Evolucija dinamike Zemljine precesije

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko oddelek za fiziko Evolucija dinamike Zemljine precesije Avtor: Ivo Krajnik Ljubljana, 15. marec 2011 Povzetek Bistvo tega seminarja je v sklopu klasične mehanike z uporabo numerične HITS kode podati časovno odvisnost dinamike gibanja planeta Zemlja kot točkasto telo v Osončju, in kot togo telo glede na lastni sistem. V ta namen so bile leta 2005 izdelane tri študije. Prva obravnava gravitacijske efekte vseh planetov Osončja na nagnjenost Zemljine osi. V drugi študiji, izdelani v istem času, so vključili tudi vpliv gravitacije Lune. Tretja študija, pa ločeno obravnava dinamiko Zemlje, ki se pojavi, ko Luno "postavimo "na različne oddaljenosti od središča Zemlje. V geološki zgodnji preteklosti, ko je bila Luna veliko bližje Zemlji, je bila dinamika tega sistema dveh teles bistveno drugačna. V nadaljni razpravi skušam pobliže orisati tako dinamiko sistema. Na koncu seminar sklenem s komentiranjem rezultatov. 1

Kazalo 1 Kratek uvod 2 1.1 Nagnjenost Zemljine osi in letni časi.............................. 2 1.2 Nastanek Lune v času mlade Zemlje.............................. 2 1.3 Nagnjenosti osi planetov Osončja................................ 3 2 Osrednji del 3 2.1 Študij dinamike sistema Zemlja - Luna............................. 3 2.2 Rotacijski problem več teles................................... 4 2.2.1 Kinematika rotacijskega problema več teles...................... 4 2.2.2 Dinamika rotacijskega problema več teles....................... 4 2.2.3 Gravitacijski momenti.................................. 5 2.3 Rešitve rotacijskega problema N teles............................. 5 2.4 Izračun nagnjenosti in kotov precesije............................. 8 2.5 Rezultati in diskusija....................................... 8 2.5.1 Rezultati simulacij s posameznimi planeti....................... 9 2.5.2 Simulacije z vsemi planeti Osončja kot celota..................... 10 1 Kratek uvod Odkar smo se na Zemlji pojavila razumna bitja, obstaja tudi zanimanje za naš izvor ter izvor naravnih pojavov kot so strela, oblaki, grmenje, zvezde, Luna, Sonce, vesolje, ter v končni fazi Zemlja. Posebno pozornost bom v seminarju namenil sistemu Zemlja - Luna. Gre za sistem dveh med seboj gravitacijsko povezanih teles. Zanima nas kako se je tak sistem sploh formiral, ter zanima nas prihodnost dinamike gibanja takšnega sistema. Dejstvo seveda je, da vemo kakšna je ta dinamika danes, in na podlagi le te lahko sklepamo na njeno preteklost oziroma prihodnost, ter je to naša odskočna deska za obravnavo spreminjanja nagnjenosti osi rotacije Zemlje skozi geološke dobe. 1.1 Nagnjenost Zemljine osi in letni časi Zemlja je od središča Osončja v povprečju oddaljena 150 10 6 km. V prisončju je ta razdalja 88 10 6 km, v odsončju pa 160 10 6 km. Po oddaljenosti od Sonca je treji planet, in tako spada med notranje planete Osončja. Zemljina os rotacije je trenutno nagnjena glede na pravokotnico na ravnino ekliptike za kot 23.5. Posledica nagnjenosti osi rotacije so letni časi, še več, spreminjanje samih letnih časov. Kadar je na severni polobli poletje, je na južni zima, in obratno. Ta proces se odvija že milione let, a ni kostantno enoličen. Sprememba nagnjenosti osi rotacije za par stopinj ima za posledice ogromne spremembe v vremenu. Po obliki je Zemlja rotacijski elipsoid, os rotacije je krajša od osi, ki povezujeta ekvator. Posledica take oblike, je delovanje momenta na Zemljo. ki sestoji iz prispevkov gravitacijskih sil Lune, Sonca in planetov. 1.2 Nastanek Lune v času mlade Zemlje Preden so astronavti stopili na Lunino površje, sta veljali dve najverjetnejši teoriji o njenem nastanku. Prva je t. i. zajetje kjer naj bi Zemljina gravitacija Luno, ki naj bi od nekje pač prišla, vtirila v današnjo orbito. 1 Druga teorija pa je bila, da je Luna preprosto nastala hkrati z Zemljo. Po sprehodu astronavtov po Luni je nastala tretja teorija, ki velja še danes. Gre za t. i. teorijo collision - ejection, po kateri naj bi mlada Zemlja doživela trk z vesoljskim telesom velikosti Marsa pod ravno pravšnjim kotom. Del telesa in Zemlje naj bi nato v obliki delcev različnih velikostnih redov izvrglo v orbito okoli Zemlje, iz katerih naj bi se s pomočjo gravitacije izoblikoval naš naravni satelit. Ta teorija se zdi najverjetnejša, saj sta po geološki sestavi Zemlja in Luna zelo podobni. 1 Ta teorija je bila ovržena na podlagi večih neskladij, danes vemo, da se Luna ves čas od Zemlje oddaljuje, kar je močan argument proti tej teoriji. 2

1.3 Nagnjenosti osi planetov Osončja Vsak planet Osončja ima os rotacije nagnjeno za določen kot. Različne vrednosti posameznih kotov shematsko prikazuje slika 1. Velikost nagnjenosti je, kot bomo videli v nadaljevanju, odvisna od večih spremenljivk. Zelo pomembni sta velikost in število naravnih satelitov posameznega planeta. Število naravnih satelitov planetov je zelo ratlično, in ponavadi ne presega par procentov velikosti planeta, okoli katerega kroži. Zemlja je s tega vidika "privilegirana," in ima v Osončju edinstveno situacijo, saj Luna skoraj presega četrtino velikosti Zemlje. Izmed vseh planetov Osončja, je sistemu Zemlja - Luna, po velikosti, najbolj podoben sistem Pluton in njegov naravni satelit, vendar pa gre v tem primeru za ledena planetoida, in ju kot taka uvrščamo med drugačne planete. Raziskave leta 1993 so pokazale, da delovanje momenta gravitacijske sile ostalih planetov Osončja na Zemljo, ki je rotacijski elipsoid, povzroča spremembe nagnjenosti osi rotacije s periodo 10 6 let, kjer je "amplituda" med 21.5 in 24.5 [1]. V primeru, da bi Luna nenadoma "izginila" bi se perioda prepolovila, amplituda pa bi znašala med ±15 ali do ±20 [1]. Življenje kot ga poznamo danes, na takšni Zemlji gotovo ne bi bilo več mogoče. Slika 1: Trenutne nagnjenosti osi rotacij devetih planetov Osončja [1]. Luna s svojo trenutno lego v orbiti okoli Zemlje ohranja relativno stabilno orientacijo Zemljine osi. V nadaljevanju bom pokazal rezultate (časovni potek nagnjenosti osi Zemlje), pod vplivom Lunine in gravitacije planetov. Predstavljeni so rezultati različnih simulacij (vpliv posameznega planeta na dinamiko rotacije Zemlje z Vplivom Lune in brez, ter vpliv celotnega Osončja ob upoštevanju Lune in brez nje). V posameznih simulacijah niso vključeni medsebojni gravitacijski vplivi planetov. 2 Osrednji del 2.1 Študij dinamike sistema Zemlja - Luna Začetni pogoji sistema Zemlja - Luna nam niso dobro poznani, vemo, kakšna pa je ta dinamika danes in lahko dokaj zanesljivo napovemo kakšna bo v prihodnosti. Ker gre za sistem gravitacijsko vezanih N teles, in N > 2, moramo postopati numerično. Krajevni vektorji in vektorji hitrosti v heliocentričnem sistemu (X, Y, Z). Planeti mas m i in m j krožijo okoli izhodišča inercialnega sistema. Količine m i, r i in v i so masa, krajevni vektor ter hitrost i-tega planeta v heliocentričnem sistemu. Lahko napovemo krajevni vektor in hitrost i-tega planeta v sistemu ob času t + dt, če poznamo pospešek i-tega telesa ob času t. Pospešek planeta ob času t podaja [1]: r i = a i = N ( Gmj ji r 3 ij ) r j (1) Slika 2: Prikaz heliocentričnega sistema. Planeti krožijo v različnih orbitah [1]. kjer i in j predstavljata različna planeta v sistemu, r ij pa vektor razdalje med njima. Enačba 1 za več kot dve telesi analitično ni rešljiva, in poslužiti se moramo numeričnih metod. V ta namen bom apliciral metodo HITS. a a Hermite Integrator with ind. Timestep Scheme. 3

2.2 Rotacijski problem več teles 2.2.1 Kinematika rotacijskega problema več teles Pri rotacijskem problemu N vezanih teles želimo enolično popisati lego togega 2 planeta i, katerega orientacijo definira sistem (x, y, z) katerega izhodišče je pripeto v centru mase planeta, glede na heliocentrični sistem (X, Y, Z). Momenti gravitacije ostalih planetov povzročajo spremembo naklona Zemlje. Transformacijo inercialnega sistema v rotirajoči sistem (x, y, z) opravimo z Euler - jevimi koti. Rotacije okli osi x, y, z za poljubno velik kot označimo s φ, θ, ψ. Torej: 1. Rotacija okoli osi z za kot φ, 2. Rotacija okoli osi y za kot θ, 3. Rotacija okoli osi x za kot ψ. Slika 3: Prikaz Euler - jevih kotov [3]. Rotacijske matrike posameznih zasukov so ortogonalne. Splošna orientacija vrtečega sistema glede na heliocentrični je torej matrika, ki je produkt treh matrik za posamezne osi, za pojubne kote posameznih zasukov R = R 1(ψ)R 2(θ)R 1(φ). Glej enačbo 2 [1]. R = cos θ cos φ sin θ sin ψ cos φ + cos ψ sin φ sin θ sin φ sin θ cos ψ cos φ cos θ sin φ cos ψ cos φ sin θ sin φ sin ψ sin θ cos ψ sin φ + sin ψ cos φ sin θ cos θ sin ψ cos θ cos ψ Za nadaljnje delo rabimo še odvisnosti projekcij kotne hitrosti v vrtečem sistemu. prepišimo odvode Euler - jevih kotov [4]: (2) Brez izpeljav θ = ω x sin φ + ω y cos φ (3) φ = (ω y sin θ sin φ ω x sin θ cos φ) sec θ + ω z (4) ψ = (ω x cos φ ω y sin φ) sec θ (5) 2.2.2 Dinamika rotacijskega problema več teles V primeru N gravitacijsko vezanih planetov za katere predpostavimo, da se obnašajo kot toga telesa, zapišemo enačbe gibanja za togo telo. Ker je Zemlja rotacijski elipsoid, ki kroži na orbiti, ki je na meji, ki ločuje notranje planete od zunanjih "velikanov," je izpostavljena delovanju gravitacijskega momoenta, ki je vsota gravitacijskih momentov vsakega planeta posebej. Ker Zemljo ravno tako obravnavamo kot togo telo, so enačbe gibanja v splošni obliki - Euler - jeve enačbe [1]: N x = I x ω x (I y I z )ω y ω z (6) N y = I y ω y (I z I x )ω z ω x (7) N z = I z ω z (I x I y )ω x ω y (8) 2 Planete zaradi poenostavitev in lažje obravnave smatramo kot, da so toga telesa, razdalja med posamezni deli togega telesa, npr med delom l in m se po definiciji ne spreminja, torej r lm = C lm. 4

2.2.3 Gravitacijski momenti Enačbe 6, 7 in 8 so zapisane v splošni obliki za togo telo na katero deluje od 0 različen navor. Posamezne momente N x, N y in N z moramo sedaj povezati z gravitacijo, in jih bomo v nadaljevanju rabili za izračun razvoja kota nagnjenosti Zemlje. V naši obravnavi imamo opravka z devetimi planeti Osončja. Za začetek, zaradi preglednosti, zapišimo gravitacijski moment kot posledica gravitacijskega polja enega planeta. Moment na maso m i (slika 2) povzroča sferno simetrično gravitacijsko polje planeta mase m j (slika 2). Spomnimo, da ima gravitacija 1/r 2 odvisnost, in po kratki izpeljavi lahko zapišemo gravitacijski moment planeta j okoli glavnih osi planeta i kot [1]: N x = 3Gm j (I z I y ) yz r 5 (9) N y = 3Gm j (I x I z ) xz r 5 (10) N z = 3Gm j (I y I x ) yx r 5 (11) Spremenljivke x, y in z v enačbah 9, 10 in 11, podajao koordinate planeta j (telo, ki "izvaja"gravitacijski navor na telo i - Zemljo), v vrtečem sistemu. Ker rabimo vse spremenljivke glede na inercialni sistem (izhodišče v središču Osončja), z uporabo transformacije - enačba 2, lahko zapišemo: x y z = R X j X i Y j Y i Z j Z i = r (12) Ker Zemlja ni popolna krogla, in jo obravnavamo kot rotacijski elipsoid, katerega vztrajnostne momente vzdolž glavnih osi povezuje enačba I x = I y I z, se Eulerjeve enačbe prepišejo v specifičnejšo obliko: ter 2.3 Rešitve rotacijskega problema N teles I x ω x (I x I z )ω y ω z = 3Gm j (I x I z ) yz r 5 (13) I x ω y (I x I z )ω z ω x = 3Gm j (I x I z ) xz r 5 (14) I z ω z = 0 (15) Na tej točki bomo aplicirali algoritem HITS, ki dokaj natančno omogoča popis gibanja sistema več teles. Sam algoritem so začeli uporabljati znanstveniki z univerze v Miami - ju pri simulacijah dinamike planetov v Osončju. Sprva v dveh dimenzijah in kasneje obravnave razširili na tri dimenzije. Pri dinamiki Zemljine precesije je potrebno, za opis sistema, ki sestoji iz tirnega gibanja planetov (točkasto telo), in gibanja planetov okoli rotacijskih osi glede na center mase (togo telo), algoritem HITS najprej uporabiti za opis tirnega gibanja 3 in nato še rotacijskega. Za začetek si zaradi lažje predstave najprej bežno poglejmo "delovanje"omenjene metode za gibanje točkastega telesa. Vsako telo i, (katerega gibanje lahko opišemo kot gibanje točkastega telesa okarakteriziramo z naslednjimi petimi količinami: [1] 1. Absolutni čas t i 2. Časovni korak t i, 3. Krajevni vektor r i, 4. Vektor hitrosti v i, 5. Vektor pospeška a i ter, 6. Odvod vektorja pospeška a i. 3 V tem seminarju se obravnavi tirnega gibanja več teles z metodo HITS izognem, predstavim le način obravnave in se osredotočim uporabi algoritma HITS za toga telesa. V sklepnem delu seminarja, kjer predstavim rezultate izračunov, je seveda upoštevano tudi tirno gibanje. 5

Na tej točki si poglejmo kako postopamo z uporabo algoritma HITS pri opisu tirnega gibanja več teles. Za naš primer bi bilo tako gibanje, gibanje planetov v različnih orbitah okoli skupnega središča. Algoritem HITS najprej izračuna predvidene vrednosti vektorja kraja x p,i in hitrosti planeta i, v p,i ob času t, z razvojem v Taylor - jevo vrsto do tretjega reda: [1] ter x p,i = v i (t t i ) + a i (t t i ) 2 2 + a i (t t i ) 3 6 v p,i = a (t t i ) 2 i + a i (t t i ) + v i (17) 2 Enačbi 16 in 17 sta predvidena položaj in hitrost planeta ob času t. Nato rabimo še pospešek in odvod pospeška, ki je posledica delovanja gravitacije vseh ostalih planetov: [2] a i = i j a i = ( vij Gm j r 3 j i ij ( Gmj r ) ij r 3 ij 3 r ij( v ij r ij ) ) rij 5 kjer je r ij = x p,j x p,i razdalja med telesoma i in j, ter v ij njuna relativna hitrost. Predvidene vektorje kraja in hitrosti korigiramo z uporabo Hermitove interpolacije: [1] a i (t) = a 0,i + t a 0,i + t2 2 a 0,i + t3 6 a(3) 0,i (20) kjer sem uporabil t = t t 1. Indeks 0 predstavlja količino ob času t, indeks 1 pa ob t + dt. Sledita enačbi za drugi in tretji odvod pospeška: [4] (16) (18) (19) a 0,i = 6( a 0,i a 1,i ) t i (4 a 0,i + 2 a 1,i ) t 3 i (21) a (3) o,i = 12( a 0,i a 1,i ) t i (4 a 0,i + 2 a 1,i ) t 3 i Z uporabo enačb 21 in 22 vektor kraja x i in hitrosti v i telesa i korigiramo na čas ob t + t i : [1] (22) x i (t i + t i ) = x p,i + t4 i a 0,i 24 + t5 i a 0,i 120 (23) v i (t i + t i ) = v p,i + t3 i a 0,i 6 + t4 i 24 na tem mestu povejmo še, da za drugi odvod pospeška, ob času t in t + dt velja: [1] (24) a 1,i = a 0,i + t i a0,i (25) Postopek izračuna z uporabo algoritma HITS pri problemu dinamike togega telesa je podoben. Pri obravnavi rotacijskega problema, vektor kraja in hitrosti zamenjajo Euler - jevi koti in njihovi odvodi - kotne hitrosti. V tem primeru je naloga algoritma HITS podobna - izračun orientacije telesa glede na izhodišče v centru mase. Mesto pospeška v tem primeru prevzamejo drugi odvodi Euler - jevih kotov. Funkcijo šunka "pospeška pa tretji odvodi Euler - jevih kotov po času. Enačbe 3, 4 in 5 že podajajo prve odvode. Tu so še drugi: [4] θ = φ ψ cos θ + ω y cos φ + ω x sin φ (26) φ = ( θ ψ cos θ + ψ sin θ) (27) 6

Tu so še treji odvodi po času: ψ = ( θ( ψ sin θ θ) + ω x cos φ ω y sin φ) sec θ (28) θ (3) = cos φ( ω y + φ ω x ) + sin φ( ω x φ ω y ) + φ( ψ cos θ ψ θ sin θ) + θ ψ cos θ (29) φ (3) = ψ( θ 2 sin θ θ cos θ) (ψ sin θ + 2 ψ θ cos θ) (30) ψ (3) = θ( ψ sin θ φ) + cos φ( ω x φ ω y ) sin φ( φ ω x + ω y ) + θ( ψ2 sin θ φ) + θ 2 ψ cos θ (31) kjer Γ = Iz Ix I x. Kot smo videli v enačbah za odvode Euler - jevih kotov, rabimo ustrezne kotne hitrosti in njih prve ter druge časovne odvode. Moramo jih izračunati. Iz enačb 13 in 14 izrazim kotni hitrosti kot vsoto prispevkov po vseh j planetih: [1] ω x = 3GΓ ω y = 3GΓ N i=1,i j N i=1,i j Rabim še drugi odvod, in ponovno upoštevam, da je Γ = Iz Ix I x [2] ω x = 3GΓ ω y = 3GΓ N i=1,i j N i=1,i j m j yz r 5 Γω y ω x (32) m j xz r 5 Γω x ω z (33) d ( yz ) m j dt r 5 Γ ω y ω z (34) d ( xz ) m j dt r 5 + Γ ω x ω z (35) Če se nekoliko ustavimo pri enačbah 34 in 35, in poglejmo podrobneje količini: [1] d dt d dt ( yzr 5) = r 5 (v y z + v z y 5r 2 (xv x + yy y + zv z )) ( xzr 5) = r 5 (v x z + v z x 5r 2 (xv x + yv y + zv z )) v x v y v z = R Ṙ = v X,j v X,i v Y,j v Y,i v Z,j v Z,i za primer: a 11 = ( θ sin θ cos φ + φ cos θ sin φ). Ṙ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 X j X i Y j Y i Z j Z i (36) (37) Sedaj imamo izračunane vse potrebne količine za izračun Euler - jevih kotov za poljuben čas t. Povzemimo numerični postopek poteka izračuna Eulerjevih kotov z algoritmom HITS za togo telo: [1] 1. Algoritem sledi razporeditvi in hitrosti planetom glede na heliocentrični sistem ob času t, 2. sledi tudi Eulerjevim kotom in njihovim prvim odvodom, 3. Z informacijama iz 1. in 2. program izračuna izračuna položaj in hitrosti planetov, ki na Zemljo delujejo z navorom N, v vrtečem se sistemu, 4. izračuna prva in druga odvoda komponent kotne hitrosti v vrtečem sistemu, 5. izračuna druge in tretje odvode Euler - jevih kotov, 6. z uporabo Euler -jevih kotov in tretjih odvodov program predvidi in korigira Euler - jeve kote v času t + dt 7

2.4 Izračun nagnjenosti in kotov precesije Kot nagnjenosti Zemljine rotacijske osi γ (gledano s heliocentričnega sistema), in kot precesije δ za vse čase določimo z uporabo Euler - jevih kotov, ki smo jih obravnavali v prejšnjem razdelku. Kot nagnjenosti Zemljine osi, je po definiciji kot, ki ga Zemljina rotacijska os oklepa z normalo na ravnino XY (ravnina v heliocentričnem sistemu). Za izračun kota nagnjenosti si najprej mislimo enotski vektor v smeri osi z v vrtečem sistemu: [4] A = isti vektor izražen v inercialnem sistemu je: [4] 0 0 1 A = R A, in je projekcija na vrteči sistem, ki jo lahko zapišem kot: [2] cos α A = cos β. cos γ Ker je R ortogonalna transformacija velja R 1 = R T, in velja: [1] A = R T A, (38) po množenju dobimo: Končno dobim kot nagnjenosti γ: cos α cos β cos γ = sin θ cos θ sin ψ cos θ cos ψ. (39) γ = arccos(cos θ cos γ). (40) Na podoben način lahko kot precesije δ izrazim preko kotov α, β in γ s koti vrtečega sistema (Euler - jevi koti φ, θ, ψ): ( cos β ) ( cos θ sin ψ ) δ = arctan = arctan (41) cos α sin θ 2.5 Rezultati in diskusija Sledi zaključno poglavje v katerem predstavim različne simulacije in ob priloženih grafičnih rezultatih komentiram posamezne zaključke. V prvem delu so izidi simulacij pri katerih upoštevam sistem Zemlja - Sonce in po en planet Osončja individualno, najprej brez, nato pa še z upoštevanjem vpliva gravitacije Lune. Pri tem niso upoštevani medsebojni gravitacijski vplivi planetov, kar doprinese k nenatančnostim. V drugem delu predstavitve rezultatov si pogledamo vpliv celotnega Sončnega sistema na gibanje Zemlje, kjer Luno v prvi simulaciji najprej postavimo na današnjo orbito, v drugi pa vpliv Lune iz simulacije izključimo. Na tak način dobimo časovni potek nagnjenosti Zemljine osi kot posledica delovanja celotnega Osončja z Luno, in brez nje. V nobeno izmed simulacij niso vključeni naravni sateliti - Lune drugih planetov, saj le ti prispevajo zanemarljive popravke. V primeru zelo mlade zemlje (starost 10 9 let), ko je bila Luna veliko bližje, in Osončje, kot ga poznamo danes, ni bilo še formirano, je bilo v medplanetarnem prostoru prisotnih veliko delcev in medplanetarnega prahu. Za natančnejše izračune za sistem Zemlja - Luna v tistem času, bi morali vzeti tudi to v upoštev, a tega tu ne obravnavam. 8

2.5.1 Rezultati simulacij s posameznimi planeti Slika 4: Prikazuje spremembe nagnjenosti Zemljine osi pod vplivom Sonca in enega izmed planetov Osončja. Simulacija prikazuje razvoj sistema v dobi 5 10 6 let, medsebojni gravitacijski vpliv planetov ni upoštevan. Luna v tem primeru ni prisotna. Na desni strani je podana amplituda oscilacij v. [1]. 9

Slika 5: Prikazuje spremembe nagnjenosti Zemljine osi pod vplivom Sonca in enega izmed planetov Osončja. Simulacija prikazuje razvoj sistema v dobi 5 10 6 let, medsebojni gravitacijski vpliv planetov ni upoštevan. Luna je v tem primeru prisotna. [1]. S slik 4 in 5 vidimo, da je gravitacijski vpliv Merkurja na Zemljo zanemarljiv in v primerjavi z vplivi ostalih planetov minimalen. Povzroča oscilacije osi z amplitudo med 23.042 in 23.987 in periodo 85000 let v prisotnosti Lune. Če vpliv Lune odstranimo iz simulacije, amplituda ostane skoraj nespremenjena, perioda pa se zmanjša na 25000 let. S slike 4 vidimo, da ima izmed vseh planetov Venera največji vpliv na Zemljo. Amplituda oscilacij Zemljine osi znaša od 17.895 do 32.713 s periodo 400000 let. V primeru prisotnosti Lune se amplituda osi zmanjša na med 20.462 in 26.696, pri čemer se perioda drastično zmanjša na okoli 30000 let. Mars, znan tudi pod imenom Rdeči planet, približno enako zanemarljivo vpliva na nagnjenost Zemeljske osi kot Merkur. Amplituda znaša med 23.5 in 24 s periodo 100000 let brez Lune in zelo podobno pri upoštevanju Lune. Zanimiv je primer Jupitra brez Lune, kjer je amplituda oscilacij Zemljjine osi med 19.666 in 26.099, čas ene oscilacije, to je ena perioda pa traja 110000 let. V simulaciji Jupitra z upoštevanjem vpliva Lune se amplituda skoraj ne spremeni, poveča pa se hitrost oscilacij - torej zmanjša se perioda na 30000 let. Učinek Saturna povzroča oscilacije osi z amplitudo med 18.478 in 28.484 s periodo 2 10 6 let. V primeru Urana, sta gravitacijska vpliva na Zemljo z upoštevanjem Lune in brez nje skoraj popolnoma enaka, in v obeh primerih zanemarljiva. 2.5.2 Simulacije z vsemi planeti Osončja kot celota Naklon Zemljine osi se spreminja za vrednost ±1.3. To je posledica učinkovanja vseh planetov skupaj - gravitacijski učinek Osončja (rezultirajoči učinek). Učinki navorov, kot posledica gravitacijske sile planetov na Zemljo ki je rotacijski elipsoid, se torej seštevajo. Naklon Zemljine osi se spreminja počasi, daleč prepočasi, da bi to prosto opazili za časa človeškega življenja. V simulaciji smo pokazali, da bi bilo za vidne posledice na Zemlji zaradi spremembe naklona osi pri današnji hitrosti spreminjanja, potrebno počakati vsaj 10 6 let, toliko pač, kolikor znaša perioda oscilacij Zemljine osi zaradi celotnega Osončja. 10

Slika 6: Prikaz časovne odvisnosti kota naklonjenosti Zemljine osi zaradi vpliva celotnega Osončja, brez upoštevanja gravitacijskega vpliva Lune. Simulacija znaša za dobo 5 10 6 let [1]. Slika 7: Prikaz časovne odvisnosti kota naklonjenosti Zemljine osi zaradi vpliva celotnega Osončja, z upoštevanjem gravitacijskega vpliva Lune. Simulacija znaša za dobo 5 10 6 let. S slike jasno vidimo, da je veliko vprašanje, ali bi bilo življenje na Zemlji brez Lune, tako kot ga poznamo danes sploh mogoče. Naklonski kot Zemeljske osi bi se stalno spreminjal za ±15. Lahko si samo mislimo, kakšne posledice bi imelo tako gibanje planeta na vreme tako na lokalni kot na globalni ravni [1]. 11

Slika 8: Prikazuje spremembe nagnjenosti Zemljine osi zaradi vpliva Sonca in Lune, ter drugič samo zaradi Sonca. Na desni strani so vrednosti amplitude oscilacij na tri decimalna mesta natančno. Vidimo zanemarljiv vpliv Sonca na nagnjenost Zemljine osi. Drugače povedano: v odsotnosti vseh planetov in Lune bi kot nagnjenosti znašal 23.503 [1]. Literatura [1] Amy Negich Girkin - A Computational Study on the Evolution of the Dynamics of the Obliquity of the Earth, Faculty of Miami University in partial fulfillment of The requirements for the degree of Master of Science Department of Physics, Oxford, 2005. [2] L. D. Landau E. M. Lifshitz - Mechanics, 3 rd. edition, Volume 1 of Course of Theoretical Physics, Institute of Physical Problems U.S.S.R., Academy of Sciences, Moscow 1997. [3] Direktna spletna povezava: http : //en.wikipedia.org/wiki/euler a ngles [4] prof. Peter Prelovšek - Univerzitetna predavanja iz predmeta Analitična mehanika, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Univerza v Ljubljani, šolsko leto 2009/10. [5] Janez Strnad -Fizika 1. del Mehanika/Toplota, DZS, Ljubljana 1982. [6] Douglas C. Giancolli - Physics, Principles with Applications 4 th Ed., Prentice Hall International, INC Englewood Cliffs, New Jersey 1995. [7] Richard L. Amoroso, Geoffrey Hunter, Menas Kafatos and Jean Pierre - Vigier - Gravitation and Cosmology: From the Hubble Radius to the Planck Scale, Proceedings of a Simposium in Honour of the 80th birthday Jean Pierre - Vigier, Noetic Advanced Studios Institute, Orinda CA USA 2003. [8] Rudolf Kladnik - Osnove fizike 2, visokošolski učbenik za fiziko, DZS, Ljubljana 1998. [9] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig - Matematicni prirocnik, 2. izdaja, Tehniška Založba Slovenije, Ljubljana, 1997. [10] Peter Prelovšek - Geofizika, učbenik za predmet Geofizika pri 4. letniku univerzitetnega študija fizike, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Univerza v Ljubljani, Ljubljana 2005. [11] T. Padmanabhan - Theoretical Astrophysics, Volume 2: Stars and Stellar Systems, Inler University Center of Astronomy and Astrophysics, Pune, India, Cambridge University Press 2000. 12