UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHEL REMI
UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ROUTHOV IZREK Diplomsko delo Mentor: dr Matija ENELJ Somentor: dr Tadej STRČIČ Kandidatka: Mihaela REMI Ljubljana, junij, 2016
ZHVL Kdor ve, da nič ne ve, je moder Kdor ve, česa ne ve, lahko vpraša In kdor ve, kje bo dobil odgovor, ga lahko najde (lbert Einstein) Zahvala mentorju Matiji enclju in somentorju Tadeju Starčiču za vse nasvete in usmerjanje pri nastajanju diplomskega dela Hvala Mojci za prevod povzetka Posebna hvala še Sebastijanu, ki mi je nesebično stal ob strani in me podpiral Vsem iskreno hvala
Program diplomskega dela Obravnavajte Routhov izrek in njegovo posplošitev Osnovni vir naj predstavlja članek: enyi, Ćurgus, generalization of Routh s triangle theorem, 2012 Dostopno na: http://arxivorg/pdf/11124813pdf prof dr Matija encelj
POVZETEK V elementarni geometriji je eden najpomembnejših izrekov o geometriji trikotnikov evov izrek evov izrek podaja kriterij, kdaj množica treh evovih premic, po ena skozi vsako oglišče in točko nasprotiležne stranice danega trikotnika, tvori šop Routhov izrek je neke vrste posplošitev evovega izreka, saj v primeru, da dane evove premice ne tvorijo šopa, poda razmerje ploščin danega trikotnika in trikotnika, ki ga dobimo s presečišči evovih premic V diplomskem delu predstavimo in dokažemo Routhov izrek s pomočjo Menelajevega izreka V zadnjem delu diplomskega dela pa predstavimo še posplošitev Routhovega izreka za primer, ko imamo šest evovih premic, po en par premic skozi vsako oglišče danega trikotnika Ključne besede: trikotnik, evov izrek, Routhov izrek, ploščina trikotnika, Menelajev izrek Math Subj lass (2010): 0155, 97G30
STRT The eva s theorem is one of the most important theorems in elementary geometry This theorem provides criteria under which a set of three eva s line segments, one through each vertex and a point of opposite lying side of the given triangle are concurrent The Routh s theorem is a kind of generalization of the eva s theorem When the given eva s lines are not concurrent, the Routh s theorem gives the ratio between the areas of the given triangle and the triangle, which we get with the intersection of the eva s lines In this work we present and prove the Routh s theorem with the help of the Menelauses theorem In the last part of this work we present the generalization of the Routh s theorem to the case when six eva s line segments are given, one pair through each vertex of the given triangle Keywords: triangle, eva s theorem, Routh s theorem, area of triangle, Menelauses theorem Math Subj lass (2010): 0155, 97G30
Kazalo Uvod 1 1 Osnovni pojmi ravninske geometrije 3 11 ksiomi in definicije 4 12 Izreki 12 13 Ploščina 21 14 evov in Menelajev izrek 24 2 Routhov izrek in posplošitve 38 21 Routhov izrek 38 22 Routhov izrek v posebnih primerih 41 23 Sorodni izreki 42 24 Posplošitev Routhovega izreka 46 3 Zaključek 58 Literatura 59 viii
Uvod V diplomskem delu je obravnavan Routhov izrek, ki poda razmerje med ploščino danega trikotnika in trikotnika, ki ga dobimo, če oglišča danega trikotnika povežemo z izbranimi točkami na nasproti ležečih stranicah Poseben poudarek je namenjen tudi njegovi posplošitvi, ko vsako oglišče povežemo s po dvema točkama na nasproti ležečih stranicah trikotnika V prvem poglavju bodo podani aksiomi, definicije in izreki, s pomočjo katerih si bomo pomagali pri dokazovanju Routhovega izreka Drugo poglavje vsebuje Routhov izrek in njegove posledice V zadnjem delu tega poglavja pa bomo predstavili še posplošitev Routhovega izreka V pomoč k lažjemu razumevanju so ob definicijah, izrekih in dokazih dodane slike Routhov izrek je bil prvič omenjen leta 1891 v Treatise on nalytical Statics with Numerous Examples v zvezku 1, hapter IV, na strani 89 Izrek se imenuje po angleškem matematiku Edwardu Routhu (Slika 1), ki je deloval sredi 19 stoletja Edward John Routh [1] se je rodil 20 januarja leta 1831 v Quebecu v Kanadi in umrl 7 junija leta 1907 v ambridgu v ngliji Slika 1: Edward Routh 1
2 Routh se je rodil angleškemu očetu Randolphu Ishamu Routhu (1782-1858) in francosko-kanadski materi, njegovi drugi ženi, Marie Louise Taschereau (1810-1891) Pri 11 letih se je preselil v nglijo in bil vpisan na University ollege School Kasneje po pridobitvi štipendije leta 1847 se je šolal na University ollege v Londonu Tam je študiral pod vodstvom ugustus De Morgana Ko je Routh diplomiral, je začel delati kot osebni matematični učitelj v ambridgu Za svoje delo je Routh prejel številne nagrade Leta 1854 je prejel Smithovo nagrado, leta 1856 je bil med ustanovnimi člani London Mathematical Society, leta 1866 je bil izvoljen v članstvo Royal stronomical Society ter bil leta 1872 sprejet v Royal Society, leta 1877 pa je prejel še damsovo nagrado, leta 1883 je postal častni član v Peterhousu S Henryjem roughamom je sodeloval pri delu nalytical View of Sir Isaac Newton s Principia (1855) Routh je objavil številne razprave in učbenik Dynamics of a System of Rigid odies (1860, 1897), v katerem je opredelil in sistematiziral mehanično sodobno matematiko Poleg intenzivnega dela s poučevanjem in pisanjem je imel tudi viden vpliv pri predstavitvi matematične fizike
Poglavje 1 OSNOVNI POJMI RVNINSKE GEOMETRIJE Geometrija [2] (beseda izvira iz grških besed Gaia - Zemlja in metria - merjenje) je ena najstarejših vej matematike, ki zajema proučevanje točk, črt, kotov in raznih oblik, njihovih odnosov in lastnosti Geometrija je imela v starih kulturah izredno velik pomen Človek jo je razvil zaradi lažjega razumevanja prostora Uporabljali so jo v vsakdanjem življenju, pri preživetju, v astronomiji, pri pomorstvu in v gradbeništvu Njene korenine segajo v čas več tisoč let pred našim štetjem, v obdobje starega Egipta zaradi rednega poplavljanja reke Nil, v Mezopotamiji zaradi poplavljanja reke Ind in poplavljanja rek na Kitajskem potrebno na novo določati meje zemeljskih površin Za to je bilo potrebno natančno meriti, risati in računati Razvoj geometrije so nadaljevali stari Grki V 3 st pr n št je bilo že toliko gradiva in različnih metod, da so se pojavili prvi poizkusi združitve geometrijskih znanj v enotni sistem Za očeta sodobne matematične geometrije velja Evklid (Slika 2) iz leksandrije Slika 2: Evklid 3
11 ksiomi in definicije 4 Evklid je poskušal definirati vse pojme, danes pa vemo, da se tega ne da doseči Privzeli bomo, da med osnovne nedefinirane pojme spadajo točka, premica, razdalja, ravnina, velikost kota in ploščina Ostale pojme bomo potemtakem definirali z nedefiniranimi in s prej definiranimi pojmi Točke bomo označevali z velikimi tiskanimi črkami z začetka abecede, premice pa z malimi tiskanimi črkami s sredine abecede V naslednjih treh razdelkih bomo zapisali nekaj aksiomov, definicij in izrekov, ki so potrebni za predstavitev osrednje teme tega diplomskega dela Teoretični uvod sledi aksiomatskemu sistemu po viru [3] 11 ksiomi in definicije ksiomi so trditve, ki jih sprejemamo brez dokaza in predstavljajo izhodišče Definicija pa je izjava, ki razlaga pomen besede ali besedne zveze in je natančna ter jedrnata Mi bomo sledili sistemu, ki ga je razvil George David irkhoff leta 1932, ko je v aksiome geometrije vpeljal realna števila in merjenje ksiom 111 (ksiom o obstoju točke) Točke tvorijo neprazno množico, ki ima več kot en element Definicija 112 Množico vseh točk imenujemo ravnina in jo označimo s P ksiom 113 (ksiom incidence) Vsaka premica je množica točk Za vsak par točk in obstaja ena sama premica p, da je p in p Dogovorimo se, da bomo premico, na kateri ležita različni točki in, označevali z S tem zapisom bomo poudarili, da je premica določena s točno določenima točkama Definicija 114 Točka leži na premici p, če p Definicija 115 Dve različni premici p in m sta vzporedni ali paralelni, če se ne sekata S simboli to zapišemo: p m Na tem mestu v našo obravnavo geometrije vpeljemo realna števila R
11 ksiomi in definicije 5 ksiom 116 (ksiom ravnila) Za vsaki točki in obstaja realno število, ki ga imenujemo razdalja od do Označimo jo z Za vsako premico p obstaja taka bijekcija iz p na R, da za poljubni točki, p, ki se s to bijekcijo preslikata v x oziroma y, velja = x y Definicija 117 Naj bodo, in različne točke Točka je med točkama in To z znakom * zapišemo, če je in velja + = (Slika 3) Slika 3: Kolinearne točke oziroma vmesnost točk na premici Definicija 118 (a) Daljica je definirana z enakostjo = {, } {; } (b) Poltrak je definiran z enakostjo = {; } Slika 4: Daljica, poltrak, premica Definicija 119 Dolžina daljice je razdalja ali med točkama in Definicija 1110 Daljici in D sta skladni, če je = D Skladnost dveh daljic označimo s simbolom: = D Definicija 1111 Točki in sta krajišči daljice, vse ostale točke te daljice pa so notranje točke te daljice Točka je krajišče poltraka
11 ksiomi in definicije 6 Definicija 1112 Točki in naj bosta različni točki Točka M je središče daljice, če je M med in in je M = M Z naslednjim aksiomom bomo zagotovili, da premica preseka ravnino na dva ločena dela Na ta način bomo lahko definirali kot ksiom 1113 (ksiom o separaciji ravnine) Za vsako premico p velja, da točke ki niso na njej, tvorijo dve neprazni disjunktni množici H 1 in H 2, ki jima pravimo polravnini omejeni s p, za kateri velja: 1 H 1 in H 2 sta konveksni množici 2 Če je P H 1 in Q H 2, daljica P Q preseka premico p O polravninah H 1 in H 2, na kateri razdeli ravnino P premica p, lahko rečemo tole: H 1 H 2 = P\p, H 1 H 2 =, H 1 in H 2, če je H 1 in H 1, potem velja H 1 in p =, če je H 2 in H 2, potem velja H 2 in p =, če je H 1 in H 2, potem velja p Definicija 1114 Naj točki in ne ležita na premici p Če sta točki v isti polravnini, rečemo, da sta točki na isti strani premice p, sicer sta točki na nasprotnih straneh premice p Definicija 1115 Poltraka in, ki imata skupno krajišče, sta si nasprotna poltraka ali dopolnilna poltraka (Slika 5a) natanko tedaj, ko nista enaka, a velja = Sicer sta si nenasprotna (Slika 5b) Definicija 1116 Kot je unija dveh nenasprotnih poltrakov in, ki imata skupno krajišče Kot označimo s simbolom ali Točka je vrh kota, poltraka in pa sta kraka kota
11 ksiomi in definicije 7 (a) nasprotna poltraka (b) nenasprotna poltraka Slika 5 Slika 6: Notranjost kota Definicija 1117 Naj bodo, in take točke, da si poltraka in nista nasprotna Notranjost kota definiramo takole: točka P je v notranjosti kota, če je na isti strani premice kot točka in na isti strani premice kot točka (Slika 6) Definicija 1118 Točke, in so kolinearne, če obstaja premica p, na kateri ležijo točke, in (Slika 3) Če taka premica p ne obstaja, so točke, in nekolinearne Definicija 1119 Naj bodo, in tri nekolinearne točke Trikotnik je unija daljic, = Točkam,, rečemo oglišča trikotnika, daljicam,, pa stranice trikotnika (Slika 7) b a Slika 7: Trikotnik c
11 ksiomi in definicije 8 V trikotniku označujemo daljico z oznako a, daljiico z oznako b in daljico z oznako c Trikotnike razdelimo glede na dolžine stranic (Slika 8): (a) enakostranični (vse tri stranice enako dolge), (b) enakokraki (dve stranici enako dolgi), (c) raznostranični (vse stranice različno dolge) a a a a b a a (a) enakostranični c (b) enakokraki c (c) raznostranični Slika 8: Trikotniki glede na dolžino stranic Definicija 1120 Poltrak D leži med poltrakoma in, če je točka D v notranjosti kota (Slika 9) D Slika 9 ksiom 1121 (ksiom o kotomeru) Za vsak kot obstaja realno število µ( ), ki mu rečemo velikost kota, in zanj veljajo naslednje lastnosti: 1 0 µ( ) < 180 za vsak kot 2 µ( ) = 0 natanko tedaj, ko = 3 (konstrukcija kota) Za vsako realno število r, 0 < r < 180, in za vsako polravnini H, ki jo omejuje premica, obstaja natanko en tak poltrak E, da je E H in µ( E) = r
11 ksiomi in definicije 9 4 (vsota kotov) Če leži poltrak D med poltrakoma in, velja µ( ) = µ( D) + µ( D) Podobno kot smo definirali skladnost daljic definiramo tudi skladnost kotov Definicija 1122 Kota in EDF sta skladna, če za neko realno število µ, ki pomeni velikost kota, velja µ( ) = µ( EDF ) Ločimo tri vrste kotov Definicija 1123 Kot je: a) pravi kot, če je = 90, b) ostri kot, če je µ( ) < 90 in c) topi kot, če je µ( ) > 90 V geometriji ponavadi kote merimo v kotnih stopinjah, kar označimo s simbolom Definicija 1124 Naj bodo, in tri nekolinearne točke Poltrak D je razpolovitev kota, če je točka D v notranjosti kota in velja µ( D) = µ( D) Premici D rečemo tudi simetrala kota (Slika 10) D Slika 10: Simetrala kota Ni težko videti, da je simetrala kota enolično določena Definicija 1125 Premici p in m sta pravokotni, če obstajajo take točke p m, p, m, da je kot pravi kot (Slika 11) To označimo s simbolom p m Definicija 1126 Naj bosta in različni točki Simetrala daljice je premica p, ki gre skozi središče daljice in p (Slika 12)
11 ksiomi in definicije 10 m p Slika 11: Pravokotni premici p Slika 12: Simetrala daljice Ni težko videti, da je simetrala daljice enolično določena Povedali smo že, kaj je skladnost daljic in kaj je skladnost kotov, zdaj pa bomo skladnost razširili še na trikotnike Definicija 1127 Trikotnika sta skladna, če obstaja taka bijekcija med množicama oglišč prvega in drugega trikotnika, pri kateri se vsaka stranica preslika v skladno stranico in vsak kot v skladni kot ksiom 1128 (ksiom SKS) Če za trikotnika in DEF velja = DE, = DEF in = EF, potem je = DEF (Slika 13) F E D Slika 13: Skladna trikotnika - SKS V zapisu SKS pomeni S kratico za stranico in K kratico za kot Zadostni pogoji, ki so potrebni, da sta dva trikotnika skladna, so zapisani v naslednjem razdelku pri skladnostnih izrekih 129
11 ksiomi in definicije 11 Trditev 1129 Za vsako premico p in vsako zunanjo točko obstaja natanko ena premica n, da je n in n p Definicija 1130 Naj bo p premica in točka, ki ni na p Naj bo n pravokotnica na p skozi točko Tedaj je razdalja d(, p) od točke do premice p enaka dolžini daljice s krajiščema in n p (Slika 14) p n Slika 14: Razdalja točke od premice po pravokotnici Definicija 1131 Daljici D od oglišča trikotnika do presečišča D pravokotnice iz na premico rečemo višina na stranico (Slika 15) v D Slika 15: Višina v trikotniku Tudi višina je enolično določena ksiom 1132 (ksiom o vzporednici) Za poljubno premico p in poljubno točko, ki ne leži na p, obstaja natanko ena premica m, da točka leži na m in je m p Definicija 1133 Premici r, ki seka dve premici p in m v različnih točkah in, rečemo prečnica (Slika 16) Ob tem nastane osem kotov z vrhovoma in ob prečnici Ločimo notranje in zunanje kote Notranja (ali zunanja) kota z različnima vrhoma, ki lečita na isti strani prečnice imenujemo nasprotna kota, če pa ležita na različnih straneh prečnice, jima rečemo izmenična kota
12 Izreki 12 p m r Slika 16: Prečnica Definicija 1134 Naj bodo,, in D take točke, da nobene tri od njih niso kolinearne in poljubni dve od daljic,, D in D ali nimata skupne točke ali pa imata skupno le krajišče Tedaj točke,, in D določajo štirikotnik, ki je unija daljic D = D D Tem daljicam rečemo stranice štirikotnika, točkam,,, D pa oglišča tega štirikotnika Stranicama in D rečemo nasprotni stranici, prav tako tudi stranicama in D Definicija 1135 in D Štirikotniku D pravimo paralelogram, če velja D Definicija 1136 Trikotnika in DEF sta si podobna, če velja, = DEF, = F DE in = EF D Podobnost trikotnikov in DEF bomo označevali s simbolom: DEF Zapisani aksiomi in definicije predstavljajo izhodišče zapisanim izrekom v naslednjem razdelku 12 Izreki Izreki so trditve, ki so sestavljene iz že znane predpostavke in nove lastnosti, ki pa jo je potrebno dokazati Pomagali si bomo z zapisanimi aksiomi in definicijami iz prejšnjega razdelka Večina izrekov bo dokazanih, nekatere dokaze pa bomo izpustili Na osnovi ksioma 116 obstaja funkcija razdalje med poljubnimi pari točk Oglejmo si temeljne lastnosti funkcije razdalje Izrek 121 Za poljubni točki in velja: 1 =
12 Izreki 13 2 0 3 ( = 0) ( = ) Dokaz: Najprej pokažimo, da obstaja premica p, na kateri ležita točki in Če, potem po ksiomu 113 obstaja natanko ena premica p, ki gre skozi dani točki Če pa je =, potem pa po ksiomu 111 obstaja neka druga točka in skozi točki in gre natanko ena premica p Po ksiomu ravnila 116 obstaja bijekcija med točkami premice p in točkami na R Naj se točki in preslikata v realni števili x in y Tedaj velja = x y in = y x S pomočje algebre vemo x y = y x, torej velja = Poleg tega iz algebre še vemo, da x y 0, torej je res 0 S tem smo dokazali prvi dve točki izreka Naj bo = 0, tedaj je x y = 0, iz česar v algebri sledi, da x = y Torej je potemtakem = In še obratno: naj bo =, tedaj je tudi x = y in zato x y = 0 in = 0 Tako smo dokazali obe strani ekvivalence v tretji točki izreka Posledica 122 Naj bodo,, kolinearne točke Tedaj velja Dokaz: Naj točka leži na Če velja, po Definiciji 117 sledi + = Zaradi = in = sledi tudi + = in zato nalogno dokažemo tudi obratno smer ekvivalence V Kartezijevi ravnini [4] imamo točke podane z urejenim parom koordinat Pravokotni koordinatni sistem v Kartezijevi ravnini sestavljata dve pravokotni osi Posebnost koordinatnega sistema je, da lahko množice točk opišemo z zvezami med koordinatami točk Idejo za pravokotni koordinatni sistem, ki ga imenujemo tudi kartezični koordinatni sistem, je dobil Rene Descartes (1596-1650) Svoje ideje je predstavil v knjigi Geometrija Z R 2 bomo označevali koordinatno ali Kartezijevo ravnino, v kateri so vse točke urejeni pari To zapišemo kot (x, y), kjer x, y R Dana realna števila a, b in c, od katerih vsaj en od a ali b ni enak 0, določajo premico p, ki jo sestavljajo vse točke (x, y), za katere velja enačba ax + by + c = 0
12 Izreki 14 2 1 Enačba premice y = 2 3 x 2 2 1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 Slika 17: Premica Točka leži na premici, če njene koordinate ustrezajo enačbi premice Prejšnji zapis enačbe premice imenujemo implicitna oblika zapisa, ki je primerna za razreševanje sistema enačb Pogosto pa za premico uporabljamo splošni zapis y = kx + n Razdalja med dvema točkama podanima s koordinatami je definirana s predpisom d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 za točko (x 1, y 1 ) in točko (x 2, y 2 ) (Slika 17) Izrek 123 (Paschev aksiom) Naj bodo,, poljubne tri nekolinearne točke, ki tvorijo trikotnik in p poljubna premica, ki ne vsebuje nobene od navedenih točk Če premica p seka daljico, potem seka še vsaj eno od daljic, (Slika 18) p H 1 H2 Slika 18: Paschev aksiom
12 Izreki 15 Dokaz: Naj bo trikotnik in p taka premica, ki preseka in na njej ne leži nobeno oglišče trikotnika Po ksiomu o separaciji ravnine 1113 naj bosta H 1 in H 2 dve polravnini omejeni s p Točki in ne ležita v isti polravnini Točka leži v eni ali v drugi polravnini Če H 2, potem p Če H 1, potem p Torej mora premica p presekati tudi ali pa Izrek 124 Naj bo p premica, točka na njej in točka izven nje Če je točka med točkama in, sta in na isti strani premice p Dokaz: Naj bodo p,, in kot v predpostavki izreka Dokazati moramo p = Najprej opazimo, da ni med in, saj ni na daljici Premici p in imata skupno le eno točko in to je, ki pa ni v Torej res p = Posledica 125 (Z-izrek) Naj bo p premica, in D pa različni točki na p sta in E točki na različnih straneh premice p, je DE = (Slika 19) Če p D E Slika 19 Dokaz: Razen krajišč poltrakov vse točke poltraka ležijo na eni strani premice p, vse točke poltraka DE pa na drugi strani Po ksiomu o separaciji ravnine 1113 sta obe strani premice disjunktni, torej bi ta poltraka lahko imela skupno le krajišče, to pa ni v skladu s predpostavko izreka Izrek 126 Naj bodo, in nekolinearne točke in naj bo D točka na premici Tedaj je točka D med točkama in natanko tedaj, ko je poltrak D med poltrakoma in (Slika 20) Dokaz: Naj bodo točke,, in D kot v predpostavki izreka Najprej privzemimo, da je D med in Tedaj sta in D na isti strani premice in podobno točki in D na isti strani premice Torej je D v notranjosti kota in s tem
12 Izreki 16 D? D Slika 20 poltrak D med poltrakoma in S tem smo dokazali eno implikacijo ( ) Pokažimo še drugo implikacijo ( ) Naj bo poltrak D med poltrakoma in Tedaj je D v notranjosti kota, torej sta in D na isti strani premice, zato ni na daljici D Podobno dokažemo, da ni na daljici D Torej so, in D tri take različne kolinearne točke, da ni med in D in ni med in D Torej ostane le ena možnost, da je D med točkama in Izrek 127 (Izrek o prečki) Če je trikotnik in je D točka v notranjosti kota, potem obstaja točka G D (Slika 21) G? D Slika 21 Dokaz: Naj bosta trikotnik in točka D kot v predpostavki izreka Izberimo točki E in F, da bo E in F D (to lahko naredimo zaradi ksioma ravnila 116) in naj bo p = D Ker je D v notranjosti kota, niti niti nista na p Zato lahko uporabimo Paschev aksiom 123 za trikotnik E, da ugotovimo, da mora p presekati ali E ali (Slika 22)
12 Izreki 17 D E F p Slika 22 Dokaz bomo naredili takole: pokazali bomo, da poltrak D preseka ali E ali (ne pa njemu nasprotni poltrak F ), nato pa pokazali tudi da, D ne preseka E Pokazati moramo torej: F E =, F =, D E =, kar bomo vse pokazali z uporabo Z-izreka 125 Ker je vmes med F in D, morata F in D ležati na različnih straneh Ker pa je D v notranjosti kota, sta in D na isti strani, torej sta F in na nasprotnih straneh Po Z-izreku 125 je tedaj F E = Ker je E E, dobimo F E = Pokazali smo, da sta in F na nasprotnih straneh Odtod sledi spet po Z-izreku 125, da je F =, zaradi dobimo torej F = Ker je med E in, sta E in na različnih straneh premice (po ksiomu o separaciji ravnine 1113) Ker je D v notranjosti kota, pa sta D in na isti strani, torej sta E in D na različnih straneh Torej po Z-izreku 125 spet D E = in zaradi E E dobimo D E =, s čimer smo zaključili naš dokaz Izrek 128 Za vsako premico p in vsako zunanjo točko obstaja natanko ena premica n, da je n in n p Dokaz je enostaven in ga bomo izpustili
12 Izreki 18 Na tem mestu bomo zgolj omenili in zapisali vse štiri skladnostne izreke trikotnikov brez dokazov Te izreke krajše označujemo s kraticami, kjer S pomeni stranico, K pa pomeni kot Izrek 129 (Izreki skladnosti trikotnikov) 1 skladnostni izrek SSS: Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh treh stranicah 2 skladnostni izrek SKS: Če se trikotnika ujemata v dveh stranicah in v kotu, ki ga stranici oklepata, sta skladna 3 skladnostni izrek KSK: Če se trikotnika ujemata v eni stranici in v dveh kotih ob tej stranici, sta skladna 4 skladnostni izrek SSK: Če se trikotnika ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti največje stranice, sta skladna Izrek 1210 Vsota notranjih kotov trikotnika je 180 α γ β α β Slika 23 Trikotnike razdelimo tudi glede na velikost največjega notranjega kota (Slika 24): (a) topokotni (en notranji kot meri več kot 90 ), (b) pravokotni (en notranji kot je enak 90 ), (c) ostrokotni (vsi trije koti merijo manj kot 90 ) (a) topokotni (b) pravokotni (c) ostrokotni Slika 24: Trikotniki glede na velikost notranjega kota
12 Izreki 19 Izrek 1211 Naj bosta p in m premici, ki ju seče prečnica r tako, da sta izmenična kota skladna Tedaj sta premici p in m vzporedni Torej premici, ki ju seka neka prečnica, sta vzporedni natanko tedaj, ko sta njuna izmenična kota skladna Ni težko videti, da velja Izrek 1210 Izrek 1212 (Izrek o vzporedni projekciji) Naj bodo l, m in n tri paroma ralične vzporedne premice Naj bo t prečnica, ki seka premice l, m in n v točkah, oziroma (v tem vrstnem redu) in naj bo t tudi prečnica na l, m in n, ki seka te premice v točkah, oziroma (v tem vrstnem redu) Naj bo Tedaj velja = Predstavljamo si, da premico t projiciramo vzdolž vzporednice l, m in n na premico t Pri tem se preslika na in na (Slika 25) Pri taki projekciji se ohranjajo razmerja razdalj (ne pa nujno razdalje) Za ta izrek potrebujemo tranzitivnost vzporednosti premic, kar nam zagotavlja evklidski Izrek o vzporednici 1132 Najprej dokažimo poseben primer tega izreka Lema 1213 Naj bodo l, m in n tri paroma ralične vzporedne premice Naj bo t prečnica, ki seka premice l, m in n v točkah, oziroma (v tem vrstnem redu) in naj bo t tudi prečnica na l, m in n, ki seka te premice v točkah, oziroma (v tem vrstnem redu) Naj bo Če je =, je tudi = Dokaz: Naj bo t vzporednica premici t skozi točko in t vzporednica premici t skozi točko Naj bo = m t in = n t l m t t t t n Slika 25 Če je =, je = in = Podobno velja: če je =, tedaj = in zato = Če pa in, velja =
12 Izreki 20 in =, saj gre za vzporedne stranice paralelogramov V vsakem od teh primerov dobimo skupaj s predpostavko = skladnost = Po tranzitivnosti vzporednosti velja t t ali pa t = t Zaradi vzporednosti premic velja za kote = in = Po KSK dobimo =, odtod pa = Sledi dokaz Izreka 1212 Dokaz: Najprej dokažimo poseben primer, ko je / Q, naj bo / = p/q, kjer sta p, q N Razdelimo daljico na q enakih delov, tj po ksiomu ravnila 116 lahko najdemo točke 0 =, 1,, q = t, da je i i+1 = /q za vsak i = 0,, q 1 Pri tem je p = Za vsak i, i = 1,, q, obstaja premica l i : i l i in l i l Naj bo 0 = in i = l i t (po izreku namreč l seka t ) Po prejšnji Lemi 1213 je i i+1 = /q Ker je l q = m in l q = n, je p = in q = Odtod sledi = 0 p 0 q = 0 p 0 q = p q in smo izrek dokazali v primeru racionalnega razmerja Obravnavajmo še splošni primer Naj bo / = x in / = y Da je x = y bomo pokazali tako, da bomo pokazali, da je vsako racionalno število, ki je manjše od x, manjše tudi od y, in obratno Naj bo 0 < r < x in r Q Izberimo točko D t, da je D/ = r Naj bo m premica, za katero velja D m, m m in naj bo D = m t Potem velja D / = r Ker so premice l, m in m vzporedne, velja D in zato velja tudi r = D / < / = y nalogno lahko pokažemo, da za vsako racionalno število r, za katero velja 0 < r < y, velja tudi r < x To pa pomeni, da je x = y Izrek 1214 (Izrek o podobnih trikotnikih) velja DEF, velja enakost Če za trikotnika in DEF = DE DF Dokaz: Če je = DE, je = DEF (po KSK) in takoj imamo rezultat Sicer pa po potrebi zamenjamo oznake, da bo veljalo > DE Naj bo točka na taka, da velja = DE Naj bo m premica skozi, ki je vzporedna premici l = in naj bo presečišče premice m z daljico (presečišče obstaja
13 Ploščina 21 F n m l D E Slika 26 po Paschevem aksiomu 123) Tedaj = DEF Naj bo n premica skozi, ki je vzporednica premicama l in m (Slika 26) Če uporabimo Izrek o vzporedni projekciji 1212 za premice l, m in n, dobimo = in od tod od tod pa takoj DE = DF, DE DF = Posledica 1215 Če za trikotnika in DEF velja DEF, obstaja tak r > 0, da velja DE = r, DF = r in EF = r Torej istoležne stranice v podobnih trikotnikih se razlikujejo za konstantni faktor 13 PLOŠČIN Vpeljimo še aksiom ploščine Definicija 131 Naj bo trikotnik, katerega trikotno področje sestavljajo stranice trikotnika in notranje točke (Slika 27) Trikotniku prirejeno trikotno področje bomo označevali s T
13 Ploščina 22 T Slika 27 Slika 28 Definicija 132 Poligonalno področje je unija končno mnogo trikotnih področij T 1, T 2, T 3 T n, da je presek T i T j poljubnih dveh teh trikotnih področij ali prazen ali pa je vsebovan v neki stranici od T i in v neki stranici od T j (Slika 28) ksiom 133 (Nevtralni aksiom ploščine) Vsakemu poligonalnemu področju T je prirejeno tako pozitivno realno število S(T ), ki mu rečemo ploščina področja, da veljata lastnosti: 1 Če sta dva trikotnika skladna, imata njima prirejeni trikotni področji isto ploščino 2 Če je T unija dveh neprekrivajočih poligonalnih področij T 1 in T 2, velja S(T ) = S(T 1 ) + S(T 2 ) Da si bomo lažje predstavljali, si oglejmo naslednji razrez trikotnika (Slika 29) E S 2 S 1 Slika 29 Ploščino trikotnika bomo označevali z oznako ali s S
13 Ploščina 23 Izrek 134 Če je trikotnik in E točka v notranjosti stranice, tedaj je ploščina trikotnika enaka S = S 1 + S 2 Pri tem sta S 1 = E in S 2 = E neprekrivajoči trikotni področji Dokaz je enostaven in ga bomo izpustili Definicija 135 Pravokotno področje prirejeno pravokotniku D je poligonalno področje, ki je unija trikotnih področij Dolžina področja je, širina pa (Slika 30) D E Slika 30 ksiom 136 (Evklidski aksiom ploščine) Za pravokotno področje P velja S = dolžina (P) širina (P) Od tod hitro izračunamo ploščino pravokotnega trikotnika Izrek 137 Področje pravokotnega trikotnika, ki ima pravi kot pri oglišču, je enako S = 2 S pomočjo naslednje definicije želimo zapisati splošno formulo, ki bo veljala za poljubne trikotnike Definicija 138 Naj bo T trikotno območje, ki pripada trikotniku Stranici rečemo tudi osnovnica področja T, pravokotni daljici iz oglišča na stranico pa rečemo višina področja T
14 evov in Menelajev izrek 24 Izrek 139 Ploščina trikotnega področja T je polovica produkta med dolžino osnovnice in njene višine S = osnovnica (T) višina (T) 2 (1) v a v b v c Slika 31: Grafični prikaz ploščine glede na višino Opazimo, da ima ploščina eno samo vrednost ne glede na to, katero stranico trikotnika oziroma pripadajočo višino vzamemo (Slika 31) Če si oglišča,, v trikotniku v tem zaporedju sledijo v smeri, ki je nasprotna smeri urinega kazalca, je trikotnik pozitivno usmerjen, v nasprotnem primeru je usmerjen negativno (Slika 32) + Slika 32: Usmerjenost trikotnika Orientirana ploščina trikotnika je definirana kot {, če je trikotnik pozitivno orientiran () =, sicer 14 EVOV IN MENELJEV IZREK Giovanni eva (Slika 33) (1647-1734) je bil italijanski matematik eva je začel šolanje kot jezuit v Milanu in se po končanem šolanju zaposlil kot profesor matematike na univerzi v Pizi, kasneje pa se je zaposlil v Mantui, kjer je
14 evov in Menelajev izrek 25 Slika 33: Giovanni eva nadaljeval s poučevanjem do konca svojega življenja V zgodovini matematike je eva pustil velik pečat pri dokazu izreka, ki se po njem tudi imenuje in se smatra za največje odkritje v geometriji matematike vse od časa starogrške matematike pa do njegovega časa Kasneje so bili odkriti zapisi arabskega matematika Jusufa ibn hmada al-mu tamana ibn Huda iz 11 stoletja, ki je prevajal zapise starih Grkov v latinščino in prišel do enakih zaključkov šest stoletij pred evo Ni jasno ali je eva poznal njegove zapise, ali je izrek odkril sam [6] Kakorkoli, eva je svoje zapise prvič objavil v delu De lineis rectis, leta 1678 V istem delu je objavil tudi Menelajev izrek, ki je po vsebini zelo podoben evovemu izreku Menelaj (okrog leta 100) pa je bil grški matematik iz leksandrije (Slika 34) Slika 34: Menelaj Definicija 141 evova daljica je daljica, ki povezuje oglišče trikotnika s točko na nasprotni stranici (Slika 35) Definicija 142 Daljico, katere eno krajišče je oglišče trikotnika, drugo pa razpolovišče nasprotiležne stranice, imenujemo težiščnica
14 evov in Menelajev izrek 26 E D P F Slika 35: evove premice in daljice Primeri evovih premic oziroma daljic so težiščnice trikotnika, višine trikotnika, simetrale kotov trikotnika in podobno Vpeljimo naslednjo elementarno lemo, s pomočjo katere bomo dokazali evov izrek Lema 143 Če za realna števila a, b, c, d, pri čemer je b 0, d 0, b d, velja a b = c d, potem velja tudi a b = c d = a c b d Dokaz: a = kb in c = kd Naj bo a b = c d = k Če enakosti a b = k in c d Izračunamo vrednost ulomka: a c b d = kb kd b d = k = k preoblikujemo, dobimo Izrek 144 (evov izrek) Na stranicah a, b, c trikotnika zaporedoma izberemo točke D, E, F evove daljice D, E in F se sekajo v skupni točki natanko tedaj, ko velja D D E E F = 1 (2) F Dokaz evovega izreka 144 bomo naredili po zgledu dokaza v viru [7] Dokaz: Najprej dokažimo izrek v desno smer ( ) Predpostavimo, da se evove daljice D, E in F sekajo v skupni točki P Višino na stranico a trikotnika označimo z v a To je hkrati tudi višina v trikotnikih D in D Višino na stranico trikotnika P pa označimo z v ap, ki je hkrati tudi višina v trikotnikih P D in P D (Slika 36) Poglejmo, v kakšnem razmerju sta odseka stranice, kjer = D + D
14 evov in Menelajev izrek 27 E P v ap D v a F Slika 36: evov izrek Izrazimo D D na dva načina: D D = D va 2 D va 2 = D D in D D vap D 2 = D vap 2 = P D P D Če uporabimo Lemo 143, dobimo D D P D = D D P D = P P Na podoben način dobimo tudi razmerji E E = P P in F F = P P Izračunajmo še produkt odsekov stranic z izraženimi razmerji ploščin D D E E F F = P P P P P P = 1 Sedaj dokažimo izrek še v levo smer ( ) Predpostavimo, da je produkt razmerij, v katerih točke D, E, F zaporedoma sekajo stranice a, b, c trikotnika enak D D E E F F = 1 Želimo dokazati, da se evove daljice D, E in F sekajo v skupni točki Naj se daljici D in E sekata v točki P Tretja evova daljica, ki poteka iz oglišča skozi točko P, naj ima na stranici krajišče F Označimo jo s F Vse tri
14 evov in Menelajev izrek 28 daljice se sekajo v isti točki, zato velja (ob upoštevanju prej dokazanega): D D E E F F = 1 Od tod in iz predpostavke sledi, da je F F = F F Na levi in desni strani enačaja lahko prištejemo isto število; torej velja tudi F F + 1 = F F + 1 Če ulomka na obeh straneh enačbe seštejemo, dobimo F + F F = F + F F Opazimo, da oba izraza v števcih, F + F in F + F, predstavljata dolžino stranice, zato lahko zapišemo F = F, kar pomeni, da velja F = F Od tod sledi, da točki F in F ležita na istem poltraku in sta od točke enako oddaljeni To pomeni, da ti dve točki sovpadata Tako smo dokazali, da se evove daljice D, E in F res sekajo v skupni točki Vprašamo se lahko, kako vpliva položaj točke P na krajišča evovih daljic D, E in F Če je točka P znotraj trikotnika, so tudi vsa krajišča D, E in F na stranicah trikotnika (Slika 35) Če je točka P zunaj trikotnika, pa sta lahko dve od teh krajišč izven stranic na nosilkah daljic (Slika 37) Dogovorimo se, da za razmerje odsekov daljice na skupni premici, zapisano z okroglimi oklepaji, velja naslednje (F ) (F ) = { F F, če je F med in F F, če F ni med in (3)
14 evov in Menelajev izrek 29 D P E F Slika 37 ter (F ) (F ) = (F ) (F ) (4) Podobno definiramo tudi (D) (D) in (E) (E) Za konec zapišimo posplošeni evov izrek Izrek 145 (Posplošeni evov izrek) Na nosilkah stranic a, b in c trikotnika izberemo točke D, E in F Nosilke daljic D, E in F se sekajo v skupni točki natanko tedaj, ko velja (D) (D) (E) (E) (F ) = 1 (5) (F ) Skica dokaza Posplošenega evovega izreka 145 je napisana v viru [3] Iz evovega izreka izhaja nekaj pomembnih posledic Definicija 146 Za neko množico premic p 1, p 2 rečemo, da tvorijo šop, če obstaja taka točka P, ki leži na vseh teh premicah Za množico daljic rečemo, da tvori šop, če obstaja taka točka, ki je v notranjosti vseh teh daljic Posledica 147 Težiščnice v trikotniku tvorijo šop (Slika 38) Dokaz: V kolikor so točke D, E, in F zaporedoma razpolovišča stranic a, b, c trikotnika, velja F = F, D = D, E = E Od tod sledi F F D D E E = 1 Torej se težiščnice trikotnika po evovem izreku sekajo v skupni točki
14 evov in Menelajev izrek 30 E G D t a t b t c F Slika 38: Težiščnice trikotnika Definicija 148 Skupno točko šopa težiščnic imenujemo težišče trikotnika in jo označimo z G Posledica 149 Simetrale notranjih kotov v trikotniku tvorijo šop (Slika 39) s γ I s α s β Slika 39: Simetrale kotov Dokaz: Z enostavno uporabo Izreka o podobnih trikotnikih 1214 ugotovimo, da simetrale notranjih kotov delijo trikotnikove stranice v razmerju priležnih stranic (Slika 40) a γ 2 b γ γ 2 2 a F s γ γ 2 Slika 40
14 evov in Menelajev izrek 31 Če so a, b, c dolžine trikotnikovih stranic, je F F D D E E = b a c b a c = 1 Kotne simetrale gredo torej skozi isto točko Definicija 1410 Skupno točko šopa simetral notranjih kotov imenujemo središče včrtanega kroga in jo označimo z I (Slika 41) I Slika 41: Včrtana krožnica Posledica 1411 Nosilke višin v trikotniku tvorijo šop (Slika 42) Dokaz: Naj bodo točke K, L in M nožišča višin trikotnika Z upoštevanjem podobnosti zapišimo: L K L K = = a b, M L M L = = b c, K M K M = = c a Če so v a, v b, v c trikotnikove višine, je a v a = b v b = c v c in zato L K = v b v a, M L = v c v b, K M = v a v c Ko pomnožimo te tri enakosti, dobimo: L K M L K M = v b v a vc v b va v c = 1
14 evov in Menelajev izrek 32 V primeru, da je trikotnik topokoten, sta zaradi (3) dve razmerji negativni Torej, tudi višine trikotnika se po evovem izreku sekajo v skupni točki V ostrokotnem trikotniku (Slika 42a) leži ta točka znotraj trikotnika, v pravokotnem trikotniku ta točka sovpada z ogliščem, kjer je pravi kot, v topokotnem trikotniku (Slika 42b) pa leži ta točka zunaj trikotnika L v b H K v a K H v b L v a v c v c (a) M (b) M Slika 42: Višine in višinska točka trikotnika Definicija 1412 Skupno točko šopa nosilk višin imenujemo višinska točka in jo označimo s črko H Opomba 1413 Tudi simetrale stranic trikotnika tvorijo šop in to skupno točko, ki jo označimo z O, imenujemo središče očrtanega kroga Dokaz tega bomo izpustili, saj ni bistven za to diplomsko delo Oglejmo si izrek, ki je dualen evovemu izreku Imejmo trikotnik Na nosilkah, in trikotnika zaporedoma izberemo točke D, E, F, od katerih nobena ni enaka nobenemu oglišču trikotnika rečemo Menelajeve točke trikotnika (Slika 43) Takim točkam Izrek 1414 (Menelajev izrek) Naj bodo D, E, F Menelajeve točke na nosilkah stranic, in trikotnika Točke D, E, F so kolinearne natanko tedaj, ko velja (D) (D) (E) (E) (F ) = 1 (6) (F )
14 evov in Menelajev izrek 33 E E D D F (a) (b) F Slika 43: Menelajeve točke trikotnika Dokaz: Naj bodo točke D, E, F kolinearne točke, ki ležijo na premici p Dokažimo ekvivalentno enakost (D) (D) (E) (E) (F ) = 1 (7) (F ) Iz točk,, potegnimo pravokotnice na premico p in jih označimo z v 1, v 2, v 3 Definirajmo { vi, če je točka na pozitivni polravnini glede na premico p h i = v i, če je točka na negativni polravnini glede na premico p za i = 1, 2, 3 v 3 F p v 1 v 2 D E Slika 44: Podobni pravokotni trikotniki Iz (Slika 44) razberemo tri pare podobnih pravokotnih trikotnikov Sledi: E E = v 3 v 1, F F = v 1 v 2, D D = v 2 v 3 (8)
14 evov in Menelajev izrek 34 Nas pa zanimajo vrednosti razmerij usmerjenih daljic Pokažimo, da velja (E) (E) = h 3 h 1 bsolutni vrednosti obeh števil sta zaradi definicije h i in (8) enaki, zanima nas le predznak Ločimo dva primera: a) Leva stran je negativna V tem primeru je količnik (E) (E) negativen, kar pomeni, da sta usmerjeni daljici različno predznačeni Smeri E in E sta različni E leži na stranici med točkama in Točki in ležita na različnih polravninah premice p; vrednosti h 1 in h 3 sta različno predznačeni: h 1 h 3 < 0 E p b) Leva stran je pozitivna Količnik (E) (E) je pozitiven, kar pomeni, da sta usmerjeni daljici isto predznačeni Smeri E in E sta isti Točki sta na isti polravnini glede na p, zato sta vrednosti h 3 in h 1 enako predznačeni; sledi h 1 h 3 > 0 E p Dokazali smo: (E) (E) = h 3 h 1, podobno pokažemo tudi (F ) (F ) = h 1 h 2, (D) (D) = h 2 h 3 Sledi (D) (D) (E) (E) (F ) (F ) = h 2 h3 h1 = 1 h 3 h 1 h 2 Pokažimo še obratno Naj velja (7) Oglejmo si lego premic in DE dve možnosti: Ločimo
14 evov in Menelajev izrek 35 F E D I) Premici in DE nista vzporedni, sekata se v F Pokažimo še, da je F = F Ker so D, E, F kolinearne, po že dokazanem velja Slednje skupaj z enačbo (7) implicira Upoštevajmo F = k F, če je F med in, F = k F, če F ni med in (D) (D) (E) (E) (F ) (F ) = 1 (F ) (F ) = (F ) (F ) = k F F F (a) (b) (c) Naj bo F med in Potem velja Izrazimo = F + F = k F + F = F ( k + 1) F = 1 k + 1 = 1 k 1
14 evov in Menelajev izrek 36 Če je med in F, potem je Izrazimo = F F = k F F = F (k 1) F = 1 k 1 Prav tako enako dobimo, če je med F in Sledi (F ) () = 1 k 1 Podobno pokažemo še (F ) () = 1 k 1 To pomeni, da sta absolutni vrednosti F = F enaki, kar pomeni, da F in F ležita na isti strani glede na točko Od tod sledi F = F II) Premici in DE sta vzporedni Potem velja E D = E E = D D = E D Od tod sledi E E D D = 1
14 evov in Menelajev izrek 37 Zaradi enačbe (7) potem velja F F = 1, kar pomeni, da je točka F razpolovišče stranice oziroma (F ) (F ) = 1 Iz enačbe (7) sledi (E) (E) (D) (D) = 1, ulomka sta različno predznačena Če je točka D na daljici, točka E ne leži na daljici (podobno sklepamo, če vlogi D in E zamenjamo) To pa je v protislovju z dejstvom, da sta daljici DE in vzporedni Menelajev izrek 1414 in dokaz sta povzeta po viru [5]
Poglavje 2 ROUTHOV IZREK IN POSPLOŠITVE 21 Routhov izrek Routhov izrek [8] je neke vrste posplošitev evovega izreka, saj v primeru, ko evove daljice ne tvorijo šopa, poda razmerje ploščin danega trikotnika in trikotnika, ki ga dobimo s presečišči evovih daljic E Q D R P F Slika 45: Trikotnik P QR v trikotniku Izrek 211 (Routhov izrek) Točke D, E, F naj zaporedoma ležijo na stranicah a, b, c v trikotniku Označimo D E F D = x, E = y in F = z evove daljice D, E in F se paroma sekajo in tvorijo trikotnik P QR, kjer P D E, Q E F in R F D (Slika 45) Ploščina trikotnika P QR je enaka P QR = (xyz 1) 2 (9) (zx + x + 1)(xy + y + 1)(yz + z + 1) 38
21 Routhov izrek 39 Dokaz: Z upoštevanjem Menelajevega izreka za trikotnik D in premico, na kateri leže točke F, R,, lahko zapišemo F F D DR = 1 (10) R Od tod izrazimo DR R DR R = F F D = F F D D + D x D = z D + x D = zx 1 + x y R E Q P x D F z Slika 46: P QR v Trikotnika D in R imata skupno višino na stranici D oziroma R Naj S predstavlja ploščino trikotnika Ploščina trikotnika D je enaka D = D = x 1 + x S Točka R deli evovo daljico D v razmerju R D = Od tod sledi, da je ploščina trikotnika R enaka R = R D D = 1 + x zx + 1 + x R R + RD = 1 1+ zx 1+x x 1 + x S = x zx + x + 1 S = 1+x 1+x+zx Podobno izrazimo tudi razmerji ploščin trikotnikov P in Q
21 Routhov izrek 40 Točka P deli evovo daljico E v razmerju P E = P P + P E = 1+y 1+y+xy P = P E D = 1 + y xy + 1 + y Točka Q deli evovo daljico F v razmerju Q F = Q = Q F E = 1 + z yz + 1 + z y 1 + y S = y xy + y + 1 S Q Q + QF = 1+z 1+z+yz z 1 + z S = z yz + z + 1 S Izrazimo ploščino trikotnika P QR P QR = R P Q Vstavimo izraze posameznih ploščin trikotnikov R, P in Q kjer je x S P QR = S zx + x + 1 y S xy + y + 1 z S yz + z + 1 ( ( x = S 1 zx + x + 1 + y xy + y + 1 + z )) yz + z + 1 ( ( W )) = S 1 (zx + x + 1)(xy + y + 1)(yz + z + 1) ( ( W )) = S 1, Z W = x(xy + y + 1)(yz + z + 1) + y(zx + x + 1)(yz + z + 1) + z(zx + x + 1)(xy + y + 1) = (x 2 y + xy + x)(yz + z + 1) + (xyz + xy + y)(yz + z + 1) + (xz 2 + xz + z)(xy + y + 1) = x 2 y 2 z + x 2 yz + x 2 y + xy 2 z + xyz + xy + xyz + xz + x + xy 2 z 2 + xyz 2 + xyz + xy 2 z + xyz + xy + y 2 z + yz + y + x 2 yz 2 + xyz 2 + xz 2 + x 2 yz + xyz + xz + xyz + yz + z in Z = (zx + x + 1)(xy + y + 1)(yz + z + 1) = (x 2 yz + xyz + xz + x 2 y + xy + x + xy + y + 1)(yz + z + 1) = x 2 y 2 z 2 + xy 2 z 2 + xyz 2 + x 2 y 2 z + xy 2 z + xyz + xy 2 z + y 2 z + yz + x 2 yz 2 + xyz 2 + xz 2 + x 2 yz + xyz + xz + xyz + yz + z + x 2 yz + xyz + xz + x 2 y + xy + x + xy + y + 1
22 Routhov izrek v posebnih primerih 41 Dobimo ( Z W ) P QR = S = Z Dokazali smo enačbo (9) (xyz 1) 2 S (zx + x + 1)(xy + y + 1)(yz + z + 1) 22 Routhov izrek v posebnih primerih Poglejmo si Routhov izrek v nekaterih posebnih primerih in sicer, ko točke D, E in F ležijo v enakih razmerjih na stranicah a, b, c trikotnika Posebno zanimiv je primer, kadar so točke D, E, F ravno razpolovišča stranic a, b, c trikotnika Tedaj velja za parametre x = y = z = 1 in ploščina trikotnika P QR je enaka P QR = 0 To pomeni, da evove daljice predstavljajo težiščnice in se le te sekajo v težišču Poglejmo si še ploščino trikotnika P QR, kadar za parametre velja x = y = z = 2 P QR = 72 7 7 7 S = 1 7 S E Q Q D F R P R P Slika 47: Grafični prikaz ploščine P QR Ta primer velja v različnih literaturah za največkrat omenjenega S tem mislimo na Feynmanov trikotnik Dokaz, da trikotnik P QR predstavlja ravno sedmino prvotnega trikotnika (Slika 47), je opisan v viru [11]
23 Sorodni izreki 42 Navsezadnje lahko posplošeno za x = y = z = n zapišemo: S = (n 1)2 n 2 + n + 1 S, kjer S = P QR in S = Na tem mestu smo izračunali in zapisali vrednosti ploščin trikotnika P QR za nekaj enostavnih primerov Za n = 1, 2, 3, 4, 5 so razmerja ploščin P QR enaka 0, 1 7, 4 13, 3 7, 16 31 23 Sorodni izreki Izhodišče za naslednji izrek predstavlja vir [12] Izrek 231 Naj Menelajeve točke D, E, F zaporedoma ležijo na stranicah, in trikotnika (Slika 43a) in tvorijo trikotnik DEF Ploščina trikotnika DEF, kjer označimo D E F D = x, E = y, F = z (Slika 48), je enaka DEF = xyz + 1 (11) (x + 1)(y + 1)(z + 1) E x D y F z Slika 48: DEF v trikotniku Dokaz: Poglejmo si posamezne odseke trikotnikov z enakimi višinami F Trikotnik in trikotnik F, kjer F = z, imata enako višino v (Slika 49) Torej sta ploščini trikotnikov v razmerju F = F v 2 v 2 = F = z F z F + F = z z + 1 (12)
23 Sorodni izreki 43 v F z Slika 49: in F Trikotnik F in trikotnik DF, kjer D D = x, imata enako višino v 1 (Slika 50) Torej sta ploščini trikotnikov v razmerju DF F = D v1 2 v 1 2 = D = D x D + D = 1 x + 1 (13) x D v 1 F z Slika 50: F in DF Iz (12) in (13) sledi, da je ploščina trikotnika DF glede na trikotnik enaka DF = z (z + 1)(x + 1) (14) Na podoben način dobimo razmerji ploščin trikotnikov ED in F E glede na trikotnik ED = x (x + 1)(y + 1) (15) F E = y (y + 1)(z + 1) (16)
23 Sorodni izreki 44 Ploščina trikotnika DEF je enaka DEF = DF ED F E (17) Naj S še vedno predstavlja ploščino trikotnika (14), (15) (16) in dobimo V enačbo (17) vstavimo z DEF = S (z + 1)(x + 1) S x (x + 1)(y + 1) S y (y + 1)(z + 1) S ( ( z = S 1 (z + 1)(x + 1) + x (x + 1)(y + 1) + y )) (y + 1)(z + 1) ( ( z(y + 1) + x(z + 1) + y(x + 1) )) = S 1 (x + 1)(y + 1)(z + 1) ( ( W )) = S 1, Z kjer je W = z(y + 1) + x(z + 1) + y(x + 1) = zy + z + xz + x + xy + y in Z = (x + 1)(y + 1)(z + 1) Poenostavimo = (xy + x + y + 1)(z + 1) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z + 1 ( Z W ) DEF = S = Z Dokazali smo enačbo (11) xyz + 1 (x + 1)(y + 1)(z + 1) S V posebnem primeru za x = y = z = n posplošeno velja DEF = n3 + 1 (n + 1) 3 S Na tem mestu smo izračunali in zapisali ploščine trikotnika DEF za nekaj enostavnih primerov, kar je grafično ponazorjeno v sliki (Slika 51) Za n = 1, 2, 3, 4 so razmerja ploščin DEF enaka 1 4, 1 3, 7 16, 13 25
23 Sorodni izreki 45 E E E D D D F (a) x = y = z = 1 F (b) x = y = z = 2 F (c) x = y = z = 3 Slika 51: Grafični prikaz ploščin DEF Definicija 232 Razpolovišča stranic trikotnika tvorijo nov trikotnik DEF, ki ga imenujemo središčni trikotnik trikotnika Kot zanimivost zapišimo še lemo za posebni primer, kadar se dve evovi daljici sekata in tvorita trikotni odsek [9] Lema 233 V trikotniku naj velja F : F = m : n in E : E = s : r (Slika 52) Potem je Q = nr nr + ns + mr (18) E r s Q m F n Slika 52: Del ploščine trikotnika Dokaz: Formulo bomo dokazali s pomočjo Menelajevega izreka 1414 za trikotnik F Točke, E, Q so kolinearne, zato E E F Q F Q = 1 Od tod sledi F Q Q = E F E
24 Posplošitev Routhovega izreka 46 F Q Q = s r n m + n Trikotnika F in Q imata skupno višino na stranici F oziroma Q, zato sta ploščini v razmerju Q F = Q F Trikotnika F in imata skupno višino na stranici F oziroma, zato sta ploščini v razmerju F F = = n m + n Sedaj zapišimo razmerje ploščin trikotnikov Q in Q = = Q F Q + Q 1 F Q Q + 1 1 ns n m + n = (m+n)r + 1 nr = ns + (m + n)r nr = nr + ns + mr Dokazali smo enačbo (18) n m + n n m + n 24 Posplošitev Routhovega izreka ranko Ćurgus je v sodelovanju z rpadom enyijem iz Oddelka za matematiko na Western Washington University dokazal posplošitev Routhovega izreka in posledično podal še poenotenje evovega in Menelajevega izreka V ta namen v okviru tega diplomskega dela predstavimo del na spletu objavljenega članka [10] Trikotnik je določen s tremi nekolinearnimi točkami, in Že vemo, da se daljica, ki povezuje oglišče trikotnika s točko na nosilki nasprotne stranice, imenuje evova daljica
24 Posplošitev Routhovega izreka 47 Točka D na nosilki stranice določa evovo premico D skozi oglišče D, potem evova daljica D natanko določa odsek na nosilki stranice in zapišemo (D) (D) = x za x R\{ 1} Točko D v tem primeru označimo kar z x, torej D = x (Slika 53) Če je D =, označimo 0 = in naj bo še = Podobno velja tudi za evovi premici skozi oglišči in Z y označimo točko na nosilki stranice, da je (y) (z) ( y) = y, y R\{ 1}, in ( z) = z, z R\{ 1}, kjer velja še 0 =, =, 0 = in = Če y x z Slika 53 Trikotnik P QR nastane s presečišči evovih daljic x, z in y (Slika 54) y R y Q P x x z z Slika 54: P QR v Premici x in y sta vzporedni v naslednjih primerih Uporabimo Izrek o podobnih trikotnikih 1214 I) x = y x + x x = y +
24 Posplošitev Routhovega izreka 48 x y Od tod sledi x x = y Od tod sledi x x y = 1 x x y y = 1 y Upoštevamo x < 0, y < 0 in dobimo x (1 + y) = 1 1 + x + xy = 0 II) x x = y Od tod sledi x x y = 1 x x y y = 1 y
24 Posplošitev Routhovega izreka 49 x y Upoštevamo x > 0, y < 0 in dobimo x ( y 1) = 1 1 + x + xy = 0 III) x x = y y x Od tod sledi x x y = 1 x x y + y = 1 y Upoštevamo x < 0, y > 0 in dobimo x (1 + y) = 1
24 Posplošitev Routhovega izreka 50 1 + x + xy = 0 Torej je točka P dobro definirana, če (1 + x + xy) 0 Podobno bosta dobro definirani točki R, če (1 + y + yz) 0, in Q, če (1 + z + zx) 0 Trikotnik P QR poimenujemo Routhov trikotnik trikotnika (Slika 55) Na vsaki od nosilk stranic trikotnika izberemo po dve točki Za parametre u, v, w, x, y, z (R\{ 1} { }), s sledečimi šestimi evovimi daljicami, po dve iz vsakega oglišča: u, x, v, y, w, z, ob predpostavki, da se vsak par evovih daljic ( x, v ), ( y, w ) in ( z, u ) zaporedoma seka, opredelimo posplošeni Routhov trikotnik P QR v trikotniku Točke P, Q in R dobimo v presečiščih evovih daljic (Slika 56) {P } = x v {Q} = y w {R} = z u (19) Točke P, Q in R so v (19) dobro definirane le in samo, če parametri (u, v, w, x, y, z) (R\{ 1} { }) zadostijo neenakosti (1 + x + xv)(1 + y + yw)(1 + z + zu) 0 (20) Ta dokaz sta opravila Hiroaki Nakamura in Keiji Oguiso [13] in opredelila zapis posplošenih formul (23) in (22) Pri izbiri parametrov u = x, v = y in w = z, imamo u = x, v = y, w = z, trikotnik P QR definiran z (19) postane Routhov trikotnik (Slika 57a) y Q x R P z Slika 55: Routhov trikotnik P QR
24 Posplošitev Routhovega izreka 51 v P x y Q R u w z Slika 56: Posplošeni Routhov trikotnik P QR V primeru, da izberemo u = v = w = 0, imamo 0 =, 0 =, 0 =, in ob (19) se izkaže P = x, Q = y, R = z, da trikotnik P QR postane trikotnik x y z (Slika 57b) R ux v P x y v P Q w z y Q R u w z (a) Skorajšnji Routhov trikotnik P QR (b) Skorajšnji trikotnik x y z Slika 57 Zapišimo posplošeni Routhov izrek Izrek 241 (Posplošeni Routhov izrek) S točkami P, Q, R definiranimi v (19), razmerje med ploščino trikotnika P QR in ploščino trikotnika zapišemo kot P QR 1 xyw xvz uyz + xyz + xyzuvw = (1 + x + xv)(1 + y + yw)(1 + z + zu) (21) Zapis enačbe (21) velja za celotno množico parametrov (u, v, w, x, y, z) (R\{ 1} { }), ki zadoščajo (20)