Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we will present some fundamental results concerning this notion Keywords: commutativity degree, solvable groups, supersolvable groups, nilpotent groups MSC 00: 0D60, 0F6, 0F8 Introducere Gradul de comutativitate al unui grup finit G se defineşte prin d(g) = G {(x,y) G xy = yx} şi măsoară probabilitatea ca două elemente alese aleatoriu din G să comute Principalele probleme abordate în studiul gradului de comutativitate sunt: Găsirea unor limite pentru d(g) Determinarea grupurilor finite G pentru care d(g) = (, )a, unde a (0,] este fixat Caracterizarea unor clase importante de grupuri finite utilizând gradul de comutativitate Calculul gradului de comutativitate Generalizări ale gradului de comutativitate Câteva proprietăţi imediate ale gradului de comutativitate: 0 < d(g), oricare ar fi grupul finit G d(g) = dacă şi numai dacă grupul G este abelian 3 d(h) d(g) d(h), oricare ar fi grupul finit G şi H G [G : H] 4 d(g) d(h)d(g/h), oricare ar fi grupul finit G şi H G 5 Funcţia d este total multiplicativă, adică d(g G ) = d(g )d(g ) oricare ar fi G şi G grupuri finite Lucrarea de tip survey este o parte a comunicării prezentate de autor la Conferinţa Naţională a SSMR, Iaşi, 4-6 octombrie 04 Confdr, Facultatea de Matematică, Univ,,AlI Cuza, Iaşi; e-mail: tarnauc@uaicro 4
Limite pentru gradul de comutativitate Limita 5 8 Teorema Fie G un grup finit neabelian Atunci d(g) 5 şi avem d(g) = 8 5 8 dacă şi numai dacă G/Z(G) = Z Z Observaţie Grupurile Q 8 şi D 8 satisfac proprietatea G/Z(G) = Z Z, deci au gradul de comutativitate 5 Alte grupuri cu această proprietate sunt grupurile 8 semidiedrale SD n= x,y x n = y =,y xy = x n +,n 4 Teorema Pentru orice n N există un grup finit G de ordin 8n cu d(g) = 5 8 Pentru orice k {,,,7} nu există un grup finit G de ordin k(mod8) cu d(g) = 5 8 p-limite p-limitele reprezintă limite ale lui d(g) scrise în funcţie de cel mai mic divizor prim p al lui G/Z(G) Teorema Cu notaţiile anterioare, avem Dacă, în plus, G/Z(G) = p k, atunci d(g) p +p p 3 d(g) pk +p k p k Corolarul Fie p un număr prim Dacă G este un grup neabelian de ordin p 3, atunci d(g) = p +p p 3 Exemplu Grupul Heisenberg peste inelul Z 3 are gradul de comutativitate 7 3 l-limite şi lp-limite l-limitele şi lp-limitele reprezintă limite ale lui d(g) scrise în funcţie de l = G/Z(G), respectiv în funcţie de l = G/Z(G) şi de cel mai mic divizor prim p al lui l Teorema 3 Cu notaţiile anterioare, avem lp+l p l d(g) l+p lp 5
Corolarul 3 Fie G un grup neabelian finit Dacă G/Z(G) = l, atunci Exemplu Fie n 3 Atunci 3l l d(g) l+ l 3 n! n! d(s n ) n!+ n! 4 Limita superioară centralizator Derivă din ecuaţia claselor şi reprezintă o limită superioară a lui d(g) scrisă în funcţie de indicele unui centralizator de ordin maxim Teorema 4 Fie G un grup finit neabelian Atunci există x G\Z(G) astfel încât 3 d(g) [G : C G (x)] Dacă, în plus, Z(G) = {e}, atunci există x G\{e} astfel încât d(g) [G : C G (x)] Corolarul 4 Au loc inegalităţile: d(d n ), oricare ar fi n 3 impar d(s n ), oricare ar fi n 4 n(n ) 5 Limite provenite din ecuaţia gradelor Teorema 5 Fie G un grup finit Atunci G d(g) 4 + 3 G Corolarul 5 Nu există grupuri finite având gradul de comutativitate în intervalul 5 8, Generalizare Fie G un grup neabelian finit şi d gradul minim al unei reprezentări neliniare a lui G Atunci d(g) d + d G În plus, avem egalitate dacă toate reprezentările neliniare ale lui G sunt de grad d 6
6 Limite superioare în funcţie de lungimea derivată Teorema 6 Fie G un grup rezolubil finit de lungimea derivată d 4 Atunci d(g) 4d 7 d+ Teorema 6 Fie G un p-grup finit de lungime derivată d Atunci d(g) pd +p d p d Exemplu Fie G un p-grup finit de ordin p n, unde n > Atunci G are lungime derivată cel mult d = [ n ], deci inegalitatea dată de Teorema 6 devine d(g) p + [n ] p [n ] p [n ] 7 Limite inferioare adiţionale Teorema 7 Dacă G este un grup nilpotent finit de clasă de nilpotenţă n, atunci d(g) n G n n+ G Corolarul 7 Dacă G este un grup nilpotent finit, atunci k(g) > log G şi astfel d(g) > log G G Teorema 73 Dacă G este un grup rezolubil finit de lungime derivată d, atunci d(g) d+ G Teorema 74 Dacă G este un grup rezolubil finit de lungime derivată d, atunci k(g) G d şi astfel d(g) 3 Rezultate structurale 3 Grupuri nilpotente G d d > G Teorema 3 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > Atunci G este nilpotent 7
Corolarul 3 Fie G un grup finit nenilpotent astfel încât d(g) = Au loc: G/Z(G) = S 3 Dacă Z(G) este impar, atunci G are un subgrup H = S 3 astfel încât G = H Z(G) Teorema 33 Fie G un grup neabelian finit cu d(g) > Atunci G = G 0 G G G k, unde G 0 este un -grup cu G 0 = şi G i este un p i -grup abelian cu p i, i =,,,k 3 Grupuri rezolubile Teorema 3 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > rezolubil Atunci G este Lema 3 Singurul grup finit simplu neabelian cu gradul de comutativitate este A 5 Teorema 33 Fie G un grup finit nerezolubil cu d(g) = Atunci există un grup abelian A astfel încât G = A 5 A Corolarul 34 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > 3 Atunci fie G este 40 rezolubil, fie G = A 5 A unde A este un grup abelian şi d(g) = 33 Grupuri superrezolubile Definiţia 33 Fie G şi G două grupuri Spunem că o pereche (f,g) este un izoclinism de la G la G dacă sunt satisfăcute următoarele condiţii: f este un izomorfism de la G Z(G ) la G Z(G ) g este un izomorfism de la G la G 3 Diagrama G Z(G ) G Z(G ) f f G Z(G G ) Z(G ) α G g G α este comutativă, adică α (f f) = g α, unde α i (ˆx,ŷ) = [x,y], x,y G i, i =, 8
Observaţie Dacă G şi G sunt două grupuri finite izoclinice, atunci d(g ) = d(g ) Teorema 33 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > 5 Atunci are loc una 6 şi numai una din următoarele trei situaţii: G este superrezolubil; G este izoclinic cu A 4 ; 3 G/Z(G) este izoclinic cu A 4 Corolarul 333 Fie G un grup finit astfel încât d(g) Atunci G este fie 3 superrezolubil, fie izoclinic cu A 4 Corolarul 334 Fie G un grup finit de ordin impar astfel încât d(g) > 75 Atunci G este superrezolubil 4 Calculul gradului de comutativitate 4 R pn -grupuri R pn = x,y x p = y n =,yxy = x r, unde p este prim, n p şi r are gradul n modulo p Teorema 4 d(r pn ) = n +p n p Corolarul 4 Pentru orice număr prim p există un grup finit G cu d(g) = p, anume G = R p(p ) 4 D pq -grupuri Teorema 4 d(d pq ) = q +p q p D pq = R pq, q prim Corolarul 4 Pentru orice număr prim q există un şir de grupuri finite G i cu lim i d(g i ) = q, anume G i = D piq, unde p i = +iq, i Z 43 T pqnθ -grupuri T pqnθ = x,y x p = y qn =,yxy = x λθ, unde n N, p şi q sunt prime, q p, λ are ordin q modulo p şi θ {,,,q } Teorema 43 d(t pqnθ ) = q + pq Corolarul 43 Pentru oricare n N, q prim şi θ {,,,q } există un şir de grupuri finite G i cu lim i d(g i ) = 0, anume G i = T piqnθ, unde p i = +iq, i Z 9
44 G n -grupuri G n = T 3n,λ = Teorema 44 d(g n ) = 45 Grupuri diciclice Dic n = x,y x n = y 4 =,y xy = x,x n = y,n Teorema 45 d(dic n ) = n+3 4n Corolarul 45 lim n d(dic n ) = 4 46 Grupuri cuaternionice generalizate Teorema 46 d(q n) = n +3 n+ Q n = Dic n,n 3 Corolarul 46 lim n d(q n) = 4 47 Grupuri diedrale Teorema 47 d(d n ) = D n = x,y x n = y =,yxy = x n,n n+3 4n, n impar n+6 4n, n par Corolarul 47 lim n d(d n ) = 4 48 Grupuri cvasidiedrale QD n = x,y x n = y =, y xy = x n,n 4 Teorema 48 d(qd n) = n +3 n+ Corolarul 48 lim n d(qd n) = 4 0
49 Grupuri simetrice şi grupuri alterne Teorema 49 Numărul claselor de conjugare din grupul simetric S n este egal cu numărul p(n) al partiţiilor lui n În plus, p(n) 4n 3 e π n 3 p(n) Corolarul 49 d(s n ) 4n 3n! e π n 3 şi lim n d(s n ) = 0 3r +r 4 8n 3 e π n 3 Teorema 493 Numărul claselor de conjugare din grupul altern A n este k(a n ) = + 3 ( )n ( ) p n r r < n Corolarul 494 d(a n ) Corolarul 495 k(a n ) p(n) 4n 3n! e π n 3 şi lim n d(a n ) = 0 şi lim n d(s n ) d(a n ) = 5 Valori posibile ale gradului de comutativitate 5 Valori posibile în intervalul å, è Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > Atunci există n N astfel încât d(g) = + n În plus, are loc una din următoarele două situaţii: G este abelian G = G 0 A, unde G 0 este un -grup, A este un grup abelian şi G = Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât d(g) = Atunci G = G n A, unde G n = x,y x n = y 3 =,xyx = y, n şi A este un grup abelian 5 Valori posibile pentru grupuri G cu G/Z(G) < Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât G/Z(G) < şi G/Z(G) este abelian Are loc una din următoarele situaţii: Dacă G/Z(G) este ciclic, atunci G este abelian şi astfel d(g) = Dacă G/Z(G) = Z Z, atunci d(g) = 5 8 3 Dacă G/Z(G) = Z 3 Z 3, atunci d(g) = 7 4 Dacă G/Z(G) = Z Z Z, atunci d(g) nu poate fi precizat
Observaţie Nu există grupuri finite G pentru care G/Z(G) = Z Z 4 Exemplu Fie G şi G următoarele grupuri de ordin 64: G = x,y,z x = y = z 4 =,(xz ) = (yz ),(xz ) 4 = (yz ) 4, (yxz ) 3 = zx y,(yxy) = xz,(zyzx) = z yzx, G = x,y,z x 4 = y 4 = z 4 =,xy = y x,yx = x y,xz = z x, zx = x z,yz = zy,xyz = yxz,xzy = zxy Atunci G i /Z(G i ) = Z Z Z, i =,, şi d(g ) = 3 7 6 = d(g ) Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât G/Z(G) < şi G/Z(G) este neabelian Are loc una din următoarele situaţii: Dacă G/Z(G) = S 3, atunci G = G n A, unde n, A este un grup abelian şi d(g) = Dacă G/Z(G) = D 8, atunci d(g) = 7 6 3 Dacă G/Z(G) = D 0, atunci d(g) = 5 Observaţie Nu există grupuri finite G pentru care G/Z(G) = Q 8 53 Valori posibile de tipul p cu p prim Teorema 53 Pentru orice număr prim p există un grup finit G cu d(g) = p În plus, G este produs direct de grupuri rezolubile Corolarul 53 Pentru orice n N există un grup finit rezolubil G cu d(g)= n Corolarul 533 Pentru orice număr prim p de forma k (număr prim Marsenne) există un grup finit indecompozabil G cu d(g) = p Teorema 534 Fie p un număr prim Atunci d(g) p nilpotent G pentru orice grup finit 6 Probleme deschise Problema 6 Pentru ce numere naturale m şi n cu m < n există un grup finit G astfel încât d(g) = m n? Problema 6 Dat un număr iraţional a [0,], există un şir de grupuri finite G n, n N, astfel încât lim n d(g n ) = a?
Problema 63 Este mulţimea å gradelor è de comutativitate ale grupurilor neabeliene finite densă în intervalul 0, 5? 8 Problema 64 Ce se poate spune despre două grupuri finite G şi G pentru care d(g ) = d(g )? Problema 65 Dat a Bibliografie å 0, 5 8 è, determinaţi grupurile finite G pentru care d(g)=a A Castelaz Commutativity degree of finite groups, Master Degree Thesis, Wake Forest University, USA, 00 F Barry, D MacHale, AN Shé Some supersolvability conditions for finite groups, Math Proc R Ir Acad, 06 (006), 6377 3 P Erdös, P Turan On some problems of a statistical group theory, IV, Acta Math Acad Sci Hung, 9 (968), 43-435 4 A Erfanian, P Lescot, R Rezaei On the relative commutativity degree of a subgroup of a finite group, Comm Algebra, 35 (007), 483-497 5 RM Guralnick, GR Robinson On the commuting probability in finite groups, J Algebra, 300 (006), 509-58 6 WH Gustafson What is the probability that two group elements commute?, Amer Math Monthly, 80 (973), 03-034 7 P Hall A contribution to the theory of groups of prime-power order, Proc London Math Soc, 36 (933), 9-95 8 KS Joseph Commutativity in non-abelian groups, PhD Thesis, University of California, LA, 969 9 P Lescot Sur certains groupes finis, Rev Math Spéciales, 8 (987), 76-77 0 P Lescot Degré de commutativité et structure d un groupe fini (), Rev Math Spéciales, 8 (988), 76-79 P Lescot Degré de commutativité et structure d un groupe fini (), Rev Math Spéciales, 4 (989), 00-0 P Lescot Isoclinism classes and commutativity degrees of finite groups, J Algebra, 77 (995), 847-869 3 P Lescot Central extensions and commutativity degree, Comm Algebra, 9 (00), 445-4460 4 P Lescot, HN Nguyen, Y Yang On the commuting probability and supersolvability of finite groups, Monatsh Math, 74 (04), 567-576 5 DJ Rusin What is the probability that two elements of a finite group commute?, Pacific J Math, 8 (979), 37-47 6 G Sherman What is the probablity an automorphism fixes a group element?, Amer Math Monthly, 8 (975), 6-64 7 G Sherman A lower bound for the number of conjugacy classes in a finite nilpotent group, Pacific J Math, 80 (979), 53-54 3