Merjenje difuzije z magnetno resonanco. Avtor: Jasna Urbanija Mentor: doc.dr.igor Serša

Merjenje difuzije z magnetno resonanco Avtor: Jasna Urbanija Mentor: doc.dr.igor Serša Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Februar 2005 1

Povzetek Pojav jedrske magnetne resonance omogoča določanje difuzijskih lastnosti snovi. Z njo lahko določamo difuzijske koeficiente preprostih tekočin, ugotavljamo prisotnost omejene difuzije in tudi določamo strukturo por. V prvem delu je razložen princip delovanja magnetne resonance, nato pa sledi razlaga različnih metod, s katerimi opazujemo difuzijo v snovi. Za konec je navedenih nekaj konkretnih primerov uporabe v fiziki in medicini. 1

Kazalo 1 Uvod 3 2 Osnove jedrske magnetne resonance 3 3 Blochove enačbe 4 3.1 Blochove enačbe v vrtečem se koordinatnem sistemu.............. 6 3.2 Pulz π/2 in spinski odmev............................. 6 4 Difuzija 7 4.1 Osnove difuzije................................... 7 4.2 Carr-Purcell metoda za eliminacijo dodatne relaksacije zaradi difuzije.... 8 4.3 PGSE - pulsed gradient spin echo......................... 8 4.4 Neomejena lastna difuzija............................. 9 4.5 Omejena difuzija.................................. 11 4.6 Povprečen propagator v dolgo-časovni limiti................... 13 5 Meritve 13 6 Diskusija 15 2

1 Uvod Difuzija je pojav, ki opisuje naključno premikanje molekul oziroma atomov v snovi. Običajno opazujemo difuzijo molekul v tekočinah in plinih, vendar je možno opazovati tudi difuzijo v trdni snovi. Pri merjenju difuzije z magnetno resonanco smo omejeni z različnimi parametri (jakost magnetnega polja, velikost gradientnih sunkov, velikost por, hitrost difuzije), zaradih katerih lahko v praksi z magnetno resonanco zaznamo le dinamične premike molekul na skali med 100 Å in 100 µm in časovni skali od nekaj milisekund do nekaj sekund. Komplementarna metoda tej je nevtronsko sipanje[2], vendar se bomo v nadaljevanju posvetili le magnetno resonančni detekciji. Ves čas bomo predpostavili, da je difuzija homogena in izotropna v vseh smereh, čeprav nam prav anizotropnost difuzije omogoča zanimivo aplikacijo v medicini, kar si bomo ogledali kot zanimivost na koncu. Z magnetno resonanco lahko direktno merimo difuzijske koeficiente snovi, ali pa na podlagi atenuacije signala določimo spekter premikov in velikost por v primeru omejene difuzije. 2 Osnove jedrske magnetne resonance Magnetna resonanca temelji na interakciji magnetnega dipolnega momenta jedra z zunanjim magnetnim poljem[1]. V magnetnem polju spin jedra precesira okoli smeri polja. Vrtilna količina jedra Γ = h I (1) nam določa magnetni dipolni moment µ = γ h I, (2) kjer je I spin jedra. Dipolni moment je vzporeden s smerjo vrtilne količine in je pomnožen s faktorjem γ, ki je značilen za posamezna jedra in ga imenujemo žiromagnetno razmerje. Magnetni dipolni momenti jeder so velikostnega reda jedrskega magnetona µ j = e h/2m p 5 10 27 Am 2, kjer je m p masa protona. Pri slikanju z magnetno resonanco (MRI)običajno opazujemo precesijo protona v jedru vodika. Žiromagnetno razmerje za proton je približno γ = 42.6 MHz/T. Interakcijo magnetnega dipolnega momenta z zunanjim magnetnim poljem opiše Hamiltonov operator: Ĥ = B ˆ µ = γ h B ˆ I (3) V primeru statičnega magnetnega polja B 0 v smeri osi z, se ta enačba prepiše v Lastne vrednosti tega operatorja so za jedra s spinom I enake: Ĥ = γ hb 0 Î z (4) E m = γ hb 0 m, m = I, I + 1,..., I 1, I (5) To nam pove, da se osnovno stanje jedra s spinom I, ki je brez prisotnosti zunanjega magnetnega polja 2I +1 krat degenerirano, v magnetnem polju razcepi na 2I +1 enako razmaknjenih energijskih nivojev. Ta pojav imenujemo Zeemanov razcep. Za proton, ki ima spin 1/2 tako dobimo razcep na dve energijski stanji (m = ±1/2), oziroma paralelno in antiparalelno stanje glede na projekcijo magnetnega dipolnega momenta na smer statičnega magnetnega polja. Ti stanji sta med seboj razmaknjeni za E = γ hb 0 Pričakovali bi, da se bodo v prisotnosti močnega magnetnega polja vsi spini postavili paralelno s smerjo polja, saj bi tako dosegli najnižje energijsko stanje. Temu seveda še zdaleč ni tako, saj protoni v snovi niso izolirani, ampak so sklopljeni med seboj in z okolico. Zaradi tega je zasedenost nižjeenergijskega nivoja le malenkostno višja od zasedenosti višjeenergijskega nivoja (N + > N ). Ta razlika nam omogoča opazovanje absorbcije elektromagnetnega valovanja v snovi na čemer temelji tudi slikanje z magnetno resonanco. Ker sta procesa 3

I = ½ B=0 E m=-½ m=½ Slika 1: Zeemanov razcep za jedro s spinom 1/2. absorbcije in emisije enako verjetna, v primeru enakih zasedenosti nivojev tega pojava ne bi mogli opazovati. Razliko v zasedenosti nivojev določimo z Boltzmanovim faktorjem N + = N e E/kT, (6) kjer je T temperatura sistema. Ker je pri sobni temperaturi E/kT 10 6, lahko zapišemo N + N N hω 0 2kT, kjer je N celotno število spinov v vzorcu. Če presežek protonov s spinom vzporedno s poljem pomnožimo z dipolnim magnetnim momentom za posamezen spin γ h/2 in vpeljemo gostoto protonov na enoto volumna ρ 0, lahko določimo tudi ravnovesno stanje magnetizacije M 0 = ρ 0γ 2 h 2 4kT B 0 (7) Zaradi razlike v zasedenosti stanj lahko z absorbcijo elektromagnetnega valovanja v vzorcu dosežemo prehode med Zeemanovimi nivoji. Določimo frekvenco valovanja, ki bo omogočila prehode iz stanj z nižjo energijo (m = 1/2) v stanja z višjo energijo (m = -1/2): E = hω 0, (8) ω 0 = γb 0 (9) To frekvenco imenujemo Larmorjeva frekvenca. Tako časovno odvisno motnjo, ki bo povzročila prehod med energijskima stanjema, običajno dosežemo z vrtečim se magnetnim poljem B 1, ki se vrti s frekvenco ω 0,v ravnini pravokotni na smer statičnega magnetnega polja B 0. V magnetnem polju velikosti 2,35T je absorbcijska frekvenca protonov približno 100MHz, kar je v območju radijskih (RF) valov. Opazimo, da za dobro absorbcijo potrebujemo močno magnetno polje, saj je absorbirana moč odvisna od kvadrata zunanjega magnetnega polja in obratno sorazmerna s temperaturo. P (N + N ) E B 0 2 T (10) 3 Blochove enačbe V magnetnem polju B deluje na jedro z magnetnim momentom µ navor µ B. Sprememba vrtilne količine je enaka sunku navora, zato lahko za spreminjanje pričakovane vrednosti magnetnega momenta zapišemo: d < µ > dt = γ < µ > B (11) Jedrska magnetizacija je definirana kot seštevek posameznih jedrskih magnetnih momentov µ i znotraj ustrezno majhnega dela vzorca prostornine V M = i V µ i V 4 = n < µ >, (12)

kjer je n število opazovanih jeder na enoto prostornine. Če enačbo (11) pomnožimo z n, dobimo izraz, ki opisuje časovno spreminjanje magnetizacije v odvisnosti od zunanjega magnetnega polja dm = γm dt B (13) Seveda bi ta enačba veljala le v primeru, ko jedra ne bi čutila medsebojne interakcije in interakcije z okolico. Zaradi dejstva, da temu nikoli ni tako, moramo zgornji enačbi dodati relaksacijske člene. Kot vemo, se v ravnovesnem stanju vzpostavi longitudinalna magnetizacija M 0. Ko sistem spinov z dodatnim magnetnim poljem B 1 zmotimo iz ravnovesnega stanja, se bo po končanem RF pulzu le to zopet začelo vzpostavljati. Ta proces imenujemo spinsko-mrežna relaksacija, saj je zanj odgovorna izmenjava energije spinov z mrežo. Fenomenološki opis spinsko mrežne relaksacije izhaja iz razlike zasedenosti stanj, ki je v ravnovesnem stanju podana z: N 0 N+ 0 = e E/kT (14) S pomočjo enačb za prehode med stanjema pridemo do enačbe, ki nam podaja spinsko mrežno relaksacijo[2]: dm z dt = M 0 M z T 1 (15) T 1 je spinsko-mrežni relaksacijski čas in je za vodo približno 3s, za ostala biološka tkiva pa občutno krajši: 800ms-1s za možganska tkiva, 300ms za maščobo. Rešitev te enačbe nam opiše longitudinalno relaksacijo: M z (t) = M z (0) e t/t1 + M 0 (1 e t/t1 ) (16) Prav tako pa ne smemo pozabiti na interakcijo med posameznimi jedri. Ta vpliva na transverzalno relaksacijo, kjer pride do vzpostavitve ravnovesnega stanja med spini jeder. Ker pri tem ne pride do izmenjave energije z okolico, je ta proces hitrejši od spinsko-mrežne relaksacije: T 2 < T 1 in je za vodo T 2 = 2s, za ostala tkiva pa običajno dosti manjši kot T 1 ( 70ms za možganska tkiva). Še posebno se ta razlika poveča v trdni snovi, kjer je T 1 nekaj velikostnih redov večji kot T 2. Če je po prenehanju RF pulza transverzalna magnetizacija M x,y različna od nič (se pravi, da je prišlo do fazne koherence med spini jeder), se bo ta začela vračati v svojo ravnovesno lego M x,y = 0: dm x,y dt Rešitev, ki nam opiše transverzalno relaksacijo se glasi: = M x,y T 2 (17) M x,y (t) = M x,y (0) e t/t2 (18) Seveda to drži ob predpostavki, da je zunanje polje idealno homogeno. To seveda v praksi ni nikoli popolnoma res, zato pride do dodatne transverzalne relaksacije zaradi nehomogenosti polja. Ustrezen relaksacijski čas označimo s T 2. 1 T 2 = 1 T 2 + γ < B 2 0 > 1/2 (19) Vendar je v primerjavi z izgubo koherence med spini zaradi interakcije med jedri, ki je ireverzibilen in popolnoma naključen proces, relaksacija zaradi nehomogenosti polja urejen proces in se mu je z ustreznim zaporedjem pulzov mogoče popolnoma izogniti. Sedaj združimo enačbi relaksacije (15) in (17) z enačbo gibanja (13) in dobimo Blochove enačbe, ki so nepogrešljive za opis pojavov pri slikanju z magnetno resonanco: dm x,y dt dm z dt = γ ( M B) x,y M x,y T 2 (20) = γ ( M B) z + (M 0 M z ) T 1 (21) 5

3.1 Blochove enačbe v vrtečem se koordinatnem sistemu Zelo prikladno je zgornje enačbe zapisati v vrtečem se koordinantnem sistemu. Enačba (13) se v vrtečem koordinatnem sistemu, ki se glede na laboratorijskega vrti s frekvenco ω r = (0, 0, ω r ) prepiše v: dm = δ M dt δt + ω r M (22) Pri tem je δ M δt odvod magnetizacije po času glede na vrteči se koordinatni sistem: δ M δt = γ M B ef in je Bef = B + ω r γ (23) Če opazujemo spreminjanje magnetizacije dovolj kratek čas, da lahko zanemarimo efekte relaksacije, potem nam zgornja enačba opisuje gibanje magnetizacije v vrtečem koordinatnem sistemu. Poglejmo si primer, ko je polje enako statičnemu polju v smeri osi z: B = (0, 0, B0 ). Tedaj je efektivno polje enako B ef = (0, 0, B 0 )+1/γ (0, 0, ω r ). Če izberemo ω r = γ B 0, kar ustreza že znani Larmorjevi frekvenci (9). Ugotovimo, da je efektivno polje B ef = 0, to pomeni, da magnetizacija v vrtečem se koordinatnem sistemu miruje, oziroma da v laboratorijskem sistemu precesira okoli statičnega magnetnega polja B 0 z Larmorjevo frekvenco. 3.2 Pulz π/2 in spinski odmev Pri slikanju z magnetno resonanco si želimo magnetizacijo zasukati v smeri pravokotno glede na zunanje magnetno polje. Zanima nas, kakšen RF pulz moramo uporabiti, da se bo magnetizacija zasukala v smeri osi y. Poleg statičnega zunanjega polja vpeljemo še vrteče se magnetno polje B 1 = (B 1, 0, 0). z z 0 B0 M y M y B1 x x Slika 2: Vpliv dodatnega magnetnega polja B 1 na zasuk magnetizacije. To smo sedaj zapisali v vrtečem se koordinatnem sistemu, ki ga bomo označili z S (x,y,z ), os z v mirujočem sistemu in z v vrtečem sistemu sovpadata. Sedaj se efektivno polje glasi B ef = (B 1, 0, B 0 ω r /γ). Če je ω r = γb 0, je efektivno polje v z smeri enako nič, kar pomeni, da nam ostane le še efektivno polje B 1 v x smeri. Enačba v vrtečem se sistemu se sedaj glasi: dm = γm dt B 1 (24) Ta nam opisuje precesijo magnetizacije okoli x osi v vrtečem sistemu. Če želimo magnetizacijo zasukati za kot π/2, se pravi v smer osi y, moramo polje B 1 vključiti za čas t p : ϑ = π/2 = γb 1 t p (25) Pri tem smo za nekaj časa pozabili na vpliv relaksacije, saj smo predvidevali, da gledamo odziv sistema kratek čas po delovanju pulza. Omenili smo že, da ima transverzalna relaksacija dve komponenti- prispevek spinsko-spinske interakcije in prispevek zaradi nehomogenosti polja. Po času τ po pulzu π/2 se bo magnetizacija zaradi nehomogenosti polja odmaknila od y osi za nek kot α = γ Bτ. Sedaj s pulzom π zasučemo magnetizacijo okoli osi x 6

tako, da bo po pulzu oklepala z osjo y kot π α. Nehomogenost polja je na določenem mestu še vedno enaka, zato se bo magnetizacija v času τ po π pulzu zopet zavrtela za kot α in se bo tako v času 2τ po sunku π/2 zbrala v smeri -y. Se pravi ne glede na to, kakšna je nehomogenost polja na posameznem mestu in s tem premik za kot α po nekem času τ, se bo vsa magnetizacija po času τ po π sunku zbrala v smeri osi -y. Ta pojav imenujemo spinski odmev. S tem odpravimo relaksacijo zaradi nehomogenosti polja, še vedno pa ostane relaksacija zaradi interakcije med spini. Zaradi tega je višina spinskega odmeva za faktor e 2τ/T2 manjša od signala takoj po π/2 sunku. S ponavljanjem π sunkov v ustreznem zaporedju, lahko dobimo več spinskih odmevov, katerih višina eksponentno pojema z razpadnim časom T 2. 4 Difuzija 4.1 Osnove difuzije Nastanek spinskega odmeva v gradientnem magnetnem polju temelji na predpostavki, da se jedra ne premikajo vzdolž gradientnega polja, da je torej Larmorjeva frekvenca za posamezno jedro ves čas cikla do zajema signala enaka. V resnici temu nikoli ni povsem tako. Še posebno pri mikroskopiji jeder tekočin, kjer predstavlja največji premik jeder lastna difuzija molekul (ves čas obravnave difuzije predpostavimo, da ni toka). Premiki zaradi difuzije vplivajo na naključne odmike od Larmorjeve frekvence. Zaradi tega se tudi amplituda spinskega odmeva zmanjša. Lastne difuzije, bi se zato radi znebili, saj nam zmanjšuje resolucijo. Po drugi strani pa nam prav ta pojav omogoča določanje spektra premikov molekul. Najlažji pristop k razumevanju lastne difuzije je, če opazujemo gibanje molekul kot zaporedje diskretnih premikov. Recimo, da premike opazujemo v časovnih korakih τ s, povprečen odmik molekule v tem časovnem koraku v eni dimenziji pa je ξ. Molekula se z enako verjetnostjo premakne naprej ali pa nazaj v prostoru. Po n korakih, se pravi času t = nτ s, lahko premik molekule v eni dimenziji(npr. v smeri z) zapišemo kot: Z(nτ s ) = n ξa i, (26) kjer je a i naključno število enako ±1. Definirajmo koeficient lastne difuzije kot i=1 D = ξ2 2τ s (27) Sedaj bi radi zapisali Larmorjevo frekvenco posameznih jeder po času t = nτ s. Za lažjo predstavo vpliva difuzije na precesijsko frekvenco, obravnavamo jedra, ki so v času t = 0 na mestu z = 0. Obravnavamo le gibanje vzdolž smeri vklopljenega gradienta velikosti G. ω(nτ s ) = γb 0 + γg Kumulativna faza po času t = nτ s je torej: φ(t) = γb 0 nτ s + n ξa i (28) i=1 n γgτ s m=1 m i=1 ξa i (29) Prvi del izhaja iz povprečne Larmorjeve frekvence in nas ne zanima. Bolj nas zanima drugi člen v zgornji enačbi, saj nam poda vpliv difuzije. Označimo ga z φ in ga lahko prepišemo v: n φ(t) = γgτ s ξ (n + 1 i)a i (30) i=1 Izračunali bi radi koeficient s katerim bo ansambelsko povprečena transverzalna magnetizacija oslabljena zaradi difuzijskega gibanja v prisotnosti gradienta: (e i φ ). Seveda se φ(t) 7

naključno spreminja po ansamblu. Predpostavimo, da je verjetnostna porazdelitev P ( φ) Gaussovo porazdeljena. Tako dobimo: (e i φ ) = P ( φ)e i φ d( φ) = e φ2 2 (31) φ 2 dobimo tako, da kvadriramo enačbo (30) in jo ansambelsko povprečimo. ( φ) 2 = 1 3 (γgτ sξ) 2 n 3 (32) Pri tem smo predpostavili, da je n velik. Tako dobimo izraz za lastno difuzijo v prisotnosti gradienta: e i φ = e 1 3 γ2 G 2 Dt 3 (33) Če imamo dva RF pulza π/2 in π, ki si sledita v razmiku t, dobimo za spinski odmev po času 2t: e i φ = e 2 3 γ2 G 2 Dt 3 (34) S to preprosto metodo spinskega odmeva so izmerili koeficiente preprostih tekočin na 0, 1% natančno [4]. 4.2 Carr-Purcell metoda za eliminacijo dodatne relaksacije zaradi difuzije Pulzu π/2 naj sedaj sledi več π pulzov, ki so med seboj enako časovno razmaknjeni. Enačbo (34) lahko zlahka preuredimo, da bo veljala tudi za več spinskih odmevov, ki si sledijo v enakih časovnih razmikih: e i φ = e 2 3 γ2 G 2 Dt 2 mt (35) Atenuacija zaradi difuzije je sedaj linearno odvisna od časa mt. Ta učinek lahko po času mt poljubno zmanjšamo tako da zmanjšamo čas t med odmevi in povečamo število odmevov(m). Vendar ta metoda, v primeru, da so faze vseh pulzov enake, z večanjem m-ja hitro postane občutljiva na napake dolžin pulzov. Temu se lahko izognemo tako, da za π/2 zamaknemo fazo π pulzov v primerjavi s π pulzom. Tako izboljšana metoda se imenuje CPMG(Carr- Purcell-Meiboom-Gill) metoda [2]. 4.3 PGSE - pulsed gradient spin echo Že prej smo omenili (enačba 34), da lahko s pomočjo atenuacije spinskega odmeva pri konstantnem gradientu določimo lastno difuzijo preprostih tekočin. Ta metoda postane dokaj neuporabna, kjer je prisotno počasno gibanje molekul in bi konstanten gradient razpršil spekter frekvenc v vseh delih zaporedja, kar bi bilo še posebej moteče pri izvedbi RF pulzov in zajemu signala. Če bi se hoteli temu izogniti, bi pomenilo, da imamo omejitev za maksimalen gradient, ki ga lahko uporabimo, in je določen s frekvenčno širino sprejemnika in oddajnika. Namesto konstantnega gradienta zato uporabimo le dva kratka gradientna pulza (od tu pride ime PGSE-pulsed gradient spin echo). Širino gradientnega pulza označimo z δ, razmik med pulzoma pa z. Višino gradientnega pulza označimo z g. Glej sliko (3) Za povprečen odmik kvadrata faze v tem primeru dobimo[2]: φ 2 = (γgτ s ξn) 2 (p n + (2/3)n), kjer je δ = nτ s in = pτ s in tako (36) φ 2 = 2γ 2 g 2 δ 2 D( δ/3) (37) Ko gornjo enačbo vstavimo v enačbo (31) dobimo znano Stejskal-Tannerjevo enačbo za atenuacijo amplitude spinskega odmeva: S(g)/S(0) = E(g) = e (γgδ)2 D( δ/3) (38) 8

Slika 3: PGSE sekvenca z amplitudo gradienta g, dolžino gradientnega pulza δ in razmikom med gradientnima pulzoma. τ je čas med π/2 in π RF pulzoma in ustreza polovičnemu času spinskega odmeva T E 9 PGSE best fit Slika 4: Stejskal-Tannerjev diagram za vodo: δ = 1, 7ms, = 100ms, b = γ 2 δ 2 ( δ/3)g 2. g se povečuje v korakih od 0 do 0,37 T/m. 4.4 Neomejena lastna difuzija V splošnem lahko gibanje molekule opišemo z nekim časovno odvisnim premikom r i (t). Lastna korelacijska funkcija: P s ( r r, t) (39) nam podaja verjetnost, da najdemo isti delec ki je bil v času t=0 na mestu r, v času t na mestu r. Povprečni propagator: P s ( R, t) = P s ( r r + R, t)ρ( r)d r (40) nam podaja povprečno verjetnost za katerikoli delec, da bo imel dinamični premik R = r r po času t. Verjetnost ψ( r, t), da najdemo nek delec na mestu r ob času t, je dana z: ψ( r, t) = ψ( r, 0)P s ( r r, t)d r (41) kjer je ψ( r, 0) pravzaprav gostota delcev ρ( r). 9

Fickov zakon nam klasično opiše difuzijo. Le tega lahko preoblikujemo tako, da dobimo diferencialno enačbo za korelacijsko funkcijo, kar imenujemo drugi Fickov zakon: P s t = D 2 P s (42) kjer je D zopet koeficient lastne difuzije molekul. Fickova enačba se nanaša na koordinato r. Zanima nas kakšen je P s v primeru neomejene difuzije. To pomeni, da je naš robni pogoj: P s 0 ko gre r. Če upoštevamo še začetni pogoj: P s ( r r, 0) = δ( r r), dobimo za rešitev enačbe (42): P s ( r r, t) = (4πDt) 3 2 e ( r r) 2 4Dt (43) Vidimo, da korelacijska funkcija ni odvisna od začetne lege, ampak le od dinamičnih premikov R = r r. Ti so v praksi pri PGSE NMR metodi omejeni med 100 Å in 100 µm. S pomočjo enačbe (41) in koncepta dinamičnih premikov tako pridemo do povprečnega propagatorja (40). V primeru lastne difuzije, kjer je lastna korelacijska funkcija neodvisna od začetne pozicije, je povprečni propagator enak vsem molekulam v ansamblu in je torej kar enak: P s ( R, t) = (4πDt) 3 2 e R 2 4Dt (44) Slika 5: PGSE v približku kratkih pulzov. Poglejmo sedaj problem z druge strani. Radi bi iz našega signala transverzalne magnetizacije določili funkcijo P s, ki nam podaja informacijo o gibanju molekul zaradi difuzije. Poglejmo si še enkrat PGSE metodo. Stejskal-Tannerjeva enačba (38) nam opiše antenuacijo amplitude spinskega odmeva v primeru PGSE metode. Za lažje računanje predpostavimo, da sta gradientna pulza zelo kratka v primeri z razmikom med njima: δ. Tako kratka, da lahko rečemo, da se molekula v času pulzov skoraj ne premakne. Poglejmo kako sedaj gradientna pulza vplivata na transverzalno magnetizacijo. Prvi gradientni pulz bo povzročil, da se bo faza spinu, ki je ob času pulza na mestu r, spremenila za γδ g r. Pulz π bo spremenil predznak faznega premika. Predpostavimo, da se je ta molekula v času drugega pulza premaknila na mesto r. Fazni premik molekule po drugem pulzu bo torej: γδ g( r r). Premik molekul, bo torej povročil fazni premik spinskega odmeva. Označimo z E ( g) amplitudo omeva v centru. Ta je enaka superpoziciji transverzalne magnetizacije in ansambelskega povprečja, v katerem je vsak fazni člen e iγδ g( r r) obtežen z verjetnostjo, da spin začne na mestu r in konča na r. Ta verjetnost je enaka: ρ( r)p s ( r r, ). Tako lahko zapišemo signal spinskega odmeva kot: E ( g) = ρ( r) P s ( r r, ) e iγδ g( r r) d r d r (45) ρ( r) je normalizirana tako, da je E ( g) = 1, ko je g = 0. Da bomo lažje razumeli pomen te enačbe, uvedemo novo spremenljivko: q = (2π) 1 γδ g. Sedaj prepišemo enačbo (45): E ( q) = ρ( r) P s ( r r, ) e i2π q( r r) d r d r (46) 10

Vidimo, da je fazni faktor odvisen le od dinamičnega premika R. Če naredimo substitucijo r = r + R in integriramo po r, lahko to enačbo prepišemo v: E ( q) = P s ( R, ) e i2π q R dr (47) To pa je preprosta Fourierova relacija med E ( q) in P s ( R, ). Sedaj razumemo pomen približka kratkih pulzov. Povprečni propagator je v tem primeru kar Fourierova transformacija signala transverzalne magnetizacije. V primeru neomejene difuzije pričakujemo za povprečni propagator Gaussovo funkcijo, torej bi moral biti tudi signal Gaussova funkcija. 4.5 Omejena difuzija Do sedaj smo predpostavili, da gibanje molekul ni omejeno. Sedaj bomo pogledali, kako se dobljena slika spremeni, če opazujemo gibanje molekul vzdolž smeri, kjer te naletijo na mejo. Naprimer znotraj celice se molekule gibljejo omejeno, saj oviro predstavlja celična stena. Ta omejitev pomeni, da porazdelitvena funkcija premikov P s ( r r, ) ni več Gaussova, in bo imela časovno odvisno karakteristiko odmikov in difuzijskega koeficienta. Najprej obravnavajmo preprost primer, ko je gibanje molekul omejeno s škatlo. Predpostavimo, da imamo gradient v z smeri in je vzporeden z enim robom (dolžine a) škatle. zanima nas E(q) v različnih časih. Če bomo opazovali kratke čase, se bo večina molekul (razen tistih blizu meje) obnašala kot proste. E(q) bo imel torej obliko neomejenega lastnega gibanja. Na časovni skali, ki bo velika v primeri s časom, v katerem molekule difundirajo na razdalji a, se bodo vse molekule večkrat odbile od sten škatle in tako izgubile vso informacijo o začetni poziciji. To pomeni, da bo P s (z z, ) (v 1D) verjetnost, da najdemo molekulo kjerkoli vzdolž z. Ta verjetnost pa je kar statična molekulska gostota ρ(z ). Rešimo enačbo(42) ob upoštevanju robnega pogoja: P s = 0, ko sta z ali pa z na robovih škatle. Rešitev se glasi(stejskal in Tanner)[3]: P s (z z, ) = 1 + 2 n=1 e n2 π 2 D a 2 cos( nπz a ) cos(nπz a ) (48) S približkom kratkih pulzov, lahko s Fourierovo transformacijo dobimo rešitev za atenuacijo odmeva E(q), ki pa je precej dolg izraz. Zato bomo raje pogledali dva limitna primera. Na sliki (6) vidimo grafično prikazane rešitve za E (q) glede na vrednosti D /a 2. Ko je a2 2D - kratko časovna skala, je: E(q) = e (4π2 q 2 D ) (49) To pa je ravno fourierova transformacija (enačba 47) enačbe (44). Dobimo torej enak rezultat, kot da ne bi imeli molekul omejenih s stenami škatle. V drugem limitnem primeru pa je a2 2D - dolgo časovna limita. V tem primeru dobimo za atenuacijo spinskega odmeva: E(q) = sinc(πqa) 2 (50) Zanimivo je izračunati spinsko atenuacijo v primeru dolgo-časovne limite in šibkih gradientov, kar pomeni da je 2πqa 1 oziroma g 1 γδa. Enačbo (50) razvijemo do četrtega reda po 2πqa in dobimo: E(q) 1 1 12 (2πqa)2 e (γ 2 δ 2 g 2 D app ) kjer je D app = a2 12. Ta enačba je sedaj podobna enačbi(49), le da imamo namesto difuzijskega koeficienta D na novo definiran difuzijski koeficient D app, ki se z naraščajočim časom opazovanja, zmanjšuje (glej sliko 7). Tako obnašanje difuzijskega koeficienta je običajno znak, da imamo opravka z omejeno difuzijo. (51) 11

Slika 6: Atenuacija spinskega odmeva pri difuziji, omejeni s škatlo. E(q) je prikazan za difuzijske čase, ki so majhni in primerljivi s povprečnim časom, ki ga molekula porabi, da difundira dolžino škatle (a 2 /D). Za večje čase je obnašanje časovno neodvisno in enako krivulji na grafu za (D )/a 2 = 1. Slika 7: Atenuacija spinskega za omejeno difuzijo v odvisnosti od b = 4π 2 q 2 r = γ 2 δ 2 g 2, kjer je r = ( δ/3). 12

4.6 Povprečen propagator v dolgo-časovni limiti V limiti, ko gre v sedanjem kontekstu pomeni, da molekula izgubi vso informacijo o začetni poziciji. To v bistvu pomeni, da je P s ( r r, ) enaka kot začetna gostota ρ( r ). To da povprečnemu propagatorju(40) poseben značaj: P s ( R, ) = ρ( r + R)ρ( r)d r (52) To pa je ravno avtokorelacijska funkcija gostote. Ugotovitev, da je povprečni propagator v dolgo-časovni skali preprosto avtokorelacijska funkcija gostote, je zelo uporabna. V približku kratkih pulzov je E (q) Fourierova transformacija povprečnega propagatorja. Ko vstavimo v enačbo(46) namesto lastne korelacijske funkcije P s ( r r, ), kar gostoto ρ( r ), dobimo: E ( q) = ρ( r) e i2π q r d r ρ( r ) e i2π q r d r = (53) = S( q) 2 (54) Pri tem smo definirali S( q), ki je FT gostote. Če po tej poti izračunamo E (q), dobimo zopet kvadrat sinc finkcije, kot v (50). V zgornji enačbi vidimo analogijo z optičnim sipanjem in sipanjem X žarkov, saj v njej lahko prepoznamo frekvenčno porazdelitveno funkcijo. To pomeni, da lahko z PGSE eksperimentom v dolgo-časovni limiti določimo recipročno mrežo. Slika 8: a.)enodimenzionalna funkcija gostote ρ(z) za molekule omejene s škatlo dolžine a in njena Fourierova transformacija S(q). b.)časovno povprečen propagator P S(Z, ) za škatlo in njegova FT. Ker je povprečen propagator avtokorelacijska funkcija gostote, je njegova FT S(q) 2. 13

5 Meritve Zaporedje različno difuzijsko obteženih slik(9) nam podaja primerjavo difuzije za tri različne tekočine: vodo, etanol in propanol. Na sliki(10) je s PGSE metodo pridobljena 1D slika Slika 9: Slikanje difuzije vode, etanola in propanola. reže, napoljnene z vodo[5]. Difuzijsko obtežene slike (s povečevanjem časovnega razmika se povečuje b faktor) dokazujejo, da se molekule vode ob stenah zadržujejo dalj časa kot v sredini. Difuzijsko močno obtežene slike nam dajo signal le še na robovih vzorca. Meritve so bile izvedene na IJS. Slika 10: Zaporedje različno difuzijsko obteženih slik vode v reži. Ker se molekule vode ob stenah zadržujejo dlje kot v sredini, dobimo nekaj signala na robovih tudi, ko so slike močno difuzijsko obtežene[5]. 14

Slikanje z magnetno resonanco je široko uporabljeno v medicini, vendar difuzijsko slikanje omogoča nova področja raziskav.[6] Tako lahko z difuzijskim slikanjem zaznamo poškodovano področje možganov kmalu po možganski kapi, saj v poškodovanem tkivu izvencelična tekočina vdre v celice in je zato difuzija na tem področju manjša. Še bolj obetavno pa je sledenje nevronskim vlaknom, ki nam ga omogoča anizotropnost difuzije. Vzdolž vlaken je difuzija mnogo večja kot v drugih smereh. Tako lahko zaznamo smer največje difuzije kar nam hkrati določa smer vlaken. Slika 11: Uporaba slikanja difuzije z magnetno resonanco v medicini. Zgoraj: opazovanje posledic možganske kapi. Levo je običajna MRI slika, desno pa difuzijsko obtežena slika tkiva. Difuzija v poškodovanem tkivu je manjša, kar se na sliki opazi kot svetla lisa. Spodaj: Sledenje nevronom zaradi difuzijske anizotropije.[6] 6 Diskusija Že v uvodu smo omenili, da smo pri meritvah difuzije z magnetno resonanco omejeni z različnimi zunanjimi dejavniki. Prvi tak vpliv je jakost magnetnega polja. Večje magnetno polje B 0 nam v skladu z enačbo (10) zagotavlja več signala. V primeru premajhne jakosti magnetnega polja zato hitro pridemo do problema premajhnega signala ob prehitri relaksaciji. Jakosti magnetov so običajno reda velikosti nekaj tesla. Poleg velike jakosti magnetnega polja potrebujemo za merjenje počasne difuzije tudi čimvečje gradiente magnetnega polja. Gradientne tuljave za mikroslikanje dosežejo gradiente jakosti 0,25T/m, s posebno prirejeno tuljavo za difuzijsko slikanje pa lahko dosežemo tudi gradiente jakosti 6T/m. Zelo uporabljena metoda za dosego še večjih gradientnih polj (nekaj 10 T/m) pa je uporaba nehomogenosti polja magneta na robu magneta, kjer so gradienti največji. Atenuacijo signala 15

v primeru konstantnega gradienta G zapišemo kot: S D = S 0 exp( 2 /T 2 ) exp( (2/3)γ 2 G 2 3 D). Radi bi ocenili, kakšna je lahko najmanjša izmerjena difuzija ob danih konstantah G, γ in. je omejen s T 2 relaksacijo in je za tekočine reda velikosti 100 ms in se z zmanjšanjem gibljivosti molekul hitro zmanjšuje in v kristalih doseže red velikosti 10µs. Za grobo oceno predpostavimo, da dobimo še dovolj veliko atenuacijo signala zaradi difuzije, ko je 1 D = 2 3 γ2 G 2 3. Če torej vzamemo za maksimalen gradient G = 6 T/m, γ = 2, 67 10 8 (Ts) 1, = 10 ms, dobimo za difuzijo D = 6 10 13 s/m 2. Napaka te meritve se izraža kot: D = 1 b ln ( S0 S D e 2 T 2 ) ( 1 ± (1 + ebd ) e 2 T 2 S 0 σ bd kjer je σ šum (absolutna napaka) za S 0, in b = (2/3)γ 2 G 2 3. Vidimo, da v primeru majhne difuzije potrebujemo velike gradiente, saj b narašča s kvadratom gradienta. Natančnost meritve izboljšamo tudi z večanjem časa, vendar smo pri tem omejeni z relaksacijskim časom T 2. V snoveh, kjer je difuzija počasna, je običajno tudi relaksacijski čas T 2 kratek, zato napake ne moremo zmanjšati z povečevanjem. Najmanjše difuzije, ki so jih do sedaj izmerili v trdni snovi, so velikostnega reda 10 15 m 2 s 1 [7]. Do problemov pridemo tudi, ko želimo izmeriti omejeno difuzijo. Zadostiti moramo dolgo časovni limiti: a2 2D. Za primer vode in velikosti por 1 µm bomo zadostili temu pogoju, ko bo 250 µm. Poleg tega pa bi morali upoštevati še pogoj qa = 1, da bi dosegli prvi minimum na sliki 6. Temu pogoju bo zadoščeno z uporabo gradientov velikosti 24 T/m. Ugotovili smo torej, da je merjenje difuzije z magnetno resonanco uporabno orodje, ki omogoča aplikacije na različnih področjih, vendar smo hkrati omejeni z mnogimi zunanjimi dejavniki, ki jih moramo upoštevati pri izvedbi meritev. ) (55) 16

Literatura 1: Slichter, C.P. Principles of Magnetic Resonance, Springer-Verlag(1990) 2: Callaghan, P.T.Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy, Oxford Science Publications(1993) 3: Tanner, J.E. and Stejskal, E.O.:(1968).J. Chem. Phys. 49, 1768. 4: Harris, K.R. et al.:(1978).j. Magn. Reson. 29,473 5: Stepišnik, J., Duh, A., Mohorič, A., Serša, I.:MRI edge enhancement as a diffusive discord of spin phase structure, J. magn. reson., 1999, 137, p. 154-160. 6: Le Bihan, D.: Bridging the gap between brain anatomy and function with diffusion MRI, http://www.meteoreservice.com/pdfs/esnr03.pdf 7: Chang, I. et al.:new perspectives of NMR in ultrahigh static magnetic field gradients, Journal of Non-Crystalline Solids, (1994), 172-7, p.674-681 17