Kona ne grupe. Mentor: Draºen Adamovi

Transcription

1 Mentor: Draºen Adamovi Kona ne grupe Podru je: Algebra Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija Opis: U diplomskom radu prou avali bi se osnovni koncepti iz teorije kona nih grupa, te strukture vezane za njih. Ovisno o anitetu studenta, prou avala bi se strukturna teorija kona nih grupa ili teorija reprezentacija ovih grupa. S. Lang, Algebra, Springer, W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer,

2 Mentor: Draºen Adamovi Poluprosti prstenovi Podru je: Algebra Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija Opis: U diplomskom radu bit e prou avani poluprosti prstenovi, poluproste algebre i njihovi primjeri. Ovisno o anitetu studenta, naglasak e biti dan na strukturnu teoriju, konstrukciju ili klasikaciju tih prstenova S. Lang, Algebra, Springer, W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer,

3 Mentor: Draºen Adamovi Weylove algebre Podru je: Algebra Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija Opis: U diplomskom radu e se prou avati osnovne konstrukcije povazane s Weylovom algebrom. Weylova algebra bit e denirana kao kvocijent tenzorske algebre. Ovisno o anitetu studenta, bit e prou avane kvantne Weylove algebre, teorija reprezentacija Weylovih algebri i veza s teorijom Liejevih algebri. T. Y. Lam, A rst course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts in mathematics. 2ed. Springer, p.6 J. C. McConnell, J. C. Robson, Noncommutative Noetherian rings, Graduate Studies in Mathematics, Vol 30, AMS, 1997 N. Jing, J. Zhang, Quantum Weyl algebras and deformations of U(G)), Pacic Journal of Mathematics Vol. 171., No.2,

4 Mentor: Draºen Adamovi Podru je: Algebra Prikladno za studij: svi studiji Tenzorske algebre i primjene Preduvjeti: Poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija Opis: U diplomskom radu prou avale bi se algebarske strukture usko vezane s tenzorskim produktom vektorskih prostora i modula. Naglasak e biti dan na strukturnu teoriju tenzorske algebre, te na vanjsku i simetri nu algebru. Ovisno o anitetu studenata, prou avale bi se i primjene ovih algebri u teoriji reprezentacija. W. H. Greub. Multilinear algebra. Springer, S. Lang, Algebra, Springer,

5 Mentor: Nenad Antoni Razlomljene derivacije i primjene Podru je: matemati ka analiza, matemati ko modeliranje u zici Prikladno za studij: svi smjerovi Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima, Mjera i integral Opis: Razlomljene derivacije se u matematici prou avaju od devetnaestog stolje a, da bi tek nedavno postale izvor novih modela u zici i inºenjerskim strukama. Za vi²e informacija v. R. Hilfer (ur.): Applications of fractional calculus in physics, World Scientic, S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional integrals and derivatives - Theory and application, Gordon and Breach, K. B. Oldham, J. Spanier: The fractional calculus - Theory and applications of dierentiation and integration to arbitrary order, Academic Press,

6 Mentor: Nenad Antoni Degenerirana difuzija Podru je: parcijalne diferencijalne jednadºbe Prikladno za studij: svi smjerovi Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima, Mjera i integral Opis: Jednadºba provoženja topline prototip je za paraboli ke parcijalne diferencijalne jednadºbe. Mežutim, ponekad modeliranje realne pojave difuzije pokazuje druga svojstva, koja se mogu opisati nelinearnom jednadºbom oblika u t = divgrad(u m ). Za m > 1 imamo sporu difuziju (jednadºbu porozne sredine), za m c < m < 1 nadkriti nu brzu difuziju, a za m m c podkriti nu brzu difuziju (m c = (d 2) + /d). Za vi²e informacija v. P. Daskalopoulos, C. E. Kenig: Degenerate diusion, EMS,

7 Mentor: Nenad Antoni Tricomijeva jednadºba Podru je: parcijalne diferencijalne jednadºbe Prikladno za studij: svi smjerovi Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima, Mjera i integral Opis: Tricomijeva jednadºba, koja mijenja tip, je jednostavan model za prijelaz iz podzvu nog toka u nadzvu ni tok uida. Za vi²e informacija v. A. Kuz'min: Boundary-value problems for transonic ow, Wiley, J. M. Rassias: Lecture notes on mixed type partial dierential equations, World Scientic,

8 Mentor: Nenad Antoni Matemati ki modeli u klimatologiji Podru je: matemati ko modeliranje u geozici Prikladno za studij: svi smjerovi Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Obi ne diferencijalne jednadºbe Opis: Klimatologija prou ava vremenske uvjete tijekom duljeg vremenskog perioda. Razli iti klimatolo²ki modeli, temeljeni na razli itim matemati kim tehnikama, se koriste za prou avanje dinamike vremena i klimatskih sustava, s ciljem projekcija na budu e vremenske uvjete. Za vi²e informacija v. H. Kaper, H. Engler: Mathematics & Climate, SIAM, A. E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics, Academic Press,

9 Mentor: Nenad Antoni Matemati ki pristup relativisti koj elektrodinamici Podru je: matemati ko modeliranje u zici Prikladno za studij: svi smjerovi Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Diferencijalna geometrija Opis: Neki zikalni zakoni, poput Maxwellovih jednadºbi, koje su invarijantne na Lorentzove transformacije, tj. u skladu su s posebnom teorijom relativnosti, posebno se elegantno mogu zapisati kori²tenjem diferencijalnih formi. Za vi²e informacija v. S. Parrott: Relativistic electrodynamics and dierential geometry, Springer, P. Bamberg, S. Sternberg: A course in mathematics for students of physics 1, 2; Cambridge, C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation, Freeman,

10 Mentor: Ljiljana Aramba²i Matri ne norme Podru je: Linearna algebra Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Vektorski prostori Opis: Matri na norma na prostoru n n matrica M n (F) (F je R ili C) je norma na vektorskom prostoru M n (F) koja ima dodatno svojstvo submultiplikativnosti, tj. takva da vrijedi AB A B za sve A, B M n (F). U ovom diplomskom radu cilj je prou iti neke matri ne norme i njihova svojstva. C. D. Meyer, Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM, J. W. Demmel, Applied numerical linear algebra, SIAM,

11 Mentor: Ljiljana Aramba²i Podru je: Linearna algebra Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Vektorski prostori Kona ni bazni okviri i njihovi duali Opis: Bazni okvir za Hilbertov prostor H je kona an ili beskona an niz (x n ) n I u H takav da postoje konstante A, B > 0 tako da za sve x H vrijedi A x 2 n I (x x n) 2 B x 2. O ito, svaka ortonormirana baza za H je bazni okvir za H. Obrat ne vrijedi, a to se moºe zaklju iti ve iz injenice da nulvektor moºe biti lan baznog okvira. Svaki vektor iz H se moºe rekonstruirati pomo u vektora baznog okvira (x n ) n I, to jest, postoji bazni okvir (y n ) n I tako da je x = n I (x y n)x n za sve x H; svaki takav bazni okvir (y n ) nazivamo dualom od (x n ). U ovom radu ograni it emo se na prou avanje kona nih baznih okvira, ²to implicira kona nu dimenziju promatranog Hilbertovog prostora H. O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, O. Christensen, Frames and bases: An introductory course, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Providence, AMS,

12 Mentor: Ljiljana Aramba²i Podru je: Funkcionalna analiza Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Vektorski prostori Banachove algebre Opis: Banachova algebra je kompleksni Banachov prostor na kojem je zadana operacija mnoºenja koja je asocijativna, kvaziasocijativna, distributivna i submultiplikativna. Cilj diplomskog rada je prou iti razne primjere i svojstva Banachovih algebri. R. G. Douglas, Banach algebra techniques in operator theory, Springer G. J. Murphy, C -algebras and operator theory, Academic Press, London,

13 Mentor: Ljiljana Aramba²i Podru je: Funkcionalna analiza Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Normirani prostori Uvod u C -algebre Opis: C -algebra A je Banachova algebra na kojoj je zadano preslikavanje involucija : A A tako da za sve a A vrijedi a a = a 2. Najjednostavniji, ali i najvaºniji, primjeri C -algebri vezani su za B(H), C -algebru ograni enih linearnih operatora na nekom Hilbertovom prostoru. Naglasak diplomskog rada moºe biti na upoznavanju strukture C -algebri, konstrukciji reprezentacija, ili na prou avanju posebnih klasa preslikavanja mežu C -algebrama kao ²to su pozitivna, potpuno pozitivna i potpuno ograni ena preslikavanja. W. Arveson, An invitation to C -algebras, Springer, 1998., K. R. Davidson, C -algebras by example, AMS, J. Dixmier, C -algebras, North-Holland, Amsterdam, G. J. Murphy, C -algebras and operator theory, Academic Press, London, V. I. Paulsen, Completely bounded maps and dilations, Pitman research notes in mathematics, 146, Longman,

14 Mentor: Damir Baki Podru je: Analiza, Funkcionalna analiza Gaborovi bazni okviri Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika Opis: U radu e se najprije izloºiti osnovna svojstva baznih okvira Hilbertovih prostora. Nakon toga uvest e se Gaborovi bazni okviri prostora L 2 (R), opisati njihova osnovna svojstva i dati primjeri. C. Heil, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, D. Baki, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni kom izdanju) D. Baki, Notes on frames, skripta (dostupno u elektroni kom izdanju) 14

15 Mentor: Bojan Basrak Cramérov model razdiobe prostih brojeva Podru je: Vjerojatnost, Slu ajni procesi Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Slu ajni procesi Opis: Harald Cramér je u prvoj polovici 20. stolje a dao koristan stohasti ki model koji heuristi ki opisuje razdiobu skupa prostih brojeva u skupu N. Iako tek pribliºan, model je imao vrlo veliki utjecaj na na ine kojima matemati ari opisuju svojstva skupa prostih brojeva. Cramér je postavio i neke vaºne jo² uvijek otvorene hipoteze o asimptotskom pona²anju udaljenosti izmežu sukcesivnih prostih brojeva. Cilj rada je prikazati model, njegovu pozadinu i utjecaj u teoriji brojeva. Premda su rezultati koji se ti u razdiobe prostih brojeva u na elu vrlo sloºeni, Cramérov model dopu²ta jednostavniju analizu. Tako bi rad trebao prikazati razdiobu maksimalne udaljenosti izmežu slu ajnih "pseudoprostih" brojeva u Cramérovom modelu koju opisuje recentni lanak Kourbatova. Granville, A. (1995). Harald Cramér and the distribution of prime numbers. Scandinavian Actuarial Journal, 1995(1), Kourbatov, A. (2014). The distribution of maximal prime gaps in Cramer's probabilistic model of primes. International Journal of Statistics and Probability, 3,

16 Mentor: Mea Bombardelli Caseyev teorem Podru je: geometrija Prikladno za studij: nastavni ki studiji Preduvjeti: nema Opis: Caseyev teorem je gemeralizacija Ptolomejevog teorema o tetivnom etverokutu u kojoj su vrhovi etverokuta zamijenjeni kruºnicama. U radu e se dokazati Caseyev teorem i prikazati njegova primjena na odabranim primjerima. S. Shirali, On the Generalized Ptolemy Theorem, page49-53.pdf L. González,Casey's Theorem and its Applications, Casey.pdf 16

17 Mentor: Tina Bosner Odreživanje vidljivih ploha Podru je: Ra unarstvo i numeri ka matematika Prikladno za studij: Ra unarstvo i matematika Preduvjeti: po mogu nosti Ra unalna graka Opis: Za dani skup 3D objekata i danu projekciju, ºelimo odrediti koje linije ili plohe su vidljive iz sredi²ta projekcije ili duº pravaca projekcije, tako da se mogu prikazati samo one koje to jesu. Ideja ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko razli itih algoritama koji se bave tim problemom. J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice, AddisonWesley (2005) 17

18 Mentor: Tina Bosner Sjen atelji u ra unalnoj graci Podru je: Ra unarstvo i numeri ka matematika Prikladno za studij: Ra unarstvo i matematika Preduvjeti: Ra unalna graka Opis: Sjen atelji u ra unalnoj graci (graphics shaders) su prograbilni moduli koji se mogu dinami ki instalirati u 3D tok prikazivanja. Za razliku od toka prikazivanja ksnim funkcijama, sjen atelji daju ve u eksibilnost, a osim toga reduciraju potrebu za komunikaciju izmežu CPU-a i gra ke kartice, pove avaju i brzinu gra kih programa. Cilj ovog diplomskog rada je prikazati upotrebu sjen atelja uz pomo OpenGL sjen ateljskog jezika GLSL. 1. M. Bailey, S. Cunningham: Graphics Shaders: Theory and Practice, Second Edition, CRC Press, Taylor & Francis Group (2012) 2. J. F. Hughes, A. van Dam, M. McGuire, D. F. Sklar, J. D. Foley, S. K. Feiner, K. Akeley : Computer Graphics: Principles and Practice, Third Edition, AddisonWesley (2014) 3. D. Shreiner, G. Sellers, J. Kessenich, B. LiceaKane: OpenGL Programing Guide, Eight Edition, AddisonWesley (2013) 18

19 Mentor: Tina Bosner Podru je: Numeri ka matematika Algoritmi ubacivanja vorova splajnova Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matemati ka statistika; Ra unarstvo i matematika Preduvjeti: Numeri ka matematika, a poºeljni su i Numeri ka analiza 1 i 2 ili Ra unalna graka Opis: Polinomni splajnovi imaju veliku primjenu, ponajvi²e u kompjuterskoj graci i pri numeri kom rje²avanju diferencijalnih jednadºbi s rubnim uvjetima. Zato je i bitno imati stabilne algoritme za ra unanje njihovih vrijednosti. Ideja ovog diplomskog rada je da se deniraju B-splajnovi, daju neka njihova svojstva, te izvedu nekoliko algoritama baziranih na ubacivanju vorova i to koriste i polarne forme. 1. C. de Boor: B(asic)-Spline Basics, ftp://ftp.cs.wisc.edu/approx/bsplbasic.ps 2. L. Ramshaw: Blossoms are polar forms, CAGD 6, (1989) 3. H. P. Seidel: A new multiane approach to B-splines, CAGD 6, 2332 (1989) 4. Knot Insertion and Deletion Algorithms for B-Spline Curves and Surfaces, R. N. Goldman, T. Lyche, eds., Geometric Design Publications, SIAM (1993) 19

20 Mentor: Tina Bosner Globalno konvergentne modikacije Newtonove metode Podru je: Numeri ka matematika Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matemati ka statistika; Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Numeri ka matematika, a poºeljni su i Numeri ka analiza 1 i 2 Opis: U primjeni se dosta esto pojavljuje potreba za rje²avanjem bezuvjtenih minimizacijiskih problema ili rje²avanjem sistema nelinearnih jednadºbi. Za oba problema koriste se skoro iste numeri ke metode, gdje je jedna od najpopularnijih Newtonova metoda. Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metode nepostojanje globalne konvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogu ih modikacija Newtonove metode kojima se taj problem rje²ava. J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally published by Prentice-Hall, Inc., Englewood Clis, N.J., 1983.) 20

21 Mentor: Vedran ƒa i Podru je: Ra unarstvo Sustav za simboli ko ra unanje u Haskellu Prikladno za studij: Matematika i ra unarstvo Preduvjeti: nema Opis: Cilj je izloºiti osnove funkcijskog programiranja, i to kroz upoznavanje s isto funkcijskim programskim jezikom Haskell. U tom jeziku bit e implementiran rudimentarni CAS (Computer Algebra System), zajedno s pripadnim tipovima podataka koji omogu uju ekasne i funkcijske transformacije matemati kih izraza. Finalna tema bit e pojednostavljivanje izraza, i heuristike za utvrživanje koji su izrazi jednostavniji od drugih. Miran Lipova a, Learn You a Haskell for Great Good, No Starch Press, http: //learnyouahaskell.com/ Harold Abelson and Gerald Jay Sussman, Structure and Interpretation of Computer Programs, MIT Press,

22 Mentor: Vedran ƒa i Podru je: Ra unarstvo Strukture podataka i algoritmi u Pythonu Prikladno za studij: Matematika i ra unarstvo Preduvjeti: visoka ocjena iz kolegija Strukture podataka i algoritmi Opis: Kolegij Strukture podataka i algoritmi upoznaje studente s nekim najvaºnijim apstraktnim tipovima podataka, njihovim implementacijama, i algoritmima na njima koji se uglavnom prezentiraju u obliku neovisnom o implementaciji. Implementacijski jezik je C, jer su studenti s njim upoznati na ranijim kolegijima. Mežutim, C zahtijeva razmi²ljanje o mnogim tehni kim detaljima (kao ²to je upravljanje memorijom), ²to ponekad zamagljuje osnovne ideje i algoritme ini te²kim za pra enje. Python je puno bolji jezik za pisanje izvr²ivog pseudokoda kakav je najvi²e potreban pri prezentaciji takvih algoritama, i za hvatanje algoritama na njihovoj prirodnoj razini apstrakcije. Ovaj diplomski rad zami²ljen je kao skripta za imaginarni kolegij, koji pokriva isto gradivo kao Strukture podataka i algoritmi, samo s Pythonom kao implementacijskim jezikom. Robert Manger, Strukture podataka i algoritmi, skripta; Element, Brett Slatkin, Eective Python, 22

23 Mentor: Vedran ƒa i Earleyev parser Podru je: Ra unarstvo Prikladno za studij: Matematika i ra unarstvo Preduvjeti: Interpretacija programa Opis: ƒesto se u programiranju pojavljuje potreba za parsiranjem nekog beskontekstnog jezika. Tada se obi no koriste industrijski generatori parsera kao ²to su Parsec ili yacc, ili se pak na licu mjesta napi²e neki specijalizirani parser ba² za zadani problem. U teorijskim razmatranjima obi no se promatra CYK algoritam, koji je dobar ²to se ti e sloºenosti u najgorem slu aju, ali ne pona²a se puno bolje na jezicima kakvi su u primjenama uobi ajeni. Dobar kompromis teorijske isto e i primjenjivosti na stvarne probleme, po cijenu nekih komplikacija u implementaciji, pruºa Earleyev algoritam. Diplomski rad je zami²ljen kao njegova implementacija (sa svim uobi ajenim optimizacijama) u programskom jeziku po izboru studenta. Loup Vaillant, Earley Parsing Explained, earley-parsing/ 23

24 Mentor: Vedran ƒa i Formalizacija jednostavnih matemati kih dokaza Podru je: Matemati ka logika Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Matemati ka logika Opis: Formalne metode u matematici doºivjele su procvat po etkom ovog stolje a, kako s razvojem tehnologije ra unala postaju prikladna za sve vi²e primjena na matemati ko rezoniranje. Za moderno bavljenje matematikom sve je vaºnije poznavati neki od ra- unalnih sustava za formalno dokazivanje, bilo za provjeru rezultata, vrsto fundiranje matemati kih podru ja, ili ekstrakciju programa. Diplomski rad zami²ljen je kao opis nekog ra unalnog sustava za formalno dokazivanje (preferirano Coq), te nekoliko primjera razli ite sloºenosti koji pokazuju kako se osnovni oblici matemati kog mi²ljenja tamo mogu formalizirati. Prvenstveni cilj diplomskog rada je razbijanje straha od formalnih dokaza. Mike Nahas, The Coq tutorial, 24

25 Mentor: Tomislav Do²li Suvoditelj: Andrej Dujella Podru je: kombinatorika, geometrija Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: nema Nizovi i kruºnice Opis: Neka je dan kombinatorni niz (a n ) n 0. Uzmimo kruºnicu K 0 polumjera 1/a 0 i kruºnicu K 1 polumjera 1/a 1 sa sredi²tima na y-osi koje se diraju u ishodi²tu. Za n 2 odredimo sredi²ta svih kruºnica polumjera 1/a n (dakle zakrivljenosti a n ) koje diraju kruºnice K n 1 i K n 2. Cilj rada bi bio ispitati pona²anje koordinata sredi²ta za razne nizove (a n ) n 0. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika 25

26 Mentor: Tomislav Do²li Suvoditelj: Andrej Dujella Podru je: Teorija grafova. Kombinatorika. Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: nema Tutteov polinom Opis: Tutteov polinom je jedna od najvaºnijih graf-teoreti kih invarijanata koja kodira mno²tvo informacija o grafu. Cilj rada bi bio eksplicitno izra unati Tutteove polinome za klase grafova koje opisuju linearne polimere male povezanosti. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika 26

27 Mentor: Ilja Gogi Podru je: funkcionalna analiza Izometri no injektivni Banachovi prostori Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika Preduvjeti: Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metri ki prostori, Mjera i integral Opis: Za Banachov prostor X kaºemo da je izometri no injektivan ako se za sve Banachove prostore Y Z, svaka linearna kontrakcija φ : Y X moºe pro²iriti do linearne kontrakcije φ : Z X. Drugim rije ima, X je injektivan objekt u kategoriji Banachovih prostora s linearnim kontrakcijama kao morzmima. Najjednostavniji primjer izometri no injektivnog Banachovog prostora je X = C (Hahn-Banachov teorem). Op enitiji primjeri izometri no injektivnih Banachovih prostora su prostori L (Ω, µ), gdje je (Ω, µ) σ-kona an prostor mjere, te biduali funkcijskih prostora C(K), gdje je K kompaktan Hausdorov prostor. Osnovni cilj ovog diplomskog rada je dokazati Goodner-Nachbin-Kelleyjev teorem koji kaºe da je Banachov prostor X izometri no injektivan ako i samo ako postoji ekstremno nepovezan kompaktan Hausdorov prostor K takav da je X izometri ki izomorfan s C(K). Jedna od interesantnih posljedica te karakterizacije (u kombinaciji s dekompozicijskom tehnikom Peªczy«skog) je da su Banachovi prostori l i L ([0, 1]) izometri ki izomorfni. (1) F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 233, Springer, New York, (2) M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos and V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, (3) D. Hadwin, V. Paulsen, Injectivity and projectivity in analysis and topology, Abstract Sci. China Math. 54 (2011), no. 11,

28 Mentor: Ilja Gogi Podru je: funkcionalna analiza Reeksivni Banachovi prostori Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati ka statistika Preduvjeti: Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metri ki prostori, Mjera i integral Opis: Svaki Banachov (ili op enitije normiran) prostor X nad poljem F realnih ili kompleksnih brojeva moºemo na kanonski na in uloºiti kao potprostor njegovog (topolo²kog) biduala X. Naime, za x X denirajmo preslikavanje x : X F s x(f) := f(x). Tada je x ograni en linearni funkcional na X (dakle element od X ) i x = x, pa preslikavanje Q X : x x denira linearnu izometriju s X u X. Ako je Q X takožer surjektivno, onda za prostor X kaºemo da je reeksivan. Reeksivni prostori igraju bitnu ulogu u teoriji i primjeni (posebno u parcijalnim diferencijalnim jednadºbama) te za razliku od op enitih Banachovih prostora dijele neka dosta dobra svojstva. U osnovne primjere reeksivnih prostora spadaju svi kona nodimenzionalni normirani prostori, Hilbertovi prostori, te L p -prostori (1 < p < ). Cilj ovog diplomskog rada je iskazati i dokazati razne karakterizacije reeksivnosti. Takožer bi se opisala konstrukcija tzv. Jamesovog prostora J, koji je fundamentalni primjer nereeksivnog Banachovog prostora koji je, s druge strane, izometri ki izomorfan svom bidualu. (1) R. E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 183, Springer-Verlag, New York, (2) J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, (3) P. Hájek, V. Montesinos and V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, (4) F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 233, Springer, New York,

29 Mentor: Ilja Gogi Paradoksalne dekompozicije i teorem Tarskog Podru je: algebra, geometrija, teorija skupova Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Algebarske strukture, Teorija skupova, Mjera i integral Opis: Prema slavnom Banach-Tarskijevom paradoksu (odn. teoremu), zatvorena jedini na kugla u R 3 moºe se rastaviti na kona no mnogo dijelova, od kojih se kori²tenjem krutih gibanja (tj. translacija i rotacija) mogu sastaviti dvije kugle identi ne po etnoj. tovi²e, ako su A i B bilo koja dva ograni ena skupa u R 3 s nepraznim interiorom, tada skup A moºemo rastaviti na kona no mnogo dijelova od kojih se kori²tenjem krutih gibanja moºe sastaviti skup B (jaka forma Banach-Tarskijevog paradoksa ). Jedan od osnovnih koraka u dokazu tog teorema je dokaz injenice da je grupa G = SO(3) rotacija u R 3 oko ishodi²ta paradoksalna, tj. postoji kona na particija {E 1,..., E n } od G, elementi g 1,..., g n G i prirodan broj 1 m < n sa svojstvom da su {g 1 E 1,..., g m E m } i {g m+1 E m+1,..., g n E n } dvije particije od G. Istaknimo da dokaz Banach-Tarskijevog paradoksa bitno ovisi o aksiomu izbora. U prvom dijelu ovog diplomskog rada bi se dokazala jaka forma Banach-Tarskijevog paradoksa. U drugom dijelu rada uveo bi se pojam (diskretne) amenabilne grupe te bi se dokazao teorem Tarskog, koji kratko kaºe da je grupa G paradoksalna ako i samo ako G nije amenabilna. Kori²tenjem te injenice opravdalo bi se za²to analogija Banach- Tarskijevog paradoksa nije mogu a u dimenzijama 1 i 2. (1) V. Runde, Lectures on Amenability, Lectures Notes in Mathematics 1774, Springer Verlag, (2) J. H. Shapiro, A Fixed-Point Farrago, Springer, (3) S. Wagon, The BanachTarski Paradox, Cambridge University Press,1985. (4) A. Garrido, An introduction to amenable groups, lecture notes. maths.ox.ac.uk/kar/amenable.pdf (5) M. Ba²i, BanachTarskijev paradoks, math.e, br default/files/br18/basic.pdf 29

30 Mentor: Ilja Gogi Baireovi prostori i primjene Podru je: analiza, topologija, teorija skupova Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Metri ki prostori, poºeljno i Teorija skupova Opis: Za podskup A topolo²kog prostora X kaºemo da je nigdje gust u X ako je interior zatvara a od A prazan skup. Prebrojive unije nigdje gustih skupova u X zovu se skupovi prve kategorije, komplementi skupova prve kategorije rezidualni skupovi, a skupovi u X koji nisu prve kategorije zovu se skupovi druge kategorije. Za X kaºemo da je Baireov prostor ako je svaki neprazan otvoren skup u X skup druge kategorije. Prema slavnom Baireovom teoremu o kategoriji (BTK), svaki potpuno metrizabilan prostor je Baireov. U raznim matemati kim disciplinama za svojstva koja vrijede na tipi nim (odnosno na gotovo svim) primjerima smatraju se generi kim. Tako se npr. u teoriji mjere pod generi kim svojstvima smatraju svojstva koja vrijede gotovo svuda (tj. na komplementima skupova mjere 0), dok se u teoriji Baireovih prostora pod generi kim svojstvima smatraju svojstva koja vrijede na rezidualnim skupovima. Odgovaraju i dualan pojam generi kom svojstvu je zanemarivo svojstvo. Dakle, u kontekstu Baireovih prostora, zanemariva svojstva su ona svojstva koja vrijede samo na skupovima prve kategorije. Naglasak ovog diplomskog rada bit e na primjenama teorije Baireovih prostora u analizi. Izmežu ostalog, dokazat e se da generi ke neprekidne funkcije f : [a, b] R nisu nigdje derivabilne, te da generi ke funkcije klase C ([a, b]) nisu nigdje analiti ke. Ovisno o anitetu studenta moºe se napraviti i mali izlet u teoriju skupova. Naime, unutar standardne Zermelo-Fraenkelove teorije skupova (bez aksioma izbora) moºe se dokazati da je BTK ekvivalentan tzv. aksiomu zavisnog izbora, koji kaºe da ako je S proizvoljan neprazan skup i R binarna relacija na S sa svojstvom da za svaki x S postoji y S takav da je xry, onda postoji niz (x n ) u S takav da vrijedi x n Rx n+1 za sve n N. (1) J. C. Oxtoby, Measure and category, SpringerVerlag, (2) E. Schechter, Handbook of Analysis and its Foundations, Ac. Press, (3) I. Gogi, Baireov teorem o kategoriji, PMF-MO, unizg.hr/nastava/studnatj/sn_baire.pdf 30

31 Mentor: Boris Gulja² Kompaktni operatori u Banachovim prostorima Podru je: Funkcionalna analiza, Teorija operatora Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati ka statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metri ki prostori Opis: Kompaktni operatori na Banachovim prostorima su operatori koji preslikavaju ograni ene skupove u predkompaktne skupove, tj. skupove iji zatvara je kompaktan skup. Oni su uniformni limesi operatora kona nog ranga i po svojstvima su najsli niji operatorima na vektorskim prostorima kona ne dimenzije. Cilj rada je prou iti svojstva navedenih operatora i struktura koje oni tvore. Takožer se planira obraditi neke njihove primjene. S. Kurepa, Funkcionalna analiza Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981, T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, New York, N. Dunford, J. T. Schwartz,Linear operators (Part II) Spectral theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons,

32 Mentor: Boris Gulja² Nuklearni operatori Podru je: Funkcionalna analiza, Teorija operatora Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati ka statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metri ki prostori Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kompaktnih operatora na Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operator A : H H ima prikaz oblika Ax = λ n (x u n )e n, x H, n=1 gdje su (u n ) n i (e n ) n ortogonalni nizovi vektora, n N, λ n 0 i λ n 0. Operator je nuklearan ako vrijedi n=1 λ n <. U bilo kojoj ortonormiranoj bazi mogu e je denirati (kona an) trag operatora kao trag pripadne (beskona ne) matrice i on je neovisan o izboru baze. Na skupu svih nuklearnih operatora denira se norma tako da je on zatvara u toj normi skupa svih operatora kona nog ranga. Cilj rada je prou iti svojstva navedenih operatora, struktura koje oni tvore i obraditi neke njihove primjene. S. Kurepa, Funkcionalna analiza Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981, I. C. Krein, M. C. Krein, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, American Mathematical Society, 1969, B. Simon, Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math. Soc., 2005, N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators (Part II) Spectral theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons,

33 Mentor: Boris Gulja² Zatvoreni operatori Podru je: Funkcionalna analiza, Teorija operatora Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati ka statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metri ki prostori Opis: Linearan operator A : D(A) Y, D(A) X, je zatvoren operator ako je njegov graf Γ(A) = {(x, Ax) x X} X Y zatvoren potprostor u X Y, gdje su X, Y Banachovi prostori. Zatvorni operatori predstavljaju prirodnu generalizaciju ograni enih linearnih operatora na beskona no-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbog teorema o zatvorenom grafu, ako je operator A neograni en onda je nuºno D(A) X. Cilj rada je prou iti koje teoreme iz teorije ograni enih linearnih operatora je mogu e pro²iriti na zatvorene operatore. S. Kurepa, Funkcionalna analiza Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981, I. C. Krein, M. C. Krein, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, American Mathematical Society, 1969, T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966 N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators (Part II) Spectral theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons,

34 Mentor: Boris Gulja² Spektralni teorem za ograni ene normalne operatore Podru je: Funkcionalna analiza, Teorija operatora Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati ka statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metri ki prostori Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poop enja rezultata iz kona no dimenzionalnih vektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgovaraju ih klasa operatora u ortonormiranim bazama. U su aju beskona no dimenzionalnih Hilbertovih prostora radi se o egzistenciji tzv. dekompozicije jedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. familije ortogonalnig projektora {E λ ; λ K}, gdje je K = R u slu aju hermitskih operatora i K = C u slu aju normalnih operatora. Tada je mogu prikaz operatora u obliku A = λde λ. K Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ograni ene normalne operatore i opisati neke njegove primjene. S. Kurepa, Funkcionalna analiza Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981, I. C. Krein, M. C. Krein, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, American Mathematical Society, 1969, T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966 N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators (Part II) Spectral theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963, W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill Book Company,

35 Mentor: Marcela Hanzer Podru je: Algebarska teorija brojeva Prikladno za studij: svi studiji Lokalna polja i prsten adela Preduvjeti: Algebarske strukture; poºeljno i Algebra Opis: Upotpunjenja polja Q, i op enitije, upotpunjenja kona nih pro²irenja polja Q obzirom na nearhimedsku metriku (tzv. p-adski brojevi) su od velikog interesa ne samo za algebarsku teoriju brojeva, ve i za teoriju reprezentacija, automorfnih formi i mnoga druga podru ja suvremene matematike. U klasi noj teoriji brojeva, polje algebarskih brojeva (kona no algebarsko pro²irenje polja Q) se ulaºe u produkt svojih arhimedskih upotpunjenja, tj. u Euklidov prostor. Mežutim, jo² od radova Chevalleya i Weila, postalo je jasno da je za mno²tvo primjena mnogo prirodnije gledati sva upotpunjenja odjednom, i na takvom objektu promatrati neku prirodnu topologiju. Tako su formirani prsten adela i ideli. ƒesto se informacije o Q (odnosno njegovim kona nim pro²irenjima) i² itavaju iz informacija dobijenih iz adeli ke slike. Cilj diplomskog rada bi bilo davanje osnovnih strukturnih injenica i teorema o padskim poljima (prsteni s diskretnom valuacijiom, Dedekindove domene), a s druge strane uo avanje da su takva padska polja, zajedno s R ic jedina nediskretna lokalno kompaktna polja, ²to omogu ava primjenu klasi ne harmonijske analize. Takožer, trebala bi se dati denicija adela i idela i prou iti njihova osnovna svojstva. Lang, Algebraic number theory, Springer Weil, Basic number theory, Springer Cassels, Fröhlich, Algebraic number theory, Academic Press Inc, Serre, A course in Arithmetic, Springer

36 Mentor: Marcela Hanzer Teorija reprezentacija kona nih grupa; Artinov teorem Podru je: Teorija reprezentacija Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Algebarske strukture, poºeljno i Algebra Opis: Reprezentacije kona nih grupa su vrlo zna ajne za primjene u zici ili kvantnoj kemiji, a u matematici su, zajedno s klasi nom harmonijskom analizom, ishodi²na to ka u razvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebao dati osvrt na osnove teorije reprezentacija kona nih grupa, teoriju karaktera i osnovne koncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnih grupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju zna ajnu ulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u prou avanju L-funkcija. Serre, Linear representations of nite groups, Springer Curtis, Reiner, Representation theory of nite groups and associative algebras, Wiley,

37 Mentor: Marcela Hanzer Podru je: Algebra; teorija brojeva Prikladno za studij: svi studiji p-adski redovi potencija Preduvjeti: Algebarske strukture, poºeljno i Algebra Opis: Tehnike nearhimedske analize imaju mno²tvo primjena u modernoj matematici, npr. u teoriji brojeva i teoriji reprezentacija. U radu bi se krenulo s bazi nim konceptima: najprije bi se uveli p-adskih brojevi i prou avala njihova aritmetika, a zatim bi se izgradilo pro²irenje polja p-adskih brojeva koje je i algebarski zatvoreno i potpuno, time daju i p- adski analog kompleksnih brojeva (koji su i potpuni i algebarski zatvoreni). Nakon toga bi se bavilo osnovnom temom rada, a to su p-adski redovi potencija. Prou avalo bi se neke interesantne primjere, kao npr. p-adski logaritam i eksponencijalna funkcija, p-adska gamma i Artin-Hasseova eksponencijalna funkcija. Pro avalo bi se i Newtmove poligone i dokazala p-adska verzija Weierstrassovog pripremnog teorema. Weil, Basic number theory, Springer Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta functions, Springer,

38 Mentor: Marcela Hanzer Podru je: Algebra; funkcionalna analiza Prikladno za studij: svi studiji Lokalno kompaktne grupe Preduvjeti: Algebarske strukture i Normirani prostori Opis: U suvremenoj algebri i harmonijskoj analizi od velikog zna enja su topolo²ke grupe, naro ito lokalno kompaktne grupe. U radu bi se dale osnove teorije topolo²kih grupa te dokazala egzistencija Haarove mjere na lokalno kompaktnim grupama. Uz kratko ponavljanje potrebnih injenica iz teorije mjere, izu avala bi se modularna funkcija te konvolucija na lokalno kompaktnoj grupi kao i L p prostori na lokalno kompkatnoj grupi. Na kraju bi se dali neki osnovni rezultati o homogenim prostorima i egzistenciji invarijantnih mjera na takvim prostorima. Folland, A course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press,

39 Mentor: Vjeran Hari Nove metode za generalizirani problem vlastitih vrijednosti Podru je: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Vektorski prostori Opis: Rad bi bio baziran na novim metodama Jacobijeva tipa za GPVV. Metode se primijenjuju na par simetri nih matrica (A, B) od kojih je B pozitivno denitna. Prvo se dijagonalni elementi od B svedu da budu 1. Metode su tako konstruirane da uvaju te jedinice na dijagonali od B. U jednom koraku metode, obje pivotne podmatrice  i ˆB se dijagonaliziraju transformacijom kongruencije. To se na ini tako da se na ini LL T ili RR T faktorizacija od ˆB, nakon ega se primijeni transformacija kongruencije sa inverznim faktorima, tako da ˆB postane jedini na matrica I 2. Nakon toga primijeni se obi na Jacobijeva transformacija koja dijagonalizira aºuriranu matricu Â. U radu bi se prou avala relativna to nost izra unatih vlastitih vrijednosti i vektora i dokazala globalna konvergencija metode. Od alata, koristio bi se MATLAB i njegov Symbolic toolbox. V. Hari, E. Begovi, Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods. Preprint V. Hari, On Jacobi Methods for the Positive Denite Generalized Eigenvalue Problem. Preprint

40 Mentor: Vjeran Hari Blok J-Jacobijeva metoda Podru je: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Vektorski prostori Opis: Ako se ºele ²to to nije izra unati vlastite vrijednosti i vektori indenitne simetri ne matrice, tada se moºe prvo na initi Bunch-Parlettova faktorizacija i nakon toga svesti obi ni problem vlastitih vrijednosti Hx = λx na generalizirani problem Ax = λjx gdje je J dijagonalna matrica predznaka, a A je pozitivno denitna. Taj problem se onda rje²ava specijalnom, J-Jacobijevom metodom koja ima razne modikacije: jednostrana, dvostrana, blok-metoda i metoda po elementima. Cilj rada je testirati to nost tih metoda, posebno jednostrane blok metode koja u sklopu jezgrenog algoritma takožer koristi blok metodu sa blokovima reda 2. Takožer bi se dokazala globalna konvergencija blok metode. Rad bi bio baziran na dolje spomenutim lancima. Blok Jacobijeve metode su danas u centru istraºivanja dijagonalizacijskih algoritama zbog svoje ekasnosti i to nosti. Rad bi koristio mogu nosti MATLABa specijalno njegov Symbolic toolbox s aritmetikom varijabilne to nosti. Hari, V., Singer, S., Singer, S., Full Block J-Jacobi Method for Hermitian Matrices. Linear Algebra Appl. 444, 127 (2014) Hari, V., Singer, S., Singer, S., Block-oriented J-Jacobi Methods for Hermitian Matrices. Linear Algebra Appl. 433 (8-10) (2010) V. Hari, E. Begovi, Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods. Preprint

41 Mentor: Vjeran Hari Kompleksna Blok J-Jacobijeva metoda Podru je: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Vektorski prostori Opis: Ako se ºele ²to to nije izra unati vlastite vrijednosti i vektori kompleksne indenitne hermitske matrice H, tada se moºe prvo na initi Bunch-Parlettova faktorizacija i nakon toga svesti obi ni problem vlastitih vrijednosti Hx = λx na generalizirani problem Ax = λjx gdje je J dijagonalna matrica predznaka, a A je hermitska pozitivno denitna. Taj problem se onda rje²ava kompleksnom J-Jacobijevom metodom. Cilj rada je na initi odgovaraju e programe i testirati to nost te metode. Takožer bi se dokazala globalna konvergencija blok metode. Rad bi bio baziran na dolje spomenutim lancima. Koristio bi se MATLAB i njegov Symbolic toolbox u sklopu koga je aritmetika varijabilne to nosti. Programi u FORTRANu ili drugom vi²em jeziku su opcija. Hari, V., Singer, S., Singer, S., Full Block J-Jacobi Method for Hermitian Matrices. Linear Algebra Appl. 444, 127 (2014) Hari, V., Singer, S., Singer, S., Block-oriented J-Jacobi Methods for Hermitian Matrices. Linear Algebra Appl. 433 (8-10) (2010) V. Hari, Convergence to Diagonal Form of Block Jacobi-type Methods. Numer. Math. 129 (3) (2015). 41

42 Mentor: Vjeran Hari J-ortogonalne matrice i primjene Podru je: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Vektorski prostori Opis: Prou ila bi se svojstva J-ortogonalnih matrica. Najzna ajnija primjena vezana je uz ra unanje vlastitih vrijednosti i vektora indenitne simetri ne matrice. U toj primjeni, J ortogonalne matrice su malog reda, pa e se posebno promatrati CS (kosinus-sinus) dekompozicija J-ortogonalnih matrica reda 3 i 4, koja uklju uje hiperbolne funkcije. Cilj je izvesti i testirati brz i to an algoritam za tu dekompoziciju, a zatim ga primijeniti u sklopu ubrzanja J-Jacobijeve blok metode. Truhar N., Relative Perturbation Theory for Matrix Spectral Decompositions. Disertacija, University of Zagreb Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB (ebook, Hari, V., Singer, S., Singer, S., Full Block J-Jacobi Method for Hermitian Matrices. Linear Algebra Appl. 444, 127 (2014). 42

43 Mentor: Dijana Ili²evi Podru je: Funkcionalna analiza Hahn-Banachov teorem Prikladno za studij: Teorijska matematika; Primijenjena matematika; Matemati ka statistika Preduvjeti: Kolegiji "Normirani prostori" i "Operatori na normiranim prostorima" Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne analize. Njegova klasi na verzija se odnosi na pro²irenje linearnih funkcionala. Zadatak ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teorema i pristupa njegovom dokazu. S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, Zagreb,

44 Mentor: Mladen Jurak Diskontinuirana metoda kona nih elemenata Podru je: Primijenjena i numeri ka matematika Prikladno za studij: Primijenjena matematika Preduvjeti: nema Opis: Diskontinuirana metoda kona nih elemenata je vrlo eksibilan na in diskretizacije parcijalnih diferencijalnih jednadºbi koji se intenzivno razvija zadnja dva desetlje a. U ovom je radu potrebno prou iti osnovne metode diskretizacije za elipti ke rubne zada e te konvergenciju metode u odgovaraju im prostorima Soboljeva. 1. V. Dolej²i, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Analysis and Applications to Compressible Flow, Springer D. A. Di Pietro, A. Ern: Mathematical Aspects of Discontinuous Galerkin methods, Springer B. Rivière, Discontinuous Galerkin Methods For Solving Elliptic and Parabolic Equations: Theory and Implementation (Frontiers in Applied Mathematics) SIAM,

45 Mentor: Mladen Jurak Strukture podataka za vi²edretveno programiranje Podru je: Ra unarstvo Prikladno za studij: Ra unarstvo i matematika Preduvjeti: Objektno programiranje (C++) Opis: Temeljne strukture podataka koje se redovito koriste u programiranju moraju biti modicirane da bi se na siguran na in mogle koristiti u programima koji se izvr²avaju u vi²e dretvi (eng. threads). U radu je potrebno prou iti podr²ku vi²edretvenom programiranju koja je standardizirana u programskom jeziku C godine. Treba iznijeti osnove pripadnog memorijskog modela i analizirati dva pristupa paralelnim strukturama podataka pristup baziran na zaklju avanju i pristup slobodan od zaklju avanja (eng. lock-free). Napraviti osnovne primjere, vlastitu usporedbu i sintezu. 1. A. Williams: C++ Concurrency in action, Manning Resursi na Internetu. 45

46 Mentor: Mladen Jurak Mje²ovita diskontinuirana metoda kona nih elemenata Podru je: Primijenjena i numeri ka matematika Prikladno za studij: Primijenjena matematika Opis: Diskontinuirana metoda kona nih elemenata je vrlo eksibilan na in diskretizacije parcijalnih diferencijalnih jednadºbi koji se intenzivno razvija zadnja dva desetlje a. U ovom radu je potrebno prou iti diskontinuiranu metodu na bazi mje²ovite formulacije za elipti ku rubnu zada u (poglavlje 3 u referenci 1). Zatim je potrebno implementirati metodu u dune-pdelab paketu (vidi Dune web-stranicu) i testirati ekasnost i robusnost metode. Diskutirati razliku izmežu Bassi-Rabayeve metode i LDG metode. 1. V. Dolej²i, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Analysis and Applications to Compressible Flow, Springer D. A. Di Pietro, A. Ern: Mathematical Aspects of Discontinuous Galerkin methods, Springer B. Rivière, Discontinuous Galerkin Methods For Solving Elliptic And parabolic Equations: Theory and Implementation (Frontiers in Applied Mathematics) SIAM, DUNE web-stranica: 46

47 Mentor: Ivan Kokanovi Transportna svojstva metalnih stakala i nanokristalini nih slitina Podru je: Fizika vrstog stanja Prikladno za studij: Matematika i zika, smjer nastavni ki Preduvjeti: nema Opis: Student e se upoznati s metodama pripreme uzoraka metalnih stakala i nanokristalini nih sitina, karakterizacijom amorfne i nanokristalini ne strukture proizvedenih uzoraka te njihovim transportnim svojstvima Uvod u ziku vrstog stanja, Vladimir ips 47

48 Mentor: Vedran Kr adinac Mreºno kodiranje Podru je: Teorija kodiranja Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Upisan kolegij Kona ne geometrije Opis: Mreºno kodiranje je elegantna nova tehnika kodiranja podataka, razvijena po etkom tisu lje a, kojoj je svrha pobolj²ati prijenos putem komunikacijske mreºe. Umjesto da se paketi ²alju odvojeno, kao kod tradicionalnog `routing' pristupa, vorovi mreºe proslježuju linearne kombinacije primljenih paketa. Takvim `mije²anjem podataka' postiºu se ve e brzine i bolja robustnost u slu aju pogre²aka pri prijenosu. Cilj diplomskog je obraditi osnovne ideje i rezultate o mreºnom kodiranju prema knjigama navedenim u literaturi. C. Fragouli, E. Soljanin, Network coding fundamentals, now Publishers Inc., R. Yeung, S.-Y.R. Li, N. Cai, Z. Zhang, Network coding theory, now Publishers Inc.,

49 Mentor: Miljenko Maru²i Splajn kolokacija za singularno perturbirane rubne probleme Podru je: Numeri ka matematika Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra unarstvo i matematika Preduvjeti: Numeri ka analiza 2 Opis: U diplomskom radu treba opisati i usporediti nekoliko metoda koje koriste splajn funkcije za numeri ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbu oblika εy + by + cy = f, gdje je ε jako mali realni broj. J. J. H. Miller, E. O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems, World Scientic, Singapore,

50 Mentor: Miljenko Maru²i Eksponencijalno prilagožene diferencijske sheme Podru je: Numeri ka matematika Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra unarstvo i matematika Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskih shema koje se primjenjuju za numeri ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbu oblika εy + by + cy = f, gdje je ε jako mali realni broj. J. J. H. Miller, E. O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems, World Scientic, Singapore,

51 Mentor: Miljenko Maru²i Podru je: Primijenjena matematika Matemati ki modeli rasta tumora Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra unarstvo i matematika Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati nekoliko modela tumora i usporediti ih na eksperimentalnim podacima. Izbor modela obavio bi se u dogovoru s mentorom. T. Roose, S. J. Chapman, P. K. Maini, Mathematical Models of Avascular Tumor Growth, SIAM Review, 49 (2007)

52 Mentor: Miljenko Maru²i Podru je: Numeri ka matematika Eksponencijalni integratori Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra unarstvo i matematika Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko eksponencijalno prilagoženih metoda koje se primjenjuju za numeri ko rje²avanje inicijalnog problema za obi ne diferencijalne jednadºbe. Od posebnog je interesa primjena na krute probleme. M. Hochbruck, A. Ostermann. Exponential integrators. Acta Numerica, 19:209286,

53 Mentor: Eduard Maru²i -Paloka Podru je: Matemati ka analiza Prikladno za studij: svi studiji Integralne jednadºbe Fredholmovog tipa Preduvjeti: Diferencijalni ra un funkcija vi²e varijabli ili Osnove matemati ke analize Opis: Cilj rada je prou avati linearne integralne jednadºbe Fredholmovog tipa i njihove primjene. Glavni dio rada je Fredholmova alternativa i njene posljedice. Prije toga je potrebno uvesti odgovaraju e funkcijske prostore. P. J. Collins, Dierential and integral equations, Oxford University Press,