:Kuhljevi dnevi :zbornik del :KUHLJEVI DNEVI. :zbornik del. :Slovensko društvo za mehaniko. :september 2006

Transcription

1 :Kuhljevi dnevi 6 :zbornik del 6 :KUHLJEVI DNEVI :zbornik del :uredila Jože Korelc in Dejan Zupan :izdalo Slovensko društvo za mehaniko :Lipica, 1.. september 6 :Slovensko društvo za mehaniko :september 6

2 Zbornik del Kuhljevi dnevi 6 Lipica, 1.. september 6 Uredila: Jože Korelc Dejan Zupan

3 Lipica, 1.. september 6 ZBORNIK DEL Uredila: Jože Korelc Dejan Zupan Recenzija: Miha Boltežar Boštjan Brank Matjaž Hriberšek Jože Korelc Franc Kosel George Mejak Miran Saje Leopold Škerget Brane Širok Dejan Zupan Izdalo in založilo: SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO Jamova, Ljubljana september, 6 Grafično oblikovanje: Veronika Saje Tisk in vezava: Laserprint grafika, Ljubljana Naklada: 9 izvodov

4 Kazalo J. Avsec in M. Oblak Vpliv temperature na lastne frekvence pri nihanjih nosilcev U. Bohinc, B. Brank in A. Ibrahimbegovic Prilagodljivo modeliranje plošč z metodo končnih elementov M. Borovinšek in Z. Ren Modeliranje celičnih materialov z rešetkastimi strukturami B. Brank in U. Bohinc Robni efekti pri upogibu pravokotnih Mindlinovih plošč B. Brank in M. Petelin Napetosti v pravokotnih kompozitno laminatnih ploščah M. Brojan, F. Kosel, T. Videnič Veliki premiki nelinearno elastičnih nosilcev neprizmatičnih oblik D. Čelič in M. Boltežar Identifikacija dinamskih lastnosti spojev z uporabo frekvenčnih prenosnih funkcij G. Čepon in M. Boltežar Modeliranje jermenskih gonil v okviru dinamike sistema togih teles J. Dujc, B. Brank in J. Korelc Konstitutivni model armiranega betona za analizo mejne nosilnosti plošč M. Dular, T. Bajcar, L. Slemenik-Perše, M. Žumer in B. Širok Numerična simulacija in meritve toka nenewtonske tekočine v odprti posodi z mešalom M. Eberlinc, M. Dular, M. Hočevar in B. Širok Metodologija razvoja aksialnih ventilatorjev iii -

5 I. Emri, B.S. von Bernstorff, A. Nikonov, U. Florjančič in B. Zupančič Časovno-odvisno vedenje plezalnih vrvi M.Gams, M. Kegl, M. Saje in I. Planinc Optimizacija nosilcev primerjava dveh formulacij M. Hočevar, T. Bajcar in B. Širok Vizualizacijska metoda za merjenje prostorninskega deleža plinske faze v iztočnem kanalu Peltonove turbine T. Hozjan, G. Turk in S. Srpčič Požarna analiza jeklenih okvirjev z umetnimi nevronskimi mrežami M. Jakomin, F. Kosel, M. Batista in T. Kosel Preskok sistema osnosimetrične plitke bimetalne lupine z odprtino v temenu po nelinearni teoriji N. Jezernik, J. Kramberger in S. Glodež Numerično modeliranje kontaktnih spojev teleskopske ročice M. Knez, S. Glodež in J.Kramberger Določevanje parametrov nizkocikličnega utrujanja visokotrdnostnega jekla S11Q J. Kramer, R. Jecl in L. Škerget Robno območna integralska metoda za naravno konvekcijo zaradi dvojne difuzije v kvadratni porozni kotanji N. Krauberger, M. Saje, S. Bratina in I. Planinc Vpliv razpok na uklonsko nosilnost armiranobetonskih stebrov N. Kristanič in J. Korelc Določitev najbolj neugodne začetne nepopolnosti konstrukcij na podlagi občutljivostne analize G. Mejak Model časovno odvisne nepopolne vezi med fazama elastičnega kompozitnega materiala R. Potočnik, J. Flašker, S. Glodež in B. Zafošnik Numerično modeliranje širjenja razpoke pri kontaktnih obremenitvah R. Pušenjak Upravljanje torne sile semiaktivnega sistema vzmetenja s spremenljivo strukturo iv -

6 R. Pušenjak in M. Oblak Izračun neustaljenih nelinearnih nihanj z razširjeno Lindstedt-Poincarejevo metodo M. Rajh, J. Flašker in S. Glodež Gonila z umetnimi mišicami M. Ramšak in L. Škerget Potencialni tok okoli letala s 3D večobmočno metodo robnih elementov J. Ravnik, L. Škerget in M. Hriberšek Valčno stisnjena metoda robnih elementov za simulacijo velikih vrtincev T. Rojc O plastičnem zmanjševanju volumna končnih elementov pri ciklični obremenitvi in velikih plastičnih deformacijah S. Schnabl in G. Turk Povezan prehod toplote in vlage v lesenih nosilcih pri požaru J. Slavič, M.D. Bryant in M. Boltežar Numerična simulacija s hrapavostjo vzbujenega nihanja I. Tiselj Prenos toplote ob steni pri visokih Prandtlovih številih M. Vesenjak in Z. Ren Vpliv polnila na odziv urejene odprte celične strukture T. Videnič, F. Kosel in M. Brojan Ovirana povračljivost v okroglih obročkih iz materiala z oblikovnim spominom B. Vohar, M. Kegl, Z. Ren Optimizacija oblike dinamično obremenjenih nosilcev in manipulatorjev M. Zadravec, M. Požarnik, Z. Žunič, J. Marn in M. Hriberšek Numerično modeliranje dvofaznega dvosestavinskega toka plin-trdni delci Z. Žunič, M. Hriberšek in L. Škerget Mešana metoda robnih in končnih elementov za prostorske tokove nestisljive viskozne tekočine v -

7 - vi -

8 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Vpliv temperature na lastne frekvence pri nihanjih nosilcev J. Avsec 1 in M. Oblak Influence of temperature on eigenfrequencies at vibrations in beams Povzetek. Predstavljen članek obravnava vpliv toplotnih efektov na nihanja nosilcev. Zaradi relativno majhnih temperaturnih razlik smo predpostavili konstantne termomehanske veličine kot so Youngov modul, strižni modul in Poissonovo število. Podrobna analiza rezultatov kaže, da že relativno majhna sprememba temperature občutno vpliva pri določitvi lastnih frekvenc nosilcev. Primerjava analitičnih rezultatov z izmerjenimi vrednostmi nam kaže na relativno dobro ujemanje. Abstract The presented paper shows how temperature effects affects on vibrations of beams. Due to the relatively small temperature differences we have supposed that fundamental thermomechanics values are constants such as modulus of elasticity, Poisson number and shear modulus. The detailed analysis shows, that also small changes of temperature cause significant change of natural frequncies for beams. The comparison between our analytical model and experimental data shows good agreement. 1 Uvod-Osnove Strojni deli mnogokrat delujejo pri različnih temperaturnih pogojih. Posebej temperaturno zelo spremenljivi pogoji nastopajo v motorjih z notranjim zgorevanjem, raketnih sistemih, pri gibanju satelitov... Mnogokrat se raziskave izvajajo z zanemajanjem termodinamčnih efektov, kar lahko privede do popolnoma napačnih rezultatov. V literaturi [1-] lahko zasledimo, da že pri manjši spremembi temperature v primeru togo vpetih nosilcev, se lastnosti nihanja zelo spremenijo. V predstavljenem članku, je podobno kot v člankih [1-] zanemarjen vpliv spremembe termodinamičnih lastnosti, katere je potrebno upoštevati pri večjih temperaturnih spremembah. Prav vpliv večjih temperaturnih sprememb pa smo 1 Doc. Dr., Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo Red. Prof. Dr., Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo

9 upoštevali v članku [3], kjer so termomehanske lastnosti nosilca izračunane s pomočjo statistične mehanike. Q L Slika 1: Togo vpeti nosilec Q Slika : Enostavno podprti nosilec L V predstavljenem članku bomo izpeljali dinamični model za togo vpeti nosilec (Slika 1) ter za enostavno podprti nosilec (Slika ). Predpostavimo da je nosilec homogen z isto temperaturo po celotni dolžini. Zaradi toplotnega raztezanja se pojavi dodatna aksialna sila F T : F T = αθea (1) V enačbi (1) predstavlja α linearni termični razteznostni koeficient, θ razliko temperatur med dejansko in začetno ali referenčno temperaturo, E elastični modul materiala in A površino prereza. Enačba s katero lahko rešimo problem s pomočjo aksialne sile lahko izrazimo z naslednjo enačbo [4]: 4 EI w( x,t) w( x,t) w( x,t) + FT + ρ A = () 4 x x t - -

10 V enačbi () predstavlja w transverzalne pomike, ρ gostoto materiala in I vztrajnosni moment nosilca. Z uporabo novih spremenljivk lahko zapišemo enačbo () nekoliko enostavneje: 4 w ( x ) + γ w ( x ) β w( x ) = (3) V enačbi (3) pomenijo novi simboli naslednje funkcijske povezave: ω EI FT β =,c =, γ = c ρa EI 4 Splošna rešitev enačbe (3) je potem ( λ = β + γ ) [1-4]: ( λ + γ x) + C cosh( λ γ x) + C sin( λ + γ x) + C sinh( λ x) w( x ) = C1 cos 3 4 γ (4) Vrednosti konstant C 1 -C 3 so odvisne od robnih pogojev. Za togo vpeti nosilec lahko zapišemo naslednje robne pogoje: ( ) = w( L) = w ( L) w ( ) = w = (5) Za enostavno podprti nosilec pa naslednje robne pogoje: ( ) = w( L) = w ( L) w ( ) = w = (6) Uvedimo v enačbo zaradi bodoče krajše pisave naslednje funkcije [4]: Γ = L γ, Λ = L λ (7) S pomočjo enačb (5)-(7), katere vstavimo v enačbo (4), dobimo naslenje rešitve: a) Togo vpeti nosilec: { cos( Λ + Γ ) cosh( Λ Γ ) 1} + Γ sin( Λ + Γ ) sinh( Λ Γ ) = Λ Γ (8) b) Enostavno podprti nosilec ( + Γ ) sin Λ = (9) Predstavljen model je popolnoma analitičen, vendar v primerjavi z izmerjenimi rezultati kaže na veliko odstopanje od realnosti [1,]. Največja težava predstavljenega modela je v dejstvu, da se je v predstavljenem matematičnem modelu vpeta stena sposobna popolnoma zoperstaviti nosilcu, tako, da bi imel nosilec ves čas konstantno dolžino. Navedena predpostavka ni realna. Zato smo v ta namen sestavili nov model, ki bi vsaj delno zmanjšal velike razlike med analitičnimi rezultati in izmerjenimi vrednostmi

11 Novi dinamični model Sliki 4 in 5 prikazujeta novi reološki model za togo vpeti nosilec in za enostavno podprti nosilcec. V ta namen je dodana vzmet s vzmetno konstanto K. Predstavljen model se nekoliko razlikuje od modela, ki je predstavljen v članku [1], pri katerem sta avtorja Marques in Inman vgradila v reološki model tudi še dodatne torzijske vzmeti (Slika 3). V literaturi [1] sta avtorja izbrala vrednost torzijske vzmetne konstante KT=35.4 Nm/rad. Avorja Inman-Marques sta za novi model v primeru togo vpetega nosilca, izbrala model z robnimi pogoji enostavno podprtega nosilca, ki ima kombinacijo vzmetne konstant K in torzijske vtmeti KT. V predstavljenem članku smo zanemarili vpliv torzijskih vzmeti. Vrednost vzmetne kostante je posana v tabeli 1. Slika 3: Reološki model Marques-Inman [1] Q K L Slika 4: Novi model vpetega nosilca Q K L Slika 5: Novi model enostavno podprtega nosica: - 4 -

12 Predpostavimo, da je celotni skrček nosilca enak vrednosti : δ = εl, kjer ε relativi skrček. V tem primeru lahko silo F T izračunamo na naslednji način: δ εea = αθea Kδ, Kδ = EA αθ, L EALαθ δ = (1) KL + EA V tem primeru lahko reakcijsko silo izračunamo: EALαθ F T = Kδ = (11) EA L + K S pomočjo robnih pogojev v enačbah (5) in (6), tudi sedaj veljata enačbi (8) in (9). Za izračun smo uporabili aluminijast nosilec z dimenzijami, ki so podane v Tabeli 1. Tabela 1: Osnovni podatki za aluminijasti nosilec Nosilec Dolžina (m) Širina (m) Debelina (m) Modul elastičnosti (N/m ) Razteznostni koeficient K -1 Togostna konstanta K (N/m) Gostota (kg/m 3 )

13 3 Rezultati in diskusija V tabeli 1 so podani osnovni podatki za nosilec. Izbrali smo aluminijast nosilec. Zaradi relativno majhnih temperaturnih razlik smo predpostavili termomehanske lastnosti materiala kot konstantne vrednosti. Aluminijasti nosilec je zelo zanimiv, tudi zaradi relativno velikih razteznostnih koeficientov. V tabeli so predstavljeni rezultati za sekundno lastno frekvenco oblik nihanj za enostavno podprti nosilec. V tabeli 3 so predstavljeni analitični rezultati za sekundno lastno frekvenco oblik nihanj za togo vpeti nosilec za štiri nihajne oblike. Dobljeni analitični rezultati so primerjani z izmerjenemi vrednostmi [1] in analitičnimi rezultati avtorjev Marques-Inman [1]. V predstavljenem članku je v Tabeli 1 tudi podana vzmetna konstanta K, katere vrednost smo dobili ob primerjavi analitičnih z izmerjenimi rezultati. Primerjava rezultatov kaže na zadovoljivo ujemanje rezultatov novega analitičnega modela. Hkrati je iz analize rezultatov razvidno, da že majhna sprememba v temperaturi bistveno vpliva na lastne frekvence v nosilcih. Tabela : Rezultati za enostavno podprti nosilec nosilec Temperatura Nihajna oblika Sekundna lastna frekvenca Avsec-Oblak model (Hz) C C C C

14 Tabela 3: Rezultati za togo vpeti nosilec Temperatura Nihajna oblika Izmerjeni rezultati [1] (Hz) Sekundna lastna frekvenca (Hz) Marques-Inman Sekundna lastna frekvenca (Hz) Avsec-Oblak C C C C C C C

15 4 Zaključek Članek obravnava nihanja togo vpetih nosilcev in enostavno podprtih nosilcev pod vplivom temperaturnih efektov. Analiza je pokazala, da že majhna sprememba v temperaturi, povzroča znatne spremebe v določitvi lastnih frekvenc nosilcev. V področju višjih temperaturnih razlik pa je potrebno upoštevati tudi spremembe termomehanskih lastnosti materiala nisilcev. Primerjava z izmerjenimi rezultati kaže na dobro ujemanje analitičnega modela. Literatura [1] R.F. Marques, D.J. Inman, "An analytical model for a clamped isotropic beam under thermal effects", Proceeedings of IMECE, November 17-, [] R.F. Marques, D.J. Inman, D.A. Rade, "Assesment of adaptive techniques for the control of structures subject to temperature variations", 1 th ICSV Conference, 5, Lisbon, Portugal [3] J. Avsec, M. Oblak, "Vibrational analysis of temperature dependent materials for clamped isotropic beam under thermal effects", 1 st ICOVIS Conference, Loughborough, England, 6 [4] W. Weaver, S.P. Timoshenko, D.H. Young,"Vibration problems in engineering", John Wiley & Sons, 1974, New York [5] L.D. Zavodney., "The response of a single-degree-of-freedom system with quadratic and cubic non-linearities to a principal parametric resonance", Journal of Sound and Vibration, 1989, Vol. 19, No. 3, pp

16 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Prilagodljivo modeliranje plošč z metodo končnih elementov U. Bohinc 1, B. Brank in A. Ibrahimbegovič 3 Adaptive finite element modelling of plates Povzetek. Predstavljen je pristop k prilagodljivemu modeliranju plošč. Algoritem za prilagodljivo modeliranje nadzoruje tako napako diskretizacije kot tudi modelsko napako. Prispevek se osredotoča na oceno modelske napake, ki jo izračunamo po metodi uravnoteženja. Prilagodili smo jo za uporabo z družino končnih elementov za plošče. Uporabnost predlaganega pristopa smo prikazali na nekaj numeričnih primerih, kjer poznamo analitično rešitev. Abstract. An approach to adaptive modelling of plate structures by using model adaptivity is presented. To drive correctly the adaptive algorithms suitable error estimators are needed. In particular, we use posterior equilibrium method which is modified for use with plate elements. Validation of proposed approach is shown on some numerical experiments where analytical solution exists. 1 Uvod Ocena napake numerične analize konstrukcij v zadnjem obdobju igra vse pomembnejšo vlogo pri celotnem procesu modeliranja. V praksi se je namreč pokazalo, da slepo zaupanje rezultatom numeričnega modela ni utemeljeno in vodi do zavajajočih in lahko tudi nevarnih zaključkov. Napako numeričnega modela merimo z razliko izračunanega proti dejanskemu odzivu konstrukcije. Model konstrukcije je po svoji naravi vedno poenostavljen, saj se osredotoča le na opis bistvenih značilnosti. Največkrat je model zvezen, zato ga, preden se lotimo numeričnega reševanja, diskretiziramo. Z zadnjim korakom je povezana napaka diskretizacije, ki opisuje, kako dobro diskretiziran numerični model opiše zvezni matematični model. Večino dela v zadnjih dvajsetih letih je bilo usmerjeno v oceno napake diskretizacije. Razvitih je bilo precej postopkov za njeno čim učinkovitejšo oceno in področje je doseglo svoje zrelo obdobje. Analiza velikosti diskretizacijske in modelske napake pa žal pokaže, da je prva velikokrat zanemarljiva v primerjavi s slednjo. Za natančnost numeričnega modeliranja je torej ključna izbira matematičnega modela in ne njegova diskretizacija. Ker pa je modelsko napako precej težje 1 Zavod za gradbeništvo Slovenije Fakulteta za gradbeništvo, Ljubljana 3 L.M.T. Cachan,61 Avenue du Président Wilson, 9435 CACHAN Cedex,Paris,France

17 oceniti, se je intenzivni razvoj začel šele v zadnjem obdobju. Razlog za težavnost ocene modelske napake, leži v dejstvu, da je ni mogoče oceniti drugače, kot le z neposredno primerjavo dveh modelov. V tem prispevku poročamo o prilagodljivem modeliranju plošč. To lahko pričnemo z relativno grobo mrežo in elementom zasnovanim na osnovi Kirchhoffove teorije. Za izboljšanje natančnosti na območjih s preveliko napako diskretizacije zgostimo mrežo; na območjih pa, kjer prevladuje modelska napaka, zamenjamo elemente z elementi, ki temeljijo na Reissner Mindlinovi teoriji. Diskretizacija obeh modelov temelji na ideji predstavljeni v [?] in [?]. Posebna pozornost je namenjena postopku uravnoteženja robnih obtežb in njegovi prilagoditvi izbranim končnim elementom. Formulacija problema in njegova diskretizacija Problem linearne elastičnosti definirajo ravnotežne, kinematične in konstitutivne enačbe. Enačbe zapišemo v šibki obliki, saj ta omogoča numerično reševanje. Izhajamo iz ravnotežne enačbe divσ = f, kjer je σ napetostni tenzor in f volumska obtežba. Enačbo pomnožimo s testno funkcijo v in integriramo po območju Ω: Uporabimo še enakost divσ v dω = f v dω. Ω Ω div(σ(u) v) = divσ(u) v + σ(u) : ε(v) in Gaussov stavek Ω div( )dω = Γ ds, da končno zapišemo problem linearne elastičnosti v šibki obliki: Iščemo tako polje pomikov u, da bo veljala spodnja enakost za poljubno testno funkcijo v iz testnega prostora V = {v H 1 (Ω),v ΓD = } Ω σ(u) : ε(v) dω = f v dω + t v ds Ω Γ N Oznaki Γ D in Γ N označujeta zaporedoma območji s predpisanim pomikom u in območje, kjer je predpisana površinska obtežba t. Z notacijo se problem zapiše v kompaktni obliki: a(u,v) = σ(u) : ε(v) dω Ω l(v) = f v dω + t v ds Ω Γ N a(u,v) = l(v) { v V, V = {v H 1 (Ω),v ΓD = } u U, U = {u H 1 (Ω),u ΓD = u} V metodi končnih elementov zgornji problem rešujemo tako, da najprej neskončno dimenzionalna prostora U in V nadomestimo s končno dimenzionalnima podprostoroma U h U -1 -

18 in V h V. Problem se tedaj glasi: Poišči u h U h U tako da velja: a(u h,v h ) = l(v h ) Ker je V h V, velja za pravo rešitev u tudi a(u,v h ) = l(v h ) u h U h in v h V h v h V h V Z odštetjem obeh enačb dobimo fundamentalno Galerkinovo ortogonalnost a(u u h,v h ) = a(e,v h ) = v h V h V Pri tem e = u u h označuje napako diskretne rešitve u h. Zgornji stavek trdi, da je napaka energijsko ortogonalna na poljubno funkcijo iz prostora V h. Posledica je, da je rešitev u h optimalna v energijskem smislu v okviru izbranega testnega prostora V h. 3 Ocena napake diskretizacije Izhodišče za oceno napake diskretizacije je šibka oblika a(e,v) = a(u,v) a(u h,v) = l(v) a(u h,v) v V Enačbo bi načeloma lahko rešili z metodo končnih elementov in dobili aproksimacijo za pravo napako. Zaradi Galerkinove ortogonalnosti, je jasno, da moramo rešitev za napako e iskati v razširjenem testnem prostoru V h +, za katerega velja V h V h + V. Reševanje globalnega problema za oceno napake je predrago, zato ga poskušamo aproksimirati s serijo nesklopljenih robnih problemov na elementih. Zgornjo enačbo razdelimo na vsoto po elementih a(e,v) = {l e (v) a e (u h,v)} e Globalnega problema ne spremenimo, če robove elementov γ obremenimo z obtežbo t e γ, ki je na danem robu v ravnotežju t e γ + t e γ =. Z uvedenimi robnimi obtežbami se globalni residuum za napako prepiše v a(e,v) = {l e (v) a e (u h,v) + e γ γ t e γ vds} Zgornji zapis znatno poenostavimo z uvedbo rešitve lokalnih problemov φ e, ki zadoščajo naslednjim pogojem: a e (φ e,v) = l e (v) a e (u h,v) + t e γ vds v V e V e = {v H 1 (e) : v = na Γ D } γ γ S tem lahko globalni residuum zapišemo kot vsoto prispevkov po elementih a(e,v) = a e (φ e,v) e od koder s pomočjo Cauchy-Schwarzove neenakosti sledi ocena za napako e φ e e

19 4 Ocena za modelsko napako Oceno za modelsko napako dobimo tako, da rezultate (napetosti) osnovnega modela M1 primerjamo z rezultati drugega modela M, katerega rešitev je bližje pravi rešitvi. Če med modeloma velja hierarhična urejenost, lahko relativno napako ocenimo že iz normirane razlike rezultatov obeh modelov. Ekonomičen račun je mogoč le, če izračunamo rešitev z izboljšanim modelom M le na posameznih delih območja, najbolje kar na posameznih končnih elementih. Tak pristop je bil prvič predlagan v [?] in sledi osnovni ideji, ki je bila predstavljena v prejšnjem razdelku. Območje razdelimo na posamezne elemente, katerih medsebojni vpliv opišemo z delovanjem obtežbe, ki deluje na robovih elementa. Obtežba predstavlja vpliv okoliškega kontinuuma in mora biti taka, da je posamezni rob, kjer se stikata dva elementa, v ravnotežju: t e γ + t e γ =. V primeru, da bi poznali pravo napetostno polje, bi uravnotežene robne obtežbe lahko zapisali kot projekcijo napetostnega tenzorja. Vendar točne rešitve (in s tem napetostnega polja) še ne poznamo, zato moramo za robne obtežbe elementov poiskati primeren približek. Ta je v predlaganem postopku ocene modelske napake ključnega pomena. 4.1 Metoda uravnoteženja linijskih obtežb Približek za linijsko obtežbo elementov iščemo v rešitvi, ki jo dobimo z začetnim modelom M1. Napetosti in s tem posledično tudi linijske obtežbe, ki jih dobimo neposredno iz rešitve, dobljene z metodo končnih elementov na modelu M1, so nezvezne. Kot take ne morejo odslikavati pravega napetostnega stanja, ki je zvezno. Poleg zveznosti je druga pomembna lastnost, ki ji mora zadoščati linijska obtežba elementa uravnoteženost. V ravnotežju je namreč vsak del konstrukcije zase v ravnotežju in zato mora biti tudi površinska obtežba, ki izhaja iz napetostnega polja, uravnotežena. Element, obtežen le z linijsko obtežbo po robu predstavlja plavajočo konstrukcijo. Če torej obtežba ni uravnotežena, obtežni vektor vzbudi enega togih premikov. Metoda, ki opisuje, kako uravnotežiti linijske obtežbe posameznih elementov tako, da hkrati ustrežejo pogoju zveznosti in uravnoteženosti, je bila prvič predstavljena v [?]. Osnovna ideja temelji na konceptu vozliščnih reakcij. Te predstavljajo delovanje okoliškega kontinuuma na element in ga držijo skupaj z ostalimi silami, ki delujejo nanj, v ravnovesju. Te reakcije so torej že uravnotežene; vse kar je potrebno storiti je le prerazporediti njihovo delovanje z vozlišč na robove elementa. Pri tem je potrebno upoštevati tudi zveznost na stiku dveh elementov. Linijske obtežbe za element e tako izpeljemo iz vozliščnih reakcij R e i, ki jih izračunamo iz rezultatov pridobljenih z modelom M1, R e = K e u e F e, kjer je K e togostna matrika elementa, u e vektor vozliščnih pomikov in F e obtežni vektor. Vozliščne reakcije R e i nadomestimo z linijskimi obtežbami t e γ tako, da zahtevamo šibko enakost v smislu opravljenega virtualnega dela na polju virtualnih pomikov modela M1: R e i ˆv h i = t e γ v h ds γ γ i - 1 -

20 V zgornji enačbi v h = N i ˆv h i so virtualni pomiki modela M1, z v h = v h γ pa je označena njihova variacija po robu in z ˆv h i vozliščne vrednosti. Z zbiranjem pripadajočih členov zgornji pogoj zapišemo za vozlišče i elementa e: R e i = t e γn i ds γ γ V najpreprostejšem primeru linijsko obtežbo diskretiziramo le z dvema vozliščnima parametroma ˆr e γ, j po vsakem robu: t e γ(s) = ψ γ j (s) ˆre γ, j. j=1 S tako diskretizacijo lahko pogoj uravnoteženja prepišemo v R e i = ( ψ γ j θγ i ds)ˆre γ, j, γ j γ kjer smo uporabili θ γ i = N I γ za oznako variacij baznih funkcij N I po robu γ. Zgoraj zapisano enačbo zapišemo za vsa vozlišča vseh elementov in tako dobimo sistem enačb za ˆr e γ, j. Sistem enačb je v splošnem sklopljen in njegova rešitev draga. V kolikor uspemo izbrati bazne funkcije ψ γ j tako, da so ortogonalne na bazne funkcije θγ i ψ γ θ γ i ds = δ i j, se pogoj uravnoteženja dodatno poenostavi v γ R e i = ˆr e γ,i. γ S tem zgornji sistem enačb postane blok-diagonalen, kjer enačbe, ki se nanašajo na posamezno vozlišče, tvorijo posamezne bloke. Račun lahko tako razbijemo na krpe elementov, ki se stikajo v danem vozlišču. Žal je ta sistem singularen in potrebuje dodatno regularizacijo. Ta pride iz zahteve, naj bo virtualno delo vpeljanih linijskih obtežb t e γ enako virtualnemu delu linijskih obtežb izračunanih iz modela M1, ki jih označimo s t e, γ. To ustreza zahtevi ˆr e γ, i r e γ, i, kjer je r e γ, i = γ θγ i te, γ ds moment porazdelitve linijske obtežbe t e, glede na funkcijo θ γ i. Momente uravnotežene linijske obtežbe ˆr e γ, i dobimo tako z minimizacijo funkcionala 1 e P i γ (ˆr e γ, i r e γ, i). ki je vezan z zahtevo po uravnoteženju in zveznostjo

21 4.1.1 Postopek uravnoteženja linijskih obtežb za DKQ element V [?] je izpeljan Reissner Mindlinov končni element s pravokotno geometrijo in 4 vozlišči. Interpolacija pomika w in zasukov θ 1,θ je podana kot w = 4 I=1 N I (r,s)w I + ( θ1 θ 8 L=5 ) = θ = N L (r,s) l JK 8 nt JK(θ J θ K ) + 4 I=1 N I (r,s)θ I + 8 L=5 8 L=5 N L (r,s)n JK θ JK M L (r,s) l JK 6 θ JK kjer so N I standardne bilinearne bazne funkcije, N L in M L pa bazne funkcije tipa Serendipity. N L (r,s) = 1 (1 + s Ls)(1 r ); L = 5,7 M L (r,s) = 1 (1 + s Ls)r(1 r ); N L (r,s) = 1 (1 + r Lr)(1 s ); L = 6,8 M L (r,s) = 1 (1 + r Lr)s(1 s ) L J K Parameter θ JK predstavlja hierarhično rotacijo pravokotno na rob med vozliščema J in K, n JK in l JK pa sta pripadajoča normala in dolžina robu. DKQ element dobimo z zahtevo po ničelnem strigu vzdolž stranic elementa. To postavlja zahtevo za θ JK v naslednji obliki: θ JK = 3 l JK (w K w J ) 3 4 nt JK(θ J + θ K ) Vektor linijskih obtežb t e γ za DKQ element ima tri komponente : ena ustreza strigu q drugi dve pa momentoma m 1 in m. Za njihov opis uporabimo naslednjo parametrizacijo: q e γ = ˆq e 1,γ ψ q 1 + ˆqe,γ ψ q ; me e j,γ = mˆ j 1,γ ψm 1 + ˆm e,γ ψ m kjer količine označene s ˆ predstavljajo vozliščne parametre interpolacije. Funkcije ψ γ,q 1, morajo biti ortogonalne na funkcije θ γ i, ki opisujejo variacijo pomika vzdolž robu, glej (3.1): θ γ 1 = (1 ξ)/; θγ = (1 + ξ)/; θγ 3 = (1 ξ )/; θ γ 4 = ξ(1 ξ )/ Variacije rotacij vzdolž robu vsebujejo le tri bazne funkcije θ γ 1 3. Zato so ψγ,m 1, pa kubičnega reda: kvadratične, ψγ,q 1, ψ q 1 = ( ξ + 15ξ 35ξ 3 )/4 ψ q = ( 3 15ξ + 15ξ + 35ξ 3 )/4 ψ m 1 = ( 3 6ξ + 15ξ )/4 ψ m = ( 3 + 6ξ + 15ξ )/4 (4.3) Taka izbira baznih funkcij za linijsko obtežbo t e γ omogoča račun uravnoteženja po krpah

22 4. Izračun modelske napake Račun začnemo z uravnoteženjem linijskih obtežb, ki jih izračunamo iz globalne rešitve dobljene z modelom M1. Linijske obtežbe definirajo robne pogoje za lokalne probleme na elementih z modelom M. Pri reševanju lokalnih problemov moramo posebej paziti na toge premike, saj v postopku uravnoteženja lahko pride do numeričnih napak. Neuravnotežena obtežba namreč sproži togi premik, ki pa pripada singularni lastni vrednosti togostne matrike. Modelsko napako računamo po elementih in sicer tako, da za vsak izračunamo energijsko normo razlike napetosti obeh modelov. e = σ M σ M1 Model M1 je diskretni Kirchhoffov model (DKQ), ki ga primerjamo s popolnejšim modelom M, ki temelji na Reissner-Mindlinovi teoriji in je sposoben opisati obnašanje debelih plošč. Oba končna elementa sta grajena na enakem tipu diskretizacije. To dejstvo je ključnega pomena, saj zaradi ortogonalnosti zagotavlja, da je virtualno delo uvedenih robnih obtežb enako deformacijski energiji elementa. 5 Numerični primer V primeru obravnavamo kvadratno ploščo z dolžino stranice a = 1, debelino h =., prožnostnim modulom E = 1365N/m in Poissonovim količnikom ν =.3 ter enakomerno površinsko obtežbo 1N/m. Nasproti si ležeči stranici sta zaporedoma prosto podprti ter prosti. Za posebni primer vpetja razpolagamo z analitično rešitvijo za debele plošče, s katero lahko ovrednotimo oceno modelske napake. V spodnji sliki je na levi prikazana porazdelitev točne napake, na desni pa njena ocena, izračunana na podlagi primerjave obeh modelov. Mreža je deformirana in je zgoščena ročno na mestih pričakovano visokih gradientov rešitve. 6 Zaključek V prispevku je prikazan postopek za oceno modelske napake in predvsem uravnoteženja robnih obtežb. Posebej je obdelan primer uravnoteženja za plošče, ki upošteva diskretizacijo modela DKQ. Validacija pristopa je izvedena na primeru, kjer je dosegljiva analitična rešitev. V prihodnjem delu se bomo osredotočili na razvoj metod za oceno modelske napake pri prehodu iz d modela plošč v model, ki upošteva tudi deformacije v smeri debeline plošče. Literatura [1] S. O. E. Stein. Coupled model- and solution adaptivity in the finite element method. Computer methods in applied mechanics and engineering, 15:37 35, [] A. Ibrahimbegović. Quadrilateral finite elements for analysis of thick and thin plates. Computer methods in applied mechanics and engineering, 11:195 9,

23 Slika 1 : modelska napaka, levo točna vrednost, desno njena ocena

24 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 5 Modeliranje celičnih materialov z rešetkastimi strukturami M. Borovinšek 1 in Z. Ren 1 Lattice modelling of cellular materials Povzetek. Celični materiali predstavljajo pomembno skupino inženirskih materialov. Tipičen predstavnik teh materialov so kovinske pene, ki se vedno pogosteje uporabljajo v številnih zahtevnih inženirskih rešitvah, predvsem zaradi njihove nizke gostote, ustreznih mehanskih lastnosti in velike sposobnosti absorpcije udarne energije. Za optimizacijo konstrukcij s celičnimi materiali je potrebno razviti ustrezne numerične modele, ki omogočajo izvajanje potrebnih računalniških simulacij. V tem prispevku so predstavljene različne metode za 3D reprodukcijo neregularnih odprtih celičnih materialov z uporabo rešetkastih struktur. Uporabljeni sta bili dve metodi za reprodukcijo realne celične strukture kovinske pene z rešetko linijskih končnih elementov. Prva metoda temelji na kontroliranem premiku vozliščnih koordinat regularne tetrakaidekaedrične mreže, druga metoda pa temelji na 3D Voronoijevih celicah. Izvedena je bila primerjava in poglobljena raziskava morfologije celic in velikosti linijskih končnih elementov dobljenih rešetkastih struktur. Abstract. Cellular materials represent an important class of engineering materials. Typical representative of such structures are metallic foams, which are being increasingly used in many advanced engineering applications due to their low specific weight, appropriate mechanical properties and excellent energy absorption capacity. For optimal design of cellular structures it is necessary to develop proper computational models, which are needed for required computer simulations. This paper describes different methods for 3D reproduction of irregular open cell structures by means of lattice modelling. Two different methods were used to create a lattice of beam finite elements to represents the real cellular structure of metallic foam. The first method is based on controlled disorder of nodal locations of a regular tetrakaidecahedral mesh and the second method is based on 3D Voronoi technique. The cell morphology and beam element sizes of obtained lattice models are compared and studied in detail. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

25 Kuhljevi dnevi 5 1 Uvod Za številne veje moderne industrije so izrednega pomena lahki materiali, ki so sposobni s svojo deformacijo absorbirati čim večjo količino zunanje mehanske energije. Tem kriterijem zelo dobro ustrezajo kovinske pene, ki se za te namene tudi vedno pogosteje uporabljajo. Zaradi tega se na tem področju izvajajo številne raziskave, ki se ukvarjajo s proučevanjem vpliva oblike kovinske pene na njene lastnosti[1]. Številni analitični in eksperimentalni modeli so bili razviti za proučevanje mehanskih lastnosti kovinskih pen, ki bazirajo na pravilni geometrični obliki volumskih gradnikov pene, osnovnih celicah []. Vendar pa ti modeli ne morejo zajeti vplivov strukturnih nepravilnost v realnih kovinskih penah. Le-te so namreč neperiodične, nehomogene in vključujejo določene konstrukcijske napake. Za natančnejšo analizo njihovih lastnosti je zato potrebno uporabiti izvedene statistične metode. Kovinske pene Pene si lahko predstavljamo kot strukture zgrajene iz popolnoma oprijemajočih se poliedrov. Če je osnovni material pene vsebovan le na robovih poliedrov (celice so povezane z odprtimi ploskvami), spada takšna pena med odprto-celične pene (slika 1). V nasprotnem primeru, ko tudi ploskve poliedrov vsebujejo osnovni material, pa je takšna pena zaprto-celična. h l Slika 1: Odprto-celična kovinska pena Slika : Višina h in dolžina roba l pravilne tetrakaidekaedrične celice Najpomembnejša lastnost celičnih materialov je njihova relativna gostota ρ r, ki je definirana kot razmerje med gostoto celičnega materiala ρ * in gostoto osnovnega materiala ρ s. Relativne gostote celičnih materialov segajo od,1 do,3. Nad to mejo postane debelina celičnih sten že tako velika, da je takšen material bolje obravnavati kot material s posameznimi, izoliranimi porami. Drugi pomembni parametri so lastnosti osnovnega materiala, vrsta celic (odprte, zaprte), velikost celic, anizotropija celičnih oblik in v strukturo vključene napake. Kovinske pene se proizvajajo na več načinov, vsem pa je skupna prisotnost plinaste faze v obliki mehurčkov, ki določa morfologijo celic. Ker se mehurčki plinaste faze med seboj

26 Kuhljevi dnevi 5 združujejo po principu minimalne površinske energije, ta princip določa obliko celic kovinske pene. 3 Modeliranje nepravilnih odprtih celičnih struktur Odprto-celične kovinske pene najbolje predstavlja struktura, ki je sestavljena iz pravilnih tetrakaidekaedričnih celic, imenovanih tudi Kelvinove celice (slika ). Kelvinova celica je najboljša rešitev Kelvinovega problema zapolnitve prostora z minimalno površinsko energijo med celicami, ki prostor zapolnijo samo s celicami ene geometrije[3]. Pravilna odprto-celična rešetkasta struktura je tako lahko konstruirana z uporabo Kelvinovih celic, kjer linijski končni elementi zamenjajo robove Kelvinovih celic. Nepravilnost takšne rešetkaste strukture se doseže s pomočjo kontroliranih premikov vozlišč končnih elementov [4]. Pri tem so velikost preseka, njegova oblika in orientacija enaki za vse končne elemente v rešetkasti strukturi. Zaradi podobnosti med matematičnim opisom Voronoijeve delitve prostora in fiziko proizvodnje odprto-celičnih kovinskih pen, je Voronoijeva delitev prostora druga možnost generacije rešetkastih struktur, ki bazirajo na procesih plinske faze zajete v mehurčkih. 3.1 Kontroliran premik vozlišč Osnova za to metodo je pravilna rešetkasta struktura zgrajena s pomočjo Kelvinovih celic. Najprej se tvori ena tetrakaidekaedrična celica ustrezne velkosti. Nato se celica preslika v vse koordinatne smeri tako, da je popolnoma zapolnjen želeni prostor (mejni paralelepiped). Da tudi po premiku vozlišč rešetkasta struktura popolnoma zapolnjuje mejni prostor, je pred premiki vozlišč okoli pravilne rešetkaste strukture dodana še ena plast celic. Nepravilnost je v rešetkasto strukturo vpeljana s kontroliranimi premiki vozlišč pravilne mreže. Takšne premike v dvodimenzionalnem prostoru prikazuje slika 3. Koordinate premaknjenih vozlišč so določene po enačbi: x k = x + alϕ (1) kjer so x i k (k [1,,3]) prostorske koordinate vozlišča v pravilni mreži in L predstavlja reprezentativno velikost celice. Pri tej metodi generacije rešetkastih struktur je reprezentativna velikost celice L enaka dolžini roba l pravilne tetrakaidekaedrične celice (slika ). ϕ k ( [ 1,1]) je naključna spremenljivka z enakomerno porazdelitvijo, a ( [,1]) pa predstavlja amplitudo, ki določa stopnjo nepravilnosti mreže (parameter nepravilnosti). i k k 3. Voronoijeva delitev prostora Voronoijeva delitev razdeli prostor s pomočjo množice n začetnih točk na n konveksnih poliedrov tako, da vsak polieder vsebuje natančno eno začetno točko in da so vse točke znotraj izbranega poliedra bližje lastni začetni točki, kot pa kateri koli drugi začetni točki [5]. Na sliki 4 je prikazana Voronoijeva delitev dvodimenzionalnega prostora. Tako nastala prostorska območja se imenujejo Voronoijeve celice

27 Kuhljevi dnevi 5 V primeru, ko so začetne točke Voronoijeve delitve prostora postavljene na položaje prostorsko centrirane kocke, imajo dobljene Voronoijeve celice obliko tetrakaidekaedrov. Nepravilnost je v tako dobljeno rešetkasto strukturo vpeljana s kontroliranimi premiki začetnih točk (1). Pri tej metodi je reprezentativna velikost celice L enaka višini tetrakaidekaedrične celice h (slika ). Postopek generacije rešetkaste strukture z Voronoijevo delitvijo prostora je sledeč. Najprej je mejni paralelepiped zapolnjen z začetnimi točkami na položajih prostorsko centriranih kock. Da se zmanjša vpliv meje, sta dodani dve plasti začetnih točk zunaj mejnega paralelepipeda. Nato se izvršijo kontrolirani premiki začetnih točk in na koncu se na njihovi osnovi generirajo Voronoijeve celice. Za generacijo Voronoijevih celic je bil uporabljen programski paket Qhull [6], ki je bil razvit na Univerzi Minesolta-Twin Cities Δy Δx 5 4 Slika 3: Premaknjena vozlišča pravilne dvodimenzionalne strukture Slika 4: Voronoijeva delitev dvodimenzionalnega prostora 4 Morfologija celic Da bi dobili zanesljive lastnosti rešetkastih modelov, je potrebno analizirati večje število modelov z različnimi vrednostmi ϕ k [-1,1]. Za predstavljeno analizo je bilo uporabljenih dvajset modelov za vsako izbrano vrednost parametra nepravilnosti a [7]. Analizirana je morfologija rešetkastih struktur, dobljenih z zgoraj opisanima metodama, za določitev morfoloških lastnosti, kot so število ploskev f poliedričih celic in število robov n poligonskih ploskev. Vsak rešetkast model je bil sestavljen iz 15 celic. V pravilni rešetkasti Kelvinovi mreži (a = ), je 15 celotnih tetrakaidekaederičnih celic, od katerih vsaka vsebuje šest enako velikih kvadratov in osem enako velikih šestkotnikov. Oblike celic postanejo nepravilne, če je vrednost parametra a večja od nič, kljub temu pa ostane skupno število vseh celic enako 15. Odrezana celica na eni robni površini ima namreč svoj manjkajoči del na nasprotni robni površini, tako da z njim tvori celotno celico. Topologija rešetkastih modelov s premaknjenimi vozlišči je povsem enaka topologiji pravilne Kelvinove mreže (a = ), za vse vrednosti parametra a. Z večanjem parametra a se namreč spreminjajo le položaji posameznih vozlišč, ohranjajo pa se povezave med njimi. - -

28 Kuhljevi dnevi 5 Tako je število ploskev f vsake celice takšnega modela enako povprečnemu številu ploskev celice f = 14. Prav tako je število robov n vsake ploskve enako povprečnemu številu robov ploskve n = 5,13. Povprečna porazdelitev števila ploskev f celice in števila robov n ploskve Voronoijevih rešetkastih struktur sta prikazani na sliki 5 oziroma na sliki 6, kjer predstavlja p(f) verjetnost, da ima celica f ploskev in p(n) verjetnost, da ima ploskev n robov. Iz obeh slik je razvidno, da se s povečevanjem parametra nepravilnosti a, povečuje tudi razpršenost vrednosti obeh verjetnosti, ter da se vrednost najvišje verjetnosti p(f) premika proti večjemu številu ploskev, medtem ko se vrednost najvišje verjetnosti p(n) premika proti manjšemu številu robov. p (f),4,3, a =, a =,4 a =,6 a =,8 a = 1,, f Slika 5: Porazdelitev števila ploskev celic Voronoijevih rešetkastih struktur p (n),4,3, a =, a =,4 a =,6 a =,8 a = 1,, n Slika 6: Porazdelitev števila robov ploskev Voronoijevih rešetkastih struktur Povprečno število ploskev f celice in povprečno število robov n ploskve sta podani v tabeli 1. Povprečno število robov ploskve je določeno s pomočjo Eulerjevega zakona [1]: - 1 -

29 Kuhljevi dnevi 5 Z n = Z e Z f 1 e, () f kjer Z e predstavlja število robov, ki se dotikajo v istem vozlišču (edge-connectivity), Z f pa predstavlja število ploskev, ki si delijo isti rob (face-connectivity). Za tridimenzionalne rešetkaste mreže velja Z e = 4 in Z f = 3. Povprečne vrednosti in standardne deviacije so izračunane na podlagi dvajsetih modelov za vsako izbrano vrednost parametra a. Iz tabele 1 je razvidno, da ima pravilna Kelvinova mreža najmanjši povprečni vrednosti f in n. S povečevanjem parametra a do a =,5 pa vrednosti f in n rasteta. Nadaljnje povečevanje parametra a več ne vpliva na doseženi verjetnosti f in n. Tabela 1: Povprečne vrednosti števila ploskev in robov ter pripadajoče standardne deviacije Parameter nepravilnosti a f σ ( f ) n σ ( n), 14,, 5,14,, 14,33,11 5,16,1,4 15,41,39 5,1,1,6 15,7, 5,,,8 15,5,18 5,3,1 1, 15,6,5 5,3, Generirani rešetkasti modeli so namenjeni uporabi v dinamičnih eksplicitnih numeričnih simulacijah, kjer je časovni korak določen na osnovi najvišje prve resonančne frekvence celotnega numeričnega modela, da je zagotovljena stabilnost in natančnost simulacije. Odločilnega pomena za določanje resonančne frekvence v predstavljenih modelih je dolžina končnih elementov, saj so materialne lastnosti vseh elementov enake. Zaradi tega je bila opravljena tudi analiza dolžin končnih elementov v rešetkastem modelu. Število in velikost uporabljenih modelov sta bila enaka kot pri analizi morfologije celic. Porazdelitev normiranih dolžin robov rešetkastih strukturah s premaknjenimi vozlišči za različne vrednosti parametra a je prikazana na sliki 7, za Voronoijeve rešetkaste strukture pa na sliki 8. Dolžine robov so bile normirane z dolžino roba l pravilne tetrakaidekaedrične celice (slika ) Porazdelitve normiranih dolžin robov za vrednosti parametra a >,5 so skoraj enake porazdelitvi pri a =,5 in zato na slikah niso prikazane. Iz slik 7 in 8 je razvidno, da naraščanje parametra a povečuje razpršenost normiranih dolžin robov obeh uporabljenih metod. Hkrati pri rešetkastih strukturah s premaknjenimi vozlišči vrednost najvišje verjetnosti pada in se pomika proti daljšim robovom, pri Voronoijevih rešetkastih strukturah pa se vrednost najvišje verjetnosti pomika proti krajšim robovom. To nakazuje, da povečevanje parametra nepravilnosti a v Voronoijevih rešetkastih strukturah, povečuje število relativno kratkih robov oziroma linijskih končnih elementov. Nadaljnja analiza Voronoijevih struktur je pokazala prisotnost trikotnih ploskev, v katerih so eden ali več robov manjši od drugih za cel velikostni razred. S pomočjo ustrezne metode - -

30 Kuhljevi dnevi 5 glajenja takšne strukture lahko te robove ali kar celotne ploskve združimo v eno vozlišče, brez vpliva na deformacijsko obnašanje rešetkaste strukture. Van der Burg [8] je pokazal, da so v primeru opazovanja deformacije celotnega modela pri statičnih simulacijah vplivi upoštevanja za velikostni razred manjših končnih elementov zanemarljivi. Tako je priporočljivo uporabiti ustrezne metode glajenja generiranih rešetkastih struktur za uporabo v eksplicitnih dinamičnih simulacijah. Z uporabo glajenja se dolžina najkrajšega elementa v mreži poveča, kar ustrezno poveča tudi najmanjši stabilni časovni korak eksplicitne direktne časovne integracije dinamičnih ravnotežnih enačb in posledično zmanjša potreben računski čas. Verjetnost Probability,5,4,3, a =,1 a =, a =,3 a =,4 e =,5,1,5 1 1,5,5 3 Normirana Normalized dolžina edge size roba Slika 7: Porazdelitev normiranih dolžin robov rešetkastih struktur s premaknjenimi vozlišči Verjetnost Probability,5,4,3,,1 a =,1 a =, a =,3 a =,4 e =,5,5 1 1,5,5 3 Normirana Normalized dolžina edge size roba Slika 8: Porazdelitev normiranih dolžin robov Voronoijevih rešetkastih struktur - 3 -

31 Kuhljevi dnevi 5 5 Zaključek Predstavljeni sta dve različni metodi za tridimenzionalno reprodukcijo odprto-celičnih materialov. Prva predstavljena metoda temelji na kontroliranem premiku vozliščnih koordinat pravilne odprto-celične mreže, druga metoda pa uporablja delitev prostora na Voronoijeve celice. Obe predstavljeni metodi imata določene prednosti. Metoda Voronoijeve delitve prostora generira rešetkaste strukture s spremenjenimi topologijami celic, medtem ko ostane topologija celic pri metodi kontroliranega premika nespremenjena. Hkrati pa je slednja metoda manj procesorsko zahtevna pri generaciji rešetkastih struktur z velikim številom celic in generira mreže z enakomerneje razporejenimi dolžinami končnih elementov. 6 Literatura [1] L. J. Gibson, M. F. Ashby, Cellular solids, Structure and Properties, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, [] H. X. Zhu, J. F. Knott, N. J. Mills, Analysis of the elastic properties of open-cell foams with tetrakaidecahedral cells, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 45, , [3] A. P. Roberts, E. J. Garboczi, Elastic properties of model random three-dimensional open-cell solids, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 5, ,. [4] Z. Zheng, J. Yu, J. Li, Dynamic crushing of D cellular structures: A finite element study, International Journal of Impact Engineering 3, , 5. [5] V. Shulmeister, M. W. D. Van der Burg, E. Van der Giessen, R. Marissen, A numerical study of large deformations of lowdensity elastomeric open-cell foams, Mechanics of Materials 3, , [6] Qhull available at: (14.4.6), Geometry Center at the University of Minnesota Twin Cities. [7] K. Li, X. L. Gao, G. Subhash, Effects of cell shape and strut cross-sectional area variations on the elastic properties of three-dimensional open-cell foams, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 54, , 6. [8] M. W. D. Van der Burg, V. Shulmeister, E. Van der Geissen, R. Marissen, On the linear elastic properties of regular and random open-cell foam models, Journal of Cellular Plastics 33, ,

32 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Robni efekti pri upogibu pravokotnih Mindlinovih plošč B. Brank 1 in U. Bohinc Edge Effects in Bending of Rectangular Mindlin Plates Povzetek. Obravnavamo upogib pravokotnih plošč z dvema prostoležečima in dvema poljubno podprtima robovoma. Rešitve poiščemo v obliki enojnih Fourierjevih vrst tako za Kirchhoffovo kot za Mindlinovo teorijo plošč. Mindlinovo rešitev napišemo tako, da že vsebuje pripadajočo Kirchhoffovo. Dobljene izraze uporabimo za opazovanje robnih efektov pri Mindlinovi teoriji. Abstract. The paper is related to bending problem of rectangular plates with two simply supported and two arbitrarily supported edges. We search for solutions in terms of single Fourier series for both Kirchhoff and Mindlin plate theory. Mindlin solutions are expressed by using the corresponding Kirchhoff solutions. Obtained expressions are used to study the edge effects in Mindlin theory. 1 Uvod Plošče so eden izmed osnovnih konstrukcijskih elementov. Modeli, ki opisujejo njihov upogib, se lahko razumejo kot aplikacija principa redukcije dimenzije. Čeprav niso vedno izpeljani z asimptotično analizo - zelo pogosto so izpeljani na podlagi a priori predpostavk - se lahko hierarhično uredijo glede na konvergenco rešitev k tri-dimenzionalni rešivi; glej Babuška in Li [1]. Lahko se določi hierarhična družina modelov plošč, t.j. zaporedje modelov, katerih rešitve konvergirajo k točni (tri-dimenzijski) rešitvi problema upogiba plošč, pri čemer vsak model konvergira k isti rešitvi ko gre h, kjer je h debelina plošče. Tipični modeli plošč so Kirchhoffov, Reissner-Mindlinov in t.i. (1,1,) model plošč (glej npr. Brank [] za (1,1,) model lupin), ki so v tem zaporedju tudi hierarhično razporejeni. Njihovo približek k točni (tri-dimenzijski) rešitvi se kaže v tem, kako dobro aproksimirajo robne efekte, ki so značilnost tri-dimenzijskih rešitev. Robni efekt imenujemo pojav, ko v bližini roba (na širini debeline plošče) rešitve za zasuka in notranje sile postanejo kompleksna funkcija h. Znano je, da je Kirchhoffov model neobčutljiv na robne efekte, saj so njegove rešitve neodvisne od h, Reissner-Mindlinov model pa jih je zmožen opisati, pri 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Zavod za gradbeništvo Slovenije

33 čemer je točnost rešitve odvisna od strižnega korekcijskega faktorja in od robnih pogojev, glej npr. [1]. Robni efekti se izkažejo pomembni pri adaptivnem zgoščevanju mreže končnih elementov, glej npr. Selman et al. [3], Lee in Hobbs [8], ter pri analizi modelske napake, npr. Bohinc et al. [4]. V tem članku opazujemo robne efekte pri pravokotnih Levyjevih ploščah, t.j. pri ploščah, ki imajo dve nasprotni si stranici prostoležeči, ostali dve pa poljubno podprti. Za takšne plošče izvrednotimo rešitve v obliki enojne Fourierjeve vrste za Kirchhoffovo teorijo, pa tudi za Mindlinovo teorijo, pri čemer slednje napišemo tako, da vsebujejo pripadajoče Kirchhoffove rešitve. Pri tem sledimo ideji, podani v Lee et al. [5]. V članku najprej predstavimo osnovne enačbe Mindlinovega in Kirchhoffovega modela ter jih medsebojno povežemo; nato nakažemo njihovo rešitev za pravokotne Levyjeve plošče z uporabo enojnih Fourierjevih vrst; nazadnje pa dobljene Mindlinove rešitve uporabimo za študij robnih efektov pri ploščah z različnimi robnimi pogoji. Mindlinov model Ravnotežne enačbe za ploščo, ki veljajo tako za Mindlinov kot Kirchhoffov model, so Q Q + q =, M + M Q =, M + M Q = (1) x,x + y,y xx,x xy,y x yy,y xy,x y konstitutivne enačbe za Mindlinov model, ki povezujejo rezultante napetosti s pripadajočimi deformacijami, izraženimi s pomikom in rotacijama (tu uporabimo tudi kinematične enačbe), pa se lahko napišejo kot M M M 1 M xx = D ( φx,x + νφ y,y ), M yy = D ( νφ x,x + φ y,y ), M xy = D ( 1 ν )( φx,y + φ y,x ) () M M M Q = κ Gh φ + w, Q = κ Gh φ + w M x (,x ) (,y ) x y M V gornjih enačbah je w prečni pomik središčne ploskve plošče, φ x in φ y sta zasuka okoli 3 y in x osi, () o, a = ( o) / a ; D = Eh ( 1( 1 ν ) 1, G = E( ( 1+ ν )) 1, κ = 5 / 6 in ν so upogibni in strižni modul, strižni korekcijski faktor in Poissonov količnik; q je površinska obtežba, E je elastični modul, nadpis M pa označuje količine Mindlinovega modela. Kot pomožno količino, ki jo bomo potrebovali kasneje, uvedemo še vsoto momentov, t.i. Marcusov moment, M = ( + )( 1+ ν ) 1 M M xx M yy ; velja M = D ( φ x.x + φ y,y ). Enačbe (1) in () želimo reševati po metodi pomikov. Iščemo torej diferencialne enačbe za pomik in oba zasuka. V ta namen najprej nesemo»konstitutivni«prečni sili () 4 in () 5 v ravnotežno enačbo (1) 1 in dobimo M M 1 κ Gh( w + M D ) = q (3) Če enako naredimo še z»ravnotežnima«prečnima sila M M 1 M ( )( ) M 1 Qx = M,x + D 1 ν φx,y φ y,x, Qy = M,y D( 1 ν )( φx,y φ y,x ) (4),y, x ki ju izrazimo tako, da () 1 -() 3 nesemo v (1) in (1) 3, pridemo do M ( ) 1 M = q φ + φ = qd (5) y x,x y, y - 6 -

34 kjer je = / x + / y Laplacev operator. Kombinacija enačb (3) in (5) nam da diferencialno enačbo za pomik po Mindlinovi teoriji 4 w M = D 1 ( Gh) q 1 κ (6) Poiščimo zdaj še diferencialni enačbi za zasuka. Z enačenjem»konstitutivnih«in»ravnotežnih«prečni sil pridemo do ( φ φ ) = c ( φ φ ), c = κ Gh D( ν ),y y,x x,y y, x 1 ( ) 1 x (7) s pomočjo odvajanja in seštevanja enačb (5) in (7) 1 pa do 4 φ = D x 4 1 ( φx,y φ y,x ), φ y = D q,y + c ( φx,y φ y,x ),y, x 1 q,x + c Enačbe (6) in (8) so torej tri parcialne diferencialne enačbe 4. reda za Mindlinov pomik in dva Mindlinova zasuka. a (8) b/ b/ x φ y 3 Kirchhoffov model Slika 1. Levyjeva plošča: koordinatni sistem in smer zasukov. Ravnotežne enačbe za Kirchhoffov model so že podane v (1), konstitutivne (ki že vsebujejo kinematične enačbe) pa se lahko napišejo kot M K xx ( K K K,xx + ν w K,yy ), M = D( ν w K,xx + w K,yy ), M = D( ν ) w K, xy = D w 1 (9) yy kjer nadpis K označuje Kirchhoffove količine. Pri tej teoriji imamo le»ravnotežni«prečni sili, ki jih dobimo z vstavljanjem (9) v (1) in (1) 3 K K ( ) K K K Qx D w,x y ( ) K,x = M, Q = D w,y = M, y K Marcusov moment je zdaj M = D ( w + w ) = (1) K, xx K, yy diferencialno enačbo za pomik Kirchhoffovega modela y φ x M K = q xy. Če nesemo (1) v (1) 1, dobimo znano 4 w K = qd Enačba (11) je torej parcialna diferencialna enačba 4. reda za Kirchhoffov pomik. 1 (11) - 7 -

35 4 Povezava Mindlinovega in Kirchhoffovega modela Direktnih rešitev enačb Mindlinovega modela za pravokotne plošče v literaturi praktično ni. V tem delu uporabimo idejo Leeja et. al. [5], ki so pri reševanju Mindlinovih enačb uporabili že znane Kirchhoffove rešitve, ki so podane npr. Reddy [6]. Postopek reševanja se poenostavi, hkrati pa se lahko tudi eksplicitno pokaže hierarhičnost obeh modelov. Pristop temelji na konceptu enakosti obtežbe, t.j. na dejstvu, da obtežba q ni odvisna od M K uporabljenega modela. Iz (5) in (11) torej sledi M = M oziroma M K 4 M = M + D Φ, kjer je Φ ( x, y) funkcija, za katero velja Φ =. Zdaj lahko iz (3), (11), z gornjim izrazom za M M in z integriranjem dobimo razmerje med pomikoma kjer je ( x, y) w M = w K + K M ψ funkcija, za katero velja = 1 ( κ Gh) + ψ Φ (1) ψ. Naj bo nadalje Ω ( x, y) = ( φx,y φ y,x ) funkcija, ki zadosti enačbi (7) 1. Po enačitvi»konstitutivnih«prečnih sil () 4-5 z»ravnotežnima«(4), uporabo (1) in izraza za M M, dobimo še izraza za zasuka φ = w x φ = w y K,x K,y + D + D 1 ( κ Gh) ( Φ) + Φ ψ 1 ( Gh) ( ) κ Φ + Φ ψ c Ω, x Nadalje lahko z vstavljanjem (1) in (13) v () in z upoštevanjem (9) in (1) pridemo do izrazov za Mindlinove rezultante napetosti, ki že vsebujejo Kirchhoffove rezultante napetosti, glej Lee et al. [5]. Izrazi za Mindlinove rezultante napetosti vsebujejo, poleg Kirchhoffovih rezultant napetosti, še funkcije Φ, ψ in Ω, ki jih je potrebno določiti glede na robne pogoje in obtežbo. V nadaljevanju bomo to naredili za pravokotne Levyjeve plošče.,x,y + c Tabela 1. Tri vrste tipičnih robnih pogojev za Levyjeve plošče pri y = ±b /. Model Prostoležeč rob (trda podpora) Kirchhoffov K K = M = yy Vpeti rob (trda podpora) K =, K y Ω,y Prosti rob (13) K xy, x w w w = M = Q + M = K yy K y Mindlinov M M w M = φ = = yy x M w = φ x = φ y = M M yy = Q M y = M M xy = w K = M K yy = w K = w, K y = M K yy = Q K y + M K xy, x = 5 Rešitev za Levyjeve plošče v obliki Fourierjevih vrst Obravnavamo pravokotne plošče (slika 1), ki imajo robova pri x = in x = a prostoležeča, ostala dva robova pa poljubno podprta. Predpostavimo, da lahko opišemo obtežbo q kot m m= 1 ( x, y) = q ( y) q sinα x (14) m - 8 -

36 1 kjer je α m = mπa. Izberemo naslednje nastavke za pomika in zasuka, ki zadovoljujejo prostoležeče robne pogoje pri x = in x = a w φ x M M K K ( x, y) = W ( y) sinα x, w ( x, y) = W ( y) m= 1 ( x, y) = ϕ ( y) cosα x, φ ( x, y) = ϕ ( y) m= 1 xm m m m y m= 1 m= 1 ym m sinα x sinα x m m (15) y x y x y.6 x y x y x y x Slika Razlika med Mindlinovo in Kirchhoffovo rešitvijo za ploščo s prostim robom pri K x w, x y = ±b /. Primerjamo naslednje količine: (a) φ + (č) M xy K xy M x K x M y K y M M, (d) Q Q, (e) Q Q., (b) M xx K xx M M, (c) M yy K yy M M, Z uporabo nastavka (15) dobimo rešitev diferencialne enačbe Kirchhoffovega modela (11) q x, y največ linearna funkcija po y, velja za vsak m. Če je ( ) W K m 4 ( y) ( A + A y) cosh y + ( A + A y) sinhα y + q ( Dα ) 1 = 1m m m 3m 4m m m m α (16) kjer so A im (i=1,4) konstante, ki jih je potrebno določiti iz robnih pogojev pri y = ±b / (po dve na rob; tabela 1). Če vstavimo (16) v (15) in nato (15) v (9)-(1) imamo na voljo vse notranje sile Kirchhoffovega modela. Preostane nam, da izberemo nastavke še za preostale - 9 -

37 tri funkcije. Glede na robne pogoje pri x = in x = a ter na pogoje, ki jih morajo te funkcije izpolnjevati, imamo Φ ψ Ω ( x, y) = ( C coshα y + C sinhα y) m= 1 ( x, y) = ( C coshα y + C sinhα y) m= 1 ( x, y) = ( C sinh λ y + C coshλ y) m= 1 m = mπ / a + kjer je ( ) ay mπ 3m 5m 1m m m m 4m 6m m m m m sinα x m cosα x m sinα x λ c. Konstante C jm (j=1,6) določimo iz robnih pogojev pri y = ±b / (po tri na rob). Robni pogoji za tri tipična podprtja so podani v tabeli 1. m (17) MxxM y MxyM y QxM y QyM y MxxMh y QyMh y Slika 3. Plošča s prostim robom pri y = ±b /. Diagrami naslednjih Mindlinovih količin za b [,b / ] : (a) M M xx pri a/, (b) M M xy pri a/1, (c) M Q x pri a/1, (č) / h pri a/ in pri h=1/1, (e) / h pri a/ in pri h=1/1. M M xx Q M y M Q y pri a/, (d) 6 Robni efekti pri Mindlinovem modelu Poglejmo si primer kvadratne plošče z 1 sinusnega vala ( ) 7 a = b = 1,E = 1, ν =. 3, h = 1 in obtežbo v obliki p x, y = p sinπ xa, p = 1, pri kateri dobimo točne rešitve že za m = 1. Zanimajo nas robni efekti pri robnih pogojih iz tabele 1. Omenimo naj, da robni pogoji v tabeli 1 veljajo za za t.i. trdo prostoležečo podporo in trdo vpeto podporo. Poleg t.i. trdih podpor obstajajo tudi mehke, ki pa jih z našim pristopom k rešitvi ne moremo modelirati. Glede na [1], [3], [7] in [8] pričakujemo vpliv robnih efektov pri zasukih in vseh rezultantah napetosti. Robnih efektov za pomike ne pričakujemo, glej [1]. Kot navajajo v [7] in [8], so najmočnejši robni efekti pri prostih robovih in pri mehkih prostoležečih podporah, trdo vpeti - 3 -

38 robovi imajo šibkejši robni sloj, mehko vpeti robovi pa imajo najšibkejši robni sloj. Ravne, trdo prostoležeče podpore nimajo robnega efekta.. Slednje se potrdi tudi pri obravnavanem primeru; pri tako podprti plošči so Mindlinove rezultante napetosti enake Kirchhoffovim, razlika nastane le pri pomiku. Ravno tako za obravnavani primer velja, da prosti robovi izražajo večji robni efekt kot vpeti, kar se lepo vidi iz primerjav slik 3 in 5; na sliki 3 se vidi M zelo močan robni efekt pri M xy in obeh prečnih silah, medtem ko je na sliki 5 opaziti močan M x robni efekt le pri Q. Na slikah 3 in 5 prikazujemo tudi občutljivost dveh količin na debelino plošče h. Lepo se vidi, da je Mindlinova rešitev v večjem delu plošče praktično neodvisna od debeline, tik ob robu pa postane ta odvisnost zelo močna. To je razvidno tudi iz slik in 4, kjer primerjamo Kirchhoffovo rešitev, ki je neodvisna od debeline plošče, z Mindlinovo rešitvijo. Očitno je, da sta Kirchhoffova in Mindlinova rešitev praktično enaki v notranjosti plošče, močno pa se razlikujeta ob trdo vpetem in prostem robu y x y x y x y x y x y x Slika 4 Razlika med Mindlinovo in Kirchhoffovo rešitvijo za ploščo z vpetim robom pri M K M K M K M K y = ±b / : (a) φ +, (b) M M, (c) M M, (č) M M, (d) Q Q, M y K y (e) Q Q. K x w, x xx xx yy yy xy xy x x 7 Zaključek V članku smo predstavili (analitično) rešitev za pravokotne Levyjeve plošče po Mindlinovi teoriji, ki v sebi že vsebuje Kirchhoffovo rešitev. S tem smo si omogočili enostaven študij

39 robnih efektov pri pravokotnih Mindlinovih ploščah. Robni efekti postanejo namreč pomembni pri pripravi optimalne mreže končnih elementov, izpeljanih po Reissner- Mindlinovi teoriji MxxM QyM y y MxyM MxxMh y y QxM QyMh y y Slika 5. Plošča z vpetim robom pri y = ±b /. Diagrami naslednjih Mindlinovih količin za b [,b / ] : (a) M M xx pri a/, (b) M M xy pri a/1, (c) M Q x pri a/1, (č) / h pri a/ in pri h=1/1, (e) / h pri a/ in pri h=1/1. M M xx Q M y M Q y pri a/, (d) Literatura [1] I. Babuška, L. Li, The problem of plate modeling: Theoretical and computational results, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1, 49-73, 199. [] B. Brank, Nonlinear shell models with seven kinematic parameters, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 194, , 5. [3] A. Selman, E. Hinton, W. Atamaz-Sibai, Edge effects in Mindlin-Reissner plates using adaptive mesh refinement, Eng. Comput. 7, 17-6, 199. [4] U. Bohinc, A. Ibrahimbegović, B. Brank, Adaptive finite element modeling of plates, Proceedings of NATO ARW, Opatija, 5. [5] K.H. Lee, G.T. Lim, C.M. Wang, Thick Levy plates re-visited, Int. J. of Solids and Structures 39, ,. [6] J.N. Reddy, Theory and analysis of elastic plates, Taylor & Francis, [7] D.N. Arnold, R.S. Falk, Edge effects in the Reissner-Mindlin plate theory, Analytical and computational models for shells (A.K. Noor, T. Belytschko, J.C. Simo, uredniki), ASME, 71-9, [8] C.K. Lee, R.E. Hobbs, Automatic adaptive refinement for plate bending problems using Reissner-Mindlin plate bending elements, Int. J. Numer. Methods Engng., 41, 1-63,

40 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Napetosti v pravokotnih kompozitno laminatnih ploščah B. Brank 1 in M. Petelin Stresses in Rectangular Composite Plates Povzetek. Obravnavamo problem izračuna napetosti v kompozitno laminatnih ploščah. Omejimo se na upogib tankih, pravokotnih, simetričnih, križem armiranih laminatov, ki so prostoležeči na dveh nasprotnih si robovih, preostala dva robova pa imajo poljubno podprta. Rešitve za pomik in napetosti v ravnini plošče poiščemo po Kirchhoffovi teoriji (oz. klasični teoriji laminatov) z uporabo enojnih Fourierjevih vrst. Rešitve za prečne strižne napetosti in prečne normalne napetosti pa poiščemo a posteriori iz ravnotežnih enačb in iz robnih pogojev na stikih posameznih slojev. Prikažemo rezultate numeričnih primerov. Abstract. This paper is related to computation of stresses in laminated composite plates. We restrict ourselves to bending of thin, rectangular symmetric cross-ply lamnates, which are simply supported at two opposite edges and have arbitrary support conditions at the other two edges. We use Kirchhoff theory (i.e. classical theory of laminates) and single Fourier series to find solutions for displacement and in-plane stresses. Solutions for transverse shear stresses and transverse normal stress are obtained a posteriori from equilibrium equations and boundary conditions at layer interfaces. The results of numerical examples are presented. 1 Opis problema Zanima nas mehanika elastične, kompozitne, pravokotne plošče, ki je po svoji debelini sestavljena in N slojev različnih ortotropnih snovi. Predpostavimo, da se obnašanje takšne plošče lahko dovolj dobro opiše s Kirchhoffovo teorijo plošč oz. s t.i. klasično teorijo laminatov, glej npr. Reddy [1]. Ta predpostavka velja, če je plošča dovolj tanka. Enačbe snovi, ki pri Kirchhoffovi teoriji povezujejo rezultante napetosti na dolžinsko enoto, t.j. sile N xx,n yy, N xy in momente M xx,m yy, M xy, z deformacijami v ravnini plošče ε xx, ε yy, ε xy in z ukrivljenostmi središčne ploskve κ xx, κ yy, κ xy, lahko potem napišemo kot, glej npr. Reddy [1] 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo Primorje d.d.

41 N N N M M M xx yy xy xx yy xy A A A = B B B A A A B B B A A A B B B B B B D D D B B B D D D B B B D D D ε xx ε yy ε xy κ xx κ yy κ xy Členi gornje matrike, A ij, B ij in D ij (i,j=1,,6), so odvisni od števila in orientacije slojev laminata ter od materialnih parametrov posameznega ortotropnega sloja. Predpostavimo nadalje: (i) da je zaporedje slojev takšno, da so členi B ij, ki povezujejo raztegovanje plošče v svoji ravnini z upogibom plošče, enaki, ter (ii), da so prav tako nični členi A 16, A 6, D 16 in D 6. Ti dve predpostavki sta izpolnjeni pri simetričnih, križem armiranih laminatih z enakimi debelinami slojev, npr. pri { o,9 o, o,9 o, o } in {9 o, o,9 o } in podobnih laminatih, glej [] in sliko 1a. Ničnost členov B ij nam omogoča, da lahko problem raztegovanja in upogiba plošča razdelimo na dva medsebojno neodvisna problema. V nadaljevanju se torej posvetimo upogibu simetričnih, križem armiranih laminatov. Diferencialna enačba, ki po Kirchhoffovi teoriji opisuje upogib simetrične, križem armirane kompozitno laminatne plošče (slika 1a), je naslednja, Reddy [1] w w w D 11 + ( D1 + D66 ) + D = q( x, y) () 4 4 x x y y kjer je w prečni pomik središčne ploskve laminata, q pa je površinska obtežba, ki naj deluje na zgornji ploskvi laminata. Komponente napetosti v ravnini K-tega sloja, K [ 1,, L,N ], lahko, po rešitvi enačbe (), izračunamo iz enačb snovi, ki veljajo za sloj K ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) Q Q Q Q σ xx 11 1 κ xx 11 1 w / x ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) σ yy = z Q Q κ yy = z Q Q w / y (3) 1 1 ( K ) ( K ) σ xy ( ) Q κ xy Q w / x y K kjer členi ( K Q ) iz (3) povezujejo napetosti in ukrivljenosti v koordinatnem sistemu x,y. ij Zapišimo še rezultante napetosti (momente), ki jih dobimo z integracijo napetosti (3) po debelini plošče w w w w w M D D, M xx = yy D D =, M xy = D x y 1 + x y 66 (4) x y Zvezo med členi D ij iz () in členi ( K Q ) ij iz (3), (i,j=1,,6), bomo podali kasneje. V nadaljevanju se lotimo reševanja naslednjega problema: Za pravokotno ploščo iz tankega, simetričnega, križem armiranega laminata poišči potek vseh šestih napetosti po vseh slojih laminata in po celem območju plošče! (1)

42 V ta namen najprej rešimo diferencialno enačbo () za plošče, ki imajo dva prostoležeča in dva poljubno podprta robova, nato določimo napetosti v ravnini plošče za vsak posamezen sloj s pomočjo (3), na koncu pa iz tri-dimenzijskih ravnotežnih enačb izvrednotimo za vsak sloj še preostale tri napetosti. z x 9 b a/ a/ y x z 1 N-1 N z N+1 z N z N-1 z 3 z z 1 x Slika 1. (a) Primer simetrične, križem armirane kompozitne plošče. (b) Levyjeva plošča. (c) Koordinate stikov med sloji. Rešitev diferencialne enačbe () za Levyjeve plošče Obravnavamo pravokotne kompozitne plošče (slika 1b), ki imajo robova pri y = in y = b prostoležeča, ostala dva robova pa poljubno podprta (npr. prostoležeča, vpeta, prosta ali na elastični podlagi). Takšne plošče imenujemo tudi Levyjeve plošče. Predpostavimo, da lahko obtežbo q opišemo kot q ( x, y) = q ( x) sin βy, q ( x) = q( x, y) sinβy dy b m m m= 1 kjer je β = mπ / b. Pomik, ki zadovolji prostoležečim robnim pogojem pri y = in y = b, je w ( x, y) W ( x) sin βy = m=1 Nastavka (5) in (6) nesemo v () in se lotimo reševanja tako dobljene diferencialne enačbe za vsak m. Izkaže se, da je homogeni del rešitve odvisen od togosti plošče, glej Reddy [1]. Če vpeljimo oznaki Dˆ = ( D ) 1 + D 66 in D~ = D 11 D, se izkaže naslednje: (i) če je Dˆ > D ~, je homogeni del rešitve enak W ( x) A coshλ x + B sinhλ x + C coshλ x + D sinh x h m m 1 m 1 m 3 m λ3 m b = (7) β = Dˆ Dˆ D ~ kjer je ( λ 1) in ( ) 3 + D 11 W h m β λ = Dˆ Dˆ D ~ ; (ii) če velja Dˆ = D ~, je D 11 ( x) ( A + B x) coshλ x + ( C + D x) sinh λx = (8) m β Dˆ kjer je λ = ; (iii) če pa je Dˆ < D ~, je homogeni del rešitve enak D 11 m m m (5) (6)

43 W ( x) ( A cos λ x + B sin λ x) coshλ x + ( C cos λ x + D sin λ x) sinh x h m m m 1 m m λ1 = (9) kjer je ( λ β ) = D ~ Dˆ 1 D 11 in ( ) β λ = D ~ Dˆ. Konstante A m,bm,cm, Dm D 11 določimo iz robnih pogojev pri x = ±a /. Kadar je nadalje obtežba q največ linearna po x, ima partikularna rešitev enačbe (3) enostavno obliko. Za vsak m namreč velja W p m q = (1) D β m ( x) 4 m S pomočjo gornjih enačb torej določimo pomik središčne ploskve w za pravokotne plošče, ki so prostoležeče podprte na dveh nasprotnih si robovih in poljubno podprte na ostali dveh robovih. 3 Togost kompozitnega laminata pri upogibu Poglejmo, kako določimo člene D ij (i,j=1,,6) iz enačbe (1), ki jih potrebujemo pri reševanju enačbe (). Ortotropni material K-tega sloja, K [ 1,, L,N ], kompozitno laminatne plošče je pri Kirchhoffovi teoriji določen z naslednjimi štirimi parametri, npr. []: močnejšim elastičnim modulom E 1, šibkejšim elastičnim modulom E, Poissonovim količnikom v ravnini plošče ν 1 ter strižnim modulom v ravnini plošče G 1. S temi parametri lahko določimo koeficiente E1 ν1e ν 1E1 E Q 11 =, Q1 = =, Q =, Q66 = G 1 ν ν 1 ν ν 1 ν ν 1 ν ν kjer je ν 1 = ν1e / E1. Pri križem armiranih laminatih ima kot θ, ki je kot med smerjo močnejšega elastičnega modula ter geometrijsko osjo x (slika 1a), lahko le vrednosti in 9. Členi iz enačbe (3) so v tem primeru, glej npr. [1], Q Q 11 = Q 11 = Q 4 cos θ + Q 4 cos θ + Q sin θ, 4 sin θ, Q Q 1 66 = Q 1 = Q Členi D ij (i,j=1,,6) sledijo iz (1) in takšne integracije (3), ki vodi k momentom (4) ( K 3 )( z z ) (11) (1) N 1 3 ij = ij K 1 K 3 Q + (13) K = 1 D Koordinate z K in z K + 1 so razvidne iz slike 1c. S pomočjo (11)-(13) torej pridemo do členov D ij, ki se nanašajo na togost kompozitnega laminata pri upogibu, glej (1). 4 Izračun napetosti po slojih Napetosti v ravnini plošče za sloj K [ 1,, L,N ] izračunamo iz enačbe (3). Za določitev ostalih treh komponent pa uporabimo tri-dimenzijske ravnotežne enačbe. Po njihovi integraciji po vsakem sloju (za oznake koordinat glej sliko 1c), dobimo

44 σ z z σ σ σ σ xz = 1 yz + x y x y zk zk ( K ) xx xy ( K ) ( ) ( K ) xy yy dz C x, y, dz C ( K + + σ = + ) ( x, y) z ( K ) σ σ xz yz dz C ( K σ ) zz = ( x, y) x y (14) zk ( K ) ( ) ( K ) ( ) ( K x, y,c x, y,c ) ( x, y) kjer so C1 3 neznane funkcije, z K pa je koordinata spodnjega roba sloja K, z z. Če integrale v (14) izvrednotimo glede na (3), imamo σ σ σ K ( K ) ( )[ ] ( K ) ( K ) xz ( K ) ( )[ ] ( K ) ( K ) yz ( K ) ( ) ( )[ ] ( K ) zz 1 = 1 = ( z z ) K z z z z K K 1 = z z 6 K Q Q 11 11,Q,Q 1 1 z + z + Q + Q ( K ) ( K C C ) 1 ( K + + C ) 3 x y K Q ,Q 3 3 w w, 3 x x y 3 3 w w, 3 y y x, Q 1 + 4Q 66 T T + C 1 + C w w w,, 4 4 x y x y Za izračun prečnih strižnih in prečne normalne napetosti je torej potrebno določiti 3N neznanih funkcij. Lahko ugotovimo, da imamo N+1 pogojev, ki zagotavljajo enakost strižnih napetosti σ xz na stikih med sloji in določajo vrednost σ xz na spodnjem in na zgornjem robu plošče (glej npr. Carrera [3]), ter prav tako N+1 pogojev, ki zagotavljajo enakost strižnih napetosti σ yz na stikih med sloji in določajo σ yz na spodnjem in na zgornjem robu plošče K = 1: K 1 N K = N : σ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) xz z1 =, σ xz z = σ xz z & σ yz z1 =, σ yz z = σ yz ( z ) : ( K ) ( ) ( K + 1 ) ( ) ( K ) ( ) ( K + 1 σ ) xz zk + 1 = σ xz zk + 1 & σ yz zk + 1 = σ yz ( zk + 1) ( N ) ( ) = ( N z & ) ( z ) = σ xz N + 1 σ yz N + 1 Pri tem smo s K=1 označili spodnji sloj, s K=N pa vrhnji (zgornji) sloj laminata. Imamo torej N neznanih funkcij C ( K ) 1 ( x, y) in N neznanih funkcij C ( K ) ( x, y) ter (N+1) enačb za njihovo določitev. Enačbi na spodnjem robu (pri z 1 ) pri določevanju funkcij izpustimo. Izkaže se, da se kjub temu ohrani simetrija strižnih napetosti glede na z in da sta enačbi ( 1 ) ( ) ( 1 σ z = σ ) ( z ) = zadoščeni. xz 1 yz 1 T (15) (16)

45 po debelini z po debelini z - -1 po debelini z po debelini z po debelini Slika. Prostoležeča trislojna plošča (a/h=4) s kosinusno obtežbo. Napetosti po debelini pri x=a/, y=, razen pri σ yz, ki je izvrednotena pri x=a/, y=b/. z -4 po debelini z po debelini z po debelini z Slika 3. Prostoležeča trislojna plošča (a/h=1) s kosinusno obtežbo. Napetosti po debelini pri x=a/, y=, razen pri σ, ki je izvrednotena pri x=a/, y=b/. yz Poglejmo si še N+1 pogojev za N neznanih funkcij K = 1: K 1 N K = N : σ ( ) ( x, y) C K 3 ( 1 ) zz ( z1 ) = ( K )( ) ( K + 1 : σ z )( z ) zz K + 1 = σ zz K + 1 ( N ) ( z ) = q σ zz N + 1 (17)

46 V tem primeru uporabimo enačbe (17) 1 in (17), torej skupaj N enačb za N funkcij. Dodatno enačbo (17) 3 upoštevamo s tem, da dobljene rešitve za σ zz preslikamo tako, da je napetost σ zz na zgornjem robu enaka -q. po debelini z - -4 po debelini z po debelini z po debelini z Slika 4. Prostoležeča petslojna plošča (a/h=1) s kosinusno obtežbo. Napetosti po debelini pri x=a/, y=, razen pri σ, ki je izvrednotena pri x=a/, y=b/. yz 5 Računski primeri Za računski primer si najprej izberemo troslojno prostoležečo ploščo z orientacijo slojev {9 / /9 }, kjer ti koti podajajo smer med x osjo in smerjo močnejšega elastičnega modula E 1. Sloji imajo enako debelino {h/3,h/3,h/3}, plošča pa ima dimenzijo a=8 v x smeri mnogo večjo od tiste v y smeri, b=4. Obravnavamo dve debelini plošče: (i) h=1, takrat je a/h=4, torej gre za debelo ploščo, in (ii) q = q sin πy / b, kjer je h=.4, takrat je a/h=1. Plošča je obremenjena s sinusno obtežbo ( ) q =1. Materialni parametri so E 1 =174.6, E =7, G 1 =3.5 in ν 1 =. 5, iz česar izračunamo D 11 =14.63, D 1 =.146, D =1.13 in D 66 =.91. Podatki so povzeti po Paganu [5], ki podaja točne (tri-dimenzijske) in Kirchhoffove rešitve za cilindrični upogib takšne plošče; plošča je v njegovem primeru v smeri x neskončno dolga, v smeri y pa prostoležeče podprta. V našem izračunu dobimo točne Kirchhoffove rezultate že za en sam člen (m=1). Na sliki prikazujemo napetosti za debelejšo ploščo, na sliki 3 pa napetosti za tanjšo ploščo. Ker je b/a=7, lahko rezultate pri x=a/ primerjamo s Paganovimi [5]. Čeprav tega eksplicitno ne prikažemo na slikah in 3, so naši rezultati enaki Kirchhoffovim rešitvam, ki jih je podal Pagano [5], in tembolj odstopajo od točne, tridimenzijske rešitve [5], čimdebelejša je plošča

47 Za naslednji računski primer si izberemo petslojno ploščo z orientacijo slojev {9 / /9 }. Sloji imajo enako debelino {h/5,h/5,h/5, h/5,h/5}, plošča pa ima zopet dimenziji a=8 in b=4. Rešitve so prikazana na sliki 4. 6 Zaključek Čeprav so prečne strižne napetosti in prečna normalna napetost v laminatih mnogo manjše od napetosti v ravnini laminata, je zelo veliko strokovne literature, glej npr. []-[6] in tamkajšnje reference, posvečeno zanesljivemu izračunu teh napetosti; to pa zato, ker so to napetosti, ki povzročajo delaminacijo v laminatu in s tem tudi možno porušitev. Standarden pristop k njihovemu izračunu pri analizi laminatov z metodo končnih elementov je a posteriori izračun iz ravnotežnih enačb, ki daje bolj zanesljive rešitve, kot izračun napetosti na podlagi enačb snovi teorije laminatnih plošč in celo bolj zanesljive rešitve, kot pristop z vnaprej predpostavljeno obliko strižnih napetosti v vsakem sloju (t.i.»assumed stress«koncept), npr. [6]. Kjub temu, da je a posteriori ideja za izračun napetosti pri analizi z metodo končnih elementov zelo enostavna in jasna, je implementacija, še posebej za končne elemente nižjega reda (npr. z bi-linearno interpolacijo pomikov), dokaj zahtevna. V tem članku smo se zato lotili izračuna prečnih strižnih napetosti in prečne normalne napetosti na semi-analitičen način, s katerim pridemo do rešitev v obliki enojne Fourierjeve vrste. Postopek, ki smo ga prikazali, je veljaven za izračunu napetosti v tankih, simetričnih in križem armiranih laminatih, ki imajo dva robova prostoležeča, dva pa poljubno podprta. Če pripadajoče enačbe sprogramiramo npr. v Mathematici, pridemo do enostavnega orodja za hitro izvrednotenje napetosti v takšnih laminatih. Če tej analizi dodamo še porušitveni kriterij (npr. Tsai-Hillov, Hoffmanov, Tsai-Wujev, Hashinov, glej npr. [], [7]) lahko ocenimo varnost takšnega laminata glede na delaminacijo. Prikazani pristop je seveda omejen na določen tip laminatov in na določene tipe plošč in daje zadovoljive rezultate pri tankih laminatih, ki jih lahko računamo po Kirchhoffovi teoriji (oziroma klasični teoriji laminatov), glej Reddy [1]. Literatura [1] J.N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates. Theory and Analysis, CRC press,. [] R.F. Gibson, Principles of Composite Material Mechanics, McGraw-Hill, [3] E. Carrera, C z requirements models for the two dimensional analysis of multilayered structures, Composite Structures, 37, , [4] Y. Basar, M. Itskov, A. Eckstein, Composite laminates: Nonlinear interlaminar stress analysis by multi-layer shell elements, Comp. Methods Appl. Mech. Engng., 185, ,. [5] N.J. Pagano, Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending, J. Composite Materials, 3, , [6] B. Brank, On composite shell models with a piecewise linear warping function, Composite Structures, 59, , 3. [7] M. Petelin, Program za analizo nosilnosti in trdnosti kompozitno laminatnih plošč, diplomska naloga na UL, FGG,

48 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Veliki premiki nelinearno elastičnih nosilcev neprizmatičnih oblik M. Brojan 1, F. Kosel, T. Videnič 3 Large deflections of nonlinearly elastic beams of non-prismatic shape Povzetek. V sestavku je predstavljena analiza velikih premikov konzolno vpetega nosilca, ki ima pravokoten prečni prerez, konstantno širino in vzdolž osi spremenljivo višino. Nosilec je sestavljen iz nelinearno elastičnega gradiva. Nelinearna zveza med napetostjo in deformacijo je različna v tlačnem in nateznem območju nosilca. Glavni cilj tega sestavka je raziskati vpliv geometrijskih in materialnih nelinearnosti na obliko upogibnice. Abstract. The article presents large deflection analysis of cantilever beam with rectangular crosssection of constant width and variable height along the axial line of the beam. The material of which the beam is constructed is of nonlinearly elastic material. Different nonlinear relations between stress and strain in tensile and compressive domain is considered. The main purpose of this paper is to investigate the influence of geometry of the beam and material nonlinearities on the shape of the deflection curve. 1 Uvod Napredek tehnologije omogoča uporabo vedno več gradiv od katerih zahtevamo čimvečjo upogljivost v elastičnem območju. V praksi so takšna gradiva uporabna za izdelavo različnih elementov s specifičnimi mehanskimi lastnostmi, kot so n.pr. vzmeti, vezni členi, stikala, antene, itn. Za potrebe v praksi jih največkrat obravnavamo kot idealno elastična. Večina raziskav s področja idealno elastičnih gradiv je objavljenih na temo linearne elastičnosti, n.pr. [1], []. Skupaj s povečanim zanimanjem za uporabo kompozitnih in polimernih gradiv prihaja predvsem v zadnjem času do čedalje večjega števila objav tudi na temo nelinearno elastičnih gradiv, n.pr. [3]-[1]. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, miha.brojan@fs.uni-lj.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, franc.kosel@fs.uni-lj.si 3 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, tomaz.videnic@fs.uni-lj.si

49 Kuhljevi dnevi 5 V tem sestavku bomo obravnavali upogib konzolno vpetega nosilca, ki je na prostem koncu obremenjen s konstantnim upogibnim momentom. Napetostno stanje v celotnem polju nosilca je vseskozi v elastičnem območju. Reološki model gradiva nosilca je izbran tako, da je zveza med napetostnim in deformacijskim stanjem nelinearna v celotnem elastičnem območju. Nelinearna zveza med napetostjo in deformacijo je različna za natezni del nosilca glede na tlačno obremenjeni del. Nosilec ima na začetku ravno os, širina prečnega prereza je konstantna, vzdolž svoje osi pa ima spremenljivo višino, sliki 1 in 3. Raziskali bomo vpliv materialnih in geometrijskih nelinearnosti na premično stanje nosilca. Definicija problema Nosilec, ki je deloma opisan že v uvodu, dolžine L, je na prostem koncu obremenjen z upogibnim momentom M e, slika 1. Kartezični koordinatni sistem x, y izberemo tako, da abscisa sovpada z nedeformirano osjo nosilca, koordinatno izhodišče pa je na mestu vpetja nosilca. L x s hs s h e y Slika 1: Krivljenje neprizmatičnega nosilca M e Krivočrtno koordinato, ki sledi osi nosilca, označimo z s, ( s L), z ϑ(s) pa kot med tangento na nevtralno os nosilca in pozitivno x-os v točki s. Nosilec ima pravokoten prerez konstantne širine a in spremenljive višine, pri čemer h(s) označuje višino prereza v točki s. S h e označimo višino nosilca na prostem koncu. Gradivo, ki sestavlja nosilec, je nelinearno elastično. Zvezo med napetostjo in deformacijo opišemo z naslednjo enačbo σ = { En ε n 1/kn ; ε, E t ε t 1/kt ; ε <, (1) kjer sta E n, E t elastična modula, k n, k t pa konstanti, ki aproksimirata nelinearno zvezo, ki sledi eksperimentalno določeni krivulji, med napetostjo in deformacijo v nateznem in tlačnem območju. 3 Osnovne enačbe Predpostavili bomo še, da je konstrukcijski element nestisljiv, da je nosilec dovolj vitek tako, da lahko strižne sile v primerjavi z osnimi zanemarimo ter, da velja Bernoullijeva hipoteza o ravnih prerezih

50 Kuhljevi dnevi 5 Slika prikazuje infinitezimalen element deformiranega nosilca. y y dy M x s dx ds s x M dm Slika : Infinitezimalni element nosilca Ravnotežje notranjih upogibnih momentov zapišemo s slike, Robni pogoji za konzolo na sliki 1 so in dodatno dm =. () ϑ(s) =, (3) M(s = L) = M e (4) y(s = ) =, (5) x(s = ) =. (6) Z integriranjem enačbe () in upoštevanjem robnega pogoja (4) dobimo M(s) = M e. (7) Ker smo predpostavili, da je nelinearna zveza med napetostjo in deformacijo v tlačnem in nateznem območju nosilca različna, nevtralna os in os, ki gre skozi težišče, ne sovpadata. Na sliki 3 je s T označeno težišče prereza in s T točka na nevtralni osi nosilca. hs h n s h s t n M t a T y,y Slika 3: Pravokotni prerez nosilca T T z T z Nevtralna os se nahaja na razdalji h n (s) od zgornje (natezne) ploskve oz. h t (s) od spodnje (tlačne) ploskve nosilca, slika 3. Očitno je h n (s) + h t (s) = h(s). (8)

51 Kuhljevi dnevi 5 Vzdolžno obliko nosilca bomo opisali z enačbo h(s) = h e s L + c j (L s) j, (9) kjer so c j koeficienti oblike nosilca. j=1 L j Notranji upogibni moment v poljubni točki prereza je enak M = σyda, (1) kjer je σ ustrezna napetost, En. (1). Z upoštevanjem enačb (7)-(9) in izraza, ki povezuje ukrivljenost z deformacijo, t.j. ε = ρ 1 y, (11) dobimo v enačbi (1) naslednje kjer sta A M e = E n I n (s) + E t I t (s), (1) k n I n (s) = k n + 1 h n(s) (kn+1)/kn a, I t (s) = k t k t + 1 h t(s) (kt+1)/kt a. V enačbah (8) in (1) najdemo tri neznanke, t.j. h n (s), h t (s) in ρ(s). Za enolično rešitev potrebujemo še dodatno enačbo. Ker nosilec ni osno obremenjen, so normalne napetosti v osni smeri enake, torej σda =. (13) Z upoštevanjem enačb (1), (8), (11) in (13), dobimo kjer sta A E n S n (s) + E t S t (s) =, (14) k n S n (s) = k n + 1 h n(s) (kn+1)/kn a, k t S t (s) = k t + 1 h t(s) (kt+1)/kt a. Opomba: Pri določitvi enačb (1) in (14) smo upoštevali, da je ρ(s), za vsak s, s L. Rešiti je torej potrebno sistem enačb (8), (1), (14). Z uporabo eksaktnega izraza za ukrivljenost 1 ρ(s) = dϑ(s) ds,

52 Kuhljevi dnevi 5 robnih pogojev (5), (6), geometrijskih zvez (slika ) dy = sin ϑ(s), ds dx = cos ϑ(s), ds dobimo koordinate točk na nevtralni osi deformiranega nosilca v kartezičnem koordinatnem sistemu. 4 Rezultati in diskusija Za ilustracijo bomo pokazali primera nosilcev različnih oblik, ki sta sestavljena iz nelinearnih gradiv, ki jih opišejo kombinacije konstant v tabeli 1. Diagrame, ki opišejo velike premike konzolno vpetega nosilca, najdemo na slikah 4 in 5. Tabela 1: Materialne konstante Kombinacija t 1 t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 k n k t E n = MPa E t = MPa Obravnavali bomo nosilec, dolžine L = 1 m, konstantne širine a =.5 m. Višina noslica na prostem koncu bo za prvi primer h e =. m, za drugi primer pa h e =.1 m. Koeficienti, ki določajo obliko nosilca, so za oba numerična primera podana v tabeli. Tabela : Koeficienti oblike nosilca Primer c 1 c c 3 c 4... c Nosilci so obremenjeni s tremi različnimi upogibnimi momenti: M e1 =.1 knm, M e = 5. knm in M e3 = 3. knm. Ker je očitno, da povečanje vrednosti modulov elastičnosti E n in E t zmanjša upogibne deformacije, modulov elastičnosti nismo spreminjali. 4.1 Primer 1 V prvem primeru obravnavamo nosilce konstantnega pravokotnega prereza, tabela, primer 1. Na sliki 4 so predstavljeni diagrami upogibnic nosilcev s kombinacijami koeficientov t 1 - t 5, ki so obremenjeni z momenti M e1, M e in M e3. Za lažjo primerjavo izberemo materialne koeficiente k n in k t tako, da je v vsaki kombinaciji t 1 -t 5 vsaj eden od obeh koeficientov enak 1., t.j. vsaj v enem od obeh območij (natezno oziroma tlačno območje) nosilca se gradivo obnaša kot linenarno elastično

53 Kuhljevi dnevi 5 Za primerjavo smo dodali tudi nosilec, ki je sestavljen iz linearno elastičnega gradiva, t.j. kombinacija konstant t 3. Posebej v tem primeru je upogibnice mogoče določiti tudi analitično..1 M e. y L M e M e M e x L Slika 4: Upogibnice za primer t t t t t 1 Z diagramov na sliki 4 sledi, da povečanje koeficientov k n in k t zmanjšuje deformacijo nosilca. Neposredno iz primerjave krivulj t 1 in t oziroma t 4 in t 5 sledi tudi že prej omenjena opomba, da imata pri deformaciji pomembno vlogo tudi oba elastična modula E n in E t, tabela 1. V vseh primerih je radij ukrivljenosti konstanten. 4. Primer V drugem primeru obravnavamo splošnejšo obliko nosilca, tabela, primer. Na sliki 5 so prikazani diagrami upogibnic nosilcev t 1 -t 7. Sedaj radij ukrivljenosti ni več konstanten. Geometrija nosilca v tem primeru omogoča zmanjševanje radija ukrivljenosti proti prostem koncu konzolno vpetega nosilca. Za deformacije nosilcev t 1 -t 5 velja podobno kot prej. Pri deformacijah nosilcev t 6 in t 7, v katerih se gradivo v nateznem in tlačnem območju obnaša nelinearno elastično, pa opazimo kot že pri prejšnjem primeru, da je deformacija nosilca t 6 manjša od deformacije nosilca t 7, saj je modul elastičnosti E n v natezni coni večji od modula elastičnosti E t v tlačni coni. Zanimivo pa je, da je deformacija nosilca t 3 manjša od deformacije nosilcev t 6 in t 7 pri obremenitvi z upogibnim momentom M e3. Pri obremenitvi z M e je deformacija nosilca t 3 večja od deformacije nosilca t 6 in manjša od deformacije nosilca t 7. Pri obremenitvi z momentom M e3 pa je deformacija nosilca t 3 večja tako od t 6 kot tudi od t

54 Kuhljevi dnevi 5 M e y L t t t t t t t M e M e M e x L. Slika 5: Upogibnice za primer 5 Zaključek V prispevku je obravnavana analiza velikih premikov konzolno vpetega nosilca pravokotnega prereza, ki ima spremenljivo višino in je obremenjen z upogibnim momentom, ki deluje v eni ravnini na prostem koncu nosilca. Gradivo iz katerega je nosilec sestavljen je nelienarno elastično. Nelinearna zveza med napetostjo in deformacijo je za natezni del nosilca drugačna kot za tlačno obremenjeni del. Vpliv materialnih in geometrijskih nelinearnosti na premično stanje nosilca smo preverili na dveh primerih oblik nosilcev za sedem različnih kombinacij materialnih konstant k n in k t. Modulov elastičnosti E n in E t nismo spreminjali. Analiza, ki smo jo predstavili je primerna za obravnavo poljubne nelinearne zveze med napetostjo in deformacijo, oblike σ = f(ε), kjer je f neka nelinearna funkcija, ki jo določimo s pomočjo mehanskih poskusov, n.pr. nateznega oziroma tlačnega testa. Literatura [1] B.K. Lee, J.F. Wilson, S.J. Oh, Elastica of cantilevered beams with variable cross sections, Int. J. of Non-Linear Mech. 8 (1993) [] G. Baker, On the Large Deflections of Non-prismatic Cantilevers with a Finite Depth, Comput. Strct. 46 (1993) [3] J.T. Oden, S.B. Childs, Finite deflections of a nonlinearly elastic bar, J. Appl. Mech. 69 (197)

55 Kuhljevi dnevi 5 [4] G. Prathap, T.K. Varadan, The inelastic large deformation of beams, J. Appl. Mech. 43 (1976) [5] C.C. Lo, S. Das Gupta, Bending of a Nonlinear Rectangular Beam in Large Deflection, J. Appl. Mech. 45 (1978) [6] G. Lewis, F. Monasa, Large deflections of cantilever beams of non-linear materials of the Ludwick type subjected to an end moment, Int. J. Non-Linear Mech. 17 (198) 1-6. [7] A.N. Kounadis, J.G. Mallis, Elastica type buckling analysis of bars from non-linearly elastic material, Int. J. of Non-Linear Mech. (1987) [8] D.G. Fertis, C.T. Lee, Inelastic analysis of flexible bars using simplified nonlinear equivalent systems, Comput. Strct. 41 (1991) [9] D.G. Fertis, Nonlinear Mechanics, second ed., CRC Press, Boca Raton, [1] K. Lee, Large deflections of cantilever beams of non-linear elastic material under a combined loading, Int. J. Non-Linear Mech. 37 ()

56 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Identifikacija dinamskih lastnosti spojev z uporabo frekvenčnih prenosnih funkcij D. Čelič 1 in M. Boltežar Identification of joint dynamic properties using frequency response functions Povzetek. Spoje je zelo težko modelirati analitično. Obetavna alternativa je identifikacija spojev na osnovi eksperimentalnih podatkov. V tem delu je predstavljena izboljšana metoda za identifikacijo lastnosti spojev, ki se poslužuje izmerjenih frekvenčnih prenosnih funkcij (FRF). Prednost predstavljene metode je v tem, da upošteva tudi rotacijske prostostne stopnje na spojih. Veljavnost metode je preverjena na analitičnem primeru. Abstract. Dynamic properties of joints are extremely difficult to model accurately by using a pure analytical approach. Alternatively, joint properties can be extracted from experimental data. An improved method for identifying (extracting) joint properties from the measured frequency response function (FRF) data is presented in this paper. Not only translational, but also rotational degrees of freedom (RDOFs) are considered in the identification process. The validity of the proposed method is demonstrated analytically. 1 Uvod Pri modeliranju prenosa vibracij preko kompleksnih sestavov predstavljajo spoji največje težave. Posamezne komponente sestava lahko analitično oz. numerično zadovoljivo popišemo, modeliranje spojev pa še vedno predstavlja velik izziv. Odzivne karakteristike sestava, kot npr. frekvenčne prenosne funkcije (ang.: Frequency Response Function - FRF), lahko analitično ali numerično napovemo le v primeru, ko poznamo parametre spojev v sestavu. Pri identifikaciji lastnosti spojev je torej potrebno zadosti natančno oceniti parametre spojev, da se numerična oz. analitična rešitev minimalno razlikuje od izmerjenih vrednosti. Glavna parametra, ki ju obravnavamo v strukturni dinamiki, sta togost in dušenje spoja. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

57 Kuhljevi dnevi 5 Numerični (FE) modeli navadno ne vključujejo negotovosti, ki se pojavljajo pri spojih, to je spremenljivosti lastnosti spojev, spremenljivosti robnih pogojev in nelinearnosti spojev. Posledica tega je, da se numerično izračunane vrednosti pogosto razlikujejo od izmerjenih vrednosti. Dinamske lastnosti spojev je težko modelirati analitično. Model spoja lahko zasnujemo tudi z uporabo eksperimentalnega pristopa, to je izražanja modalnih parametrov iz eksperimentalnih podatkov s pomočjo tehnik za identifikacijo spojev. Osnovna strategija pri večini FRF metod za identifikacijo dinamskih lastnosti spojev [1 5] je merjenje dinamskega odziva sistema brez spojev (osnovni sistem) in merjenje dinamskega odziva s spoji (sestavljeni sistem). Razlika med dinamskimi odzivi sistemov je posledica spojev. Pri realnih problemih na razliko vplivajo tudi merilne napake in negotovost parametrov obeh sistemov. Mnoge identifikacijske procedure zato predpostavljajo konstantnost identificiranih parametrov. Če želimo model, ki smo ga postavili na osnovi meritev na eni strukturi, uporabiti za simuliranje nekoliko drugačne strukture, se lahko pojavijo velike neskladnosti [3]. V tem delu bo predstavljena nova metoda za identifikacijo linearnih spojev, ki sicer bazira na Renovi metodi [1], vendar se ne omeji zgolj na translatorne, temveč upošteva tudi rotacijske prostostne stopnje (ang.: Rotational Degrees Of Freedom) na spoju. Verifikacija predstavljene metode bo izvedena na analitičnem primeru. Identifikacija linearnih spojev Pri dinamsko vzbujanih sestavih je zveza med vzbujanjem in odzivom strukture nosilec strukturnih informacij. Potemtakem je možno na podlagi zveze med vzbujanji in odzivi na sestavu identificirati tudi lastnosti spojev. Čeprav so spoji v splošnem nelinearne narave, se v primeru nihanj z majhnimi amplitudami obnašajo kot linearni elementi [6]. Vsekakor je potrebno najprej osvojiti principe identifikacije parametrov linearnih spojev, šele potem pa lahko pridobljena znanja uporabimo tudi pri identifikaciji parametrov nelinearnih spojev. Metode za identifikacijo parametrov linearnih spojev se v grobem delijo na direktne in indirektne. Za prve je značilno, da izrabljajo izmerjene frekvenčne prenosne funkcije (FRF) direktno, medtem ko indirektne najprej iz FRF podatkov pridobijo modalne lastnosti sistema, potem pa na osnovi le-teh identificirajo še lastnosti spojev. Pri metodah, ki se poslužujejo modalnih podatkov, je navadno potreben še MKE model. Osnovni princip je minimizacija razlike med izračunanimi in predvidenimi lastnimi oblikami in frekvencami s prilagajanjem parametrov spojev. Osnovna strategija metod, ki se poslužujejo FRF podatkov, pa je zmanjšanje razlik med izmerjenimi in napovedanimi odzivi sestava. Za izvedbo identifikacije parametrov spojev sta potrebna dva seta podatkov: prvi vsebuje lastnosti sistema brez spojev (podstrukturni sistem), drugi pa vsebuje lastnosti sistema z vključenimi spoji (sestavljen sistem oz. sestav). Razlika med sistemoma je posledica vpliva spojev. Navadno se podatki na sestavu izmerijo, medtem ko so lahko podatki na podstrukturah pridobljeni bodisi eksperimentalno, bodisi numerično na osnovi FE modela. Kadar želimo identificirati dejanske lastnosti spoja, je bolj priporočljiva uporaba eksperimentalnih podatkov, saj slednji najbolje popišejo dejansko stanje

58 Kuhljevi dnevi 5 Pri identifikaciji linearnih spojev predpostavimo, da so dinamske karakteristike spojev linearne in jih je možno predstaviti v obliki togostnih, masnih in dušilnih matrik..1 Posplošena metoda za identifikacijo linearnih spojev Če želimo identificirati parametre na realnem sistemu, se moramo vedno opirati na eksperimentalne podatke. Le-ti so navadno v obliki frekvenčnih prenosnih funkcij (FRF). V splošnem je FRF definirana kot razmerje med izhodnim signalom oz. odzivom sistema in vhodnim signalom oz. vzbujanjem. Odzivi se pojavljajo v različnih oblikah (sila, pomik, pospešek), zato obstaja tudi več oblik FRF. Eksperimentalno je najbolj prikladno merjenje pospeškov s pomočjo pospeškomerov. To je tudi glavni razlog, da so FRF navadno v obliki akceleranc (ang.: Accelerance). Akceleranca sistema je definirana kot A(ω) = F (a(t)) F ( f (t)), (1) pri čemer je a(t) odziv v obliki pomika, f (t) vzbujanje v obliki sile, F pa označuje diskretno Fourierovo transformacijo. Pri izpeljavi metode za identifikacijo spojev moramo upoštevati kompatibilnostne pogoje, ki se navezujejo na pomike, zato je smiseln zapis FRF v obliki receptanc. Receptanca sistema je definirana kot H(ω) = F (x(t)) F ( f (t)), () pri čemer je x(t) odziv v obliki pomika, f (t) pa vzbujanje v obliki sile. Formula za transformacijo izmerjenih akceleranc v receptance je dostopna v literaturi [7]. Sestavljeno strukturo obravnavamo s pomočjo treh sistemov. Prvi sistem obsega vse posamezne komponente sestava, v drugem sistemu so vključeni vsi spoji strukture, tretji sistem pa je sestavljen iz prvih dveh, in predstavlja spojen sestav. Vsi trije sistemi so prikazani na sliki 1. Slika 1 : Sistemi pri identifikaciji spojev [3] Na sistemu komponent ločimo dve območji: območje vezano na spoje, ter območje, ki ni vezano na spoje. Koordinate v ustreznih območjih poimenujemo koordinate na spojih in notranje koordinate, predstavimo pa jih z indeksoma b in a. Območji na spojenem sestavu, ki ustrezata območjema a in b na sistemu komponent, sta označeni z indeksoma n in j. Sistem spojev pa je označen z indeksom c

59 Kuhljevi dnevi 5 Zveze med vektorji pomika in vektorji sil so za spojen sestav in sistem komponent podane z izrazi X n TT nn TT n j TR n j f n X j = TT jn TT j j TR j j f j (3) RT jn RT j j RR j j in Θ j X a X b Θ b = TT aa TT ab TR ab TT ba TT bb TR bb RT ba RT bb RR bb kjer so TT receptančne matrike, ki se navezujejo na translacijo, TR receptančne matrike, ki se navezujejo na translacijo in rotacijo, RR receptančne matrike, ki se navezujejo na rotacijo, X vektorji pomikov, Θ vektorji zasukov, f vektorji sil, m pa vektorji momentov. Oznake receptančnih matrik so povzete po Yangu [8]. Karakteristiko sistema spojev lahko predstavimo s pomočjo izraza: { } [ ]{ } fc ZT = T Z T R Xc, (5) m c Z RT pri čemer so Z T T, Z T R, Z RT in Z RR podmatrike impedančne 3 matrike sistema spojev Z j. Notranje koordinate so na sistemu komponent in na spojenem sestavu identične, zato velja Z RR Pogoji kompatibilnosti in ravnotežja na koordinatah spojev so { } { } { } { } fb fc f + = j X in j = m b m c m j Θ j Θ c m j f a f b m b f a = f n in X a = X n. (6) { Xb Θ b } = { Xc Θ c (4) }. (7) Ko v izrazu (4) upoštevamo pogoje (6) in (7), dobimo izraz za pomike in zasuke na sistemu spojev { } { } [ ] [ ]{ } Xc Xb TTba TTbb TR = = f Θ c RT a + bb fb. (8) ba RT bb RR bb m b Θ b Če upoštevamo še karakteristiko sistema spojev (5), lahko zapišemo { } } ] [ (f j f b ) TTbb f (m j m b ) a + Z j = Z j { Xc Θ c = Z j [ TTba RT ba RT bb TR bb RR bb ]{ fb m b }. (9) Po ureditvi izraza (9) dobimo izraz za sile in momente na koordinatah spojev { fb m b } ( ( TTbb = I + Z j Izraz (4) lahko prepišemo v obliko RT bb 3 Impedanca je inverz receptance ( Z = H 1 ) TR bb RR bb )) 1 ({ } [ f j TTba Z m j j RT ba ]f a ). (1) - 5 -

60 Kuhljevi dnevi 5 X a X b Θ b = TT aa TT ba RT ba f a + TT ab TT bb RT bb TR ab TR bb RR bb } { fb m b, (11) po vstavitvi izraza (1) in upoštevanju karakteristike spojenega sestava (3) v (11) pa sledi še ter TT nn TT aa TT jn = TT ba RT jn RT ba TT n j TT j j RT j j TR n j TR j j RR j j TT ab TT bb RT bb = TR ab TR bb RR bb TT ab TT bb RT bb ( [ TTbb I + Z j TR ab TR bb RR bb RT bb TR bb RR bb ( [ TTbb I + Z j RT bb ]) 1 [ ] TTba Z j, (1) TR bb RR bb RT ba ]) 1. (13) Končno še povežemo izraza (1) in (13), ter dobimo TT nn TT aa TT jn RT jn = TT ba RT ba TT n j TT j j RT j j TR n j TR j j RR j j [ ] TTba Z j RT ba, (14) oziroma TT aa TT nn TT ba TT jn RT ba RT jn = TT n j TT j j RT j j TR n j TR j j RR j j [ ] TTba Z j RT ba. (15) Izraz (15) je osnova za identifikacijo impedančne matrike sistema spojev Z j. Ločevanje med koordinatami na spojih in notranjimi koordinatami se izkaže za zelo koristno. Koordinate na spojih so fiksne, medtem ko lahko notranje koordinate svobodno izbiramo. V praksi je posamezne FRF matrike (n.pr.: RR j j ) navadno zelo težko oz. nemogoče izmeriti. Če nam uspe izmeriti matrike TT aa, TT ba, RT ba, TT nn, TT n j in TR n j, lahko uporabimo vsaj enačbo TT aa TT nn = [ [ ] ] TTba TT n j TR n j Z j (16) RT ba Velika prednost predstavljene metode je v tem, da se ne omeji le na strukture sestavljene iz enega spoja in dveh podstruktur, temveč je uporabna tudi bolj splošno. Za razliko od nekaterih drugih metod, tukaj predhodna predpostavka o lastnostih spoja ni potrebna. 3 Numerična verifikacija metode za identifikacijo lastnosti spojev Verifikacija metode je potekala na enostavnem MDOF 4 - sistemu mas in vzmeti (sl. ). Testni sestav je bil zgrajen iz dveh podsistemov in spoja (sl. ). Spoj je bil izveden z dvema vzmetema s togostima ka 1 in ka. Vhodni podatki za dani sistem so predstavljeni v tabeli 1. Pri izbranih 4 ang.: Multiple Degree Of Freedom

61 Kuhljevi dnevi 5 Slika : MDOF sistem vhodnih podatkih sta bili togosti ka 1 in ka edina parametra sistema. S spreminjanjem parametrov spoja so bili simulirani različni tipi spojev, z identifikacijo le-teh pa je bila pri različnih pogojih testirana tudi identifikacijska metoda. FRF na podsistemih in sestavu so bile izračunane analitično po teoriji MDOF sistemov. Ker so bili torej znani vsi FRF podatki, je bila izvedljiva tudi identifikacija lastnosti spoja oz. togosti vzmeti ka 1 in ka. Na podlagi FRF podstruktur in identificiranih lastnosti spoja so bile izračunane še rekonstruirane FRF za sestav. Primerjava eksaktno izračunanih in rekonstruiranih FRF za sestav je podana na slikah 3 in 4. Poudariti je potrebno, da obravnavani testni sistem ne vključuje dušenja, zato so FRF krivulje na mestih resonančnih stanj asimptotične. Tabela 1 : Vhodni podatki za MDOF sistem Masa - m Masni vzt. moment - J Togost - k Ročica - a Indeks [ kg ] [ kgm ] [ N/m] [ m ] Z oznako toga povezava je na sliki 3 označen še mejni primer, ko sta podstrukturi popolnoma togo spojeni. Če sta togosti spoja ka 1 in ka dovolj veliki, se morajo FRF sestava približati mejnemu primeru oz. krivulji z oznako toga povezava. V primeru, ko izberemo togosti ka 1 = 1 18 N/m in ka = 1 17 N/m, se to res zgodi, kar je prikazano na sliki 4. Identifikacija parametrov spoja je bila v tem primeru zavidljivo dobra, kar smo tudi pričakovali, saj gre za idealni primer. Posplošena metoda identifikacije spojev torej v idealnih razmerah dobro funkcionira

62 Kuhljevi dnevi Primerjava FRF TTnn eksaktno TTnn toga povezava TTnn rekonstrukcija 1 1 Magnituda [db] Frakvenca [Hz] Slika 3 : Primerjava FRF na sestavu pri ka 1 = 1 8 N/m in ka = 1 7 N/m 6 8 Primerjava FRF TTnn eksaktno TTnn toga povezava TTnn rekonstrukcija 1 1 Magnituda [db] Frakvenca [Hz] Slika 4 : Primerjava FRF na sestavu pri ka 1 = 1 18 N/m in ka = 1 17 N/m

63 Kuhljevi dnevi 5 4 Zaključki V tem delu je bila predstavljena posplošena metoda za identifikacijo parametrov linearnih spojev, ki upošteva tako translatorne, kot tudi rotacijske prostostne stopnje sistema. Največja prednost te metode je v njeni enostavnosti in primernosti za hkratno identifikacijo več spojev. Upoštevanje rotacijskih prostostnih stopenj na spoju je ključnega pomena za uspešnost posplošene identifikacijske metode. Žal so rotacijske prostosti še vedno zelo težko merljive, zato se je potrebno posluževati drugačnih tehnik. Navadno lahko posamezne podsisteme dovolj dobro popišemo z numeričnimi modeli. Eksperimentalno verificirani numeričnih modeli so prikladno orodje za generiranje potrebnih FRF. Pokazali smo, da je identifikacija parametrov spoja uspešna v idealnem primeru, ko ni prisotnih nobenih merilnih napak. Ker imamo opravka z relativno enostavnim sistemom, in ni nikakršnih diskretizacij kontinuuma, kot npr. pri metodi končnih elementov (MKE), so tudi numerične napake zanemarljive. Pri identifikaciji spojev se moramo vedno opirati na eksperimentalne podatke, ker le tako lahko pridobimo verodostojne informacije o sistemu, ki ga identificiramo. Literatura [1] Y. Ren. The analysis and identification of friction joint parameters in the dynamic response of structures. PhD thesis, Imperial college of science, technology and medicine, London, 199. [] Y. Ren and C.F. Beards. On the nature of FRF joint identification technique. 11th International Modal Analysis Conference, pages , Florida, USA [3] Y. Ren and C.F. Beards. Identification of joint properties of a structure using FRF data. Journal of Sound and Vibration, [4] Y. Ren and C.F. Beards. Identification of effective linear joints using coupling and joint identification techniques. Journal of Vibration and Acoustics, 1, April [5] J.S. Tsai and Y.F. Chou. The identification of dynamic characteristics of a single bolt joint. Journal of sound and vibration, 15(3):487 5, [6] Wenjie Liu. Structural dynamic analysis and testing of coupled structures. PhD thesis, Imperial college of science, technology and medicine, London, October. [7] N.M.M. Maia and J.M.M. Silva. Theoretical and Experimental Modal Analysis. John Wiley & Sons INC., [8] T. Yang, S.H. Fan, and C.S. Lin. Joint stiffness identification using FRF measurements. Journal of Sound and Vibration, 3. [9] R.A. Ibrahim and C.L. Pettit. Uncertainties and dynamic problems of bolted joints and other fasteners. Journal of Sound and Vibration, November

64 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Modeliranje jermenskih gonil v okviru dinamike sistema togih teles G. Čepon 1 in M. Boltežar Modeling of belt drives using dynamics of multibody systems Povzetek. V tem prispevku predstavljamo model jermenskega gonila v okviru dinamike sistema togih teles. S tovrstnim pristopom k modeliranju jermenskih gonil lahko sočasno obravnavamo torzijska nihanja jermenic, prečna nihanja vej jermena in kontakt med jermenom in jermenico. V kontaktu med jermenom in jermenico smo predpostavili Coulombov zakon trenja. Na numeričnem primeru je prikazana uporabnost in učinkovitost predstavljenega modela jermenskega gonila. Abstract. In this article the model of belt drive using dynamic of multibody systems is presented. Using this approach one can simultaneously treat torsional vibrations of pulleys, transverse vibrations of belt and contact between belt and pulleys. In the contact between belt and pulley Columb model of friction is proposed. The applicability and efficiency of presented belt drive model is presented on numerical example. 1 Uvod Zaradi vse večje zanesljivosti jermenskih gonil se je njihova uporaba v zadnjih nekaj desetletjih zelo razširila. Zlasti pri avtomobilskih motorjih je v zadnjem času značilno, da se več jermenskih gonil združuje v eno samo daljše jermensko gonilo. Za tovrstna jermenska gonila je značilno kompleksno dinamično obnašanje. V literaturi je moč zaslediti več obetavnih pristopov [1 3] k modeliranju jermenskih gonil, ki obravnavajo jermensko gonilo kot sklopljen mehanski sistem. V [] je predstavljen model jermenskega gonila z dvema jermenicama, kjer avtorja modelirata jermen v okviru dinamike sistema togih teles. Na ta način lahko v modelu sočasno zajamemo torzijska nihanja jermenic, prečna nihanja vej jermena in naravo kontakta med jermenom in jermenico. V predstavljenem prispevku smo omenjeni model jermenskega gonila razširili na poljubno število jermenic v gonilu dodatno pa smo v model vključili tudi napenjalno jermenico in disipacijo energije v modelu jermena. Modele jermena, jermenice in napenjalne jermenice smo zapisali samostojno v okviru dinamike sistema togih teles in jih nato združili v celovit model jermenskega gonila. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Strojništvo, Aškerčeva 6, 1 Ljubljana; gregor.cepon@fs.uni-lj.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Strojništvo, Aškerčeva 6, 1 Ljubljana; miha.boltežar@fs.uni-lj.si

65 Kuhljevi dnevi 5 Teorija dinamike sistema togih teles Matematični model dinamike sistema togih teles predstavljajo enačbe gibanja, ki izhajajo iz zakonov mehanike. Obstaja množica formalizmov za zapis enačb gibanja, ki se razlikujejo po kompleksnosti enačb, računski zahtevnosti in prilagojenosti za posamezne primere uporabe. V našem primeru smo uporabili pristop, kjer je lega in orientacija vseh teles v sistemu opisana na enak način, z enakim številom enačb. Kinematične vezi med posameznimi telesi so popisane z nelinearnimi algebrajskimi enačbami, ki jih k diferencialnim enačbam gibanja teles dodamo s pomočjo Lagrangeovih multiplikatorjev. Vsako telo v sistemu ima dodeljen svoj (pomični) koordinatni sistem. V našem primeru se bomo omejili na ravninsko gibanje togega telesa. Telo pri gibanju v splošnem spreminja lego in orientacijo, zato lego točke P i (slika 1) v nepomičnem koordinatnem sistemu XY izrazimo z vektorjem Y Y i r i P = R i + A i u i P. (1) Vektor R i predstavlja translacijo izhodišča pomičnega koordinatnega sistema glede na nepomični koordinatni sistem, r i P j R matrika A i podaja spremembo orientacije telesa, medtem ko i vektor u i P podaja koordinate točke Pi v pomičnem koordinatnem sistemu. Gibalno enačbo sistema togih teles določimo i X na osnovi dinamičnega ravnotežja, kakor ga predstavlja princip virtualnega dela. Gibalnim enačbam nato pridružimo se Slika 1 : Togo telo enačbe kinematičnih vezi za pospeške ter na ta način zapišemo sistem diferencialnih in algebrajskih enačb v obliki: [ M Cq C q C q C q T ][ q λ ] [ Qe = Q d j i P i u i P i i i X i ]. () Z M smo označili masno matriko, s C q Jacobijevo matriko vezi, z Q e vektor zunanjih posplošenih sil, z Q d vektor s kvadratnimi členi hitrosti, z λ vektor Lagrangeovih multiplikatorjev ter z q vektor posplošenih koordinat sistema. 3 Model jermenskega gonila Dinamski model jermenskega gonila je iz matematično numeričnega vidika zelo kompleksen. Vsi deli jermenskega gonila so med seboj povezani, zaradi česar ga je potrebno obravnavati kot sklopljen mehanski sistem. Diskretizacija jermenskega gonila na segmente mora odražati značilnosti jermenskega gonila, ki bistveno vplivajo na njegovo dinamiko. V našem primeru smo razdelili jermensko gonilo na tri segmente, ki jih predstavljajo: jermen, jermenica in napenjalna jermenica. 3.1 Model jermena Jermen predstavlja fleksibilen element, ki ima začetno prednapetje v osni smeri in se pri tem giblje s časovno odvisno hitrostjo. Model jermena predstavlja n b togih teles 3 povezanih v zaprto kinematično verigo, kot je prikazano na sliki. Podoben pristop je moč zaslediti tudi v [], 3 Indeks b se navezuje na jermen ang. belt

66 Kuhljevi dnevi 5 pri čemer pa smo v našem primeru dodatno v model jermena vključili tudi disipacijo energije. Upogibno togost jermena smo modelirali z rotacijsko vzmetjo na spoju med dvema elemen Model spoja rotacijska vez j Fb i-1 M P M i j Fi b b k b i-1 b P Y i b h Xb i L i b i b i-to telo Y r i-1 P,b telo i-1 i r P,b c b j telo i R i b Y i b m,j i b i T,b X X Slika : Model jermena z elastično in disipativno komponento v spoju toma, medtem ko smo disipacijo energije modelirali z rotacijsko dušilko. Deformacijo jermena v osni smeri zanemarimo. Iz literature [4] poznamo zvezo med koeficientom rotacijske vzmeti in upogibno togostjo nosilca k j b = EI/L. Masna matrika jermena M b ima, ob izbranem koordinatnem sistemu v težišču elementa, diagonalno obliko. Pri zapisu Jacobijeve matrike vezi C q,b pa izhajamo iz enačb rotacijskih vezi med elementi verige. Jacobijeva matrika rotacijskih vezi v modelu jermena dobi obliko: I A 1 θ,b u1 R I A θ,b u L I A θ,b C q,b = u R I A 3 θ,b u3 L....., (3) I A nb θ,b un b R I A 1 θ,b u1 L kjer vektor u i L = [ L i b /,] T predstavlja lego rotacijske vezi na elementu i med elementoma i 1 in i. Podobno predstavlja vektor u i R = [ Lb i /,] T lego rotacijske vezi na elementu i med elementoma i in i + 1. Vektor Q d,b s kvadratnimi členi hitrosti zapišemo za vse rotacijske vezi v verigi in ima obliko: A 1 b u1 R ( θ 1) + A b u L ( θ ) A Q d,b = b u R ( θ ) + A 3 b u3 L ( θ 3).. (4) A n b b un b R ( θ n ) b + A 1 b u1 L ( θ 1) Pri zapisu vektorja zunanjih posplošenih sil Q e,b je potrebno upoštevati zunanje sile F i b in momente Mb i, ki delujejo na segmente jermena ter dodatno tudi sile v rotacijskih vezeh med elementi. 3. Numerična verifikacija modela jermena Model jermena bomo z numeričnega vidika verificirali na primeru. Obravnavali bomo jermen, ki ga ovijemo okoli dveh navideznih jermenic enakih radijev R. Podatki modela jermena so podani v preglednici 1. Predpostavili bomo, da so torzijske vzmeti v neobremenjenem stanju,

67 Kuhljevi dnevi 5 Y [m] t=s t=.5s t=.8s t=.8s t=.4s Preglednica 1 : Parametri jermena Parameter jer. gonila Simbol Vrednost Dolžina teles L b.18m Gostota jermena ρ b 136kg/m 3 Sila na telesa F b [,] T N Moment na telesa M b Nm Upogibna togost jermena EI.64Nm Koeficient dušenja c b.8ns/rad X [m] Slika 3 : Odziv jermena pri različnih časih tedaj ko je kinematična veriga, ki popisuje model jermena, odprta in popolnoma ravna. Jermen, ki ga ovijemo okoli dveh navideznih jermenic, bo imel tako neko začetno deformacijo. Ker je jermen postavljen v horizontalni ravnini, je pričakovati, da bo v statični ravnovesni legi dobil obliko kroga. Pri diskretizaciji jermena smo uporabili n b = 7 enakih togih teles. Na sliki 3 je prikazan odziv jermena pri različnih časih. Lepo je razvidno, da jermen nekaj časa prenihava okoli statične ravnovesne lege, nato pa se pri času t.4s izniha v obliko kroga. 3.3 Model jermenice in napenjalne jermenice Modela jermenice in napenjalne jermenice smo zapisali v okviru dinamike sistema togih teles. Napenjalna jermenice se od jermenice razlikuje le v načinu vpetja na podlago. Model jermenice (slika 4) in napenjalne jermenice (slika 5) predstavlja togo telo v obliki valja. Jermenica je preko rotacijske vezi pripeta na podlago v točki P i p, ki pa nujno ne predstavlja težišča jermenice. To nam omogoča, da lahko v modelu jermenice predpostavimo neko ekscentričnost, ki je navadno posledica slabe izdelave jermenice. Pri zapisu enačb kinematičnih vezi smo predpostavili, da je pomik vpetja jermenic v točki P i p podan s funkcijskim predpisom f i p(t). Na ta način lahko v modelu jermenskega gonila zajamemo tudi jermenice, katerih lega se s časom spreminja. Napenjalna jermenica je za razliko od jermenice pritrjena na podlago preko vzmeti in dušilke, kot je prikazano na sliki 5. Modela jermenice in napenjalne jermenice popolnoma definirajo njuna masna matrika, Jacobijeva matrika vezi, vektor s kvadratnimi členi hitrosti ter vektor posplošenih zunanjih sil. Y r i F,p i Fp R i p T F r i P,p i-ta jermenica u i F,p i Yp X i e i Mp P i p p i Xp i f p( t), funkcija pomika podpore Slika 4 : Model jermenice Y r i P,t i Rt r i F,t i ct X i Y t P i O i podpora A i Xt i t i Mt i kt T F i Ft i-ta napenjalna jermenica Slika 5 : Model napenjalne jermenice

68 Kuhljevi dnevi Kontakt med jermenom in (napenjalno) jermenico Predstavljeni model jermena, jermenice in napenjalne jermenice predstavljajo segmente jermenskega gonila, ki med seboj niso povezani s kinematičnimi vezmi, pač pa med njimi nastopajo kontaktne sile. Kontakt lahko pričakujemo med jermenom in jermenico ter med jermenom in napenjalno jermenico. Pri tem se pojavi i i u i-ti segment T,b jermena sila, ki deformaciji nasprotuje in je v splošnem sestavljena iz elastične in i O i b j disipativne komponente. Deformacija togih teles ni mogoča, zato do- j Yp T u T,p j pustimo delno prekritje teles, s katero X p j R j p simuliramo deformacije. Pri obravnavanju kontakta kot zveznega po- j Rb java predpostavimo, da med trajan- O Y jem kontakta sile med telesi delujejo zvezno. Na sliki 6 je prikazan model Rp kontakta med i-tim segmentom jermena in j-to jermenico. Potreben X pogoj za nastop kontakta razberemo Slika 6 : Model kontakta med jermenico in jermenom iz slike 6: h i b x i O j,b Li b i = L TO j R j. (5) Kontaktna sila deluje v smeri normale na kontaktno ploskev. Poleg sile, ki deluje v smeri normale na kontaktno ploskev, se zaradi hrapavosti kontaktnih površin pojavi sila trenja. Velikost sile trenja je v splošnem odvisna od normalne sile, koeficienta trenja in v nekaterih primerih tudi od relativnih hitrosti dveh teles v kontaktu. Glede na globino in hitrost penetracije predpostavimo naslednjo odvisnost velikosti kontaktne sile v normalni smeri [5]: F i j n n ij ij t i Lb j i Y b i j xo,b i j i X b LTO j = k n i j + c n v i j n, (6) kjer k n predstavlja vzmetno konstanto, c n pa koeficient dušenja kontaktnega modela. Privzeti model kontaktov predpostavlja, da sta tako elastična kot tudi disipativana komponenta linearni funkciji penetracije i j in relativne hitrosti penetracije v i n j. Relativno hitrost penetracije določimo po enačbi: ṘR i b θ i b j v i n j i jt ri [ ] T = n q i j q i j = n i jt I,A i θ,b ui T,b, I, A j θ,p u j T,p kjer je n i j normala v kontaktu, vektor r i j T pa je definiran z izrazom: ṘR j p θ j p, (7) r i j T = Ri b + Ai b ui T,b R j p A j pu j T,p. (8)

69 Kuhljevi dnevi 5 Iz izraza za virtualno delo razberemo posplošeni kontaktni sili: [ ] [ Q i n,b = Fi n j I T n i j, Q i n,p = Fn i j u j T,b Ai θ,b I u j T,p Ai T θ,p ] n i j. (9) Z Q i n,b smo označili posplošeno kontaktno silo, ki deluje na segment jermena, z Qi n,p pa smo označili posplošeno zunanjo silo, ki deluje na (napenjalno) jermenico. Poleg sile, ki deluje v smeri normale na kontaktno ploskev, se zaradi hrapavosti kontaktnih površin pojavi tudi sila trenja. Po Coulombovem zakonu je sila trenja odvisna od normalne sile v kontaktu in koeficienta trenja. Usmerjena je nasprotno relativnemu gibanju glede na tangento kontakta: { F i j tr = µ F n sign(vt i j )t i j, ν s vt i j t i j, ν s vt i j µ F n ν s vt i j µ F n. (1) V izrazu (1) smo zapisali korekcijo trenja s uporabo parametra ν s, ki preprečuje, da bi pri majhnih relativnih hitrostih sila trenja spreminjala usmerjenost, kar lahko vodi do numeričnih težav [5]. Pri zapisu posplošene kontaktne sile zaradi trenja, je potrebno upoštevati, da sila trenja deluje na obe telesi v kontaktu: [ ] [ ] Q i t,b = Fi j tr I u i T,b Ai T θ,b t i j, Qt,p j = Ftr i j I u j T,p A j θ,p T t i j, (11) Z Q i t,b in Q j t,p smo označili posplošeni kontaktni sili na segment jermena in na (napenjalno) jermenico. Gibalne enačbe celotnega jermenskega gonila zapišemo s uporabo Lagrangeovih multiplikatorjev. V gibalnih enačbah je potrebno zajeti prispevke jermena, jermenic in napenjalnih jermenic ter obliko medsebojnih kinematičnih vezi in kontaktnih sil. 4 Numerični primeri V tem poglavju bomo predstavili zmogljivost modela jermenskega gonila na primerih. Obravnavali bomo jermensko gonilo z dvema jermenicama in napenjalno jermenico, kot je prikazano na sliki 7. Jermenica predstavlja pogonsko jermenico s predpisano kotno hitrostjo ω (t) (slika 9), medtem ko jermenica 1 predstavlja gnano jermenico s podanim momentom M 1 (t). [Nm]; t.5 M 1 = 1 t [Nm];.5 < t <.8 (1) 1[Nm]; t.8 Vrednost parametrov jermenskega gonila je podana v preglednici 1 in. Predpostavimo, da so rotacijske vzmeti v modelu jermena v neobremenjenem stanju tedaj, ko je jermen popolnoma raven. 4.1 Določitev statične ravnovesne lege Preden izvedemo numerično integracijo modela jermena, je potrebno definirati začetne pogoje. Ker jermensko gonilo na začetku miruje, so začetne hitrosti vseh teles v sistemu enake nič. Lego - 6 -

70 Kuhljevi dnevi 5 Preglednica : Parametri jermenskega gonila E M1( t) A 3 D pogonska jermenica napenjalna jermenica ( t) 1 gnana jermenica Slika 7 : Primer jermenskega gonila B C Parameter jer. gonila Simbol Vrednost Radij jermenice R 1,R.815m Medosna razdalja L med.453m Število elementov v modelu jer. n 7 Togost napenjalne vzmeti k t N/m Koeficient viskozne dušilke nap. c t 1Nm/s Masa napenjalne jermenice m 3.5kg Togost v kontaktu k n N/m Koeficient dušilke v kontaktu c n 15Ns/m Koeficient trenja µ 1 Parameter trenja ν s 18 Masni vztrajnostni moment J 1,J.kgm Masni vztrajnostni moment J kgm obeh jermenic in napenjalne jermenice poznamo, medtem ko je potrebno lego jermena določiti na osnovi enačb kinematičnih vezi, ki predstavljajo nelinearne algebrajske enačbe. Reševanje tovrstnih sistemov lahko vodi do več možnih rešitev, na osnovi katerih je potrebno določiti rešitev, ki ustreza našemu problemu. Ker je omenjeni postopek lahko precej zapleten, smo se v našem primeru lotili določitve statične ravnovesne lege s uporabo numerične integracije. Jermensko gonilo izpustimo iz stanja mirovanja, kot prikazuje slika 8. Jermen ima na začetku obliko kroga. V postopku določitve statične ravnovesne lege pomaknemo pogonsko jermenico na predpisano medosno razdaljo, pri čemer se jermen napne okoli obeh jermenic in napenjalne jermenice. Pri času t =.5s je nihanje jermenskega gonila zanemarljivo, kar pomeni, da predstavljena lega jermenskega gonila predstavlja statično ravnovesno lego jermenskega gonila. Y [m] X[m] 3 t=s t=.5s Pomik pogonske jermenice Slika 8 : Določitev statične ravnovesne lego s uporabo numerične integracije 4. Odziv jermenskega gonila v času in velikost kontaktnih sil Slika 9 prikazuje primerjavo kotne hitrosti pogonske in gnane jermenice. Opazimo lahko le manjša odstopanja, ki pa so posledica drsnega polzenja jermena po jermenici in prečnega nihanja vej jermena. Ker v osni smeri nismo predpostavili deformacije jermena, v kontaktu med jermenom in jermenico nimamo prisotnega elastičnega polzenja jermena. Kontaktne sile pri času t =.95s so prikazane na sliki 1. Normalna [rad/s] Določitev statične ravnovesne lege t [s] Slika 9 : Primerjava med kotno hitrostjo pogonske ( ) in gnane ( ) jermenice

71 Kuhljevi dnevi 5 sila in sila trenja v kontaktu dosežeta maksimalno vrednost v točkah A in B, kjer jermen odteka iz gnane jermenice oziroma nateka na pogonsko jermenico. To je bilo seveda pričakovati, saj se pri obratovanju v delovni veji jermena AB sila poveča, v obeh jalovih vejah jermena CD in DE pa nekoliko zmanjša. Sila [N] Zaključek E D A B št. elementa C (a) Normalna sila v kontaktu Sila [N] A E D št. elementa C (b) Sila trenja v kontaktu Slika 1 : Sile v kontaktu pri času t =.95s V predstavljenem prispevku je prikazan model jermenskega gonila v okviru dinamike sistema togih teles. Učinkovita in zanesljiva analiza jermenskega gonila od nas zahteva eksaktno modeliranje vztrajnostnih sil pri poljubnem pomiku togega teles, upoštevanje upogibne togosti ter enostaven in realen popis kontakta med jermenom in jermenico. Model jermenskega gonila smo zapisali v obliki numerične kode, ki je primerna za implementacijo v računalniški aplikaciji. Na numeričnih primerih smo prikazali uporabnost in učinkovitost predstavljenega modela jermenskega gonila. V nadaljevanju bi bilo smiselno v model vključiti tudi osne deformacije jermena in modelirati jermen kot kompozit. Literatura [1] T. M. Wasfy, M. J. Leamy, Effect of bending stiffness on the dynamic and steady state responses of belt drives, ASME Design Engineering Technical Conferences,. [] M. J. Leamy, Tranzient and steady state dynamic finite element modeling of belt drives, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control,, [3] K. S. Kerkkanen, D. G. Vallejo, A. M. Mikkola, Modeling of belt drives using a large deformation finite element formulation, Nonlinear Dynamics, 6, [4] T. M. Wasfy, A torsional spring like beam element for the dynamic analysis of flexible multibody systems, International journal for numerical methods in engineering, 1996, [5] T. Nakanishi, A. Shabana, Contact forces in the non-linear dynamic analysis of tracked vehicles, International journal for numerical methods in engineering, 1994, B

72 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Konstitutivni model armiranega betona za analizo mejne nosilnosti plošč J. Dujc 1, B. Brank 1 in J. Korelc 1 A Constitutive Model for Limit Load Analysis of Reinforced Concrete Plates Povzetek. Predstavljen je pristop k določitvi mejne nosilnosti armiranobetonskih plošč z nelinearno metodo končnih elementov. Uporabljen kostitutivni model za armiranobetonske plošče je definiran na nivoju rezultant napetosti in pripadajočih deformacij. Vgrajen je v končni element za plošče, ki temelji na Reissner-Mindlinovi teoriji. Za generacijo programske kode smo uporabili programsko okolje AceGen. Prikazanih je več numeričnih primerov. Abstract. An approach to compute the limit load of reinforced concrete plate by nonlinear finite element method is presented. The constitutive model for reinforced concrete plate is set in terms of stress resultants and corresponding strain measures. It is implemented in plate finite element based on the Reissner-Mindlin theory. The computer code is obtained by using software package AceGen. Several numerical examples are presented. 1 Uvod Analiza mejne nosilnosti armiranobetonskih plošč ima precejšno praktično vrednost, zato je na to temo moč najti precej strokovne literature. Inženir, ki želi izračunati mejno stanje armiranobetonske plošče, ima na voljo vsaj dve možnosti: (i) lahko uporabi metodo plastičnih linij, ki je razložena v mnogih knjigah (npr. Moy [9]) ali pa (ii) računalniške programe za analizo konstrukcij po metodi končnih elementov (npr. Abaqus [1]), ki uporabljajo precej zahtevne materialne modele za armirani beton. V tem delu v nadaljevanju obravnavamo tretjo možnost, ki prav tako temelji na materialno nelinearni analizi armiranobetonske plošče z metodo končnih elementov, vendar s to razliko, da definiramo nelinearno elastičen konstitutivni model armiranobetonske plošče z rezultantami napetosti, kar naredi nelinearno analizo mnogo enostavnejšo. Izognemo se zahtevnemu snovnemu 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

73 modelu betona, zaradi česa so računski časi analize mnogo krajši. Ideja je povzeta po Ibrahimbegović [4]-[6], sprememba je le v tem, da v našem primeru uporabimo priporočila Evrokoda za opis konstitutivnega modela betona. Reissner-Mindlinov model za plošče.1 Princip virtualnega dela Po Reissner-Mindlinovi teoriji plošč obravnavamo ploščo kot ploskev Ω v ravnini (npr. v x 1 x ), ki ima v vsaki točki tri prostostne stopnje: pomik w v smeri x 3 in zasuka normale na ploskev (θ 1 in θ ) okoli osi x 1 in x. Te prostostne stopnje nam omogočajo, da izrazimo vektor ukrivljenosti κ in strižnih deformacij γ kot κ = [ θ x 1, θ 1 x, θ 1 x 1 θ x ] T = [κ 11,κ,κ 1 ] T, (1) γ = [ w + θ, w θ 1 ] T = [γ 1,γ ] T. () x 1 x Notranje sile določimo z uporabo konstitutivnih matrik C B in C S, ki povezujeta vektorja momentov m in prečnih sil q na enoto dolžine z vektorjema ukrivljenosti oziroma strižnih deformacij m = [m 11,m,m 1 ] T = C B κ, q = [q 1,q ] T = C S γ. (3) V primeru izotropne linearno elastične plošče imata konstitutivni matriki obliko Eh 3 1 ν [ ] C B = 1(1 ν ν 1 Eh 1, C S = c, (4) ) 1 ν (1 + ν) 1 kjer je E elastični modul materiala, h debelina plošče, ν Poissonov količnik in c strižni korekcijski faktor, ki je običajno nastavljen na 5 6. Nelinearni elastični konstitutivni matriki za armiranobetonske plošče pa sta podani v 3. poglavju. Šibka oblika ravnotežnih enačb (enačba virtualnega dela) po Reissner-Mindlinovi teoriji za ploščo obremenjeno s površinsko obtežbo p je δπ(w,θ 1,θ,w,θ 1,θ ) = δπ not δπ zun =, (5) δπ not = κ T mdω + γ T qdω, (6) Ω Ω δπ zun = pwdω, (7) kjer so s črtico označene kinematično dopustne virtualne količine. Enačbi (5) pripadajo še robni pogoji za w, θ 1 in θ. Enačbo (5) rešujemo z metodo končnih elementov. Uporabimo 4- vozliščni končni element s kvadratično interpolacijo pomika in linearno interpolacijo zasukov, Bohinc []. Po diskretizaciji (5) z metodo končnih elementov dobimo sistem nelinearnih enačb, ki ga rešujemo z Newton-Raphsonovo metodo, pri kateri je potrebno nelinearni sistem enačb linearizirati. V ta namen je potrebno odvajati realne in virtualne kinematične količine κ, γ ter κ, γ po diskretnih prostostnih stopnjah ter notranje sile m in q po ukrivljenostih oziroma strižnih deformacijah. Za slednje odvode uporabimo naslednje oznake m = m κ Ω in q = q γ.

74 3 Konstitutivni model za armiranobetonske plošče O izotropnem obnašanju armiranobetonskih plošč lahko govorimo le v primeru, ko so natezne deformacije betona majhne in ni razpok, ki nastanejo zaradi prekoračitve natezne trdnost betona. Po nastanku razpok je obnašanje armiranega betona v veliki meri odvisno od količine in smeri armature. V nadaljevanju je predstavljen materialni model, ki opiše obnašanje armiranega betona pri monotonem naraščanju obremenitve plošče. Zanemarimo neelastične efekte lokalnega razbremenjevanja zaradi prerazporeditve odpornosti ter ločeno obravnavamo strižni in upogibni del konstitutivnega modela. 3.1 Strižni del Za izračun strižnih sil, ne glede na razpokanost betona, uporabimo standardne linearno elastične konstitutivne enačbe za izotropen material C S = C S (E = E c,ν = ν c ), glej (3), kjer je E c elastični modul betona in ν c Poissonov količnik betona. Ta konstitutivni model seveda ne omogoča analize porušitve plošče zaradi preboja. 3. Upogibni del Upogibni del konstitutivnega modela armiranega betona razdelimo na dve stanji: na stanje I nerazpokanega betona in na stanje II, kjer so že prisotne razpoke v betonu. Ko je beton nerazpokan, upoštevamo linearno elastično povezavo med momenti in ukrivljenostmi. Če zanemarimo prispevek armature imamo C B = C B (E = E c,ν = ν c ), glej (3) 1. Stanje II se začne, ko eden od glavnih momentov v smereh glavnih ukrivljenosti prekorači m raz = f ct h 6, kjer je f ct natezna trdnost betona. Predpostavimo, da smeri glavnih momentov m 1, m in glavnih ukrivljenosti κ 1, κ sovpadajo, da so določene glede na obtežbo in so neodvisne od ortotropnosti armature. Če v stanju II zanemarimo vpliv Poissonovega količnika, lahko določimo m 1 = m 1 (κ 1 ) in m = m (κ ), kjer sta m 1 in m konstitutivni zvezi med momentom in glavno ukrivljenostjo v smereh φ in φ + π. Kot φ določimo kot κ 1 φ = 1/arctan( ) + k π κ 11 κ,k = { 1 za κ11 κ < sicer, (8) glavni ukrivljenosti pa kot S transformacijo κ 1, = κ 11 + κ ± m = T [m 1,m ] T, T = ( κ 11 κ ) + (κ 1 ). (9) cos φ sin φ sinφ cosφ sin φ cos φ (1) sinφ cosφ dobimo momente v koordinatnem sistemu x 1 x, odvajanje (1) po κ pa da (glej [5]) m = ˆTC B ˆT T, (11)

75 kjer je [ m1 C B = diag, m, 1 κ 1 κ ] m 1 m, ˆT = [ T,( sinφ,sinφ,cosφ) T ]. (1) κ 1 κ Nastanek morebitnih razpok kontroliramo torej v dveh ortogonalnih smereh. Tudi v stanju II, ko so že prisotne razpoke, kontroliramo nastanek novih razpok le v smereh glavnih ukrivljenosti, pri čemer sta ti lahko različni od tistih ob nastanku prve razpoke. Imamo torej model, ki spada v razred t.i. modelov z rotirajočimi razpokami Konstitutivni model v smeri glavnih osi Poglejmo si, kako določimo diagram med momentom m in pripadajočo ukrivljenostjo κ, za glavno smer, ki jo določa kot φ (slika ). Najprej izračunamo vrednosti m in κ za tri tipična stanja armiranobetonskega prereza (slika 1), ki so: pojav prve razpoke v betonu (točka A, m = m raz, κ = κ raz ), začetek plastifikacije armature (točka B, m = m tec, κ = κ tec ) in porušitev betona v tlaku (točka C, m = m kon, κ = κ kon ). Nato te točke preprosto povežemo med seboj. Če želimo bolj gladek diagram, še posebej med pojavom prve razpoke in plastifikacijo armature, lahko izvrednotimo še več vmesnih točk. m A B C κ Slika 1 : Diagram moment ukrivljenost za glavno smer Ključni parameter, ki določa lego točk A, B in C v diagramu na sliki 1, je efektivna količina armature v smeri kota φ, ki jo določimo po enačbi a φ = a i cos (φ α i ), (13) Kuhljevi dnevi 6 x a φ a 1 α α 1 x 1 Slika : Količine in smeri armature kjer je a i površina armature položene v smeri α i (slika ). Omenimo naj, da imamo za izotropno armirane plošče en sam diagram m(κ). Konstitutivne enačbe za beton in jeklo, ki jih potrebujemo za določitev točk A, B in C, privzamemo po Evrokodu. Za beton v tlaku uporabimo naslednjo zvezo med napetostjo σ c in deformacijo ε c { fck (1 (1 ε c σ c = ε c ) n ) za ε c ε c. (14) f ck za ε c ε c ε cu3-68 -

76 V (14) je ε c =., ε cu3 =.35, n = za betone f ck 5, f ck pa je tlačna trdnost betona. Natezna trdnost betona in pripadajoča deformacija sta po Evrokodu f ct = f ct ( f ck ) in ε ct = f ct E c. Za armaturo privzamemo standardni diagram med deformacijami ε s in napetostmi σ s { Es ε s za ε s f y E σ s = s f y za ε s > f, (15) y E s kjer je f y trdnost jekla, E s pa elastični modul jekla. 3.. Kritični momenti in pripadajoče ukrivljenosti Za določitev kritičnih momentov (točke A, B in C na sliki 1) potrebujemo sledeče podatke: f y, E s, količino armature na dolžinsko enoto a φ [cm /m], f ck, f ct oziroma ε ct = f ct E c, E c, h, statično višino d oz. oddaljenost armature od spodnjega roba a = h d. Na sliki 3 je ε cc robna deformacija betona na tlačni strani, ε ct robna deformacija betona na natezni strani, ε s deformacija armature, F c rezultanta tlačnih napetosti v betonu, F s sila v armaturi in x razdalja nevtralne osi Kuhljevi dnevi 6 do težiščne linije betonskega prereza. ε cc h h d x 3 εs + a ε ct x F s Slika 3 : Ravnotežje v prerezu plošče F c Moment in pripadajoča ukrivljenost, pri katerem pride do prve razpoke (točka A na sliki 1), sta m raz = f ct h 6, κ raz = ε ct h = f ct E c h. (16) Moment, pri katerem pride do plastifikacije armature (točka B na sliki 1), določimo tako, da predpišemo deformacijo v armaturi ε s = f y E s ter s tem silo v armaturi F s = f y a φ. Ker je rezultanta napetosti v betonu enaka sili v armaturi: F c = F s, F c (x) = x h σ c dx 3, (17) lahko poiščemo lego nevtralne osi x, pri kateri je prerez v ravnotežju. Nato določimo robni deformaciji betona ε cc (x) in ε ct (x) (slika 3). Vrednosti momenta pri začetku plastifikacije armature in pripadajoča ukrivljenost sta torej m tec = x h σ c x 3 dx 3 + ( h a)f s, κ tec = ε ct + ε cc h. (18) Moment pri začetku rušenja betona v tlaku (točka C na sliki 1) dobimo tako, da predpišemo vrednost robne deformacije betona ε cc = ε cu3. Ker je armatura plastificirana, je sila F s = f y a φ

77 Podobno kot prej, se tudi sedaj išče lego deformacijske ravnine, veljata enačbi (17). Moment pri začetku rušenja betona in pripadajoča ukrivljenost sta x m kon = σ c x 3 dx 3 + ( h h a)f s, κ kon = ε ct + ε cc. (19) h V našem modelu smo predpostavili, da armature ni preveč, tako da do porušitve prereza pride zaradi prekoračene mejne deformacije na tlačeni strani betona. 4 Numerični primeri Za generacijo programske kode smo uporabili programsko okolje AceGen (glej Korelc [7] in [8]). Prav tako so bile tudi vse analize izvedene v okolju AceGen, saj ima vgrajen modul za analizo po metodi končnih elementov (CDriver). Izvedli smo več numeričnih simulacij (glej Dujc [3]) s katerimi smo preverili natančnost predstavljenega pristopa, v nadaljevanju pa so prikazani rezultati treh analiz. V 3. poglavju smo omenili, da se lahko smer razpok tekom analize spreminja. Tako obnašanje povezujemo z modelom rotirajoče razpoke. 4.1 Anizotropno armirana pravokotna prostoležeča plošča Obravnavamo prostoležečo pravokotno ploščo pod ploskovno obtežbo z debelino h = 8 mm, dolžino l = 3 mm in širino b = mm. Plošča je ortogonalno armirana z a 1 = 51 mm /m v eni smeri in a = 559 mm /m v drugi smeri. Položaj armature je c 1 = c = 14 mm od spodnjega roba plošče. Materialne karakteristike so: E c = 4 GPa, f ck = 6.5 MPa, f ct =.5 MPa, E s = 5 GPa in f y = 46 MPa. Numerična analiza je bila izvedena z mrežo 8 8 končnih Celotna sila [kn] ROTIRAJOČA RAZPOKA EKSPERIMENT Pomik [mm] Slika 4 : Pravokotna anizotropno armirana plošča pod vplivom ploskovne obtežbe elementov. Na sliki 4 so prikazani rezultati naše analize in rezultati pridobljeni z eksperimentom (glej [6]). Razvidno je, da model rotirajoče razpoke s primerno natančnostjo oceni mejno nosilnost plošče. 4. Plošča z dvema prostima robovoma Modelirali smo prostoležečo pravokotno ploščo, ki je na dveh robovih podprta, dva robova sta prosta. Uporabili smo mrežo 1 1. Plošča je obremenjena z linijsko obtežbo P (slika 5). Armirana je le v smeri, ki je pravokotna na smer podprtih robov, in sicer z armaturo a 1 = - 7 -

78 a P b P a l a : b = : 6 Slika 5 : Obtežba plošče z dvema prostima robovoma 74 mm /m. Karakteristike plošče so: dolžina podprtih robov l 1 = 457 mm, dolžina nepodprtih robov l = 76 mm, debelina h = 38 mm, statična višina d = 31 mm. Materialne karakteristike so: E c = 9 GPa, f ck = 3 MPa, f ct Kuhljevi = MPa, dnevi ν C 6 =.18, E s = GPa ter f y = MPa. P [kn/m] ROTIRAJOČA RAZPOKA EKSPERIMENT Pomik [mm] Slika 6 : Anizotropno armirana prostoležeča plošča z dvema prostima robovoma Tudi v tem primeru se izkaže, da se dobljeni rezultati (slika 6) bistveno ne razlikujejo od eksperimentalno dobljenih rezultatov (glej [1]). 4.3 Izotropno armirana krožna vpeta plošča Krožna izotropno armirana plošča je debeline h = 1 mm, njen radij pa je R = 1 mm. Karakteristike betona so: E c = GPa, Kuhljevi f dnevi ck = 356 MPa, f ct = 5.6 MPa, ν c =.16, jekla pa: 5 4 Obtežba [kpa] 3 1 ROTIRAJOČA RAZPOKA 3D ELEMENT Pomik [cm] Slika 7 : Krožna izotropno armirana plošča pod vplivom ploskovne obtežbe E s = 1 GPa in f y = 46 MPa. Plošča ima izotropno armaturo µ = 1% v vsaki smeri, položeno a = 3 mm od spodnjega roba plošče. Enaka količina armature je bila uporabljena tudi na

79 zgornji strani: µ = 1% in a = 3 mm. Mreža končnih elementov je sestavljena iz dvanajstih delov, vsak del pa sestavlja 8 8 končnih elementov. V robnih vozliščih je plošča vpeta (w = θ 1 = θ = ). Na sliki 7 je prikazan vertikalni pomik sredine plošče v odvisnosti od obtežbe. Poleg naše analize je prikazana tudi analiza, ki je bila izvedena s 3-D končnimi elementi (po Ibrahimbegović [4]). Iz slike 7 je razvidno, da se naša analiza, kljub svoji robustnosti, zelo dobro ujema z bolj sofisticiranim pristopom. 5 Zaključek V članku smo predstavili razmeroma preprost, a učinkovit pristop za račun mejne obtežbe armiranobetonskih plošč. Razpoložljivi eksperimentalni rezultati (ki so na voljo v strokovni literaturi) se dobro ujemajo s prikazanim pristopom za tiste plošče, kjer se je obtežba povečevala vse do porušitve. Bistvo uporabljene analize je, da upošteva postopno degradacijo armiranega betona zaradi razpokanja betona in zaradi plastifikacije armature. Prednost uporabljenega pristopa glede na teorijo plastičnih linij je informacija o pomikih pri katerih lahko pričakujemo znatno zmanjšanje togosti, ki je lahko zanimiva za študij mejnega stanja uporabnosti. Literatura [1] Abaqus 6.3., Hibbit, Karlsson & Sorensen Inc.,. [] U. Bohinc, A. Ibrahimbegović, Robustni končni elementi za plošče, Zbornik Kuhljevi dnevi 5, 33-4, 5. [3] J. Dujc, B. Brank, Račun mejne nosilnosti armiranobetonskih plošč, Gradbeni vestnik, letnik 55, 16-13, maj 6. [4] A. Ibrahimbegović, F. Frey, J.L. Sarf, Limit load analysis of plates with particular reference to steel and reinforced concrete, Engineering Modeling, 5, 3-4, 75-8, 199. [5] A. Ibrahimbegović, F. Frey, Stress resultant finite element analysis of reinforced concrete plates, Engineering Computations, 1, 15-3, [6] A. Ibrahimbegović, F. Frey, An efficient approach to serviceability analysis and ultimate load design of reinforced concrete plates, Computational modelling of concrete structures (H. Mang, N. Bićanić, R. de Borst, uredniki), Pineridge Press, , [7] J. Korelc, Multi-language and multi-enviroment generation of nonlinear finite element codes, Engineering with computers, 18(4), 31-37,. [8] J. Korelc, 5. [9] S. J. Moy, Plastic methods for stell and concrete structures, MacMillian,

80 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Numerična simulacija in meritve toka nenewtonske tekočine v odprti posodi z mešalom Matevž Dular 1, Tom Bajcar 1, Lidija Slemenik-Perše, Miha Žumer, Brane Širok 1 Numerical simulation and measurements of non-newtonian flow in an open vessel with a mixer Povzetek. Predmet dela je bilo vrednotenje zmožnosti numerične simulacije za napoved različnih pojavov pri mešanju nenewtonske tekočine. Za mešanje karboksimetilceluloze smo uporabili relativno enostavno šestlopatično mešalo. Z LDA metodo smo izmerili obodne hitrosti v dveh točkah v posodi. Z vizualizacijo smo opazovali očiten vrtinec, ki je nastal nad mešalom. Obliko proste površine smo določili z geometrično rekonstrukcijo slik lasersko osvetljenega prereza. Karakteristiko tekočine smo določili preko merjenja vrtilnega momenta na gredi mešala. Za numerično simulacijo smo uporabili programski paket Fluent. Problem je težak saj moramo upoštevati učinke nenewtonske tekočine, mešanja in proste površine. Primerjava numeričnih in eksperimentalnih rezultatov je potrdila pravilnost simulacije. Abstract. The object of this work was to evaluate the capability of numerical simulation to predict different features of non-newtonian fluid mixing process. A relatively simple impeller (six bladed vane rotor) was used for the mixing of carboxymethyl cellulose. A LDA method was used to measure the tangential velocity at two points inside the mixing vessel. Using visualization, a significant vortex above the impeller was observed. The shape of the free surface was determined by a geometrical reconstruction of the images of the illuminated section. Torque on the impeller shaft was measured to determine the characteristics of the fluid. Fluent program package was used for the simulation. The problem is challenging since the effects of non-newtonian fluid, mixing process and free surface have to be included in the simulation. The comparison between the experimental and numerical results confirms the accuracy of the simulations. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo Univerza v Ljubljani, Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo

81 1 Uvod Visokoviskozne nenewtonske tekočine se pogosto uporabljajo v industrijskih aplikacijah, kjer lahko izpostavimo mešalne procese. Take tekočine imajo kompleksne reološke značilnosti, kar lahko povzroči povečanje cene obratovanja in druge težave pri mešanju. Viskoznost je verjetno najpomembnejša lastnost tekočine, saj ima velik vpliv na procese, pri katerih se reološke lastnosti s časom spreminjajo. Viskoznost tekočine lahko določimo posredno preko meritev momenta pri različnih vrtilnih frekvencah mešala (Slemenik in Žumer [5]). Za enostavne psevdoplastične tekočine lahko viskoznost podamo s potenčnim zakonom: n 1 η = k γ&, (1) kjer je k konsistenčni indeks, n pa indeks obnašanja toka. Da bi preko merjenja momenta na gredi mešala in vrtilne frekvence mešala dobili natančno vrednost strižno odvisne viskoznosti nenewtonske tekočine moramo natančno poznati tokovno polje v posodi z mešalom. Zelo kompleksne simulacije toka nenewtonskih tekočin so še vedno redke. Opisani problem zajema nenewtonski tok, mešanje in prisotnost proste površine. Obstaja veliko število člankov, ki obravnavajo le del našega problema na primer Shao in Lo [4] obravnavata dvorazsežen nenewtonski tok s prosto površino ( dam break simulation), Boyer s sod. [1] opisuje razvoj nove numerične metode, ki jo preverja na primerih nenewtonskega toka kot so kanal pod strižno napetostjo, polnjenje rezervoarja in razpad curka. Kelly in Gigas [3] sta z računalniško dinamiko tekočin obravnavala mešanje nenewtonskih tekočin a sta se izognila problemu proste površine. V članku predstavljamo LDA (Laser Doppler anemometry) meritve tokovnega polja v posodi s šestlopatičnim mešalom. Z LDA metodo smo merili obodno komponento hitrosti v dveh točkah v posodi. Za opazovanje karakterističnega vrtinca nad mešalom smo v posodo vbrizgali obarvano tekočino. Vrtinec, ki nastane med mešalom in prosto površino smo posneli s CCD kamero. Posneli smo odboj laserske ravnine od proste površine. Obliko površine smo določili z geometrično rekonstrukcijo slik. Čeprav smo obravnavali stacionaren tok smo, zaradi omejitev modela proste površine (VoF), simulacijo izpeljali časovno odvisno. Obravnavali smo tri vrtilne frekvence mešala. Uporabili smo programski paket Fluent Vrtenje mešala smo opisali s pristopom drseče mreže. Za opis proste površine med CMC raztopino in zrakom smo uporabili VoF (Volume of Fluid) model. Odvisnost viskoznosti tekočine od strižne hitrosti smo popisali s potenčnim zakonom (Enačba 1). Primerjava izmerjenih rezultatov in napovedi simulacij hitrosti, oblik vrtincev in oblik proste površine kaže na zelo dobro ujemanje. Rezultati obetajo možnost za napoved karakteristik toka in optimizacije kompleksnih mešalnih procesov

82 Postavitev eksperimenta Za nenewtonsko tekočino smo uporabili % vodno raztopino karboksimetil-celuloze (CMC) pri sobni temperaturi. Reološke lastnosti CMC raztopine smo določili z reometrom HAAKE RheoStress RS15, kjer strižno napetost reguliramo z rotacijo. Reološka karakterizacija (η proti γ& ) je bila narejena pri stacionarnih pogojih pri strižni hitrosti 1<γ <1 s -1 (Slika 1). Viskoznost smo lahko določili z negotovostjo ± 3 % merjene vrednosti. Slika 1: Karakteristika % CMC raztopine pri temperaturi 5 C. Viskoznost tekočine se giblje med 1 in 1 Pas. Obnašanje lahko popišemo s potenčnim zakonom (Enačba 1). Določili smo konstanti k = 14,96 in n =,48. Eksperimente smo opravili v posodi z ravnim dnom narejeni iz pleksi stekla. Premer posode je znašal D T = 19 mm, napolnjena pa je bila do višine H = mm. V posodi je bilo šestlopatično mešalo s premerom D = 16 mm in višino h = 15 mm. Razdalja med dnom posode in lopaticami je znašala Z = 35 mm (Slika ). Vsi eksperimenti so bili narejeni pri sobni temperaturi ( C do 5 C). Slika : Šestlopatično mešalo v posodi z označenimi dimenzijami in koordinatnim sistemom

83 .1 Meritve LDA Meritve hitrosti smo izvedli z dvokomponentnim laserjem za Dopplerjevo anemometrijo, proizvajalca TSI Spectra Physics model 16. Merilno mesto smo določili s triosnim pozicionirnim sistemom. Meritve smo opravili pri treh vrtilnih frekvencah mešala (3, 6 in 9 min -1 ), ki smo jo izmerili z inkrementalnim dajalnikom z merilno negotovostjo manjšo od % merjene vrednosti. Mešanje se je vedno vršilo v laminarnem režimu Reynoldsovo število je znašalo Re =,85, 8,5 in 16,17, za 3, 6 oziroma 9 min -1 (pri viskoznosti, ki ustreza vrtilni frekvenci (strižni hitrosti) mešala Slika 1). Merilni mesti sta se nahajali na razdalji r = 9 mm od osi mešala (r = ) na ravninah z = 135 mm in z = 196 mm od dna posode. Natančneje smo obravnavali samo obodno komponento hitrosti, saj sta bili radialna in aksialna hitrost za več velikostnih redov manjši (medtem, ko je obodna hitrost presegla,5 m/s, sta aksialna in radialna hitrost znašali.1 m/s oziroma.5 m/s (pri vrtilni frekvenci N = 6 min -1 )). Tipična frekvenca zaznavanja delcev LDA sistema je znašala 1 khz.. Vizualizacija vrtinca Da bi določili obliko vrtinca smo v posodo na ravnini z = 15 mm vbrizgali obarvano tekočino (CMC z dodanim KMnO 4 ) (Slika 3). Slika 3: Vbrizganje obarvane tekočine v posodo in oblikovanje vrtinca nad mešalom. Vrtinec se razvije zaradi tlačnih gradientov tekočina rotira najhitreje v bližini mešala in najpočasneje blizu proste površine in blizu sten posode. To povzroči nastanek območij z nizkim tlakom blizu proste površine in območja z višjim tlakom globlje v posodi. Tekočina ob steni posode sili od vrha mešala navzgor proti prosti površini, nato proti gredi mešala, navzdol in končno nazaj proti steni posode, kjer se krog znova začne. Tlačni gradienti so majhni - največja hitrost v z smeri je približno 9 mm/s ta primer vrtilne frekvence 6 min Določanje oblike proste površine Z navpično ravnino laserske svetlobe smo prerezali prosto površino med raztopino CMC in zrakom. Slike prereza smo posneli s CCD kamero, ki je bila postavljena na znani razdalji in pod znanim kotom glede na ravnino laserske svetlobe. Koordinate prereza proste površine

84 na slikah smo določili z algoritmom za iskanje največjih gradientov sivine (Širok s sod. [6]). Dejansko obliko prereza površine pa smo določili preko geometričnih transformacij. 3 Numerična simulacija Čeprav smo med eksperimenti opazovali stacionarni tok smo za tri vrtilne frekvence izvedli časovno odvisno simulacijo. Razlog je omejitev VoF modela in sheme geometričnega rekonstruiranja, ki ne dovoljujeta stacionarne simulacije. 3.1 Večfazni model proste površine Model VoF (Hirt in Nichols []) se opira na dejstvo, da se dve fazi med seboj ne mešata. Z vsako fazo, ki jo dodamo problemu, dobimo novo neznanko: prostorninski delež faze. Lastnosti tekočine v kontrolni prostornini so določene z lokalno vrednostjo α q. Prosto površino med fazama dobimo z reševanjem kontinuitetne enačbe za prostorninski delež faze. Za q-to fazo se kontinuitetna enačba glasi: α t q r + v m α q =. () Kontinuitetne enačbe za prostorninski delež primarne faze ne rešujemo saj jo lahko določimo iz pogoja: n q= 1 α = 1. (3) q Kot smo že omenili, lastnosti v transportnih enačbah določimo glede lokalno vrednostjo α q. V dvofaznem sistemu, kjer rešujemo kontinuitetno enačbo za prostorninski delež druge faze, je gostota v kontrolni prostornini podana z: ρ m = α ρ + ( 1 α ) ρ1 (4) Viskoznost pa z: ν m = α ν + ( 1 α ) ν 1. (5)

85 Enačbi ohranitve mase in gibalne količine rešujemo za enofazni tok mešanice (m-mešanica): ρ m t + ( ρ v ) = m r m (6) t r r r r r T r ( ρ v ) + ( ρ v v ) = p + [ η ( v + v )] + ρ g + F 3. Nenewtonski model m m m m m m m m m v. (7) Za opis lastnosti tekočine smo uporabili potenčni model (Slika 1). Vrednosti konstant smo vzeli iz rezultatov meritev (k = 14,96 in n =,48) (Slika 1). 4 Simulacija Računsko domeno smo diskretizirali s strukturirano mrežo. Da bi zmanjšali računski čas smo mrežili le en medlopatični prostor (1/6 celotne posode) na mejah pa predpisali periodični robni pogoj. Preizkusili smo tri gostote mrež in opazili zelo majhen vpliv na končno rešitev. Glede na vrednost povprečne obodne hitrosti v točki r = 9 in z = 135 je napaka diskretizacije znašala.4 %. Končno smo uporabili mrežo z 5 vozlišči, ki je bila ob stenah posode in mešala, na mestu stika med rotirajočim in stacionarnim delom domene ter na predpostavljenem mestu proste površine zgoščena. Časovni korak je bil enak za vse simulacije in je znašal 1-3 s. Konvergenčni kriterij je bil postavljen glede na razvoj obodne hitrosti v točki r = 9 in z = 135. Parameter (obodna hitrost) je vedno konvergiral, ko je bila vsota ostankov transportnih enačb v celotni računski domeni manjša od 5*1-3. Končno smo za kriterij skonvergirane rešitve časovnega koraka vzeli situacijo, ko so ostanki padli pod 5*1-4, za kar je bilo potrebnih približno iteracijskih korakov. Iteracijsko napako smo ocenili na,5 %. Robni in začetni pogoji: - Tok: Med eksperimentom smo opazovali urejeno laminarno mešanje. Zato turbulentnih modelov nismo uporabljali in smo za tok privzeli laminarne razmere. - Robni pogoji: Na stenah posode, lopaticah mešala in na gredi smo privzeli no slip robni pogoj. Problemu modeliranja toka v bližini sten smo se izognili, saj je tok laminaren. Vrh posode je bil odprt in je imel predpisan tlak 1 bar. - Po tem, ko smo preverili vpliv dolžine časovnega koraka, smo za vse simulacije izbrali dolžino 1-3 s. - Začetni pogoj: Na začetku simulacije smo lastnosti CMC tekočine predpisali domeni do višine z = mm. Nad to višino (z = mm) smo privzeli lastnosti zraka. - Vrtilna frekvenca: Simulirali smo mešanje pri vrtilnih frekvencah N = 3, 6 in 9 min

86 Za začetku je bila potrebna približno 1/1 obrata mešala, da je tok postal stacionaren. Po tem smo simulirali in vrednotili en obrat mešala. V simulaciji smo uporabili naslednje vrednosti spremenljivk: ρ zrak = 1,5 kg/m 3, ρ CMC = 1 kg/m 3, η zrak = 1,78*1-5 Pas in σ =,7 N/m. Viskoznost CMC tekočine smo popisali s potenčnim zakonom (Slika 1). 5 Primerjava rezultatov meritev in numerične simulacije Slike 4, 5 in 6 prikazujejo primerjavo izmerjenih in napovedanih časovno odvisnih potekov obodnih hitrosti v točkah r = 9 mm, z = 135 mm in r = 9 mm z = 196 mm za vrtilne frekvence N = 3, 6 in 9 min -1. Vidimo lahko da numerično napovedane hitrosti sledijo izmerjenim. Perioda nihanja se ujema s periodo mimohoda lopatice mešala. Izmerjene vrednosti nihajo z največjo amplitudo približno.3 m/s, kar je verjetno posledica dejanskih nihanj in merilne negotovosti LDA sistema, saj ta načeloma ni namenjen časovno odvisnim meritvam. Napovedane vrednosti so za približno 1 % nižje od izmerjenih, kar je najverjetneje posledica pogreška pri pozicioniranju presečišča žarkov LDA sistema (že pri majhnem premiku merilne točke proti osi vrtenja (r = 89,5 mm) simulacija napove za približno 1 % višje hitrosti). Slika 4: Meritve in napovedi obodnih hitrosti za vrtilne frekvence N = 3 min

87 Slika 5: Meritve in napovedi obodnih hitrosti za vrtilne frekvence N = 6 min -1 Slika 6: Meritve in napovedi obodnih hitrosti za vrtilne frekvence N = 9 min -1 Da bi preverili možnost napovedi nastanka vrtinca nad mešalom smo iz mesta vbrizga obarvane tekočine (z = 15 mm) izrisali tokovnice. Slika 7 prikazuje razvit vrtinec (levo), napovedan vrtinec (sredina) in diagram, ki prikazuje primerjavo med izmerjeno in napovedano obliko vrtinca (desno) za vrtilne frekvence N = 9 (zgoraj), 6 (sredina) in 3 min -1 (spodaj). V primeru nizke vrtilne frekvence (N = 3 min -1 ) se vrtinec med simulacijo ni razvil (verjetno zaradi prekratkega časa simuliranja). Njegovo verjetno obliko pa lahko razberemo iz vektorjev hitrosti (srednja spodnja sličica na Sliki 7)

88 Slika 7: Opazovani in napovedani vrtinci nad mešalom. Vidimo lahko, da simulacija v splošnem napove preveč sploščeno obliko vrtinca. Kot med vrtincem in mešalom je pri simulaciji manjši od opazovanega. Najboljše ujemanje smo dobili pri vrtilni frekvenci N = 9 min -1, kjer je zunanji vpliv najmanjši. Za prosto površino smo privzeli izopovršino s prostorninskim deležem α =,5. Ocenili smo, da je povprečna razlika med nivoji izopovršin pri α =,1 in α =,9 manjša od 4%. V splošnem lahko napovedi oblike gladine označimo z zadovoljivimi (Slika 8). Trendi so pravilni a obstajajo odstopki, ki so očitni predvsem blizu gredi in stene posode. Verjetno so posledica razlik v površinski napetosti, vzrok katerih je difuzija mase, ki je pogost problem VoF simulacij. 6 Zaključki Slika 8: Izmerjene in napovedane povprečne oblike gladine (proste površine). Namen študije je bilo preverjanje sposobnosti numerične simulacije za napoved različnih pojavov mešalnega toka nenewtonskih tekočin. Hitrostne razmere v posodi s šestlopatičnim mešalom smo določili z LDA meritvami Opazovali smo očiten periodični tok. Z vbrizganjem obarvane tekočine smo lahko opazovali nastanek vrtinca nad mešalom njegovo obliko smo določili z metodo največjih gradientov sivine slike. Numerični model je vključeval mešanje, strižno odvisno viskoznost tekočine in prisotnost proste površine. Numerično napovedane obodne hitrosti so nekoliko manjše od izmerjenih

89 Relativno dobro nam je uspelo napovedati tudi razvoj in obliko vrtinca (razen pri vrtilni frekvenci N = 3 min -1 ). Napovedi oblike gladine so bile zadovoljive. Večje razlike so verjetno posledica upoštevanja idealne oblike mešala in problema difuzije mase. Rezultati študije kažejo, da je možno relativno dobro napovedati mnoge pojave mešanja nenewtonske tekočine v delno napolnjeni odprti posodi. Znanje, ki smo ga pridobili s to študijo bo možno aplicirati pri optimizaciji realnih industrijskih procesov mešanja, kjer so meritve neizvedljive oziroma težko izvedljive. Literatura [1] Boyer F., Chupin L., Fabrie P., Numerical study of viscoelastic mixtures through a Cahn Hilliard flow model, European Journal of Mechanics - B/Fluids, 3-5, (4). [] Hirt C. W., Nichols B. D., Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free Boundaries, Journal of Computational Physics, 39, pp. 1-5 (1981). [3] Kelly W., Gigas B., Using CFD to predict the behavior of power law fluids near axialflow impellers operating in the transitional flow regime, Chemical Engineering Science 58, (3). [4] Shao S., Lo E. Y. M., Incompressible SPH method for simulating Newtonian and non- Newtonian flows with a free surface, Advances in Water Resources 6, (3). [5] Slemenik Perše L., Žumer M., Mixing and viscosity determinations with helical ribbon impeller, CABEQ, 18 (4), (4). [6] Širok B., Bajcar T., Dular M., Reverse flow phenomenon in a rotating diffuser, J. flow vis. image process 9, no. /3, ()

90 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Metodologija razvoja aksialnih ventilatorjev Matjaž Eberlinc 1, Matevž Dular 1, Marko Hočevar 1 in Brane Širok 1 Systematic development of axial fan Povzetek. V prispevku so predstavljeni postopki zaporedne faze razvoja oblike rotorja aksialnega ventilatorja, ki vodijo k želeni integralni karakteristiki hidravličnega stroja. Predstavljen je model določitve osnovne oblike lopatice rotorja ventilatorja. Temu sledi numerično modeliranje tokovnega polja v aksialnem ventilatorju, ki poleg lokalnih tokovnih razmer podaja integralne karakteristike stroja. Za numerično simulacijo smo uporabili programski paket Fluent. V zaključnem delu prispevka pa so predstavljene eksperimentalne študije aerodinamskih karakteristik na različnih krajevnih skalah, kar omogoča primerjavo z numeričnimi rezultati, in da končen odgovor o doseganju zadanega cilja. Predstavljen razvoj aksialnega ventilatorja vsebuje vse značilne razvojne faze, ki so praviloma prisotne pri razvoju vseh hidravličnih strojev, in zagotavljajo optimalno doseganje želenih razvojnih ciljev na področju razvoja ventilatorjev, črpalk in kompresorjev. Abstract. This paper presents procedure development phases of rotor blade axial fan that lead to the desired integral characteristic of the hydraulic machine. The paper presents a model, which defines fan s basic shape of rotor blade. A numerical model of flow field in axial fan was created, whose results present local flow condition and integral characteristics. Fluent program package was used for the simulation. Experimental studies of aerodynamic characteristics on different local scales were presented in the conclusion of the paper, which allows the use of comparison with numerical results and gives final answer about reaching our purpose. The presented progress of the axial fan contains all typical development phases, which are usually present in development of all hydraulic machines and grants reaching the desired objective in the field of fans, pumps and compressors. 1 Uvod Potrebe po razvoju novih hidravličnih strojev so stalno prisotne na različnih tehničnih področjih. Postopki razvoja novih hidravličnih oblik strojev se z uvajanjem numeričnih metod in orodij na to področje značilno spreminjajo. Največ se modelira celotni pretočni trakt stroja, vključeni so različni modeli turbulentnega toka, obravnavajo se prehodni pojavi 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

91 in interakcije stroja s prigrajenim pretočnim traktom. Numerični modeli se potrjujejo z eksperimentalnimi raziskavami na različnih krajevnih in časovnih skalah. Pri vseh navedenih primerih se modeliranje izvaja na podani geometriji pretočnega trakta, kar zahteva predhodno oblikovanje vitalnih elementov stroja. Prav ta faza razvoja je ključnega pomena za doseganje kvalitetnih aero-dinamskih karakteristik stroja, ki vplivajo tudi na emisijo zvočne moči strojev. Izbor oblike stroja ob zahtevanih karakteristikah stroja največkrat temelji na algebraičnih modelih, ki so dopolnjeni z dosegljivimi konstitucijskimi relacijami, ter oblikami vitalnih elementov stroja in statističnih bazah podatkov. V članku predstavljamo metodologijo razvoja hidravličnega stroja na primeru aksialnega ventilatorja (slika 1). Predstavljeni so postopki določanja geometrije rotorja aksialnega ventilatorja za izbrano nominalno obratovalno točko. V nadaljevanju smo prikazali numerično modeliranje integralnih karakteristik stroja in lokalnih tokovnih lastnosti v pretočnem polju rotorja ventilatorja. Temu sledi eksperiment, ki je namenjen verifikaciji numeričnih rezultatov in predstavlja izhodišče za morebitne spremembe na obliko lopatic prototipnega ventilatorja. Eksperimentalna analiza je vsebovala merjenje delovne karakteristike ventilatorja in hitrostnega polja pred in za ventilatorjem s 5-luknjično sondo. Izbor osnovne oblike stroja Določanje geometrije rotorja Numerična analiza Slika 1: Faze razvoja aksialnega ventilatorja. Eksperimentalna analiza Izračun oblike lopatic aksialnega ventilatorja Izračun kinematičnih in dinamičnih spremenljivk toka skozi rotor ventilatorja temelji na kvazi -dimenzionalnem modelu zračnega toka skozi turbinski stroj [1]. Model je dopolnjen s teorijo krila [], [3] in [7]. Izračun se izvaja v ravnini pred in za rotorsko kaskado. Privzamemo, da tokovno polje poteka po cilindričnih tokovnih ploskvah. Dejanski odklon toka za lopatičnim vencem pa je upoštevan z empiričnimi relacijami Carter [5]. Bistvena značilnost rotacije zračnega toka, ki jo ustvari rotor aksialnega ventilatorja je v tem, da je porazdelitev aksialne komponente absolutne hitrosti odvisna od izbrane računske sheme rotacije in neposredno fizično od poteka kotov in zvitosti lopatice okoli vzdolžne osi lopatice. Na sliki je predstavljen ta proces. Slika : Radialni premik tokovnega polja pri vsiljenem vrtincu rotorja ventilatorja. Pri prostem vrtincu (free vortex) in za idealni fluid brez trenja je aksialna komponenta hitrosti konstantna na računski ravnini za rotorjem. V tem primeru tudi ni radialnega premika

92 tokovnic. Večje kot je odstopanje rotacije zračnega toka od prostega vrtinca, večji je premik pretoka zraka in tudi energijskega toka k obodu ventilatorja. Vrtilna gibalna količina zračnega toka je enaka produktu vrtinčne hitrosti in radija. Za rotorjem ventilatorja lahko n uporabimo zakon o ohranitvi vrtilne gibalne količine cu r = konst. Pri oblikovanju lopatice rotorja izberemo eksponent n in s tem predpišemo porazdelitev obodne komponente hitrosti c u in posredno tudi potek aksialne komponente c a absolutne hitrosti zraka. Rotacijo zraka na izstopu se upošteva z eksponentom vrtinca n (-1<n<1). Pri prostem vrtincu (n = 1) ni radialnega premika tokovnic. Ob predpostavki, da rotacije pred vstopom v rotorsko kaskado ni, lahko preko Eulerjeve turbinske enačbe povežemo porast totalnega tlaka rotorja Δ, aerodinamski izkoristek η, obodno hitrost u, gostoto ρ z p t obodno komponento hitrosti c u, v enačbi 1: ( Δpt / ηt ) r cur =. (1) ρur Če k temu dodamo še povezavo med parcialnim volumskim pretokom zraka na izbranem koaksialnem pretočnem volumnu da na radiju r ventilatorske kaskade dobimo: dv r = dar ca1. () Vse navedene kinematične veličine povezuje geometrija ventilatorske lopatice preko hitrostnih trikotnikov, ki so prikazani na sliki 3. t Slika 3: Kinematika zračnega toka na profilirani lopatici ventilatorja. Število in dimenzije lopatic se izbere glede na analizo kinematike toka, izbrano vrtilno hitrost rotorja in zahtevano nominalno delovno točko, ki je podana z volumskim pretokom zraka in prirastkom totalnega tlaka. Izračunajo se trikotniki hitrosti, izgube in izkoristki, ter na podlagi njih še parametri za izbiro lopatic (obremenitveno število, gostota kaskade, faktor difuznosti ). V nadaljevanju so podani v tabeli 1 vhodni podatki za izračun geometrije lopatic po programu, ki je bil izdelan v programskem okolju Matlab [4], na sliki 4 pa je predstavljena lopatica aksialnega ventilatorja, ki je rezultat tega izračuna in vstopa v numerično analizo toka skozi rotorsko kaskado, ki je predstavljena v nadaljevanju prispevka

93 Tabela 1: Vhodni podatki za izračun geometrije. Premer ventilatorja 5 mm Eksponent vrtinca,5 Premer pesta 14 mm Število lopatic 7 Špranja 5 mm Dolžina lopatice ob pestu 85 mm Vrtilna frekvenca 139 min -1 Dolžina lopatice na vrhu 175 mm Volumski tok 65 m 3 /h Zamik lopatice 9 mm Porast tlaka 15 Pa Slika 4: Predlagana oblika lopatice ventilatorja (pogled od zgoraj in od strani). 3 Numerična simulacija toka skozi ventilator Tok fluida skozi ventilator smo obravnavali v stacionarnem stanju. Opravili smo simulacije v treh delovnih točkah stroja. Uporabili smo programski paket Fluent 6.1., kjer smo reševali sistem Reynoldsovo povprečenih Navier-Stokesovih enačb. Enačbi ohranitve mase (enačba 4) in gibalne količine (enačba 5) skupaj z enačbama k-ω SST turbulentnega modela (enačbi 6 in 7) tvorijo zaključen sistem enačb [6]: ρ ( ρu j ) + =, (4) t x j ( ρu ) ( ρu jui ) i p u u i j + = + μ + ρu ' ' i u j, (5) t x j xi x j x j xi ( ρk) ( ρku j ) k + = Γk + G ~ k Yk, (6) t x j x j x j ( ρω) ( ρωui ) ω + = Γω + Gω Yω + Dω, (7) t x j x j x j kjer je G ~ k izvor turbulence zaradi gradientov hitrosti, G ω je izvor ω. Γ k in Γ ω sta efektivni difuzivnosti k in ω. Y k in Y ω sta disipaciji k in ω zaradi turbulence, D ω pa je difuzijski člen. 3.1 Simulacija Računsko domeno smo diskretizirali s strukturirano mrežo. Da bi zmanjšali računski čas, smo mrežili le en medlopatični prostor (1/7 celotne posode), na mejah pa predpisali

94 periodični robni pogoj. Uporabili smo mrežo s približno 73 vozlišči, ki je bila ob stenah kanala in ob lopaticah ventilatorja zgoščena - y + je znašal med 3 in 8. Vrtenje ventilatorja smo opisali z modelom rotirajoče referenčne domene. Konvergenčni kriterij je bil postavljen glede na razvoj tlakov na vstopu in izstopu iz računske domene. Parametra sta vedno konvergirala, ko je bila vsota ostankov transportnih enačb v celotni računski domeni manjša od Končno smo za kriterij skonvergirane rešitve vzeli situacijo, ko so ostanki padli pod 1 1-4, za kar je bilo potrebnih približno 6 iteracijskih korakov. Iteracijsko napako smo ocenili na,5 %. Robni in začetni pogoji: - tok: za popis turbulence smo uporabili k-ω SST turbulentni model, - robni pogoji: na stenah kanala, lopaticah ventilatorja in pestu smo privzeli no slip robni pogoj, na vstopu smo definirali pretok zraka ( 51, 65 in 76 m 3 /h), na izstopu pa tlak (1,13 bar), - vrtilna frekvenca ventilatorja je bila konstantna (139 min -1 ). 3. Rezultati simulacije Slika 5 prikazuje tlačne razmere na sesalni in na tlačni strani lopatice. Vidimo, da je porazdelitev tlaka ugodna. Le ob zunanjem sesalnem robu lopatice je območje z nizkim tlakom, ki kaže na verjetno trganje toka na tem mestu. Slika 5: Tlačne razmere v kpa na lopatici v optimalni obratovalni točki (Q = 6589 m 3 /h) pogled iz tlačne in sesalne strani. Prikazano hitrostno polje na sliki 6 (5 mm od zunanjega roba lopatice) potrjuje sum o trganju toka, ki je tu lepo vidno. Slika 6: Hitrostno polje 5 mm od zunanjega roba lopatice

95 Kljub neugodni situaciji smo obliko sprejeli, saj bi reševanje problema trganja podražilo izdelek, ki tako ne bi bil več konkurenčen. Meritve so opisane v naslednjem poglavju prispevka, rezultati pa prikazani v poglavju 6. 4 Potek meritev integralnih karakteristik Integralne karakteristike so bile izmerjene na merilni postaji v podjetju Rotomatika. Merilna postaja (slika 9) ustreza standardu ISO 581:1997. Na merilni postaji je bila merjena priključna moč elektromotorja z digitalnim analizatorjem moči Zimmer LGM45. Za določitev lastnosti zraka so bili izmerjeni temperatura suhega in vlažnega termometra ter atmosferski tlak. S temi podatki sta bili določeni relativna vlažnost zraka in gostota. Za določitev pretoka je bila izmerjena tlačna razlika med atmosferskim tlakom in tlakom v cevi, s katerim se preko enačb izračuna pretok. Za določitev integralne karakteristike ventilatorja je bila izmerjena še tlačna razlika med umerjevalno komoro in atmosfero. Skupna negotovost znaša ± % za pretok in ± 1,3 % za tlačno razliko med umerjevalno komoro in atmosfero. [8] 5 Potek meritev lokalnih karakteristik Slika 7: Shema merilne postaje. Eksperimentalni del merjenja lokalnih karakteristik je potekal v Laboratoriju za vodne in turbinske stroje na Fakulteti za strojništvo Univerze v Ljubljani. 5-luknjična sonda je namenjena merjenju komponent vektorja hitrosti (aksialna, obodna in radialna komponenta). Sonda ima pet luknjic, na katerih merimo tlak (p 1, p, p 3, p 4, p 5 ). Sondo okoli njene vzdolžne osi obračamo toliko časa, da se tlaka na luknjici in 3 izenačita (p = p 3 ), zapišemo kot sonde α in tlak na vsaki luknjici. Kot δ je kot med smerjo toka in osjo stroja, ki ga preberemo iz umeritvene krivulje 5-luknjične sonde. Vektorje hitrosti določimo po sledečem postopku, za absolutno hitrost: ( pt ps ) vabs =, (8) ρ

96 aksialna hitrost: v aks = v abs cosα cosδ, tangencialna hitrost: v tan = v abs sin α cosδ in radialna hitrost: v rad = v abs sinδ. Uporabili smo diferencialne merilne pretvornike za tlak Endress Hauser PD 35, ki imajo pri merilnem območju 1 Pa,1 % merilno negotovost. Čas zajemanja podatkov za vsako meritev je bil 6 s. Natančnost nastavljanja lege 5-luknjične sonde je omejena z natančnostjo pozicionirne mize. Sonda je potekala pravokotno na os ventilatorja, največje odstopanje od pravokotnice ocenjujemo na ± 1 mm. Natančnost pozicioniranja kota 5-luknjične sonde ocenjujemo na ± 1. Sestavljena negotovost znaša ± % od dejanske vrednosti. Negotovost ponovljivosti merilnih mest je omejena samo na negotovost pozicioniranja mize, medtem ko so ostala odstopanja povsod enaka. Na sliki 8 je prikazana merilna postaja za merjenje hitrosti. Slika 8: Merilna postaja za merjenje hitrosti. 6 Rezultati meritev integralnih in lokalnih karakteristik Diagram na sliki 9 prikazuje napoved integralnih karakteristik ventilatorja. Poteka izkoristka in tlačnega doprinosa v odvisnosti pretoka kažeta na ugodno rešitev. Slika 1 prikazuje eksperimentalno določeno po enačbi (8) in numerično izračunano absolutno hitrost. Δp [Pa] CILJ-tlak NAPOVED-tlak CILJ-izkoristek NAPOVED- izkoristek Q Slika 9: Integralne karakteristike. 1,9,8,7,6,5,4,3,,1 izkoristek c [m/s] absolutna absolutna_num r [mm] Slika 1: Absolutna hitrost

97 Ker je numerična analiza napovedala dobre rezultate (v delovnem območju smo presegli ciljno karakteristiko) smo se odločili za izdelavo prototipnega ventilatorja. Iz primerjave absolutnih hitrosti na sliki 1 se vidi značilno odstopanje v področju blizu pesta ventilatorja, kjer je pričakovati prisotnost trganja toka in generiranja koherentnih vrtincev, ki jih model ne zajame. 7 Zaključek V članku smo pokazali metodologijo razvoja aksialnega ventilatorja. Predstavljena je bila metoda določitve osnovne geometrije rotorja aksialnega ventilatorja za izbrano nominalno obratovalno točk. Predstavljen je numerični model integralnih karakteristik stroja in lokalnih tokovnih lastnosti v pretočnem polju rotorja ventilatorja, ki smo jih primerjali z eksperimentom, ki pa predstavljajo izhodišče za morebitne spremembe na obliki lopatic prototipnega ventilatorja. Iz primerjave rezultatov je razvidno, da se delovne karakteristike relativno dobro ujemajo z numeričnimi rezultati, opazna je le razlika v poteku izkoristkov stroja. Ta pojav je prisoten pri numeričnem modeliranju hidravličnih strojev in je povezan z napovedovanjem hidravličnih izgub v pretočnem traktu. Pri primerjavi modeliranih in izmerjenih hitrosti pa je prisotno odstopanje manj ugodno, saj so vidne tudi kvalitativne razlike, ki so predvsem posledica kompleksnih tokovnih struktur ob pestu ventilatorja. Ta problem navaja na možnost korekcij geometrije lopatic ventilatorja na tem področju, kar bi privedlo do izboljšanja izkoristka stroja. Predstavljena metoda je uporabna pri razvoju poljubnih hidravličnih strojev. Literatura [1] British Standards Institution, BS 848: Part 1:198, Fans for General Purposes, Part 1: Methods for Testing Performance, 198 [] Dovžik, S. A.: Profikirovanie lopatok osevogo dozvukovogo kompresora, Promyšlennaja Aerodinamika, vypusk 11, Oborongiz, 1958 [3] J.E. Hesselgreaves, A correlation of tip clearance/efficiency measurements on mixedflow and axial-flow turbomachines, in: Conference on Hydraulics and Hydraulic Machinery, Budapest, September [4] Edward Hofler: Program za celovito analizo računske točke in dizajn aksialnega ventilatorja; verzija D; december 4 [5] Hoefler, E.: Energijske razmere aksialnih ventilatorjev pri raznih ugraditvah, Inštitut za turbinske stroje, poročilo za RSS št 1156, april 1976 [6] Ferziger, J.H., Perić, M.: Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition, Springer, [7] Dr.-Ing. Bruno Eck: Fans; Design and operation of centrifugal, axial-flow and cross-flow fans, Perganom press Ltd., Headington Hill Hall, Oxford, 1973 [8] Dali Đonlagić: Merjenje tlakov in temperatur; Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko; Maribor 5-9 -

98 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Časovno-odvisno vedenje plezalnih vrvi I. Emri 1, B.S. von Bernstorff, A. Nikonov 1, U. Florjančič 1 in B. Zupančič 1 Time-Dependent Behavior of Climbing Ropes Povzetek. Za karakterizacijo mehanskih lastnosti plezalnih vrvi je bil postavljen eksperiment in razvita numerična analiza. Prispevek izkazuje, da lahko razvit postopek dinamične analize uporabimo za izračun pomembnih karakteristik, kot so sila v vrvi, sprememba pospeška, viskoplastična deformacija vrvi, shranjena, vrnjena in disipirana energija, sprememba togosti vrvi po vsakem ciklu obremenjevanja. Vse te parametre lahko določimo glede na en sam dinamičen odziv vrvi, ki je izpostavljena impulzni obremenitvi. Izračuni parametrov so bili verificirani z navzkrižnim preverjanjem rezultatov ob uporabi različnih formul za izračun istih parametrov. Abstract. The experimental setup and numerical analysis were developed for mechanical characterization of climbing ropes. In this paper we show that the newly developed simple procedure of dynamical analysis can be successfully applied for calculation of several important characteristics, such as the impact force in the rope; derivative of the (de)acceleration; viscoplastic deformation of the rope; stored, retrieved and dissipated energy during the loading and unloading of the rope; modification of the stiffness of the rope within each cycle of loading. All those parameters can be determined just from a single dynamic response of the rope exposed to impulse loading. The verification of the calculated parameters was made via crosschecking the results using different formulae for calculating the same parameters. 1 Uvod Plezanje postaja zelo popularen šport, pri katerem je plezalna vrv najbolj kritičen element opreme plezalca. Plezalne vrvi so prvenstveno namenjene varovanju plezalca. V ta namen se uporabljajo t.i. dinamične vrvi, za katere je značilno, da se raztegujejo pod vplivom velikih 1 Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, Slovenija BASF Aktiengesellschaft, Ludwigshafen, Nemčija

99 obremenitev in s tem ublažijo vpliv sile. Na ta način varujejo plezalca pred preveliko ujemno silo, ki se generira pri padcih. Na tržišču so poleg dinamičnih na voljo tudi statične vrvi, ki so bolj obstojne in bolj odporne na poškodbe zaradi zunanjih vplivov. Njihova slabost pa je v tem, da ne nudijo zaščite pred impulzno obremenitvijo pri padcih plezalcev. Iz tega razloga je njihova uporaba vezana na dejavnosti, kjer se impulzne obremenitve praviloma ne pojavljajo (npr. jamarstvo, navtika) [1]. Zveza UIAA (Union Internationale des Associations d'alpinisme) je postavila standardno testno proceduro za raziskovanje vedenja vrvi, ki so izpostavljene večjemu številu zaporednih padcev []. Procedura testiranja vrvi s standardiziranimi utežmi simulira padec plezalca. Test nam pove, koliko padcev zdrži vrv pred pretrgom. Različne kategorije vrvi sledijo različnim normativom, UIAA standard pa zahteva, da vrv zdrži vsaj 5 testnih padcev pred pretrgom. Načeloma vse vrvi na trgu dosegajo ta minimum, nekatere pa ga celo znatno presegajo. Naslednji parameter, ki ja lahko merimo s standardnim testom, je sila, ki se prenese na plezalca. Pri vseh UIAA testih mora izmerjena sila ostati znotraj opredeljenega območja. Obstoječ standard pove malo o trajnosti vrvi. Trajnosti, ki jo je težko opredeliti s poenostavljenimi metodami, ne moremo enačiti le z napovedjo odpovedi vrvi, temveč je potrebno spremljati časovno-odvisen odziv vrvi in s tem povezano poslabšanje njene kakovosti zaradi izpostavljenosti impulznim obremenitvam. UIAA standardni testi niso namenjeni analizi časovne odvisnosti deformacijskega procesa vrvi, ki povzroči strukturne spremembe materiala in posledično vpliva na njegovo trajnost. S tem prispevkom predstavljamo celovito dinamično analizo sorazmerno preprostega eksperimenta, ki omogoča vpogled v časovno-odvisno elasto-visko-plastično vedenje vrvi, izpostavljenih impulznim obremenitvam. Postopek testiranja izvajamo na komercialnih dinamičnih plezalnih vrveh. Teoretično ozadje Časovno-odvisen odziv vrvi pod vplivom dinamične obremenitve padajoče uteži lahko dobimo preko izmerjene sile v zgornji fiksacijski točki vrvi, kot shematično prikazuje slika 1. Pri takem eksperimentu mečemo utež mase m s poljubne višine h l, kjer je l dolžina testirane vrvi. Silo Ft () kot funkcijo časa lahko izrazimo z množico N diskretnih parov točk, { F, t ; i 1,,3,, N} i i =. (1) Diagram sile, ki je shematično prikazan na sliki, lahko razdelimo na tri različne faze, ki so na sliki označene z A, B in C. Faza A: Met uteži sprožimo pri nekem času t spr. Utež prosto pada do trenutka t, ko se vrv povsem zravna. Na sliki je točka tega dogodka označena s T. Višino, s katere vržemo utež, označuje h. Če pri tem zanemarimo upor zraka, je hitrost uteži v tej točki enaka v = gh. Točka T označuje konec prostega pada uteži in začetek faze B. Faza B: V točki T utež prične raztegovati vrv. Gibanja med točkama T in T 5 lahko popišemo z diferencialno enačbo, mx () t = mg Ft (), () - 9 -

100 pri čemer zanemarimo upor zraka. Tu je m masa uteži, g gravitacijski pospešek, x() t pa predstavlja drugi odvod pomika uteži, x() t, ki ga merimo od točke T naprej. x() t torej predstavlja časovno-odvisno deformacijo vrvi. F (t) A First loading cycle B C Second loading cycle F (t) m h F max T l F (t) Force - F(t) T 3 m t = t m F (t) mg T 1 T T 4 T 5 T 6 T 4 mg t t t 3 t 5 t spr t 1 t 4 t 6 Time - t Slika 1: Shema izvajanja eksperimenta z metom uteži, ki je pritrjena na vrv Slika : Izmerjena sila pri metu uteži Rešitev enačbe () nam daje analitično formulo, ki popisuje pomik uteži kot funkcijo časa, kar je enako popisu elasto-visko-plastične deformacije vrvi, t τ gt 1 x( t) = F( ϑ) dϑ dτ + C1t + C. (3) m t t Glede na to, da se cikel obremenjevanja vrvi prične ob času t, privzamemo t =. Konstanti in C lahko določimo iz začetnih pogojev v točki T: xt ( = t) = in C1 x ( t = t ) = v = gh. Torej, C = in 1 m t= + t C 1 1 = v + F() t dt = v + F() t dt = v m (4) t Deformacijo sedaj lahko izrazimo kot t τ gt 1 x( t) = F( ϑ) dϑ dτ + vt, (5) m t t hitrost uteži pa kot t 1 v( t) = x ( t) = gt F( τ ) dτ + v. (6) m t =, sila v vrvi postane enaka teži uteži, F t1 V točki T 1, kjer je t t 1 ( ) = mg. V tej točki hitrost uteži doseže maksimalno vrednost, v = v( t ). (7) max

101 Čas t 1 lahko določimo direktno iz diagrama, ki predstavlja potek sile v odvisnosti od časa (glej sliko ). Sila, ki deluje na vrv, doseže svojo maksimalno velikost v točki T, ko je t = t = t( F = F ), ali max Fmax = Ft ( ). (8) Glede na viskoelastično naravo vrvi bo maksimalna deformacija nastopila nekoliko kasneje, pri času t = t 3, t.j. v točki T3, ko je hitrost uteži enaka. Torej, t 3 1 v3 = v( t3) = gt3 F( τ ) dτ + v =. (9) m t Čas t 3 lahko določimo numerično iz enačbe (9). Tedaj je maksimalna deformacija vrvi enaka t3 t3 τ 1 smax = v( τ ) dτ = gτ F( ϑ) dϑ + v dτ. (1) t t m t Faza razbremenjevanja vrvi se začne v točki T3. Elastična komponenta deformacije vrvi bo vrnjena in bo povzročila pojemajoče gibanje uteži navpično navzgor. Pri t = t 4, označeno s točko T4, ponovno postane sila, ki deluje na utež, enaka sili teže uteži, F( t4 ) = mg. V točki T 5, ko je sila v vrvi enaka, Ft ( 5) =, se utež prične prosto gibati v navpični smeri navzgor. Hitrost v točki T 5 lahko izračunamo s pomočjo enačbe (6), t 5 1 v5 = v( t5) = gt5 F( τ ) dτ + v =. (11) m t Izračunamo lahko tudi elastični del deformacije, s el, ki je enak pomiku uteži v fazi razbremenjevanja vrvi med točkama T 3 in T 5, t5 τ 1 s = = el x( t3 ) x( t5 ) F( ϑ) dϑ v gτ dτ. (1) m t3 t Z razliko med maksimalno in elastično deformacijo lahko izrazimo tudi viskoplastično deformacijo vrvi, s. Torej, vp t5 τ 1 svp = smax sel = gτ F( ϑ) dϑ + v dτ. (13) t m t Faza C: Točka T 5 predstavlja začetek faze C, ko utež nima več vpliva na vrv. Utež se prične gibati navpično navzgor z začetno hitrostjo v 5, ko pa se vrne v točko T 6, se prične drugi cikel deformacijskega procesa vrvi. V tem časovnem intervalu se bo vrv krčila zaradi procesa retardacije v polimernih materialih. Kot rezultat tega bo dolžina vrvi v točki T6 krajša od dolžine v točki T 5, kar pomeni, da je v6 < v5. Če poznamo čas navpičnega leta uteži navzgor, t = v g, lahko izračunamo njeno hitrost v to čki T 6, u 5 [ ] v = v( t = t ) = g ( t t ) t = g( t t ) v 5. (14) u

102 Med točkama T 5 in T 6 bo vrnjen viskoelastični del deformacije, s ve. Računamo ga preko razlike med pozicijama uteži v točkah T 5 in T 6, torej, t6 τ 1 sve = x( t5 ) x( t6 ) = F( ϑ) dϑ v gτ dτ. (15) t5 m t Po drugi strani pa viskoelastično komponentno deformacije lahko izračunamo tudi preko razlike med razdaljo vertikalnega navpičnega leta uteži in razdaljo prostega pada uteži med točkama T 5 in T 6, g sve = tu ( t6 t5 tu ). (16) Sedaj lahko izračunamo tudi trajno plastično deformacijo vrvi, t5 τ t 6 τ 1 1 s pl = svp sve = gτ F( ϑ) dϑ + v dτ F( ϑ) dϑ v gτ dτ. (17) t m t t5 m t V točki T 6 se prične naslednji cikel obremenjevanja vrvi, ki ga lahko analiziramo z istim naborom enačb, ki smo jih izpeljali za fazi B in C..1 Diagram sile v odvisnosti od pomika pri deformacijskem procesu vrvi disipacija energije Disipacija energije pri procesu deformacije vrvi je ena pomembnejših karakteristik vrvi in smiselno je, da jo uporabljamo kot kriterij za primerjavo kvalitete vrvi. Silo, F() t, ki jo merimo v času obremenjevanja in razbremenjevanja vrvi (faza B), lahko izrazimo tudi kot funkcijo deformacije vrvi, F = F() s, kot je shematično prikazano na sliki 3. F max T T 3 Force F(s) W dis mg k init T 1 T 4 k end T s 1 s 4 Deformation - s T 5 s max s vp s el Slika 3: Diagram sile v odvisnosti od pomika v času obremenjevanja in razbremenjevanja Diskretno obliko relacij med posameznimi karakteristikami dobimo z izračuni izokroničnih vrednosti deformacije vrvi, ki ustrezajo diskretnim vrenostim izmerjene sile med točkama T in T 5, { F Ft ( ), s xt ( ); t t t, i 1,,, M} = = =. (18) i i i i i

103 Pri tem je M število točk merjene sile znotraj časovnega intervala [ ] 5, t t. Vsota kinetične energije in potencialne energije se med procesom obremenjevanja vrvi pretvarja v deformacijsko energijo vrvi, ki jo v vsakem delu deformacije lahko izrazimo kot (t) W k ) W p (t + = = t t t t t d v d F m g F d d dx F t W ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( τ υ υ τ τ τ τ τ τ τ, (19) Zanima nas celotna deformacijska energija oz. shranjena energija, ki je edina absorbirana energija (če zanemarimo zračni upor) in posledično zmanjša vpliv sile na plezalca, + = = 3 3 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( t t t t t store d v d F m g F d d dx F W τ υ υ τ τ τ τ τ τ τ. () V fazi razbremenjevanja je vrnjena elastična komponenta deformacije vrvi, ki pospeši utež v navpični smeri navzgor, + = = = max ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t s s ret d v d F m g F d d dx F ds s F W vp τ υ υ τ τ τ τ τ τ τ. (1) Disipirano energijo, ki jo na sliki 3 predstavlja zasenčeno območje, izrazimo kot razliko + + = = τ υ υ τ τ τ υ υ τ τ τ τ d v d F m g F d v d F m g F W W W t t t t t t ret store diss ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( (). Disipirana energija predstavlja spremembo notranje energije vrvi. Ker mora biti shranjena energija enaka celotni potencialni energiji uteži, lahko enačbo () nadomestimo z enačbo = τ υ υ τ τ τ d v d F m g F s h mg W t t t diss 5 3 max ) ( 1 ) ( ) (. (3) Vse tri energije lahko izračunamo iz vsote kinetične in potencialne energije uteži v različnih fazah deformacijskega procesa. Torej bi shranjena energija morala biti enaka vsoti kinetične in potencialne energije v točki T 3, ko se vrv raztegne maksimalno. Hitrost uteži je v tej točki enaka, kot je izraženo z enačbo (9), zato je 3 max max ( ) ( store mv W mgh s mgh s = + + = + ), (4) lahko druga oblika enačbe (). Vrnjena energija, izražena z enačbo (1), je enaka vsoti potencialne in kinetične energije uteži v točki T 5, 5 ret el mv W = +mgs. (5)

104 Disipirano energijo, ki jo podaja enačba (), pa prav tako lahko izrazimo kot razliko med shranjeno, enačba (4), in vrnjeno energijo, enačba (5), m m Wdiss = Wstore Wret = ( v3 v5 ) + mg( h+ smax sel ) = ( v3 v5 ) + mg( h+ svp ). (6) Iz enačbe (5) lahko izračunamo začetno hitrost uteži v točki T 5, v m 1 F( τ ) gτ m t5 τ 5 ) t3 t F( υ dυ + v d = τ mgs el. (7) Enačba (7) predstavlja drugo možnost za izračun hitrosti v 5,uporabimo pa jo lahko za preverjanje pravilnosti rezultatov, ki jih dobimo iz zgoraj navedenih formul.. Povečana togost vrvi Pomemben parameter za primerjavo kvalitete različnih vrvi je sprememba togosti po enem ciklu obremenjevanja. Z vsakim naslednjim ciklom vrv postaja bolj toga, kar pomeni, da se njena sposobnost varovanja zmanjšuje. Glede na to bi bil lahko pokazatelj kvalitete in trajnosti vrvi razmerje med togostjo na začetku, k, in koncu, k, procesa deformacije, kinit χ = 1. (8) k end Togosti kinit in end določimo iz naklonov diagrama sile v odvisnosti od pomika v točkah T in T 4, kot prikazuje slika 3, k init df() s = in ds = s s1 init k 1 k end df() s =, (9) ds = s s4 kjer sta s 1 in s 4 deformaciji vrvi, ki ustrezata točkama T 1 in T 4, in predstavljata začetek in konec deformacijskega procesa vrvi (slika 3). Analiza togosti preko diagrama sile v odvisnosti od pomika, kaže, da vrv postane bolj toga v vsakem ciklu, kar pomeni slabše lastnosti. end.3 Impulz sile in sprememba pospeška Izkušnje s področja prometnih nesreč kažejo, da je sprememba pospeška v časovni spremembi za voznika lahko bolj nevarna kot pa vpliv pospeška samega. Tako je maksimalna absolutna vrednost odvoda pospeška eden izmed kriterijev za presojo kvalitete plezalnih vrvi, dvt () 1 dft () max dt m dt ψ = max =. (3) Vrvi z manjšimi vrednostmi ψ so boljše (varnejše) kot tiste z večjimi vrednostmi ψ. Posebej pomembna količina za trajnost vrvi je spreminjanje ψ med dvema zaporednima cikloma, n in n + 1,

105 ψ n Θ ( nn, = 1,, N) =. (31) ψ n + 1 Vrvi, pri katerih je Θ( n) počasi padajoča funkcija glede na število ciklov n, so boljše od vrvi, pri katerih je Θ( n) hitro padajoča funkcija n. Drug pomemben parameter za oceno kakovosti vrvi je tudi impulz sile, I, ki mu je plezalec izpostavljen preko različnih faz padca. Ločimo lahko med dvema fazama padca. Prva faza je faza pojemanja (slika 3) med točkama T in T 3, naslednja faza pa je faza pospeševanja med točkama T 3 in T 5, I 1 = t3 t t5 F( τ ) dτ in I = F( τ ) dτ. (3) t3 Pri povsem elastičnem materialu sta impulza enaka, I 1 = I, medtem ko pri elasto-viskoplastičnem materialu velja relacija. Razmerje med tema dvema količinama, I I I1 > I ξ =, (33) 1 je proporcionalno vrednosti viskoelastične deformacije v ciklu obremenjevanja. Vrednost bo vedno manjša ali kvečjemu enaka 1, ξ 1. Manjši ξ pomeni večjo viskoelastično komponento deformacije. Zaporedje vrednosti ξ ( n) kot funkcija števila ciklov obremenjevanja je lahko naslednji kriterij trajnosti in lahko služi za primerjavo različnih vrvi. 3 Zaključki V prispevku smo pokazali, da novo razvita procedura uspešno podaja izračune pomembnih karakteristik, ki definirajo elasto-visko-plastične lastnosti vrvi kot so sila v vrvi, vpliv spremembe pospeška na plezalca, viskoplastična deformacija vrvi, shranjena, vrnjena in disipirana energija v procesu obremenjevanja in razbremenjevanja vrvi, sprememba togosti z vsakim ciklom. Vse te parametre lahko določimo le z meritvijo enega dinamičnega odziva vrvi pod vplivom impulzne obremenitve. 4 Literatura [1] Jenkins M., Editor, Materials in Sports Equipment, Woodhead Publ. Ltd., Cambridge, (3) []

106 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Optimizacija nosilcev primerjava dveh formulacij M.Gams 1, M. Kegl, M. Saje 1, I. Planinc 1 Optimisation of beam structures a comparison of two formulations Povzetek. V prispevku predstavimo dve različni formulaciji končnih elementov za dinamično analizo elastičnih ravninskih nosilcev z upoštevanjem točnih geometrijskih zvez, ter primerjamo njuno učinkovitost na optimizacijskem problemu. Prva formulacija temelji na interpolaciji pomikov, druga pa na interpolaciji deformacij. Izkaže se, da se lahko formulaciji v določenih primerih dopolnjujeta, v togih primerih pa je pomična bolj primerna. Abstract. In this article two formulations are presented for dynamic analysis plane elastic beams with exact kinematics. One is based on displacements and the other on the deformations. The comparisons are made on the basis of an optimisation problem. In stiff cases, the displacement based formulation is more suitable, whereas in normal cases, the two formulations perform evenly. In some cases they may lead to different, yet equivalent optimums. 1 Uvod Optimizacija je ključen dejavnik uspešnega, učinkovitega in smotrnega projektiranja konstrukcij in mehanizmov. V pričujočem prispevku obravnavamo optimizacijo dinamičnih ravninskih sistemov, ki jih lahko modeliramo z elastičnimi nosilci. Poudarek je na primerjavi dveh različnih računskih postopkov za analizo nosilcev v optimizacijskem problemu s stališča rezultatov, stabilnosti in robustnosti. Modeli iz nosilcev so primerni za modeliranje zelo raznovrstnih mehanizmov, od konstrukcij in vozil, do robotov in manipulatorjev. V tovrstnih analizah se je pojavila potreba po upoštevanju kinematično točnih teorij, saj lahko v procesu optimizacije določeni elementi postanejo zelo podajni in se izrazito deformirajo (Vohar s sodel. [6]). Problem je dodatno znanstveno zanimiv zaradi znanih težav nestabilnosti časovnih integratorjev, ki se lahko pojavijo, če upoštevamo kinematične točne teorije. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerza v Maribour, Fakulteta za strojništvo

107 Pri formuliranju metode končnih elementov z upoštevanjem kinematično točne Reissnerjeve teorije nosilcev [19] obstaja le nekaj bistveno različnih pristopov. Značilnost osnovnega pristopa je interpolacija pomikov in zasukov (glej npr. Simo in Vu-Quoc [3], ali pa Crisfield s sodel. [4]), kjer z družino polinomov interpoliramo pomike in zasuke. Značilna slabost tega pristopa je blokiranje končnih elementov, ki se mu standardno izognemo z uporabo reducirane ali pa selektivno reducirane integracije. Ta pristop je najbolj razširjen in uporabljan. Drugi pristop je tako imenovani ANCF pristop (Absolute Nodal Coordinate Formulation), oz. pristop z absolutnimi vozliščnimi koordinatami, ki ga je vpeljal Shabana [1,]. Glavni motiv vpeljave tega pristopa je, da se izognemo interpolaciji zasukov [1]. Dodatna prednost te formulacije je še, da je v 3D primeru masna matrika konstantna (če interpoliramo pomike in zasuke, ni). Vendar pa so izrazi za sile močno nelinearni in zapleteni. Temu se lahko izognemo z zapisom elastičnih sil po principu kontinuuma. Blokiranje je tudi sedaj prisotno. Tudi v tem primeru se mu izognemu se z uporabo reducirane integracije. Alternativni pristop tema dobro uveljavljenima pristopoma je pristop z interpolacijo deformacij. Začetnik tega pristopa je Planinc [18]. Pristop je bil uporabljen v raznih gradbeniških problemih, med drugim tudi v dinamiki nosilcev (Gams s sodel. [6], izboljšava pristopa Gams s sodel. [7]). Bistvena prednost te formulacije pred ostalimi je neobčutljivost na vse vrste blokiranj in velika natančnost. Relativna slabost pa je zapletenost. Časovno integracijske sheme, ki so bile razvite za linearne probleme (recimo Newmark [17], ali pa HHT [1]) v nelinearnih problemih pogosto odpovedo (glej Crisfield s sodel. [1,4], Kuhl in Crisfield [6]), zato se je pojavila potreba po njihovem izboljšanju. Izkaže se, da se lahko v posameznem časovnem koraku energija sistema poveča, namesto da bi ostala ista ali pa se zmanjšala. V literaturi zasledimo tri različne pristope za časovno integracijo, ki stremijo k boljši časovni stabilnosti. Prva skupina so algoritmi linearne dinamike z dušenjem, vendar, kot smo že omenili, ne delujejo vedno. Druga skupina so sheme, ki z dodatnimi vezmi zagotavljajo ohranjanje energije in gibalne ter vrtilne količine. Te kljub točnemu zadoščanju vezi in s tem energije ne dosežejo želene stabilnosti (glej Kuhl in Ramm [15]). Zato se najbolj uporablja in razvija tretja skupina algoritmov (»Energy-Momenum Methods«oz. EMM). Te metode algoritemsko oz. inherentno zadoščajo izrekom o ohranitvi gibalne in vrtilne količine ter energije. Med implicitnimi integracijskimi shemami v nelinearni dinamiki so te sheme najboljše (najbolj stabilne). Prve sheme EMM je za 3D palice razvil Simo s sodel. [4], kasneje pa so raziskovalci sheme razvili na vseh področjih mehanike (glej npr. [1,11,16,,5]). K metodam EMM je prispeval tudi Gams s sodel. [8]. Izpeljali so novo verzijo EMM metode, ki ohranja energijo, gibalno in vrtilno količino. Ta verzija se od ostalih razlikuje v tem, da uporablja šibko obliko kinematičnih enačb. Za optimizacijo oblike sistemov iz nosilcev obstaja več pristopov (glej npr.: [1,13,7]). V pričujočem delu smo uporabili pristop Kegla in Antesa [13] in Kegla [14]. Poleg oblike so lahko v optimizacijskem procesu od projektnih spremenljivk odvisni tudi geometrijski parametri. To omogoča optimizacijo skeletnih konstrukcij, znotraj katere imajo elementi spremenljive geometrijske karakteristike prečnih prerezov. Optimizacijski proces poteka tako, da se v vsaki iteraciji optimizacije preračuna celoten časovni odziv. Ker je postopek optimizacije gradientni s konveksno aproksimacijo, se glede na namensko funkcijo in omejitvene pogoje (glede na njihove odvode) dobi nove približke projektnih spremenljivk za naslednjo iteracijo optimizacije

108 Namen pričujočega članka je primerjati dve formulaciji kinematično točnih modelov nosilcev med seboj na primeru dinamičnega optimizacijskega problema s stališča natančnosti, robustnosti, stabilnosti reševanja in sposobnosti optimizacije. Primerjamo deformacijsko formulacijo, opisano v [7], ter pomično formulacijo z modificirano EMM integracijsko shemo, kot je podana v [8]. 3 Dve numerični formulaciji Reissnerjevega modela nosilca Kot smo že omenili v uvodu, primerjamo dve različni formulaciji nosilcev. Obe izhajata iz geometrijsko točne teorije nosilcev, ki jo je za ravninske primere izpeljal Reissner [19]. Kinematične enačbe te teorije nosilcev so podane z enačbami 1+ u (1 + ε ) cosϕ γ sinϕ =, w + (1 + ε ) sinϕ γ cosϕ =, ϕ κ =. V zgornjih enačbah sta u in w pomika, ϕ je zasuk, ε, γ in κ pa so osna, strižna in upogibna deformacija težiščne osi nosilca. Upoštevan je linearno elastičen materialni model. Pri izpeljavi obeh formulacij smo uporabili program AceGen (Korelc [9]) za avtomatsko odvajanje in generiranje programske kode. 3.1 Deformacijska formulacija Deformacijska formulacija temelji na ideji, da interpoliramo le deformacijske količine. Postopek izpeljave formulacije ni preprost in je detajlno opisan v [7]. V formulaciji se ne da izogniti vpeljavi Lagrangevih množiteljev, kar pomembno vpliva na obnašanje sistema, saj ta zaradi tega postane diferencialno-algebrajski. V dinamiki je to povezano z določenimi zapleti, saj so lastne vrednosti oz. lastne nihajne frekvence, ki pripadajo algebrajskim enačbam, neskončne, in sistem je zato inherentno tog. Za časovno integracijo takih sistemov se uporablja posebne postopke. Dodatna posebnost te formulacije je tudi ekspliciten zapis konstitutivnih enačb. To predstavlja ključno razliko v primerjavi z ostalimi formulacijami, saj so sedaj konstitutivne zveze eksplicitno zadoščene. To v analizi pripomore k večji natančnosti in odpornosti proti vsem vrstam blokiranja. Ugodni vplivi te lastnosti pa so pomembni tudi v materialno nelinearni analizi []. Za časovno integracijo je uporabljena standardna midpoint shema, kot je bila izpeljana za pomične elemente ([3,11,4,5]). S tem je stabilnost reševanja bistveno boljša, kot če bi uporabili Newmarkovo [17] integracijsko shemo. Kljub temu pa časovna stabilnost še ni zadostna, saj ni doseženo ohranjanje energije [7]. Gradientna optimizacija uporablja odvode enačb formulacije po projektnih spremenljivkah. Dodatno je aplicirana možnost optimiranja pogona. Ker v formulaciji nastopa veliko število

109 notranjih prostostnih stopenj, ki jih s statično kondenzacijo izločimo, smo morali optimizacijski proces temu prilagoditi. 3. Pomična formulacija Značilna lastnost pomičnih formulacij je, da se interpolira pomike in zasuke. Za interpolacijo se klasično uporablja Lagrangeve polinome nižjih redov. V formulaciji se eksplicitno zadošča le kinematičnim in ravnotežnim enačbam, konstitucijske enačbe so izpolnjene le implicitno. Za pomične formulacije je značilno, da se pojavi blokiranje. V primeru nosilcev se lahko blokiranju zelo učinkovito izognemo z reducirano integracijo. Reducirana integracija se uporabi le za togostne člene, vztrajnostne člene pa moramo polno integrirati. Raznolikost pomičnih formulacij za nosilce se zelo razširi, ko vpeljemo še časovno integracijo. Trenutni trend je implementacija različnih vrst integratorjev, ki ohranjajo energijo ter gibalno in vrtilno količino ([3,11,1,5]). Novo in zelo uspešno metodo s temi lastnostmi je razvil Gams s sodel. [8]. Posebnost tega pristopa je zadoščanje kinematičnih enačb v šibki obliki in računanje napetosti v inkrementni obliki. V primeru kvadratičnih ali višjih polinomov se pojavijo notranje prostostne stopnje, ki se izločijo s statično kondenzacijo. Dodaten problem predstavlja tudi inkrementen način računanja deformacij, saj je potrebno dodatno računanje še odvodov deformacij po projektnih spremenljivkah. 4 Računski primer 4.1 Optimizacija robotske roke Obravnavamo robotsko roko, ki je na prostem koncu obtežena s točkovno maso M=5 kg (glej sliko 1). Dolžina jeklene roke z elastičnim modulom E=1 GPa, Poissonovim količnikom ν =.3 ter gostoto ρ = 78 kg/m 3 je L=5m in ima polni pravokotni prečni prerez. Zasuk vpetega konca je predpisan tako, da se roka v času t 1 =.5 s postavi v vertikalni položaj, kjer potem obmiruje (dvig tovora). Funkcija predpisanega zasuka v odvisnosti od časa je zapisana v enačbi (1). Mehanizem modeliramo s štirimi kvadratičnimi končnimi elementi. Vsak končni element ima lahko drugačno širino in višino prečnega prereza. Optimizacijska naloga A se glasi: dvigni maso v navpični položaj ter jo tam zadrži tako, da ne bo nihala okoli navpične lege za več kot cm. Dodaten omejitveni pogoj je, da se pri času.5 s masa nahaja na višini 5m ± 1 mm. Masa robotske roke naj bo čim manjša (namenska funkcija). Dimenzije prečnih prerezov so edine projektne spremenljivke. Spreminjajo se lahko v mejah od š v = 1 1 cm do največ š v = 45 1 cm. Optimizacijska naloga B: naloga je identična nalogi A s to razliko, da je sedaj namenska funkcija mehanska energija robotske roke pri času t1 =. 5 s. Dodaten omejitveni pogoj je, da volumen robotske roke ne sme biti večji od.5 m 3-1 -

110 Slika 1: Shematski prikaz robotske roke. π 1 cos π t ; t < t 4 1 = t ϕ 1 (1) π ; t t 1 Izkazalo se je, da so začetni približki za račun pri obeh optimizacijskih nalogah zelo pomembni. V primeru nesrečno izbranih začetnih približkov se je pogosto zgodilo, da se je proces optimizacije ujel v lokalni minimum, iz katerega se ni mogel več rešiti. Začetni približki v vseh primerih so bili š v = 9 19 cm. Začetni volumen in masa sta.855 m 3 in kg. 4. Optimizacija s pomično formulacijo Rešitev optimizacijske naloge A je robotska roka širine 1 cm z višino, ki se spreminja od 33.6 cm ob vpetju, do 1.7 cm na prostem koncu (glej sliko ). Volumen in masa take roke sta.1 m 3 in kg x širina [m] višina [m] dolžina[m] Slika : Višina (debela črta) in širina (tanka črta) optimirane robotske roke. Pomična formulacija, optimizacijska naloga A. Primerjava odziva (pomik na prostem koncu) začetnega in optimiranega manipulatorja je prikazana na sliki 3. Rešitev optimizacijske naloge B je roka s spremenljivo širino in višino. Širina robotske roke se spremenlja od 1.95 cm do 1.1 cm (slika 4). Višina prečnega prereza pada od 39. cm ob vpetju do 16.7 cm na prostem koncu. Volumen je z.493 m 3 manjši od zgornje omejitve. Vrednost namenske funkcije je manj kot.1 J

111 pomik [m] začetna oblika optimalna oblika čas [s] Slika 3: Pomik prostega konca robotske roke (naloga A). Primerjava odziva začetne in optimirane oblike x širina [m] višina [m] dolžina[m] Slika 4: Višina (debela črta) in širina (tanka črta) optimirane robotske roke. Pomična formulacija, optimizacijska naloga B. 4.3 Optimizacija z deformacijsko formulacijo Rešitev optimizacijske naloge A z deformacijsko nalogo vodi v isti optimum, kot v primeru pomične formulacije. Širina in višina prereza manipulatorja sta enaki kot prej, prav tako tudi odziv. Rešitev optimizacijske naloge B pa vrne občutno drugačne rezultate kot v primeru pomične formulacije, saj pride do občutne odebelitve odseka od 1.5 do.5 m (slika 5). Širine prečnega prereza imajo vrednosti od 1 do.5 cm, višine pa od 4.9 ob vpetju do 19.3 cm na prostem koncu. Volumen doseže maksimalno dovoljeno vrednost (.5 m 3 ), vrednost namenske funkcije pa je zopet manj kot.1 J

112 x širina višina Slika 5: Višina (debela črta) in širina (tanka črta) optimirane robotske roke. Deformacijska formulacija, optimizacijska naloga B. 4 Zaključki V prispevku sta na optimizacijskem problemu primerjani dve konceptualno različni formulaciji za elastične ravninske nosilce z upoštevanjem točnih kinematičnih zvez. Formulaciji lahko pri istih začetnih približkih (začetnih stanjih) vodita v različne optimume, kar se je pokazalo v primeru, ko je bila namenska funkcija energija. Zanimivo je, da sta bila v našem primeru ta optimuma enakovredna (praktično enaka vrednost namenske funkcije), zato je nemogoče trditi, da je kateri od njiju boljši. V primeru, ko je bila namenska funkcija volumen, sta obe formulaciji vodili v isti optimum. V računih se je pokazalo, da je v togih primerih pomična formulacija boljša v smislu časovne stabilnosti. Kadar nimamo opravka s togimi sistemi, sta formulaciji torej enakovredni, še več, ena drugo dopolnjujeta, saj lahko odkrijemo nove optimume, ki so tehnološko bolj sprejemljivi. V togih primerih ali pa kadar želimo računati izredno dolgotrajne (s stališča mehanike) pojave, pa je pomična formulacija bolj primerna. Literatura [1] Annicchiarico W., Cerrolaza M., Structural shape optimization of 3D finite-element models based on genetic algorithms and geometric modeling, Finite Elem. Ana. Design 37, , 1. [] Bratina S., Saje M., Planinc I., On materially and geometrically non-linear analysis of reinforced concrete planar frames, Int. J. Solids Struct. 41, , 4. [3] Crisfield M.A., Shi J., A co-rotational element/time-integration strategy for non-linear dynamics, Int. J. Numer. Methods Engrg. 37, , [4] Crisfield M.A., Galvanetto U., Jelenić G., Dynamics of 3-D co-rotational beams, Comp. Mech., , [5] Kuhl D., Crisfield M.A., Energy conserving and decaying algorithms in non-linear structural dynamics, Int. J. Num. Methods Engrg. 45, , [6] Gams M., Srpčič S., Saje M., Planinc I., Finite element dynamic analysis of geometrically exact beams, Comput. Struct., sprejeto v objavo. [7] Gams M., Planinc I., Saje M., The strain-based beam finite elements in multibody dynamics, Journal of Sound and Vibration, poslano v objavo

113 [8] Gams M., Planinc I, Saje M., Energy conserving time integration scheme for geometrically exact beams, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., poslano v objavo. [9] Korelc J., Automatic generation of finite-element code by simultaneous optimization of expressions, Theor. Comput. Sci. 187, 31-48, [1] Hilber H.M., Hughes T.J.R., Taylor R.L., Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics, Earthquake Eng. Struct. Dyn. 5, 8-9, [11] Ibrahimbegović A., Mamouri S., Nonlinear dynamics of flexible beams in planar motion: formulation and time-stepping scheme for stiff problems, Comput. Struct. 7, 1-, [1] Jelenić G., Crisfield M.A., Geometrically Exact 3D Beam Theory: Implementation of a Strain-Invariant Finite Elements for Statics and Dynamics, Comp. Meth. Appl. Mech Engrg. 151, , [13] Kegl M., Antes H., Shape optimal design of elastic space frames with non-linear response, Int. J. Num. Meth. Engng. 43, 93-11, [14] Kegl M., Shape optimal design of structures: an efficient shape representation concept, Int. J. Num. Meth. Engrg 49, ,. [15] Kuhl D., Ramm E., Constrained energy momentum algorithm and its application to non-linear dynamics of shells, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 136, , [16] Kuhl D., Crisfield M.A., Energy conserving and decaying algorithms in non-linear structural dynamics, Int. J. Num. Methods Engrg. 45, , [17] Newmark N.M., A method of computation for structural dynamics, J. Eng. Mech. Div. ASCE 85, 67-94, [18] Planinc I., Račun kritičnih točk s kvadratično konvergentnimi metodami, Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, [19] Reissner E., On one-dimensional finite-strain beam theory: the plane problem, J. Appl. Math. Physics (ZAMP) 3, , 197. [] Romero I., Armero F., Numerical integration of the stiff dynamics of geometrically exact shells: an energy-dissipative momentum-conserving scheme, Int. J. Num. Methods Engrg. 54, ,. [1] Shabana A.A., Dynamics of multibody Systems: Review of past and recent developments, Multibody Sys. Dyn. 1, 189-, [] Shabana A.A., Definition of the Slopes and the Finite Element Absolute Nodal Coordinate Formulation, Multibody Sys. Dyn. 1, , [3] Simo J.C., Vu-Quoc L., On the dynamics of flexible beams under large overall motions -- The plane case: Part I and Part II, ASME J. Appl. Mech. 53, , [4] Simo J.C., Tarnow N., Doblare M., Non-linear dynamics of three-dimensional rods: exact energy and momentum conserving algorithms, Z. angew. Math. Phys. (ZAMP) 43, , [5] Stander N., Stein E., An energy conserving planar finite beam element for dynamics of flexible mechanisms, Eng. Comput. 13(6), 6-85, [6] Vohar B., Kegl M., Ren Z., Shape optimization of dynamic multibody systems with implementation of absolute nodal coordinate formulation, Co, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. Poslano v objavo. [7] Ye Yue-Qing, Smith M.R., The effect of cross-sectional parameters on the dynamics of elastic mechanisms, Mech. Mach. Theory 31, ,

114 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Vizualizacijska metoda za merjenje prostorninskega deleža plinske faze v iztočnem kanalu Peltonove turbine M. Hočevar 1, T. Bajcar in B. Širok 3 Visualization method for volume void fraction measurement in a tailwater channel of a Pelton turbine Povzetek. V prispevku je predstavljena metoda za merjenje prostorninskega deleža plinske faze v dvofaznih tokovih, ki temelji na računalniško podprti vizualizaciji. Na osnovi snemanja toka s hitro video kamero in računalniško obdelavo slik je mogoče določiti delež plinske faze v kapljevini s pomočjo povprečne vrednosti jakosti sivine posnetih slik. Funkcijsko razmerje med deležem plinske faze in povprečno jakostjo sivine je bilo dobljeno na osnovi umerjanja merilnega sistema. Vzporedne meritve z drugo metodo so pokazale ustreznost in uporabnost vizualizacijske metode v dejanskem industrijskem okolju. Abstract. The paper presents a method for volume void fraction measurement in twophase flows that is based on the computer-aided visualization. Acquisition of flow images by a fast video camera followed by the computer processing of the acquired images enables the determination of the void fraction via the average value of grey level intensity of the acquired flow images. A relationship between the void fracture and the average grey level intensity was obtained through calibration of the measurement system. Simultaneous measurements with the other measurement method revealed suitability and applicability of the visualization method in a real industrial environment. 1 Uvod Delež plinske faze predstavlja pomemben parameter v večfaznih tokovih, še posebej v dvofaznih sistemih kapljevina-plin. Naraščajoča energetska postrojenja in razvoj procesne tehnike zato pogosto zahtevajo merjenje tega parametra, saj je le-ta pomemben za ugotavljanje padca tlaka, prenosa toplote, ipd. Za merjenje deleža plinske faze obstaja več že uveljavljenih metod, kot so npr. metoda absorpcije gama žarkov [1], metoda magnetne 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Strojništvo Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Strojništvo 3 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Strojništvo

115 resonance [], impedančne metode [3] ali bolj robustne izokinetične metode [4]. Industrija pogosto zahteva hitre, a dovolj natančne meritve v ostrih industrijskih razmerah (npr. čistilne naprave, predelava odpadnih vod, izstopni kanali Peltonovih turbin itd), čemur pa pogosto zgoraj navedene metode niso kos, saj so bodisi namenjene laboratorijskim razmeram in niso dovolj robustne, bodisi zahtevajo obsežne in drage priprave ali pa so preveč kompleksne oz. okorne za enostavno in hitro rokovanje. Vizualizacijska metoda, ki bo opisana v nadaljevanju, skuša zapolniti to vrzel. Opis metode Merilni sistem za merjenje prostorninskega deleža plinaste faze v vodi v odprtih pretočnih kanalih temelji na posnemanju slik toka vode s hitro kamero. Merilni sistem sestavljajo naslednji glavni sestavni deli, ki so prikazani in ustrezno oštevilčeni tudi na sliki 1: 1 - črnobela industrijska hitra kamera SONY XC HR5 z napajalnikom 1 V, - objektiv cosmicar/pentax H11B 1 mm F 1. s predlečama 6+5 D, 3 - osvetlitev LED CCS LDL-TP-51x51 1V, 4.4W, 4 - ustrezni kabli za povezavo kamere s kartico za zajem slike in napajanje dolžine 3 m, 5 - vodotesna merilna sonda z ohišjem za kamero, objektiv in osvetlitev, 6 - kartica za zajem slike National Instruments PCI NI 149, 7 - osebni računalnik z osnovno programsko opremo National Instruments Labview z modulom Vision Prostorska ločljivost kamere znaša točk, velikost točke pa ustreza.4185 mm, izračunano v težišču volumskega dela med kamero in osvetlitvijo. Črnobela ločljivost kamere znaša 8 bitov oziroma 56 jakosti sivine. Slika 1: Shema merilnega sistema za merjenje deleža plinaste faze v vodi. Delež plinaste faze se meri na osnovi povprečne sivine posnetih slik toka vode, t.j. toka, ki teče med kamero in virom svetlobe. Presvetljeni tok vode ima (v odvisnosti od kalnosti vode) visoko vrednost jakosti sivine, ki je blizu beli (jakost sivine 55), medtem ko ima

116 presvetljeni zračni mehurček po svojem obodu zelo nizko vrednost jakosti sivine, ki je blizu črni (jakost sivine ) slika. Kapljevina (visoka vrednost jakosti sivine) Mehurček (nizka vrednost jakosti sivine po obodu) Slika : Posnetek zračnega mehurčka v kapljevini (voda). Povprečna jakost sivine (A) iz N slik se določi s pomočjo enačbe [5]: 1 A = N 1 N n E j i= 1 n j= 1, (1) kjer je E jakost sivine v j-ti točki slike, n pa število vseh točk slike. Pri tem je spremenljivka E (in s tem tudi A) normirana in ima vrednosti med (črna) in 1 (bela). Za določitev zveze med povprečno jakostjo sivine A in deležem plinske faze α je potrebno izvesti umerjanje. 3 Umerjanje Umerjanje razvitega sistema za merjenje deleža plinaste faze (zraka) v vodi je bilo izvedeno na posebej izdelani umerjevalni napravi, sestavljeni iz vertikalne posode kvadratnega preseka, odprtin za vgradnjo merilne sonde, dovoda zraka v spodnjem delu skozi porozni vložek, ter merilne odprtine, ki je namenjena za merjenje višine gladine vode v vertikalni posodi. Naprava omogoča neposredno umerjanje merilnega sitema v obliki funkcijske odvisnosti med višino vode v posodi in deležem plinske faze kapljevine α: V& z α = () V& z + V& v z ( α ) ρ v ρ = ρ α + 1 (3)

117 H o ρ v 1 H α =, (4) ( ρ ρ ) v z kjer je ρ z gostota zraka, ρ v je gostota vode, H o je merjeni nivo gladine vode pred vpihavanjem, H pa merjeni nivo gladine med vpihavanjem. V & z oz. V & v je merjeni prostorninski tok zraka oz. vode. Postopek umerjanja je izveden ob predpostavki, da je dvofazni mehurčkasti tok homogen. Rezultati umerjanja so podani na slikah 3 in 4 s predpostavljenimi numeričnimi nastavki, ki omogočajo preračun volumskega deleža zraka v testnem delu v odvisnosti od izmerjene jakosti sivine. Iz slik 3 in 4 je razvidna značilna monotona funkcijska odvisnost med obema spremenljivkama. Značilna je nelinearna funkcijska odvisnost, ki jo lahko popišemo z eksponentnim nastavkom v obliki: k α A = k 1e (5) kjer je A izmerjena povprečna sivina slike, α je delež plinske faze v kontrolnem volumnu, k 1 in k pa sta eksperimentalno določeni konstanti na umeritvenem sistemu. Inverzno funkcijsko odvisnost lahko določimo in zapišemo v obliki: α = k + k, (6) 3 ln( A) kjer sta k 3 in k 4 eksperimentalno določeni konstanti. 4 Slika 3: Funkcijska odvisnost volumskega deleža plinaste faze od izmerjene jakosti sivine

118 Slika 4: Funkcijska odvisnost jakosti sivine od volumskega deleža plinaste faze. Pri opisanem eksperimentalnem postopku je potrebno poudariti, da je za natančno določitev funkcijskih odvisnosti med deležem plinske faze in stopnjo sivine potrebno izvesti korekcijo glede na kalnost vode, v nekaterih primerih pa tudi na strukturne lastnosti mehurčkov v opazovanem kontrolnem volumnu. Za potrebe umerjanja je bila uporabljena vodovodna voda. 4 Potek meritev Meritve deleža plinske faze so potekale po naročilu Tehniške univerze iz Gradca (TUG) v izstopnem kanalu hidroelektrarne Koralpe (Labot na Koroškem, Avstrija) v osmih merilnih ravninah, postavljenih prečno na vzdolžno os kanala. Pri tem so se meritve izvajale na sredini izstopnega kanala (glede na tloris kanala). Globina vode v kanalu je znašala 1,63 m. Shema merilnih mest je prikazana na sliki 5. Oddaljenost posameznih navpičnih merilnih ravnin od osi turbine je navedena v tabeli 1. Poleg osmih prečnih merilnih ravnin (a g, slika 5) so bile vzporedno z vzdolžno osjo kanala položene še tri merilne ravnine leva (L), srednja (S) in desna (D) vzdolžna merilna ravnina (slika 6), pri čemer je bila vzdolžna merilna ravnina S za,66 m oddaljena od vzdolžne osi kanala v levo (gledano iz smeri turbine proti reki Dravi). Vzdolžni merilni ravnini L in D sta potekali,95 m levo in desno od vzdolžne osi kanala (slika 6). Na vsakem presečišču vzdolžnih in prečnih merilnih ravnin so bile meritve izvedene v 6 merilnih točkah, katerih navpična pozicija je podana v tabeli, pri čemer vrednost v oklepaju pri merilni točki 6 predstavlja višino te točke glede na dno kanala pri merilnih ravninah 5 do

119 Slika 5: Shema merilnih mest v izstopnem kanalu hidroelektrarne Koralpe, naris. Št. prečne merilne ravnine Oddaljenost od osi turbine (m) Tabela 1: Oddaljenost prečnih merilnih ravnin (slika 5) od osi turbine. a b c č d e f g 5,915 7,915 9,915 11,915 13,915 15,915 17,915 19,915 Slika 6: Shema merilnih ravnin v izstopnem kanalu hidroelektrarne Koralpe, tloris. Tabela : Navpične pozicije merilnih točk (slika 5), razdalje so merjene od dna izstopnega kanala. Navpična pozicija Oddaljenost od dna kanala (m) ,5,5,75,1 1,5 1,4 (1,5) Na vsaki prečni merilni ravnini je bilo tako 3 6 merilnih točk. V vsaki merilni točki je bilo posnetih 4 fotografij toka. Čas ekspozicije je bil nastavljen na,1 s

120 5 Rezultati meritev Na slikah 7 in 8 je prikazan z vizualizacijsko metodo izmerjen prostorninski delež plinaste faze in njegova standardna deviacija. Za interpolacijo med merjenimi točkami je bil uporabljen programski paket Golden Software Surfer. % Oddaljenost od dna [m] Oddaljenost od osi turbine [m] Slika 7: Delež plinske faze v vodi na vzdolžni merilni ravnini S. 18% 16% 14% 1% 1% 8% 6% 4% % % Oddaljenost od dna [m] Oddaljenost od osi turbine [m] 6% 5.5% 5% 4.5% 4% 3.5% 3%.5% % 1.5% 1%.5% % Slika 8: Standardna deviacija deleža plinske faze v vodi na vzdolžni merilni ravnini S. S slike 7 je razvidno, da je plinasta faza v vodnem toku prisotna do oddaljenosti pribl. 17 m od osi turbine, od tam naprej pa je tok enofazen (kapljevina). Zaradi vzgona je tok dvofazen po celotni globini le do oddaljenosti 8 m od osi turbine. Pri tem je standardna deviacija deleža plinaste faze po sliki 8 največja ravno na prehodu iz enofaznega toka v dvofazni. S poznavanjem povprečne hitrosti toka je mogoče z diagrama na sliki 7 določiti tudi povprečno vertikalno hitrost mehurčkov zraka

121 Rezultati meritev se zelo dobro ujemajo z rezultati, dobljenimi pri simultani meritvi z izokinetično metodo, ki je bila uporabljena s strani TUG [4]. 6 Zaključki V prispevku je predstavljena vizualizacijska metoda za merjenje deleža plinaste faze v kapljevini. Pri tem se delež plinaste faze meri na osnovi snemanja dvofaznega toka s pomočjo hitre industrijske kamere ter določevanja povprečne jakosti sivine zajetih slik. Zveza med povprečno jakostjo sivine in deležem plinske faze v kapljevini je bila določena s pomočjo umerjanja sistema pri znanih vrednostih deleža plina v vodi. To zvezo popisuje preprost zakon na osnovi eksponentne funkcije. Poleg deleža plinske faze v kapljevini je z opisano metodo mogoče zaznavati tudi obliko in velikost mehurčkov plina. Izvedene meritve v izstopnem kanalu hidroelektrarne so pokazale ustreznost metode ne le na osnovi primerljivih rezultatov z drugo uveljavljeno metodo, pač pa tudi na osnovi robustnosti, relativne preprostosti, enostavnega rokovanja ter primernosti za delovanje v industrijskih okoljih (hidroelektrarne, čistilne naprave...). Pri tem je pomembno predvsem to, da lahko s to metodo enostavno spremljamo delež plinske faze v kapljevini med obratovanjem postrojenja, ne da bi bilo potrebno le-tega ustavljati ali kakorkoli drugače ovirati. Literatura [1] P. Stahl, P.R. von Rohr, On the accuracy of void fraction measurements by single-beam gamma-densitometry for gas liquid two-phase flows in pipes, Exp. Therm. Fluid Sc. 8, , 4 [] N.E. Daidzic, E. Schmidt, M.M. Hasan, S. Altobelli, Gas liquid phase distribution and void fraction measurements using MRI, Nucl. Eng. Design 35, , 5 [3] A. Jaworek, A. Krupa, M. Trela, Capacitance sensor for void fraction measurement in water/steam flows, Flow Meas. Inst. 15, , 4 [4] D. Mayr, A. Arch, Entgasung von Wasser-Luft-Gemischen in Unterwasserkanälen von Pelton Wasserkraftanlagen, Öst. Wass. Abfallwirtsch. 11-1, , 5 [5] F. Trdič, B. Širok, P. R. Bullen, D. R. Philpott, Monitoring mineral wool production using real-time machine vision, Real-time imag. 5, ,

122 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Požarna analiza jeklenih okvirjev z umetnimi nevronskimi mrežami T. Hozjan 1,, G. Turk in S. Srpčič Steel frames fire analysis by artifical neural network Povzetek. V članku je predstavljen enoosni materialni model konstrukcijskega jekla za račun linijskih konstrukcij pri povišanih temperaturah. Enoosni materialni model je sestavljen na osnovi eksperimentalnih podatkov z uporabo umetnih nevronskih mrež. Z računskim primerom prostoležečega nosilca je prikazana ustreznost predstavljenega materialnega modela. Abstract. An uniaxial material model of structural steel when exposed to high temperatures is presented. On the basis of experimental data the uniaxial material model was established using the artifical neural network. A numerical example considering a simply supported beam shows a very good performance of the material model. 1 Uvod Eksperimentalne preiskave konstrukcijskih materialov in elementov predstavljajo nepogrešljivo osnovo za računsko analizo obnašanja nosilnih konstrukcij v pogojih spremenljive mehanske in temperaturne obremenitve, kakršna je značilna za razmere v realnih požarih. Zaradi visokih stroškov so eksperimentalne preiskave v glavnem omejene na določanje tako imenovane požarne odpornosti konstrukcijskih in funkcionalnih elementov pri standardiziranem načinu segrevanja v poskusni peči. Predvsem za namene računske analize pa so zanimive tudi preiskave termomehanskih lastnosti konstrukcijskih materialov. Pri teh preiskavah gre v večini primerov za enoosne poskuse na standardnih vzorcih materiala, s katerimi določamo sovisnosti med deformacijami, napetostmi in temperaturo. Vendar pri tem naletimo na dodatno težavo; znano je namreč, da se v temperaturnem območju nad 4 C in pri rednih napetostih v jeklenih vzorcih pojavijo izrazite viskozne, torej časovno odvisne deformacije, ki z višanjem temperature občutno naraščajo in pogosto celo prevladajo nad mehanskimi deformacijami. Pri eksperimentalnem delu torej nastopi čas kot dodatna spremenljivka, kar zelo poveča število potrebnih 1 Trimo d.d. Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo

123 poskusov. Razen tega se pojavi tudi vprašanje, kako pri visokih temperaturah dovolj natančno ločiti viskozne od plastičnih deformacij. Da bi se izognili opisanim nejasnostim, se v literaturi pojavljajo poenostavljeni, časovno neodvisni modeli, zasnovani na predpostavki, da je v neelastičnem delu zajeto tudi viskozno lezenje jekla. Ustrezni napetostno-deformacijski diagrami so konstruirani pri različnih temperaturah, doseženih z enakomernim segrevanjem, neelastični del pa je praviloma modeliran s kombinacijo eliptičnega in linearnega poteka. Tak časovno neodvisen materialni model je predlagan tudi v Evrokodu 3 [], pri čemer je naveden tudi razmeroma ozek predviden interval hitrosti segrevanja. Vendar poglobljeni poskusi kažejo, da hitrost segrevanja pomembno vpliva na razvoj deformacij [4]. Za realne požare so značilni veliki razponi temperaturnih gradientov, zato je uporabnost časovno neodvisnih materialnih modelov v računski analizi jeklenih konstrukcij v realnih požarih omejena. Verodostojne rezultate lahko pričakujemo le tedaj, ko temperatura v bistvenih delih konstrukcije ne preseže 45 C. To pa je možno le v primerih toplotno zaščitenih konstrukcij ali pa pri tako majhnih zalogah gorljivih snovi v požarnem prostoru, da se požar ne more razviti do polne intenzitete. Razmeroma bogat nabor rezultatov enoosnih poskusov na konstrukcijskem jeklu pri konstantni hitrosti segrevanja 1 C/min je podan v članku Kirby&Preston [5], in sicer za dve kvaliteti jekla: 43A in 5B po BS (British Standard). Podatki so predstavljeni v tabelah kot dva niza napetostno-deformacijskih parov pri različnih temperaturah v intervalu od C do 9 C. V temperaturnem območju med 5 C in 6 C imajo pripadajoče napetostno-deformacijske krivulje nepravilen valovit potek, zato jih ni mogoče aproksimirati z bilinearnim modelom, najsibo z eliptičnim ali s paraboličnim vmesnim delom. Burgess et al. [1] so te rahlo valovite napetostno- deformacijske krivulje razmeroma učinkovito modelirali z uporabo znane Ramberg-Osgoodove enačbe. V našem članku je kot alternativni pristop k modeliranju napetostno-deformacijskih zvez prikazana uporaba umetnih nevronskih mrež (UNM). Osnovna ideja in glavne značilnosti UNM so opisane v drugem, uporaba na aktualnih podatkih pa v tretjem razdelku. V četrtem razdelku je predstavljen enoosni materialni model (v nadaljevanju materialni model) konstrukcijskega jekla pri visokih temperaturah. Ustreznost materialnega modela in uporabljenih numeričnih algoritmov je prikazana na računskem primeru, kjer so računski rezultati primerjani z eksperimentalnimi. Umetne nevronske mreže Ideja o nastanku umetnih nevronskih mrež izhaja iz narave. Gre za poskus posnemanja delovanja možganov, katerih osnovna lastnost je sposobnost učenja. Prvi modeli umetnih nevronskih mrež segajo v sredino. stoletja, vendar sta se njihov razvoj in uporaba občutno razširila šele v zadnjem času. Uporabo nevronskih mrež lahko zasledimo na različnih področjih, kot so medicina, strojništvo, gradbeništvo, elektrotehnika itd. Na teh področjih so trenutno najpogosteje uporabljane večslojne umetne nevronske mreže z vzvratnim širjenjem napake (angl. error backpropagational neural networks), za katere je algoritem učenja predstavil Rumelhart s sodelavci leta 1986 [8]

124 ŠIRJENJE NAPAKE DELOVANJE MREŽE Kuhljevi dnevi 6.1 Zgradba in delovanje večslojnih umetnih nevronskih mrež Zgradba umetne nevronske mreže je pravzaprav zelo podobna zgradbi možganov [6]. Sestavljena je iz velikega števila elementov, ki jih imenujemo nevroni, in njihovih medsebojnih povezav. Struktura je običajno slojevita, tako da je mreža sestavljena iz treh skupin nevronov. Prvi sloj predstavljajo vhodni nevroni, ki imajo stik z okolico v obliki vhodnih podatkov. Število nevronov v tem sloju je enako številu vhodnih podatkov. Drugo skupino predstavljajo nevroni v skritih slojih. Teh slojev je lahko več, število nevronov v njih pa je praktično poljubno. Ti nevroni nimajo stika z zunanjo okolico. Zadnji, tretji sloj je skupina izhodnih nevronov. Ta skupina nevronov ima stik z zunanjo okolico v obliki izhodnega signala. Komunikacija v nevronskih mrežah poteka večinoma v eni smeri po hierarhičnem pravilu, kjer je najviše na lestvici izhodni sloj, najniže pa vhodni sloj. Nevroni v posameznih slojih običajno ne komunicirajo med seboj. Tipična struktura nevronske mreže je prikazana na sliki 1. rezultati izhodni nivo skriti nivo, 1. vhodni nivo podatki Slika 1 : Večslojna usmerjena nevronska mreža. Nevron v posameznem sloju prejme signale od nevronov, ki so en nivo niže na hierarhični lestvici, jih obdela in nato pošlje en izhodni signal naprej. Izhodni signal y (k) i posameznega nevrona i v k-tem sloju izračunamo po naslednjem pravilu y (k) i ( ) n k 1 = f w (k) i j y (k 1) j, (1) j=1 kjer je w (k) i j utež povezave med nevronom i v sloju k in nevronom j sloja k 1, y (k 1) j je vrednost nevrona j v sloju k 1 in n k 1 je število nevronov v sloju k 1. Funkcijo f imenujemo

125 izhodna funkcija. Poznamo več vrst izhodnih funkcij, od katerih je najpogosteje v rabi nelinearna sigmoidna funkcija. Rezultat delovanja nevronske mreže je odvisen od uteži w i j, ki predstavljajo spomin UNM in jih določimo tako, da jim med učenjem po določenem pravilu spreminjamo vrednosti, dokler ne dosežemo optimalne spominske slike. Pravil za učenje je več. Večslojne nevronske mreže z vzvratnim širjenjem napake uporabljajo posplošeno pravilo delta. Učenje temelji na velikosti napake izhodnega signala. Zato za učenje razen vhodnih podatkov potrebujemo tudi kontrolni niz rezultatov, s katerim določimo velikost napake in naučimo UNM izračunati izhodne podatke tako, da se čim bolje ujemajo s kontrolnimi podatki. Učenje poteka po naslednjem postopku: vhodni sloj prejme podatke iz okolice, jih predela in pošlje naprej preko skritih slojev do izhodnega sloja, ki izračuna izhodni signal. Nato z razliko med izračunanim signalom in kontrolnim podatkom določimo velikost napake in z uporabo pravila delta popravimo vrednosti utežem v zadnjem sloju. Z vzvratnim pošiljanjem napake na predhodne sloje z uporabo pravila delta popravljamo uteži v posameznih slojih. Ko so vse uteži popravljene, na novo določimo izhodni signal. Postopek ponavljamo, dokler mera za napako ne pade pod predpisano vrednost. 3 Uporaba umetne nevronske mreže v modeliranju napetostno-deformacijskih sovisnosti pri spremenljivi temperaturi Ob upoštevanju eksperimentalnih podatkov za jeklo trdnosti f y = 35.5 kn/cm [5] smo UNM naučili izračunati napetosti v jeklenih vzorcih v odvisnosti od deformacije in temperature. Kot vhodni podatek smo vzeli eksperimentalno določene nize napetostno-deformacijskih parov pri različnih temperaturah. Uporabili smo program NTR3, ki omogoča učenje in generiranje večslojnih usmerjenih umetnih nevronskih mrež. Pri tem za učenje uporablja algoritem posplošenega pravila delta na vhodno-izhodnih parih. Skupaj je bilo uporabljenih 57 vhodnih parov, od teh je bilo 435 naključno izbranih parov uporabljenih za učenje, ostalih 9 pa za testiranje. Predpisana velikost napake je znašala.5. Za račun je bilo uporabljenih več mrež z različnimi geometrijami. Končni rezultat je bil določen z umetno mrežo geomterije To pomeni, da smo razen vhodnega ( nevrona) in izhodnega (1 nevron) imeli še dva skrita sloja, od katerih ima vsak po 5 nevronov. Za mero uspešnosti učenja smo uporabili vrednost faktorja korelacije. V našem primeru je znašal faktor korelacije r =.9993, kar je za učenje nevronskih mrež razmeroma visoka vrednost. V idealnem primeru je koeficient korelacije enak 1, kar pomeni, da so izračunani in testni rezultati enaki. Primerjava med rezultati testa in izračunanimi vrednostmi, ki smo jih dobili z nevronsko mrežo, je prikazana na σ ε diagramu pri različnih temperaturah T (slika ). Z rombičnimi znaki so predstavljeni eksperimentalni podatki, s polno črto pa vrednosti, izračunane z UNM. Opazimo lahko, da je ujemanje eksperimentalnih in izračunanih rezultatov zelo dobro, kar pove tudi faktor korelacije. 4 Materialni model Kljub dobremu ujemanju rezultatov UNM z eksperimenti naletimo pri formulaciji materialnega modela na nekatere težave. Kot prvo omenimo dejstvo, da iz eksperimentalnih podatkov ni jasno razvidna meja plastičnega tečenja. Problem smo rešili z grafično predstavitvijo prvih odvodov napetostno-deformacijskih krivulj, kjer je meja tečenja bistveno laže določljiva. Drugi

126 4 35 o C 1 o C o C Napetost [M P a] o C 5 o C 4 o C 6 o C 7 o C 8 o C Deformacija [%] Slika : σ ε diagram pri različnih temperaturah T. problem se je pojavil v območju pod mejo plastičnosti, kjer so rezultati UNM malenkostno odstopali od linearnega poteka, zato smo v tem območju ob predpostavki, da gre za linearno elastično obnašanje, potek napetostno-deformacijskih krivulj določili z linearno regresijo pripadajočih eksperimentalnih podatkov. Tretji poseg je bil potreben v območju nad % deformacijo, za katero ni bilo eksperimentalnih podatkov. Zato smo v območju nad vrednostjo deformacije 1.85% upoštevali konstantno stopnjo utrjevanja, določeno z naklonom napetostnodeformacijske krivulje pri vrednosti deformacije 1.85%. Glede na navedeno smo materialni model jekla pri povišani temperaturi sestavili iz treh območij. Prvo je linearno elastično območje, kjer je mehanska deformacija ε manjša od deformacije na meji plastičnega tečenja ε Y. V tem območju izračunamo napetost σ po Hookovem zakonu σ(ε M,T ) = E T ε M = k E,T E ε M. () S koeficientom k E,T je določena vrednost elastičnega modula pri temperaturi T glede na vrednost elastičnega modula E pri temperaturi T = C. Drugi območje je elastično-plastično (ε M > ε Y ). Za to najbolj občutljivo območje privzamemo sovisnosti med napetostmi, deformacijami in temperaturo, določene z uporabo UNM σ(ε M,T ) = f UNM (ε M,T ). (3) V tretjem območju, ki zajema deformacije nad vednostjo 1.85%, upoštevamo enakomerno utrjevanje z modulom K = K(ε M = 1.85%,T ). Deformacijo na meji tečenja ε Y ter koeficienta spreminjanja meje tečenja k Y,T in elastičnega

127 modula k E,T v odvisnosti od temperature T (slika 3) smo določili z izvrednotenjem prvih odvodov eksperimentalno določenih napetostno-deformacijskih krivulj pri različnih temperaturah. 1.8 UNM EC3 1.8 UNM EC3 ky,t.6.4 ke,t o o T [C] T [C] Slika 3 : Spreminjanje koeficienta k Y,T in k E,T v odvisnosti od temperature T. Opisana formulacija materialnega modela temelji na predpostavki, da je v neelastičnem delu modela zajet tudi prispevek viskoznih deformacij. V tem pogledu je uporabnost modela omejena na primer enakomernega naraščanja temperature s hitrostjo segrevanja 1 C/min, pri kakršni so bili pridobljeni eksperimentalni podatki. V primeru, da bi se hitrost segrevanja občutno razlikovala od omenjene, ali pri neenakomernem segrevanju in ohlajevanju, kakršno je značilno za naravne požare, od prikazanega materialnega modela ne bi mogli pričakovati verodostojnih rezultatov. 5 Računski primer Ustreznost predstavljenega materialnega modela preverimo s primerjavo z eksperimentalnimi rezultati, ki sta jih predstavila Rubert in Schaumann [7]. Obravnavan je prostoležeč nosilec, ki je bil enakomerno ogrevan pri različnih nivojih obtežbe. Nivoji obtežbe so podani s faktorjem η, ki predstavlja razmerje aktualne obtežbe glede na mejno nosilnost nosilca. V primeru so prikazani rezultati za najvišji nivo obtežbe η =.85. Skica računskega modela je prikazana na sliki 4. Nosilec je modeliran z osmimi končnimi elementi. V računu privzamemo za elastični modul in mejo tečenja pri temperaturi T = C kar vrednosti iz eksperimenta [5], in sicer E = 19kN/cm in f Y, = 35.5kN/cm. Ker je bila trdnost jekla f Y, pri testnem nosilcu različna od 35.5kN/cm, smo glede na nivo obtežbe izračunali ustrezno silo F in tako dobili medsebojno primerljive rezultate. Za primer η =.85 je bila sila pri eksperimentu enaka F eksp. = 4kN, ustrezna sila v računu pa je F = 4.kN. Za primerjavo smo razen opisanega materialnega modela v računski analizi testnega nosilca uporabili še materialni model, ki je predviden v Evrokodu 3, ter bilinearni materialni model, pri katerem smo upoštevali tudi viskozno tečenje jekla z viskoznimi parametri za jeklo tipa Austen 5 [1]. Sistem diskretnih posplošenih ravnotežnih enačb konstrukcije rešimo z Newtonovo inkrementno-iteracijsko metodo. Podrobnosti o računskem postopku in dodatnih materialnih modelih so prikazane v delih [3] in [9]

128 P -. P Kuhljevi T dnevi t [min] F A = 7.6 t cm [min] IPE 8 I = 8.1 cm 4 w L = 1.14 m Slika 4 : Skica računskega modela. w [cm] eksperiment UNM bilinearni EC3 plasti č ne deformacije UNM bilinearni EC T [ C] T [ C] materialnih modelih. Slika 5 : Levo: Primerjava pomika w. Desno: Potek plastičnih deformacij pri različnih Na sliki 5 (levo) je prikazana primerjava izračunanih in izmerjenih povesov w v sredini nosilca. Računski rezultati, dobljeni z materialnim modelom UNM, se zelo dobro ujemajo z rezultati poskusa. Razmeroma dobro ujemanje rezultatov lahko opazimo tudi pri modelu Evrokod 3, medtem ko bilinearni model s posebej upoštevanim viskoznim tečenjem očitno ne ustreza pogojem poskusa. Razvoj povesa je povezan z razvojem plastičnih deformacij. Na sliki 5 (desno) je prikazan potek plastičnih deformacij na spodnjem robu srednjega prereza. Opazne so razlike med različnimi materialnimi modeli. V primerih UNM in Evrokoda 3 je začetni razvoj plastičnih deformacij podoben. Pri visokih temperaturah, za katere so značilne velike deformacije, pa pride do razlik, predvsem zato, ker model Evrokod 3 ne upošteva utrditve jekla v plastičnem območju. Časovna dinamika razvoja napetosti in deformacij je prikazana na sliki 6. Za spodnjo in zgornjo točko srednjega prereza je prikazan potek napetosti σ, elastične ε E, plastične ε P, temperaturne ε T in geometrijske deformacije ε. 6 Zaključek V članku je prikazana možnost uporabe umetnih nevronskih mrež pri modeliranju konstitucijskih sovisnosti konstrukcijskega jekla. Primerjava z eksperimentom pokaže, da s predstavljenim materialnim modelom zelo dobro zajamemo mehansko obnašanje jekla pri visokih tem

129 kn/cm P T kn/cm T P t [min] t [min] Slika 6 : Potek napetosti in deformacij v zgornji in spodnji točki srednjega prereza. peraturah. Čeprav je uporabnost prikazanega modela omejena glede hitrosti segrevanja, lahko sklenemo, da so UNM učinkovito orodje pri modeliranju materialnih lastnosti, tudi v primeru, ko zaradi nepravilnih oblik napetostno-deformacijskih krivulj ni mogoče vpeljati standardnih bilinearnih modelov z eliptičnim ali paraboličnim prehodom iz elastičnega v elasto-plastično območje..5 Literatura [1] Burgess, -1 I. W., Olawale A. O., Plank R. J., Failure of steel column in fire. Fire Safety Journal, , 183-, [] Eurocode - 3, Design of steel structures. Part 1.: General rules-structural fire design. Brussels: European Comittee for Standartisation; eksperiment. UNM UNM fran. pr. [3] Hozjan -3 T., Bratina S., Srpčič S., Nelinearna požarna analiza fran. pr..1 EC3 jeklenega nosilca. Kuhljevi dnevi , Otočec, EC , Zbornik del, str , 4. [4] Huang -4 Z. F., Tan K. H., Effects of External Bending Moments and Heating Schemes on the Responses 1 of Thermally-restrained Steel 6 Columns. Engineering 1 Structures, 3 4 6(6), , 6 T [ o C] T [ o C] 4. [5] Kirby B. R., Preston R. R., High temperature properties of hot-rolled, structural steels for use in fire engineering design studies. Fire Safety Journal, 13, 7-37, [6] Reed R. D., Marks R. J., Neural Smithing, Supervised Learning in Feedforward Artificial Neural Networks, MIT Press, Cambridge, [7] Rubert A., Schaumann P., Temperaturabhangige werkstoffeigenschaften von baustahl bei brandbeanspruchung. Stahlbau, 3, 81-86, [8] Rumelhart D. E., McClelland J. L., Paralel Distributed Processing, Explorations in the Microstructure of Cognition, Volume 1: Foundations, MIT Press, Cambridge, [9] Srpčič S., Račun vpliva požara na jeklene konstrukcije. Doktorska disertacija. Univerza v Ljubljani, Slovenija, [1] Williams-Leir G., Creep of structural steel in fire: Analytical Expressions. Fire and Materials, 7(), 73-78, w [cm] plasti č ne deformacije - 1 -

130 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Preskok sistema osnosimetrične plitke bimetalne lupine z odprtino v temenu po nelinearni teoriji Marko Jakomin 1 - Franc Kosel - Milan Batista 3 - Tadej Kosel 4 Snap-through of the System of Open-Shallow Axi-symmetric Bimetallic Shell by Non-linear Theory Povzetek. V prispevku obravnavamo stabilnostne razmere pri tankih, osnosimetričnih plitkih bimetalnih lupinah s krožno odprtino v temenu. Po teoriji drugega reda, ki upošteva ravnotežje sil na deformiranem telesu, podajamo model z matematičnim opisom geometrije sistema, premikov, napetosti in termoelastičnih deformacij. Enačbe temeljijo na teoriji velikih premikov. Kot primer predstavljamo rezultate za sferične lupine, ki jih aproksimiramo s parabolično funkcijo. Temperaturo preskoka računamo numerično z nelinearno strelsko metodo. Abstract. The paper deals with buckling conditions in the thin axi-symmetric shallow bimetallic shells with circular opening in the shell s crown. According to the theory of the third order, which takes into account the equilibrium state of forces and moments which are acting on the deformed system, the paper is presenting a model with mathematical description of geometry of the system, stresses thermoelastic strains and displacements. The mathematical formulation is based on the theory of large displacements. As an example, the results for spherical shallow shells are shown, approximated by a parabolic function. The snap-through temperature is calculated numerically by non-linear shooting method. 1. Uvod Bimetalna lupina je toplotno senzitivni konstrukcijski element, ki pod vplivom temperaturne obremenitve spreminja svojo geometrijo. V praksi so najpogostejše rotacijsko-osnosimetrične bimetalne lupine, ki se na homogeno temperaturno obremenitev v začetni fazi obremenjevanja odzivajo s spremembo ukrivljenosti, pri določeni temperaturi pa preidejo v indiferentno stanje, zaradi česar lupina preskoči v novo, stabilno ravnovesno lego. Temperatura pri kateri lupina preskoči je odvisna tako od snovnih kot tudi od geometrijskih lastnosti lupine. Avstrijski proizvajalec bimetalnih lupin Elektronik Werkstatte iz Dunaja ponuja na tržišču tudi osnosimetrične plitke sferične bimetalne lupine s krožno odprtino v temenu, slika 1. Za določitev funkcijske zveze med temperaturo preskoka in velikostjo krožne odprtine smo izdelali matematično fizikalni model, ki po teoriji tretjega reda upošteva ravnovesje sil na deformiranem telesu in nelinearne člene v deformacijskem tenzorju. 1 Univerza na Primorskem, Primorski inštitut za naravoslovne in tehnične vede Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo 3 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za pomorstvo in promet 4 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

131 a X x qi qi h h Y P' P b P P' y(x) y Y(X) x,x ϕ rψ rϕ Rotational axis ψ rϕ X x,x ψ ψ x w u P u P' y,y y,y Slika 1: Osnosimetrična lupina z odprtino v homogenem temperaturnem polju in zveza med Eulerjevim in Lagrangeovim koordinatnim sistemom. Enačbe za opis problema Na sliki 1 je predstavljena osrednja ploskev tanke osnosimetrične bimetalne lupine s krožno odprtino polmera b v temenu lupine, ki je na notranjem robu lupine v x = b dodatno obremenjena z vertikalno silo na enoto dolžine q i, kot sledi iz slike 1. Zaradi obremenitve se točka P na nedeformirani lupini premakne v lego P na deformirani lupini, ki jo določa funkcija Y = Y( X) v Eulerjevem koordinatnem sistemu. Termoelastične razmere na tanki osnosimetrični bimetalni lupini z odprtino v temenu so opisane s sistemom enačb, ki ga tvorijo[1,]: 1. tri (3) enačbe za določitev specifičnih deformacij ε ψ, ε ϕ in γ ψr v odvisnosti od vektorja premika u na osrednji ploskvi lupine.. dve () enačbi za specifični deformaciji ε z ψ in ε z ϕ na oddaljenosti z od osrednje ploskve lupine; 3. dve () enačbi Hookovega zakona za napetosti σ ψ in σ ϕ v meridialni ψ in cirkularni ϕ smeri v odvisnosti od specifičnih deformacij; 4. pet (5) enačb za enotske sile nψ, nϕ, tψ r in enotska momenta mψ, mϕv meridialni in cirkularni smeri;

132 5. tri (3) enačbe za opis ravnovesja sil in momentov ter 6. pet (5) enačb za opis geometrije sistema. V primeru bimetalnih lupin z enako debelino slojev δ 1 = δ, enakim Poissonovim količnikom µ 1 = µ in enakim Youngovim elastičnim modulome 1 = E se gornji sistem enačb z uvedbo Wittrickovih brezdimenzijskih spremenljivk χ, F, F prevede v sistem dveh navadnih diferencialnih enačb drugega reda, ki opisujeta termoelastične razmere na tanki osnosimetrični plitki bimetalni lupini s sferično obliko [1,] : kjer je: 4G χ + 8 G' = F F, (1) c 4F χ + 8F = FG +, χ () x G ( χ) χ =, nψ = C, a a 1 F ( χ) C 1 F( χ) C y =, Y =, x a A( 1 µ ) x a A( 1 µ ) 6 h F = 1 µ. c = b qi a 4 ( 1 µ ). δ E δ Če je bimetalna lupina z odprtino polmera b obremenjena samo s temperaturo je konstanta c v enačbi () enaka nič. Takrat so na notranjem in zunanjem robu prosto položene lupine v točki χ = in χ = ( b/ a) vse napetosti in momenti enaki nič: n (( b/ a) ) =, n ( 1) =, ψ m ψ Kuhljevi dnevi 6 (( b/ a) ) =, m ( 1) =. Po zamenjavi enotske sile n ψ z napetostno funkcijo G( χ ) v enačbi (3) zapišemo robna pogoja za enotski sili v izrazu (4): G ( b/ a) =, G 1 =, (5) ( ) ( ) Robna pogoja za enotska momenta v izrazu (4) upoštevamo v brezdimenzijski enačbi: ψ ψ (3) (4) 1 T T F F = m 1 ( 1) ( 1) + = F 1 + µ ( ) 1 ( b/ a) = T 1 m F( ( b/ a) ) F (( b/ a) ) +, F 1 + µ (6) kjer je T m konstanta definirana z enačbo: T F T = δ δ m τ = 3R ( α α = ) 3 6a ( α α ) 1- µ 1 1 (7) Robna pogoja za oblikovno funkcijo F sta tako: τ 1 = 1 F(1) F (1) F + 1 µ, (8)

133 in ( b/ a) F(1) + F ( 1 ) = F( ( b/ a) ) + F ( b/ a) 1+ µ 1+ µ ( ). (9) Po zamenjavi funkcij G ( χ ) in F ( χ ) s funkcijama g ( χ ) in f ( χ ): f = χ F, g = χ G (1) v diferencialnih enačbah (1), (), in robnih pogojih (5) in (6) je robni problem za temperaturni preskok bimetalne lupine z odprtino v temenu: f 4 g = F, χ f g 4 f =, χ g( ( b/ a) ) = g(1) =, ( ) 1 µ f ( b/ a) f ( 1 ) f (( b/ a) ) = f( 1 ), ( b/ a) 1 τ = 1 ( f (1) f(1) ( 1 µ )). F ( 1 + µ ) (11) Robni problem za lupino z odprtino (11) smo rešili numerično po klasični enokoračni metodi Runge Kutta 4. reda [3]. Deformacijo lupine zaradi temperaturne obremenitve smo definirali z razmerjem ξ med trenutno višino deformirane lupine in začetno višino nedeformirane lupine, ki je v primeru lupine z odprtino: 1 h Y(1) Y (( b/ a) ) 1 1 ξ = = ( ) = f χ dχ h y(1) y ( b/ a) F 1 b/ a. (1) χ ( ) ( ( ) ) ( b/ a) 3. Stabilnostne razmere na lupini v fazi temperaturnega obremenjevanja Na sliki so predstavljene razmere za bimetalno lupino z odprtino s Poissonovim količnikom µ = 1/3, začetno oblikovno funkcijo F = 1 in razmerjem med notranjim in zunanjim polmerom b/ a =,. Graf funkcije brezdimenzijske temperature τ v odvisnosti od razmerja višin ξ predstavlja stabilnostne razmere ob temperaturnem obremenjevanju bimetalne lupine. V začetnem, temperaturno neobremenjenem stanju τ =, v točki O ( 1, ) je razmerje višin ξ enako ena. S povečevanjem brezdimenzijske temperature τ se to razmerje zmanjšuje. Kot je razvidno iz slike je območje na krivulji med točko O in točko A( ξp1, τ p1) = A(.391,1.75), kjer ima funkcija τξ () lokalni maksimum, območje stabilnega ravnovesja. Do preskoka lupine bo torej prišlo v točki A pri temperaturi τ p1 = 1,75, ker je interval med točko A in točko C( ξp, τ p) = C(.391,.75), kjer ima funkcija lokalni minimum, območje nestabilnega ravnovesja. Po preskoku bo lupina zavzela novo ravnovesno lego v točki B (.831,1.75) pri temperaturi τ = 1,75. Pri nadaljnjem segrevanju lupine razmerje ξ še naprej upada

134 F=1, µ=1ê3, bêa=, O' τ B S.T A 1 C.5 S.T. D O ξ Slika : Funkcija τ = τ( ξ) za primer osnosimetrične lupine z odprtino s F = 1, µ =1/3 in b/ a =,, ki izkazuje pojav preskoka sistema med točkama AB ob segrevanju in točkama CD ob ohlajanju Pri ohlajanju lupine pa imamo obraten pojav in v točki C pri temperaturi τ p =,75, ponoven preskok. Tokrat lupina preskoči v ravnovesno lego v točki D (,831,.75) pri temperaturi τ =,75. S ponovnim segrevanjem lupine do temperature prvega preskoka τ p1 = 1,75 lahko celoten cikel preskokov lupine ponovimo. Stabilnostne razmere pri lupinah z drugačnim razmerjem med notranjim in zunanjim polmerom b/ a lupine so prikazane na sliki 3, tabelarične vrednosti za temperaturo preskoka τ p in razmerje višin ξp v trenutku preskoka lupine pa so zapisane v tabeli 1. F=1, µ=1ê3 τ HbêaL=. HbêaL= HbêaL=.6 HbêaL=.8 HbêaL= ξ Slika 3: Stabilnostne razmere pri lupinah z odprtino s F = 1, µ = 1/3 in različnimi vrednostmi razmerij b/ a

135 Tabela 1: Temperatura τ p in lega preskoka ξ p za lupino z odprtino s F = 1, µ = 1/3 in razmerjem polmerov b/ a F = 1, µ = 1/ 3 b/ a = b/ a =, b/ a =,4 b/ a =,6 b/ a =,8 ST..1 τp1 = 1, 195 ξp1 =, 361 τp1 = 1,75 ξp1 =, 391 τp1 = 1,66 ξp1 =, 389 τp1 = 1, 58 ξp1 =, 79 τp1 = / ξp1 = / ST.. τp =, 85 τp =.75 τp =,734 τp =,94 τp = / ξ =, 361 ξ =, 391 ξ =, 389 ξ =, 79 ξ = / p p p p p 4. Preskok sistema v odvisnosti od polmera krožne odprtine Iz slike 3 je razvidno, da je razmerje ξ med trenutno in začetno višino lupine poleg temperaturne obremenitve odvisno tudi od razmerja b/ a. Očitno je tudi, da lupine z velikim razmerjem polmerov b/ a preskoka sploh nimajo, saj krivulji na sliki 3 za b/ a =,8 in b/ a = 1 nimata lokalnih ekstremov. Če v sistemu enačb (11) spreminjamo notranji polmer b lupine ter numerično izračunamo temperaturo preskoka τ p za vsak posamezen primer, opišemo zvezo med temperaturo preskoka τ p1 in razmerjem polmerov b/ a. Rezultati so prikazani na sliki 4. S povečevanjem polmera krožne odprtine v temenu lupine se povečuje temperatura τ p pri kateri lupina preskoči v novo ravnovesno lego. Ko velikost krožne odprtine oziroma razmerje polmerov doseže kritično vrednost ( b/ a ) ima temperatura preskoka maksimalno vrednost τ kr max potem pa prične temperatura preskoka τ p1 upadati. µ=1ê τ p1 F= F= F=1 1.1 F=8.93 F=1 bêa Slika 4: Temperatura preskoka τp1 v odvisnosti od razmerja med notranjim in zunanjim tlorisnim polmerom lupine b/ a in začetne oblikovne funkcije F

136 Pri dovolj velikem razmerju ( b/ a ) max, ki je na sliki 4 določeno s točko na abscisni osi na skrajni desni strani posamezne krivulje, pa lupina ne preskoči več. Numerične vrednosti za temperaturo preskoka τ p1 in razmerje polmerov b/ a so zapisane v tabeli. Tabela : Temperatura preskoka τ max za lupino z odprtino ( b a ) v odvisnosti od začetne oblikovne funkcije F / kr F 8, ( b/ a ) = τ 1 = 1 τ 1 = 1, 43 τ 1 = 1,195 τ 1 = 1, 381 τ 1 = 1, 567 ( b/ a) kr τ = τ p1 max ( b/ a) p1 max τ = 1 p ( b/ a) =,83 τ max kr = 1.34 p ( b/ a) =,365 τ max kr = p ( b/ a) =,97 τ max kr = 1,97 p ( b/ a) =,38 τ max kr = 1, 496 p ( b/ a) =,365 τ max kr = 1, 69 ( b/ a ) max =,468 ( b/ a ) max =, 546 ( b/ a ) max =, 658 ( b/ a ) max =, 714 ( b/ a ) max =, 763 Temperatura preskoka bimetalnih lupin z razmeroma ozko krožno odprtino je torej višja kot je temperatura preskoka lupin brez odprtine. Rezultate smo primerjali z ugotovitvami, ki jih je v članku [4] zapisal W. H. Wittrick. V ta namen smo razmerje polmerov b/ a limitirali proti nič in tako izračunali temperaturo preskoka za lupino brez odprtine. Dobljeni rezultati so identični rezultatom, ki jih je predstavil W. H. Wittrick.. Temperatura preskoka τ p1 za lupino brez odprtine je razvidna na ordinatni osi pri b/ a = na sliki 4, numerične vrednosti pa so zapisane v drugi vrstici v tabeli. Izračunali smo tudi minimalno vrednost začetne oblikovne funkcije F, ki še omogoča preskok sistema plitke bimetalne lupine zaradi temperaturne obremenitve. Minimalna vrednost začetne oblikovne funkcije F izpod katere lupina nima preskoka znaša za lupino brez odprtine s Poissonovim količnikom µ = 1/3, F = 8.93 [11, 1]. Za lupino s krožno odprtino v temenu in enakim Poissonovim količnikom µ = 1/3 je ta vrednost manjša in znaša F = 8.5 pri razmerju polmerov ( b/ a ) =.8, slika 5. kr F=8.5, µ=1ê3 τ p HbêaL=,8 HbêaL=.5 ξ Slika 5: Stabilnostne razmere pri lupini z odprtino( b/ a ) =,8 in brez odprtine b/ a = ter karakteristikami F = 8.5, µ = 1/ 3 kr

137 5. Sklep Bimetalne lupine z razmeroma majhno krožno odprtino v temenu imajo višjo temperaturo preskoka τ p1 kot lupine brez odprtine z enakimi snovno geometrijskimi lastnostmi. Temperatura preskoka bimetalne lupine τ p1 je največja pri razmerju polmerov ( b/ a ) kr v tabeli. Če velikost krožne odprtine preseže maksimalno vrednost b/ a > ( b/ a) max lupina nima več preskoka zaradi temperaturnega obremenjevanja. Prav tako nimajo preskoka plitke bimetalne lupine z odprtino, ki imajo vrednost začetne oblikovne funkcije F < 8.5, če znaša Poissonov količnik µ = 1/3. 6. Literatura [ 1 ] Jakomin M., Kosel F., Batista M., Kosel T., Preskok sistema plitke osnosimetrične bimetalne lupine z nelinearno teorijo, Zbornik del/ Kuhljevi dnevi 5, Ljubljana: Slovensko društvo za mehaniko, 5. [] Kosel F., Jakomin M., Batista M., Kosel F., Snap-through of the sistem of open axi-symmetric bimetallic shell by non-linear theory, Thin-walled structures, Volume 44, Issue, February 6. [3] Pejović P., Numerička analiza, Naučna knjiga, Beograd [4] Wittrick. W. H., Stability of Bimetallic Disk, The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Oxford;

138 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Numerično modeliranje kontaktnih spojev teleskopske ročice Niko Jezernik 1, Janez Kramberger 1 in Srečko Glodež 1 Numerical modelling of contact joints of telescopic arm Povzetek V prispevku je obravnavana numerična analiza kontaktnega spoja med segmenti teleskopske ročice dvižne naprave. Medsebojno gibanje segmentov omogočajo drsna vodila, ki hkrati prenašajo prečne obremenitve med segmenti. Zaradi posebnosti obremenitev in deformacij teleskopske ročice je problem obravnavan z upoštevanjem geometrijske nelinearnosti in sočasnim reševanjem kontaktnega problema med posameznimi segmenti. Pri znanih geometrijskih podatkih in obremenitvah so s pomočjo nelinearne analize z metodo končnih elementov določene lokalne napetosti v področju spoja segmentov teleskopske ročice. Abstract The paper describes numerical analysis of contact joints between segments of telescopic arm of a lifting device. Relative movement of segments is permitted by gliders, that carry the transversal load between segments. The nature of loads and deformations of telescopic arm demands a geometrically nonlinear approach to analysing the contact problem between segments. Local stresses due to contacts in joints of segments of telescopic arm are determined for a particular geometric data and load with the use of nonlinear finite elements analysis. 1 Uvod V transportni tehniki se velikokrat uporabljajo mobilne transportne naprave npr. avtodvigala in dvižne ploščadi, ki omogočajo dviganje, spuščanje, nagibanje in rotacijo bremena v delovnem prostoru. Skupna značilnost tovrstnih naprav je, da je gibanje bremena v navpični in vzdolžni smeri običajno zagotovljeno s pomočjo teleskopske ročice, ki je sestavljena iz več segmentov. S pomočjo mehanizma, ki ga lahko sestavlja eden ali več hidravličnih valjev oziroma sistem verig ali vrvi, lahko dosežemo različne delovne dolžine [3]. Teleskopske ročice so zaradi zahtev po optimiranju teže vitke in elastične konstrukcije. Teleskopska ročica je obremenjena z osnimi silami in tudi z znatnimi prečnimi silami in momenti. Zaradi tega se pojavijo upogibni in uklonski problemi. Zaradi velike elastičnosti moramo teleskopske ročice transportnih naprav preračunavati po teoriji drugega reda, z 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo, Smetanova 17, Maribor niko.jezernik@uni-mb.si, jkramberger@uni-mb.si, srecko.glodez@uni-mb.si

139 upoštevanjem geometrijske nelinearnosti. Zaradi posebnosti prenosa obremenitev in deformacij teleskopskih ročic je v prispevku obravnavan problem kontaktnih spojev med posameznimi segmenti. Sestava teleskopske ročice Teleskopsko ročico običajno sestavljajo smerni segment in ustrezno število teleskopov, ki je odvisno od predvidene višine dviganja in tudi od dovoljene transportne dolžine (slika 1). teleskopi smerni segment obračalo nagibni valj vmesni okvir Slika 1: Primer dvižne naprave s teleskopsko ročico Izvlek in uvlek (teleskopiranje) teleskopske ročice dosežemo z mehanizmom za teleskopiranje. Med teleskopiranjem mora biti v smeri gibanja zagotovljeno tudi primerno vodenje teleskopov, kar omogočajo vodila nameščena med posameznimi segmenti. Segmenti teleskopske ročice so škatlaste izvedbe, varjeni iz jeklene pločevine. Na sliki je prikazanih nekaj prečnih prerezov segmentov teleskopske ročice. Zaradi potreb po velikih nosilnostih in s tem povezanimi težavami z lokalnim izbočenjem nosilnih prerezov, se je oblika prerezov spreminjala v zmeraj bolj zaokrožene spodnje dele prereza. Slika : Razvoj oblike prereza segmenta teleskopske ročice

140 Na slikah 3 in 4 je prikazana značilna izvedba spoja dveh segmentov teleskopske ročice. Ovratniki na sprednjem in zadnjem delu posameznega segmenta so namenjeni prenašanju lokalnih napetosti, ki nastanejo zaradi prečnih sil med segmentoma. Le-te se med njima prenašajo preko vodil. Vodila so običajno izdelana iz poliamida, ostali deli so jekleni. ovratnik vodila ovratnik notranji segment vodilo zunanji segment notranji segment vodilo Slika 3: Detajl spoja na sprednjem delu teleskopa 3 Numerični model Slika 4: Detajl spoja na zadnjem delu teleskopa (zunanji segment ni prikazan) 3.1 Linijski model Za ugotavljanje splošne odzivnosti konstrukcije teleskopske ročice je najenostavneje uporabiti poenostavljen linijski model. V poenostavljenem modelu vidne dele teleskopov modeliramo z linijskimi elementi, prekrite (nevidne) dele teleskopov pa upoštevamo s korekcijo lastne teže na mestih prekritja. Slabost takšnega modela je, da ne moremo določiti lokalnih napetosti, ki se pojavijo na kontaktnih mestih v posameznem segmentu. S takšnim modelom lahko ugotovimo splošen potek notranjih sil, momentov in napetosti po dolžini ročice, ter poves za posamezen obremenitveni primer oziroma kombinacijo obremenitev. Za preračun smo uporabili programski paket ESA - Prima Win [4]. 3. Kombiniran numerični model Zaradi opisanih omejitev linijskega modela smo za preračun razmer v kontaktem delu segmenta teleskopske ročice uporabili kombiniran numerični model (slika 5), ki zajema linijske, lupinske in volumske elemente. Pri tem smo posamezen spoj med dvema segmentoma teleskopske ročice modelirali z lupinskimi S4R elementi prvega reda s petimi integracijskimi točkami po debelini. Segmenti pred in za obravnavanim spojem so modelirani kot linijski B31 Timoshenko elementi prvega reda. Drsna vodila so modelirana z

141 volumskimi C3D8R elementi [6]. Prednost kombiniranega modela je v tem, da lahko ovrednotimo kontaktne napetosti v vodilih in lokalne napetosti v segmentih posameznega spoja. Modeliranje celotne konstrukcije z lupinastimi oziroma volumskimi elementi zahteva veliko več časa, pogosto pa tudi ni mogoče najti numerične rešitve, zaradi težav ki jih v povzroči množica kontaktov med posameznimi segmenti. Za ta preračun smo uporabili programski paket Abaqus 6.5 [5]. z 3,5 m y x 18,3 m 1 m 1 m 1 m 3,7 m linijski elementi lupinski elementi (zunanji teleskop) volumski elementi linijski elementi lupinski elementi (notranji teleskop) obremenitev Slika 5: Shematičen prikaz kombiniranega modela Prereza notranjega in zunanjega segmenta, ki sta bila uporabljena pri analizi, sta prikazana na sliki 6. Oba profila sta izdelana iz pločevine debeline 3 mm. (a) (b) Slika 6: Prereza zunanjega in notranjega segmenta a) zunanji segment, b) notranji segment 3.3 Robni pogoji in obremenitev Smerni segment teleskopske ročice je dvakrat tečajno podprt: na obračalo in na nagibni valj

142 Kontakti nastopijo na dveh mestih. Na sprednjem delu zunanjega segmenta (slika 3) so vodila v kontaktu z notranjim segmentom. Na zadnjem delu notranjega segmenta (slika 4) pa so vodila v kontaktu z zunanjim segmentom. Vsi kontakti omogočajo tangencialni pomik brez trenja. V analizi so upoštevane obremenitve, ki izhajajo iz bremena, lastne teže in dodatnih obremenitev, kot jih predvideva evropski standard za preračun dvižnih ploščadi []. V preglednici 1 je prikazana obremenitev za analiziran obremenitveni primer. smer Preglednica 1: Obremenitev na vrhu teleskopske ročice obremenitev Sila [N] Navor [Nm] x y z Numerična analiza Analizirali smo kontaktne razmere za več obremenitvenih primerov z uporabo standardne Newtonove metode (implicitna metoda), pri čemer je analiza posameznega primera potekala v več korakih. Pri prvem preračunu z grobo mrežo (slika 7) smo določili najbolj kritična kontaktna mesta. Zaradi grobe mreže in s tem nenatančnega naleganja elementov so se pojavile visoke konice in nihanja napetosti, ki so posledica naključnega dobrega in slabega ujemanja vozlišč segmenta in vodil. Lahko se npr. zgodi, da eno vozlišče vodila precej bolje nasede na segment kot sosednja vozlišča in zaradi tega (navidezno) nosi večji delež obremenitve [1]. V nadaljnjih korakih smo gostili mrežo na teh območjih in sicer tako dolgo, da so postale takšne računske napake neopazne, napetosti pa so se ustalile (slika 8). Slika 7: Groba mreža Slika 8: Zgoščena mreža

143 4 Analiza rezultatov Primerjava poteka napetosti je prikazana na slikah 1 in 1. Opazovali smo potek napetosti vzdolžno glede na segment (seveda na mestu največjih napetosti) in prečno - po obodu segmenta. Na sliki 9 je prikazan kombiniran model stika dveh segmentov. Področje zajemanja podatkov za sliko 1 je prikazano s črtkano črto, ki poteka od stičišča linijskega in lupinskega modela do konca zunanjega segmenta. S polno črto pa je prikazano področje zajemanja podatkov za sliko 1, ki poteka po sredini stika med vodili in segmentom, po celotnem obodu zunanjega segmenta. vzdolžno (začetek) X po obodu (začetek) lupinski elementi (notranji segment) linijski elementi linijski elementi lupinski elementi (zunanji segment) Slika 9: Prikaz področij zajema podatkov Slika 1 prikazuje potek primerjalne napetosti na zunanjem segmentu v vzdolžni smeri. S črtkano črto so prikazani rezultati preračuna z linijskim modelom (ESA-Prima Win), s polno črto pa rezultati preračuna s kombiniranim modelom z zgoščeno mrežo (Abaqus). kontakt zadaj kontakt spredaj Primerjalna napetost [MPa] Kombiniran model Linijski model Položaj X [mm] Slika 1: Potek primerjalne napetosti na zunanjem segmentu v vzdolžni smeri

144 Na skrajno levem delu je razvidno nihanje napetosti, ki je posledica računske napake na mestu spoja med linijskim in lupinskim modelom. Nato sledi območje približno konstantne napetosti, kjer le-te dobro sovpadajo z globalnimi napetostmi, dobljenimi z linijskim modelom. Sledi področje kontakta, kjer napetosti hitro narastejo, saj poleg globalnih nastopijo tudi lokalne kontaktne napetosti. Za tem sledi območje padanja napetosti, saj začne tukaj obremenitev prenašati notranji segment. Na koncu napetosti ponovno narastejo, saj se tu nahaja sprednje kontaktno področje. Slika 1 prikazuje potek primerjalne napetosti (von Mises) po obodu zunanjega segmenta (slika 11). Na sliki je razviden vpliv gostote mreže na izračunano napetost. V obravnavanem obremenitvenem primeru so obremenjeni samo trije kontakti, zato se na začetku pojavijo tri konice napetosti (črtkana črta). Dve najgloblji dolini predstavljata nevtralno območje med natezno in tlačno obremenitvijo segmenta, kjer napetosti padejo skoraj do ničle. 1. kontakt začetek zajema 4. kontakt nevtralno območje nevtralno območje. kontakt 3. kontakt Slika 11: Prikaz območij kontaktov med vodili in zunanjim segmentom Primerjalna napetost [MPa] kontakt. kontakt 3. kontakt 4. kontakt (neobremenjen),,1,,3,4,5,6,7,8,9 1, Položaj [relativen] Slika 1: Potek napetosti po obodu zunanjega segmenta Zgoščena mreža Groba mreža V nadaljevanju smo gostili mrežo lupine in vodil, pri čemer so se konice napetosti precej zmanjšale. S kvalitetnejšo mrežo in natančnejšim naleganjem kontaktov dobimo boljšo

145 porazdelitev kontaktnih napetosti, ki imajo zato nižji maksimum. Še posebej velika razlika se je pokazala na področju prvega kontakta, kjer se pojavita dve konici namesto ene. To je posledica natančnejšega naleganja (slika 8) obeh krakov kotno oblikovanega vodila, ki je prej (slika 7) nalegalo s samo enim krakom. Z zgoščevanjem smo nadaljevali tako dolgo, da med dvema zaporednima zgostitvama ni bilo več opaznih razlik v izračunanih napetostih. Vsi preračuni so bili narejeni na sistemu s procesorjem AMD Athlon 64 X Dual Core, GHz in GiB delovnega pomnilnika. V preglednici je prikazana kratka statistika analize, pri čemer druga zgostitev mreže že daje dovolj dobre rezultate. Preglednica : Računski časi glede na stopnjo zgostitve Zgostitev Št. elementov Računski čas Dovoljšna zgostitev min ne ure da ur da 5 Zaključek V prispevku je obravnavano zahtevno reševanje kontaktnih problemov v teleskopski ročici. Zaradi precejšne vitkosti in velikih povesov konstrukcije je bilo pri preračunu potrebno upoštevati geometrijsko nelinearnost modela in nelinearnost zaradi kontaktov. Ker z linijskim modelom ne moremo ovrednotiti lokalnega vpliva kontaktov, smo za analizo le-teh uporabili kombiniran linijsko-lupinski model. S tem modelom smo analizirali samo eno spojno področje naenkrat, kar močno skrajša preračunski čas, ki bi bil potreben za preračun lupinskega modela celotne teleskopske ročice. Hkrati pa manjši model omogoča večjo obvladljivost, saj je mogoče lažje in hitreje izvesti popravke na modelu oziroma mreži, v kolikor je to potrebno. Pri preračunu kontaktov je potrebno veliko pozornosti nameniti sami konstrukciji mreže. Pregroba zamrežitev ne omogoča dovolj natančnega ujemanja elementov v kontaktu, kar povzroči nenatančno naleganje in zelo visoke konice kontaktnih napetosti. Glede na rezultate analize, ugotavljamo da je za dano geometrijo najprimernejša stopnja zamrežitve takšna, pri kateri velikost elementov mreže na območju kontaktov ne presega 5 mm. Literatura [1] E. Hinton, Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis, NAFEMS, Velika Britanija, 199. [] Mobile elevating work platforms - Design calculation - Stability criteria; Construction; Safety; Examinations and tests; EN 8:1 [3] Rudolf Becker, Das große Buch der Fahrzeugkrane, KM Verlags GmbH, Griesheim, [4] ESA-Prima Win 3.3 Documentation [5] Abaqus 6.5 Theory Manual [6] Abaqus 6.5 Analysis User's Manual

146 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Določevanje parametrov nizkocikličnega utrujanja visokotrdnostnega jekla S11Q M. Knez 1, S. Glodež 1, J.Kramberger 1 Determination of low cycle fatigue parameters of high strength steel S11Q Povzetek Visokotrdnostna jekla ponujajo možnost zmanjšanja nosilnih presekov konstrukcij zaradi njihove visoke trdnosti, vendar pa je za te materiale značilno, da so zelo podvrženi zareznim učinkom oziroma procesu utrujanja. Zato je poznavanje parametrov utrujanja ključnega pomena za zanesljivo in varno uporabo teh materialov pri konstrukcijah. V prispevku je predstavljena eksperimentalna določitev utrujenostnih parametrov visokotrdnostnega jekla S11Q, ki se z namenom zmanjšanja teže pogosto uporablja pri visoko obremenjenih komponentah, kot so na primer mobilni žerjavi. V prispevku analizirani material uporablja predvsem tam, kjer je varjenje osnovni način spajanja, saj ima zelo dobre varilne lastnosti v primerjavi z ostalimi materiali s primerljivimi trdnostnimi lastnostmi. Abstract High strength steels offering reduction of cross sectional areas in constructions, because of their high strength. But for those materials is also known that all of them are highly sensible for notches and fatigue. Because of that fatigue parameters must be known properly, for reliable and safe usage of those materials in constructions. An experimental investigation is conducted to determine the fatigue properties of high strength steel S11Q, which is quite often used in highly loaded components especially in mobile crane construction because of weight reduction. The researched grade of material is most widely used in constructions where welding is the primary joining technique, as it has superior welding properties in comparison to other grades with comparable properties. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo

147 1 Uvod Življenjska doba mehanskih konstrukcij je odvisna od najbolj kritične komponente. Le-te so tiste z najvišjimi obremenitvami oziroma z najvišjimi koncentracijami napetosti. Trend zmanjševanja mase konstrukcij vodi konstruktorje v uporabo materialov z boljšimi mehanskimi lastnostmi (npr. visokotrdnostna jekla). Vendar pa mora biti poznavanje teh materialov v smislu utrujanja zelo dobro, saj so ti materiali zelo občutljivi za zareze. To pomeni, da je lahko njihova življenjska doba kljub visoki trdnosti razmeroma nizka v primerjavi z ostalimi materiali. Preračun življenjske dobe dinamično obremenjenih konstrukcijskih komponent je v zadnjem času nemalokrat osnova za dimenzioniranje celotne konstrukcije [1]. Življenjska doba je odvisna od zunanjih obremenitev in posledično porazdelitve napetosti v kritičnih prerezih, površinske obdelave, obratovalnih pogojev in parametrov utrujanja materiala, katerih določitev je predstavljena v predloženem prispevku. Testiranje materiala S11Q je izvedeno v režimu nizkocikličnega utrujanja (LCF) v skladu s standardom ASTM E66 []. Na osnovi dobljenih rezultatov testiranj serije preizkušancev so določeni vsi osnovni parametri nizkocikličnega utrujanja. Ker je bila podobna določitev parametrov nizkocikličnega utrujanja izvedena le na osnovi redkih predhodnih raziskav [3, 4], so dobljeni rezultati namenjeni boljšemu poznavanju razmeroma novega materiala in pomoč konstruktorjem pri projektiranju in konstruiranju z omenjenim materialom. Ozadje preskušanja Področje izvedbe nizkocikličnih preizkusov je standardizirano po ASTM E66 []. Po standardu so predvidene različne oblike preskušancev in zaključki, namenjeni za vpenjanje le teh. Izvedba vpetja pa mora biti takšna, da zagotavlja osnost vpetja. Standard podaja osnovne principe in zahteve, z uporabo katerih lahko določimo parametre nizko cikličnega utrujanja..1 Stroji za utrujanje Stroj za utrujanje preskušanca mora poleg zadostne sile za obremenjevanje zagotoviti tudi zadostno togost, saj morajo pri določevanju parametrov nizkocikličnega utrujanja imeti upogibne napetosti zanemarljiv vpliv. Krmiljenje stroja mora zagotoviti konstantno amplitudo obremenitve za celoten čas trajanja obremenitve z dopustnim odstopanjem 1 % skupnega raztezka..3 Merilne naprave Za izvedbo preizkusa je potrebno uporabiti merilne naprave, ki zagotavljajo dovolj veliko merilno območje ter zadostno natančnost. Običajno uporabljamo ekstenziometre z območjem nelinearnosti manj kot 3% celotnega merilnega obsega, hkrati pa morajo omogočati kontinuirano dinamično zajemanje podatkov in zanesljivo namestitev brez poškodb preskušanca oziroma zdrsa

148 .4 Sistem za zajemanje podatkov Sistem za zajemanje podatkov mora zagotavljati natančno zajemanje podatkov, saj lahko le s takšnimi podatki natančno določimo parametre utrujanja. Uporabimo lahko analogne ali digitalne sisteme. Pri digitalnih sistemih moramo podatke zajemati v ustreznem časovnem koraku, da je omogočen dovolj natančen opis histerezne zanke. Sistem mora šteti tudi število ciklov, saj to ključen podatek za določitev parametrov utrujanja..5 Oblika obremenitvenega cikla Obremenitveni cikel mora biti ves čas preizkušanja enak, razen v primerih, ko je namen preskušanja analiziranje vpliva različnih oblik obremenitvenih ciklov. Za kontinuirano obremenjevanje je priporočena trikotna oblika obremenitvenega cikla. Za primer testiranja z zadrževanjem pa je priporočena trapezna oblika..7 Določitev porušitve Porušitev preskušanca in s tem konec preskusa lahko določimo na več različnih načinov: - popolna ločitev preskušanca, - metoda modulov elastičnosti, - pojav razpok, - padec napetosti. Popolna ločitev preskušanca mora nastopiti na ravnem delu epruvete v območju merilne dolžine, potrebno pa je evidentirati lego porušitve, saj na tak načina lahko objektivno ocenimo vzrok porušitve v primeru napake v materialu ali zaradi vpliva nožkov ekstenziometra. Z metodo modula določimo modul elastičnosti pri tlačni oziroma natezni obremenitvi in na osnovi medsebojnega razmerja sklepamo o porušitvi preskušanca. Pojav razpok med preizkušanjem, ki jih opazimo optično ali z napravami in so večje od vnaprej predvidenih, lahko vrednotimo kot porušitev in s tem kot zaključek preizkušanja. Na osnovi padca napetosti definiramo konec preizkušanja nihaj obremenitve, pri katerem napetost v nategu pade pod 5% začetne vrednosti pri prvem nihaju obremenitve. Natančna določitev konca preskušanja mora biti dokumentirana in vključena v končno poročilo..8 Frekvenca obremenjevanja Frekvenco obremenjevanja izberemo tako, da se pri celotnem poteku preskusa temperatura preizkušanca zaradi deformacijskega dela ne spremeni za več kot C. 3 Priprava preizkušancev Material, ki je predmet raziskave je dobavljiv v obliki vroče valjanih plošč, iz katerih so bili izrezani surovci primerne velikosti v smeri valjanja. Preskušanci so bili strojno obdelani,

149 tako, da so izpolnjevali pogoje za testiranje. Za zagotovitev centričnosti vpetja je bila izdelana posebna vpenjalna priprava, kjer je bilo vpenjanje preskušancev izvedeno s pomočjo navoja na koncu epruvete. Osnovne dimenzije epruvete so prikazane na sliki 1. Slika 1: Mere standardnega preskušanca Preskušanci so bili grobo obdelani z dodatkom 1,5 mm, ter s fino obdelavo,15 mm dodatka končne mere v centralnem delu. Končna obdelava je bila izvedena na preostanku epruvete. Dodatek l v centralnem delu je bil odstranjen z med koničnim cilindričnim brušenjem do,5 mm končne mere, preostanek pa je bil odstranjen z vzdolžnim poliranjem. Po obdelavi je bila izvedena ponovna kontrola dimenzij in površinske obdelave, ob tem pa so bili preskušanci označeni na obeh koncih. 4 Izvedba preskusa Preskusi so bili izvedeni na servo-hidravličnem stroju Instron 155 z računalniško podprto krmilno enoto in sistemom za zajemanje podatkov Instron 85. Obremenitveni cikel je bil trikoten (R = 1) s konstantno amplitudno vrednostjo deformacije. Zajemanje podatkov je bilo izvedeno s pomočjo programske opreme tako, da je bil zajet vsak 1 cikel, ki je bil opisan s povprečno točkami. Temperatura preizkušanca je bila med preskusom nadzorovana ročno z uporabo digitalnega termometra. Frekvenca obremenjevanje je bila za preizkušance z manjšo deformacijo večja, saj je generacija energije manjša. 5 Rezultati Kemična sestava je bila določena s strani dobavitelja materiala, količina legirnih elementov je podana v tabeli 1. Izveden je bil tudi metalografski pregled strukture osnovnega materiala (slika ). Tabela 1: Kemična sestava jekla S11Q Element C Si Mn P S Cr Ni m %,18,,83,7,3,56 1,

150 Element Mo V Cu Al Nb N B m %,564,57,1,61,17,6, Slika : Mikrostruktura jekla S11Q Kot je razvidno s slike, je struktura testiranega materiala igličasti bainit z razmeroma homogeno sestavo ter vidnimi sledmi v smeri valjanja. Struktura iglic je zelo fina, saj je njihova velikost (dolžina) manj kot 1 μm. Smeri rasti zrn so različne, kar zagotavlja, da lahko uporabimo povprečne lastnosti ne glede na smer obremenitve. 5.1 Statični preskus Statični natezni preskus je bil izveden z uporabo standardne epruvete DIN 515 B5x5. Statično krivuljo lahko opišemo s pomočjo Ramberg-Osgoodovega zakona [5], ki upošteva utrjevanje (mehčanje) materiala med plastifikacijo z eksponentno enačbo. Vrednosti koeficientov so podane v tabeli. 1 n σ σ ε = + (1) E K Tabela : Lastnosti materiala pri statični obremenitvi Modul elastičnosti E 1988 MPa Meja tečenja R e 1148 MPa Natezna trdnost R m 1485 MPa Koeficient utrjevanja K 1517 MPa Eksponent utrjevanja n,

151 5. Dinamični preskus Parametri nizkocikličnega utrujanja so določeni na osnovi izvedbe serije preizkušancev z amplitudami deformacij,6%,,7%,,75%,,8%,,8%,,85%,,9%,,95%, in x1%. Zaradi pojava porušitve pod nožkom ekstenziometra sta bila preizkušanca z amplitudo,75% in,8% izločena iz nadaljnje analize. Material je izkazoval ciklično mehčanje. V vseh primerih je bila popolna ločitev epruvete kriterij porušitve. Dobljeno ciklično krivuljo (slika 3), opišemo s pomočjo Ramberg Osgoodovega zakona [5], pri čemer upoštevamo ciklične lastnosti: 1 n σ σ ε = + () * E K Tabela 3: Lastnosti materiala pri dinamični obremenitvi * Ciklični modul elastičnosti E MPa ' Ciklična meja plastičnosti R e 875 MPa Ciklični koeficient utrjevanja K ' 179,86 MPa Ciklični eksponent utrjevanja n ',59 Vodilna enačba za določitev parametrov nizko cikličnega utrujanja je Coffin-Mansonova enačba [5]: σ f b c ε a = (N f ) + ε f (N f ) (3) * E kjer je ε a amplitudna deformacija, σ f koeficient utrujevalne trdnosti, b eksponent utrujevalne trdnosti (Basquinov eksponent), c eksponent utrujevalne duktilnosti (Coffin Mason eksponent) in ε koeficient utrujevalne duktilnosti. f Coffin-Mansonov model predpostavlja izotropen in homogen material in povezuje elastično in plastično deformacijo pri nastopajoči obremenitvi preskušanca. Parametre enostavno dobimo s pomočjo linearizacije logaritemskih vrednosti za posamezne stopnje deformacije, dobljenih na osnovi stabilne zanke v sredini življenjske dobe. Dobljeni rezultati so podani v tabeli 4. Dobljene eksperimentalne vrednosti in načelni poteki osnovnih parametrov so prikazani na sliki 4, kjer so vrisane življenjske dobe glede na stopnjo deformacije za izvedeno serijo preizkušancev. Tabela 4: Parametri utrujanja materiala Koeficient utrujevalne trdnosti σ f 76 MPa Eksponent utrujevalne trdnosti b,997 MPa Eksponent utrujevalne duktilnosti c,978 MPa Koeficient utrujevalne duktilnosti ε f 9,

152 1 sa [MPa] 5 -,1 -,5,5,1 e a -5 stabilne histerezne zanke stable hysteresis loops -1 Slika 3: Eksperimentalne histerezne zanke in ciklična krivulja 1,E+1 1,E+ 1,E-1 Elastični del Plastični del Skupna deformacija ε 1,E- 1,E-3 1,E-4 1,E-5 1,E+ 1,E+1 1,E+ 1,E+3 1,E+4 1,E+5 1,E+6 1,E+7 N i Slika 4: Coffin-Mansonov diagram visokotrdnostnega jekla S11Q

153 6. Zaključek V prispevku je predstavljena eksperimentalna določitev parametrov nizkocikličnega utrujanja visokotrdnostnega jekla S11Q. Rezultati raziskav ter analiza prelomne površine kažejo, da je preskušani material razmeroma odporen na utrujenostni lom, saj poteka prelomna površina poševno glede na glavno normalno napetost ter ima vse značilnosti žilavega preloma. Na osnovi preskusov določeni modul elastičnosti pri dinamični obremenitvi je za približno 7,5 % nižji od modula elastičnosti pri statični obremenitvi. Na ta način dobljeni ciklični modul elastičnosti je nato uporabljen pri vrednotenja parametrov nizkocikličnega utrujanja preskušanega materiala. Dobljeni parametri nizkocikličnega utrujanja preskušanega materiala so dobljeni z desetimi preskušanci, obremenjenimi z različnimi nivoji amplitudne deformacije (za vrednotenje rezultatov je bilo uporabnih le osem preskusov), kar je spodnja meja pri tovrstnih raziskavah. Za bolj natančno določitev navedenih parametrov bi bilo potrebnih več preskušancev, s čimer bi bilo mogoče rezultate tudi statistično ovrednotiti. V vsakem primeru pa služijo dobljeni rezultati kot prvo izhodišče pri dimenzioniranju strojnih delov in konstrukcij iz materiala S11Q v območju nizkocikličnega utrujanja (npr. preračun posameznih konstrukcijskih komponent v žerjavogradnji). Literatura: [1] S. Glodež, J. Flašker, Dimenzioniranje na življenjsko dobo, znanstvena monografija, Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta-fakulteta za strojništvo, Maribor 6. [] ASTM E 66 9: Standard Practice for Strain-Controlled Fatigue Testing, ASTM International, [3] H. Hummel, Ermüdungsverhalten geschweißter Bauteile aus hochfesten Sonderbaustählen in Mobilkranen, Dissertation, 3. [4] P. Hübner, Schwingfestigkeit der hochfesten schweißbaren Baustähle StE 885 und StE 96, Dissertation, [5] R.I.Stephens, A. Fatemi, R.R Stephens, H.O. Fuchs, Metal Fatigue in Engineering, John Wiley & Sons Inc., New York,

154 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Robno območna integralska metoda za naravno konvekcijo zaradi dvojne difuzije v kvadratni porozni kotanji J. Kramer 1, R. Jecl 1, L. Škerget Boundary domain integral method for double diffusive natural convection in porous square cavity Povzetek. V prispevku je predstavljena robno območna integralska metoda (ROIM) za izračun naravne konvekcije zaradi sodelujočih termičnih in snovskih vzgonskih sil v kvadratni porozni kotanji. Za modeliranje prenosnih pojavov v porozni snovi so uporabljene Navier-Stokesove enačbe v obliki ohranitvenih zakonov mase, gibalne količine, energije in snovi. Zastavljen sistem je modificiran z uporabo hitrostno-vrtinčne formulacije, ki je najbolj primerna oblika za reševanje z ROIM. Predstavljeni so nekateri rezultati numeričnega izračuna za različne parametre, ki vplivajo na režim konvektivnega toka in primerjani z izsledki objavljenih študij. Abstract. The Boundary domain integral method (BDIM) for solving the problem of natural convection driven by cooperating thermal and solutial buoyancy forces in square porous cavity is presented. The Navier-Stokes equations have been used to describe transport phenomena in porous media in the form of conservation laws for mass, momentum, energy and species. The obtained set of equations is transformed with use of velocity-vorticity formulation, which is most suitable to use in computation with BDIM. Some numerical results for different governing parameters of convective flow are presented and compared with published studies. 1 Uvod Konvektivni tok v porozni snovi zasičeni s fluidom, je v praksi zaradi mnogih inženirskih in tehnoloških aplikacij pomemben pojav in je v zadnjih letih predmet številnih raziskav. V literaturi lahko najdemo mnogo študij, ki obravnavajo problem naravne konvekcije povzročene zaradi termičnih vzgonskih sil, manj pozornosti pa je posvečene problemom s sodelujočimi termičnimi in snovskimi vzgonskimi silami, tako imenovani naravni konvekciji zaradi dvojne difuzije. V 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

155 objavljenih študijah lahko najdemo rezultate za porozno kotanjo kjer so vertikalne stene izpostavljene temperaturnemu in, v primeru konvekcije zaradi dvojne difuzije, koncentracijskemu gradientu, horizontalni porozni sloj ter druge geometrije. Rešitve za prenos toplote in snovi v vertikalni porozni kotanji dobljeni z uporabo Darcyjevega modela so podani v delu [1], najde pa se tudi uporaba Darcy-Brinkmanove formulacije []. Za reševanje osnovnih enačb je v večini primerov uporabljena metoda končnih volumnov in metoda končnih razlik, v nekaterih študijah pa so podani analitični modeli, iz katerih so razvidni vplivi posameznih parametrov na skupen prenos toplote in snovi. V prispevku je za izračun prenosa toplote in snovi po porozni kotanji uporabljena Darcy- Brinkmanova formulacija, kjer je gibalna enačba ekvivalent Navier-Stokesovi gibalni enačbi za čisto tekočino. Enačbe so zapisane na makroskopskem nivoju s povprečenjem mikroskopskih enačb za čisto tekočino preko reprezentativnega elementarnega volumna [3]. Osnovne enačbe se rešijo z uporabo robno območne integralske metode (RIOM), zato se sistem najprej transformira z uporabo hitrostno-vrtinčne formulacije. Kot posledica transformacije se numerična shema razdeli na kinematični in kinetični del. Osnovne enačbe Makroskopske enačbe ohranitve mase, gibalne količine, energije in snovi so zapisane z upoštevanjem dejstva, da je samo del volumna, ki je izražen s poroznostjo, na voljo za tok tekočine. Sistem se zapiše v obliki: v i x i =, (1) 1 v i φ t + 1 v j v i φ = 1 p + Fg i ν x j ρ x i K v i + ν φ t [φ(ρc) v j T f + (1 φ)(ρc) s ]T + (ρc) f x j = x j v i, x j x j () ( ) T λ e, x j (3) φ C t + v jc = ( D C ). (4) x j x j x j Uporabljeni parametri so: v i i-ta komponenta filtracijske hitrosti, x i i-ta koordinata, φ poroznost, t čas, ρ gostota tekočine, ν kinematična viskoznost, p/ x i tlačni gradient, g i gravitacijski pospešek in K prepustnost porozne snovi. Povezava med gostoto, temperaturo in koncentracijo je podana s funkcijo F v obliki: F = (ρ ρ )/ρ = [β T (T T ) +β C (C C )], kjer je ρ referenčna gostota tekočine pri temperaturi T in koncentraciji C, β T je koeficient temperaturnega volumskega raztezka, β C pa koeficient snovskega volumskega raztezka. Nadalje sta (ρc) f in (ρc) s toplotni kapaciteti za tekočo in trdno fazo, T je temperatura, λ e efektivna toplotna prevodnost porozne snovi in je podana kot λ e = φλ f + (1 φ)λ s, kjer sta λ f in λ s toplotni prevodnosti za tekočino in trdnino. V zadnji enačbi je C koncentracija, D pa snovska difuzivnost. Enačba () je znana kot Darcy-Brinkmanova enačba in je sestavljena iz dveh viskoznih členov: Darcy-jev viskozni člen (tretji na desni strani) in Brinkmanov viskozni člen, ki je analogen Laplaceovem členu iz Navier-Stokesove enačbe za čisto tekočino (četrti na desni strani). - -

156 3 Robno območna integralska metoda Robno območna integralska metoda (ROIM), ki je uporabljena za reševanje problema je nadgradnja klasične metode robnih elementov [4]. Preden uporabimo ROIM na zgornjih enačbah, jih moramo ustrezno modificirati. Viskoznost v gibalni enačbi razdelimo na konstanten in spremenljiv del ν = ν + ν, tako da se Brinkmanov člen zapiše v dveh delih in enačba se preoblikuje v: v i t + v j v i = 1 p + Fg i νφ x j ρ x i K v i + ν v i + ( ν ε i j ), (5) x j x j x j kjer je v i modificirana hitrost v i = v i/φ, ε i j pa je deformacijski tenzor ε i j = 1/( v i / x j + v j / x i). Podobno kot kinematično viskoznost, razdelimo tudi termično difuzivnost, ki je definirana kot a P = λ e /(ρc) f in snovsko difuzivnost na konstanten in spremenljiv del: a p = a P + ã p, D = D + D. Če vključimo še izraz za razmerje toplotnih kapacitet σ = φ + (1 φ)(ρc) s /(ρc) f lahko energijsko in snovsko enačbo zapišemo kot: σ T φ t + v j T = a P x j φ C t + v j C = D x j φ T + ) (ãp T, (6) x j x j x j φ x j C + ( D x j x j x j φ C x j ). (7) V naslednjem koraku zgoraj podane osnovne enačbe transformiramo z uporabo hitrostno-vrtinčne formulacije, tako da se računska shema razdeli na kinematični in kinetični del [4]. Vpeljemo vektor vrtinčnosti ω i, ki je po definiciji rotor hitrostnega polja ω i = e i jk ( v k / x j ), kjer je e i jk permutacijski tenzor. Kinematika se sedaj zapiše v obliki eliptične hitrostne vektorske enačbe kot: v i ω + e i j =. (8) x j x j x j Enačba (8) in vse enačbe v nadaljevanju so zapisane za primer ravninske geometrije. Kinetika je podana z enačbo vrtinčnosti, energijsko in snovsko prenosno enačbo. Transportno enačbo vrtinčnosti dobimo s transformacijo Brinkmanove gibalne enačbe () in se zapiše kot: ω + v ω j = ν ω F + e i j g j νφ t x j x j x j x j K ω + ) ( ν ω + f j, (9) x j x j x j kjer je ω modificirana vrtinčnost ω = ω/φ, f j pa prispevek zaradi učinkov spremenljivih lastnosti snovi. Enačbe (8), (9), (6) in (7) predstavljajo vodilni nelinearni sistem enačb, ki jih moramo za primer uporabe robno območne integralske metode zapisati v integralski obliki. To storimo z uporabo metode utežnih ostankov v kombinaciji z ustreznimi Greenovimi osnovnimi rešitvami. Integralska oblika enačbe kinematike se zapiše kot: c(ξ)v i (ξ) + Z Γ v i q dγ = Z Γ v i n u dγ + Z Ω b i u dω, (1) kjer je b i člen telesnih sil b i = e i j ω/ x j in u eliptična Laplceova osnovna rešitev, q pa njen odvod, q = u / n. Parameter c(ξ) predstavlja geometrijski koeficient, ki je odvisen od lege - 3 -

157 izvorne točke ξ, Γ pa je rob računskega območja Ω. Z nadaljnim preoblikovanjem [5] in uporabo Gaussovega teorema lahko integralsko obliko za kinematiko zapišemo v obliki: c(ξ)v i (ξ) + Z Γ v i q dγ = e i j v j qt ZΓ dγ e i j ωq ZΩ jdω. (11) Po diskretizaciji računskega območja, vpeljavi vplivnih matrik in upoštevanju robnih pogojev, zapišemo naslednji matrični sistem: [H]{v i } = e i j [H t ]{v j } e i j [D j ]{ω}, (1) kjer so [H], [H t ] in [D j ] matrike, sestavljene iz integralov, ki predstavljajo integracijo po robnih elementih in notranjih celicah zapisanih za vsa robna in notranja vozlišča. Integralski zapis za enačbo vrtinčnosti, temperature in koncentracije izhaja iz nehomogene eliptične difuzivno-konvektivne enačbe [3]: a u v j u u + b =, (13) x j x j x j t kjer je u poljubna funkcija polja (vrtinčnost, temperatura, koncentracija), a je definirana v skladu z ohranitvenim zakonom, b pa je nehomogeni del telesnih sil. Zapišemo lahko naslednjo integralsko enačbo: Z ( c(ξ)u(ξ) + a u u n ZΓ dγ = a u ) Z n uv n dγ + bu dω, (14) Γ kjer je u eliptična difuzivno-konvektivna osnovna rešitev. Glede na zgoraj zapisano enačbo sledijo sedaj integralske enačbe za kinetiko vrtinčnosti, temperaturo in koncentracijo: Z Z c(ξ)ω (ξ) + ω U Γ n dγ = 1 ) (ν ω ν Γ n ω v n + e i j g j Fn j + f j n j U dγ+ Z + 1 ) (ω ṽ j e i j g j F ν ω U f j dω+ (15) ν Ω x j x Z Z j + 1 νφ ν t Ω K ω U dω + 1 ω ν t F 1U dω, Ω Z c(ξ)t (ξ) + T U Γ n dγ = φ ( ) σap T σa P ZΓ φ n T v n U dγ φ ( T ṽ σa P ZΓ j σã ) P T U dγ+ (16) φ x j x j + φ T F 1 U σa P ZΩ dω, Z Z c(ξ)c(ξ) + C U Γ n dγ = φ ( ) D C D Γ φ n Cv n U dγ Z φ ( ) D C U Cṽ j dω (17) D Ω φ x j x Z j + φ C i,f 1 U dω, D t Ω Ω

158 kjer je U modificirana difuzivno-konvektivna osnovna rešitev in je U = νu v gibalni enačbi, U = a P /φu v energijski enačbi in U = D/φu v snovski enačbi. V naslednjem koraku pripadajoče robno območne integralske enačbe zapišemo v diskretizirani obliki tako, da robne in območne integrale aproksimiramo z vsoto integralov po posameznih robnih elementih in notranjih celicah. Sledi matrična oblika za vrtinčno, temperaturno in koncentracijsko kinetiko: [H]{T } = [H]{ω } = 1 ν [G] { ν ω + 1 ν [D j] n ω v n + e i j g j Fn j + f j n j {ω ṽ j e i j g j F ν ω f j x j φ { } σap T [G] σa p φ n T v n } [H]{C} = φ D [G] { D φ C n Cv n φ σa p [D j ] φ D [D j] } + } + 1 ν t [B] { T ṽ j σã p φ T x j { D C Cṽ j φ x j { } (18) νφ K ω + ω F 1, } + 1 a p t [B]{T } F 1, (19) } + φ D t [B]{C} F 1. () Sistem disketiziranih enačb (1), (18), (19) in () se reši kot vezani sistem kinetike in kinematike z upoštevanjem ustreznih robnih pogojev. Dobljen implicitni sistem enačb je hkrati zapisan za vsa robna in območna vozlišča, kar rezultira v zelo polni sistemski matriki, ki vsebuje tako vplive difuzije kot konvekcije. Numerična shema je stabilna in natančna, vendar za reševanje potrebuje veliko računalniškega spomina in časa. Zaradi tega se uporabi tehnika podobmočij, kjer se celotno območje izračuna razdeli na podobmočja, kar bistveno skrajša računski čas. Končni sistem enačb se dobi z združevanjem sistemov enačb za posamezno podobmočje ob upoštevanju ustreznih kontinuitetnih pogojev na vmesnih robovih. Sistemska matrika je tako bolj prazna in primernejša za iterativni izračun. V podanem primeru je vsako podobmočje sestavljeno iz štirih nezveznih 3-točkovnih kvadratnih robnih elementov in ene zvezne 9-točkovne kvadratne območne celice [3]. 4 Primer izračuna Učinkovitost in pravilnost opisane numerične metode se je testirala na primeru naravne konvekcije v kvadratni kotanji zapolnjeni s porozno snovjo, ki je ob straneh izpostavljena različnim vrednostim temperature T in koncentracije C (T L in C L na levi steni ter T R in C R na desni strani), horizontalne stene pa so toplotno in snovsko neprevodne. Predpostavimo, da je porozna snov homogena in nedeformabilna ter v celoti zasičena s tekočino. Nadaljne predpostavke so še, da sta poroznost in prepustnost porozne snovi konstantni, tekočina, ki zapolnjuje pore pa je newtonska in v termičnem ravnovesju s trdo fazo. Geometrija in robni pogoji zastavljenega problema so razvidni iz slike 1. Izračun je opravljen za kvadratno kotanjo z razmerjem stranic A = H/D = 1 pri različni vrednostih Darcyjevega števila Da = Λ(K/H ), kjer je Λ = 1/φ, modificiranega termičnega Rayleighevega števila Ra T = Ra T Da λ, in je Ra T = gβ T D 3 T /νa f, kjer je a f termična difuzivnost tekočinske faze, λ pa razmerje toplotne prevodnosti tekočinske faze in efektivne toplotne prevodnosti definirane v poglavju, λ = λ f /λ e. Ostali parametri problema so še Lewisovo število Le = Sc/Pr, kjer je Sc Schmidtovo število, Sc = ν/d ki predstavlja razmerje med kinematično viskoznostjo in snovsko difuzivnostjo, Pr pa Prandtlovo število, Pr = ν/a in je razmerje med kinematično viskoznostjo in termično difuzivnostjo ter vzgonski - 5 -

159 Slika 1 : Geometrija kotanje ter robni pogoji koeficient N, ki pove razmerje med vplivom termičnih oziroma snovskih vzgonskih sil definiran kot N = β C C/β T T. Zaradi poenostavitve izračuna smo vzeli vrednosti razmerja toplotnih prevodnosti in toplotnih kapacitet λ = σ = 1, za vrednost poroznosti pa φ =.5. Uporabljena je neekvidistantna računska mreža z zgostitvami na robovih, pri čemer je razmerje med najkrajšo in najdaljšo stranico r = 6. Skupen prenos toplote in snovi skozi kotanjo podajata Nusseltovo in Sherwoodovo število, ki sta definirani kot: Z 1 ( ) T Z 1 ( ) C Nu = dy, Sh = dy. (1) x x= x x= Prvi izračunan primer je naravna konvekcija zaradi delovanja termičnih vzgonskih sil (N = ), Tabela 1 : Povprečno Nusseltovo število za N =, Le = 1. Da sedanji rezultati Ra = 1 ref.[3] ref.[6] / sedanji rezultati Ra = 5 ref.[3] ref.[6] / za Le = 1, ter vrednosti Ra = 1 in Ra = 5 pri različnih Darcy-jevih številih, in sicer za Da = Skupen prenos toplote je v tem primeru enak skupnemu prenosu snovi torej sta vrednosti Nusseltovega in Sherwoodovega števila identični. Rezultati so podani v tabeli 1 in primerjani z deli [3] in [6], kjer je obravnavan problem konvektivnega toka v porozni kotanji samo zaradi termičnega gradienta. V tabeli so zbrani rezultati za primer skupnega - 6 -

160 Tabela : Povprečno Nusseltovo in Sherwoodovo število za Da = 1 7, Le = 1, N =. Ra 1 sedanji rezultati Nu ref.[1] ref.[] sedanji rezultati Sh ref.[1] ref.[] prenosa toplote in snovi za Darcyjev model (Da = 1 7 ), pri vrednostih Le = 1, N =, ter Ra = 1, Ra = in Ra = 5. Še vedno gre za konvekcijo zaradi termičnih vzgonskih sil, ki povzroči tudi prenos snovi po kotanji. Zaradi večje vrednosti Lewisovega števila je pri določenem Rayleighovem številu prenos snovi večji od prenosa toplote. Sherwoodovo število tako narašča z vrednostmi Le in Ra medtem, ko Nusseltovo število v primeru N = ni odvisno od Lewisovega števila pri določenem Ra. Iz primerjalnih tabel je razvidno, da so rezultati dobljeni po opisani metodi primerljivi z objavljenimi, dobljenimi z uporabi drugačnih modelov in postopkov reševanja, kar potrjuje pravilnost zastavljene numerične sheme. Naslednji Slika : Tokovnice, izoterme in črte koncentracijskega polja za Ra = 1, Le = 1, N = 1; zgoraj Da = 1 3, spodaj Da = 1 7. izračunani primer, katerega rezultati so podani v tabeli 3 je konvekcija zaradi sodelovanja termičnih in snovskih vzgonskih sil za vrednost koeficienta N = 1, pri Ra = 1 in Da = 1 1, Da = 1 3 in Da = 1 7. Vzgonski sili tokrat delujeta z enakim vplivom. Struktura toka, potek temperaturnega in koncentracijskega polja za vrednosti Da = 1 7 (Darcyjev model) in - 7 -

161 Tabela 3 : Povprečno Nusseltovo in Sherwoodovo število za Ra = 1, Le = 1, N = 1. Da Nu Sh Da = 1 3 so prikazani na sliki. Pri večjem Darcyjevem številu so koncentracijski gradienti ob steni manjši, kar je vpliv povečevanja viskoznih sil, ki so zajete z Brinkmanovim členom. Podobno se prenos toplote po porozni kotanji veča z manjšanjem Darcyjevega števila (Da ), ko se vpliv viskoznega Brinkmanovega člena v gibalni enačbi zmanjšuje. 5 Zaključki V prispevku je predstavljen izračun problema naravne konvekcije zaradi dvojne difuzije v kvadratni porozni kotanji z robno območno integralsko metodo. Rezultati so izvrednoteni posebej za vpliv termične vzgonske sile ter za vzajemen vpliv termične in snovske vzgonske sile na skupen prenos toplote in snovi. Dobljeni rezultati se ujemajo z objavljenimi študijami, kjer so uporabljene drugačne metode reševanja, kar potrjuje pravilnost opisanega numeričnega postopka. Z uporabo Brinkmanove gibalne enačbe se lahko določa tudi vpliv Darcyjevega števila na konvektivni tok v kotanji. Povečevanje Brinkmanovega viskoznega člena vidno vpliva na strukturo toka, prenos toplote in snovi. Literatura [1] O. V. Trevisan, A. Bejan, Natural convection with combined heat and mass transfer buoyancy effects in a porous medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, , [] B. Goyeau, J. P. Songbe, D. Gobin, Numerical study of double-diffusive natural convection in a porous cavity using the Darcy Brinkman formulation, Int. J. Heat Mass Transfer, 39, , [3] R. Jecl, L. Škerget, Boundary element method for natural convection in non-newtonian fluid saturated square porous cavity, Engng. Anal. Bound. Elem., 3, , 3. [4] L. Škerget, M. Hriberšek, G. Kuhn, Computational fluid dynamics by boundary-domain integral method, Int. J. Numer. Meth. Engng., 46, , [5] L. Škerget, N. Samec, BEM for the two-dimensional plane compressible fluid dynamics, Engng. Anal. Bound. Elem., 9, 41 57, 5. [6] G. Lauriat, V. Prasad, Natural convection in a vertical porous cavity: a numerical study for Brinkman-Extended Darcy formulation, J. Heat Transfer, 3, ,

162 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Vpliv razpok na uklonsko nosilnost armiranobetonskih stebrov N. Krauberger 1, M. Saje, S. Bratina in I. Planinc Crack effects on the buckling load of reinforced concrete columns Povzetek. V članku smo analizirali vpliv razpok in materialne nelinearnosti betona in armature na uklonsko nosilnost armiranobetonskih Eulerjevih stebrov. Razpoke smo modelirali z linearnimi torzijskimi vzmetmi. Točne izraze za uklonske sile razpokanih armiranobetonskih stebrov smo izpeljali s pomočjo linearizirane stabilnostne analize. Kot izhodišče izpeljave smo izbrali Reissnerjev model ravninskega nosilca. Parametrična analiza stebrov z eno razpoko je pokazala, da imata lega in velikost razpoke velik vpliv na uklonsko obnašanje stebrov, medtem ko materialna nelinearnost bistveno vpliva zgolj na velikost uklonske sile. Abstract. In this paper the effect of the crack and material non-linearity on Euler s buckling load for straight reinforced concrete columns is presented. The crack was modeled with a linear rotational restraint (spring). The exact solution for the buckling load of the cracked reinforced concrete columns is derived from the linear theory of stability. The starting point of the derivation is the geometrically exact beam theory of Reissner. Parametric analyses of a typical column with one crack show that the crack position and the crack magnitude have an important influence on the buckling load. The effect of the non-linearity of material on the buckling load is also very important. 1 Uvod Razpoke opazimo pri vseh vrstah konstrukcij. To še posebej velja za armiranobetonske gradbene konstrukcije. Pri teh se razpoke pogosto pojavijo že med gradnjo zaradi neustreznih tehnoloških postopkov, najpogosteje pa v fazi uporabe konstrukcije zaradi nepredvidljivih zunanjih vplivov. Znano je, da razpoke bistveno vplivajo na statično in dinamično obnašanje konstrukcij kot tudi na njihovo uklonsko nosilnost. Zato zasledimo v literaturi veliko raziskav, ki se ukvarjajo z analizo vpliva razpok na dinamično obnašanje konstrukcij [, 6, 1] in na uklonsko nosilnost konstrukcij, najpogosteje stebrov [8, 9, 14, 15]. 1 Vegrad d.d., Velenje Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

163 Za analizo vpliva razpok na globalno obnašanje linijskih konstrukcij najpogostje uporabljamo dva preprosta modela [15]. S prvim opišemo razpoko s povečano podajnostjo dela nosilca na mestu razpoke [13]. Ta preprosti model ni zasnovan na izsledkih mehanike loma, zato moramo spremenjeno togost nosilca na mestu razpoke določiti s pomočjo dodatnih eksperimentov. Drugi model za analizo vpliva razpok so zasnovali Okamura in sodelavci [9]. Pri tem modelu nadomestimo povečano podajnost nosilca na mestu razpoke s torzijsko vzmetjo, karakteristike vzmeti, ki predstavlja razpoko, pa določimo s pomočjo mehanike loma [6]. Tak model razpok raziskovalci pogosto uporabljajo pri analizi nihanja razpokanih elastičnih nosilcev [6, 1] in pri določitvi uklonskih sil razpokanih elastičnih stebrov [7, 14]. V članku se ukvarjamo z analizo uklonske nosilnosti razpokanih armiranobetonskih Eulerjevih stebrov. Skladno s priporočili Okamure in sodelavcev modeliramo razpoke s torzijskimi vzmetmi [9]. Predpostavimo, da so razpoke simetrične. Izhodišče naše izpeljave uklonskih sil razpokanih armiranobetonskih stebrov je geometrijsko točna Reissnerjeva teorija nosilcev [11]. Novost je v tem, da pri izpeljavi izrazov za določitev uklonskih sil poleg upogibnega upoštevamo tudi osno deformiranje stebrov ter materialno nelinearno obnašanje betona in armature. Uklonske sile izpeljemo s pomočjo t.i. linearizirane teorije stabilnosti [4]. Osnovna predpostavka te teorije je, da so lastnosti kritične točke nelinearnega sistema diferencialnih enačb skoraj vedno enake lastnostim sistema, lineariziranega v kritični točki. Osnovne enačbe. Linearizirana stabilnostna analiza Opazujemo razpokan armiranobetonski steber z dolžino L in s konstantnim prečnim prerezom A = b/h. Obliko prečnega prereza in razporeditev armature po prečnem prerezu izberemo tako, da se masno in geometrijsko središče ujemata (slika 1). Razpoke modeliramo z linearnimi torzijskimi vzmetmi. Skladno s tem razdelimo steber na E odsekov z dolžinami L e j (L = L e 1 + L e L e E ). Ti so na mestu razpoke med seboj povezani s torzijskimi vzmetmi ρ v i (i =,3,...,V 1). Steber je na zgornjem robu obtežen s konservativno osno tlačno silo F, izbrani robni pogoji pa določajo standardne Eulerjeve stebre (slika 1). Uklonsko nosilnost razpokanih Eulerjevih armiranobetonskih stebrov analiziramo z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca. Ker je pri standardnih dimenzijah armiranobetonskih stebrov vpliv strižnih deformacij na njihovo obnašanje zanemarljiv [7], njihov vpliv v nadaljevanju zanemarimo. Reissnerjeve posplošene ravnotežne enačbe za posamezni odsek stebra so ( j = 1,,...,E): 1 + u e j (1 + ε e j )cosϕ e j =, (1) w e j + (1 + ε e j )sinϕ e j =, () ϕ e j κ e j =, (3) H e j =, (4) V e j =, (5) M e j (1 + ε e j )Q e j =, (6) N e j = H e j cosϕ e j V e j sinϕ e j, (7)

164 Slika 1 : Razpokani Eulerjevi armiranobetonski stebri. Q e j = H e j sinϕ e j +V e j cosϕ e j, (8) N e s j = σ c da + A c σ s A ni = N e j c, i=1 (9) M e s j = zσ c da + A c z ni σ s A ni = M e j c, (1) kjer ( ) predstavlja odvod po koordinati x. V enačbah (1) (1) predstavljata ε e j in κ e j meri za osno in upogibno deformiranje stebra, u e j in w e j sta komponenti vektorja pomika referenčne osi stebra v vzdolžni in prečni smeri, ϕ e j pa je zasuk prečnega prereza stebra. Statične količine smo v enačbah (1) (1) označili s H e j, V e j, N e j, Q e j in M e j. Tako sta N e j in Q e j osna in prečna silo, M e j pa upogibni moment. Enačbi (9) in (1) sta konstitucijski enačbi. Povezujeta N e j in M e j s specifično spremembo dolžine poljubnega materialnega vlakna stebra D e j = ε e j + zκ e j. Pri tem smo konstitucijski model betona označili s σ c, armaturnih palic pa s σ s. Z A ni smo v enačbah (9) (1) označili ploščino armaturnih palic, z z ni pa oddaljenost armaturnih palic od referenčne osi stebra (slika 1). Uklonske sile na primarni veji obtežno-deformacijske krivulje razpokanega armiranobetonskega stebra določimo s pomočjo t.i. linearizirane teorije stabilnosti [4]. Linearizirane ravnotežne enačbe odseka stebra e j so ( j = 1,,...,E): i=1 δu e j + (1 + ε e j )sinϕ e j δϕ e j cosϕ e j δε e j = (11) δw e j + (1 + ε e j )cosϕ e j δϕ e j + sinϕ e j δε e j = (1) δϕ e j δκ e j =, (13) δh e j =, (14)

165 δv e j =, (15) δm e j Q e j δε e j (1 + ε e j )δq e j =, (16) δn e j = δh e j cosϕ e j H e j sinϕ e j δϕ e j δv e j sinϕ e j V e j cosϕ e j δϕ e j, (17) δq e j = δh e j sinϕ e j +H e j cosϕ e j δϕ e j + δv e j cosϕ e j V e j sinϕ e j δϕ e j, (18) δn e j = C e j 11 δεe j +C e j 1 δκe j, (19) δm e j = C e j 1 δεe j +C e j δκe j. () S C e j 11, Ce j 1 = Ce j 1, Ce j smo v enačbah (19) in () označili komponente tangentne konstitucijske matrike prečnega prereza. Zaradi simetrije prečnega prereza stebra dobijo relativno preprosto obliko: 11 = N e j c ε e j C e j = konst., C e j 1 = Ce j 1 =, Ce j = M e j c ε e j = konst. (1) V nadaljevanju s pomočjo rešitve sistema enačb (1) (8) za vsak odsek stebra e j izračunamo primarno ravnotežno lego razpokanega armiranobetonskega stebra. Nato s pomočjo rešitve zapišemo lineariziran sistem diferencialnih enačb (11) (), ga rešimo in na koncu poiščemo še kritične točke na primarni veji obtežno-deformacijske krivulje. Primarno ravnotežno lego stebra določajo pogoji ravnih in neizklonjenih stebrov, ϕ e j = ( j = 1,,...,E). Z upoštevanjem teh pogojev v enačbah (1) (1) je primarna ravnotežna lega razpokanega armiranobetonskega stebra določena z naslednjim sistemom nelinearnih enačb ( j = 1,,...,E): u e j (x) = ε(l x), w e j (x) =, ϕ e j (x) =, () H e j (x) = N e j (x) = N = F, V e j (x) = Q e j (x) =, M e j (x) =, (3) ε e j (x) = ε = konst., κ e j (x) = κ(x) =, (4) C e j 11 = C 11 = konst., C e j = C = konst. (5) Zaenkrat še neznano osno deformacijo stebra ε določimo s pomočjo enačbe F = σ c (ε,κ = )A c + s i=1 σ s(ε,κ = )A ni. Z upoštevanjem enačb (1) (5) v sistemu (11) () se ta poenostavi ( j = 1,,...,E): δu e j δε e j = (6) δw e j + (1 + ε)δϕ e j = (7) δϕ e j δκ e j =, (8) δh e j =, (9) δv e j =, (3) δm e j (1 + ε)δq e j =, (31) δn e j = δh e j, (3)

166 δq e j = δv e j +N δϕ e j, (33) δn e j = C 11 δε e j, (34) δm e j = C δκ e j. (35) Sistem (6) (35) predstavlja povezan sistem linearnih diferencialnih enačb prvega reda s konstantnimi koeficienti. V nadaljevanju ga nadomestimo z nepovezanim sistemom linearnih diferencialnih enačb drugega in četrtega reda s konstantnimi koeficienti Splošna rešitev enačbe (36) je zelo preprosta δu e j =, (36) δw e j (1 + ε)n δw e j =. C (37) δu e j (x) = K e j 1 x +K e j. (38) Z vpeljavo t.i. uklonskega obtežnega parametra k = (1+ε) N C > enačbo (37) zapišemo v novi obliki Splošna rešitev enačbe (39) je δw e j + k δw e j =. (39) δw e j (x) = C e j 1 coskx +C e j sinkx +C e j 3 x +C e j 4. (4) Neznane konstante K e j 1, K e j, C e j 1, C e j, C e j 3 in C e j 4 v rešitvah (38) in (4) določimo s pomočjo statičnih in kinematičnih robnih pogojev, ter pogojev, ki odseke povezujejo v steber. Kritične točke na primarni veji obtežno-deformacijske krivulje določa pogoj [1] detl T = deth T detk T =, (41) kjer smo v matriki H T združili koeficiente pri konstantah K e j 1, K e j, medtem ko smo v matriki K T združili koeficiente pri konstantah C e j 1, C e j, C e j 3, C e j 4. Ker je deth T, dobi pogoj (41) preprosto obliko detk T =. (4) Uklonsko nosilnost razpokanega armiranobetonskega stebra tako določa naslednji sistem nelinearnih enačb F cr = σ c (ε cr,κ cr = )A c + Rešimo ga z Newtonovo metodo [1]. s i=1 σ s (ε cr,κ cr = )A ni, (43) detk T =. (44)

167 3 Eulerjevi armiranobetonski stebri z eno razpoko V tem poglavju analiziramo uklonsko nosilnost razpokanih armiranobetonskih Eulerjevih stebrov dolžine L = 4.5 m. Predpostavimo, da imajo stebri samo eno razpoko. Glede na to so stebri razdeljeni na dva odseka z dolžinama L e 1 = αl in L e = (1 α)l, ki sta na mestu razpoke povezana s torzijsko vzmetjo s togostjo ρ v (slika ). S spreminjanjem togosti opišemo različno veliko razpoko, od ρ v =, ko je razpoka tako velika, da se prerez obnaša kot členek, do ρ v =, ko steber nima razpoke (ω = ρ v L/E cm J c =,.1,..., 1 ). Zanima nas kako lega razpoke α, velikost razpoke ω in materialna nelinearnost betona in armature vplivajo na uklonsko nosilnost. Slika : Razpokani armiranobetonski Eulerjevi stebri. Geometrijski in materialni podatki. Nelinearno obnašanje betona in armature opišemo s konstitucijskima modeloma, ki ju za analizo armiranobetonskih konstrukcij predpisuje evropski standard za beton Eurocode (slika 3). Glede na izbrano tlačno trdnost betona in armature skladno z Eurocode [1, 3] izberemo še preostale materialne parametre betona oziroma armature. Ti so: D c1 =. /, D cu = 3.5 /, E s = kn/cm, E p = kn/cm, D y = 4 / in D u = 4 /. Geometrijske in materialne karakteristike izberemo tako, da se razpokani armiranobetonski steber prej ukloni kot doseže mejno nosilnost prečnega prereza N mej = kn [5]. Steber VPS. Najprej opazujemo razpokan prostoležeči armiranobetonski steber z oznako VPS (slika ). Spreminjanje uklonske nosilnosti stebra v odvisnosti od lege in velikosti razpoke prikazuje slika 4a. Zaradi simetrije obravnavamo samo polovico stebra ( α.5). Na sliki 4a vidimo, da je uklonska nosilnost stebra najmanjša takrat, ko je razpoka na sredini stebra in se povečuje, ko se razpoka približuje podpori. Ta vpliv je razumljivo največji takrat, ko je steber najbolj razpokan. Zanimiv in pričakovan je tudi vpliv materialne nelinearnosti na uklonsko nosilnost stebra. Na sliki 4b opazimo, da materialna nelinearnost kvalitativno ne spremeni vpliva lege in velikosti razpoke na uklonsko nosilnost stebra [14]. Bistveno pa spremeni velikost uklonske sile. Tako je ta vpliv pričakovano največji pri malo razpokanem stebru in najmanjši pri zelo razpokanem stebru. V primeru zelo razpokanega stebra, ki je zelo vitek, se steber ukloni že

168 Slika 3 : Konstitucijski model (a) betona in (b) armature skladno z Eurocode [3]. pri zelo majhni uklonski sili in je posledično steber praktično še vedno v elastičnem območju. Slika 4 : Steber VPS. (a) Spreminjanje uklonske nosilnosti razpokanega stebra v odvisnosti od lege (α) in velikosti (ω) razpoke (Fcr nerazpokan = kn [5]); (b) vpliv materialne nelinearnosti na uklonsko nosilnost razpokanega stebra. Steber KS. Slika 5 prikazuje vpliv razpoke in materialne nelinearnosti na uklonsko nosilnost konzolnega stebra z oznako KS. Na sliki 5a vidimo, da ima razpoka največji vpliv takrat, ko je tik ob podpori. Ko se razpoka premika proti prostemu robu stebra, se ta vpliv manjša in je enak nič, ko je razpoka na prostem robu stebra. Tudi v tem primeru materialna nelinearnost kvalitativno ne spremeni obnašanja stebra [14], bistveno pa se spremeni velikost uklonske sile

169 (slika 5b). Slika 5 : Steber KS. (a) Spreminjanje uklonske nosilnosti razpokanega stebra v odvisnosti od lege (α) in velikosti (ω) razpoke (Fcr nerazpokan = 14.7 kn [5]); (b) vpliv materialne nelinearnosti na uklonsko nosilnost razpokanega stebra. Steber ESV. Zelo zanimiv je vpliv razpoke na uklonsko nosilnost stebra z oznako ESV (slika 6). V primeru členka (ω = ) opazimo, da uklonska nosilnost stebra z oddaljenostjo členka od vpetišča stebra pada in je pri α = 1 enaka nič. Za delno razpokan steber (ω > ) uklonska nosilnost stebra narašča in je največja pri α = 1. Optimalna lega razpoke je ravno prevojna točka stebra ESV (α.3844) [5]. Zanimivo je tudi, da razpoka na tem mestu stebra nima vpliva na uklonsko nosilnost stebra in to ne glede na velikost razpoke (slika 6a). Tudi za ta steber materialna nelinearnost kvalitativno ne spremeni obnašanje stebra [14]. Spremeni pa se zopet velikost uklonske sile in sicer manj za vitke stebre (večje razpoke) in bolj za manj vitke stebre (slika 6b). Steber OSV. Na koncu analiziramo uklonsko nosilnost razpokanega obojestransko vpetega armiranobetonskega stebra z oznako OSV. Spreminjanje uklonske nosilnosti stebra v odvisnosti od lege in velikosti razpoke prikazuje slika 7a. Zaradi simetrije prikazujemo vpliv razpoke samo na intervalu α.5. Najneugodnejša lega razpoke je sedaj na sredini stebra, optimalna pa je delno odvisna od velikosti razpoke. Nahaja se na intervalu α.5. Spodnjo mejo intervala določa členek ω = (α.18619), zgornjo mejo pa prevojna točka nerazpokanega stebra ω = (α =.5) [5]. Podobno kot za vse obravnavane stebre tudi za ta steber materialna nelinearnost kvalitativno ne spremeni vpliva razpoke na uklon [14], bistveno pa tudi sedaj spremeni velikost uklonske sile F cr (slika 7b). 4 Zaključek V članku smo analizirali vpliv lege in velikosti razpok ter materialne nelinearnosti betona in armature na uklonsko nosilnost armiranobetonskih Eulerjevih stebrov. Razpoke smo modelirali

170 Slika 6 : Steber ESV. (a) Spreminjanje uklonske nosilnosti razpokanega stebra v odvisnosti od lege (α) in velikosti (ω) razpoke (Fcr nerazpokan = kn [5]); (b) vpliv materialne nelinearnosti na uklonsko nosilnost razpokanega stebra. Slika 7 : Steber OSV. (a) Spreminjanje uklonske nosilnosti razpokanega stebra v odvisnosti od lege (α) in velikosti (ω) razpoke (Fcr nerazpokan = kn [5]); (b) vpliv materialne nelinearnosti na uklonsko nosilnost razpokanega stebra. s torzijskimi vzmetmi. Točne izraze za uklonske sile razpokanih armiranobetonskih stebrov smo izpeljali s pomočjo linearizirane stabilnostne analize. Za izhodišče izpeljave smo izbrali Reissnerjev model ravninskega nosilca. Parametrična analiza armiranobetonskih Eulerjevih stebrov z eno razpoko je pokazala, da imata lega in velikost razpoke velik vpliv na uklonsko nosilnost stebrov. Materilna nelinearnost kva

171 litativno ne vpliva na uklon, bistveno pa spremeni velikost uklonske sile. Literatura [1] Bratina S, Saje M, Planinc I. Materially and geometrically non-linear analysis of reinforced concrete planar frames. Int J Solids Struct 4;41: [] Dimarogonas AD. Vibration of cracked structures: A state of the art review. Eng Fract Mech 1996;55: [3] Eurocode. Design of Concrete Structures, Part 1: General rules and rules for buildings. pren 199-1: 1 (Rev. final draft);. [4] Keller HB. Nonlinear bifurcation. J Diff Eq 197;7: [5] Krauberger N, Saje M, Planinc I, Bratina S. A note on the buckling load of RC columns. V pripravi. [6] Krawczuk M, Ostachowicz W. Modeling and vibration analysis of a cantilever composite beam with a transverse open crack. J Sound Vib 1995;183: [7] Li QS. Buckling of multi-step cracked columns with shear deformation. Eng Struct 1;3: [8] Liebowitz H, Vanderveldt H, Harris DW. Carrying capacity of notched columns. Int J Solids Struct 1967;3: [9] Okamura H, Liu HW, Chu CS, Liebowitz HA. Cracked column under compression. Eng Fract Mech 1969;1: [1] Planinc I, Saje M. A quadratically convergent algorithm for the computation of stability points: the application of the determinant of the tangent stiffness matrix. Comp Meth Appl Mech Eng 1999;169: [11] Reissner E. On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem. J Appl Math Phys (ZAMP) 197;3: [1] Shifrin EI, Ruotolo R. Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks. J Sound Vib 1999;:49 3. [13] Sinha JK, Friswell MI, Edwards S. Simplified models for the location of cracks in beam structures using measured vibration data. J Sound Vib ;5: [14] Wang CY, Wang CM, Aung TM. Buckling of a weakened column. J Eng Mech ASCE 4;13: [15] Zhou L, Huang Y. Crack effect on the elastic buckling behavior of axially and eccentrically loaded columns. Struct Eng Mech 6;:

172 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Določitev najbolj neugodne začetne nepopolnosti konstrukcij na podlagi občutljivostne analize N. Kristanič 1 in J. Korelc 1 Determination of the most unfavorable imperfection of structures on the basis of sensitivity analysis Povzetek. V prispevku je predstavljena metoda za iskanje najbolj neugodne začetne nepopolnosti v smislu mejnega stanja konstrukcije. Pri obravnavanju konstrukcij po metodi končnih elementov se izkaže, da izbira začetne nepopolnosti v veliki meri vpliva na odziv konstrukcije ter njeno mejno nosilnost. Z uporabo direktne in občutljivostne analize ter optimizacijskih algoritmov, je možno določiti najbolj neugodno kombinacijo izbranih oblik konstrukcije, pri kateri konstrukcija izkaže najnižjo možno nosilnost v okviru obravnavanega problema. Rezultati metode so prikazani na primeru uklona konzolne konstrukcije, ter bolj kompleksnem primeru tankostenskega I profila. Abstract. The paper presents a method for determination of the most unfavorable imperfection of structures in means of ultimate limit states. When analyzing structures with the finite element method, it turns out, that the choice of the shape of initial imperfections has a major influence on the response of the structure and its limit state. With the use of direct and sensitivity analysis combined with optimization it is possible to determine the most unfavorable combination of chosen shapes representing the initial imperfection, which leads to the least possible ultimate load. A simple case of buckling of a cantilever beam is represented to illustrate the proposed method. Additionally, some unfavorable imperfections of 3D complex structures are represented to demonstrate the applicability of the proposed method. 1 Uvod Začetna nepopolnost konstrukcij je posledica napak pri izdelavi, ki se jim praktično ni mogoče izogniti. Rezultati nelinearnih numeričnih analiz konstrukcijskih elementov in konstrukcij so lahko v veliki meri odvisni od izbire oblike začetnih nepopolnosti. Sem štejemo geometrijsko, konstrukcijsko in materialno nepopolnost. Najbolj neugodna oblika 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo

173 začetnih nepopolnosti je težko predvidljiva, zato se predpisi in standardi, ki veljajo na tem področju, poslužujejo različnih empiričnih tehnik iskanja le te. Takšne metode v večini temeljijo na določitvi lastnih uklonskih oblik v kombinaciji z vnaprej poznanimi prevladujočimi oblikami nepopolnosti, ter primerjavi na takšen način izvedenih numeričnih analiz z eksperimenti. Pri tem se predpisi omejujejo na točno določene tipe geometrije konstrukcij (glej [1], []). V nadaljevanju bo predstavljena metoda, s katero je mogoče, s pomočjo direktne analize, torej določitve količin, ki določajo stanje konstrukcije (pomiki, napetosti, deformacije,) in občutljivostne analize, ki določa njihovo občutljivost na spremembo izbranih parametrov ter z uporabo metod nelinearne optimizacije določiti najbolj neugodno začetno nepopolnost. Pri tem bodo upoštevane geometrijske, konstrukcijske in materialne nepopolnosti. Geometrijske nepopolnosti so posledica različnih odstopanj od idealne geometrije, medtem ko konstrukcijske nepopolnosti izvirajo iz posledic načina izdelave, kot so recimo zaostale napetosti pri varjenju in druge oblike zaostalih napetosti. Materialna nepopolnost je plod nehomogenosti v materialu in je zajeta v samem delovnem diagramu materiala. Predpisi dovoljujejo uporabo ekvivalentnih geometrijskih nepopolnosti s predpisano amplitudo, ki zajame tako geometrijske kot konstrukcijske nepopolnosti. Metoda določitve najbolj neugodne začetne nepopolnosti Poljubna konstrukcija, ki jo diskretiziramo po metodi končnih elementov, ima končno mnogo lastnih uklonskih oblik, katerih število je enako številu vseh prostih prostostnih stopenj. Deformacijsko obliko konstrukcije je možno opisati s superpozicijo lastnih oblik. Na podlagi analogije med deformacijsko obliko in obliko geometrijske nepopolnosti je mogoče določiti takšno linearno kombinacijo lastnih oblik, da bo tako dobljena oblika, superponirana na idealno obliko, predstavljala najbolj neugodno začetno nepopolnost v smislu mejne nosilnosti konstrukcije. Iščemo torej najbolj neugodno začetno obliko v prostoru lastnih oblik konstrukcije. Geometrija nepopolne konstrukcije ( X ) je pri tem naslednja: N λ X = X + α Ψ, (1) pri čemer so X začetna geometrija, ki predstavlja idealno obliko konstrukcije, α i so parametri oblike ter Ψ i lastne oblike konstrukcije, ki jih predstavljajo lastni vektorji tangentne matrike K idealne konstrukcije v nedeformirani legi. Račun vseh lastnih oblik z numeričnega gledišča je nemogoč. Izkaže se, da so prevladujoče tiste lastne oblike, ki pripadajo najmanjšim lastnim vrednostim, zato se bomo v računu omejili na prvih N λ lastnih oblik. Postopek določitve najbolj neugodne začetne nepopolnosti je prikazan na sliki 1. Pri tem postopku iščemo takšno obliko konstrukcije, pri kateri bo mejna obtežba v mejnem stanju najmanjša. Postopek smo razdelili v tri ločene faze: i= 1 i i

174 .1 Direktna analiza geometrijsko idealne konstrukcije Z direktno analizo idealne konstrukcije iščemo mejni obtežni faktor ( λ m ). Mejno stanje nosilnosti konstrukcij je v splošnem definirano z limitno točko ravnotežne poti. Ker se izkaže takšna definicija za realne, nepopolne konstrukcije nezanesljiva, oziroma lahko nastopi šele pri nerealno velikih pomikih konstrukcije, smo mejno stanje dodatno omejili z velikostjo pomikov. Konstrukcijo smo analizirali z metodo predpisanih pomikov. V tem primeru v numerični analizi izračunamo obtežbo, ki je potrebna, da pomik v izbranem vozlišču doseže predpisan pomik. V direktni in občutljivostni analizi je potrebno uporabiti razširjen sistem enačb, v katerem nastopa dodatna spremenljivka (λ ), ki predstavlja obtežni faktor in vezna enačba, ki se nanaša na izbrano prostostno stopnjo in njej predpisano vrednost pomika ( u p ). Razširjen sistem enačb rešujemo z Newtonovim iteracijskim postopkom: kjer je Kuu Kuλ Δu Ru( λ) =, () Kλu Kλλ Δλ Rλ el.-plast. obt. el. R = R + R ( λ), R = u λ u. (3) u u u λ d u p el.-plast. Z R u so označene ravnotežne enačbe elasto-plastičnega končnega elementa (Korelc [3]), obt. el. z R u (λ) pa ravnotežne enačbe posebnih končnih elementov za obtežbo. Potreben je še poseben končni element, ki v sistem enačb vpelje dodatno enačbo R λ (3), kjer je u d dejanski pomik izbranega vozlišča, u p predpisan pomik in λ u faktor predpisanega pomika, s katerim parametriziramo direktno analizo.. Občutljivostna analiza idealne konstrukcije Z občutljivostno analizo idealne konstrukcije izračunamo občutljivosti mejnega obtežnega λm faktorja na posamezni parameter oblike ( ). Odvode koordinat vozlišč elementov po αi αi = parametrih oblike ( α i ), ki jih imenujemo polja začetnih občutljivosti in jih potrebujemo pri občutljivostni analizi, predstavljajo kar lastni vektorji konstrukcije, saj velja: X α i Nλ α i i X + Ψ i= 1 = = Ψ α i i (4)

175 .3 Formulacija in rešitev optimizacijskega problema za določitev najbolj neugodne začetne nepopolnosti Reševanje problema najbolj neugodne začetne nepopolnosti bi bilo pravilno, če bi reševali polno povezan problem. Zaradi numerične prezahtevnosti smo polno povezan problem poenostavili na ta način, da smo, z uporabo občutljivosti, mejni obtežni faktor nepopolne konstrukcije razvili v Taylorjevo vrsto okoli mejnega obtežnega faktorja konstrukcije z idealno obliko. Enačbo mejnega obtežnega faktorja lahko zapišemo na naslednji način: kjer je α i i-ti parameter oblike, λ λ α, (5) Nλ λm m m + i i= α i λ α m i αi = 1 αi = je občutljivost mejne obtežbe na i-ti parameter oblike pri idealni geometriji, ter λ m mejni obtežni faktor pri idealni geometriji. ZAČETNA GEOMETRIJA (popolna) X parametrizacija oblike s parametri α i X = X + α Ψ i i i X Ψ α i i občutljivostna analiza na parametre oblike λ α m i izračun lastnih vektorjev tangentne matrike Ψ i direktna analiza λ m min αi minimizacija problema λ λ α Nλ λm m m + i i= 1 α i αi = i Ψ α = e i i α i Ψ i KONČNA GEOMETRIJA (najbolj neugodna) X + α Ψ i i i Slika 1: Prikaz metode določitve najbolj neugodne začetne nepopolnosti

176 Najbolj neugodno začetno obliko dobimo tako, da poiščemo takšen nabor α i, pri katerem bo λ m minimalen. Pri tem je potrebno zagotoviti še to, da bo maksimalna amplituda tako dobljene oblike enaka vrednosti z Evrokodi predpisane amplitude ekvivalentnih geometrijskih nepopolnosti e. Zapišemo lahko naslednji minimizacijski problem: min λ m αi, (6) X Ψ = e max pri čemer je X Ψ = Ψiαi. Enačba (6) predstavlja minimizacijski problem z dodatno i omejitvijo, katerega je možno prevesti na problem brez omejitev z razširjeno Lagrangeevo multiplikatorsko metodo. Pri tem iščemo minimum razširjene Lagrangeeve funkcije: T 1 LA( αi, ν; μ) = λm( αi) + ν c( αi) + c( αi), (7) μ kjer sta μ in ν poljubna koeficienta ter c( α) pogoj iz enačbe (6). Dodaten pogoj v enačbah (6) izhaja iz predpisov, ki določajo maksimalno amplitudo začetne oblike, za katero pa je vnaprej nepredvidljivo, kje bo nastopila, zato dodaten problem predstavlja izbira omejitvene funkcije. Evklidska norma je neprimerna, zato uporabimo vektorsko normo s potenco p. Z višanjem potence se vrednost norme približuje maksimalni vrednosti členov X Ψ j vektorja spremembe idealne oblike X Ψ : lim X = max X, p kjer je X Ψ p Ψ p j = 1 Ψ N p = Ψj X 1 p, (8) kjer N predstavlja število prostih prostostnih stopenj sistema. Rešitev minimizacijskega problema (6) so vrednosti parametrov oblike α i, pri katerih je geometrija X najbolj neugodna za mejno nosilnost konstrukcije. 3 Praktični primeri Učinkovitost metode smo preizkusili na primerih mejnega stanja enostavne konzole, modelirane z ravninskimi elementi ter mejnega stanja tankostenskega I profila, modeliranega z lupinastimi elementi. 3.1 Elasto plastična konzola Predstavljen je izračun najbolj neugodne začetne oblike konzolne konstrukcije na sliki. Konzola je obremenjena na prostem koncu z osno in prečno silo

177 L=3 cm V P - D elementi za velike deformacije, ravninsko napetostno stanje. - Material: jeklo S35, idealno elasto plastični materialni model. - Pravokoten prerez: b/h=1/4 cm. Slika : Začetna geometrija konzolne konstrukcije Mejni obtežni faktor λ m izračunamo z direktno analizo (glej [8]). Na sliki 3 je prikazanih prvih 1 lastnih oblik konzole, ki izhajajo iz lastnih vektorjev začetne tangentne matrike. n = 1 n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = 1 Slika 3: Lastne oblike konzole. Pri iskanju takšne kombinacije v superpoziciji lastnih oblik, da bo λ m najmanjši, je potrebno zadovoljiti pogoj iz enačb (6). Ta določa vrednost največje amplitude superponirane oblike, ki mora biti enaka amplitudi ekvivalentne geometrijske nepopolnosti. Predpisi Eurocode ([]) pri tem določajo ekvivalentno geometrijsko nepopolnost za posamezne tipe delov in celotne konstrukcije v odvisnosti od geometrijskih karakteristik prereza, globalnih dimenzij konstrukcije ter tipa analize. Za konzolo s prerezom kategorije A, analizirano z upoštevanjem plastifikacije materiala, znaša predpisana ekvivalentna geometrijska nepopolnost 1/5 dolžine konzole. Na sliki 4 je predstavljena izračunana najbolj neugodna začetna oblika konzole pri danih pogojih (f p-povečave=) ter deformirana lega v mejnem stanju. Slika 4: Najbolj neugodna začetna oblika za mejno stanje konzole (N λ = 1, f p =). Slika 5: Prispevek prvih 1 lastnih oblik k najbolj neugodni začetni obliki (f p = 5). Na sliki 5 je prikazan prispevek posameznih lastnih oblik k najbolj neugodni kombinaciji. V tabeli 1 je prikazana še primerjava mejnega obtežnega faktorja pri upoštevanju najbolj neugodne začetne nepopolnosti ter kombinacij lastnih uklonskih oblik po Evrokodu. Razlika v tem primeru znaša le 3%, v primeru občutljivejših sistemov pa lahko naraste tudi na 1% in več

178 Tabela 1: Mejni faktorji obtežbe pri različnih začetnih nepopolnostih Način kombiniranja oblik min λ cr merodajna kombinacija idealna oblika λ cr =.61 / λ i.463 λ 4 λ i + λ j.465 λ 4 + λ 9 λ vodilna +.7 (Σλ ostale ).549 λ vodilna =λ 4 λ vodilna1 + λ vodilna +.7 (Σλ ostale ).537 λ vodilna1 =λ 1, λ vodilna =λ 4 najbolj neugodna začetna nepopolnost λ cr = λ 1 +.6λ +.14λ λ 4 -.λ λ 6 +.9λ λ 8 -.3λ 9 +.3λ 1 Končna oblika je odvisna od števila upoštevanih lastnih oblik N λ ter gostote mreže končnih elementov. Zaradi smiselnosti rezultatov ju je treba povečevati sorazmerno. Izkaže se, da je tako zastavljen problem dobro pogojen, saj z večanjem upoštevanih lastnih oblik (N λ ) rezultat hitro konvergira h končni obliki. Za praktičen primer jih je potrebno upoštevati vsaj toliko, da z možnimi oblikami zajamemo vse merodajne globalne in lokalne porušne mehanizme. 3. Tankostenski I profil Za prikaz delovanja metode na kompleksnejših sistemih je izbran prostoležeči (polno vpet) nosilec, obremenjen s prečno in enakomerno obtežbo po celotni dolžini. Model na osnovi metode končnih elementov je sestavljen iz štirivozliščnih lupinastih elementov, osnovanih na 6-parametrični teoriji velikih rotacij in zmernih deformacij ([6], [7]). Po metodi, opisani v poglavju 1, smo izračunali najbolj neugodne začetne oblike za 3 različne tipe prečnih prerezov nosilca. Kompaktnost prečnega prereza ter dolžina nosilca pri tem narekujeta tip porušitve. Po pričakovanjih se izkaže, da pri prerezih z vitkimi prerezi nastopi porušitev z lokalnim izbočenjem. Temu primerna se izkaže tudi najbolj neugodna začetna nepopolnost (slika 6). Pri semikompaktnih in kompaktnih prerezih se opazi interakcija med plastifikacijo celotnega prereza ter globalnim uklonom oziroma bočno zvrnitvijo nosilca. Izračunani, najbolj neugodni začetni nepopolnosti za nosilca s prerezom HEA 4 in IPE 55, dolžine 8 m, sta prikazani na sliki 7 in 8. Pri tem je razvidno, da je intuitivno določanje pravilne začetne nepopolnosti kompleksnih konstrukcij težko, če že ne nemogoče. tf =.15 tw=.8 Slika 6: Najbolj neugodna začetna oblika za mejno stanje visokostenskega I profila (f p =1)

179 IPE 55 tf =.17 tw=.111 HEA 4 tf =.19 tw=.11 Slika 7: Najbolj neugodna začetna oblika za mejno stanje vročevaljanih nosilcev (f p =1). 4 Zaključek V prispevku je prikazana metoda določanja najbolj neugodne začetne nepopolnosti konstrukcij. S pomočjo direktne in občutljivostne analize ter optimizacije je bila določena najbolj neugodna začetna nepopolnost za nekaj tipičnih konstrukcijskih elementov v gradbeništvu. Za dane primere je težko najti začetno obliko, pri kateri bi konstrukcija izkazala najnižjo mejno nosilnost z uporabo empiričnih metod določanja začetne nepopolnosti, ki jih predpisujejo veljavni standardi. Iz tega je možno sklepati, da so rezultati analiz, opravljenih v skladu s trenutno veljavnimi standardi, na nevarni strani. Literatura [1] B. Johansson, R. Maquoi, G. Sedlacek, C. Müller, D. Beg, Commentary toen "Plated structural elements", Luleå University of Technology, 5 [] CEN(4), Eurocode 3: Design of steel structures, Part 1.5: Plated structural elements, EN , European Committee for Standardization, 4. [3] J. Korelc, Automatic generation of numerical codes with introduction to AceGen 6. symbolc code generator, User manual, 6. [4] J. Korelc, Multi-language and Multi-environment Generation of Nonlinear Finite Element Codes, Engineering with Computers, Vol. 18, p.p ,. [5] J. Korelc, N. Kristanič. Evaluation of Design Velocity Field by Direct Differentiation of Symbolically Parameterized Mesh. V: Onate, E. (ur.). Computational plasticity : fundamentals and applications : proceedings of the eighth international conference on computational plasticity held in Barcelona, Spain, 5th-7th September, 5. Part 1. Swansea: CIMNE, str , 5. [6] K.Wisniewski, E. Turska, Kinematics of finite rotation shell with in-plane twist parameter, Comput. Methods Appl. Mech. Engng., 19, ,. [7] K.Wisniewski, E. Turska, Warping and in-plane twist parameters in kinematics of finite rotation shells, Comput. Methods Appl. Mech. Engng., 19, , 1. [8] N. Kristanič, J. Korelc, Simbolno-numerični pristop k občutljivostni analizi in optimizaciji konstrukcij, V: Korelc, J. (ur.), Zupan, D. (ur.). Kuhljevi dnevi 5, Podčetrtek,.-3. september 5. Zbornik del. Ljubljana: Slovensko društvo za mehaniko, str , 5. [9] P. Michaleris, D.A. Tortorelli and C.A. Vidal, Tangent operators and design sensitivity formulations for transient non-linear coupled problems with applications to elastoplasticity, Int. J. Num. Meth. Engng, 37, ,

180 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Model časovno odvisne nepopolne vezi med fazama elastičnega kompozitnega materiala G. Mejak 1 A time dependent model of imperfect bonding between material phases of a composite material Povzetek. Predstavljen je model časovno odvisne vezi na nepopolnem stiku med fazama kompozitnega materiala. Nepopolni stik je modeliran z energijo vezi z upoštevanjem neprekrivanja materialnih faz po izgubi stika. Gibalne enačbe so izpeljane s pomočjo Hamiltonovega variacijskega principa. Z diskretizacijo na končne elemente je naloga prevedena na reševanje zaporedja kvadratičnih optimizacijskih nalog z linearnimi vezmi. Predstavljeni so rezultati za ravninsko kvazistatično nalogo s povdarkom na vprašanju vpliva števila elementov na rezultate. Abstract. A time dependent model of imperfect bonding between material phases of a composite material is presented. The imperfect bonding is modelled with the energy function and the kinematical condition of nonpenetrability of the material phases. The governing equations are derived using the Hamilton variational principle. Discretization of the equations transforms the problem into a sequence of quadratic minimization problems with linear constraints. Results are given for a quasi static plane problem. Special attention is paid to the question whether the method is mesh independent. 1 Uvod Vprašanje loma je v mehaniki materialov izrednega pomena. Razlogov za nastanek loma je več. Eden med njimi je koncentracija napetosti do katere lahko pride zaradi različnih vzrokov. Napetost se lokalizira zaradi singularne obremenitve ali pa zaradi materialne in geometrijske nepravilnosti v materialu. V tem prispevku bomo pozornost posvetili primeru, ko se napetost koncentrira na medmaterialnem stiku dvofaznega kompozitnega materiala. Uporabili bomo model, po katerem je medmaterialna vez popolna samo do določene vrednosti napetosti. V 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko

181 trenutku, ko je ta vrednost presežena vez popusti in pride do loma. Kakšna je nadaljna evolucija loma je odvisno od tega, kolikšna je sposobnosti vezave medmaterialnega stika po lomu. V skrajnem primeru, ko te sposobnosti ni imamo krhek lom. Ker vemo, da do loma pride na medmaterialnem stiku je območje loma opredeljeno. S tem odpade največja težava lomne mehanike, to je določitev poti loma. Kljub tej poenostavitvi pa je naloga še vedno težka. Problemu je bilo v zadnjem času posvečeno več člankov, [1], [], [3]. Teoretični model Obravnavo bomo omejili na kompozitni material sestavljen iz dveh faz. Označimo z Ω R d, d =,3 položaj, ki ga zavzema material v danem referenčnem trenutku t = t in z Ω i, i = 1, njuni materialni fazi. Potem Ω 1 Ω = / in Ω = Ω 1 Ω. Privzeli bomo, da je Ω enostavno povezana množica, da je podobmočje Ω 1 strogo vsebovano v Ω in da je rob Γ i med območjema odsekoma gladek. Območje Ω 1 tako predstavlja vključke, Ω pa matriko. Nadalje bmo privzeli, da sta obe materialni fazi iz linearnega elastičnega materiala. Za dani infinitezimalni deformacijski tenzor e je napetostni tenzor t dan s posplošenim Hookovim zakonom t = Ce. Tu je C elastični tenzor, ki je konstanten na vsaki fazi posebej. Trenutni položaj materiala v času t je dan z vektorskim poljem pomikov u = u(t). Ker bomo obravnavali nepopolno vez, dopuščamo, da je vektorsko polje pomikov na Γ i nezvezno. V ta namen označimo z u i zožitev polja pomikov na Ω i in ju razširimo zvezno na Ω i, i = 1,. Na ta način dobimo vektorsko polje [ u] = u u 1 definirano na Γ i. Pravimo mu vektorsko polje loma, delaminacije oziroma izgube popolnega stika, odvisno od konkretnega primera uporabe modela..1 Gibalne enačbe Gibalne enačbe bomo zapisali s pomočjo variacijskega principa. Potencialna energija U je dana z vsoto elastične energije in energije vezi med fazama: U = U( u,t) = 1 e( u) : Ce( u)dω f udω T (t) udγ + Φ([ u],t). (1) Ω Ω Γ Tu je f gostota volumenskih sil, Γ je del roba območja Ω, kjer so predpisane napetosti t = T (t), Φ([ u],t) pa je energija vezi med fazama. Omejili se bomo na model, kjer je energija vezi oblike: Φ( v,t) = 1 v A vdγ + φ( v,t)dγ. () Γ i Γ i Elastični del energije vezi je zajet v prvem členu, neelastični pa v drugem. Po Hamiltonovem variacijskem principu so gibalne enačbe natanko stacionarne enačbe akcije ( t1 ) 1 I( u) = ρ u t dω U( u,t) dt, (3) t Ω na dopustni množici U pomikov. V (3){ je ρ gostota, t 1 pa čas t 1 } > t. Dopustna množica je dana z U = U U 1 U, kjer U = u : u(t ) =, u(t 1 ) = U 1, določa začetni in končni V primeru viskoelastičnosti, ko je energija vezi odvisna od hitrosti izgube stika, torej, ko je φ = φ( v, v,t), moramo namesto Hamiltonovega principa uporabiti Gurtinov variacijski princip [4]

182 položaj, U 1 = { u : u Γ1 = u 1 (t)} predpisuje robne pogoje na Γ 1 = Ω \ Γ, U pa vsebuje kinematične pogoje na stiku med fazama Γ i. Kaj natanko so ti kinematični pogoji, bomo povedali v nadaljevanju. Položaj v končnem času t 1 je dan z vektorskim poljem U 1. Praviloma tega položaja ne poznamo, zato pa poznamo začetni položaj in hitrost v = u t (t = t ), ki določata končni položaj rešitve. Ker končni položaj eksplicitno ne nastopa v stacionarnih enačbah, lahko navkljub nepoznanem končnem položaju z uporabo Hamiltonovega variacijskega principa izpeljemo gibalne enačbe in robne pogoje na medfaznem stiku. Medfazni stik Γ i (t) v času t je sestavljen iz dveh delov, dela s popolnim stikom Γ p (t) in poškodovanega dela Γ d (t); Γ i (t) = Γ p (t) Γ d (t). Na Γ p (t) je pomik zvezen, na Γ d (t) pa je nezvezen. Z deformacijskim procesom poškodbe rastejo. Tako je t Γ p (t) monotono padajoča funkcija, t Γ d (t) pa monotono naraščajoča. Pomiki na Γ d (t) so omejeni z zahtevo, da sta materialni fazi skozi celotni deformacijski proces med seboj ločeni. Pri omejitvi na infinitezimalne pomike to pomeni, da na Γ d (t) velja pogoj ( u u 1 ) nϕdγ, (4) Γ d (t) za vsak ϕ L+(Γ) = {ϕ : ϕ in ϕ L (Γ)}. V (4) je n zunanja normala na Ω 1. Vez ni katastatična, ker je integracijsko območje Γ d (t) odvisno od časa. Pripadajoča vez za virtualne pomike je (δ u δ u 1 ) nϕdγ. (5) Γ d (t) Vzdolž Γ p (t) je stik med fazama popolen, pomik je zvezen in zato (δ u δ u 1 )ϕdγ = za vsak ϕ L+(Γ). (6) Γ p (t) Pogoja (5) in (6) določata virtualne pomike za dopustno množico U. Izračunajmo sedaj prvo variacijo I( u) na U. Iz pogoja stacionarnosti dobimo Caucyjevo momentno enačbo ρ u t = f + divt na Ω 1 Ω, (7) robni pogoj t n = T (t) na Γ in pogoj ( ) ( t 1 gradφ) δ u 1 + ( t + gradφ) δ u dγ (8) Γ i (t) na medfaznem stiku. Tu smo s t i zapisali vektor napetosti na Ω i Γ i v smeri normale n. Robni pogoj u Γ1 = u 1 (t) in začetni pogoj u(t = ) = pa sta zajeta v defniniciji dopustne množice U. Variaciji δ u 1 in δ u v (8) vežeta pogoja (5) in (6) in sta neodvisni samo v primeru popolnega loma, torej pri izgubi stika v normalni in tangentni smeri. V tem primeru je t 1 = t = gradφ. (9) V primeru delnega loma variaciji nista neodvisni. Če je lom samo v tangentni smeri enotskega vektorja s, je (δ u δ u ) a = za vsak a s in tako t 1 a = t a a s in t 1 s = gradφ s = t s. (1)

183 Če je lom samo v normalni smeri, je (δ u δ u ) a = za vsak a n in t 1 a = t a a n in t 1 n = t n = gradφ n λ, (11) kjer je λ Lagrangeev množitelj iz Karush-Kuhn-Tuckerjevega pogoja za vez (5). V primeru, če ta vez ni aktivna, sta variaciji v normalni smeri neodvisni in je λ =. Mehanski pomen pozitivne vrednosti množitelja je kompresijska napetost na medmaterialnem stiku, ki preprečuje prekrivanje materialnih faz. V primeru izgube stika v normalni in tangentni smeri in aktivnemu pogoju (5) pa velja t 1 = t = gradφ λ n. (1) Z uporabo Hamiltonovega variacijskega principa smo dobili gibalno enačbo s pripadajočimi začetnimi in robnimi pogoji. Posebnost sta pogoja (11) in (1), ostale enačbe pa se sovpadajo z dobro znanimi enačbami elastomehanike. Vprašanje kako določiti neznani množitelj λ bomo obravnavali v naslednjem poglavju. Poglejmo sedaj, kako se s časom spreminja Γ d (t). Omejili se bomo na model v katerem pride do izgube stika med fazama oziroma loma na medfaznem stiku, ko napetost preseže kritično vrednost. Točneje, lom v strižni smeri nastopi, ko strižna napetost preseže kritično vrednost σ s, lom v normalni smeri pa, ko natezna normalna napetost preseže σ n. Z enačbami, za vsak ϕ L +(Γ) velja in Γ p (t)(σ s t s )ϕdγ d dt Γ p (t)(σ n t n)ϕdγ d dt Γ p (t) Γ p (t) ( u u 1 ) sϕdγ =, (13) ( u u 1 ) nϕdγ = (14) d ( u u 1 ) r ϕdγ =, kjer je r n in r s. (15) dt Γ p (t) V (13) in (15) smo z s označili enotski tengentni vektor v smeri strižne napetosti. Po modelu (13)-(15) pride do popolne tangentne izgube stika po izgubi stika v dveh neodvisnih strižnih smereh. V primeru valjastega vključka izguba stika na obodni smeri še ne pomeni tudi izgube v osni smeri. Izguba stika v strižni(normalni) smeri je funkcijsko neodvisna od izgube stika v normalni(strižni) smeri. Odvisnost pa je implicitna, saj izguba stika v eni smeri vpliva na napetost t, ki določa kriterij izgube stika v drugi smeri. Evolucija loma določa na Γ i tri realne funkcije τ n, τ r in τ s. Funkcija τ n priredi točki na Γ i čas v katerem v tej točki nastopi lom v normalni smeri, τ r priredi čas v katerem nastopi prvi lom v tangentni smeri, τ s pa priredi čas v katerem nastopi drugi lom v tangentni smeri, ki se ne sovpada s smerjo prvega loma. Če loma v dani točki ni, imajo funkcije τ n, τ r in τ s vrednost.. Model vezi Vez med materialoma na meji loma je odvisna od fizikalnih in kemijskih lastnosti. Omejili se bomo na model, kjer med materialoma obstaja določena kemijska vez tudi še po izgubi popolnega stika. Posledica te kemijske vezi je napetost na medmaterialnemu stiku, ki je odvisna od

184 razsežnosti loma. Oobravnavali bomo model, ko medfazna vez takoj po izgubi popolnega stika poskuša s povečano napetostjo zaustaviti lom, po dosegu določene kritične velikosti medfazne napetosti pa vez naglo popusti. Ta model je kombinacija togega modela z Xu-Needlemanovim modelom [5]. Če je razpon na katerem vez izgubi vso svojo trdnost zelo majhen, govorimo o krhkem lomu. Nasprotje krhkega loma je elastični lom, kjer je medfazna napetost linearna funkcija razsežnosti loma. Elastični lom je dan z matriko A v (). Medfazna napetost v normalni oziroma strižni smeri je lahko odvisna samo od razsežnosti izgube stika v normalni oziroma strižni smeri, lahko pa je odvisna od razsežnosti izgube stika v normalni in strižni smeri. V prispevku se bomo omejili na prvo možnost, torej na nesklopljen model, kjer je gostota energije vezi oblike φ( v,t) = φ n ( v n,t) + φ s ( v r 1, v r,t). (16) t 1 t t 1 t t t v 1 v v 1 v Slika 1 : Kohezijski zakon t n = φ n za normalno napetost na levi in t s = φ s na desni za strižno napetost. Tu sta r 1 in r enotska vektorja v smeri glavnih ukrivljenosti Γ i. Primer sklopljenega modela je obravnavan v [6]. Funkcija φ je preko funkcij τ n, τ r in τ s odvisna še od položaja na Γ i. Z namenom poenostaviti pisavo te odvisnosti nismo zapisali v (16). Normalna komponenta napetosti na medmaterialem stiku je po izgubi stika v tej smeri po (11) enaka t n = φ n λ, komponenta v tangentni smeri s po izgubi stika v tej smeri pa t s = ( φ s / r 1 ) r 1 s+( φ s / r ) r s. Zaradi pogoja (4) je φ n (v,t) definirana samo za pozitivne vrednosti v. Nasprotno je φ s (r 1,r,t) definirana za vse vrednosti r 1 in r, saj je strižni pomik lahko v poljubni smeri. Zahtevali pa bomo, da je komponenta strižne napetosti v smeri r i istega predznaka kot je komponenta strižnega pomika v tej smeri. To pomeni, da je φ s (r 1,r,t) liha funkcija v argumentih r 1 in r. Za togi model vezi po katerem je velikost napetosti v trenutku izgube stika enaka kritični trdnosti σ s >, je potem φ s (r 1,r,t) = σ s za r 1 r = in φ s je tako nezvezna na r 1 r =. Na sliki 1 je dan primer kohezijskega zakona za normalno in strižno napetosti. Koordinate ekstrema so (v 1,t 1 ), kritična trdnost pa t. Zaradi enostavnosti se omejimo na model φ s ( v r 1, v r,t) = φ 1 ( v r 1,t)+φ ( v r,t) in označimo generično s φ d funkcijo φ n, φ 1 ali φ, s σ d kritično trdnost σ n in σ s in s τ d funkcijo τ n, τ r ali τ s. Kot smo videli, je dovolj določiti funkcijo φ d = φ d (v,t) za v. Zahtevi, da je φ d sprva

185 naraščajoča funkcija, nato pa hitro padajoča ustreza naprimer funkcija dana z t d = φ d v (v,t) = σ d(1 + α 1 (t)v/v c )e α (t)(v/v c ) p, (17) kjer je v c karakteristična dolžina, α i (t) dane funkcije in p 1. Funkciji α i predstavljata staranje in sta naprimer oblike α i (t) = α i, e (t τ d)/β i, kjer je βi relaksacijski čas. Konstante α i, določa maksimum funkcije φ d / v, torej maksimalna vrednost napetosti in pripadajoči razpon izgube stika oziroma ena izmed koordinat maksimuma in celotna energija loma g f = t d(v,)dv na površinsko enoto. Vrednost α 1, = ustreza modelu, kjer napetost takoj po izgubi stika monotono pada. Velja omeniti, da je funkcija t d v (17) za p Q + integrabilna v zaprti obliki. Rezultat se izraža kot kombinacija funkcij Γ in Erf. 3 Diskretizacija problema Nalogo diskretiziramo z metodo končnih elementov. Diskretizacija območja Ω naj bo taka, da je zožitev diskretizacije na Ω i regularna diskretizacija. Označimo z u R n pripadajočo n-terico prostostnih stopenj, s K R n n togostno matriko, ki pripada elastični energiji, z M R n n masno matriko, z U h doskretizacijo dopustne množice U in z Φ h diskretizacijo energije vezi Φ. Pri danem času t pomnožimo (7) z bazno funkcijo prostora končnih elementov in dobljeni rezultat integrirajmo per partes po prostorski spremenljivki. Upoštevajmo robne pogoje na Ω in na medfaznem robu Γ i. Tako dobimo Mü + Ku + g(u,t,λ) = b, (18) kjer je g = Φ h / u, n-terica b pa vsebuje prispevek volumenske sile f in napetosti T. Glavna težava enačbe je poleg nelinearnosti prisotnost množitelja λ. Časovno spremenljivko t diskretizirajmo ekvidistančno v {t (k) } k=1,...,k, kjer je t () = t, t (K) = t 1 in z u (k) in λ (k) označimo n-terico u in λ v času t = t (k). Potem Mü (k) + Ku (k) + g(u (k),t (k),λ (k) ) = b. (19) Ker u (k) nastopa nelinerno, namesto centralne diference uporabimo levo diferenčno formulo ü (k+) = ( u (k+) u (k+1) + u (k)) /( t) +O( t), kjer je t = t (k+1) t (k). V koraku k + tako rešujemo ( ) 1 ( t) M + K u (k+) + g(u (k+),t (k+),λ (k+) ) = b + 1 ( ( t) M u (k+1) u (k)) () pri ustreznih robnih pogojih. Člen na desni označimo z c. Enačba je stacionarna enačba funkcionala F h (u) = 1 ( ) 1 u ( t) M + K u + Φ h (u,t) c u, (1) na U h. V (1) smo zaradi enostavnosti pisave pisali t in u namesto t (k+) in u (k+). Z vrnitvijo na variacijsko formulacijo smo eliminirali množitelj λ (k+). Dobili smo vezan nelinearen minimizacijski problem z linearnimi vezmi. Rešimo ga s sekvenčnim kvadratnim programiranjem

186 (SQP). To pomeni, da moramo na vsakem koraku SQP iteracije rešiti kvadratični minimizacijski problem z lineranimi vezmi. Matriki K in M sta pozitivno definitni, zato je Hessian funkcionala F h zagotovno pozitivno definitev v območju konveksnosti funkcije u Φ h (u,t) za vsak t. Pri modelu (17) je tako edino možno območje nedefinitnega Hessiana v [v 1,v 1 ]. Ker je masna matrika pomnožena z recipročno vrednostjo časovnega koraka, je zato pri dovolj majhnem časovnem koraku Hessian vedno pozitivno definiten. Edino težavo pri reševanju (1) tako predstavlja nezveznost energije vezi za tangentno izgubo popolnega stika, glej sliko 1. Ta težava je rešena s predpostavko, da tangentna komponenta nezveznosti pomika na Γ i po izgubi stika ohrani svoj predznak projekcije na smeri glavnih ukrivljenosti r i. Povedano drugače, funkcija φ i ima konstanten predznak, ki je določen v trenutku izgube popolnega stika. 4 Numerični primer Omejili se bomo na ravninski kvazistatični primer brez volumenskih sil. Tako rešujemo (1) z M =. Za testni primer bomo vzeli kvadratno območje Ω = L L s periodčno razporeditvijo krožnih vključkov s koncentracijo π/16 %. Matrika in vključki naj bodo iz izotropičnega materiala, matrika z Youngovim modulom E m = 1 GPa in Poissonovim količnikom ν = 1/4, vključki pa z Youngovim modulom E m = 1 GPa in ν = 1/4. Konstitutivna zakona energije vezi (17) v normalni in strižni smeri naj bosta enaka s p = 1 in z enako trdnostjo σ d =.1 GPa v normalni in strižni smeri. Koeficienti α i, so določeni s pogojem, da je maksimalna napetost, ki jo vzdrži vez enaka σ max =.11 GPa in je dosežena pri razmiku v 1 =.5L. Maksimalna napetost je torej za 1% nad trdnostjo popolne vezi. Pri v c = v 1 je potem α 1, =.16 in α, =.751. Elastična matrika vezi A naj bo enaka nič. Napetost Deformacija Povrsina Deformacija Slika : Napetost 1 9 GPa na levi in procent medfazne površine z izgubljenim stikom na desni v odvisnosti od deformacije podane v % za različne diskterizacije. Znano je [], [7] da so številne metode za izračun loma krepko odvisne od diskretizacije, zato se v tem prispevku posvetimo temu vprašanju. Na sliki so tako dani rezultati za primer s štirimi vključki za enoosni test v smeri stranice kvadrata za različna števila končnih elementov. Mrežni parametri so naslednji N e = 96,3.,11.5,43.5 in m = 18,56,51,1.4, kjer je N e število trikotnih elementov T in m število vozlov na Γ i. Na sliki na levi se deformacijsko napetostna krivulja monotono spušča k rezultatu z najfinejšo mrežo, na sliki na desni pa

187 monotono narašča. Iz predstavljenih rezultatov in dodatnih izračunov, ki jih zaradi pomanjkanja prostora ne navajamo, sklepamo, da je predstavljena metoda neodvisna od diskretizacije. Na sliki vidimo, kako z izgubo popolnega stika material izgublja trdnost. Za p = je pri istih podatkih izguba trdnosti še izrazitejša. Več numeričnih primerov je danih v [8]. Pred koncem velja omeniti, da reševanje kvadratnega minimizacijskega problema z linearnimi vezmi za veliko število spremenljivk in vezi ni trivialno. Na razplago sta dve metodi, metoda z aktivnimi vezmi 3 in utežna metoda 4. Ker je evolucija izgube stika monotona, poznamo na vsakem koraku časovne iteracije dober približek za aktivno množico vezi. Prav tako dober približek poznamo tudi na korakih SQP iteracije, zato smo v naših izračunih uporabili metodo z aktivnimi vezmi. Z njo smo uspeli v realnem času na namiznem računalniku rešiti probleme z 1. neznankami in 5. vezmi. V kombinaciji z metodo dveh velikostnih skal to pomeni problem s 1 vključki. Literatura [1] T. Hettich, E. Ramm, Interface material failure modeled by the extended finite-element method and level sets Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 195, , 6. [] R. de Borst, J.,C. Remmers, A. Needleman, Mesh-independent discrete numerical representations of cohesive-zone models Engineering Fracture Mechanics, 73, , 6. [3] T. Ishii, K. Terada, T. Kyoya, Failure analysis of quasi-brittle materials involving multiple mechanisms on fractured surfaces, Int. J. Numer. Meth. Engng, v tisku, DOI: 1.1/nme [4] M. E. Gurtin, Variational principles in the linear theory of viscoelasticity, Arch. Rational Mech. Anal. 13, , [5] X. P. Xu, A. Needelman, Numerical simulations of fast crack growth in brittle solids, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 4, , [6] M. J. van den Bosch, P. J. G. Schreurs, M. G..D. Geers, An improved description of the exponential Xu and Needelman cohesive zone law for mixed-mode decohesion, Engineering Fracture Mechanics 73,1 134, 6. [7] R. de Borst, Some recent issues in computational failure mechanics, Int. J. Numer. Meth. Engng 5,63 95, 1. [8] G. Mejak, Solution of an elastostatic problem with imperfect bonding using a two scale finite element method, Proceedings of the Eighth International Conference on Computational Structures Technology, B.H.V. Topping, G. Montero and R. Montenegro, (Editors), Civil-Comp Press, Stirlingshire, 6. 3 active/working-set method 4 primal-dual interior-point trust-region method

188 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Numerično modeliranje širjenja razpoke pri kontaktnih obremenitvah R. Potočnik 1, J. Flašker 1, S. Glodež 1, B. Zafošnik 1 Numerical modelling of crack propagation at contact loads Povzetek. V članku je predstavljeno numerično modeliranje širjenja razpoke na površini boka zoba. V modelu je predstavljena razpoka, ki se širi iz mikro jamice, ki je nastala kot posledica širjenja površinske razpoke na površini boka zoba. Za preračun je uporabljena metoda končnih elementov, pri čemer je kontaktna obremenitev simulirana s Hertzovim kontaktom in Coulombovim zakonom trenja ob upoštevanju vpliva maziva. Premikanje kontaktne obremenitve je simulirano z desetimi obremenitvenimi primeri. Smer širjenja razpoke je določena na osnovi kriterija največjih tangencialnih napetosti. Prikazan je vpliv dolžine razpoke, velikosti tlaka v razpoki in gostote mreže končnih elementov okrog vrha razpoke na velikost faktorjev intenzivnosti napetosti K I in K II, T napetost in smer širjenja razpoke θ. Abstract. This article presents numerical modelling of crack growth on a gear tooth flank. The model describes crack propagation from micro pit, which results from the surface crack growth on a gear tooth flank. The results are evaluated by means of the finite element method, where Hertz contact and Coulomb s law of friction considering the lubrication are used to describe contact loading. Ten load cases simulate the moving of the contact load. The crack propagation angle is determined by the maximum tangential stress criterion. The influences of the crack length, pressure magnitude in crack and mesh density around the crack tip on stress intensity factors K I and K II, T stress and crack propagation angle θ are shown. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

189 1 Uvod Jamičenje (ang. pitting) je najpogostejša utrujenostna poškodba kontaktno obremenjenih strojnih elementov (zobniki, ležaji, kolesa itd.). V splošnem je proces jamičenja kontaktnih površin odvisen od kakovosti površine, mikrostrukture materiala, mazanja, temperature in drugih vplivov. Proces jamičenja se začne z nastankom majhnih razpok (mikrojamic, slika 1) na ali pod kontaktno površino, ki se z nadaljnjim obremenjevanjem širijo in vodijo do nastanka vse večjih jamic. V končni fazi lahko nastopijo znatne poškodbe kontaktnih površin, ki lahko vplivajo tudi na funkcionalnost obravnavanega elementa. Slika 1: Mikrojamičenje kontaktne površine [4]. Za analizo jamičenja kontaktnih površin je na voljo več postopkov. Za ležaje in zobnike uporabljamo praviloma razpoložljive standardne postopke (npr. ISO 6336 za zobnike), ki temeljijo na znanih teoretičnih spoznanjih (Hertzova teorija) ter rezultatih eksperimentalnih raziskav. V zadnjem času se za analizo jamičenja vse več uporabljajo numerični postopki (npr. MKE), s katerimi lahko bolj natančno analiziramo napetostno polje v kontaktnem območju oziroma simuliramo širjenje utrujenostne razpoke. Predmet predloženega prispevka je numerično modeliranje širjenja razpoke iz mikro jamice, ki nastane na boku zoba. Pri tem je bila uporabljena metoda končnih elementov, s pomočjo katere smo določili napetostno deformacijsko polje v okolici vrha razpoke za izračun faktorja intenzivnosti napetosti K I in K II, T napetost in smer širjenja razpoke θ. Kriterij za določitev širjenja razpok V primeru, ko je na površini razpoke prisoten konstanten tlak p α (α = x,y) (slika ), je napetostno polje v okolici vrha razpoke za linearno elastične materiale definirano z enačbo [5]: σ xx σ yy = K I cos θ 1 sin θ 3θ sin 1 + sin θ 3θ σ πr sin xy sin θ cos 3θ + K II sin θ πr ( + cos θ ) 3θ cos T cos θ 3θ cos + σ c cot θ cos θ yy σ c xy sin 3θ, (1) - -

190 kjer je σ c xy = p x in σ c yy = p y. T napetost in faktorja intenzivnosti napetosti K I in K II so za θ = definirani kot: ( K I = lim σyy σ c ) yy πr, r ( K II = lim σxy σ c xy r ( T = lim σxx σ yy + σ c ) r yy. ) πr, () T napetost je konstantna veličina in predstavlja napetost, ki deluje vzporedno z razpoko. V linearno elastični mehaniki loma je pomembna predvsem za ugotavljanje stabilnosti širjenja razpok. Za primer majhne rasti razpok pri I. načinu obremenjevanja je bilo namreč pokazano [], da je za T < smer širjenja razpoke stabilno, za T > pa nestabilno. Za določitev faktorjev intenzivnosti napetosti K I in K II in T napetosti smo uporabili programski paket ABAQUS 6.5 1, ki za izračun teh vrednosti uporablja zelo učinkovito metodo I integrala [1]. Metoda daje primerljive rezultate z analitičnimi rešitvami za pol neskončno ploščo z razpoko na robu, obremenjeno po načinu I [6]. Obstaja več kriterijev za določitev širjenja razpok: 1) kriterij največjih obodnih napetosti, ) kriterij najmanjše gostote deformacijske energije, 3) kriterij K II =. Preračuni in rezultati, ki so predstavljeni v nadaljevanju, temeljijo na prvem kriteriju [3], ki je že vključen v programski paket ABAQUS Kriterij predpostavlja, da se razpoka širi iz vrha naravnost v smeri θ = θ, pri kateri obodna napetost σ θ doseže največjo vrednost. Z upoštevanjem pogojev σ θ / θ = ali τ rθ = (r in θ sta polarni koordinati, definirani kot prikazuje slika ) in na osnovi K I in K II smer širjenja razpoke izračunamo z enačbo [1]: θ = arccos 3K II + KI 4 + 8K I K II KI +. (3) 9K II Pri tem je predznak kota θ določen na osnovi faktorja intenzivnosti napetosti K II : K II > θ <, K II < θ >. (4) p α razpoka x θ r τ θr y τ rθ σ θ σ r Slika : Površina razpoke obremenjena s tlakom in napetosti ob vrhu razpoke v polarnem koordinatnem sistemu

191 3 Numerični model 3.1 Fizikalni model in geometrija razpoke Predmet preučevanja je ubiranje dveh, z oljem mazanih bokov zob zobnika iz jekla MnCr5, ki je definirano kot ponavljajoče se kotaljenje in drsenje. Posledica tega so nemalokorat plastične deformacije na mestu kontakta, kar lahko vodi do iniciranja razpok na površini. Po določenem času se razpoka zaradi utrujanja materiala razširi, kar sčasoma privede do lokalne porušitve materiala oz. jamičenja. V naslednji fazi se znotraj jamice zaradi tlaka, ki ga povzroča olje, pojavi nova razpoka, katere širjenje je obravnavano v tem članku. Oblika in velikost jamice sta določeni na osnovi prejšnjih raziskav [4, 7], kjer je bilo upoštevano, da so inicialne razpoke na površini nagnjene pod kotom β = glede na površino, usmerjene so v isto smer kot drsenje zobnika in so dolge a = µm, kot prikazuje slika Kontaktne obremenitve Vpliv obremenitev pri kotaljenju upoštevamo s Hertzovim tlakom p(x) (slika 3): ( x ), p(x) = p 1 (5) b vpliv trenja pri drsenju pa kot Coulombovo trenje q(x): q(x) = µ p(x). (6) Pri tem je maksimalni tlak na sredini Hertzove obremenitve p = 155 MPa, polovična dolžina kontaktne površine b = 198,45 µm in koeficient trenja µ =,4. Premikajoč se kontakt simuliramo z desetimi obremenitvenimi primeri, kot prikazuje slika 3. V obremenitvenih primerih od dva do deset je predpostavljeno, da se Hertzov tlak nad jamico preko olja prenese na stene jamice in na razpoko. p(x) β θ +θ kotaljenje a olje µm y x p x b drsenje q(x) 1. obr. primer. obr. primer 3. obr. primer 4. obr. primer 5. obr. primer 6. obr. primer Slika 3: Geometrija jamice in razpoke ter obremenitveni primeri

192 4 Rezultati Mehanizmi širjenja razpoke še niso dokončno raziskani in natančno določeni, zato je smiselno preučiti, kako različni parametri vplivajo na rezultate numerične simulacije: faktorja intenzivnosti napetosti K I in K II, T napetost in smer širjenja razpoke θ. 4.1 Vpliv mreže končnih elementov V modelu so uporabljeni ravninski končni elementi s kvadratnimi aproksimacijskimi funkcijami, katerih lastnosti temeljijo na teoriji ravninskega deformacijskega stanja [1]. Singularnost napetostno deformacijskega polja tipa r 1 v vrhu razpoke smo simulirali v elementih okoli vrha razpoke s premikom vmesnega vozlišča proti vrhu razpoke. Slika 4 prikazuje odvisnost faktorjev K I, K II, T napetosti in smeri θ od premika vmesnega vozlišča, in sicer za tretji obremenitveni primer in dolžino razpoke a = µm. Pri tem je L SV razdalja od vmesnega vozlišča do vrha razpoke, L E pa je dolžina stranice končnega elementa. Izkazalo se je, da premik vmesnega vozlišča ne vpliva bistveno na rezultate analize. Nadalje smo naredili preračune za primer uporabe 1, 3 in 48 elementov okrog vrha razpoke. Ugotovili smo, da za dosego primernih rezultatov zadostuje že relativno redka mreža. Rezultati so prikazani v tabeli 1. KI, KII, T, θ K I [ MPa mm ] K II [ MPa mm ] T [MPa] θ [ ] L SV /L E Slika 4: Odvisnost faktorjev K I, K II, T napetosti in smeri θ od premika vmesnega vozlišča. Slika 5: Mreža končnih elementov: jamica in razpoka (zgoraj), detajl vrha razpoke (spodaj). Tabela 1: Vpliv števila končnih elementov ob vrhu razpoke na rezultate numerične analize. Št. elementov K I K II T θ [ MPa mm ] [ MPa mm ] [ N/mm ] [ ] 1 179,9 1,9 54,58-8,1 3 18,6 1,91 57,77-8, ,15 1,91 57,4-8,11-5 -

193 4. Vpliv dolžine razpoke Dolžino razpoke v jamici težko določimo, zato je smiselno raziskati vpliv dolžine razpoke na širjenje le-te. Preračuni so bili narejeni za 1 in µm dolgi razpoki. Rezultati so prikazani v diagramih na sliki 6, pri čemer številke na diagramih označujejo zaporedno številko posameznega obremenitvenega primera (slika 3). Vrednosti so prikazane v odvisnosti od razmerja x /b. Obremenitveni primeri so prikazani za območje, kjer so pričakovane največje vrednosti faktorja intenzivnosti napetosti K I. Rezultate posameznih obremenitvenih primerov med seboj linearno povežemo. Črtkana črta, ki povezuje rezultate za prvi in drugi obremenitveni primer, nakazuje, da dejanski potek vrednosti tam ni linearen, ker tlačna obremenitev v jamici v tem območju ne narašča enakomerno. Primerjava vplivov faktorjev intenzivnosti napetosti K I in K II (sliki 6a in 6b) pokaže, da je pri obeh dolžinah razpoke K I > K II. V obeh primerih je vrednost K I največja, ko se začetek Hertzove obremenitve nahaja nekoliko preko ustja razpoke (slika 3). Iz poteka T napetosti (slika 6c) je razvidno, da je pri µm dolgi razpoki širjenje le-te nestabilno (T > ), medtem ko je v primeru 1 µm dolge razpoke, širjenje stabilno. Na sliki 6d vidimo, da se razpoka pri a = 1 µm širi proti notranjosti površine (θ > ), pri a = µm pa proti zunanji površini (θ < ). [ MPa mm ] KI T [MPa] x /b [/] a = 1 µm a = µm [ MPa mm ] KII x /b [/] a) b) x /b [/] a = 1 µm a = µm a = 1 µm a = µm x /b [/] c) d) Slika 6: Vpliv dolžine razpoke na K I (a), K II (b) T (c) in θ (d). θ [ ] a = 1 µm a = µm

194 4.3 Vpliv velikosti tlaka v razpoki Predpostavka, da se v razpoko preko olja prenese celoten tlak iz jamice, ne upošteva vpliva hrapavosti površine. V primeru hrapave površine lahko pričakujemo, da posamezni vršički upočasnjujejo prodiranje olja v razpoko, zaradi česar se v razpoki ne vzpostavi enako velik tlak kot na površini. Na razpoko se tako prenese le del tlaka, kar je v numeričnih simulacijah upoštevano kot 5 % zmanjšanje tlaka na površinah razpoke. Vpliv trenja med površinama razpoke je zanemarjen. Velikost tlaka v razpoki najbolj vpliva na velikost faktorja intenzivnosti napetosti K I (slika 7a), ki neposredno vpliva na širjenje razpoke po načinu I, torej je tudi odpiranje razpoke najbolj odvisno od velikosti tlaka v razpoki. Na faktor intenzivnosti napetosti K II ima velikost tlaka v razpoki manj vpliva (slika 7b). Iz slike 7c je razvidno, da velikost tlaka v razpoki manj vpliva na stabilnost širjenja razpoke v primeru krajše razpoke. Na sliki 7d vidimo, da vpliv 5 % zmanjšanja tlaka v razpoki na smer širjenja razpoke pride do izraza šele pri zadnjih nekaj obremenitvenih primerih. To je posledica spremembe velikosti K I in K II (na osnovi katerih določimo θ ) pri zmanjšanju tlaka, ki je v teh obremenitvenih primerih večja kot pri prvih nekaj obremenitvenih primerih. [ MPa mm ] KI T [MPa] x /b [/] a = 1 µm, p = 1 % a = µm, p = 1 % a = 1 µm, p = 75 % a = µm, p = 75 % [ MPa mm ] KII x /b [/] a) b) x /b [/] a = 1 µm, p = 1 % a = µm, p = 1 % a = 1 µm, p = 75 % a = µm, p = 75 % θ [ ] a = 1 µm, p = 1 % a = µm, p = 1 % a = 1 µm, p = 75 % a = µm, p = 75 % x /b [/] a = 1 µm, p = 1 % a = µm, p = 1 % a = 1 µm, p = 75 % a = µm, p = 75 % c) d) Slika 7: Vpliv velikosti tlaka v razpoki na K I (a), K II (b) T (c) in θ (d)

195 5 Zaključek Predstavljen je numerični model širjenja razpoke iz mikro jamice na površini boka zoba. Model upošteva Hertzovo obremenitev kot posledico kotaljenja in Coulombovo trenje kot posledico drsenja zoba. Prav tako je preko tlaka upoštevan vpliv olja v razpoki. Uporabljena je bila metoda končnih elementov, s katero smo določili vrednosti faktorjev intenzivnosti napetosti K I in K II, T napetosti in smer širjenja razpoke θ. S primerjanjem rezultatov za razpoki dolžin 1 in µm smo ugotovili, da dolžina razpoke zelo vpliva tako na stabilnost širjenja razpoke kot na smer širjenja. Daljša razpoka se širi proti zunanji površini, krajša pa proti notranjosti boka zoba. Pri tem je širjenje krajše razpoke stabilno, širjenje daljše razpoke pa nestabilno. Prav tako smo ugotovili, da velikost tlaka v razpoki vpliva predvsem na velikost faktorja intenzivnosti napetosti K I, medtem ko na ostale vrednosti nima večjega vpliva. Posledica tega je, da 5 % znižanje tlaka v razpoki ne vpliva bistveno na smer širjenja razpoke. Faktorja intenzivnosti napetosti K I in K II, T napetosti in smer širjenja razpoke θ nam še ne povejo dovolj o širjenju razpok. V nadaljnjem delu je zato smiselno preučiti še hitrost širjenja razpoke, kjer je potrebno upoštevati še druge materialne karakteristike. Prav tako je potrebno analizirati tudi vpliv zaostalih napetosti, ki se pojavijo pri ubiranju zob. Naslednja faza numerične analize pa je nadaljevanje širjenja razpoke tako dolgo, da se pojavi nova jamica. Literatura [1] ABAQUS Analysis User s Manual (v6.5 1), c ABAQUS, Inc. 4 [] B. Cotterell, J. R. Rice, Slightly Curved or Kinked Cracks, International Journal of Fracture, vol. 16, , 198. [3] F. Erdogan, G. C. Sih, On the crack extension in plates under plate loading and transverse shear, ASME Journal of Basic Engineering, vol. 85, str , [4] S. Glodež, B. Aberšek, G. Fajdiga, J. Flašker, Computational analysis of surface and subsurface initiated fatigue crack growth due to contact loading. Structural integrity & durability, vol. 1, no. 3, str. 15 4, 5. [5] P. Partheymuller, Numerische Simulation der 3 D-Rissausbreitung mit der Randelementmethode, Fortschritt Berichte VDI 18 (4), VDI Verlag, Dusseldorf, [6] G. M. Seed, Strength of Materials (An Undergraduate Text), Saxe Coburg Publications,. [7] B. Zafošnik, Z. Ren, J. Flašker, G. Mishuris, Modelling of Surface Crack Growth under Lubricated RollingSliding Contact Loading, International Journal of Fracture, vol. 134, str ,

196 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Upravljanje torne sile semiaktivnega sistema vzmetenja s spremenljivo strukturo R. Pušenjak 1 Dry Friction Control of Semiactive Suspension System with Variable Structure Povzetek. Članek obravnava upravljanje torne sile semiaktivnega sistema vzmetenja z dvema prostostnima stopnjama in spremenljivo strukturo. Čeprav je sistem nelinearen, je celotno dinamiko sistema mogoče opisati s pomočjo treh linearnih režimov gibanja. Reševanje gibalnih enačb sistema zahteva določitev preklopnih časov, v katerih sistem preklopi iz enega v drug režim gibanja. Izpeljane so diferenčne enačbe v prostoru stanja s spremenljivim časovnim korakom, ki omogočajo natančen izračun preklopnih časov. Metoda je uporabljena v izračunu dveh primerov absolutnega in relativnega gibanja sistema. V prvem primeru ne upoštevamo vzbujanja s tal, medtem ko je v drugem primeru proučen vpliv harmoničnega vzbujanja podlage. Abstract. The paper treats the control of dry friction force in two-d.o.f. semiactive suspension system with variable structure. Although the system is nonlinear, the whole dynamics can be described by means of three linear regimes of motion. Solving of equations of motion demands determination of switching times, where system switches from one regime of motion to another. Difference equations in state space are derived with changeable time step, which enable an accurate computation of switching times. The method is applied for computation of two examples of absolute as well as relative motion of the system. In first case, base excitation is not considered, while in the second case the effect of the harmonic base excitation is studied. 1 Uvod Upravljanje semiaktivnih mehanskih sistemov izvajamo s spreminjanjem parametrov mehanskih naprav v realnem času tako, da naprave učinkujejo na strukturo s pasivnimi, vendar nastavljivimi notranjimi reakcijskimi silami. Trenutne vrednosti parametrov mehanskih naprav so določene z algoritmom upravljanja kot funkcije vhodnih spremenljivk in odziva sistema. Podobno kot v primeru aktivnih sistemov, potrebujemo tudi pri upravljanju semiaktivnih sistemov integrirane podsisteme senzorjev, procesorjev in 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo

197 aktuatorjev, vendar pa delovanje sistema zahteva le minimalni zunanji izvor energije, ki je potreben za napajanje elektronskih komponent. V delu obravnavamo semiaktivni sistem vzmetenja, kot so ga v [1] predstavili Yamaguchi, Yashima in Hirayama s posplošitvijo metode, ki je bila objavljena na Kuhljevih dnevih 5 v []. V primerjavi s sistemom, obravnavanim v članku [] je tukaj število prostostnih stopenj mehanskega sistema povečano iz ene na dve prostostni stopnji, število režimov gibanja iz enega na tri, namesto znanih preklopnih časov, ki so ustrezali eni polovici periode nihanja pa nastopajo tukaj neznani preklopni časi, v katerih mehanski sistem preklopi iz enega režima gibanja v drug režim s spremembo strukture mehanskega sistema. V članku so izpeljane enačbe adaptivnega algoritma za natančno določevanje preklopnih časov spremenljive strukture. Gibalne enačbe semiaktivnega sistema vzmetenja s spremenljivo togostjo Mehanski model sistema s spremenljivo togostjo [1], ki ga bomo proučevali v tem članku, je prikazan na sl. 1. m y ON OFF k a y s m s k s z Slika 1. Mehanski model sistema vzmetenja s spremenljivo togostjo Masa m je podprta z vzmetjo s togostjo k a, pri čemer želimo zmanjšati nihanje, ki jo povzroča na maso m delujoča zunanja sila, oziroma nihanje, ki se prenaša s tal. S pomočjo dodatne vzmeti s togostjo k s upravljamo vklapljanje in izklapljanje krmilnega mehanizma. Vzmet k s je obtežena z maso m s. Celotno gibanje takšnega sistema se odvija v naslednjih treh režimih: Režim a: Če se masi m in m s ne dotikata preko členka, sistem niha nesklopljeno in masi m in m s nihata prosto druga ob drugi. V tem primeru je masa m podprta samo z vzmetjo s togostjo k a, masa m s pa z vzmetjo s togostjo k s. Nihanje obeh mas opisujeta gibalni enačbi: d y d ys m + k ( ), ( ) a y z = ms + k s ys z =, (1.a,b) dt dt kjer je y pomik mase m in y s pomik mase m s. Med masama vlada relativni pomik: r = ys y, () zaradi česar lahko enačbo (1.b) prepišemo na obliko: d r d y m s + m ( ) d s + k d s r + y z =. (3) t t

198 Režim b: Masi sta sklopljeni preko členka, vendar obstaja med njima relativno gibanje zaradi zdrsa, tako da se med členkom in maso m s pojavi suho trenje in z njim disipacija energije. Zaradi disipacije energije se vibracije sistema zmanjšujejo. V navedenem režimu se enačbi gibanja glasita: d y d ys dr m + k ( ), ( ), a y z = F ms + k s ys z = F F = Sgn Fs, (4) dt dt dt kjer je F s absolutna vrednost torne sile med zdrsom brez upoštevanja predznaka (smeri delovanja torne sile). Z uvedbo relativnega pomika () lahko drugo izmed enačb (4) pišemo v obliki: d r d y m s + m ( ) d s + k d s r + y z = F (5) t t Opazimo, da gibanje v režimu b preide v gibanje v režimu a, če v enačbah (4) oziroma v enačbi (5) postavimo F =. Režim c: Masi sta sklopljeni preko členka, vendar nihata brez medsebojnih pomikov (brez zdrsa). Relativni pomik r v tem režimu gibanja je konstanten, relativna hitrost pa enaka nič, dr dt =. Masa m je podprta z obema vzmetema s togostjo ka + ks, masa m s pa le z vzmetjo s togostjo k s. Če v enačbah (4), oziroma v enačbi (5) označimo relativni pomik med masama v trenutku dotika z r s, dobimo gibalni enačbi, ki veljata v režimu c. Iz teh dveh enačb lahko eliminiramo torno silo F, pri čemer dobimo: d d d m y s + k ( ) ( ), ( ) s rs + y z = m y k y a y z F = ms k s rs + y z (6.a,b) dt dt dt Enačbo (6.a) prepišemo na obliko: d y ( m+ ms) + ( k )( ) a + ks y z + ksrs = (7) dt Masi se dotikata brez drsenja, dokler sila F v enačbi (6.b) ne preseže konstantne sile med zdrsom, oziroma dokler je izpolnjen pogoj: d y ms k ( ) s rs + y z < Fs (8) dt Ko pogoj (8) ni več izpolnjen, ponovno nastopi relativno gibanje med masama, oziroma režim b. 3 Enačbe upravljanja semiaktivnega sistema s spremenljivo togostjo V režimu a masi m in m s nista v dotiku preko členka in nihata samostojno. Pripadajoči frekvenci nedušenega prostega nihanja obeh mas sta: ka k Ω =, Ω s s = (9.a,b) m ms

199 Enačbo gibanja sistema v režimu c, pri katerem sta masi m in m s v dotiku preko členka, vendar med njima ni drsenja lahko z uvedbo brezdimenzijskih spremenljivk prevedemo na enačbo, kakršno smo obravnavali v [] pri harmoničnem oscilatorju s suhim trenjem. V ta namen enačbo (7) najprej prepišemo na obliko: d y ( ka + ks) ( ) ( ) kr s s + y z = (1) dt m+ ms ( m+ ms ) in vpeljemo brezdimenzijske spremenljivke v obliki brezdimenzijskih pomikov: Ω Ω, Ω, Ω y = y z = z r = r, r s = r, (11) s g g g g razmernika mas λ, razmernika frekvenc nedušenega prostega nihanja ν in razmernika togosti vzmeti λν : ms Ω, s ks m k, s λ = ν = = λν =, (1) m Ω ms ka ka uvedemo pa tudi brezdimenzijski čas: Ω τ = π t, (13) brezdimenzijsko silo trenja in absolutno vrednost konstantne brezdimenzijske sile trenja med zdrsom: F Fs F =, Fs mg = (14) mg S pomočjo uvedenih brezdimenzijskih spremenljivk izrazimo frekvenco nedušenega prostega nihanja sklopljenega sistema, ko sta masi m in m s v dotiku preko členka brez drsenja in sta masi podprti z obema vzmetema s togostjo ka + ks: ( k ) ( ) ( 1 a + ks k ) a 1+ ks k + λν a = = Ω, (15) ( m+ ms) m ( 1+ ms m) ( 1+ λ ) na podoben način pa tudi frekvenco nedušenega prostega nihanja sklopljenih mas, podprtih z vzmetjo s togostjo k s : k s ks kaλν λν = = = Ω. (16) ( m+ ms) m( 1+ ms m) m( 1+ λ ) ( 1+ λ ) Z uvedbo zamenjave: ( 1 + λν ) a = 4π, (17) ( 1+ λ ) in ob upoštevanju vseh brezdimenzijskih spremenljivk enačbo (1) prepišemo na obliko: d y λν + a y = a z r (18) d s τ ( 1 + λν )

200 Z uvedbo brezdimenzijske hitrosti v ( τ ) = in vpeljavo parametra β : dy dτ β z λν = r s ( 1+ λν ), (19) ki je odvisen od relativnega pomika obeh mas v trenutku dotika r s, lahko enačbo (18) integriramo in dobimo: ( ) ( ) ( ) v τ v = a y τ β + a y( ) β () y =, lahko enačbo () prepišemo na obliko: Če upoštevamo začetni pogoj ( ) v a y a v ( τ ) + ( τ ) β = β + ( ) (1) V primeru, da je z = konst, je β = konst in rešitev lahko predstavimo v fazni ravnini y v z elipso, ki ima središče v točki ( β,) na osi y, to je na premici v =. V primeru, da z konst imamo vzbujanje s tal in trajektorija ni več elipsa. Na sl. je rešitev enačbe prikazana za z =, zato je β negativen pri r s > in pozitiven pri r s <. Če je β = βmin < je r s maksimalno pozitiven in trajektorija sledi elipsi od točke A do točke B, kar ustreza sklenjenemu členku, ko sta masi m in m s v dotiku brez drsenja. V tem primeru ni relativnega gibanja, to se pravi y = ys in r = ys y =. Ugotovimo, da je r = do nekega časa τ, ko se y začne zmanjševati v primerjavi z maksimalno vrednostjo. Obenem je ta ugotovitev v skladu s sl., ki kaže, da se razklopi členka dogajajo na stikalni premici: s = v + cy, () kar ustreza manjši vrednosti y od maksimalne. Razklop členka se izvrši v točki B. Trajektorija potuje od točke B do točke C v področju II, pri čemer se masi m in m s premikata neodvisno druga od druge (režim a). V tem področju r ni več enak temveč se spreminja. V točki C doseže r svojo minimalno vrednost. Trajektorije v režimu a in v režimu b so v primeru, da ni vzbujanja s tal, z = konst ponovno elipse, tako da upravljanje sistema sestoji iz preklopov režimov gibanja na zaporedne odseke na posameznih elipsah. Gibalni enačbi za režim a in režim b ob uporabi brezdimenzijskih spremenljivk se zapišeta v obliki: 1 d y 1 d r F 1 d ( ) y y z F, ν r y z 4π dτ + = 4π dτ + + = λ (3.a,b) 4π dτ kjer je F = v režimu a. Z uvedbo zamenjav: ( ) * z F, a * 4π β = + =, (4) lahko enačbo (3.a) integriramo in v primeru, da ni vzbujanja s tal, z = konst, izpeljemo enačbo trajektorije: v ( τ ) + ( a * ) y ( τ ) β * = ( a * β * ) + v ( ) (5) Pripadajoča trajektorija med točkama B in C na sl. je določena z enačbo elipse (5) za režim a z upoštevanjem vrednosti F =. V točki C se členek ponovno sklene in gibanje poteka po enačbi (5) v režimu b z medsebojnim zdrsom med masama m in m s do točke D, kjer se izvrši ponovni preklop v režim c

201 IV s > y < ( ) a β + v v A I s > y > ( a * β * ) + v ( ) F = III s< y< Sl. : Prikaz preklapljanja v fazni ravnini y -v dr Z uvedbo relativne hitrosti vr = in vpeljavo parametrov: dτ ar = 4 π ν, α = ( y z)( 1 ν ) F( 1+ 1 λ) ν (6) lahko integriramo tudi enačbo (3.b) in dobimo: ( ) ( ) v ( ) ( ) R τ + ar r τ α = vr + ar r α (7) Krmiljenje relativnih pomikov r v gibalni enačbi (7) izvedemo s pomočjo stikalne premice: s = v c r α (8) kjer je c R konstanta in β + v( ) a β min E ( β ) v ( ) * * + a F = ( ) R R R OFF α OFF vrednost parametra α v trenutku razklopa členka ( ) αoff y z 1 ν ν ( )( ) β max a * β * + v y F * * ( β ) + v ( ) a F F = : s = = (9) 4 Diskretizacija enačb upravljanja semiaktivnega sistema s spremenljivo togostjo v prostoru stanj V prejšnjem razdelku smo izpeljali enačbe trajektorij, nismo pa določili preklopnih časov. V ta namen uvedemo nove spremenljivke: x1 = y, x = r, x3 = v, x4 = vr (3) Gibalni enačbi za režim a in za režim b lahko zapišemo v obliki sistema prvega reda: d X d c c F c z τ = A X + B + C (31) kjer je: 1 x1 1 x X =, A c = x 4π (3) 3 x 4 4π ( 1 ν ) 4π ν D C B II s < y > ( ) ( )

202 ( λ ) ( ) T c = π π T c = 4π 4π 1 ν B, (33) C (34) Vpeljimo funkcijo: f ( τ ) = Bc F + C c z (35) s čemer lahko enačbo (31) prepišemo na obliko: d X = dτ A c X + f ( τ ) (36) Rešitev enačbe (36) iščemo v obliki: τ Acτ A X ( τ ) = e e ct f ( t) dt+ b (37) τ A Začetni pogoj X ( τ ) = X τ izpolnimo z vektorjem cτ b= e X τ, kjer je X τ vektor v času preklopa. Na osnovi slike zlahka ugotovimo, da je vsakokratni vektor X τ odvisen od polosi elips v enačbah (1), (5) ter (7). Rešitev (37) zapišemo v obliki: τ Ac ( τ τ ) Ac ( ) ( τ t X τ = e X e ) τ + () t dt f (38) τ Če ne upoštevamo vzbujanja od tal in vzamemo z = konst, je tudi sama funkcija f () t konstantna. V režimu a je namreč torna sila nič, v režimu b pa je konstantna na vsem intervalu { τi, τ i + 1 }. V tem primeru lahko integral v enačbi (38) eksplicitno izračunamo: Ac( τ τ) c( τ τ) 1 ( τ ) e A X = Xτ + e I A ( ) c Bc F + C c z (39) Prevedimo enačbo (39) še v diferenčno enačbo stanja! V ta namen izberemo časovni interval { τi, τ i + 1 } in v enačbi (39) upoštevamo zamenjavi τi = τ in τi+ 1 = τ. Začetni vektor X prepišemo v vektor X () i, vektor X ( τ ) pa vzemimo na koncu intervala v času τ i + 1 in τ ga označimo z X ( i +1). Upoštevajmo še dolžino intervala τ τ ( ) pišemo: A 1 ( 1 c ) T AcT i+ = e ( i) ( e ) c ( c F + c z) i+ 1 i = i+ 1 T it = T in X X + I A B C (4) Obravnavajmo še režim c! Ker sta masi v dotiku brez drsenja, je relativni pomik konstanten in v dr R = =. Enačbo (18) zapišimo v obliki: dτ ( ) ( ) d y 1+ λν 1+ λν λν + 4π y = 4π z r ( 1 ) ( 1 ) s (41) dτ + λ + λ 1+ λν in jo z uvedbo novih spremenljivk x1 = y, x3 = v ter vektorja: * X = [ x1 x3] T (4) zapišemo v prostoru stanja: * d * * * * * d c c x c z τ = + + X A X B C (43)

203 kjer vpeljemo matrike in vektorje * A c, * B c in * C c : 1 * * * c = 1,, 4 π + λν c = c 1 ( 1 ) 4 λν ( 1 ) 4 λν λ π = λ π ( 1+ λ ) A B C, (44) * ter z x = rs označimo vrednost brezdimenzijskega relativnega pomika v trenutku dotika. Tudi v tem primeru lahko enačbo (43) integriramo. Rešitev iščemo v obliki: * τ * c c ( ) t * A τ A * * X τ = e e f ( t) dt+ b (45) τ kjer je * * * * f t = B x + C z (46) () c c * Začetni pogoj * * * A * X ( τ ) = X τ izpolnimo z vektorjem e c τ b = X τ kar da rešitev v obliki: * τ * * Ac ( τ τ ) * Ac ( ) ( τ t e e ) * X τ = Xτ + f () t dt (47) τ Če tudi v tem primeru ne upoštevamo vzbujanja od tal in vzamemo z = konst, je funkcija * f () t prav tako konstantna. V tem primeru lahko integral v enačbi (47) eksplicitno izračunamo: * * * A ( ) ( ) 1 c τ τ * Ac τ τ * * * * X ( τ ) = e Xτ + e c I A ( Bc x + C c z ) (48) Enačbo (48) lahko prevedemo v diferenčno enačbo stanja na podoben način kot enačbo (39): * * * 1 * * * ( 1 c T c T i ) e ( i ) e * A * A X + = X + I Ac ( Bc x + C c z ) (49) Sistem se giblje v režimu c le tedaj, če je absolutna vrednost brezdimenzijske torne sile: 1 d y F = λν ( rs + y z) λ (5) 4π dτ med dotikom brez zdrsa manjša od konstantne brezdimenzijske torne sile med zdrsom, vendar večja od nič, sicer zavlada režim a: < F < Fs (51) Območje, v katerem vlada režim c, ugotavljamo na podlagi neenačbe (51), pri čemer moramo izračunati silo F po enačbi (5). Pri tem potrebujemo odvod d y dv dx3 = =, ki ga dτ dτ dτ izračunamo iz enačbe (43) : dx 3 * = 4 1 λν 1 ( ) x d λν ( 1 ) x 4 λν ( 1 ) z τ π + λ π + λ π + (5) λ Za uporabo v diferenčni enačbi stanja zapišemo enačbo (5) v obliki: podobno pa tudi enačbo (5): [ ] 4 π 1 ( + λν ) x 1 [] i 4 π λν ( ) x 4 π λν ( + ) z[] i dx3 i * d = + (53) τ λ λ λ

204 () ( ) [] ( ) ( ) * λ 1 ν λν λ 1 ν [] F i x 1 1 i x 1 z i + λ + λ 1+ λ = (54) Z izpeljanimi enačbami lahko sestavimo algoritem, ki izračuna celotni prehodni odziv semiaktivnega sistema vzmetenja ter konstruiramo pripadajoče fazne diagrame. 5 Zgledi uporabe Oglejmo si uporabo predložene metode pri izračunu prehodnega odziva in konstrukciji faznih diagramov semiaktivnega sistema vzmetenja s spremenljivo togostjo na dveh zgledih. V prvem zgledu obravnavamo zmanjševanje vibracij, če sistem ni vzbujan s tal, z =, ampak ga sunkovito vzbudimo v mirovnem položaju z ustrezno začetno hitrostjo. Trajektorije v posameznih režimih gibanja so prikazane v faznih diagramih y v in r vr, ki potekajo po odsekih elips s preklapljanjem na stikalnih premicah oziroma v njihovi bližini tako, da se amplitude ves čas zmanjšujejo dokler vibracije ne zamrejo v ravnotežni točki faznega diagrama. Rezultati izračuna, prikazanega na sl. 3 ustrezajo vrednostim parametrov λ =.1, ν = 1, F s =, c= 1, cr =, y =, v = 5. V faznem diagramu y v je prikazana stikalna premica s = v + cy, v bližini katere oziroma na kateri se dogajajo opisani preklopi režimov gibanja. V drugem zgledu je semiaktivni sistem vzmetenja razen začetnega sunka podvržen še harmoničnemu vzbujanju podlage z ( τ ) = Az sin ( π fzτ) z amplitudo A z =. in frekvenco f z = Hz harmoničnega vzbujanja. Vsi ostali parametri imajo enake vrednosti kot v prvem zgledu. Kot kažeta enačbi (53) in (54), moramo funkcijo z ( τ ) diskretizirati. Rezultati izračuna so prikazani na sl. 4 in kažejo, da trajektorije v faznih diagramih v posameznih režimih gibanja ne sledijo več elipsam. Kljub harmoničnemu vzbujanju podlage pa se amplitude vibracij počasi zmanjšujejo, dokler ni doseženo stacionarno stanje _ y _. _ r v _ t y _ v _ R t r Sl. 3: Časovni potek pomikov y ( τ ) in r ( τ ) s faznimi diagrami, če sistem ni vzbujan s tal

205 _ y v _ t y _ r v _ R Sl. 4: Časovni potek pomikov y ( τ ) in ( ) t r r τ s pripadajočimi faznimi diagrami z upoštevanjem harmoničnega vzbujanja podlage 6 Zaključek V članku je predstavljeno upravljanje semiaktivnega sistema vzmetenja s spremenljivo togostjo. Izpeljane so gibalne enačbe v treh režimih gibanja, ki omogočajo, da nelinearni semiaktivni sistem vzmetenja obravnavamo kot odsekoma linearen. Trajektorije v vseh treh režimih gibanja so elipse, katerih polosi določajo začetne vektorje v izpeljavi diferenčnih enačb v prostoru stanja tako, da omogočajo natančen izračun preklopnih časov, v katerih se spreminjajo režimi gibanja. Metoda je uporabljena za izračun upravljanja sistema brez upoštevanja vzbujanja s tal in z upoštevanjem harmoničnega vzbujanja podlage. Literatura [1] H.Yamaguchi, M.Yashima, Y.Hirayama, Vibration Reduction and Isolation Performance for On-Off Control of a Friction Force at a Spring Support,. Journ. of Sound and Vibration, Vol. 8(5), , [] R.Pušenjak, Dinamika harmoničnega nihala s suhim trenjem. Kuhljevi dnevi 5, Podčetrtek, sept. 5. Zbornik del. Ljubljana SDM, 5, 3 3. [3] E. Renzi, M. De Angelis, Optimal Semi-active Control and Non-linear Dynamic Response of Variable Stiffness Structures. Journ. of Vibration and Control, Vol. 11(1), ,

206 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Izračun neustaljenih nelinearnih nihanj z razširjeno Lindstedt-Poincarejevo metodo R. Pušenjak 1 in M. Oblak Computation of Nonstationary Nonlinear Oscillations by Extended Lindstedt-Poincare Method Povzetek. V članku je predstavljena razširjena Lindstedt-Poincarejeva (RL-P) metoda z več časovnimi skalami, ki omogoča obravnavo neustaljenih nihanj v dinamičnih sistemih s kubičnimi nelinearnostmi. Obravnavana so odstopanja v primerjavi z ustaljenim odzivom Duffingovega nihala in van der Polovega nihala, ki so povzročena s prehodom skozi resonanco, pri čemer je proučen učinek spremenljive frekvence. Uporaba več skal privede do natančnejših izrazov ustaljenega odziva v primerjavi z običajno Lindstedt-Poincarejevo metodo in omogoča učinkovit izračun neustaljenega frekvenčnega odziva. Abstract. The paper presents the extended Lindstedt-Poincare (EL-P) method, which applies multiple time scales to treat nonstationary oscillations arising in dynamical systems with cubic nonlinearities. The passage through the resonance is conducted to study deviations from the stationary response of Duffing oscillator and van der Pol oscillator, where effects of varying excitation frequency are studied. Application of multiple scales leads to more accurate expressions of stationary responses in comparison to the conventional Lindstedt-Poincare method and enables effective calculation of nonstationary frequency response. 1 Uvod Ustaljena nihanja nelinearnih dinamičnih sistemov so pojavi, ki v praksi redko nastopajo in jih večinoma lahko smatramo kot idealizacije pojavov v resničnih sistemih. Nelinearna nihanja so večinoma neustaljena zaradi časovno spremenljivega vzbujanja ali časovno spremenljivih parametrov krmiljenja. Neustaljena nihanja, ki jih povzroča časovno spremenljivo vzbujanje ali spremenljivo krmiljenje, so v osnovi aperiodična. V članku je obravnavana razširjena Lindstedt-Poincarejeva metoda z več časovnimi skalami, ki omogoča analitični pristop pri študiju neustaljenih nihanj, kakršna se pojavljajo v dinamičnih sistemih s šibkimi kubičnimi nelinearnostmi. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo

207 Neustaljena nihanja Odziv dinamičnega sistema je v primeru časovno spremenljive vzbujevalne frekvence, pa tudi v primeru časovno spremenljive amplitude aperiodičen. Aperiodična nihanja smo z RL- P metodo na Kuhljevih dnevih že obravnavali [1]. Potemtakem lahko smatramo, da je RL-P metoda naravna izbira v pogledu neustaljenih nihanj, pri čemer moramo običajno RL-P metodo preoblikovati tako, da ji dodamo še eno časovno skalo. V članku bomo predpostavili, da leži vzbujevalna frekvenca ω v bližini neke linearne frekvence ωq,1 ( q N), kar omogoča obravnavo osnovnih, superharmoničnih in subharmoničnih resonanc. RL-P metodo za izračun neustaljenih nihanj lahko v tem primeru utemeljimo na razvoju nelinearnih frekvenc ω v potenčne vrste majhnega, pozitivnega perturbacijskega parametra ε : n k n = n + nk, = 1,,, k= 1 ( n N n q) ω ω ε ω (1) Majhno odstopanje vzbujevalne frekvence ω od linearne frekvence ω q upoštevamo tako, da obdržimo v potenčni vrsti (1) le prva dva člena: ω = ω = ω + εω () q q q1 Odstopanje vzbujevalne frekvence ω od linearne frekvence ω q običajno izrazimo s pomočjo parametra razglasitve σ, ki je v tem primeru enak frekvenci ω q1 : σ = ω q1 (3.a) ω = ωq + εσ (3.b) V skladu z zgornjimi frekvencami vpeljemo N + 1 časovnih skal: τ n n t, ( 1,,, ) (4.a) τ = ηω (4.b) τ q qt Z uvedbo časovnih skal običajna časovna odvoda d/dt in diferencialnih operatorjev: d N = η ωi + ωq + ε dt i i q τi τq τn N + 1 = ηεt (4.c) = 1, + 1 d N N = η ωω i j + ωq + ε + dt i= 1, i q j= 1, j q τi τ j τq τn+ 1 N ωi ωq + ε + εωq i= 1, i q τi τq τi τ N+ 1 τq τn+ 1 d /dt izrazimo v obliki (5.a) (5.b) Z upoštevanjem enačb (3.b) in (4.b,c) lahko argument ω t, ki nastopa v harmoničnem k vzbujanju oblike ε pnk cosωt, izrazimo z uteženo vsoto časovnih skal τ q in τ N + 1: k= - -

208 kjer je τ q hitra, τ N + 1 pa počasna časovna skala. ( q N+ ) ωt = τ + στ 1 / η (6) Če v enačbi nihanja dinamičnega sistema s kubičnimi nelinearnostmi: d u d N N N n u n k + εc cos, 1,,..., n + ω un + ε nmpq m p q nk d d L Γ u u u = ε p ωt n= N (7) t t n m= 1p= 1q= 1 k= uporabimo diferencialna operatorja (5.a,b) namesto časovnih odvodov in upoštevamo enačbo (6) namesto argumenta ω t, dobimo naslednji sistem nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb (za n = 1,,, N ): N N u N n un u n un u n u n i j + q + + i q + + q + i= 1, i q j= 1, j q τi τj τq τn 1 i= 1, i q τi τq τi τ N+ 1 τq τ + N+ 1 η ωω ω ε ω ω ε εω N un un u n cn i + q + + u L n+ i= 1, i q τ n i τq τ N+ 1 ( + 1) N N N 1 k ε η ω ω ε ω ε Γnmpquuu m p q = ε pnk cos τq + στn η m= 1p= 1q= 1 k= Približno rešitev parcialnih diferencialnih enačb (8) v odvisnosti od N + 1 časovnih skal poiščemo v obliki potenčnih vrst: (8) k un = ε unk ( τ1, τ,, τn+ 1) (9) k= Z uvrstitvijo predpostavljenih rešitev v enačbo (8), upoštevanjem enačbe (1), absorbcijo členov z indeksom q v vsote ter združevanjem členov ob istih potencah dobimo zaporedje linearnih parcialnih enačb: : ε N N un 1 i j + L u cos n n = pn q + N 1 i= 1 j= 1 τi τ j η ( + ) η ω ω ω τ στ N N un1 1 ε 1 η ωiω j + ωl u 1 1cos : n n = pn ( τq + στn+ 1) i= 1 j= 1 τi τ j η N N N N N N un u n un η ωi ω j1 + ηcn ωi Γ nmpqumupuq i= 1 j= 1, j q τi τ j τi τ N+ 1 i= 1 τi m= 1 p= 1q= 1 ε : N N un 1 η ωiωj + ωl u cos n n = pn ( τq + στn+ 1) i= 1 j= 1 τi τ j η N N N N N un1 un1 u n un u n η ωi ωj1 + + ωj η ωi1 ωj1 + i= 1 j= 1, j q τi τ j τi τn+ 1 j= 1, j q τi τ j i= 1, i q j= 1, j q τi τ j τi τ N+ 1 u N N N N N n un1 un un η ηc n ωi + ωi1 + Γnmpq ( um1upuq + umup1uq + umupuq1) τ N 1 i= 1 τi i= 1, i q τi τ + N+ 1 m= 1p= 1q= 1 Rešitev parcialne diferencialne enačbe (1) ničtega reda iščemo v obliki: un = An( τn+ 1) cos τn Φn( τn+ 1) + En( τn+ 1) cos ( τq + στn+ 1) (13) kjer sta tako amplitudi A n, E n kot fazni kot Φ n modulirani v odvisnosti od počasne časovne skale τ N + 1. Rešitev (13) je potemtakem aperiodična in omogoča izračun (1) (11) (1) - 1 -

209 neustaljenih nihanj. Če člen A ( τ ) cos τ Φ ( τ ) n N+ 1 n n N+ 1, ki pomeni rešitev pripadajoče homogene enačbe, uvrstimo v homogeno enačbo, dobimo pomembno zvezo med linearnimi frekvencami in naravnimi frekvencami: ω ω L n n = (14) η Z uvrstitvijo rešitve (13) in enačbo (11) lahko poiščemo njeno rešitev in nato nadaljujemo po istem postopku pri nadalnjih enačbah. V iskanju teh rešitev se lahko pojavijo sekularni členi (v posebnem primeru lahko partikularna rešitev v enačbi (13) sama predstavlja sekularni člen). Ker povzročajo ti členi neomejeno naraščanje rešitev, jih moramo eliminirati. Z odstranitvijo teh členov dobimo pogoje rešljivosti posameznih redov in izvedemo standardne postopke perturbacijskih metod na enačbah (1-1). Ko je to delo opravljeno, lahko izračunamo rešitev (9) z želeno natančnostjo. 3 Duffingovo nihalo Duffingovo nihalo je posebni primer dinamičnega sistema z eno prostostno stopnjo, ki vsebuje kubično nelinearnost. Pri raziskavi osnovne resonance zahtevamo šibko vzbujanje sistema. Nelinearna nihanja Duffingovega nihala so v tem primeru opisana z enačbo: d u du 3 + ε c + ω cos Lu+ εαu = εp ωt (15) dt dt ki jo lahko dobimo s prireditvijo enačbe (7), če vzamemo u = un, c = cn, ωl = ωl n, α = Γ 1111, p n =, p = p n 1 in N = 1. Iz enačbe (15) sledi, da obravnavamo sistem z majhnim modalnim dušenjem in majhno kubično nelinearnostjo, tako da lahko uporabimo perturbacijske metode. V nadaljevanju obravnavajmo neustaljena nihanja Duffingovega nihala, ki nastanejo pri prehodu skozi osnovno resonanco zaradi počasnega spreminjanja vzbujevalne frekvence s časom. Če sledimo splošnemu postopku v prvem razdelku, postavimo η = 1 za obravnavnavanje harmoničnega primera in izrazimo bližino vzbujevalne frekvence ω nasproti linearni frekvenci ω z dvema členoma razvrstitve: ω = ω + εω1 = ω + εσ (16) Na osnovi enačbe (16) uvedemo dve časovni skali τ 1 in τ : τ 1 = ω t (17.a) τ = ε (17.b) t S pomočjo časovnih skal zamenjamo časovna odvoda d/dt in operatorjema: d = ω + ε dt τ τ 1 d /dt z diferencialnima (18.a) - -

210 d = ω + εω + ε dt τ τ 1 1 τ τ in enačbo (15) zapišemo v obliki parcialne diferencialne enačbe: u u u τ τ 1 1 τ τ ω εω ε u u 3 ε c ω + ε + ωlu+ εαu = εpcos τ1+ στ τ1 τ ( ) (18.b) Približno rešitev parcialne diferencialne enačbe (19) z uporabo dveh časovnih skal dobimo v obliki potenčne vrste: u (19) = ε u ( τ, τ ) () k= Z uvrstitvijo potenčne vrste () v enačbo (19) in izenačitvijo členov ob istih potencah z nič dobimo sistem enačb, ki ga rešujemo sukcesivno: : ε 1 : ω k k 1 u + ω Lu = τ1 u u u 3 + Lu1 = pcos c u τ τ 1 1 τ τ 1 ε 1 ( ) ω ω τ στ ω α ε : u u1 u u1 u ω + ω Lu = ω c ω + 3αu u1 τ τ 1 1 τ τ τ 1 τ Splošno rešitev enačbe (1) iščemo v obliki: (1) () (3) ( τ, τ ) = A( τ ) cos τ Φ ( τ ) (4) u 1 1 kjer sta tako amplituda A( τ ) kot fazni kot ( ) Φ τ modulirana v odvisnosti od počasne časovne skale in sta začasno še nedoločena. Določimo ju v naslednji stopnji aproksimacije z eliminacijo sekularnih členov iz enačbe (). Z uvrstitvijo splošne rešitve (4) v enačbo (1) in omejitvijo na pozitivne vrednosti frekvenc ω, ω dobimo relacijo: L ω = ω (5) L Z uvrstitvijo splošne rešitve (4) v enačbo () in upoštevanjem relacije (5) dobimo: ( τ ) u 1 da dφ τ ωl + u 1 = p cos ( 1 τ + στ) + ω ( ) sin 1 ( ) ( ) cos 1 ( ) L + ca τ τ Φ τ A τ τ Φ τ d 1 τ τ dτ 1 3 αa ( τ ) 3cos 1 τ Φ ( τ ) + cos ( 3 1 τ Φ ( τ ) ) 4 Z uporabo adicijskih teoremov trigonometričnih funkcij enačbo (6) prepišemo na obliko: ( ) (6) - 3 -

211 u 1 ωl + u 1 = p cos τ1 Φ( τ) cos στ+ Φ( τ) p sin τ1 Φ( τ) sin στ+ Φ( τ) + τ 1 da ( τ) dφ( τ) 1 3 ωl + ca( τ) sin τ1 Φ( τ) A( τ) cos τ1 Φ( τ) αa ( τ) 3cos τ1 Φ( τ) cos( 3 τ1 Φ( τ) ) dτ + dτ 4 Desna stran enačbe (7) vsebuje sekularne člene, ki povzročajo neomejeno naraščanje rešitve. Eliminacijo sekularnih členov dosežemo z združevanjem členov, ki nastopajo pri cos τ1 Φ( τ) in sin τ1 Φ ( τ ) in izenačitvijo dobljenih izrazov z nič: Z uvedbo nove spremenljivke: ( ) dφ τ 3 3 pcos στ+ Φ( τ) ωl A( τ) αa ( τ) = dτ 4 ( τ ) da psin στ+ Φ( τ) + ω L + ca( τ) = dτ (7) (8) (9) ( ) = + ( ) (3) γ τ στ Φ τ enačbi (8) in (9) preuredimo tako, da časovna skala τ ne nastopa več v eksplicitni obliki: ( ) 3 ( ) dγτ 3 pcos γτ ( ) + ωl A( τ) σ αa τ = dτ 4 da( τ ) psin γτ ( ) + ωl + ca( τ) = dτ Enačbi (31) in (3) predstavljata sistem avtonomnih navadnih nelinearnih diferencialnih enačb, ki jih lahko razrešimo za primer neustaljenih nihanj z različnimi tehnikami numerične integracije. 3.1 Resonančna krivulja Duffingovega nihala v primeru ustaljenih nihanj Ustaljena nihanja Duffingovega nihala imamo v primeru, da velja A( ) ( ) = γ=, oziroma da( τ ) dτ =, d ( ) d τ = A= const, γτ const γ τ τ =. Enačbi (31), (3) preideta v tem primeru v sistem nelinearnih algebrajskih enačb: 3 3 pcos γ + ωl σa αa = 4 (33) psinγ + cω LA= (34) Če enačbi (33) in (34) kvadriramo in seštejemo, dobimo enačbo frekvenčnega odziva Duffingovega nihala: 3α p c + σ A A = (35) 8 ω L 4ω L Dobljeni rezultat pripada tako imenovani ustaljeni karakteristiki in je v popolnem skladu z rezultatom, kot ga najdemo pri Nayfehu [] ob uporabi več skal oziroma pri Leungu in (31) (3) - 4 -

212 Fungu [3], ki sta enačbo (35) izpeljala z uporabo metode koračnega harmonskega ravnovesja (MKR), vendar sta pri tem uporabila le en kosinusni in en sinusni člen. Naše lastne raziskave z MKR pa so pokazale, da dobimo odlično ujemanje z enačbo (35) tudi pri uporabi velikega števila harmonikov. Izid naših raziskav je potemtakem, da lahko smatramo aproksimacijo prvega reda pri izračunu nelinearnih nihanj Duffingovega nihala za dovolj točno, če jo izvedemo z RL-P metodo z dvema časovnima skalama. Primerjava dobljenih rezultatov z rezultati konvencionalne Lindstedt-Poincarejeve metode pa kažejo, da daje predstavljena metoda natančnejše rezultate v bližini resonančnih vrhov. 3. Prehod skozi osnovno resonanco Duffingovega nihala pri spremenljivi vzbujevalni frekvenci Časovno spremenljiva vzbujevalna frekvenca povzroča odstopanja od ustaljenega odziva. Rezultirajoče resonančne krivulje pripadajo tako imenovanim neustaljenim resonancam. Učinek spreminjanja vzbujevalne frekvence pri prehodu skozi osnovno resonanco Duffingovega nihala je proučen s pomočjo spremenljivega parametra razglasitve, za katerega predpostavimo linearno spreminjanje v odvisnosti od počasne časovne skale τ : ( ) r σ τ = σ + τ (36) kjer σ označuje vrednost parametra razglasitve pri τ = in kjer pomeni r velikost spremembe, s katero spreminjamo parameter razglasitve v odvisnosti od τ. Na sliki 1 sta prikazana ustaljena resonančna krivulja Duffingovega nihala in neustaljeni resonančni r < parametra razglasitve. krivulji v primeru naraščajočega ( r > ) kot tudi padajočega ( ) Amplituda A@t D Ustaljeni odziv Zgornja stab. veja Nestab. veja Spodnja stab. veja Neustaljeni odziv Razglas. naraš ča Razglasitev pada Razglasitev s@td Slika 1. Prehod skozi osnovno resonanco Duffingovega nihala Stabilni veji ustaljene resonančne krivulje sta izrisani s polno izvlečeno črto, nestabilna veja pa s prekinjeno črto. Resonančna krivulja (35) Duffingovega nihala je izračunana za vrednosti parametrov p= 3, c=.85, ωl = 1, α =.6. Odstopanja od ustaljene resonančne krivulje so prikazana pri prehodu skozi osnovno resonanco Duffingovega nihala, kjer parameter razglasitve v prvem primeru narašča od vrednosti σ = 6 z velikostjo spremembe parametra r = 1, v drugem primeru pa pada od začetne vrednosti σ = 1 z velikostjo spremembe parametra r =

213 4 Van der Polovo nihalo Van der Polovo nihalo je relaksacijski oscilator, ki ga opisuje diferencialna enačba: ( ) d u du 3 ε 1 u + ω cos Lu+ εαu = εp ωt (37) dt dt v kateri je prisotna tudi kubična nelinearnost v obliki člena εα u. Če v celoti ponovimo postopek, kot je opisan pri Duffingovem nihalu, dobimo diferencialni enačbi: dγτ ( ) 3 pcosγτ ( ) ω A( τ ) σ αa 3 ( τ ) = (38) L dτ 4 ( τ ) da 1 3 psinγτ ( ) + ωl ωla( τ) + ωla ( τ) = (39) dτ 4 ki jih v primeru neustaljenih nihanj ponovno lahko rešimo z metodami numerične integracije. Ustaljeni odziv van der Polovega nihala dobimo ob pogoju, da velja: A( τ ) = A= const, γτ ( ) = γ= const ( da( τ) dτ =, dγ ( τ) dτ = ). V tem primeru preideta enačbi (38) in (39) v sistem algebrajskih enačb: 3 3 pcos γ ωl Aσ αa = (4) 1 3 psinγ ωla+ ωla = (41) 4 s kvadriranjem enačb (4) in (41) in seštevanjem pa dobimo enačbo frekvenčnega odziva: A 1 3α p + σ A A = 8 8 ω L 4ω L (4) 5 Zaključek V članku je predstavljena RL-P metoda z več časovnimi skalami, ki omogoča izračun neustaljenih nihanj dinamičnih sistemov s kubičnimi nelinearnostmi in N prostostnimi stopnjami. Uporaba metode je prikazana pri Duffingovem nihalu, pri čemer najprej izračunamo ustaljeno resonančno krivuljo, nato pa še odstopanja od ustaljene krivulje. Ustaljeno resonančno krivuljo izračunamo iz algebrajske enačbe, neustaljeni odziv Duffingovega nihala pa izračunamo z numerično integracijo dobljenih diferencialnih enačb. Literatura [1] R. Pušenjak, M. Oblak, Lindstedt-Poincarejeva metoda z več časovnimi skalami za dinamične sisteme s kubičnimi nelinearnostmi. Kuhljevi dnevi 4, Otočec, 3. sept.-1.okt. 4. Zbornik del. Ljubljana: SDM, 4, 13. [] A.H. Nayfeh, D.T. Mook, Nonlinear Oscillations, Willey-Interscience, New York, [3] A.Y.T. Leung, T.C. Fung, Phase increment analysis of damped Duffing oscillators, Int. j. numer. methods eng., Vol. 8, ,

214 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Gonila z umetnimi mišicami M. Rajh 1, J. Flašker, S. Glodež 3 Drives with artificial muscles Povzetek. Prispevek obravnava gonila z umetnimi mišicami in njihovo uporabo v mobilnih napravah in strojih, predvsem kadar obiajni pogonski sistemi niso primerni za uporabo, na primer, e izdelujemo mobilne robote ali terapevtske proteze, kjer so prisotni gibi okrog lenka. Uporaba umetnih mišic zahteva skupno delo razlinih strokovnjakov, zato predlagamo gonilo z umetnimi mišicami, ki bi bilo grajeno kot enota z znanimi karakteristikami in pripravljena za montažo. V prispevku je narejen pregled podroja umetnih mišic, vrst, materialov in aplikacij, saj to je podroje, ki nudi veliko izzivov tudi strokovnjakom mehanike. Abstract. The contribution treats drives with artificial muscles and their use in mobile devices and machines, especially when application of current driving systems is not appropriate, for example, when we build a mobile robots or therapeutic prostheses, where are movements around a hinge in presence. Use of artificial muscles requires a lot of different experts to work together, therefore we propose a drive with artificial muscle to be build as a unit, with known characteristics and ready for assembling. In contribution is made an overview of field of artificial muscles, types, materials and applications, as this is an area which also offers a lot of challenges to the mechanics experts. 1 Uvod Prvi korak pri izbiri pravega gonila za pravi namen je, da konstruktor dobro spozna razline vrste gonil in prenosnikov, njihove lastnosti ter uporabo, v tem primeru bo konstruktor zelo hitro sprevidel, kakšno gonilo bo najbolj ustrezalo dani situaciji pogonskega in delovnega stroja. Osnovna naloga gonil je prenašati energijo oziroma signale, kar v bistvu pomeni, da je elementarna funkcija gonil pretvarjanje oziroma spreminjanje pomikov. Po tej definiciji je najpreprostejše gonilo lahko kar mehanizem ali gonilo z vzvodi []. Tehnološki in družbeni napredek pred nas vedno znova postavljata izzive, s katerimi se moramo sreati in jih sprejemati ter se hkrati z njimi razvijati, zato moramo razširiti 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo 3 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

215 pogled in zajeti vsa gonila in aktuatorje, tudi najnovejše, ki spreminjajo klasini pogled na gonila. Vedno ve je zahtev po izdelavi raznih mobilnih robotov, ki hodijo, teejo ali plezajo ter premagujejo zahtevne terene. Prav tako pa si že dolga leta strokovnjaki razlinih ved prizadevajo, da bi ljudem, ki so poškodovani ali imajo amputirane ude omogoili umetne ude ali vsaj rehabilitacije z napravami po sprejemljivih cenah. V teh napravah lahko sreamo razline zahtevne gibe z ve lenki, v vsakem pa mora biti za uinkovito delovanje svoj pogon. Druga zahteva pa je im nižja teža, ki bi zmanjšala vztrajnost in energetsko porabo. Takšne aplikacije je po dosedanjih raziskavah optimalno mogoe izdelati le s pogonom umetne mišice, ki premore dovolj visoko razmerje med mojo in težo. Umetne mišice posnemajo delovanje bioloških mišic in same po sebi niso uporabne, zato morajo biti pravilno dimenzionirane in vgrajene v mehanizem. Vkljuevanje umetnih mišic v stroje in naprave Kompleksnejše sisteme sestavljene iz razlinih gonilnih sklopov, na primer pogonske noge za mobilne robote je mogoe izdelati na osnovi bioloških modelov raznih živih bitij, ki najbolj ustrezajo namenu uporabe. Na sliki 1 so prikazani zaetni koraki, ki so potrebni za uspešno konstruiranje ustreznih gonil z umetnimi mišicami. To je poenostavitev modela in kasneje matematini zapis gibanja, v tem primeru gre za posnemanje gibanja palinjaka, ki je zelo uporabno za mobilne robote. Potrebno je poznati še delovanje umetnih mišic in jih znati vkljuiti v kinematini sistem, da pa je mehanizem resnino im lažji, ga moramo tudi trdnostno preraunati [6]. Slika 1: Gibanje noge palinjaka Poglejmo si torej primer gibanja okrog lenka, ki je najpogostejša oblika, ki jo je narava ustvarila za gibanje živih bitij in vkljuuje pretvorbo translacijskega v rotacijsko gibanje. Nemalokrat se v tovrstnih primerih pojavi pretvorba rotacijskega v translacijsko in šele nato ponovno v rotacijsko gibanje (slika b), v veini industrijskih aplikacij to niti ni problem in je ekonomsko najbolj upravieno. Pri mobilnih napravah, ki morajo biti lahke in energetsko varne ter hkrati dovolj mone pa ta rešitev nikakor ni ustrezna. Izdelovalci in konstruktorji strojev se že dolgo sreujejo z nalogo poganjanja roic v kombinaciji nadlaket in podlaket, pri emer navadno vedno znova prihajajo na konvencionalna gonila, kar je prikazano tudi na sliki. Vgradnja klasinih gonil zahteva precej prostora, vejo maso in slabše gibalno obnašanje (sunkovit zagon in tresoe zaustavljanje), gibi niso tako gladki kot pri bioloških mišicah. Obliko gibanja, ki posnema - 8 -

216 delovanje tricepsa in bicepsa, ki sestavljata antagonistini mišini par, je možno najti le v primeru solenoidnega pogona, na sliki d, kateri je v kombinaciji z natezno vzmetjo [5]. Slika : Tehnini nadomestek za mišice v sistemu nadlaket podlaket (1 nadlaket, - podlaket, 3 delovni cilinder, 4 elektromotor, 5 vreteno-matica, 6 - polž in polžnik, 7 solenoid, 8 natezna vzmet, 9 motor, 1 Harmonic gonilo, 11 pnevmatski rotacijski krilati motor) Poglejmo natanneje, kako deluje takšen mehanizem z biološkimi mišicami. Mišice morajo biti v parih, da lahko povzroajo in prenašajo natezno silo. Na sliki 3 je viden sistem nadlaket-podlaket pri loveku, kjer kot aktuator nastopajo loveške mišice, to sta biceps in triceps (agonist in antagonist, mišica in nasprotna mišica). Mišice, ki služijo za premikanje podlakti so namešene na obeh straneh nadlahtnice. Slika 3: Položaj mišic v loveški roki (1-biceps, -triceps, 3-nadlahtnica, 4-podlahtnica) - 9 -

217 Za delovanje mišic so potrebne kratke in mone kontrakcije. Zaradi dolžine roke omogoajo dolgi doseg podlakti, toda manj mone gibe. Uporabljeno je splošno pravilo vzvoda: glej enabo (1), kjer je K sila, k roica sile, L breme in l roica bremena. K k = L l (1) Za ljudi, ki razvijajo mobilne robote in se ukvarjajo predvsem z raznimi algoritmi za uinkovito krmiljenje robotov ali s samo funkcijo, ki jo bo robot opravljal, je odve vkljuevanje v razvoj samega mehanizma za pogon mobilnega robota, lahko bi kupili na primer standardno nogo in jo samo vgradili v njihov sistem. Tovrstne mehanizme lahko prištevamo h gonilom, z nadaljnjim povezovanjem pa pridemo do sistema z ve prostostnimi stopnjami. S standardnimi gonili, ki bi jih sestavljal sklop mišic in mehanizma, bi pokrili doloeno podroje uporabe in zagotovili hitrejši napredek pri razvoju celovitih sistemov. Biološke mišice so torej kratko taktni stroji, saj povzroajo veliko silo na majhni razdalji. V skladu z razlinimi zahtevami je narava ustvarila razline tipe mišic, prav tako so razviti razlini tipi umetnih mišic. 3 Vrste umetnih mišic Med»makroskopske«umetne mišice prištevamo: pnevmatske umetne mišice (PUM), spominske zlitine (SMA), elektroaktivne keramike (EAC) in elektroaktivne polimere (EAP). Za lažjo predstavo o delovanju in uporabi umetnih mišic bomo podali temeljne lastnosti materialov, ki so veinoma vzbujani z elektrinim tokom, kar jim daje aktuacijske lastnosti in omogoa posnemanje mišinega obnašanja. 3.1 Pnevmatske (fluidne) umetne mišice Pnevmatske mišice lahko razvrstimo glede na zasnovo in delovanje: pnevmatsko ali hidravlino delovanje, nadtlano ali podtlano delovanje, prepletene, mrežaste ali vstavljene membrane, raztegljive ali spremenljive membrane. Kljuna lastnost umetnih mišic te vrste je njihova napihljivost in deformabilnost. Zaradi potrebne fleksibilnosti in posledino omejene trdnosti materiala mora biti tlana razlika omejena. Loimo tri razrede pnevmatskih mišic: prepletene mišice, mrežaste mišice in vstavljene. Kot najpogosteje uporabljeno mišico si bomo podrobneje ogledali prepletene mišice oz. McKibbenovo mišico [1]. Prepletene mišice so sestavljene iz plinotesnih elastinih cevi ali mehurjev obkroženih s prepletenim ovojem. Opletna vlakna teejo spiralno okrog vzdolžne osi mišice pod kotom +θ in θ. Kadar je mišica pod tlakom, cev bono pritiska na ovoj. Stik med cevjo in ovojem je nujen za prenašanje sile, zato prepletena mišica ne more delovati podtlano

218 Splošno obnašanje teh mišic z ozirom na obliko, krenje in napetost med napihovanjem, je odvisno od geometrije notranjega elastinega dela, prepletenosti v stanju mirovanja (brez tlaka in obremenitve) in materiala. S spremembo kota med vlakni se spreminjata dolžina in premer mišice, s tem pa tudi volumen v skladu z enabo (), kjer je l s - dolžina vlakna v ovoju, n število ovojev posameznega vlakna, θ - kot med vlakni in vzdolžno osjo. V 3 ls = cosθ sin θ () 4πn McKibbenova mišica je cilindrina prepletena mišica in ima na obeh straneh notranjo cev in zunanji ovoj pritrjen na prikljuek, ki prenaša napetosti vlaken in hkrati služi tudi kot prikljuek za plin. Med materiali je najpogosteje uporabljen lateks in silikonska guma ter najlonska vlakna. Slika 4 prikazuje zgradbo in delovanje mišice. Slika 4: Zgradba in delovanje McKibbenove mišice Omenili smo že, da ta tip mišice lahko do danes najpogosteje sreamo, za kar je verjetno glavni razlog enostavna oblika in sestavljanje ter majhni stroški. Glavna slabost McKibbenove mišice sta pripadajoe suho trenje in mejni tlak. Zaradi uinka temperature, ki jo med obratovanjem mišice povzroa trenje, se tople mišice obnašajo drugae kot hladne [1]. 3. Spominske zlitine (SMA Shape memory alloys) Spominske zlitine so skupina kovinskih materialov, ki imajo sposobnost vraanja v predhodno definirano obliko ali velikost, e so izpostavljene ustreznemu terminemu procesu. Naravna fazna transformacija v kristalni strukturi je osnova za edinstvene lastnosti teh zlitin in sicer oblikovnega spomina in elastinosti. Ob uporabi elektrinega Joulovega gretja je kontrakcijski as SMA odvisen od dovedene elektrine moi. Ob obravnavi spominskih zlitin kot mišicam podobnih aktuatorjev, naletimo na številne ovire za njihovo ustreznost. SMA potrebujejo veliko asa za ohlajanje in vrnitev v svojo nižje temperaturno stanje, na ta nain omejuje as cikla ekspanzija-kontrakcija. Ugotovljeno je bilo, da se uinek spominske zlitine po nekaj sto do nekaj milijonov ciklov obutno zmanjša, odvisno od stopnje deformacije. Poleg tega imajo spominske zlitine nizko uinkovitost pri pretvarjanju elektrine energije v mehansko delo. Izkoristek je okrog 5% in vkljuuje

219 pretvorbo energije iz toplote, kar bi bilo verjetno za mišicam podobne aktuatorje neprimerno. Zaradi biokompatibilnosti nekaterih SMA, na primer NiTi, pa se vseeno njihova uporaba raziskuje in je obetajoa na podroju osteosinteze 4 [4]. 3.3 Elektroaktivna keramika (EAC) Piezoelektrinost je elektromehanski fenomen, pri katerem kristali proizvajajo napetost, e so izpostavljeni mehanskim obremenitvam. Ta lastnost je povezana s poravnavo atomov v kristalnih rešetkah, kar se odraža v polarizaciji mreže, ki posledino povezuje elektrino polje in deformacijo materiala. Polikristalinska keramika je primer elektroaktivne keramike. Uporaba visokega elektrinega polja pri povišani temperaturi je del polarizacijskega procesa za poravnavo mikroskopsko majhnih piezoelektrinih podroij znotraj materiala. Na ta nain se doseže polarizacija mreže v smeri polja, kar je osnova za aktuatorsko delovanje EAC. Dovedena napetost enake polaritete kot je polarizacijska povzroi raztegovanje, posledica dovajanja napetosti nasprotne polaritete je krenje. Prisotnost izmenine napetosti se kaže v ciklinem raztezanju in krenju elementa, skladno s frekvenco dovedene napetosti. To je aktuacijsko delovanje, kjer se elektrina energija pretvarja v mehansko energijo [4]. 3.4 Elektroaktivni polimeri (EAP) Elekroaktivni polimeri (EAP) so polimeri, ki se odzivajo na elektrino stimulacijo s precejšnjo spremembo velikosti ali oblike. Njihova najprivlanejša lastnost je sposobnost posnemanja delovanja bioloških mišic, odlikuje jih visoka lomna žilavost, velika aktuacijska stopnja in vibracijsko dušenje. EAP-ji imajo veliko potencialnih prednosti v primerjavi s tradicionalnimi pristopi oblikovanja umetnih mišic. Na splošno lahko EAP-ji povzroajo deformacije, ki so do dvakrat veje od mejnega krenja togih in lomljivih elektroaktivnih keramik (EAC). Prav tako so EAP-ji superiorni v primerjavi s spominskimi zlitinami (SMA), zaradi veje odzivne hitrosti, manjše gostote in veje razteznosti. Alternative, ki vkljuujejo pnevmatski pristop so dosegle nekaj uspehov, vendar so odvisne od kompresorja, katerega poganja elektromotor in dodatne opreme, ki jih naredi okorne. Primerjave med umetnimi mišicami (izvzete so pnevmatske) potrjujejo prednosti EAP-jev kot aktuatorske tehnologije na podroju razvoja umetnih mišic [8]. 4 Praktini primeri V zadnjih letih je vedno ve inženirjev, še posebej s podroja strojništva, zaposlenih na multidisciplinarnem podroju bioinženiringa. Inženirji strojništva v veini išejo tehnine rešitve medicinskih problemov, zaradi tradicionalnih znanj, kot so konstruiranje, dinamika, mehanika trdnin, krmiljenje, mehanika tekoin, prenos toplote, termodinamika, robotika in proizvodnja. Nekatera od glavnih podroij so umetna inteligenca, izdelava bioloških 4 Kostne plošice iz spominskih zlitin, posebej iz NiTi, so primerno nizko ohlajene pod transformacijsko temperaturo. Po vstavitvi v telo se plošica segreje na telesno temperaturo, zaradi esar se NiTi skri in tako vzdržuje napetost na zlomljeni kosti in pospeši zdravilni proces

220 mikrosenzorjev, proizvodnja kirurških instrumentov, športna medicina in raziskave športnih poškodb, kjer imajo posebno mesto umetne mišice. [7]. Na tem mestu se prepletajo znanja mehatronike, materialov, medicine in bionike, najsi gredo raziskave v smeri protetike, umetnih udov ali raznih mobilnih strojev in robotov, saj gre za kompleksne sisteme, ki posnemajo delovanje živih bitij. Pri prenosu delovanja bioloških mišic na tehnine sisteme, industrijske in medicinske naprave, pa bo potrebno še veliko dela na razlinih podrojih, tudi na podroju gonil, predvsem takih, ki so omejeni na kratke linearne gibe in gibe okrog lenkov. Za pravilno delovanje morajo biti izbrani odgovarjajoi (navadno lahki) materiali, sistem mora biti ustrezno trdnostno in kinematino dimenzioniran in krmiljen. Za lažjo predstavo navajamo nekaj primerov, kjer je možno uporabiti gonila z umetnimi mišicami. Te so zelo uporabne na podroju izdelovanja terapevtske opreme, kjer je potrebna im lažja prenosna naprava, kot je primer na sliki 5b, ki prikazuje terapevtsko napravo za gleženj, ki jo je mo uporabljati med hojo [3], [9]. Danes je že možno izdelati mobilnega robota, ki je zelo podoben loveku in je sposoben vzdrževanja ravnotežja oziroma samostojne hoje, ter izpolnjuje doloene ukaze. Je pa še zelo okrnjen glede funkcionalnosti in je še zelo dale od naravnega modela. Z umetnimi mišicami, ki bodo imbolj podobne loveškim mišicam pa se vendarle lahko približamo cilju. Na sliki 5a je prikazan model za posnemanje loveške hoje oziroma robot Lucy, na katerem so lepo vidne tudi pnevmatske umetne mišice. a) b) c) Slika 5: Uporaba PUM pri izdelavi humanoidnega robota Lucy (a), tereapevtske naprave za gleženj (b) in robota žuželke (c) Zanimiv primer uporabe umetnih mišic je v mobilnih robotih, ki so izdelani na osnovi posnemanja žuželk (slika 5c) in omogoajo gibanje po težko dostopnih terenih ali celo plezanje po navpinih površinah. Njihova zasnova omogoa tudi delovanje v primeru okvare kakšne noge, kar pri pogonu s kolesi skoraj ni mogoe. Podroja uporabe so lahko v prvi vrsti kot planetarno vozilo in robot za reševanje ljudi na težko dostopnih terenih [6]

221 5 Zakljuek Uporaba umetnih mišic se kaže kot zelo perspektivno podroje, predvsem zaradi glavne lastnosti mišic visokega razmerja med mojo in težo. Do sedaj so se umetne mišice izkazale za najbolj uporabne povsod tam, kjer mora biti doloena naprava mobilna. Za doloene namene bi bilo verjetno smiselno oblikovati gonila, ki bi za pogon uporabljala umetne mišice, saj bi se veliko stvari poenostavilo. Na primer, nekomu, ki bo konstruiral robota za reševanje ljudi na težavnem terenu se ne bo potrebno posebej ukvarjati z umetnimi mišicami, saj bo za gibanje lahko vzel gonilo ali pa nogo, ki bo ustrezala njegovi aplikaciji, sam pa se bo lahko posvetil tehninim rešitvam za osnovno funkcijo naprave - reševanje ljudi. Raziskovalce na podroju robotov, naprav in protetike, kjer umetne mišice predstavljajo najveji potencial za uporabo, vodi zaupanje v evolucijo in naelo, da narava ne dela napak, s posnemanjem bioloških stvaritev lahko stopi trenutno stanje tehnike na naslednjo stopnico, ki vodi do kompleksnih sistemov na ravni živih bitij. loveško telo je namre mnogo bolj okretno in prilagodljivo kot katerikoli stroj, ki ga je ustvaril lovek. V tem kontekstu tako ostaja še ogromno raziskovalnega prostora za strokovnjake z razlinih podroij, kjer posebej izstopa mehanika, saj takšni sistemi vkljuujejo kompleksne kinematine in trdnostne probleme z uporabo sodobnih materialov. Literatura [1] F. Daerden, Conception and Realization of Pleated Pneumatic Artificial Muscles and their Use as Compliant Actuation Elements, Vrije Universiteit Brussel, [] J. Flašker, S. Pehan, Prenosniki moi, Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo. Maribor, 5. [3] K. E. Gordona, G. S. Sawicki, D. P. Ferris, Mechanical performance of artificial pneumatic muscles to power an ankle foot orthosis, Journal of Biomechanics, 5. [4] A. O'Halloran,, F. O'Malley, Materials and Technologies for Artificial Muscle: A Review for the Mechatronic Muscle Project, Topics in Bio-Mechanical engineering, 1 st symposium on Biomechanical Engineering, Trinity Center for Bioengineering & National Centre for Biomedical Science, 4 [5] Hesse, The Fluidic Muscle in Application 15 practical examples using the Pneumatic Muscle, Festo AG, Esslingen, 3. [6] D. A. Kingsley, A Cockroach inspired robot with artificial muscle, Dissertation, Case Western Reserve University, Cleveland, 4. [7] G. Paula, The mechanics of anatomy, Mechanical Engineering Magazine Online, May 1998, URL: [3..6]. [8] P. E. Pounds, EAP and Artificial Muscle, Australian National University, Canbera,. [9] G. S. Sawicki, K. E. Gordon, D. P. Ferris, Powered Lower limb Orthoses: Applications in Motor Adaptation and Rehabilitation. 9 th International Conference on Rehabilitation Robotics, Chicago,

222 Slovensko društvo za mehaniko srečanje Kuhljevi dnevi 6 Potencialni tok okoli letala s 3D večobmočno metodo robnih elementov Matjaž Ramšak in Leopold Škerget 1 Potential flow around airplane using 3D multidomain boundary element method Povzetek. V prispevku predstavljamo učinkovito 3D večobmočno metodo robnih elementov za reševanje Laplacove enačbe. Robno integralsko enačbo diskretiziramo z mešanimi elementi. Natančnost in robustnost razvitega numeričnega algoritma je prikazana na primeru difuzije skalarja v kocki z različnimi tipi mrež. Učinkovitost demonstriramo na primeru potencialnega toka okoli kompleksne geometrije lovskega letala s 1, tetraedri na enem osebnem računalniku. Abstract. An efficient 3D multidomain Boundary Element Method for solving problems governed by the Laplace equation is presented. Integral boundary equations are discretised using mixed boundary elements. The accuracy and robustness of the developed numerical algorithm is presented on a scalar diffusion problem using simple cube geometry and various types of meshes. Efficiency is demonstrated with potential flow around complex geometry of a fighter airplane using tetrahedral mesh with over 1, subdomains on a personal computer. 1 Uvod Metoda robnih elementov (MRE) v 3D. Kljub očitni pomembnosti 3D aplikacij je večina razvoja MRE narejenega za D primere. Nove publikacije Grigoriev in Dargush (5), Gao (5) in Ong in Lim (5) so dale novi zagon 3D MRE. Avtorja 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo 1

223 Grigoriev in Dargush (5) rešujeta difuzivno - konvektivno prenosno enačbo za ekstremne vrednosti Pecletovega števila 1, z uporabo difuzivno - konvektivne osnovne rešitve. Njuna formulacija je konvencionalna eno območna. Kljub temu da je potrebno diskretizirati samo rob območja je njuno maksimalno število elementov približno 1,, pri čemer je glavna omejitev razpoložljiv spomin enega osebnega računalnika. Gao (5) se sooča z enakim problemom računalniškega spomina. V delu je simuliral laminarni tok tekočine v cevnem kolenu, ki ga je diskretiziral z relativno redko mrežo sestavljeno iz,88 heksaedri. Da zaključimo, spomin je vedno težava pri 3D MRE aplikacijah. V pričujočem članku smo z večobmočno MRE rešili problem z 1, heksaedri. Večobmočna MRE, znana tudi pod imeni tehnika podobmočij in dekompozicija območja, povzroči prazno in blokovno diagonalno sistemsko matriko. V D imamo mnogo člankov na to temo, npr. Škerget in Rek (1995), Ramšak in ostali (5). V 3D smo v odprti literaturi našli samo delo Gao in Davies (), kjer avtorja navajata, da je v 3D prvič uporabljeno več kot podobmočja. Pravzaprav sta uporabila 4 podobmočja z namenom modelirati različne snovske lastnosti materialov. Na stikih med podobmočij sta uporabila posebne nezvezne elemente razvrščene po tipu stika, kar je zelo težko uporabiti na kompleksnih geometrijah. Da povzamemo, v 3D nismo našli učinkovite večobmočne MRE, katere rezultat bi bila zelo prazna sistemska matrika, kot v pričujočem delu. Ključni metodi za dosego tega so mešani elementi in večobmočna metoda. Numerični algoritem mešanih elementov Potencialni tok opišemo s Laplaceovo enačbo skalarne veličine u in njenega odvoda q v normalni smeri na rob, nadalje na kratko fluks. Robna integralska enačba je klasična, Brebbia (1978) c(ξ)u(ξ) + u(s)q (ξ, S)dΓ q(s)u (ξ, S)dΓ =, (1) Γ Γ kjer je c(ξ) geometrijski koeficient v izvorni točki ξ, u (ξ, S) eliptična osnovna rešitev, q (ξ, S) njen odvod v smeri normale v referenčni točki S na robu območja rešitve Γ. Za rešitev potrebujemo znane robne pogoje in sicer znano vrednost potenciala u ali njegovega odvoda v smeri normale q po robu območja rešitve. Zaradi večobmočne MRE je potrebno območje rešitve diskretizirati z volumskimi elementi, ki so lahko tetraedri, piramide, prizme, heksaedri oziroma njihova poljubna kombinacija, slika 1.

224 Slika 1. Območje rešitve razdelimo na podobmočja: tetraedre, piramide, prizme in heksaedre oziroma njihova poljubna kombinacija. Robna integralska enačba (1) vsebuje samo robne integrale, zato omenjene volumske elemente diskretiziramo s trikotnimi in štirikotnimi ploskovnimi elementi, ki jih nadalje imenujemo kar elementi, slika. Slika. Mešani robni elementi: linearni trikotni in štirikotni elementi. Funkcijska vozlišča smo ozančili z in fluks vozlišča z. Integrale odvoda osnovne rešitve označimo s h in so vezana na u volzišča v vogalih elementov, medtem ko je integral osnovne rešitve g vezan na fluks q vozlišče, ki se nahaja v središču elementa, slika. {h} = {Φ 1 }q dγ e, g = Γ e Γ e Φ u dγ e. () Detalji o numerični integraciji so podani v Hayami in Brebbia (1987). Za vsak volumski element posebej zapišemo integralsko enačbo c(ξ)u(ξ) + Γ S {h} T {u} Γ S gq =, (3) kjer so izvorne točke ξ vsa funkcijska in fluks vozlišča v podobmočju. Z upoštevanjem robnih pogojev na robu območja in kompatibilnih ter ravnotežnih pogojev med podobmočji dobimo predimenzionirano sistemsko matriko podobno kot v Ramšak in ostali (5). Sicer smo to temo že večkrat opisali tudi na Kuhljevih 3

225 dnevih. Nastali sistem z več enačbami kot neznankami rešimo v smislu metode najmanjših kvadratov s hitrim iterativnim postopkom reševanja avtorjev Paige in Saunders (198). 3 Difuzija skalarja v kocki Kaj smo naredili? Rešujemo Laplaceovo enačbo s Diricletovimi robnimi pogoji na najenostavnejši geometriji kocke. Na ploskvi pri x = predpišemo vrednost skalarja u = 1. in pri x = 1 predpišemo u =.. Na vseh ostalih ploskvah predpišemo ničelni flux q =, ki fizikalno predstavlja simetrijski robni pogoj. Numerični primer fizikalno predstavlja enorazsežni prevod toplote v neskončni steni. Zakaj? Glavni namen pričujočega primera je verifikacija in test natančnosti razvite numeričnega algoritma. Nadalje želimo ugotoviti red konvergence z zgoščevanjem na različnih tipih mrež. Diskretizacija računskega območja je narejena z dvema tipoma mrež: heksaedri in tetraedri. V obeh primerih smo značilno dolžino volumskih elementov spreminjali od 1. pri najredkejši mreži do.5 pri najgostejši mreži s približnim razpolavljanjem. Število volumskih elementov se giba od 1 do 64, pri heksaedrih in od 6 do 768, pri tetraedrih. Slednja mreža je prevelika, da bi jo lahko izračunali na enem osebnem računalniku z 1 GB spomina. Računski parametri so izbrani tako, da minimiziramo vse možne izvore napak. Začenši pri integraciji osnovne rešitve na robnih elementih smo izbrali maksimalno število Gaussovih integracijskih točk (v tem primeru 48). Nadalje smo zaostrili konvergenčni kriterij T OL iterativnega postopka rešitve sistemske matrike na "nerazumnih"1e-1. Napako rezultatov smo izračunali kot povprečje vsote kvadratne norme napak v primerjavi z analitično rešitvijo. Rezultate nodalizacijske analize smo prikazali na sliki 3. Z dobljenimi rezultati RMS napak pod 1e-6 na heksaeder mrežah smo v celoti zadovoljni, saj računamo v enojni natančnosti. Glede na slednje dejstvo je diskusija o redu natančnosti špekulativne narave. Z tetraedra mrežami smo le deloma zadovoljni in sicer le za razmeroma redke mreže. Pri višjih gostotah mreže sumimo natančnost integracije osnovne rešitve kot poglavitni vzrok za nenatančnosti reda velikosti 1e-5, Brebbia (1978) in Hayami in Brebbia (1987). 4

226 RMS error.1 1e-5 1e-6 1e-7 Int u q enojna nat. RMS error.1 1e-5 1e-6 1e-7 Int u q enojna nat. 1e-8 1e-8 1e Ndof 1e Slika 3. Difuzija skalarja v kocki. RMS napaka s heksaedri (leva slika) in tetraedri (desna slika). Ndof Kakorkoli, iz rezultatov smemo izluščiti tri zaključke. Prvi zaključek pravi, da je napaka u in q vedno večja od napake integralov Int. To je popolnoma logično ob upoštevanja dejstva: slabi vhodni podatki - še slabši rezultati, kjer so vhodni podatki ravno integrali osnovne rešitve. V drugem zaključku ugotavljamo, da je napaka potenciala u vedno za en velikostni razred manjša od napake fluksa q. Slednje je indikator večje natančnosti h integralov kot g integralov. Dovolite, da bralca spomnimo, da sta potencial in fluks pri MRE rezultata implicitnega izračuna, za razliko od ostalih metod, kjer je fluks eksplicitni rezultat. Najbolj zaskrbljujoč je tretji zaključek, ki pravi, da se z višjo gostoto mreže napaka veča. Pri heksaedra mrežah slednje ni alarmantno, saj so napake manjše od enojne natančnosti. Pri tetraedrih so razmere bolj zapletene, saj pri najgostejši mreži napaka naraste do 1e 5. Kakor smo že omenili, trdimo, da je vzrok v nenatančnosti integralov osnovne rešitve, kar potrjuje tudi napaka integralov Int, desna slika 3. V MRE je splošno znano dejstvo, da se z manjšanjem elementov večajo napake integracije osnovne rešitve oblke (1/r) integranda, kjer so r razdalje znotraj elementa, Brebbia (1978) in Hayami in Brebbia (1987). Slednji trend se potrdi tudi na ne-ekvidistantni mreži, kjer se z večanjem faktorja zgoščenosti elementov le ti manjšajo in posledično tudi napaka na tem mestu, več v Ramšak in Škerget (6). Heksaedri proti tetraedrom primerjave so narejene v mnogih člankih za MKE in MKV, medtem ko za MRE le tega nismo našli. Naši rezultati so v skladu z rezultati ostalih avtorjev. Natančnost je v korist heksaedrom pri enakem številu prostostnih stopenj. Ostale splošno znane prednosti heksaedrov so v manjšem številu mrežnih vozlišč potrebnih za mreženje geometrije in boljših numeričnih lastnostih, ki se še posebej pokažejo pri prilagodljivih mrežah. Edina velika prednost tetraedrov je v mnogo enostavnejšem mreženju kompleksnih geometrij kot v naslednjem primeru. 5

227 4 Potencialni tok okoli letala Namen pričujočega primera je predvsem demonstrativne narave, čeprav je pogost pristop pri računanju aerodinamike letal kombinacija teorije potencialnega toka zunaj mejne plasti in rešitev mejne plasti v njej. Geometrija lovskega letala F117 se nahaja v javni knjižnici Princeton (6) v wrl formatu. Za avtomatsko mreženje smo uporabili ANSYS ICEM 1.. Najgostejšo mrežo sestavlja približno 98,5 tetraedrov s 18, vozlišči. Število površinskih robnih elementov je 394,. Skupno število izvornih točk pri integraciji je kar 788, kar je tudi število vrstic matrike integralov. Integracijski proces z 48 integracijskimi točkami potrebuje približno 34 min. Optimizirano število integracijskih točk 6 za singularne integrale in 16 za regularne integrale zmanjša potrebni čas le na 3 min. RMS napaka h integralov se v tem primeru poveča iz.46e 3 na.8e. Za rešitev sistemske matrike potrebujemo nadaljnjih 3 min in 7 MB računalniškega spomina. Rezultati potencialne funkcije po površini letala smo prikazali na sliki 4. Potek potencialnega polja v ravnini od vstopa do izstopa smo predstavili na sliki 5, izolinije vodoravne hitrosti na 6 in navpične hitrosti na 7. Tlačno polje izračunamo iz Bernoullijeve enačbe. Dobljen rezultat je praktično identičen sliki vodoravne hitrosti, saj je le ta smer glavnine toka in je mnogo večja od ostalih komponent hitrosti. Iz slik je lepo razviden padec hitrosti ob pilotski kabini. Z Y X Slika 4. Potencialna funkcija na površini lovskega letala F117. 6

228 Slika 5. Potencial v ravnini od vstopa do izstopa. Slika 6. Odvod potenciala v vodoravni smeri, ki predstavlja vodoravno hitrost. Slika 7. Odvod potenciala v navpični smeri, ki predstavlja navpično hitrost. 5 Zaključki in smernice za nadaljnje delo Natančnost razvitega numeričnega algoritma smo prikazali na primeru difuzije skalarja v kocki. Dobljeni rezultati so enakega velikostnega razreda kot računska natančnost enojne natančnosti v primeru heksaedrov in tetraedrov, slika 3. Napaka pri gostejših tetraedrih se veča, za kar sumimo nenatančnost integralov osnovne rešitve. Slednje smo potrdili tudi na primeru letala. 7

229 Učinkovitost smo demonstrirali na primeru potencialnega toka okoli lovskega letala F117. Mrežo s 1, tetraedri smo izračunali na. GHz osebnem računalniku v 6 minutah in 7 MB spomina. V prihodnosti želimo izboljšati integracijo osnovne rešitve in razširiti obstoječi algoritem tudi za rešitev Poissonove enačbe. Literatura Brebbia, C. A., The Boundary Element Method for Engineers. Pentech Press. Gao, X. W., 5. A promising boundary element formulation for three dimensional viscous flow. Int J Num Meth Fluids 47, Gao, X. W., Davies, T. G.,. 3d multi-region BEM with corners and edges. Int J Solids Structures 37, Grigoriev, M. M., Dargush, G. F., 5. A boundary element method for steady convective heat diffusion in three-dimensions. Comput. Method Appl. Mech. Engrg. 194, Hayami, K., Brebbia, C. A., A new coordinate transformation for singular and nearly singular integrals over general curved boundary elements. In: 9th Int. Conf. on BEM, Stuttgart. Springer Verlag, pp.. Ong, E. T., Lim, K. M., 5. Three-dimensional singular boundary element method for corner and edge singularities in potential problems. Eng Anal Bound Elem 9, Paige, C. C., Saunders, M. A., 198. LSQR: Sparse linear equations and leastsquares problems. ACM Transactions on Mathematical Software 8, Princeton, 6. Princeton shape retrieval and analysis group. Ramšak, M., Škerget, L., 6. 3D multidomain BEM for solving Laplace equation. V postopku objave v Eng Anal Bound Elem. Ramšak, M., Škerget, L., Hriberšek, M., Žunič, Z., 5. A multidomain boundary element method for unsteady laminar flow using stream function - vorticity equations. Eng Anal Bound Elem 9, Škerget, L., Rek, Z., Boundary-domain integral method using a velocityvorticity formulation. Eng Anal Bound Elem 15,

230 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Valčno stisnjena metoda robnih elementov za simulacijo velikih vrtincev Jure Ravnik, 1 Leopold Škerget in Matjaž Hriberšek Wavelet Compressed Boundary Element Method for Large Eddy Simulation Povzetek. V prispevku prikažemo uporabo valčnega stiskanja v metodi robnih elementov. Metodo uporabimo za simuliranje turbulentnega toka nestisljive tekočine s simulacijo velikih vrtincev. Z valčnim stiskanjem zmanjšamo količino pomnilnika, ki ga metoda zahteva in s tem omogočimo izvajanje simulacij na gostih mrežah. Abstract. The paper explains the use of wavelet compression with the boundary element method. The combined method is used to simulate turbulent flow of an incompressible fluid with the large eddy simulation. Using the wavelet transform we are able to decrease the required computer memory and thus enable simulations on dense meshes. 1 Uvod Simulacija turbulentnega toka je izrednega pomena v inženirstvu. Natančno modeliranje procesnih naprav omogoča hiter in uspešen razvoj novih strojev. Simulacije turbulentnega toka na podlagi Reynoldsovih povprečenih enačb (RANS) izvajamo v vsakdanji inženirski praksi. Vendar za določene pojave in primere, na primer simuliranje tokovno povzročenega hrupa, RANS simulacije ne zadostujejo. Potrebujemo časovno odvisna polja, ki vsebujejo tudi oscilirajoči del. Pri simulaciji velikih vrtincev (LES) simuliramo krajevno filtrirano tokovna polja. S filtrom odstranimo samo najmanjše strukture v toku, ki so odgovorne za disipacijo kinetične energije v toploto. Predpostavimo, da je vpliv teh struktur zgolj energijski, ter jih tako z empiričnim modelom modeliramo. Kljub temu, da najmanjših struktur ne simuliramo, je za opis vseh ostalih struktur potrebna zelo gosta mreža. Hkrati dinamika majhnih struktur zahteva tudi zelo kratek časovni korak. Zato je računska zahtevnost LES simulacije neprimerno večja od zahtevnosti 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

231 RANS simulacij. Uporaba LES v inženirstvu bo najverjetneje ostala omejena na primere, kjer jo res potrebujemo (Hanjalič [1]). Pri približevanju simulacije velikih vrtincev nasproti inženirski uporabnosti pomaga tako hiter razvoj strojne opreme kot tudi razvoj novih numeričnih algoritmov. Avtorji predlagamo uporabo hitrostno vrtinčnega zapisa simulacije velikih vrtincev in numerično shemo, ki temelji na metodi robnih elementov. Prednost hitrostno vrtinčnega zapisa pred hitrostno tlačnim vidimo v tem, da je v sistem z vrtinčnostjo vnesena višje redna aproksimacija hitrostnega polja, kar omogoča natančnejše rezultate. Z uporabo metode robnih elementov za izračun neznank na robu pa tudi zagotavljamo večjo natančnost. V prispevku je predstavljen prvi korak k simulaciji velikih vrtincev z metodo robnih elementov - simulacijo namreč izvajamo samo v dveh dimenzijah. Ker je turbulenten tok izključno prostorski, nam D simulacija, kot tudi mnogim drugim avtorjem, služi za testiranje novega algoritma in pridobivanje izkušenj, v manjši meri pa gre za simulacijo realnih procesov v naravi. Hitrostno vrtinčna formulacija simulacije velikih vrtincev Predpostavimo nestisljivo viskozno Newtonsko tekočino s konstantnimi snovskimi lastnostmi. Vzgon modeliramo v Boussinesqjevem približku. Hitrostno vrtinčna formulacija simulacije velikih vrtincev povezuje filtrirano hitrostno polje v, filtrirano vrtinčno polje ω in filtrirano temperaturno polje T v sistem parcialnih diferencialnih enačb. Enačba kinematike v + ω =. (1) je Poissonovega tipa in povezuje hitrostno in vrtinčno polje v celotnem območje in za vsak časovni trenutek. Prenosni enačbi za vrtinčnost in temperaturo ω t + ( v ) ω = ( ω ) v Ra PrRe T g + 1 Re ω + τ ω, () T t + ( v )T = 1 RePr T τ h. (3) sta difuzijsko advektivnega tipa. Zapisani sta v brezdimenzijski obliki. Problem definirajo Reynoldsovo Re, Prandtlovo Pr in Rayleighovo Ra število. Ob filtriranju advektivnih členov ne znamo zapisati filtra mešanih členov, zato v enačbi vpeljemo rezidualni vrtinčni vektor τ ω in rezidualni temperaturni vektor τ h. Opisujeta vpliv najmanjših struktur v toku, ki smo jih s filtrom iz toka odstranili. Modeliramo ju z vpeljavo podmrežne viskoznosti in difuzivnosti tako, da je njun vpliv na tok disipacijski: τ ω = ν sgs ω, τ h = α sgs T. (4) Podmrežno viskoznost modeliramo z nastavkom Mansourja (Mansour et al. []) ν sgs = (C ) ω ω. (5) Uporabljali bomo oster spektralni filter. Zanj v dveh dimenzijah velja = ( x y ) 1. V bližini sten bomo konstanto modela C dušili s Piomellijevo oziroma Van Driestovo dušilno funkcijo

232 Rezidualni temperaturni vektor τ h deluje kot gostota difuzijskega toplotnega toka, ki jo je mogoče aproksimirati z vpeljavo turbulentne toplotne difuzivnosti α sgs = ν sgs Pr t, kjer je Pr t empirično izbrano turbulentno Prandtlovo število. Navedena izpeljava s podrobno podanimi predpostavkami in omejitvami je prikazana v Ravnik et al. [3, 6, 7]. 3 Numerični algoritem Z uporabo metode robnih elementov za reševanje enačb Poissonovega ali difuzivno advektivnega tipa preoblikujemo vsako enačbo v integralsko obliko. Zaradi nepoznavanja ustrezne fundamentalne rešitve se ne moremo izogniti območnemu integralu. Obstoj območnega člena zahteva diskretizacijo območja in ne samo robu, s čimer izgubimo glavno prednost metode robnih elementov. Število elementov v območju je neprimerno večje od števila robnih elementov, zato je posledično tudi računska zahtevnost za obvladovanje območnega člena zelo velika. Raziskovalci neprestano poskušajo razviti numerično shemo, ki bi se tej slabosti izognila. Avtorji tega prispevka stavimo na uporabo stiskanja s pomočjo valčne transformacije v kombinaciji z metodo robnih elementov za reševanje Poissonove enačbe, difuzivno advektivni enačbi pa smo rešili z metodo končnih elementov, kot je predlagal Žunič [11]. Algoritem reševanja je sledeč: Rešimo enačbo kinematike (1) za vrednosti na robu območja. Navadno so neznane na robu vrtinčnosti, hitrosti pa podamo kot robni pogoj. Za izračun uporabimo valčno transformirano metodo robnih elementov. Uporabimo vrtinčnosti v notranjosti območja iz prejšnje iteracije nelinearne zanke. Ponovno rešimo enačbo kinematike (1). Tokrat z novimi vrednostmi na robu in vrtinčnostmi v notranjosti območja iz prejšnje iteracije nelinearne zanke izračunamo novo hitrostno polje v območju. V primeru majhnih mrež (laminarnih izračunov) uporabimo ekspliciten izračun z metodo robnih elementov, drugače uporabimo metodo končnih elementov. Na podlagi novega hitrostnega polja izračunamo novo temperaturno polje z reševanjem energijske enačbe (3). Uporabimo metodo končnih elementov. Na podlagi novega hitrostnega polja, temperaturnega polja in novih robnih vrtinčnosti izračunamo nove vrtinčnosti v območju z rešitvijo prenosne enačbe za vrtinčnost (). Uporabimo metodo končnih elementov. Preverimo konvergenco, in se odločimo o nadaljevanju nelinearne zanke ali pa končamo časovni korak. V algoritmu smo uporabili metodo robnih elementov za najbolj ključen del izračuna, za določitev robnih vrednosti. Vrtinčnost namreč nastaja na robovih in se nato z difuzijo in advekcijo prenese v tok. Ko imamo vrtinčnost na robu znano, dobimo vrtinčnost v notranjosti kot rešitev Dirichletovega problema za difuzivno advektivno enačbo, za kar je metoda končnih elementov dovolj primerna

233 Algoritem je natančno predstavljen v Ravnik et al. [3, 7] in Žunič [11]. V tem prispevku se bomo osredotočili le na en del algoritma, to je reševanje enačbe Poissonovega tipa za neznanko na robu z metodo robnih elementov, ki jo kombiniramo z metodo končnih elementov. 4 Valčno stisnjena metoda robnih elementov za enačbo kinematike Enačba kinematike (1) je Poissonova enačbo, ki povezuje hitrostno in vrtinčno polje. Rešujemo jo na območju Ω z robom Γ. Podani so Dirichletovi robni pogoji za hitrostno polje, neznane pa so vrtinčnosti na robu in hitrosti v notranjosti. Predpis ω v, kjer je v rešitev (1) s homogenimi robnimi pogoji je kompaktna preslikava iz L (Ω) v L (Ω), zato je njen inverz neomejen. To pomeni, da je določitev ω pri danem v nekorekten problem. Wu in Thompson [9] sta med preoblikovanjem enačbe kinematike v integralsko obliko s ponovnim upoštevanjem zakona o ohranitvi mase in solenoidnosti vrtinčnosti dosegla, da je rešitev za ω enolična. Podrobnosti izpeljave so podane tudi v Ravnik et al. [7], končna oblika integralske enačbe pa je Z Z c(ξ) v(ξ) + v( n )u dγ = v ( n Z )u dγ + ( ω u )dω. (6) Γ Γ Koeficient c( ξ) = α π, kjer je α notranji kot z vrhom v izvorni točki ξ. Polje u ( ξ, r) je fundamentalna rešitev Laplaceove enačbe z izvorom v točki ξ. V dveh dimenzijah je u ( ξ, r) = 1 π ln 1. ξ r Ko integralski zapis Poissonove enačbe uporabimo za enačbo kinematike, jo pred diskretizacijo preoblikujemo. Postopek je opisan v Škerget et al. [8], vendar za razlago delovanja metode ni bistven. Namreč, ko pri diskretizaciji rob območja razdelimo na elemente in funkcijo polja znotraj elementov aproksimiramo s pomočjo interpolacijskih funkcij, na koncu pridemo do enakega zaključka. Za vsako izvorno točko na robu moramo izračunati robne integrale po vseh elementih robu in območne integrale po vseh notranjih celicah. Ko izvorno točko postavimo v vsa vozlišča dobimo linearen sistem enačb za vsako vozlišče na robu. V matrični obliki ga shematično lahko zapišemo takole [D Γ ]{ω Γ } = ([C] + [H]){v t } + [H t ]{v n } [D Ω\Γ ]{ω Ω\Γ }. (7) Ker so vrtinčnosti na robu neznane, smo vrtinčno polje razdelili na dva dela. Robne vrednosti so v {ω Γ } in območne v {ω Ω\Γ }. Matrike integralov [D Γ ], [C] in [H] so kvadratne, polne in nesimetrične. Število vrstic in stolpcev je enako številu robnih vozlišč. Čeprav so te matrike polne, ne zahtevajo zelo veliko pomnilnika, saj je število robnih vozlišč za več redov velikosti manjše od števila območnih vozlišč. Na drugi strani je matrika [D Ω\Γ ] pravokotna in tudi polna in nesimetrična. Njeno število vrstic je prav tako enako številu robnih vozlišč, število stolpcev pa je enako številu območnih vozlišč. Shranjevanje te matrike zahteva izredno veliko pomnilnika. Za rešitev problema s pomnilnikom smo razvili valčno transformacijo za vektorje poljubnih dolžin (Ravnik et al. [4, 5]). S pomočjo valčne transformacije bomo izračunali samo produkt [D Ω\Γ ]{ω Ω\Γ }, saj ostale matrike zahtevajo za več redov velikosti manj pomnilnika. Integrali, ki jih izračunamo pri sestavljanju matrike [D Ω\Γ ], so integrali fundamentalne rešitve pomnoženi z interpolacijskimi funkcijami. Fundamentalna rešitev ima v izvorni točki logaritemsko singularnost. Odvisna je izključno od oblike računske mreže, zato je mogoče integrale izračunati Ω

234 pred začetkom nelinearne zanke. Pričakujemo, da bo matrika imela zelo velike vrednosti na diagonali in zelo majhne na ostalem delu. Ker so Haarovi valčki stopničaste funkcije, zelo dobro opišejo hitre spremembe v velikosti elementov v matriki. Naj bo W matrika valčne transformacije za vektorje poljubnih dolžin. Razlaga, kako jo sestavimo in kako transformacijo numerično izvedemo, je podana v Ravnik et al. [5]. Ker je produkt valčne matrike in njene transponiranke enak identiteti, velja [D Ω\Γ ]{ω Ω\Γ } = W T (W[D Ω\Γ ]W T W{ω Ω\Γ }). (8) }{{} [D Ω\Γ W ] Valčno stisnjeno matriko integralov [D Ω\Γ W ] = W[DΩ\Γ ]W T izračunamo samo enkrat, pred začetkom iterativnega postopka. Po absolutni vrednosti majhne elemente v matriki [D Ω\Γ W ] lahko zanemarimo, ne da bi izrazito poslabšali natančnost matrično vektorskega produkta v enačbi (8). Preostalo, sedaj izpraznjeno matriko integralov, zapišemo z metodo strnjenih vrstic in s tem prihranimo velikansko količino pomnilnika in omogočimo izvajanje simulacij na gostejših mrežah. Valčno stisnjen produkt matrike z vektorjem je potrebno izvesti med vsako iteracijo nelinearne zanke. V primerjavi z množenjem polne nestisnjene matrike z vektorjem valčni izračun zahteva, poleg množenja razpršene matrike z vektorjem, še dva dodatna produkta praznih matrik z vektorjema - valčno transformacijo vektorja vrtinčnosti W{ω Ω\Γ } in obratno valčno transformacijo zmnožka stisnjene matrike z valčno transformirano vrtinčnostjo W T ([D Ω\Γ W ]W{ωΩ\Γ }). Navkljub temu, da moramo izvesti tri množenja praznih matrik z vektorjem, je število potrebnih operacij še vedno veliko manjše, kot pri enem produktu polne matrike z vektorjem. Torej valčno stisnjen matrično vektorski produkt, poleg izrednega prihranka pomnilnika, prinese tudi rahlo skrajšanje računskega časa. Valčno transformacijo uporabljamo zaradi prihranka računalniškega pomnilnika. Zato je nujno, da je sam izračun matrike in njeno valčno stiskanje računamo na večjem številu procesorjev, od števila procesorjev na katerih izvajamo simulacijo. Pri programiranju paralelnega izračuna valčne transformacije in stiskanja smo uporabili standard MPI. Stiskali smo postopno in med stiskanjem preverjali padanje natančnosti produkta matrika krat naključni vektor. Zanemarjanje smo zaustavili pri relativni napaki produkta 1 5, kolikor je bila tudi natančnost solverja linearnega sistema enačb. Ugotovili smo, da večje matrike lahko stisnemo do večje mere. Pri mrežah s približno 1 5 vozlišč smo dosegli 93% stiskanje. 5 Primeri Numerično shemo smo preverili na primerih laminarnih tokov pri visokem Reynoldsovem številu (tok v gnani kotanji, tok preko stopnice). Po ugotoviti, da valčno stiskanje ne vpliva na rezultate smo jo uporabili za simulacijo toka preko plitve kotanje z ogrevanim dnom (Zdanski et al. [1]). Kotanja je široka 3cm, globoka h = 4cm, preko piha veter s temperaturo 3K. Kotanja je z robnimi pogoji skicirana na sliki 1. Simulacije smo izvajali pri Ra = 3 1 5, kar približno ustreza temperaturni razliki T = 5K. Izračune smo ponovili za tri vstopne hitrosti zraka v = m/s, 4m/s in 8m/s, kar ustreza Reynoldsovim številom Re = 5, Re = 1 4 in - 7 -

235 Re = 1 4. Uporabljali smo računske mreže z do 1 5 vozlišči. 1h y 3h h 1 v,t 3 T n = v x n =,v y =, T n = T 1 = T + T g konvektivni izstop T n = x h 8h Slika 1 : Geometrija in robni pogoji za tok preko plitve kotanje. Na vstopu 1 predpišemo enakomeren hitrostni profil s stalno temperaturo: v = (v,), T = T. Na trdnih stenah -6 je hitrost enaka nič. Na stenah in 6 predpišemo temperaturo T, steni 3 in 5 pa sta idealno izolirani T n =. Na spodnji steni 4 predpišemo konstantno temperaturo T 1 = T + T. Na izstopu uporabimo konvektivni izstopni robni pogoj. Na zgornjem robu predpostavimo razvit tok z T n = in v x n =, v y =. Na sliki prikazujemo temperaturna polja in toplotni tok skozi spodnjo steno. Povprečen toplotni tok, zapisan z Nusseltovim številom pa je za različne hitrosti vetra prikazan v tabeli 1. Delovanje podmrežnega modela je najbolj očitno pri najvišjem Reynoldsovem številu, saj je šele pri tako visoki hitrosti vetra tok resnično turbulenten. Brez uporabe podmrežnega modela napovemo previsok toplotni tok skozi spodnjo steno. Do podobne ugotovitve smo prišli tudi pri raziskovanju turbulentne naravne konvekcije (Ravnik et al [3, 7]). Tabela 1 : Časovno povprečje po dnu kotanje povprečenega Nusseltovega števila in iz njega izračunana gostota toplotnega toka. Podajamo primerjavo simulacije brez podmrežnega modela (C = ) in simulacije s podmrežnim modelom z Van Driestovim dušenjem ob trdnih stenah LES vd. C = LES vd Re Ra Nu Nu q [ W ] m Nu Nu q [ W ] m

236 3 5 Nu Nu Nu Nu Nu Nu Slika : Temperaturno polje in Nusseltovo število vzdolž spodnje stene za primer Re = 1 4, Ra = Podmrežni model z Van Driestovim dušenjem ob stenah. Med slikami je 5 časovnih korakov oziroma.45s

237 6 Zaključki Predstavili smo metodo izračuna matrično vektorskega produkta s pomočjo valčne transformacije. Uporabili smo jo v metodi robnih elementov in uspešno znižali potrebo metode po pomnilniku za en red velikosti. V prihodnosti bomo metodo zapisali paralelno, kar bo, seveda v odvisnosti od razpoložljivosti procesorjev, še nadalje zmanjšalo zahtevnost metode. Izračun matrično vektorskega produkta z valčnim stiskanjem je zapisan neodvisno od načina s katerim dobimo matriko in vektor. Tako je uporaben v katerikoli veji znanosti in tehnike, kjer želimo izračunati produkt zelo velike polne matrike z dolgim vektorjem. Literatura [1] K. Hanjalič. Will RANS survive LES? A view of perspectives. J. Fluids Eng-T ASME, 17: , 5. [] N. N. Mansour, J. H. Ferziger in W. C. Reynolds. Large-eddy simulation of a turbulent mixing layer. Report TF-11, Thermosciences Div., Dept. of Mech. Eng., Standford University., [3] J. Ravnik. Metoda robnih elementov za hitrostno vrtinčno formulacijo simulacije velikih vrtincev. Doktorska disertacija, Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, 6. [4] J. Ravnik, L. Škerget in M. Hriberšek. Diskretna valčna transformacija za metodo robnih elementov v mehaniki tekočin. In Kuhljevi dnevi 4, pages 9 36, 4. [5] J. Ravnik, L. Škerget in M. Hriberšek. The wavelet transform for BEM computational fluid dynamics. Eng. Anal. Bound. Elem., 8: , 4. [6] J. Ravnik, L. Škerget in M. Hriberšek. Nasproti hitrostno vrtinčni simulaciji velikih vrtincev z metodo robnih elementov. In Kuhljevi dnevi 5, pages 47 54, 5. [7] J. Ravnik, L. Škerget in M. Hriberšek. D velocity vorticity based LES for the solution of natural convection in a differentially heated enclosure by wavelet transform based BEM and FEM. Eng. Anal. Bound. Elem., 3: , 6. [8] L. Škerget, M. Hriberšek in Z. Žunič. Natural convection flows in complex cavities by BEM. Int. J. Num. Meth. Heat & Fluid Fl., 13:7 735, 3. [9] J. C. Wu in J. F. Thompson. Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier- Stokes equations using an integro-differential formulation. Compt. Fluids, 1:197 15, [1] P. S. B. Zdanski, M. A. Ortega in N. G. C. R. Fico Jr. Heat transfer studies in the flow over shallow cavities. J. Heat Transf., 17:699 71, 5. [11] Z. Žunič. Mešana metoda robnih in končnih elementov za reševanje hitrostno vrtinčne formulacije Navier-Stokesovih enačb. Doktorska disertacija, Univerza v Mariboru,

238 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 O plastičnem zmanjševanju volumna končnih elementov pri ciklični obremenitvi in velikih plastičnih deformacijah T. Rojc 1 On plastic volume degradation of finite elements exposed to cyclic loading at large plastical strains Povzetek. Obravnavan je fenomen zmanjševanja volumna končnih elementov pri reševanju elastoplastičnih problemov v področju velikih deformacij. Fenomen je obravnavan ob upoštevanju von Misesove funkcije tečenja in v okviru numeričnih algoritmov, ki so zasnovani na hiperelastični zvezi med napetostmi in deformacijami in multiplikativni dekompoziciji totalnega deformacijskega gradienta, F = F e F p. Abstract. Within the solution of elastoplastic problems at large strains the phenomenon of plastic volume degradation of finite elements is discussed. The phenomenon is examined on using the von Mises yield condition and in the context of computational algorithms, which are based on the hyperelastic stress-strain relation and the multiplicative decomposition of the total deformation gradient, F = F e F p. 1 Uvod V prispevku preverjam trditve, ki jih s svojimi besedami povzemam iz diskusije na Seminarju mehanike v zvezi z reševanjem elastoplastičnih problemov v področju velikih deformacij: -mnogi numerični algoritmi ne zagotavljajo pričakovanega odziva volumenskih sprememb, -pri cikličnem obremenjevanju končnih elementov v izmeničnem nateg-tlak območju taki algoritmi izkazujejo neutemeljeno plastično zmanjševanje njihovega volumna. Te splošne trditve preverjamo na plastično nestisljivih materialnih modelih, ki jih običajno uporabljamo za numerične simulacije kovinskih materialov, seveda, če pri tem zanemarimo vpliv njihove poroznosti. Torej, tu se bomo omejili samo na modele s von Mises-ovo funkcijo tečenja, ki v asociativnem pravilu tečenja zagotavljala nestisljivost plastičnih deformacij (t.j. volumen materialnih delcev se plastično ne spreminja). Tovrstni modeli so namreč za preverjanje zgornjih trditev najprimernejši. 1 LNMS, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

239 Glede na dejstvo, da so bile omenjene trditve ovržene na numeričnem algoritmu, objavljenem v [4], ki je zasnovan na aditivni elastoplastični teoriji, se bomo tu omejili samo na preiskavo algoritmov, zasnovanih na lokalni elastoplastični teoriji, ki temelji na hiperelastični zvezi med napetostmi in deformacijami in multiplikativni dekompoziciji totalnega deformacijskega gradienta na elastični in plastični del, F = F e F p. Preizkus algoritma iz [4] je namreč pokazal pravilno obravnavo volumenske spremembe končnih elementov tudi pri ciklični obremenitvi. V naslednjih razdelkih so predstavljene osnovne konstitutivne enačbe splošnega elastoplastičnega izotropnega modela zasnovanega na klasični Mises-ovi ali t.i. J teoriji tečenja in multiplikativnem pristopu, [5], opisana so izhodišča štirih različnih algoritmov za numerično reševanje omenjenih enačb v okviru celovitega inkrementalnega postopka in prostorske diskretizacije spremenljivk po metodi končnih elementov, in podani so rezultati preizkusov teh algoritmov glede na izpolnjevanje pogoja o nični plastični volumenski deformaciji oziroma njihovi občutljivosti na fizikalno neutemeljene volumenske spremembe, opisane v zgornjih trditvah. Algoritmi so bili preizkušeni s pomočjo komercialnega programskega sistema ABAQUS/Standard, [1], v katerega so bili preko uporabniškega podprograma UMAT vstavljeni zgoraj omenjeni algoritmi. V tem prispevku predstavljeni rezultati preizkusov algoritmov so povzeti po članku [3], kjer so poleg obširnejše predstavitve multiplikativne teorije hiperelasto-plastičnih materialnih modelov podrobneje analizirani tudi numerični algoritmi in sicer iz vidika izpolnjevanja pogoja o nični plastični volumenski deformaciji, ki je vsebovan v enačbi pravila tečenja. Splošni hiperelasto-plastični multiplikativni izotropni materialni model Konstitutivne enačbe predmetnega materialnega modela so v literaturi predstavljene v različnih oblikah, kar zavisi od izbire osnovnih spremenljivk, ki jih ponuja multiplikativna dekompozicija totalnega deformacijskega gradienta F = F e F p. Tu jih povzemamo po [5] (izpeljavo glej npr. [3], ali v [5] citirani literaturi). Elastični del odziva je definiran s hiperelastično zvezo med Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem τ in levim Cauchy-Green-ovim tenzorjem elastičnega dela deformacij b e, ki jo zaradi izotropije lahko zapišemo takole τ = W b ) b = b W ( b ), (1) b e ( e e e b e kjer je W(b e ) elastična deformacijska energijska funkcija. Evolucijo plastičnega dela deformacije določajo enačba pravila tečenja () in Kuhn-Tucker-jevi pogoji lokalnega obremenjevanja in razbremenjevanja (3) e F t [C 1 p ] F T = γ& τ f (τ, Y) b e, () γ&, f (τ, Y), γ& f (τ, Y) =. (3) Zgoraj je f (τ, Y) funkcija tečenja, γ& je t.i. plastični množitelj na enoto časa t (ali obtežnega parametra), Y je materialna karakteristika plastičnega utrjevanja, spremenljivka be pa je definirana z b e = F e F e T = F C p 1 F T, (4) kjer je C p desni Cauchy-Green-ov tenzor plastičnega dela deformacij. V primeru von Misesove funkcije tečenja - 3 -

240 dobi pravilo tečenja () naslednjo obliko [3] f(τ, Y) = 3 dev[τ] Y(e p ), (5) F t (C 1 p ) F T = e& p 6 n b e, kjer je n = 3 τ f = dev[τ]/ dev[τ ] (6) deviatorska količina in e p = γ je ekvivalentna plastična deformacija. Funkcija Y(e p ) predstavlja t.i. krivuljo tečenja enosnega preizkusa. Pravilo (6) s von Miseseovo funkcijo tečenja implicira nestisljivost plastičnega dela deformacij, kar lahko izrazimo z det[ t (C p )] =, ali det[c p ] = 1. (7) Torej lastnost količine C p je, da se njena determinanta s časom (ali obtežnim parametrom) t ne spreminja (več o tem glej [3]). 3 Opis testiranih numeričnih algoritmov Temeljno fizikalno dejstvo je, da so elastične deformacije realnih materialov majhnega velikostnega reda. To dejstvo je v literaturi na različne načine upoštevano tudi pri formiranju algoritmov za numerično reševanje konstitutivnih enačb (1) do (3) (oziroma (1), (3) in (6)) v okviru celovitega inkrementalnega postopka. V tem razdelku predstavljamo izhodišča štirih algoritmov, objavljenih v literaturi, ki smo jih testirali glede na izpolnjevanje pogoja o nični plastični volumenski deformaciji. 1. algoritem povzet po viru [5] ali po literaturi, citirani v [5]. Ta algoritem temelji na aproksimiranem pravilu tečenja in elastični deformacijski funkciji, ki je razdvojena na čisti volumenski in čisti deviatorski (preoblikovalni) del. Torej F t (C 1 p ) F T = e& p 3 tr[b e ] n, kjer je n = 3 τ f = dev[τ]/ dev[τ ], (8) W(b e ) = U(J e ) + ½ µ (tr[ b e ] 3), kjer je b e = J ⅔ e b e. (9) volumensko nevtralizirana spremenljivka z lastnostjo det[ b e ] = 1. Aproksimirano pravilo tečenja (8) sledi iz enačbe (6), če v slednji enačbi zanemarimo člen z Y µ, ki je v primeru kovinskih materialov reda velikosti 1 3 do 1 4, (glej [3]). Pri tem je µ strižni modul. Skladno z Eulerjevo implicitno diferencialno shemo dobimo iz (8) in (7) 1 diskretizirano obliko enačbe pravila tečenja in dodatno vezno enačbo, ki skupaj predstavljata osnovo za oblikovanje celotnega algoritma v tipičnem časovnem inkrementu [t n, t n+1 ] F T n + 1 ( C p n+ 1 C p n ) F n+ 1 = ( pn+ 1 epn ) 3 tr[ be n+ 1] nn+ 1 1 p n 1 e, det[ C + ] = det[ C ]. (1) Zgoraj označuje indeks n količine na začetku, n+1 pa na koncu inkrementa. Posebnost tega algoritma je razdvojena oblika deformacijske funkcije (9), ki jo moremo zaradi predpostavljenih majhnih elastičnih deformacij obravnavati tudi kot algoritemsko aproksimacijo splošnejše elastične deformacijske funkcije W(b e ). S pomočjo uporabe volumensko nevtralizirane spremenljivke b e, (9), lahko iz niza enačb (1) izločimo pogoj (1), (glej [3]), in dobimo obliko diskretiziranega pravila tečenja, iz katere lahko izpeljemo algoritem iz [5].. algoritem povzet po [6], imenovan tudi eksponentni algoritem. Izhodišče tega algoritma je eksponentna aproksimacija izvornega pravila tečenja, ki je v primeru von Mises-ove 1 p n

241 teorije predstavljeno z en. (6). V materialnem opisu ima eksponetna aproksimacija omenjenega pravila naslednjo obliko (glej [6] ali [3]) kjer sta C C 1 1 p n+ 1 exp[ 6 ( pn+ 1 epn ) Cn+ 1 N n + 1 ] 1 p n+ 1 1 p n T = e C, N = F n F, (11) n + 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 in Nn+1 algoritemski aproksimaciji iskane rešitve za C p in N. Po ustreznem preoblikovanju en. (11) dobimo tudi prostorsko obliko E e n+ 1 = exp [ 6 pnn+ 1] ben+ 1 E T b e, kjer je b = f b f, (1) e n+ 1 n+ 1 e n n+ 1 t.i. elastični poiskusni tenzor iskane spremenljivke b e n+1. Zgornje diskretizirano pravilo tečenja predstavlja skupaj z ostalimi konstitutivnimi enačbami, (1), (3), (4) in (5) osnovo za oblikovanje t.i. eksponentnega algoritma, ki ga je Simo zasnoval v sistemu lastnih smeri, ki so zaradi izotropije skupne elastičnemu deformacijskemu tenzorju b e in Kirchhoffovemu napetostnemu tenzorju τ. Temu ustrezno lahko preoblikujemo tudi splošno elastično deformacijsko funkcijo, npr. kjer je 1 e e e 1 e ) λ (ln J e ) + µ [( ε1 ) + ( ε ) + ( ε3 ) ] = κ (ln J e ) W ( b = + µ ε ε (13) ε e e 1 e e 3 e 1 e e e = { ε, ε, ε } = {ln λ, ln λ, ln λ }, ε = J ε, (14) vektor glavnih elastičnih logaritemskih deformacij tenzorja V e, ki sledi iz (4) ob upoštevanju leve polarne dekompozicije faktorja F e, t.j. F e = V e R e, torej b e = F e F e T = V e V e. Zanimivost tega algoritma je, da v primeru von Mises-ove funkcije tečenja ohranja stacionarnost plastičnega dela volumna, t.j. avtomatično izpolnjuje tudi en. (7) (glej [6] ali [3]). 3. algoritem programskega sistema ABAQUS/Standard, [1]. Upoštevan je algoritem, ki ga uporablja program ABAQUS/Standard za reševanje elastoplastičnih problemov kovinskih materialov v področju velikih deformacij. Osnovna predpostavka tega algoritma so majhne elastične deformacije in klasična zveza med napetostmi in deformacijami, ki je poznana že iz infinitezimalne elastoplastične teorije. Torej, kljub temu, da je ta algoritem zasnovan na multiplikativnem pristopu, ga ni mogoče uporabiti za primere, pri katerih lahko pričakujemo zmerne elastične deformacije in pri katerih je elastični odziv definiran tudi v hiperelastični obliki (glej npr. en.(1)). Skladno s to predpostavko uporablja ta algoritem približen izraz za elastično volumensko deformacijo. Namesto točnega izraza, ε ev = det[f e ] 1= (det[b e ]) ½ 1, uporablja približek ε ev = tr[ε e ], kjer je ε e = ½(b e 1) t.i. specifična elastična deformacija. 4. algoritem povzet po viru []. Ta vir je zanimiv predvsem zato, ker je mogoče iz njega razbrati algoritem enak 1. algoritmu s to razliko, da je namesto razdvojene elastične deformacijske funkcije (9) v njem uporabljena nerazdvojena deformacijska funkcija naslednje oblike λ 1 W ( b e ) = ( J e 1) + µ ( ( tr[ be ] 3) lnj e ), kjer je J e = det[ be ], (15) Zato lahko sklepamo, da je algoritem, ki smo ga rekostruirali po viru [], drugačen od tistega iz [5] (t.j. 1. algoritma, katerega osnovne značilnosti smo opisali že zgoraj). Če bi avtor v [] upošteval razdvojeno deformacijsko funkcijo, v kateri nastopa volumensko nevtralizirana spremenljivka b, bi bil ta algoritem seveda enak prvemu, [5]. Ker pa je v [] izpuščena e e e e e

242 uporaba dodatne vezne enačbe, ki sledi iz (7), lahko sklenemo, da gre v tem primeru za neustrezen algoritem, s čimer se strinja tudi avtor omenjenega vira []. Pri tem je zanimivo, da je pri tem algoritmu matrika diskretnih elastoplastičnih modulov nesimetrična, medtem ko je pri prvem in drugem algoritmu, podanem v [5] oziroma [6], simetrična. 4 Preizkus algoritmov na numeričnem modelu Kot je bilo omenjeno že v uvodu, je bil preizkus algoritmov, opisanih v prejšnjem razdelku, izvršen s pomočjo komercialnega programa ABAQUS/Standard. Preizkus je bil izvršen na modelu elasto-idealno-plastičnega kvadra z lastnostmi: elastični modul E=1, Poissonov količnik ν =.3, meja plastičnosti Y = 1, in dimenzijami a a h=1 1. Kvader je podprt in obremenjen tako, da je bilo v njem doseženo homogeno enoosno napetostno stanje z edino nenično komponento vzporedno daljši stranici. Zato je bil kvader modeliran samo z enim 8 vozliščnim tridimenzionalnim končnim.8, ,996 v(t ) 1,99 SIMO [5] Dt=.5 SIMO [6] Dt=.5 SIMO [5] Dt=.5 ABAQUS Dt=.5 po lit. [] Dt=.1 po lit. [] Dt=.5 1,988 1,984 1, t 6 Slika 1: Časovni diagrami deformiranega volumna preizkusnega kvadra

243 elementom. Izbran je bil element tipe C3D8 po [1]. Kvader je bil v smeri daljše stranice izpostavljen cikličnemu raztegovanju in tlačenju do največje deformacije ε h = ± 5 %. Začetna višina kvadra h = je bila spreminjana med mejnima vrednostima h max = 3 in h min = 1 z enakimi koraki deformacije ε h =.5 %,.5 %, 5 %, 1 % in 5 %, kar ustreza naslednjim obtežnim-časovnim korakom t =.1,.5,.1,. in.5. En obremenitveni cikel (h =,..., 3,...,,..., 1,..., ) je bil dosežen v štirih časovnih-obtežnih enotah, kvader pa je bil izpostavljen 8 ciklom. Osnovni namen tega preiskusa je bil opazovati časovno spreminjanje volumna kvadra. Mejne vrednosti volumna lahko zaradi majhnih elastičnih deformacij ocenimo s pomočjo naslednje formule ε v = (v V) / V = p / κ, κ = E / [3(1 ν)], (16) kjer je κ kompresijski modul, ε v volumenska deformacija, v je deformirani volume, V= je nedeformirani volumen kvadra in p je hidrostatična komponenta Cauchy-jevega napetostnega tenzorja, ki v našem primeru doseže največjo oziroma najmanjšo vrednost p = ± ⅓ Y = ± Za podane podatke dobimo v max =.8 in v min = Rezultati preizkusov algoritmov na zgoraj opisanem računskem modelu so prikazani v diagramih na sliki 1. Tam so prikazani rezultati časovnega spreminjanja volumna kvadra samo za 1,5 cikla, kajti za prve tri algoritme, t.j. po literaturi [5], [6] in Abaqus-ov algoritem, se stanje pri vseh nadaljnih ciklih ponavlja. Pri vseh naštetih algoritmih se je volumen kvadra spreminjal v pričakovanih mejah v max in v min, ki smo ju določili v prejšnjem odstavku. Pri prvih dveh algoritmih nismo opazili nobene pomembnejše razlike med krivuljami v(t), ki so bile izračunane pri različnih velikostih časovnih-obtežnih korakov. Pri nobenem od teh algoritmov nismo zasledili fenomena zmanjševanja volumna končnega elementa.. Edini, ki je podvržen temu fenomenu, je algoritem, ki smo ga rekonstruirali po viru []. Kot je razvidno iz diagramov na sliki 1, se pri tem algoritmu volumen končnega elementa-kvadra plastično zmanjšuje ne glede na predznak hidrostatične napetosti. Iz diagramov lahko tudi opazimo, da se hitrost manjšanja volumna pri tem algoritmu povečuje z velikostjo obtežnega-časovnega koraka. Na primer pri koraku t =.5 ( ε h =.5 %) se je po 8 ciklih volumen kvadra zmanjšal na v(t=11) =.1157 (pravilno bi bilo v(t=11) = V = ), pri koraku t =. ( ε h = 1 %) pa na v(t=11) = Sklep V prispevku smo pokazali, da ne držijo trditve, ki so zapisane v uvodnem razdelku. Če so algoritmi zasnovani pravilno, t.j. da temeljijo na konzistentni diskretizaciji zveznih konstitutivnih enačb, do pojava fizikalno neutemeljenega zmanjševanja volumna končnih elementov pri ciklični obtežbi ne more priti. V tej zvezi je potrebno povdariti, da so bili v tem prispevku algoritmi preverjani samo na t.i. linearnih tridimenzionalnih končnih elementih. Vendar tudi testiranja, ki so bila izvršena s programom ABAQUS in programom, zasnovanim po [4], na končnih dvodimenzionalnih elementih višjega reda, fenomena zmanjševanja končnih elementov nismo zasledili. Pri teh testiranjih smo pri večjih obtežnih korakih lahko ugotovili samo nepričakovano prekinitev iteracijskega postopka, ki je bila običajno posledica predvsem numerično zaokrožitvenih napak

244 V prispevku smo zaradi ilustracije fenomena zmanjševanja volumna predstavili tudi primer neustreznega algoritma, ki smo ga razvili na osnovi v [] predstavljenih diskretiziranih konstitutivnih enačb in sicer za primer v tem viru podane nerazdvojene elastične deformacijske funkcije (glej en. (15)). Zakaj je uporaba take oblike funkcije v kombinaciji z diskretiziranim pravilom tečenja, izraženim z volumensko nevtralizirano količino b e, oziroma z obliko diskretiziranega pravila (1) 1 in brez upoštevanja dodatne vezne enačbe (1) (ali tudi (7) 1 ), napačna, pa je podrobneje obrazloženo v [3]. Literatura [1] ABAQUS, Inc., ABAQUS/Standard, Version 6.5, ABAQUS, Inc. J., USA, 4. [] J. Korelc, Multi-language and multi-environment generation of nonlinear finite element codes, Engineering with Computers, 18, 31-37,. [3] T. Rojc, O multiplikativni teoriji hiperelasto-plastičnih modelov v območju velikih deformacij in objektivnosti algoritmov za njihovo numerično reševanje, poslano v objavo, 6, Strojniški vestnik. [4] T. Rojc, A numerical method for the solution of the large strain elastoplastic problems, Internat. Conf. Design to Manufacture in Modern Industry DMMI'93, Bled, Slovenija, 7-9 Junij (Ed. Jezernik A.), , [5] J.C. Simo, F. Armero, Geometrically nonlinear enhanced mixed methods and the method of incompatible modes, Int. J. Numer. Methods. Engrg. 33 (7), , 199. [6] J.C. Simo, Algorithms for static and dynamic multiplicative plasticity that preserve the classical return mapping schemes of the infinitesimal theory, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 69, 61-11,

245 - 38 -

246 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Povezan prehod toplote in vlage v lesenih nosilcih pri požaru S. Schnabl 1 in G. Turk Coupled heat and moisture transfer in timber beams exposed to fire Povzetek. V članku je predstavljeno modeliranje obnašanja lesenih nosilcev obremenjenih s požarom z ene ali več strani. V ta namen je bil razvit računalniški program za napoved dvodimenzionalnega prehoda toplote in vlage v lesenih nosilcih izpostavljenih požaru. Matematični model povezanega prehoda toplote in vlage predstavljata parcialni diferencialni enačbi s pripadajočimi robnimi pogoji. Model vključuje tudi oglenenje lesenih nosilcev, in sicer kot funkcijo njihove temperature, vlažnosti, gostote, itd. Zaradi nelinearnosti osnovnih enačb smo rešitev dobili z numerično metodo končnih diferenc. Dobljene rezultate primerjamo z analitičnimi in eksperimentalnimi rešitvami, predstavljenimi v literaturi. Abstract. This paper describes the modelling of timber beams behaviour when one or more faces are exposed to fire. A computer program for the prediction of two dimensional temperature and water content distribution in timber beams exposed to fire has been developed. The model consists of differential equations for coupled heat and moisture transfer with the corresponding boundary conditions. Furthermore, the model also predicts the char formation in the wood beam as a function of its temperature, moisture, density, etc. Owing to non-linear system of governing equations, the solution is obtained by numerical procedures such as finite difference method. The results obtained by numerical model are compared to the analytical solutions and experimental results published in the literature. 1 Uvod Človek uporablja les kot konstrukcijski material vse od njegovih prazgodovinskih začetkov. Dandanes se les kot konstrukcijski material uporablja v različnih industrijskih panogah. Zaradi njegovih izrednih lastnosti ga veliko uporabljajo arhitekti in oblikovalci sodobnih stavb. Sposobnost napovedati obnašanje lesa, ko je izpostavljen požaru, postaja s stališča požarne varnosti konstrukcij vse pomembnejša. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo

247 Namen pričujočega članka je študij in razumevanje oglenenja lesa z uporabo predstavljenega modela in primerjava rezultatov le tega z rezultati enodimenzionalnih modelov oglenenja in eksperimentalnimi rezultati, predstavljenimi v literaturi. Pri numerični analizi mehanskega obnašanja lesenih nosilcev v primeru požara predstavljajo deformacije zaradi krčenja in nabrekanja, spremembe temperature, viskoznega lezenja in mehanosorptivnih vplivov zelo pomembno vlogo. Razvoj vseh omenjenih deformacij je tesno povezan z dejanskim stanjem temperature in vlažnosti v lesenih nosilcih. Posledično predstavlja prostorska in časovna določitev temperature in vlažnosti po elementu skladno z robnimi pogoji okolja prvo zelo pomembno fazo v analizi lesenih nosilcev pri požaru. Les je gorljiv material. Izpostavljen požaru je podvržen toplotni degradaciji oziroma tako imenovani pirolizi. Piroliza je kompleksen pojav. Predstavlja medsebojno ali vzajemno delovanje raznih kemijskih procesov s procesom prehoda toplote in vlage. Posledica toplotne degradacije lesa je, da le ta razpade na oglje in različne pline (ogljikov dioksid, ogljikov hidrat). Posledično se spremenijo lastnosti lesa, npr. gostota, toplotna prehodnost itd. Piroliza ali toplotna degradacija lesa se prične, ko temperature lesa doseže neko mejno vrednost odvisno od vrste lesa, a je običajno okoli 3 C. Pomembnost in zahtevnost toplotne degradacije lesa je tudi vzrok velikemu številu člankov na temo toplotne degradacije in oglenenja lesa kot poroznega materiala, a natančen pregled literature ni namen pričujočega dela. Kljub temu, da eksperimentalna opažanja potrjujejo vzajemno delovanje gradientov temperature in vlage v lesu, je le to le redko upoštevano v analizi obnašanja oglenenja lesa med požarom. V članku je predstavljen časovno spremenljiv povezan prehod toplote in vlage v lesenih nosilcih izpostavljenih standardnim pogojem požara. Osnovne enačbe povezanega prehoda toplote in vlage v poroznih materialih, kot je les, je predstavil Luikov [1]. Predpostavka o homogenosti temperature in vsebnosti vlage vzdolž nosilca nam omogoča, da upoštevamo le dvodimenzionalne Luikove enačbe prečnega prereza lesenega nosilca. Pravokotnost prereza nam omogoča, da uporabimo metodo končnih diferenc z ekvidistantno mrežo diferenčnih točk po prerezu obravnavanega lesenega nosilca. Interpolacija po prostoru je izvedena s simetričnimi formulami osnovanimi na kvadratnih oblikovnih funkcijah, medtem ko so za časovno intrpolacijo izbrane linearne oblikovne funkcije. Osnovne enačbe Povezan prehod toplote in vlage opisujeta dve nelinearni parcialni diferencialni enačbi drugega reda [1]. Prva enačba opisuje prehod toplote in upošteva pretežno gradient temperature. Poleg gradienta temperature upošteva še vplive gradienta vlage na spremembo temperature. Druga enačba opisuje prehod vlage in upošteva predvsem gradient vlage, a poleg tega upošteva tudi vpliv gradienta temperature na prehod vlage. Upoštevana je tudi anizotropija materiala in odvisnost materialnih lastnosti od temperature in vlage. Z upoštevanjem omenjenih predpostavk se enačbe povezanega prehoda toplote in vlage v ravnini glasijo: T ρc p t ρc m (εh LV + γ) w = ( T ) k x + ( T ) k y, (1) t x x y y - 4 -

248 ρc m w t = x ( ( w D Mx x + δ T )) x + ( ( w D My x y y + δ T )) y. () y V enačbah (1 ) k x,k y predstavljata koeficienta toplotne prevodnosti (W/mK) v dveh pravokotnih smereh x in y pravokotnega prečnega prereza nosilca. Podobno D Mx in D My predstavljata prevodnostna koeficienta vlage (kg/ms M), ρ predstavlja gostoto snovi (kg/m 3 ), c p specifična toplota snovi (J/kgK), T temperatura ( C), c m specifična vlaga snovi (kg/kg M), ε delež vlage v plinastem stanju, h LV izparilna toplota snovi (J/kg), γ toplota sorbcije in desorbcije (J/kg), w potencial vlage ( M), t čas (s), δ x,δ y pa predstavljata termogradientna koeficienta ( M/K) v dveh pravokotnih smereh x in y. Potencial vlage w je povezan z vlažnostjo V (kg/kg) preko linearne zveze V = c m w. (3) Če želimo rešiti parcialni diferencialni enačbi (1 ), moramo poznati še ustrezne robne in začetne pogoje. Začetni robni pogoji predpisujejo temperaturo in potencial vlage po prečnem prerezu ob začetnem času t = T (x,y,) = T (x,y), (4) in w(x,y,) = w (x,y). (5) Robni pogoji predpisujejo toplotni in vlažnostni pretok na površini prečnega prereza. Predpostavljeno je, da sta toplotni in vlažnostni pretok odvisna od razlike med temperaturo in vlago na površini in v okolici. Robni pogoj toplotnega prehoda dodatno upošteva vpliv latentne toplote izhlapevanja, vlažnostni robni pogoj pa vpliv temperaturnega gradienta. Robni pogoji na izpostavljenih zunanjih površinah tako izenačujejo toplotno prehodnost in prehod vlage na površini z radiacijo in konvekcijo toplote in konvekcijo vlage med nosilcem in okolico. Robni pogoji so tako: in k x T x e nx k y T y e ny = h c (T T A ) + ε R σ(t 4 T 4 A ) + (1 ε)h LV h m (w w A ), (6) D Mx w x e nx + D My w y e ny + D Mx δ x T x e nx + D My δ y T y e ny = h m (w w A ), (7) kjer sta e nx and e ny komponenti normale na mejno ploskev, h c in h m predstavljata toplotni prestopni koeficient (W/m K) in vlažnostni prestopni koeficient (kg/sm M). T A je temperatura in w A je vlažnostni potencial okolja (ambienta). Drugi člen na desni strani enačbe (6) predstavlja vpliv radiacije, kjer predstavlja ε R efektivno površinsko emisivnost zunanje strani nosilca in je σ Stephan Boltzmannova konstanta radiacije, (σ = W/m K 4 ). Zgornji sistem enačb povezanega prehoda toplote in vlage (1 7) v poroznih materialih rešimo numerično z uporabo metode simetričnih končnih diferenc in uporabo programa, narejenega v programskem okolju Matlab

249 3 Numerični primeri 3.1 Enodimenzionalno oglenenje Vpliv oglenenja lesa na mehansko obnašanje lesenih konstrukcij je izredno pomemben, zato je v zadnjem času tudi pogosto predmet intenzivnih študij in raziskav požarne odpornosti lesenih konstrukcij. V ta namen je bilo razvitih mnogo teoretičnih in empiričnih modelov za določitev hitrosti oglenenja v odvisnosti od tipa požara oziroma spreminjanja temperature. Večina modelov predpostavlja enodimenzionalno oglenenje preprostih lesenih nosilcev. V literaturi obstaja tudi nekaj modelov dvodimenzionalnega oglenenja, a večino teh modelov je omejeno z velikostjo prečnih prerezov. Z namenom primerjati predstavljen model oglenenja z obstoječimi empiričnimi modeli v literaturi obravnavamo enodimenzionalni primer smrekovega nosilca debeline d, izpostavljenega standardnemu požaru [4]. Oglenenje lesa lahko opišemo s hitrostjo zmanjševanja mase lesa (g/s) ali s hitrostjo širjenja oglja (mm/s) v notranjost prečnega prereza izpostavljenega požaru. Zadnja možnost je pogosteje uporabljena, kajti pri dimenzioniranju lesenih konstrukcij na požar omogoča preprosto določitev potrebnega efektivnega prečnega prereza. Hitrost oglenenja oziroma toplotna degradacija lesa je zelo zapleten proces, odvisen od vrste lesa, gostote lesa, vlažnosti lesa, termomehanskih lastnosti lesa, itd. Ker je materialne lastnosti lesa pri visokih temperaturah izredno težko določiti, smo pri izračunu uporabili konstantne karakteristike lesa. Za naslednje podatke je primerjava različnih modelov oglenenja prikazana na sliki 1. T = C, w = 13 M, w A = 4 M,ρ = 37 kg/m 3, k wood =.1 k char =.15 W/(mK), D M =. 1 8 kg/(ms M), h LV = 5 kj/kg, h c =.5 W/(m K), ε =,3, c pwood = 153J/(kgK), c pchar = 15 J/(kgK), c m =.1 kg/(kg M), δ =. M/K, h m =.5 1 6,d =.3 m, γ =. (8) Slika 1 : Primerjava različnih modelov oglenenja - 4 -

250 Večina omenjenih modelov oglenenja [5, 6, 7] predlaga konstantno hitrost oglenenja. Uporaba konstantnega oglenenja je pripravna, a ne odraža dejanskega obnašanja lesa. Upoštevanje nelinearnosti (nekonstantnega) oglenenja je prvi upošteval White [8]. Izdelal je nelinearni model enodimenzionalnega oglenenja osnovan na rezultatih eksperimenta enainštiridesetih lesenih nosilcev, izpostavljenih požaru. Kasneje sta White in Nordheim [9] razvila nelinearni empirični model oglenenja za 8 različnih vrst lesa. Primerjava z našim modelom je za primer smrekovih nosilcev prikazana na sliki 1. Nelinearni model oglenenja je razvil tudi Lawson [1]. Obravnaval je oglenenje smrekovih nosilcev različnih debelin in 1 % vsebnosti vlage, ki so bili izpostavljeni razmeram standardnega požara [11]. Iz primerjave različnih modelov je razvidno, da se rezultati modela [6] in [7] bistveno razlikujejo. Rezultati modela [1] in [7] se malo razlikujejo le na začetku in so po 6 minutah praktično enaki. Podobno se v prvih 15-ih minutah rezultati modelov [5, 9] in modela predstavljenega v članku zelo razlikujejo, a s časom postajajo razlike vse manjše. Uporaba omenjenih modelov je preprosta. Pomembna omejitev vseh modelov, razen modela predstavljenega v članku je, da so omejeni na enodimenzionalne probleme. Poleg tega je predpostavljeno, da les začne ogleneti takoj, ko je izpostavljen požaru, kar ne predstavlja dejanskega stanja. V našem modelu je predpostavljeno, da les začne ogleneti, ko doseže temperaturo pirolize (3 C). To se zgodi približno 4 minute po začetku požara. Za primerjavo rezultatov našega modela povezanega prehoda toplote in vlage v lesenih nosilcih, izpostavljenih požaru, smo dobljene rezultate primerjali z eksperimentalnimi rezultati, ki jih je objavil švedski raziskovalec Fredlund [], glej sliko. Slika : Primerjava numeričnih in eksperimentalnih rezultatov debeline oglja smrekovih nosilcev začetne vlažosti 14.5 % Pri numerični analizi opisanega problema uporabimo merjene in izračunane temperaturno odvisne termomehanske lastnosti lesa in oglja, ki jih je v svoji disertaciji podal Fredlund []. Obravnavan je primer smrekovega nosilca začetne vsebnosti vlage 14.5 %. Rezultate primerjamo tudi z numeričnimi rezultati, ki jih je prav tako podal Fredlund []. Slika prikazuje globino oglja

251 kot funkcijo časovne izpostavljenosti standardnemu požaru. Fredlund je nastanek oglja definiral kot stanje, kjer gostota materiala pade pod 3 kg/m 3, medtem ko v našem modelu oglje nastane, ko les doseže temperaturo (3 C). Kot je razvidno s slike, je ujemanje rezultatov izvrstno. Posledično lahko sklepamo, da je predlagan matematični model ustrezen za analizo oglenenja lesenih nosilcev izpostavljenih požaru. 3. Dvodimenzionalno oglenenje Obravnavamo oglenenje lesenih nosilcev, izpostavljenih standardnemu požaru [4] s treh strani, medtem ko je zgornja stran nosilca toplotno in vlažnostno izolirana. Začetni prečni prerez nosilca je pravokotne oblike dimenzij 1 15 cm. Prečni prerez nosilca diskretiziramo z mrežo končnih diferenc Uporabimo enake materialne lastnosti kot pri enodimenzionalnem primeru. Rezultati simulacije izpostavljenosti požaru pri časih 1., 1, in 3 minut so prikazani na slikah (3 4). Slika 3 : Porazdelitev temperature po prečnem prerezu smrekovega nosilca začetne vsebnosti vlage 13% in degradacija lesa v oglje pri 1. in 1 minutah Ker so vogali izpostavljeni prehodu toplote in vlage z dveh različnih strani, je oglenenje najhitrejše v vogalih. Posledično se oglenenje prečnega prereza vedno začne prav v vogalih. Pojavi se tako imenovani zaokrožitveni efekt, ki ima za posledico spreminjanje oblike prečnega prereza, ki kmalu po začetku gorenja ni več pravokoten. - -

252 Kuhljevi dnevi 6 Slika 4 : Porazdelitev temperature po prečnem prerezu smrekovega nosilca začetne vsebnosti vlage 13% in degradacija lesa v oglje pri in 3 minutah 4 Zaključek V članku je predstavljen matematični model povezanega prehoda toplote in vlage z upoštevanjem oglenenja lesenih nosilcev pri požaru. Analitične rešitve obstajajo le za najpreprostejše primere, zato smo problem rešili numerično z uporabo metode končnih diferenc. Rezultate enodimenzionalnega primera primerjamo z numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati, podanimi v literaturi. Primerjava različnih modelov oglenenja pokaže, da se v članku predstavljeni model povezanega prehoda toplote in vlage lesenih nosilcev pri požaru izvrstno ujema z eksperimentalnimi rezultati Fredlunda []. V članku predstavljeni model se prav tako zadovoljivo ujema z modelom oglenenja predstavljenim v Evrokodu 5 [5] in modelom, ki ga predlagata White in Nordheim [9]. Ujemanje z ostalimi modeli je slabše. Isti model smo uporabili tudi za analizo dvodimenzionalnega oglenenja lesenih nosilcev izpostavljenih požaru s treh različnih strani. Opazili smo pričakovano hitrejše oglenenje v vogalih in posledično tako imenovani zaokrožitveni efekt, ki ima za posledico spreminjanje oblike prereza. Na osnovi primerjave dobljenih rezultatov lahko sklepamo, da je relativno preprost matematičen model uporaben za natančno napoved termomehanskega obnašanja lesenih nosilcev pri požaru. 5 Zahvala Pričujoči prispevek je del raziskovalnega projekta št , ki ga finančno podpira Ministrstvo za šolstvo, znanost in šport Republike Slovenije. Za podporo se iskreno zahvaljujemo

253 Literatura [1] A. V. Luikov Heat and Mass Transfer in Capillary-porous Bodies, Pergamon Press, Oxford, [] B. Fredlund, A model for heat and mass transfer in timber structures during fire. A theoretical, numerical and experimental study, Report LUTVDG/(TVBB 133). Department of fire safety engineering, Lund institute of science and Technology, Sweden, [3] B. Fredlund, Modelling of heat and mass transfer in wood structures during fire, Fire Safety Journal,, 39 69, [4] ISO 834, Fire resistance test - Elements of building construction-part 1. General requirements. ISO 834-1, International organization for standardization, Geneva, Switzerland, [5] EN , Eurocode 5: Design of timber structures Part 1-: General-Structural fire design, 4. [6] AS 17.4, Timber structures Fire resistance of structural timber members, 199. [7] E. L. Schaffer, Charring rate of selected woods transverse to grain, Research paper FPL- 69, USDA Forest Product Laboratory, Madison, Wisconsin, USA, [8] R. H. White, Charring rates of different wood species, PhD Dissertation, University of Wisconsin, Madison, WI, USA, [9] R. H. White and E. V. Nordheim, Charring rate of wood for ASTM E 119 exposure, Fire Technology. 8 (1), 5 3, 199. [1] D. I. Lawson, C. T. Webster and L. A. Ashton, Fire endurance of timber beams and floors, Journal of Structural Engineering, 3 (), 7 34, 195. [11] ASTM, Standard test methods for fire tests of building construction and materials, Standard designation E 119-, West Conshohocken, PA:ASTM,

254 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Numerična simulacija s hrapavostjo vzbujenega nihanja J. Slavič 1, M.D. Bryant and M. Boltežar 3 Numerical simulation of induced vibrations of a rough slider Povzetek. Ali lahko trenje in trk med drsnikom in podlago (oba z naključno definirano geometrijsko hrapavostjo) vodi v dinamiko s predvidljivim frekvenčnim odzivom? Ali obraba ta odziv spremeni? Predstavljene numerične simulacije kažejo, da je oboje mogoče. V preteklosti je hrapavost pogosto vključena z uporabo različnih zakonov trenja. Tukaj uporabimo Poissonov zakon trka in Coulombov zakon trenja v kombinaciji z eksperimenti usklajeno geometrijsko hrapavostjo kontaktnih površin. Nujna je uporaba teorij za simuliranje sistema togih teles z več sočasnimi kontakti in uporaba modela obrabe. Abstract. By using numerical simulations we found that friction and impact between a slider and a moving counter surface-both with geometrically rough contact surfaces-can induce vibrations of the slider with a distinct and predictable power spectrum peak. Further we found that run-in wear influence these vibrations. Previous research usually includes roughness effect by various friction laws. This study deals with Poisson impact and Coulomb friction law on multiple concurrent contacts between rough surfaces and their effect on slider dynamics. An numerical model simulated random rough surfaces with multiple concurrent contacts, friction, and wear phenomena. 1 Uvod Drsnik na premikajoči se podlagi je v znanstveni literaturi pogosto raziskan problem. Vzrok leži v tem, da je to osnovni model za veliko aplikacij, na primer: dinamika zavornega sistema, dinamika bralne glave računalniškega trdega diska,... Pogosto uporabljeni kontaktni modeli trenja in/ali trka zaradi enostavnosti oz. rešljivosti dinamskega problema zanemarijo stične površine in kontakt poenostavijo v eno-točkovni kontakt. Posledično se veliko raziskav osredotoči ali na različne zakone trenja [1,, 3, 4], ali število prostostnih stopenj sistema [5, 6], ali vibroizolacijo, ali harmonsko vzbujanje, pri čemer pa zanemarijo ostale vplive. Ta članek predstavlja vpliv naključne hrapavosti in utekanja (obraba) na dinamiko drsnika. Poglavje obravnava numerični model z več sočasnimi kontakti geometrijsko hrapavih površin. Predstavljen je tudi model obrabe. Poglavje 4 podaja povzetek in zaključke. 1 Univ of Ljubljana, Fac of Mech Eng and Univ of Texas at Austin, Mech Eng Dep, janko.slavic@fs.uni-lj.si Univ of Texas at Austin, Mech Eng Dep, mbryant@mail.utexas.edu 3 Univ of Ljubljana, Fac of Mech Eng, miha.boltezar@fs.uni-lj.si

255 Teoretično ozadje Dvo prostostni model z drsnikom mase m drsečim na podlagi (kontaktne površine so naključno hrapave z definirano vrednostjo: vrh-dolina (peak-to-valley)) s hitrostjo v je prikazan na sliki 1. Vertikalna razdalja med dvema kontaktnima točkama (na sliki 1b prikazano z ) je bila omejena z največjo dovoljeno vrednostjo vrh-dolina. Vrednost je bila izbrana tako, da je ustrezala eksperimentalnim ugotovitvam Oden, Martins in Tabor [7, 8], ki navajajo, da je povprečna sprememba kota na osnovnem hrapavem zrnu (v našem primeru kontaktni točki) manj kakor 15 kotnih stopinj. Drsnik je širok w = 1 mm in ima hrapavost definirano s 4 kontaktnimi točkami (točke so 5µm narazen), ki ustrezajo vrednosti vrh-dolina [-1,1] µm. Podlaga je široka w g =. m, in ima hrapavost definirano z 1 kontaktnimi točkami ( µm narazen) in vrhdolina vrednostjo [-,] µm. Slika prikazuje tipični histogram spremembe kota na posamezni kontaktni točki. Standardni deviaciji σ α.9 stopinj in σ β 1.3 stopinj ustrezata hrapavosti drsnika (α) in podlage (β). a) b) µm Drsnik dolina Drsnik vrh Podlaga vrh Podlaga dolina mm Slika 1: a) Model z prostostnima stopnjama in hrapavo kontaktno površino. b) poudarjena hrapavost, kontaktna točka.1 Dinamika sistema togih teles Zaradi naključne hrapavosti kontakta med dvema telesoma ni mogoče vnaprej določiti. Numerične metode, ki jih bomo uporabili tukaj ne zahtevajo vnaprej določenih kontaktnih točk in so bile preizkušene ter verificirane na klasičnih dinamskih problemih [9, 1]. Enačbe gibanja v matrični obliki so M q h =, (1) kjer so posplošene koordinate q = (x, ϕ) T, posplošene sile h = ( F, ) T in masna matrika ( ) m M =. () J - -

256 Št. vzorcev v razredu Drsnik α Podlaga β -4-4 Sprememba kota na kontaktni točki[deg] Slika : Histogram spremembe kota na kontaktni točki. Tipična standardna deviacija : σ α.9 stopinj in σ β 1.3 stopinj Poissonov zakon trka [11] trk reši v dveh korakih. Faza kompresije se zaključi kadar so relativne normalne hitrosti med telesi enake nič in se nadaljuje v fazo ekspanzije. Glede na Poissonov zakon je impulz ekspanzije I E = ɛ I C, kjer je I C impulz kompresije. Celoten impulz I = I C +I E predstavlja integral sile po času in ga ponavadi povežemo z razliko gibalne količine pred in po trku. Koeficient trka (včasih tudi restitucije) ɛ je v področju od [,1], kjer se uporabi za popolni plastičen trk, 1 pa za popolni elastičen trk. Predpostavke Poissonovega trka so: trk je časovno kratek, lega teles se med trkom ne spremeni, neimpulzivne sile so zanemarljive. V nadaljevanju bomo uporabili S, C in E za označitev začetka kompresije, konca kompresije in konca ekspanzije. Kot primer: q S in q C označujeta hitrost na začetku in koncu kompresije. Faza ekspanzije se začne pri C (konec kompresije)..1.1 Faza kompresije Ohranitev gibalne in vrtilne količine pri p sočasnih kontaktih je zapisana kot M ( q C q S ) ( ) ( ) I W n W nc t =. (3) I tc Tukaj sta vektorja I nc in I tc dimenzije p in označujeta impulz kompresije (v normalni in tangentni smeri). Omejitvena matrika (W n W t ) preslika veličine iz lokalnega n t koordinatnega sistema v posplošeni prostor. Za normalno smer je podmatrika definirana kot kjer je V izrazu (5) je relativna kontaktna hitrost W n = {w n,1, w n,,..., w n,p } (4) ( ) ṙc,i w n,i = T n i. (5) q ṙ C,i = ṙ CA,i ṙ CB,i, (6) - 3 -

257 kjer sta r CA,i in r CB,i vektorja do kontaktne točke i na telesu A oziroma B. Tangentna omejitvena matrika W t je definirana podobno, vendar se uporabi tangentni vektor t i. Relativna kontaktna hitrost v lokalnem (normalno-tangentnem) koordinatnem sistemu [1] ġ C = ( W n W t ) ( qc q S ) + ġ S, (7) kjer S in C označujeta začetek in konec faze kompresije. Rešitev enačbe gibanja (3) ni enostavna, saj niso znani niti impulzi kompresije (I nc I tc ) T, niti niso znane spremembe hitrosti med kompresijo ( q C q S ). V primeru enega samega kontakta je relativna kontaktna hitrost na koncu kompresije lahko samo nič. V primeru več sočasnih kontaktov pa kontaktne točke vplivajo ena na drugo in so lahko relativne hitrosti v nekaterih kontaktih nič, medtem ko v drugih niso. Fizikalna konsistentnost se doseže z dodajanjem komplementarnih pogojev [13, 1]. Izkaže se da lahko tako za normalno kakor za tangentno smer najdemo komplementarni pogoj. Za vsako kontaktno točko je namreč na koncu kompresije relativna hitrost nič in impulz kompresije večji od nič ali pa je relativna hitrost večja od nič in je impulz večji od nič; zapisano z matematičnim izrazom: ġ nc,i, I nc,i in ġ nc,i I nc,i =. V tangentni smeri je impulz kompresije omejen z Coulombovim zakonom trenja µ I nc,i, če je relativna hitrost v tangentni smeri različna od nič. Če je relativna hitrost v tangentni smeri nič, potem je impulz kompresije v tangentni smeri različen od nič, vendar manjši od µ I nc,i, kjer je µ koeficient trenja. Komplementarni pogoj torej je: ġ tc,i, µ I nc,i I tc,i in ġ tc,i (µ I nc,i I tc,i ) =. Z uporabo komplementarnih pogojev v normalni in tangentni smeri izraz (3) zapišemo v obliki Linearnega komplementarnega problema (LCP) y = A x + b, (8) y, x, y T x =. (9) Pfeiffer in Glockerjev [1] zapis faze kompresije v obliki LCP matriko A in b definira na podlagi masne matrike, aktivnih sil in kinematike kontaktnih točk. Komplementarna vektorja x in y predstavljata neznane relativne hitrosti in impulze kompresije in ju določimo z rešitvijo LCP. LCP ponavadi rešimo z t.i. Lemke algoritmom [14]..1. Faza ekspanzije Ohranitev gibalne/vrtilne količine med ekspanzije je M ( q E q C ) ( W n W t ) ( I ne I te ) =. (1) Glede na Poissonov zakon trka je impulz ekspanzije enak impulzu kompresije pomnožen s koeficientom trka. Podobno kakor pri kompresiji, pa v primeru sočasnih trkov zaradi interakcije med kontakti, moramo dodati komplementarne pogoje, ki zagotovijo fizikalno konsistentnost. Podobno kakor pri reševanju kompresije, z dodajanjem komplementarnih pogojev gibalno enačbo preoblikujemo v LCP in tako rešimo fazo ekspanzije [1]

258 Kadar v sistemu ni prisotnih kontaktnih situacij diferencialne enačbe (1) numerično rešujemo z uporabo Runge-Kutta 4 th metode. Kadar pa imamo kontaktno situacijo, pa moramo najprej rešiti LCP za fazo kompresije in nato še LCP za fazo ekspanzije. 3 Numerična simulacija drsnika Zaradi naključno generirane hrapavosti se rezultati simulacije med seboj kvantitativno razlikujejo. Slika 3 prikazuje tipične rezultate simulacij za drsnik mase m = 1 5 kg/m 3, širine w = 1 mm, višine h = mm, hitrosti drsenja v s = 1 m/s, obremenitve F = N, koeficient trenja µ =.5, koeficient trka ɛ N = ɛ T = ɛ =.5, hrapavosti drsnika [ 1, 1] in hrapavosti podlage [, ]. x l/ [µm] ẋ [m/s] 1 3 ϕ [rad] ϕ 5 [rad/s] t [ms] Slika 3: Tipični rezultati simulacije pri µ = Utekanje (model obrabe) Naključno generiranje hrapavosti ima za posledico, da samo nekaj, bolj izstopajočih, konic prevzame vso obremenitev. V realnih pogojih bi se te konice deformirale in/ali obrabile s tem pa bi se obremenitev prenesla na preostale konice. Da dosežemo bolj homogeno obremenitev kontaktnih površin, uporabimo model obrabe kakor sta ga predstavila Slavič in Boltežar [1]. Njun model je konceptualno skladen z Archardovim zakonom obrabe [15]. Stopnja obrabe (velikost obrabnega delca) i-te kontaktne točke W i u i = u Max, (11) W Max kjer je W i skupna izguba mehanske energije. Izgubo mehanske energije izračunamo s pomočjo kontaktnega impulza I in relativnih hitrost ġ [1]. Izgubo mehanske energije zaradi dinamičnih obremenitev ugotavljamo po določenem času (tukaj smo uporabili T sim ), nato izračunamo obrabo in spremenjeno geometrijo upoštevamo v nadaljnih simulacijah. Vsak tak korak imenujemo problikovanje (re-shaping). V izrazu (11) je W Max = Max i (W i ). Velikost največjega obrabnega zrna u Max = µm zagotavlja, da se hrapavost, tudi zaradi obrabe, ohranja znotraj željene (začetne) hrapavosti

259 V tem delu smo obravnavali zgolj obrabo drsnika. Sliki 4 in 5 prikazujeta obrabo drsnika in izgubo mehanske energije na kontaktnih točkah. Po približno preoblikovanjih dosežemo dinamično stabilno kontaktno površino z relativno homogeno obremenitvijo (slika 5). Aproksimacija kontaktne površine drsnika (slika4) s krožnim lokom razkrije, da je radij ukrivljenost v začetku zelo velik in se z obrabo manjša ter je v dinamično stabilni obliki približno -3 m. Slika 5 prikazuje izgubo mehanske energije W i ; opazimo, da so v začetku, ko kontaktna površina še ni utečena, drsnik nadpovprečno obremenjen na robovih (i < 1 in i > 3) in podpovrečno na sredini. Ko se kontaktna površina uteče, je kontaktna površina drsnika bolj homogeno obremenjena in zato je taka oblika stabilna. Kontaktna oblika [µm] Utečena oblika (. preoblikovanje) Začetna oblika Kontaktna točka i 1. preoblikovanje Slika 4: Spreminjanje geometrije drsnika med utekanjem (preoblikovanje=re-shaping) W i [W] -. Začetna oblika -.4 W i [W] -. Utečena oblika -.4 i W i =-11.5W i W i =-1.78W Contact point i Slika 5: Utekanje drsnika: izguba mehanske energije (začetna oblika=initial, utečena oblika=steady) Frekvenca nihanja Na sliki 6 je prikazan amplitudni spekter Ẋ in Φ za začetno in utečeno obliko drsnika. Slika 6 predstavlja povprečenje amplitudnega spektra 3 numeričnih simulacij, pri čemer se simulacije med seboj razlikujejo v naključno generirani kontaktni površini. Senčeno področje omejuje odklon ene standardne deviacije in zvezna krivulja povprečno vrednost 3 simulacij. Začetna oblika (svetlo siva) ima vrh amplitude Ẋ =.5 m/s pri 1.3 khz. Utečena oblika (temno siva) ima vrh amplitude.65 m/s pri 9.6 khz (slika 6a). Podobno ima Φ v začetku vrh 1.5 rad/s pri 6.9 khz in pri utečeni kontaktni obliki vrh 17.3 rad/s pri 6.4 khz (slika 6b). S primerjavo amplitud začetne in utečene kontaktne oblike ugotovimo, da se amplituda Ẋ poveča za približno 5% pri čemer pa se frekvenca vrha rahlo zmanjša. Primerjava za Φ pokaže bistveno povečanje amplitude (65%) in rahlo zmanjšanje frekvence. Ugotavljamo, da efekt obrabe bistveno spremeni dinamiko drsnika. Numerične simulacije kažejo, da obraba vodi v koncentracijo energije pri določeni frekvenci: glede na začetno obliko frekvenčni vrh postane bolj ozek in ima večjo amplitudo. Predvsem je ta pojav očiten za rotacijsko prostostno stopnjo Φ, ki ima pri začetni obliki zelo širok frekvenčni vrh (slika 6)

260 a) b).8 Utečena oblika Utečena oblika Ẋ(f) [m/s].6.4. Začetna oblika Φ(f) [rad/s] Začetna oblika f [khz] f [khz] Slika 6: Povprečen amplitudni spekter: a) Ẋ, b) Φ ). Svetlo siva: začetna oblika. Temno siva: utečena oblika. Senčeno področje označuje ±standardne deviacije povprečenih podatkov. 4 Povzetek in zaključki Z numeričnim eksperimentom smo raziskali vpliv naključno generirane hrapavosti na dinamiko drsnika. K obstoječim raziskavam, ki se osredotočijo na različne variacije zakona trenja smo dodali raziskavo, ki se s preprostima zakonoma trenja in trka ter simuliranjem več sočasnih kontaktnih situacij geometrijsko hrapavih kontaktnih površin poskuša približati dejanskemu dogajanju. Iz raziskave lahko zaključimo: 1. naključna hrapavost lahko vzbudi vnaprej določljiv odziv znane frekvence in. obraba drsnika naredi ta odziv bolj izrazit in bistveno poveča amplitude odziva. Ugotovitve te raziskave prispevajo k razumevanju s trenjem, trkom ali hrapavostjo vzbujenih nihanj in bi lahko bile uporabne pri konstruiranju računalniških trdih diskov, zavornih sistemov, mikro-elektro-mehanskih-sistemih (MEMS),... Efekti hrapavost postanejo izraziti predvsem pri majhnih sistemih [16, 17]. Zahvala Prvi avtor tega prispevka je hvaležen za finančno podporo vlade ZDA v obliki Fulbright Fellowship (Grant ID: ) in za gostoljubje Mechanical Engineering Department na University of Texas at Austin. Literatura [1] U Andreaus and P Casini. Dynamics of friction oscillators excited by a moving base and/or driving force. Journal of Sound and Vibration, 45(4): , Aug 3 1. [] AJ McMillan. A non-linear friction model for self-excited vibrations. Journal of Sound and Vibration, 5(3):33 335, Aug

261 [3] P Vielsack. Stick-slip instability of decelerative sliding. International Journal of Non-linear Mechanics, 36():37 47, Mar 1. [4] JA Ogilvy. Numerical-simulation of friction between contacting rough surfaces. Journal of Physics D-Applied Physics, 4(11):98 19, Nov [5] H Cho and JR Barber. Stability of the three-dimensional coulomb friction law. Proceedings of the Royal Society of London Series A - Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 455(1983): , Mar [6] NM Kinkaid, OM O Reilly, and P Papadopoulos. On the transient dynamics of a multi-degree-offreedom friction oscillator: a new mechanism for disc brake noise. Journal of Sound and Vibration, 87(4-5):91 917, Nov 4 5. [7] JT Oden and JAC Martins. Models and computational methods for dynamic friction phenomena. Computer Methods In Applied Mechanics And Engineering, 5(1 3):57 634, [8] D Tabor. Friction-the present state of our understanding. Journal of Lubrication Technology- Transactions of the ASME, 13(): , [9] J Slavič and M Boltežar. Nonlinearity and non-smoothness in multi body dynamics: application to woodpecker toy. Journal of Mechanical Engineering Science, (3):85 96, 6. [1] J Slavič and M Boltežar. Simulating multibody dynamics with rough contact surfaces and run-in wear. Nonlinear Dynamics, 6. In press. [11] S.D. Poisson. Traité de mécanique. Bachelier, Paris. [1] F Pfeiffer and Ch Glocker. Multibody Dynamics with Unilateral Contacts. John Wiley & Sons, Inc, New York, [13] P Lötstedt. Coulomb friction in two-dimensional rigid body systems. Z. Angewandte Math. Mech., 61:65 615, [14] RW Cottle and GB Dantzig. Complementary pivot theory of mathematical programming. Linear Algebra and Appl., 1:13 15, [15] JF Archard. Contacts and rubbing of flat surfaces. J. Appl. Phys., 4:981, [16] RE Rudd and JQ Broughton. Coupling of length scales and atomistic simulation of a mems device. In International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems, pages SFA, Inc., U.S.A., [17] XP Zhao, H Dankowicz, CK Reddy, and AH Nayfeh. Modeling and simulation methodology for impact microactuators. Journal of Micromechanics and Microengineering, 14(6): , Jun

262 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Prenos toplote ob steni pri visokih Prandtlovih številih I. Tiselj 1 Near-wall heat transfer at high Prandtl numbers Povzetek. Analizirana je vloga najmanjših skal temperaturnega polja v turbulentnem toku tekočine z visokim Prandtlovim številom ob ravni vroči steni. Temperatura je obravnavana kot pasivni skalar pri Prandtlovih številih 1 in in pri stenskih Reynoldsovih številih 15 in 395. Hitrostno polje je obravnavano z natančnostjo direktne numerične simulacije, temperaturno polje pa s pristopom, ki je soroden metodi velikih vrtnicev (LES). Rezultati potrjujejo zaključke predhodnih študij Campbella in Hanrattyja [8] in Calmetove in Magnaudeta [7] ter kažejo, da so za prenos toplote ob ravni steni pomembne predvsem velike strukture turbulentnega toka. Z drugimi besedami: rezultati kažejo na zanemarljivo vlogo temperaturnih skal, ki so manjše od skale Kolmogorova. Abstract. Role of the sub-kolmogorov scales of the temperature field in high Prandtl number fluids is analyzed in the near-wall turbulent flow. Temperature is assumed to be a passive scalar at Prandl numbers 1 and and friction Reynolds numbers 15 and 395. Velocity field is resolved with DNS accuracy, while the temperature field is treated with LES-like approach. The present results confirm conclusions of the previous studies of Campbell and Hanratty [8] and Calmet and Magnaudet [7] and show that the near-wall heat transfer is governed by the large scale near-wall structures. Namely, the results point to the very negligible role of the sub-kolmogorov temperature scales. 1 Uvod Prve direktne numerične simulacije (DNS) pasivnega skalarnega polja v turbulentnem toku med dvema vzporednima stenama (kanal) sta leta 1989 opravila Kim in Moin [17]. Izvir toplote sta definirala kot volumsko generacijo toplote v tekočini in s stenama kot ponorom toplote. Kasagi et al. [14] so leta 199 opravili DNS pasivnega skalarnega polja v turbulentnem toku v kanalu s predpostavko, da tok grejeta obe steni. Vse te simulacije so bile opravljene pri nizkih Reynoldsovih številih (stensko Reynoldsovo število Re τ =18, Re τ =15, oziroma standardno Reynoldsovo število okoli 5) in pri Prandtlovih številih okoli Pr~1. 1 Institut Jožef Stefan

263 Pri Prandtlovih številih različnih od 1 moramo razlikovati med najmanjšimi disipativnimi skalami hitrostnega polja in najmanjšimi disipativnimi skalami temperaturnega polja, oziroma med skalo Kolmogorova in Batchelorjevo skalo (Batchelor 1959, [1]). Najmanjše prostorske skale temperaturnega polja so zelo podobne najmanjšim skalam hitrostnega polja pri Prandtlovem številu Pr=1, medtem ko so pri višjih Prandtlovih številih najmanjše temperaturne skale za približno koren iz Prandtlovega števila manjše od najmanjših skal hitrostnega polja. To dejstvo so v svojem delu upoštevali Kawamura et al. [15,16] in Tiselj et al. [6] pri DNS obravnavi turbulentnih tokov v kanalu pri Pr~5. Rezultati teh študij so jasno pokazali na obstoj struktur temperaturnega polja, ki so manjše od najmanjših struktur hitrostnega polja. Najbolj podrobne analize najmanjših temperaturnih skal so bile opravljene z DNS izotropnega turbulentnega toka s predpisanim povprečnim konstantnim gradientom skalarnega polja pri Prandtlovih številih do Pr=1 (Bogucki et al, 1997, [5], Yeung et al,, [8], Brethouwer et al, 3, [6]. Schumacher in Sreenivasan, 3, [4], Yeung et al., 4, [9], Schumacher et al, 5, [5]). Najvišja obravnavana Prandtlova števila v numeričnih simulacijah toka v kanalu najdemo v delih Hasegawa in Kasagi (1), [11], Papavassiliou in Hanratty (1997), [3], in Mitrovic et al (4), [1]. V teh člankih so opisali DNS simulacijo hitrostnega polja v kanalu in Lagrangev pristop, s katerim so tekočino z visokim Prandtlovim (do 5) številom opisali kot tok delcev. Lagrangev pristop je primeren za napovedovanje temperaturnih profilov ob steni, manj pa je primeren za računanje višjih statistik turbulentnega toka. Ločljivost DNS pri Prandtlovih številih večjih od 1 bi morala biti sorazmerna s kvadratnim korenom Prandtlovega števila v vseh treh dimenzijah. Izkaže pa se (Bergant et al., 1, [] in Bergant in Tiselj,, [3]) da na primer za Pr=5.4, z uporabo dveh različno gostih diskretnih mrež od katerih je ena dovolj gosta za DNS druga pa le dovolj gosta za DNS hitrostnega polja a preredka za DNS temperaturnega polja, dobimo zelo podobne rezultate za večino najpomembnejših turbulentnih statistik. Idejo poskušamo v tem prispevku nekoliko razširiti (glej Bergant in Tiselj 6, [4]): s kombinacijo DNS (Direktne Numerične Simulacije) in LES (Large-Eddy Simulation - metoda velikih vrtincev) lahko pri visokih Prandtlovih številih dobimo rešitev, ki je sicer manj natančna od DNS a bolj natančna od "čistega" LES pristopa. Obenem je mogoče simulacije v doglednem času opraviti na obstoječih računalnikih, saj je DNS turbulentnega toka v kanalu pri Prandtlovih številih 1 praktično nedosegljiva za današnje računalnike. Rezultati v tem prispevku so predstavljeni za Prandtlova števila 1 in. DNS hitrostnega polja v kanalu je sklopljena z LES obravnavo temperaturnega polja. Numerične simulacije z veliko natančnostjo opišejo vse strukture hitrostnega polja, medtem, ko ne zajamejo najmanjših struktur temperaturnega polja, katerih vpliv je upoštevan z enostavnim modelom turbulentne toplotne difuzivnosti. Simulacije smo opravili s psevdo-spektralno numerično shemo - z modifikacijo računalniškega programa, ki smo ga uporabljali v naših prejšnjih delih (Tiselj et al., 1, [6], Hetsroni et al., 4, [1]). Naslednja poglavja predstavljajo osnovne enačbe in numerično shemo, glavne rezultate in komentar njihove natančnosti

264 Matematični model Kanal - prostor med dvema neskončnima vzporednima stenama - je najbolj enostavna geometrijska oblika za analize turbulentnih tokov ob ravni steni in se zato najpogosteje uporablja v analizah z DNS. Obe steni kanala greje konstanten izvir toplote, medtem ko konstanten tlačni gradient poganja tok tekočine skozi kanal v izbrani smeri x. Tok analiziramo, ko doseže statistično stacionarno stanje. Sistem enačb v brezdimenzijski obliki, ki ga rešujemo, najdemo v delih Kasagi et al. 199 [14] ali Kawamura et al [15]: + u v =, (1) v + u v v + v + 1 v = ( u u ) + u p + l, () x t Re + + θ t = τ + v u x ( u θ ) + θ + + Re τ Pr u B. (3) Člen l v (enotski vektor v smeri toka x) v enačbi () predstavlja konstantni brezdimenzijski x tlačni gradient, ki poganja tok, medtem ko so v tlaku p zajete le fluktuacije tlačnega polja + + Člen u x u B v enačbi (3) predstavlja konstantni brezdimenzijski temperaturni gradient v smeri toka, ki je posledica konstantnega toplotnega toka s stene na tekočino. Ta temperaturni + gradient ni vključen v brezdimenzijsko temperaturo θ. Člena l v + + v enačbi () in x u v x u B enačbi (3) omogočata uporabo periodičnih robnih pogojev v smeri toka in v smeri prečno na tok. Na stenah je predpisan robni pogoj ničelne hitrosti in konstantne brezdimenzijske + temperature: θ ( y = y w ) =. Iz oblike enačb (1) do (3) je razvidno, da je temperatura pasiven skalar, kar je aproksimacija, ki jo najdemo v številnih podobnih delih: Kim in Moin (1989, [17]), Kasagi et al. (199, [14]), Kawamura et al. (1998, [15]), Na in Hanratty (, []), in Tiselj et al. (1, [6]). Simulacije v kanalu smo opravljali pri stenskih Reynoldsovih številih Re τ =15 in Re τ =395, kar ustreza standardnim Reynoldsovim številom 46 in 138. Numerična shema in računalniški program izvirajo iz del Gavrilakis et al. (1986, [1]), program je kasneje dopolnil Lam (1989, []), reševal pa je kontinuitetno in gibalno enačbo. Program sloni na prevdo-spektralni shemi z uporabo Fourierovih vrst v smeri toka (x) in prečno na tok (z) in polinomov Čebiševa v smeri pravokotno na steno (y). Program smo nadgradili z energijsko enačbo in ga predelali za uporabo na paralelnih računalnikih s skupnim spominom (Tiselj et al. 1, [6]). Časovna integracija poteka z algoritmom Adams-Bashfort za nelinearne konvekcijske člene in semi-implicitno Crank-Nicholson metodo za difuzijske člene. Obe shemi sta drugega reda natančnosti. V nekaterih simulacijah smo v energijski enačbi (3) uporabili model spektralne turbulentne difuzivnosti. Njegova oblika temelji na obliki turbulentne spektralne viskoznosti, ki jo je uvedel v LES metode Kraichnan (1976, [19]) in jo kasneje preveril z DNS analizo Domaradzki et al. (1987, [9]). Spektralna turbulentna difuzivnost je nič pri nizkih valovnih številih in narašča proti najvišjim valovnim številom, ki jih zajame izbrana diskretna mreža. Toplotna difuzivnost narašča samo kot funkcija valovnih števil v smereh x in z in je konstantna v smeri pravokotno na steno. Gre za zelo veliko poenostavitev modela, vendar pa so končni rezultati pokazali, da bolj podroben in natančen model pravzaprav sploh ni

265 potreben. Iz rezultatov v naslednjem poglavju je razvidno, da turbulentna spektralna difuzivnost v bližini stene ni potrebna, ker je prispevek visokih valovnih števil v tem območju zanemarljiv. Dušenje smo zato nastavili glede na energijski spekter turbulentnih fluktuacij temperature v območju stran od stene, kjer je turbulenca bolj izotropna in homogena kot tik ob steni. Dušenje v bližini najvišjih možnih valovnih števil smo dosegli s spektralno turbulentno difuzivnostjo oblike: N x ( kx kdx ) N z ( kz kdz ) + 1 ax knx az knz α = α( k x, k z ) = max 1, 1. (4) Re Pr τ V enačbi so 4 parametri, ki smo jih spreminjali v preliminarnih izračunih: k Dx, k Dz so najvišja nedušena valovna števila v simulaciji in a x, a z parametri v potencah dušilnega člena. Konstanti k Nx in k Nz označujeta najvišji valovni števili v smereh x in z in jih določa gostota mreže oziroma število točk v mreži N x and N z ter dimenzija računske domene. Dejstvo, pomembno za ta prispevek je, da izbira parametrov v enačbi (4) nima velikega vpliva na glavne turbulentne statistike. Povedano drugače, ne glede na to, ali v simulacijah uporabimo model spektralne turbulentne difuzivnosti ali pa modela sploh ne uporabimo, so rezultati simulacij zelo podobni. 3 Rezultati Glavni izračuni, ki so predstavljeni v tabeli 1 in rezultati na spodnjih slikah kažejo primerjavo med simulacijo z uporabljenim modelom spektralne turbulentne difuzivnosti in simulacijami brez tega modela. Rezultate pri Re τ =15 lahko smatramo kot dva mejna primera pri istem Prandtlovem številu: primera 1-, - v tabeli 1 - z zelo veliko spektralno turbulentno difuzivnostjo in primera 1-1, -1 brez kakršne koli turbulentne difuzivnosti. Simulacije pri Re τ =395 so bile opravljene z "zmerno" turbulentno difuzivnostjo pri Pr= (-4) in brez dodatne turbulentne difuzivnosti (primer -3). Vrednosti koeficientov v enačbi 4 v računih iz tabele 1 so: k Dx =k Nx /, k Dz =k Nz /, a x =15, a z =15 pri Re τ =15 in k Dx =3k Nx /4, k Dz =3k Nz /4, a x =1, a z =1 pri Re τ =395. Numerični poskusi so pokazali, da takšna izbira koeficientov pomeni zelo močno dušenje visokofrekvenčnih temperaturnih fluktuacij, ki je večje od dejanskega dušenja s temperaturno difuzijo. Pomembno je poudariti, da je bilo isto turbulentno hitrostno polje uporabljeno za simulacijo dveh temperaturnih polj - z in brez modela turbulentne difuzivnosti. Slika 1 kaže brezdimenzijske temperaturne profile pri Pr=1 in Pr=, ter pri različnih Reynoldsovih številih. Pomemben rezultat, ki sledi iz slike 1 je, da model spektralne turbulentne difuzivnosti, ki duši temperaturne fluktuacije z najvišjimi valovnimi števili, ne vpliva na potek povprečne temperature. Pomemben rezultat iz slike 1 desno (Pr=) je tudi opazen vpliv Reynoldsovega števila na temperaturni profil. Rezultati simulacije pri Re τ =395 se veliko bolje ujemajo s Kadrovo korelacijo (1981, [13]) kot rezultati simulacij pri Re τ =15. To kaže na dejstvo, da eksperimenti, ki so bili podlaga za razvoj Kadrove korelacije niso bili opravljeni pri tako nizkih Reynoldsovih številih kot je Re τ =15. Slika 1 kaže tudi rezultate LES simulacij Wang (5, [7]) in Calmet, Magnaudet (1997, [7]), ter rezultate Mitrovic et

266 al (4, [1]) dobljene z DNS hitrostnega polja in Lagrangevo obravnavo temperaturnega polja. Slika kaže temperaturne fluktuacije. Vidimo lahko, da model turbulentne difuzivnosti, ki duši oscilacije z najvišjimi valovnimi števili, nima zelo velikega vpliva na potek temperaturnih fluktuacij ob steni (y + <1). Medtem pa so razlike dlje od stene večje in simulacije brez turbulentne difuzivnosti napovedujejo precej večje fluktuacije kot simulacije v katerih je uporabljena turbulentna difuzivnost. Točne vrednosti temperaturnih fluktuacij stran od stene pri y + >1 s simulacijami tega prispevka ni mogoče določiti. Lahko pa smatramo dušeno in nedušeno simulacijo kot dva limitna primera s pravilnim profilom temperaturnih fluktuacij nekje vmes. Tabela 1: Primerjava različnih izračunov z in brez modela turbulentne difuzivnosti. Spremenljivki u τ in T τ označujeta strižno hitrost in strižno temperaturo vsake simulacije (teoretične vrednosti so 1). Račun Pr Re τ Primer Št. Mreža Medmrežne razdalje Časovni Čas u τ T τ korak povprečenja N x xn z xn y x + z + y + t + t x18x x18x x19x θ Mitrovic Re=15 Wang Re=18 Calmet Re=64 Kader Re=395 θ 3 1 Re=15-1 Re=15 - Re=395-3 Re=395-4 Kader Re=395 Calmet Re=64 Mitrovic Re= y y Slika 1: Temperaturni profili pri Pr=1 (levo) in Pr= (desno). Različni izračuni in različna Reynoldsova števila. Slika 3 kaže spektre temperaturnih fluktuacij pri Pr= približno y + =1.4 stenskih enot od stene, kjer so temperaturne fluktuacije največje. V repih spektrov je jasno vidna razlika med spektri simulacij brez in z modelom spektralne turbulentne difuzivnosti

267 θ' 1- Wang Calmet 3 θ' y y Slika : Profili RMS temperaturnih fluktuacij pri Pr=1 (levo) in Pr= (desno). 1.E+ 1.E-1 1.E- -1 y+=1.3 - y+=1.3-3 y+=1.5-4 y+=1.5 1.E+ 1.E-1 1.E- 1.E-3 1.E-3 1.E-4 1.E-4 1.E-5 1.E-6 1.E-5 1.E-6-1 y+=1.3 - y+=1.3-3 y+=1.5-4 y+=1.5 1.E-7 1.E-3 1.E- k+ 1.E-1 1.E+ 1.E-7 1.E-3 1.E- k+ 1.E-1 1.E+ Slika 3: Pr=: spekter v smeri x (levo) in spekter v smeri z (desno) pri y + =1.3 (Re τ =15) in y + =1.5 (Re τ =395). 4 Zaključki Predstavljeni so rezultati zelo natančnih simulacij turbulentnega prenosa toplote ob ravni steni pri visokih Prandtlovih številih. Rezultati kažejo na izboljšano ujemanje povprečnih temperaturnih profilov in eksperimentalnih krivulj v primerjavi z rezultati obstoječih simulacij. Pristop, ki temelji na direktni numerični simulaciji hitrostnega polja in uporabi metode velikih vrtincev (LES) za temperaturno polje, je dal rezultate, za katere verjamem, da so najbolj natančni rezultati, ki so trenutno na voljo v obravnavanem obsegu Reynoldsovih in Prandtlovih števil (Re T =15 in Re T =395, Pr=1 in Pr=). Rezultati kažejo na zanemarljivo vlogo najmanjših struktur temperaturnega polja, ki so manjše od skale Kolmogorova. Celo temperaturne fluktuacije v bližini stene so neodvisne od - 6 -

268 teh struktur. V turbulentni podplasti imajo drobne temperaturne strukture večji vpliv na temperaturne fluktuacije, vendar pa na povprečni temperaturni profil ne vplivajo. Pristop opisan v tem prispevku je omejen na Prandtlova število do približno 5. Pri še višjih Prandtlovih številih postanejo temperaturni gradienti tik ob steni prestrmi, da bi jih bilo še mogoče opisati brez nadaljnje zgostitve mreže. Za bodoče raziskave na tem področju bi bilo predstavljene rezultate mogoče uporabiti za umerjanje in povečanje natančnosti Lagrangevih modelov, ki lahko opišejo tokove pri poljubno visokih Prandtlovih številih. Literatura [1] Batchelor, G.K., 1959 Small Scale Variation of convected quantities like temperature in a turbulent fluid. J. Fluid Mech. 5, pp.: [] Bergant, R., Tiselj, I., G. Hetsroni, Resolution Requirements for Turbulent Flume Heat Transfer DNS at Prandtl Number 5.4, ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, IMECE 1, Vol. 1, New York.Y, 1. [3] Bergant, R., Tiselj, I., The influence of Prandtl number on near-wall turbulent heat transfer, J. Mech. Engineering 48, pp.: ,. [4] Bergant, R., Tiselj, I., On the Role of the Smallest Scales of a Passive Scalar Field in a Near-Wall Turbulent Flow, Heat Mass Transf. 4 (5), pp.:411-46, 6. [5] Bogucki, D., Domaradzki, J.A., Yeung, P.K., 1997 Direct numerical simulations of passive scalars with Pr>1 advected by turbulent flow, J. Fluid Mech. 343, pp.: [6] Brethouwer, G., Hunt, J.C.R., Nieuwstadt F.T.M. 3 Micro-Structure and Lagrangian statistics of the scalar field with a mean gradient in isotropic turbulence, J. Fluid Mech. 474, pp.: [7] Calmet, I., Magnaudet, J., Large-eddy simulation of high-schmidt number mass transfer in a turbulent channel flow, Phys. Fluids 9 (), pp.: , [8] Campbell, J.A., T.J. Hanratty, Mechanism of turbulent mass transfer at a solid boundary, AIChE J. 9, pp. 1-6, [9] Domaradzki, J.A., Metcalfe, R.W., Rogallo, R.S., Riley, J.J., 1987, Analysis of subgrid-scale eddy viscosity with use of results form direct numerical simulations. Phys. Fluids 58, pp.: [1] Gavrilakis, S., Tsai, H.M., Voke, P.R., Leslie, D.C., 1986, Direct and Large Eddy Simulation of Turbulence, Notes on Numerical Fluid Mechanics 15, pp.: [11] Hasegawa, Y., Kasagi, N., 1, The Effect of Schmidt Number on Air-Water Interface Mass Transfer, Proceeding of The 4th International Conference on Multiphase Flow, New Orleans. [1] Hetsroni, G., I. Tiselj, R. Bergant, A. Mosyak, E. Pogrebnyak, Convective velocity of temperature fluctuations in a turbulent flume, J. Heat Transfer 16, pp.: , 4. [13] Kader, B.A., 1981, Temperature and concentration profiles in fully turbulent boundary

269 layers, Int. J. Heat and Mass Transfer 4, pp.: [14] Kasagi, N., Tomita, Y., Kuroda, A., 199, Direct Numerical Simulation of Passive Scalar Field in a Turbulent Channel Flow, J. Heat Transfer Transactions of ASME 114, pp.: [15] Kawamura, H., Ohsaka, K, Abe, H., Yamamoto, K., 1998, DNS of Turbulent Heat Transfer in Channel Flow with low to medium-high Prandtl number fluid, Int. J. Heat and Fluid Flow 19, pp.: [16] Kawamura, H., Abe, H., Matsuo, Y., 1999, DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects, Int. J. Heat and Fluid Flow, pp.: [17] Kim, J., Moin, P., 1989, Transport of passive scalars in a turbulent channel flow, Turbulent shear flows VI, Springer-Verlag, Berlin, pp.: 85. [18] Kolmogorov, A.N., 1941, The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers, Dokl. Akad. Nauk SSSR 3, pp.: [19] Kraichnan, R.H., 1976, Eddy viscosity in two and three dimensions, J. Atmos. Sci. 33, pp.: [] Lam, K.L., 1989, Numerical Investigation of Turbulent Flow Bounded by Wall and a Free Slip Surface, Thesis, University of California, Santa Barbara. [1] Mitrovic, B.M., Le, P.M., Papavassiliou, D.V., 4, On the Prandtl or Schmidt number dependence of the turbulent heat or mass transfer coefficient, Chemical Engineering Science 59, pp.: [] Na, Y., Hanratty, T.J., Limiting behavior of turbulent scalar transport close to a wall, Int. J. Heat Mass Transfer 43, pp.: ,. [3] Papavassiliou, D., Hanratty, T.J., 1997, Transport of a passive scalar in a turbulent channel flow, Int. J. Heat and Mass Transfer 4, pp.: [4] Schumacher, J., Sreenivasan, K.R., 3 Geometric features of the mixing of passive scalars at high Schmidt numbers, Phys. Rev. Lett. 91, pp.: [5] Schumacher, J., Sreenivasan, K.R., Yeung P.K., 5 Very fine structures in scalar mixing, J. Fluid Mech. 531, pp.: [6] Tiselj, I., Pogrebnyak, E., Li, CF., Mosyak, A., Hetsroni, G., Effect of wall boundary condition on scalar transfer in a fully developed turbulent flume, Phys. Fluids 13, pp.: , 1. [7] Wang, L., Lu, X., 5, Large Eddy Simulation of stably stratified turbulent open channel flows with low- to high-prandtl numbers, Int. J. Heat Mass Transf. 48, pp.: [8] Yeung, P.K., Xu, S., Sreenivasan K. R.,, Schmidt number effects on turbulent transport with uniform mean scalar gradient, Phys. Fluids 14, pp.: [9] Yeung, P.K., Xu, S., Donzis, D.A., Sreenivasan, K.R., 4, Simulations of threedimensional turbulent mixing for Schmidt numbers of the order 1, Flow Turb. Comb. 7, pp.:

270 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 5 Vpliv polnila na odziv urejene odprte celične strukture M. Vesenjak 1 in Z. Ren Filler influence on the behavior of regular open-cell cellular structures Povzetek. V članku so predstavljeni izsledki raziskav, s katerimi je bil določen vpliv tekočinskih polnil na odziv odprte celične strukture z različnimi relativnimi gostotami. V prispevku je opisan računalniški model urejene odprte celične strukture, ki je obremenjen z dinamičnimi obremenitvami. Tekočinsko polnilo je simulirano in diskretizirano z brezmrežno metodo hidrodinamičnih delcev (SPH). Odziv celotnega računalniškega modela celične strukture s polnilom na udarno obremenitev je bil analiziran z eksplicitno programsko kodo LS-DYNA, ki temelji na metodi končnih elementov. Izvedene so bile parametrične simulacije različnih vrst polnila in relativnih gostot celične strukture. Rezultati računalniški simulacij so potrdili, da je vpliv polnila na odziv celične strukture odvisen od osnovnega gradiva celične strukture, njene relativne gostote in vrste polnila. Obenem je bilo ugotovljeno, da se z večanjem relativne gostote vpliv prisotnosti polnila na odziv celične strukture povečuje. Viskoznost polnila prav tako vpliva na makroskopsko togost celičnega gradiva. Abstract. The paper reports research findings on determination of the liquid filler influence on behavior of cellular structures with different relative densities. Computational modeling of regular open-cell cellular structure under dynamic loading conditions is described in the paper. The fluid filler is simulated and discretised with the meshless smoothed particle hydrodynamics (SPH) method. Response of the computational model of cellular structure with filler to impact loading has been analyzed with the explicit code LS-DYNA in framework of the finite element method. Parametric simulations with different fillers and relative densities have been carried out. Computational results have confirmed that the filler influence on global behavior of the cellular structure depends on the base material, the relative density and the filler type. It was determined that by increasing the relative density the influence of the filler also increases. The macroscopic stiffness of the cellular structure is also influenced by the filler s viscosity. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

271 Kuhljevidnevi dnevi5 6 Kuhljevi 1 Uvod Celična gradiva se zaradi svojih lastnosti vse pogosteje uporabljajo v avtomobilski, železniški in drugih industrijskih panogah. Z izpopolnjenimi in izboljšanimi celičnimi strukturami je pri dinamičnih obremenitvah možno izboljšati njihovo učinkovitost glede absorpcije udarne energije z deformacijo celične strukture. Več absorbirane energije namreč posledično pomeni manjše pojemke udarnega telesa in posredno povečanje varnosti. Eden izmed dejavnikov, ki vplivajo na povečanje absorpcije udarne energije, je polnilo v porah celične strukture. Pri deformaciji odprte celične strukture se medcelični prostori in velikost por zmanjšujejo, zaradi česar mora polnilo izteči iz celične strukture, s čimer se dodatno akumulira energija udarca. Celična gradiva imajo pri tlačnih obremenitvah značilno napetostno-deformacijsko krivuljo. Potek krivulje je možno razdeliti na štiri glavna območja. Elastičnemu delu deformacije osnovnega gradiva sledi prehodni del v plastično območje, kjer napetost v določenih točkah gradiva celične strukture doseže mejo plastičnosti. Posledično nastanejo na medceličnih stenah oziroma povezavah lokalna območja tečenja in prehod v plastično območje. Po določeni deformaciji doseže celično gradivo nivo napetosti, ki je v zelo širokem območju deformacij skoraj konstantna. V tem območju se pojavi uklon oziroma izrazita plastifikacija medceličnih sten. Celični prostori se zmanjšujejo, specifična gostota pa posledično raste. Ko se medcelične stene popolnoma sesedejo (zgostitev gradiva), togost oziroma napetost v tem območju zelo hitro naraste, dokler deformirana celična struktura ne doseže togosti osnovnega gradiva [1, 8]. d = 3 mm a = 3,5 4,5 mm Slika 1: Urejena odprta celična struktura. Pri tlačni obremenitvi celične strukture napolnjene s kapljevino je le-ta iztisnjena iz medceličnih prostorov celične strukture. Zaradi viskoznosti tekočine se pri toku tekočine skozi porozno celično strukturo porablja energija. Večja kot je hitrost deformiranja, več energije se porabi pri iztekanju tekočine, zaradi česar so mehanske lastnosti celičnih struktur, napolnjenih s kapljevino, zelo odvisne od deformacijske hitrosti [5]. Z namenom določiti vpliv polnila na odziv odprte celične strukture so bile izvedene parametrične računalniške simulacije urejene odprte celične strukture pod vplivom enoosnih

272 Kuhljevi dnevi 5 normalnih dinamičnih obremenitev. Na takšen način je možno analizirati vpliv polnila por v celičnih strukturah na obnašanje celotne celične strukture pri udarnih obremenitvah. Le-ta skupaj z vrsto osnovnega gradiva, velikostjo, obliko in porazdelitvijo celic v celični strukturi pogojuje in določa makroskopsko obnašanje celične strukture in posledično njeno sposobnost absorpcije udarne energije. Računalniški model odprte celične strukture in polnila Odziv celičnega gradiva z različnim številom celic je vrednoten s tridimenzionalnim numeričnim modelom. Izdelani so štirje različni modeli celičnih struktur z relativno gostoto (ρ/ρ ) od,16 do,37 (slika 1). Obravnavano je naslednje število celic v posamezni plasti: = 4 celice, 4 4 = 16 celic, 6 6 = 36 celic in 8 8 = 64 celic. Osnovno gradivo celične strukture je prostorsko diskretizirano z 8-vozliščnimi popolnoma integriranimi volumskimi končnimi elementi. Z dodatnimi parametričnimi simulacijami je bila določena ustrezna gostota mreže končnih elementov (l,1 mm) in dolžina časovnega koraka (Δt,4 μs) [9]. Osnovno gradivo celične strukture je polimer z mehanskimi lastnostmi prikazanimi v tabeli 1. Uporabljen je bilinearni konstitutivni model z različnimi mehanskimi lastnostmi pri tlačnem in nateznem obremenitvenem stanju. Dinamični odziv gradiva je simuliran s Cowper-Symondsovim konstitutivnim modelom, ki temelji na skaliranju osnovne kvazistatične krivulje napetost-deformacija, in je definiran kot: ε σ=σstat 1+ C 1 p, (1) kjer je σ napetost pri deformacijski hitrosti ε, σ stat pa je vrednost trenutne kvazi-statične napetosti [, 3]. Parametra C in p določata vpliv deformacijske hitrosti na obnašanje gradiva. Natezno območje Tlačno območje Tabela 1: Mehanske lastnosti polimera Modul elastičnosti Poissonovo število 33 MPa,3 Meja tečenja 48,9 MPa 91, MPa Cowper-Symonds C p 15 s -1 3,5 Pri analizah je za polnilo celične strukture uporabljena voda (ρ = 1 kg/m 3 pri 93 K) s prostimi robnimi pogoji na odprtinah celic. Razmerje med spremembo prostornine in tlaka je določeno z Mie-Grüneisenovo enačbo stanja [, 3]. Tekočinsko polnilo je simulirano z brezmrežno metodo diskretnih delcev (angl. Smoothed particle hydrodynamics SPH), kjer se diskretizacijski delci polnila, s predpisanimi materialnimi lastnostmi, gibljejo glede na temeljne ohranitvene enačbe [6, 7]. Zaradi aproksimacijske prilagodljivosti SPH metoda ni odvisna od poljubne porazdelitve delcev in lahko zelo dobro obravnava probleme z zelo

273 Kuhljevi dnevi 5 velikimi deformacijami. Z dodatnimi parametričnimi simulacijami je bila določena optimalna razdalja med SPH delci (l,11 mm) in masa posameznega delca (m i 1,4 μg). Tok tekočine, analiziran z metodo diskretnih delcev hidrodinamike, je pokazal zelo dobro ujemanje s tokom tekočine, analiziranim s programskim paketom CFX, ki temelji na metodi končnih volumnov [9]. Dodatno je bilo s programskim paketom CFX dokazano, da je vpliv medija, ki obdaja celično strukturo s polnilom, na tlačni upor iztekanja polnila zanemarljiv. Ugotovljeno je bilo, da je pri tlačni obremenitvi celične strukture s polnilom približno 96 % masnega pretoka v smeri iztoka polnila. Zato so bili v nadaljnjih simulacijah uporabljeni modeli celične strukture, ki so zajemali le eno plast celic, kar je bistveno skrajšalo računske čase [9]. Izdelani model omogoča reševanje medsebojnega vpliva trdnine (celične strukture) in tekočine (polnila). Medsebojni vpliv tekočine in trdnine je določen s samodejnim kontaktnim modelom [, 3]. Izvedena je bila izključno analiza mehanskih lastnosti celičnega gradiva s polnilom, brez upoštevanja prenosa toplote. Na zgornjo ploskev (slika 1) je delovala tlačna obremenitev, določena s pomikom. Da bi povečali vpliv polnila pri izteku iz celične strukture in skrajšali računske čase, je bila predpisana konstantna deformacijska hitrost 1 s -1. Opazovani računski čas je,6 ms. Vozlišča spodnje ploskve celotnega modela imajo omejen pomik v z smeri. Uporabljene so tri simetrijske ravnine. 3 Rezultati računalniških simulacij Tabela prikazuje število elementov osnovnega gradiva in število delcev polnila za posamezne modele z različnim številom celic v plasti, z in brez upoštevanja simetrije. Prikazani so tudi računski časi posameznih modelov z upoštevanjem simetrije. Iz preglednice je razvidno, da povečevanje števila celic v plasti izrazito vpliva na računski čas, ki v primeru 8 celic v smeri preizkušanca (64 celic v plasti) in z upoštevanjem simetrije presega 77 ur. Pri neupoštevanju simetrije se števili elementov in delcev povečata za 8-krat, kar bi posledično zahtevalo nesmotrno dolge računske čase. Število celic v plasti Tabela : Primerjava velikosti modelov in računski časi Z upoštevanjem simetrije Brez upoštevanja simetrije Št elementov strukture Št delcev polnila Računski čas [ura] Št elementov strukture Št delcev polnila ,7 1,96k 16,k ,8 5,9k 64,98k , 51,84k 1444,k ,1 13,68 563,58k Opomba: Analize so bile izvedene na gruči računalnikov (4 Pentium IV 3, GHz in 1 GB RAM)

274 Kuhljevidnevi dnevi5 6 Kuhljevi Na sliki je prikazan potek deformacije celične strukture s 16 celicami v plasti, ki je napolnjena s tekočinskim polnilom. t = ms t = ms t = 4 ms t = 6 ms Slika : Deformacija celične strukture in posledični tok polnila Diagram na sliki 3 prikazuje osnovni odziv odprte celične strukture brez polnila. Zaradi deformacije medceličnih sten se globalna togost celične strukture pri večjih modelih poveča. Iz diagrama je tudi razvidno, da se vpliv velikosti modela celičnih struktur bistveno zmanjša pri številu celic nad 6 v smeri modela

275 Kuhljevi dnevi 5 Slika 3: Vpliv velikosti modela na odziv celične strukture brez polnila Iz diagrama na sliki 3 je razvidno, da se z večanjem števila celic povečujeta modul elastičnosti in meja tečenja celičnega gradiva. Vpliv polnila pri različnih relativnih gostotah je prikazan na sliki 4. Iz diagrama je razvidno, da ima polnilo pri višjih relativnih gostotah večji vpliv na homogenizirano napetost. Vzrok za to je v velikosti por celične strukture, ki so pri višjih relativnih gostotah manjše. Polnilo mora premagati več upora in potrebuje dalj časa, da izteče iz celične strukture, kar posledično poveča togost celotne celične strukture

276 Kuhljevi dnevi 5 Slika 4: Vpliv polnila in relativne gostote na odziv celične strukture Iz slike 4 je razvidno, da se z večanjem relativne gostote povečujeta homogeniziran modul elastičnosti in homogenizirana meja tečenja. Na njeno povečanje vpliva pri tlačni obremenitvi tudi polnilo v porah. Kot je že prej ugotovljeno, postane vpliv polnila izrazitejši pri večjem številu obravnavanih celic celične strukture. V primeru omogočenega iztoka polnila skozi zgornjo in spodnjo površino je pričakovan manjši vpliv polnila na globalni odziv celične strukture. Ugotovljeno je bilo tudi, da se z večanjem viskoznosti polnila povečuje makroskopska togost celične strukture. Povečanje viskoznosti polnila prav tako vpliva na povečanje modula elastičnosti in meje tečenja celične strukture. Večji upor toka tekočine skozi celično strukturo posledično predstavlja tudi več disipacije energije, zaradi česar so celična gradiva s polnili višje viskoznosti sposobna absorbirati več udarne energije. 3 Zaključek Namen analize odprtih celičnih struktur je bila določitev vpliva polnila na odziv celične strukture. V ta namen so bili izdelani in verificirani novi numerični modeli, ki omogočajo analizo medsebojnega vpliva tekočinskega polnila in osnovnega gradiva celične strukture pri udarnih enoosnih normalnih obremenitvah. Z izdelanim modelom je bil vrednoten vpliv velikosti modela celične strukture, vpliv relativne gostote in vpliv viskoznosti polnila na tok polnila skozi celično strukturo ter posledično na homogeniziran odziv celične strukture. Računalniške simulacije odprtih celičnih struktur so potrdile veliko odvisnost odziva glede na relativno gostoto celične strukture. Vrednotene so bile tri različne relativne gostote, ki so bile v primerjavi s simulacijami zaprtih celičnih struktur mnogo manjše. Večji vpliv polnila

277 Kuhljevi dnevi 5 je bil izmerjen in določen pri višjih relativnih gostotah, kjer so pore in prehodi med posameznimi celicami manjši. Zaradi tega potrebuje polnilo več časa in mora premagati več upora, da izteče iz celične strukture. Posledično sta povišani tudi relativna sprememba homogeniziranega modula elastičnosti in homogenizirane meje tečenja. Z večanjem viskoznosti polnila se povečujejo homogenizirana napetost celične strukture, homogeniziran modul elastičnosti in homogenizirana meja tečenja. Sposobnost absorpcije energije celične strukture s polnili višje viskoznosti je večja, saj se pri toku tekočine iz celične strukture porazdeli več udarne energije. Prihodnje delo bo namenjeno verifikaciji numeričnih rezultatov z gravitacijskimi udarnimi eksperimenti, kot jih na primer opisujeta Jutikka in Hallström [4]. Literatura [1] M.F. Ashby, A.G. Evans, N.A. Fleck, L.S. Gibson, J.W. Hutchinson, H.N.G. Wadley, Metal foams: a design rule, Boston: Butterworth-Heinemann,. [] J.O. Hallquist, Theoretical manual, Livermore: Livermore Software Technology Corporation, [3] J.O. Hallquist, Keyword manual, Livermore: Livermore Software Technology Corporation, 3. [4] R. Juntikka, S. Hallström, Weight-balanced drop test method for characterization of dynamic properties of cellular materials, International journal of impact engineering. 3, , 4. [5] J. Lankford, K.A. Dannemann, Strain rate effects in porous materials, Materials research society symposium proceeding. 51, Pittsburg, [6] S. Li, W.K. Liu, Meshfree Particle Methods, Heidelberg: Springer Verlag, 4. [7] G.R. Liu, M.B. Liu, Smoothed particle hydrodynamics: a meshfree particle method, Singapore: World Scientific, 3. [8] A. Öchsner A, Experimentelle und numerische Untersuchung des elasto-plastischen Verhaltens zellularer Modellwerkstoffe, Düsseldorf: VDI Verlag GmbH, 3. [9] M. Vesenjak, Računalniško modeliranje celičnih struktur pod vplivom udarnih obremenitev, Doktorska disertacija, Maribor: Fakulteta za strojništvo,

278 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Ovirana povračljivost v okroglih obročkih iz materiala z oblikovnim spominom T. Videnič, F. Kosel in M. Brojan Constrained recovery in shape memory alloy rings Povzetek. V članku je predstavljena teoretična in eksperimentalna obravnava ovirane povračljivosti v debelostenskem okroglem obročku s pravokotnim prečnim prerezom iz materiala z oblikovnim spominom (SMA). Uporabljena je teorija snovno nelinearne mehanike, ki sta jo razvila J. Lubliner in F. Auricchio. Mehanska ovira, ki preprečuje prosto povračljivost v SMA obročku, je jekleni obroček. Zaradi ovirane povračljivosti se v obeh obročkih pojavijo velike napetosti. Vse enačbe, ki popisujejo celoten proces, so zapisane v obliki neskončnih vrst. V območju povračljivih deformacij je ujemanje med teoretičnimi in izmerjenimi rezultati dobro. Abstract. In this article biaxial constrained recovery in a thick-walled shape memory alloy (SMA) ring with a rectangular cross section is modelled using the theory of generalized plasticity, which was developed by J. Lubliner and F. Auricchio. As a mechanical obstacle that delays free recovery in a SMA ring, a steel ring is used. The result of constrained recovery is generation of high stresses in both rings. All equations are written in a closed form in terms of infinite series. Theoretical results are compared with experimental findings and good agreement is found when SMA rings are in the domain of recoverable strains. 1 Uvod Materiali z oblikovnim spominom (shape memory alloys SMA) spadajo med tako imenovane inteligentne materiale zaradi njihove lastnosti pomnenja oblike, saj se jim lahko povrne v preteklosti definirana oblika s pomočjo spremembe temperature. Če element iz takšnega materiala deformiramo v nizko temperaturni fazi (martenzit), se mu povrne osnovna nedeformirana oblika ob segretju nad temperaturo A f, ko se v elementu dovrši obratna transformacija iz martenzita v avstenit. Matematično obravnavo mehanskega obnašanja SMA je mogoče izvesti v okviru teorije snovno nelinearne mehanike [1,]. V prispevku je z uporabo teorije snovno nelinearne mehanike obravnavan matematični model ovirane povračljivosti v okroglem SMA obročku. Kot zunanja mehanska ovira, ki preprečuje prosto povračljivost v SMA obročku, je uporabljen okrogel obroček iz običajnega materiala (jeklo). Teoretični rezultati so primerjani z eksperimentalnimi. V ta namen so bile Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

279 izvedene meritve ovirane povračljivosti v šestih SMA obročkih iz Ni 48 Ti 38 Nb 14 zlitine. Eden od SMA obročkov je bil segret brez uporabe mehanske ovire (prosta povračljivost), s čimer se lahko določita tudi neznana parametra α in λ M, ki se pojavita v modelu. Proces ovirane povračljivosti V SMA elementih se pojavijo precejšnje napetosti, če je med segrevanjem povrnitev avstenitne strukture ovirana z zunanjo oviro. Proces se imenuje ovirana povračljivost. Enoosna ovirana povračljivost pomeni, da je SMA element enoosen [4]. V primeru SMA obročkov pa imamo opravka z dvoosno ovirano povračljivostjo, saj obstajata v osnosimetričnih okroglih obročkih dve normalni napetosti: radialna σ r in cirkularna σ ϕ. Zato je obravnava precej bolj zapletena. Slika 1: Geometrija obeh obročkov pri različnih temperaturah: (a) SMA obroček pred raztezanjem v martenzitni fazi z notranjim in zunanjim radijem a in b. (b) Geometrija obeh obročkov pri temperaturi okolice T po raztezanju in segrevanju SMA obročka. SMA obroček je v martenzitni fazi in razširjen: a 1 > d > a. (c) Pri tempeaturi T C se oba obročka dotakneta. (d) Retransformacija iz martenzita v avstenit v SMA obročku je končana pri temperaturi T SE. V obeh obročkih se pojavijo velike napetosti. (e) Oba obročka ohladimo nazaj na temperaturo okolice T k = T. Celoten proces ovirane povračljivosti je možno popisati v šestih korakih: (1) SMA obroček je ohlajen iz avstenitne faze v martenzitno. () SMA obroček je razširjen v martenzitni fazi pri konstantni temperaturi. (3) Sledi segrevanje obeh obročkov in do temperature A S se oba širita. (4) Pri temperaturi A S se začne SMA obroček krčiti (retransformacija iz martenzita v avstenit), medtem ko se jekleni obroček še naprej širi. Pri temperaturi T C pa se oba obročka dotakneta in v SMA obročku se začne proces ovirane povračljivosti. (5) Nad temperaturo T C poteka v SMA obročku ovirana retransformacija v avstenit in se konča pri temperaturi T SE

280 Napetosti v obeh obročkih naraščajo, zato je temperatura T SE precej višja od A f. (6) Obročka, ki sta v kontaktu, ohladimo nazaj na temperaturo okolice T. Ker obstajajo na trgu SMA obročki, ki so pripravljeni za uporabo, je obravnava prvih dveh korakov nepotrebna. Zaradi pomankanja prostora tudi ne bo prikazana obravnava tretjega in četrtega koraka. Analiza teh dveh korakov ni zapletena, možno pa jo je najti v literaturi [4]. Geometrija obeh obročkov v različnih temperaturnih območjih je prikazana na sliki 1. 3 Modeliranje ovirane povračljivosti V dvofaznem sistemu (martenzit in avstenit) je edina notranja spremenljivka masni delež ene od faz. Običajno je to masni delež martenzita ξ. Če je ξ = to pomeni, da je struktura SMA elementa avstenitna, če pa je ξ = 1, je struktura popolnoma martenzitna. Zaradi pomanjkanja prostora je na tem mestu naveden le končni izraz, ki povezuje efektivno napetost σ e, masni delež martenzita ξ ter temperaturo T SMA obročka v primeru linearnega zakona tečenja [1]: ξ ( rt ; ) = ξ ( r) σ e ( rt ; ) CT ( Af ) C( Af AS) kjer je ξ (r) začetni delež martenzita, ki se lahko spreminja z radijem r, vendar bomo v našem primeru privzeli ξ (r) = 1. Konstanta C pa je napetostno razmerje, ki je ena od osnovnih lastnosti SMA materialov. Za efektivno napetost σ e lahko zapišemo: e ϕ r r ( ϕ) (1) σ = σ σ + α σ + σ () kjer α popisuje neenak odziv na natezno in tlačno obremenitev, kar je ena od značilnosti SMA materialov. Deformacijski tenzor ε ij je možno izraziti na naslednji način: kjer je ε elastični delež in el ij el iel ε = ε ( σ ; T) + ε ( ξ) (3) ij ij ij ij iel ε ij neelastčni delež deformacije SMA elementa. Z neelastično deformacijo lahko popišemo martenzitne transformacije, določimo pa jo lahko: σ iel e εij = λmξ σ ij kjer je λ M konstanta, ki jo je potrebno določiti eksperimentalno. Določitev konstant α in λ M je bila predstavljena na Kuhljevih dnevih 4 [3]. V jeklenem obročku, ki je uporabljen kot mehanska ovira SMA obročku, je v vseh temperaturnih območjih predpostavljeno elastično napetostno-deformacijsko stanje. Temperaturo T C pri kateri se obročka dotakneta je možno določiti iz pogoja a C = d C : T C = ( 1 α ) ( 1+ α ) ( ) λ ( 1+ α) ( α a α d )( A A ) λ ( 1+ α) a T d T a A A Aa st S f S M f S st f S M (4) (5)

281 kjer sta α st in α S linearna temperaturna razteznostna koeficienta za jeklo in SMA. Od temperature T C naprej poteka v SMA obročku proces ovirane povračljivosti, zato bosta peto in šesto temperaturno območje obravnavana bolj podrobno. 3.1 Temperaturno območje T C T T SE Med procesom ovirane povračljivosti lahko zapišemo zvezo med radialno in cirkularno deformacijo, premikom u in napetostmi v osnosimetrično obremenjenem SMA obročku z uporabo izrazov ( 4): ε u 1 r = = M S r S r λ α ξ + α + E σ νσ ϕ el el ( 1) ( T T ) ( ) S (6) u 1 el el εϕ = = λm ( 1+ α) ξ + αs ( T T ) + ( σϕ νσ S r ) (7) r E kjer sta E S in ν S modul elastičnosti in Poissonov količnik SMA materiala. Velja omeniti, da sta σ in σ elastična dela celotnih napetosti σ r in σ ϕ. Razlika nastopi zaradi martenzitne el r el ϕ transformacije in je pojasnjena v [4]. Z uporabo izrazov (1), (), ravnotežne enačbe rd ( σr / dr) = σϕ σr in po integraciji v mejah od T C do T dobimo po izpeljavi, ki je opisana v literaturi [4], iz izrazov (6) in (7): S σr σr ( 1+ α) r + ( 1+ 3α) = r r 1 α 3+ α 1 C 1 1 ( Af AS) a + α b α α ( 1 ν ) ( 1 S( 1 S r + α ν α) ) r λ ( 1 ) M + α E S b + αr ( b + αr ) Rešitev diferencialne enačbe (8) je: ( T T ) σ ν α ν α α 1+ α C ( A ) 1 f AS a b 1 νs b + αr + α + E1( T) + E( T) r + ln 4λα M ( 1+ α) ES α b + αa ( 1 α νs( 1 α) ) b ( a r α ) + 1+ α + ( T T ) C r ( b + αr )( b + αa) 1+ α C ( Af AS) a b r( rt ; ) = 1+ S I r + 1 S 1+ I r T TC λα M ( 1+ α) ES ( ) ( ) ( ( )) ( ) 4 ( ) C (8) (9)

282 kjer sta E 1 (T) in E (T) neznani integracijski konstanti, ki ju določimo iz robnih pogojev, I (r) in I 4 (r) pa sta integrala, ki ju je možno rešiti z uporabo izreka Čebiševa: k k+ k+ 1 α 1+ α 1+ α ( α) r a r 1+ α ρ 1+ α I ( r) = dρ = (1) ( b + αρ ) ( k+ ) (( α ) ) 1 b + a αρ k= 1+ k+ 1 b 4+ α 4+ α k k+ k+ 3+ α 1+ α 1+ α ( α) ( k+ 1) r a r 1+ α ρ 1+ α I ( r) = dρ = (11) ( k+ ) (( + α)( k+ ) + ) b 4 a k= Cirkularno napetost σ ϕ lahko določimo iz ravnotežne enačbe in z uporabo izraza (9): 1+ α C ( Af AS) a b σϕ( rt ; ) = 1+ ν I r + 1 α ν 1+ α I r T T λα M ( 1+ α) E S α 1+ α 1 α C ( A )( 1 ) 1 f AS α a b 1 νs b + αr + α + E1( T) + E( T) r + ln 1+ α 4λα M ( 1+ α) E b S α + αa ( 1 α νs ( 1 α) ) b ( a r α + ) 1+ α + ( T T ) C r ( b + αr )( b + αa) ( ) ( ) ( ( )) ( ) S S 4 ( C) V našem primeru imamo na razpolago tri robne pogoje. Radialna napetost na zunanjem robu SMA obročka je enaka nič: σ r (b ) =, notranji radij SMA obročka je ves čas enak zunanjemu radiju jeklenega obročka: a(t) = d(t). Ker se v drugem robnem pogoju pojavi radialna napetost na stiku med obročkoma p (T), moramo zapisati še en pogoj: σ r (a )= p (T). Tako imamo tri enačbe za določitev treh neznank: E 1 (T), E (T) in p (T). Temperaturo T SE lahko določimo iz pogoja ξ =, vendar izraza zaradi nepreglednosti ne zapišemo. Ko je p (T) poznan, lahko brez težav določimo tudi napetostno-deformacijsko stanje v jeklenem obročku, saj privzamemo, da je vseskozi v elastičnem območju. (1) 3. Temperaturno območje T SE T T k Temperatura T SE je za izbran SMA material nad 1 C, zato je potrebno obročka še ohladiti na končno temperaturo T k, ki je običajno kar temperatura okolice T. V tem temperaturnem območju se oba obročka obnašata običajno (krčita se s padanjem temperature), saj je v SMA obročku že končana retransformacija iz martenzita v avstenit, temperatura M S za izbrani SMA material pri kateri bi se začela transformacija nazaj v martenzit pa je precej pod C. Normalni deformaciji v SMA kolobarju lahko zapišemo na naslednji način:

283 u 1 εr = = ( σr νσ S ϕ) + αs( T TSE ) r ES (13) u 1 εϕ = = ( σϕ νσ S r) + αs ( T TSE ) r E (14) Podobno kot prej lahko določimo diferencialno enačbo, ki opisuje dogajanje v SMA obroču: α 1+ α σ ( ) r σr 4α C A 1 f AS a b + α r + 3r = E ( TSE ) r 3 r r ( 1+ α) λmα( 1+ α) ES α 1 ν ( 1 ( 1 )) ( ) S b + αr α νs + α b a r 1+ α ln + ( T ) SE TC r α b + αa ( b + αr )( b + αa) 1 α 1 + C ( Af AS) a b + α 1+ α ( 1 ν ) ( 1 S ( 1 S r α ν + α) ) br ( T SE TC) λmα( 1+ α) E b S + αr ( b + αr ) Diferencialna enačba (15) je še precej bolj zapletena kot enačba (8). Ker pa je običajno linearni temperaturni razteznostni koeficient jekla α st samo nekoliko večji od koeficienta SMA materiala α S, je napetostno stanje pri temperaturah T SE in T skoraj enako, čeprav je deformacisko stanje pri obeh temperaturah precej različno. Zato izrazov za napetosti σ r in σ ϕ v SMA obročku na tem mestu ne bomo zapisali, najdemo pa jih lahko v literaturi [4]. 4 Rezultati meritev Za potrditev teorije smo izvedli meritve ovirane povračljivosti v šestih SMA obročkih. Večino vhodnih podatkov za SMA material kot tudi obročke same, je posredovala firma Intrinsic Devices Inc. iz San Francisca. Elastični modul materiala jeklenega obročka (ISO: 36CrNiMo6,3,6) je bil izmerjen na nateznem stroju Zwick Z5, prav tako tudi meja plastičnosti, ki znaša 97MPa. Visokokvalitetno jeklo je bilo izbrano zato, ker so bile v jeklenih obročkih v modelu predpostavljene le elastične deformacije. Geometrija obeh obročkov je bila merjena na koordinatni merilni napravi DEA (napaka ±µm). Vhodne vrednosti za teoretični izračun so zbrane v tabeli 1: Tabela 1: Vhodne vrednosti konstant za teoretični izračun. a = mm b = 16.8 mm a 1 = 9.71 mm b 1 = mm c = mm d = mm A S = 5 C A f = 8 C T = T k = C α S = K -1 α st = K -1 C = 5.5 MPa/K ν st =.3 ν S =.3 E st = 195 GPa E S = 31 GPa S (15)

284 Na trgu so na voljo SMA obročki iz materiala Ni 48 Ti 38 Nb 14 v razširjenem stanju (radija a 1 in b 1 ). Ker za izračun potrebujemo tudi radija a in b smo en SMA obroček segreli nad temperaturo A f brez uporabe mehanske ovire (jekleni obroček) in nazaj ohladili na temperaturo okolice. Notranji in zunanji radij v tem stanju sta a in b, ki smo ju izmerili in ju uporabili v izračunih. Nekateri rezultati izračuna so zbrani v tabeli : iel iel ε ( a ; T ) =.63 ( b T ) ϕ Tabela : Nekateri razultati numeričnega izračuna. ε ; =.75 α = λ M =.459 ϕ T C = C T SE = C ξ(a ;T SE )=.1445 ξ(b ;T SE ) = E 1 (T SE )=34.79MPa E (T SE )=-1445Nmm - /(1+α) p (T SE )=11.3MPa p (T k )=111.9MPa a(t SE )=d(t SE )=9.93mm a(t k )=d(t k )=9.8mm c(t SE )=7.1mm c(t k )=7.193mm Iz tabele lahko razberemo, da je napetostno stanje pri temperaturah T SE in T k res zelo podobno, čeprav sta temperaturi T SE in T k = T zelo različni. Temperatura T SE je izračunana iz pogoja ξ(r;t SE ) =, vendar pa se delež martenzita spreminja z radijem r, zato smo za T SE upoštevali temperaturo, ko se prvo vlakno popolnoma transformira v avstenit. V našem primeru je bilo to pri zunanjem radiju b. V tem trenutku so vsa druga vlakna delno še v martenzitni fazi. Dimenzije šestih SMA obročkov in šestih jeklenih obročkov, ki so bili uporabljeni za meritve ovirane povračljivosti in tudi za numerične izračune so zbrane v tabeli 3. Širina vseh obročkov je 13.75mm. Zunanji radiji jeklenega obročka d so izbrani tako, da se oba obročka dotakneta pri različnih kontaktnih temperaturah T C. Pri tem se tudi končno napetostno stanje v obročkih z naraščanjem d povečuje. Tabela 3: Geometrija SMA in jeklenih obročkov. a 1 [mm] b 1 [mm] c [mm] d [mm]

285 V tabeli 4 so podani rezultati meritev notranjega radija jeklenih obročkov in rezultati numeričnega izračuna pri končni temperaturi T k = C. Vseh šest sistemov SMA obroček jekleni obroček smo segrevali v teflonskem olju 1 minut nekoliko nad izračunano temperaturo T SE. Tabela 4: Primerjava izmerjenih in izračunanih notranjih premerov jeklenih obročkov po procesu ovirane povračljivosti. T C [ C] c teor [mm] c eks [mm] st st u teor [µm] u e ks [µm] napaka [%] Rezultati meritev in teorije se dokaj dobro ujemajo v prvih štirih primerih v tabeli 4. V petem in šestem primeru pa se razlika precej poveča, kar je tudi možno razložiti. V matematičnem modelu so napetosti v SMA obročku razdeljene na elastični del in na razbremenitveni del zaradi transformacije iz martenzita v avstenit. V petem in šestem primeru pa verjetno pride zaradi velikih napetosti do 'prave' plastifikacije SMA obročka, zato bi bilo potrebno v izrazih (6) in (7) upoštevati tudi nepovračljive plastične deformacije. Seveda pa bi bila potem obravnava problema še bolj zapletena. Literatura [1] F. Auricchio, Shape-memory alloys: applications, micromechanics, macromodelling and numerical simulations, PhD dissertation, University of California at Berkeley, [] J. Lubliner, F. Auricchio, Generalized plasticity and shape-memory alloys, Int. J. Solids Structures, Vol. 33, No. 7, 1996, , [3] F. Kosel, T. Videnič, Določitev nekaterih materialnih lastnosti pri gradivih z oblikovnim spominom, Kuhljevi dnevi 4, Otočec, , Zbornik del, str , 4. [4] T. Videnič, Ovirana povračljivost v konstrukcijskih elementih iz materiala z oblikovnim spominom, Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, 4. [5] T. Videnič, F. Kosel, Snovno nelinearna mehanika in ovirana povračljivost pri gradivih z oblikovnim spominom, Kuhljevi dnevi 5, Podčetrtek, , Zbornik del, str ,

286 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Optimizacija oblike dinamično obremenjenih nosilcev in manipulatorjev B. Vohar 1, M. Kegl, Z. Ren 3 Shape optimization of dynamically loaded beams and manipulators Povzetek. V prispevku je predstavljan nov pristop k optimizaciji elastičnih mehanskih sistemov z uporabo končnih elementov, ki temeljijo na relativno novi formulaciji absolutnih vozliščnih koordinat. Ta formulacija je bila razvita posebej za dinamične analize sistemov teles, kjer so prisotni veliki pomiki ter majhne ali velike deformacije. Poleg tega je uporabljena tehnika projektnih elementov, kar omogoča zelo fleksibilno in tudi hitrejšo optimizacijo, saj zelo zmanjša število potrebnih projektnih spremenljivk. Metoda se je izkazala za učinkovito, kar je na kratko ilustrirano na predstavljenem numeričnem primeru. Abstract. The paper presents a new approach to optimization of elastic mechanical systems where finite elements, based on the recently introduced absolute nodal coordinate formulation, have been used. This formulation has been specially developed for dynamic analysis of multibody systems where large displacements and small or large deformations are present. In addition, the design element technique has also been implemented which enables very flexible and faster optimization process, since the number of required design variables is relatively small. The proposed method has proven to be efficient, which is briefly illustrated by numerical example. 1 Uvod Elastični manipulatorji imajo pred togimi pomembne prednosti: bistveno manjšo maso, nižjo porabo energije, višje obratovalne hitrosti in posledično zato tudi večjo produktivnost ter večjo varnost zaradi manjših vztrajnostni mas. Vendar pa je izpeljava dinamičnih modelov ter zasnova kontrole in vodenja takšnih sistemov veliko bolj zahtevna v primerjavi s togimi oz. kvazi-togimi sistemi zaradi elastičnih vibracij in deformacij, do katerih prihaja med Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Smetanova 17, Maribor 1 bojan.vohar@uni-mb.si, marko.kegl@uni-mb.si, 3 ren@uni-mb.si

287 obratovanjem. Najvažnejša področja uporabe elastičnih sistemov so: aplikacije v vesoljskih sistemih (pomembna majhna masa in nizka poraba energije); avtomatizacija proizvodnje (pomembna hitrost, natančnost, ponovljivost, ekonomičnost, varnost); delo v človeku nevarnih okoljih; lahki, natančni in hitro tekoči sistemi pa tudi veliki in težki manipulatorji, kjer so mase in dimenzije elementov že tako velike, da predpostavka togih teles ne velja več in zato vplivi deformacij ter vztrajnosti na dinamiko sistema niso več zanemarljivi. V prispevku se posvečamo optimizaciji oblike takšnih elastičnih sistemov ter dinamično obremenjenih nosilcev, s katerimi običajno modeliramo manipulatorje. Proces optimizacije oblike je sinteza ustreznega koncepta predstavitve oblike posameznega telesa kot sestavnega dela obravnavanega sistema, natančnih numeričnih metod za dinamično analizo sistema ter učinkovitih metod za rešitev optimizacijskega problema. Zadnje so že precej obširno raziskane in zato obstaja širok izbor učinkovitih optimizacijskih metod, še posebej za primere, kjer so projektne spremenljivke zvezne ter so vse prisotne funkcije odvedljive. Obširne raziskave pa potekajo na področju modeliranja elastičnih sistemov. Najpogostejši način modeliranja dinamike manipulatorjev je s kombinacijo Lagrangeove metode ter principom privzetih lastnih oblik, ki omogoča zapis dinamičnih enačb sistema v zaključeni obliki. Alternativni način, ki pa vedno bolj pridobiva na veljavi, je modeliranje po metodi končnih elementov, npr. [14]. V dinamiki mehanskih sistemov, kjer imamo opravka z velikimi pomiki mehanskih delov, je najpogosteje v uporabi metoda končnih elementov s premičnim koordinatnim sistemom [14]. Ta pristop omogoča natančno modeliranje togega gibanja ter zagotavlja ničelne deformacije, kar je pogoj pri takem gibanju. Gibalne enačbe, izpeljane po metodi premičnega koordinatnega sistema, so izrazito nelinearnega značaja. Prav tako izrazito nelinearna je tudi masna matrika, matrika vztrajnostnih sil pa vključuje člene Coriolisovih in centrifugalnih sil, v katerih se pojavljajo kompleksni členi kvadratov hitrosti. Po drugi strani pa je togostna matrika sistema po tej formulaciji enostavne oblike in je enaka togostni matriki, ki se pojavlja v mehaniki trdnin [14]. Metoda s premičnim koordinatnim sistemom je primerna za sisteme z velikimi pomiki in majhnimi deformacijami. Za analize elastičnih sistemov, kjer so prisotni veliki pomiki in velike deformacije, se uporabljajo nelinearni končni elementi z inkrementalno formulacijo [3]. V teh metodah se gibalne enačbe linearizirajo, kar pomeni težje ohranjanje gibalne količine in energije. Zaradi tega in zaradi prisotnosti visokih frekvenc v sistemu so običajno pri časovni integraciji potrebni zelo kratki koraki in s tem dolgi računski časi celotne simulacije. V zadnjem desetletju so se na področju dinamičnih analiz elastičnih sistemov uveljavili novi končni elementi zasnovani na formulaciji z absolutnimi vozliščnimi koordinatami (AVK). Metodo je leta 1995 predlagal Shabana [13, 14] in je v zadnjem desetletju postala zelo pogosto uporabljena na področju dinamike sistemov teles [, 3, 19]. To je ne-inkrementalna metoda za dinamične analize sistemov elastičnih in togih teles, ki so izpostavljena velikim pomikom in rotacijam ter majhnim ali velikim deformacijam. Prostostne stopnje končnega elementa so v tej formulaciji definirane v globalnem, nepomičnem koordinatnem sistemu. Bistvena razlika napram vsem ostalim formulacijam je v tem, da za prostostne stopnje niso uporabljene infinitezimalne niti končne rotacije, ampak krajevni vektor vozlišča ter njegovi gradienti. S tem se izognemo zapleteni interpolaciji rotacij ter redundantnim koordinatam, saj interpoliramo samo funkcijo krajevnega vektorja. Z uporabo gradientov oziroma nagibov namesto rotacij niso potrebne nobene predpostavke - 8 -

288 ali omejitve glede velikosti deformacije elementa. Sistematična uporaba formulacije AVK omogoča uporabo že znanih abstrakcij realnih elastičnih teles, npr. Euler-Bernoullijeve in Timoshenkove teorije nosilcev, Kirchoffove in Mindlin-Reissnerjeve teorije plošč in lupin, hkrati pa omogoča sprostitev nekaterih predpostavk in omejitev teh klasičnih modelov [1, 19]. Položaj poljubne točke elementa je v formulaciji AVK linearna funkcija vozliščnih koordinat, matrika oblikovnih funkcij pa je izbrana tako, da omogoča opis poljubnega togega gibanja. Posledica takšne formulacije je konstantna masna matrika, kar lahko zelo poenostavi nelinearne gibalne enačbe in pospeši njihovo časovno integracijo. Masno matriko lahko zato faktoriziramo samo enkrat na začetku simulacije, prav tako pa se ne pojavijo centrifugalne in Coriolisove sile [3]. Ker so sprememba položaja, rotacija in deformacija telesa popolnoma definirani in opisani s koordinatami gradienta krajevnega vektorja, niso potrebni dodatni parametri, ki so običajno prisotni pri ostalih formulacijah za opis strižnih deformacij (npr. strižni koeficient iz Timoshenkove teorije nosilcev). Slaba stran formulacije AVK pa je izpeljava notranjih elastičnih sil elementa, saj so ti izrazi zelo nelinearni. Shabana in sodelavci [1,, 4, 14] so predlagali dva pristopa za izpeljavo elastičnih sil. Prvi pristop priporoča vpeljavo lokalnega koordinatnega sistema elementa za lažji opis elastičnih deformacij elementa. Kot je navedeno v literaturi, vodi ta način k bolj kompleksnim izrazom za elastične sile, tudi v primeru uporabe linearnega elastičnega modela [15]. Drugi in bolj neposreden pristop pa sledi teoriji mehanike kontinuuma ter za izpeljavo notranjih elastičnih sil ne potrebuje lokalnega koordinatnega sistema elementa [1]. Splošne enačbe notranjih sil, izpeljane po tem pristopu imajo veliko enostavnejšo obliko, kljub temu, da je potrebno uporabiti nelinearno zvezo med pomiki in deformacijami za zagotavljanje ničnih deformacij med poljubnim togim gibanjem. Končni element na temelju formulacije absolutnih vozliščnih koordinat Na temelju AVK je bilo razvitih več različic končnih elementov za nosilce in plošče [1,, 9, 1, 15, 19]. V naši študiji smo uporabili končni element ravninskega strižnega nosilca, avtorjev Omarja in Shabane [1]. Pri tem elementu je predpostavljena lega delca definirana v XY, v naslednji obliki [1]: globalnem koordinatnem sistemu ( ) 3 r1 a + a1x+ ay+ a3xy+ a4x + a5x r = 3 r = = Se, (1) b + bx 1 + by+ b3xy+ b4x + b5x kjer sta x in y lokalni koordinati elementa, definirani kot x l in h h y, S je matrika globalnih oblikovnih funkcij elementa, e pa vektor vozliščnih koordinat [16]. Predpostavljena lega v (1) vsebuje 1 neznanih koeficientov polinoma. Zato je za vsako vozlišče dvo-vozliščnega elementa potrebnih šest vozliščnih koordinat. Koordinate vozlišč so izražene v globalnem nepomičnem referenčnem koordinatnem sistemu in so sestavljene iz globalnih leg ter globalnih nagibov v vozliščih: e = r e = r e = r e = r e = r e = r 1 1 x= x= 3 1, x x= 4, x x= 5 1, y x= 6, y x= e = r e = r e = r e = r e = r e = r 7 1 x= l 8 x= l 9 1, x x= l 1, x x= l 11 1, y x= l 1, y x= l ()

289 pri čemer je uporabljen zapis r,α = r α. Nagibi predstavljajo odvode globalnega vektorja poljubne točke po lokalnih koordinatah elementa. V vsaki poljubni točki vzdolž srednjice nosilca r ( x,) je vektor r,x tangenten na srednjico nosilca, vektor r,y pa definira orientacijo prereza nosilca [1]. Vsakršna odstopanja teh dveh vektorjev od enotske dolžine predstavljajo nateg, skrček ali drugo deformacijo nosilca v ustrezni smeri [16], slika 1. Oba vektorja sta medsebojno pravokotna v začetnem, ravnem in nedeformiranem stanju nosilca. Takšen opis zagotavlja zveznost gradientov globalnih pomikov na posameznih vozliščih med elementi brez kakršnihkoli predpostavk ali omejitev glede velikosti rotacije in deformacije znotraj elementa [16]. Y h vozlišče A l vozlišče B r B, y r B, x Y h l r B, y r B, x h r B, y X a) začetni, nedeformiran KE r = 1 T r = 1 [ ] [ ] Bx, By, r B, y T X b) r = [ 1 ] T r = [ 1.5] Bx, By, r B, y T Y c) r = [ 1 ] T r = [ 1 1] X Bx, By, r B, x T Y d) r = [ 1.4] T r = [ 1] X Bx, By, Slika 1: Fizikalna interpretacija nagibov - vozliščnih koordinat Za implementacijo opisanega elementa nosilca v lasten MKE programski paket je bilo potrebno izvesti določene modifikacije. Najpomembnejša je sprememba v zapisu vozliščnih neznank, ki so, zapisane v izvirni formulaciji, onemogočale spajanje elementov pod različnimi koti (npr. pri modeliranju skeletnih struktur). Zato vektor vozliščnih koordinat ter njegove odvode zapišemo kot: e= e + T u e = T u e= T u, (3) ini r B, x T kjer je e ini vektor vozliščnih koordinat v začetnem, nedeformiranem stanju; u je inkrement vektorja vozliščnih koordinat, ki se izračunava med simulacijo; T pa je transformacijska matrika, s katero je upoštevan poljuben začetni položaj posameznega elementa. V začetnem stanju sistema velja u = ter e= e ini. Za izpeljavo sistema gibalnih enačb je bil uporabljen Lagrangev pristop. Z odvajanjem globalnega vektorja poljubne točke na nosilcu po času dobimo izraz vektorja absolutne hitrosti v globalnem koordinatnem sistemu: r = Se = STu, s pomočjo katerega lahko zapišemo kinetično energijo elementa kot: ( ρ Ω ) 1 T 1 T T 1 T T = ρrr dv = e SSΦ dω e = eme, (4) V - 8 -

290 kjer je V volumen elementa, ρ masna gostota materiala, Ω= [ 1,1] 3 je domena Gaussove integracije, Φ je ustrezna determinanta Jacobijeve matrike, M pa masna matrika elementa, ki jo zapišemo kot M= S S ΦdΩ. Njena pomembna lastnost je simetričnost in ρ T Ω konstantnost. Odvisna je samo od geometrije elementa ter razporeditve njegove mase. Ob predpostavki konsistentnih oblikovnih funkcij, so vektorji vseh centrifugalnih in Coriolisovih sil enaki nič, hkrati pa so s takšnim zapisom zajeti in opisani vsi učinki translatorne in rotacijske vztrajnosti [14]. Vektor vztrajnostnih sil s tem zapišemo kot Q = = in Me MTu. Ustrezna formulacija mora zagotavljati, da med togimi pomiki sistema deformacije ostajajo enake nič. V ta namen je uporabljen splošen pristop nelinearne mehanike kontinuuma, kjer vektor generaliziranih notranjih elastičnih sil Q el izpeljemo z odvajanjem izraza za deformacijsko energijo [14]: Q el T U ε = = e e v pri čemer je deformacijska energija U elementa definirana kot T Eε dv, (5) 1 T 1 T U = σ εdv = ΦdΩ V ε Eε. (6) Ω V zgornjem izrazu je σ drugi Piola-Kirchoffov napetostni tenzor, ε vektor deformacijskega tenzorja, E pa matrika elastičnih koeficientov materiala. Pri računalniškem modeliranju sistemov teles so zunanje obremenitve običajno predpisane v Kartezijevih koordinatah. Zato je potrebno izpeljati relacijo med Kartezijevimi koordinatami in generaliziranimi koordinatami, ki se uporabljajo v formulaciji AVK. Vektor generaliziranih sil Q izpeljemo z uporabo principa virtualnega dela v obliki [1]: ex T T T W ex = + = ex δ f δr h δγ Q δe, (7) kjer je f vektor zunanje sile, ki deluje na element v poljubni točki, h je vektor momenta, ki deluje okoli osi, definirane na elementu, δr je virtualna sprememba globalnega vektorja točke delovanja sile, δ γ pa je virtualna sprememba rotacij, definiranih okoli globalnih osi. Z znanimi vektorji vztrajnostnih sil, generaliziranih notranjih elastičnih sil ter generaliziranih zunanjih sil zapišemo enačbe gibanja za deformabilno telo kot [14]: Q + Q Q =, (8) in el ex kjer so zaradi uporabe nelinearne zveze med pomiki in deformacijami upoštevane vse geometrijske nelinearnosti [1]. Za časovno integracijo gibalnih enačb smo v našem delu uporabili implicitno centralno časovno shemo

291 3 Parametrizacija oblike Optimizacija oblike nosilcev in podolgovatih skeletnih struktur je običajno izvedena tako, da so za projektne spremenljivke izbrane kar koordinate vozlišč ter parametri prerezov končnih elementov [5, 7, 1, 17, 18]. Takšna izbira projektnih spremenljivk je po eni strani ugodna, saj sta obe vrsti parametrov že prisotni v sami formulaciji končnih elementov in zato ni potrebe po vpeljavi novih parametrov ali spremenljivk, ki bi opisale obliko nosilca. Vendar pa ima takšen pristop tudi pomembno pomanjkljivost, saj lahko v primeru optimiranja velikih sistemov z veliko končnimi elementi število projektnih spremenljivk zelo hitro naraste do relativno težko obvladljivega števila [5]. Eden zelo uspešnih načinov parametrizacije oblike je tehnika uporabe projektnih elementov. Projektni element je lahko katerokoli geometrijsko telo, ki za dan optimizacijski problem predstavlja najugodnejšo izbiro. Racionalna Bézierjeva telesa so se izkazala za zelo elegantno rešitev takšnih problemov [5, 7, 8], saj imajo nekatere zelo dobre lastnosti: omogočajo opis zelo fleksibilnih oblik in geometrij; njihova definicija že v osnovi samodejno preprečuje prekomerne oscilacije in ekstremne spremembe oblike, kar omogoča gladke oblike; enostavno je z njimi mogoče opisati klasične geometrijske oblike [7]. Pri uporabi tehnike projektnih elementov za obravnavan sistem (nosilec, skeletna struktura) najprej definiramo geometrijsko telo kot ovojnico sistema. To telo nato razdelimo na enostavnejše geometrijske objekte, imenovane projektni elementi D i, ki jih lahko parametrizamo na veliko bolj enostaven način kot obliko prvotnega geometrijskega telesa (slika ). Nosilec, diskretiziran s 3 KE Skeletna struktura, modelirana s KE nosilcev Obe strukturi imata enako ovojnico, ki zato opisuje eno geometrijsko telo B B Nekateri možni načini delitve geometrijskega telesa na projektne elemente D1 D D3 D1 D D3 3 projektni elementi s spremenljivo višino 3 projektni elementi s konstantno višino D1 1 projektni element s konstantno višino in kubično interpolacijo v vzdolžni smeri Slika : Ilustrativen primer uporabe tehnike projektnih elementov Končni elementi nosilca so nato definirani znotraj domene projektnih elementov, namesto neposredno v dejanskem D prostoru. Na ta način je dobljena konvektivna mreža končnih elementov, ki samodejno sledi in se prilagaja geometrijskim spremembam obravnavanega

292 sistema [8]. Torej D v splošnem sledi obliki poligona, s katerim je definiran; vogalne točke i tega poligona in obravnavanega telesa sovpadajo in celotno telo bo vedno vsebovano znotraj konveksnega poligona, s katerim je projektni element definiran. Položaj in oblika projektnega elementa D je v celoti določena s položajem njegovih kontrolnih točk. Torej sprememba položajnih vektorjev teh točk spremeni položaj in obliko D. Uporaba te lastnosti omogoča zelo prikladno in učinkovito metodo za uvedbo novih, ustreznejših oblikovnih projektnih spremenljivk, saj enostavno privzamemo odvisnost kontrolnih točk od vektorja projektnih spremenljivk. Posledično vsaka sprememba vrednosti projektnih spremenljivk povzroči gladko spremembo oblike D. Na spremembo oblike D vpliva tudi število kontrolnih točk. Na ta način lahko z le nekaj projektnimi elementi višjega reda enostavno in učinkovito optimiramo obliko kompleksne konstrukcije. Poleg parametrizacije oblike smo ustrezno spremenili tudi formulacijo končnega elementa nosilca tako, da je omogočena tudi parametrizacija prereza. S tem so vsi parametri prereza postali odvisni od vektorja projektnih spremenljivk in je dosežena še večja fleksibilnost pri optimiranju. Za izvedbo Gaussove integracije po prerezu je bil uporabljen pristop slojevitega prereza [6]. 4 Numerični primer: impulzno obremenjen konzolni skeletni nosilec Namen tega primera je prikaz delovanja in učinkovitosti optimiranja s tehniko projektnih elementov. Obravnavan je enostaven konzolni skeletni nosilec (slika 3), dimenzij L = 6 m, H =,3 m ter kvadratnim prerezom palic 5 cm 5 cm. Materialni parametri so: 3 E = 1 GPa, ν =,3, ρ = 78 kg m. Nosilec je na prostem koncu obremenjen z impulzno obremenitvijo F = 5 kn v času,1 s, kar povzroči nenadno nihanje nosilca. y y 6m F y.3m x Slika 3: Impulzno obremenjen konzolni skeletni nosilec, začetna geometrija in obremenitve V začetni izvedbi je največja amplituda nihanja prostega konca nosilca w = 39 mm, masa ini nosilca pa znaša m = 86,65 kg. Za cilj optimiranja določimo zmanjšanje maksimalne ini amplitude na 135 mm ob čim nižji masi nosilca. Zato za namensko funkcijo izberemo volumen nosilca. Nosilec je modeliran s 5 KE (18 vozlišč). Zaradi enostavne in regularne oblike skeleta pa za potrebe optimiranja zadošča en sam projektni element, s katerim opišemo obliko celotnega nosilca. Da bi omogočili čimbolj fleksibilno spreminjanje oblike, je uporabljen projektni element s 5 kontrolnimi točkami vzdolž nosilca, torej skupno 1 kontrolnih točk. Kot projektne spremenljivke smo definirali y koordinate 5 kontrolnih točk na vrhu nosilca, s čimer je dovoljeno spreminjanje oblike zgornje konture nosilca, spodnja pa ostaja ravna. Tako je z uporabo projektnega elementa število optimizacijskih spremenljivk zmanjšano na 5, kar zelo pripomore k zmanjšanju računskih časov. Optimirana oblika je bila dosežena v 55 iteracijah. Največja amplituda prostega konca je bila zmanjšana iz 39 mm na 135 mm (-65,6%) ob majhnem znižanju mase iz začetnih 86,65 kg na končnih 79,55 kg (-,54%). Slika 4 prikazuje primerjavo nihanj obeh izvedb, kjer je prikazana navpična komponenta odmika prostega konca nosilca od začetnega položaja. Ker je v simulaciji upoštevan tudi vpliv gravitacije, ne pa tudi vpliv dušenja materiala (sistem ohranja energijo),

293 je od začetka simulacije do časa 1 s prisotno majhno nihanje nosilca zaradi lastne teže. Pri času t = 1 s je nosilec obremenjen z impulzno obremenitvijo, kar povzroči zelo hitro povečanje amplitude. vertikalni pomik vrha [m] začetna oblika optimirana oblika.5 1 čas [s] začetna oblika: Vini =.3675 m mini = kg wini = 39 mm opt. obl.: Vopt 3 =.3584 m, mopt = kg (-.54%), wopt = 135 mm -(65.6%) Slika 4: Primerjava začetne in optimirane oblike nosilca vertikalni pomik vrha 5 Zaključek V prispevku je predstavljen nov pristop k optimizaciji oblike nosilcev, izpostavljenih dinamičnim obremenitvam. V njem sta združena uporaba končnih elementov na temelju formulacije absolutnih vozliščnih koordinat ter metoda projektnih elementov. Aplikacije na praktičnih primerih izkazujejo uporabnost in učinkovitost predstavljenega postopka. Literatura 1 Berzeri M., Shabana A.A.,, Development of simple models for the elastic forces in the absolute nodal coordinate formulation, Journal of Sound and Vibration, 35, str Escalona, J. L., Hussien H. A., and Shabana A. A., 1998, Application of the Absolute Nodal Coordinate Formulation to Multibody System Dynamics, Journal of Sound and Vibration, 14(5), str García-Vallejo D. et al., 3, "Describing Rigid-Flexible Multibody Systems Using Absolute Coordinates", Nonlinear Dynamics, Vol. 34, Iss. 1-, October 3, str.: García-Vallejo D. et al., 4, "Efficient Evaluation of the Elastic Forces and the Jacobian in the Absolute Nodal Coordinate Formulation", Nonlinear Dynamics, Vol. 35, Iss. 4, str.: Harl B., Kegl M., 5, "Efficient shape optimization of space trusses", Journal of mechanical engineering, 51 (9). 6 Kegl M., 5, "Layered cross-section", internal report MK-5-1-LCS, University of Maribor. 7 Kegl M., Brank B., 6, Shape optimization of truss-stiffened shell structures with variable thickness, Computer methods in applied mechanics and engineering, 195, str Kegl, M.,, "Shape optimal design of structures: an efficient shape representation concept", International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 49, str Kerkkänen K.S., Sopanen J.T., Mikkola A.M., 3, A computationally efficient shear deformable beam element for large deformation multibody applications, Research Report 45, Lappeenranta University of Technology. 1 Mikkola, A. M., Shabana, A. A., 3, A Non-Incremental Finite Element Procedure for the Analysis of Large Deformations of Plates and Shells in Mechanical System Applications, Multibody System Dynamics Omar, M. A., and Shabana, A. A., 1, A Two-Dimensional Shear Deformation Beam for Large Rotation and Deformation, Journal of Sound and Vibration, 43(3), str Pedersen, N.L., Nielsen, A.K., 3, "Optimization of practical trusses with constraints on eigenfrequencies, displacements, stresses, and buckling", Structural and Multidisciplinary Optimization, 5 (5-6), str Shabana A. A., 1996, An absolute nodal coordinate formulation for the large rotation and deformation analysis of flexible bodies, Technical Report No.MBS96-1-UIC, University of Illinois at Chicago. 14 Shabana A. A., 1998, "Dynamics of Multibody Systems", nd edition, Cambridge University Press 15 Shabana, A. A., Mikkola, A. M., 3, Use of the Finite Element Absolute Nodal Coordinate Formulation in Modeling Slope Discontinuity, Journal of Mechanical Designs, 15, str Vohar B., Kegl M., Ren Z., "Shape optimization of dynamic multibody systems with implementation of absolute nodal coordinate formulation", Computer methods in applied mechanics and engineering, poslano v objavo. 17 Wang, D., Zhang, W.H., Jiang, J.S.,, "Truss shape optimization with multiple displacement constraints", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191 (33): str Woytowitz P.J., Hight T.K., 1994, "Optimization of controlled flexible mechanisms using dynamic nonlinear finite element analysis", Mechanism and Machine Theory, Vol. 9., Iss. 7, str.: Yakoub, R. Y., and Shabana, A. A., 1, Three Dimensional Absolute Nodal Coordinate Formulation for Beam Elements: Implementation and Application, ASME Journal of Mechanical Design, 13, str w ini w opt

294 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Numerično modeliranje dvofaznega dvosestavinskega toka plin-trdni delci M. Zadravec 1, M. Požarnik 1, Z. Žunič 1, J. Marn 1 in M. Hriberšek 1 Numerical modeling of multiphase gas-particle flow Povzetek. Prispevek obravnava numerično modeliranje dvofaznega dvosestavinskega toka trdnih delcev v plinasti fazi. Obravnavan je stacionarni turbulentni tokovni režim, opisan z časovno povprečenimi Navier-Stokesovimi enačbami in Lagrangeovim pristopom reševanja večfaznih tokov. Sistem enačb je zaključen z dvoenačbnim turbulentnim modelom, ter rešen z metodo končnih volumnov. Abstract. This article presents numerical modelling of liquid-solid multiphase flow. Stationary turbulent flow is governed by time averaged Navier-Stokes equations and Lagrange approach is used for solid phase. System of equations is closed with twoequation turbulence model and solved using finite volume method.. 1 Uvod Večfazni večsestavinski tok je osnova večine tehnoloških operacij procesne tehnike. Tok suspenzije trdnih delcev in tekočine, bodisi kapljevine bodisi plina, je dvofazni dvosestavinski tok, ki se pojavlja v procesih farmacevtske industrije, prehrambene industrije, naftne industrije, itn. in je osnova pri pnevmatskemu transportu, natančnejši kontroli odpadnih onesnaženih snovi, zgorevanju razpršenega premoga, sušenju prehrambenih izdelkov, lebdečih slojih, itn.. Zaradi široke uporabe dvofaznih dvosestavinskih tokov je tako potrebno dobro poznavanje prenosnih pojavov znotraj dvofaznih dvosestavinskih tokov. V zadnjem času se pri obravnavanju prenosnih pojavov na vseh področjih industrije vedno bolj razširja uporaba računalniške dinamike tekočin (RDT). Medtem ko je RDT enofaznih enosestavinskih tokov dokaj napredovala, pa se sedaj na podlagi poznavanja reševanja enofaznih tokov s pomočjo RDT zelo razvija tudi RDT večfaznih večsestavinski tokov, ki je fizikalno kakor tudi numerično neprimerno zahtevnejša od modeliranja enofaznih enosestavinskih tokov. Problem pri modeliranju večfaznih večsestavinskih tokov je, da je 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo

295 večina modelov empiričnih oz. deloma empiričnih, za kar je potrebno izvesti eksperiment in tako določiti manjkajoče parametre potrebne za numerični model. Dvofazni dvosestavinski tokovi Dvofazni dvosestavinski tokovi izražajo kompleksnejšo naravo toka in imajo kar nekaj lastnosti, ki jih naredi bolj komplicirane napram enofaznim tokovom. Tokovno polje pri dvofaznih tokovih ni le odvisno od tega ali je tok laminaren oz. turbulenten. Potrebno je poznati lastnosti večih sestavin in topologijo medfaznih površin. Pomembna je tudi smer toka. Zaradi razlik med gostotami in smerjo toka različnih sestavin se vertikalna tokovna polja razlikujejo od horizontalnih tokovnih polj, prav tako horizontalna tokovna polja običajno niso simetrična. Dvofazne dvosestavinske tokove delimo na različne aplikacije: kapljevina-plin, kapljevina-trdni delci in plin-trdni delci. V praksi velikokrat zasledimo suspenzije plina in trdnih delcev pri pnevmatskem transportu, lebdečih slojih, ciklonih, itn. Glede na količino delcev v plinu so lahko te suspenzije redke ali goste. Jasne meje med razlikovanjem ali je suspenzija redka oz. gosta ni. Splošno lahko rečemo, da so redke suspenzije plina in trdnih delcev tiste, pri katerih na gibanje delcev pomembno vplivajo strižne in vzgonske sile. V primeru gostih suspenzij plina in trdnih delcev pa na gibanje delcev pomembno vplivajo trki med samimi delci. Ugotovitev ali je suspenzija redka ali gosta vpliva na poznejši pristop k numeričnemu modeliranju le teh. a b c d Slika 1: Različna tokovna polja pri transportu suspenzij v horizontalni cevi. Pnevmatski transport je pomemben primer toka suspenzij zaradi njegove široke uporabe v procesni industriji. Pri transportu redkih suspenzij v horizontalno ležečih ceveh, kjer je volumski delež trdnih delcev v plinasti fazi majhen in so hitrosti plinaste faze precej velike, so trdni delci suspendirani po celotnem prerezu in skoraj enakomerno porazdeljeni (homogen tok), zlasti pri majhnih trdnih delcih in trdnih delcih z majhno gostoto (slika 1a). Pri manjših hitrostih plinske faze se trdni delci odbijajo od dna cevi v katerih se pretaka suspenzija. S povečevanjem količine trdnih delcev v plinu in pri majhnih hitrostih plina se delci začnejo posedati na dnu cevi (slika 1b). Pri transportu gostejših suspenzij se delci zgoščujejo v spodnjem delu cevi (slika 1c). Zmanjševanje hitrosti plina privede do zgoščevanja delcev na dnu cevi. S tem se začne tvoriti gost tok delcev, kateri se na steni zaustavijo in pride do kopičenja delcev, kar lahko povzroči zamašitve cevi (slika 1d). Zato je pri transportu suspenzij potrebna minimalna hitrost plina, da se prepreči tako posedanje delcev. V primeru transporta suspenzij plina in trdnih delcev v vertikalnih ceveh je pomembno, da je hitrost toka plina večja od hitrosti posedanja delcev

296 3 Računski pristopi pri modeliranju dvofaznih dvosestavinskih tokov Modeliranje dvofaznih dvosestavinskih tokov temelji na modeliranju dveh sestavin izmed katerih je ena zvezna (plin) in druga dispergirana (trdni delci). Tako lahko modeliramo dvofazne dvosestavinske tokove s pristopom Euler-Euler, kjer obe fazi modeliramo z uporabo Eulerjevega pristopa oziroma Euler-Lagrange, kjer se plinska faza modelira po Eulerjevem pristopu, trdna faza delcev pa po Langrangeovem pristopu. Eulerjev pristop temelji na modeliranju povprečnih vrednosti sestavine v določenem volumnu. Langrangeov pristop obravnavanja trdnih delcev temelji na modeliranju vsakega delca, pri čemer se generirajo izvori mase, gibalne količine in energije, ki jih povzroči delec in ki se upoštevajo kot izvori v ohranitvenih enačbah modeliranja zvezne sestavine (tekočine). Izbira primernega pristopa modeliranja dvofaznega dvosestavinskega toka temelji v prvi vrsti na tem ali je tok redek ali gost. V primeru, ko je volumski delež trdnih delcev v toku relativno visok (gosta suspenzija) je smiselno tok delcev modelirati po Eulerjevem pristopu, tako, da ni potrebno modelirati vsakega delca posebej, temveč se predpostavi, da ti delci predstavljajo neko zvezno sestavino s povprečnimi vrednostmi. V primeru ko je volumski delež trdnih delcev v toku relativno majhen (redke suspenzije) se v večini primerov uporabi za modeliranje delcev Lagrangeov pristop, kjer modeliramo vsak delec posebej. Modeliranje s pomočjo Euler-Euler pristopa je enostavnejše s stališča uporabe računalniških zmogljivosti, medtem ko je pri uporabi Euler-Lagrange pristopa modeliranje računalniško zelo potratno in v primerih zelo gostih suspenzij lahko tudi neizvedljivo. Prednost Euler- Lagrangeovega pristopa je v tem, da nam dajo rezultati zelo dober in fizikalno primernejši vpogled v probleme dvofaznih dvosestavinskih tokov. V naslednjih podpoglavjih bodo prikazane osnovne enačbe Euler-Lagrange pristopa numeričnega modeliranja dvofaznega dvosestavinskega toka, saj bo v nadaljevanju prikazan primer numeričnega modeliranja dvofaznega dvosestavinskega toka zraka in trdnih delcev v katerem bo relativno malo delcev in bo ta pristop ustreznejši. 3.1 Ohranitvene enačbe zvezne sestavine Izhodišče modeliranja računalniške dinamike tekočin je sistem ohranitvenih zakonov mase, gibalne količine, toplotne energije in snovi v diferencialni obliki, ki velja za obravnavo zveznih teles (mehanika kontinuuma). Najuniverzalnejša oblika ohranitvenih zakonov so Navier-Stokesove enačbe, ki jih lahko uporabimo za opis laminarnega in turbulentnega toka, stisljive in nestisljive ter newtonske in nenewtonske tekočine. Omejimo se na primer dvofaznega dvosestavinskega toka plina in trdnih delcev. Plin je obravnavan kot newtonska nestisljiva tekočina, za katero se sistem ohranitvenih zakonov v mirujočem koordinatnem sistemu glasi: ohranitev mase r v r = (1) ohranitev gibalne količine

297 vi + t x j 1 p ( vi v j ) = + νδvi + Si ρ x kjer so v hitrost, ρ gostota, p tlak zvezne sestavine, ν kinematična viskoznost in S i izvori gibalne količine, ki jih povzroči dispergirana sestavina. 3. Ohranitvene enačbe dispergirane sestavine Upoštevati je potrebno, da se diskreten trdni delec giblje skozi zvezno sestavino tekočine. Sile, ki delujejo na tak delec in vplivajo na pospeševanje tega delca, nastopijo zaradi razlik med hitrostmi delca in tekočine, ter prav tako zaradi delčevega izpodrivanja tekočine. Gibanje delca opišemo z gibalno enačbo za delec, ki so jo izpeljali Basset, Boussinesq in Oseen in velja tudi za rotirajoči koordinatni sistem: i () m p dv dt p ( v v ) 1 = πρ f d CD v f v p f p t 3 f p ( ρ p ρ f ) g + d πρ f μ ( t t ) sila vzgona sila trenja πd πd v p 1 3 ( ρ p ρ f ) ω ( ω R) ω v p + πd p + F { U centripetalna sila 3 πd ρ dt sila zaradi pospeševanja plina Bassetova sila πd ρ centrifugalna sila f dv 3 πd ρ f dv f dv p dt dt tlačla sila sila pospeševanja navidezne mase plina ki obdaja delec dv dv.5 dt dt dt t f ostale sile kjer je m p masa delca, v hitrost, d premer delcev, ρ gostota, μ dinamična viskoznost tekočine, C D koeficient trenja, ω vrtilna hitrost, R v vektor usmerjen iz vrtišča, t začetni čas, t čas, g težnostni pospešek, p tlak, F U ostale sile, podpisa p in f pa označujeta dispergirano fazo (delce) in zvezno fazo (kapljevino ali plin). V tokovih, kjer je gostota delcev dosti večja od gostote tekočine in je koordinatni sistem mirujoč, se enačbo 3 zapiše v skrajšani obliki: 3 πd ρ p dvp 6 dt 1 = πρ f d 8 C D v f v p ( v v ) + πd ( ρ ρ ) g + πd p f Pri Lagrangeovem pristopu izračuna dispergirane sestavine se zasledujejo posamični delci in se za vsakega od njih zapiše sistem navadnih diferencialnih enačb, v katerem so enačbe za položaj, hitrost, temperaturo in maso delca. S pomočjo integracije teh enačb se določi gibanje delcev v zvezni sestavini. Delce zasledujemo od vstopa v računsko območje in vse dokler ne zapustijo tega območja. Delci, ki so v računskem področju povzročijo izvore v ohranitvenih enačbah mase, gibalne količine in energije zvezne sestavine (plina). p 6 p f 4 (4) (3) - 9 -

298 Glede na enačbo 4 vpliva tekočina na delec preko viskoznega trenja in razlike med hitrostjo delca in tekočine. Izračune dvofaznih dvosestavinskih tokov pri uporabi Euler-Lagrange pristopa je mogoče izvesti na dva načina. Prvi način je tak, da tekočina vpliva na gibanje delcev, medtem ko delci ne vplivajo na tekočino in se imenuje enostranska povezava plina in trdnih delcev (one-way coupling), kar je priporočljivo v primeru, ko je število delcev majhno in le ti bistveno ne vplivajo na tok tekočine. Pri drugem načinu izračuna pa prav tako kot tekočina vpliva na gibanje delcev, vplivajo tudi delci na tekočino in se imenuje dvostranska povezava dvostranska povezava plina in trdnih delcev (two-way coupling). Način, ko sestavini delujeta ena na drugo zahteva, da se v enačbi ohranitve gibalne količine za zvezno sestavino vključi izvorni člen, ki ga povzroča dispergirana sestavina. 4 Računski primer modeliranju dvofaznega dvosestavinskega toka 4.1 Numerični model Numerično modeliranje dvofaznega dvosestavinskega toka bo prikazano na primeru kanala s stopnico (slika ). Kanal s stopnico ima 3m dolg vstopni kanal, kjer pride do polno razvitega turbulentnega hitrostnega profila z največjo hitrostjo v max =1,5m/s. Višina stopnice je H=6,7mm in višina preostalega dela razširitve je h=4mm. Geometrija kanala s stopnico je povzeta po eksperimentu [1] s katerim so tudi primerjani numerično dobljeni rezultati tokovnega polja. v=9,16m/s g H h 3m x=34h Slika : Geometrija numeričnega modela kanala s stopnico. V primeru bo obravnavan redki dvofazni dvosestavinski tok plina in trdnih delcev. Za plin je bil uporabljen zrak s temperaturo 5 C in gostoto 1,185kg/m 3, medtem ko so bile za trdne delce uporabljene steklene oz. bakrene kroglice z lastnostmi podanimi v tabeli 1. Tabela 1: Lastnosti trdnih delcev. Steklene kroglice Bakrene kroglice premer 15 μm 7 μm gostota 5 kg/m 3 88 kg/m 3 Reynoldsovo število je zaradi primerjave z ostalimi avtorji potrebno podati glede na višino vstopnega kanala Re h =(v max h)/(ν)=138 in glede na višino kanala s stopnico Re H =(v max H)/(ν)=

299 Na vstopu v kanal je predpisan konstanten hitrostni profil z vrednostjo v=9,16m/s, kjer v predstavlja vstopno hitrost. Pri izračunu smo uporabili Euler-Lagrangeov pristop in numerično modelirali vpliv delcev na gibanje plina in vpliv plina na gibanje delcev. Tak pristop modeliranja se imenuje twoway coupling. Znotraj izračuna smo upoštevali, da na delec delujejo strižna sila, sila vzgona in sila teže. Za izračun je bil uporabljen programski paket ANSYS CFX 1. V začetku je bila narejena analiza gostote mreže, kjer smo na različnih gostotah nestrukturirane mreže izvedli izračun z majhnim številom delcev in spremljali recirkulacijsko dolžino toka za stopnico in ugotovili, da ima najprimernejša mreža 194 vozlišč in elementov (tabela ). Izračun je bil stacionaren. Kot turbulentni model je bil uporabljen dvoenačbni Shear Stress Turbulence (SST) model, ki je kombinacija k-ε in k-ω turbulentnih modelov. Tabela : Analiza gostote mreže. Mreža Število vozlišč Število elementov Recirkulacijska dolžina , mm ,7 mm ,8 mm Izvor delcev je bil na vstopu v kanal, v katerega je bilo vsakih 1 iteracij vstavljenih 4 delcev. Delci so bili uniformno porazdeljeni po vstopu v kanal. Na koncu numeričnega izračuna je bilo tako v kanal s stopnico vstavljenih 8 delcev. Predpostavili smo, da delci pri trku ob steno izgubijo % energije, toda odbijejo se pod enakim kotom kot so se v steno zaleteli. numerični izračun eksperiment,5,5,5,5,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 y/h ,5,5,5,5,5 -,5,5 1 x/h= x/h=5 x/h=7 x/h=9 x/h=14 v/v max -,5,5 1 -,5,5 1,5 1,5 1 Slika 3: Steklene kroglice premera 15μm

300 4. Rezultati Rezultati hitrostnih profilov v kanalu z stopnico so primerjani z eksperimentalnimi rezultati, ki sta jih izvedla Fessler in Eaton [1]. Prikazani so po prerezih kanala s stopnico na razdaljah od stopnice naprej x/h=, 5, 7, 9 in 14. Na sliki 3 so prikazani rezultati, ko so uporabljene steklene kroglice s premerom 15 μm in na sliki 4 bakrene kroglice s premerom 7 μm. Numerični rezultati izkazujejo dobro ujemanje z eksperimentalno dobljenimi rezultati. Videti je mogoče, da se tik za stopnico pojavlja recirkulacija toka in so zato vrednosti hitrosti negativne. Do odstopanja rezultatov v spodnjem delu cevi pride zaradi uporabe manjšega števila delcev v računalniški simulaciji, kot jih je bilo uporabljenih pri eksperimentu. Prav tako pa so bile pri numeričnem izračunu zanemarjene določene sile, ki prav tako vplivajo na sam tok suspenzije. Na sliki 5 so prikazane tokovnice, kjer se vidi da se za stopnico pojavi še manjši vrtinec, ki se vrti v proti urni smeri in ga v eksperimentu verjetno zaradi premajhne resolucije zajemanja podatkov ni bilo mogoče zaslediti. Recirkulacijska dolžina je 7,5H, kar se prav tako ujema z eksperimentom, oziroma je odstopanje manjše od %.,5,5 numerični izračun,5 eksperiment,5,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 y/h ,5,5,5,5,5 -,5,5 1 x/h= x/h=5 x/h=7 x/h=9 x/h=14 v/v max -,5,5 1 -,5,5 1,5 1,5 1 Slika 4: Bakrene kroglice premera 7μm. Slika 5: Tokovno polje zraka

301 Slika 6 prikazuje tirnice steklene kroglic premera 15μm. Razvidno je, da v področju za stopnico, kjer se pojavita dva večja vrtinca zraka, ni opaziti da bi trdni delci vstopili v te vrtince. Tok delcev se proti izstopu iz cevi razširi. Na sliki 7 so prikazane tirnice bakrenih kroglic premera 7μm, kjer se delci obnašajo podobno kot v prejšnjem primeru. Slika 6: Tirnice steklenih kroglic premera 15μm. Slika 7: Tirnice bakrenih kroglic premera 7μm. Za natančnejšo analizo vpliva delcev bi bilo potrebno uporabiti večje število delcev, saj bi bil njihov vpliv na tok zraka dosti večji, toda zaradi krajšega računskega časa smo se odločili za izračun z manjšim številom delcev, kjer pa vpliv delcev na tok zraka ni tako opazen. 5 Zaključek V prispevku je bilo prikazano, da je s pomočjo uporabe Euler-Lagrange pristopa reševanja dvofaznih dvosestavinskih tokov možno dobro opisati dogajanje v teh tokovih, kar je bilo potrjeno na primeru kanala s stopnico. V nadaljnje bi bilo potrebno, znotraj numeričnega modela, upoštevati še več sil, ki delujejo na delec in se tako še bolj približati fizikalnemu dogajanju v dvofaznih dvosestavinskih tokovih. Literatura [1] J. R. Fessler, J. K. Eaton, Particle response in a planar sudden expansion flow, Experimental Thermal and Fluid Science 15, , [] K. F. Yu, K. S. Lau, C. K. Chan, Numerical simulation of gas-particle flow in a singleside backward-facing step flow, Journal of Computational and Applied Mathematics. 163, , 4. [3] M. Požarnik, L. Škerget, Simulation of gas-solid particle flows by boundary domain integral method, Engineerin Analysis with Boundary Elements 6, ,. [4] Ansys, Ansys-CFX-1,

302 SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 6 Mešana metoda robnih in končnih elementov za prostorske tokove nestisljive viskozne tekočine Z. Žunič, M. Hriberšek in L. Škerget 1 Mixed boundary and finite element method for a spatial incompressible viscous fluid flows Povzetek. Razvili smo metodo za reševanje prostorskega toka nestisljive viskozne newtonske tekočine. Uporabili smo hitrostno vrtinčno formulacijo Navier-Stokesovih enačb. Enačbo kinematike zapisano za robne vrtinčnosti smo rešili z metodo robnih elementov. Enačbo kinematike zapisano za notranje hitrosti in enačbo kinetike smo rešili z metodo končnih elementov. Natančnost metode smo preizkusili na primeru gnanega toka v prostorski kotanji. Pokazali smo, da se dobljeni rezultati dobro ujemajo z vrednostmi dobljenimi iz literature. Abstract. Method for the solution of the spatial flow of incompressible viscous newtonian fluid has been developed. Velocity vorticity formulation of Navier-Stokes equation has been used. Kinematic equation written for boundary vorticities was solved using boundary element method. Kinematic equation written for domain velocities and kinetic equation was solved using finite element method. Accuracy of the method was tested on the lid driven cavity flow. It has been shown that results are in good agreement to the benchmark results obtained from literature. 1 Uvod Numerično obravnavanje problemov tokov viskoznih tekočin je neločljivo povezano z razvojem aproksimacijskih metod za reševanje Navier-Stokesovih enačb. Večina dosedanjih pristopov je temeljila na uporabi ene aproksimacijske metode, na primer metode končnih volumnov, končnih elementov ali robnih elementov. Vsaka od teh metod ima tako svoje prednosti kot tudi slabosti, zato so se v zadnjem času začele pospešeno razvijati mešane metode, ki združujejo več različnih aproksimacijskih metod za čim učinkovitejše reševanje postavljenega problema. V našem primeru smo uporabili hitrostno vrtinčno formulacijo Navier-Stokesovih enačb. Pristop s hitrostno-vrtinčno formulacijo ima kar nekaj dobrih strani pri reševanju tokov nestisljivih tekočin. Tlak pri izpeljavi novega sistema enačb izpade kot neznana veličina, tako da odpadejo 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za Strojništvo

303 vse težave z določanjem tlačnih robnih pogojev. Prav tako so robni pogoji enostavnejši za določanje kot pri formulacijah s tokovno funkcijo, Wong in Baker [1]. Z uporabo hitrostno-vrtinčne formulacije razdelimo tokovno polje na kinematični in kinetični del. Kinematika je opisana s Poissonovo enačbo za hitrostni vektor in predstavlja skladnost med hitrostnim in vrtinčnim poljem. Kinetika je opisana s konvektivno difuzivno prenosno enačbo za vrtinčnost. Prikazuje nam nastanek, prenos, preoblikovanje in izginjanje vrtincev v opazovanem območju. V opisanem pristopu bomo enačbo kinematike uporabili dvakrat. Prvič za izračun robnih vrtinčnosti in drugič za izračun robnih hitrosti. Zaradi čim večje natančnosti smo za izračun robnih vrtinčnosti enačbo diskretizirali z metodo robnih elementov. Pri izračunu notranjih hitrosti smo za diskretizacijo uporabili metodo končnih elementov, da smo se izognili veliki količini integralov, ki bi nastali pri diskretizaciji enačbe kinematike z metodo robnih elementov. Enačbo kinetike smo diskretizirali z metodo končnih elementov iz enakih razlogov kot pri izračunu notranjih hitrosti v kinematiki. Enak pristop so za primere ravninskih tokov uporabili Žunič in dr. []. Cilj članka je razširiti metodo, ki uporablja metodo robnih elementov za reševanje enačbe kinematike za robne vrtinčnosti in metodo končnih elementov za reševanje enačbe kinematike za območne hitrosti in enačbe kinetike za območne vrtinčnosti, za reševanje prostorskih problemov. Vodilne enačbe Enačbe, ki opisujejo gibanje zveznega medija temeljijo na ohranitvi mase in gibalne količine. Ob upoštevanju nestisljivosti medija in ob predpostavki newtonske tekočine dobimo naslednji sistem parcialnih diferencialnih enačb v =, (1) v t + ( v ) v = 1 ρ p + ν v, () kjer je v( x, t) krajevno in časovno odvisen vektorsko polje hitrosti in p( x, t) skalarno polje tlaka. Snovske lastnosti kot sta gostota ρ in kinematična viskoznost ν so konstantne po celotnem računskem območju. 3 Kinematika Dinamiko viskozne nestisljive tekočine lahko razdelimo na kinematični in kinetični del z uvedbo nove spremenljivke imenovane vrtinčnost ω( x,t), ki jo dobimo kot rotor hitrostnega polja ω = v, ω =. (3) Vrtinčnost je solenoiden vektor po definiciji. Če še enkrat uporabimo operator rotor ( ( )) v enačbi za vrtinčnost (3), dobimo ω = ( v) = ( v) v (4) - -

304 in ob upoštevanju kontinuitetne enačbe za nestisljiv tok (1), izpeljemo naslednjo eliptično vektorsko Poissonovo enačbo za hitrost v + ω =. (5) Enačba (5) predstavlja kinematiko toka nestisljive tekočine in nam določa kompatibilnost med hitrostnim in vrtinčnim poljem. Opravka imamo torej z reševanjem sistema eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb. Zaradi eliptičnosti enačbe (5) je za reševanje potrebno predpisati pravilne Dirichletove ali Neumanove robne pogoje, ali kombinacijo obeh, po celotnem robu Γ. Singularno integralsko formulacijo za hitrostni vektor dobimo z uporabo Greenovega teorema, oz. metode utežnih ostankov, Wu and Thompson [3]. Enačbo dodatno preoblikujemo tako, da prenesemo odvode funkcij na odvode osnovne rešitve, Škerget in dr. [4] in Ravnik in dr. [5], s čimer dobimo končno robno integralsko enačbo Z c(ξ) v(ξ) + ( Z u n) v dγ = ( Z u n) v dγ + ω u dω, (6) Γ Γ kjer je u (ξ,s) osnovna rešitev Laplaceove enačbe, ξ je izvorna točka v računskem območju Ω, S je integracijska točka na robu računskega območja Γ in n in t sta normala oziroma tangenta na rob območja Γ. Šibko obliko integralske enačbe kinematike toka dobimo tako, da v skladu z Galerkinovo metodo utežnih ostankov (Taylor in Hughes [6], Gresho in Sani [7]) pomnožimo enačbo (5) z utežno funkcijo N in produkt integriramo po celotnem območju Ω, tako da dobimo Z Z N v dω + N ( ω) dω =. (7) Ω Ω Nadalje uporabimo Greenov prvi teorem, da v prvem integralu na levi strani enačbe (7) znižamo red odvoda, s čimer dobimo šibko rešitev kinematike, primerno za diskretizacijo z metodo Ω končnih elementov Z Ω ( Z N ) v dω Γ Z N ( n ) v dγ Ω N ( ω) dω =. (8) 4 Kinetika vrtinčnosti Enačbo kinetike tokovnega polja, ki podaja prenos vrtinčnosti v tokovnem polju, dobimo s preoblikovanjem gibalne enačbe (), Škerget in dr. [4] in Ravnik in dr. [5] ω t + ( v ) ω = ( ω ) v + ν ω + f. (9) Enak postopek kot smo ga uporabili pri izpeljavi šibke oblike integralske enačbe kinematike, uporabimo sedaj pri prenosni enačbi za vrtinčnost. Pomnožimo enačbo (9) z utežno funkcijo N in produkt integrirajmo po območju Ω Z Ω N ω Z Z Z dω + N ( v ) ω dω = N ( ω ) v dω + ν t Ω Ω Ω Z N ω dω Ω N f dω. (1)

305 Časovni člen v enačbi (1) zamenjamo s približkom, izračunanim s končnimi razlikami natančnosti prvega reda ω t = ω ω τ 1 t in uporabimo Greenov prvi teorem v difuzijskem členu (drugi člen na desni strani enačbe (1)), tako da dobimo ν Z Ω Z Z 1 N ω dω + t Ω Ω ( Z N ) ω dω + ν 5 Postopek izračuna Postopek izračuna je bil sledeč: Γ Z N ( v ) ω dω = Ω Ω N ( ω ) v dω Ω (11) Z N ( n ) ω dγ N f dω + 1 Z N ω τ 1 dω. (1) t 1. Izberemo začetno vrtinčno ( ω ) in hitrostno ( v ) polje, nastavimo začetni čas τ =, nastavimo števec nelinearne iteracije i =.. Začetek časovne zanke, τ := τ Začetek zanke zaradi nelinearnosti, i := i Kinematika toka: (a) Rešimo enačbo (6) za neznane robne vrtinčnosti ω (Γ), pri čemer uporabimo notranje vrtinčnosti iz prejšnje nelinearne iteracije. (b) Rešimo enačbo (8) za neznane območne hitrosti v (Ω), pri čemer pri tvorbi vektorja desnih strani uporabimo nove robne vrtinčnosti in stare območne vrtinčnosti. 5. Kinetika toka, prenosna enačba za vrtinčnost: (a) Rešimo enačbo (1) za neznane območne vrtinčnosti ω (Ω), ob uporabi novih območnih hitrosti dobljenih iz kinematike za integracijo konvektivnega člena in člena raztegovanja in zvijanja vrtincev ter uporabi robnih vrtinčnosti dobljenih iz kinematike za robne pogoje. (b) Uporabimo podrelaksacijo < φ 1 za izračun novih vrednosti spremenljivk znotraj nelinearne zanke ω i+1 = φ ω + (1 φ) ω i in v i+1 = φ v + (1 φ) v i, kjer podpis ( i+1 ) pomeni nove vrednosti v nelinearni zanki. 6. Preverjanje konvergence: (a) Izračunamo razliko med dvema iteracijama error ω = ω i+1 ω i / ω i+1 in error v = v i+1 v i / v i+1. (b) Če je error ω ali error v večji od predpisanega odstopanja ε, skoči na korak

306 Z Z Z Kuhljevi dnevi 6 7. Zaključek časovne zanke: (a) Shrani vrednosti časovnega koraka ω τ = ω i+1, v τ = v i+1. (b) Če je vrednost časovnega koraka τ manjša kot predpisano največje število časovnih korakov NT, skoči na korak. 8. Konec izračuna. 6 Računski primeri 6.1 Tok v kotanji s pomično steno gnan tok v prostorski kotanji, ki predstavlja tudi enega najbolj uporabljanih testnih primerov za laminarne tokove newtonskih tekočin. Razlog za splošno priljubljenost leži v tem, da združuje nekaj zelo zaželjenih lastnosti testnega primera. Nekatere izmed njih so jasno definirani robni pogoji, nespremenljiva velikost računskega območja, ne glede na vrednost Reynoldsovega števila in kot najpomembnejše se v toku pojavijo skoraj vse koherentne strukture, pomembne pri preizkušanju novih numeričnih metod: vrtinci, sekundarni tokovi in kompleksni prostorski vzorci (Shankar and Deshpande [8]). Pionirsko delo na področju raziskovanja tokov v kotanjah sta opravila Koseff in Street [9]. Njuno eksperimentalno delo je spremenilo celoten pogled na ravninske izračune tokov v kotanji, saj sta neizpodbitno pokazala, da je tok v kotanji po naravi prostorski. Ne samo da so ravninski modeli pomanjkljivi, njihovi rezultati so lahko lahko zavajajoči in vodijo do napačnih zaključkov kot sta zapisala Shankar in Deshpande [8]. V našem primeru se bomo omejili na kotanjo v obliki kocke, s stranico dolžine L = 1. Tok v kotanji se ustvari zaradi premikajoče se zgornje stranice kotanje. Reynoldsovo število, edino brezdimenzijsko število v tem primeru, je definirano na velikosti stranice kotanje in hitrosti premikajoče se ploskve kotanje, Re = v x L/ν. Za naše izračune smo izbrali vrednosti Reynoldsovega števila Re = 4 in Re = Y.6.6 X Y.6.6 X Y.6.6 X Slika 1 : Računsko območje, diskretizirano z mrežo velikosti 8 8 8, in

307 Slika : Vektorji hitrosti, tokovnice in izolinije vrtinčnosti na različnih ploskvah kotanje, Re =