Z 3 ) homomorfizem grup. Tedaj lahko definiramo delovanje grupe Z 4 na grupi Z 3 s predpisom j i = (ψ(j))(i) za vsak j Z 4, i Z 3. Po trditvi 3.6 vemo, da je Aut(Z 3 ) = Z 3 = Z 2. Edini netrivialni homomorfizem ψ je tedaj podan s predpisom (ψ(j))(i) = ( 1) j i, pripadajoče naravno delovanje Z 4 na Z 3 pa je j i = ( 1) j i.

Poglavje 5 Poldirektni produkt grup Spoznali smo že najosnovnejšo konstrukcijo grup, ki iz danih grup konstruira nove, namreč direktni produkt, vendar nam ta še zdaleč ne omogoča širšega vpogleda v celotno zbirko grup. Poldirektni produkt grup je posplošitev direktnega produkta in nam omogoča konstrukcijo grup, ki jih zgolj s konstrukcijo direktnega produkta ne dobimo. V tem poglavju bomo tako najprej predstavili zunanji poldirektni produkt grup, katerega izhodišče sta dve dani grupi, iz katerih konstruiramo novo grupo, nato pa bomo besedo namenili še notranjemu poldirektnemu produktu, ki nam v bistvu pove, kdaj je dana grupa poldirektni produkt dveh grup. V splošnem sta notranji in zunanji produkt ekvivalentna, velja namreč podobno kot smo omenili že pri direktnem produktu, in ju lahko skupaj poimenujemo poldirektni produkt grup. Na koncu tega poglavja bomo pokazali tudi, kakšna je razlika med direktnim in poldirektnim produktom grup. 5.1 Zunanji poldirektni produkt grup Oglejmo si najprej, kako iz dveh danih grup konstruiramo njun poldirektni produkt. Izrek 5.1 Naj bosta N in H grupi in ψ homomorfizem grup, ki slika iz grupe H v grupo Aut(N) avtomorfizmov grupe N. Naj označuje naravno levo delovanje grupe H na grupi N, določeno s ψ. Naj bo G množica urejenih parov (n, h), kjer je n N in h H, to je G = N H. Definirajmo operacijo množenja v G takole: (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = (n 1 (h 1 n 2 ), h 1 h 2 ). Potem velja: 1. G je za definirano operacijo množenja grupa reda G = N H. 2. Množici Ñ = {(n, e) n N} in H = {(e, h) h H} sta podgrupi grupe G. Preslikavi n (n, e) za n N in h (e, h) za h H sta izomorfizma teh podgrup z grupama N in H, to je N = Ñ in H = H. 18

5.1. ZUNANJI POLDIREKTNI PRODUKT 19 3. Ñ G in Ñ H = {(e, e)}. 4. Za vsak ñ = (n, e) Ñ in h = (e, h) H velja hñ h 1 = (h n, e) = ((ψ(h))(n), e). Dokaz: Najprej pokažimo, da je G za dano operacijo množenja, pri čemer upoštevamo, da označuje levo delovanje grupe H na grupi N, določeno s ψ, res grupa. Grupa G je zaprta za dano operacijo, saj za poljubna (n 1, h 1 ) in (n 2, h 2 ) velja (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = (n 1 (h 1 n 2 ), h 1 h 2 ) = (n 1 ((ψ(h 1 ))(n 2 )), h 1 h 2 ) N H, ker je ((ψ(h 1 ))(n 2 )) N in h 1 h 2 H. Operacija je asociativna: Za poljubne (n 1, h 1 ), (n 2, h 2 ), (n 3, h 3 ) G velja sledeče: ((n 1, h 1 )(n 2, h 2 ))(n 3, h 3 ) = (n 1 (h 1 n 2 ), h 1 h 2 )(n 3, h 3 ) = (n 1 (h 1 n 2 )((h 1 h 2 ) n 3 ), h 1 h 2 h 3 ) = (n 1 (h 1 n 2 )(h 1 (h 2 n 3 )), h 1 h 2 h 3 ) = (n 1 ((ψ(h 1 ))(n 2 )((ψ(h 1 ))(h 2 n 3 ))), h 1 h 2 h 3 ) = (n 1 ((ψ(h 1 ))(n 2 (h 2 n 3 ))), h 1 h 2 h 3 ) = (n 1 (h 1 (n 2 (h 2 n 3 ))), h 1 h 2 h 3 ) (n 1, h 1 )((n 2, h 2 )(n 3, h 3 )) = (n 1, h 1 )(n 2 (h 2 n 3 ), h 2 h 3 ) = (n 1 (h 1 (n 2 (h 2 n 3 ))), h 1 h 2 h 3 ) Sledi: ((n 1, h 1 )(n 2, h 2 ))(n 3, h 3 ) = (n 1, h 1 )((n 2, h 2 )(n 3, h 3 )). Obstoj nevtralnega elementa v G: Za vsak (n, h) G velja: (n, h)(e, e) = (n(h e), he) = (n(ψ(h))(e), h) = (ne, h) = (n, h) (e, e)(n, h) = (e(e n), eh) = (en, h) = (n, h) Sledi, da je (e, e) G nevtralni element v G. Obstoj inverznih elementov v G: Za vsak element (n, h) G obstaja njegov obrat (n, h) 1 G, kjer je (n, h) 1 = (h 1 n 1, h 1 ), saj (n, h)(h 1 n 1, h 1 ) = (n(h (h 1 n 1 )), hh 1 ) = (n((hh 1 ) n 1 )), e) = (n(e n 1 )), e) = (nn 1, e) = (e, e)

20 POGLAVJE 5. POLDIREKTNI PRODUKT GRUP in (h 1 n 1, h 1 )(n, h) = ((h 1 n 1 )(h 1 n), h 1 h) = ((ψ(h 1 ))(n 1 n), e) = ((ψ(h 1 ))(e), e) = (e, e) Torej je (n, h) 1 = (h 1 n 1, h 1 ) G res obrat za (n, h) G. Pokazali smo, da je G za definirano operacijo res grupa. Da velja G = N G sledi neposredno iz G = N H. S tem je prva točka dokazana. Za vsaka (n 1, e), (n 2, e) Ñ in (e, h 1), (e, h 2 ) H velja (n 1, e)(n 2, e) = (n 1 (e n 2 ), ee) = (n 1 n 2, e) Ñ (e, h 1 )(e, h 2 ) = (e(h 1 e), h 1 h 2 ) = (e, h 1 h 2 ) H. Tako vidimo, da je očitno, da sta Ñ in H podgrupi grupe G in da sta preslikavi n (n, e) za n N in h (e, h) za h H izomorfizma grup. Trivialnost preseka Ñ H sledi neposredno iz definicije (Ñ = {(n, e) n N} in H = {(e, h) h H}). Oglejmo si sedaj, čemu je enak produkt (e, h)(n, e)(e, h) 1, kjer (n, e) Ñ in (e, h), (e, h) 1 = (e, h 1 ) H. (e, h)(n, e)(e, h) 1 = (h n, h)(e, h 1 ) = ((h n)(h e), hh 1 ) = (h n, e) = ((ψ(h))(n), e) Ñ. Pokazali smo, da je H N G (Ñ). Hkrati vemo, da velja G = Ñ H in Ñ (Ñ). Torej je NG(Ñ) = G in zato je Ñ G. N G Definicija. Naj bosta N in H grupi in naj bo ψ homomorfizem iz grupe H v grupo Aut(N). Grupo G, kot smo jo opisali v izreku 5.1, imenujemo (zunanji) poldirektni produkt grup N in H, določen s ψ. Označimo ga z N ψ H (kadar ni nevarnosti, da bi prišlo do zmede, ga označimo kar z N H). Zgled. Oglejmo si poldirektni produkt grup Z 3 ψ Z 4, kjer je edini ψ netrivialni homomorfizem iz zgleda v razdelku 4.2. Dobimo torej grupo reda 12, ki ni komutativna, saj na primer (1, 1)(1, 2) = (1 + ( 1), 3) = (0, 3) (2, 3) = (1, 2)(1, 1). Po izreku 5.1 iz [8] sledi, da je Z 3 ψ Z 4 izomorfna grupi T.

5.2. NOTRANJI POLDIREKTNI PRODUKT 21 5.2 Notranji poldirektni produkt grup V prejšnjem razdelku smo videli, kako iz danih grup konstruiramo njun poldirektni produkt, sedaj pa nas zanima še, kako ugotovimo, ali je dana grupa izomorfna kakšnemu poldirektnemu produktu. Izrek 5.2 Naj bo G grupa in naj bosta N ter H njeni podgrupi tako, da velja: 1. N G in 2. N H = 1. Naj bo ψ : H Aut(N) homomorfizem grup, ki je definiran tako, da preslika element h H v avtomorfizem grupe N, podan z levim konjugiranjem h na N, to je (ψ(h))(n) = hnh 1. Potem je NH podgrupa grupe G in velja NH = N ϕ H. Če je torej G = NH, je G (notranji) poldirektni produkt N in H. Dokaz: Po izreku 5.1 lahko formiramo poldirektni produkt N ψ H. Po trditvi 2.11 je NH G. Pokažimo, da sta grupi NH in N ψ H izomorfni. Ker je N H = 1, lahko, po trditvi 2.12, vsak element grupe NH zapišemo na en sam način v obliki nh, kjer je n N in h H. Torej obstaja naravna bijekcija, označimo jo s τ, med NH in zbirko urejenih parov (n, h) N ψ H, podana z nh (n, h) tako, da lahko N vidimo kot množico elementov oblike (n, e) in H kot množico elementov oblike (e, h). Prepričajmo se, da je bijekcija τ : NH N ψ H homomorfizem grup (torej izomorfizem grup). Naj bosta n 1 h 1, n 2 h 2 NH. Tedaj njun produkt v G zapišemo kot (n 1 h 1 )(n 2 h 2 ) = n 1 h 1 n 2 (h 1 1 h 1 )h 2 = n 1 (h 1 n 2 h 1 1 )h 1 h 2 = n 3 h 3, kjer je n 3 = n 1 (h 1 n 2 h 1 1 ) in h 3 = h 1 h 2. Ker je N G, velja h 1 n 2 h 1 1 N, zato n 3 N in h 3 H. Upoštevamo, da ψ določa levo delovanje H na N, to je, h n = hnh 1, od koder sledi (n 1 h 1 )(n 2 h 2 ) = (n 1 (h 1 n 2 ))(h 1 h 2 ). S tem smo pokazali, da je omenjena bijekcija τ homomorfizem, saj τ((n 1 h 1 )(n 2 h 2 )) = τ((n 1 (h 1 n 2 ))(h 1 h 2 )) = (n 1 (h 1 n 2 ), h 1 h 2 ) = (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = τ(n 1 h 1 )τ(n 2 h 2 ). Sledi NH = N ψ H.

22 POGLAVJE 5. POLDIREKTNI PRODUKT GRUP Zgled. Oglejmo si sedaj grupo A 4. Bralec bo preveril, da je N = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} = Z 2 Z 2 edinka v A 4. Ker je H = (123) = Z 3, je po Lagrangevem izreku N H = {id} in po trditvi 2.9 je A 4 = NH. Po izreku 5.2 sledi, da je A 4 = (Z2 Z 2 ) Z 3. 5.3 Direktni in poldirektni produkt grup V tem razdelku bomo razrešili vprašanje o tem, kdaj je poldirektni produkt dveh grup kar njun direktni produkt. Trditev 5.3 Na bosta N in H grupi in ψ : H Aut(N) homomorfizem grup. Potem so naslednje trditve ekvivalentne. 1. Identična preslikava med N ψ H in N H je izomorfizem grup. 2. ψ je trivialni homomorfizem. 3. H N ψ H, kjer je H = {(e, h) h H}. Dokaz: 1. 2. Po definiciji je operacija v grupi N ψ H enaka (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = (n 1 (h 1 n 2 ), h 1 h 2 ) za vsak n 1, n 2 N in vsak h 1, h 2 H. Po predpostavki 1. velja (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = (n 1 n 2, h 1 h 2 ), zato (n 1 (h 1 n 2 ), h 1 h 2 ) = (n 1 n 2, h 1 h 2 ), od koder sledi, da velja h 1 n 2 = n 2 za vsak n 2 N in vsak h 1 H. Torej H deluje na N trivialno, od koder neposredno sledi 2. 2. 3. Če je ψ trivialni homomorfizem, potem je delovanje H na N trivialno in tako po definiciji množenja v N ψ H elementi podgrup Ñ = {(n, e) n N} in H med seboj komutirajo. Tako Ñ očitno normalizira H, od koder H N ψ H. 3. 1. Po predpostavki je H N ψ H. Element ñ hñ 1 je po definiciji enak (n(ψ(h))(n 1 ), h), po drugi strani pa je to v H (ker je slednja edinka). Tako mora biti ñ hñ 1 enako (e, h) = h, to je, h in ñ komutirata. Zato je operacija v poldirektnem produktu enaka operaciji v direktnem produktu grup N in H. Od tod sledi 1., s čimer je trditev dokazana. Definicija. Poldirektni produkt grup, pri katerem velja ena in zato vse tri točka zgornje trditve 5.3, imenujemo trivialni poldirektni produkt, za vse ostale pa rečemo, da so netrivialni poldirektni produkti. Posledica 5.4 Netrivialni poldirektni produkt dveh grup je nekomutativna grupa.

5.3. DIREKTNI IN POLDIREKTNI PRODUKT 23 Dokaz: Naj bosta N, H grupi in N ψ H njun poldirektni produkt, kjer je ψ : H Aut(N) nek netrivialni homomorfizem grup. Če je N ψ H komutativna grupa, potem so vse njene podgrupe edinke, torej je tudi H edinka. Po trditvi 5.3 sledi, da je ψ trivialni homomorfizem grup, kar je v protislovju s predpostavko. Zgled. Edini poldirektni produkt grup (Z 2 Z 2 ) Z 5 je direktni produkt (Z 2 Z 2 ) Z 5. Bralec bo preveril, da je namreč Aut(Z 2 Z 2 ) = S 3, po izreku o izomorfizmu pa ne obstaja noben netrivialni homomorfizem, ki slika iz Z 5 v S 3.

Poglavje 6 Poldirektni produkt cikličnih grup V tem poglavju, katerega glavni cilj je prikazati konkretno uporabo poldirektnega produkta, se bomo v celoti posvetili poldirektnemu produktu dveh cikličnih grup. Pokazali bomo, kako že s pomočjo poldirektnega produkta cikličnih grup najdemo nove grupe, ki ne pripadajo kakšni osnovni standardni družini grup ali direktnemu produktu in jih hkrati ne moremo dobiti kot direktni produkt takšnih grup. Spoznali bomo, kdaj je poldirektni produkt grup izomorfen diedrski grupi, predstavili pa bomo tudi, kako lahko poldirektni produkt nastopa kot grupa simetrij objekta. Za začetek si oglejmo, kakšni so potrebni pogoji, da lahko iz dveh cikličnih grup kot poldirektni produkt konstruiramo neko nekomutativno grupo. Trditev 6.1 Naj bosta n, m N. Tedaj obstaja netrivialni poldirektni produkt Z n Z m natanko tedaj, ko je D(m, ϕ(n)) > 1. Dokaz: Po trditvi 5.3 obstaja netrivialni poldirektni produkt Z n Z m natanko tedaj, ko obstaja netrivialni homomorfizem grup ψ : Z m Aut(Z n ). Naj bo x generator grupe Z m. Predpostavimo najprej, da je ψ : Z m Aut(Z n ) netrivialni homomorfizem. Potem velja ψ(x) 1 Aut(Zn) in posledično ψ(x) > 1. Ker je ψ homomorfizem grup, po trditvi 3.3, ψ(x) deli x. Hkrati po Lagrangeevem izreku velja, da ψ(x) deli Aut(Z n ). Zaradi x = Z m, je x = m. Po trditvi 3.6 je Aut(Z n ) = ϕ(n), kjer je ϕ Eulerjeva funkcija. Torej ψ(x) > 1 deli m in ϕ(n), od koder sledi D(m, ϕ(n)) > 1. Obratno sedaj predpostavimo, da velja D(m, ϕ(n)) > 1. Potem obstaja praštevilo p, ki deli D(m, ϕ(n)) > 1. Posledično p deli m (torej p deli Z m ) in p deli ϕ(n) (torej p deli Aut(Z n ) ). Po Cauchyjevem izreku tedaj v Aut(Z n ) obstaja element α, ki je reda p. Torej obstaja netrivialni homomorfizem grup ψ : Z m Aut(Z n ) tako, da ψ : 1 α. Po izreku o izomorfizmu sledi, da je Z m /Ker(ψ) = Z p. Ker(ψ) je tedaj seveda ciklična podgrupa reda m/p, ki je edinka grupe Z m. 24

Trditev 6.2 Naj bo n 3 in ψ : Z 2 Aut(Z n ) tisti homomorfizem grup, za katerega je (ψ(1))(i) = i za vsak i Z n. Potem je poldirektni produkt Z n ψ Z 2 izomorfen grupi D n. Dokaz: Naj bo r D n edinka indeksa 2 in z D n podgrupa reda 2. Potem je r = Z n in z = Z 2. Po izreku 5.2 sledi, da je D n = Zn ψ Z 2. Ker je zrz = r 1, konjugiranje z elementi iz z na r očitno porodi homomorfizem iz trditve. V naslednjem zgledu bomo pokazali konkretno konstrukcijo poldirektnega produkta dveh cikličnih grup in nato primerjali na novo dobljene grupe z že znanimi nekomutativnimi grupami ter ugotovili, kako že poldirektni produkt dveh cikličnih grup razširi zbirko grup, ki smo jo do sedaj poznali. Zgled. Oglejmo si vse možne poldirektne produkte grup Z 8 in Z 10 oblike Z 8 ψ Z 10. Naj bo ψ : Z 10 Aut(Z 8 ) homomorfizem grup. Najprej ugotovimo, kakšen je lahko ψ, zato nas v prvi vrsti zanima, kam lahko preslikamo elemente grupe Z 10, to je, kaj je ψ(1). Po trditvi 3.6 je Aut(Z 8 ) = Z 8 = {1, 3, 5, 7}, torej ta grupa vsebuje en element reda 1 in tri elemente reda 2. Ker redi vseh elementov iz Aut(Z 8 ) delijo red generatorja grupe Z 10, lahko 1 Z 10 preslikamo v katerega koli izmed njih. Od tod ni težko videti, kako Z 10 deluje na Z 8. V skladu z zapisanim obstajajo štirje homomorfizmi ψ, in sicer ψ 1 : 1 1 ψ 1 (j) = 1 j i = i ψ 2 : 1 3 ψ 2 (j) = 3 j j i = 3 j i ψ 3 : 1 5 ψ 3 (j) = 5 j = ( 3) j j i = 5 j i = ( 3) j i ψ 4 : 1 7 ψ 4 (j) = 7 j = ( 1) j j i = 7 j i = ( 1) j i za vsak j Z 10 in vsak i Z 8. Poglejmo sedaj, kakšna je struktura poldirektnih produktov, ki jih porodijo posamezni homomorfizmi. Naj bosta (i, j), (k, l) Z 8 ψ Z 10, kjer je i, k Z 8 in j, l Z 10. Operacija v Z 8 ψ Z 10, je tedaj (i, j)(k, l) = (i + (j k), j + l) in (j k) = ψ(j)k. 25 Že zgoraj smo ugotovili, da je ψ 1 trivialni homomorfizem, zato po trditvi 5.3 velja Z 8 ψ1 Z 10 = Z8 Z 10. Ostali homomorfizmi so netrivialni, zato za vsakega pogledamo, koliko elementov posameznega reda grupa Z 8 ψ Z 10 vsebuje in nato preverimo, ali je morda izomorfna kakšni že znani grupi. Ker bomo pri vsaki grupi proučevali rede elementov, si je najprej smiselno ogledati, kakšna je, v skladu z delovanjem ψ, potenca posameznega elementa (i, j) Z 8 ψ Z 10. (i, j) 2 = (i, j)(i, j) = (i + ψ(j)i, 2j)

26 POGLAVJE 6. POLDIREKTNI PRODUKT CIKLIČNIH GRUP (i, j) 3 = (i + ψ(j)i, 2j)(i, j) = (i + ψ(j)i + ψ(j) 2 i, 3j)... m 1 (i, j) m = (i( ψ(j) s ), mj) s=0 Poglejmo sedaj strukture preostalih grup oblike Z 8 ψ Z 10. Ker je Z 8 ψ Z 10 = 80, so možni redi elementov 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 in 80. Z 8 ψ2 Z 10 Elementi reda 2: (i, j) 2 = (i(1 + 3 j ), 2j) = (0, 0) i(1 + 3 j ) 0(mod 8) 2j 0(mod 10) j {0, 5} j = 0 2i 0(mod 8) i {0, 4} j = 5 4i 0(mod 8) i {0, 2, 4, 6} Torej dobimo 5 elementov reda 2, ki jih določajo pari (i, j) {(4, 0), (0, 5), (2, 5), (4, 5)(6, 5)}. (i, j) = (0, 0) je seveda reda 1. Elementi reda 4: (i, j) 4 = (0, 0) i(1 + 3 j + 3 2j + 3 3j ) 0(mod 8) 4j 0(mod 10) j {0, 5} j = 0 i4 0(mod 8) i {0, 2, 4, 6} j = 5 i(1 + 3 5 + 3 10 + 3 15 ) 0(mod 8) i Z 8 Bralca spomnimo, da si lahko pri računanju potenc pomaga z Eulerjevim izrekom, ki pravi, da je za tuji si števili n N in a Z, a ϕ(n) 1 (mod n), kjer je ϕ Eulerjeva funkcija. Tem pogojem ustreza 12 elementov, ki pa niso vsi reda 4. Namreč, element (0,0) je, kot že vemo, reda 1. Podobno smo že ugotovili, da so elementi (4,0),(0,5),(2,5),(4,5),(6,5) reda 2. Torej dobimo 6 elementov reda 4, to so (2, 0), (6, 0), (1, 5), (3, 5), (5, 5), (7, 5). Elementi reda 5: (i, j) 5 = (0, 0) i(1 + 3 j + 3 2j + 3 3j + 3 4j ) 0(mod 8) 5j 0(mod 10) j {0, 2, 4, 6, 8} j = 0 i5 0(mod 8) i = 0 j = 2 i(1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 ) i5 0(mod 8) i = 0 j = 4 i(1 + 3 2 + 3 8 + 3 12 + 3 16 ) i5 0(mod 8) i = 0 j = 6 i(1 + 3 2 + 3 12 + 3 18 + 3 24 ) i5 0(mod 8) i = 0 j = 8 i(1 + 3 2 + 3 16 + 3 24 + 3 32 ) i5 0(mod 8) i = 0

Po podobnem premisleku kot prej dobimo 4 elemente reda 5 in sicer (0, 2), (0, 4), (0, 6) in (0, 8). Na enak način izračunamo rede preostalih elementov v grupi Z 8 ψ2 Z 10. Računanje redov elementov v grupah Z 8 ψ3 Z 10 in Z 8 ψ4 Z 10 se od pokazanega bistveno ne razlikuje. Upoštevati je potrebno le, kakšno delovanje porodita homorfizma ψ 3 in ψ 4. Tako je potenca posameznega elementa v Z 8 ψ3 Z 10 enaka v grupi Z 8 ψ4 Z 10 pa m 1 (i, j) m = (i( 5 sj ), mj), s=0 m 1 (i, j) m = (i( 7 sj ), mj). s=0 Število elementov po posameznih redih za vsako grupo predstavimo v spodnji tabeli. Grupa \ Red elta. 1 2 4 5 8 10 16 20 40 Z 8 Z 10 1 3 4 4 8 12 16 32 Z 8 ψ2 Z 10 1 5 6 4 4 20 24 16 Z 8 ψ3 Z 10 1 3 4 4 8 12 16 32 Z 8 ψ4 Z 10 1 9 2 4 4 36 8 16 Tabela 6.1: Zaporedja redov grup Z 8 ψ Z 10. 27 Primerjajmo sedaj zaporedja redov netrivialnih poldirektnih produktov Z 8 ψ Z 10 z zaporedji redov, nam doslej že znanih nekomutativnih grup reda 80, ki so podana v naslednji tabeli.

28 POGLAVJE 6. POLDIREKTNI PRODUKT CIKLIČNIH GRUP Grupa \ Red elta. 1 2 4 5 8 10 16 20 40 80 D 40 1 41 2 4 4 4 8 16 D 20 Z 2 1 43 4 4 12 16 D 10 Z 4 1 23 24 4 12 16 D 10 Z 2 Z 2 1 47 4 28 D 8 Z 5 1 9 2 4 4 36 8 16 D 5 Z 8 1 11 12 4 24 4 8 16 D 5 D 4 1 35 12 4 20 8 D 5 Q 8 1 11 36 4 4 24 Q 8 Z 10 1 3 12 4 12 48 D 4 Z 10 1 11 4 4 44 16 Tabela 6.2: Zaporedja redov nekomutativnih grup reda 80. Bralca opomnimo, da je v tabeli predstavljena grupa Q 8 znana kvaternionska grupa reda 8. Sedaj opazimo, da imata isto zaporedje redov le grupi Z 8 ψ4 Z 10 in D 8 Z 5. Premislimo, ali sta grupi izomorfni. Pri Z 8 ψ4 Z 10 se Z 10 preslika v element reda 2 v grupi Z 8. Element reda 5 grupe Z 10 komutira z elementi grupe Z 8 in jih tako rekoč ne spreminja, element reda 2 v Z 10 pa na Z 8 deluje tako, da vsak element preslika v njegov inverz, od koder lahko nekoliko ohlapno rečemo, da je po trditvi 6.2 Z 8 ψ4 Z 2 ravno grupa D 8. Od tod sledi Z 8 ψ4 Z 10 = D8 Z 5. Tako smo torej s pomočjo poldirektnega produkta našli tri nove, nekomutativne grupe reda 80, ki jih do sedaj nismo poznali. Seveda s tem še zdaleč nismo našli vseh. S pomočjo programskega okolja Magma [2] lahko preverimo, da je sicer vseh nekomutativnih grup reda 80, do izomorfizma natančno, 47. V naslednjem zgledu bomo konstruirali še nekaj poldirektnih produktov dveh cikličnih grup, ki bodo ilustrirali dejstvo, da lahko različni poldirektni produkti predstavljajo isto grupo. Zgled. Oglejmo si poldirektne produkte grup Z 15 in Z 4 oblike Z 15 ψ Z 4. Naj bo ψ : Z 4 Aut(Z 15 ) homomorfizem grup. Podobno kot pri prejšnjem zgledu moramo najprej ugotoviti, kakšen je lahko ψ, zato nas za začetek zanima, kam lahko preslikamo elemente grupe Z 4, torej, kaj je ψ(1). Po trditvi 3.6 je Aut(Z 15 ) = Z 15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} = Z 4 Z 2, torej vsebuje en element reda 1, tri elemente reda 2 in štiri elemente reda 4. Ker redi vseh elementov iz Aut(Z 15 ) delijo red generatorja grupe Z 4, lahko 1 preslikamo v katerega koli izmed njih. Poglejmo sedaj, kako Z 4 deluje na Z 15. V skladu z zapisanim obstaja osem homomorfizmov ψ, in sicer ψ 1 : 1 1 ψ 1 (j) = 1 j i = i ψ 2 : 1 2 ψ 2 (j) = 2 j j i = 2 j i ψ 3 : 1 4 ψ 3 (j) = 4 j j i = 4 j i

29 ψ 4 : 1 7 ψ 4 (j) = 7 j j i = 7 j i ψ 5 : 1 8 ψ 5 (j) = 8 j = ( 7) j j i = ( 7) j i ψ 6 : 1 11 ψ 6 (j) = 11 j = ( 4) j j i = ( 4) j i ψ 7 : 1 13 ψ 7 (j) = 13 j = ( 2) j j i = ( 2) j i ψ 8 : 1 14 ψ 8 (j) = 14 j = ( 1) j j i = ( 1) j i za vsak j Z 4 in vsak i Z 15. Strukturo poldirektnih produktov, ki jih implicirajo posamezni homomorfizmi, bomo določili na podoben način, kot v prejšnjem zgledu. Tudi tukaj je za (i, j), (k, l) Z 15 ψ Z 4, kjer je i, k Z 15 in j, l Z 4, operacija v Z 15 ψ Z 4 podana s predpisom (i, j)(k, l) = (i + (j k), j + l) in (j k) = ψ(j)k. Od tod po analognem premisleku kot v prejšnjem zgledu predstavimo strukturo posameznih poldirektnih produktov s pomočjo zaporedja redov v naslednji tabeli. Grupa \ Red elta. 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Z 15 Z 4 1 1 2 2 4 2 4 4 8 8 8 16 Z 15 ψ2 Z 4 1 5 2 30 4 10 8 Z 15 ψ3 Z 4 1 1 2 10 4 2 4 20 8 8 Z 15 ψ4 Z 4 1 5 2 10 4 10 20 8 Z 15 ψ5 Z 4 1 5 2 30 4 10 8 Z 15 ψ6 Z 4 1 1 2 6 4 2 4 8 24 8 Z 15 ψ7 Z 4 1 5 2 10 4 10 20 8 Z 15 ψ8 Z 4 1 1 2 30 4 2 4 8 8 Tabela 6.3: Zaporedja redov grup Z 15 ψ Z 4. Izkaže se, da je Z 15 ψ2 Z 4 = Z15 ψ5 Z 4 in Z 15 ψ4 Z 4 = Z15 ψ7 Z 4. Našli smo torej kar dve grupi, ki ju lahko vidimo kot vsaj dva različna poldirektna produkta grup. Tako obstaja le šest paroma neizomorfnih poldirektnih produktov grup Z 15 Z 4. Za konec tega razdelka si oglejmo še en zgled, ki bo ilustriral, kako se poldirektni produkt pojavlja tudi v drugih teorijah, kot bo v našem primeru teorija grafov. Ker bo teorija grafov tukaj služila zgolj kot orodje, s pomočjo katerega bomo pojem poldirektnega produkta prikazali še iz drugega zornega kota, bomo obširnejšo razlago tega področja izpustili. Bralca vabimo, da si več o teoriji grafov prebere v [6].

30 POGLAVJE 6. POLDIREKTNI PRODUKT CIKLIČNIH GRUP Zgled. Za začetek si oglejmo poldirektne produkte Z 15 ψ Z 2. Naj bo ψ : Z 2 Aut(Z 15 ) homomorfizem grup. Iz prejšnjega zgleda vemo, da v Aut(Z 15 ) obstaja en element reda 1 in trije elementi reda 2, v katere lahko preslikamo generator grupe Z 2. Tako obstajajo natanko štirje homomorfizmi ψ, in sicer: ψ 1 : 1 1 ψ 1 (j) = 1 j i = i ψ 2 : 1 4 ψ 3 (j) = 4 j j i = 4 j i ψ 3 : 1 4 ψ 6 (j) = ( 4) j j i = ( 4) j i ψ 4 : 1 1 ψ 8 (j) = ( 1) j j i = ( 1) j i za vsak j Z 2 in vsak i Z 15. Po trditvi 5.3 je Z 15 ψ1 Z 2 = Z15 Z 2 = Z30, po trditvi 6.2 pa vemo, da je Z 15 ψ4 Z 2 = D15. Povsem podobno kot v prejšnjih zgledih predstavimo strukturo posameznih poldirektnih produktov s pomočjo zaporedja redov v naslednji tabeli. Grupa \ Red elta. 1 2 3 5 6 10 15 Z 15 Z 2 1 1 2 4 2 4 16 Z 15 ψ2 Z 2 1 5 2 4 10 8 Z 15 ψ3 Z 2 1 3 2 4 12 8 Z 15 ψ4 Z 2 1 15 2 4 8 Tabela 6.4: Zaporedja redov grup Z 15 ψ Z 2. Izkaže se, da sta Z 15 ψ2 Z 2 in Z 15 ψ3 Z 2 poldirektna produkta, ki se razlikujeta od vseh ostalih. Tako smo dobili štiri različne grupe reda 30. Bralec se lahko z rezultati teorije grup, natančneje s pomočjo Cauchyjevega izreka in izrekov Sylowa (ki jih najde v [3]), prepriča, da do izomorfizma natančno obstajajo štiri grupe reda 30. Torej smo v tem primeru s pomočjo poldirektnega produkta grup uspeli določiti kar vse grupe tega reda. Pokažimo sedaj, da je moč vse tri izmed zgornjih nekomutativnih poldirektnih produktov reda 30 najti kot grupe simetrij nekega grafa. Najprej pa namenimo nekaj besed teoriji grafov. Graf G je urejeni par (V (G), E(G)), določen z neprazno množico vozlišč V (G) in množico povezav E(G), ki je podmnožica množice neurejenih parov vozlišč. V nadaljevanju nas bodo zanimale simetrije (avtomorfizmi) grafa, torej permutacije množice vozlišč, ki ohranjajo sosednost. Ugotovili bomo, da lahko le-te opišemo s poldirektnimi produkti grup. Množica vseh avtomorfizmov grafa je grupa za komponiranje preslikav. Označimo jo z Aut(G). Pokazali bomo, da je grupa avtomorfizmov posplošenega Petersenovega grafa GP(15,4) izomorfna poldirektnemu produktu grup in da v njej najdemo podgrupe, izomorfne vsem trem nekomutativnim poldirektnim produktom Z 15 ψ Z 2.

31 Naslednje je povzeto po [5]. Posplošeni Petersenov graf GP(15,4), ki je prikazan na sliki 6.1, ima množico vozlišč V = {u 0, u 1,..., u 14, v 0, v 1,..., v 14 } in množico povezav E = {{u i, u i+1 }, {u i, v i }, {v i, v i+4 } i Z, u i, v i V }. Slika 6.1: Posplošeni Petersenov graf GP(15,4) Grupo avtomorfizmov grafa GP (15, 4) generirajo avtomorfizmi σ, τ in ρ, za katere velja: σ(u i ) = u i+1 σ(v i ) = v i+1 τ(u i ) = u i τ(v i ) = v i ρ(u i ) = v 4i ρ(v i ) = u 4i. Oglejmo si rede opisanih avtomorfizmov in njihovo obnašanje v grupi A = Aut(GP (15, 4)). Preprosto je preveriti, da je σ = 15, τ = 2, τρ = ρτ, τστ = σ 1, ρσρ = σ 4 in posledično še τρστρ = σ 4. Tako sledi, da je σ, τ = D 15, saj σ 15 = τ 2 = id in τστ = σ 1 ter τ, ρ = Z 2 Z 2, saj τ 2 = ρ 2 = id in τρ = ρτ. Od tod ni težko videti, da je: σ, τ = Z15 ψ4 Z 2 σ, ρ = Z15 ψ2 Z 2 σ, τρ = Z15 ψ3 Z 2. Poleg tega velja opaziti tudi, da je A = 60, σ, τ = 30 in zato [G : σ, τ ]=2,