Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar Disperzijski modeli za modeliranje izpustov Avtor: Maruška Mole Mentor: asist. Rahela Žabkar Ljubljana, februar 2009 Povzetek Seminar predstavi Eulerjev in Lagrangev pristop k reševanju disperzijske enačbe, težave, ki se pri reševanju pojavijo, ter prednosti enega in drugega načina reševanja. Opisana je analitična rešitev disperzijske enačbe za točkast izpust na ravni podlagi, ki jo imenujemo Gaussov model, in eulerjevski model CAMx, ki upošteva emisije, disperzijo, kemijske reakcije in odstranjevanje polutantov.
Kazalo 1 Uvod 2 2 Matematični opis disperzije polutantov 2 2.1 Eulerjev način................................. 2 2.1.1 K-teorija................................ 3 2.2 Lagrangev način................................ 4 2.2.1 Enodimenzionalni tok........................ 5 2.3 Primerjava obeh načinov........................... 6 3 Gaussov model izpustov - analitična rešitev disperzijske enačbe 7 3.1 Efektivna višina dimnika in dimni dvig................... 8 3.2 Hitrost vetra na efektivni višini dimnika.................. 9 3.3 Gaussovi dispezijski koeficienti........................ 9 3.4 Najvišja koncentracija polutantov...................... 10 3.5 Koncentracije polutantov pod temperaturno inverzijo........... 10 4 Opis eulerjevskega modela izpustov CAMx 12 4.1 Transportni algoritmi............................. 14 4.1.1 Horizontalna advekcija........................ 14 4.1.2 Horizontalna difuzija......................... 14 4.1.3 Vertikalni transport in difuzija.................... 14 4.2 Odstranjevanje polutantov.......................... 14 4.2.1 Mokra depozicija........................... 15 4.2.2 Suha depozicija............................ 16 4.3 Kemijske reakcije............................... 16 5 Zaključek 17 1
1 Uvod Z disperzijskimi modeli želimo matematično čim bolje opisati prostorsko in časovno porazdelitev polutantov, ki so bili izpuščeni v atmosfero. Obnašanje delcev plina znotraj turbulentnega toka največkrat imenujemo turbulentna difuzija oziroma atmosferska difuzija, čeprav procesi, ki pri tem potekajo, nimajo nikakršne zveze z molekularno difuzijo, zato bi bilo pravilneje pojav imenovati atmosferska disperzija. K atmosferski disperziji poleg turbulentne difuzije spada še advekcija - gibanje polutantov s tokom, poleg atmosferske disperzije pa navadno v modelih upoštevamo še procese izločanja polutantov (suha in mokra depozicija, kemijske reakcije). Ker pa se v literaturi pogosto pojavlja izraz turbulentna difuzija namesto atmosferske disperzije, bo, da ne bi bilo prevelike zmede, ta izraz uporabljan v skladu z virom, iz katerega je bila snov povzeta [1]. Disperzijski modeli so tudi precej praktično uporabni. Predpisi o dovoljenih koncentracijah polutantov v atmosferi so vedno strožji, zato je potrebno ob vsaki novi umestitvi vira v okolje ali povečanju izpustov iz že obstoječih virov najprej preučiti, kolikšen bo njihov vpliv na onesnaženost okolja. 2 Matematični opis disperzije polutantov Radi bi zapisali in rešili enačbo, ki bi opisovala širjenje polutantov po atmosferi. Na voljo imamo dva različna načina opisa problema - Eulerjev način, kjer dogajanje opisujemo v sistemu, ki miruje, ter Lagrangev način, kjer opisujemo spremembe glede na sistem, ki se premika s tekočino. Katerega izmed pristopov izberemo, je odvisno od problema, ki ga želimo obravnavati. 2.1 Eulerjev način Eulerjev način opisa disperzije je vezan na mirujočo enoto volumna. Opazujemo torej, kaj se dogaja znotraj enote volumna, koliko delcev vanj vstopi, izstopi, jih v njem nastane oziroma razpade. Najprej predpostavimo, da imamo znotraj tekočine N različnih tipov delcev. Koncentracija znotraj posameznega tipa delcev mora biti ves čas konstantna. To pomeni, da morajo biti procesi, ki se dogajajo znotraj tekočine, v ravnovesju. Koncentracija posameznega tipa delcev mora torej zadostiti kontinuitetni enačbi (izpeljava povzeta po [1]): C i t + 2 C i (u j C i ) = D i + R i (C 1,..., C N, T ) + S i ( x, t) + I i ( x, t), (1) x j x j x j i = 1,..., N, kjer je u j j-ta komponenta hitrosti tekočine, D i je molekularna difuzivnost delcev tipa i v tekočini, S i in I i viri in ponori delcev tipa i v točki x = (x 1, x 2, x 3 ) ob času t ter R i hitrost nastajanja oziroma porabljanja delcev tipa i zaradi kemijskih reakcij. Poleg tega, da mora C i zadostiti enačbi (1), morata tudi hitrost u j in temperatura T zadostiti gibalni in energijski enačbi, kar pomeni, da bi morali zaradi povezanosti spremenljivk C i, u j in T reševati sistem treh enačb, in sicer kontinuitetne, gibalne in energijske enačbe. Vendar pa lahko zaradi zelo majhnih koncentracij delcev (merimo 2
jih v ppm - parts per million) predpostavimo, da ti delci ne vplivajo na spremembe v gibalni in energijski enačbi, kar pomeni, da lahko rešujemo kontinuitetno enačbo ločeno od preostalih dveh (u j in T sta tako neodvisni od C i ). Zato od zdaj naprej ne bomo več upoštevali, da so R i odvisni od T. Ker so tokovi, s katerimi se ukvarjamo, turbulentni, so hitrosti u j naključne funkcije časa in prostora. Zaradi lažjega obravnavanja enačb zapišemo hitrost u j raje kot vsoto povprečnega stanja ū j in perturbacije u j. Če v enačbi (1) zapišemo u j kot ū j +u j, dobimo C i t + ((ū j + u 2 C i x j)c i ) = D i + R i (C 1,..., C N ) + S i ( x, t) + I i ( x, t). (2) j x j x j Ker je u j naključna spremenljivka, lahko sklepamo, da bo tudi C i, ki jo bomo dobili kot rešitev enačbe (2), naključna. Kot pri hitrosti zaradi lažjega računanja tudi za koncentracije zapišemo C i = C i + C i, kjer je C i povprečna koncentracija, C i pa naključno odstopanje ( C i = 0), in zvezo uporabimo v enačbi (2), ki jo povprečimo po neskončno različnih situacijah: C i t + x j (ū j C i ) + x j u jc i = = D i 2 C i x j x j + R i ( C 1 + C 1,..., C N + C N) + S i ( x, t) + I i ( x, t). (3) Dobimo torej dodaten člen x j u jc i, ki predstavlja turbulentno difuzijo. Če predpostavimo še, da imamo le en tip delcev (N = 1), ki med sabo ne reagirajo, je R = 0. Tako nam kot odvisne spremenljivke ostanejo C in u jc (j = 1, 2, 3). Imamo torej poddoločen sistem - več neznank kot enačb, kar pomeni, da za rešitev enačbe potrebujemo nadaljne predpostavke. 2.1.1 K-teorija Težave pri reševanju nastanejo zaradi nepoznavanja členov turbulentne difuzije. Najpogosteje se za povezavo med C in u jc uporablja K-teorija [1]: u jc = 3 k=1 K jk C x k, j = 1, 2, 3, (4) kjer je K jk tenzor turbulentne difuzije. Če osi tenzorja sovpadajo z osmi našega sistema, so izven diagonalni členi tenzorja enaki 0, neničelni so torej le členi K 11, K 22 in K 33. Enačba (4) nam opisuje turbulentno mešanje [2]. Če si ogledamo enačbo za j = z ob predpostavki, da so izven diagonalni členi tenzorja turbulentne difuzije enaki 0, lahko zapišemo: u zc = K zz C x z. Na ta način torej opišemo prenos polutantov iz začetne točke v novo točko. Ta prenos je posledica vertikalnih gibanj, pri čemer pa se delci tudi turbulentno mešajo z ozračjem. Koeficient K zz se lahki določi empirično ali pa ga parametriziramo z vertikalno hitrostjo in dolžino (potjo) mešanja. 3
Če želimo nekoliko poenostaviti enačbo (3), zanemarimo molekularno difuzijo v primerjavi s turbulentno difuzijo (D 2 C i x j x j x j u jc ) in predpostavimo, da je atmosfera nestisljiva ( ū j x j = 0). S tema predpostavkama in z upoštevanjem enačbe (4) lahko enačbo (3) zapišemo kot C C + ū j = ( ) C K jj + S( x, t) + I i ( x, t). (5) t x j x j x j To enačbo imenujemo semiempirična enačba atmosferske difuzivnosti oziroma disperzijska enačba. Tak zapis pa velja le, če so kemijske reakcije počasne in porazdelitev virov enakomerna. Če želimo upoštevati še kemijske reakcije med delci, zopet uvedemo člen R i, ki ga lahko zapišemo kar kot R i ( C 1,..., C N ), pri čemer smo zanemarili vpliv perturbacij koncentracij delcev na hitrost reakcij. Na ta način lahko zapišemo C i C i + ū j = ( ) C i K jj + R i ( C 1,..., C N ) + S i ( x, t) + I i ( x, t). (6) t x j x j x j Zapišimo zdaj rešitev enačbe (5) za izpust oblike S(t) = δ(t) pri t = 0. Najprej predpostavimo, da so K 11 = K xx, K 22 = K yy in K 33 = K zz konstantni in da imamo tok le v x smeri, ter na novo zapišemo semiempirično enačbo kot C t + ū C x = K 2 C 2 C 2 C xx + K x 2 yy + K y 2 zz z. (7) 2 Začetni pogoj, ki ga imamo v tem primeru, je C(x, y, z, 0) = Sδ(x)δ(y)δ(z), ponore polutantov zanemarimo, robni pogoji pa so C(x, y, z, t) = 0 za x, y, z ±. Rešitev enačbe (7) z upoštevanjem robnih in začetnih pogojev je C(x, y, z, t) = S exp 8(πt) 3/2 (K xx K yy K zz ) 1/2 (x ūt)2 ( 4K xx t y2 4K xx t ) z2. (8) 4K xx t V splošnem členi K xx, K yy in K zz niso konstantni, predvsem za K zz se pogosto uporabljajo različne parametrizacije, ki upoštevajo hitrost vetra in dolžino (pot) mešanja. Poleg K-teorije obstaja še nekaj drugih približkov za opis turbulentnega mešanja. Tako lahko v primeru, ko imamo dobro premešano ozračje, predpostavimo kar, da turbulentnega mešanja ni, če želimo natančnejši opis od K-teorije, pa lahko upoštevamo še relacije med povprečji zmnožkov perturbacij. Tak opis je ustrezen, kadar opisujemo dogajanje na zelo majhni skali, zanj pa potrebujemo še nekaj dodatnih prognostičnih enačb [2]. 2.2 Lagrangev način V primerjavi z Eulerjevim načinom, kjer nas je zanimalo dogajanje znotraj enote mirujočega volumna, nas pri Lagrangevem načinu zanima, kaj se dogaja z delcem tekočine. Kot delec tekočine si predstavljamo volumen, ki je velik v primerjavi z velikostjo molekul, medtem ko je še dovolj majhen, da ga lahko obravnavamo kot točko. 4
Delec tekočine se ob času t nahaja na mestu x. Gibanje delca opišemo s trajektorijo X[ x, t ; t], ki nam podaja mesto, na katerem se delec nahaja ob času t. Označimo s ψ(x 1, x 2, x 3, t)dx 1 dx 2 dx 3 = ψ( x, t)d x verjetnost, da se delec ob času t nahaja znotraj elementa volumna x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3. Funkcija ψ je torej gostota verjetnosti in zanjo po definiciji velja [1]: ψ( x, t)d x = 1. To verjetnostno gostoto pa lahko sestavimo iz dveh drugih - iz verjetnosti ψ( x, t ), da je bil delec ob času t res v x, ki jo integriramo po vseh možnih x, ter verjetnosti Q( x, t x, t ), da se delec iz x ob času t premakne v x ob času t. Ko ti dve verjetnosti sestavimo, dobimo ψ( x, t) = Enačba (9) velja za en sam delec, za m delcev pa zapišemo C( x, t) = Q( x, t x, t )ψ( x, t )d x. (9) m ψ i ( x, t), (10) kjer je ψ i ( x, t) verjetnostna porazdelitev za i-ti delec. Enačbo (9) zapišemo lahko še nekoliko drugače, če upoštevamo začetno koncentracijo C( x 0, t 0 ) in izvor delcev S( x, t ): C( x, t) = i=1 Q( x, t x 0, t 0 ) C( x 0, t 0 ) d x 0 + t + Q( x, t x, t )S( x, t )dt d x. (11) t 0 Prvi člen na desni strani enačbe (11) predstavlja delce, ki so bili prisotni ob času t 0, drugi člen pa delce, ki so nastali med t 0 in t. Enačba (11) je osnovna enačba Lagrangevega načina, vendar pa ima kar nekaj pomanjkljivosti, saj z njo ne moremo upoštevati kemijskih reakcij, še večje težave pa nastanejo zaradi nepoznavanja funkcije Q. 2.2.1 Enodimenzionalni tok Ker nepoznavanje Q otežuje reševanje problema, nas zanima, če je morda pod kakšnimi pogoji njegova oblika vseeno poznana. Za začetek zapišimo advekcijsko enačbo za enodimenzionalni tok [1]: C t + (uc) = S(x, t). (12) x Hitrosti u imajo naključne vrednosti, prav tako tudi koncentracije C. Enačbo (12) želimo rešiti za določeno vrednost hitrosti, pri čemer predpostavimo, da je hitrost neodvisna od x, torej odvisna le od časa t. Predpostavimo še, da je porazdelitev hitrosti normalna p u (u) = 1 (2π) 1/2 σ u exp 5 ( (u ū)2 2σ 2 u ),
pri reševanju enačbe (12) pa bomo potrebovali še korelacijo (u(t) ū)(u(τ) ū) = σ 2 u exp( b t τ ) (t in τ sta dva različna časa), kjer smo predpostavili, da je u(t) stacionaren naključen proces, kar pa pomeni tudi, da so statistične lastnosti odvisne samo od razlike t τ in ne od vsakega časa posebej. Zdaj lahko rešimo enačbo (12) za časovno spremenljivi vir S(t) v x = 0. Rešitev je C(x, t) = t 0 δ(x X(t, τ))s(τ)dτ, (13) kjer je X(t, τ) pot, ki jo delec prepotuje med časoma t in τ. Ker je pot odvisna od hitrosti, je tudi porazdelitev poti med posameznimi časi normalna: ) 2 1 (X X) p x (X; t, τ) = exp (. (2π) 1/2 σ x Ker nas zanima povprečna koncentracija, enačbo (13) najprej povprečimo, nato pa upoštevamo še izraz za porazdelitev poti p x (X; t, τ) in dobimo C(x, t) = t 0 2σ 2 x S(t ) δ(x X(t, t ))p x (X; t, t )dxdt = t 0 S(t )p x (x; t, t )dt. (14) Če primerjamo enačbi (11) in (14), ugotovimo, da člen p x (x; t, t ) iz enačbe (14) ustreza členu Q(x, t x, t ) iz (11), le da je v tem primeru neodvisen od x. Za konec zapišimo še rešitev enačbe (14) za izpust oblike S(t) = δ(t) pri t = 0: C(x, t) = 1 (2π) 1/2 σ x (t) exp ( (x ūt)2 2σ x (t) 2 To rešitev lahko posplošimo tudi na tridimenzionalni tok: 1 C(x, y, z, t) = ( (2π) 3/2 σ x (t)σ y (t)σ z (t) exp (x ūt)2 y2 2σ x (t) 2 2σ y (t) 2 pri čemer še vedno predpostavljamo tok samo v x smeri. 2.3 Primerjava obeh načinov ). (15) z2 2σ z (t) 2 ), (16) Ne glede na to, na katerega izmed načinov se lotimo računanja disperzije polutantov, bi morali dobiti enako rešitev. Vendar pa so omejitve načinov različne. Eulerjev način reševanja omogoča uporabo meritev hitrosti vetra, saj so anemometri postavljeni na stalnih mestih, hkrati pa lahko z njim upoštevamo tudi kompleksnejše kemijske reakcije. Vendar pa pri reševanju hitro naletimo na težave, saj je sistem enačb poddoločen zaradi členov turbulentne difuzije, kar pomeni, da ga ne moremo rešiti brez dodatnih predpostavk in poenostavitev. Pri Lagrangejevem načinu reševanja se težave pojavijo že pri meritvah, saj je težko določiti hitrost gibanja posameznega delca. Tak način reševanja tudi ne omogoča upoštevanja zahtevnejših kemijskih reakcij. Vendar pa tu nimamo poddoločenega sistema, kar pomeni, da je nekoliko lažji za reševanje. 6
Povezava med obema naˇcinoma je lepo razvidna pri reˇsevanju enaˇcbe za poseben primer, ko imamo izpust oblike S(t) = δ(t) pri t = 0 in konstanten tok v x smeri. Ko primerjamo enaˇcbi (8) in (16), ugotovimo, da sta si reˇsitvi zelo podobni, ˇce pa definiramo enakosti σx2 = 2Kxx t, σy2 = 2Kyy t, σz2 = 2Kzz t, postaneta reˇsitvi identiˇcni. Modelu, ki opisuje ta primer, pravimo Gaussov model in je opisan v naslednjem poglavju. 3 Gaussov model izpustov - analitiˇ cna reˇ sitev disperzijske enaˇ cbe Skoraj vsak model, ki poskuˇsa opisati koncentracijo polutantov v ozraˇcju, predpostavlja, da lahko ˇcasovno povpreˇcje koncentracije v smeri vetra od izvora opiˇsemo z normalno (Gaussovo) porazdelitvijo. Osnovni Gaussov disperzijski model lahko uporabimo za modeliranje toˇckastih izpustov (npr. dimnikov), lahko pa ga prilagodimo tudi za modeliranje linearnih izpustov (modeliranje emisij prometa vzdolˇz avtoceste) in ploskovno porazdeljenih izpustov (modeliranje veˇcjega ˇstevila toˇckastih ali linearnih izpustov). Koordinatni sistem postavimo tako, da kaˇze x os v smeri vetra, y os pravokotno na smer vetra, z os navpiˇcno navzgor (slika 1-levo), srediˇsˇce koordinatnega sistema pa je ob vznoˇzju dimnika. Ker se dimna sled s ˇcasom spremnja, moramo doloˇciti ovojnico, znotraj katere se ta ves ˇcas nahaja (slika 1-desno). Ovojnica nekoliko stran od izvora postaja vedno bolj simetriˇcna okrog osrednje osi dima, ki je nekoliko nad viˇsino dimnika. Koncentracija polutantov je na tej osi najveˇcja, z oddaljevanjem od osi se manjˇsa. Pri Gaussovem modelu predpostavimo, da se porazdelitev koncentracije spreminja po normalni porazdelitvi okrog osrednje osi v preˇcni in navpiˇcni smeri. Izvor izpustov v tem primeru je tako postavljen na viˇsino H, ki jo imenujemo efektivna viˇsina dimnika. Slika 1: Postavitev koordinatnega sistema (levo) in preˇcni presek v xz ravnini (desno). [3] S pomoˇcjo Gaussovega modela lahko poveˇzemo povpreˇcno koncentracijo polutantov ˇ z jakostjo izpustov, hitrostjo vetra, efektivno viˇsino dimnika in pogoji v atmosferi. Ce ˇzelimo dobiti reˇsitev, moramo uvesti nekaj predpostavk: 7
jakost izpustov je konstantna, hitrost vetra se ne spreminja v času in z višino, količina polutantov se ohranja (ni kemijskih reakcij ali depozicije, v stiku s tlemi pride do odboja), območje modeliranja je relativno ravno. Ker nas zanima koncentracija polutantov pri tleh, postavimo z = 0 in zapišemo enačbo za povprečno koncentracijo [3]: ( ) ( ) Q H 2 y 2 C(x, y) = exp exp, (17) πu H σ y σ z kjer je C(x, y) koncentracija v točki (x, y, 0) v µg/m 3, Q moč izpustov v µg/s, H efektivna višina dimnika, u H povprečna hitrost vetra na efektivni višini v m/s, σ y in σ z pa standardni deviaciji v y in z smeri v m. Gaussov model je idealiziran model. Ker je zgoraj navedenim predpostavkam v naravi težko zadoščeno, lahko realne koncentracije glede na napovedane odstopajo za ±50%. Kljub temu pa je zaradi svoje enostavne uporabe precej razširjen. 2σ 2 z 3.1 Efektivna višina dimnika in dimni dvig Efektivna višina dimnika H je vsota dejanske višine dimnika h in višine, do katere se dim dvigne iznad dimnika h, ki jo imenujemo dimni dvig. Dimni dvig je posledica vzgona in hitrosti izstopajočih plinov, pomembna pa je tudi stabilnost atmosfere. V stabilni atmosferi zapišemo dimni dvig kot 2σ 2 y ( ) 1 F 3 h = 2.6, (18) u h S stab kjer je F parameter vzgona, ki se ne glede na stabilnost atmosfere zapiše kot ( F = gr 2 v s 1 T ) a. T s Pri tem je g gravitacijski pospešek, r notranji premer dimnika, u h hitrost vetra na višini dimnika, v s in T s hitrost in temperatura izhodnih plinov, T a pa temperatura okolice. Parameter S stab v enačbi (18) imenujemo stabilnostni parameter in je definiran kot S stab = g ( ) Ta T a z + 0.01 C/m. Če je atmosfera nevtralna ali nestabilna, izračunamo dimni dvig kot h = 1.6F 1 3 x 2 3 f, (19) u h 8
kjer je F parameter vzgona, ki smo ga zapisali že za stabilno atmosfero, x f pa razdalja dolveterno od dimnika, na kateri doseže dim končno višino. Za določanje te razdalje lahko na primer uporabimo naslednji zvezi [3]: x f = 120F 0.4, F 55m 4 /s 3, x f = 50F 5/8, F < 55m 4 /s 3. 3.2 Hitrost vetra na efektivni višini dimnika Ker želimo v Gaussovi enačbi uporabiti hitrost vetra na efektivni višini dimnika, poznamo pa le hitrost vetra na višini anemometra (običajno 10 m nad tlemi), moramo najti povezavo med njima. Za izračun vetra na efektivni višini se pogosto uporablja enačba u H = u a ( H z a ) p, (20) kjer je u a hitrost vetra na višini anemometra, z a višina anemometra in p brezdimenzijski parameter, ki je odvisen od tipa tal in stabilnosti atmosfere. Vrednosti parametra p so tabelirane v [3], stran 410. 3.3 Gaussovi dispezijski koeficienti Za določitev disperzijskih koeficientov moramo vedeti, kakšni so pogoji v atmosferi. Najpogosteje se za klasifikacijo stabilnosti uporabljajo Pasquill-Giffordovi razredi stabilnosti, ki so predstavljeni v tabeli 1. Tabela 1: Vrednosti v stolpcu z naslovom dan - jasno veljajo za poletni dan, ko je sonce višje kot 60 nad obzorjem, stolpec dan - delno oblačno velja za poletni dan z nekaj oblaki na nebu oziroma jasen poletni dan s soncem, ki je med 35-60 nad obzorjem, stolpec dan - oblačno velja za jesensko popoldne, oblačen poletni dan oziroma jasen poletni dan s soncem med 15-35 nad obzorjem, stolpec noč - oblačno velja ponoči, ko je več kot 4/8 neba pokritega z oblaki, stolpec noč - jasno pa ponoči, ko je manj kot 3/8 neba pokritega z oblaki. [3] u tla dan noč (m/s) jasno delno oblačno oblačno oblačno jasno <2 A A-B B E F 2-3 A-B B C E F 3-5 B B-C C D E 5-6 C C-D D D D >6 C D D D D Pasquill in Gifford sta uvedla tudi postopek za določitev disperzijskih koeficientov. Odvisnost disperzijskih koeficintov od razdalje od dimnika je prikazana na sliki 2. Ker za numerično računanje grafična predstavitev vrednosti disperzijskih koeficientov ni uporabna, se za njuno določanje uporabljata naslednja približka: σ y = ax 0.894, 9
Slika 2: Disperzijska koeficienta σ y (levo) in σ z (desno) v odvisnosti od razdalje od dimnika. [3] σ z = cx d + f, (21) kjer so a, c, d in f konstante. Njihove vrednosti so tabelirane v [3] na strani 413. 3.4 Najvišja koncentracija polutantov Najvišja koncentracija polutantov pri tleh je močno odvisna od efektivne višine dimnika, kar lahko opazimo na sliki 3 zgoraj. Višji dimniki tako manj onesnažujejo zrak pri tleh kot nižji. Pomembna je tudi stabilnost atmosfere. Bolj ko je atmosfera stabilna, večji je maksimum pri tleh, ki je tudi bliže viru, saj je v stabilni atmosferi manj mešanja zraka z višino, kar pomeni, da se delci težje razporedijo po atmosferi. Odvisnost koncentracije od stabilnosti atmosfere prikazuje slika 3 spodaj. 3.5 Koncentracije polutantov pod temperaturno inverzijo Kadar imamo temperaturno inverzijo, ta deluje kot neke vrste pokrov, ki preprečuje, da bi se polutanti širili nad višino, do katere sega inverzija. Potek temperature z višino ob temperaturni inverziji prikazuje slika 4 levo. Podobno kot pri tleh se tudi od plasti inverzije delci odbijejo, kar pomeni, da prihaja na zgornji meji do velikega števila odbojev. Ker bi računanje z odboji zelo otežilo izračun koncentracije polutantov, raje predpostavimo, da je od neke razdalje od dimnika zrak v celoti premešan. Eno izmed možnih ocen za izračun koncentracije pod plastjo inverzije je predlagal Turner (1970) [3]: C(x, 0) = Q (2π) 1/2 u H σ y L, x 2X L, (22) 10
Slika 3: Koncentracija polutantov v odvisnosti od efektivne višine dimnika (a) in stabilnosti atmosfere (b) vzdolž x osi. [3] kjer je L razdalja od tal do plasti inverzije, X L pa razdalja dolveterno do mesta, kjer dim prvič zadane plast inverzije. Obe navedeni razdalji sta označeni tudi na sliki 4. Slika 4: Potek temperature z višino in višina plasti inverzije (levo), razdalja, na kateri dim zadane plast inverzije (desno). [3] Razdaljo X L lahko določimo tudi iz pogoja, da je σ z = 0.47(L H), ko je x = X L. 11
Koncentracijo polutanta ob temperaturni inverziji torej določimo po enačbi (22), če smo na razdalji od dimnika, ki je večja od 2X L, če je ta razdalja manjša od X L, določimo koncentracijo po enačbi (17), za razdaljo med X L in 2X L pa lahko uporabimo interpolacijo med vrednostima koncentracij na obeh mejah. 4 Opis eulerjevskega modela izpustov CAMx CAMx (The Comprehensive Air quality Model with Extensions, [4]) je eulerski fotokemični disperzijski model, ki deluje na različnih skalah. CAMx simulira emisije, disperzijo, kemijske reakcije in odstranjevanje delcev v troposferi s pomočjo reševanja kontinuitetne enačbe za vsak tip delcev. Eulerjeva kontinuitetna enačba opisuje odvisnost povprečne koncentracije delcev znotraj enote volumna od časa: ( ( )) ( ) C i t = (Ci η) h Ci H v H C i + C i + ρk + z z t ρ + C i t kemija + C i t emisije + C i t odstranjevanje, (23) kjer v H vektor horizontalne hitrosti vetra, η stopnja mešanja, h debelina sloja, ρ gostota atmosfere in K tenzor turbulentne difuzije. V vsakem časovnem koraku kontinuitetno enačbo razbijemo na manjše kose in posebej izračunamo prispevke emisij, advekcije v x in y smeri, transporta in difuzije v z, difuzije v xy ravnini, spiranja in kemijskih reakcij. Prispevek suhe depozicije ni vključen med dele kontinuitetne enačbe, ker se hitrost suhe depozicije izračuna iz kemijskih lastnosti delcev in lokalnih meteoroloških parametrov ter se nato uporabi kot spodnji robni pogoj za vertikalno difuzijo. Prispevek emisij se izračuna kot C i t = E i t m2 x y z, kjer je m razmerje razdalj za različne projekcije (m = 1 za latitude/longitude koordinate), t časovni korak modela, E i pa lokalna moč izpustov v µmol/s za pline in v µg/s za aerosol. Prispevki ostalih delov bodo opisani kasneje. Model za svoje delovanje potrebuje vhodne meteorološke podatke. To pomeni, da v primerjavi z Gaussovim modelom, kjer smo meteorološke podatke določili s predpostavkami, tu potrebujemo meteorološki model, ki nam bo v vsakem časovnem koraku posredoval podatke o hitrosti vetra, temperaturi, vlagi, itd. Časovni korak modela t lahko priredimo svojim potrebam, model pa nam omogoča tudi, da znotraj večje mreže izberemo območje, kjer bi želeli natančnejši izračun - bolj gosto mrežo. Časovni korak na večji mreži je 5-30 minut, kar ustreza velikosti celic 10-50 kilometrov, na manjši mreži pa so celice velikosti 1-2 kilometra, kjer je tudi časovni korak ustrezno manjši. V horizontalni ravnini se uporablja tip mreže Arakawa C, ki je prikazana na sliki 5, medtem ko so vertikalne plasti lahko poljubne, odvisne od zunanjega vnosa podatkov. Prvi proces, ki ga upoštevamo v vsakem koraku, je dodajanje emisij iz vseh virov znotraj našega območja, nato se izvede horizontalna advekcija, vertikalna advekcija, vertikalna difuzija, horizontalna difuzija, spiranje in na koncu še kemijske reakcije. 12
Slika 5: Mreža tipa Arakawa C. [5] Model upošteva ohranitev mase, hkrati pa tudi prenaša delce v skladu z vnešenim poljem pospeška. Mreža Arakawa C, ki optimizira izračun divergence toka, zagotavlja ohranitev mase, kar v splošnem ne velja za vse mreže. Poleg ohranitve mase pa zapis enačb na mreži Arakawa C njihovo obliko precej poenostavi, kar je v numeričnih modelih zelo zaželjena lastnost. K ohranitvi mase pripomore tudi, da lahko CAMx sprejema meteorološke podatke za podmreže sproti. Pri ohranitvi mase je pomemben tudi izračun vertikalnega profila hitrosti. Vertikalni profil za dani stolpec se določi z lokalnim integriranjem kontinuitetne enačbe po celotni debelini stolpca. To pomeni, da nam ni potrebno predpostaviti, da je atmosfera nestisljiva in da je tendenca gostote nič, kar se predpostavlja v večini ostalih modelov za modeliranje kakovosti zraka. Vertikalni profil hitrosti v vsakem časovnem koraku torej določimo z vertikalno integracijo divergentne nestisljive kontinuitetne enačbe: w(z) = 1 ρ ρ t = ρ v, z ( ) ρ t + H ρ v H dz. (24) 0 K zagotavljanju ohranitve mase pripomore tudi izračun advekcije gostote, ki je konsistenten s postopkom za izračun horizontalnega transporta: ( ) ( ) H ρ v H = m2 uayz ρ + m2 uaxz ρ. (25) A yz x m A xz y m 13
4.1 Transportni algoritmi Pod transportne algoritme spadajo horizontalna advekcija in difuzija ter vertikalni transport in difuzija. [4] 4.1.1 Horizontalna advekcija Horizontalna advekcija se opiše z enačbo ( ) C i t = m2 uayz C i m2 A yz x m A xz y ( vaxz C i kjer sta A xz in A yz preseka celic z xz in yz ravnino, u hitrost v x smeri in v hitost v y smeri. Izračun horizontalne advekcije se izvede z metodo Bott (1989) ali pa s Piecewise Parabolic Method (PPM, 1984) [4]. 4.1.2 Horizontalna difuzija m ), Enačba za horizontalno difuzijo je [ ( ) C i t = m (C i /ρ) mρk x x x + y ( )] (C i /ρ) mρk y. y Pri izračunu je potrebno definirati predvsem horizontalna difuzijska koeficienta K X K y, ki sta definirana z enačbo K x/y = K 0 + x y 4 2 [ ( u y + v ) 2 + x ( u x v ) ] 2 1/2, y in kjer je K 0 = 3 10. Difuzijska koeficienta sta določena tako, da je vedno zagotovljena numerična stabilnost t modela. 3 x y 4.1.3 Vertikalni transport in difuzija Vertikalni transport opišemo z enačbo vertikalno difuzijo pa zapišemo kot C i t = (C iη) C i z z C i t = z ( ) h, t ( ) (C i /ρ) ρk v. z Reši se ju po končanem izračunu horizontalne advekcije z implicitno integracijo, ki zahteva izračun inverza tri-diagonalne matrike. Ker je implicitna shema stabilna, potrebujemo le eno rešitev vertikalne advekcije na časovni korak. 4.2 Odstranjevanje polutantov Polutanti se iz atmosfere odstranjujejo z mokro in suho depozicijo. [4] 14
4.2.1 Mokra depozicija Pri mokri depoziciji ločimo med mokrim spiranjem aerosola v oblaku in suhega aerosola ter med mokrim spiranjem plinov, ki so raztopljeni v oblačnih kapljicah, in plinov, raztopljenih v deževnih kapljicah. Plini, raztopljeni v deževnih kapljicah Spiranje raztopljenih plinov se dogaja tako znotraj oblaka kot pod njim. Znotraj oblačne celice moramo koncentracijo plina razdeliti na tistega, ki je raztopljen in tistega, ki ni. Razmerje med raztopljenim in neraztopljenim plinom v ravnovesnem stanju opisuje Henry-jev zakon [4]: [ ( 1 H r = k 0 RT exp A 298K 1 )], T C aq = H r C g kjer je k 0 Boltzmannova konstanta, R plinska konstanta, A parameter temperaturne odvisnosti v K, C aq koncentracija raztopljenega plina in C g koncentracija neraztopljenega plina. Zaradi kratkega časa padanja padavin skozi posamezno mrežno celico ne moremo trditi, da se znotraj celice vzpostavi ravnovesje, ki ga opisuje Henryjev zakon. Hitrost raztapljanja plina v vodi tako zapišemo kot kjer je K c koeficient masnega transporta [ K c = D g d d W = K c (H r C g C aq ), 2 + 0.6 ( vd d d ) 1/2 ( ν D g ) 1/3 ] (d d in v d premer in hitrost padanja deževne kapljice, D g in ν molekularna difuzivnost plina in zraka). Z upoštevanjem zgornjih izrazov lahko zapišemo enačbo za koeficient hitrosti spiranja plinov: Λ g = 2.8 10 7 P C z (HC g C 0 aq) [ ( 1 exp 6K )] c z, (26) d d v d H r kjer je P jakost padavin v mm/h in C 0 aq koncentracija raztopljenega plina ob zgornji plasti celice. Pod oblakom ravno tako velja enačba (26), le da moramo nadomestiti C g s C. Plini, ki so raztopljeni v oblačni vodi Ko deževna kapljica pada, na svoji poti pobira oblačne kapljice, ki se nahajajo znotraj volumna na časovno enoto V = π(d 4 d + d c ) 2 v d, kjer je d c premer oblačne kapljice. Hitrost padanja oblačne kapljice v primerjavi z deževno kapljico lahko zanemarimo, prav tako lahko zanemarimo premer oblačne kapljice, upoštevati pa moramo, da ni uspešen vsak trk med deževno in oblačno kapljico. Koeficient spiranja je v tem primeru 7 EP Λ c = 4.2 10. d d 15
Ta koeficient moramo nato še normirati glede na količino plina znotraj kapljic, da dobimo Λ a = Λ c C aq L c cρ w, kjer je L c vsebnost tekoče vode v oblaku in ρ w gostota oblačne vode. Skupno spiranje znotraj oblaka je enako vsoti Λ = Λ g + Λ a. Aerosol v oblaku Za vse delce aerosola znotraj oblaka predpostavimo, da so omočeni z vodo. Koeficient spiranja je v tem primeru kar enak Λ c. Suhi aerosol Spiranje suhih delcev aerosola se dogaja pod oblakom. Za tako spiranje lahko uporabimo enako enačbo, kot smo jo zapisali pri deževnih kapljicah, ki so pobirale oblačne kapljice, le da je tu koeficient učinkovitosti E drugačen, odvisen od premera delca, viskoznosti zraka in vode, gostote delca in proste poti zraka. 4.2.2 Suha depozicija Tudi pri suhi depoziciji moramo posebej upoštevati pline in aerosol. [4] Plini Hitrost suhe depozicije plinov zapišemo kot v dep = 1 r a + r b + r s, kjer je r a aerodinamična upornost (predstavlja transport skozi spodnjo plast zaradi turbolentne difuzije), r b kvazi-laminarna robna upornost (predstavlja molekularno difuzijo skozi tankoplast, ki je v stiku s podlago, na kateri prihaja do depozicije) in r s površinska upornost (predstavlja odlaganje na rastline in tla). Aerosol Enačba za hitrost suhe depozicije aerosola je v dep = v sed + 1 r a + r b + r a r b v sed, kjer je v sed hitrost sedimentacije, odvisna od premera in gostote delca ter viskoznosti zraka. 4.3 Kemijske reakcije Kemijske reakcije v model upeljemo s pomočjo različnih mehanizmov. Vsak mehanizem vsebuje podatke o reaktantih in produktih reakcij ter o hitrosti posameznih reakcij. Kateri mehanizem izberemo, je odvisno od tega, s katerimi polutanti se ukvarjamo in katere kemijske reakcije želimo v modelu upoštevati. 16
5 Zaključek Disperzijski modeli se uporabljajo tako za študije vplivov različnih virov na kvaliteto zraka kot tudi za morebitno prognozo koncentracij polutantov. Numerično reševanje disperzijske enačbe daje zadovoljive rezultate, medtem ko analitične rešitve disperzijske enačbe poznamo le za posebne primere. Težave pri modeliranju disperzije polutantov so predvsem v nepoznavanju turbulentnih procesov, kar na žalost pomeni, da jih ne znamo dovolj dobro matematično opisati. Vendar pa se z nekaterimi dodatnimi predpostavkami da dobiti rešitev disperzijske enačbe, ki ustreza opazovanim pojavom. 17
Literatura [1] J. H. Seinfeld, S. N. Pandis, (1998), Atmospheric Chemistry and Physics: From Air Pollution to Climate Change (New York: John Wiley and Sons, Inc.) [2] E. Kalnay, (2003), Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability (Cambridge: Cambridge University Press) [3] G. M. Masters, (1998), Introduction to Environmental Engineering and Science (New Jersey: Prentice Hall) [4] ENVIRON International Corporation, (2005), User s Guide: CAMx, Comprehensive Air Quality Model with Extensions, Version 4.20 (California: ENVIRON International Corporation) [5] http://www.camx.com/, 24. 2. 2009 18