RECREAŢ II MATEMATICE

Aul IX, Nr. 1 Iauarie Iuie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 007

Semificaţia formulei de pe copertă: iπ Îtr-o formă cocisă, formula e = 1 leagă cele patru ramuri fudametale ale matematicii: ARITMETICA reprezetată de 1 GEOMETRIA reprezetată de π ALGEBRA reprezetată de i ANALIZA MATEMATICĂ reprezetată de e Redacţia revistei : Petru ASAFTEI, Dumitru BĂTINEŢU-GIURGIU (Bucureşti), Temistocle BÎRSAN, Da BRÂNZEI, Cătăli - Cristia BUDEANU, Costati CHIRILĂ, Eugeia COHAL, Adria CORDUNEANU, Mihai CRĂCIUN (Paşcai), Gabriel DOSPINESCU (studet, Paris), Paraschiva GALIA, Paul GEORGESCU, Mihai HAIVAS, Gheorghe IUREA, Lucia - Georges LĂDUNCĂ, Mircea LUPAN, Gabriel MÎRŞANU, Adrei NEDELCU, Gabriel POPA, Da POPESCU (Suceava), Flori POPOVICI (Braşov), Maria RACU, Neculai ROMAN (Mirceşti), Ioa SĂCĂLEANU (Hârlău), Ioa ŞERDEAN (Orăştie), Da TIBA (Bucureşti), Maria TETIVA (Bârlad), Lucia TUŢESCU (Craiova), Adria ZAHARIUC (Bacău), Adria ZANOSCHI, Titu ZVONARU (Comăeşti). Adresa redacţiei: Catedra de Matematică Uiversitatea Tehică Gh. Asachi Iaşi Bd. Carol I, r.11, 700506, Iaşi Tel. 03 13737 / it. 13 E-mail: recreatii.matematice@gmail.com http://www.recreatiimatematice.uv.ro COPYRIGHT 007, ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE Toate drepturile aparţi Asociaţiei Recraţii Matematice. Reproducerea itegrală sau parţială a textului sau a ilustraţiilor di această revistă este posibilă umai cu acordul prealabil scris al acesteia. TIPĂRITĂ LA SL&F IMPEX IAŞI Bd. Carol I, r. 3-5 Tel. 0788 498933 E-mail: simoaslf@yahoo.com

Aul IX, Nr. 1 Iauarie Iuie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Revistă cu apariţie semestrială publicată de ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE IAŞI - 007

300 de ai de la aşterea lui Leohard Euler (1707 1783) Citiţi pe Euler! Citiţi pe Euler, el este Maestrul ostru, al tuturor. P. S. Laplace El este geiul care a pus î valoare geiile succesorilor săi. J. Bertrad Matematicia, astroom, fizicia şi igier, Leohard Euler a fost fără îdoială cel mai prolific şi uul ditre cei mai mari matematiciei ai tuturor timpurilor, domiâd cu autoritate matematica secolului XVIII (apropiidu-se ca valoare de Lagrage). Euler, ca savat, a reuit o ituiţie formidabilă cu o imagiaţie creatoare excepţioală, o memorie iegalabilă, abilităţi de calcul extraordiare şi o putere de mucă fatastică. A debutat î activitatea de cercetare la vârsta de 16 ai cu o expuere privid filozofia lui Newto şi Descartes. Î pofida faptului că la 8 de ai pierde vederea la ochiul drept şi la 54 de ai rămâe complet orb, a cotiuat cu asiduitate această mucăpâălavârstade77de ai, câd, aşa cum afirmă Codorcet "îcetează de odată cuacalculaşi de a trăi". A redactat aual, î medie, î jur de 800 pagii text ştiiţific publicâd peste 900 de articole şi 90 de volume (di care 6 de matematică, mecaică şi astroomie). După ce a orbit complet, a dictat secretarilor săi 30 de memorii (ditre care multe sut volume îtregi). Leohard Euler s-a ăscut la 15 aprilie 1707 la Basel, î Elveţia, î familia uui preot sărac. Tatăl său, Paul Euler, era pasioat de matematică şi studiase î tiereţe cu Jea şi Iacob Beroulli. Paul îşi iiţiază fiul î matematică şi dorid ca acesta să-i cotiue cariera de preot îl trimite să studieze filozofia şi teologia la Uiversitatea di Basel. Aici are ca profesor pe Jea Beroulli care remarcă taletul său matematic de excepţie. Leohard Euler devie priete şi colaborator cu fiii profesorului, matematicieii Nicolas (1687 1759) şi Daiel Beroulli (1700 178). La propuerea acestora î 177 devie membru al Academiei de Ştiiţe di Sakt Petersburg, îfiiţată de ţaria Ecateria I-a a Rusiei. Î 1730 obţie catedra de matematică la această academie. Î acelaşi a se căsătoreşte cu fiica uui pictor rus cu care a avut 13 copii, ditre care umai 5 i-au supravieţuit. Î 1740 regele Frederic al II-lea (cel mare) al Prusiei reorgaizează Academia di Berli, ude Euler este umit director al secţiei de matematică. Postul de preşedite al acestei academii a 1

fost atribuit lui Voltaire, ceea ce îl emulţumeşte pe Euler. Î 1866, la solicitarea ţariei Ecateria a II-a şi î urma uui coflict cu regele Frederic, se îtoarce la Sakt Petersburg împreuă cu fiii săi Joha Albrecht (1734 1800), matematicia, Carol (1740 1790), medic şi Cristoph (1743 181), ofiţer î armata prusacă, şi care apoi a murit ca geeral î armata rusă. Euler este umit director al Academiei de Ştiiţe di Sakt Petersburg şi i se oferă o locuiţă cofortabilă. Di efericire, la scurt timp orbeşte complet, iar casa îi este distrusă deuicediuîcareviaţa lui Euler a fost salvată cu dificultate. Cu această ocazie şi-a pierdut şi o mare parte ditre mauscrise. La vârsta de 64 de ai îi moare soţia şi se recăsătoreşte cu o soră vitregă a primei sale soţii. La 18 septembrie 1783, după ce rezolvase o problemă dificilă prividmişcarea baloaelor (ivetate de curâd de Mogolfier) şi bea u ceai împreuă cuepoţii săi le spue acestora "eu mor". Acestea au fost ultimele cuvite ale acestui savat ître savaţi, supraumit de cotemporaii săi Pricipele matematicii sau Aaliza îcarată. Apropiaţii săi au fost uaimi î al aprecia ca u om blâd şi bievoitor, de o modestie copleşitoare. Extraordiara vitalitate a lui L. Euler, pâă î ultima clipă avieţii, se explică pri costituţia sarobustă şi săătoasă, viaţa orgaizată, muca sa cotiuă, pasiuea petru matematică, precum şi pri crediţa sa. A fost de o religiozitate profudă (ojustificare a existeţei lui Dumezeu, bazată peoţiuea de limită, s-a păstrat î uele mauale de teologie pâă î zilele oastre). Opera lui L. Euler a impulsioat profud îtreaga dezvoltare a matematicii. El a asimilat î mod critic matematica marilor săi predecesori (Fermat, Pascal, Descartes, Newto, Leibiz ş.a.), a îmbogăţit coţiutul matematicii, a itrodus metode oi de cercetare, a itrodus simboluri adecvate, a promovat utilizarea aparatului matematic î domeii ematematice şi a isistat petru expuerea clară, logică şi îtr-u limbaj accesibil uui cerc cât mai larg de cititori a problemelor de matematică. Este extrem de dificil să se prezite î câteva râduri uriaşa cotribuţie a lui Euler î matematică. Î teoria umerelor L. Euler este primul care a studiat sistematic problema distribuţiei umerelor prime itroducâd petru prima oară aşa umita fucţie zeta a lui Riema (î cazul argumetului real), a dat oi demostraţii teoremei lui Euclid (care afirmă căexistăoifiitate de umere prime), a arătat ecesitatea codiţiei suficiete date de Euclid petru ca u umăr atural par să fie perfect. A itrodus fucţia idicatoare care îi poartă umeleşi cu ajutorul căreia a geeralizat şi demostrat mica teoremă aluifermat,adatprimuleuţalteoremei lui Dirichlet privid umerele prime di progresii aritmetice, a geeralizat algoritmul lui Euclid (itroducâd paratezele lui Euler ), a perfecţioat aparatul fracţiilor cotiue, a creat teoria resturilor pătratice şi a demostrat teorema privid reprezetarea umerelor îtregi pri forme pătratice. Abilităţile sale de calcul l-au ajutat să găsească exemple care e uimesc şi astăzi: a dat exemple de umere perfecte mergâd pâă laordiul lui 10 10, a dat 65 de exemple de perechi de umere prietee (amiabile), exemple de umere prime gemee şi a costruit cotraexemple care dovedeau căuele"teoreme" obţiute de predecesori ai săi, pri iducţie icompletă, u sut adevărate. Î Geometrie, L. Euler a studiat trasformările de coordoate î spaţiul euclidia, a stabilit reprezetările aalitice ale uor figuri di acest spaţiu (cilidri, couri, suprafeţe de rotaţie), a făcut u studiu aalitic al coicelor, a studiat curbele di

spaţiul euclidia, a itrodus oţiuile de liie geodezică şi curbură ormală petru suprafeţe, a studiat suprafeţele de arie miimă care iclud o curbă îchisă eplaă. Î geometria elemetară umele său este legat de cercul celor ouă pucte,dreapta pe care se află cetrul de greutate, ortocetrul şi cetrul cercului circumscris uui triughi (dreapta lui Euler) etc. El este iiţiatorul cercetărilor de topologie algebrică, stabilid î 175 relaţia v m + f = (v = umărul vârfurilor, m = umărul muchiilor şi f umărul feţelor uui poliedru covex), rezolvâd problema celor şapte poduri di Köigsberg etc. Î Algebră a îcercat să demostreze teorema fudametală a algebrei, a euţat teorema fucţiilor simetrice şi a dezvoltat teoria determiaţilor. A obţiut rezultate umeroase şi fudametale î diverse domeii: calculul difereţial şi itegral (a publicat două tratate reumite de aaliză matematică), teoria ecuaţiilor difereţiale ordiare şi cu derivate parţiale, teoria itegralelor eliptice etc. A itrodus itegrala multiplă, fucţiile gamma şi beta, a defiit umărul e şi logaritmul atural, a defiit fucţiile trigoometrice ca fucţii circulare, a arătat că e πi = 1 şi, mai geeral, e ix =cosx + i si x etc. De la el moşteim multe di otaţiile folosite astăzi: f (x), e, π, e x, l x, γ (costata lui Euler) ş.a. Euler a adus cotribuţii î mecaica puctului şi mecaica corpului solid, defiid oţiui ca: cetru de masă, cetru de ierţie, momet de ierţie. Î 1755 a publicat u tratat de hidrodiamică cu umeroase aplicaţii practice. A fost preocupat şi de optică şi tehică (costrucţia avelor). Se spue că î ultimii ai de viaţă L. Euler avea î memorie fiecare amăut di creaţia sa uriaşă. Dar Euler u a fost umai u mare matematicia. El era u om de vastăcultură geerală avâd cuoştiţe bogate de teologie, filozofie, botaică, chimie, istorie, mediciă, literatură şi muzică(a scrisşi o teorie matematică a muzicii). Recita di memorie î îtregime "Eeida" şi ştia cu ce vers îcepe şi se termiă fiecare pagiă di cartea lui Virgiliu. Aşa cum afirma J. Bertrad, ici u alt mare savat u a lucrat cu mai mult zel, mai multă râvă şi cu mult folos petru progresul uei ştiiţe, ca Euler petru matematică. Prof. dr. Petru Miuţ 3

Profesorul Dumitru Io Magero (1906 1991) I Memoriam Pritre profesorii de seamă, ăscuţi î urmă cuu secol, se umără şi regretatul D. I. Magero. Cuoscută persoalitate a vieţii uiversitare şi academice ieşee, D. I. Magero s-a ăscut la 15/8 oiembrie 1906 î oraşul Chişiău. După absolvirea liceului î oraşul său atal s-a îscris î aul 196 la secţia de matematică afacultăţii de ştiiţe di Iaşi, î care pe atuci existau secţii petru toate ştiiţele exacte. Aabsolvitîmodstrălucit studiile uiversitare î aul 1930, avâd profesori de mare valoare, dacă uarfi să-l amitim decât pe Alexadru Myller, care luase doctoratul la vestitul matematicia David Hilbert. Odată cu îfiiţarea î 1910 de către A. Myller a Semiarului matematic, care astăzi îi poartă umele, la Iaşi îcepuse cu adevărat o activitate propriu-zisă de cercetare, la care şi-a adus aportul şi fostul studet D. I. Magero. Timp de doi ai (1930-193), pregăteşte sub îdrumarea reumitului profesor Mauro Picoe teza de doctorat, ititulată Sopra u problema al cotoro per u equazioe differeziale alle derivati parziali di quatro ordie co le caratteristiche reali doppie. Îtors î ţară, a fucţioat la Uiversitatea ieşeaă mai îtâi ca asistet, fiid umit î 1936 cofereţiar la disciplia de aaliză matematică. Îcepâd cu aul uiversitar 1938/1939, a fost umit cofereţiar la disciplia de matematici geerale la ou îfiiţata Şcoala Politehică diiaşi, ude, î aul 1941, devie profesor la catedra de mecaică. Îcepâd cu acest a, a predat cursuri de matematică şi de mecaică teoretică lafacultăţile de mecaică şi de electrotehică. Preocupările sale ştiiţifice au fost strâs legate şi de ceriţele uui îvăţămât tehic superior de îaltă ţiută, publicâd aum, pe lâgă lucrările di teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale, şi umeroase lucrări de mecaicăaalitică, teoria mecaismelor, teoria optimizării, teoria acceleraţiilor reduse şi a acceleraţiilor de ordi superior. A publicat şi lucrări de istoria matematicii. A fost membru activ la mai multe societăţi ştiiţifice de matematică, mecaică teoretică şi aplicată, astroomie, om de ştiiţă emerital Româiei, redactor resposabil la Buletiul Istitutului Politehic di Iaşi, membru î cosiliul de coducere al revistelor Revue Roumaie des Scieces Téchiques (Série de Mécaique Appliquée) şi Studii şi Cercetări de Mecaică Aplicată, coducător de doctorate î mecaică tehică (30 de igieri au obţiut titlul de doctor sub îdrumarea sa). Studiul ecuaţiilor cu derivate parţiale a deveit pricipalul său domeiu de cercetare î care, sigur sau cu uii ditre elevii şi colaboratorii săi, a publicat sute de lucrăriîdiverserevistedespecialitatediţara oastrăsaudiţări cu mare prestigiu ştiiţific, ceea ce face ca acum î matematică să se vorbească despreecuaţii polivalete Magero, operatori iterpolaţi Magero, teoreme Magero, ecuaţiile Magero. Profesorul D. I. Magero a fost u om pli de etuziasm, eergie, spirit de 4

iiţiativă, colegialitate desăvârşită, u om care îcuraja tieretul studios şi care era capabil de prieteia cea mai siceră. Dovadă stau scrisorile plie de ateţie şi delicateţe către buul său priete de o viaţă, Al. C. Climescu, trimise de la Uiversitatea di Edmoto (Caada), ude î mai multe râduri a fost visitig profesor, după ieşirea salapesie. Cualtă ocazie, despre Al. C. Climescu a scris: Afosttocmai atuci (la îceputul războiului) mobilizat î arma atiaeriaă şi astfel au trecut ai de zile, pâă î 1945. Ître timp, am reuşit să se formeze comisia de cocurs petru îcadrarea sa ca profesor. Comuicâdu-i că elsevaîtoarcepeouasapoziţie de profesor titular, am primit cu emoţie telegrama î care El afirma că uvauitaicio- dată acest rezultat al eforturilor făcute î lipsa lui. Al. C. Climescu a avut ocazia să se revaşeze atuci câd, aşa cum scrie Profesorul, î acele vremuri s-a făcut tabula rasa di tot ce am lucrat şi realizat eu. Î 1954, Al. C. Climescu descoperă îrevista Memorial des Scieces Mathématiques u articol ititulat Calcul Symbolique, î care exista fraza: O leur doit à Mauro Picoe et à D. Magero deux progrès pricipaux. Această recuoaştere iteraţioală afăcut ca, î cele di urmă, şicaele la care era supus Profesorul să îceteze, să i se recuoască meritele de cercetător de valoare şi, partea oarecum comică, să i se acorde o ouă diplomă dedoctorîştiiţe fizico-matematice petru că, chipurile, cea di Italia u ar fi fost buă. Î legătură cu aceasta, Profesorul a spus: Am trăit astfel, î cadrul greutăţilor pe care le-am avut ai de zile, o reuşită faptică şi morală, graţie ateţiei şi preocupărilor de pasioat cercetător al iubitului ostru Priete dispărut. U aspect foarte importat al activităţii Profesorului D. I. Magero este legat de îfiiţarea revistei Buletiul Istitutului Politehic di Iaşi (1946), petru care a trebuit săîvigăgreutăţile ivite după termiarearăzboiului şi obtuzitatea oilor factori de decizie. A cotribuit di pli la afirmarea pe pla iteraţioal şi u umai aţioal a acestei reviste, împreuă cualţi profesori ai Politehicii şi oamei de ştiiţă dialteţări, pritre care şi câţiva laureaţi ai premiului Nobel. Profesorul D. I. Magero arămas activ şi optimist pâă la ievitabilul sfârşit, deşi a locuit îtr-u apartamet modest, lipsit de cofort. Câd, î cele di urmă, dl. rector al Politehicii, deveită acum Uiversitatea Tehică "Gh. Asachi", areuşit să obţiă petru Profesor o repartiţie îtr-o ouă locuiţă, acesta a spus: "Dragul meu, este prea târziu". Prea târziu, a sosit şi ştirea alegerii sale ca membru corespodet al Academiei Româe. Se afla î spital, ude a decedat la 6 februarie 1991. Ne-am despărţit de stimatul ostru Profesor î ziua de 1 martie 1991, după slujba la care au asistat mulţi ditre colaboratorii şi elevii săi, colegi, foşti doctorazi, igieri şi profesori, ţiută la biserica Sfâtul Nicolae di dealul Copoului. Pe drumul către cimitirul Podgoria, o isoare liiştită aadusîmpăcarea î sufletele oastre şi e-am gâdit că, cel care a iubit atât de mult şcoala, oameii şi atura a plecat ditre oi la fel de frumos cum a trăit, lăsâd o amitire şi o operă pemăsură, demă de spiritele cu adevărat alese. Astăzi, la mormâtul Profesorului D. I. Magero se află umoumet, ridicat de foştii săi admiratori, iar Bulevardul pe care se află facultăţile şi celelalte clădiri ale Uiversităţii Tehice poartă umele "Bulevardul D. Magero". Prof. dr. Adria Cordueau 5

Grigore Moisil cocetrat î 1939, Sieşti, cu grad de sublocoteet (r) (persoaa culcată) Fotografia-documet (recto-verso) a fost oferită petru publicare redacţiei de către cof. dr. Gh. Costovici. 6

Similitudii î pla şi pucte Torricelli asociate Cătăli ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezită operaţia de compuere a similitudiilor aplicată uei cofiguraţii geometrice: u triughi ABC şi două pucte arbitrare M,N / {A, B, C}, la care vom ataşa puctul P, care este cetrul similitudiii S 3 = S S 1,udeS 1 este similitudiea cetrată îc, careîltrasportăpem î A, iars este cetrată îb, trasportâdu-l pe A î N. Două aspecte vom lămuri, legate de subiectul î cauză. Î primul râd, vom arăta cum rolul pe care îl joacă puctulp poate fi preluat şi de puctele M şi N. Mai mult, vom demostra că putem iversa rolurile triughiurilor ABC şi MNP. Al doilea aspect al lucrării se referă laidetificarea a două pucte Torricelli geeralizate, pe care le umim asociate compuerii celor două similitudii. Î fial vom lămuri şi o situaţie iteresată, credem, cu caracter de outate, legată de coicideţa acestor pucte. Î expuere se foloseşte formalismul complex, deoarece permite atacarea uor probleme grele, petru care soluţia sitetică sedovedeşte a fi, î primă fază, greu de văzut. Iterpretările geometrice îsoţesc, î limita spaţiului, rezultatele teoretice. Mai precizăm că uele rezultate sut demostrate î [3] şi [5]. 1. Compuerea similitudiilor şi teorema fudametală. Mulţime puctelor plaului P se idetifică, pri fixarea uui reper, cu mulţimea umerelor complexe. Defiiţie. Similitudiea de cetru M 0 P, de raport k [0, ) şi de ughi ϕ ( π, π] este fucţia S M0 (k, ϕ) :P P, defiită astfel: dacă M P şi M 0 = S M0 (k, ϕ)(m), avem (a) dacă M 6= M 0,atucik = M 0M 0 M 0 M, ϕ = m( MM \ 0 M 0 ); (b) dacă M = M 0, atuci M 0 = M 0. Reamitim că similitudiile sut bijecţii, aume (S M0 (k, ϕ)) 1 = S M0 (1/k, ϕ). Dacă z 0 este afixul lui M 0 şi z afixul lui M, atuci expresia aalitică a similitudiii este descrisă defucţia s z0 (k, ϕ)(z) =z 0 +(z z 0 ) ke iϕ. (1) Să otăm că, dacă z 0 este afixul lui M 0,atuci ke iϕ = z0 z 0. (1 0 ) z z 0 Propoziţia 1. Cosiderăm similitudiile S M1 (k 1,ϕ 1 ), S M (k,ϕ ),afixele puctelor M 1 şi M fiid respectiv z 1 şi z.dacăk 1 k e i(ϕ 1 +ϕ ) 6=1,atuciexistăpuctul X, de afix x, astfel îcât S M (k,ϕ ) S M1 (k 1,ϕ 1 )=S X (k 1 k,ϕ 1 + ϕ ), ude afixul lui X este determiat de relaţia 1 k e iϕ x = z 1 +(z z 1 ) 1 k 1 e iϕ 1 k e iϕ = z 1 +(z z 1 ) Demostraţia acestui rezultat clasic se găseşte î [4]. Să otăm cărelaţia k 1 k e i(ϕ 1 +ϕ ) =1este echivaletă curelaţiile k 1 k =1şi ϕ 1 + ϕ =0 (modπ). 1 Lect. dr., Uiv."Ştefa cel Mare", Suceava 7 1 k e iϕ 1 k 1 k e i(ϕ 1 +ϕ ). ()

Î cele ce urmează, fixăm cadrul î care se va desfăşura aaliza oastră; aume, se cosideră triughiul ABC, cu afixele respectiv a, b, c şi fie M, N două puctedi pla, fixate, diferite de A, B şi C, deafixem şi. Luăm î cosiderare similitudiile de cetre C şi B, caretrasferăpem î A, respectiv pe A î N şi vom determia puctul P, care va fi cetrul compuerii celor două similitudii. Ţiâd cot de (1 0 ) şi de (), dacă puem k 1 e iϕ a c 1 = m c, k e iϕ b =, atuci puctul P satisface a b S B (k,ϕ ) S C (k 1,ϕ 1 )=S P (k 1 k,ϕ 1 + ϕ ),afixulsău, otat cu p, fiid descris de a b a p = c +(b c) 1 a c m c b. (3) a b Petru îceput câteva observaţii, legate de aspectele geometrice foarte particulare ale formulei de mai sus, pe care cititorul le poate verifica pri calcul direct: cazul particular k 1 k 6=1şi ϕ 1 = ϕ =0 (modπ) este echivalet cu teorema lui Meelaos; dacă ϕ 1 + ϕ =0 (modπ), atuci puctele M, N, P sut coliiare, petru k 1 k =1şi ϕ 1 + ϕ = π, puctul P fiid mijlocul segmetului MN; oaalizăaformuleiaratăcă, dacă M,N / {A, B, C}, atuci şi P / {B,C}; există situaţii petru care P A, cumseverificăî: a =0, b =1, c = i, m = 1, = i; coform(3), p = a =0. Următorul rezultat lămureşte prima problemă asociată tripletelor{a, B, C} şi {P, M, N}, descrisă î itroducere. Teorema 1. Dacă P are afixul p, determiat de formula (3), atuci (a) dacă puemk 3 e iϕ c b 3 = p b, k 4e iϕ m a 4 = c a, k 5e iϕ b a 5 = a, k 6e iϕ p c 6 = b c, va rezulta S A (k 4,ϕ 4 ) S B (k 3,ϕ 3 )= S N (k 3 k 4,ϕ 3 + ϕ 4 ), S C (k 6,ϕ 6 ) S A (k 5,ϕ 5 )= S M (k 5 k 6,ϕ 5 + ϕ 6 ); (b) dacă puemq 1 e iψ m 1 = a m, q e iψ b p = p, q 3e iψ p 3 = b, q 4e iψ c m 4 = p m, c p, q 6e iψ a 6 = m,atucis P (q,ψ ) S M (q 1,ψ 1 )=S C (q 1 q,ψ 1 +ψ ), S M (q 4,ψ 4 ) S N (q 3,ψ 3 )=S A (q 3 q 4,ψ 3 +ψ 4 ), S N (q 6,ψ 6 ) S P (q 5,ψ 5 )=S B (q 5 q 6,ψ 5 +ψ 6 ). Demostraţie. Îcepem pri a demostra o formă echivaletăaformulei(3). q 5 e iψ 5 = m p Lemă. Afixul puctului P, otat cu p, careestecetrulcompueriisimilitu- diilor S B (k,ϕ ) S C (k 1,ϕ 1 ),verifică relaţia p m p = a c m c b (#) a b şi reciproc, dacă afixul p verifică (#), atuci verifică şi (3). Demostraţie. Di ipoteză rezultăcă S P (k 1 k,ϕ 1 + ϕ )(M) =N, de ude, coform formulei (1 0 ), rezultă (#). Să presupuem că afixul puctului P verifică (#). Dacă otăm cu w = k 1 k e i(ϕ 1 +ϕ ) = a c m c b,atuciputemscrie(1 w) p = a b wm, deude(p c)(1 w) = wm (1 w) c = c a c ( b) = a b 8

b ac + ab + c a b =(b c) a, de ude (3). b a Reveim la demostraţia teoremei. Petru puctul (a), trebuie demostrat că, dacă p satisface (3), atucim şi verifică formulele aaloge, ceea ce, î virtutea lemei, revie la demostrarea formulelor m p = m a c a c b p b şi (# 0 ) p m m = b a a p c b c. (#00 ) Di (3) se obţie p b b c b = a b m a m c şi di (#) deducem m 1 w p = 1 w w. Mai departe avem p b c b m p = b a b m a m c m c c a a b b = m a, de ude rezultă c a (# 0 ). Aalog se demostrează şi (# 00 ). Petru puctul (b), trebuie demostrat că, c p m p dacă p satisface (3), atucia, b, şi c satisfac relaţiile a = +(m ) 1 p b c m p m şi celelalte, ceea ce este echivalet cu a demostra relaţiile c a b a = p b c m p m şi celelalte, care u sut altceva decât rescrieri ale relaţiilor (#), (# 0 ) şi (# 00 ).Q.e.d.. Puctele Torricelli asociate compuerii a două similitudii. Î cotiuare, procedăm după cumurmează: cosiderăm puctele A 0, B 0 şi C 0, de afixe a 0, b 0 şi respectiv c 0,defiite de A 0 = S C (k 1,ϕ 1 )(P), B 0 = S A (k 5,ϕ 5 )(M), C 0 = S B (k 3,ϕ 3 )(N). Di Teorema 1 deducem şi că A 0 = S B (1/k, ϕ )(P), B 0 = S C (1/k 6, ϕ 6 )(M), C 0 = S A (1/k 4, ϕ 4 )(P). Trecâd la ivelul afixelor, relaţiile de mai sus se traduc î formulele a 0 = c +(p c) a c a b = b +(p b) m c b, b 0 = a +(m a) b a b c = c +(m c) a p c, (4) c 0 = b +( b) c b c a = a +( a) p b m a. Dacă iversăm rolurile tripletelor {A, B, C} şi {P, M, N} (Teorema 1 e permite acest lucru), putem cosidera aalogele puctelor A 0, B 0 şi C 0,aumeP 0, M 0 şi N 0,deafixep 0, m 0 şi respectiv 0, ude P 0 = S N (q 3,ψ 3 )(A), N 0 = S M (q 1,ψ 1 )(C), M 0 = S P (q 5,ψ 5 )(B), aalogele formulelor (4) fiid p 0 = +(a ) p p m = m +(a m) b m 0 = p +(b p) m p c p c m, m = +(b ) a, 0 = m +(c m) m p = p +(c p) a m b p. Propoziţia. PP 0 AA 0, MM 0 BB 0, NN 0 CC 0 sut paralelograme, evetual degeerate. Demostraţie. Demostrăm relaţiile importate: 9 (5)

a a 0 = (p p 0 ), b b 0 = (m m 0 ), c c 0 = ( 0 ). (6) Raţioametul se urmăreşte uşor î cele ce urmează: di (5) se obţie p 0 p = ( p)(b a) şi di (4) se obţie a 0 (b a)( p) a = ; de aici rezultă că b b a a 0 = (p p 0 ); celelalte relaţii se deduc î acelaşi fel. Cochidem imediat că perechile de segmete {[AA 0 ], [PP 0 ]}, {[BB 0 ], [MM 0 ]} şi {[CC 0 ], [NN 0 ]} sut respectiv cogruete, paralele sau cofudate, ceea ce îcheie demostraţia. Propoziţia 3. Sut adevărate următoarele relaţii: c 0 b a b = c b a 0 b = c b0 a b 0, (7) p 0 m = p 0 m 0 = p m 0 ; (8) p 0 m p 0 = c a0 b a 0, m 0 p 0 = b c0 a c 0, p m 0 m 0 = a b0 c b 0. (9) Demostraţie. Relaţiile (4) se mai scriu şi c 0 a c a = a m a = b a b 0 a ; a 0 b a b = p b b = c b c 0 b ; b 0 c b c = m c p c = a c a 0 c. (40 ) Di a doua relaţie se obţie c0 b a b = c b a 0.Aalogseobţie şi egalitatea cu celălalt b raport di (7). Iversâd rolurile triughiurilor ABC şi MNP,rezultă şi (8). Remarcăm şi relaţiile p 0 p = a b = m m 0, m 0 p m p = b p c p = p 0 p, 0 m m = c m a m = p m p 0 m, (50 ) care sut echivaletele relaţiilor (4 0 ). Relaţiile (9) se deduc astfel: di (4) şi di (5), coroborat cu (#), obţiem a0 c (p c)(a c)( b) a 0 = b (p b)(a b)(m c), respectiv p0 p 0 m = (a c)(a ) (a b)(a m). Îmulţid (#), (#0 ) şi (# 00 (p c)( b) ), rezultă că (p b)(m c) = a a m, ceea ce, după îlocuire, îcheie demostraţia. Teorema. Cosiderăm puctele A 0, B 0, C 0, de afixe a 0, b 0 şi respectiv c 0, defiitederelaţiile (4) şi puctele P 0, M 0, N 0,deafixep 0, m 0 şi respectiv 0,care satisfac relaţiile (5). (a) Dacă b a a m a c a R, atuci tripletele {AA0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 } sut formate di drepte paralele. (b) Dacă b a a m a c a / R, atuci tripletele {AA0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 } sut cocurete. Demostraţie. Î virtutea Teoremei 1, sut suficiete demostraţiile afirmaţiilor referitoare la tripletul {AA 0,BB 0,CC 0 }.Demostrăm că AA 0 k BB 0 k CC 0.Di (4) se obţie c0 a b a = a b a c a m a R, adică C0 AB. Di (7) deducem c a0 b a 0 = c a b 0 a = c0 a b a R, adică A0 BC şi B 0 CA. Pe de altăparte,di(4 0 ) rezultă 10

că b b0 c c 0 = a b0 c a = b a a c 0 R, deci b b 0 c c0 b b 0 =, ceea ce îseamă cădreptele c c0 BB 0 şi CC 0 sau sut paralele sau cofudate. Dacă BB 0 CC 0,atuci{B 0 } = AC CC 0 = {C}, ceea ce, î virtutea lui (4), ar coduce la M C sau B C, ceea ce este fals. Deci BB 0 k CC 0, la fel demostrâdu-se şi celălalt paralelism. P B C A N B T T P M C N M A Figura 1 Demostrăm puctul (b); dacă b a a m a c a C\R, rezultăcădrepteleaa0, BB 0 şi CC 0 se itersectează cel puţi două câte două. Fie {T } = BB 0 CC 0 şi fie t afixul său.varezultacăexistă λ, µ R astfel îcât b b 0 = λ (b 0 t), c c 0 = µ (c t) şi, ţiâd cot şi de b0 a c a = b b0 c 0 c,dedusădi(40 ), ajugem la b0 a c a : b0 t c t = λ µ R; cum{c 0,A,B} u sut coliiare, rezultă că patrulaterul B 0 CTA este iscriptibil. Aalog dovedim că BC 0 AT este iscriptibil. Di (7) rezultă că a0 c a 0 b = c a b 0 a ; deoarece B 0 CTA este iscriptibil şi deoarece T BB 0, rezultăcă b0 a c a c t b 0 t R şi b 0 t t b R, c decia0 a 0 b : t c t b R, adică şi BA0 CT este iscriptibil. Demostrăm că T AA 0 ; codiţiile de iscriptibilitate ale patrulaterelor se pot scrie şi t c t a 0 b a0 b c 11

t c R, t a b0 a b c b 0 R şi ţiâd cot de c b a 0 t a 0 t c b c b a 0 b0 a b 0 c t c t a cocurete. Iversâd rolurile tripletelor {AA 0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 }, obţiem şi cocureţa dreptelor PP 0, MM 0 şi CC 0.Demostraţia este îcheiată. = b0 c b 0,dedusădi(7), rezultăcă a R, adică t a t a 0 R. Rezultăcă AA0, BB 0 şi CC 0 sut Observaţia 1. La puctul (a) u obţiem AA 0 k BB 0 k CC 0 k PP 0 k MM 0 k NN 0, cum s-ar părea că rezultă di Propoziţia, deoarece î exemplul a =0, b =1, c = i, m = 1, = i, p =0, ude a 0 = 1 (1 + i), b0 = = i, c 0 = m = 1, p 0 = 1 (1 + i), avem AA 0 PP 0, BB 0 MM 0, CC 0 NN 0. Observaţia. Geometric, codiţia b a a m a R, caresereferăumaila c a poziţia puctelor di ipoteză, se traduce pri m(\nab)+m( \CAM) {0,π}, adică ughiurile \NAB şi \CAM sut sau opuse ca orietare şi egale î valoare absolută sau suplemetare. Observaţia 3. Cele spuse se urmăresc uşor pe figura 1, corespuzătoare cazului ϕ 1 > 0, ϕ > 0. Seremarcă paralelogramele di Propoziţia şi următoarele şiruri de triughiuri direct asemeea, î ordiea î care sut scrise, care se deduc di iterpretările geometrice ale formulelor (7), (8) şi (9): 4C 0 BC 4NBP 4ABA 0 4NAP 0, 4A 0 CA 4PCM 4BCB 0 4P 0 AM, 4B 0 AB 4MAN 4CAC 0 4MCN 0 şi 4C 0 BA 4CBA 0 4CB 0 A 4N 0 MP 4NMP 0 4NM 0 P. Totdeaicisededucefaptulcă, dacă, de exemplu, M este u puct importat î 4ACB 0, atuci şi N şi P sut acelaşi tip de puct î triughiurile aaloge. Observaţia 4. Puctele T şi T 0,obţiute la puctul (b), sutpucte Torricelli geeralizate asociate tripletelor {A, B, C} şi {P, M, N}. Î adevăr, dacă puem, de exemplu, α = b c, β = c a 0, γ = a 0 b (sau orice umere proporţioale cu ele), atuci puctul T este puctul î care suma α XA + β XB + γ XC îşi atige miimul, ude X este u puct oarecare di pla. Aalog, puctul T 0 este puctul î care suma α XP + β XM + γ XN îşi atige miimul. Petru detalii, recomadăm cititorului paragraful 1.49 di [3], ude demostraţiile sut prezetate pe larg şi ude sut expuse şi alte proprietăţi ale puctelor Torricelli. Î cotiuare, e plasăm î codiţiile puctului (b) di Teorema. Teorema 3. T T 0 dacă şi umai dacă puctele A, B, C, M, N, P sut cociclice. Demostraţie. Dacă T T 0, atuci relaţia (6) asigură coicideţa dreptelor AA 0 PP 0, respectiv BB 0 MM 0 şi CC 0 NN 0, adică {C 0,N,T,C,N 0 }, {P 0,A,T,P,A 0 }, {M 0,B,T,M,B 0 } sut pucte coliiare, deci există λ, µ R astfel ca c 0 t = λ (c 0 ), a t = µ (a p). Deoarece patrulaterul AC 0 BT este iscriptibil, rezultă că a t a b c0 b c 0 t R, de ude, după îlocuire, se obţie a p a b c0 b c 0 R. Ţiâd cot de relaţia a treia 1

C N P A B T M M B P A C N Figura di (4), putem scrie c0 b c 0 = c b a p, care coduce la c p a b c b R, decipatrulaterul ABP C este iscriptibil. Aalog se demostrează şi că M, N aparţi cercului c p circumscris triughiului ABC. Reciproc, să presupuem că puctele A, B, C, M, N, sut cociclice şi demostrăm că T T 0 şi că puctulp aparţie cercului circumscris triughiului ABC. Di (4) deducem că b0 b m = a b ; după îlocuirea a cu a b a m R, asigurată de patrulaterul iscriptibil ANBM, rezultă că m b b 0 b m m m b R, deci b0 b m b R, adică M BB0 ; folosid celălalt patrulater iscriptibil, se arată şi că N CC 0 ;deaicibb 0 MM 0, CC 0 NN 0,deuderezultă că T T 0. Deoarece P AA 0, rezultă că a0 a p a R, adică a0 a p m p m R, ceea p a ce, coroborat cu a0 a p m = c a c a, dedusă di(4), coducela c m c m p m p a R, deci patrulaterul AM CP este iscriptibil. Q. e. d. De iteres credem că este o iterpretare fizică a teoremelor şi 3 (v. [3], pag. 14). Bibliografie 1. C.Ioescu-Bujor - Elemete de trasformări geometrice, vol.i-ivbibl. Soc. Şt. Matematice a R.S.R., Ed. Tehică, Bucureşti, 1958.. N. Mihăileau - Utilizarea umerelor complexe î geometrie, Bibl. Soc. Şt. Matematice a R.S.R., Ed. Tehică, Bucureşti, 1968. 3. L. Nicolaescu, V. Boskoff - Probleme practice de geometrie, Seria "Culegeri de matematică şi fizică", Ed. Tehică, Bucureşti, 1990. 4. D. Smarada, N. Soare - Trasformări geometrice, Bibl. profesorului de matematică, Ed. Acad. R.S.R., 1988. 5. C. Ţigăeru - Asupra uei clase de trasformări geometrice, Matematica î şcoala suceveaă, r. 8/1990, 1-7. 13

Ordiul elemetelor grupului GL (Z) Adria REISNER 1 Î RecMat /005, Gabriel Dospiescu a propus problema L94. Fie A M (C) o matrice cu elemete îtregi, iversabilă şi astfel îcât mulţimea A k k N ª este fiită. Să sedemostrezecă aceastămulţime are cel mult 3 elemete. Rămâe rezultatul adevărat dacă suprimăm codiţia ca elemetele matricei să fie îtregi? Soluţia autorului a fost publicată î umărul /006 al revistei. Propuem î cotiuare o abordare oarecum diferită a problemei, care permite o mai buă privire asupra laticei subgrupurilor lui GL (Z). Notăm cu GL (Z) mulţimea matricelor iversabile cu elemete îtregi, petru care iversa are tot elemete îtregi. Evidet că M GL (Z) dacă şi umai dacă M M (Z) şi det M = ±1. Dacă G este u subgrup fiit al grupului GL (Z), iar p 3 este prim, cosiderăm aplicaţia ϕ : G GL (Z), care asociază ueimatrice M G acea matrice care are ca elemete redusele modulo p ale elemetelor lui M. Propoziţie. Aplicaţia ϕ este u moomorfism de grupuri. Demostraţie. Se observă uşor că ϕ este bie defiită, î sesul că ϕ (M) este matrice iversabilă îm (Z p ), precum şi faptul că ϕ este morfism de grupuri. Vom arăta că ϕ este ijectivă demostrâdcă ucleul său Ker ϕ este {I }.FieM Ker ϕ, deci M I (mod p); există atuci o matrice N M (Z) astfel îcât M = I +pn. Grupul G fiid fiit, rezultă că M este de ordi fiit m 1: M m = I. Di această egalitate deducem că poliomul P =(1+pX) m 1 este poliom aulator petru matricea N. Dacă ζ 0, ζ 1,...,ζ m 1 sut rădăciile de ordi m ale uităţii, rădăciile lui P vor fi λ j = 1 ζj 1, j = 0,m 1 şi acestea sut umere disticte; rezultă p că N este diagoalizabilă. Î plus, cum p 3, avem că λ j < 1, pri urmare lim N k = O. Matricea N fiid cu elemete îtregi, există k suficiet de mare k petru care N k = O,deciN este ilpotetă. O matrice diagoalizabilă şi ilpotetă este ulă şi deducem că M = I + po = I, ceea ce îcheie demostraţia. Coseciţa 1. Ordiul oricărui subgrup fiit al grupului GL (Z) este majorat de 3,iarGL (Z) coţie u umăr fiit de subgrupuri fiite eizomorfe. Demostraţie. Cardialul uui subgrup G este majorat, coform propoziţiei precedete, de cardialul lui GL (Z 3 ),careeste3 (deoarece aplicaţia ϕ este ijectivă). A doua afirmaţie rezultă imediat, deoarece GL (Z 3 ) are u umăr fiit de subgrupuri eizomorfe, fiid el îsuşi grup fiit. Coseciţa. Ordiul oricărui elemet al grupului GL (Z) este sau ifiit, sau majorat de 3. 1 Cercetător, Cetrul de Calcul E.N.S.T., Paris 14

Demostraţie. Cocluzia rezultă di faptul că ordiuloricărui elemet al subgrupului divide ordiul grupului. Di Coseciţa urmează imediat prima parte a problemei L94. Proprietatea u mai are loc dacă A u are elemete îtregi. De exemplu, u subgrup G GL (R) care este de torsiue ( x G, q N cu x q = I ) poate să fie ifiit; acest fapt aduce o îmbuătăţire soluţiei problemei L94 dată î r. /006, ude se cosideră u cotraexemplu bazat pe o matrice cu elemete complexe ereale. Fie G subgrupul lui GL (R) format di matricele de forma µ cos θ si θ R (θ) =, θ {rπ r Q}. si θ cos θ Dacă θ = p,cup, q Z, q 1, evidetcă q µ [R (θ)] q cos pπ si pπ = = I si pπ cos pπ, deci G este grup de torsiue. Pe de altă parte,g este de ordi ifiit, izomorf cu grupul (Q/Z, +); izomorfismul asociază matriceir (θ), cuθ =rπ, clasadiq/z a părţii fracţioare a lui r (verificările se fac uşor). Pucte coliiare Ora de matematică laoclasăcuprofil sportiv. U elev de cl. a IX-a are de rezolvat la tablăoproblemăsimplădecoliiaritate, dar... Ce sut puctele coliiare? itervie profesorul, decis să-l ajute.!?!?? Bie! S-oluăm altfel... Tu eşti fotbalist. Ce îseamă coechiper? Di aceeaşi echipă, de ce râdeţi de mie d-le profesor? Atuci, ce-ar putea să îsemecoliiar? Di echipa adversă!... Vreţi săvăghicescumărul ales? Alegeţi u umăr de două cifre pe care-l doriţi. Îmulţiţi prima cifrăcu5, aduaţi 3, dublaţi rezultatul, adăugaţi adouacifră şi spueţi-mi rezultatul. Vă voiidicape loc umărul ales. (Explicaţii găsiţi la pagia 8.) 15

Variaţiui pe tema dreptei lui Euler şi cercului celor ouă pucte Temistocle BÎRSAN 1 Două ditre cele mai cuoscute "vedete" ale geometrie triughiului sut dreapta lui Euler şi cercul celor ouă pucte(cercul lui Euler) (fig. 1). Vom adopta otaţiile uzuale. Fie 4ABC, dreapta lui Euler (determiată deh şi O) şi E cercul celor ouă pucte (determiat de mijloacele laturilor A 0, B 0, C 0 ). Sut biecuoscute următoarele proprietăţi ale acestei cofiguraţii: 1 G, O 9 (cetrul cercului E) sutpe4; E coţie picioarele îălţimilor D, E, F şi mijloacele segmetelor [AH], [BH], [CH], adică puctele A 00, B 00, C 00 ; 3 HO 9 = OO 9, HG =OG; 4 puctele A 0 şi A 00 sut diametrul opuse î E şi A 0 O = AA 00 = A 00 H; 5 AO k A 0 A 00 şi AO = A 0 A 00 ; 6 cercurile C (circumscris 4ABC) şi E sut omotetice pri omotetiile h 1/ H B A A C F H D O 9 E G O A Fig. 1 şi h 1/ G [1]; dacă C are raza R, atucie are raza R. Următorul rezultat, sugerat de cofiguraţia de mai sus, reprezită o geeralizare aproprietăţii 4 (î loc de H cosiderăm u puct oarecare): Propoziţia 1. Fie 4ABC şi P u puct oarecare. Arătaţi că drepteleceuesc mijloacele A 00, B 00 şi C 00 ale segmetelor ceviee [AP ], [BP] şi respectiv [CP] cu mijloacele A 0, B 0, C 0 ale laturilor opuse sut cocurete (fig. ). Demostraţie. Patrulaterul B 0 C 0 B 00 C 00 este paralelogram, căci B 0 C 0 şi B 00 C 00 sut paralele cu BC şi egale cu BC.Caurmare,[B0 B 00 ] şi [C 0 C 00 ] se itersectează î P 0 aflat la jumătatea fiecăruia. La fel se arată că A 0 A 00 şi ua ditre B 0 B 00, C 0 C 00 se itersectează îp 0. Observaţii. 1) Petru a obţie puctul P 0 este suficiet să luăm o sigură ceviaă; dacă aceasta este AP, atuci P 0 este mijlocul segmetului [A 0 A 00 ]. ) Distigem trei cercuri cu cetrul î puctul P 0 şi de raze P 0 A 0, P 0 B 0, P 0 C 0 ce apar î locul cercului celor ouă pucte. 1 Prof. dr., Catedra de matematică, Uiv. Tehică "Gh.Asachi",Iaşi 16 B C P B A A P A Fig. B B C C C

Propoziţia. Dacă P este pe, atucip 0,obţiut di P ca î Propoziţia 1, este de asemeea pe (fig. 3). Demostraţie. Fie A 00 mijlocul segmetului euleria [AH] şi A 000 mijlocul segmetului cevia [AP ]; deci A 00 A 000 k. Notăm cu Q itersecţia paralelei pri A 0 la ceviaa AP. Di acest fapt şi di proprietăţile A 0 O k AA 00 şi A 0 O = AA 00,rezultăcă 4A 0 OQ, 4AA 00 A 000 sut cogruete (ULU), deci A 0 Q = AA 000 = A 000 P. Patrulaterul PA 0 QA 000 este paralelogram şi P 0 este mijlocul segmetului [PQ]. CumP, Q, urmeazăcă P 0. B A A A P Q H P O A Fig. 3 Reveid la Propoziţia 1, vom impue puctului P codiţii suplimetare, care să-l apropie de H. Propoziţia 3. Fie P u puct î plaul 4ABC. Puctele B 0, C 0, B 00, C 00 (fig.) sut cociclice dacă şi umai dacă P AH. Demostraţie. Am observat deja că B 0 C 0 B 00 C 00 este paralelogram. Dacă B 0, C 0, B 00, C 00 sut cociclice, atuci B 0 C 0 B 00 C 00 va fi dreptughi, deci B 00 C 0 BC. Dar B 00 C 0 k AP (î 4PAB). Deci AP BC, adică P AH. Implicaţia reciprocă se dovedeşte pe cale iversă. Propoziţia 4. Fie P î plaul 4ABC. DacăpucteleB 0, C 0, B 00, C 00 şi A 0 (sau A 00 ) (fig.) sut cociclice, atuci P coicide cu H. Demostraţie. Cercul pe care se află puctele are cetrul î P 0. Ambele puctele A 0 şi A 00 vor fi pe cerc, căci P 0 A 0 = P 0 A 00 şi uul di ele, pri ipoteză, este pe cerc. Coform Propoziţiei 3, aplicată de trei ori, avem P AH, P BH şi P CH, adică P şi H coicid. Propoziţia 5. Dacă puctul P verifică codiţia AP BC şi puctele A 0, B 0, C 0, A 00 (fig.) sut cociclice, atuci P este ortocetrul H al 4ABC. Demostraţie. Puctul A 1 defiit pri {A 1 } = AP BC este piciorul îălţimii duse di A. Caurmare,A 1 E şi 4A 1 A 0 A 00 dreptughic î A 1 este îscris î E; deci, A 0 A 00 este u diametru î E. Î coseciţă, mijlocul lui A 0 A 00, care este este P 0,vafi cetrul cercului E. Difaptulcă B 0,C 0 E, rezultăcă puctele diametral opuse lor vor fi pe acest cerc, adică B 00,C 00 E. Se poate aplica Propoziţia 4, coform căreia P este puctul H. Propoziţia 6. Dacă puctul P verifică codiţia AP BC şi puctele A 00, B 00, C 00, A 0 (fig.) sut cociclice, atuci P este ortocetrul H. Demostraţie. Simetricele puctelor A 00, B 00, C 00 şi A 0 faţă dep 0 sut de asemeea cociclice; aşadar, A 0, B 0, C 0 şi A 00 sut cociclice. Ipotezele Propoziţiei 5 fiid îdepliite, rezultă că P coicide cu H. Observaţii. 1) Propoziţiile 4, 5 şi 6 pot fi privite ca reciproce ale biecuoscutei afirmaţii: dacă H este ortocetrul uui triughi, atuci mijloacele laturilor sale, mijloacele segmetelor euleriee şi picioarele îălţimilor sut cociclice(cercul lui Euler). 17 C

) Remarcăm că îeuţul Propoziţiei 4 este absetă codiţia AP BC. Faptul este doar aparet, căci î ipotezele acesteia, rezultă cămeţioata codiţie are loc (coform Propoziţiei 3). Reveid di ou la Propoziţia 1, să examiăm rezultatul acesteia di alt puct de vedere. Notăm cu τ trasformarea geometrică (aplaului4abc) care pue puctul P î corespodeţă cup 0, puct costruit ca î Propoziţia1(asevedeaşi Observaţia ce-i urmează, puct 1) ); deci P τ P 0 sau τ (P )=P 0. Vom idica câteva proprietăţi ale trasformatei τ şi o vom compara cu omotetiile h 1/ H şi h 1/ G. Iată câtevaproprietăţi ale lui τ, care decurg direct di defiiţiile lui τ sauaufost stabilite mai sus: 1 G τ G, H τ O 9 ; τ (A) =mijlocul mediaei [AA 0 ] (aalog, τ (B), τ (C)); 3 τ (4) =4, adică dreapta lui Euler este trasformată îeaîsăşi (coform Propoziţiei ). Propoziţia 7. Sut adevărate afirmaţiile: a) τ (O) =U, udeu este mijlocul segmetului [O 9 O]; b) τ (O 9 )=V,udeV este mijlocul segmetului [O 9 U], adică O 9 V = 1 4 O 9O. Demostraţie. a) Afirmaţia rezultă di faptul că A patrulaterul OA 0 O 9 L (fig.4) este paralelogram (O 9 L ca liie mijlocie î 4AHO este paralelă cuah şi egală cu A K L AH,iarOA0, după cum am amitit la îceput, are de V asemeea aceste două prprietăţi). H O U O 9 b) Argumet similar: O 9 A 0 UK este paralelogram B (A 0 O A C 9 şi UK sut paralele cu OA şi egale cu OA ). Fig. 4 Propoziţia 8. Are loc egalitatea τ = h 1/4 G, adică τ este omotetia de cetru G şi raport 1 4. Demostraţie. Faptul că imagiea P 0 a puctului P se obţie costruid mai îtâi mijlocul A 00 al segmetului [AP ] şi apoi P 0 ca mijloc³ al segmetului [A 0 A 00 ] se scrie: τ = h 1/ A 0 h1/ A (îtr-adevăr, h1/ A 0 h1/ A (P )=h1/ A h 1/ 0 A (P ) = h 1/ A 0 (A00 )= P 0 ). Ca produs de două omotetii, τ va fi tot o omotetie, cu cetrul coliiar cu cetrele omotetiilor factor şi de raport 1 1 ([1, p.81], [4, p.85]). Să otăm cu T cetrul omotetiei τ, T AA 0.Poziţia puctului T pe AA 0 poate fi aflată cuajutorul uor formule prezete î locurile citate mai îaite; preferăm să odetermiăm direct. Avem: τ (T ) = T h 1/ A 0 h1/ A (T )=T h1/ A0 (S) =T, ude S = h1/ A (T ) A 0 T = 1 A 0 S şi AS = 1 AT AT = AS =( AA 0 + A 0 S)= 18

=( AA 0 + A 0 T )=( AT + A 0 T ) AT =A 0 T T coicide cu G, ceea ce îcheie demostraţia. Speculâd faptul că omotetiile trasformă dreptelecetrecpricetruîeleîsele şi cercurile î cercuri ([1], [4]), putem completa lista proprietăţilor lui τ de mai sus: 4 dreptele suport ale mediaelor 4ABC sut ivariate la τ; 5 dreapta lui Nagel IN (N este puctul lui Nagel) este ivariată, căci G IN; avem τ (I) =I 0,cuI 0 IN, 4 GI 0 = GI şi τ (N) =S, udes este puctul lui Spiecker cetrul cercului îscris î triughiul media 4A 0 B 0 C 0 [, pp.90şi 33]. Observaţie. Propoziţia, căreia i-am dat o demostraţie directă, decurge şi di faptul că 4 trece pri G şi τ este omotetie. Îcheiem cu o problemă care poate părea dificilă, dar care este uşor de rezolvat î cotextul ostru. Problemă. Cercul determiat de mijloacele mediaelor 4ABC are cetrul pe dreapta lui Euler î mijlocul segmetului [OO 9 ] şi raza R 4. Soluţie. Observăm că acest cerc este imagiea pri τ a cercului circumscris 4ABC (proprietatea ) ) şi apoi utilizăm Propoziţia 7, a). Bibliografie 1. D. Brâzei, S. Aiţa, C. Cocea - Plaul şi spaţiul euclidia, Biblioteca profesorului de matematică, Ed. Academiei, Bucureşti, 1986.. D. Brâzei, S. Aiţa, M. Chirciu - Geometrie. Clasa a IX-a, Colecţia Mate-000, ed. a III-a, Paralela 45, Piteşti, 1998. 3. T. Lalescu - Geometria triughiului, Ed. Tieretului, Bucureşti, 1958. 4. D. Smarada, N. Soare - Trasformări geometrice, Biblioteca profesioală de matematică, Ed. Academiei, Bucureşti, 1988. Vizitaţi pe Iteret revista "Recreaţii Matematice" la adresa http://www.recreatiimatematice.uv.ro 19

New Proof for a Old Iequality Maria TETIVA 1 The iequality a + b + c 8R +4r is well-kow to be the sharpest from all the iequalities of the form (see []) a + b + c kr + hr ; also it s a kow fact (ad it is easy to obtai) that it ca be stated i the equivalet form (1 cos A)(1 cos B)(1 cos C) cos A cos B cos C. May beautiful proofs for this remarkable iequality are available ([1], []). Our itetio is to preset i the sequel a ew proof of this trigoometric form of the iequality ("ew" as far as we kow it) ad also to derive some related iequalities. Of course, the case of the right-agled or of the obtuse-agled triagle is immediately obtaied, as log as the left-had side is always positive ad the right-had side is less tha (or equal to) zero i those cases. Therefore we may assume, without mistakig, the triagle to be acute-agled, hece the cosies of its agles to be positive; the we ca also put the iequality as µ µ µ 1 1 1 cos A 1 cos B 1 cos C 1 1. Let us deote x =cosa, y =cosb, z =cosc ad the above paretheses with u, v, w: u = 1 x 1, v = 1 y 1, w = 1 z 1 x = 1 u +1, y = 1 v +1, z = 1 w +1. Now observe that cos A = cos(b + C) = cos B cos C +sibsi C x + yz = p (1 y )(1 z ), whece squarig yields x + y + z +xyz =1, or, with the u, v, w - otatios 1 (u +1) + 1 (v +1) + 1 (w +1) + (u +1)(v +1)(w +1) =1. Thus we are left with the algebraic iequality uvw 1, forpositiveu, v, w satisfyig the previous coditio, or X (u +1) (v +1) + Y (u +1)= Y (u +1) (the sum ad the products are cyclic). Further we itroduce the otatios S = u + v + w, Q = uv + uw + vw, P = uvw; some simple (but borig) calculatios trasform the above coditio i S +4S +4=P +PQ+4PS +6P ad we wat to get from here the iequality P 1. ( ) 1 Professor, Natioal College "Gheorghe Roşca Codreau", Bârlad 0

Ideed, suppose that it is ot so, hece P<1; oegets S +4S +4< 1+Q +4S +6 S < Q +3. But Q S /3 is a classic iequality which, together with the previous oe, implies S<3ad this is ot possible, because usig ( ) ad the iequalities P S 3 /7 ad Q S /3, weifer t 6 +6t 5 +1t 4 +6t 3 9t 1t 4 0, for t = S/3. This last iequality may be rewritte as (t 1)(t 5 +7t 4 +19t 3 +5t +16t +4) 0, ad it shows that t 1 S 3. Thus the iequality S<3obtaied from our suppositio that P<1is cotradictory, hece P 1 ad the proof is doe. How to obtai ew iequalities? For example, with the AM-GM iequality we have S 3 3 P ad Q 3 3 P ;byp 1 these yield S 3 ad Q 3, therefore S +4S +4=P +PQ+4PS +6P P +6P +1P +6P = P +4P. Agai by P 1 oe gets S +4S +4 5P (S +) 5P S 5 P ; ow remember who S ad P are ad trasform this ito r X 1 Y ³ 1 1 cos A 5 cos A +1, which we thik that is ot a easy to get iequality. A slight modificatio of the above calculatios leads us to aother iequality betwee S ad P,amely S P + X ³ 1 1 cos A Y ³ 1 1 cos A +; a short computatio trasforms this ito aother (kow, we believe) iequality ivolvig the cosies of a acute-agled triagle: X Y cos A 1+4 cos A. We suggest to the reader to proceed for improvig this last iequality: oe ca get S P +1ad S 3P, iequalities that ca also be put i the form X cos A + X cos A cos B + Y cos A, respectively 3 X cos A 3+ X cos A cos B. Or,adweareverysureofit,thereadermayfid his/hers ow way to get other (beautiful ad hard eough, we thik) iequalities with this method. Bibliografie 1. D.Griberg,M.Lascu,M.Pachiţariu, M. Tetiva - Di ou despre iegalităţi geometrice, G. M. 6/006.. L. Paaitopol - O iegalitate geometrică, G. M. 4/198. 1

Asupra calculării uor limite de şiruri D. M. BĂTINEŢU-GIURGIU 1 Oricărui şir (a ) 1 de umere reale strict pozitive îi vom asocia şirurile (a!) 1 şi a! 1,udea 1!=a 1, 1 a1!=a 1, a +1!=a! a +1, N. Petru orice şir (x ) 1 de umere reale, vom ota x = x +1 x, N. Vom cosidera mulţimile de şiruri: S R + = (x ) 1 x R +, N o, D R + = (x ) 1 S o R + lim x = x R +, B R + = (x ) 1 S R x o + lim = x R +, petru care evideţiem câteva proprietăţi. P 1. Oricare ar fi (x ) 1 D R+,atuci(x ) 1 B R+. Demostraţie. Fie (x ) 1 D R+,deci lim x = x R +.Caurmare, x lim = lim x +1 x ( +1) = x. Deci D R + B R +. Această icluziue este strictă: şirul (x ) 1 dat de x = + ( 1) este î 3 B R+,daruşi î D R +. x +1 P. Oricare ar fi (x ) 1 B R+,atuci lim =1. µ x x +1 x+1 Demostraţie. Îtr-adevăr, lim = lim x +1 +1 = x 1 x x =1. P 3. Oricare ar fi (x ) 1 B R+,atuci x! 1 B R+. Demostraţie. Coform criteriului Cauchy-d Alembert, avem: r Ã! x! x! lim = lim = lim x +1! +1 = ( +1) x! µ µ x+1 = lim = x +1 +1 e R +. P 4. Oricare ar fi (x ) 1 B R+, atuci x! 1 D R+. Demostraţie. Î P 3 am arătat că, dacă (x ) 1 B R+ x!,atuci lim = x e ; ca urmare, p à +1 lim u x +1! p! +1 x +1! = lim = lim x! +1 x! +1 = x e e x 1=1, 1 Profesor, Colegiul Naţioal "Matei Basarab", Bucureşti

lim (u ) = lim Rezultă atuci că ³ lim p x! q.e.d. = lim à +1 p x +1! x! u 1 lim =1, l u! = lim ³ p +1 x +1! p x! à x +1 +1! p +1 = x e +1 x +1! x = e. µ x! = lim u 1 l (u ) = x l u e, Aplicaţii (ale proprietăţii P 4 ). 1. Dacă x =, N,atuci(x ) 1 B R+,cu lim ³ cu P 4, rezultă că! D R + şi 1 ³ lim p +1 ( +1)!! = lim L = 1 e, x =1. Coform ude (L ) s>1 este şirul lui Lalescu (Problema 579, G.M., vol VI (1900-1901), p.148).. Dacă x = 1, N, atuci (x ) 1 B R+ cu lim ³ p că ( 1)!! D R + şi 1 ³ p +1 ( +1)!! p ( 1)!! = e ; lim am obţiut limita Problemei C:904, G.M. - 5/1989, p.187. dacă există lim x x =.Rezultă Propoziţia 1. Fie (x ) 1 B R+ ;atuci(x ) 1 D R+ dacă şi umai µ x+1 = a R +. Demostraţie. Coform ipotezei lim Avem relaţia următoare: Dacă a = lim µ x+1 = x µ x+1 x 1/x lim " µ 1+ x x x =x R + şi deci (di P x +1 ) lim =1. x # x x x x, N. R +, atuci trecâd la limită î această relaţie petru,obţiem a = e x, de ude lim x = x l a. Reciproc, dacă b = lim x R +, trecâd la limită î aceeaşi relaţie rezultă µ x+1 că lim = e b/x,adică a = e b/x. x Propoziţia. Dacă şirurile (x ) 1, (y ) 1, (z ) 1 D R+,atuci: a) (u ) 1 D R +,udeu = x y, N, şi b) lim z u = xy z. 3

Demostraţie. Coform euţului, lim x =x, lim y =y şi lim z =z cu x, y, z R +.Cum,petruorice N,avem u = x +1y +1 x y = x +1y +1 x y +1 + x y +1 z +1 z z +1 z +1 z +1 = y +1 x + x (y +1 z y z +1 )= z +1 z z +1 = y +1 x + x z +1 = y +1 z +1 x + trecâd la limită cu rezultă că demostraţia se îcheie. (y +1 z y z + y z y z +1 )= z z +1 x y x y z, z +1 z z +1 lim u x y z = = y z x + x z y xy z z = xy z Aplicaţii (ale propoziţiei ). Ã! 1. Dacă x = y =, z =!, N ( +1), atuci lim p +1 ( +1)! = e! (Problema C:890, G.M. - 4/1988).. Dacă x =!, y = p ( 1)!!, z =, atuci à p p! +1 ( + 1)! ( +1)!!!( 1)!! lim +1 = e, iar dacă x = y =!, z =, N, atuci ³ p ³ p +1 ( +1)!! ( 1)!! lim p +1 ( +1)! = 4 e, etc. 3. Tot ca aplicaţie a Propoziţiei se obţi limitele problemelor următoare: C:869, C:878, C:987, C:3010 di G.M., L.19 di Revista matematică dico- staţa şi PP.31, PP.759, PP.3680, PP.519, PP.50, PP.54, PP.57 di Octogo Mathematical Magazie. şi Bibliografie 1. D. M. Bătieţu - Şiruri, Editura Albatros, Bucureşti, 1979.. D. M. Bătieţu-Giurgiu - Oabordareauorlimite, G.M. - 5/006, 7-9. 3. M. Ţea - Oaltăsoluţie a problemei 579 (G.M.), Revista"Licăriri" a Liceului "Nicolae Bălcescu", Craiova, 1978, 13-14. 4

O geeralizare a teoremei lui Va Aubel Silviu BOGA 1 Cosiderâd o ceviaă oarecare î locul bisectoarei uui A triughi se obţie următoarea geeralizare a teoremei bisectoarei: MB MC = AB AC si \BAM (1) si \CAM (se stabileşte aplicâd teorema siusurilor î 4ABM şi B M C 4ACM petru a exprima MB şi MC). Acest rezultat cuoscut a fost utilizat ca istrumet de lucru î [1], [3] ş.a. La râdul ei, relaţia (1) poate fi geeralizată la cazul î care ceviaa AM este îlocuită cu o trasversală B 1 C 1 M ce u-i paralelă cuab, AC (câteva poziţii ale acesteia sut prezete î figurile de mai jos): C A A 1 B 1 B 1 A C 1 B 1 C 1 B M C M B C B C M MB MC = BC 1 si C c 1 CB 1 si B c ; () 1 evidet, petru A B 1 C 1 relaţia () devie (1). Petru a dovedi această relaţie, procedăm ca şi î cazul relaţiei (1): cuteorema siusurilor aplicată î4c 1 BM şi 4B 1 CM obţiem MB = BC 1 si M c si C 1 şi MC = CB 1 si M c si B 1, care, pri împărţire, dau (). Î uele aplicaţii este utilă ocoseciţă directă a rezultatului dat de (), coseciţă pri care sut elimiate î fapt ughiurile. Fie trei drepte a, b, c cocurete două câte două şi C 1 trasversalele t şi t 0. Adoptăm otaţiile prezete pe figura alăturată şi coveim ca (a; b) să îseme masură uuia A ditre ughiurile determiate de dreptele a şi b. B 1 t Propoziţie. Î codiţiile specificate mai îaite, are B loc formula M C MB B t M a C MC CB 1 = M 0 B 0 BC 1 M 0 C 0 C0 B 1 B 0. (3) C 1 c b Demostraţie. Îtr-adevăr, coform cu (), aplicată triughiurilor 4ABC şi 4AB 0 C 0 şi trasversalei B 1 C 1,avem: MB MC = BC 1 si (a; c) CB 1 si (b; c), M 0 B 0 M 0 C 0 = B0 C 1 si (a; c) C 0 B 1 si (b; c). 1 Profesor, Colegiul Naţioal, Iaşi 5