Určenie hodnoty Value at Risk využitím simulačnej metódy Monte Carlo v neživotnom poistení Vladimír Mucha 1 Abstrakt Cieľom príspevku je poukázať na využitie simulačnej metódy Monte Carlo pri určovaní hodnoty Value at Risk v portfóliu poistných zmlúv spĺňajúcom podmienky kolektívneho modelu rizika. Simulácia hodnôt rozdelenia celkovej škody realizovaná v rámci dvoch prístupov uvedených v tomto príspevku na základe metódy Value at Risk dosahuje ich porovnateľné výsledky. Takto získané ukazovatele umožňujú vhodné riadenie a zabezpečenie rizika a samotná metóda je z hľadiska jednoduchej interpretácie cennou formou jeho merania. Určovanie kvantilov celkovej škody a simulácia jej hodnôt bola zrealizovaná prostredníctvom programovacieho jazyka VISUAL BASIC for Applications v Microsoft EXCEL. Kľúčové slová Riziko, Value at Risk, simulácie, Monte Carlo, kvantity, prebytok, rozdelenie, distribučná funkcia, rezervy, kolektívny model 1 Úvod Metodológia riadenia rizík, vrátane používania interných modelov vyžaduje sofistikované metódy a nástroje, ale jej imlementovanie je možné bez veľkých ťažkostí. Dá sa očakávať, že s príchodom SOLVENCY II, ktorá podporuje tvorbu interných modelov budú kapitálové požiadavky kalkulované pomocou týchto modelov. Potreba tvorby interných modelov pre meranie a oceňovanie rizika vyplýva zo zabezpečenia schopnosti rizika identifikovať, klasifikovať, ale najmä riadiť. Poisťovňa by mala mať k dispozícii systém pokrývajúci všetky rizika, ktorým je vystavená. Ak za riadenie finančného rizika budeme považovať riziko straty alebo zníženie hodnoty portfólia, na analýzu tohto rizika môžeme využiť metódu simulácií typu Monte Carlo napr. na stanovenie rozdelenia celkovej škody Loss Distribution Approach (LDA). Princípom tejto metódy je konštrukcia distribučnej funkcie strát na základe historických informácií. Týmito informáciami sú početnosti výskytu operačných strát a ich veľkosť. Vzhľadom k vlastnostiam operačných strát (častý výskyt malých a zriedkavý výskyt veľkých strát) je však nutné zahrnúť aj externé dáta pre významné straty s nulovým výskytom v danej inštitúcii. Na základe týchto informácii sa odvodí distribučná funkcia buď priamo aplikáciou vhodných pravdepodobnostných rozdelení, alebo pomocou Monte Carlo simulacií. Moderné modely riadenia rizika sú často založené aj na základe metódy Value at Risk práve z dôvodu jasnej aplikovateľnosti a jednoduchej interpretácie všeobecne chápanej ako vhodná a cenná metóda merania celkového rizika. Použitím metódy Value at Risk poisťovňa môže získať odpoveď na otázku : Akú najhoršiu stratu môže v danom portfóliu poistných zmlúv očakávať v určitom časovom horizonte s vopred určenou pravdepodobnosťou?. 1 Mgr. Vladimír Mucha, Katedra matematiky, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita. Dolnozemská cesta 1/b, 852 35 Bratislava. e-mail: mucha@dec.euba.sk 190
2 Metóda Value at Risk Metóda Value at Risk si vyžaduje špecifikáciu dvoch faktorov, časový horizont (holding period) a spoľahlivosť (confidence level), ktoré musia byť vopred zadané pri určovaní hodnoty Value at Risk. A) časový horizont ( holding period ) určuje časové obdobie počas ktorého sa strata resp. zisk uvažuje, B) spoľahlivosť ( confidence level ) určuje s akou pravdepodobnosťou neprevýši skutočná strata hodnotu v riziku počas príslušného časového horizontu. Value at risk ( ) jedefinovaná ako najhoršia možná predpovedaná strata, ku ktorej môže dôjsť s vopred stanovenou pravdepodobnosťou v určenom budúcom období. Označme zisk alebo stratu v danom investičnom portfóliu počas sledovaného časového horizontu ako náhodnú premennú Z () t. Ak požadovaná spoľahlivosť bude, (napr. RiskMetrics pracuje so spoľahlivosťou 95%, odporúčanie Basilejského výboru pre bankový dohľad je spoľahlivosť 99%), potom hodnota je určená vzťahom P ( Z( t) ) = (1.1) resp. P Z t < = 1 (1.2) t. j. hodnotu Z () t. Hodnotu ( ( ) ) možno považovať za ( 1 ) interpretujeme : ak > 0, ako stratu o hodnote ak < 0, ako zisk o hodnote 100 percentný kvantil náhodnej premennej Takto definovaná určuje olútnu hodnotu v riziku. Hodnotu možno interpretovať ako vzdialenosť olútnej hodnoty nulového zisku resp straty., teda ak > 0, vzdialenosť od nuly predstavuje hodnotu straty ak < 0, vzdialenosť od nuly predstavuje hodnotu zisku Používa sa aj relatívna hodnota v riziku rel definovaná vzťahom od rel ( Z( t) ) = + E (1.3) Teda rel je hodnota vyjadrujúca vzdialenosť olútnej hodnoty od očakávaného zisku resp. straty ( Z( t) ) E. 191
Obr. č.1 a rel 3 Určenie hodnoty Value at Risk v kolektívnom modeli rizika prostredníctvom simulačnej metódy Monte Carlo Uvažujeme o portfóliu nezávislých poistných zmlúv neživotného poistenia, ktoré spĺňa podmienky kolektívneho modelu rizika: v rámci jednej poistnej zmluvy môže nastať viacero poistných plnení, poistné zmluvy sú navzájem nezávislé, každú škodu, ktorá v danom portfóliu vznikne, možno popísať náhodnou premennou X i, ktorá vo všeobecnosti môže byť diskrétna alebo spojitá, počet škôd popísaný náhodnou premennou N nezávisí od výšky individuálnych poistných plnení, náhodné premenné X i, i = 1,2,..., N sú identicky rozdelené, počet zmlúv v danom portfóliu sa počas sledovaného obdobia nemení, Celková škoda pre celé portfólio je v ňom generovaná náhodným procesom prostredníctvom náhodných premenných N počtu a X i (i = 1,..., N) výšky poistných plnení. Celková škoda S je definovaná vzťahom a pre jej základné charakteristiky platí N S = X (1.4) i= 1 ES ( ) = EX ( ). EN ( ) (1.5) 2 DS ( ) = EN ( ). DX ( ) + E( X). DN ( ) (1.6) Určenie rozdelenia celkových škôd úzko súvisí so stanovením potrebných rezerv, resp. s predikciou prebytku poisťovne v danom čase t. Model prebytku peňažných tokov na konci časového úseku 0;t poisťovne, ktorý v našom prípade budeme chápať ako hodnotu zisku resp straty v čase t môžeme vyjadriť v tvare () t U ( t ) + PP( t) S( t) Z = 1, (1.7) kde Ut ( 1) = U je hodnota rezervného poistného fondu na začiatku sledovaného obdobia, i 192
Ut () hodnota rezervného poistného fondu na konci časového úseku 0; t PP() t prijaté poistné do času t, Nt () St () počet poistných plnení, ktoré sa viažu k časovému úseku 0; t výška celkového poistného plnenia v časovom intervale 0; t, teda súčet všetkých individuálnych poistných plnení X i, i = 1,2,3,..., N( t) v tomto čase, ktorý vyjadríme St ( ) = X1+ X2 +... + XN( t), (1.8) pričom, ak Nt () = 0, tak St () = 0. Aplikáciou vzťahu (1.2) na prebytok Z ( t) pri požadovanej spoľahlivosti, získame možnosť vyjadriť najhoršiu stratu s vopred danou pravdepodobnosťou : P ( Z() t < ) = 1 ( U ( t 1) + PP( t) S( t) < ) = 1 ( S() t U ( t ) + E( S( t) ) ( + θ ) + ) = P (1.9) P 1 1 (1.10) V prípade znalosti rozdelenia celkovej škôdy a možnosti vyjadrenia distribučnej funkcie použijeme vzťah FS () t ( U ( t 1 ) + E( S( t) ) ( 1+ θ ) + ) = (1.11) z ktorého môžeme určiť hodnotu maximálnej straty v danom portfóliu podľa vzťahu kde x je ( t 1) E( S( t) ) ( ) = x U 1+θ, (1.12) 100 % kvantil rozdelenia celkovej škody St, ( ) ktorý je možné určiť využitím simulačnej metódy Monte Carlo realizovanej prostrednictvom programovacieho jazyka VISUAL BASIC for Applications v Microsoft Excel [6]. 4 Praktická ukážka metódy Value at Risk Uvažujme o portfóliu poistných zmlúv, splňajúcom podmienky kolektívneho modelu rizika, kde sa celková škoda riadi zloženým binomickým rozdelením S t CoBi r, q, F x, ( ) () ( ) kde výška individuálnych poistných plnení sa riadi gama rozdelením X ~ Γ ( α, β ) X i. Úlohou bude určiť hodnotu Value at Risk Z t s vopred danou pravdepodobnosťou pre t = 1 a tak získať informáciu, či je hodnota rezervného poistného fondu na začiatku sledovaného obdobia postačujúca na zabezpečenie prosperujúceho chodu poisťovne. Hodnotu určíme : 1. Využitím simulačnej metódy Monte Carlo na určenie ( 100 ) % kvantilu x rozdelenia celkovej škody St (), podľa vzťahu (1.12) = x U 0 E S 1 1+ θ t.j. predpovedať najhorší možný prebytok ( ) ( ) ( ( )) ( ) 193
1. Využitím simulácie hodnôt celkovej škody ( ) určenie 100 ( 1 )% kvantilu 1 (1.2) z = 1 Nech X ~ Γ( 2,3) a ~ Bi( 500;0,2) St resp. hodnôt prebytku ( t) z náhodnej premennej ( t) Z na Z na základe vzťahu N, riziková prirážka θ = 0, 15, t = 1 a U ( 0 ) = 0 t.j. neuvažujeme o rezervách na začiatku sledovaného obdobia. S pravdepodobnosťou = 0, 95 odhadneme najhorší možný prebytok Z ( 1). Hodnoty S budeme uvádzať v 1000 p.j.. 1. Hodnotu ( 100 ) % kvantilu x rozdelenia celkovej škody St, ( ) daného distribučnou funkciou [1], kde β = 1 β ( ) r n 1 i i x r α β n r n x β F kol x = 1 e q p t x 0 S () t > n= 1 n i= é i! určíme na základe vzťahu F ( x ) () = (1.13) S kol t využitím simulácií zloženého rozdelenia určením hodnôt jeho distribučnej funkcie metódou Monte Carlo realizovanou v programovacím jazyku VISUAL BASIC for Applications v Microsoft Excel. Túto hodnotu je možné určiť aj využitím vzťahu (1.13), avšak v prípadoch zložených rozdelení, kde nevieme určiť distribučnú funkciu celkovej škody pre neexistujúce resp. extrémne náročné analytické postupy majú simulácie opodstatnené miesto. E F kol S x = = 1 x ( ) () 0,95 713300 ( ) = r q = 100, E( X) α = β = 6 E N ( S() 1 ) = 1000 E( N ) E( X ) = 600000 ( 0 ) E( S( 1) )( 1+ ) = 713 300 0 690 000 = 23 300 = x U θ t. j. na základe vzťahu (1.2) P ( Z( 1 ) < 23300) = 0, 05 S pravdepodobnosťou 0,05 bude prebytok Z ( 1) nadobúdať hodnoty menšie ako -23 300, čo znamená, že najhoršia možna strata bude rovná 23 300 p.j., keďže > 0. 2. Hodnotu 100 ( 1 )% kvantilu z 1 náhodnej premennej ( t) simulovania 30 000 hodnôt prebytku ( 1) Z určíme využitím Z realizovaného v programovacím jazyku VISUAL BASIC for Applications v Microsoft Excel. Následným spracovaním týchto hodnôt náhodnej premennej Z ( 1) napríklad v štatistickom softveri STATGRAPHIC Plus a využitím poznatku: 194
hodnotu možno považovať za 5 % kvantil náhodnej premennej Z () 1 získame hodnotu, pre ktorú platí = z 0,05 Obr.č. 2 Kvantily náhodnej premennej Z ( 1), pre U ( 0 ) = 0 1,0% = -72340,9 5,0% = -23361,6 10,0% = 2054,99 25,0% = 44558,7 50,0% = 91407,7 75,0% = 136897,0 90,0% = 176811,0 95,0% = 200722,0 99,0% = 245501,0 = 23361,6 = 23361,6 Hodnota získaná týmto spôsobom je porovnateľná s hodnotou získanou predchadzajúcim prístupom. Na základe určeného najhoršieho možného prebytku je možné v tomto prípade tvrdiť s pravdepodobnosťou 0,95, že poisťovňa musí zabezpečiť počiatočné rezervy U ( 0 ) = 23300 pre jej prosperujúci chod. Podobne určíme hodnotu obidvomi postupmi pre spomínanú hodnotu počiatočných rezerv U ( 0 ) = 23300, a teda môžeme tak očakávať nulovú najhoršiu možnú stratu. 1. Na základe vzťahu (1.12) dostaneme ( 0) E( S( 1) ) ( ) = x U 1+θ = 713300 23300 690 000 = 0 ( Z( 1 ) < 0) = 0, 05 P S pravdepodobnosťou 0,95 bude hodnota prebytku kladná a odhadovaná najhoršia možná strata = 0, potvrdila sa tak správnosť predchádzajúceho tvrdenia. 2. Využitím simulácie 30000 hodnôt náhodnej premennej prebytku Z () 1 a následným určením jeho 5 % kvantilu dostaneme nasledujúce výsledky Obr.č. 3 Kvantily náhodnej premennej Z ( 1), pre ( 0 ) = 23300 U. 195
1,0% = -49862,9 5,0% = -104,522 10,0% = 25211,0 25,0% = 68707,5 50,0% = 115524,0 75,0% = 160863,0 = 104,522 = 104,522 Táto hodnota korešponduje s hodnotou určenou predchadzajúcim spôsobom. Podobne by sme mohli využívať simulácie zložených rozdelení na určovanie hodnoty Value at Risk aj portfóliach s iným rozdelením celkovej škody St (). 5 Záver Metóda Value at Risk vďaka svojej jednoduchej interpretácií umožňuje vhodné meranie a riadenie rizika v portfóliu poistných zmlúv neživotného poistenia. Určenie najhoršieho možného prebytku Z ( t) touto metódou bolo v tomto príspevku realizované prostredníctvom dvoch prístupov opierajúcich sa o simulovanie hodnôt celkovej škody St ( ) metódou Monte Carlo. Na základe dosiahnutých výsledkov je možné konštatovať, že táto metóda je nástrojom rôznych regulačných opatrení nielen v oblasti bankovníctva ale aj v oblasti poisťovníctva. Literatúra [1] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Teória rizika v poistení. EKONÓM, Bratislava, 2006. [2] CIPRA, T.: Kapitálová přiměřenost ve financích a solventnost v pojišťovnictví, Ekopress, 2002 [3] RUBINSTEIN, REUVEN Y.: Simulation and the Monte Carlo method. John Wiley & Sons,Toronto, 1981. [4] HORÁKOVÁ, G., HUŤKA, V.: Teória pravdepodobnosti 1, EKONÓM, Bratislava, 2004. [5] DAYKIN, C. D., PENTIKÄINEN, T., PESONEN, E.: Practical risk theory for Actuaries. Chapman &Hall, London, 1994. [6] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Využitím metódy Monte Carlo na určenie rozdelenia celkových škôd v danom portfóliu poistných zmlúv. 8. medzinárodná vedecká konferencia: Kvantitatívne metódy v ekonómii a podnikaní. Bratislava 2002 196
Summary The aim of this paper is to show how to use the Monte Carlo simulation method to calculate Values at Risk for a portfolio of insurance contracts, which fulfil the conditions of the collective risk model. There are two approaches used in this article for simulation of the total claim distribution using the value at risk method and both are giving comparable results. Indicators obtained in this way permit a suitable classification and insurance of the risks and the method itself is a valuable form of their method from the point of view of a simple interpretation. Microsoft Excel and VISUAL BASIC for Applications were used to determine the quantiles of the total claim amounts and their simulation. 197