Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke

Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke Preddiplomski studij Matematika 3. semestar Prije promjene Poslije promjene Obvezni predmeti P+V+S ECTS Obvezni predmeti P+V+S ECTS Diferencijalni račun funkcija više varijabli 2+2+0 6 Engleski jezik struke 1 1+1+0 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 3+2+0 8 **UKUPNO: 23 30 **UKUPNO: 22 30 4. semestar Prije promjene Poslije promjene Obvezni predmeti P+V+S ECTS Obvezni predmeti P+V+S ECTS Integrali funkcija više varijabli 2+2+0 6 Engleski jezik struke 2 1+1+0 2 Integrali funkcija više varijabli 3+3+0 8 **UKUPNO: 22 30 **UKUPNO: 22 30 Preddiplomski studij Matematika; smjer nastavnički 3. semestar Prije promjene Poslije promjene Obvezni predmeti P+V+S ECTS Obvezni predmeti P+V+S ECTS Linearna algebra 2 2+2+0 6 Linearna algebra 2 3+2+0 8 Engleski jezik struke 1 1+1+0 2 **UKUPNO: 22 30 **UKUPNO: 21 30 4. semestar Prije promjene Poslije promjene Obvezni predmeti P+V+S ECTS Obvezni predmeti P+V+S ECTS Osnove matematičke analize 3+2+0 8 Osnove matematičke analize 4+2+0 10 Konstruktivne metode u geometriji 2+2+0 7 Konstruktivne metode u geometriji 3+2+0 7 Engleski jezik struke 2 1+1+0 2 **UKUPNO: 19(20) 30 **UKUPNO: 19(20) 30

Napomene: 1. Sadržaj i ishodi učenja Linearne algebre 1 i 2 se mijenjaju na način da se neki dio gradiva LA 1 prenosi u LA 2 i obratno. Detaljni opis je u prilozima 1 i 2. Sumarno, sadržaji LA 1 i 2 ostaju isti. Sadržaji i ishodi učenja predmeta učenja Diferencijalni račun funkcija više varijabli, Integrali funkcija više varijabli, Osnove matematičke analize i Konstruktivne metode u geometriji se ne mijenjaju u bitnom. 2. U grupu Izborni seminar jedan dodaje se novi predmet Učenje istraživanjem i rješavanjem problema (2 sata seminara, 3 ECTS boda) - v. Prilog 3.

Prilog 1. LINEARNA ALGEBRA 1 (prof.) Nastavni sadržaji: I. VEKTORSKI PROSTORI I.1. Uvod i motivacija za pojam vektora i vektorskog prostora (povezivanje sa sustavima linearnih jednadžbi do 3 nepoznanice i analitičkom geometrijom). Binarna operacija. Grupoid. Osnovne algebarske strukture. Grupa i Abelova grupa. Osnovna svojstva grupe. Primjeri. Simetrična grupa. I.2. Prsten, osnovna svojstva i primjeri. Polje, osnovna svojstva i primjeri. Definicija vektorskog prostora. Osnovna svojstva i primjeri. Linearna kombinacija. I.3. Linearna ljuska. Sustav izvodnica. Konačnogenerirani vektorski prostor. Linearno nezavisan skup. Baza vektorskog prostora. Jednoznačnost prikaza u bazi. Redukcija konačnog sustava izvodnica do baze. Relacija brojnosti linearno nezavisnog skupa i sustava izvodnica u konačnogeneriranom prostoru. Jednakobrojnost baza. Dimenzija vektorskog prostora. Konačnodimenzionalni vektorski prostor. Proširenje linearno nezavisnog podskupa do baze konačnodimenzionalnog prostora. I.4. Potprostor vektorskog prostora. Kriterij za potprostor (zatvorenost na linearne kombinacije). Presjek i suma potprostora, direktna suma. Dimenzije presjeka i sume za konačnodimenzionalne potprostore. Direktni komplement. Primjeri rastava u direktnu sumu potprostora. Projekcija na potprostor u smjeru direktnog komplementa. II. MATRICE II.1. Definicija matrice, osnovni pojmovi i oznake. Neki posebni tipovi matrica. Operacije zbrajanja matrica i množenja matrica skalarom. Vektorski prostor M m,n(f). Množenje matrica. Algebra M n(f). II.2. Inverzna matrica. Opća linearna grupa GL n(f). Elementarne operacije nad retcima i stupcima. Ekvivalentnost matrica. Elementarne matrice. Rang matrice. Kanonski oblik matrice. II.3. Daljnja svojstva ranga matrice. Karakterizacija regularnosti kvadratne matrice pomoću ranga. Određivanje inverzne matrice elementarnim operacijama. Ortogonalne matrice. III. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI III.1. Pojam sustava linearnih jednadžbi, rješenje sustava i rješivost sustava. Matrični zapis sustava. Nužan i dovoljan uvjet rješivosti Teorem Kronecker-Capellija. Uvjet jedinstvenosti rješenja sustava. III.2. Homogeni sustav. Prostor rješenja homogenog sustava. Prikaz općeg rješenja nehomogenog sustava. Gaussova metoda rješavanja sustava. Struktura skupa rješenja, dimenzija prostora rješenja pridruženog homogenog sustava. Linearna mnogostrukost. IV. DETERMINANTE IV.1. Uvod u pojam determinante. Predznak permutacije. Definicija determinante. Osnovna svojstva determinante. Daljnja svojstva permutacija s obzirom na predznak. Svojstva determinante u odnosu na elementarne operacije na retcima i stupcima. Karakterizacija regularnosti matrice pomoću determinante. IV.2. Binet-Cauchyjev teorem. Laplaceov razvoj. Formula za inverznu matricu. Cramerov sustav. Okvirno vremenski:

I. 4.5-5 tjedana II. 3 3.5 tjedna III. 2.5 tjedna IV. 2 tjedna Ishodi učenja: Po uspješnom završetku kolegija studentica/student može: - Ispitati svojstva vektorskog prostora i ustanoviti svojstva linearne nezavisnosti podskupa, sustava izvodnica vektorskog prostora i baze vektorskog prostora - Konstruirati bazu te odrediti dimenziju vektorskog prostora i njegovog potprostora - Prikazati vektor u bazi vektorskog prostora i izvoditi operacije primjenom prikaza u bazi - Izvoditi algebarske operacije s matricama i elementarne transformacije matrica - Izračunati rang matrice, inverz regularne matrice i determinantu kvadratne matrice - Povezati invertibilnost kvadratne matrice s njezinim rangom i determinantom - Analizirati rješivost sustava linearnih jednadžbi, riješiti sustav te opisati strukturu skupa rješenja kao podskupa vektorskog prostora Obaveze studentica/studenata tokom nastave i načini izvršavanja: Praćenje nastave provjerava se kroz 10-12 domaćih zadaća koje se obavezno predaju. Pišu se ukupno 3 kratka testa sa zadacima tipova zastupljenih u domaćim zadaćama. Pišu se dva kolokvija. Način polaganja ispita: Pristup završnom dijelu ispita ostvaruje se pravodobnom predajom svih domaćih zadaća, postizanjem najmanje 20 od 30 bodova ukupno na testovima i postizanjem najmanje 60 od 120 bodova ukupno na kolokvijima. Završni dio ispita polaže se u usmenom obliku. Konačna ocjena formira se na temelju uspješnosti u polaganju testova, kolokvija i ocjene odgovora na završnom dijelu ispita. Kolegiji prethodnici: Analitička geometrija Obavezna literatura: I. D. Bakić: Linearna algebra, Školska knjiga, Zagreb, 2008. II. N. Bakić, A. Milas: Zbirka zadataka iz linearne algebre, PMF-MO, Zagreb, 1996. III. K. Horvatić: Linearna algebra, Golden marketing Tehnička knjiga, Zagreb 2003. Dopunska literatura: I. Z. Franušić, J. Šiftar: Linearna algebra 1, skripte dostupne na web stranicama PMF-MO web.math.pmf.unizg.hr/~fran/predavanja-la1.pdf II. G. Strang: Linear Algebra and its Applications, Saunders College Publ., 1986. i druga izdanja, PDF dostupan online

Prilog 2. LINEARNA ALGEBRA 2 (prof.) Nastavni sadržaji: I. UNITARNI PROSTORI I.1. Definicija unitarnog prostora (nad poljima R i C). Osnovna svojstva. Primjeri, posebno V 2 (O) i V 3 (O). Cauchy-Schwarzova nejednakost. Gramova matrica i determinanta. Relacija ortogonalnosti vektora. Ortogonalni skup. Potprostor vektora ortogonalnih na podskup. I.2. Norma i normirani prostor. Osnovna svojstva norme i primjeri. Ortonormirani skup. Norma inducirana skalarnim množenjem. Relacija paralelograma. Metrika i metrički prostor. Metrika inducirana normom. I.3. Ortonormirana baza unitarnog prostora. Izražavanje skalarnog produkta, norme i metrike u ortonormiranoj bazi. Ortogonalna projekcija na smjer zadanog vektora. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. Ortogonalni komplement potprostora konačnodimenzionalnog unitarnog prostora. Ortogonalna projekcija na potprostor. Udaljenost vektora od potprostora. Metoda najmanjih kvadrata. II. LINEARNI OPERATORI II.1. Definicija linearnog operatora. Osnovna svojstva. Primjeri, posebno na V 2 (O) i V 3 (O). Kompozicija linearnih operatora i inverz bijektivnog linearnog operatora. II.2. Zadanost linearnog operatora na konačnodimenzionalnom prostoru djelovanjem na bazu. Matrični zapis linearnog operatora u paru baza. Matrični zapis djelovanja na vektor. Rekonstrukcija linearnog operatora iz matričnog zapisa. Matrični zapis važnijih primjera linearnih operatora. II.3. Djelovanje linearnog operatora u odnosu na potprostore. Jezgra i slika linearnog operatora. Rang i defekt. Karakterizacija injektivnosti pomoću jezgre. Monomorfizam, epimorfizam i izomorfizam. Karakterizacija preko djelovanja na linearno nezavisne podskupove, na sustave izvodnica i na baze vektorskog prostora. Teorem o rangu i defektu linearnog operatora. Posljedice teorema o rangu i defektu. Interpretacija sustava linearnih jednadžbi pomoću linearnog operatora. Izomorfni vektorski prostori. Karakterizacija izomorfnosti pomoću dimenzije u konačnodimenzionalnom slučaju. II.4. Prostor linearnih operatora L(V,W). Algebra linearnih operatora L(V). Izomorfizam s prostorom matrica M m,n(f), odnosno s matričnom algebrom M n(f). Grupa GL(V). Rang linearnog operatora i njegovog matričnog prikaza. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora. II.5. Linearni funkcionali. Dualni prostor vektorskog prostora. Dualna baza. Opis linearnih funkcionala na konačnodimenzionalnom unitarnom prostoru pomoću skalarnog množenja. II.6. Matrični prikazi linearnog operatora u različitim parovima baza. Rang linearnog operatora i njegovog matričnog prikaza. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora. Slične matrice. Neke invarijante sličnosti (rang, determinanta, trag). II.7. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori linearnog operatora. Primjeri. Svojstveni potprostor. Spektar linearnog operatora. Svojstveni polinom i njegove nultočke. Algebarska i geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti. Dijagonalizacija linearnog operatora. Nužni i dovoljni uvjeti za dijagonalizaciju. II.8. Operatorski polinomi. Hamilton-Cayleyev teorem. Invarijantni potprostori. Adjungirani operator (sve sažeto/informativno)

II.9. Linearni operatori na unitarnom prostoru. Unitarni operatori. Osnovna svojstva i primjeri unitarnih operatora. Spektar unitarnog operatora. Matrični prikaz unitarnog operatora u ortonormiranoj bazi. Klasifikacija unitarnih operatora na prostorima V 2 (O) i V 3 (O). Simetrični i hermitski operatori. Spektar i dijagonalizacija simetričnih i hermitskih operatora. II.10. Neke primjene linearnih operatora: Kvadratne forme, krivulje i plohe 2. reda. Pozitivno definitne i semidefinitne simetrične matrice. Točke ekstrema kvadratnih polinoma u n varijabli. Sustavi rekurzivnih jednadžbi. Okvirno vremenski: I. 3 tjedna II. 1 i 2. 2 tjedna II. 3 i 4. 2.5 tjedna II. 5 i 6. 1.5 tjedan II. 7 i 8. 2 tjedna II. 9. i 10. 2 tjedna Ishodi učenja: Po uspješnom završetku kolegija studentica/student može: - Ispitati i primijeniti svojstva skalarnog produkta na vektorskom prostoru - Konstruirati ortonormiranu bazu unitarnog prostora i primijeniti takvu bazu na - izračunavanje skalarnog produkta, norme, ortogonalne projekcije i udaljenosti - Ispitati svojstva linearnog operatora i zadati linearni operator njegovim djelovanjem na bazu - Iskazati i primijeniti teorem o rangu i defektu linearnog operatora te povezati taj teorem s rješavanjem sustava linearnih jednadžbi - Ispitati izomorfizam vektorskih prostora - Napisati matrični prikaz linearnog operatora u paru baza i povezati matrice pridružene linearnom operatoru u različitim parovima baza - Odrediti svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora te ispitati njegovu dijagonalizabilnost - Primijeniti invarijante linearnog operatora pri ispitivanju njegova djelovanja - Primijeniti dijagonalizaciju linearnog operatora i kvadratne matrice u različitim geometrijskim i algebarskim problemima - Ispitati i primijeniti svojstva posebnih klasa linearnih operatora na unitarnom prostoru Obaveze studentica/studenata tokom nastave i načini izvršavanja: Praćenje nastave provjerava se kroz 10-12 domaćih zadaća koje se obavezno predaju. Pišu se ukupno 3 kratka testa sa zadacima tipova zastupljenih u domaćim zadaćama. Pišu se dva kolokvija. Način polaganja ispita: Pristup završnom dijelu ispita ostvaruje se pravodobnom predajom svih domaćih zadaća, postizanjem najmanje 20 od 30 bodova ukupno na testovima i postizanjem najmanje 60 od 120 bodova ukupno na kolokvijima. Završni dio ispita polaže se u usmenom obliku.

Konačna ocjena formira se na temelju uspješnosti u polaganju testova, kolokvija i ocjene odgovora na završnom dijelu ispita. Kolegiji prethodnici: Linearna algebra 1 Obavezna literatura: 1. D. Bakić: Linearna algebra, Školska knjiga, Zagreb, 2008. 2. N. Bakić, A. Milas: Zbirka zadataka iz linearne algebre, PMF-MO, Zagreb, 1996. 3. K. Horvatić: Linearna algebra, Golden marketing Tehnička knjiga, Zagreb 2003. Dopunska literatura: 1. Z. Franušić, J. Šiftar: Linearna algebra 2, skripte na web stranicama PMF-MO web.math.pmf.unizg.hr/~fran/predavanja-la2.pdf 2. G. Strang: Linear Algebra and its Applications, Saunders College Publ., 1986. i druga izdanja, PDF dostupan online

Prilog 3. NOVI PREDMET IZBORNOJ GRUPI IZBORNI SEMINAR 1 (3. SEMESTAR, PREDDIPLOMSKI MATEMATIKA, SMJER NASTAVNIČKI) Seminar: UČENJE ISTRAŽIVANJEM I RJEŠAVANJEM PROBLEMA 2.1. Cilj kolegija Cilj seminara je osposobiti studente za korištenje heurističkih strategija i metoda pri istraživanju i rješavanju problema vezano uz teme iz srednjoškolske matematike, linearne algebre i diferencijalnog računa funkcija u samostalnom, individualnom i/ili timskom radu. Teme su izabrane tako da omogućuju osposobljavanje studenata/ica, budućih učitelja/ica matematike, za afirmaciju problemnosti i interesa kao temeljnih načela nastave matematike na svim obrazovnim razinama. 2.2. Uvjeti za upis predmeta ili ulazne kompetencije koje su potrebne za predmet Položeni predmeti Linearna algebra 1, Diferencijalni račun 1 2.3. Ishodi učenja na razini programa kojima predmet pridonosi Nakon uspješno završenog programa, student(ica) je osposobljena za: I-1, II-1, II-2, III, IV. 2.4. Očekivani ishodi učenja na razini predmeta (3-10 ishoda učenja) primijeniti različite heurističke strategije i metode pri istraživanju i otkrivanju matematičkih pravilnosti i zakonitosti te rješavanju matematičkih problema objasniti svoj izbor strategije i metode identificirati kriterije za usporedbu, te vrednovati različite ideje i strategije provesti matematički dokaz pripremiti i javno prezentirati dobivene rezultate vezane uz zadani matematički problem. 2.5. Sadržaj predmeta Seminar Učenje istraživanjem i rješavanjem problema realizirat će su u obliku aktivne problemske i heurističke nastave. Studenti/ice će individualno i/ili u timovima obraditi zadani problemski zadatak, prezentirati svoje strategije i rješenje u pisanom i usmenom obliku ostalim polaznicima/ama seminara, te raspraviti različita rješenja. Teme koje će se obrađivati tijekom seminara bit će iz srednjoškolske matematike, linearne algebre i diferencijalnog računa funkcija. Rad će se odvijati u sljedećim etapama: 1. Matematički problemski zadatak. Povijesni razvoj i teorijski okvir učenja istraživanjem i rješavanjem problema. Strategije i metode rješavanja problema. Vođeno otkrivanje. Primjeri 2. Istraživanje i rješavanje problema. 3. Prezentiranje rezultata. 2.8. Obaveze studenata Od studenata se očekuje aktivno sudjelovanje u individualnom i suradničkom radu tijekom nastave, upotreba IKT za pripremu, obradu, pisanje i prezentiranje rezultata. Obavezna literatura: 1. G. Polya, Kako riješiti matematički zadatak, Školska knjiga, Zagreb, 1966. 2. G. Polya, Matematičko otkriće, Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb, 2003. Dodatna literatura: 1. A. Posamentier, S. Krulik, Problem-Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions, Grades 6-12, Corvin Press 2008. 2. S.G. Krantz, Techniques of Problem Solving, American Mathematical Society, 1997.

3. Matematički časopisi namijenjeni učenicima i nastavnicima u srednjim i osnovnim školama, te studentima matematike (The College Mathematics Journal, math-e, Matematičko-fizički list, Osječki matematički list i drugi)