KVANTITATIVNE METODE V PROMETU

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja Primer : Pri pripravi neke eksotične slaščice potrebujemo dve vrsti moke M, M. Moko lahko kupimo v dve različni embalaži E, E. Prvo pakiranje E vsebuje enoto moke M in 4 enote moke M, ter stane 4 d.e.. Drugo pakiranje E vsebuje 5 enot moke M in enoto moke M, ter stane 5 d.e.. Za pripravo slaščice potrebujemo 7 enot moke M in enot moke M. Določi nakup z minimalnimi stroški. a Sestavi tabelo, ki opiše problem. Min E E M M cene količine potrebe b Sestavi matematično formulacijo problema. c Določi smerni koeficient ciljne funkcije. d Grafično določi rešitev. e Grafično določi razliko med maksimalnimi in minimalnimi stroški nakupa. f Zapiši problem v Ecelu in določi rešitev z orodjem Solver. g V Ecelu določi razliko med maksimalnimi in minimalnimi stroški nakupa. h Kako se spremeni vrednost kriterialne funkcije, če podražimo pakiranje E za d.e.? (grafično in s Solverjem) i Kako se spremeni vrednost kriterialne funkcije, če povečamo potrebo po moki M za enoto? (grafično in s Solverjem)

Primer : Proizvajalec pohištva razpolaga z 6 enotami lesa in 8 ur časa, v katerih namerava proizvajati čopiče (uporaba ostanka lesa). Proizvajal bo samo vrsti čopičev, ki so se do sedaj dobro prodale. Proizvajalec oceni, da prvi model čopičev zahteva enoti lesa in 7 ur dela, prodajna cena je 0 d.e.. Drugi model čopičev pa zahteva enoto lesa in 8 ur dela, prodajna cena je 80 d.e.. Določi količino čopičev, ki jo mora proizvajati pohištvena industrija, tako da bo dobiček maksimalen. Nalogo reši tako kot zgornjo. Primer : Dani je transportni problem: R R R T 7 50 T 8 5 80 0 0 0 a Grafično določi optimalno rešitev. b Določi smerni koeficient ciljne funkcije.

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja Primer : Proizvodno podjetje izdeluje dva strojna dela. Pri tem uporablja stružnice, rezkalne stroje in vrtalne stroje. Za vsak del je poraba strojnih časov različna. Potrebne in razpoložljive strojne čase za vsak stroj, ter doseženi dobiček za vsak strojni del podaja naslednja tabela: zahtevani čas v minutah razpoložljivi čas na teden v minutah stroj strojni del I strojni del II stružnica 0 5 500 rezkalni stroj 4 0 000 vrtalni stroj,5 450 dobiček na enoto v 50 00 Določite število strojnih delov I in II tako, da bo dobiček največji! (grafično in Solver) Namig: - število strojnih delov I - število strojnih delov II ma z 50 00 0 5 500 4 0 000.5 450 0 0

Primer : Proizvodno podjetje izdeluje štiri izdelke iz treh vrst materiala. Količina potrebnega materiala v kg za vsak izdelek prikazuje naslednja tabela: material izdelek I II III A,5 4 B 4 C,5 D,5,5 Nadalje je potrebnih 5 delovnih ur na človeka za izdelavo izdelka A, število potrebnih delovnih ur na človeka za izdelke B, C in D pa znaša 4, in 6. Podjetje razpolaga z 00 kg materiala I, 00 kg materiala II in 400 kg materiala III, ter ima na razpolago 00 človek-delovnih ur v planskem obdobju. Podjetje ustvari na enoto izdelkov A, B, C in D 7, 0, 5 in 6 dobička. Koliko enot posameznega izdelka naj podjetje izdela, da bo imelo največji dobiček? Namig: - število enot izdelka A, ki ga moramo izdelati - število enot izdelka B, ki ga moramo izdelati - število enot izdelka C, ki ga moramo izdelati - število enot izdelka D, ki ga moramo izdelati 4 z 7 0 5 6 ma 4.0 4.0.5.0 00 4.5.0.0.5 00 4 4.0 +.0 +.0 +.5 4 400 5.0 4.0.0 6.0 00 4 0, 0, 0, 0 4 4

Primer : Mešanica hrane (obrok) mora vsebovati najmanj 8 dag hranilne snovi A, najmanj 0 dag hranilne snovi B in najmanj dag hranilne snovi C. Želeni obrok moramo sestaviti iz prehrambnih artiklov F, F in F, ki vsebujejo v določenih količinah zahtevane hranilne snovi A, B in C. Enota prehrambenega artikla F stane 50 d.e., F 80 d.e. in F 60 d.e.. Enota artikla F vsebuje 5 dag hranilne snovi A, dag hranilne snovi B in dag hranilne snovi C, enota artikla F vsebuje dag hranilne snovi A, dag hranilne snovi B in 5 dag hranilne snovi C, medtem ko artikel F vsebuje 0 dag snovi A, dag snovi B in 4 dag hranilne snovi C. Kakšne količine prehrambenih artiklov F, F in F moramo kupiti, da bo obrok vseboval predpisane količine hranilnih snovi A, B in C, ter da bodo stroški nakupa najmanjši? Namig: - število enot prehrambenega artikla F - število enot prehrambenega artikla F - število enot prehrambenega artikla F z 50 80 60 min 5 8 0 5 4 0, 0, 0, 5

Primer 4: Transportno podjetje Inter-Company prevaža vsak mesec blago iz dveh skladišč v tri trgovine. Iz različnih razlogov, kot so različne oddaljenosti, različni načini prevoza, so stroški prevoza na enoto proizvoda odvisni tako od skladišča iz katerega se vozi blago, kakor tudi trgovine v katero se blago vozi. Vsako skladišče ima omejene kapacitete skladiščenja in vsaka trgovina zahteva le določeno količino enot proizvodov na mesec. Naslednja tabela podaja stroške prevoza, kapacitete skladišč in potrebe trgovin: transportni stroški na enoto Kapacitete skladišč T T T S 9 8 6 00 S 7 4 00 Potrebe trgovin 40 50 0 00 Ugotoviti moramo, koliko enot proizvodov moramo pripeljati iz vsakega skladišča v vsako trgovino, da bodo stroški transporta najmanjši? (grafično Solver) 6

SIMPLEKS METODA POVZETEK KANONIČNA OBLIKA LINEARNEGA PROBLEMA: MIN c T A B 0 MAX c T A B 0 Uvedba novih spremenljivk: MIN MAX A B A B A B A B dopolnilna spr., c 0 i j umetna spr., c j i i j M ma c T dopolnilna spr., c 0 i umetna spr., j c j i i j M A B A B A B A B j umetna spr., c j c T j M ma j umetna spr., c j j M A B A B A B A B slack spr., 0 k k c k k k slack spr., c 0 k Popravimo stolpec, kjer je prisojena cena največja pozitivna. Optimalna rešitev ima vse prisojene cena negativna ali nič. Popravimo stolpec, kjer je prisojena cena najmanjša negativna. Optimalna rešitev ima vse prisojene cena pozitivne ali nič. Pivot element je vedno minimalni pozitivni količnik, v primeru, ko so vsi količniki negativni ali nedefinirani problem ni rešljiv (neomejeni konveksni polieder). 7

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja SIMPLEKS METODA Primer : Dva izvora I in I oskrbujeta z nekim blagom dva ponora P in P. Obilnost izvorov v časovni enoti znaša zaporedoma 7 in 4 enot blaga. Potrebe ponorov v časovni enoti znaša zaporedoma 6, in 5 enot blaga. Za transportni problem so znane prevozne tarife za vse relacije, tako kot prikaže tabela. P P I I 4 7 Kako naj usmerimo prevoz blaga od izvorov do ponorov, da bodo skupni prevozni stroški najmanjši? a. Določi in zapiši izhodiščno bazo in rešitev TP. b. Zapiši problem v SIMPLEKS tabeli, ter določi rešitev problema. c. Rešitev preveri tudi s pomočjo Solverja (Ecel). 8

Kanonični zapis LP: T min z c X AX B X 0 SIMPLEKS tabela: MIN c T X T X 0 c o A B T 0 c T 0 T c c A B Primer : Zaprti transportni problem je podan z naslednjo tabelo: Min P P P Kapaciteta izvorov I 5 4 5 I 5 6 8 Kapaciteta ponorov 4 6 a. Določi in zapiši izhodiščno bazo in rešitev TP. b. Zapiši problem v SIMPLEKS tabeli, ter določi rešitev problema. c. Rešitev preveri tudi s pomočjo Solverja (Ecel) 9

Sedaj določi rešitev naslednjega odprtega transportnega problema z metodo SIMPLEKS. Min P P P Kapaciteta izvorov I 5 4 7 I 5 6 8 Kapaciteta ponorov 4 6 Primer : Trije izvori I, I in I oskrbujejo z nekim blagom štiri ponore P, P, P in P 4. Obilnost izvorov v časovni enoti znaša zaporedoma 6,0 in 9 enot blaga. Potrebe ponorov v časovni enoti znaša zaporedoma 4, 6, 7 in 8 enot blaga. Za transportni problem so znane prevozne tarife za vse relacije, tako kot prikaže tabela. P P P P 4 I 0 6 46 6 I 50 8 0 40 I 48 8 Kako naj usmerimo prevoz blaga od izvorov do ponorov, da bodo skupni prevozni stroški najmanjši? a. Določi in zapiši izhodiščno bazo in rešitev TP. b. Preveri ali vektorji, ki pripadajo izhodiščni rešitvi tvorijo bazo. c. Zapiši problem v SIMPLEKS tabeli, ter določi rešitev problema. 0

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja a SIMPLEKS METODA Primer : Neko podjetje, ki proizvaja pet različnih izdelkov, uporablja pri proizvodnji tri surovine: S, S in S. Razpoložljivost surovin je naslednja: 0, 80 in 40 enot. Naslednja tabela prikaže uporabo surovin pri proizvodnji izdelkov. S I I I I 4 I 5 0 4 4 S 5 0 S 4 5 0 4 Podjetje prodaja prve izdelke po 0, druge po 0, tretje po 40, četrte po 0 in pete po 5 denarnih enot na enoto. Kako naj podjetje planira proizvodnjo, da bo imelo od prodaje največji dohodek? d. Določi in zapiši izhodiščno bazo in rešitev LP. e. Zapiši problem v SIMPLEKS tabeli, ter določi rešitev problema. Je to edina rešitev? f. Rešitev preveri tudi s pomočjo Solverja (Ecel).

Kanonični zapis LP: T ma z c X AX B X 0 SIMPLEKS tabela: MAX c T X T X 0 c o A B T 0 c T 0 T c c A B Primer : Proizvajalec pohištva razpolaga z 6 enotami lesa in 8 ur časa, v katerih namerava proizvajati čopiče (uporaba ostanka lesa). Proizvajal bo samo vrsti čopičev, ki so se do sedaj dobro prodale. Proizvajalec oceni, da prvi model čopičev zahteva enoti lesa in 7 ur dela, prodajna cena je 0 d.e.. Drugi model čopičev pa zahteva enoto lesa in 8 ur dela, prodajna cena je 80 d.e.. Določi količino čopičev, ki jo mora proizvajati pohištvena industrija, tako da bo dobiček maksimalen. Nalogo reši tako kot zgornjo.

MAX 0 80 0 0 količnik y S S 0 S 6 0 S 7 8 8 4-0 -80 0 0 0 omejitev 6 vrednost tab 0 / / 0 6 0 S 0 9/ -7/ 7 4/9 0-0 60 0 60 0 0 6/8 -/9 4/9 80 y 0-7/9 /9 4/9 0 0 480/9 40/9 50/9. vrstica 7/ *. vrstica. vrstica /9 *. vrstica Primer : V nekem regionalnem središču razmišljajo o uvedbi proizvodnje P in P. Pri tem so omejeni z razpoložljivo količino vode, elektrike in z okoljsko omejitvijo polucije O. Dnevne omejitve onesnaževanja v izbranih enotah ter poraba vode in elektrike na enoto proizvoda so podani v naslednji tabeli. MAX Proizvodnja P Proizvodnja P Razpoložljivost voda 4000 elektrika 6 000 Polutant O 5 5 500 profit 00 00 a. Grafično določi optimalno strukturo proizvodnje. b. Zapiši problem v SIMPLEKS tabeli, ter določi rešitev problema.

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja b SIMPLEKS METODA Primer : Pri pripravi neke eksotične slaščice potrebujemo dve vrsti moke M, M. Moko lahko kupimo v dve različni embalaži E, E. Prvo pakiranje E vsebuje enoto moke M in 4 enote moke M, ter stane 4 d.e.. Drugo pakiranje E vsebuje 5 enot moke M in enoto moke M, ter stane 5 d.e.. Za pripravo slaščice potrebujemo 7 enot moke M in enot moke M. Določi nakup z minimalnimi stroški. a. Določi in zapiši izhodiščno bazo in rešitev LP. b. Zapiši problem v SIMPLEKS tabeli, ter določi rešitev problema (spremembe tabele opravi z Ecelom). c. Rešitev preveri tudi s pomočjo Solverja (Ecel). Min E E M M cene količine potrebe 4

Primer : Tri vitamine: V, V in V lahko kupimo v štiri tablete. Z nakupom tablet želimo dobiti najmanj 80 enot vitamina V, 40 enot vitamina V in 0 enot vitamina V. Naslednja tabela prikaže prisotnost vitaminov v tabletah. Cena tablet je naslednja: T T T T 4 V 4 V 5 0 4 V 0 4 Cene v D.E. T T T T 4 6 8 5 Določi nakup tablet z minimalnimi stroški, ki zadošča zahtevam po vitamini. a. Določi in zapiši izhodiščno bazo in rešitev LP. b. Zapiši problem v SIMPLEKS tabeli, ter določi rešitev problema (uporabi Ecel). c. Rešitev preveri tudi s pomočjo Solverja (Ecel). 5

6 KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja c SIMPLEKS METODA Primeri: S pomočjo Simpleks metode reši naslednje LP. Simpleks tabele zapiši v Ecelu. Rešitve preveri z grafično metodo, ter s pomočjo Solverja. a. 4 4 6 6 5 ma R. LP ni rešljiv b. 4 4 6 ma R. 5 c. 0 5 0 0 0 60 80,,, min d. 4 5 5 ma e. 5 0 6 4 6 min f. 60 7 0 0 50 0 min

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 4 Metoda stopalnikov Primer : Trije izvori I, I in I oskrbujejo z nekim blagom štiri ponore P, P, P in P 4. Obilnost izvorov v časovni enoti znaša zaporedoma 6,0 in 9 enot blaga. Potrebe ponorov v časovni enoti znaša zaporedoma 4, 6, 7 in 8 enot blaga. Za transportni problem so znane prevozne tarife za vse relacije, tako kot prikaže tabela. P P P P 4 I 0 6 46 6 I 50 8 0 40 I 48 8 Kako naj usmerimo prevoz blaga od izvorov do ponorov, da bodo skupni prevozni stroški najmanjši? g. Sestavi standardno tabelo, ki vsebuje vse podatke transportnega problema. h. Sestavi matematično formulacijo problema. i. Določi rešitev problema z metodo stopalnikov (Stepping Stone Method). j. Določi rešitev s Solverjem (Ecel). 7

P P P P4 I 0 6 46 6 6 4 8 I 50 8 0 40 0 8 4 6 4 I 48 8 9-8 8 4 6 7 8 5 Ocena praznih mest po metodi stopalnikov Rešitev lahko izboljšamo, tako da z metodo stopalnikov ocenimo nezasedene relacije. Ocenimo najprej nezasedeno relacijo I, P, tako da vpišemo vanjo enoto blaga; da ne prekršimo pogojev spremenimo količine prevoženega blaga na sklenjeni poti okrog relacije I, P. Pot definiramo s premikom trdnjave po polnih mestih šahovnice. Pot je naslednja:, P I I, P I, P I, P I, P Premik blaga: + - + - Pogojev ne prekršimo če na relaciji, P I, P dodamo enoto, na relaciji I, P in I, P pa odvzamemo enoto blaga. Pri tem določimo prevozne stroške pretovora ene enote blaga po tej poti: I vpišemo enoto, na relaciji 46() + 0(-) + 8() + 6(-) = 8 Nezasedeni relaciji I, P predpišemo oceno 8, ki jo vpišemo v levem spodnjem kotu. 8

Primer : Trije izvori I, I in I oskrbujejo z nekim blagom šest ponorov P, P, P, P 4, P 5 in P 6. Obilnost izvorov v časovni enoti znaša zaporedoma 5,4 in 9 enot blaga. Potrebe ponorov v časovni enoti znaša zaporedoma 4,,,, in 6 enot blaga. Za transportni problem so znane prevozne tarife za vse relacije, tako kot prikaže tabela. P P P P P 4 5 P6 I 7 8 4 I 7 5 6 9 7 I 6 4 Kako naj usmerimo prevoz blaga od izvorov do ponorov, da bodo skupni prevozni stroški najmanjši? Namig: a. Sestavi standardno tabelo, ki vsebuje vse podatke transportnega problema, preveri če sistem degenerira. b. Sestavi matematično formulacijo problema. c. Določi rešitev problema z metodo stopalnikov. d. Določi rešitev s Solverjem (Ecel). P P P P4 P5 P6 I 7 8 4 5+E 4 +E 7 0 4 0 I 7 5 6 9 7 4+E -0 -E E 5 4 I 6 4 9+E - 7 0 -E 6+E 4 6+E 8+E 7 0 0 9

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 4a Metoda MODI Primer : Trije izvori I, I in I oskrbujejo z nekim blagom štiri ponore P, P, P in P 4. Obilnost izvorov v časovni enoti znaša zaporedoma 6,0 in 9 enot blaga. Potrebe ponorov v časovni enoti znaša zaporedoma 4, 6, 7 in 8 enot blaga. Za transportni problem so znane prevozne tarife za vse relacije, tako kot prikaže tabela. P P P P 4 I 0 6 46 6 I 50 8 0 40 I 48 8 Kako naj usmerimo prevoz blaga od izvorov do ponorov, da bodo skupni prevozni stroški najmanjši? k. Sestavi standardno tabelo, ki vsebuje vse podatke transportnega problema. l. Sestavi matematično formulacijo problema. m. Določi rešitev problema z metodo MODI. n. Določi rešitev s Solverjem (Ecel). 0

P P P P4 v i I 0 6 46 6 6 4 8 0 I 50 8 0 40 0 8 4 6 4 I 48 8 9-8 8 4 4 6 7 8 5 s j 0 6 8 4 Ocena praznih mest po metodi MODI Ocene določimo tako, da je vsaka transportna tarifa c ij na zasedeni relaciji i, j enaka vsoti ustrezne vrstične ocene v i in stolpne ocene s j : cij vi s j Ocene vsake nezasedene relacije i, j izračunamo tako, da odštejemo od prevozne tarife na tej relaciji c ij ustrezno vrstično oceno v i in stolpno oceno s j : c v s ij i j

Primer : Transportni problem je podan z naslednjo tabelo: Min P P P Kapaciteta izvorov I 5 4 7 I 5 6 6 Kapaciteta ponorov 4 6 a. Sestavi matematično formulacijo problema. b. Določi rešitev problema z metodo MODI. c. Kako se spremeni vrednost kriterialne funkcije, če P z I ni sklenil pogodbe o dobavi? d. Določi grafično rešitev problema v ravnini. e. Določi rešitev s Solverjem (Ecel), ter preveri ali je to edina optimalna rešitev. Primer : Dani je transportni problem: I 0 I 0 I 0 7 5 8 P 0 P 00 Določite rešitev transportnega problema z metodo MODI. Zapišite sistem linearnih enačb, ki se uporablja pri zapisu problema s Solverjem, ter poišči rešitev s Solverjem.

Tabela za metodo MODI prva rešitev in uporaba pravila zgornjega levega kota (rešitev lahko ocenimo, če ima n+m- polnih mest) Ocena praznih mest po metodi MODI n\m P P P 8 0 I 0 E 0 0+E 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 0 I 0 80-E 40+E 0+E 0 00 40+E 60+E Prvi popravek rešitve P P P 8 0 I 0 E 0 0+E -7 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 8 - -4 0 I 0 80-E 40+E 0+E 4-0 00 40+E 60+E 0 - -4 Ocena praznih mest po metodi MODI P P P 8 0 I 0 0 E 0+E 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 0 I 0 80-E 40+E 0+E 0 00 40+E 60+E P P P 8 0 I 0 0 E 0+E 7 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 5-8 -4 0 I 0 80-E 40+E 0+E -9 0 00 40+E 60+E 0-0 -

Drugi popravek rešitve Ocena praznih mest po metodi MODI P P P 8 0 I 80-E 0 40+E 0+E 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 0 I 40+E 80-E 0 0+E 0 00 40+E 60+E Tretji popravek rešitve P P P 8 0 I 80-E 0 40+E 0+E - 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 6 5 0 I 40+E 80-E 0 0+E 9 0 00 40+E 60+E 0 - - Ocena praznih mest po metodi MODI P P P 8 0 I 0 80-E 40+E 0+E 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 0 I 0 E 0 0+E 0 00 40+E 60+E P P P 8 0 I 0 80-E 40+E 0+E 8 7 5 0 I 0 0+E 0 0+E 5 0 I 0 E 0 0+E 7 0 00 40+E 60+E 0-8 Prazna mesta so vsa pozitivno ocenjena, torej rešitev je optimalna. 4

Ko gre E proti nič, dobimo optimalno rešitev začetnega TP. P P P 8 0 I 0 80 40 0 7 5 0 I 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 00 40 60 OSTANEK- POMANKLJAJ V SISTEMU Optimalna vrednost ciljne funkcije je 4680 d. e.. I 0 I 0 I 0 P 0 P 00 5

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 5 Senzitivnostna analiza, senčne cene in priložnostni stroški Primer : Proizvodno podjetje izdeluje štiri variante istega izdelka. V končni fazi proizvodnje izdelke sestavljajo, očistijo in nato pakirajo. Za vsako varianto proizvodnje naslednja tabela prikazuje čas (v minutah) za opisane operacije in zaslužek pri prodaji. Varianta Sestavljanje Čiščenje Pakiranje Zaslužek ( ).50 4.50.00 4 7 4 5 4.50 Podjetje ima na razpolago v enem letu 00000 minut za sestavljanje izdelkov, 50000 minut za čiščenje izdelkov in 60000 minut za pakiranje izdelkov. Določi koliko izdelkov vsake variante bo podjetje izdelalo v enem letu, tako da bo dobiček pri prodaji maksimalen. Vse variante izdelka se enako dobro prodajajo. a. Sestavi matematično formulacijo problema. b. Določi smerni koeficient kriterialne funkcije. c. Zapiši matriko tehničnih koeficientov. d. Zapiši problem v Ecelu in določi rešitev z orodjem Solver. j Kaj se zgodi če v podjetju omejijo le skupni čas proizvodnje na 0000 minut? Senzitivnostna analiza Kako vpliva sprememba prodajnih cen (koeficienti v kriterialni funkciji) na proizvodnjo? Kdaj se proizvodnja spremeni? Senčne cene Kako vpliva sprememba omejitev problema (desna stran v neenačbah) na proizvodnjo? Kdaj se proizvodnja spremeni? Kaj je senčna cena? Priložnostni stroški Kako vpliva zahteva, da se neki proizvod mora izdelati (spremenimo vrednost rešitve iz nič v vrednost, ki je različna od nič)? Vrednost ciljne funkcije se spremeni in ni več optimalno, pri problemih kjer iščemo MAX se zniža, pri tistih kjer iščemo MIN pa naraste. Kdaj je smiselno uvesti proizvodnjo? 6

Primer : Transportni problem je podan z naslednjo tabelo: Min P P P I 5 4 90 I 6 6 5 50 40 55 45 40 a. Sestavi matematično formulacijo problema. (napiši enačbe, ki določijo problem). b. Določi rešitev s Solverjem (Ecel). c. Nariši dvodelni graf, ki predstavlja rešitev. d. Izpiši vsa poročila v Ecelu in jih analiziraj. e. Določi možne ukrepe na kapacitete ponorov in izvorov, ki ohranjajo rešitev in zmanjšajo skupne prevozne stroške. f. Rešitev poišči tudi grafično, ter s pomočjo grafične rešitve razloži predlagane ukrepe v točki e.. 7

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 6 Problem najkrajše poti v grafu Primer : Spodnja slika predstavlja povezani neusmerjeni graf. V grafu poišči najkrajšo pot med začetno točko s in končno točko t. 4 7 s 5 t 6 8 Matrika cen (sosednosti) je naslednja: 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 4 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 9 0 0 0 A = 0 5 0 0 0 6 0 0 0 0 6 6 0 0 0 4 0 0 0 9 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 9 0 0 0 0 0 0 9 0 Problem iskanja najkrajše poti, med začetno točko s in končno točko t lahko zapišemo kot transportni problem. 8

Sestavimo tabelo transportnega problema. V prvem stolpcu zapišemo vsa vozlišča razen konca poti, v prvi vrstici pa zapišemo vsa vozlišča razen začetka poti. Stroški na določeni relaciji so dolžina povezave na tej relaciji, če povezava obstaja. V nasprotnem primeru so stroški zelo veliko število M. Dolžina povezave med vozliščem in samim sabo je nič. Neusmerjenemu grafu pripada simetrična matrika. Usmerjenemu pa ne. 4 5 6 7 8 t OMEJITVE IZVOROV 4 M M M M M M s 0 M M 5 M M M M M M 0 6 M M M M M 0 M 6 9 M M M 5 M 0 M 6 M M 4 M 6 6 0 M M 4 5 M M 9 M M 0 M 5 M 6 M M M 6 M M 0 M 7 M M M M 4 5 M 0 9 8 OMEJITVE PONOROV Problem rešimo kot običajni transportni problem, kjer so omejitve izvorov in ponorov enake. Transportnemu problemu dodamo še pogoj, da so vse spremenljivke binarne vrednosti 0,. 9

Primer : Poišči najkrajšo pot med Koprom in Mariborom. Cestno omrežje je polni graf G, brez direktne povezave med Koprom in Mariborom, z vozlišči: Koper, Nova Gorica, Postojna, Ljubljana, Novo mesto, Celje, Slovenj Gradec, Maribor. S pomočjo spodnje tabele določi dolžino povezav grafa G, nato nariši graf in zapiši matriko povezav. Koper Nova Novo Slovenj Postojna Ljubljana Celje Gorica mesto Gradec Maribor Koper 0 85 60 09 7 8 - Nova Gorica 0 57 06 69 79 08 7 Postojna 0 54 7 7 56 75 Ljubljana 0 69 79 08 Novo mesto 0 9 40 45 Celje 0 49 5 Slovenj Gradec 0 74 Maribor 0 0

Primer : Spodnja slika predstavlja povezani neusmerjeni graf G. v v4 v7 v0 v v5 v9 v v6 v8 a. Sestavi matriko sosednosti A grafa G. b. Sestavi incidenčno matriko B grafa G. c. Preveri izrek B B T A D. Kjer je diagonalna matrika D tako dvi i j definirana di, j. 0 i j d. Določi število poti dolžine v danem grafu. Za vsako pot določi začetno in končno vozlišče. Elementi a i, j matrike A prikažejo število poti iz vozlišča i v vozlišče j dolžine. k V grafu reda n sta poljubna vozlišča dosegljiva, če obstaja pot P, ki jih povezuje. Dolžina poti (število povezav na tej poti) k zadošča naslednjemu pogoju: k n. n Torej matrika A A... A prikaže vsa dosegljiva vozlišča v grafu G.

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 7 Problem najkrajše povezave Primer : Poiščimo najkrajšo povezavo vseh točk grafa G. Graf je podan v spodnji sliki. Nalogo rešujte s pomočjo Solverja. A 6 B C 7 5 D 4 7 E 0 4 5 6 F 4 G

Formulacija linearnega problema: c.f.: min ij c ij ij pogoji: Vsako vozlišče mora biti krajišče vsaj ene povezave: j ij i Vsaka povezava se stika vsaj z eno drugo povezavo v grafu: l il ij k kj l,k i, j Pot mora vsebovati vsaj G ij 0, V povezav: ij ij V G -

Primer : Podan je plan okolice Fakultete za pomorstvo in promet, kjer želimo povezati označene stavbe z optičnim kablom tako, da bodo stroški postavitve omrežja minimalni. Cena postavitve optičnega kabla je premo sorazmerna z dolžino kabla. 4

Razdelilna omara Glavni vod Razdelilna omara 00 m 5

Narišite pripadajoči graf, kjer so vozlišča označene stavbe, povezave pa poti (ceste), ki jih povezujejo. Določite tudi dolžino vseh povezav in jo zapišite v grafu. 6

Zapišite matriko sosednosti. A = 7

Poiščite optimalno postavitev kabla in določite znesek skupnih stroškov. Postavitev narišite na plan okolice Fakultete za pomorstvo in promet. ) Ciljna funkcija: Skupni stroški: ) Omejitve-pogoji a) za vozlošča: b) za povezave: c) Eulerjev pogoj: 8

TRANSPORTNI PROBLEMI NA GRAFIH Primer Določite najkrajšo pot iz Moskve v Lizbono. Določite najkrajšo povezavo vseh prestolnic. 9

Primer Določite najkrajšo povezavo vseh vozlišč v grafu podan z matriko sosednosti A. A B C D E F G A 0 9 4 7 0 0 0 B 9 0 0 6 0 0 C 4 0 0 7 0 0 A= D 7 7 0 8 4 E 0 6 0 8 0 0 F 0 0 0 0 5 G 0 0 0 4 5 0 40

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 8 Problem trgovskega potnika Primer : Problem trgovskega potnika Hamiltonov cikel: vpet cikel ali sklenjen sprehod po grafu, pri katerem vsako vozlišče obiščemo natanko enkrat. Podano je distribucijsko omrežje nekega trgovskega potnika, ki ga predstavlja graf na sliki. Glavno skladišče trgovskega potnika se nahaja v eno vozlišče grafa, ostala vozlišča so trgovine, ki jih potnik oskrbuje. Cilj trgovskega potnika je določitev najkrajše poti (časovno, kilometrsko, ) iz glavnega skladišča, ki obišče vse trgovine in se konča ponovno v skladišče. Rešuj problem trgovskega potnika, ko se skladišče nahaja v vozlišču»«. Matrika cen (sosednosti) in graf sta naslednja: - A = - - - 4 4

. korak Matriko sosednosti nadomestimo z matriko, ki ima v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu vsaj eno ničlo. Če je matrika sosednosti že take oblike spustimo korak. V matriki cen, ki je nadgradnja matrike sosednosti minimalno vrednost. poiščemo v vsaki vrstici 4 min - - - 4 - Elementom v vrsticah te vrednosti po vrsti odštejemo. 4-0 0 0-0 0-0 4 0 0 - Isto naredimo za stolpce (če je potrebno). Tako vsaka vrstica in vsak stolpec vsebuje vsaj eno ničlo.. korak Ocenimo ničle. Ocena ničle je vsota min vrednosti v pripadajoči vrstici in stolpcu. 4-00 00 00-00 00-00 4 00 00 -. korak Kritična povezava je ničla z maksimalno oceno (pripada rešitvi, če jih je več izberemo eno), jo odstranimo iz grafa, obratni povezavi dodelimo vrednost. Ničle predstavijo dopustno rešitev, če je podmnožica teh povezav rešitev, je to optimalna rešitev. Povezava e, je kritična. Izberemo povezavo e, in jo odstranimo iz matrike, povezavi e, dodelimo vrednost. 4 00 00-00 4 00-4. korak V tako dobljeni matriki ponovimo postopek. Skupnih je V iteracij. Vsaka vrstica in vsaki stolpec vsebuje najmanj eno ničlo zato lahko opustimo začetni korak in direktno ocenimo ničle. 4

4 0 0-00 4 04 - Povezava e 4, je kritična. Jo odstranimo iz matrike, povezavi e, 4 (če obstaja) dodelimo vrednost. 5. korak Vsaka vrstica in vsaki stolpec vsebuje najmanj eno ničlo zato lahko opustimo začetni korak in direktno ocenimo ničle. 4 0 Povezava e, je kritična. Jo odstranimo iz matrike, povezavi, dodelimo vrednost. 6. korak Povezava e, 4 je kritična. 4 0 0 e (če obstaja) 4 4

Opomba Problem trgovskega potnika je NP, kar pomeni, da iskanje rešitve v večjih grafih je zelo težko. Predstavljena metoda lahko določi veje kritične poti, ki niso povezane. V tem primeru določimo optimalno rešitev tako, da:. kritični povezavi dodelimo neskončno veliko vrednost, Kritična povezava. vrstici in stolpcu, ki vsebujeta nasprotno povezavo dodelimo neskončno veliko vrednost. Nasprotna povezava 44

Formulacija linearnega problema: c.f.: min ij c ij ij pogoji: Vsako vozlišče je obiskano natanko enkrat (prihod): N i j, ij,...,n Vsako vozlišče je obiskano natanko enkrat (odhod): N j i, ij,...,n Cikel je minimalne dolžine in Hamiltonov: ij 0, u 0 j ui u N N za vsak par i j;i, j,,..., N j ij Oznake: N število vozlišč v grafu d i, j ; i j c ij M ; i j M je poljubno veliko število 45

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 9 Problem maksimalne propustnosti in problem enostavnega nahrbtnika Primer : Problem maksimalne propustnosti (izvor-tranzitni vozli-ponor) Dana je transportna mreža (graf) z izvornim vozliščem v in ponornim vozliščem v n 5, vsa ostala vozlišča so tranzitivna. Graf je usmerjeni, kar pomeni, da promet po določeni povezavi poteka samo v določeni smeri. Povezave imajo tudi določeno propustnost f ij, ki je ne smemo presegati. Določi maksimalno propustnost naslednjega grafa. 0 550 50 00 000 600 50 5 700 4 400 46

Formulacija linearnega problema: c.f.: ma povratna zanka ponor- izvor pogoji: Vsaka povezava ima določeno propustnost: 0 ij f ij i, j Vsako vozlišče zadošča pogoju:»toliko v =toliko iz«j ji j ij 0 i R ij 47

Primer : Problem enostavnega nahrbtnika (Knapsack Problem) Formulacija linearnega problema: c.f.: N ma c i i i pogoji: N i a b i i ij 0, Oznake: b velikost nahrbtnika a i - velikost predmeta i N število predmetov c - učinek predmeta i i 48

Na razpolago imamo 7 škatlic različnih velikosti a i. Vsaka škatlica vsebuje določeno količino denarja c i. Škatlice želimo spraviti v varovano skladišče določene prostornine b. Poiščimo rešitev problema, tako da bo na varnem čim več denarja. Vseh škatlic ni mogoče spraviti v skladišče. b = 00 a i c i 40 40 50 80 0 0 4 0 0 5 0 4 6 40 0 7 0 60 Rešitev poiščemo, tako da škatlice rangiramo od najboljše do najslabše. Nato jih spravimo v skladišče dokler ne zapolnimo vsega prostora. a i c i c i / a i rang 40 40 50 80 8/5. ostanek prostora 0 0 0 / 7 4 0 0. ostanek prostora 0 5 0 4 /5 6 4. ostanek prostora 0 6 40 0 / 5 7 0 60. ostanek prostora 70 49

Primer : Podjetje AA razmišlja o novi investiciji. Zato analizira dobljene ponudbe: Ponudba Stroški 5000 Vrednost 6000 Ponudba Stroški 7000 Vrednost 000 Ponudba Stroški 4000 Vrednost 000 Ponudba4 Stroški 000 Vrednost 8000 Podjetje ima na razpolago 4000 za investicije. Kako naj podjetje investira svoj denar, tako da vrednot dobička maksimalna. a i c i c i / a i rang 5000 6000, 7000 000,4 (4 delno) 4000 000 ( delno) 4 000 8000,67 4 8000 (44000 ) 6000 (486 ) 4000 Prikazana rešitev ni optimalna saj ne moremo delno investirat v projekt. Optimalna rešitev je, investicija je vredna 4000. 4 50

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja 0 Primer : Letalski prevoznik želi vpeljati letalsko povezavo med Ljubljano in Londonom s postanki v Mi, P ali A. Določite maksimalno število možnih tedenskih letov. let Dopustno število tedenskih letov LJ-MI MI-P MI-A P-L A-L Rešitev: Primer : Dana je usmerjena transportna mreža z izvornim vozliščem v in ponornim vozliščem v 6, vsa ostala vozlišča so tranzitivna. 5 8 6 7 5 8 Določite maksimalno propustnost omrežja. 5

Primer : Transportni problem je podan z naslednjo tabelo: Min P P P Kapaciteta izvorov I 5 4 7 I 5 6 6 Kapaciteta 4 6 ponorov f. Sestavite matematično formulacijo problema. g. Določite grafično rešitev problema v ravnini. h. Določite rešitev transportnega problema s Solverjem. Primer 4: Dana je matrika sosednosti transportnega omrežja javnega potniškega prometa nekega mesta. V V V V4 V5 V6 V 6 4 0 0 V 4 0 0 V 0 5 V4 4 0 V5 V6 i. Narišite graf, ki predstavlja omrežje javnega potniškega prometa. ii. Poiščite najkrajšo pot med V in V6. iii. Poiščite najkrajšo povezavo v grafu. 5

Vaje predstavljene v tem dokumentu so originalne oziroma prilagoditev obstoječih vaj, objavljenih v naslednjih knjigah: Rešeni problemi linearnega programiranja (Alojzij Vadnal. MK 97) Linearna algebra. Linearno programiranje (Jože Grasselli, Alojzij Vadnal. DMFA 986) Schaum's Outline of Operations Research (Richard Bronson, Govindasami Naadimuthu) Operations Research Applications and Algorithms (Wayne L. Winston) 5