MEHANIKA FLUIDA Skripta s odabranim poglavljima Mehanika fluida,. godina, Kemijsko inženjerstvo i Ekoinženjerstvo Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu, 016. Izv. prof. dr. sc. Gordana Matijašić
PEPOUČENA LITEATUA 1. B. S. Masey, Mechanics of Fluids, Butler & Tanner, London, 1976.. D. N. oy, Applied Fluid Mechanics, J. Wiley, New York, 1989. 3. J. Ferguson, Z. Kembłowski, Applied Fluid heology, Springer, 1991. 4. I. H. Shames, Mechanics of Fluids, Mc Graw-Hill, New York, 003. 5. M. Pečornik, Tehnička mehanika fluida, Školska knjiga, Zagreb, 1985. 6. I. P. Granet, Fluid Mechanics for Engineering Tehnology, Simon & Schuster, New York, 1989. 7. B.. Munson, D. F. Young, T. K. Okiishi, Fundamentals of Fluid Mechanics, J. Wiley & Sons. Ltd., 005. 8. V. Jović, Osnove hidromehanike, Element, Zagreb 006. 9. F. M. White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 009. 10. Y. A. Çengel, J. M. Cimbala, Fluid Mechanics, Fundamentals and Application, McGraw-Hill, 006. 11. F. A. Holland,. Bragg, Fluid Flow for Chemical Engineers, Hodder Headline PLC, London, 1995. 1. Nastavni materijali na mrežnim stranicama FKIT-a.
SADŽAJ 1. UVOD... 1 1.1. Povijesni razvoj mehanike fluida... 1 1.. Mehanika fluida oko nas... 3 1.3. Osnovni pojmovi i definicije... 4 1.3.1. Vrste tvari... 4 1.3.. Naprezanja... 6 1.3.3. Pojam kontinuuma... 7 1.3.4. Svojstva fluida... 9 1.3.5. Vrste strujanja... 1. MODELI EOLOŠKOG PONAŠANJA... 16.1. Newtonove kapljevine... 17.. Ne-Newtonove kapljevine... 18..1. Ostwald de Waeleove kapljevine... 18... Viskoplastične kapljevine... 19.3. Vremenska ovisnost viskoznosti... 1 3. STUJANJE NEKOMPESIBILNIH NE-NEWTONOVIH FLUIDA... 3 3.1. Opći izraz za protok ne-newtonovih kapljevina... 3 3.. Strujanje Ostwald de Waeleovih fluida... 6 3..1. Protok... 6 3... Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi... 7 3..3. Pad tlaka i faktor trenja... 9 3.3. Strujanje Binghamovih fluida... 33 3.3.1. Protok... 33 3.3.. Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi... 34 3.3.3. Specifičnosti strujanja Binghamovih fluida... 35 4. DINAMIKA DVOFAZNIH SUSTAVA... 38 4.1. Dvofazno strujanje plina i kapljevine... 38 4.1.1. Oblici dvofaznog strujanja plina i kapljevine... 38 4.1.. Mape dvofaznog strujanja... 41 4.1.3. Modeli za procjenu pada tlaka... 43 4.. Dvofazno strujanje krutine i kapljevine (transport suspenzija)... 47 4..1. eološki modeli homogenih suspenzija... 49 4... Viskoznost koncentriranih suspenzija... 50 4..3. Pad tlaka pri strujanju homogenih i heterogenih suspenzija... 5 4.3. Dvofazno strujanje krutine i plina (pneumatski transport)... 55 4.3.1. Vrste sustava pneumatskog transporta... 56 4.3.. Proračun pada tlaka... 57
1. UVOD Mehanika fluida je znanost koja se bavi istraživanjem fluida u gibanju (dinamika fluida) ili u mirovanju (statika fluida) i interakcijama fluida s čvrstim površinama ili drugim fluidima. S obzirom na vrstu fluida, mehanika se dijeli na AEODINAMIKU koja se bavi stlačivim fluidima (plinovima) i HIDODINAMIKU koja se bavi nestlačivim fluidima (kapljevinama). 1.1. Povijesni razvoj mehanike fluida Hidraulika dolazi od grčke riječi αὐλός (aulos) što znači cijev. Dio je hidromehanike koji se bavi proučavanjem stanja ravnoteže i strujanja realne kapljevine kroz cijevi, kanale i otvore. Hidraulika se razvila kao potpuno empirijska znanost, a svoju je praktičnu primjenu pronašla još u prapovijesno doba. Jedan od prvih problema s kojima su se susrele drevne civilizacije je opskrba vodom. Smatra se da je prvi sustav za dopremu vode u grad imao Jeruzalem. Sustav se sastojao od spremnika za vodu i zidanih kanala kojima je transportirana voda do Jeruzalema. Kanali za dopremu vode konstruirani su u Grčkoj kao i u drugim mjestima. Međutim, najpoznatijima se smatraju imski akvadukti za dopremu vode iz prirodnih tokova u gradove (slika 1.1.). Ostaci akvadukata vidljivi su i danas širom Europe. a) b) Slika 1.1. imski akvadukt: a) shematski prikaz, b) ostaci akvadukta u Splitu Drevne civilizacije imale su dovoljno znanja za rješavanje problema protjecanja ili optjecanja. Arhimed (85. 1. pr. Kr.) je dao prvi značajniji doprinos mehanici fluida postavivši princip uzgona ispitivanjem zlatne krune kralja Hierona II. Nakon toga slijedi period koji je rezultirao poboljšanjem dizajna brodova, cjevovoda i kanala, ali malo je učinjeno po pitanju napretka analize strujanja fluida. Leonardo da Vinci (145. 1519.) bio je slikar, arhitekt, izumitelj, glazbenik, kipar, mislilac, matematičar i inženjer. Postavio je zakon očuvanja tvari za jednodimenzionalan stacionaran tok i približnu raspodjelu brzina kod turbulentnog gibanja. Bio je odličan eksperimentalist pa je izradio nacrte različitih hidrauličkih uređaja koji su preteča današnjih centrifugalnih pumpi (slika 1..). Njegove zabilješke sadrže točne opise valova, hidrauličkih skokova, stvaranja strujnica fluida i sl. 1
Slika 1.. L. da Vincijeve skice uređaja za transport vode 1687. Isaac Newton (164. 177.) postavlja zakon viskoznosti te zakon očuvanja količine gibanja. Daniel Bernoulli (1700. 178.) i Leonard Euler (1707. 1783.) postavljaju zakon očuvanja mehaničke energije. Također, izvode brojne jednadžbe temeljene na zakonu očuvanja količine gibanja, ali primjenjive za idealne, neviskozne fluide. Euler je razvio osnovnu jednadžbu mehanike fluida u diferencijalnom i integralnom obliku, danas poznatu pod nazivom Bernoullijeva jednadžba. Smatra se osnivačem moderne hidromehanike. U 18. i 19. st. dolazi do napretka u eksperimentalnoj mehanici fluida. Inženjeri su počeli odbacivati teorije primjenjive za neviskozne fluide jer u realnim slučajevima inženjerski problemi podrazumijevaju strujanje viskoznih fluida. Dolazi do razvoja hidraulike na temelju eksperimenata. Eksperimentalisti (Chézy, Pitot, Borda, Weber, Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin i Weisbach) uspješno opisuju različite vrste tokova, otpor, protjecanje fluida, rad turbina, a podaci su upotrebljavani bez osnovnih zakona fizike. Krajem 19. st. započinje ujedinjenje eksperimentalne hidraulike i teorijske hidrodinamike. William Froude (1810. 1879.) i obert Froude (1846. 194.) razvijaju zakonitosti testiranja modela, Lord ayleigh (184. 1919.) predlaže dimenzijsku analizu, Osborne eynolds (184. 191.) donosi eynoldsov pokus u cijevi i pokazuje važnost eynoldsove bezdimenzijske značajke. Navier (1785. 1836.) i Stokes (1819. 1903.) modificiraju Eulerovu jednadžbu strujanja te uvode viskoznost. Izvode poznatu Navier-Stokesovu jednadžbu. Njemački inženjer Ludwig Prandtl (1875. 1953.) je pokazao da se fluid može podijeliti u slojeve te je postavio teoriju graničnog sloja. Njegov pisani rad (1904.) smatra se najznačajnijim radom ikad napisanim u području mehanike fluida pa se Ludwig Prandtl smatra osnivačem mehanike fluida.
1.. Mehanika fluida oko nas Mehanika fluida može se naći u gotovo svakoj stvari koja nas okružuje. Budući da smo okruženi zrakom (stlačivi fluid) te da je oko 70 % površine Zemlje prekriveno vodom (nestlačivi fluid), teško je ne pronaći primjer mehanike fluida svakodnevno. Gotovo sve na planetu je ili fluid ili se giba unutar ili pokraj fluida. Već sama činjenica da dišemo nas navodi na primjenu zakonitosti kojima se definira protok kompresibilnih fluida. Otkucaji srca pak predstavljaju rad pumpe koja transportira kapljevinu (krv) do različitih mjesta (dijelova tijela) (slika 1.3.). Kada smo žedni i otvorimo pipu iz nje počinje strujati voda. Transport vode kroz složeni cjevovod ne bi bio moguć bez zakonitosti mehanike fluida; proračuna otpora, pada tlaka, snage pumpe i sl. Isto se može primijeniti i na sustave grijanja kao i na sustav opskrbe plinom. Slika 1.3. Ilustracija srca kao pumpe Prirodne pojave poput kiše, vjetra, valova ili struja u prirodnim vodama upravljane su principima mehanike fluida. Dobar primjer primijenjenih znanja mehanike fluida jest gradnja najviše zgrade u svijetu, Burj Khalifa u Dubaiju (slika 1.4.). Takozvani Kalifov toranj visine je 88 m i sadrži 16 kata. Brzina lifta je oko 10 m s 1, što znači da se do turističkog vidikovca na 55 m dolazi za otprilike 50 sekundi. Najviša se točka tornja zbog naleta vjetra giba m lijevo-desno. Slika 1.4. Najviše zgrade svijeta 3
Prilikom gradnje zgrade provedene su brojne simulacije strujanja vjetra u takozvanim aerodinamičkim tunelima. Toranj je u tlocrtu Y-oblika, a u dizajnu je slijeđen prirodni oblik pustinjskog cvijeta (slika 1.5.). Kako se penje u visinu krila se povlače prema središnjoj jezgri u spiralnom uzorku, koji naglašava visinu, sve dok ne dosegnu središnju jezgru, odakle se središnja jezgra skida i otkriva jedan šiljak. Arhitekti i inženjeri su zajedničkim radom razvili oblik i konstrukcijski sustav zgrade koji učinkovito preuzima dominantno djelovanje vjetra. S obzirom da je pri projektiranju ovako visokih zgrada dominantan utjecaj vjetra, toranj je oblikovan tako da na najmanju moguću mjeru smanji utjecaj sile vjetra na njega. a) b) Slika 1.5. Kalifin toranj: a) Y-oblik tornja, b) pustinjski cvijet 1.3. Osnovni pojmovi i definicije 1.3.1. Vrste tvari S gledišta mehanike fluida sve tvari se mogu svrstati ili u skupinu fluida ili u skupinu čvrstih tvari. azlika između čvrstih tvari i fluida je u njihovom svojstvu da pružaju otpor, odnosno da se deformiraju uslijed smičnog naprezanja. Iako se većina tvari može klasificirati kao čvrsta tvar ili fluid, postoje i neka granična stanja. Prividna čvrsta tijela (plastična) su tijela koja pružaju otpor smičnom naprezanju kratko vrijeme. Međutim, polako se deformiraju i poprimaju svojstva fluida kada su dulje izloženi djelovanju naprezanja. Prestankom djelovanja naprezanja ne vraćaju se u prvobitni oblik. Dobar primjer ovakvog tijela je asfalt te valovi koji nastaju na njemu uslijed dugoročnog opterećenja vozilima. Čvrsta elastična tijela se pod djelovanjem smičnog naprezanja deformiraju, ali se prestankom djelovanja sile vraćaju u prvobitni oblik. Kod ovakvih tijela nema trajne deformacije. 4
međumolekulske sile čvrsta tvar kapljevina plin FLUID Slika 1.6. Vrste tvari Fluid je tvar koja se pod djelovanjem i najmanjeg smičnog naprezanja deformira. Fluid može biti plin ili kapljevina (slika 1.6.). Kod kapljevina se molekule relativno slobodno gibaju, a volumen ostaje konstantan zbog velikih privlačnih sila između molekula. Posljedično, kapljevina zauzima oblik posude u kojoj se nalazi tvoreći slobodnu površinu (slika 1.7.a). Plin se širi dok ne stigne do površine posude i svojim volumenom ispunjava cijelu posudu. Molekule su vrlo udaljene, a privlačne sile između molekula male. Plinovi ne stvaraju slobodnu površinu (slika 1.7.b). a) b) Slika 1.7. Shematski prikaz posude ispunjene: a) kapljevinom, b) plinom 5
1.3.. Naprezanja Naprezanja koja djeluju na fluid mogu se podijeliti na normalna naprezanja i smična naprezanja. Normalno naprezanje djeluje jednoliko po poprečnom presjeku. Predstavlja okomito djelovanje normalne sile na površinu da (slika 1.8.). Može se izračunati na temelju izraza: F n (1.1.) da gdje je normalno naprezanje (Pa), F n je sila (N) okomita na površinu da (m ). Normalno naprezanje koje djeluje na fluid u mirovanju naziva se tlak. Slika 1.8. Naprezanja u fluidu Smično (posmično) naprezanje nije jednoliko raspodijeljeno po presjeku. Predstavlja djelovanje tangencijalne sile na površinu poprečnog presjeka da (slika 1.8.), a izračunava se iz izraza: F t (1..) da gdje je smično naprezanje (Pa), F t je tangencijalna sila (N), a da površina (m ). 6
1.3.3. Pojam kontinuuma Koncept kontinuuma temelj je mehanike fluida. Fluid se promatra kao kontinuum, odnosno neprekidna sredina, a njegova svojstva neprekinute su funkcije prostora i vremena. Uzmimo za primjer gustoću fluida. Gustoća fluida definirana je kao masa fluida po jediničnom volumenu. Prosječna gustoća fluida volumena V će biti: m (1.3.) V gdje je gustoća (kg m 3 ), m masa fluida (kg), a V njegov volumen (m 3 ). Gustoća fluida u pojedinim točkama prostora razlikuje se od prosječne gustoće fluida. Promotri li se element fluida označen kao točka A s koordinatama (x 0, y 0, z 0 ), definiranje gustoće ovog dijela fluida podrazumijeva omeđivanje prostora oko točke A, a čiji je volumen V (slika 1.9.). Slika 1.9. Element fluida prikazan u koordinatnom sustavu Postavlja se pitanje koliki smije biti volumen elementa fluida, V, da bi se fluid mogao promatrati kao kontinuum. Njegova vrijednost mora biti dovoljno velika da daje smislene i reproducibilne vrijednosti gustoće (ili nekog drugog svojstva), a opet dovoljno mala da se može smatrati točkom. Granična vrijednost ovog volumena označava se kao V*, a iznosi 10 9 mm 3 za sve kapljevine i za plinove pri atmosferskom tlaku. Kada je volumen manji od V*, on sadrži mali broj molekula, a svojstva značajno variraju ulaskom i izlaskom molekule iz elementarnog volumena. Veći volumeni predstavljaju makroskopsku razinu, a vrijednosti gustoće variraju oko srednje vrijednosti. Smanjenjem volumena vrijednosti se asimptotski približavaju srednjoj vrijednosti, uključujući samo homogeni prostor u neposrednoj blizini točke A (slika 1.10.). 7
Slika 1.10. Promjene gustoće fluida elementarnog volumena V Većina inženjerskih problema obuhvaća volumene puno veće od graničnog pa se može smatrati da svojstva fluida kontinuirano variraju u prostoru. Takav fluid naziva se kontinuum, a pojednostavljeno se može reći da su promjene svojstava ujednačene što omogućuje primjenu diferencijalnih jednadžbi u proračunima. Kriterij kontinuuma definiran je Knudsenovim brojem: Kn (1.4.) L gdje je Kn Knudsenov broj, je srednji slobodni put molekule (m), a L je karakteristična dimenzija sustava (m). Fluid se smatra kontinuumom kada je vrijednost Knudsenovog broja manja od 0,01. Pojam kontinuuma i Knudsenovog broja ilustrirani su na primjeru navijača i igrača na nogometnoj utakmici (slika 1.11.). L 43 Slika 1.11. Ilustracija kontinuuma na primjeru nogometne utakmice 8
Označena mala skupina navijača na lijevoj tribini predstavlja molekulsku razinu fluida. Volumen se može smatrati manjim od granične vrijednosti, a ulazak ili izlazak samo jedne osobe (molekule) može značiti velike oscilacije u njihovim svojstvima. Veća skupina navijača u središtu tribina ponaša se kao kontinuum. Manje promjene u broju navijača uzrokuju neznatna odstupanja svojstava od srednje vrijednosti svojstava skupine. Promotre li se pak igrači na nogometnom terenu mogu se pojasniti pojmovi definirani u izrazu 1.4. Uzme li se da je prosječna širina nogometnog terena za oko 50 m, a prosječna udaljenost igrača npr. 1,5 m, Knudsenov broj bi iznosio 0,03 što znači da nije zadovoljen kriterij kontinuuma. 1.3.4. Svojstva fluida Gustoća fluida izražava se u jedinicama kg m 3. Predstavlja masu tvari koja zauzima jedinični volumen (jedn. 1.3.). Kapljevine se smatraju nestlačivima pa im je gustoća konstantna u cijelom prostoru, a može se mijenjati samo uslijed promjene temperature. Gustoća plina mijenja se s tlakom i temperaturom, a u najjednostavnijem slučaju opisuje se pomoću jednadžbe idealnog plina: odnosno: p V n T (1.5.) T p m (1.6.) gdje je p tlak (Pa), V volumen (m 3 ), n je broj molova plina (mol), opća plinska konstanta (8,31447 J mol 1 K 1 ), je gustoća (kg m 3 ), a m masa plina (kg). elativna gustoća nema mjernu jedinicu. Predstavlja gustoću tvari u odnosu na gustoću neke referentne tvari (jedn. 1.7.). eferentna tvar za gustoću kapljevina je voda pri 4 C (1 000 kg m 3 ). Za plinove se kao referentna vrijednost uzima gustoća zraka pri 0 C i tlaku od 101 35 Pa (1,05 kg m 3 ). d fluida (1.7.) referentne tvari Specifični volumen fluida definiran je kao recipročna vrijednost njegove gustoće. Jedinica mu je m 3 kg 1. Viskoznost ima jedinicu Pa s. Mjera je unutarnjeg otpora fluida smičnoj deformaciji. Sila u fluidu koja djeluje na tijelo u smjeru gibanja naziva se sila otpora (engl. drag force). elativno gibanje fluida u odnosu na tijelo rezultira silom otpora uslijed trenja uzrokovanog viskoznošću. Sila otpora veća je u fluidima veće viskoznosti. 9
Viskoznost kapljevina smanjuje se povećanjem temperature dok viskoznost plinova raste s temperaturom (slika 1.1.). Također, promjena će tlaka utjecati na viskoznost plinova, ali ne i kapljevina. Slika 1.1. Promjena viskoznosti fluida s temperaturom Pojam viskoznosti prvi je uveo Isaac Newton (164. 177.). Promotrimo jednostavan pokus u kojem se fluid nalazi između dvije ravne ploče. Jedna ploča miruje, a druga se giba konstantnom brzinom, v. Fluid se giba u obliku zamišljenih slojeva koji se kreću različitim brzinama (slika 1.13.). Slika 1.13. Gibanje fluida između dvije ploče i profil brzina Sila koja je potrebna da se gornja ploča giba konstantnom brzinom v 0 proporcionalna je površini ploče, A, i gradijentu brzine, dv/dy: F dv A dy (1.8.) 10
Konstanta proporcionalnosti u izrazu 1.8. je dinamička viskoznost fluida. Smično naprezanje može se izraziti kao tangencijalna sila primijenjena na površinu (jedn. 1..) pa se izraz 1.8. može pisati u obliku: dv dy (1.9.) gdje je smično naprezanje (Pa), a dv/dy gradijent brzine (s 1 ). Izraz 1.9. poznat je kao Newtonov zakon viskoznosti. Gradijent brzine, dv/dy, predstavlja brzinu kutne deformacije, a uvriježen je naziv smična brzina. Na slici 1.14. prikazan je element fluida koji se deformira uslijed smičnog naprezanja. Slika 1.14. Deformiranje elementa fluida uslijed smičnog naprezanja Gornja se ploča kreće brzinom v što ima za posljedicu deformiranje fluida. Točka A pri tome prelazi put do točke A', a prijeđena udaljenost jednaka je umnošku brzine i vremena. Kut deformacije,, može se izraziti preko tangensa: tan v t y (1.10.) U slučaju infinitezimalnih promjena vrijedi: v d dv lim x y dt dy y t 0 0 0 (1.11.) Newtonov zakon viskoznosti (jedn. 1.9.) sada se može pisati preko brzine kutne deformacije: dv d dy dt (1.1.) 11
Fluidi kod kojih je smično naprezanje proporcionalno brzini kutne deformacije nazivaju se Newtonovi fluidi. Kinematička viskoznost izražena je u m s 1. Ovisi o dinamičkoj viskoznosti,, i gustoći fluida, : (1.13.) 1.3.5. Vrste strujanja Strujanje se može podijeliti u sljedeće skupine: Viskozno i neviskozno područje strujanja Unutarnje i vanjsko strujanje Stlačivo i nestlačivo strujanje Laminarno i turbulentno strujanje Prirodno i prisilno strujanje Stacionarno i nestacionarno strujanje Viskozno i neviskozno područje strujanja. Prilikom gibanja fluida dolazi do usporavanja slojeva uslijed trenja, odnosno viskoznosti fluida. Ne postoje neviskozni fluidi. Oni se u razmatranju strujanja fluida smatraju idealnim fluidima. Postoje odgovarajući dijelovi fluida (udaljeniji od mirujućih stijenki) u kojima su viskozne sile zanemarive u odnosu na inercijske sile ili tlak. Takvo područje naziva se područje neviskoznog strujanja (engl. inviscid region of flow). Strujanje uz stijenku pod utjecanjem je viskoznosti fluida i u ovom području viskoznog strujanja (engl. viscous flow region) dolazi do stvaranja gradijenta brzine (slika 1.15.). Slika 1.15. Područje viskoznog i neviskoznog strujanja Unutarnje i vanjsko strujanje. Vanjskim strujanjem može se smatrati svako strujanje u kojem je fluid slobodan, neograničen i struji oko neke površine (slika 1.16.a) poput ploče, žice, cijevi i sl. Unutarnje strujanje je strujanje u kojem je fluid omeđen čvrstim površinama, npr. strujanje u cijevi (slika 1.16.b). Tokovi rijeka 1
(slika 1.16.c) primjer su unutarnjeg strujanja, strujanja u kanalima koje se naziva još i strujanje u otvorenim tokovima/kanalima. a) b) c) Slika 1.16. Primjeri strujanja: a) vanjsko strujanje, b) unutarnje strujanje u cijevi, c) strujanje u otvorenim tokovima/kanalima Stlačivo i nestlačivo strujanje. Strujanje se smatra nestlačivim kada je gustoća fluida gotovo konstantna cijelim tokom. Kapljevine su nestlačive pa se njihovo strujanje smatra nestlačivim. Plinovi su stlačivi, a njihovo strujanje naziva se stlačivim strujanjem. Promjena tlaka od 0,01 atm uzrokuje promjenu gustoće zraka čak do 1 %. Kriterij stlačivosti strujanja je Machov broj (Ma) koji predstavlja omjer brzine strujanja, v i brzine zvuka u istom mediju (c = 346 m s 1 u zraku): v brzina strujanja Ma (1.14.) c brzina zvuka Stlačivim strujanjem se smatra ono u kojem je Machov broj veći od 0,3, a u protivnom se utjecaj stlačivosti na strujanje može zanemariti. Kada je Machov broj veći od jedan, strujanje se smatra nadzvučnim (engl. supersonic), a za vrijednosti manje od jedan, strujanje je podzvučno (engl. subsonic). Slika 1.17. Primjer podzvučnog i nadzvučnog leta aviona i širenja zvučnih valova Čest je slučaj tzv. probijanja zvučnog zida prilikom leta letjelica brzinom većom od brzine zvuka. Mjera njihove nadzvučne brzine je nenormirana jedinica mah, pa se može reći da je brzina letjelice Ma maha. Npr. maha označavaju brzinu dvostruko 13
veću od brzine zvuka u istom mediju, za letjelicu u zraku. Prilikom povećanja brzine zrakoplova povećava se amplituda zvučnih valova (slika 1.17.). Dolazi do povećanja tlaka zraka na isturenim dijelovima zrakoplova čime se povećava otpor. Što je zrakoplov bliži brzini zvuka valovi se ne stignu širiti ispred njega. Zrak velikom brzinom slijedi profil zrakoplova što ima za posljedicu povećanje tlaka, gustoće i temperature zraka u vrlo kratkom vremenskom periodu. Prilikom prelaska na nadzvučnu brzinu leta zrak na pojedinim dijelovima zrakoplova stvara zračne valove koji putuju ispred zrakoplova i stvaraju prepreku koja se naziva zvučnim zid. U trenutku tzv. probijanja zvučnog zida dolazi do naglog smanjenja tlaka zraka i temperature oko repa zrakoplova te nastaje bijeli oblak kondenziranih kapljica. Laminarno i turbulentno strujanje. Laminarno strujanje je gibanje fluida u slojevima (lat. lamina tanki sloj). Odvija se pri malim brzinama strujanja te pri velikim viskoznostima fluida koje uzrokuju trenje između slojeva i međusobno usporavanje slojeva. Turbulentno strujanje naziva se vrtložnim strujanjem. Karakteristično je za fluide koji struje velikim brzinama i male su viskoznosti. Hidrodinamički uvjeti određuju se na temelju eynoldsove značajke: vd e (1.15.) gdje je v brzina strujanja fluida (m s 1 ), d je promjer cijevi u kojoj fluid struji (m), je gustoća fluida (kg m 3 ), a je njegova dinamička viskoznost (Pa s). eynoldsova značajka ili eynoldsov broj je bezdimenzijska veličina. Prilikom strujanja Newtonovih fluida u cijevi, strujanje se smatra laminarnim kada je eynoldsova značajka manja od 30. Pri optjecanju je kritična vrijednost 1. Prirodno i prisilno strujanje. Podjela na prirodno i prisilno strujanje ovisi o pokretačkoj sili i uzroku gibanja fluida. Fluid pokretan pomoću pumpe ili ventilatora prisilno struji. Slika 1.18. Prirodno strujanje zraka i strujanje kapljevine uslijed razlike u koncentraciji 14
Prirodno strujanje posljedica je razlike u svojstvima, toplini, gustoći, koncentraciji. Prirodnim strujanjem smatra se strujanje zraka uslijed razlike u temperaturi (slika 1.18.). Stacionarno i nestacionarno strujanje. Pri stacionarnom strujanju fluida ne postoji promjena brzine s vremenom (dv/dt = 0) dok se kod nestacionarnog strujanja brzina mijenja s vremenom (dv/dt 0). 15
. MODELI EOLOŠKOG PONAŠANJA Termin reologija prvi uvodi profesor Bingham (198.) objasnivši ovu temu Heraklitovom uzrečicom (izvorno je to uzrečica Simplicija iz Cilicije) panta rhei (grč. παντα ρεϊ), odnosno sve teče. 199. Američko društvo za reologiju prihvatilo je definiciju reologije: The study of the deformation and flow of matter! Dakle, može se reći da je reologija znanost koja se bavi proučavanjem deformacija materijala i njihovog toka uslijed djelovanja sile. Kako je navedeno u poglavlju 1.3.4., otpor fluida smičnoj deformaciji naziva se dinamička viskoznost, koeficijent viskoznosti ili jednostavno viskoznost. Kada se govori o viskoznosti nekog fluida misli se na dinamičku viskoznost Newtonovih fluida. Ona ostaje nepromijenjena promjenom smične brzine. Kod određenih fluida, koji se nazivaju ne-newtonovi, viskoznost se mijenja promjenom gradijenta brzine smicanja. Takva viskoznost naziva se prividna ili smična viskoznost. Na slici.1. ilustrirane su viskoznosti različitih prehrambenih proizvoda, a koje se mogu ocijeniti prema duljini kapi koju formiraju. Pri tome voda ima najmanju viskoznost, a ispitani sirup čokolade najveću viskoznost. U istom smjeru raste i jačina međumolekulskih veza u fluidu. Slika.1. Ilustracija viskoznosti različitih kapljevina ecipročna vrijednost viskoznosti naziva se fluidnost. Fluidnost se često opisuje pomoću Deborinog broja (engl. Deborah number) koji je definirao profesor Markus einer, a uključuje i elastičnost i viskoznost materijala. Deborin broj (jedn..1.) predstavlja omjer vremena potrebnog da materijal reagira na smično naprezanje, t c, i ukupnog vremena promatrane pojave, t p. 16
De t t c (.1.) p Manje vrijednosti Deborinog broja ukazuju da se tvar ponaša kao fluid pokazujući Newtonovo ponašanje. Veće vrijednosti ukazuju na izraženiju elastičnost fluida i njegovo ne-newtonovo ponašanje. Profesor einer bio je inspiriran stihom pjesme proročice Debore iz Biblije: Planine su tekle pred Gospodinom (engl. The mountains flowed before the Lord). Cjelokupna reologija temelji se na premisi da sve teče ako mu damo dovoljno vremena. eološko ponašanje kapljevina prikazuje se modelima koji predstavljaju odnos između smičnog naprezanja () i gradijenta brzine smicanja (dv/dy). Grafički prikaz ovisnosti dan je reološkim dijagramom koji se naziva i reogram. S obzirom na navedenu funkcionalnu ovisnost kapljevine se mogu podijeliti na Newtonove i ne- Newtonove..1. Newtonove kapljevine Kapljevine kod kojih je smično naprezanje proporcionalno gradijentu brzine smicanja nazivaju se Newtonove kapljevine, a njihovo ponašanje slijedi Newtonov zakon viskoznosti (jedn. 1.9.). Viskoznost Newtonovih kapljevina ostaje konstantna promjenom brzine smicanja, a iskazana je nagibom pravca u reološkom dijagramu (slika..). Slika.. Prikaz Newtonovih kapljevina u reološkom dijagramu Promotre li se kapljevine prikazane na slici.., njihova viskoznost određuje se iz nagiba pravaca, odnosno tangensa kuta. Slijedi da kapljevina oznake 1 ima veću viskoznost od kapljevine oznake jer je 1 >. 17
Viskoznost Newtonovih kapljevina mijenja se promjenom temperature, a može se opisati izrazom: A exp B T (..) gdje su A i B konstante ovisne o svojstvima materijala, a T je temperatura ( C). Povećanjem temperature doći će do smanjenja viskoznosti kapljevine (slika 1.1.). Poznavanje funkcionalne ovisnosti viskoznosti o temperaturi vrlo je važno prilikom mjerenja. Viskoznost vode mijenja se oko 3 % po 1 C pri sobnoj temperaturi... Ne-Newtonove kapljevine Ne-Newtonove se kapljevine mogu podijeliti u dvije skupine. U prvu skupinu spadaju Ostwald de Waeleove kapljevine koje mogu biti pseudoplastične ili dilatantne. Drugu skupinu čine viskoplastične kapljevine koje mogu imati Herschel- Bulkleyevo ili Binghamovo ponašanje (slika.3.) Slika.3. Prikaz Newtonovih i ne-newtonovih kapljevina u reološkom dijagramu..1. Ostwald de Waeleove kapljevine eološko ponašanje Ostwald de Waeleovih fluida opisuje se potencijskim modelom: dv n K K dy (.3.) gdje je K koeficijent konzistencije (Pa s n ), n je indeks ponašanja toka, a je oznaka smične brzine (s 1 ). 18
S obzirom na indeks ponašanja toka, n, kapljevine se dijele na pseudoplastične (n < 1) i dilatantne (n > 1). Viskoznost ovih kapljevina mijenja se promjenom gradijenta smične brzine i naziva se prividna viskoznost. Prividna viskoznost dobije se izjednačavanjem Newtonovog modela (jedn. 1.9.) i potencijskog modela (jedn..3.): n K (.4.) Na temelju jednakosti slijedi da je prividna viskoznost: a n 1 K (.5.) Prividna viskoznost predstavlja nagib tangente povučene na reološku krivulju u određenoj točki smične brzine (slika.4.a). Prema indeksu ponašanja toka prividna viskoznost dilatantnih kapljevina raste porastom smične brzine, a kod pseudoplastičnih se smanjuje (slika.4.b). a) b) Slika.4. Prividna viskoznost: a) određivanje iz reološkog dijagrama, b) promjena sa smičnom brzinom... Viskoplastične kapljevine Viskoplastičnim kapljevinama smatraju se one kod kojih postoji granica tečenja, 0. Do ove granice kapljevine se ponašaju kao elastično čvrsto tijelo, a počinju teći tek kada je smično naprezanje veće od granice (slika.5.) Ponašanje kapljevina nakon granice tečenja može se poistovjetiti s Newtonovim ili Ostwald de Waeleovim kapljevinama, a opisuje se Binghamovim ili Herschel- Bulkleyevim modelom. 19
Slika.5. Prikaz viskoplastičnih kapljevina u reološkom dijagramu Binghamove kapljevine nakon postizanja granice tečenja imaju linearnu ovisnost smičnog naprezanja o gradijentu smične brzine: 0 p (.6.) gdje je 0 granica tečenja (Pa), a p je plastična viskoznost (Pa s). Primjeri ovakvih kapljevina su majoneza, kečap, senf, suspenzije gline, zubna pasta i sl. Herschel-Bulkleyeve kapljevine se nakon postizanja granice tečenja ponašaju kao pseudoplastične ili dilatantne kapljevine: 0 HB n K (.7.) gdje je 0 granica tečenja (Pa), K HB je koeficijent konzistencije (Pa s n ), a n je indeks ponašanja toka. Postoje i drugi matematički modeli kojima se može opisati reološko ponašanje kapljevina, ali oni su specifični za određene materijale i izvedenice su spomenutih modela. Jedan od takvih modela je Cassonov model koji se koristi za opis reološkog ponašanja otopljene čokolade: 0,5 0,5 0 p 0,5 (.8.) 0
.3. Vremenska ovisnost viskoznosti Na slici.6. prikazana je podjela modela koji se koriste za opis ponašanja materijala izloženog naprezanju, a koja uključuje i ponašanje čvrstih tijela tijekom naprezanja. Slika.6. Podjela modela kojima se opisuje ponašanje materijala uslijed naprezanja Ne-Newtonovi fluidi dijele se na vremenski ovisne i vremenski neovisne. Pri tome se misli na vremensku ovisnost viskoznosti. U vremenski neovisne modele svrstavaju se oni opisani u poglavlju.. Njihova viskoznost mijenja se sa smičnom brzinom, ali je tijekom vremena konstantna. Česta je pojava kod ne-newtonovih fluida promjena viskoznosti s vremenom pri istom gradijentu smične brzine. Ova promjena vidljiva je u pojavi histereze u reološkom dijagramu (slika.7.). Slika.7. Pojava histereze zbog vremenske ovisnosti viskoznosti 1
Tiksotropija (engl. thixotropy) je pojava smanjenja viskoznosti s vremenom, a reopeksija (engl. rheopexy) je obrnuta pojava, povećanje viskoznosti kapljevine s vremenom. Ista kapljevina ponekad može pokazivati oba svojstva, ovisno o području gradijenta smične brzine. Tiksotropija se uglavnom javlja kod pseudoplastičnih kapljevina. Uslijed povećanja smične brzine dolazi do narušavanja strukture fluida te dolazi do smanjenja viskoznosti. Smanjenjem smične brzine ponovno se uspostavlja početna struktura, ali sporije nego što je narušena (slika.8.a). To ima za posljedicu manju viskoznost pri istoj smičnoj brzini (slika.8.b). smanjenje gradijenta brzine a) b) Slika.8. Tiksotropija i reopeksija: a) uspostavljanje početne strukture fluida, b) prikaz promjene viskoznosti Navedena svojstva često se susreću u biološkim kapljevinama poput sinovijalne kapljevine koja je dilatantni fluid te ima svojstvo reopeksije. Ova kapljevina u organizmu smanjuje trenje između zglobova, a zbog dilatantnog joj se ponašanja povećava viskoznost uslijed povećane aktivnosti što omogućuje apsorpciju udara i smanjenje ozljeda. Pseudoplastično svojstvo lijeka koji se dozira putem intramuskularnih injekcija smanjuje učestalost doziranja lijeka. Prolaskom kroz iglu, zbog velikih smičnih brzina, dolazi do smanjenja viskoznosti kapljevine. U mišiću dolazi do sporijeg formiranja izvorne strukture i stvaranja viskoznog sloja jer je kapljevina u mirovanju. Viskozni sloj omogućuje otpuštanje lijeka tijekom dužeg perioda. Kreme za sunčanje također pokazuju pseudoplastično ponašanje uz tiksotropiju, Nanošenjem kreme na tijelo smanjuje se njezina viskoznost čime se ona lakše razmazuje. Sporije vraćanje u prvobitni oblik, što je karakterstika tiksotropnih kapljevina, omogućuje ravnomjerno nanošenje kreme i zaštitnog faktora. Danas se sve češće u praksi radi na razvoju materijala koji pokazuju tiksotropiju ili reopeksiju jer ova svojstva daju brojne prednosti proizvodima.
3. STUJANJE NEKOMPESIBILNIH NE-NEWTONOVIH FLUIDA Jednostavni odnosi koji vrijede za strujanje Newtonovih fluida ne mogu se primijeniti za opis strujanja ne-newtonovih fluida jer viskoznost ovih fluida ovisi o gradijentu smične brzine: dv f dr (3.1.) Zbog toga je potrebno opće izraze za protok, brzinu strujanja i pad tlaka prilagoditi da vrijede za ne-newtonove fluide. 3.1. Opći izraz za protok ne-newtonovih kapljevina Za potpuno razvijeni tok u cijevi vrijedi opći izraz za protok: V vsr. A (3..) gdje je V volumni protok (m 3 ), v sr. je srednja brzina strujanja (m s 1 ), a A je površina poprečnog presjeka cijevi. Za cijev kružnog presjeka polumjera r, površina poprečnog presjeka definirana je izrazom: d A r (3.3.) 4 Slika 3.1. Poprečni presjek cijevi i element fluida Promotri li se element fluida debljine dr (slika 3.1.), njegova će površina biti: da r dr (3.4.) 3
odnosno u integralnom obliku: A r dr (3.5.) 0 Uvrštenjem izraza 3.5. u izraz za volumni protok (jedn. 3..) dobije se sljedeći oblik kojim se opisuje volumni protok: V v r dr (3.6.) 0 Da bi se dobio opći izraz za protok potrebno je jednadžbu 3.6. riješiti integriranjem. Prvi korak je parcijalno integriranje jednadžbe 3.6.: r r dv V v dr dr (3.7.) 0 0 odnosno skraćivanjem slijedi: dv V r v r dr 0 dr (3.8.) 0 U drugom je koraku potrebno analizirati prvi član jednadžbe 3.8., izraz kako je prikazano na slici 3.. r v, 0 Slika 3.. Prikaz granica integrala u jednadžbi 3.8. Granice i rješenje izraza r v : - uz stijenku cijevi r = i v = 0 pa slijedi da je - u središtu cijevi r = 0 i v = v max pa slijedi da je 0 v 0 r v max 0 4
Analiza prvog člana izraza 3.8. pokazala je da je njegova vrijednost nula. Izraz za protok može se skratiti pa ostaje: dv (3.9.) dr 0 V r dr Kako bi se opći izraz za protok mogao upotrijebiti za analizu strujanja bilo koje vrste fluida, potrebno je u izraz 3.9. uključiti funkcionalnu ovisnost smičnog naprezanja. Izrazi li se gradijent smične brzine kao funkcija smičnog naprezanja: dv dr f (3.10.) izraz 3.9. može se napisati u sljedećem obliku: (3.11.) 0 V r f dr Konačno, u trećem koraku je potrebno i r dr izraziti kao funkciju smičnog naprezanja. Uzme li se činjenica da u cijevi na nekoj udaljenosti r, smično naprezanje ima vrijednost, a na udaljenosti r =, smično naprezanje poprima vrijednost, vrijedi odnos: r, odnosno, r (3.1.) Nadalje, kvadriranjem i deriviranjem gornjeg izraza dobit će se oblik r dr: r (3.13.) dr d (3.14.) Dobiveni izrazi (jedn. 3.14. i 3.15.) sada se uvrste u izraz za protok (jedn. 3.11.) te se dobije konačni izraz općeg oblika jednadžbe za procjenu protoka ne-newtonovih fluida: 3 3 (3.15.) 0 V f d Izraz 3.15. temelj je za proučavanje strujanja svih ne-newtonovih fluida. Prilagodbe za pojedine vrste fluida uključuju se putem funkcionalne ovisnosti f. 5
3.. Strujanje Ostwald de Waeleovih fluida 3..1. Protok Izraz za protok Ostwald de Waeleovih fluida dobije se uvrštenjem potencijskog modela (jedn..3.) u opći izraz za protok (jedn. 3.15.). Iz izraza.3. slijedi: n K f K 1 n (3.16.) Protok sada ima oblik: V 3 3 1 n d (3.17.) K 0 što preuređenjem izraza prelazi u jednadžbu: V 3 n 1 n d 3 1 (3.18.) 0 K n ješenje ovog integrala daje izraz: V 3 n 3n 1 K 1 n (3.19.) Uzme li se u obzir da smično naprezanje na stijenci cijevi ovisi o promjeru cijevi i gradijentu tlaka: dp dx (3.0.) dobije se konačan izraz kojim se izračunava protok Ostwald de Waeleovih fluida prilikom strujanja u cijevi: V 3 n 1 dp 3n 1 K dx 1 n (3.1.) 6
3... Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi Srednja brzina strujanja Ostwald de Waeleovih fluida dobije se dijeljenjem protoka (jedn. 3.1.) s površinom poprečnog presjeka kružne cijevi ( ): v sr. n1 n 1 1 n n n 1 dp 3n 1 K dx (3..) U slučaju kada je indeks ponašanja toka n = 1, a koeficijent konzistencije, K, predstavlja viskoznost, model se pretvara u izraz za srednju brzinu strujanja Newtonovih fluida u laminarnim uvjetima: v sr. 1 dp 8 dx (3.3.) aspodjela brzina u cijevi dobije se izjednačavanjem potencijskom modela (jedn..3.) i općeg izraza za smično naprezanje: n dv r dp K dr dx (3.4.) Izraz 3.4. potrebno je preurediti: 1 1 n n dv r dp dr K dx 1 n 1 n 1 dp dv r dr K dx (3.5.) (3.6.) Slijedi integriranje u granicama (slika 3.3.): - uz stijenku cijevi r = i v = 0 - na nekoj udaljenosti u cijevi r = r i v = v(r) Slika 3.3. Prikaz granica integrala u jednadžbi 3.7. 7
Dakle, integral izraza 3.6. može se pisati na sljedeći način: vr ili zamjenom granica integrala: 1 n n dv r dr (3.7.) 0 1 dp K dx r 1 vr 1 n n dv r dr (3.8.) 0 1 dp K dx r 1 ješenje integrala daje izraz za raspodjelu brzina pri strujanju Ostwald de Waeleovih fluida u cijevi: n1 n1 1 dp n v n n r r K dx n 1 1 n (3.9.) U slučaju kada je indeks ponašanja toka n = 1, a koeficijent konzistencije, K, predstavlja viskoznost, model se pretvara u izraz za raspodjelu brzina strujanja Newtonovih fluida u laminarnim uvjetima: 1 dp v r r 4 dx (3.30.) Maksimalna brzina strujanja postiže se u središtu cijevi kada je r = 0. Izraz 3.9. tada prelazi u jednadžbu kojom se definira maksimalna brzina strujanja Ostwald de Waeleovih fluida: v max 1 n 1 dp n K dx n 1 n 1 n (3.31.) Postave li se u omjer maksimalna brzina strujanja (jedn. 3.31.) i srednja brzina strujanja (jedn. 3..) dobije se njihov odnos koji ovisi o indeksu ponašanja toka, n: v v max sr. 3n 1 n 1 (3.3.) Odnos između maksimalne i srednje brzine strujanja Newtonovih fluida iznosi. Za pseudoplastične fluide ovaj odnos je manji od, što daje spljošteniji profil brzina u odnosu na Newtonov fluid. Dilatantni fluidi pak stvaraju izduženiji profil, a odnos između maksimalne i srednje brzine je veći od (slika 3.4.). 8
Slika 3.4. Usporedba raspodjela brzina Newtonovih i Ostwald de Waeleovih fluida 3..3. Pad tlaka i faktor trenja Pad tlaka pri laminarnom strujanju Ostwald de Waeleovih fluida izvodi se iz srednje brzine strujanja (jedn. 3..), a uz preuređenje se dobije sljedeći izraz: n n 3 1 sr. n 1 dp n K v dx n (3.33.) Uvrsti li se umjesto polumjera cijevi njezin promjer ( = d/) dobije se izraz za procjenu pada tlaka pri laminarnom strujanju Ostwald de Waeleovih fluida: n n 6 4 sr. n 1 p n K v l n d (3.34.) U slučaju kada je indeks ponašanja toka n = 1, a koeficijent konzistencije, K, predstavlja viskoznost, model (jedn. 3.34.) se pretvara u poznatu Hagen- Poiseuilleovu jednadžbu za pad tlaka pri laminarnom strujanju Newtonovih fluida u cijevi: 3 lv sr. p (3.35.) d Hagen-Poiseuilleov zakon vrijedi samo za laminarno strujanje, dok se Darcy- Weisbachova jednadžba može primijeniti za sva područja eynoldsove značajke: sr. p 1 v (3.36.) l d Izjednačavanjem Darcy-Weisbachove jednadžbe (jedn. 3.36.) i izraza za srednju brzinu strujanja, dolazimo do izraza za faktor trenja: sr. n n sr. n1 1 v 6n 4K v d n d (3.37.) 9
K 6n 8 n v d n n sr. n (3.38.) Kako bi se faktor trenja mogao dovesti u poznatu ovisnost o eynoldsovoj značajci potrebno je prvo definirati ovu značajku za Ostwald de Waeleove fluide. Poznato je da viskoznost Ostwald de Waeleovih fluida ovisi o smičnoj brzini. Prema tome, u izraz za eynoldsovu značajku (jedn. 1.15.) potrebno je uvrstiti prividnu viskoznost: n 1 n 1 dv v a K K dy d (3.39.) eynoldsova značajka sada će imati oblik: e vd v K d PS n 1 (3.40.) Sređivanje gornjeg izraza daje eynoldsovu značajku za strujanje Ostwald de Waeleovih fluida: e PS n n d v (3.41.) K Pri strujanju Ostwald de Waeleovih fluida uvodi se i modificirana eynoldsova značajka: * PS PS 8 n e e 6n n (3.4.) Poveže li se sada faktor trenja (jedn. 3.38.) s eynoldsovom značajkom (jedn. 3.41.), slijedi: 1 6n 8 e n PS n (3.43.) Množenje i dijeljenje izraza 3.43. brojem osam daje sljedeći oblik jednadžbe: 64 1 6n e 8 n PS n (3.44.) Konačno, uzme li se u obzir modificirana eynoldsova značajka (jedn. 3.4.) izraz 3.44. prelazi u jednadžbu koja daje ovisnost faktora trenja o eynoldsovoj značajci za laminarno strujanje Ostwald de Waeleovih fluida: 64 (3.45.) e * PS 30
Izraz 3.45. podsjeća na poznatu ovisnost faktora trenja o eynoldsovoj značajci pri laminarnom strujanju Newtonovih fluida: 64 (3.46.) e a) b) Slika 3.5. Ovisnost faktora trenja o: a) eynoldsovoj značajci, b) modificiranoj eynoldsovoj značajci Faktor trenja grafički se prikazuje u ovisnosti o eynoldsovoj ili modificiranoj eynoldsovoj značajci. Slika 3.5. ilustrira linearnu ovisnost faktora trenja u odnosu na eynoldsovu i modificiranu eynoldsovu značajku. Svaka vrijednost indeksa ponašanja toka rezultirat će svojom linearnom ovisnošću ukoliko se faktor trenja prikazuje u odnosu na eynoldsovu značajku (slika 3.5.a). S druge strane, kada se faktor trenja prikazuje u odnosu na modificiranu eynoldsovu značajku postoji samo jedan pravac (slika 3.5.b) koji ilustrira jednadžbu 3.45. Faktor trenja pri turbulentnom strujanju ovisi o modificiranoj eynoldsovoj značajci, ali i o relativnoj hrapavosti cijevi. f e * PS, d, n (3.47.) Prikazuje se Moodyjevim dijagramom koji u slučaju Ostwald de Waeleovih fluida vrijedi za određenu vrijednost indeksa ponašanja toka, n (slika 3.6.). 31
a) b) Slika 3.6. Primjer Moodyjevog dijagrama za Ostwald de Waeleove fluide: a) n = 0,4, b) n = 0,6 Hidrodinamički uvjeti pri strujanju Ostwald de Waeleovih fluida definiraju se prema kritičnoj vrijednosti eynoldsove značajke. Za razliku od Newtonovih fluida pri čijem strujanju kritična eynoldsova značajka ima vrijednost približno x10 3, pri strujanju Ostwald de Waeleovih fluida kritičnu vrijednost potrebno je izračunati jer ovisi o indeksu ponašanja toka, n: e 6464 n n * PS krit. 3n 1 n n 1 (3.48.) Na slici 3.7. grafički je prikazana ovisnost kritične vrijednosti eynoldsove značajke o indeksu ponašanja toka. 3
3000 500 (e PS *) krit. 000 1500 1000 500 0 0 0,5 1 1,5,5 n Slika 3.7. Grafički prikaz ovisnosti kritične eynoldsove značajke o indeksu ponašanja toka Kada indeks ponašanja toka ima vrijednost 1, dobije se kritična vrijednost eynoldsove značajke za strujanje Newtonovih fluida. Vrijednosti manje od 1 prikazuju područje pseudoplastičnih fluida i kritične vrijednosti uglavnom veće od onih kod Newtonovih fluida što je i očekivano budući da se viskoznosti ovih fluida smanjuju s povećanjem smične brzine. Područje većih vrijednosti indeksa ponašanja toka (n > 1) odnosi se na dilatantne fluide koji imaju niže vrijednosti kritične eynoldsove značajke u odnosu na Newtonove fluide. Pri utvrđivanju hidrodinamičkih uvjeta potrebno je usporediti modificiranu eynoldsovu značajku (jedn. 3.4.) i modificiranu kritičnu eynoldsovu značajku * * (jedn. 3.48.) za Ostwald de Waeleove fluide. Kada je eps e * * laminarno, a za eps e strujanje se smatra turbulentnim. PS krit. PS krit. strujanje je 3.3. Strujanje Binghamovih fluida 3.3.1. Protok Izraz za protok Binghamovih fluida dobije se uvrštenjem reološkog modela (jedn..6.) u opći izraz za protok (jedn. 3.15.). Iz izraza.6. slijedi: 0 p 0 f (3.49.) p 33
Uvrštenjem izraza 3.49. u opći izraz za protok, slijedi: V 3 3 0 d p (3.50.) 0 Važno je napomenuti da se granice integrala izražene smičnim naprezanjem kreću od 0 kada počinje tečenje, do uz stijenku cijevi. Za sve vrijednosti < 0 nema tečenja. Integral (jedn. 3.50.) se može rastaviti na dva dijela: 3 3 V d 3 0 d p 0 0 (3.51.) ješenje integrala daje konačnu jednadžbu za protok Binghamovih fluida poznatu kao Buckingham-einerovu jednadžba: V 3 4 1 1 0 1 0 p 4 3 1 (3.5.) 3.3.. Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi Srednja brzina strujanja Binghamovih fluida dobije se dijeljenjem protoka (jedn. 3.5.) s površinom poprečnog presjeka kružne cijevi ( ): v 1 1 1 0 0 sr. p 4 3 1 4 (3.53.) aspodjela brzina kod strujanja Bighamovih fluida može se dobiti izjednačavanjem modela za Binghamov fluid (jedn..6.) i općeg izraza za smično naprezanje: dv r dp 0 p dr dx (3.54.) Izraz 3.54. sređivanjem prelazi u izraz pogodan za integriranje: r dp dx 0 dv dr dr p p (3.55.) 34
Slijedi integriranje u granicama (slika 3.8.): - uz stijenku cijevi r = i v = 0 - na nekoj udaljenosti u cijevi r = r i v = v(r) Slika 3.8. Prikaz granica integrala u jednadžbi 3.56. Integral izraza 3.55. može se pisati u sljedećem obliku: 0 1 dp 0 dv r dr dr p dx p v r r r (3.56.) ješenje integrala daje izraz za raspodjelu brzina pri strujanju Binghamovih fluida u cijevi u području gdje je r > p (polumjer čepa): 1 dp v r r r 4 dx 0 p p (3.57.) 3.3.3. Specifičnosti strujanja Binghamovih fluida Zbog svojih viskoplastičnih svojstava Binghamovi fluidi počinju teći tek nakon što se dostigne granica tečenja. Zbog toga se u jednom dijelu cijevi odvija laminarno strujanje te postoji gradijent brzine, a u središnjem dijelu cijevi, fluid se giba jednoličnom brzinom. Koncentrični dio fluida u sredini cijevi naziva se još i čep (engl. plug) (slika 3.9.). Unutar radijusa čepa nema gradijenta brzine jer je smično naprezanje malo u odnosu na granicu tečenja pa nema ni razlike u brzinama strujanja zamišljenih slojeva. Strujanje dijela fluida radijusa p (polumjer čepa) naziva se strujanje čepa (engl. plug flow). aspodjela brzina koja nastaje u dijelu cijevi od polumjera čepa ( p ) do polumjera cijevi () opisuje se izrazom 3.57. 35
Brzina gibanja čepa postiže se na udaljenosti koja odgovara polumjeru čepa (r = p ). Iz izraza za raspodjelu brzina (jedn. 3.57.) slijedi jednadžba kojom se izračunava brzina strujanja čepa: 0 1 dp v p p p 4p dx p (3.58.) Ovo je ujedno i maksimalna brzina strujanja Binghamovog fluida. Slika 3.9. Profil brzina pri strujanju Binghamovih fluida u cijevi Opći izraz za smično naprezanje može se napisati za naprezanje koje odgovara polumjeru čepa, a ima vrijednost granice tečenja (slika 3.9.): 0 p dp dx (3.59.) Slika 3.10. aspodjela brzina i naprezanja pri strujanju Binghamovih fluida u cijevi Na slici 3.10. prikazana je raspodjela brzina i naprezanja pri strujanju Binghamovih fluida u cijevi. U središnjem dijelu cijevi, koji odgovara promjeru čepa, naprezanje je minimalno i ima vrijednost granice tečenja. Ispod ove vrijednosti fluid ne teče. Usporedi li se to s Newtonovim fluidima, naprezanje u osi cijevi, gdje je maksimalna brzina strujanja, ima vrijednost nula. 36
Iz izraza 3.59. slijedi da je polumjer čepa definiran jednadžbom: p 0 dp dx (3.60.) Što je veća vrijednost granice tečenja to će polumjer čepa biti veći, a njegova brzina strujanja manja. Na slici 3.11. prikazana je odnos između brzine strujanja i promjera čepa za različite vrijednosti granice tečenja. Gornja krivulja predstavlja fluid bez granice tečenja npr. Newtonov fluid. Krivulje ispod toga rastu u smjeru veće vrijednosti granice tečenja. Na x-osi prikazan je omjer između polumjera čepa i polumjera cijevi. Kako je prikazano, veća granica tečenja rezultirat će čepom većeg promjera i znatno majom brzinom strujanja (y-os). 0 0 v v max Slika 3.11. Odnos između brzine strujanja i polumjera čepa r 37
4. DINAMIKA DVOFAZNIH SUSTAVA Višefazno strujanje uključuje sve kombinacije strujanja u kojima postoje najmanje dvije faze: čvrsta, kapljevita ili plinovita. Ovakav tip strujanja čest je u mnogim industrijama, a najviše u naftno-petrokemijskoj industriji. Posebno su značajni cjevovodi kojima se transportira plin i nafta od naftnih bušotina do kopna. Primjer ovakvog cjevovoda je Nam Con Son cjevovod u Vijetnamu. Najduljom linijom cjevovoda, duljine oko 400 km, transportira se plin i kondenzat od Lan Tay platforme do kopna (slika 4.1.) Dvofazno strujanje kondenzata i plina u cjevovodu dovodi do značajnih ušteda jer nema separacije na platformi, osim separacije vode što je znatno jednostavnije i jeftinije, a umjesto dva cjevovoda, postoji samo jedan kojim se transportiraju obje faze. Separacija se naknadno provodi na kopnu. Slika 4.1. Nam Con Son cjevovod u Vijetnamu S obzirom na kombinaciju faza dvofazno se strujanje može podijeliti u sljedeće kategorije: 1. plin-kapljevina (engl. gas-liquid),. krutina-kapljevina (engl. solid-liquid), 3. krutina-plin (engl. solid-gas) i 4. kapljevina-kapljevina (engl. liquid-liquid). 4.1. Dvofazno strujanje plina i kapljevine 4.1.1. Oblici dvofaznog strujanja plina i kapljevine Prisustvom plinovite faze u toku strujanja kapljevine znatno se mijenjaju svojstva prvobitnog jednofaznog strujanja kapljevine. To je posljedica međudjelovanja dviju faza te različitih fizikalnih svojstava svake faze. Plinovita faza u pravilu struji brže od kapljevite, pa dolazi do vremenske promjene udjela faza obzirom na poprečni presjek cijevi. 38
Obje faze mogu strujati turbulentno i laminarno. Turbulentni režim dvofaznog strujanja započinje kod nižih vrijednosti eynoldsove značajke nego što je to kod jednofaznog strujanja Newtonove kapljevine (e = 30). Kod dvofaznog strujanja smatra se da se već za e > 1000 može govoriti o turbulentnom strujanju. azlog tome je što prisustvo druge faze uvijek remeti ustaljeno pravocrtno gibanje kapljevine. S obzirom na omjere i brzine strujanja plinovite i kapljevite faze nastaju različiti pojavni oblici u horizontalnom (slika 4..) i vertikalnom (slika 4.3.) dvofaznom strujanju. plin kapljevina Čepoliko Mjehurasto Udarno Slojevito Prstenasto Valovito aspršeno Slika 4.. Pojavni oblici u horizontalnom dvofaznom strujanju plina i kapljevine Na slici 4.. prikazani su pojavni oblici dvofaznog strujanja u horizontalnoj cijevi. Smjer strelica označava povećanje brzine plinovite faze. Međutim, nastanak ovih oblika nije slijedan i znatno ovisi o brzini strujanja kapljevine. Neki od ovih oblika strujanja mogu se odvijati pri istim brzinama strujanja plina, ali uz različitu brzinu kapljevine. Za točan slijed oblika potrebno je analizirati mape oblika dvofaznog strujanja. Mjehurasto strujanje karakterizirano je malim brzinama strujanja plina te se ova faza pojavljuje u gornjem dijelu cijevi u obliku mjehurića. U slojevitom strujanju obje faze struje malim brzinama. Fluid veće gustoće, u ovom slučaju kapljevina, uvijek je na dnu cijevi. Fluidi su međusobno odvojeni u slojevima, a međufazna površina je ravna. Slikovito se može opisati kao mirna površina mora iznad koje lagano struji zrak. Poveća li se brzina strujanja plina, dolazi do stvaranja valova na površini kapljevine, ali fluidi su i dalje razdvojeni u slojevima. Takvo strujanje naziva se valovito. Čepoliko strujanje zapravo se javlja nakon mjehurastog strujanja kada se smanji brzina strujanja kapljevine, a poveća brzina strujanja plina. Mjehurići plina sada se spajaju u veće te nastaju tzv. čepovi koji struje u gornjem dijelu cijevi. Udarno strujanje nastaje kada plinovita faza struji znatno brže od kapljevite što uzrokuje podizanje valova do gornje stijenke cijevi. Stvoreni valovi mogu izazvati 39
značajne udare u stijenku pa se ovo strujanje smatra vrlo nestabilnim. Udari valova mogu rezultirati oštećenjem cjevovoda pa se ovaj oblik strujanja izbjegava u praksi. Daljnjim povećanjem brzine strujanja plinske faze slijedi prstenasto strujanje. To je oblik u kojem kapljevina struji uz stijenku cijevi stvarajući prsten, a plin i raspršena kapljevina struje u središnjem dijelu cijevi. I konačno, znatno povećanje brzine strujanja plina dovodi do najvećeg udjela plinovite faze. Zbog velike brzine strujanja, plin raspršuje kapljevinu u sitne kapljice pa se takav oblik strujanja naziva raspršeno strujanje. Slični oblici strujanja pojavljuju se i prilikom vertikalnog transporta dvofaznog sustava plina i kapljevine (slika 4.3.). U vertikalnom transportu nije moguće ostvariti slojeviti i valoviti oblik strujanja. povećanje protoka plina plin kapljevina Mjehurasto Čepoliko Uzmiješano Trakastoprstenasto Prstenasto Slika 4.3. Pojavni oblici u vertikalnom dvofaznom strujanju plina i kapljevine Englesko nazivlje vrlo je maštovito u opisu oblika dvofaznog strujanja pa se za navedene oblike strujanja mogu naći različiti nazivi: - mjehurasto engl. bubbly, bubble flow - slojevito engl. stratified-smooth flow, stratified flow - valovito engl. stratified-wavy flow, wavy flow - čepoliko engl. plug flow - udarno engl. slug flow - prstenasto engl. annular flow - raspršeno engl. dispersed flow, spray - uzmiješano engl. churn flow - trakasto-prstenasto engl. wispy annular flow 40
4.1.. Mape dvofaznog strujanja Prijenos količine gibanja i energije između plinovite i kapljevite faze ovisi o geometriji sustava, međufaznoj površini i obliku/režimu dvofaznog strujanja. Pad tlaka ili količina prenesene topline razlikovat će se za mjehurasto strujanje (plin raspršen u kapljevini) i za prstenasto strujanje (kapljevina uz stijenku, plin u sredini). To dovodi do različitih modela kojima se opisuje prijenos tvari, količine gibanja i energije. Najvažniji zadatak kod dvofaznog strujanja je upravo predviđanje režima strujanja kao i karakteristika fluida pri kojima se dolazi u prijelazna područja. Dakle, navedene je oblike dvofaznog strujanja potrebno na neki način kvantificirati kako bi se moglo predvidjeti njihovo nastajanje. Tome služe mape oblika dvofaznog strujanja (engl. flow regime maps). Mape oblika dvofaznog strujanja način su grafičkog prikazivanja rezultata vizualnog utvrđivanja oblika strujanja. S obzirom da su ključne veličine u formiranju oblika strujanja same brzine strujanja faza i njihovi udjeli, mape oblika dvofaznog strujanja konstruiraju se na temelju ovih veličina. Kada su sve vrijednosti zabilježene, ucrtavaju se linije koje predstavljaju granice između različitih oblika strujanja. Najjednostavniji način prikaza je mapa koja sadrži površinske brzine strujanja dviju faza na osima (slika 4.4.). Vrijedi za horizontalno strujanje. Slika 4.4. Najjednostavnija mapa dvofaznog strujanja Površinska brzina strujanja kapljevite faze definirana je na sljedeći način: V A L L vl vs (4.1.) 41
gdje je v L brzina strujanja kapljevine (m s 1 ), L je površinski udio kapljevite faze, odnosno udio površine poprečnog presjeka cijevi koji zauzima kapljevina, volumni protok kapljevine (m 3 s 1 ), a A je površina poprečnog presjeka cijevi koju zauzima kapljevina (m ). Na isti se način može izraziti i površinska brzina strujanja plina. Iako je ovo najjednostavnija mapa dvofaznog strujanja, njezin je nedostatak što ne uzima u obzir mogućnost promjene površinskog udjela faza. Češće korištena mapa dvofaznog horizontalnog strujanja je Bakerov dijagram (slika 4.5.). U Bakerovom dijagramu se oblik strujanja određuje na temelju masenih flukseva obje faze i Bakerovih faktora koji ovise o svojstvima obje faze. VL je Slika 4.5. Bakerov dijagram mapa oblika horizontalnog dvofaznog strujanja Na osima Bakerovog dijagrama veličina (kg m s 1 ), a m G,A označava maseni fluks plinovite faze m L,A maseni fluks kapljevite faze (kg m s 1 ). Bakerovi faktori izračunavaju se na sljedeći način: G L A W 1 1 3 W L W L W L (4..) (4.3.) gdje je gustoća (kg m 3 ), površinska napetost (N m 1 ), a viskoznost (Pa s). Indeks G označava plinsku fazu, L kapljevitu fazu, A zrak pri temperaturi od 0 C i tlaku 101 35 Pa, a W vodu pri temperaturi od 0 C. 4
Za procjenu oblika vertikalnog dvofaznog strujanja koristi se Hewitt-obertsov dijagram (slika 4.6.). Na osima se dijagrama nalaze maseni fluksevi obje faze i njihove gustoće. Slika 4.6. Hewitt-obertsov dijagram mapa oblika vertikalnog dvofaznog strujanja 4.1.3. Modeli za procjenu pada tlaka Modeli za procjenu pada tlaka dvofaznog strujanja plina i kapljevine mogu se svrstati u tri skupine: - modeli homogenog strujanja, - modeli odvojenog strujanja i - fenomenološki modeli. Modeli homogenog strujanja najjednostavniji su način izračuna pada tlaka. Najpoznatiji model iz ove skupine je tzv. McAdamsova metoda. Proračun se temelji na srednjoj vrijednosti svojstava sustava (gustoća, viskoznost, itd.), a pad tlaka izračunava se kao i pri strujanju jednofaznih sustava. Pretpostavka je ove metoda da se obje faze gibaju istom brzinom. Viskoznosti i gustoća dvofaznog sustava procjenjuju se na temelju sljedećih izraza: 1 x 1 x (4.4.) DS G L 1 x 1 x (4.5.) DS G L 43
faktor trenja, relativna hrapavost, /d gdje je indeksom DS označena viskoznost i gustoća dvofaznog sustava, indeksom G plinska faza, a indeksom L kapljevita faza. Veličina x predstavlja količinu plinske faze, npr. njezin maseni udio. Volumni protok dvofaznog sustava izračunava se na temelju volumnog protoka obje faze: V x V (1 x) V (4.6.) DS G L Pad tlaka može se procijeniti na temelju poznate Darcy-Weisbachove jednadžbe za strujanje jednofaznih sustava: p l DS 1 v d DS (4.7.) Faktor trenja očita se iz Moodyjevog dijagrama na temelju eynoldsove značajke dvofaznog sustava i relativne hrapavosti cijevi (slika 4.7.). Prijelazno područje Potpuna turbulencija, hrapave cijevi Laminarno strujanje 5x10 4 Apsolutna hrapavost površine ovisi o materijalu, ali i o karakteristikama površine. (Tablica) azvijeno turbulentno Hidraulički glatke cijevi x10 4 5x10 5 5x10 6 eynoldsova značajka, e Slika 4.7. Moodyjev dijagram Modeli heterogenog toka zasnivaju se na pretpostavkama da u presjeku cijevi svaka faza zauzima određenu površinu te da su moguće razlike u brzinama faza. Postoji niz predloženih modela u literaturi, a najjednostavnijim se smatra klasični Lockhart-Martinellijev postupak (1949.). Prema ovoj se metodi ukupni pad tlaka dobije tako da se pad tlaka jedne faze pomnoži s Lockhart-Martinellijevim faktorom, za tu istu fazu. Slijede izrazi za pad tlaka izračunatog na temelju kapljevite i plinovite faze: p p L l l DS L (4.8.) 44
p p G l l DS G (4.9.) Lockhart-Martinellijev faktor,, ovisi o tzv. Lockhart-Martinellijevom pokazatelju dvofaznog strujanja, X, koji se može izračunati na temelju pada tlaka pojedinih faza: X p l p l L G 0,5 (4.10.) Izrazi li se pad tlaka pomoću Darcy-Weisbachove jednadžbe slijedi: X ml, A L G m G, A G L 0,5 (4.11.) gdje je m L,A maseni fluks kapljevite faze (kg m s 1 ), mg,a maseni fluks plinovite faze (kg m s 1 ), je faktor trenja s obzirom na eynoldsovu značajku kapljevite ili plinovite faze, a je gustoća kapljevite ili plinovite faze (kg m 3 ). Uz poznatu vrijednost Lockhart-Martinellijevog pokazatelja dvofaznog strujanja, X, vrijednost Lockhart-Martinellijevog faktora,, može se izračunati na temelju sljedećih izraza: 1 L 1 C (4.1.) X X G 1 C X X (4.13.) gdje je C konstanta koja ovisi o hidrodinamičkom režimu strujanja faza (tablica 4.1.). Tablica 4.1. Vrijednosti konstanti Kapljevina Plin Oznaka C Turbulentno Turbulentno tt 0 Laminarno Turbulentno vt 1 Turbulentno Laminarno tv 10 Laminarno Laminarno vv 5 45
Uzevši u obzir vrijednosti konstante C (tablica 4.1.) izrazi 4.1. i 4.13. mogu se prikazati i grafički (slika 4.8.). Slika 4.8. Ovisnost Lockhart-Martinellijevog faktora o Lockhart-Martinellijevom pokazatelju dvofaznog strujanja S obzirom na dvofazno strujanje u kojem je jedna faza stlačiva, uobičajeno je u izrazima za pad tlaka i eynoldsovu značajku koristiti maseni protok ili maseni fluks tvari umjesto brzine. Bilanca tvari za dvofazno strujanje može se pisati u sljedećem obliku: muk ml mg (4.14.) gdje je m maseni protok (kg s 1 ). Maseni protoci faza mogu se izraziti s obzirom na njihov udio: L m x m 1 uk, odnosno mg x muk (4.15.) gdje je x maseni udio plina, a (1 x) maseni udio kapljevine. Brzina strujanja sada se može izraziti preko masenog protoka: v L x m 1 x muk, 1 uk A A L L (4.16.) 46
v G xm A uk G xm uk, A G (4.17.) gdje je m uk,a ukupni maseni fluks tvari (kg m s 1 ), odnosno maseni protok podijeljen s površinom poprečnog presjeka cijevi m A. eynoldsova značajka za kapljevitu fazu može se izraziti preko masenog protoka ili fluksa na sljedeće načine: uk e L 1 4 1 x muk d x m A d L L uk (4.18.) e L uk, 1 A x m d (4.19.) L 4.. Dvofazno strujanje krutine i kapljevine (transport suspenzija) Dvofazno strujanje krutine i plina često se nalazi pod pojmom transport suspenzija. Suspenzija je mješavina kapljevine i čvrstih čestica. U engleskom se koristi naziv slurry, a kada se radi o gustim suspenzijama tada se one nazivaju sludge (mulj). Ovaj oblik transporta čest je u proizvodnji fosfata, vađenju ugljena i minerala i sl. Kapljevita faza najčešće je voda, ali može biti i neka druga kapljevina. Jaružanje, iskapanje pijeska i mulja, najčešće radi produbljenja plovnog puta, je također primjer u kojem nastaju suspenzije koje je potrebno transportirati. Kako bi se suspenzije mogle uspješno i ekonomično transportira cjevovodom, trebaju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti: 1. Čvrsta faza ne smije reagirati s fluidom ili stijenkom.. Trenje tijekom transporta mora biti zanemarivo. 3. Maksimalna veličina čestica mora biti takva da se mogu koristiti standardne pumpe, cijevi i ostala oprema. 4. Čvrste čestice i suspenzija moraju biti lako mješljive i lako se razdvajati. 5. Čvrsta tvar ne smije biti korozivna sama za sebe ili u kontaktu sa fluidom. Gustoća dvofazne mješavine čvrstih čestica i kapljevine može se izračunati na temelju pojedinačnih gustoća i udjela faza: m V d V L 1 (4.0.) m d L 1 m 1 m (4.1.) gdje je m gustoća mješavine (kg m 3 ), d gustoća čvrste faze (kg m 3 ), L gustoća kapljevine (kg m 3 ), V je volumni udio čvrste faze, a m je maseni udio čvrste faze. 47
Pri transportu suspenzija mogu se javiti različiti oblici strujanja koji se nazivaju režimi strujanja. Oni ovise o brzini strujanja, promjeru cijevi, svojstvima čvrste faze, veličini čestica i gustoći čestica i kapljevine. ežimi strujanja ilustrirani su na slikama 4.9. i 4.10. Slika 4.9. ežimi strujanja koji nastaju pri transportu suspenzija s obzirom na brzinu strujanja Slika 4.10. ežimi strujanja koji nastaju pri transportu suspenzija s obzirom na veličinu čestica i brzinu strujanja 48
Homogeni tok je onaj u kojem su čestice ujednačeno raspoređene po presjeku cijevi. Čestice su vrlo sitne (< 50 m) pa sporo talože. Čvrsta faza značajno utječe na tok kapljevine. Homogene suspenzije često se nazivaju i netaložeće suspenzije. Primjeri takvog transporta su suspenzije kanalizacijskog mulja, detergenta, ugljena, papirne pulpe, vapnenca i sl. Kod heterogenog toka postoji koncentracijski gradijent u presjeku cijevi. Čestice su veće od onih kod homogene suspenzije (> 50 m) pa su sklone taloženju. Zbog toga dio čestica struji nešto manjom brzinom od brzine kojom struji kapljevina. Heterogena suspenzija i klizajući sloj. Ovaj režim javlja se kada su brzine strujanja čestica znatno manje od brzine strujanja kapljevine. Velike čestice talože na dnu, ali uslijed velike brzine strujanja kapljevine, sloj na dnu cijevi klizi određenom brzinom. Poskakivanje (engl. saltation) je režim koji nastaje kada su u suspenziji prisutne relativno velike čestice. Čestice tvore mirujući sloj na dnu cijevi. Za razliku od prethodnog režima u kojem sloj klizi, ovdje se na dnu cijevi formira sloj u kojem nema nikakvog gibanja. Povećanjem brzine strujanja kapljevine dolazi do poskakivanja čestica na površini mirujućeg sloja te na taj način dolazi do transporta čestica. Primjer ove vrste transporta može se naći u formiranju pješčanih dina uslijed strujanja vjetra. Dio pijeska koji čine sitne čestice, nošen je strujom zraka, dok krupnije čestice poskakuju po površini mijenjajući svoje mjesto i formirajući novu dinu (slika 4.11.). Slika 4.11. Formiranje pješčanih dina režimom poskakivanja 4..1. eološki modeli homogenih suspenzija Iako suspenzije nisu u potpunosti homogene, stanje homogenosti je vrsta graničnog stanja koje suspenzija približno može postići prilikom strujanja. U ovakvim su suspenzijama čestice obično malih veličina pa vrlo sporo talože. S obzirom na njihovu pseudo-homogenu strukturu, za transport ovakvih suspenzija mogu se primijeniti zakoni očuvanja koji vrijede pri strujanju jednofaznih sustava. Kao i kapljevine, homogene suspenzije mogu pokazivati Newtonovo i ne-newtonovo 49
ponašanje. Pri višim se koncentracijama homogene suspenzije ponašaju kao jedna faza, ali reološko ponašanje im je različito od onog koje ima sama kapljevina unutar suspenzije. Suspenzije s malim udjelom čvrste faze (volumni udio manji od 10 %) mogu pokazivati Newtonovo ponašanje (jedn. 1.9.). Viskoznost suspenzije moguće je izmjeriti ukoliko čestice sporo talože, ali i procijeniti na temelju empirijskih izraza. U slučaju rijetkih suspenzija ( V < 10 %) i ujednačenih sferičnih čestica, za predviđanje viskoznosti suspenzije koristi se Einsteinova jednadžba: susp. L 1,5 V (4..) gdje je susp. viskoznost suspenzije (Pa s), L viskoznost kapljevine (Pa s), a volumni udio čvrste faze. Einsteinova jednadžba ne uzima u obzir veličinu čestica i njihovo međudjelovanje u suspenziji. Zbog toga Batchelor (1977.) dodaje još jedan član u Einsteinovu jednadžbu koji uključuje ova međudjelovanja: V susp. L 1,5 6, (4.3.) Batchelorova jednadžba prisutna je u literaturi u različitim oblicima koji uključuju variranje konstante u zadnjem članu 6, V od vrijednosti 5 do 15. Teorija rijetkih suspenzija primjenjiva je kada je volumni udio čvrste faze manji od 10 % pri čemu je viskoznost suspenzije do 40 % veća od kontinuirane faze. Većina suspenzija ipak pokazuje pseudoplastična svojstva. Pseudoplastično ponašanje pripisuje se stvaranju agregata koji pružaju manji otpor smicanju od potpuno dispergiranih čestica. Viskoznost takvih suspenzija ovisi o smičnoj brzini, a definirana je kao prividna viskoznost suspenzije. Ponašanje psudoplastičnih suspenzija u potpunosti je isto kao i ponašanje pseudoplastičnih kapljevina opisano u poglavlju..1. Poznati su i primjeri homogenih suspenzija koje se opisuju kao viskoplastične i počinju teći nakon postizanja određene granice tečenja. Njihovo ponašanje opisuje se Binghamovim ili Herschel-Bulkleyevim modelom (poglavlje...). V V je 4... Viskoznost koncentriranih suspenzija Viskoznost koncentriranih suspenzija značajno odstupa od poznatog ponašanja Newtonovih i ne-newtonovih kapljevina ili suspenzija (slika 4.1.). Pseudoplastične suspenzije pokazuju smanjenje viskoznosti povećanjem smične brzine, dok se kod dilatantnih suspenzija viskoznost povećava. Međutim, koncentrirane suspenzije ne 50
pokazuju pravilan trend promjene viskoznosti te ne postoji reološki model koji bi jednostavno opisao tu promjenu. A B Slika 4.1. Promjena viskoznosti koncentriranih suspenzija povećanjem smične brzine Na slici 4.1. prikazana je promjena viskoznosti koncentriranih suspenzija povećanjem smične brzine. Može se uočiti da je pri malim smičnim brzinama viskoznost konstantna. Ovo područje naziva se Newtonov plato malih smičnih brzina (A). Brownovo gibanje dominira u koncentriranim suspenzija u stanju mirovanja i pri malim smičnim brzinama. Struktura koju stvaraju čestice je potpuno slučajna, a viskoznost suspenzije (visina platoa) će ovisiti o volumnom udjelu čvrste faze. Povećanjem smične brzine dolazi do narušavanja slučajne strukture čestica, one se počinju preferirano grupirati i orijentirati kako bi pružile što manji otpor. Zbog toga dolazi do smanjenja viskoznosti i izraženog pseudoplastičnog ponašanja. Daljnje povećanje smične brzine dovodi do područja u kojem je hidrodinamički utjecaj značajniji od Brownovog gibanja. Čestice poprimaju potpuno organiziranu strukturu (list, linija) koja pruža najmanji otpor gibanju. Pri istom udjelu čvrste faze, viskoznost suspenzije organizirane strukture bit će znatno manja od one koju će imati suspenzija slučajne strukture. Postizanje organizirane strukture očituje se u ponovnom postizanju konstantne vrijednosti viskoznosti, a područje se naziva Newtonov plato velikih smičnih brzina (B). 51
Postoji velik broj empirijskih modela kojima se može opisati promjena viskoznosti koncentriranih suspenzija. Jedan od njih je Krieger Doughertyjev model: * susp. V L 1 V,maks. V,m aks. (4.4.) gdje je * susp. viskoznost suspenzije (Pa s), V volumni udio čvrste faze, V,maks. maksimalni faktor pakiranja, odnosno maksimalni volumni udio čvrste faze kod kojeg je koncentracija suspenzije takva da ona više ne može teći, a viskoznost suspenzije teži u beskonačnost; [] je intrinzička viskoznost. Vrijednosti maksimalnog faktora pakiranja i intrinzičke viskoznosti ovise o veličini i raspodjeli veličina čestica, a vrijednosti su tabelirane za poznate sustave. 4..3. Pad tlaka pri strujanju homogenih i heterogenih suspenzija Homogene suspenzije. Pad tlaka se kod svih vrsta strujanja može opisati Darcy-Weisbachovom jednadžbom. Ukoliko se radi o homogenim ne-newtonovim suspenzijama pseudoplastičnog ponašanja potrebno je uzeti u obzir hidrodinamiku Ostwald de Waeleovih fluida. Pad tlaka može se izračunati na temelju izraza 3.36. u kojem faktor trenja ovisi o modificiranoj eynoldsovoj značajci i o relativnoj hrapavosti cijevi (jedn. 3.47.). Postupak proračuna isti je kao kod strujanja Ostwald de Waeleovih fluida kako je opisano u poglavlju 3..3. Pad tlaka pri laminarnom strujanju homogenih suspenzija koje pokazuju Binghamovo ponašanje izvodi se iz Buckingham-einerove jednadžbe za srednju brzinu strujanja: v 1 1 1 0 0 sr. p 4 3 1 4 (4.5.) Budući da je granica tečenja znatno manja od naprezanja uz stijenku zadnji član u izrazu 4.5. se može zanemariti pa slijedi: 0 v sr. 1 1 0 p 4 3 (4.6.) Sređivanjem gornjeg izraza slijedi jednadžba: 4 v sr. 0 p 3 (4.7.) 5
Smično naprezanje uz stijenku cijevi može se izraziti putem općeg izraza za naprezanje: dp dx (4.8.) Uvrštenjem izraza 4.8. u izraz 4.7. slijedi jednadžba kojom se opisuje pad tlaka pri strujanju Binghamovih homogenih suspenzija u laminarnim uvjetima: p 3p vsr. 16 0 (4.9.) l d 3 d Izraz 4.9. ima oblik poznate Hagen-Poiseuilleove jednadžbe koja je prilagođena za Binghamove fluide uzimajući u obzir njihovo viskoplastično ponašanje i granicu tečenja, 0. Slika 4.13. Ovisnost Fanningovog faktora trenja o eynoldsovoj i Hedstromovoj značajci Ukoliko je strujanje homogenih Binghamovih suspenzija turbulentno, pad tlaka se izračunava iz Darcy-Weisbachove jednadžbe (jedn. 3.36.). Faktor trenja ovisi o eynoldsovoj i Hedstromovoj značajci i može se očitati iz dijagrama (slika 4.13.): f e, He (4.30.) eynoldsova značajka za Binghamove fluide može se izračunati iz izraza: e v d sr. m (4.31.) p gdje je v sr. srednja brzina strujanja (m s 1 ), d promjer cijevi (m), p je plastična viskoznost (Pa s), a m gustoća dvofazne mješavine (kg m 3 ) (jedn. 4.0. ili 4.1.). 53
Hedstromova značajka definirana je sljedećim izrazom: 0 d m p He (4.3.) gdje je 0 granica tečenja (Pa), a ostale veličine jednake kao i u izrazu 4.9. Fanningov faktor trenja (slika 4.13.), f, često se može naći u literaturi, pa i u Moodyjevom dijagramu. Faktor trenja,, povezan je s Fanningovim faktorom sljedećim izrazom: 4 f (4.33.) Heterogene suspenzije. Pri transportu heterogenih suspenzija važno je odrediti kritičnu brzinu taloženja. Ako se transport provodi pri manjim brzinama, čestice će taložiti i začepiti cjevovod. Kako bi se ostvarila brzina veća od brzine taloženja čestica potrebno je procijeniti pad tlaka u cjevovodu. Kritična brzina i pad tlaka ovise o: veličini čestica, promjeru cijevi, udjelu čvrste faze, gustoći čestica itd. Pad tlaka procjenjuje se na temelju empirijskih izraza. Slika 4.14. Pad tlaka u ovisnosti o brzini strujanja suspenzije Općenito se može ustvrditi da se homogene suspenzije ponašaju kao Newtonovi ili ne-newtonovi fluidi te da za njih vrijede iste zakonitosti. Hidrodinamički se uvjeti mogu podijeliti na laminarne i turbulentne. S druge strane, heterogene suspenzije 54
predstavljaju problem u transportu jer vrlo brzo talože što može uzrokovati začepljenje cjevovoda. Kod transporta suspenzija koje talože, strujanje pri brzinama manjim od kritične brzine taloženja uzrokuje porast gubitka energije, pada tlaka (slika 4.14.). Zbog taloženja čestica dolazi do smanjenja površine poprečnog presjeka što uzrokuje povećani otpor. Stoga bi transport heterogenih suspenzija trebalo provoditi iznad kritične brzine taloženja gdje se ostvaruje heterogeni režim i nema mirujućeg sloja na dnu stijenke. 4.3. Dvofazno strujanje krutine i plina (pneumatski transport) Dvofazno strujanje krutine i plina naziva se pneumatski transport. Čvrsti materijal transportira se pomoću struje zraka ili nekog drugog inertnog plina. U prošlosti se glavnina pneumatskog transporta provodila uz mali udio čvrste faze pri velikim brzinama plina. 1960.-ih počinje razvoj sustava pneumatskog transporta tzv. gustih sustava, koji sadrže veliki udio čvrste faze, pri malim brzinama. U ovakvim sustavima čestice nisu potpuno suspendirane u struji zraka. Pneumatski transport razrijeđenih sustava (engl. dilute phase transport) provodi se pri brzinama strujanja plina manjim od 0 m s 1. azrijeđenim sustavima smatraju se oni u kojima je volumni udio čvrste faze manji od 1 % (slika 4.15.a). Transport ovakvih sustava provodi se kontinuirano na manjim udaljenostima. Kapacitet je oko 10 t h 1 pri čemu je pad tlaka do 5 mbar m 1. Dominirajuće sile između čestica i fluida osiguravaju potpunu suspendiranost čestica. Pneumatski transport gustih sustava (engl. dense phase transport) provodi se pri malim brzinama strujanja, 1 5 m s 1. Volumni udio čvrste faze veći je od 30 %. Čestice nisu u potpunosti suspendirane u plinu (slika 4.15.b), a pad tlaka je veći od 0 mbar m 1. Dominiraju interakcije između čestica. a) b) Slika 4.15. Pneumatski transport: a) razrijeđenih sustava, b) gustih sustava Brzina gušenja (engl. choking velocity) u vertikalnom transportu i brzina poskakivanja (engl. saltation velocity) u horizontalnom transportu predstavljaju granicu između navedenih načina transporta. 55
4.3.1. Vrste sustava pneumatskog transporta Pneumatski transportni sustavi obično se u cijelosti naručuju kod specijaliziranog proizvođača. Dva su osnovna tipa sustava: 1. Sustav s vakuumom za koji je karakterističan mali kapacitet i mali pad tlaka. Materijal se transportira s nekoliko sabirnih mjesta na jedno zajedničko.. Sustav pod tlakom za koji je karakterističan veći kapaciteti i veći pad tlaka. Materijal se transportira pod tlakom s jednom mjesta na nekoliko različitih. Na slici 4.16. prikazan je primjer pneumatskog i tlačnog transporta zrna kukuruza kokičara tvrtke Coperion K-tron (www.ktron.com). a) b) Slika 4.16. Pneumatski transport zrna kukuruza kokičara: a) tlačni sustav, b) vakuum sustav 56
4.3.. Proračun pada tlaka I tlačni i vakuum sustavi dimenzioniraju se na isti način, izračunom energije potrebne za transport željene količine materijala. U pneumatskom transportu, kao i u transportu heterogenih suspenzija, važno je imati na umu tzv. brzinu poskakivanja. Brzina poskakivanje je kritična brzina ispod koje dolazi do znatnog taloženja čestica, a u konačnici i do začepljenja cjevovoda. Slika 4.17. Promjena pada tlaka u ovisnosti o brzini strujanja plinovite faze Na slici 4.17. prikazana je promjena pada tlaka u ovisnosti o brzini strujanja plinovite faze. Linije CDEF i GH predstavljaju linije pada tlaka za dvofazne sustave različitih masenih flukseva čvrste faze; linija GH odnosi se na veći maseni fluks čvrste faze. Linija AB predstavlja liniju pada tlaka koja je posljedica strujanja čiste plinovite faze. U točki C je brzina strujanja plina dovoljno velika da su čestice potpuno suspendirane, a koncentracija vrlo mala. Čestice ne talože na površinu cijevi. Pri ovoj se brzini odvija transport razrijeđenih sustava. Smanjenjem brzine strujanja dolazi do smanjenja pada tlaka, što je i očekivano, a time i do smanjenjem brzine gibanja čestica. Kada se brzina toliko smanji da dosegne točku D, struja plina više nije dostatna da čestice ostanu suspendirane pa dolazi do taloženja na površini cijevi. Brzina kod koje se to događa naziva se brzina poskakivanja. U trenutku kada dio čestica počinje taložiti na površini cijevi dolazi do naglog pada tlaka pri istoj brzini strujanja (DE). Daljnjim smanjenjem brzine (EF) sve više čestica taloži, a pad tlaka raste zbog smanjenja slobodne površine poprečnog presjeka. Iste promjene mogu se uočiti pri većem masenom fluksu čvrste tvari (GH), ali se brzina poskakivanja pomiče prema većim vrijednostima. U pneumatskom transportu, kao i u transportu suspenzija, brzina strujanja mora biti veća od brzine poskakivanja. 57