SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

Transcription

1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna Stjepan Šimunović

2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA: JEZGRA POPREČNOG PRESJEKA Osijek, 15. rujna Stjepan Šimunović

3 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA JEZGRA POPREČNOG PRESJEKA STJEPAN ŠIMUNOVIĆ PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati stanje naprezanja kratkih štapova opterećenih ekscentričnom tlačnom silom, pomoću jezgre poprečnog presjeka. U uvodu treba opisati problem, u teoretskom dijelu dati osnovnu analizu i prikaz izraza za izračun zadanog problema. Riješiti zadane primjere. Osijek, 15. lipnja Mentor/ica: Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina

4 SADRŽAJ Sažetak... ii 1. Uvod Definiranje osnovnih pojmova Složeno opterećenje štapova Ekscentrično opterećenje štapa Jezgra presjeka Primjeri određivanja jezgre i naprezanja na presjecima različitih oblika T presjek I presjek Z presjek Zaključak Literatura i

5 SAŽETAK U radu su analizirana naprezanja kratkih štapova, opterećenih ekscentričnom tlačnom silom, pomoću jezgre poprečnog presjeka. Definiran je pojam jezgre presjeka, svrha i način njenog određivanja te način određivanja naprezanja u presjecima koji su opterećeni centričnom i ekscentričnom uzdužnom tlačnom silom. U zadanim primjerima jezgra poprečnog presjeka je određena grafički i analitički. Za zadane poprečne presjeke provedeni su proračuni naprezanja za tri različita položaja sile. Određen je položaj neutralne osi i prikazana raspodjela normalnih naprezanja u poprečnom presjeku. Ključne riječi: ekscentrična tlačna sila, jezgra poprečnog presjeka, naprezanja. ii

6 1. UVOD Realne građevinske konstrukcije (krovišta, zidovi, brane, mostovi itd.) pa tako i njihovi dijelovi (štapovi grede i stupovi) svakodnevno su izloženi vanjskim opterećenjima. Pod djelovanjem vanjskih opterećenja odnosno sila dolazi do promjene položaja sitnih čestica. Promjene međusobnog položaja čestica izazivaju pojavu unutarnjih sila u štapovima (štap se napreže). Ove sile pružaju otpor vanjskim silama i nastoje vratiti sitne čestice u njihov prvobitni položaj (u ravnotežu). Unutarnje sile rastu s porastom vanjske sile sve dok se ne izjednače s njome odnosno dok se ne postigne ravnoteža. Pod djelovanjem ovih sila u štapovima nastaju deformacije. Nakon rasterećenja štapova, neki se vraćaju u prvobitno stanje, dok drugi u potpunosti ili djelomično zadržavaju deformirani oblik. Neki građevinski materijali dobro podnose jednu vrstu opterećenja, npr. tlačna naprezanja, dok drugu vrstu opterećenja, kao što je vlak, podnose slabije. Takvi materijali su beton, kamen i opeka. Stoga se postavlja pitanje, na koje građevinski inženjer mora odgovoriti, u kojem dijelu poprečnog presjeka štapa (grede, stupa) treba djelovati sila da u cijelom presjeku bude istovrsno naprezanje, odnosno tlak. Odgovor leži u pronalaženju neutralne osi i jezgre poprečnog presjeka štapa. Koncept jezgre poprečnog presjeka prvi put je uveo francuski inženjer M. Bresse godine [3]. Koncept jezgre presjeka uvelike se počeo koristi u dizajnu prednapregnutih betonskih greda [4], podloga [5] i betonskih brana [6]. Poznato je da je naprezanje u neutralnoj osi jednako nuli. To znači da održavanjem neutralne osi izvan poprečnog presjeka ili u graničnom slučaju tangiranjem poprečnog presjeka možemo zadržati presjek pod istim predznakom naprezanja. Stoga se od građevinskih inženjera traži da kod projektiranja pravilno rasporede sile i dimenzioniraju presjeke štapova, osobito onih izrađenih od materijala koji nisu otporni na vlak ili tlak. 1

7 2. DEFINIRANJE OSNOVNIH POJMOVA U svrhu boljeg razumijevanja problematike ovog završnog rada potrebno je upoznati se s pojmovima sile, naprezanja, momenta inercije, neutralne osi, jezgre presjeka itd. Opterećenja raspoređena na vanjskim površinama štapa, u građevinskoj terminologiji, najčešće nazivamo vanjskim silama. Ovdje se neće ulaziti u fizikalno razmatranje i definiranje pojma sile. Dvije jednake vanjske sile mogu djelovati vlačno ili tlačno u samoj osi štapa (štap je osno opterećen), pa se nazivaju uzdužne centrične sile, a kada djeluju izvan njegove osi nazivaju se ekscentrične sile. Vanjskim silama suprotstavljaju se unutarnje sile. Unutarnje sile mogu biti uzdužne (aksijalne) i poprečne (radijalne sile). Unutarnje sile, uzrokovane vanjskom uzdužnom centričnom silom, podijeljene s površinom presjeka na koji djeluju zovu se naprezanje. Prema djelovanju unutarnjih sila razlikuje se: Normalno naprezanje usmjereno okomito na ravninu poprečnog presjeka štapa u pravcu osi x, tijelo se opire međusobnom primicanju ili razmicanju svojih čestica Posmično (tangencijalno) naprezanje djeluje tangencijalno po površini poprečnog presjeka (u ravnini poprečnog presjeka, paralelno s unutarnjom površinom) u smjeru preostale dvije osi y i z, tijelo se opire klizanju jednog sloja čestica po drugom Moment inercije je produkt malih površina tijela i kvadrata udaljenosti do osi y i z (osi y i z aksijalni moment) ili pola (polarni moment inercije). Neutralna os je pravac presjeka gdje su normalna naprezanja jednaka nuli. Ona dijeli poprečni presjek na dva dijela, vlačni i tlačni. Neutralna os uvijek prolazi kroz kvadrant suprotan kvadrantu u kojemu je hvatište sile. Jezgra presjeka je dio poprečnog presjeka unutar kojeg djelovanje uzdužne sile izaziva stanje naprezanja istog predznaka na cijelom poprečnom presjeku. 2

8 3. SLOŽENO OPTEREĆENJE ŠTAPOVA U mehanici, ravni štapovi mogu biti opterećeni različitim unutarnjim silama, N, T y, T z, M x, M y, M z ili kombinacijom istih. Slika 1. Složeno opterećenje štapova [1] Ovisno o kombinacijama unutarnjih sila, stanje naprezanja može se razmatrati kao: jednoosno (koso savijanje, aksijalno opterećenje sa savijanjem) ili višeosno (savijanje s torzijom, aksijalno opterećenje s torzijom, aksijalno opterećenje sa savijanjem i torzijom) Određivanje jednoosnog stanja naprezanja je uobičajeno, bez teorija čvrstoće, dok se višeosno stanje naprezanja temelji na teorijama čvrstoće Ekscentrično opterećenje štapa Razmatra se slučaj jednoosnog stanja naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile F (tlačne ili vlačne). Sila F može djelovati centrično, kada joj je hvatište u težištu presjeka ili ekscentrično, kada je hvatište izvan težišta presjeka te se naziva polom. Pol A se nalazi na udaljenosti e od težišta presjeka koja se naziva ekscentričnošću sile. Opterećenje ekscentričnom uzdužnom silom F može se razložiti na silu F koja djeluje u težištu presjeka i na spreg sila s momentom M = F e. Može se zaključiti da je ekscentrično opterećenje kombinacija aksijalnog opterećenja i kosog savijanja. 3

9 Komponente momenta savijanja su: M y = M cosα = F* e cosα = F *e z M z = M sinα = F e sinα = F e y. (1.) Naprezanje u nekoj točki B (y, z): σ x = ( F A + M y I y σ x = +( F A + M y I y z + M z I z y) (tlačno -) z + M z I z y) (vlačno +) σ x = F A ( 1+ e z i y 2 z + e y i z 2 y ), (2.) gdje su: i y = I y A, i z= I z A Slika 2. Ekscentrična sila [1] Naprezanja na neutralnoj osi jednaka su nuli, σ x = 0. Iz te činjenice moguće je pronaći izraze za odsječke neutralne osi na koordinatnim osima y i z te koeficijent smjera neutralne osi: σ x = 0 1+ e z i y 2 z + e y i z 2 y = 0 ili: z i y 2 ez + y i z 2 ey = 1 z a z + y a y = 1 4

10 Slijedi izraz za odsječke neutralne osi na koordinatnim osima: a z = i y 2 e z, a y = i z 2 e y. (3.) Iz ovoga izraza se zaključuje da položaj neutralne osi ne ovisi o intenzitetu i predznaku sile F, nego samo o položaju hvatišta sile A(e y, e z ) te o geometrijskim karakteristikama poprečnog presjeka. Koeficijent smjera neutralne osi: tgφ = a z a y = i y 2 e y e z i2 = i 2 y z i2 tgα = I y tgα (4.) z I z Ukoliko se hvatište sile pomiče po pravcu OA, koji prolazi težištem presjeka, tada se neutralna os pomiče u istom smjeru: ako je hvatište u težištu presjeka neutralna os se nalazi u beskonačnosti. obrnuto, ako se hvatište pomakne u beskonačnost neutralna os prolazi težištem presjeka ako je A (e y, e z ) pol sile F, tada neutralna os n A na koordinatnim osima ima odsječke a z = i y 2 e z i a y = i z 2 e y. 5

11 Slika 3. Položaj neutralne osi u odnosu na hvatište sile [1] Slika 4. Uzajamnost neutralne osi i pola [1] Ako sila F ima hvatište u točki B (ay, az) tada je jednadžba neutralne osi: ili 1+ a z i y 2 z + a y i z 2 y = 0 z i y 2 az + y i z 2 ay = 1 6

12 Konačno, ove jednadžbe povezane s izrazom (3.) glase: z + y = 1 e z e y Može se zaključuje da postoji zakon uzajamnosti neutralne osi i pola Jezgra presjeka Ustanovljeno je da položaj neutralne osi ovisi o položaju hvatišta ekscentrične sile. Neutralna os tako može presijecati poprečni presjek, dodirivati ga ili ležati izvan njega. Ukoliko neutralna os dodiruje presjek ili leži izvan njega, tada su normalna naprezanja u presjeku istoga predznaka. Ako neutralna os presijeca presjek, tada su u jednom dijelu vlačna, a u drugom dijelu presjeka tlačna naprezanja (slika 5). Slika 5. Predznak naprezanja u odnosu na neutralnu os [12] Šimić, V. [1] definira jezgru na sljedeći način Jezgra je presjeka dio poprečnog presjeka u kojem se mora nalaziti hvatište ekscentrične uzdužne sile da bi se u čitavome presjeku pojavila naprezanja istog predznaka. Posebno je važno poznavati položaj jezgre presjeka jer se u konstrukcijama često koriste ekcentrično pritisnuti stupovi koji su izrađeni od materijala koji dobro podnose tlačna opterećenja, ali su slabi pri vlačnim opterećenjima. Takvi materijali su beton, kamen i opeka. Zato se hvatišta sila postavljaju tako da položaj njihovih neutralnih osi bude izvan presjeka ili da dodiruju presjek. Sva hvatišta čije su neutralne osi tangente na presjek, čine konturu jezgre 7

13 presjeka. Pažljivim odabiranjem oblika i dimenzija presjeka nastoji se da rezultanta tlačna sila ima hvatište unutar jezgre presjeka radi postizanja istog predznaka naprezanja u presjeku. Slika 6. Jezgra presjeka [1] Slika 7. Jezgra presjeka [1] Jezgra poprečnog presjeka može se odrediti analitički i grafički. Kod obje metode polazi se iz istog uvjeta, odnosno određuje se na način da se na neki presjek povuku sve moguće tangente, koje predstavljaju neutralne osi, te se nađu njihovi pripadni polovi u kojima djeluje sila. Za neutralne osi uzimaju se tangente na presjek, jer se time pronalaze hvatišta sila za koje su naprezanja jednakoga predznaka. Ako neutralna os odsijeca osi na udaljenosti a z i a y, koordinate pola A(e y, e z ) se određuju prema izrazima: e y = i z 2 a y e z = i 2 y a z (5.) Rub jezgre poprečnog presjeka se dobije spajanjem hvatišta A 1, A 2, Presjeci su često konveksno poligonalnog oblika, pa se neutralne osi postavljaju tako da se poklapaju sa stranicama poligona te se pomoću izraza (5.) odrede pripadajući polovi (1, 2, 3, 4, 5, 6 na slici 7.) Kada neutralna os prelazi s jedne stranice konveksnog poligona na drugu, tada ona rotira oko jednog vrha poligona, npr. oko točke B, a pripadni pol se pomiče po pravcu od toče 1 do točke 2. Dužina 1-2 postaje dio jezgre koji sadrži sva hvatišta čije su pripadne neutralne osi sve one koje dodiruju poligon u točci B. 8

14 Može se zaključiti da svakom vrhu jezgre odgovara stranica konveksnog poligona, i obrnuto, svakom vrhu konveksnog poligona odgovara stranica jezgre. Često se događa da presjek nije konveksni poligon, jer je sastavljen od više dijelova ( I profili, T profili, U profili...). Tada se takvim presjecima reduciraju tangente tako da oblikuju konveksni poligon. Određivanje jezgre presjeka za osnovne presjeke: a) kružni poprečni presjek Slika 8. Jezgra presjeka kružnog oblika [1] Ovaj presjek je krug, centralno simetričan, pa je i jezgra krug te je dovoljno odrediti samo koordinatu jedne točke na rubu jezgre. Glavni polumjeri tromosti presjeka su: i y = i z = πr4 4πR 2 = R 2. Najjednostavnije je postaviti tangentu paralelnu s jednim od glavnih osi. Postavljena je tangenta paralelna s osi y. Ona odsjeca odsječke s koordinatama: a z = R, a z =. Koordinate pripadajućeg pola su: e y = i z 2 a y = R2 4 = 0 e z= i 2 y a z = R2 4R = R 4. 9

15 b) pravokutni poprečni presjek Glavni središnji polumjeri tromosti presjeka su: i 2 z = h 2, i 12 y 2 = b 2 12 Neutralna os n 1 -n 1 na glavnim osima ima odsječke a z = h 2, a z =. Koordinate pripadajućeg pola A 1 su: e y = i z 2 a y = h h = h 6 e z = i y 2 a z = i y 2 = 0. Na isti način se odrede i koordinate polova za ostale neutralne osi: A 2 ( b, 0), A 6 3(0, h ), A 6 4( b, 0). To su vrhovi jezgre koji se nalaze unutar srednje trećine 6 presjeka. Za konstrukciju jezgre su mjerodavne samo one tangente, tj. neutralne osi koje oko presjeka opisuju konveksan poligon bez da presijecaju presjek. Slika 9. Jezgra pravokutnog poprečnog presjeka [1] 10

16 Slično kao i za gore opisana dva osnovna oblika, jezgra presjeka se može opisati i za druge nepravilne oblike presjeka štapova (L, I, C), slike 10 i 11. Slika 10. Jezgra presjeka nepravilnog oblika [12] Slika 11. Jezgre I i C presjeka [1] 11

17 4. PRIMJERI ODREĐIVANJA JEZGRE I NAPREZANJA NA PRESJECIMA RAZLIČITIH OBLIKA U ovom poglavlju dano je nekoliko praktičnih primjera analitičkog i grafičkog postupka određivanja jezgre. Proveden je proračun naprezanja za tri različita položaja sile. Određen je položaj pripadajućih neutralnih osi i prikazana raspodjela naprezanja u zadanim poprečnim presjecima T presjek Površina: Težište: A = = 120 y T = z T = Momenti tromosti: = 5 cm = 10, 5 cm I y = , ,52 12 = 3330 cm 4 I z = = 625 cm 4 Polumjeri inercije: i y == I y A = = 5,27 cm i z == I z A = = 2,28 cm 12

18 Određivanje jezgre presjeka grafički: 13

19 Određivanje jezgre presjeka analitički: Odsječci na osima: y 0,1 = i z 2 z 0,1 = i y 2 y 1 = 2,282 2,5 z 1 = 5,272 10,5 = 2,08 cm = 2,65 cm y 0,3 = i z 2 z 0,3 = i y 2 = 2,282 y 3 5 z 3 = 5,272 7,5 = 1,04 cm = 3,70 cm y 0,2 = i z 2 z 0,2 = i y 2 = 2,282 y 2 5 z 2 = 5,272 1,5 = 1,04 cm = 18,52 cm 14

20 Naprezanja u presjeku, ako uzdužna tlačna sila djeluje: -u jezgri presjeka s hvatištem A(0, 0): σ x = N A = = 16,67 -na rubu jezgre presjeka s hvatištem A(0, 3.70): Komponenta momenta savijanja: M y = F 3,70 = ,70 = 7400 cm 15

21 Normalna naprezanja uzrokovana momentom savijanja: σ x,1 = M y z = ,5 = 16,67 I y 3330 σ x,2 = M y z = ,5 = 23,33 I y 3330 Normalna naprezanja uzrokovana uzdužnom tlačnom silom: σ x,1 = σ x,2 = N A = = 16,67 Ukupno normalno naprezanje: σ x,1 = 16,67 16,67 = 0 σ x,2 = 23,33 16,67 = 40 Naprezanja određena grafički: očitano: e= 3,70 cm, k 1 = 3,7 cm, k 2 = 2,64 cm σ x,1 = F A (1 e k 1 ) = σ x,2 = F A (1 + e k 2 ) = (1 3,7 3,7 ) = 0 3,7 (1 + ) = 40 2,64 Položaj neutralne osi: a z = N I y = = 7,5 cm M y A ili a z = i y 2 z = 5,272 3,70 = 7,5 cm 16

22 -na konturi presjeka s hvatištem A(2.5, 10.5): Komponenta momenta savijanja: M y = F 10,5 = ,5 = cm M z = F 2,5 = ,5 = 5000 cm Normalna naprezanja uzrokovana momentom savijanja: σ x,1 = M y I y σ x,2 = M y I y z + M z y = ,5 + 5 = 87,30 I z z + M z y = ,5 2,5 = 86,22 I z Normalna naprezanja uzrokovana uzdužnom tlačnom silom: σ x,1 = σ x,2 = N A = = 16,67 17

23 Ukupno normalno naprezanje: σ x,1 = 87,30 16,67 = 70,63 σ x,2 = 86,22 16,67 = 102,89 Naprezanja određena grafički: očitano: e= 10,79 cm, k 1 = 2,06 cm, k 2 = 2,09 cm σ x,1 = F A (1 e k 1 ) = σ x,2 = F A (1 + e k 2 ) = ,79 (1 ) = 70,63 2,06 10,79 (1 + ) = 102,71 2,09 Položaj neutralne osi: a y = N M z I z A = = 2,08cm a z = N I y = = 2,64 cm M y A ili a y = i z 2 y = 2,282 2,5 a z = i y 2 z = 5,272 10,5 = 2,08 cm = 2,65 cm 18

24 4.2. I presjek Površina: A = 192 Težište: y T = z T = Momenti tromosti: = 9 cm = 12 cm I y = = cm 4 I z = = 2384 cm Polumjeri inercije: i y == I y A = = 10,18 cm i z == I z A = = 3,52 cm 19

25 Određivanje jezgre grafički: 20

26 Određivanje jezgre analitički: y 0,1 = i z 2 z 0,1 = i y 2 = 3,522 y 1 9 = 10,182 z 1 9 = 1,38 cm = 11,51 cm y 0,3 = i z 2 z 0,3 = i y 2 = 3,522 y 3 5 = 10,182 z 3 19 = 2,48 cm = 5,45 cm y 0,2 = i z 2 z 0,2 = i y 2 = 3,522 y 2 9 = 10,182 z 2 5 = 1,38 cm = 20,73 cm 21

27 Naprezanja u presjeku, ako uzdužna tlačna sila djeluje: -u jezgri presjeka s hvatištem B(0, 0): σ x = N A = = 10,42 22

28 -na rubu jezgre presjeka s hvatištem B (1.52, 2.12): Komponenta momenta savijanja: M y = F 2,12 = ,12 = 4240 cm M z = F 1,52 = ,52 = 3040 cm Normalna naprezanja uzrokovana momentom savijanja: σ x,1 = M y I y σ x,2 = M y I y z + M z y = = 10,42 I z z + M z y = ( ) = 13,39 I z Normalna naprezanja uzrokovana uzdužnom tlačnom silom: σ x,1 = σ x,2 = N A = = 10,42 23

29 Ukupno normalno naprezanje: σ x,1 = 10,42 10,42 = 0 σ x,2 = 13,39 10,42 = 23,81 Naprezanja određena grafički: očitano: e= 2,61 cm, k 1 = 2,61 cm, k 2 = 2,03 cm σ x,1 = F A (1 e k 1 ) = σ x,2 = F A (1 + e k 2 ) = (1 2,61 2,61 ) = 0 2,61 (1 + ) = 23,81 2,03 Položaj neutralne osi: a y = N I z = = 8,17 cm M z A a z = N I y = = 48,9 cm M y A ili a y = i z 2 y = 3,522 1,52 a z = i y 2 z = 10,182 2,12 = 8,15 cm = 48,9 cm 24

30 -na konturi presjeka s hvatištem B(-4.5, 9): Komponenta momenta savijanja: M y = F 9 = = cm M z = F 4,5 = ,5 = 9000 cm Normalna naprezanja uzrokovana momentom savijanja: σ x,1 = M y I y σ x,2 = M y I y z + M z y = = 36,06 I z z + M z y = ( ) = 42,12 I z Normalna naprezanja uzrokovana uzdužnom tlačnom silom: σ x,1 = σ x,2 = N A = = 10,42 25

31 Ukupno normalno naprezanje: σ x,1 = 36,06 10,42 = 25,64 σ x,2 = 42,12 10,42 = 52,54 Naprezanja određena grafički: očitano: e= 10,06 cm, k 1 = 2,91 cm, k 2 = 2,49 cm σ x,1 = F A (1 e k 1 ) = σ x,2 = F A (1 + e k 2 ) = ,06 (1 ) = 25,59 2,91 10,06 (1 + ) = 52,50 2,49 Položaj neutralne osi: a y = N I z = = 2,76 cm M z A a z = N I y = = 11,52 cm M y A ili a y = i z 2 y = 3,522 4,5 a z = i y 2 z = 10,182 9 = 2,75 cm = 11,51cm 26

32 4.3. Z presjek Površina: A = 176 Težište: y T = z T = = 10 cm = 14 cm Momenti tromosti: Aksijalni: I y = = 16618, 67 cm 4 I z = = 2794, 67 cm 4 Centrifugalni: I zy = (4 8) 12 ( 6) + (4 8) ( 12) 6 = 4608 cm 4 27

33 Polumjeri inercije: i y == I y = A 16618, = 9,72 cm i z == I z = A 2794, = 3,98 cm Glavni momenti tromosti: I max min = I u v = I y+i z ± (I 2 y I z ) I zy I u = 16618, ,67 2 I v = 16618, , (16618, ,67)2 + 4 ( 4608) 2 = 18013,86 cm (16618, ,67)2 + 4 ( 4608) 2 = 1399,48 cm 4 Smjer glavnih osi inercije: tan 2φ = 2 I zy I y I z = 2 ( 4608) 16618, ,67 = 2 3 α = 16,85 Glavni polumjeri inercije: i u == I u = A 18013, = 10,12 cm i v == I v = A 1399, = 2,82 cm Kontrola: I y + I z = I u + I v 16618, ,67 = 18013, , ,34 = 19413,34 28

34 Određivanje jezgre grafički: 29

35 Određivanje jezgre analitički: u 0 = i v 2 u, v 0 = i u 2 v u = ycosα + zsinα, v = zcosα ysinα Točke y z u v u 0 v ,51 16,30 1,44-6, ,67 12,47 1,19-8, ,97-12,82 1,33 7, ,51-16,30-1,44 6, ,67-12,47-1,19 8, ,97 12,82-1,33-7,98 30

36 Naprezanja u presjeku, ako uzdužna tlačna sila djeluje: -u jezgri presjeka s hvatištem C(0, 0): σ x = N A = = 11,36 31

37 -na rubu jezgre presjeka s hvatištem C(0, -2,96): C(u, v) = C(-0.86, -2.83) Komponenta momenta savijanja: M u = F 2,83 = ,83 = 5660 cm M v = F 0,86 = ,86 = 1720 cm Normalna naprezanja uzrokovana momentom savijanja: σ x,1 = M u I u σ x,2 = M u I u v + M v u = ( ,82 + 5,97) = 11,31 I v 18013, ,48 v + M v u = ,82 + 5,97 = 11,31 I v 18013, ,48 Normalna naprezanja uzrokovana uzdužnom tlačnom silom: σ x,1 = σ x,2 = N A = = 11,36 32

38 Ukupno normalno naprezanje: σ x,1 = 11,31 11,36 = 22,67 σ x,2 = 11,31 11,36 = 0,05 0 Naprezanja određena grafički: očitano: e= 2,96 cm, k 1 = 2,96 cm, k 2 = 2,96 cm σ x,1 = F A (1 + e k 1 ) = σ x,2 = F A (1 e k 2 ) = ,96 (1 + ) = 22,73 2,96 (1 2,96 2,96 ) = 0 Položaj neutralne osi: a u = N I v = ,48 = 9,25 cm M v A a v = N I u = ,86 = 36,17 cm M u A ili a u = i v 2 = 2,822 = 9,25 cm u 0,86 a v = i u 2 v = 10,122 2,83 = 36,18 cm 33

39 -na konturi presjeka s hvatištem C(u, v), C(2.37, ): Komponenta momenta savijanja: M u = F 15,35 = ,35 = cm M v = F 2,37 = ,37 = 4740 cm Normalna naprezanja uzrokovana momentom savijanja: σ x,1 = M u I u σ x,2 = M u I u v + M v u = ( ,3 + 5,51) = 46,44 I v 18013, ,48 v + M v u = ,3 + 5,51 = 46,44 I v 18013, ,48 34

40 Normalna naprezanja uzrokovana uzdužnom tlačnom silom: σ x,1 = σ x,2 = N A = = 11,36 Ukupno normalno naprezanje: σ x,1 = 46,44 11,36 = 57,80 σ x,2 = 46,44 11,36 = 35,08 Naprezanja određena grafički: očitano: e= 15,53 cm, k 1 = 3,8 cm, k 2 = 3,8 cm σ x,1 = F A (1 + e k 1 ) = σ x,2 = F A (1 e k 2 ) = (1 + 15,53 3,8 (1 15,53 3,8 ) = 57,81 ) = 35,08 Položaj neutralne osi: a u = N I v = ,48 = 3,36 cm M v A a v = N I u = ,86 = 6,67 cm M u A ili a u = i v 2 u = 2,822 2,37 = 3,36 cm a v = i u 2 = 10,122 = 6,67 cm v 15,35 35

41 5. ZAKLJUČAK U primjerima, u ovom radu, jezgra poprečnog presjeka je određena analitički i grafički. Postupak grafičkog određivanja jezgre je jednostavniji, jer ne sadrži obujam proračuna koliko sadrži analitički postupak. Za zadane poprečne presjeke provedeni su proračuni naprezanja za tri različita položaja sile. Određen je položaj neutralne osi i prikazana raspodjela normalnih naprezanja u poprečnom presjeku. Iz riješenih primjera je vidljivo, kada uzdužna tlačna sila djeluje u jezgri poprečnog presjeka ili na njenom rubu, da su normalna naprezanja u cijelom poprečnom presjeku tlačna. Odnosno, ako uzdužna tlačna sila djeluje na konturi poprečnog presjeka neutralna os tangira jezgru poprečnog presjeka, pa su normalna naprezanja u dijelu presjeka tlačna, a u drugom dijelu vlačna. Određivanje jezgre presjeka izuzetno je važno kod projektiranja štapova od materijala koji imaju različite tlačne i vlačne čvrstoće. Smještanjem opterećenja na određeno mjesto u poprečnom presjeku cijeli presjek štapa moguće je dovesti u istoznačno naprezanje tlak ili vlak. Ovaj koncept se koristi u građevinskom inženjerstvu kod izrade stupova, betonskih ploča, brana i slično. 36

42 LITERATURA [1] Šimić, V.: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, [2] Antolić, I., Građevna mehanika, Školska knjiga, Zagreb, [3] Todhunter, I., Pearson, K.: A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials, vol II, Dover Publications, pp , pp , [4] Connolly, W.H., Design of Prestressed Concrete Beams, F.W. Dodge Corporation, New York, [5] Boresi, A.P., Sidebottom, O.M., Advanced Mechanics of Materials. John Wiley and Sons, New York, [6] Creager, W.P., Justin, J., Hinds, H., Egineering for Dams, vol II: Concrete Dams. John Wiley and Sons, New York, [7] Dupen, B., Aplied Strenght of Materials for Engineering Technologgy, Indiana University- Purdue University Fort Wayne, [8] Hartsuijker, C., Welleman, H., Module: Non-symmetrical and inhomogeneous cross sections, Civil Engineering TU-Delft, [9] Damkilde, L., Stress and stiffness analysis of beam-sections, Department of Structural Engineering and Materials, Technical University of Denmark, DK-2800 Lyngby, [10] Negi, L.S., Strength of Materials, Tata McGraw Hill Education Private Limited, [11] Sveučilište u Rijeci Građevinski fakultet, _Predavanje_7_Gordan.pdf? , kolovoz [12] Građevinsko arhitektonski fakultet u Nišu, adjevinarstvo/predavanja/5.predavanje- KOSO%20SAVIJANJE%20I%20EKSCENTRICNI%20PRITISAK.pdf, kolovoz [13] Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet, %5D.pdf, kolovoz [14] Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet, rujan