Dinamični pristop k turbulenci

Seminar - 4. letnik Dinamični pristop k turbulenci Avtor: Igor Mele Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, marec 2013 Povzetek Ravninski Couetteov tok je med najpreprostejšimi modeli strižnih tokov, vendar so bile točne invariantne rešitve Navier-Stokesovih enačb nepoznane do devetdesetih let prejšnjega stoletja. Poleg fizičnih upodobitev rešitev bo predstavljen postopek, kjer visoko dimenzionalen prostor Navier- Stokesovih enačb projiciramo na izbrano bazo. Dobimo fazne portrete, ki prikazujejo dinamiko turbulentnega toka pri zmernih Reynoldsovih številih.

Kazalo 1 Uvod 3 2 Zgodovinski pregled 3 3 Ravninski Couetteov tok 3 3.1 Navier-Stokesova enačba..................................... 4 3.2 Energija hitrostnega polja.................................... 4 3.3 Simetrije.............................................. 5 4 Invariantne rešitve ravninskega Couetteovega toka 6 4.1 3D vizualizacija ravninskega Couetteovega toka........................ 6 4.2 Prostorska diskretizacija..................................... 7 4.3 Ravnovesne rešitve........................................ 7 4.4 Periodične orbite......................................... 7 4.5 Potujoči valovi.......................................... 8 4.6 Bifurkacije............................................. 8 4.7 Lastne vrednosti/funkcije, (ne)stabilne mnogoterosti..................... 9 5 Geometrija prostora stanj 10 5.1 Projekcija na 2D ali 3D prostor................................. 10 5.2 Fazni portret........................................... 11 6 Nadzor turbulence 12 7 Zaključek 13 2

1 Uvod Razumevanje turbulence je ena zadnjih nerešenih ugank klasične mehanike. Predstavlja enega osnovnih pojavov v naravi. Turbulenten tok ima kompleksne spremembe v času in kraju. Tipično se pojavi v tekočinah z majhno viskoznostjo, kot sta na primer voda in zrak. Navier-Stokesove enačbe se zdijo, da so natančen matematični model za opis toka tekočin z različnimi vrednosti viskoznosti. Predvsem dobro opišejo turbulentne tokove pri nizkih vrednostih Reynoldsovega števila. Enačbe rešujemo z numeričnim integriranjem. Opisal bom fizične in simetrijske lastnosti ravninskega Couetteovega toka. Rešitve sestavljajo stacionarna stanja, potujoči valovi in periodične orbite. Glavni namen seminarja bo predstaviti nov način vizualizacije faznega prostora za primer strižnih tokov v ravninskem Couetteovem toku. 2 Zgodovinski pregled Prvi poskusi opisa turbulence so temeljili na statističnem opisu. Predstavljena je bila kot naključne fluktuacije okoli povprečnega toka. Eden večjih uspehov takega pristopa je zakon Kolmogorova [1] (1941), ki podaja verjetnostno porazdelitev dolžinskih enot struktur vidnih v izotropni turbulenci. Turbulenco si lahko predstavljamo tudi kot dinamičen sistem. Med začetnike sodijo Poincaré, Hopf, Smale in drugi. H. Poincaré je leta 1889 pokazal, da analitična rešitev za problem treh teles v gravitacijskem polju ne obstaja. S tem pa je postavil tudi temelje geometrijskega pristopa v dinamičnih sistemih. E. Hopf pa si je v svojem članku [2] leta 1941 zamislil dinamiko Navier-Stokesovih enačb kot neskončno dimenzionalen fazni prostor določen z viskoznostjo, robnimi pogoji in zunanjimi silami. V tem prostoru bi bilo vsako 3D hitrostno polje predstavljeno s posamezno točko. Domneval je, da je znotraj neskončno dimenzionalnega prostora končno dimenzionalna mnogoterost. Lastnosti te mnogoterosti bi bile odvisne od viskoznosti tekočine. Za velike viskoznosti (majhno Reynoldsovo število) bi mnogoterost ustrezala točki, ki bi predstavljala laminarno stanje. Če pa povečujemo Reynoldsovo število, se spremeni stabilnost mnogoterosti, poveča se dimenzionalnost, razcepi se v nove mnogoterosti. Hopfova ideja o simulaciji Navier-Stokesovih enačb z računalnikom je bila tedaj precej pred časom. Kasneje so inženirji in matematiki pridobili precej empiričnih dokazov, da zmerno turbuletni tokovi kažejo nizko dimenzionalno obnašanje za različne pogoje. Poskusi so leta 1967 (Kline in drugi [3]) odkrili prostorsko organizirane proge v turbulentni robni plasti (plast, ki je najbližja steni). Proge sestavlja tekočina s hitrostmi, ki so relativno večje ali manjše glede na povprečno hitrost. Izmerjena odstopanja so bila ±50%. Robno plast so si do tedaj predstavljali kot tanko laminarno plast. Z razvojem računalništva so se odprla vrata tudi numeričnemu modeliranju strižnih tokov. Razvilo se je nekaj nizko dimenzionalnih modelov, ki uporabljajo analitične bazne funkcije. Narejene so posebej zato, da opišejo strukture v strižnih tokovih (proge, vrtinci). Dimenzije teh modelov (10 do 100) so nekaj velikostnih redov premajhne. Modeli zato ne prikažejo dogajanja na majhnih skalah, ki je pomemben del pri dinamiki turbulence. Drug pristop je izračun točnih invariantnih rešitev polnega sistema Navier-Stokesovih enačb. Torej spustimo nizko dimenzionalno modeliranje in obravnavamo algoritme CFD neposredno kot visoko dimenzionalne dinamične sisteme. Nagata je leta 1990 izračunal prvi par netrivialnih rešitev ravninskega Couetteovega toka [4], leta 1997 pa še prvi potujoči val [5]. 3 Ravninski Couetteov tok Ravninski Couetteov tok lahko opišemo kot sistem dveh neskončnih vzporednih plošč, ki se gibljeta v nasprotnih smereh s konstantno hitrostjo. Med ploščama se nahaja nestisljiva tekočina. Na stiku med ploščo in tekočino velja, da je tangencialna komponenta hitrosti enaka nič. Definiramo Reynoldsovo število kot: Re = Uh ν, kjer je U polovica relativne hitrosti obeh plošč, h je polovična razdalja med ploščama, ν pa je kinematična viskoznost. Pri majhnih Reynoldsovih številih imamo laminaren tok, ko Re zvišujemo, pa postane tok turbulenten. Hitrostno polje zapišemo v obliki u(r, t) = [u, v, w](x, y, z). Plošči se gibljeta s hitrostjo u = ±1ˆx, kjer so ˆx, ŷ in ẑ enotski vektorji. Os y (pravokotna na plošči) zavzame vrednosti y [ 1, +1], ostali dve osi sta neskončni, vendar ju v numeričnih izračunih nadomestimo s periodično celico dimenzij L x in L z. Za tako celico veljajo robni pogoji za hitrostno polje tik ob ploščah u(x, ±1, z) = [0, ±1, 0]. 3

Slika 1: Shematičen prikaz geometrije sistema. Plošči sta v oddaljenosti 2h, vsaka se giblje s hitrostjo U v nasprotnih smereh. Periodično domeno celice zapišemo z Ω = [0, L x ] [ 1, +1] [0, L z ] = [L x, 2, L z ]. Predpostavimo še, da je povprečje gradienta tlaka povprečeno po prostoru enako nič [7]. 3.1 Navier-Stokesova enačba Tekočine ubogajo zakone mehanike kontinuov: ohranitev mase, energije in gibalne količine. Gibanje nestisljive tekočine opiše Navier-Stokesova enačba: ( ) u ρ t + u u = p + µ 2 u. (1) Predpostavili smo, da je tekočina nestisljiva in homogena z viskoznostjo µ. Torej je gostota ρ konstantna po celem območju in za vse čase t. Ohranitev mase zapišemo s kontinuitetno enačbo ρ t + (ρu) = 0. Sledi pogoj za nestisljivost tekočine: u = 0. Na tem mestu lahko omenimo dve najpogostejši tekočini: voda in zrak. Voda je skoraj nestisljiva. Relativna sprememba prostornine za vsak bar pritiska je manj kot 10 6. Zrak pa lahko obravnavamo kot nestisljivo tekočino dokler so hitrosti veliko manjše kot hitrost zvoka v zraku ( 340 m/s). Enačbo 1 delimo z gostoto ρ in prepišemo v brezdimenzijsko obliko u t + u u = p + 1 Re 2 u. Hitrost je normalizirana z U, dolžine so normalizirane z L, čas pa z L/U. Gostota je vključena v polje tlaka. Prej omenjena kinematična viskoznost je ν = µ ρ. Za ravninski Couetteov tok lahko zamenjamo u z u + yˆx. Dobimo Navier-Stokesovo enačbo kot razliko (deviacijo) do laminarnega toka u = yˆx u t + y u x + vˆx + u u = p + 1 Re 2 u. (2) Razlika u zadošča Dirichletovim robnim pogojem ob stenah u(x, ±1, z) = [0, 0, 0]. Oglejmo si najpreprostejšo rešitev za hitrostno polje, ki ima le eno neničelno komponento, zanemarimo še gradient pritiska. Navier-Stokesova enačba se poenostavi v obliko 2 u y 2 = 0. Rešitev je linearen profil (slika 2), ki ga dobimo z dvakratno integracijo in upoštevanjem robnih pogojev [8]. 3.2 Energija hitrostnega polja Zapisali bomo tri količine, ki jih lahko izračunamo iz celotnega hitrostnega polja: kinetično energijo E, disipacijo ali izgubo energije D in vloženo moč sten I. Periodična celica je diskretizirana s tako gostoto 4

Slika 2: Couetteov tok v eni dimenziji. Zgornja in spodnja stran se premikata s hitrostjo ±1. Rešitev je linearni hitrostni profil. Lastni izračun. mreže, da lahko opišemo vse strukture, ki nastanejo v hitrostnem polju. Energija se prenaša od največje skale do najmanjše, kjer se nato disipira v notranjo. Temperatura se v tej simulaciji ne spreminja. E(t) = 1 dx dy dz 1 u + yˆx 2 V Ω 2 D(t) = 1 dx dy dz (u + yˆx) 2 V Ω I(t) = 1 + 1 ( u dx dz 2A y + u y=1 y ), y= 1 A kjer je V = 2L x L z volumen celice in A = L x L z površina stene. Normalizacije so izbrane tako, da velja D = I = 1 za laminaren tok [7]. Za stacionarne rešitve velja, da sta disipacija in vložena mo v c sten enaki D = I. Primer odvisnosti disipacije D in vložene moči I lahko vidimo na sliki 10. Minimum disipacije je v primeru laminarnega toka. Za ostale netrivialne rešitve in za turbulenten tok je disipacija ve v cja. Energija se zmanjšuje zaradi viskoznosti, dodaja pa se skozi gibanje sten. 3.3 Simetrije Na neskončnem področju brez robnih pogojev je Navier-Stokesova enačba invariantna na vsako 3D translacijo, 3D rotacijo in inverzijo skozi izhodišče (r r, u u). Couetteov ravninski tok je invarianten pod dvema diskretnima simetrijama (σ x, σ z ) in pod grupo translacije τ(l x, l z ). Poglejmo, kaj naredijo operatorji σ x, σ x in σ xz na koordinate in hitrostno polje: σ x [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x, y, z) σ z [u, v, w](x, y, z) = [u, v, w](x, y, z) σ xz [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x, y, z). Plošči omejita translacijsko simetrijo na dve dimenziji: τ(l x, l z )[u, v, w](x, y, z) = [u, v, w](x + l x, y, z + l z ). Vse skupaj lahko zapišemo s podgrupo S, v kateri so rešitve ravninskega toka invariantne. S = {1, s 1, s 2, s 3 }, kjer so s 1 = τ(l x /2, 0)σ z, s 2 = τ(l x /2, L z /2)σ x in s 3 = s 1 s 2. Delovanje grupe S na hitrostno polje u je tako določeno: s 1 [u, v, w](x, y, z) = [u, v, w](x + L x /2, y, z) s 2 [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x + L x /2, y, z + L z /2) s 3 [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x, y, z + L z /2). Omenimo še grupo translacij za polovične dolžine celic T = {1, τ x, τ z, τ xz }, kjer so τ x = τ(l x /2, 0), τ z = τ(0, L z /2) in τ xz = τ x τ z. 5

4 Invariantne rešitve ravninskega Couetteovega toka Najpreprostejše invariantne rešitve so stacionarna stanja (oznaka EQ), ki so od časa neodvisna: u(r, t) = u EQ (r), in potujoči valovi u TW (oznaka TW), ki se gibljejo v ravnini [x, z] s konstantno hitrostjo c: u(r, t) = u TW (r ct), c = (c x, 0, c z ). Med rešitve prištevamo tudi periodične orbite. Označimo s F(u) Navier-Stokesovo enačbo 2 in f t korak enačbe v času: u t t = F(u), f t = u + dτf(u). S temi oznakami še enkrat zapišemo vse tipe invariantnih rešitev F(u EQ ) = 0 stacionarno stanje u EQ F(u TW ) = c u TW potujoč val u TW s hitrostjo c f Tp (u p ) = u p periodična orbita p s periodo T p f Tp (u p ) = τ p u p relativno periodična orbita s periodo T p in premikom τ p = τ(l x, l z ). 0 Potujoči valovi in relativno periodične orbite so dovoljene rešitve zaradi translacijske simetrije τ(l x, l z ) (periodični robni pogoji v smereh x in z), za potujoče valove velja še robni pogoj c ŷ = 0 [7, 9]. 4.1 3D vizualizacija ravninskega Couetteovega toka Slika 3: Couetteov tok v treh dimenzijah [10]. Na sliki 3 vidimo trenutek v razvoju ravninskega toka v celici [L x, 2, L z ]. Hitrostno polje (u, v, w) je prikazano z vektorji in barvno lestvico. Vektorji imajo eno od koordinat nič glede na to, v kateri ravnini so izrisani. Barvna lestvica ponazarja komponento hitrosti u v smeri x. Zelena barva pomeni u = 0, rdeča/modra u = ±1. Ravninski Couetteov tok je najpreprostejši med strižnimi tokovi. Pri zmernih Reynoldsovih številih se pojavijo vrtinci preprostih oblik, ki se raztezajo čez celotno območje med stenama. Vrtinčnost lahko vidimo na sprednji ploskvi. Vrtinci potiskajo tekočino z nizko/visoko hitrostjo od sten proti sredini. To povzroča proge tekočine z večjimi/manjšimi hitrostmi glede na povprečje. Posledica hitrih tekočin v bližini stene je povečanje upora v primerjavi z laminarnim tokom. Vložena moč, ki je potrebna za poganjanje sten ravninskega toka, se poveča za faktor 3, če gre tok v turbulentno stanje. Rešitve, ki bodo prikazane v tem seminarju, so izračunane pri [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5]. Numerične simulacije so sicer pokazale, da je najmanjša celica, ki vzdržuje turbulenco za daljše časovne intervale, dimenzije [L x, L y, L z ] = [7π/4, 2, 6π/5]. Dolžina L z = 4π/5 je izbrana kot kompromis med L z = 6π/5 in L z = 3π/5. L z = 6π/5 vzdržuje turbulenco dlje časa, vendar ima rešitve samo pri podvojeni periodi v smeri z. L z = 3π/5 ima rešitve v osnovni periodi, ampak hitro končajo kot laminaren tok. 6

(a) u LM (b) u LB (c) u UB (d) u NB Slika 4: Rešitve ravninskega Couetteovega toka. (a) laminaren tok, (b) spodnja veja, (c) zgornja veja, (d) nova rešitev, prvič objavljena v [7]. Izračun za celico dimenzij [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400 [10]. 4.2 Prostorska diskretizacija Numerične integracije Navier-Stokesovih enačb so narejene s programom Channelflow [12]. Ko rešujemo numerično parcialne diferencialne enačbe, so rešitve ponavadi v diskretizirani obliki. V primeru ravninskega Couetteovega toka uporabimo spektralno diskretizacijo v prostorskih smereh. Hitrostno polje razvijemo v produkt dveh Fourierovih vrst in Čebiševih polinomov u(r, t) = J K L j= J k= K l=0 m=1 3 û jklm T l (y) e 2πi(jx/Lx+kz/Lz) ˆx m, kjer so T l Čebiševi polinomi, (ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 ) = (ˆx, ŷ, ẑ) so enotski vektorji. Razvoj v Fourierovo vrsto je pomemben tudi zaradi časovne zahtevnosti. Diskretna Fourierova tranformacija ima red časovne zahtevnosti O(N log N). Robni pogoji v normalni ravnini na stene so kombinacija Neumannovih (r.p. prve vrste y(a) = α) in Dirichletovih (r.p. druge vrste y (a) = α) robnih pogojev. Tu so za bazo vzeti Čebiševi polinomi. Mreža točk v normalni smeri y je določena z zvezo: Razlog za to je lastnost Čebiševih polinomov y j = cos π j N y, j = 0, 1,..., N y. T l (cos θ) = cos(l θ). Tako lahko izvedemo transformacijo vrednosti posameznih točk v mreži v Čebiševe polinome preko diskretne kosinusne transformacije, ki je poseben primer DFT. Druga prednost take izbire mreže pa je, da je bolj gosta v bližini sten, kjer se pojavljajo strukture toka na manjših skalah. 4.3 Ravnovesne rešitve Najpreprostejša rešitev je laminaren tok (slika 4(a)) in je stabilna za vsa Reynoldsova števila večja od nič. Prvi netrivialni rešitvi je izračunal M. Nagata leta 1990. Uporabil je znano rešitev Taylor-Couetteovega toka (viskozna tekočina med dvema vrtečima se valjema). Neodvisno pa jih je ponovno izračunal F. Waleffe (2003). Poimenovani sta kot spodnja veja u LB in zgornja veja u UB. Analogijo z vejami uporabimo zato, ker sta rešitvi rojeni v sedlasti bifurkaciji pri Re 218.5. Več o bifurkacijah v 4.6. Kmalu po bifurkaciji tvorita celo heteroklinsko povezavo, pri višjih vrednostih Re pa take povezave ni več. Rešitve so točne na približno 8 mest in so prikazane kot razlika do laminarnega toka. So stacionarne, čeprav se hitrostno polje spreminja po vsej celici. Ker se s časom ne premikajo, po definiciji niso turbulentne. Periodična celica je diskretizirana na mreži velikosti 32 35 32. 4.4 Periodične orbite Za izračun točne nestabilne periodične orbite je potrebno poskusiti 50 do 100 tisoč začetnih hitrostnih polj z zadostno natančnostjo, da se eksponentno nestabilno stanje tekočine pojavi v skoraj enaki obliki po določeni periodi, ki je seveda na začetku neznana. Dokler niso bile prve periodične rešitve izračunane leta 2001, se je zdelo kaj takega popolnoma izven dosega [10]. 7

(a) T W 1 (b) T W 2 (c) T W 3 Slika 5: Potujoči valovi. (a) v smeri z, (b),(c) v smeri x. Izračun za celico dimenzij [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400 [10]. (a) (b) Slika 6: (a) Odvisnost disipacije D od Reynoldsovega števila Re. Z modro barvo sta označeni zgornja u UB in spodnja veja u LB, z rdečo pa u NB in njena spodnja veja. Ostale krivulje so rešitve, ki so bile izračunane v nadaljnem raziskovanju. Te rešitve v tem seminarju ne bodo obravnavane. Opisane pa so v [6]. (b) Vsota realnih delov nestabilnih lastnih vrednosti v odvisnosti od Re [6]. 4.5 Potujoči valovi Prvi dve rešitvi za potujoče valove sta bili objavljeni leta 1997 (Nagata). Na sliki 5 vidimo tri hitrostna polja T W 1, T W 2 in T W 3 (ang. za traveling wave). T W 1 val je invarianten na operator s 2 kar pomeni, da potuje v smeri z, komponenta hitrosti v smeri x je nič, c = 0.00655ẑ za Re = 400. Ima tudi majhno neničelno povprečno hitrost prav tako v smeri z. T W 1 povzroča večino transporta tekočine brez gradienta pritiska v smeri pravokotno na gibanje sten. Ta val je bil najden iz vilaste bifurkacije rešitve u LB (slika 6(a), spodnja veja modre krivulje), zato leži blizu u LB v faznem prostoru. T W 2 in T W 3 sta oba invariantna na operator s 1, torej potujeta v smeri gibanja sten (os x). Imata večjo hitrost kot T W 1 : c T W2 = 0.3959ˆx, c T W3 = 0.4646ˆx. 4.6 Bifurkacije Bifurkacija ali razcep se pojavi, ko se zaradi spremembe določenega parametra v sistemu, ki ga opazujemo, nenadno spremeni kvalitativno obnašanje sistema. V primeru Couetteovega toka lahko opazimo bifurkacije pri spreminjanju vrednosti Reynoldsovega števila. Do spontanih bifurkacij brez spremembe Re števila ne pride. Na sliki 6(a) vidimo odvisnost disipacije D od Re. To je projekcija iz 10 5 dimenzionalnega prostora na 2D. Vsaka krivulja je družina rešitev z zgornjo in spodnjo vejo. Začnejo se z bifurkacijo pri kritičnem številu Re. Prva bifurkacija pri Re = 218.5 rodi spodnjo in zgornjo vejo, ki ju je prvi izračunal Nagata (1990). Spodnja veja je stabilna čez mejo Re = 10 4. Kmalu po bifurkaciji ima u LB tri nestabilne lastne vrednosti in le eno na intervalu 270 Re 10 4. Zgornja veja u UB je stabilna za majhnen razpon Re po bifurkaciji. 8

Iz slike 6(b) pa lahko razberemo nestabilnost posamezne rešitve v odvisnosti od Re. Kot mero za nestabilnost uporabimo vsoto realnih delov nestabilnih lastnih vrednosti. Opazimo, da so spodnje veje manj nestabilne kot njihove kopije v obliki zgornjih vej. Tudi z večanjem Re se spodnje veje nagibajo k manjši nastabilnosti. Ker so zgornje/spodnje veje določene z mero disipacije, lahko potegnemo zaključek, da gresta manjša nestabilnost in manjša disipacija z roko v roki [6]. 4.7 Lastne vrednosti/funkcije, (ne)stabilne mnogoterosti Dinamiko v okolici ravnovesnih rešitev narekuje stabilnostna matrika, ki jo zapišemo kot [DF ] mn = F m u n. Naj bo λ lastna vrednost in v EQ lastna funkcija (vektor) rešitve enačbe DF ueq v = λv v ravnovesni rešitvi u EQ. Linearna razširitev v fazni prostor v = DF ueq v okoli u EQ ima rešitev v(t) = e λt v EQ. Začetni pogoj u(0) = u EQ + ɛv EQ s pogojem ɛ v EQ 1 se razvije kot u(t) = u EQ + ɛv EQ e λt + O(ɛ 2 ). Linearno razširitev hitrostnega polja u(r,t) lahko dobimo z rekonstrukcijo hitrostnih polj iz ustreznih vektorjev v faznem prostoru. Perturbacije okoli u EQ vzdolž lastne funkcije v EQ se razširijo kot u(r, t) = u EQ (r) + ɛv EQ (r)e λt + O(ɛ 2 ). Kompleksne lastne vrednosti in lastne funkcije (vektorji) morajo biti prepisani v obliko z realnimi vrednostimi, da lahko naredimo pretvorbo iz vektorjev v faznem prostoru v hitrostno polje. Naj bo λ = µ ± iω par kompleksno konjugiranih lastnih vrednosti, v = v r ± iv i pa so ustrezni lastni vektorji. Začetno hitrostno polje u(0) = u EQ + ɛv r se razširi kot u(t) = u EQ + ɛ(v r cos ωt v i sin ωt)e µt + O(ɛ 2 ). Realni hitrostni polji v r in v i dobimo iz realnih vektorjev v r in v i [7]. Na sliki 7 vidimo nekaj prvih nestabilnih lastnih vrednosti rešitev u LB (realna nestabilna lastna vrednost), u UB (kompleksen par nestabilnih lastnih vrednosti) in u NB (realna in kompleksen par nestabilnih lastnih vrednosti). Slika 7: Prve lastne vrednosti u LB, u NB in u UB v podprostoru grupe S (podpoglavje 3.3) [7]. Nestabilno (stabilno) mnogoterost rešitve u EQ bomo označevali z W u(n) EQ (W u(s) EQ ). Nestabilna mnogoterost W u(n) EQ se bo nanašala na orbito infinitezimalne perturbacije rešitve u EQ vzdolž pripadajoče lastne funkcije v (n) EQ in za realno lastno vrednost λ(n). Za kompleksen par lastnih vrednosti λ (n,n+1) rešitve u EQ 9

pa označimo z W u(n,n+1) EQ, ki predstavlja orbito krožnice z infinitezimalnim radijem v ravnini okoli u EQ. Ravnino napenjata lastna vektorja: realni v r (n) in imaginarni v (n) i. Ta del nestabilne mnogoterosti je dvodimenzionalen. Obliko pa lahko določimo z izračunom seta trajektorij z začetnim pogojem pri različnih vrednostih θ [7]. 5 Geometrija prostora stanj u EQ + ɛ(v r (n) cos θ + v (n) i sin θ) V prejšnjem poglavju smo spoznali enega od načinov vizualizacije ravninskega toka (slika 3). Vendar ima ta fizična predstava toka dve težavi. Prva je, da je težko razločiti stanja, ki so lahko zelo različna iz dinamičnega vidika. Druga težava pa je, da je težko videti, če sta dve različni stanji morda povezani. Za boljšo predstavo relacij med stacionarnimi rešitvami in periodičnimi orbitami ter tipičnimi turbulentnimi trajektorijami si bomo ogledali še en način vizualizacije v prostoru stanj. Zamislimo si 3D hitrostno polje v danem trenutku kot točko v faznem prostoru. V splošnem je ta prostor Navier-Stokesovih enačb neskončno dimenzionalen. V praksi pa je vedno aproksimiran z končno dimenzionalno mrežo točk. Gostoto mreže izberemo tako, da zajamemo vse strukture v hitrostnem polju od največjih vrtincev do najmanjših, kjer se energija hitrostnega polja disipira v notranjo energijo. Za enojno natačnost (8 decimalk) izračunanih rešitev polno razvitih Navier-Stokesovih enačb zadošča 10 5 dimenzionalen prostor. Ker lahko iz evolucije 3D hitrostnih polj prepoznavamo določene strukture (vrtinci, proge), lahko predpostavimo, da ne more biti vseh 10 5 koordinat enako pomembnih. Ali lahko konstruiramo tak koordinatni sistem v faznem prostoru, v katerem bi nekaj koordinat zajelo večino teh prepoznavnih struktur [10, 7]. Torej dobimo za časovno spreminjajoče se hitrostno polje trajektorije v faznem prostoru, za stacionarne rešitve pa točko. 5.1 Projekcija na 2D ali 3D prostor Ideja je, da si izberemo nekaj stanj, ki jih pogosto obišče turbulentni tok. Tok projiciramo na koordinatni okvir, ki ga konstruiramo iz ponavljajočih se stanj. Dobra izbira za ta stanja so na primer stacionarne rešitve. V tem primeru bo to zgornja veja u UB. Izkaže se, da je turbulentna dinamika ujeta med nestabilne mnogoterosti u UB, τ x u UB, τ z u UB in τ xz u UB [11]. Projekcijo naredimo s pomočjo skalarnega produkta, ki ga zapišemo kot (u, v) = 1 u v dr. V V splošnem tvorimo ortonormalno bazo funkcij {e 1, e 2,..., e n } iz seta linearno neodvisnih stanj in dobimo trajektorijo v faznem prostoru a(t) = (a 1, a 2,..., a n,...)(t), a n (t) = (u(t), e n ) v {e n } koordinatnem sistemu s pomočjo skalarnega produkta. u(t) je stanje tekočine ob nekem času t, ki ga predstavlja 10 5 dimenzionalni vektor. Projekcijo lahko predstavimo na 2D grafu {e i, e j } ali na 3D grafu {e i, e j, e k }. Oglejmo si konkreten primer za stacionarno rešitev u UB. Set ortonormalnih funkcij, ki bazirajo na u UB in translacije za polovične dolžine celice lahko dobimo s štirimi nerazcepnimi upodobitvami grupe T = {1, τ x, τ z, τ xz }: τ x τ z τ xz e 1 = c 1 (1 + τ x + τ z + τ xz )u UB S S S e 2 = c 2 (1 + τ x τ z τ xz )u UB S A A e 3 = c 3 (1 τ x + τ z τ xz )u UB A S A e 4 = c 4 (1 τ x τ z + τ xz )u UB A A S, Ω 10

(a) (b) Slika 8: Fazni portret ravninskega Couetteovega toka za [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400. S točkami so označena stacionarna stanja, z odebeljeno modro črto mnogoterost W u LB in njene translacije. Črne in rdeče trajektorije predstavljajo mnogoterost W u(1,2) NB, zelene pa 2D mnogoterost WUB, u ki izhaja iz u UB [7]. kjer so c n konstante določene z normo e n 2 = 1. Stolpci na koncu označujejo simetrijo vsakega baznega vektorja e n na grupo T. Kot primer S v τ x stolpcu pomeni τ x e n = e n, A v τ x stolpcu pa τ x e n = e n. Časovno evolucijo hitrostnega polja u lahko za ta primer zapišemo kot a(t) = (a 1, a 2, a 3, a 4 )(t), a n (t) = (u(t), e n ). Zaradi projekcije iz visokodimenzionalnega prostora na nizkodimenzionalen prostor se trajektorije v faznem prostoru lahko tudi sekajo [7]. 5.2 Fazni portret Prvi primer faznega portreta vidimo na sliki 8(a). Portret je rezultat projekcije iz 10 5 dimenzij na ravnino {e 1, e 2 } z zgoraj opisanim postopkom. Označena so stacionarna stanja u LM, u UB, u LB in u NB, ki je bilo odkrito na novo. Ker sta bazna vektorja e 1 in e 2 simetrična na operator τ x, se točke, ki so med sabo v relaciji s τ x (primer u LB in τ x u LB ), preslikajo v isto točko na portretu. Bazni vektor e 2 je antisimetričen na operator τ z kar pomeni, da se translacije za polovično dolžino celice v z smeri kažejo kot zrcalna slika vzdolž a 2 koordinate. Z debelo modro črto je označena nestabilna mnogoterost WLB. u Tvori nek okvir za trajektorije, ki izhajajo iz u NB. Rešitev u LB ima eno nestabilno lastno vrednost, ki je realna. Iz tega sledi, da je mnogoterost W u LB enodimenzionalna. Obe veji W u LB končata kot laminaren tok. Ena od vej takoj, druga pa po turbulentnem izletu v smeri u UB. Spodnja polovica mnogoterosti WLB, u ki izhaja iz τ z translacije u LB, je narisana le delno zaradi preglednosti faznega portreta. Rešitev u NB ima par kompleksno konjugiranih lastnih vrednosti. Mnogoterost W u(1,2) NB je prikazana na sliki 8(a) kot spirala trajektorij, ki izhajajo iz u NB. Dobimo presenetljiv rezultat. 2D površina W u(1,2) NB je omejena z 1D krivuljo WLB. u Med u NB in u UB vidimo, da obstaja povezava. Tako povezavo med ravnovesnimi točkami imenujemo heteroklinska povezava. Heteroklinska povezava med u NB in u UB tvori mejo med trajektorijami, ki končajo neposredno kot laminaren tok in med trajektorijami, ki gredo prehodno skozi turbulenten tok. Za Re = 400 in celico velikosti [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5] vse trajektorije iz različnih začetnih pogojev končajo kot laminaren tok. Iz 2D faznega portreta pa ni mogoče določiti ali heteroklinska povezava poteka med u NB in u LB ali τ x u LB. Ko dodamo grafu 8(a) še tretjo koordinato a 3, dobimo še boljši vpogled v dinamiko sistema. Na 3D sliki 8(b) se tako jasno vidi, da poteka povezava med u NB in u LB. Bazni vektor e 3 je antisimetričen na operator τ x. Koordinata a 3 zato loči med u LB in τ xz u LB. V 2D projekciji pa ležita eno na drugem. Fazni portret razkrije še en razcep mnogoterosti W u(1,2) NB. Vendar ta ni posledica heteroklinske povezave med 11

u NB in katere od translacij u LB. Trajektorije se razhajajo v bližini τ z u LB in τ xz u LB, ampak se nobena ne približa kateri od teh dveh točk. Prav tako pa se v nadaljevanju ne bližajo h kateri od mnogoterosti Wτ u(1,2) z NB = τ z W u(1,2) NB in Wτ u(1,2) xz NB = τ xz W u(1,2) NB. Geometrija W u(1,2) NB je v tem področju precej zapletena. Separacija trajektorij med τ z u LB in τ xz u LB namiguje, da bi morda lahko obstajala kakšna rešitev v tem območju, vendar vsi začetni pogoji v končni fazi konvergirajo k τ z u LB in τ xz u LB. Jasno pa je, da je geometrija W u(1,2) NB oblikovana z nestabilnimi mnogoterostimi WLB, u Wτ u z LB in Wτ u xz LB. S tema dvema faznima portretoma smo prepoznali območja, ki sprožijo prehode proti kvalitativno drugačnim tipom tokov [7]. 6 Nadzor turbulence V 4.6 je bilo že omenjeno, da ima spodnja veja u LB le eno nestabilno lastno vrednost za velik razpon Reynoldsovih števil. Oglejmo si stabilnost te rešitve bolj podrobno. Na sliki 9 je prikazana stabilnost Slika 9: Nestabilna lastna vrednost u LB v odvisnosti od Re [13]. edine lastne vrednosti u LB na intervalu 270 Re 12 000. Najbolj nestabilna je pri vrednosti Re = 348, za večje Re pa pada. Pripadajoča lastna funkcija ohranja enake simetrije rotacije in zrcaljenja kot spodnja veja, medtem ko za zgornjo vejo to ne velja in tvori nove bifurkacije pri povečevanju Re. Spodnja veja u LB ima 1D nestabilno mnogoterost, ki razdeli lokalni fazni prostor na dva dela. En del hitro konvergira k laminarni rešitvi, drug del pa gre v turbulentno stanje. To lahko vidimo tudi na Slika 10: Disipacija D v odvisnosti od vložene moči I. Modra točka (1,1) je laminarna rešitev, zelena točka (1.35,1.35) je u LB, rdeča točka (3.89,3.89) je zgornja veja u UB [13]. sliki 10, ki prikazuje dve trajektoriji. Obe imata začetek v bližini u LB na nestabilni mnogoterosti. Tok gre v eni smeri v laminarno stanje (zelena trajektorija), v drugi smeri pa zaide v turbulenco (modra trajektorija). S tem pa se precej poveča izgubljanje energije toka. Nizka dimenzionalnost nestabilne mnogoterosti spodnje veje namiguje na nov pristop k nadzoru turbulence. Postopke za nadzor turbulence grobo razdelimo na dva dela. Prvi del preprečevanje zloma linearno stabilnega laminarnega toka, drugi del pa je nelinearen turbulenten tok prisiliti nazaj v laminaren tok. Nov postopek pa bi lahko bil, da tok držimo v ravnovesni spodnji veji s kontrolo nekaj njenih nestabilnosti. Upor bi bil nekje od 30% do 40% večji kot v laminarnem toku, vendar je to še vedno zelo ugodno, če primerjamo, kakšen upor povzroča turbulenten tok [13]. 12

7 Zaključek V seminarju smo si lahko ogledali točne invariantne rešitve sistema Navier-Stokesovih enačb za primer ravninskega Couetteovega toka. Ravnovesne rešitve, potujoči valovi in periodične orbite obsegajo Hopfovo vizijo o repertoarju ponavljajočih se vzorcev v turbulentni dinamiki. Z novo metodo vizualizacije toka v faznem prostoru je bila odkrita tudi nova rešitev in prva heteroklinska povezava med dvema netrivialnima rešitvama. Na prvi pogled morda izgleda fazni portret turbulentne dinamike precej zapleteno. Ko ga razčlenimo, pa postane veliko bolj jasen. Sestavljen je iz bližnjih obhodov točnih koherentnih stanj z vmesnimi prehodi skozi turbulentna stanja. Ta opis ponuja napoved transportnih lastnosti tekočin, na primer celoten pretok in povprečen upor na stenah. Mogoče je sklepati, da bodo fazni portreti v kompleksnejših geometrijah bolj zapleteni. Prej pa je potrebno najti še rešitve. Rešitve v drugih geometrijah so znane npr. v Taylor-Couetteovem toku, kjer je tekočina ujeta med dvema valjema. Izračun točnih lastnih funkcij in nestabilnih mnogoterosti pa obeta nov način kontrole turbulence v strižnih tokovih. Perturbacije v lastnih smereh lahko izkoristimo za stabilizacijo toka v željeno stanje, ki ni nujno laminarno. Cilj za prihodnost je globalni opis turbulentnega toka. Zaenkrat so vsi numerični izračuni temeljili na majhnih periodičnih celicah, ki komaj še vzdržujejo turbulenten tok. Literatura [1] A. N. Kolmogorov: The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers, Proc. R. Soc. Lond. 434, 1890 9-13, (1991). [2] E. Hopf: A mathematical example displaying features of turbulence, Comm. Appl. Math. 1, 303-322, (1948). [3] S. Kline, W. C. Reynolds, F. A. Schraub, P. W. Rundstadler: The structure of turbulent boundary layers, J. Fluid Mech. 30, 741-773, (1967). [4] M. Nagata: Three-dimensional finite-amplitude solutions in plane Couette flow: bifurcation from infinity, J. Fluid Mech. 217, 519-527, (1990). [5] M. Nagata: Three-dimensional traveling-wave solutions in plane Couette flow, Phys. Rev. E 55, 2023-2025, (1997). [6] J. F. Gibson, J. Halcrow & P. Cvitanović: Equilibrium and traveling-wave solutions of plane Couette flow, arxiv:0808.3375v2 (2008). [7] J. F. Gibson, J. Halcrow & P. Cvitanović: Visualizing the geometry of state-space in plane Couette flow, J. Fluid Mech. 621, 365-376, arxiv:0705.3957 (2009). [8] http://en.wikipedia.org/wiki/couette_flow (15. 3. 2012) [9] J. Halcrow: Geometry of turbulence: An exploration of the state-space of plane Couette flow, School of Physics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, ZDA, (2008). [10] http://www.chaosbook.org/tutorials/ (20. 3. 2012) [11] J. F. Gibson, J. Halcrow, D. Viswanath & P. Cvitanović: Heteroclinic connections plane Couette flow, arxiv:0808.1865v1 (2008). [12] J. F. Gibson: Channelflow: spektralni simulator Navier-Stokesovih enačb, www.channelflow.org. [13] J. Wang, J. F. Gibson & F. Waleffe: Lower branch coherent states in shear flows: transition and control, Phys. Rev. Lett. 98(20), arxiv:physics/0703072v1 (2007). 13