Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR

UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR

Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode directe. Teoria lucrarii Dupǎ cum se știe, sistemele de ecuații liiare care admit soluție uicǎ pot fi rezolvate aalitic, pri metode elemetare. De altfel, posibilitatea rezolvǎrii aalitice se îtȃlește și î multe alte situații, ueori la probleme foarte complicate (de exemplu la uele ecuații diferețiale sau itegrale), dar u îtotdeaua se cuoaște apriori aceastǎ posibilitate. Programele de calcul simbolic (Mathematica, Matlab, Maple, etc.) pot idetifica astfel de situații, astfel cǎ îaite de abordarea umericǎ a problemei este util sǎ se verifice dacǎ se pot idetifica soluții aalitice, care ar coduce la o mult mai mare vitezǎ de calcul și la o precizie oricȃt de buǎ. Motivul pricipal petru care sistemele de ecuații liiare au beeficiat de o ateție deosebitǎ î cadrul metodelor umerice îl costituie faptul cǎ soluțiile aalitice, deși existǎ, implicǎ de regulǎ calcule algebrice extesive și geereazǎ expresii extrem de lugi. Abordarea umericǎ aducea o ecoomie importata de timp chiar și îaite de aparitia calculatoarelor umerice (primele metode de acest tip au aparut î secolele 8 și 9), dar î mometul de fațǎ se poate cosidera cǎ rezolvarea umericǎ a uor sisteme destul de mari de ecuații liiare se face practic istataeu. U alt puct de iteres petru metodele umerice de rezolvare a sistemelor de ecuații liiare îl costituie faptul cǎ astfel de sisteme, de regulǎ de dimesiui mari, apar î umeroase alte probleme care u au o rezolvare aaliticǎ directǎ și fac obligatorie abordarea umericǎ (de exemplu î probleme de aproximare și iterpolare a fucțiilor, î aumite metode de rezolvare a ecuațiilor diferețiale și itegrale, etc.). De aceea, cuoașterea cȃt mai completǎ a rezolvǎrilor umerice petru sistemele de ecuații liiare este absolut ecesarǎ petru multe ditre capitolele de calcul umeric care vor fi prezetate î cele ce urmeazǎ. Existǎ și uele dificultǎți legate de abordarea umericǎ î acest domeiu. Se va observa cǎ existǎ situatii î care apar erori mult mai mari decȃt cele datorate preciziei fiite a sistemului de calcul (care are î mod ieret erori de rotujire eule) datorate faptului cǎ sistemul poate fi rǎu codițioat. Aceasta îseamǎ cǎ ua sau mai multe ecuații di sistem u diferǎ foarte mult de o combiație liiarǎ a celorlalte ecuații, ceea ce îl apropie de situația î care umǎrul de ecuoscute este mai mare decȃt umǎrul de ecuații liiar idepedete, astfel cǎ sistemul tide sa deviǎ edetermiat. Î legaturǎ cu acest feome se poate defii u așa umit umǎr de codițioare al matricei coeficieților care poate da idicații legate de erorile estimǎrii soluțiilor, idiferet de algoritm și de sistemul de calcul. Forma geeralǎ a uui sistem de ecuații cu ecuoscute este: ax a x... a x b ax ax... ax b (.)... ax ax... ax b

sau cocis: aij x j bi, i,,.. (.) j Cosiderȃd trei matrici: A matricea coeficieților variabilelor (pǎtratǎ), X matricea ecuoscutelor (coloaǎ) și B matricea termeilor liberi (coloaǎ), avȃd urmǎtoarele forme: x b a a a x b a a... a.. A ; X ; B (.3).. a a a.. x b se observǎ cǎ î ecuațiile (.) membrul stȃg este echivalet cu îmulțirea matricilor A și X, iar membrul drept coție elemetele matricii B, deci sistemul se poate scrie matriceal sub forma: (.4) Cea mai evidetǎ cale de rezolvare ar fi îmulțirea la stȃga a ambilor membri ai acestei ecuații cu matricea ivers a lui A, otatǎ, si avad proprietarea A.A = I (.5) ude I este matricea uitate I acest caz rezultǎ imediat, î mod direct soluțiile: A. X B A X A. B (.6) Existǎ mai multe metode de rezolvare care se bazeazǎ pe aflarea matricii iverse a coeficieților, dar existǎ și altele, idirecte, bazate pe iterații, sau care speculeazǎ aumite caracteristici speciale ale matricii î uele cazuri particulare. U astfel de caz va fi prezetat î cotiuare, petru cǎ uele metode îcearcǎ mai îtȃi sǎ reducǎ problema la codițiile acestui caz particular, care este ușor de rezolvat.. Matrici superior și iferior triughiulare. Substituție iversa și direct. Vom umi matrice superior triughiularǎ o matrice care are toate elemetele de sub diagoala pricipala ule, deci avȃd urmǎtoarea proprietate: aij 0, petru i j ; i, j,,.. (.7) aij 0, petru i j și urmǎtoarea formǎ a a a 0 a... a A (.8) 0 0 a 3

U sistem caracterizat de o matrice a coeficieților superior triughiularǎ este rezolvabil ușor pri procedeul deumit substituție iversǎ. Deumirea este datǎ de faptul cǎ se îcepe de la ultima ecuație și se calculeazǎ pe rȃd substituid variabilele deja calculate cǎtre primele ecuații. Itr-adevǎr, di ultima ecuație, avȃd î vedere cǎ toți coeficieții primelor variabile sut uli, rezultǎ: x b a (.9) Î peultima ecuație, umai ultimele douǎ ecuoscute au coeficieți euli. Dar deoarece este deja cuoscut, se poate determia : b a, x x (.0) a x, Cotiuȃd î acest mod, petru ecuația, coeficieții primelor sut uli iar ecuoscutele xi, xi,..., x au fost deja determiate. Ecuația se scrie deci a x a x a x b (.) de ude se obție ecuoscuta i x ii i i, i i... i i x i : b a x i ij j j i i ecuoscute xi (.) aii Procedeul se va repeta pȃǎ la obțierea tuturor ecuoscutelor folosid formula geeralǎ (.). Î alte cazuri este îtȃlitǎ o matrice iferior triughiularǎ, î care toate elemetele de deasupra diagoalei sut ule. Rezolvarea este similarǎ, dar î ordie iversǎ: se porește de la prima ecuație și se fac substitutii pe rȃd, cǎtre ultima ecuație. Acest procedeu se va umi î cotiuare substituție directǎ.. Metoda de elimiare Gauss. Pivotarea Dacǎ matricea coeficieților u este triughiularǎ, cum se îtȃmplǎ î marea majoritate a cazurilor, se pot face asupra sa aumite trasformǎri care sǎ o aducǎ la forma triughiularǎ. Aceste trasformǎri se bazeazǎ pe urmǎtoarele operații care se pot efectua asupra sistemului (.) și care î mod evidet pǎstreazǎ validitatea sistemului:. Îmulțirea uei ecuații cu o costatǎ, echivaletǎ cu îmulțirea uei liii di matricea coeficieților și a elemetului corespuzǎtor di matricea termeilor liberi cu costata respectivǎ.. Aduarea sau scǎderea a douǎ ecuații, echivaletǎ cu aduarea sau scǎderea a douǎ liii di matricea coeficieților și a elemetelor corespuzǎtoare di matricea termeilor liberi. 3. Schimbarea ordiii de sumare î membrul stȃg (echivaletǎ cu permutarea a douǎ coloae di matricea coeficieților ) sau a ordiii ecuațiilor (echivaletǎ cu permutarea a douǎ liii di matricea coeficieților și a elemetelor corespuzǎtoare di matricea termeilor liberi ). 4

Trasformarile de acest tip se fac de regula î scopul obțierii de elemete ule sub diagoala pricipalǎ, astfel ca matricea sǎ deviǎ iferior triughiularǎ iar sistemul sa fie rezolvat apoi pri substituție iversǎ. Sǎ cosiderǎm cǎ, folosid trasformǎri de tipul celor mețioate, dorim sǎ facem 0 toate elemetele de sub diagoala di prima coloaǎ. Petru aceasta, va trebui sǎ îmulțim prima liie cu o costatǎ corespuzǎtoare și sǎ o scǎdem di a doua, apoi sǎ îmulțim prima liie cu o altǎ costatǎ și sǎ o scǎdem di a treia, ș.a.m.d. Petru aularea elemetului de pe prima coloaǎ di lia i, va trebui satisfǎcutǎ codiția: ai ami 0 (.3) de ude rezultǎ costata cu care trebuie îmulțitǎ prima liie petru aularea elemetului di prima coloaa a liiei i : m 3 a mi a i m (.4) Elemetul folosit petru determiarea costatei de multiplicare a primei liii va fi vom umit î cotiuare elemet pivot, deși deumirea u este îtotdeaua corectǎ, dupǎ cum se va vedea mai tarziu. Fǎcȃd operația: ' aij aij a jmi ; i,3..., ; j,..., petru liiile,3,..., și coloaele,,...,, se va obție o matrice echivaletǎ, dar cu elemetele aflate î prima coloaǎ sub diagoala ule. Prima coloaǎ a uei matrici superior triughiulare a fost formatǎ. a a a ' ' 0 a... a ' ' 0 a... 3 a 3 A (.5) ' ' 0 a a Î cotiuare, petru a forma a doua coloaǎ, trebuiesc aulate elemetele ' ' ' a3, a4,..., a. Aceasta se va face î mod similar, dar folosidu-se ca pivot elemetul de ' pe diagoala celei de a doua liii, a. Codiția de aulare a uui elemet di liia a celei de a doua coloae este: ' ' ai ami 0 (.6) Costata de multiplicare a celei de a doua liii este deci: ' ai mi (.7) a ' iar operațiile asupra celorlalte liii: '' ' ' aij aij a jmi ; i 3,4..., ; j,3,..., (.8) a i 5

Este evidet cǎ elemetele ule di prima coloaǎ rǎmȃ ule deoarece di ele se scade costata îmulțitǎ cu care este deja ul. Di aceastǎ cauzǎ u mai este evoie ' a j sǎ le calculǎm, deci idexarea lui poate sǎ îceapǎ de la. S-au obțiut astfel zerouri sub diagoalǎ și î a doua coloaǎ. a a a ' ' 0 a... a ' 0 0... a 3 A (.9) ' 0 0 a Același procedeu se aplicǎ succesiv și petru restul coloaelor (cu excepția ultimei care u mai trebuie sǎ coțiǎ ici u 0), astfel cǎ î fial matricea sistemului rǎmȃe superior triughiularǎ. Trebuie avut î vedere cǎ, petru ca sistemul sa u se modifice, aceleași operații trebuiesc efectuate și asupra matricii coloaǎ a termeilor liberi (ceea ce se schimbǎ î membrul drept al fiecǎrei ecuații trebuie schimbat similar și î membrul stȃg). Este mai avatajos, petru simplificarea programului ca matricile A și B sa fie reuite îtr-o matrice extisǎ, umitǎ și matricea sistemului, cu liii și iar operațiile descrise sǎ se facǎ petru j,,...,. Existǎ îsǎ și posibilitatea ca operațiile î cele douǎ matrici sǎ se efectueze separat. Sitetizȃd, î etapa î care se auleazǎ elemetele de sub diagoala pe coloaa se vor face urmǎtoarele operații: ' aik mi ; k,, (.0) ' a k '' ' ' ij ij kj i j kk coloae, a a a m ; k,,..., ; i k, k..., ; j k, k..., (.) Programul. rezolvǎ u sistem de ecuații liiare pri metoda Gauss și substituție iversǎ. Itrǎrile î program sut matricea sistemului și matricea termeilor liberi, iar ieșrea este o coloaa cu soluțiile, la care se adaugǎ și listele de verificare. Programul. Metoda Gauss petru u sistem de ecuații liiare 6

Trebuie îsǎ subliiat cǎ de multe ori metoda Gauss prezetata simplificat mai sus u poate fi aplicatǎ, sau dǎ erori foarte mari. Aceasta se îtȃmplǎ cǎd î cadrul ueia ditre etapele diagoalizarii, pivotul este ul sau repectiv foarte mic. Î cazul î care uul di pivoți este ul, expresia (.0) va da rezultat ifiit, semalat ca o eroare (geerȃd î procesor o îtrerupere iterǎ umitǎ excepție de tip abort). De asemeea, dacǎ pivotul de la umitor are o valoare foarte micǎ, rezultatul va fi foarte mare și va fi rotujit automat cu o eroare apreciabilǎ sau poate chiar sǎ u îcapǎ î locația de memorie care i-a fost destiatǎ, feome deumit depǎșire de registru. Programul. Metoda Gauss cu pivotare parțiala (pe coloae) 7

Di aceste cosiderete, de cele mai multe ori programele care folosesc metoda Gauss se completeazǎ cu istrucțiui care fac alegerea cea mai buǎ a pivotului îaite de prelucrarea fiecǎrei coloae, folosid posibilitatea de permutare a liiilor și coloaelor matricii (extise), procedeu deumit î geeral pivotare. Pri permutare ître coloae și/sau liii se aduce î pozitia de pivot elemetul cel mai mare î valoare absolutǎ di restul liiei și/sau coloaei repective. Î acest mod, împǎrțirea (.0) se va face cu erorile de rotujire cele mai mici posibile. Dacǎ pivotarea se face umai ître liii sau umai ître coloae, avem o pivotare parțialǎ, iar dacǎ se folosesc și pivotari de liii și de coloae avem pivotare totalǎ. Programul. este realizat pri completarea programului. cu uele istrucțiui de pivotare parțialǎ și pot rezolva sisteme care u ar putea fi rezolvate de acesta, de exemplu dacǎ primul elemet al primei liii este 0. Se observǎ cǎ î liia referitoare la pivotare s-a folosit sitaxa specificǎ programului Mathematica petru iversarea a douǎ elemete ditr-o listǎ {x, y} = {y, x} Aceasta este echivaletǎ cu secveța t a k ; a k a r ; a r t î care a[[ k ]] desemeaza toate elemetele liiei k. Evidet, îtr-u limbaj obișuit de programare (de exemplu C++) care u poate lucra simulta cu toate elemetele uei liii se va folosi secveța mai detaliatǎ: For s, s, s, t a k, s ; a k, s a r, s ; a r, s t 8

. Metoda Gauss-Jorda Aaliza metodei Gauss de aducere a uei matrici oarecare la o formǎ superior triughiularǎ sugereazǎ cǎ, petru cazurile î care acest lucru este posibil, existǎ o matrice M care îmulțitǎ cu matricea coeficieților A sǎ coducǎ la o matrice superior trughiularǎ U: (.) Tot așa, petru o matrice esigularǎ A, existǎ o matrice, umitǎ matricea iversǎ, A M.A = U, care îmulțitǎ cu A sǎ coducǎ la o matrice uitarǎ I: (.3) ude 0... 0 0... 0 I (.4)... 0 0... Aceastǎ echivalețǎ ître u set de trasformǎri aplicate uei matrici și îmulțirea uei alte matrici cu matricea datǎ, sugereaza posibilitatea efectuǎrii de calcule matriceale petru idetificarea uor trasformǎri utile. U exemplu î acest ses îl costituie metoda Gauss Jorda care, folosid u algoritm destul de simplu geereazǎ o catitate surprizǎtor de mare de iformații. Petru rezolvarea problemei iițiale datǎ de ecuația (.4) se formeazǎ mai îtȃi o matrice extisǎ de dimesiui ( ), pri reuirea coloaelor matricii coeficieților, a matricii termeilor liberi și a coloaelor uei matrici uitare, A A B I (.5) e Dacǎ efectuǎm aumite prelucrǎri ale acestei matrici care sǎ aducǎ primele coloae la forma uei matrici uitare, acest set de prelucrǎri ar fi echivalet cu îmulțirea la stȃga a matricei extise cu matricea iversǎ a coeficieților. Itr-adevǎr, pri aceasta îmultire, țiȃd cot cǎ A. A I, A. B X și A. I A, obțiem: A. A A. A B I I X A (.6) e - A.A = I Se observǎ cǎ se obție î primele coloae o matrice uitarǎ și î plus, ca produse secudare se obți: î coloaa coloae matricea iversǎ a coeficieților. Pri urmare, efectuad trasformǎri care sa aducǎ primele coloae la o matrice uitarǎ vom obție î fial atȃt soluția cȃt și matricea iversǎ, care poate fi de asemeea utilǎ î problema respectivǎ. chiar soluția, iar î urmǎtoarele Programul.3 Metoda Gauss Jorda petru rezolvarea sistemelor de ecuații liiare 9

Aceste trasformǎri trebuiesc facute î asa fel îcȃt sa se obțiǎ elemete ule atȃt dedesubtul cȃt și deasupra diagoalei. Î plus, fiecare elemet pivot trebuie sa se împarta la el îsuși petru ca î fial sa se obțiǎ umai valori pe diagoala primelor coloae. 0

De mețioat cǎ se poate obție chiar și determiatul matricei coeficieților pri îmulțirea elemetelor matricii diagoalizate (îaite de a fi fǎcute ) și țiȃd seama cǎ fiecare permutare schimbǎ semul determiatului. Practic, mai îtȃi se împarte fiecare liie cu elemetul sau de diagoala, astfel ca el sa deviǎ. Î cotiuare, relațiile care vor alcatui algoritmul sut aceleași ca și la metoda Gauss, doar cǎ se aplicǎ la fiecare liie atat petru liiile de dedesubtul ei cȃt și petru cele de deasupra, ceea ce face ca limitele de variatie ale idicilor sǎ se modifice: ' aik mi ; k,, ; k i (.7) ' a '' ' ' ij ij kj i kk a a a m ; i,,..., ; k,..., ; k i; j,..., (.8) U exemplu de implemetare a acestui algoritm este ilustrat de programul.3. S-a fǎcut o micǎ simplificare fațǎ de programele aterioare folosid posibilitatea mediului Mathematica de a opera cu o îtreaga liie a uei matrici, astfel cǎ se poate elimia bucla care opereazǎ succesiv asupra elemetelor uei liii. Astfel, a[[i,j]] reprezitǎ elemetul di liia i și coloaa j, iar a[[i]] reprezitǎ îtreaga liie i. Programul furizeazǎ matricea soluțiilor, matricea iversa și valoarea determiatului matricii coeficieților. Dacǎ se folosește u limbaj de programare care u are posibilitatea de a lucra directǎ cu o liie itreaga (de exemplu C), se poate folosi modelul prezetat î programul.3.a, î care fiecare elemet al uei liii este tratat separat. Programul.3.a Metoda Gauss Jorda petru rezolvarea sistemelor de ecuații liiare cu tratarea separatǎ a fiecǎrui elemet al uei liii

.4. Factorizarea Doolittle Existǎ umeroase metode de rezolvare a uor sisteme de ecuații liiare care utilizeazǎ decompoziția (factorizarea) uei matrici, adicǎ trasformarea acesteia îtr-u produs de douǎ sau mai multe matrici cu proprietǎți avatajoase. U prim exemplu, pe care îl tratam î cotiuare, îl costituie factorizarea Doolittle, care presupue exprimarea matricii coeficieților pritr-u produs ître o matrice superior triughiularǎ U ( Upper ) și ua iferior triughiularǎ L ( Lower ). Î plus se impue ca elemetele diagoale ale matricii L sǎ fie uitare: (.9) u u u 0 0 0 u... u l... 0 U ; L 0 0 u l l (.30) Elemetele acestora au deci proprietǎțile: lij 0, petru i j uij 0, petru i j ; lii ; uij 0, petru i j lij 0, petru i j i, j,,.. (.3) Explicitȃd relația (.9) pe elemete sub forma: ij ik kj k A = L.U și țiȃd cot de proprietǎțile (.3), rezultǎ relațiile: j a l u ; i, j,,..., (.3) j (.33) a l u l u l u ; i, j,,..., ij ik kj ik kj ij jj k k i i (.34) a l u l u u ; i, j,,..., ij ik kj ik kj ij k k Î prima relație s-a țiut cot cǎ primul idice al lui u kj, care este chiar idice de sumare, poate fi doar mai mic sau egal cu al doilea. Î a doua relație s-a țiut cot cǎ al doilea idice al lui l ik, care este chiar idice de sumare, poate fi doar mai mic sau egal cu primul și î plus lii. Rezultǎ urmǎtoarele relații care permit determiarea succesivǎ a tuturor elemetelor matricilor L și U: j u aij lik kj k lij u ; i, j,,..., jj i ij ij ik kj k (.35) u a l u ; i, j,,..., (.36)

Astfel, petru i se obți: Petru Petru i obțiem: i 3 obțiem: l ; u a u a... u a a l ; u a l u u l ; u a l u 3... u a l u a l ; u a l u l u 3 3 33 33 3 3 3 3 u a l u l ; u a l u l u 3 34 34 3 3 3 4 u l 33 ;... (.37) (.38) (.39) u3 a3 l3u l3u Se cotiuǎ astfel pȃǎ la și se poate observa cǎ elemetele ecesare îtr-o etapǎ sut deja cuoscute ditr-o etapǎ aterioarǎ, astfel cǎ se pot determia toate elemetele celor douǎ matrici. Programul.4 Rezolvarea sistemului pri factorizare Doolittle 3

Petru rezolvarea uui sistem de ecuații liiare de tipul (.4) se scrie: A.X = B L.(U.X) = B L.Y = B (.40) ude s-a itrodus o matrice auxiliarǎ Y = U.X. Mai îtȃi se rezolvǎ î raport cu Y ecuația L.Y = B țiȃd cot cǎ L este iferior triughiularǎ. Aceasta permite utilizarea procedeului de substituție directǎ mețioat î paragraful.: di prima liie se determiǎ prima ecuoscutǎ, di a doua liie a doua ecuoscutǎ, ș.a.m.d. 4

Dupǎ determiarea lui Y, se poate determia X di ecuația Y = U.X, ude se ție seama cǎ U este superior triughiularǎ și deci se poate aplica procedeul de substituție iversǎ. Programul.4 rezolvǎ u sistem de ecuații liiare pri factorizare Doolittle, urmatǎ de substituție directǎ și apoi substituție iversǎ. Matricile sut calculate aici aleator, icluzȃd și uele valori complexe, avȃd î vedere cǎ programul Mathematica poate trata direct astfel de valori. Î uele limbaje de programare (Fortra) acest lucru este de asemeea posibil, î timp ce î majoritatea celor uzuale (de exemplu C++) trebuiesc icluse și modulele petru calculul cu umere complexe..5 Factorizarea Crout Ca și î cazul factorizarii Doolitle, la factorizarea Crout se face exprimarea matricii coeficieților sistemului pritr-u produs ître o matrice iferior triughiularǎ și ua superior triughiularǎ. Deosebirea costǎ î faptul cǎ de aceasta datǎ matricea superior triughiularǎ are elemetele diagoale egale cu. scrie A=L.U (.4) u u l 0 0 0... u l l... 0 U ; L 0 0 l l l (.4) Elemetele celor douǎ matrici au deci proprietǎțile ukj, k j ukk ; ukj 0, k j (.43) lik, k i lik 0, k i (.44) Coform relațiilor (.4)-(.44), separȃd termeul diagoal u, se poate i i (.45) a l u l u l u ii ij ji ij ji ii ii j j de ude se poate obție termeul diagoal al matricei U i l a l u (.46) ii ii ij ji j Petru u elemet oarecare al matricii A, țiȃd cot de relația (.44) avem i i a l u l u l u ij ik kj ik kj ii ij k k de ude rezultǎ elemetul omolog al matricii U (.47) 5

aij likukj k uij lii Petru același elemet al matricii A, țiȃd cot de relația (.43) Deoarece u jj j i j a l u l u l u ij ik kj ik kj ij jj k k (.48) (.49), putem afla și elemetul corespuzǎtor al matricii L pri relația j l a l u (.50) ij ij ik kj k Programul.5 rezolvǎ u sistem de ecuații liiare pri metoda Crout. Matricile sut calculate aici aleator, icluzȃd și uele valori complexe, avȃd î vedere cǎ programul Mathematica poate trata direct astfel de valori. Așa cum s-a specificat aterior, î uele limbaje de programare (Fortra) acest lucru este de asemeea posibil, î timp ce î majoritatea celor uzuale (de exemplu C++) trebuiesc icluse și modulele petru calculul cu umere complexe. Programul.5 Rezolvarea uui sistem de ecuații liiare pri metoda Crout 6

.6 Factorizarea Cholesky Î cazul î care matricea sistemului este simetricǎ, se poate folosi aceastǎ particularitate petru a se micșora volumul de calcule, pri metoda factorizǎrii Choleski. Matricea coeficieților se exprimǎ de asemeea ca produs ître o matrice iferior triughiularǎ și ua superior triughiularǎ, dar cu particularitatea cǎ ua este traspusa celeilalte, deci elemetele celor douǎ matrici sut simetrice, trebuid determiat doar u set de astfel de elemete: A=U.L (.5) u l (.5) ij Di relațiile (.5) și (.5), petru u elemet diagoal, pri separarea ultimului terme se deduce de ude rezultǎ elemetele de pe diagoale k k kk km mk km km kk m m m a l u l l l ji (.53) k kk kk km m l a l (.54) De asemeea, petru u elemet ediagoal se poate scrie k k k (.55) a l u l l l l l l ik im mk im km im km ik kk m m m de ude rezultǎ elemetele ediagoale ale matricilor triughiulare l ik a ik k l l im km m (.56) lkk Programul.6 rezolvǎ u sistem de ecuații liiare cu matricea coeficieților simetricǎ pri metoda Cholesky. Matricile sut calculate aici aleator, avȃd ca și î cazurile aterioare și uele valori complexe. 7

Programul.6 Rezolvarea uui sistem de ecuații liiare cu matricea coeficieților simetricǎ, pri metoda Cholesky 8

. Modul de lucru: Se vor rula programele. -.6 Se vor observa erorile rezultate i urma verificarilor Se vor modifica matricile de itrare si se vor relua puctele aterioare Se va mari cu umarul de ecuatii si se vor relua puctele aterioare 9

Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode iterative. Teoria lucrarii. Metodele iterative Jacobi si Gauss-Siedel. Suprarelaxarea Î aumite probleme este preferatǎ î mod atural o apropiere iterativǎ de soluția exactǎ. Î cazul î care iterațiile implicǎ și sisteme de ecuații liiare, se poate aplica metoda Jacobi de rezolvare a sistemului matriceal A.X=B.(.) Petru aceasta se face o descompuere a matricii coeficieților îtr-o sumǎ de trei matrici: ua formatǎ cu elemetele de pe diagoalǎ, alta cu elemetele de sub diagoalǎ și ua cu elemetele de deasupra diagoalei A=D+L+U (.) Elemetele acestor matrici sut deci deja cuoscute, fiid urmǎtoarele d a ij ij ij aij, i j lij (.3) 0, i j aij, i j uij 0, i j Țiȃd seama de relațiile (.) și (.) se poate scrie urmǎtoarea ecuație matricealǎ D.X=B-L.X-U.X (.4) Pri îmulțire la stȃga î ambii membri cu iversa matricei diagoale se poate exprima matricea ecuoscutelor la iterația k î fucție de matricea ecuoscutelor la iterația aterioarǎ k ( k) - - ( k) X =D.B - D.(L+U).X (.5) Relația (.4) scrisǎ pe compoete este i ( k) ( k ) ( k ) dijx j bi aij x j aij x j j j ji (.6) Țiȃd cot de defiiția elemetelor matricii diagoale d a (.7) ij ij ij rezultǎ ecuația metodei iterative Jacobi (.5) scrisǎ pe compoete 0

i ( k) ( k ) ( k ) xi bi aij x j aij x j (.8) aii j ji Implemetarea acestei metode este mai simplǎ decȃt la metodele aterioare deoarece u este ecesarǎ factorizarea matricii ci doar descompuerea ei. Di pǎcate metoda este de multe ori slab covergetǎ, î special cȃd gradul de idepedețǎ liaiarǎ al ecuațiilor este redus (umǎrul de codițioare este mare). Aceasta poate coduce la erori și timp de calcul mai mari decȃt î cazul celorlalte metode. Trebuie mețioat de asemeea cǎ î foarte multe cazuri metoda u este covergetǎ. O codiție suficietǎ ca metoda să fie covergetǎ este aceea ca matricea coeficieților sǎ fie diagoal domiatǎ, î sesul cǎ fiecare elemet de pe diagoalǎ este mai mare î modul decȃt suma modulelor celorlalte elemete de pe liia și coloaa respectivǎ. Aceasta este o codiție destul de durǎ, care limiteazǎ mult aplicabilitatea metodei. Existǎ îsǎ cazuri î care sistemul are î mod atural aceastǎ proprietate, iar atuci metoda poate da rezultate mai bue decȃt cele directe. Î cazul î care matricea coeficieților u este diagoal domiatǎ, este foarte idicat sǎ se icludǎ î algoritm o secvețǎ de pivotare asigurȃd-se macar o domiațǎ diagoalǎ parțialǎ. Petru accelerarea calculelor, este preferatǎ î practicǎ metoda Gauss-Siedel, care este foarte apropiatǎ de aceasta. Țiȃd seama tot de relațiile (.) și (.) se poate scrie urmǎtoarea ecuație matricealǎ (D+L).X=B-U.X (.9) Pri îmulțire la stȃga î ambii membrii cu iversa matricii (D+L) diagoale se poate exprima matricea ecuoscutelor la iterația ecuoscutelor la iterația aterioarǎ k ( k) - ( k) - X -(D+L).U.X (D+L).B (.0) Relația (.9) scrisǎ pe compoete este i ( k) ( k) ( ) ij x j bi ( ) ijx j j ji ij și ( U ) ij ude s-a țiut cot cǎ ( D+L ) 0 petru scrie și sub forma k î fucție de matricea D+L U (.) j i =0 petru i ( k) ( k) ( k) ii i ij j i ij j j ji a x a x b a x j i. Aceasta se poate (.) ude s-a țiut cot de defiițiile (.3) ale elemetelor matricii diagoale și ale matricilor triughilare. Rezultǎ ecuația metodei iterative Gauss-Siedel scrisǎ pe compoete i ( k) ( k) ( k ) xi bi aij x j aij x j (.3) aii j ji Se observǎ cǎ ecuația metodei Gauss-Siedel diferǎ de cea a metodei Jacobi umai î ceea ce privește termeul al doilea di membrul drept, care coție valorile ( k ) ecuoscutelor la iterația curetǎ x ( k ) și u pe cele de la iterația aterioarǎ x. Acest j j

lucru este posibil, deoarece dacǎ î fiecare iterație valorile ecuoscutelor se calculeazǎ pe rȃd cu idice crescǎtor, la calculul ecuoscutei sut cuoscute deja valorile ( k ) x 0, ( k ) x,, ( k ) x i ( k ) x i. Evidet, deoarece acestea sut mai apropiate de valoarea corectǎ decȃt omoloagele lor de la iterația aterioarǎ, procedeul are o rata de covergețǎ mai mare și este îtotdeaua preferat î practica. Î programul.7 este exemplificata aplicarea metodei Gauss-Siedel petru u sistem de ecuații liiare rǎu coditioat (prima ecuație și a doua sut destul de aproape proporțioale). Se costatǎ cǎ, petru u umǎr dat de iterații, meoda coduce la erori mult mai mici decȃt metoda Jacobi. Programul.7 Rezolvarea uui sistem de ecuații liiare pri metoda Gauss- Siedel O îmbuǎtǎțire î cotiuare a vitezei de covergețǎ se poate obție folosid metoda suprarelaxarii. ( k ) Dacǎ î relația (.3) se adua și se scade x i, icluzȃd termeul scǎzut î ultima sumǎ, se obție relația echivaletǎ i ( k) ( k ) ( k) ( k ) ( k ) ( k ) xi xi bi aij x j aij x j xi Ri (.4) aii j ji Semificația acestei relații este cǎ la valoarea di iterația precedetǎ se aduǎ u ( ) corector dat de restul membrului drept, R k. i

Ueori acest corector se ajusteazǎ cu u coeficiet subuitar sau suprauitar w, care asigurǎ o covergețǎ mǎritǎ, metoda umidu-se î acest caz suprarelaxare și este descrisǎ de relația ( k) ( k) ( k x ) i xi wri ; w [0,] (.5) sau desfǎșurat i ( k) ( k ) w ( k) ( k ) xi xi bi aij x j aij x j (.6) aii j ji Deoarece coeficietul de suprarelaxare optimal petru u aumit sistem u poate fi cuoscut apriori, acest procedeu este util atuci cad trebuiesc rezolvate cȃt mai rapid u umǎr mare de sisteme asemǎǎtoare. Se experimeteazǎ pe u sistem diferite valori ale coeficietului de suprarelaxare w cǎutȃdu-se pe cel care asigurǎ cea mai buǎ precizie dupǎ u umǎr dat de iterații. Acest coeficiet va fi cosiderat î cotiuare optimal și petru celelalte sisteme. Î programul.8 este exemplificatǎ aplicarea suprarelaxǎrii petru u sistem de ecuații liiare foarte rǎu codițioat (prima ecuație și a doua sut aproape proporțioale). Se costata cǎ, petru u umǎr dat de iterații, folosirea uui coeficiet micșoreazǎ eroarea cu mai multe ordie de mǎrime. Programul.8 Rezolvarea uui sistem de ecuații liiare pri iterație Gauss- Siedel cu suprarelaxare w w.633.9 Matrici tridiagoale. Elimiare Gauss Existǎ umeroase cazuri î care sistemele de ecuații sut caracterizate de matrici rare, adicǎ matrici care au u umǎr importat de elemete ule. Este de așteptat ca astfel 3

de sisteme sǎ poatǎ fi rezolvate mai rapid, efiid ecesare umeroase operații aritmetice care implicǎ aceste elemete ule. De la caz la caz, astfel de situatii pot fi exploatate favorabil pri algoritmi specifici. Existǎ și cazuri, cu u grad destul de mare de geeralitate, petru care s-au dezvoltat deja algoritmi, î special dacǎ elemetele eule prezitǎ aumite simetrii topologice. Cea mai rǎspȃditǎ situație care implicǎ matrici rare, atȃt î aplicații directe cȃt și proveite di alte metode umerice (se va vedea la fucții splie și la metoda diferețelor fiite), este cea a matricilor tridiagoale, care va fi tratatǎ î cotiuare. O matrice tridiagoala are elemetele de pe diagoala pricipalǎ și pe cele de deasupra sau dedesubtul ei eule, iar restul sut ule. U sistem care implicǎ o astfel de matrice are deci forma d c 0...0 x b a d c...0 x b (.7)... 0 0 0... a d x b Se observǎ cǎ matricea coeficieților sistemului este... di a d ii i ai, i 0... ai di ci...0 A ci ai, i 0... ai di ci...0 ai ai, i (.8) ai a i, i... ci ai, i Avǎd î vedere cǎ majoritatea elemetelor de sub diagoalǎ sut deja ule, se poate aplicǎ mult mai ușor decȃt î cazul uei matrici dese (ormale) metoda Gauss. Puȃd codiția de aulare a uui elemet subdiagoal rezultǎ multiplicatorul petru liia ude d i este elemetul pivot. a 0 a m d (.9) ' i i i i i m a i i d (.0) i Țiȃd cot cǎ operația trebuie facutǎ pe itreaga liie ' di di mi ci (.) rezultǎ cǎ celelalte elemete care se modificǎ pe liia i sut (.) ' ai di di ci (.3) di ' ai bi bi bi (.4) di Î aceste relații avem i,,...,. Matricea devie și mai rarǎ, și î plus superior triughiularǎ i 4

... ' b ' b '...0 di ci... ' A' ; B (.5) ' '...0 0 di c i b i... ' b Pri urmare ecuoscutele se pot determia di relații cu umai trei termei ' ' di xi ci xi bi (.6) Deci și substituția iversǎ se realizeazǎ mult mai rapid deoarece î relațiile fiale u mai apar sume ca î cazul matricilor dese ' bi ci xi xi (.7) ' di ude i,,...,. Evidet, ultima ecuoscutǎ este datǎ de ' b x (.8) ' d Programul.9 rezolvǎ u sistem de ecuații liiare cu matrice tridiagoalǎ pri metoda Gauss folosid relațiile (.3), (.4), (.7) și (.8), ude s-au otat cu elemetele diagoale ale matricii superior triughiulare obțiute. Programul.9 Rezolvarea uui sistem de ecuații liiare cu matrice tridiagoalǎ pri metoda Gauss di [] 5

.0 Matrici tridiagoale. Factorizare Doolittle Tot petru cazul matricilor rare de tip tridiagoal prezetǎm algoritmul Doolittle, petru care volumul de calcule se micșoreazǎ de asemeea foarte mult. Petru sistemul AX B (.9) caracterizat de o matrice tridiagoalǎ, se face factorizarea A LU (.30) ude matricile factori au formele 0...0 0 u u 0...0 l...0 0 0 u u3...0 L ; U (.3) 0 0... l 0 0 0... u și deci elemetele lor sut 6

lij /. i j, i j uij /. i j, i j lij ; uij 0 /. i j, i j 0 /. i j, i j Di relația (.30) rezultǎ petru elemetele de deasupra diagoalei k, k km m, k kk k, k m (.3) a l, u l u (.33) ude s-a țiut cot de (.3) di care rezultǎ cǎ m{ k, k} { k, k} { k}. Pri urmare, elemetele ediagoale ale matricii U sut chiar elemetele ediagoale ale matricii iitiale A. u a (.34) k, k k, k Tot di relația (.30) rezultǎ petru elemetele de dedesubtul diagoalei a l u l u (.35) k, k km m, k k, k k, k m ude s-a țiut cot de (.3) di care rezultǎ cǎ m{ k, k} { k, k } { k }. Pri urmare, elemetele ediagoale ale matricii L sut akk, lkk, (.36) u k, k Di relația (.30) se observǎ imediat cǎ primul elemet diagoal al matricii U este egal cu primul elemet diagoal al matricii A. a u u a (.37) Di relația petru elemetele diagoale a l u l u l u (.38) kk km mk k, k k, k kk kk m ude s-a țiut cot de (.3) di care rezultǎ m{ k, k} { k, k} { k, k}, rezultǎ celelalte elemete diagoale u a l u (.39) și deci kk kk k, k k, k ak, k u a l a (.40) kk kk k, k k, k Relațiile de factorizare (.34),(.36),(.37) și (.40) implicǎ mult mai puție calcule decȃt î cazul matricilor dese, deoarece u implicǎ sumari dupǎ termei. De asemeea, ca și î cazul metodei Gauss petru matrici tridiagoale, determiarea ecuoscutelor pri substituție iversǎ și similar pri substituție directǎ implicǎ u volum mult mai mic de calcule.. Modul de lucru: Se vor rula programele. -.4 Se vor observa erorile rezultate i urma verificarilor Se vor modifica matricile de itrare si se vor relua puctele aterioare Se va mari cu umarul de ecuatii si se vor relua puctele aterioare 7

. Teme suplimetare: Se va mari de, de 5 si de 0 ori umarul de iteratii la metodele iterative si se vor ota erorile maxime obtiute La programul. se va modifica cu +/- 0. si +/-0. coeficietul de suprarelaxare si se vor ota erorile maxime obtiute 8

Lucrarea de laborator r. 3 Iterpolarea si aproximarea globala a fuctiilor. Teoria lucrarii Deși di puct de vedere sematic iterpolarea are u ses diferit de aproximare, î practica aalizei umerice ele se bazeazǎ pe aceleași procedee matematice, astfel cǎ î cele ce urmeazǎ vor fi tratate uitar. Dupǎ cum aratǎ și diferețierea deumirilor, existǎ douǎ categorii importate de aplicații ale acestor procedee. O primǎ categorie este îtȃlitǎ î aplicații de aturǎ experimetalǎ, atuci cȃd se colecteazǎ o listǎ de date umerice, reprezetȃd valorile determiate experimetal ale uei fucții Y f x, f x,..., f x, petru aumite valori (alese sau impuse) ale argumetului X x x x,,...,, ca î figura.. Dacǎ dorim sǎ determiǎm pri calcul valoarea fucției îtr-u puct care u aparție mulțimii de valori experimetale, xi X x i, trebuie sǎ recurgem la u procedeu de iterpolare. Astfel de procedee sut recomadate î special petru cazul uor fucții cu variații rapide și cu u umǎr redus de valori cuoscute, deoarece o simplǎ uire a puctelor cuoscute pri segmete de dreaptǎ poate furiza, dupǎ cum se observǎ î figura., o valoare destul de depǎrtatǎ de cea corectǎ. f(x) f(x i) f (x ) a i Fuctia exacta Fuctie aproximata x xi x x 3 x 4 x 5 x 6 Figura. Iterpolarea uei fucții îtr-u puct x O a doua categorie o costituie aplicațiile cu caracter mai teoretic, î care o fucție, cuoscutǎ aalitic dar foarte complicatǎ, este folositǎ î calcule de mare complexitate, și/sau croofage, evetual fǎrǎ soluții aalitice î termei de fucții elemetare. Î astfel de cazuri este utilǎ aproximarea fucției pri fucții mai simple 9

care sǎ permitǎ cotiuarea calculelor aalitice sau cel puți ușurarea lor. O astfel de situație este prezetatǎ î figura., î care o fucție dificil de prelucrat aalitic este aproximatǎ pritr-o fucție mult mai comoda, de tip poliomial..5..5..05-0.75-0.5-0.5 0.5 0.5 0.75 0.95 0.9 Figura. Aproximarea fucției hypergeometrice F (/ 3,/ 3, / 3; x ) (liie cotiuǎ) pritr-u poliom de grad 9 (liie puctatǎ) Aproximarea uei fucții complicate f( x ) se poate face cu o combiație liiarǎ de fucții elemetare liiar idepedete i f ( x) a ( x) (3.) i Se pot folosi î acest scop mooame, fucții trigoometrice elemetare sau diverse tipuri de polioame ortogoale dupǎ cum se va prezeta mai departe. Ueori este ecesarǎ o combiare a metodelor de rezolvare petru cele douǎ clase de probleme petru aproximarea uei fucții ecuoscute ale cǎrei valori sut determiate experimetal îtr-u umǎr de pucte, dar sut afectate de perturbatii și erori. Cel mai rǎspȃdit procedeu folosit î astfel de cazuri este cel de miimizare globalǎ a erorilor î sesul celor mai mici pǎtrate. Mețioǎm de asemea cǎ, î afara de importața practicǎ, aceste metode au și o importațǎ teoreticǎ, fiid folosite de umeroase alte metode umerice mai complexe (derivarea, rezolvarea ecuațiilor diferețiale și a celor itegrale, etc.).. Iterpolarea Newto Cea mai rǎspȃditǎ alegere a fucțiilor elemetare petru formula de aproximare sau iterpolare (3.) o costituie fucțiile de tip moom, astfel cǎ se obție o fucție aproximatǎ poliomialǎ. Coform teoremei de aproximare Weierstrass, orice fucție cotiuǎ și mǎrgiitǎ pe u iterval îchis ab, poate fi uiform aproximatǎ cu o precizie oricȃt de buǎ pritr-o fucție poliomialǎ. i i x i 30

Vom cosidera î cotiuare cǎ dispuem de valorile valori ale fucției euoscute,,,,, respectiv i puctele,,, și îcercǎm sǎ obțiem u poliom de grad care sǎ ia aceleași valori ca și î aceste pucte. Pri urmare se va face aproximarea f ( x) P( x) (3.) cu codiția ca î puctele,,, sǎ avem egalitate f( x ) f( x ) Px ( ) x f( x ) x x x x f( x) f ( xi) P( xi), i,,..., (3.3) O primǎ posibilitate de aproximare de acest tip o costituie iterpolarea Newto, care folosește urmǎtoarea dezvoltare a uei fucții ( ) : ude P ( ) x f ( x) a a ( x x ) a ( x x )( x x ) 0 x ab, f x defiitǎ pe u iterval... a ( x x )( x x )...( x x ) R ( x) P ( x) R ( x) este poliomul aproximat, de grad, iar R ( ) x (3.4) este restul aproximǎrii, presupus foarte mic î modul și care este u poliom de grad. Coeficieții ai dezvoltǎrii sut dați de urmǎtoarele formule care defiesc așa umitele diferețe divizate DD( x, x,..., x ) k, k : a f ( x ); 0 f ( x ) f ( x ) a DD( x, x ); x x DD( x, x ) DD( x, x ) a DD( x, x, x ); 3 3 x3 x... DD( x, x,... x) DD( x, x,... x ) a DD( x, x,..., x x ); x Pri urmare, formula de iterpolare Newto poate fi scrisǎ sub forma: k f ( x) f ( x ) DD( x, x,..., x ) ( x x ) DD( x, x,..., x, x) ( x x ); k, k i i k i i a i (3.5) (3.6) Demostrația se poate face pri iducție completǎ. Astfel, petru formula este adevǎratǎ deoarece ea se poate scrie: f ( x ) f ( x) f ( x) f ( x ) ( x x ) f( x); (3.7) x x Presupuȃd acum cǎ ea este valabilǎ petru : k, putem sǎ o scriem petru (3.8) f ( x) f ( x ) DD( x, x,..., x ) ( x x ) DD( x, x,..., x, x) ( x x ) k k i i k i i Separȃd factorul cu idice i di produs și explicitȃd coeficietul acestuia coform defiițiilor diferețelor divizate (3.5), termeul fial di (3.8) devie: 3

DD( x, x,..., x, x) ( x x ) i i (,,..., ) (,,...,, ) ( x x ) ( x xi ) x x i DD x x x DD x x x x k (3.9) Separȃd și ultimul terme, cu idice, di suma di relația (3.8) și schimbȃd semul la umitorul și la umǎrǎtorul fracției di (3.9) obțiem k f ( x) f ( x ) DD( x, x,..., x ) ( x x ) DD( x, x,..., x ) ( x x ) k k i i k i i DD( x, x,..., x ) DD( x, x,..., x, x) ( x x) ( x x ) x x i (3.0) Se observǎ cǎ aceasta relație se reduce la relația (3.6) petru, pe care am presupus-o adevǎratǎ, ceea ce îcheie demostrația. Formula de iterpolare Newto poate fi scrisǎ și ca formulǎ de aproximare a uei fucții pritr-u poliom: (3.6) t x k (3.) f ( x) P ( x) f ( x ) DD( x, x,..., x ) ( x x ) k, k i k i Restul iterpolǎrii poliomiale este pri urmare ultimul terme di dezvoltarea R ( x) DD( x, x,..., x, x) ( x x ); (3.) i i Acesta se poate estima folosid fucția ajutǎtoare: i i Q( t) f ( t) P ( t) DD( x, x,..., x, x) ( t x ) (3.3) Aceastǎ fucție are pe itervalul abu, umǎr de rǎdǎcii deoarece petru ea este ulǎ coform relației (3.6), iar petru cele valori t x produsul se auleazǎ și fucția Qx ( i ) se auleazǎ de asemeea coform relației (3.3). t x; Q( t) 0; (3.4) t xi; Q( xi) 0; i,,..., Coform teoremei lui Rolle, dacǎ are ordiul îtȃi Q'( t ) are rǎdǎcii, derivata de ordiul doi Q''( t ) are rǎdǎcii, și așa Qt () mai departe, iar derivata de ordiul are o rǎdǎcia. Fie ab, rǎdǎcii, îseamǎ cǎ derivata de aceasta rǎdǎcia ( Q ) ( ) 0 (3.5) Luad t î relația (3.3) și țiȃd cot cǎ derivata de ordiul î raport cu t a produsului di (3.3) este!, obțiem f ( ) ( ) DD( x, x,..., x, x)! 0 (3.6) ( ) ( ) P ude al doilea terme este ul deoarece este derivata de ordi a uui poliom de grad. Rezultǎ i 3

( ) f ( ) DD( x, x,..., x, x) (3.7)! și îlocuid î relația (3.) se obție formula ( ) f ( ) R( x) ( x xi) (3.8)! i Aceasta este doar o estimare a restului, deoarece u se cuoaște valoarea exactǎ petru care se auleazǎ derivata de ordi a fucției, dar aratǎ cǎ valoarea absolutǎ a restului scade foarte rapid cu datoritǎ factorialului de la umitor. Totuși, î zoele î care fucția variazǎ foarte rapid, cum ar fi de exemplu la capetele itervalelor (dicolo de care fucția ar fi idetic ulǎ), este posibil ca și umǎrǎtorul sǎ aibǎ valori mari iar restul sǎ deviǎ importat, cotribuid la asa-umitul feome Ruge care va fi prezetat mai departe. Programul. prezitǎ aproximarea uei fucții pritr-u poliom pri metoda de iterpolare Newto, iar programul. prezitǎ aproximarea uei fucții cuoscutǎ doar pri u umǎr fiit de valori umerice î pucte de eșatioare eechidistate. Qt () Programul. Aproximarea uei fucții pritr-u poliom de iterpolare Newto de grad 5 Cele douǎ fucții afisate î fial au grafice perfect suprapuse: 33

Poliomul de grad 5 obțiut de program este urmatorul: Programul. Aproximarea uei fucții cuoscutǎ îtr-u umǎr de pucte, pritr-u poliom de iterpolare Newto 34

Graficul obțiut î urma iterpolǎrii poliomiale petru puctele date este urmǎtorul: Puctele cuoscute a fost uite pe acest grafic pri segmete de dreapta. Se observǎ cǎ pot existǎ diferete destul de mari ître iterpolarea liiara și cea cu u poliom de grad superior. Poliomul de iterpolare obțiut petru puctele date este urmatorul: 35

. Iterpolarea Lagrage O altǎ metodǎ de iterpolare poliomialǎ, echivaletǎ cu cea prezetatǎ aterior dar beeficiid de formule mai simple este iterpolarea Lagrage. O fucție cotiuǎ pe itervalul și ale cǎrei valori sut cuoscute î f( x) pucte poate fi aproximatǎ pritr-u poliom de grad f ( x) P ( x) (3.9) folosid formula ab, f ( x) P ( x) f ( x ) x xj i i j xi xj j i Aceasta relație se mai poate scrie și sub forma ude fucțiile ( ) i i (3.0) f ( x) f ( x ) L ( x) (3.) L x sut polioamele Lagrage avȃd expresia i j i j j i i x xj Li ( x) (3.) x x Ca și î cazul iterpolǎrii Newto, trebuie sǎ existe egalitate strictǎ î relația (3.) î puctele î care fucția este cuoscutǎ, x i, iar î afara lor sa existe o diferețǎ cȃt mai micǎ, reprezetatǎ de același rest dat de relația (3.8). f ( x ) f ( x ) L ( x ) (3.3) i i i i i f ( x) f ( xi ) Li ( x) R ( x) (3.4) i Petru demostarea formulei, scriem mai îtȃi forma desfǎșurata a polioamelor Lagrage ( x x )( x x)...( x xk )...( x xi )( x xi )...( x x) Li ( x) (3.5) ( x x )( x x )...( x x )...( x x )( x x )...( x x ) i i i k i i i i Se observǎ cǎ petru x xi rezultǎ Li( xi), deoarece fiecare factor de la umǎrǎtor se simplificǎ cu uul de la umitor. Pe de altǎ parte, petru x x ude k i, existǎ la umǎrǎtor u factor k ( xk xk) 0, astfel cǎ Li( xk) 0. Rezultǎ urmǎtoarea proprietate a polioamelor Lagrage: L( x ) (3.6) i k ik Calculȃd cu relația (3.0) valoarea fucției poliomiale îtr-u puct x j, rezultǎ: P ( x ) f ( x ) f ( x ) (3.7) j i ij j i 36

astfel cǎ este demostratǎ relația (3.3). Aparet, formula de iterpolare Lagrage este mai simplǎ decȃt cea de iterpolare Newto și este folositǎ mai des î calculele aalitice. De remarcat îsǎ cǎ î calcule umerice iterpolarea Newto poate sǎ fie mai eficietǎ, deoarece coeficieții dezvoltǎrii se calculeazǎ recursiv, spre deosebire de cazul iterpolǎrii Lagrage. Programul.3 ilustreazǎ metoda de aproximare și iterpolare a uei fucții folosid polioame Lagrage. Î mediul Mathematica acest program este deosebit de rapid datoritǎ performațelor deosebite ale rutielor de calculare a produselor. Programul.3 Aproximarea uei fucții folosid u poliom Lagrage de gradul 0.3. Algoritmul Neville O schemǎ practicǎ mult mai eficietǎ de calcul a poliomului de iterpolare este datǎ de algoritmul Neville, care va fi descris î cotiuare. Notǎm mai îtȃi cu poliomul de gradul zero (o costatǎ) care trece pri puctul f ( x), x, deci P f ( x), cu poliomul de gradul zero (o costatǎ) care trece pri puctul f ( x), x, deci P f ( x), și așa mai departe pȃǎ la P f ( x). Di aceste polioame se pot forma polioame de grad uu (o dreaptǎ) otate astfel: cu P poliomul care trece pri puctele f ( x), x și f ( x), x, cu P 3 poliomul care trece pri puctele ( ), f ( x ), x, și aşa mai departe pȃǎ la P f x x și 3 3 P poliomul care trece pri puctele f ( x ), x și ( ),, P f x x. Se cotiuǎ acest proces pri formarea de polioame di grad di ce î ce mai mare, pȃǎ se ajuge la P,,...,, poliomul care trece pri puctele f ( x), x, f ( x), x,, f ( x ), x și ( ), f x x, adicǎ tocmai poliomul cǎutat. Se poate alcǎtui deci o schemǎ arborescetǎ î care fiecare coloaǎ se calculeazǎ pe rȃd pe baza coloaei precedete. 37

x : f ( x ) P x : f ( x ) P P 3 x : f ( x ) P P 3 34 3 3 3 34 x : f ( x ) P 4 4 4 P P P 34 P (3.8) Î aceasta schemǎ, fiecare poliom de grad se obție di douǎ polioame de grad ( x xi k ) Pi ( i)...( ik) ( xi x) P( i)( i)...( ik ) Pi ( i)...( ik ) (3.9) xi xi k Programul.4 ilustreazǎ calculul poliomului de iterpolare pri algoritmul Neville. Trebuie mețioat totuși cǎ acest algoritm este recomadat petru limbaje de programare de uz geeral, ude viteza va fi itr-adevǎr mai mare decȃt cea a iterpolarii Newto sau Lagrage. Folosid programul Mathematica, viteza obțiuta cu formula de iterpolare Lagrage este superioarǎ celorlalte metode datoritǎ eficieței deosebite de calcul a produselor care apar î aceasta metodǎ. k dupǎ urmǎtoarea formulǎ obțiutǎ pe baza diferețelor divizate: Programul.4 Aproximarea uei fucții pritr-u poliom de iterpolare obțiut pri algoritmul Neville. k.4 Feomeul Ruge Atuci cȃd se îcearcǎ aproximarea uei fucții oarecare pritr-o fucție poliomialǎ uicǎ petru ȋtregul domeiu de defiiție ab, se costatǎ de regulǎ cǎ erorile sut mai mari îspre capete domeiului. Ueori este chiar posibil ca erorile spre 38

capete sǎ creascǎ odatǎ cu creșterea gradului poliomului de iterpolare, ceea ce face ca metodele Newto sau Lagrage sa u fie covergete, î sesul cǎ erorile u pot fi micșorate oricȃt de mult. Acesta este așa-umitul feome Ruge și este îtȃlit î special î cazul î care puctele de itersecție a fucției cu poliomul aproximat (puctele de eșatioare) sut echidistate. Feomeul Ruge este ilustrat de programul.5, care evidețiazǎ (chiar petru fucția datǎ ca exemplu de cǎtre Ruge) erorile spre capetele itervalului. Rularea programului cu u umǎr di ce î ce mai mare de pucte itesificǎ aceste erori. Programul.5 Apariția feomeului Ruge la o iterpolare poliomialǎ globalǎ folosid pucte de eșatioare echidistate Graficul de iterpolare î pucte echidistate a fucției Ruge (cea care a fost exemplificatǎ prima oarǎ î legaturǎ cu acest feome) pritr-u poliom cu 0 termei este urmǎtorul: 39

Dacǎ se crește umǎrul de termei ai poliomului la 0, graficul de iterpolare î pucte echidistate a fucției Ruge este urmǎtorul: Se observǎ cǎ deși î portiuea cetrala erorile scad cȃd se crește ordiul poliomului de iterpolare, spre capetele itervalului erorile tid sǎ creascǎ, relevȃd feomeul Ruge..Modul de lucru: Se vor rula programele 3. -3.5 Se vor observa erorile la programele 3., 3. si 3.3 3.Teme suplimetare: Se va mari di i paa la 30 umarul de termei ai poliomului de iterpolare la programele 3., 3. si 3.3 si se va observa modificarea erorii. Se va determia umarul optim de termei 40

Lucrarea de laborator r. 4 Iterpolarea si aproximarea mii-max si splie a fuctiilor. Teoria lucrarii. Utilizarea polioamelor Chebyshev si teorema mii-max Erorile la iterpolare și aproximare sut exprimate de restul R ( ) x dat de relația ( ) f ( ) R( x) ( x xi)! i Deoarece, așa cum s-a arǎtat, u se cuoaște puctul și valoarea derivatei de ordiul î acest puct, sigura cale de a se miimiza restul este sǎ se aleagǎ corespuzǎtor puctele de eșatioare astfel ȋcȃt produsul x i p( x) ( x xi) (4.) i sǎ fie miim. Acesta este u poliom moic (poliom cu coeficietul termeului de gradul cel mai îalt egal cu ) de gradul. Î legatura cu acest tip de polioame existǎ urmǎtoarea teoremǎ: Teorema mii-max: ditre toate polioamele moice de grad, polioamele moice Chebyshev au cea mai micǎ valoare absolutǎ maximǎ pe itervalul,. Rezultǎ cǎ dacǎ puctele de eșatioare sut chiar rǎdǎciile uui poliom moic Chebyshev de grad, produsul (4.) este u astfel de poliom și deci restul iterpolǎrii poliomiale va avea cea mai micǎ valoare absolutǎ maximǎ posibilǎ pe itervalul,. Pritr-o schimbare coveabilǎ de variabila, acest procedeu poate fi extis petru orice iterval fiit ab, și teoretic chiar și petru itervale cu ua di limite ifiitǎ. Demostrația acestei teoreme se va face dupǎ ce se trec î revista aumite proprietǎți utile ale polioamelor Chebyshev. Polioamele Chebyshev se defiesc pe itervalul, pri urmǎtoarea relație: T ( z) cos( arccos( z)) (4.) Notȃd rezultǎ forma echivaletǎ: ude sut: x i arccos zz ;, (4.3) T ( ) cos z (4.4) z cos (4.5) Porid de la aceastǎ defiiție rezultǎ cǎ primele douǎ polioame Chebyshev 4

T0 ( z) cos0 (4.6) T ( z) cos z Restul polioamelor Chebyshev se pot calcula și pri relația de recurețǎ: T ( z) zt ( z) T ( z); (4.7) Relația (4.7) se poate demostra pe baza urmǎtoarei idetitǎți trigoometrice: cos( )cos( ) [cos( ) cos( )] (4.8) Luȃd î aceastǎ relație și ( ) se obție: cos cos( ) [cos cos( ) ] (4.9) de ude se deduce relația (4.7). Se poate demostra cǎ fucțiile urmǎtoarea formǎ geeralǎ: ude R ( ) z z T ( ) ( ) T z z T( z) este u poliom de grad T ( ) z ( ) ( ) sut polioame de grad, avȃd T z z R z (4.0) R ( z) ( z), ude. Vom folosi otația () z este mulțimea polioamelor de grad cel mult Demostrația se poate face pri iducție completǎ. Itr-adevǎr petru (4.0) este evidetǎ. Presupuȃd acum cǎ ea este valabilǎ petru, î cazul, țiȃd cot de relația (4.7) se obție: T ( z) zt ( z) T ( z) z z zr ( z) z R ( z) z R ( z) (4.). R ( z) relația ceea ce aratǎ cǎ relația este valabilǎ și î acest caz. Cele rǎdǎcii ale poliomului Chebyshev de grad se pot determia simplu di relația de defiitie T ( zk ) 0; cos k 0; k (k ) ; k,,..., (4.) radacii k k ; (4.3) zk cos k (4.4) Extremele poliomului au valoarea sau -: T ( z) cos [,] (4.5) Ele se pot obție simplu puȃd codiția de extrem î defiiția (4.4): cos k; k (4.6) k k k zk cos k ; k 0,,,..., extreme (4.7) 4

De remarcat cǎ cele valori ale lui z k date de acestǎ relație sut ordoate descrescǎtor, fucția cosius fiid descrescǎtoare de la la - pe itervalul petru k 0 avem Ilocuid k z0 iar petru k avem z î (4.5) rezultǎ valorile î extreme:. 0,. Astfel, T ( ) ( ) k zk (4.8) Coform celor precizate î alieatul precedet, rezultǎ cǎ la extrema dreapta a domeiului de defiiție avem extremul, petru care valoarea poliomului este z 0 îtotdeaua, î timp ce la extrema stȃga avem extremul, petru care valoarea poliomului este dacǎ gradul este par și - dacǎ gradul este impar. T ( ) ( ) Programul 4. calculeazǎ pri recurețǎ primele 7 polioame Chebyshev și afișeazǎ graficele și expresiile lor idividuale, precum și graficele suprapuse. Di aceste reprezetǎri grafice se pot observa pozițiile celor radǎcii și ale celor 0 ( ) z Programul 4. Calculul și reprezetarea polioamelor Chebyshev extreme. Reprezetarea pe u sigur grafic a primelor 7 polioame Chebyshev, geeratǎ de acest program este urmǎtoarea: De asemeea, programul geereazǎ urmǎtoarele reprezetǎri pe grafice idividuale petru aceste polioame: 43

44

Numim polioame moice acele polioame care au coeficietul termeului de gradul cel mai îalt egal cu. Di relația (4.0) se observǎ cǎ se poate obție simplu u poliom moic Chebyshev de gradul, pe care îl vom ota î cotiuare, pri T( z) împǎrțirea uui poliom Chebyshev cu T () z T ( z) T ( ) z z R ( z) (4.9) Coform defiiției (4.4) se poate scrie (4.0) T ( ) z deci poliomul moic Chebyshev are proprietatea T ( z) (4.) Demostrația teoremei mii-max. Aceastǎ demostrație se va face pri reducere la absurd. Sǎ presupuem cǎ ar exista u poliom moic cu proprietatea Dacǎ f ( ) z cu F ( z) ( z) f ( ) z f z T z (4.) ( ) ( ) este u poliom moic se poate scrie f ( z) z F ( z) (4.3) Sa formǎm fucția ajutǎtoare Q( z) T( z) f( z) (4.4) Țiȃd seama de relațiile (4.9) și (4.3) se observǎ cǎ avem Q( z) R ( z) F ( z) Q( z) ( z) (4.5) deci fucția Qz ( ) este u poliom de grad cel mult Sǎ studiem comportarea acestei fucții ître douǎ extreme cosecutive ale poliomului moic Chebyshev. Evidet, acest poliom moic are tot poliomul Chebyshev ormal. Orice iterval care este ître douǎ extreme cosecutive are la u capǎt u extrem cu umǎr par k și la celǎlalt u extrem cu umǎr impar k. Î extremul cu umǎr par, coform relatiei (4.8), rezultǎ cǎ poliomul moic este pozitiv k ( ) T( k) 0 (4.6) deci iar fucția ajutatoare este pozitivǎ k k. extreme ca și T ( ) T ( ) (4.7) Q( ) T ( ) f ( ) T ( ) f ( ) 0 (4.8) k k k k k deoarece coform ipotezei modulul lui f ( z ) este mai mic decȃt al poliomului moic Chebyshev. 45

Pe de altǎ parte, î extremul cu umǎr impar, coform relației (4.8), rezultǎ cǎ poliomul moic este egativ k ( ) T( k ) 0 (4.9) deci iar fucția ajutǎtoare este egativǎ T ( ) T ( ) (4.30) k k Q( ) T ( ) f ( ) T ( ) f ( ) 0 (4.3) k k k k k deoarece coform ipotezei modulul lui este mai mic decȃt al poliomului moic Chebyshev. Deoarece îtr-u capǎt al itervalului fucția este pozitivǎ iar î celalalt capǎt este egativǎ, îseamǎ cǎ ea ar avea cel puți o rǎdǎciǎ î acest iterval. Deoarece existǎ asemeea itervale și deci fucția ar avea cel puți rǎdǎcii. Aceasta îsǎ este imposibil deoarece, dupǎ cum s-a arǎtat, fucția este u poliom de grad cel mult adevǎratǎ cotrara ei: Qz ( ) f ( ) z extreme, ître acestea se afla Qz ( ) Qz ( ), ceea ce arata cǎ ipoteza este falsǎ și deci este f z T z (4.3) ( ) ( ) ceea ce demostreazǎ teorema mii-max. Î cocluzie, existǎ posibilitatea miimizǎrii erorilor de iterpolare poliomialǎ globalǎ a uei fucții pe itervalul, pri algoritmi de tip Lagrage sau Newto pri alegerea puctelor de eșatioare a abscisei (odurile) î rǎdǎciile uui poliom Chebyshev de ordi date de relația (4.4). Dacǎ avem u iterval oarecare ab,, se poate utiliza o schimbare de variabilǎ de tipul b a b z x a (4.33) astfel cǎ odurile de iterpolare sut date de relația b a b a z cos k, k,,..., (4.34) Programul 4. realizeazǎ iterpolarea poliomiala Newto a uei fucții (î acest exemplu, fucția Ruge) pri eșatioarea abscisei î rǎdǎciile uui poliom Chebyshev. Sigura deosebire fațǎ de cazul eșatioǎrii echidistate (programul.5) este calculul odurilor folosid relația (4.34), coform teoremei mii-max. 46

Programul 4.- Iterpolare poliomialǎ globala a fucției Ruge cu eșatioare î oduri Chebashev Graficul de iterpolare a fucției Ruge î pucte date de rǎdǎciile poliomului Chebyshev de grad 0, pritr-u poliom cu 0 termei este urmǎtorul: Se observǎ cǎ î regiuea cetrala erorile sut mai mari decȃt î cazul eșatioǎrii echidistate (datoritǎ desitatii mai mici a odurilor), î schimb spre capete erorile sut substațial mai mici decȃt î cazul respectiv. 47

Dacǎ se creşte umǎrul de termei ai poliomului la 0, graficul de iterpolare a fucției Ruge î pucte date de rǎdǎciile poliomului Chebyshev de grad 0 este urmǎtorul: Se observǎ cǎ erorile scad foarte mult pe tot itervalul atuci cȃd se mǎrește gradul poliomului de iterpolare, ceea ce aratǎ cǎ, spre deosebire de cazul iterpolǎrii echidistate, procesul este coverget. 4. Iterpolarea cu fucții splie Î cazul î care iterpolarea cu u poliom pe itregul iterval de iteres coduce sau la erori prea mari sau la u poliom de grad prea mare petru a fi ușor maipulat, se poate recurge la împǎrțirea î subitervale și aproximarea pe fiecare subiterval cu u poliom distict dar de grad mic. Metoda presupue mai îtȃi sǎ se facǎ împǎrțirea domeiului de defiitie [ x0, x ] al fucției ecuoscute f( x ), î mai multe subitervale: [ x0, x ] [ x0, x ] [ x, x]... [ xi, xi ]... [ x, x] (4.35) iar pe fiecare subiterval sǎ se costruiascǎ o fucție aproximatǎ sub forma uui poliom Si ( x ). Rezultǎ cǎ petru cele + pucte (icluzȃd și capetele domeiului) se obti itervale. Pri cocatearea celor polioame se obție o fucție rezultatǎ S( x) S ( x) f ( x) (4.36) i Cea mai simplǎ variatǎ este iterpolarea cu u poliom de grad, adicǎ o dreapta care uește douǎ pucte cosecutive cuoscute. Dacǎ aceste pucte sut suficiet de multe, erorile la aproximarea fucției ecuoscute pri segmete de dreapta pot fi acceptabile, și ître puctele cuoscute se poate face o iterpolare liiarǎ. O ilustrare a procedeului este datǎ de programul urmǎtor, î care se face reprezetarea cu iterpolare liiarǎ a uei liste de valori i ale uei fucții ecuoscute, petru aumite valori ale argumetului x i. i y determiate experimetal 48

Programul 4.3- Iterpolare liiarǎ a uei liste de valori experimetale Rezultǎ urmǎtoarea reprezetare grafica: Î schimb, dacǎ fucția are o variație rapidǎ iar umǎrul de pucte î care ea este cuoscutǎ este mic erorile pot crește foarte mult. Î figura urmǎtoare este reprezetatǎ o aproximare pri segmete de dreaptǎ a uei fucții siusoidale cuoscutǎ doar î 6 pucte. Se observǎ cǎ la aumite valori ale argumetului (de exemplu la 0,5 sau,5) erorile care apar la o iterpolare liiarǎ sut foarte mari, de ordiul zecilor de procete. 49

Chiar și pri mǎrirea umǎrului de pucte la erorile sut î cele mai multe cazuri iacceptabile, dupǎ cum se poate observa î figura urmǎtoare: Desigur, dacǎ s-ar folosi petru aproximarea ître douǎ pucte u poliom de grad superior, rezultatele ar fi mult mai bue, dar procedeul ar putea fi prea complicat di puct de vedere umeric. Î pricipiu, petru o iterpolare cu polioame de gradul k, fucția rezultatǎ pri cocatearea acestora este de clasa C k-, deci cu u aspect cu atȃt mai eted cu cȃt gradul polioamelor este mai mare. Astfel, cea mai simplǎ iterpolare pe porțiui poate fi fǎcutǎ cu polioame de gradul, ceea ce presupue cǎ fucția rezultata este cotiua și de clasa C 0 (derivata de ordiul u este cotiua). Î exemplul di figura. este prezetata racordarea a douǎ astfel de polioame îtr-u puct și derivata fucției rezultate pri cocatearea acestora..0.8.6.4..0 0.5.0.5.0 a) 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.5.0.5.0 0.4 50

b) Figura 4.. Cele douǎ polioame de gradul cocateate î puctul {,} (a) și derivata de ordiul a fucției rezultate (b) Dacǎ se utilizeazǎ polioame de gradul, fucția rezultata este de clasa C, deci derivata de ordiul I este cotiua, iar derivata de ordiul II este discotiua, dupǎ cum se prezitǎ î exemplul di figura.. Fucția rezultata este î acest caz destul de eteda, fiid î orice caz o soluție mai buǎ decȃt cea precedetǎ. Totuși, avȃd î vedere forma destul de simplǎ a poliomului de iterpolare, este de așteptat ca acesta sa u poatǎ urmǎri suficiet de exact evetuale variații mai rapide ale fucției ecuoscute. De aceea, î cele mai multe cazuri, se prefera utilizarea uui poliom de gradul 3, care asigurǎ o fucție rezultatǎ de clasa C, deci derivata îtȃia și a doua sut cotiue, dupǎ cum se prezitǎ î exemplul di figura.3. Î acest caz, umit iterpolare splie cubica, aspectul fucției rezultate este și mai eted, iar erorile fațǎ de fucția origialǎ sut de asteptat sǎ fie mai mici. 4.5 4.0 3.5 3.0.5.0.5 3.0 0.5.0.5.0 a).5.0.5.0 0.5 0.5.0.5.0 b) 0.5.0.5.0 3 5

c) Figura 4.. Cele douǎ polioame de gradul cocateate î puctul {,3} (a), derivata de ordiul a fucției rezultate (b), și derivata de ordiul a acesteia (c) 6.0 5.5 5.0 4.5 0.5.0.5.0 a) 0.5.0.5.0 5 b) 4 3 0.5.0.5.0 c) Figura 4.3. Cele douǎ polioame de gradul 3 cocateate î puctul {.5,4} (a), derivata de ordiul a fucției rezultate (b), și derivata de ordiul a acesteia (c) Se cosiderǎ cǎ folosirea uor polioame de gradul 3 coduce la u compromis rezoabil ître precizie și complexitate. Pe fiecare subiterval [ xi, xi ], fucția este aproximatǎ pritr-u poliom de gradul trei S ( x) de forma i a x x b x x c x x d x x x Si ( x) 0, x [ xi, xi ] i,,..., 3 i ( i ) i ( i ) i ( i ) i, [ i, i] (4.37) 5

Pe asamblu fucția este aproximata pritr-o suma de astfel de fucții cu domeii de defiitie disjucte f ( x) S( x) S ( x) (4.38) 4 i pucte. Rezultǎ 3( ) i Sx ( ) Petru a se putea calcula cei coeficieți di relațiile (4.37) se vor impue codiții de racordare î puctele itermediare: fucțiile și primele lor douǎ derivate trebuie sa fie cotiue î aceste ecuații, care impreua cu cele ecuații care dau valorile cuoscute ale fucției î cele pucte (icluzȃd și cele de la capetele itervalului) dau u total de 4 ecuații. Petru ca sistemul sa fie determiat se aleg (subiectiv) douǎ valori petru derivata a doua la capetele itervalului, sistemul deveid astfel complet. Cea mai uzualǎ alegere este ca derivata a doua sǎ fie 0 la capetele itervalului, caz î care avem așa umita iterpolare splie cubicǎ aturalǎ. Puȃd codiția ca fucțiile care le vom ota î cotiuare cu di relația (4.37) se obție: y i, S ( x ) i i sǎ treacǎ pri puctele cuoscute ( ) f x i S ( x ) y, i,,..., (4.39) i i i S ( x ) d, i,,..., (4.40) i i i ceea ce îsemǎ cǎ se cuosc parametrii d i di yi, i,,..., (4.4) Î cotiuare puem codițiile ca fucțiile și primele douǎ derivate sǎ se racordeze î puctele itermediare. S ( x ) S ( x ) (4.4) i i i i S ' ( x ) S ' ( x ) (4.43) i i i i S '' i ( xi ) S '' i( xi ) (4.44) Di relația (4.37) expresiile derivatelor sut S ' ( x) 3 a ( x x ) b ( x x ) c (4.45) i i i i i i S '' i ( x) 6 ai ( x xi ) bi (4.46) Petru ușurița calculelor algebrice vom cosidera î cotiuare cǎ domeiul de defiiție al fucției este împǎrțit î itervale egale (eșatioare echidistatǎ): x i x i h cost. i,,..., Rezultǎ cǎ putem scrie cǎ î puctul xi argumetul ( x x i ) al poliomului Si ( x ) este h, iar argumetul lui S ( ) i x este 0. Țiȃd cot de relația (4.37), codiția (4.4) de racordare a polioamelor î puctul xi devie 3 a ;,,..., ih bh i cih yi yi i (4.47) De asemeea, țiȃd cot de relația (4.45), codiția de racordare a derivatelor de ordiul îtȃi (4.43) va fi: 3ai h bh i ci ci ; i,,..., (4.48) Țiȃd cot de relația (4.46), codiția de racordare a derivatelor de ordiul al doilea (4.44) va fi: pe 53

6a h b b ; i,,..., (4.49) i i i Di aceastǎ ultimǎ relație se poate obție coeficietul bi bi ai ; i,,..., (4.50) 3h Itroducȃd acest coeficiet î ecuația (4.47), se poate obție coeficietul 3yi 3yi bi h bi h ci ; 3h i,,..., (4.5) Evidet, o relație similarǎ se poate scrie și petru coeficietul, pri trecerea ii 3yi 3yi bi h bi h ci, 3h i,,..., (4.5) Itroducad și î ecuația (4.48) se obție dupǎ efectuarea calculelor algebrice bi i 3h b 3yi 3yi bi h bi h bh i 3h 3h c i ci 3yi 3yi bi h bi h 3h 3 bi 4 bi bi ( y i yi yi); h i,,..., (4.53) Dȃd valori idicelui i se obție urmǎtorul sistem de ecuații: 3 4 b b3 ( y y y3) b h 3 b 4 b3 b4 ( y y3 y4) h 3 b3 4 b4 b5 ( y 3 y4 y5) h (4.54) a i ci c i 3 b 3 4 b b ( y 3 y y ) h 3 b 4 b ( y y y) b h Î acest sistem de ecuații s-au trecut î membrul drept coeficieții cosiderati cuoscuți (aleși) și b, astfel cǎ avem umai ecuoscute, b, b3,..., b. Sistemul se poate scrie sub forma matricealǎ: b 54

h y y y3 b 4 0 0 0 0 0b 3 4 0 0 0 0 b 3 y y3 y 4 0 4 0 0 0b 4 3 y3 y4 y 5 (4.55) h 0 0 0 0 4 b y3 y y 0 0 0 0 0 4 b h y y y b 3 Se observǎ cǎ matricea sistemului este tridiagoalǎ și totodatǎ diagoal domiatǎ, astfel cǎ rezolvarea sa este sigurǎ și rapidǎ, pri ua ditre metodele prezetate î secțiuile.9 sau.0. Pri rezolvarea acestui sistem se obți coeficieții, care itroduși î ecuațiile (4.50) și (4.5) e dau coeficieții Si ( x) Sx ( ) a i și respectiv c i b i, astfel cǎ se pot costrui toate polioamele. Codiția ca u astfel de poliom sǎ fie idetic ul î afara itervalului, astfel ca fucția aproximatǎ sǎ poate fi obțiutǎ pri ȋsumarea (4.38) a tuturor polioamelor, se poate scrie folosid fucții Heaviside (fucții treaptǎ uitate), defiite pri xi, x, x x0 ( xx0 ) (4.56) 0, x x0 Este evidet cǎ difereța a douǎ fucții treaptǎ decalate dǎ o fucție fereastrǎ dreptughiularǎ uitate: 0, x xi ( x xi ) ( x xi ), xi x xi (4.57) 0, x xi astfel cǎ orice fucție mǎrgiitǎ îmulțitǎ cu aceasta difereța este idetic ulǎ î afara itervalului xi, xi. Pri urmare, fucția aproximatǎ se poate scrie sub forma: 3 i i i i i i i i i (4.58) S( x) a ( x x ) b ( x x ) c ( x x ) y ( x x ) ( x x ) i Î cazul î care eșatioarea u este echidistatǎ, expresiile di sistemul (4.54) sut ceva mai complicate, dar matricea rǎmȃe tridiagoalǎ, astfel îcȃt sistemul este simplu de rezolvat umeric. Elemetele matricii sistemului au î acest caz expresiile: A x x ;,3,..., i, i i i A ( x x );,,..., i, i i i A x x ;,,..., 3 i, i i i i (4.59) 55

iar î membrul drept al ecuațiilor de tip (4.53) vom avea elemetele matricei termeilor liberi sub forma yi ( xi xi ) yi y i Yi 3 i,3,..., 3 ( xi xi ) ( xi xi )( xi xi ) ( xi xi ) (4.60) y ( x3 x ) y y 3 Y 3 ( x x ) b ( x x ) ( x x )( x3 x) ( x3 x) y ( x x ) y y Y 3 ( x x ) b ( x x ) ( x x)( x x ) ( x x ) (4.6) (4.6) Programul 4.4 exemplificǎ implemetarea metodei de iterpolare cu fucții splie cubice a uei liste de valori y={6,4,5,3,,4,5} ale uei fucții ecuoscute î pucte eechidistate x={0,.5,,3.5,4.5,6,8} 56

Programul 4.4 - Iterpolare splie cubic a uei liste de valori 57

Rezultatul petru matricea sistemului este Fucția splie rezultatǎ cu alegerea arbitrara b 0.5 și b7 este urmǎtoarea (petru comparație s-a reprezetat și fucția obțiutǎ pri iterpolare liiarǎ): 6 5 4 3 4 6 8 Figura 4.4 Fucție splie și fucția cu iterpolare liiarǎ.modul de lucru: Se va rula programul 4. si se vor observa polioamele Chebyshev Se va rula programul 4.. si se va observa variatia erorii cu umarul de oduri Se vor compara rezultatele cu cele de la iterpolarea echidistata Se va rula programul 4.4 si se va observa iterpolarea splie 3.Teme suplimetare: Se va realiza u program petru iterpolarea splie a fuctiei Ruge si se vor compara erorile cu cele obtiute pri celelalte metode 58

Lucrarea de laborator r. 5 Aproximarea si iterpolarea pri metoda celor mai mici patrate. Teoria lucrarii Ecuatiile ormale sut i cazul geeral: f ( a, x ) f ( a, x ) Y f ( a, x ), j 0,,..., N N j i j i i j i i aj i aj (5.) Petru cazul cad se poate face exprimarea fuctiei aproximate pritr-o combiatie liiara de fuctii elemetare, ecuatiile ormale devi sau: ude: i N N N f ( x) a ( x) (5.) i i j i k k i j i i k0 i i j Y ( x ) a ( x ) ( x ), j 0,,...,, (5.3) ak Akj ( xi ) v j, j 0,,..., (5.4) k0 N A ( x ) ( x ) ( x ) (5.5) kj i k i j i i N v Y ( x ) (5.6) j i j i i Relatia (5.4) permite calculul coeficietilor care formeaza combiatia liara (5.) si itroducerea lor i aceasta relatie geereaza fuctia aproximata. i Cosiderad fuctiile elemetare ca fiid i x mooame (recomadate petru aproximari de tip poliomial), se obtie: N k j kj ( i) i i N j v j Yi xi i A x x (5.7) (5.8) 59

60

Programul 5. calculeaza fuctia aproximata petru o secveta cu lugimea Np de date semal la care se adauga o secveta de perturbatii per cu valori comparabile (umere aleatoare de amplitudie a). Se obtie o secveta receptioata experimetal rec care este aproximata i modulul al doilea al programului pritr-u poliom de u aumit grad..modul de lucru: Se va rula programul 5. si se vor observa semalul real, semalul receptioat si semalul aproximat Se va rula modifica gradul poliomului aproximat si se va ota variatia corespuzatoare erorii. Petru ca secveta aleatoare sa ramaa aceeasi, se va rula doar partea a doua a programului Se vor rula di ou prima parte a programului petru a se obtie alta secveta perturbatoare si se vor ota di ou erorile petru mai multe valori ale gradului poliomului de iterpolare Se vor relua primele trei pucte petru u alt semal real (cel aflat itre cometarii, poliom de gradul 3). 6

Se vor relua primele trei pucte petru u alt semal real (cel aflat itre urmatoarele cometarii, combiatie de siusoide). 3.Teme suplimetare: Se va realiza u program petru iterpolarea i sesul celor mai mici patrate folosid ca fuctii elemetare polioamele Legedre se vor compara erorile cu cele obtiute pri calalta metoda. Petru aceasta se va ilocui modulul al doilea cu cel de mai jos: Se va ilocui al doilea modul cu urmatorul, care realizeaza iterpolarea si aproximarea i sesul celor mai mici patrate folosid aproximarea Legedre, care este mult mai ecoomica deoarece u ecesita iversarea matricii. Se vor compara erorile cu cele obtiute i cazurile precedete 6

63

Lucrarea de laborator r. 6 Rezolvarea ecuatiilor eliiare. Teoria lucrarii Problema gǎsirii acelor valori ale argumetului uei fucții reale de argumet real care auleazǎ fucția (fig 3.), este echivaletǎ cu rezolvarea ecuației: F x, F : (6.) 0 Valorile respective sut umite rǎdǎciile ecuației (6.). Î cazul î care rǎdǎcia este realǎ, fucția itersecteazǎ abscisa. Dacǎ o rǎdǎcia u este reala, atuci ecuația are ca rǎdǎciǎ și cojugata acesteia. Problema admite soluții aalitice petru toate cazurile î care fucția este u poliom de grad cel mult 4, petru aumite fucții elemetare sau speciale, și aumite combiații ale acestora. Î foarte multe cazuri ȋsǎ, u este posibilǎ gǎsirea uor soluții aalitice și este ecesar sǎ se utilizeze metode umerice petru obțierea rǎdǎciilor. Existǎ o mare varietate de metode geerale petru rezolvarea umericǎ a acestei probleme, caracterizate pri diverse grade de complexitate, eficieta și vitezǎ. Sut de asemeea cuoscute o serie de metode speciale, recomadabile petru cazuri î care se pot exploata favorabil o serie de particularitǎți ale fucției î cauzǎ. Petru optimizarea umǎrului de operații ecesare petru obțierea cu precizie ridicatǎ a tuturor rǎdǎciilor, se procedeazǎ de cele mai multe ori î douǎ etape, î special atuci cȃd se presupue cǎ existǎ mai multe rǎdǎcii disticte. Este recomadabil de asemeea ca, dacǎ mediul de programare folosit permite ușor acest lucru, sǎ se vizualizeze mai îtȃi graficul fucției respective pe itervalul de iteres, ceea ce oferǎ o imagie asupra poziției rǎdǎciilor și umǎrului lor. Itr-o prima etapǎ, se vor stabili subitervalele î care sut plasate rǎdǎciile, petru a restrȃge procesul de cǎutare a valorilor exacte î domeii cȃt mai ȋguste, î care gǎsirea valorilor cu o precizie mare sǎ se facǎ pritr-u umǎr cȃt mai redus de iterații. De exemplu, î figura 3. se observǎ cǎ rǎdǎcia x3 este î itervalul [4h,5h].Vom umi î cotiuare acest proces etapa gasirii itervalelor (egl. braketig). Î a doua etapǎ, se va cosidera fiecare iterval î parte, și pri metode umerice cȃt mai eficiete se va gǎsi rǎdǎcia di itervalul respectiv cu precizia doritǎ. Vom umi î cotiuare acest proces etapa gǎsirii rǎdǎciilor (egl. refiig). Dat fiid cǎ uele metode cosiderate foarte eficiete î majoritatea cazurilor pot da rezultate eroate petru aumite cazuri particulare, este obligatoriu ca dupǎ gǎsirea rǎdǎciilor sǎ se facǎ verificarea acestora, itroducad valorile respective î ecuația (6.) și observȃd abaterea fațǎ de 0.. Gǎsirea itervalelor pri eşatioare Itervalele î care se aflǎ cȃte o rǎdǎcia pot fi determiate vizual pe baza aalizei graficului fucției, dacǎ acesta poate fi reprezetat. Aalitic, acest lucru este posibil pe baza urmǎtoarei cosecițe a teoremei valorii medii: 64

Dacǎ o fucție este mootoǎ și cotiuǎ pe u iterval [a,b] și îdepliește codiția F( a) F( b) 0, atuci î itervalul respectiv se aflǎ o rǎdǎciǎ. Pri urmare, este posibilǎ gǎsirea itervalelor î care se aflǎ cȃte o rǎdǎciǎ dacǎ se eșatioeazǎ abscisa cu pasul h, se calculeazǎ valorile fucției î puctele respective și produsul acestor valori î pucte cosecutive. Dacǎ u astfel de produs este egativ, ître cele douǎ pucte de eșatioare cosecutive se aflǎ cel puți o rǎdǎciǎ. Se observǎ cǎ acest procedeu este de fapt echivalet costruirii șirului Rolle. Rǎdǎcia este uicǎ dacǎ fucția este mootoǎ (codiție suficietǎ, u și ecesarǎ), dar acest lucru u este îtotdeaua cuoscut. Î cazul î care î iterval ar exista mai multe rǎdǎcii, majoritatea metodelor umerice vor gǎsi umai ua, celelalte pierzȃdu-se. Petru a evita aceasta existǎ mai multe posibilitǎți: se poate reprezeta grafic fucția, se poate studia și semul derivatei dacǎ se dispue de aceasta, sau se poate alege pasul de eșatioare suficiet de fi petru a se surpride toate trecerile pri zero ale fucției. Ueori, umǎrul rǎdǎciilor poate fi dedus di cosiderete teoretice (de exemplu î cazul fucțiilor poliomiale, deși u îtotdeaua rǎdǎciile sut reale și disticte). De subliiat îsǎ cǎ u existǎ o metodǎ geeralǎ sigurǎ petru gǎsirea tuturor rǎdǎciilor ecuațiilor eliiare, dar o aalizǎ riguroasǎ a problemei dǎ o mare probabilitate de rezolvare î majoritatea cazurilor. f(x) -h h h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h X 0 X X 3 X 4 x Figura 6. Eșatioarea abscisei petru gǎsirea itervalelor care coți rǎdǎcii Programul 6. petru gasirea itervalelor cu rǎdǎcii pri eșatioare este scris î Mathematica și are: itrǎri: fucția, itervalul și pasul de eșatioare ieșiri: graficul fucției (figura 6.) și lista itervalelor pe care se aflǎ rǎdǎcii Este exemplificatǎ gǎsirea itervalelor care coți rǎdǎciile ecuației trascedete x 3 5x 0 65

Programul 6.. Gǎsirea itervalelor cu rǎdǎcii pri eșatioare 30 0 0 - - 3 4 5-0 Figura 6.. Graficul fucției F x x ( ) 3 5x Itervalele petru rǎdǎcii rezultate di program sut urmǎtoarele: {{-0.7,-0.7},{0.99,.},{3.93,3.94}} 66

Dupǎ cum se observǎ, codiția de existețǎ a rǎdǎciii î iterval a fost pusǎ sub forma F( xv) F( x) 0, deoarece existǎ posibilitatea ca o rǎdǎcia sa fie chiar î puctul de eșatioare (ca î cazul rǎdǎciii fost îceput cu u eșatio îaitea capǎtului iferior al itervalului petru evetualitatea ca o rǎdǎciǎ sǎ se afle chiar î acel capǎt. x î exemplul cosiderat). De asemeea, ciclul a. Metoda bisecției Ua ditre cele mai simple și sigure metode petru aflarea rǎdǎciii ditr-u subiterval o costituie metoda bisecției. Deși are o covergețǎ scazutǎ (cum se va arǎta mai departe) ea este totuși preferatǎ î multe aplicații datoritǎ ușuriței de implemetare și datoritǎ faptului cǎ viteza u mai este o problemǎ petru calculatoarele actuale îtr-o clasǎ largǎ de probleme. Pricipiul metodei este urmǎtorul: se împarte itervalul [a,b] î douǎ jumǎtǎți și se studiazǎ semul fucției î cele trei pucte obțiute. Se alege itervalul î care semele sut opuse și apoi procesul se reia. Astfel, oua valoare a variabilei este: xk a, daca F ( a ) F ( x k ) 0 x k (6.) b xk, daca F( a) F( xk ) 0 iar oul itervat este ax, k dacǎ F( a) F( xk ) 0 și xk b î caz cotrar. Rezultǎ cǎ dupǎ bisecții, itervalul se micșoreazǎ de micșoreazǎ î aceeași proportie: x x0 x x0 b a (6.3) ude este valoarea obțiutǎ petru rǎdǎciǎ dupǎ bisecții, x x, ori, deci și eroarea se x 0 este valoarea corectǎ iar este valoarea iițialǎ aleasǎ petru rǎdǎcia (î itervalul respectiv, de regulǎ a sau b). Numǎrul de pași ecesari obțierii uei aumite erori se obție pri logaritmarea relației (6.3): b a 0 b a Log Log0, (6.4) 3 Covergeța gǎsirii rǎdǎciii poate fi evaluatǎ di relația ître erorile obțiute î doi pași cosecutivi. Deoarece la fiecare pas itervalul se ijumatateste, se poate scrie: Cost (6.5) O astfel de relație caracterizatǎ pritr-o proporțioalitate ître erorile cosecutive defiește o covergețǎ liiarǎ a metodei. Existǎ, dupǎ cum se va arata, și metode care au o covergețǎ supraliiarǎ, defiitǎ pritr-o relație de tipul: Cost,, (6.6) Evidet, u procedeu este cu atȃt mai eficiet cu cȃt este mai mare, î practicǎ existȃd metode cu expoet cupris ître și. 67

Programul 6., scris î Mathematica, petru rezolvarea uei ecuații eliiare pri metoda bisectiei, folosește ecuația (6.), parametrii de itrare fiid defiiția ecuației, itervalul și precizia doritǎ. Programul 3.. Rezolvarea uei ecuații eliiare pri metoda bisecției.3 Metoda puctului fix Metoda bisecției este foarte sigurǎ petru determiarea rǎdǎciilor reale, dar avȃd o rata de covergețǎ scǎzutǎ u este recomadabilǎ petru rezolvarea de ecuații cu u grad de complexitate crescut. Se vor prezeta î paragrafele urmǎtoare metode care au o covergețǎ mai rapidǎ, dar, de cele mai multe ori, mai puți sigurǎ. Fie ecuația eliiarǎ: Fx ( ) 0 (6.7) avȃd o soluție realǎ î itervalul ab, stabilit aterior pritr-o metodǎ de gǎsire a itervalelor cu soluții. Dacǎ descompuem fucția iițialǎ F( x ) î forma: F( x) x f ( x) (6.8) ecuația (6.7) este echivaletǎ cu x f ( x) 0 (6.9) O soluție petru ecuația (6.9) se umeste puct fix, care este și soluție a ecuației (6.7) deoarece coform (6.9) are proprietatea: f ( ) (6.0) și coform (6.8) F( ) f( ) 0. Se va demostra î cotiuare cǎ u proces iterativ de forma x k f ( xk) (6.) 68

poate asigura covergețǎ cǎtre puctul fix, soluție a ecuației (6.7) dacǎ sut îdepliite aumite codiții. Itr-adevǎr, eroarea la iterația iterația precedetǎ k, țiȃd cot de relațiile (6.0) și (6.): k xk f ( xk ) f ( ) f '( ) xk f '( ) k (6.) Iegalitatea di ecuația (6.) a fost scrisǎ î baza teoremei mediei, fiid o valoare (ecuoscutǎ) di itervalul x a b k poate fi exprimatǎ î fucție de eroarea la,, k. Aceastǎ ecuație e dǎ și codiția de covergețǎ. Itr-adevǎr, eroarea scade de la o iterație la urmǎtoarea, dacǎ derivata fucției î puctul dat de teorema mediei este subuitarǎ, adicǎ f ( xk ) f ( ) f '( ) x k (6.3) Rezultǎ, țiȃd cot de (6.) și (6.8), urmǎtoarea regulǎ de iterație: x k x k F[ xk ] (6.4) Aceasta poate fi iterpretatǎ î felul urmǎtor: valoarea ecuoscutei dupǎ iterație este egalǎ cu valoarea de la iterația precedetǎ, corectata cu valoarea fucției chiar î puctul de la iterația precedetǎ. De subliiat îsǎ cǎ u îtotdeaua covergeța acestei metode este asiguratǎ, fiid ecesarǎ îdepliirea codiției (6.3), care îsǎ u se poate verifica apriori, efiid cuoscutǎ valoarea. Covergeța se poate verifica pri scǎderea lui sub o aumitǎ limitǎ impusǎ, și obligatoriu pri verificarea soluției î ecuația (6.7). Metoda are totuși o importațǎ practicǎ redusǎ, î schimb coduce cǎtre o geeralizare teoreticǎ deosebit de importatǎ, care va fi prezetatǎ î cele ce urmeazǎ..4 Metoda Newto-Raphso Metoda puctului fix poate fi geeralizata pri modificarea relatiei fiale (6.4) sub forma: x k x k F[ xk ] (6.5) Aceasta ar isema cǎ pri îmulțirea corectorului Fx [ k ] cu u factor corespuzǎtor se poate obție î urma iteratiei (6.5) o valoare mult mai apropiatǎ de rǎdǎcia, deci procesul poate devei mult mai rapid coverget. Țiȃd seama î (6.5) de defiita (6.8) obțiem: x k x k f ( xk ) xk (6.6) Factorul poate fi determiat puȃd codiția ca eroarea la iterația k sǎ fie miimǎ. Rezultǎ succesiv: f ( xk) xk k xk xk f ( xk ) xk xk x Aduȃd și scǎzȃd f ( ) la umǎrǎtorul fracției di relația precedeta și aplicȃd di ou teorema mediei obțiem: k k f '( k ) (6.7) k 69

Dacǎ am cuoaște valoarea am putea alege coeficietul astfel cǎ eroarea sǎ se auleze: (6.8) f '( k ) Î practicǎ îsǎ u cuoaștem pe, deci trebuie sǎ îi atribuim ua di valorile cuoscute. Cosiderȃd cǎ cea mai apropiatǎ valoare este x k, vom scrie f ( k) f ( xk) iar relația (6.6) devie: x k x k f ( xk ) xk (6.9) f '( xk ) Dacǎ țiem seama de relația (6.8) și de derivata acesteia, relația (6.9) poate fi scrisǎ sub forma: Fx ( k ) x k x k F'( xk ) (6.0) care defiește metoda de recurețǎ Newto-Raphso. Se poate demostra cǎ pri aceastǎ metodǎ se obție o covergețǎ foarte mare, ceea ce justificǎ larga sa utilizare. Itr-adevǎr, dacǎ se dezvoltǎ î serie Taylor fucția F( x ) și derivata sa î jurul rǎdǎciii se obți relațiile: F( xk ) F( ) kf '( ) k F ''( )... (6.) F '( xk) F '( ) kf ''( )... (6.) Î relația (6.), deoarece este rǎdǎcia, rezultǎ F( ) 0 ; di relația (6.), dacǎ eglijam termeii care cuprid derivata de ordiul doi și cei superiori (lucru valabil dacǎ sutem suficiet de aproape de soluția corecta), obțiem F '( xk ) F '( ) (6.3) Dacǎ scadem di ambii membri ai relatiei (6.0) și tiem seama de (6.) și (6.3), rezultǎ: F( xk ) F ''( ) x k x k k k k F '( x ) F '( ) (6.4) care este echivaletǎ cu: k k k k Cost. (6.5) k Dupǎ cum se observǎ di relația (6.5), dacǎ alegerea iițialǎ este suficiet de apropiatǎ de valoarea corectǎ a rǎdǎciii, covergeța este de ordiul, valoare care idicǎ o eficiețǎ foarte mare a procedeului. Î schimb dacǎ alegerea iițialǎ u este corectǎ, covergeța scade foarte mult, și existǎ chiar o probabilitate mult mai mare decȃt la alte metode ca iterația sǎ fie divergetǎ. De aceea, metoda Newto-Raphso reclamǎ gǎsirea î prealabil a uor itervale cȃt mai îguste cu rǎdǎcii. Dacǎ alegerea iițialǎ este u umǎr complex, (și desigur dacǎ programul folosește umere complexe), metoda Newto-Raphso poate gǎsi și rǎdǎciile complexe. Acest lucru, precum și covergeța mare, o recomadǎ ca pricipala metodǎ î rezolvarea ecuațiilor eliiare. Programul.3, scris î Mathematica, petru rezolvarea uei ecuații eliiare pri metoda Newto-Raphso folosește ecuația (6.0), parametrii de itrare fiid defiiția 70

ecuației, itervalul, precizia doritǎ și umǎrul maxim de iterații. Acesta di urmǎ este ecesar petru evetualitatea cǎ metoda u coverge, caz î care programul u rǎmȃe î buclǎ ci iese dupǎ termiarea umǎrului maxim de iterații. Alegerea iițialǎ este u capǎt al itervalului pe care se presupue cǎ existǎ o rǎdǎcia, iar celǎlalt capǎt este folosit ca valoare iițialǎ de comparație. Programul.3. Rezolvarea uei ecuații eliiare pri metoda Newto- Raphso Ca și la alte metode de rezolvare iterativǎ a ecuațiilor eliiare, covergeța este depedetǎ de alegerea iițialǎ a startului. Dacǎ valoarea iițialǎ aleasǎ petru ecuoscutǎ este apropiatǎ de o rǎdǎciǎ, covergeța este mare iar umărul de iterații ecesare petru a se ajuge la rǎdǎciǎ cu o precizie datǎ este î pricipiu mic. Petru alte pucte de plecare, covergeța va fi mai scǎzutǎ astfel ca vor fi ecesare mult mai multe iterații. De exemplu, ecuația 6 x 0 (6.6) are 6 rǎdǎcii, ditre care douǎ reale iar celelalte patru complexe. Petru diverse pucte de start di plaul complex vor fi ecesare mai multe sau mai puție iterații pȃa la atigerea cu o aumitǎ precizie a ueia ditre rǎdǎcii. Deoarece poziția rǎdǎciilor este simetricǎ fațǎ de axa reala și cea imagiarǎ, este de așteptat ca și locul geometric al puctelor care ecesitǎ același umǎr de iterații Newto-Raphso sǎ prezite astfel de simetrii. Programul.4 aplicǎ aceastǎ metodǎ petru u umǎr mare de pucte de start (000x000) di plaul complex și cotorizeazǎ petru fiecare puct î parte umărul de iterații ecesare petru atigerea uei rǎdǎcii cu o precizie datǎ. Dacǎ se asociazǎ fiecǎrui puct (și respectiv umǎrului de iterații ecesare) o aumitǎ culoare, reprezetarea graficǎ a matricei umerelor de iterații formeazǎ u fractal, ca ȋ figura 3.4. Deoarece iterațiile trebuiesc reluate petru fiecare puct ȋ parte, adicǎ de 4 milioae de ori ȋ programul dat, execuția acestuia poate dura cȃteva miute. 7

6 Programul.4. Programul petru geerarea fractalului Newto x 0 7

Figura.3. Fractalul Newto 6 x 0.5 Metoda secatei Metoda Newto-Raphso, deși rapid covergetǎ, este ueori dificil de utilizat deoarece ecesitǎ cuoașterea derivatei fucției. De aceea este foarte rǎspȃditǎ o variata a acesteia, și aume metoda secatei. Derivata fucției di ecuația (6.0) poate fi ilocuita pri formula: F( x ) F( x) F( x ) F'( x ) (6.7) x x x dacǎ iterația se face ître puctele x și x. Î metoda secatei, fiecare puct ou gǎsit devie îceput de iterval petru urmǎtoarea iterație, idiferet dacǎ derivata astfel calculatǎ itersecteazǎ abscisa î iteriorul sau î exteriorul itervalului curet. Deoarece este posibil ca itersecția sa aparǎ î exteriorul itervalului, și acest lucru sǎ se mețiǎ și la iterațiile urmǎtoare, metoda poate devei, ca și cea Newto-Raphso, divergetǎ. Ilocuid (6.7) î ecuația (6.0), și dacǎ aproximația rǎdǎciii la iterația este x, rezultǎ poziția oului puct x : F( x )( x x ) x x (6.8) F( x ) F( x ) 73

sau x x F( x ) xf( x ) F( x ) F( x ) (6.9) Relația (6.9) defiește metoda secatei, deumire datoratǎ faptului cǎ derivata este îlocuitǎ de dreapta care uește puctele de la capetele itervalului de la iterația. Deoarece derivata fucției este calculatǎ cu aproximație, metoda are o covergețǎ mai scǎzuta decȃt Newto-Raphso, dar totuși supraliiarǎ, ordiul de covergețǎ fiid 5.68, adicǎ așa umitul golde umber. Programul 8.4, scris î Mathematica, petru rezolvarea uei ecuații eliiare pri metoda secatei folosește ecuația (6.9), parametrii de itrare fiid: Fucția defiitǎ î prealabil ca o fucție purǎ; itervalul pe care se cautǎ rǎdǎcii; precizia doritǎ; umǎrul maxim de iterații, Nmax. Acesta di urmǎ este ecesar petru evetualitatea cǎ metoda u coverge, caz î care programul u rǎmȃe î buclǎ ci iese dupǎ termiarea umǎrului maxim de iterații. f[ x_] Programul.4. Rezolvarea uei ecuații eliiare pri metoda secatei Demostarea ordiului de covergețǎ al metodei secatei este destul de dificila și poate fi omisa la o prima lectura. Petru demostrație, se pleacǎ de la formula (6.9), scazadu-se rǎdǎcia di ambii membri și țiȃd cot cǎ F( ) 0. Rezultǎ succesiv: 74

se obție: ( x ) F( x ) F( ) ( x ) F( x ) F( ) x F( x) F( x ) ( x ) F '( x )( x ) ( x ) F '( x )( x ) F( x ) F( x ) F ''( ) F '( x ) F '( x ) x x ( x )( x ) x x F( x ) F( x ) S-a aplicat teorema mediei, Rescriid ecuația (6.30) petru Notȃd și / F '( ) F ''( ) (6.30) F '( ) fiid douǎ valori cuprise î itervalul, și logaritmȃd-o obțiem: F ''( ) log( ) log( ) log( ) log F '( ) F ''( ) log( ),log( ),log( ),log c F '( ) x, x. (6.3) c (6.3) Defiim operatorul de deplasare care face trecerea de la eroarea î iterația la eroarea di iterația, sub forma: care itrodus î ecuația (6.3) coduce la: E ( E E ) c 5 5 sau ( E q)( E p) c ude am otat p, q Notȃd ( E p) u (6.33) rezultǎ ( E q) u c și schimbȃd idicele ( E q) u c. țiȃd cot de acțiuea operatorului E, aceasta relație devie u c qu (6.34) Rescriid (6.34) cu schimbarea idicelui obțiem u c qu (6.35) care itrodusǎ î (6.34) duce la: u c qc q u Repetȃd procedeul pri ilocuirea lui u pritr-o relație aaloagǎ cu (6.35), obțiem î fial: u c qc q c... q c q u (6.36) 3 0 0 Țiȃd cot de acțiuea operatorului E, și de defiiția (6.33), membrul stȃg al ecuației (6.36) devie: u ( E p) p. 75

Membrul drept coție o serie alteratǎ c qc q c... q c 3 0 5 (deoarece q 0 ), avȃd deci o valoare fiitǎ, precum și catitatea fiita q u q ( E p) q ( p ). Notȃd membrul drept al ecuației (6.36) cu 0 0 0 L, aceastǎ relație devie: p L (6.37) p și țiȃd cot de otația (6.3) rezultǎ log( ) log( ) L, de ude se deduce relația care dǎ ordiul de covergețǎ al metodei secatei: e 5 L (6.38).6 Metoda Muller de iterpolare cu parabola Dupǎ cum s-a arǎtat, metoda secatei folosește ultimele douǎ pucte cuoscute, pritre care se traseazǎ o dreaptǎ a carei itersecție cu abscisa determiǎ oul puct. Metoda Muller este o variatǎ a metodei secatei, folosid ultimele trei pucte cuoscute, pri care se traseazǎ o parabolǎ, a carei itersecție cu abscisa determiǎ oul puct. Este de așteptat sǎ se obțiǎ o covergețǎ mai buǎ decȃt î metoda secatei, dar formulele care iau î cosiderație trei pucte pot fi mai complicate. Fie, și, k cele trei valori cosecutive petru rǎdǎciǎ, obțiute pȃǎ la iterația precedetǎ k-, sau alese î itervalul stabilit petru rǎdǎcia îaitea primei iterații, ca î figura 3.. O parabolǎ care trece pri puctele x, F( x ) x x k xk xk, F( x ) și, ( ) k k x F x va avea ecuația: k k F(x) px ( ) a b c p x k k, ( ) (6.39) h x k- 0 x k- x k x h Figura.4 Metoda parabolei (Muller) 76

Notȃd x x k (e raportam la puctul aflat î mijloc, pri care va trece deci și ordoata, coform figurii), și h xk xk și h xk xk, petru ca parabola sǎ treacǎ pri cele trei pucte pri care trece și fucția a carei rǎdǎciǎ o cǎutǎm, trebuie satisfǎcut sistemul de ecuaţii: a0 b0 c F( xk ) ah bh c F( xk ) (6.40) ah bh c F( xk ) ude s-a țiut cot că î aceste pucte variabila a parabolei are valorile 0, respectiv h a b c F( x) h px ( ), coform figurii. Petru aflarea parametrilor, și ai parabolei, rezolvǎm acest sistem de ecuații. Di prima ecuație rezultǎ: c F( xk ) (6.4) Imulțid a doua ecuație cu și a treia cu și aduȃdu-le rezultǎ F( xk ) F( xk ) F( xk ) a h ( h h ) h ( h h ) h h (6.4) Imulțid a doua ecuație cu h h h și a treia cu h și scǎzȃdu-le rezultǎ h F( xk ) h F( xk ) ( h h ) F( xk ) b (6.43) h ( h h ) h ( h h ) h h Parabola itersecteazǎ abscisa î oul puct xk care rezultǎ di ecuația p( ) 0 cu parametrii dați de ecuațiile (6.4), (6.4) și (6.43). b b 4ac c, a b b 4ac Țiȃd cot de otația x x k, oua valoare petru rǎdǎcia va fi deci: x c x (6.44) k k b b 4ac Semul de la umitor se ia î așa fel îcȃt sǎ se obțiǎ valoarea maximǎ a modulului acestuia, astfel îcȃt sǎ se îaiteze cǎtre cea mai apropiatǎ rǎdǎcia fațǎ de puctele aterioare (deci plus dacǎ b este pozitiv și mius dacǎ b este egativ). Se poate demostra cǎ ordiul de covergețǎ al metodei Muller este,84, foarte apropiat de metoda Newto, fǎrǎ a fi ecesarǎ îsǎ cuoasterea derivatei. De asemeea, este de remarcat cǎ fucția poate fi realǎ sau complexǎ și se pot obție atȃt rǎdǎciile reale cȃt și cele complexe, lucru care u era posibil cu metodele aterioare. Alegerea iițialǎ ecesitǎ î schimb trei pucte pe abscisǎ, care trebuie sǎ fie suficiet de apropiate de rǎdǎciǎ. Programul.5, petru calculul rǎdǎciilor uei ecuații pri metoda Muller folosește relațiile (6.4) - (6.44), și eșatioeazǎ aleator plaul complex îtr-u umǎr 77

de triplete de pucte localizate îtr-u pǎtrat de laturǎ L cetrat î origie, petru a gǎsi cele mai apropiate rǎdǎcii de acestea. Dacǎ se obție o rǎdǎciǎ (fapt semalat de o valoare suficiet de micǎ a fucției î puctul respectiv) se aalizeazǎ partea sa imagiara. Dacǎ aceasta parte imagiara este suficiet de micǎ, se cosidera cǎ rǎdǎcia este reala și se afișeazǎ doar partea reala a rǎdǎciii respective. Nu se poate cuoaște ordiul de multiplicitate al rǎdǎciilor, acesta trebuid sǎ fie dedus pri alte metode. Programul are itrǎrile: Fucția f[ x _] defiitǎa î prealabil ca o fucție purǎ; Eroarea maximǎ admisǎ î valoarea fucției, ; Numǎrul de starturi di pucte iițiale,, suficiet de mare petru a se asigura gǎsirea tuturor rǎdǎciilor; Latura pǎtratului î plaul complex î care se cautǎ rǎdǎciile, L ; Numǎrul maxim de iterații dacǎ u se obție covergețǎ; Ieșirea este o listǎ cu rǎdǎcii gǎsite, ditre care uele se repetǎ fǎrǎ a se ști dacǎ sut multiple sau u. Se afișeazǎ de asemeea și valorile fucției î rǎdǎcii, petru verificare. Se observǎ cǎ puctele iițiale se aleg aleator de ori, î plaul complex î N st N max. pǎtratul 0.5 L i,0.5l i 0.5 L,0.5L N st N st Programul.5 Calculul rǎdǎciilor uei ecuații pri metoda Muller 78

79

.Modul de lucru: Se cosidera ecuatiile obtiute pri egalarea cu 0 a fuctiilor urmatoare: Se va rezolva fiecare ditre ecuatii pri metoda bisectiei, secatei, Newto- Raphso si Muller Se va alcatui u tabel cu radaciile gasite de fiecare metoda si erorile asociate acestora Petru radaciile care u pot fi gasite se va icerca modificarea itervalului iitial sau a valorii iitiale. Se va explica de ce uele radacii u pot fi gasite de toate metodele. 80

Lucrarea de laborator r. 7 Rezolvarea ecuatiilor poliomiale. Teoria lucrarii. Metoda Lobacevski-Graeffe de calculare a radaciilor reale ale polioamelor Petru aflarea rǎdǎciilor polioamelor existǎ metode specifice avȃd î geeral o covergețǎ și stabilitate mai buǎ decȃt metodele geerale valabile petru orice ecuații trascedete. Ua ditre acestea este metoda Lobacevski-Graeffe care, pri prelucrǎri algebrice ridicǎ la o putere superioara toate rǎdǎciile permițȃd separarea rǎdǎciii domiate și aplicȃd apoi relațiile Vieta. Fie o ecuație poliomială î care membrul stȃg este u poliom de grad care poate fi scris sub douǎ forme: j j 0 j 0 j0 j (7.) P ( x) a x a ( x x ), a 0 Itre rǎdǎciile și coeficieții ecuației poliomiale existǎ relațiile Vieta: a x x... x a a x x x x3... x x a... x x... x x x x... x x... ( ) j j j j... x x... x ( ) a a Dacǎ ua ditre rǎdǎcii, s-o umim 0 0 x 0 j a a ar fi domiatǎ, adicǎ: j 0 (7.) x x, x x3,..., x x (7.3) folosid prima relație Vieta î care eglijǎm toate celelalte rǎdǎcii, putem sǎ obțiem valoarea rǎdǎciii domiate: a x (7.4) a0 Evidet, î geeral u avem aceastǎ situatie foarte favorabilǎ, dar ea se poate obție pri prelucrǎri algebrice. Sa cosiderǎm rǎdǎcia cu cea mai mare valoare absolutǎ și sǎ o otǎm cu x, ea avȃd proprietatea: 8

x x, x x3,..., x x (7.5) Dacǎ am reuși sa ridicǎm toate rǎdǎciile la o putere suficiet de mare, relația (7.5) ar devei o relație de tipul (7.3), ceea ce ar permite calculul simplu al rǎdǎciii domiate și apoi a celorlalte. Petru aceasta, sǎ cosiderǎm mai îtȃi poliomul î variabila : pe care sǎ-l otam cu ude am otat cu j j 0 j j0 j (7.6) P ( x) a ( x) ( ) a ( x x ) Fǎcȃd produsul ( ) P ( x) P ( x), obțiem u poliom î variabila P Presupuȃd cǎ ( x ) () : () () j ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( j ) j j j0 P x P x P x a x x A x (7.7) () A j coeficieții oului poliom x x, cu atȃt mai mult de situația uei rǎdǎcii domiate ca î (7.3). Repetȃd procedeul obțiem u poliom î P ( x ) () x x x 4 :. x x, ceea ce îcepe sǎ e apropie () 4 () () 4 4 4 () 4 j ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( j ) j j j0 P x P x P x a x x A x Dupǎ aplicarea procedeului de s ori, se obție: s s s s s s s ( s) ( s) ( s) ( s) j ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( j ) j j j0 P x P x P x a x x A x (7.8) Se observǎ cǎ puterile rǎdǎciilor cresc foarte rapid cu s, ajugȃdu-se la o relație de ordie de tipul (7.3). Notȃd s m, avem di prima relație Viete: s m A x (7.9) s A0 Aceasta permite calculul primei rǎdǎcii dupǎ formula: s s 0 m A x (7.0) A Semul se stabilește pri calculul valorii fucției petru u sem și celalalt, alegȃd-l pe acela care dǎ valoarea cea mai micǎ î modul. Cosiderȃd cǎ dupǎ u umǎr suficiet de ridicǎri la puteri rǎdǎciile sut ordoate dupǎ o relație de forma: x x x3,..., x, putem calcula și celelalte rǎdǎcii. Itr-adevǎr, a doua relație Vieta devie: ( s) m m A x x (7.) ( s) A0 și împǎrțid-o la relația Vieta precedetǎ (7.9) obțiem a doua rǎdǎcia:, 8

Aalog se obți și celelalte rǎdǎcii x x ( s) A m ( s) A j (7.) ( s) A m j ( s) Aj semul alegȃdu-se de asemeea pri testare î ecuație. Coeficieții s A j ai poliomului fial (7.3) P s ( x ) ( s), ecesari î relațiile de calcul ale rǎdǎciilor, trebuie calculați di coeficieții poliomului iițial. Petru aceasta se poate folosi o relație de recurețǎ. Di relația (7.8) rescrisǎ petru și țiȃd cot de expresia polioamelor care se îmulțesc, rezultǎ ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s j s s s j j ( s) j A j x ( ) P ( x ) P ( x ) A jx ( ) A jx (7.4) j0 j0 j0 Se poate deci deduce o relație de recurețǎ ître coeficietul al poliomului P ( ) x ss ( s ) A j di etapa polioamelor di etapa pri idetificarea termeilor cu aceeași putere a lui di primul și ultimul membru al acestei relații. Petru aceasta se ție cot de urmǎtoarele: Termeul la puterea ditr-u poliom iițial poate fi îmulțit doar cu s și coeficieții x A k ( s) s j termeul de aceleași putere obție termeul cu puterea Termeul cu puterea s j s j s j s di cel de al doilea poliom iițial petru a di poliomul fial; di poliomul fial mai poate fi obțiut și di s îmulțirea termeului la puterea ( j k) ditr-u poliom iițial cu termeul de s putere ( j k), k,.., j di cel de al doilea poliom iițial (cazurile k 0 și k j au fost deja tratate la puctul aterior) ; Datoritǎ simetriei, termeii de la puctul apar de douǎ ori, deci suma lor trebuie dublata; s Termeii de forma ( j k) di uul di polioame au semul ( ) j. Rezultǎ deci relația de recureta petru calculul coeficieților j ( s) ( s) k ( s) ( s) j j ( ) jk jk k ( s ) A j sub forma: A A A A (7.5) Alterativ, aceastǎ relație se poate scrie și sub o altǎ formǎ, echivaletǎ. Itradevǎr, se poate scrie: ( s) m ( s) m ( s) m P ( x ) ( ) P ( x ) P ( x ) (7.6) l k l k m m m ( s) mj ( s) ( s) ( s) ( s) A jx A l x A k x A l A k x j0 l0 k0 l0 k0 (7.7) 83

î x deci l k m Se observǎ cǎ termeul î mj x di ultimul membru ceea ce coduce la codiția: l k m mj iar relația (7.7) se poate scrie: ceea ce îseamǎ cǎ A s ( s) 0 A0 Mulțimea de valori a lui di primul membru trebuie idetificat cu termeul l j k ( s) mj mj ( s) ( s) A jx x A l A k j0 l0 k0 (7.8) (7.9) (7.0) ( s) ( s) ( s) j l k k0 A A A, j,,..., (7.) j s-a stabilit țiȃd cot cǎ deja se cuoaște iar termeii sut termei liberi și deci u pot ridica gradul moomului cu care se face produsul. Același lucru se poate spue și despre idicii coeficieților di membrul drept al realtiei (7.), deci: l (7.) Țiȃd cot de (7.9) rezultǎ: ( j k) k j (7.3) De asemea petru idicile celui de al doilea coeficiet se poate scrie: k k (7.4) Ilocuid pe dat de (7.9) și țiȃd cot de limitele de variatie a lui relațiile (7.3) și (7.4), ecuația (7.) devie l A ( s) j ( s) ( s) ( s) j ( jk) k k k dat de A A A, j,,..., (7.5) La utilizarea oricareia ditre aceste relații de recureta se va ție seama cǎ () A0 a0 evidetǎ coform relatiei (7.7). Petru verificarea codiției de oprire a iterațiilor, s-ar putea compara valoarea fucției î, valoare care î uul ditre aceste cazuri (cel cu semul care va x j sau î x j fi ales î fial) trebuie sa difere de zero cu o catitate suficiet de micǎ, impusǎ. Caracteristica cea mai importatǎ a metodei este cǎ u sut ecesare pucte de start, acesta fiid u caz foarte rar î metodele de rezolvare a ecuațiilor eliiare. Totuși, deoarece pri ridicǎri succesive la pǎtrat se pot obție destul de repede valori foarte mari petru coeficieții polioamelor obțiute, metoda trebuie folositǎ doar cu u umǎr mic de iterații, altfel este posibil ca sǎ aparǎ depǎșire de registru (umerele sǎ fie prea mari petru mediul de programare folosit). De aceea, de cele mai multe ori se impue ca itrare umǎrul maxim de iterații și u eroarea admisibilǎ. Deoarece eroarea la u umǎr de iterații mic poate fi totuși destul de importatǎ, metoda este recomadabilǎ î special petru gǎsirea itervalelor care coți rǎdǎcii (braketig) fiid apoi urmatǎ de o altǎ metodǎ petru rafiarea acestora. 84

Programul Mathematica permite valori destul de mari ale coeficieților, putȃd fi folosit petru 0-30 de iterații î majoritatea cazurilor, ceea ce asigurǎ și rafiarea rǎdǎciilor, dar metoda se recomadǎ totuși petru polioame de ordi moderat. Programul 7., petru calculul rǎdǎciilor reale ale uui poliom pri metoda Lobacevski-Graeffe folosește relațiile (7.5) și (7.3) Programul are itrǎrile: Poliomul defiit ca o fucție purǎ; Numǎrul maxim de iterații f[ x_] N max =5; Programul 7.. Calculul rǎdǎciilor reale ale uui poliom pri metoda Lobacevski-Graeffe 85

Este iteresat cǎ se poate deduce pri aceasta metoda și existeța rǎdǎciilor multiple și a rǎdǎciilor complexe (acestea di urmǎ eputȃd îsǎ fi calculate cu exactitate). Î cazul rǎdǎciilor de multiplicitate M, prima relație Vieta (7.9) presupue aduarea a M rǎdǎcii, deci se obție: s m A Mx (7.6) s A0 iar rǎdǎcia se calculeazǎ cu prima relație Vieta,dupǎ formula: sau cu relația Vieta M, dupǎ formula s s 0 m A x (7.7) MA s M s 0 mm A x (7.8) A Î cazul rǎdǎciilor complexe, acestea fiid cojugate, se poate scrie: i i xe, x e Astfel, dupǎ s ridicari la pǎtrat, prima relație Vieta devie: 86

deci ( s) m im m im m m e e x3... x ( s) A0 A A (7.9) ( s) ( s) m im m im m e e, cos m ( s) ( s) A0 A0 Astfel, dacǎ se calculeazǎ rapoartele de tipul A A ( s) j ( s) j A se costatǎ urmǎtoarele: Petru rǎdǎcii simple aceste rapoarte tid spre. Itr-adevǎr, ridicȃd la pǎtrat ecuația (7.9) scrisǎ petru s se obție: ( s) j j j ( s) Aj s m/ x x Pe de altǎ parte aceasta este egalǎ cu A A x s j A A ( s) j ( s) Aj ( s) ( s) j Aj ( s) s j Aj deci: ( s) ( s) j j Deci: A A care poate fi scrisǎ și petru j, j,...,0 ( s) s A A j j ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) j j j 0 A A A A A... (7.30) A A A A A ( s) s ( s) s s j j j 0 ude s-a țiut cot cǎ Rezultǎ : A ( s) ( s ) 0 A 0 r j ( s) j ( s) Aj A. Deci, dacǎ pri calculul acestui raport petru rǎdǎcia j se obție o valoare apropiatǎ de, rǎdǎcia este simplǎ. Petru rǎdǎcii de ordi de multiplicitate M aceste rapoarte tid spre M. ( s) A j rj M A ( s) j Demostratia este ideticǎ, dar î locul relatiei (7.9), se pleacǎ de la relația (7.6). Deci, dacǎ pri calculul acestui raport petru rǎdǎcia j se obție o valoare apropiatǎ de u îtreg M, rǎdǎcia este de ordiul de multiplicitate M. Petru rǎdǎcii complex cojugate, acest raport este oscilat. Itr-adevǎr, țiȃd cot de relația (7.9), putem scrie: 87

A x x cos m ; A A cos m (7.3) ( s) m m m ( s) ( s) m ( s) 0 A0 ( s) m m ( ) ( ) m m A s s m 4 cos ; ( ) 4 0 cos s A 0 m x x A A Deci, acest raport este: m ( s) A cos j r j. A cos m ( s) j Deci, dacǎ pri calculul acestui raport petru rǎdǎcia j se obție o valoare oscilata î fucție de s, existǎ douǎ rǎdǎcii compex cojugate. Î literaturǎ sut mețioate umeroase alte reguli de aplicare a metodei Lobacevski-Graeffe petru rǎdǎcii multiple și complex cojugate. Aplicarea acestora î algoritm poate îmbuǎtǎți substațial performațele metodei. Importața metodei este datǎ î pricipal de posibilitatea de determiare a ordiului de multiplicitate a rǎdǎciilor. Cum s-a specificat aterior, dezavatajul pricipal costǎ î posibilitatea apariției uor umere foarte mari pri ridicǎri succesive la pǎtrat, coducȃd la depașire de registru, ceea ce limiteazǎ precizia.. Metoda Bairstow de calculare a rǎdǎciilor complexe ale polioamelor Î cazul î care poliomul are și rǎdǎcii complexe, metodele elemetare prezetate aterior (cu excepția metodei Muller) u pot calcula rǎdǎciile respective datoritǎ faptului cǎ graficul fucției u itersecteazǎ abscisa la aceste valori ale variabilei. Ua ditre metodele cele mai eficiete de calculare a uor astfel de rǎdǎcii este metoda Bairstow, care costǎ î factorizarea poliomului cu u triom de gradul doi. Fie u poliom de grad, î variabila realǎ sau complexǎ z: ( ) P z a z a z a z... a z a z a (7.3) 0 Se îcearcǎ împǎrțirea cu u triom de gradul doi de forma z pz q, care are rǎdǎciile: z p p 4q p p 4q (7.33) z care pot fi reale sau complex cojugate dupǎ cum p 4q este pozitiv, respectiv egativ. Problema se reduce deci îtr-o prima istațǎ la determiarea coeficieților p și q care sǎ realizeze o factorizare exactǎ a poliomului dat, dupǎ care cȃtul obțiut este di ou supus procedeului Bairstow ș.a.m.d. pȃǎ la obțierea tuturor rǎdǎciilor. 88

Dupǎ cum se va vedea, metoda este iterativǎ și are uele di caracteristicile metodei Newto-Raphso, deci este ecesarǎ o aproximare iițialǎ suficiet de buǎ a coeficieților și, ceea ce asigurǎ o covergețǎ rapidǎ (de ordiul doi). Î schimb, dacǎ alegerea iitialǎ u este suficiet de apropiatǎ de cea corectǎ, covergeța este slabǎ sau poate sǎ u existe deloc. Deoarece alegerea iițialǎ este diferitǎ îtr-o oarecare masurǎ de soluția exactǎ, la împǎrțire apare u rest sub forma uui poliom de gradul uu. O variatǎ de scriere a factorizǎrii este urmǎtoarea : P ( z) ( z p z q ) Q ( z) r ( p z) r (7.34) ude Q ( ) z p 0 q 0 este u poliom de grad 0 0 0 0 reprezetȃd cȃtul împǎrțirii Q ( z) r z r z r z... r z... r z r z r (7.35) 3 4 k k 4 3 iar r ( p0 z) r0 p 0 și este u poliom de gadul îtȃi reprezetȃd restul împǎrțirii. Dacǎ q 0 ar avea valorile corecte, împǎrțirea s-ar face exact, restul fiid ul. Pri urmare, problema se reduce la miimizarea (aularea) coeficieților restului, Deoarece acești coeficieți depid de valorile coeficieților r r ( p, q) 0 0 r r ( p, q) p p si. și q ei se pot dezvolta î serie Taylor î jurul uui puct ales iițial ( p0, q 0), urmȃridu-se ca î puctul fial sǎ aibǎ valori cȃt mai mici, apropiate de zero. Dacǎ alegerea iițialǎ este suficiet de corectǎ, termeii de ordi superior di serie se pot eglija și se poate scrie: r0 r0 r0 ( p, q) r0 ( p0, q0 ) ( p p0 ) ( q q0 ) 0 p q (7.36) r r r ( p, q) r ( p0, q0 ) ( p p0 ) ( q q0 ) 0 p q Pri urmare, se pot calcula valorile corecte și q di sistemul de ecuații (7.36) î fucție de valorile iițiale p 0 și q 0 și de elemetele matricii Jacobiee: r0 r0 p q J (7.37) r r p q calculate î puctele iițiale p 0 și q 0. Itr-adevǎr, ecuația (7.36) se poate scrie matricial sub forma: r r 0 Ueori se folosește forma mai simplǎ și mai aturalǎ r z r 0 petru restul împǎrțirii, dar aceasta coduce la calcule ceva mai complicate și la relații de recurețǎ mai complexe. I uele cazuri ea este preferabilǎ, dar petru simplitatea programului am ales forma prezetatǎ. 89

r0 r0 p q p p0 r0 ( p0, q0) r r q q r ( p, q ) p q de ude rezultǎ oile valori ale lui p și q : p j 0 0 0 p p0 r 0( p0, q0) J q q r ( p, q ) 0 0 0 (7.38) (7.39) Deoarece î geeral u se pot obție ditr-u sigur pas chiar valorile corecte ale lui și q, relația (7.36) fiid doar aproximativǎ, procedeul se reia și se obți pri iterații valori di ce î ce mai apropiate de cele corecte. Relația (7.39) este deci calculatǎ î mod repetat, sub forma: p j p j r 0( p j, q j ) J j q j q j r( p j, q j ) (7.40) astfel cǎ, dacǎ procedeul coverge, la iterația de la iterația aterioarǎ. Dupǎ cum se observǎ, metoda este o geeralizare î douǎ dimesiui a metodei Newto-Raphso și deci prezitǎ avatajele și dezavatajele acesteia, avȃd și o importata similarǎ. Totuși, uul ditre dezavatajele metodei Newto Raphso, și aume ecesitatea cuoasterii derivatelor fucției poate fi îlǎturat pri metoda Bairstow-Li. Se va arǎta î cotiuare cǎ, pri douǎ relații de recurețǎ, se pot calcula aceste derivate precum și j se obți valori mai corecte decȃt cele coeficieții poliomului cȃt Qz ( ) chiar di coeficieții poliomului iițial. Petru determiarea poliomului cȃt, se itroduce relația (7.35) î (7.34). Rezultǎ: P ( z) z r z ( r pr ) z ( r pr qr )... (7.4) k z ( rk prk qrk )... z( r pr qr3 ) ( r0 pr qr ) Pri idetificare relației (7.4) cu (7.3) se obți relațiile de recurețǎ pri care se pot calcula coeficieții poliomului cȃt: r a r a pr Pz () (7.43) r, 0... k ak prk qrk k Petru determiarea derivatelor parțiale di compoeta Jacobiaului, se vor face urmǎtoarele otații: rk ck p (7.44) rk dk q Acum, pri derivarea î raport cu defiițiile (7.44), obțiem succesiv: r a 0 p p p a relațiilor (7.43) și țiȃd seama de 90

r r c p r p p rk rk rk ck rk p q, k 0... p p p ck ck3 (7.45) (7.46) Di relația (7.45) și di (7.46), reotȃd k k rezultǎ relațiile de recurețǎ di care se pot determia elemetele Jacobiaului: c r,... (7.47) ck rk pck qck k Se observǎ deplasarea cu o uitate a limitelor idicelui, datoritǎ defiiției (7.44). Petru Jacobia este evoie de valorile r0 c p și c k r p care sut ultima și repectiv peultima derivatǎ calculatǎ pri recurețǎ (7.47). Petru determiarea celorlalte douǎ elemete, u mai sut ecesare calcule suplimetare, deoarece se poate demostra cǎ, țiȃd cot de defiițiile (7.44), avem relațiile: r0 d c q (7.48) r d3 c3 q Itr-adevǎr, dacǎ derivǎm relațiile (7.43) î raport cu și țiem seama de defiițiile (7.44), obțiem succesiv: r a 0 q q r a 0 q q q r r r d p q r q q q rk rk rk dk p rk q, k 0... p q q dk3 dk4 Di (7.49) și (7.50), reotȃd k k se obți relațiile: d a (7.49) (7.50) (7.5) d,... k rk pdk qdk k Se observǎ cǎ relațiile (7.5) și (7.47) sut similare, astfel cǎ ck și d k avȃd același puct de plecare ( a ) și aceleași relații de recurețǎ, vor avea valori egale, petru k..., ceea ce demostreazǎ relațiile (7.48). Jacobiaul va avea deci forma: 9

c c J c c (7.5) 3 Di relația (7.40), țiȃd seama de regula lui Cramer, soluția sistemului va putea fi scrisǎ sub forma: r ( p, q ) c p q j j 0 j j r( p j, q j) c3 pj (7.53) c c c 0 c 3 c r ( p, q ) c r( p j, q j) qj (7.54) c c c c 3 Iterațiile pot fi oprite atuci cȃd atȃt variațiile lui p cȃt și ale lui q î relațiile (7.53) și (7.54) scad sub o limitǎ de precizie impusǎ. Cuoscȃd valorile corecte ale lui p și q, di relația (7.33) se determiǎ rǎdǎciile cele mai apropiate de cele determiate de valorile alese iițial și, iar di coeficieții se poate determia poliomul cȃt Q ( ) z. Acestuia i se va aplicǎ di ou procedeul Bairstow dacǎ are grad mai mare de, sau se vor calcula pri formulele aalitice rǎdǎciile dacǎ gradul sǎu este sau. De remarcat îsǎ cǎ la fiecare deflație a poliomului, deoarece restul împǎrțirii u este totuși exact zero, iformația despre rǎdǎcii di poliomul iițial este îtr-o oarecare mǎsurǎ alteratǎ î poliomul cȃt Q ( ) z, astfel cǎ ultimele rǎdǎcii gǎsite pot fi destul de depǎrtate de cele reale. Feomeul este mai frecvet î cazul rǎdǎciilor cu ordi de multiplicitate peste 3. Aceasta face ca deflația sa u fie recomadabilǎ decȃt petru u umǎr redus de rǎdǎcii și cu ordi de multiplicitate mic. O variatǎ mai corecta de determiare a tuturor rǎdǎciilor ar fi detemiarea îtro primǎ fazǎ a itervalelor pe care se aflǎ rǎdǎcii (pri metoda Lobacevski-Graffe de exemplu) și apoi aplicarea cȃte o sigura datǎ pe fiecare iterval a metodei Bairstow. Î felul acesta erorile apǎrute la determiare cȃtului Q ( ) z u se propagǎ pri folosirea repetatǎ a metodei Bairstow, î schimb este ecesarǎ o procedura î doi pași, care complicǎ programul. Programul.3 petru calculul rǎdǎciilor reale ale uui poliom pri metoda Bairstow folosește relațiile (7.43), (7.47), (7.5)-(7.54) și (7.33). Dupǎ calculul rǎdǎciilor complex cojugate cele mai apropiate de alegerea iițialǎ a triomului, se reia procedeul folosidu-se poliomul cȃt și așa mai departe pȃǎ la obțierea uui poliom cȃt de grad cel mult. Se calculeazǎ apoi rǎdǎciile fiale (douǎ sau ua, dupǎ cum gradul acestui poliom este sau ). Programul are itrǎrile: Poliomul ale cǎrui rǎdǎcii se cautǎ; Eroarea admisǎ ; Numǎrul maxim de iterații admise, max; r k j j p 0 q 0 9

Coeficieții aleși petru triomul cu care se face prima factorizare, p0 și q0. Rezultǎ rǎdǎciile reale și complexe, valorile fucției î aceste pucte și umǎrul de iterații folosite. Programul 7.. Calculul rǎdǎciilor uui poliom pri metoda Bairstow 93

94

.3 Metoda Laguerre de calculare a rǎdǎciilor complexe ale polioamelor Ua ditre metodele cele mai rǎspȃdite și sigure petru calculul rǎdǎciilor reale sau complexe ale polioamelor cu coeficieți reali sau complecși este metoda Laguerre, care folosește u sigur puct de plecare î plaul complex și poate gǎsi rǎdǎcia cea mai apropiatǎ de acesta. Pri alegerea uui umǎr sufficiet de mare de pucte de start se pot gǎsi toate rǎdǎciile reale sau complexe ale ecuației poliomiale. Petru stabilirea relațiilor de aplicare a acestei metode sǎ porim de la expresia scrisǎ sub forma de produs a poliomului: P( x) ( x xk) (7.55) k î care s-a împǎrțit cu coeficietul eul al termeului cu cea mai mare putere, ceea ce u modificǎ ecuația. Logaritmul atural al poliomului este: P ( ) 0 x l P( x) l( x xk) (7.56) k Derivata îtȃi a acestui logaritm o otǎm cu G și este, coform relației precedete d l P ( x)... dx x x x x x x G (7.57) iar derivata a doua a logaritmului o otǎm cu H și este d l P ( x)... dx x x x x x x H (7.58) Țiȃd cot de membrul stȃg al relațiilor (7.57) și (7.58) putem scrie pe G și pe H sub formele: P ' ( x ) G (7.59) P ( x ) P ' ( x) P ' ( x) P ( x) P '' ( x) H (7.60) P ( x) Se pot face acum uele aproximari, care chiar dacǎ par forțate îtr-o primǎ istațǎ coduc spre u puct mai apropiat de soluție decȃt puctul ales iițial. Pri urmare, dacǎ se repetǎ iterativ procesul, se ajuge di ce î ce mai aproape de soluția corectǎ. Vom presupue cǎ puctul ales iițial se aflǎ la distața fațǎ de ua di rǎdǎcii, sǎ spuem x, și la distațe egale b fațǎ de toate celelalte rǎdǎcii, deci x x a, x xi b, i,3,..., (7.6) Evidet, aceastǎ ultimǎ aproximație este foarte grosierǎ, ea ar fi adevǎratǎ doar î cazuri exepțioale (celelalte rǎdǎcii sut multiple sau plasate pe u cerc î plaul a 95

complex), dar va coduce la o aproximare mai buǎ decȃt alegerea iitiala care u se bazeazǎ pe ici o presupuere. Itroducȃd relațiile (7.6) î (7.57) și (7.58) rezultǎ sistemul de ecuații G a b (7.6) H a b Rezolvȃd acest sistem î raport cu a și b, rezultǎ corectorul a (7.63) G ( )( H G ) Evidet, acesta u este exact, dar aduat cu vechiul puct e dǎ o valoare mai apropiatǎ de rǎdǎcia decȃt acesta. Procedeul se repetǎ iterativ, deci dacǎ la iterația, aveam valoarea aproximȃd rǎdǎcia, la iterația urmǎtoare avem o valoare mai x k apropiatǎ, corectatǎ cu valoarea a k x. Cosiderȃd x k x, coform relatiei (7.6) avem x k x k a (7.64) k Semul di ecuația (7.63) se alege astfel îcȃt umitorul sǎ aibǎ valoarea cea mai mare petru micșorarea erorilor de rotujire și petru a u se exagera corectorul, ceea ce ar putea coduce î afara itervalului de covergețǎ. Se costatǎ experimetal cǎ î majoritatea situațiilor se obție o covergețǎ foarte rapidǎ, fiid ecesare puție iterații, ceea ce recomadǎ metoda ca ua ditre cele mai bue petru ecuații poliomiale. Programul 8.8 de calcul petru rǎdǎciile uei ecuații poliomiale pri metoda Laguerre folosește relațiile (7.59), (7.60), (7.63) și (7.64) și are urmǎtoarele itrari: Poliomul ale carui rǎdǎcii se cautǎ; Valoarea maximǎ a fucției îtr-o rǎdǎcia, ; Numǎrul maxim de pucte de start, Nr ; Numǎrul maxim de iterații admise, Ni ; Rezultǎ rǎdǎciile reale și complexe, valorea maximǎ a fucției î aceste pucte, umǎrul de pucte de start și umǎrul total de iterații folosite. Î acest program s-au exemplificat î plus uele metode care pot fi folosite și la programele prezetate aterior petru a asigura gǎsirea tuturor rǎdǎciilor: Puctul de plecare se alege aleator îtr-u pǎtrat î plaul complex cu cetrul î origiea axelor și de latura 0. S-a folosit istrucțiuea Radom[ ] care geereaza u umǎr aleator ître 0 și ; Dupǎ o oprire a iterațiilor, se testeazǎ dacǎ rǎdǎcia respectiva a mai fost gǎsitǎ aterior, cu egatul fucției MemberQ[Xa,x] care dǎ valoarea logicǎ True î cazul î care x X. Deoarece petru diverse pucte de plecare se pot obție valori ușor diferite petru aceeași rǎdǎciǎ (de exemplu.3 și.4), se formeazǎ variabila auxiliara x care truchiazǎ rǎdǎcia luȃdu-se umai trei cifre exacte, și cu ea se formeazǎ mulțimea rǎdǎciilor truchiate Xa. Dacǎ se costatǎ cǎ rǎdǎcia truchiatǎ u a mai fost gasitǎ, se itroduce î X rǎdǎcia etruchiatǎ, tǎidu-se evetual partea imagiarǎ dacǎ aceasta este prea micǎ (îsemǎd cǎ rǎdǎcia este de fapt realǎ). x k 96

Îaite de afișare, rǎdǎciile au fost ordoate crescǎtor folosid fucția Sort. Itregul proces se reia cu u ou puct de plecare aleator, pȃǎ cȃd umǎrul rǎdǎciilor gǎsite este egal cu gradul poliomului. Programul 7.3. Calculul rǎdǎciilor uui poliom pri metoda Laguerre O variatǎ de rezultat obțiut pri acest program este urmǎtoarea: 97

.Modul de lucru: Se cosidera ecuatiile obtiute pri egalarea cu 0 a fuctiilor urmatoare: Se va rezolva fiecare ditre ecuatii pri metoda Graeffe, Bairstow si Laguerre Se va alcatui u tabel cu radaciile gasite de fiecare metoda si erorile asociate acestora Petru radaciile care u pot fi gasite se va icerca modificarea itervalului iitial sau a valorii iitiale. Se va explica de ce uele radacii u pot fi gasite de toate metodele. 98