NIKJER-NIČELNI PRETOKI

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA ŠUBIC Mentor: doc. dr. PRIMOŽ ŠPARL NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016

Zahvaljujem se mentorju doc. dr. Primožu Šparlu za čas, nasvete in strokovno pomoč pri pisanju diplomskega dela. Hvala tudi vsem, ki so mi v času študija stali ob strani, me spodbujali in me podpirali.

Povzetek V diplomskem delu obravnavamo nikjer-ničelne pretoke na grafih. Le-ti se izkažejo kot zelo uporabni, tako znotraj same teorije grafov, kot tudi v praksi. Pred samo vpeljavo pojma nikjer-ničelnega pretoka najprej ponovimo osnovne definicije teorije grafov in teorije grup, ki so potrebni za razumevanje diplomskega dela. Nato vpeljemo pojem pretoka in nikjer-ničelnega pretoka, ki ju ilustriramo na primerih. Obravnavamo predvsem pretoke z vrednostmi v abelskih grupah. Navedemo pomemben Tuttov izrek, ki povezuje nikjer-ničelne k-pretoke z nikjer-ničelnimi Z k - pretoki, ga dokažemo in predstavimo na primeru. Nazadnje podamo in dokažemo še nekaj rezultatov o obstoju nikjer-ničelnih k-pretokov za majhne vrednosti k. Omenimo tudi znane Tuttove domneve o takšnih pretokih. MSC (2010) klasifikacija: 05C21, 20K01 Ključne besede: k-pretok, nikjer-ničelni pretok, Tuttov izrek, Tuttove domneve II

Abstract In this BSc thesis we investigate nowhere-zero flows on graphs. It turns out that this concept is very useful in graph theory itself, as well as in practice. Before introducing the concept of nowhere-zero flows we make a short review, along with some examples, of some notions in graph theory and in group theory, which are necessary for the understanding of this BSc thesis. We then define the concept of flows and nowhere-zero flows, and illustrate them with examples. We focus on flows with values in abelian groups. We present an important theorem of W. T. Tutte, which gives a correspondence between nowhere-zero k-flows with nowherezero Z k -flows. We prove the theorem and illustrate it with an example. Lastly, we present and prove some results about the existence of nowhere-zero k-flows for small values of k. We mention also two well-known Tutte s conjectures on these flows. MSC (2010) classification: 05C21, 20K01 Key words: k-flow, nowhere-zero flow, Tutte s theorem, Tutte s conjectures III

Kazalo 1 Uvod 1 2 Osnovni pojmi 3 2.1 Teorija grafov............................... 3 2.2 Teorija grup................................ 6 3 Pretoki 7 4 Nikjer-ničelni pretoki 11 4.1 Definicija in nekaj primerov....................... 11 4.2 Tuttov izrek................................ 13 4.3 Nikjer-ničelni k-pretoki za male k.................... 18 4.4 Tuttove domneve............................. 24 5 Zaključek 26 Literatura 27 IV

Slike 2.1 Ponazoritev grafa............................. 4 2.2 Kubični graf................................ 5 2.3 Dvodelen graf............................... 5 2.4 Podgraf.................................. 6 3.1 Z-pretok.................................. 8 3.2 5-pretok.................................. 9 4.1 Nikjer-ničelni 4-pretok.......................... 12 4.2 Graf, ki ne premore nikjer-ničelnega 3-pretoka............. 12 4.3 Nikjer-ničelni 5-pretok.......................... 13 4.4 Nikjer-ničelni Z 4 -pretok......................... 14 4.5 Nikjer-ničelni Z 5 -pretok......................... 14 4.6 Nikjer-ničelni 5-pretok.......................... 15 4.7 Nikjer-ničelni 2-pretok.......................... 19 4.8 Nikjer-ničelni 3-pretok.......................... 20 4.9 Nikjer-ničelni 2-pretok na K 5...................... 21 4.10 Nikjer-ničelni 3-pretok na K 6...................... 22 4.11 Razdelitev vozlišč polnega grafa K n v dva razreda........... 22 4.12 Grafa Γ 1 in Γ 2............................... 23 4.13 Petersenov graf.............................. 25 V

Poglavje 1 Uvod Diplomsko delo pred vami sodi na področje teorije grafov. Gre za dokaj mlado vejo matematike, katere začetki sicer segajo v 18. stoletje, njen pravi razvoj pa se je začel šele v drugi polovici 20. stoletja. Rezultati teorije grafov se danes uporabljajo na najrazličnejših področjih, tudi izven matematike, na primer za upodobitev številnih odnosov v fizikalnih, bioloških, družbenih in informacijskih sistemih. Kot pa že samo ime pove, teorija grafov raziskuje grafe. Graf je množica objektov, t.i. vozlišč, ki so med seboj lahko na nek način povezana ali pa ne. Grafe tako lahko preprosto predstavimo s sliko v ravnini, kjer točke predstavljajo vozlišča, povezave pa upodobimo z ravnimi črtami ali krivuljami, ki določene točke povezujejo med seboj. Strukture in situacije, ki jih je mogoče predstaviti z grafi, lahko najdemo marsikje, zato lahko s pomočjo teorije grafov rešujemo veliko praktičnih problemov. [2] Povezave v grafih lahko tudi utežimo. V tem primeru si lahko grafe predstavljamo kot nekakšna omrežja, v katerih na primer uteži na povezavah predstavljajo razdalje, različne tipe povezav, pa tudi velikosti tokov skozi povezave. S pretoki lahko prikažemo promet v cestnem sistemu, pretakanje tekočine po ceveh, tok v električnem tokokrogu, ali kaj podobnega, kjer neka stvar potuje prek omrežja vozlišč. Danes se takšni modeli pogosto uporabljajo na področju transportnih sistemov, v proizvodnji, pri načrtovanju zalog, obdelavi slik in tudi pri internetnem sistemu. Običajno imajo omrežja le nekaj vozlišč, skozi katera tok vstopa v omrežje ali iz njega izhaja, na ostalih vozliščih pa je skupna vrednost tokov, ki pridejo v vozlišče, enaka vrednosti tokov, ki gredo iz tega istega vozlišča. S tem torej v večini vozlišč izpolnjujemo Kirchhoffov zakon. [2] 1

POGLAVJE 1. UVOD 2 Prav tako kot sami tokovi in pretoki, so v življenjskih situacijah uporabni tudi nikjerničelni pretoki. To so posebni primeri pretokov in kot pove že sama besedna zveza, gre pri tem za pretoke, ki nimajo povezave z utežjo 0, oziroma povezave niso neutežene. Vzemimo za primer promet v cestnem sistemu. Povezave seveda predstavljajo ceste, križišča pa so vozlišča. Vsako vozilo, ki pride v križišče, mora tudi odpeljati iz njega, zato bo število prihajajočih in odhajajočih vozil na vozliščih enako in bo vrednost vozlišča tako 0, torej gre za pretok. Predpostavimo lahko, da je število vozil, ki lahko vozijo po dani cesti, neničelno, saj sicer te ceste sploh ne potrebujemo, torej gre za nikjer-ničelni pretok. Ker se po neki cesti vedno pelje neko celo število vozil, gre pravzaprav za t.i. nikjer-ničelni Z-pretok, s čimer želimo povedati, da so vrednosti uteži na povezavah lahko le cela števila. Včasih rečemo celo, da gre za nikjer-ničelni k-pretok, če želimo omejiti, da se denimo po vsaki cesti lahko pelje največ k 1 vozil, iz kakršnega koli razloga že. [2] Kot se izkaže, teorija pretokov ni uporabna le kot model za resnične tokove, ampak se dobro povezuje tudi z drugimi deli teorije grafov, zlasti s povezanostjo grafov in barvanjem grafov. O povezavi s tema dvema temama v tem diplomskem delu ne bomo bolj podrobno govorili. Zainteresirani bralec lahko podrobnosti najde v [2]. V samem diplomskem delu opišemo nekaj osnovnih pojmov, ki jih bralec potrebuje za razumevanje diplomskega dela. Nato se posvetimo pretokom na splošno, za tem pa se osredotočimo na glavno temo diplomskega dela, na nikjer-ničelne pretoke. Pri tem si ogledamo Tuttov izrek iz leta 1950, ki pravi, da vsak graf, ki dopušča nikjerničelni k-pretok, dopušča tudi nikjer-ničelni Z k -pretok in obratno. Izrek seveda tudi dokažemo in si v nadaljevanju ogledamo še nekaj rezultatov, ki pokažejo, da za dani majhen k obstajajo grafi, ki ne dopuščajo nikjer-ničelnega k-pretoka. Za konec si ogledamo še nekaj Tuttovih domnev o nikjer-ničelnih pretokih.

Poglavje 2 Osnovni pojmi V tem poglavju so zbrane definicije osnovnih pojmov in nekaj trditev s področja teorije grafov, nekaj malega pa tudi iz teorije grup, ki so potrebni za razumevanje tega diplomskega dela. Za lažje razumevanje navajamo tudi nekaj primerov. Pri tem izhajamo iz literature [1], [2], [4] in [5]. 2.1 Teorija grafov Definicija. Enostaven graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par dveh množic V (Γ) in E(Γ), kjer je V (Γ) neprazna množica vozlišč, E(Γ) pa podmnožica množice neurejenih parov različnih vozlišč iz V (Γ), katere elemente imenujemo povezave. Pri tem povezavo {u, v} običajno zapišemo kar kot uv oziroma vu. Vozlišči u in v sta sosednji, če je uv E(Γ), kar označimo tudi z u Γ v oziroma u v, če je Γ razviden iz konteksta. Rečemo tudi, da sta u in v krajišči povezave uv. Kadar je jasno, za kateri graf gre, namesto V (Γ) in E(Γ) pišemo kar V in E. Število vozlišč grafa Γ, torej V, je njegov red. Dogovor. Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju diplomskega dela namesto o enostavnih grafih govorili kar o grafih, pri čemer pa nam bo ta beseda v resnici pomenila enostaven graf. Enostaven namreč pomeni, da ne vsebuje zank (povezava, katere obe krajišči sta isto vozlišče) in večkratnih povezav (med istima vozliščema poteka več povezav). 3

POGLAVJE 2. OSNOVNI POJMI 4 Grafe najlažje upodobimo s točkami na ravnini, ki predstavljajo vozlišča in povezavami med njimi, ki so daljice ali ukrivljene črte med točkami. Pri tem ni pomembno kako so vozlišča in povezave narisane, pomemben je le podatek, katera vozlišča so med seboj povezana in katera ne, torej katera so sosednja in katera ne. Slika 2.1: Ponazoritev grafa Γ z množico vozlišč V = {1, 2,..., 7} in množico povezav E = {{2, 5}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 6}}, V = 7. Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in naj bo v V. Tedaj množici N Γ (v) = {u V : u Γ v} pravimo okolica (tudi soseščina) vozlišča v v grafu Γ. Če je Γ razviden iz konteksta, običajno pišemo kar N(v). Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in naj bo v V. Stopnja ali valenca vozlišča v je kardinalnost okolice N Γ (v), kar označimo z deg Γ (v) oziroma deg(v). Število δ(γ) = min{deg(v) v V (Γ)} je minimalna stopnja vozlišč grafa Γ, število (Γ) = max{deg(v) v V (Γ)} pa je njegova maksimalna stopnja. Graf Γ je regularen, če velja δ(γ) = (Γ). V tem primeru rečemo, da gre za k- regularen graf, kjer je k = δ(γ) = (Γ). Namesto 3-regularen graf običajno rečemo kubični graf. Primer grafa na sliki 2.1 ima torej minimalno stopnjo δ(γ) = 0 in maksimalno stopnjo (Γ) = 3. Definicija. Naj bo r 2 in r Z. Graf Γ = (V, E) je r-delen, če obstaja particija množice V (Γ) na r nepraznih razredov tako, da ima vsaka povezava vsako od svojih krajišč v različnih razredih. Torej nobeni dve vozlišči znotraj istega razreda ne smeta biti sosednji. Namesto 2-delen graf ponavadi pišemo kar dvodelen graf.

POGLAVJE 2. OSNOVNI POJMI 5 Slika 2.2: Primer 3-regularnega oziroma kubičnega grafa. Slika 2.3: Primer dvodelnega grafa. Trditev 2.1. Graf Γ je dvodelen natanko tedaj, ko ne vsebuje lihega cikla, kar je ekvivalentno trditvi, da lahko njegova vozlišča pobarvamo z dvema barvama na tak način, da sta krajišči vsake povezave različnih barv. Definicija. Polni graf je graf, v katerem je vsak par vozlišč med seboj povezan s povezavo. Polni graf z n vozlišči označimo s K n. Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf. Zaporedje vozlišč v 0 v 1 v 2... v k 1 v k, kjer sta vozlišči v i 1 in v i povezani za vse 1 i k, imenujemo sprehod dolžine k. Če so vsa vozlišča paroma različna, gre za pot. Cikel je sprehod z začetkom in koncem v istem vozlišču, na katerem so vsa ostala vozlišča paroma različna (tudi od začetnega). Definicija. Graf je povezan, če med poljubnima njegovima vozliščema obstaja pot. Most povezanega grafa je vsaka povezava, katere odstranitev povzroči, da dobljeni graf ni več povezan. Definicija. Naj bosta Γ 1 = (V 1, E 1 ) in Γ 2 = (V 2, E 2 ) grafa. Graf Γ 1 je tedaj podgraf grafa Γ 2, če velja V 1 V 2 in E 1 E 2. Če dodatno velja še V 1 = V 2, je Γ 1 vpeti

POGLAVJE 2. OSNOVNI POJMI 6 podgraf grafa Γ 2. Slika 2.4: Primer podgrafa (desni graf je podgraf levemu grafu) Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in naj bo {V 1, V 2 } particija množice V. Potem množici vseh povezav grafa Γ, ki imajo eno krajišče v V 1, drugo pa v V 2, rečemo rez. 2.2 Teorija grup Definicija. Grupa je urejeni par (G, ), kjer je G neprazna množica, pa dvočlena oziroma binarna operacija na G (t.j., za vsaka g 1, g 2 G je g 1 g 2 natanko določen element iz množice G), če velja: 1. je asociativna: g 1, g 2, g 3 G : (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ); 2. v G obstaja element e, imenovan nevtralni element, za katerega velja: g G : e g = g e = g; 3. za vsak element g iz G obstaja element g iz G, imenovan inverz elementa g, za katerega velja: g g = g g = e. Če za operacijo velja tudi komutativnost ( g 1, g 2 G : g 1 g 2 = g 2 g 1 ), pravimo, da je grupa (G, ) komutativna oziroma Abelova. Primer Abelove grupe sta denimo množica celih števil Z za operacijo seštevanja in množica Z n ostankov pri deljenju z n, prav tako za operacijo seštevanja (tokrat seveda po modulu n). Definicija. Naj bosta (G, ) in (H, ) grupi. Preslikava ϕ : G H je homomorfizem grup, če za vsaka a, b G velja: ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b).

Poglavje 3 Pretoki V tem poglavju, kjer izhajamo iz [2] in [3], bomo podali še nekaj definicij, ki jih potrebujemo za obravnavo pretokov na grafih, ki so glavna tema tega diplomskega dela. Ko govorimo o pretokih, moramo povedati, v kateri smeri vzdolž povezave teče tok, zato potrebujemo pojem usmerjenih povezav oziroma lokov. Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf. Tedaj je množica L(Γ) množica vseh urejenih parov sosedjih vozlišč grafa Γ, ki jih imenujemo loki grafa Γ. Vsaki povezavi uv grafa Γ torej ustrezata dva loka in sicer (u, v) ter (v, u). Prvi je usmerjen od u k v, drugi pa od v k u. Rečemo tudi, da je lok (v, u) obrat loka (u, v) in obratno, da je lok (u, v) obrat loka (v, u). Množica L(Γ) grafa Γ = (V, E) je torej dvakrat večja od množice E(Γ). Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf. Preslikavi c : L(Γ) N pravimo (celoštevilska) kapaciteta na Γ, če velja c((u, v)) = c((v, u)), za vse (u, v) L(Γ). Kapaciteta posamezne povezave nam torej pove največjo količino tovora, ki jo še lahko peljemo preko te povezave (v katerikoli smeri). Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in c : L(Γ) N kapaciteta.tedaj je preslikava f : L(Γ) R pretok na Γ, če velja: 1. f((u, v)) = f((v, u)), za vse (u, v) L(Γ); 7

POGLAVJE 3. PRETOKI 8 2. v N(u) f((u, v)) = 0, za vse u V (Γ); 3. f((u, v)) c((u, v)), za vse (u, v) L(Γ). Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in A Abelova grupa z aditivno pisano operacijo. Preslikava f : L(Γ) A je A-pretok na Γ, če f zadošča 1. in 2. pogoju iz definicije pretoka. Opomba. Pri definiciji A-pretoka želimo bralca opozoriti na to, da se le-ta v [2] malce razlikuje od naše, saj je v omenjeni literaturi za A-pretok zahtevano, da so vrednosti f povsod neničelne, kar bomo mi zahtevali šele za nikjer-ničelne pretoke v nadaljevanju diplomskega dela. Omenimo tudi, da bomo v nadaljevanju za Abelove grupe vedno privzeli, da imajo aditivno pisano operacijo. Pretoku f običajno rečemo celoštevilski pretok oziroma Z-pretok, če so vse njene prirejene vrednosti celoštevilske, torej če preslikava f vsemlokom priredi vrednosti iz grupe celih števil, skupaj z vsemi potrebnimi pogoji. Slika 3.1: Primer Z-pretoka na grafu (kapacitete povezav niso navedene). Z-pretoke pa lahko opišemo še bolj natančno in sicer je nek Z-pretok f k-pretok v primeru, ko za vse (u, v) L(Γ) velja f((u, v)) < k. Pretok grafa na sliki 3.1 je torej 4-pretok, ni pa 3-pretok. Opomba. Očitno je, da vsak graf, ki premore k-pretok, za vsak l > k premore tudi l-pretok (vzamemo kar isti pretok). Tako se lahko vprašamo, katero je najmanjše število k, da dani graf premore k-pretok (če takšen k sploh obstaja). Če na lokih

POGLAVJE 3. PRETOKI 9 dopuščamo vrednosti 0, je stvar trivialna (bralca vabimo, da razmisli zakaj). V nasprotnem primeru pa temu ni več tako. Izkaže se, da gre v tem primeru za izjemno težka vprašanja, ki jih raziskovalci vse do danes niso uspeli povsem razrešiti. Takšni pretoki so glavna tema tega diplomskega dela. V nadaljevanju bomo tako stremeli ravno k temu, da za dani graf najdemo k-pretok s čim manjšim k. V izogib dodatnim zapletom bomo zato kar privzeli, da so kapacitete povezav neomejene in tako v konkretnih primerih ne bodo navedene, kot tudi niso navedene v primeru na sliki 3.1. Opomba. Če je Γ = (V, E) graf in preslikava f : L(Γ) A nek A-pretok, je po definiciji pretoka v grafu Γ med vsakima sosednjima vozliščema dovolj podati vrednost f le na enem od obeh lokov, ki ustrezata posamezni povezavi. Z določitvijo vrednosti f na loku (u, v) je namreč po 1. pogoju iz definicije A-pretoka določena tudi vrednost f na njegovem obratu, torej na loku (v, u). Slednji ima tako inverzno vrednost vrednosti loka (u, v), seveda znotraj Abelove grupe A. Zato bodo v nadaljnjih primerih grafi večinoma prikazani z zgolj enim od obeh lokov (v resnici smo pretok f tako označili že na levem delu slike 3.1). Bralec bo opazil, da je pri tem dogovoru 2. pogoj iz definicje A-pretokov izpolnjen natanko tedaj, ko bo za vsako vozlišče vsota vrednosti na vseh prikazanih lokih, ki so usmerjeni v to vozlišče, enaka vsoti vrednosti na vseh prikazanih lokih, ki so usmerjeni iz tega vozlišča. Slika 3.2: Primer 5-pretoka na grafu. Oglejmo si še zanimivo trditev, ki nas bo spremljala preko celotnega nadaljevanja diplomskega dela. Trditev 3.1. Naj bo Γ poljuben graf, A poljubna Abelova grupa in f poljuben A-pretok na Γ. Tedaj za poljubno podmnožico X V velja ( ) x X x X N(x) f((x, x)) = 0, kjer X označuje komplement množice X v V.

POGLAVJE 3. PRETOKI 10 Dokaz: Ker f zadošča 1. pogoju iz definicije pretoka, za vse X V sledi ( ) x X y X N(x) f((x, y)) = 0. Ker pa zadošča tudi 2. pogoju iz definicije pretoka, sledi tudi ( ) x X v N(x) f((x, v)) = 0. Odtod sledi = x X ( v N(x) ( x X x X N(x) ) f((x, v)) ( x X ) f((x, x)) = y X N(x) ) f((x, y)) = 0 0 = 0. To pomeni, da za vsako podmnožico X množice vozlišč velja, da je vsota vrednosti pretoka f vzdolž pripadajočega reza v smeri iz množice X enaka 0. Ker pa je most že sam po sebi rez, lahko zapišemo še naslednjo posledico. Posledica 3.2. Če je f pretok in povezava uv most v Γ, potem je f((u, v)) = 0.

Poglavje 4 Nikjer-ničelni pretoki V tem poglavju se bomo posvetili nikjer-ničelnim pretokom, o katerih smo nekoliko ohlapno govorili že ob koncu prejšnjega poglavja. Pojem takšnega pretoka bomo sprva formalno definirali, nato pa podali še nekaj trditev, primerov in domnev v povezavi z njimi. Pri tem bomo zopet izhajali iz [2] in [3]. 4.1 Definicija in nekaj primerov Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in A Abelova grupa. Preslikavo f : L(Γ) A imenujemo nikjer-ničelni A-pretok na Γ, če je A-pretok, za katerega dodatno velja f((u, v)) 0, za vse (u, v) L(Γ). Dogovor. Dogovorimo se, da bomo namesto nikjer-ničelni R-pretok rekli kar nikjerničelni pretok. Ponovno lahko takšnemu pretoku rečemo nikjer-ničelni Z-pretok, če vsem povezavam grafa priredi celoštevilske vrednosti, toda tokrat brez 0. Lahko pa govorimo tudi o nikjer-ničelnem k-pretoku, če je k N in za vse (u, v) L(Γ) velja 0 < f((u, v)) < k. Iz primera na sliki 4.1 vidimo, da polni graf K 4 premore nikjer-ničelni 4-pretok. Sedaj pa si oglejmo še, če premore tudi nikjer-ničelni 3-pretok. Pokažimo, da takšnega pretoka ne premore. Pomagajmo si s sliko 4.2. Največja vrednost, ki jo lahko priredimo kateremu od lokov je 2, zato za začetek to vrednost priredimo loku (a, b). Vsota vrednosti f na vseh izhajajočih lokih (s slike) iz vozlišča 11

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 12 Slika 4.1: Primer nikjer-ničelnega 4-pretoka na grafu, dobljenega z nekaj popravki Z-pretoka s slike 3.1. Slika 4.2: Primer grafa, ki ne premore nikjer-ničelnega 3-pretoka. b je tedaj 2, kar pomeni, da moramo vsakemu od lokov (b, c) in (b, d) prirediti vrednost 1, saj se le tako lahko izognemo težavi, ko bi morali kateremu od omenjenih lokov prirediti vrednost 0. Nadaljujemo z vozliščem c. Podobno kot prej mora biti tokrat vsota vrednosti f na lokih (c, d) in (c, a) enaka 1. Če torej v tem koraku kateremu od lokov (c, d) ali (c, a) priredimo vrednost 1, bomo morali drugemu od obeh prirediti vrednost 0. Zato moramo enemu od njiju prirediti vrednost 2, drugemu pa 1. Če določimo f((c, d)) = 1, imamo težavo v d, saj bi morali potem imeti f((d, a)) = 0. Torej je f((c, d)) = 2 in f((c, a)) = 1. Tokrat je težava v a, saj bi morali imeti f((a, d)) = 3, kar pa ne zadošča pogoju f((a, d)) < 3. Tako smo pokazali, da lok ((a, b)), s tem pa zaradi simetrije tudi noben drug lok, nima vrednosti 2. Torej imajo lahko vsi loki le vrednosti 1 ali 1, kar pa zaradi dejstva, da so vozlišča stopnje 3, nikakor ne more zadostiti Kirchhoffovemu zakonu. Graf K 4 torej res ne dopušča nikjer-ničelnega 3-pretoka. Iz primera na sliki 4.3 pa lahko opazimo tudi, da vsak A-pretok na grafu Γ porodi nikjer-ničelni A-pretok nekega podgrafa grafa Γ. To preprosto opazimo tako, da

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 13 grafu Γ odstranimo vse tiste povezave, ki jim preslikava f priredi ničelno vrednost. V našem primeru smo torej iz grafa na sliki 3.2, ki premore 5-pretok, z odstranitvijo dveh povezav z vrednostjo 0 dobili podgraf grafa Γ, ki premore nikjer-ničelni 5-pretok. Slika 4.3: Primer nikjer-ničelnega 5-pretoka na grafu, dobljenem iz 5-pretoka s slike 3.2, z odstranjenimi nepotrebnimi povezavami grafa. Za nikjer-ničelne pretoke velja opaziti tudi, da grafi, ki vsebujejo kak most, ne premorejo nobenega nikjer-ničelnega pretoka, kar sledi iz posledice 3.2. 4.2 Tuttov izrek Ta razdelek je v celoti posvečen Tuttovemu izreku, ki povezuje nikjer-ničelne Z k - pretoke z nikjer-ničelnim k-pretoki. Najprej si oglejmo sam izrek in konkreten primer, nato pa se posvetimo še njegovemu dokazu. Izrek 4.1. (Tutte 1950). Graf Γ dopušča nikjer-ničelni k-pretok natanko tedaj, ko dopušča nikjer-ničelni Z k -pretok. Oglejmo si, kaj pove izrek za konkreten primer, na primer za pretok na grafu s slike 4.1. Vemo že, da graf dopušča nikjer-ničelni 4-pretok. Po Tuttovem izreku torej dopušča tudi nikjer-ničelni Z 4 -pretok. Kako ga dobiti, seveda ni težko videti. Vse vrednosti 3 f((u, v)) 3 je treba enostavno interpretirati kot ustrezne elemente iz Z 4. Vidimo, da graf s slike 4.4 poleg nikjer-ničelnega 4-pretoka res dopušča tudi nikjerničelni Z 4 -pretok.

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 14 Slika 4.4: Primer nikjer-ničelnega Z 4 -pretoka na grafu, ki dopušča tudi nikjer-ničelni 4-pretok (pri vseh povezavah sta izjemoma narisana oba loka, za jasen prikaz nikjerničelnega Z 4 -pretoka). Oglejmo si sedaj še nasprotni primer. Na sliki 4.5 imamo prikazan graf, ki premore nikjer-ničelni Z 5 -pretok. Poglejmo torej, če graf res premore tudi nikjer-ničelni 5- Slika 4.5: Primer nikjer-ničelnega Z 5 -pretoka. pretok, oziroma kako ga poiščemo (da ga res premore, nam namreč zagotavlja Tuttov izrek). V tem primeru je to nekoliko težje, saj vrednosti na lokih, ki so elementi iz Z 5, ne moremo zgolj interpretirati kot ustrezne elemente iz { 4, 3,..., 3, 4}. V tem primeru bi se nam na primer zataknilo pri vozliščih a in b. Vsota vrednosti f na vseh izhajajočih lokih iz vozlišča a bi bila tedaj 5, vsota vrednosti f na vseh izhajajočih lokih iz vozlišča b pa 5. Nobeno od vozlišč a in b torej ne bi izpolnjevalo 2. pogoja iz definicije pretoka, zato moramo poiskati nov nikjer-ničelni 5-pretok na tem grafu. Ker preostala tri vozlišča c, d in e zadoščajo 1. pogoju definicije pretoka, poskusimo tako, da lokom, ki vodijo iz ali v omenjena tri vozlišča vrednosti zgolj interpretiramo kot ustrezne elemente iz { 4, 3,..., 3, 4}. Tako dobimo graf, ki zgolj na loku (a, b) še nima prirejene vrednosti (vidno levo na sliki 4.6). Oglejmo si sedaj vozlišče a. Ker je trenutna vsota vrednosti f na vseh izhajajočih lokih iz tega vozlišča 4 mora torej f loku (a, b) prirediti vrednost 4. Sedaj se hitro lahko prepričamo, da tudi vozlišče b

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 15 zadošča 2. pogoju definicije pretoka. Tako smo res dobili tudi nikjer-ničelni 5-pretok. Slika 4.6: Primer nikjer-ničelnega 5-pretoka. Izrek smo ilustrirali na primerih, sedaj pa podajmo še splošen dokaz. Dokaz: Denimo najprej, da Γ dopušča nikjer-ničelni k-pretok f in pokažimo, da je moč f pretvoriti v nikjer-ničelni Z k -pretok. S σ k označimo naravni homomorfizem grup iz Z v Z k, ki celo število i preslika v njegov ekvivalenčni razred i kongruence po modulu k. Iskani Z k -pretok tedaj dobimo kar kot kompozitum σ k f. Ker je σ homomorfizem grup, namreč za vsako povezavo uv E(Γ) velja (σ k f)((u, v)) + (σ k f)((v, u)) = σ k (f((u, v)) + f((v, u))) = σ k (0) = 0. Podobno za vsako vozlišče v E(Γ) velja ( (σ k f)((v, u)) = σ k ) f((v, u)) = σ k (0) = 0. u N(v) u N(v) Torej je σ k f res nikjer-ničelni Z k -pretok na Γ. Naj bo sedaj g nikjer-ničelni Z k -pretok na grafu Γ. Pokažimo, da lahko grafu Γ priredimo tudi nikjer-ničelni k-pretok f. Naj bo F množica vseh preslikav f : L(Γ) Z, ki zadoščajo 1. pogoju iz definicije pretoka (t.j., f((u, v)) = f((v, u)) za vse uv E(Γ)), zanje velja f((u, v)) < k za vse (u, v) L(Γ), velja pa tudi σ k f = g. Pokažimo najprej, da je F neprazna množica. Za vsako izmed povezav uv grafa Γ izberemo po enega izmed lokov (u, v) in (v, u), ki ji pripadata. Na vsakem izbranem loku, recimo (u, v), nato za f ((u, v)) vzamemo enolično določeni 1 i < k, da je σ k (i) = g((u, v)) (ker je g nikjer-ničelen, je g((u, v)) 0, torej tak i res obstaja). Za vsak izbrani lok, recimo (u, v), sedaj na njegovem obratu definirajmo f ((v, u)) =

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 16 f ((u, v)). S tem smo definirali preslikavo f : L(Γ) Z, za katero očitno velja 0 < f ((u, v)) < k za vse (u, v) L(Γ) in f ((u, v)) = f ((v, u)) za vse (u, v) L(Γ). Za dokaz, da je f F moramo le še preveriti, da je σ k f = g. Da to velja za vse izbrane loke (u, v), sledi neposredno iz definicije f. Naj bo sedaj (v, u) obrat nekega izbranega loka (u, v). Ker je σ k homomorfizem grup, inverze slika v inverze, torej sledi (σ k f )((v, u)) = σ k (f ((v, u))) = σ k ( f ((u, v))) = = σ k (f ((u, v))) = g((u, v)) = g((v, u)), saj je g nikjer-ničelni Z k -pretok. Torej f F in zato je F res neprazna množica. Sedaj moramo le še pokazati, da obstaja f F, ki v vseh vozliščih zadošča Kirchhoffovemu zakonu. Ker za vsak f F zaradi g = σ k f velja, da je f nikjer-ničelen (ker je tak tudi g), bo potem tak f nikjer-ničelni k-pretok. Za kandidata vzemimo poljuben f F, za katerega je vsota K(f) = u V v N(u) f((u, v)), ki predstavlja vsoto odstopanj od Kirchhoffovega zakona v vseh vozliščih, najmanjša. Dokazali bomo, da je K(f) = 0, iz česar nato sledi, da je tudi v N(u) f((u, v)) = 0, za vse u V, kar bo pomenilo, da je f iskani nikjer-ničelni k-pretok. To bomo dokazali s protislovjem, zato predpostavimo, da K(f) 0. Ker po definiciji množice F za vsako povezavo uv E(Γ) velja f((u, v)) = f((v, u)), dobimo ( ) u V v N(u) f((u, v)) = 0. Ker je K(f) > 0, torej obstaja neko vozlišče x V (Γ), za katerega je: v N(x) f((x, v)) > 0. (4.1) Naj bo X V množica vseh x, za katere graf Γ vsebuje pot v 0 v 1... v l iz x v x (torej v 0 = x in v l = x ), tako da velja f((v i, v i+1 )) > 0 za vse i < l. Definirajmo sedaj X = X\{x}. Zaradi neenakosti (4.1) je seveda X neprazna množica. Najprej pokažimo, da X premore takšno vozlišče x, za katerega velja v N(x ) f((x, v)) < 0.

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 17 Po definiciji X za vse povezave x y, tako da je x X in y X, velja f((x, y)) 0 (kjer je X = V (Γ)\X). To seveda velja tudi za x = x. Iz neenakosti (4.1) torej sledi, da je f((x, x )) = = f((x, v)) x X N(x) f((x, y)) v N(x) y X N(x) v N(x) f((x, v)) > 0. Ker za vsak (u, v) L(Γ) velja f((v, u)) = f((u, v)), je torej x X N(x) f((x, x)) = x X N(x) < 0, poleg tega pa velja še ( ) x X x X N(x ) f((x, x )) = 0. Od tod sledi = x X ( y X N(x ) x X ( f((x, y)) )+ v N(x ) x X N(x) torej mora za nekatere x X res veljati: v N(x ) ) f((x, v)) = f((x, x))+ x X ( x X N(x ) ) f((x, x )) < 0, f((x, v)) < 0. (4.2) Izberimo poljuben tak x X. Ker je x X, v grafu obstaja pot W = v 0 v 1... v l, od x do x, da za vse i < l velja f((v i, v i+1 )) > 0. Sedaj preslikavo f spremenimo tako, da pošljemo k enot toka nazaj po W. Dobimo torej preslikavo f : L(Γ) Z, podano z f((u, v)) k za (u, v) = (v i, v i+1 ), i = 0,..., l 1; f : (u, v) f((u, v)) + k za (u, v) = (v i+1, v i ), i = 0,..., l 1; f((u, v)) za uv / E(W ). Po definiciji W imamo f ((u, v)) < k za vse (u, v) L(Γ). Ravno tako po definiciji zanj velja tudi f ((v, u)) = f ((u, v)). Poleg tega pa je σ k homomorfizem grup, za katerega je σ k (k) = 0, torej velja tudi σ k f = g.

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 18 Poglejmo, kakšna je vrednost K(f ) glede na K(f). Z izjemo vozlišč x in x odstopanje od Kirchhoffovega zakona ostaja nespremenjeno v vseh vozliščih grafa Γ: f ((v, w)) = f((v, w)), za vse v V (Γ)\{x, x }. (4.3) w N(v) w N(v) Po drugi strani pa za x in x velja: f ((x, v)) = v N(x) v N(x ) v N(x) in f ((x, v)) = v N(x ) f((x, v)) k f((x, v)) + k. (4.4) Ker je g nikjer-ničelni Z k -pretok in je σ k f = g, poleg tega pa je σ k homomorfizem grup, velja σ k ( σ k ( v N(x) v N(x ) ) f((x, v)) ) f((x, v)) = v N(x) in = v N(x ) g((x, v)) = 0 Z k g((x, v)) = 0 Z k, torej sta obe vsoti, tako v N(x) f((x, v)) kot v N(x ) f((x, v)), večkratnika števila k. Iz neenakosti (4.1) in (4.2) tako sledi v N(x) f((x, v)) k in v N(x ) f((x, v)) k. Po (4.4) pa potem sledi f ((x, v)) < v N(x) v N(x ) in f ((x, v)) < v N(x) v N(x ) f((x, v)) f((x, v)). Iz enakosti (4.3) nato sledi K(f ) < K(f), kar pa je v protislovju z izbiro f F. Sledi, K(f) = 0, kot smo želeli, in zato je f res nikjer-ničelni k-pretok. 4.3 Nikjer-ničelni k-pretoki za male k V tem razdelku se posvetimo vprašanju obstoja nikjer-ničelnih k-pretokov za majhne vrednosti k. O nikjer-ničelnih 1-pretokih seveda ne bomo govorili, saj tak pretok

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 19 očitno premorejo le grafi, ki nimajo nobene povezave. Zato se bomo raje posvetili nikjer-ničelnim 2- in 3-pretokom. Pričnimo s preprostim primerom. Slika 4.7: Primer nikjer-ničelnega 2-pretoka. Bralec se bo zlahka prepričal, da levi graf na sliki 4.7 ne dopušča nikjer-ničelnega 2-pretoka. V primeru, da bi graf spremenili tako, da bi dodali še eno vozlišče in vozlišči s stopnjo 3 spremenili v vozlišči s stopnjo 4, kot prikazuje desni graf na sliki 4.7, bi dobljeni graf dopuščal tudi nikjer-ničelni 2-pretok. Kako je z obstojem nikjer-ničelnih 2-pretokov v splošnem, sedaj ni težko ugotoviti. Trditev 4.2. Graf dopušča nikjer-ničelni 2-pretok natanko tedaj, ko so vsa njegova vozlišča sode stopnje. Dokaz: Po Tuttovem izreku graf dopušča nikjer-ničelni 2-pretok natanko tedaj, ko dopušča tudi nikjer-ničelni Z 2 -pretok. Morebitni nikjer-ničelni Z 2 -pretok pa je seveda enolično določen, saj mora vsem lokom prirediti vrednost 1. Da pa bi taka preslikava zadoščala 2. pogoju iz definicije A-pretoka, torej da bo vsota vrednosti na vseh lokih iz vsakega od vozlišč grafa 0, mora biti v vsakem vozlišču grafa ostanek pri deljenju te vsote z dve enak 0. To pa se bo zgodilo natanko takrat, ko bo v vsakem vozlišču sodo število povezav. Na tem mestu naj bralca opozorimo, da trditev govori o vseh grafih, ki imajo vozlišča sode stopnje in ne zgolj o grafih brez mostov in sodimi stopnjami vozlišč. Spomnimo se namreč v diplomskem delu že zapisane ugotovitve, da grafi z mostovi ne premorejo nobenega nikjer-ničelnega pretoka. Zakaj smo torej v tem primeru govorili kar o vseh grafih s sodimi stopnjami vozlišč in ni bilo potrebno dodatno zahtevati, da nimajo mostov? Če grafu z mostom in vozlišči, ki so vsa sode stopnje, odstranimo most,

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 20 dobimo dva podgrafa. V vsakem od podgrafov je po lemi o rokovanju vsota stopenj vseh vozlišč dvakratnik števila vseh povezav, torej sodo število. Toda vsa vozlišča, razen tistega, ki mu je bila odstranjena ena povezava (t.j. most), so sode stopnje. To protislovje torej pokaže, da graf s samimi vozlišči sode stopnje ne more imeti mostov. Oglejmo si sedaj, ali kubični graf, ki kot podgraf vsebuje 5-cikel, dopušča nikjerničelni 3-pretok. Slika 4.8: Primer težav pri iskanju nikjer-ničelnega 3-pretoka. Levi del slike 4.8 prikazuje del kubičnega grafa, ki kot podgraf vsebuje 5-cikel. Vidimo, da takšen graf nikakor ne more dopuščati nikjer-ničelnega Z 3 -pretoka (s tem pa niti nikjer-ničelnega 3-pretoka), kar nam primer na sliki 4.8 tudi prikazuje. Če namreč povezave na tem 5-ciklu usmerimo v isto smer, bi se morale vrednosti nikjerničelnega Z 3 -pretoka na pripadajočih lokih izmenjevati (1 in 2), saj bi morali sicer preostalemu loku dodeliti vrednost 0. Po drugi strani na desnem delu omenjene slike vidimo del grafa, ki kot podgraf vsebuje 6-cikel. Pri tem primeru se zdi, da vsaj na tem delu grafa ovir za nikjer-ničelni 3-pretok ni. V zvezi s tem si oglejmo naslednjo trditev. Trditev 4.3. Kubični graf brez mostov dopušča nikjer-ničelni 3-pretok natanko tedaj, ko je graf dvodelen. Dokaz: Naj bo Γ = (V, E) kubični graf. Privzemimo najprej, da graf premore nikjer-ničelni 3-pretok, torej po Tuttovem izreku tudi nikjer-ničelni Z 3 -pretok, recimo f. Pokažimo, da ima vsak cikel C = v 0 v 1... v l v 0 v Γ sodo dolžino. Oglejmo si dve zaporedni povezavi v ciklu C, na primer v i 1 v i in v i v i+1. Če f obema lokoma (v i 1, v i ) in (v i, v i+1 ) priredi isto vrednost, torej f((v i 1, v i )) = f((v i, v i+1 )), potem f v vozlišču v i ne more zadoščati definiciji nikjer-ničelnega Z 3 -pretoka, saj bi morala

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 21 tretjemu loku, ki izhaja iz vozlišča v i, prirediti vrednost 0 ali pa vsota vrednosti na izhajajočih lokih iz vozlišča v i ne bi bila 0. Zato mora f lokom vzdolž cikla C v dani smeri izmenično prirediti vrednosti 1 in 2, torej mora biti cikel C sode dolžine. Ker so torej vsi cikli v grafu Γ sode dolžine, graf ne vsebuje lihega cikla, kar po trditvi 2.1 pomeni, da je graf Γ dvodelen. Privzemimo sedaj, da je Γ dvodelen graf. To pomeni, da je množica vozlišča V sestavljena iz dveh razredov V = V 1 V 2 tako, da ima vsaka povezava grafa Γ eno krajišče v V 1, drugo pa v V 2. Sedaj lahko vsakemu loku (v 1, v 2 ) L(Γ), pri čemer je v 1 V 1 in v 2 V 2, priredimo vrednost 1, njihovim obratom pa seveda 2. Ker je Γ kubičen, je vsota vrednosti na izhajajočih lokih za vsak v 1 V 1 enaka 3 (kar je v Z 3 enako 0), za vsak v 2 V 2 pa 6 (kar je v Z 3 prav tako 0). To pa pomeni, da Γ premore nikjer-ničelni Z 3 -pretok, po Tuttovem izreku pa tudi nikjer-ničelni 3-pretok. Oglejmo si še, kako je z obstojem nikjer-ničelnih k-pretokov v polnih grafih K n. Očitno v primeru, ko je n 1 liho število, polni graf K n dopušča nikjer-ničelni 2- pretok. Ker ima namreč v tem primeru K n liho število vozlišč in je vsako vozlišče povezano z vsemi preostalimi vozlišči, so vsa vozlišča stopnje n 1. Torej je vsako vozlišče sode stopnje. Po trditvi 4.2 vsak tak graf dopušča nikjer-ničelni 2-pretok. Slika 4.9: Primer nikjer-ničelnega 2-pretok na grafu K 5. Kaj pa za polne grafe K n, kjer je n sodo število? Za K 2 ne obstaja noben nikjerničelni k-pretok, saj ima ta graf most. Da K 4 dopušča nikjer-ničelni 4-pretok, smo se prepričali na sliki 4.1, nikjer-ničelnega 3-pretoka pa ne more dopuščati po trditvi 4.3, saj gre za kubični graf, ki pa ni dvodelen. Zanimivo je, da je K 4 edini polni graf, razen trivialnega primera K 2, ki ne dopušča nikjer-ničelnega 3-pretoka. Za vse preostale polne grafe sodega reda, ki jih še nismo omenili, namreč nikjer-ničelni 3-pretok lahko konstruiramo.

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 22 Trditev 4.4. Za vse sode n > 4 polni graf K n premore nikjer-ničelni 3-pretok. Nikjer-ničelnega 2-pretoka seveda po trditvi 4.2 ne morejo dopuščati, saj so vsa vozlišča lihe stopnje. Kot kaže naslednji dokaz, pa primere nikjer-ničelnih 3-pretokov lahko najdemo. Slika 4.10: Primer nikjer-ničelnega 3-pretoka na grafu K 6. Dokaz: Trditev govori o polnih grafih Γ = K n = (V, E), ki so sodega reda, torej imamo sodo število vozlišč, ki jih lahko razdelimo (vidno na sliki 4.11) v dve enako veliki množici, torej V = V 1 V 2, pri čemer je V 1 = {v 0, v 2, v 4,..., v n 2 } in V 2 = {v 1, v 3, v 5,..., v n 1 }. Slika 4.11: Razdelitev vozlišč polnega grafa K n v dva razreda. Pri tem si mislimo, da smo vozlišča v i pri upodobitvi grafa K n razporedili ciklično po krožnici, enega za drugim, kot prikazuje slika 4.11. Označimo še nekaj povezav. Za vsako vozlišče v i V 1 označimo povezave v i v i 1, v i v i+1 in v i v i+3 (kjer indekse računamo po modulu n), za vsako vozlišče v i+1 V 2 pa povezave v i+1 v i, v i+1 v i+2 in

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 23 v i+1 v i+1 3 = v i+1 v i 2 (tudi vidno na sliki 4.11). S tem dobimo dva vpeta podgrafa Γ 1 = (V, E 1 ) in Γ 2 = (V, E 2 ) grafa Γ, pri čemer je E 1 množica vseh označenih povezav, E 2 pa je E\E 1 (slika 4.12). Slika 4.12: Grafa Γ 1 in Γ 2. Posvetimo se sedaj najprej grafu Γ 1. Ker imamo v tem primeru vse povezave, ki povezujejo vsako vozlišče s svojim predhodnim in naslednjim vozliščem, poleg tega pa vsako vozlišče v i V 1 z vozliščem v i+3 V 2, vsako vozlišče v i+1 V 2 pa z vozliščem v i 2 V 1, in ker imamo sodo število vozlišč, so vsa vozlišča iz V 1 povezana le z vozlišči iz V 2 in obratno, saj so koraki povezav lihih velikosti (1 ali 3). Graf Γ je torej dvodelen. Poleg tega ima vsako vozlišče v grafu Γ 1 stopnjo 3, torej je graf, poleg tega, da je dvodelen, tudi kubičen. Po trditvi 4.3 torej graf Γ 1 premore nikjer-ničelni 3-pretok. Po drugi strani pa je graf Γ polni graf z n vozlišči, kar pomeni, da je vsako od vozlišč stopnje n 1. Ker je n sodo število, je stopnja vozlišč v grafu Γ zato liha, iz česar sledi, da je stopnja vozlišč v grafu Γ 2 soda, saj je (n 1) 3 = n 4 sodo število. Po trditvi 4.2 torej graf Γ 2 dopušča nikjer-ničelni 2-pretok, s tem pa tudi nikjer-ničelni 3-pretok. Vrnimo se sedaj nazaj k celotnemu grafu Γ, ki ga sestavljata ravno vpeta podgrafa Γ 1 in Γ 2. Tudi zanj sedaj vemo, da premore nikjer-ničelni 3-pretok, saj sta nikjer-ničelni 3-pretok na grafu Γ 1 in nikjer-ničelni 2-pretok na grafu Γ 2 neodvisna, ker vsebujeta različne povezave. S tem smo dokazali, da vsak polni graf K n, za sode n > 4, res dopušča nikjer-ničelni 3-pretok.

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 24 Skozi primere in trditve v celotnem razdelku 4.2 smo torej lahko videli, da za dani k, vsaj če je k največ 3, nekateri grafi ne dopuščajo nikjer-ničelnega k-pretoka. 4.4 Tuttove domneve William Thomas Tutte (1917-2002) je bil angleško-kanadski matematik, ki se je ogromno ukvarjal s teorijo grafov in je v veliki meri zaslužen za sedanjo obliko te matematične discipline. Kot smo videli, je svoj pečat pustil tudi v teoriji nikjerničelnih pretokov. Med raziskovanjem nikjer-ničelnih pretokov je postavil nekaj domnev, katerih vse do danes še nihče ni uspel dokazati niti ovreči. V nadaljevanju si bomo ogledali dve njegovi domnevi. Najstarejša in najbolj znana Tuttova domneva o pretokih je domneva o nikjer-ničelnih 5-pretokih. Domneva o nikjer-ničelnih 5-pretokih (Tutte 1954) Vsak graf brez mostov dopušča nikjer-ničelni 5-pretok. Leta 1981 je Paul Seymour sicer dokazal izrek, ki pravi, da vsak graf brez mostov dopušča nikjer-ničelni 6-pretok, Tuttova domneva o nikjer-ničelnih 5-pretokih pa vse do danes ostaja odprta. Naslednja domneva govori o tem, da naj bi bil Petersenov graf minor vsakega grafa brez mostov, ki ne dopušča nikjer-ničelnega 4-pretoka. Pri tem je minor danega grafa vsak graf, ki ga iz njega dobimo z odstranjevanjem vozlišč in/ali povezav ter t.i. stiskanjem povezav v vozlišča. Petersenov graf namreč ne dopušča nikjer-ničelnega 4-pretoka, vendar tega v diplomskem delu ne bomo dokazali. Domneva o nikjer-ničelnih 4-pretokih (Tutte 1966) Vsak graf brez mostov, ki ne vsebuje Petersenovega grafa kot minor, dopušča nikjerničelni 4-pretok. Naj povemo, da tudi v primeru, če ta Tuttova domneva drži, pripadajoči izrek ni najboljši možen. Polni graf K 11 na primer sicer vsebuje Petersenov graf kot minor (vsak polni graf K n, za n 10, namreč vsebuje Petersenov graf kar kot podgraf in

POGLAVJE 4. NIKJER-NIČELNI PRETOKI 25 Slika 4.13: Petersenov graf. ne le kot minor, saj premore vse možne povezave), kljub temu pa dopušča nikjerničelni 4-pretok. Dopušča celo nikjer-ničelni 2-pretok. Zapisali smo namreč, da vsak polni graf K n, kjer je n liho število, dopušča nikjer-ničelni 2-pretok. Tako se zdi, da se domneve ne da izboljšati le za t.i. redke grafe. Omenimo tudi, da so domnevo za kubične grafe dokazali Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour in Robin Thomas, a je dokaz zelo zahteven in dolg, zato ga tu ne bomo navajali. S kubičnimi grafi, ki nimajo mostov in ne premorejo nikjer-ničelnega 4-pretoka, so se (in se še) raziskovalci precej ukvarjali. Gre za t.i. snarke. Domneva (oziroma v tem primeru izrek) o nikjer-ničelnih 4-pretokih za kubične grafe namreč pravi, da vsak snark kot minor vsebuje Petersenov graf. Izkaže se, da je Petersenov graf najmanjši in je vse do leta 1946 ostal edini znani snark. Tedaj je namreč hrvaški matematik Danilo Blanuša našel še dva snarka, ki se danes imenujeta po njem. Zatem so odkrili še veliko novih snarkov, nakar je Isaacs leta 1975 dokazal, da je družina snarkov neskončna.

Poglavje 5 Zaključek V diplomskem delu smo vpeljali in na konkretnih zgledih predstavili pojem nikjerničelnega pretoka. Zaključimo lahko, da za razumevanje nikjer-ničelnih pretokov potrebujemo poznavanje nekaterih pojmov in konceptov iz teorije grafov, nekaj pa tudi iz teorije grup. Ogledali smo si, kdaj za nek k dani graf premore nikjer-ničelni k-pretok in pri tem ugotovili, da se to ne zgodi vedno. Dokazali smo, da graf, ki premore nikjer-ničelni k-pretok, premore tudi nikjer-ničelni Z k -pretok in obratno, ter to ilustrirali na primeru. Ogledali smo si tudi, kateri grafi zagotovo premorejo nikjer-ničelni k-pretok za male vrednosti k, povsem na koncu pa smo videli, da v zvezi z nikjer-ničelnimi pretoki obstajajo še nedokazane domneve. Rezultati, zbrani v tem diplomskem delu, so osnova za nadaljevanje študija o nikjerničelnih pretokih. V zvezi s to temo namreč obstaja še kar nekaj rezultatov, poleg tega pa, kot smo že omenili, je veliko domnev o tej temi še nepotrjenih. Usmerimo se lahko tudi v posebne nikjer-ničelne pretoke in pripadajoče grafe, denimo v študij snarkov, ki smo jih že omenili na koncu diplomskega dela. Svoje delo lahko razširimo tudi na obravnavo povezanosti grafov in barvanja grafov, ki sta s temo diplomskega dela prepleteni. V povezavi z omenjenima področjema teorije grafov se tako na primer izkaže, da vsak 4-povezan graf premore nikjer-ničelni 4-pretok in pa, da vsak kubični graf premore nikjer-ničelni 4-pretok natanko tedaj, ko je 3-obarvljiv. To delo naj bo zato v pomoč pri študiju nikjer-ničelnih pretokov in spodbuda za nadaljnje delo na tem področju. 26

Literatura [1] Dummit, D. S., Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra. Hoboken, J. Wiley & Sons. [2] Diestel, R. (2000). Graph theory. Springer, cop., New York. [3] [4] Škrekovski R.: Pretoki in pokritja grafov. Pridobljeno 29. 1. 2016 na: http://www.fmf.uni-lj.si/ skreko/gradiva/pretoki in Pokritja.pdf Šparl, P. (2015). Teorija grafov, Zapiski predavanj. Ljubljana. [5] Wilson, R. J., Watkins, J. J. (1997). Uvod v teorijo grafov. Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana. 27

Izjava o avtorstvu diplomskega dela Spodaj podpisana Alja Šubic, z vpisno številko 01012372, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom NIKJER-NIČELNI PRETOKI, ki sem ga napisala pod mentorstvom doc. dr. Primoža so uporabljeni viri ter literatura korektno navedeni. Šparla, avtorsko delo in da Podpis študentke: Ljubljana, 2016