SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Bruno Dogančić. Zagreb, 2015.

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Bruno Dogančić Zagreb, 215.

2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Menor: Doc. dr. sc. Marko Jokić, dipl. ing. Suden: Bruno Dogančić Zagreb, 215.

3 Izjavljujem da sam ovaj rad izradio samosalno koriseći sečena znanja ijekom sudija i navedenu lierauru. Iskreno se zahvaljujem svom menoru doc. dr. sc. Marku Jokiću na dosadašnjem uloţenom rudu, vremenu i povjerenju e konkrenim savjeima koji su mi pruţili porebna znanja, ţelju i sigurnos za ovaranjem novih vraa percepcije i ulaska u područje dinamike. Veliku zahvalu dugujem svom bivšem, ali uvijek akualnom menoru prof. dr. sc. Zdenku Tonkoviću koji me je svojom posebnošću, dobroom i ovorenošću zaineresirao za područje mehanike i poiho namamio da upišem smjer IMRS. Zahvalu dugujem i svim osalim profesorima, docenima i asisenima s drugog kaa. Svim srcem zahvaljujem svojoj najbliţoj obielji, svom ocu i nesuďenom srojaru Niki, najmilijoj majci Iki, zaim sarijem brau Elgaru i najdraţim sesrama Eriki, Emi i Klaudiji, koji su me sve ove godine podrţavali i vjerovali u mene. Posebnu zahvalu izraţavam svojoj voljenoj Kaarini koja je uvijek i neumorno bila uz mene, pogoovo kad je bilo najeţe, i njegovala me svojom ljubavlju kroz sve šo smo skupa prolazili. TakoĎer zahvaljujem njenoj obielji koja me prihvaila kao člana obielji. Zahvaljujem i svim svojim prijaeljima e na ukazanom prijaeljsvu i pomoći kolega s fakulea, posebice gosp. Č. i kolegama Ingmod. Bruno Dogančić, univ. bacc. ing. mech.

4

5 SADRŽAJ SADRŢAJ... I POPIS SLIKA... III POPIS TABLICA... V POPIS OZNAKA... VI SAŢETAK... IX SUMMARY... X 1. Uvod Moivacija Podjela problema dinamike Problemi primijenjene dinamike Srukuralna dinamika Dinamika susava više ijela Dinamika deformabilnih susava više ijela Modeliranje mehaničkih susava Mehaničko modeliranje Maemaičko modeliranje Računalna dinamika deformabilnih ijela Meoda konačnih elemenaa Meoda konačnih elemenaa korišenjem eorije velikih pomaka Izvod izoparamearskog koninuum elemena Meode numeričke inegracije u meodi konačnih elemenaa Meode Direkne inegracije Eksplicina inegracija Meoda cenralnih razlika Implicina inegracija Newmarkova meoda Hilber-Hughes-Taylorova meoda Dinamika susava više ijela Jednadţbe gibanja kruih ijela Deformabilna ijela u dinamici susava više ijela Reduciranje reda modela Meode inegracije u dinamici susava više ijela O korišenim programskim pakeima Abaqus Abaqus sučelje za Adams Adams Adams Flex Adams Durabiliy Numerički primjer Mehanizam s 3 grede Fakule srojarsva i brodogradnje I

6 Numerički model Abaqus Numerički model Adams Rezulai simulacije Zaključak analize korišenjem maerijalno neprigušenog modela Analiza s kraćim rajanjem simulacije Zaključak Dodaak A: Osnovne veličine mehanike koninuuma Dodaak B: Modeliranje prigušenja Slobodne prigušene vibracije susava s jednim supnjem slobode Modeliranje prigušenje u meodi konačnih elemenaa Proporcionalno prigušenje Modalno prigušenje Dodaak C: Frekvencijska analiza Slobodne vibracije neprigušenog susava Problem svojsvenih vrijednosi Svojsvene frekvencije i forme vibriranja neprigušenog susava Prisilne vibracije prigušenog susava s n supnjeva slobode LITERATURA PRILOZI Fakule srojarsva i brodogradnje II

7 POPIS SLIKA Slika 1. Mehaničko modeliranje roboske ruke... 5 Slika 2. Gibanje ijela u Karezijevom koordinanom susavu Slika 3. Proizvoljno kruo ijelo [1] Slika 4. Proizvoljni susav više kruih ijela [1]... 3 Slika 5. Geomerija i rubni uvjei mehanizma s 3 grede Slika 6. Raspodjela pogonskog momena u vremenu Slika 7. Rubni uvjei i geomerija modela u Abaqusu Slika 8. Rubni uvjei i geomerija kruog modela u Adamsu Slika 9. Rubni uvjei i geomerija deformabilnog modela u Adamsu Slika 1. Rad poopćenih vanjskih sila W e cijelog modela Slika 11. Kineička energija E k cijelog modela Slika 12. Unuarnja energija E i cijelog modela Slika 13. Pomak očke B u smjeru osi x... 5 Slika 14. Pomak očke B u smjeru osi y Slika 15. Brzina očke B u smjeru osi x Slika 16. Brzina očke B u smjeru osi y Slika 17. Pomak očke C u smjeru osi x Slika 18. Pomak očke C u smjeru osi y Slika 19. Brzina očke C u smjeru osi x Slika 2. Brzina očke C u smjeru osi y Slika 21. Pomak očke P 1 u smjeru osi x Slika 22. Pomak očke P 1 u smjeru osi y Slika 23. Brzina očke P 1 u smjeru osi x Slika 24. Brzina očke P 1 u smjeru osi y Slika 25. Pomak očke Q 1 u smjeru osi x Slika 26. Pomak očke Q 1 u smjeru osi y Slika 27. Brzina očke Q 1 u smjeru osi x Slika 28. Brzina očke Q 1 u smjeru osi y Slika 29. Pomak očke L 1 u smjeru osi x Slika 3. Pomak očke L 1 u smjeru osi y Slika 31. Brzine očke L 1 u smjeru osi x Slika 32. Brzina očke L 1 u smjeru osi y... 6 Slika 33. Naprezanja prema von Misesu u očki P Slika 34. Naprezanja prema von Misesu u očki P Slika 35. Naprezanja prema von Misesu u očki P Slika 36. Naprezanja prema von Misesu u očki Q Slika 37. Naprezanja prema von Misesu u očki Q Slika 38. Naprezanja prema von Misesu u očki Q Slika 39. Naprezanja prema von Misesu u očki L Slika 4. Naprezanja prema von Misesu u očki L Slika 41. Naprezanja prema von Misesu u očki L Slika 42. Kineička energija modela uvećani dijagram Slika 43. Energije susava, ALLKE se odnosi na kineičku energiju, ALLIE se odnosi na unuarnju energiju i ALLWK se odnosi na rad poopćenih vanjskih sila Slika 44. Propagacija vala unuar deformabilnog ijela... 7 Fakule srojarsva i brodogradnje III

8 Slika 45. Geomerijska inerpreacija enzora gradijena deformiranja Slika 46. Polarno razlaganje enzora gradijena deformiranja Slika 47. Modeliranje Rayleighevog prigušenja Fakule srojarsva i brodogradnje IV

9 POPIS TABLICA Tablica 1. Inkremenalna dekompozicija veličina mehanike koninuuma TL formulacija Tablica 2. Inkremenalna dekompozicija veličina mehanike koninuuma UL formulacija.. 15 Tablica 3. Pregled marica korišenih u analizi konačnim elemenima Tablica 4. Opis korišenog maerijalnog modela... 2 Tablica 5. Algoriam inegracije za eksplicinu meodu Tablica 6. Algoriam inegracije pomoću Newmarkove meode Tablica 7. Zadane geomerijske i maerijalne karakerisike numeričkog modela Tablica 8. Posavke simulacija u Abaqusu Tablica 9. Mreţe konačnih elemenaa Tablica 1. Posavke simulacije u Adamsu Tablica 11. Vremena računanja pojedine meode (rajanje simulacije T s =.25 s) Tablica 12. Posavke krake simulacije mali vremenski korak za sve analize Tablica 13. Vremena računanja za kraku analizu (posavke analize prema ablici 12.) Fakule srojarsva i brodogradnje V

10 POPIS OZNAKA Lainične oznake Oznaka Jedinica Opis B L, B NL - linearna, nelinearna marica ransformacije c N s/m prigušenje C N m/s marica prigušenja C - desni Cauchy Greenov enzor deformiranosi C ijkl - enzor elasičnosi c kr N s/m kriično prigušenje D - enzor brzine deformacije E J energija E N/m 2 Youngov modul E i J unuarnja energija E k J kineička energija F - enzor gradijena deformiranja F i N vekor unuarnjih sila K, K L, K NL N/m globalna, linearna, nelinearna marica kruosi L - enzor gradijena brzine deformiranja m kg masa M Nm momen M m marica masa n - vekor normale R - marica/enzor roacije R e N vekor vanjskog operećenja R i N vekor unuarnjeg operećenja S m 2 površina S - Drugi Piola-Kirchhoffov enzor naprezanja s vrijeme T N proizvoljni vekor sila R s vrijeme računanja T s s rajanje simulacije U - desni enzor izduţenja U1, U2, U3 m globalni pomaci u smjeru osi X, Y, Z (u Abaqusu) u x, u y, u z m pomak u smjeru osi x, y, z V m 3 volumen, obujam V -, m lijevi enzor izduţenja, globalni vekor pomaka V m/s globalni vekor brzina Fakule srojarsva i brodogradnje VI

11 V m/s 2 globalni vekor ubrzanja V1, V2, V3 m/s globalne brzine u smjeru osi X, Y, Z (u Abaqusu) v x, v y, v z m/s brzina u smjeru osi x, y, z W - enzor vrloţenja W e J rad vanjskih poopćenih sila X, Y, Z - globalne Karezijeve koordinae (u Abaqusu) x, y, z lokalne Karezijeve koordinae Grčke oznake Oznaka Jedinica Opis α R - Rayleighev paramear prigušenja β R - Rayleighev paramear prigušenja δ ij - Kroneckerov dela operaor Δ s vremenski inkremen ε - Green Lagrangeov enzor deformacije λ - vlasia vrijednos ν - Poissonov fakor ξ - omjer prigušenja ρ kg/m 3 gusoća σ N/m 2 Cauchyev enzor naprezanja Φ - modalna marica Ω - spekralna marica Skraćenice Oznaka 3D ABQ ADM ALLIE ALLKE ALLWK B31 B32 DAE EXPL GSTIFF HHT IMPL Puno značenje rodimenzionalno Abaqus Adams unuarnja energija cijelog susava (Abaqus) kineička energija cijelog susava (Abaqus) rad vanjskih sila koje djeluju na susav (Abaqus) gredni elemen prvog reda (Abaqus) gredni elemen drugog reda (Abaqus) diferencijalno algebarske jednadţbe (eng. Differenial-Algebraic Equaions) eksplicina meoda (Abaqus) Gearov inegraor kruih jednadţbi (Adams) Hilber-Hughes-Taylorov inegraor (Abaqus, Adams) implicina meoda (Abaqus) Fakule srojarsva i brodogradnje VII

12 MKE MNF NLGEOM N-R ODE PDE RKF45 WSTIFF meoda konačnih elemenaa modalno neuralna daoeka (eng. Modal Neural File) (Abaqus, Adams) geomerijska nelinearnos (eng. Non Linear GEOMery) (Abaqus) Newon Raphsonov posupak ieracije obične diferencijalne jednadţbe (eng. Ordinary Differenial Equaions) parcijalne diferencijalne jednadţbe (eng. Parial Differenial Equaions) Runge-Kua-Fehlberov inegraor 4 i 5 reda (Adams) Wielenga inegraor kruih jednadţbi (Adams) Noacija U radu je, gdje je za o bilo porebe, korišena posebna noacija varijabli. Za proizvoljnu enzorsku varijablu X definirani su lijevi i desni indeksi. Lijevi indeksi se korise za definiranje konfiguracije u kojoj se varijabla dešava i konfiguraciju na koju se odnosi, j. u kojoj se mjeri, na način b X a gdje je a konfiguraciju u kojoj se varijabla mjeri, a b konfiguracija u kojoj se varijabla dešava. Ukoliko se izosavi lijevi donji indeks na način, b X, ada se varijabla mjeri u konfiguraciji u kojoj se dešava, u ovom slučaju je o konfiguracija b. Za ovakve varijable će se česo korisii indeksni zapis kojim se označava definicija i red enzora X ijkl gdje je X ijkl enzor čevrog reda, a i, j, k i l poprimaju vrijednosi 1, 2 i 3., Fakule srojarsva i brodogradnje VIII

13 SAŽETAK Tema ovog diplomskog rada je računalna dinamika deformabilnih ijela s primjenom u dinamici susava više ijela. Cilj rada je provesi računalnu analizu dinamičkog odziva susava deformabilnih ijela korišenjem meode konačnih elemenaa izvedenih eorijom velikih pomaka i meodom dinamike susava više ijela koja uključuje reducirane modele pojedinih deformabilnih članova susava. Analiza je izvršena numerički na primjeru mehanizma s ri grede pomoću meode konačnih elemenaa u komercijalnog programskom pakeu Abaqus i pomoću meode dinamike susava više ijela u komercijalnom programskom pakeu Adams. Rad je podijeljen na pe poglavlja i ri dodaka. U prvom, uvodnom poglavlju, ukrako je objašnjena problemaika primijenjene dinamike s naglaskom na dinamiku deformabilnih susava više ijela. U drugom poglavlju opisana je eorija vezana za računalnu dinamiku deformabilnih ijela. Dan je pregled i opis korišenih algoriama, uključujući formulaciju problema dinamike deformabilnih ijela i meode redukcije reda modela pojedinih članova susava. U rećem poglavlju ukrako su opisani korišeni, komercijalno dosupni, programski pakei Abaqus i Adams. U čevrom poglavlju provedena je numerička analiza dinamičkog odziva mehanizma s ri grede koje su modelirane kao deformabilne. Grede diskreizirane konačnim elemenima korišene su u programskom pakeu Abaqus e u programskom pakeu Adams kao reducirani modeli. U peom poglavlju ovoga rada dan je kraak osvr na problemaiku primijenjene računalne dinamike e je izveden zaključak o dobivenim rezulaima računalne analize. U posljednja ri poglavlja, odnosno dodaka, ukrako je dan pregled osnovnih izraza mehanike koninuuma, modeliranja prigušenja i frekvencijske analize. Ključne riječi: računalna dinamika, deformabilni susav više ijela, redukcija reda modela, meoda konačnih elemenaa, nelinearna analiza, Abaqus, Adams. Fakule srojarsva i brodogradnje IX

14 SUMMARY The subjec of his hesis is compuer dynamics of deformable bodies wih applicaion in mulibody dynamics. The aim of his work is o carry ou compuer analysis of dynamic response of deformable body sysem using a large displacemen finie elemen mehod and mulibody sysem mehod which includes reduced models of individual deformable body. Analysis was carried ou numerically on example of hree bar mechanism using finie elemen mehod in commercial sofware package Abaqus and using mulibody dynamics mehod in commercial sofware package Adams. The work is divided ino five chapers and hree appendices. In he firs, inroducory chaper, issues of applied dynamics is briefly explained wih a focus on flexible mulibody dynamics. In he second chaper, heory regarding compuer dynamics of flexible bodies is described. An overview and explanaion of used algorihms is given, including formulaion of flexible body dynamics problem and mehods used o reduce model order of individual sysem members. The hird secion briefly describes used, commercially available, sofware packages Abaqus and Adams. In he fourh chaper numerical analysis of dynamic response of hree bar mechanism is carried ou. Bars modeled as flexible bodies and discreized wih finie elemens are used in sofware package Abaqus and as reduced models in sofware package Adams. In he fifh chaper of his paper a brief review is given ogeher wih he conclusion on he resuls of numerical analysis. In he las hree chapers, appendices, an overview of fundamenal expressions in coninuum mechanics, modeling of damping and frequency analysis is given. Key words: compuer dynamics, flexible mulibody sysems, model order reducion, finie elemen mehod, nonlinear analysis, Abaqus, Adams. Fakule srojarsva i brodogradnje X

15 1. Uvod Današnje konsrukcije i proizvodi kompliciranih su i nepravilnih oblika koje je nemoguće proračunai sandardnim analiičkim meodama. Upravo iz og razloga razvijene su različie numeričke meode proračunavanja koje s razvojem računala sve više dolaze do izraţaja. Jedna od ih meoda je meoda konačnih elemenaa kojom se s modernim računalima mogu relaivno brzo rješavai zahjevni dinamički problemi. Računalna dinamika deformabilnih ijela korišena u analizi numeričkih primjera u ovom radu akoďer se emelji na meodi konačnih elemenaa. Veliki broj današnjih konsrukcija sačinjen je od više ijela koja su meďusobno povezana na različie načine. Dinamika susava više ijela (eng. dynamics of mulibody sysems) bavi se dinamikom kruih ijela, a evenualne elasičnosi definiraju se kroz razne pojednosavljene elemene kao šo su npr. opruge. Na današnje konsrukcije zahjevi su sve veći e se eţi opimiranju isih u svrhu smanjenja naprezanja, deformacija i mase, produljenja ţivonog vijeka i slično. Da bi se o omogućilo porebno je spregnui dva područja dinamiku kruih i deformabilnih ijela. Time se javlja poreba za dealjnijim proučavanjem dinamike deformabilnih ijela. Osim oga, akvi problemi najčešće su vrlo kompleksni i nelinearne prirode e se većinom rješavaju numerički, odnosno računalno. U radu su prikazani osnovni koncepi dinamike susava više ijela i dinamike deformabilnih ijela e kako ih dovesi u spregu ako da čine deformabilni dinamički susav više ijela (eng. flexible mulibody dynamic sysem). Koncepi su prikazani kroz pregled i opis korišenih algoriama, formulaciju problema dinamike deformabilnih ijela e meode redukcije reda modela pojedinih članova susava. Pojašnjena je eorija vezana za rješavanje problema dinamike u programskom pakeu Abaqus za numeričku analizu konsrukcija. Ukrako je pokazana procedura dobivanja reduciranih modela deformabilnih ijela namijenjenih za implemenaciju u programskom pakeu Adams za analizu dinamičkih susava više ijela. Dva navedena programska pakea, iako izvorno namijenjena za rješavanje popuno drugačijih problema, vremenom su se razvila e se renuno preklapaju upravo u području računalne dinamike deformabilnih ijela. Iz og razloga napravljena je usporedba rezulaa na numeričkom primjeru. Fakule srojarsva i brodogradnje 1

16 1.1. Moivacija Od modernog inţenjera očekuje se suvereno korišenje dosupnih računalnih alaa emeljenih na kompleksnoj eorijskoj pozadini koju reba razumjei kako bi se program mogao učinkovio primijenii u praksi. Rad je nasavak na već posojeće radove vezane uz problemaiku nelinearne numeričke analize konsrukcija, dinamike susava više ijela i dinamike deformabilnih ijela. U ţelji za sjecanjem novih i proširivanju posojećih znanja iz navedenih područja odlučio sam odabrai emu diplomskog rada upravo ako da obuhvai a područja. Na prijedlog menora, za emu smo odabrali računalnu dinamiku deformabilnih ijela. Cilj rada je proširii znanja iz područja dinamike deformabilnih ijela kroz proučavanje dosupne lieraure e rješavanjem računalnih analiza koriseći komercijalno dosupne programe Abaqus i Adams Podjela problema dinamike Dinamika je područje klasične mehanike koja proučava djelovanje sila na gibanje ijela i obrano. Dinamika je uemeljena Newonovim zakonima gibanja. Problemi dinamike mogu se svesi na direkne dinamičke probleme (eng. forward dynamics) i inverzne dinamičke probleme (eng. inverse dynamics). Osim ih područja, dinamika se akoďer bavi i vibracijama e kao posebna grana dinamike je opimizacija (eng. opimisaion) [1]. Direkni dinamički problem se bavi odreďivanjem gibanja susava koji je operećen silama i momenima. Opisan je parcijalnim diferencijalnim jednadţbama (PDE, eng. parial differenial equaions), a u većini slučajeva se moţe svesi na rješavanje običnih diferencijalnih jednadţbi (ODE, eng. ordinary differenial equaions). Takav susav karakeriziraju velike roacije, elemeni za povezivanje unuar susava posjeduju nelinearne karakerisike i slično. Ovisno o formulaciji maemaičkog modela, uvode se dodane algebarske jednadţbe čime se dobivaju diferencijalno algebarske jednadţbe (DAE, eng. differenial algebraic eqauion) Inverzni dinamički problem se bavi odreďivanjem zadanih i reakcijskih sila i momenaa koje djeluju na susav kojemu je poznao gibanje. U većini slučajeva se inverzni dinamički problem svodi na susav algebarskih jednadţbi. Problem vibracija se najčešće svodi na odreďivanje susava vlasiih vrijednosi i formi vibriranja (vlasiih vekora), s obzirom da se najčešće razmaraju problemi u linearnom Fakule srojarsva i brodogradnje 2

17 području, odnosno ograničeni malim pomacima. Problemi vibracija mogu se rješavai u frekvencijskoj i vremenskoj domeni. Ako se problem razmara u frekvencijskoj domeni dobivaju se rješenja koja pokazuju koje su forme vibriranja najviše izraţene pri odreďenoj frekvenciji. Za razliku od oga, razmaranje problema u vremenskoj domeni daje uvid u odziv neke promarane varijable (npr. pomaka) u vremenu. U ovom koneksu se moţe razmarai i sabilnos susava. Za zahjevnije analize provodi se i nelinearna vibracijska analiza. Navedeni problemi se najčešće rješavaju modernim alaima računalnim programima. U ovom radu spomenu će se ri najčešća problema primijenjene dinamike Problemi primijenjene dinamike Svaki od navedenih problema dinamike zasniva se na posebnim preposavkama pri modeliranju i rješavanju jednadţbi dobivenih maemaičkim modelom, pa su iz og razloga različie i meode kojima se prisupa rješavanju odreďenog problema [1]. Iz razloga šo je klasičnim, analiičkim meodama vrlo zahjevno i mnogim slučajevima nemoguće riješii kompleksne dinamičke susave koji se pojavljuju u današnjem vremenu, razvila se računalna dinamika. Računalna dinamika se uglavnom korisi za rješavanje kompleksnih susava za koje je nemoguće ili neisplaivo dobii analiičko rješenje. Riječ je o konsrukcijskim susavima sačinjenih od više ijela (eng. mulibody sysems) koji sadrţe velik broj ijela povezanih različiim vezama. Najčešće se radi o susavima kruih ijela, no kombiniranjem računalne dinamike kruih ijela s meodom konačnih elemenaa moguće je rješavai i probleme računalne dinamike deformabilnih susava više ijela Srukuralna dinamika Srukuralna dinamika (eng. srucural dynamincs) se bavi deformabilnim mehaničkim srukurama čiji su segmeni operećeni silama i momenima e su u pravilu ograničeni na male pomake i male roacije. Inţenjerska svojsva, kao šo su viskoelasičnos i masa, disribuirani su po čiavoj srukuri. Maemaički model se najčešće svodi na parcijalne diferencijalne jednadţbe, a koji se nakon diskreizacije susava maemaičkim modeliranjem svodi na obične diferencijalne jednadţbe. Korišenjem već dobro poznaih meoda, kao šo je meoda konačnih elemenaa, dobiva se mogućnos korišenja komercijalnih i robusnih procedura kako bi se riješio problem srukuralne dinamike [1], [2]. Srukuralna dinamika moţe posluţii za rješavanje dinamičkih problema u svrhu odreďivanja dinamičkih pomaka ili modalnih formi vibriranja. Fakule srojarsva i brodogradnje 3

18 Dinamika susava više ijela Dinamika susava više ijela (eng. mulibody dynamics) bavi se mehaničkim susavom sasavljenim od meďusobno povezanih kruih ijela kojima su dozvoljeni veliki pomaci i velike roacije. Tijela su meďusobno povezana elemenima kinemaskih ograničenja i različiim elemenima za povezivanje. Svarna svojsva zadanog problema, kao šo su viskoelasičnos i inercija, diskreizirana su okom procesa oblikovanja mehaničkog modela. Maemaičko modeliranje svorenog mehaničkog modela svodi se na obične diferencijalne jednadţbe ili diferencijalno-algebarske jednadţbe [1]. Koncep dinamike susava više ijela danas ima jako široku primjenu u auo indusriji, roboici, meharonici, biomehaničkim susavima, raznim mehanizmima i slično. Kada se govori o kruim ijelima moţe se reći da je polje deformacija og ijela ε =, no i dalje mogu posojai koncenrirane elasične komponene, kao šo su elasični zglobovi (eng. flexible joins) i elemeni sila (eng. force elemens) koji sluţe za povezivanje dvaju idealno kruih elemenaa, a predsavljaju lokaliziranu elasičnos [7] Dinamika deformabilnih susava više ijela Spregom prije navedenih susava dobije se dinamika deformabilnih susava više ijela (eng. flexible mulibody dynamics). U okviru dinamike deformabilnih susava više ijela, neka od ijela ili segmeni susava su deformabilni. U akvom susavu su i dalje meďusobnim kinemaičkim ograničenjima i različiim spojnim elemenima povezana ijela, ali sada osim kruih ijela mogu posojai i deformabilna ijela. Takav problem najčešće se bavi rješavanjem nelinearnih srukura čiji su segmeni podvrgnui velikim pomacima i zakreima kruog ijela e s deformacijama unuar pojedinih ijela. Dinamika deformabilnih susava više ijela moţe se podijelii na dinamiku linearno elasičnih susava više ijela i dinamiku nelinearno elasičnih susava više ijela, pri čemu se linearnos odnosno nelinearnos odnosi na preposavke pod kojima se rješavaju jednadţbe ravnoeţe. Tako se za linearnu analizu moţe reći da se preposavljaju mali pomaci, odnosno da enzor deformacija ε << 1, ravnoeţa se razmara na nedeformiranom obliku, operećenje ne mijenja smjer, ponašanje maerijala je linearno elasično, a veza izmeďu deformacija i pomaka akoďer je linearna. Na linearno elasične probleme lako se primjenjuje frekvencijska analiza. Za nelinearnu analizu s druge srane vrijede veliki pomaci (geomerijska nelinearnos), ravnoeţa se posavlja na deformiranom obliku, operećenje moţe mijenjai smjer, ponašanje maerijala Fakule srojarsva i brodogradnje 4

19 ne mora bii linearno elasično (posoji maerijalna nelinearnos, pojavljuju se plasične deformacije), e veza izmeďu deformacija i pomaka u općem slučaju nije linearna [5], [6], [7] Modeliranje mehaničkih susava Modeliranje mehaničkih susava moţe se podijelii u dva koraka. Prvi korak je mehaničko modeliranje kojim se nasoji modelirai geomerija i veze meďu pojedinim dijelovima, pri čemu reba imai na umu da se u model uključe svi elemeni i efeki koje se ţeli proučavai. Model reba bii dovoljno kompliciran kako bi obuhvaio ţeljeni ineres, a ope dovoljno jednosavan kako bi se zadovoljila ţeljena očnos i brzina računanja. Na osnovu og mehaničkog modela svara se maemaički model. Kako mehaničko, ako ni maemaičko modeliranje nije jedan i jedinsveni posupak, već ovisi od problema do problema, odnosno od zahjeva i ciljeva koji se ţele dobii odreďenom analizom Mehaničko modeliranje Ključan krierij mehaničkog modeliranja (eng. mechanical modeling) je da goovi mehanički model mora moći opisai (uzei u obzir) sva mehanička svojsva svarnog susava koji se promara, a sve sa ţeljenom očnošću. Obzirom na promarani problem i ţeljene rezulae susav se modelira kao problem dinamičkog susava više ijela ili kao srukuralni dinamički problem ako su od ineresa forme vibriranja. Općenio se susavi sasavljeni od kruih ijela koji su meďusobno povezani raznim spojnim elemenima, a koji su podvrgnui velikim pomacima i roacijama, e malim vibracijama mogu modelirai kao dinamički susavi više ijela. Ako je u ineresu promarai i deformabilnos pojedinih segmenaa susava pribjegava se modeliranju problema kao dinamičkom deformabilnom susavu više ijela. Na slici 1 prikazan je posupak mehaničkog modeliranja. Slika 1. Mehaničko modeliranje roboske ruke Fakule srojarsva i brodogradnje 5

20 Maemaičko modeliranje Maemaičko modeliranje (eng. mahemaical modelling) je proces formuliranja susava jednadţbi koji opisuje gibanje i druge fizikalne pojave koje se pojavljuju na promaranom mehaničkom modelu. Za neke posebne (česo pua samo jednosavne) slučajeve posoji i analiički zapis problema koji moţe posluţii za verifikaciju numeričkih procedura. Maemaički modeli nasali su iz proučavanja gibanja česica koje reprezeniraju koncenrirane mase i kruih ijela na čije gibanje su primijenjeni klasični zakoni mehanike (kao šo su Newonovi zakoni gibanja). Ti maemaički modeli proširuju se kako bi se opisale i druge fizikalne pojave, kao šo je na primjer deformabilnos ijela. U ovom radu korišena su dva maemaička modela. Jedan se emelji na meodi konačnih elemenaa korišenjem eorije velikih pomaka, a drugi na meodi dinamike susava više ijela koja uključuje reducirane modele pojedinih deformabilnih članova susava. Fakule srojarsva i brodogradnje 6

21 2. Računalna dinamika deformabilnih ijela Nekom dinamičkom problemu moţe se prisupii na više načina. Ovisno o raţenim rezulaima, analiičar koji se bavi dinamikom reba procijenii kakve je prirode razmarani dinamički problem i prema ome odabrai koji je prisup najbolji. U uvodu je rečeno koji su najčešći problemi primijenjene dinamike. U nasavku ovog poglavlja prikazai će se formulacija problema dinamike deformabilnih ijela i redukcije modela pojedinih članova susava. Kroz uvid u dobivene jednadţbe e uvedene preposavke, pojedinac reba odlučii hoće li rješavai zadani problem kao problem srukuralne dinamike, dinamike kruih ijela ili dinamike deformabilnih ijela. Korišenjem meode konačnih elemenaa mogu se izvesi jednadţbe za rješavanje problema srukuralne dinamike kao šo su modalna analiza, proučavanje vibracija, propagacija vala unuar srukure, mjerenje deformacija, naprezanja i pomaka konsrukcije i slično. Primjer srukuralne analize je odreďivanje slobodnih prigušenih ili neprigušenih vibracija. Korišenjem koncepa dinamičkih susava kruih ijela mogu se uzei u obzir sloţeni susavi sačinjeni od više ijela, ako je u ineresu proučavanje ujecaja inercijalnih sila, sila prigušenja i elasičnosi u vezama meďu ijelima, zaim kinemaika gibanja susava i slično. Ukoliko je u ineresu proučavanje srukuralnog odziva deformabilnih konsrukcija sačinjenih od više ijela, problemu se moţe prisupii korišenjem dinamike susava deformabilnih ijela. Takav prisup moţe dai rješenja srukuralne dinamike kao šo su na primjer vibracije ili naprezanja u pojedinom ijelu, ali i rješenja koja se dobiju korišenjem dinamike susava više ijela kao šo je kinemaika gibanja ili ujecaj inercijskih sila uslijed velikih roacija i pomaka Meoda konačnih elemenaa Meoda konačnih elemenaa (skraćeno MKE) je numerička meoda emeljena na diskreizaciji koninuuma. S obzirom da je numerička meoda, MKE ujedno je i pribliţna meoda. Po svojoj definiciji iz og razloga MKE unosi grešku u rješenje. Odabirom prikladnih formulacija i algoriama e pravilnom diskreizacijom razmaranog koninuuma moguće je konrolirai grešku i zadrţai je unuar dozvoljenih granica. Zbog svoje robusnosi i mnogosranosi zauzela je svoje mjeso u mnogim područjima primijenjene maemaike pa ako i u mehanici deformabilnih ijela. Daljnjim razvojem MKE Fakule srojarsva i brodogradnje 7

22 područje rješavanja se proširilo na goovo sva područja primijenjene mehanike, a danas predsavlja sveprisuan ala u numeričkoj analizi konsrukcija. U okviru mehanike koninuuma najprije je izvedena formulacija za rješavanje osnovnih saičkih linearnih problema na emelju eorije malih pomaka, a posebne formulacije MKE proširile su joj područje primjenjivosi ako da danas moţe rješavai sloţene dinamičke i nelinearne probleme. Dinamički problemi su općenio nelinearni, a formulacijom meode konačnih elemenaa korišenjem eorije velikih pomaka dobiven je ala koji moţe rješavai nelinearne i dinamičke probleme. U radu je soga dan pregled i opis korišenih algoriama, uključujući i formulaciju problema dinamike deformabilnih ijela. Dobar dio eorije preuze je iz [2] Meoda konačnih elemenaa korišenjem eorije velikih pomaka Linearna analiza, koja se emelji na preposavci da su pomaci konačnih elemenaa infiniezimalno mali i da se maerijal ponaša linearno elasično, dobar su počeak za israţivanje bilo kojeg problema jer daju uvid u kvalieu korišene mreţe konačnih elemenaa, a osim oga i uvid u moguće nelinearnosi. Linearna analiza akoďer podrazumijeva da se rubni uvjei ne mijenjaju okom analize. Takve preposavke rezuliraju jednadţbom ravnoeţe za saičke probleme koja se moţe napisai kao KV R, (1) gdje je K globalna marica kruosi proračunskog modela, V je vekor globalnih supnjeva slobode, a R je vekor čvornih sila proračunskog modela. Jednadţba (1) predsavlja jednadţbu saičke ravnoeţe za linearne probleme. Ovdje je marica kruosi K linearnog karakera, e soga vrijedi linearna superpozicija, a sama ovisnos sila i pomaka akoďer je linearna. Za ovakav susav linearnih jednadţbi posoji jednoznačna veza izmeďu kruosi i operećenja. Ukoliko je bilo koji od gornjih uvjea narušen, problem posaje nelinearan. Nelinearni problemi u pravilu, osim za probleme kod kojih se mijenjaju rubni uvjei (kao kod npr. konaka), nasaju zbog kinemaske nelinearnosi i maerijalne nelinearnosi pa se problemi nelinearnosi mogu podijelii na: Maerijalnu nelinearnos koju opisuju infiniezimalni pomaci i deformacije, a pri čemu je ovisnos naprezanja i deformacija nelinearna. Korisi se formulacija samo maerijalne nelinearnosi. Fakule srojarsva i brodogradnje 8

23 Kinemasku nelinearnos koju opisuju velike roacije i veliki pomaci. Moţe se podijelii na dva slučaja: o Za deformacije se preposavlja da osaju male. U ovom slučaju se bez obzira na o šo se susav podvrgava velikim roacijama i velikim pomacima, i dalje ograničava na male deformacije. Pri ome se maerijal moţe modelirai kao linearan ili nelinearan. Obično se korise oalna Lagrangeova formulacija (TL, eng. Toal Lagrangian) i aţurirana Lagrangeova formulacija (UL, eng. Updaed Lagrangian), o Deformacije mogu bii velike. U ovom slučaju se susav podvrgava velikim roacijama i velikim pomacima, ali pri čemu mogu posojai i velike deformacije, dok se maerijal moţe modelirai kao linearan ili nelinearan. Kao i kod problema malih deformacija korise se TL formulacija ili UL formulacija. Kao nelinearnos podrazumijeva se i konak, kod kojeg se mijenjaju rubni uvjei, a moţe se promarai skupa s prije navedenim nelinearnosima. U ovom radu obradi će se slučaj kinemaske nelinearnosi u kojem je susav podvrgnu velikim roacijama i velikim pomacima, a deformacije mogu bii proizvoljno velike. Dinamički problem moţe se formulirai na osnovu osnovnog saičkog problema na sljedeći način. Preposavi li se da su operećenja koja su dodijeljena na granici susava dovoljno brza da uječu na rezulae, odnosno da se više ne moţe razmarai saička ravnoeţa (1) već se uzima u obzir ujecaj inercijskih sila, koji se mogu d'alamberovim principom uključii u volumne sile. Jednadţba ravnoeţe za dinamički problem, uz preposavku da su ubrzanja opisana isim inerpolacijskim funkcijama kao i pomaci, sada se moţe zapisai kao MV( ) KV() R ( ), (2) gdje su V () ubrzanja u čvorovima, M je marica mase, a za razliku od saičkog slučaja, globalni pomaci V() i vekor čvornih sila R() sada su ovisni o vremenu. Osim oga, kada se mjeri odziv dinamičkih susava primjećuje se disipacija energije okom gibanja (vibriranja) soga reba modelirai i prigušenje koje je ovisno o brzini i s njom spregnuo, a slično kao inercijske sile, sile prigušenja uključuju se u volumne sile, e se dobije konačni izraz koji opisuje dinamički prigušeni susav pobuďen vremenski ovisnom uzbudom MV( ) CV( ) KV( ) R ( ), (3) gdje je V brzina u čvorovima, C je marica prigušenja, a R() vremenski ovisna uzbuda. Fakule srojarsva i brodogradnje 9

24 Izrazi (2) i (3) su linearne jednadţbe s konsannim koeficijenima i akva jednadţba karakerizira susave koji su ograničeni na male pomake, j. linearne probleme. Ukoliko se raspiše dinamička jednadţba ravnoeţe za nelinearne probleme, problem se svodi na rješavanje nelinearnog susava diferencijalnih jednadţbi drugog reda, ( ), ( ), ( ) ( ), gdje marica masa MV, V, marica prigušenja CV, V i marica kruosi, M V V V C V V V K V V V R (4) K V V nisu konsanne i mijenjaju se u vremenu, jer se preposavljaju veliki pomaci koji sada uječu na maricu mase i kruosi, a marica prigušenja općenio je funkcija brzine. Gornji problem se moţe zapisai kraće na sljedeći način G V, V, V R ( ), (5) gdje je GV, V, V nelinearna vekorska funkcija unuarnjih sila (nasalih uslijed prigušenja i deformacija) i inercijskih sila. Ako se preposavi da susav ima m supnjeva slobode gibanja marično se izraz (5) moţe zapisai kao G1 V1, V1, V1, V2, V2, V2 Vm, Vm, Vm, R1 () G2 V1, V1, V1, V2, V2, V2 Vm, Vm, Vm, R2 ( ). (6) G () 3 V1, V1, V1, V2, V2, V2 V,,, Rm m Vm Vm Rješavanje nelinearnih dinamičkih problema zahijevalo bi rješavanje susava jednadţbi (6) dok se ne dobije ravnoeţa unuarnjih i inercijskih sila s vanjskim silama. S obzirom na izraziu nelinearnos akvog susava koja uvelike oeţava dobivanje rješenja, cilj je linearizirai susav kako bi se lakše mogao riješii inkremenalno ieraivnim meodama [5]. Osnovni problem svih nelinearnih analiza je pronalazak ravnoeţnog sanja. U meodi konačnih elemenaa česo se korisi Newon-Raphsonov ieraivni posupak K ΔV R F ( i1) ( i) ( i1) V V ΔV ( i) (i1) ( i) gdje je i broj ieracije i pri čemu reba zadai počene uvjee,, (7) V V; K K; F F. (8) () () () ( i1) U jednadţbama (7) i (8) jednadţbama K predsavlja angennu maricu kruosi, R je vekor vanjskih čvornih sila, a F je vekor unuarnjih čvornih sila. Kako je prije rečeno, porebno je ieraivno zadovoljii ravnoeţu u renunoj konfiguraciji. Na slici 2. prikazano je ijelo u fiksnom Karezijevom koordinanom susavu i za o ijelo se Fakule srojarsva i brodogradnje 1

25 preposavlja da moţe bii podvrgnuo velikim roacijama i velikim pomacima, ali iso ako da deformacije ijela mogu bii velike e da moţe posojai nelinearna konsiuivna ovisnos maerijala. Cilj je usposavii ravnoeţu u diskrenim renucima, Δ, 2Δ, 3Δ,..., gdje je Δ vremenski korak. Preposavlja se da je poznaa ravnoeţa u renuku (koji opisuje renuno sanje), u svim renucima prije e da je porebno usposavii ravnoeţu u sljedećem renuku koji će se dogodii u + Δ. U analizi se prae česice ijela od počenog do konačnog renuka, odnosno korisi se Lagrangeova formulacija. Slika 2. Gibanje ijela u Karezijevom koordinanom susavu Korišenjem meode virualnih pomaka definira se ravnoeţa u renuku + Δ koja se moţe zapisai kao gdje su τ e d V, (9) V τ komponene Cauchyevog enzora naprezanja u Karezijevim koordinaama, 1 u u i j enzor deformacija opisan pomoću virualnih pomaka, 2 xj x i eij Fakule srojarsva i brodogradnje 11

26 u i komponene virualnih pomaka u konfiguraciji + Δ, odnosno u funkciji od j = 1, 2, 3, x i Karezijeve koordinae maerijalne očke u renuku + Δ, x, za j V volumen u renuku +Δ, e gdje su B f i fi uid V fi ui d S, (1) B S S V Sf komponene vanjskih volumnih sila u renuku + Δ, S f i komponene vanjskih površinskih sila u renuku + Δ, S f površina u renuku + Δ, na koju su dodijeljena površinska operećenja, u S i u ako se računa na površini S f. i Izrazi (9) i (1) analogni su izrazima za saički slučaj, s ime da se u ovom slučaju razmara konfiguracija u renuku + Δ. S obzirom da se u linearnoj analizi preposavljaju mali pomaci i ravnoeţa se razmara na nedeformiranom obliku, u ovom slučaju o predsavlja problem jer je konfiguracija u renuku + Δ nepoznaa. Iz razloga šo se konfiguracija ijela nepresano mijenja porebno je korisii i prikladne enzore kojima će se mjerii naprezanja i deformacije, e posebne konsiuivne relacije. Pregled porebnih izraza iz mehanike koninuuma dan je u Dodaku A. Ideja je a da se pronaďu pomoćne veličine za mjerenje naprezanja i pomaka koje će bii definirane u konfiguraciji koja je poznaa i po čijem će se volumenu moći inegrirai kako bi se mogao naći inegral virualnog rada. Sada se korišenjem ransformacija za deformacije (A.13) i naprezanja (A.15) e izraza d V d V, uz provoďenje varijacije po pomacima, dobije izraz za energiju susava koji je podvrgnu velikim roacijama, velikim pomacima e velikim deformacijama i o sve u fiksnom koordinanom susavu prema slici 2. kl kl k, i i, j m, k n,l mn V V V e d V x x x x d V Sijmi nj mnd V Sij ijd V. V TakoĎer se moţe preposavii da vrijedi i sljedeći izraz (11) Fakule srojarsva i brodogradnje 12

27 mn emnd V S ij ijd V. (12) V S obzirom da je izraz (11) definiran po počenom volumenu (u posljednjem obliku), ali i po renunom volumenu (u preposljednjem obliku), moţe se zaključii da a jednadţba vrijedi i za svaki renuak izmeďu, ukoliko se drugi Piola-Kirchhoffov enzor naprezanja i Green- Lagrangeov enzor deformacija definiraju u odnosu na u konfiguraciju. Uze je neki renuak τ <. Izrazi (9), (1), (11) i (12) predsavljaju osnovne izraze za razvoj dviju inkremenalnih formulacija mehanike koninuuma za nelinearne probleme: oalnu Lagrangeovu (TL) formulaciju i aţuriranu Lagrangeovu (UL) formulaciju. Porebno je riješii jednadţbu (9) koja izraţava ravnoeţu i uvjee kompaibilnosi proizvoljnog ijela u renuku + Δ. Kako je u pravilu akvo ijelo podvrgnuo velikim pomacima i velikim deformacijama e moţe posojai maerijalna nelinearnos, izraz (9) ne moţe se rješavai direkno. Pribliţno rješenje moţe se dobii ukoliko se sve veličine promaraju u odnosu na posljednju poznau konfiguraciju, nakon čega se lineariziraju rezulai e poboljšaju ieraivnim posupkom. Slično kao prije, preposavlja se da su sva prehodna sanja (od,δ, 2Δ,..., ) poznaa i da se mogu primijenii izrazi (11) i (12) e definirai naprezanja i deformacije u odnosu na neku od poznaih ravnoeţnih konfiguracija. U pravilu se moţe korisii bilo koji renuak i u njemu poznaa konfiguracija, no najčešće se biraju dvije konfiguracije na osnovu kojih posoje i dvije formulacije; oalna Lagrangeova formulacija (eng. Toal Lagrange formulaion TL) i aţurirana Lagrangeova formulacija (eng. Updaed Lagrange formulaion UL). TL formulacija emelji se na definiranju svih saičkih i kinemaičkih veličina u odnosu na počenu konfiguraciju i renuak =, dok se UL formulacija emelji na definiranju svih veličina u odnosu na posljednju izračunau konfiguraciju u renuku. Obje formulacije uključuju kinemaske nelinearnosi uslijed velikih pomaka, velikih roacija i velikih deformacija, dok maerijalna nelinearnos ovisi o konsiuivnim relacijama. Korišenjem izraza (11) pomoću TL formulacije razmara se osnovna jednadţba dok se pomoću UL formulacije razmara Fakule srojarsva i brodogradnje 13 V Sij ijd V, (13) V Sij ijd V, (14) V

28 u kojima je virualni rad vanjskih sila dan jednadţbom (1). Izraz (1) ovisi o površini i volumenu ijela koje se razmara, no preposavi će se, za počeak, da je operećenje neovisno o deformacijama. Takvo operećenje su koncenrirane sile. U ablicama 1 i 2 dani su izrazi porebni da se lineariziraju jednadţbe gibanja oko ravnoeţnog sanja u renuku, i o za TL formulaciju i UL formulaciju. Tablica 1. Inkremenalna dekompozicija veličina mehanike koninuuma TL formulacija 1. Jednadţba gibanja V Sij ijd V, gdje je Sij xi, m mn x j, n ; ij ui, j u j, i uk, i uk, j 2. Inkremenalna dekompozicija (a) Naprezanja (b) Deformacije 1 2 S S S ij ij ij ij ij ij, ij ij ij e 1 1 eij ui, j u j, i uk, i uk, j uk, i uk, j, u, u, Jednadţba gibanja uz inkremenalnu dekompoziciju Uz korišenje ij ij dobije se jednadţba gibanja, ij k i k j S ij ijd V Sij ijd V Sij eijd V. V V V 4. Linearizacija jednadţbe gibanja Korišenjem aproksimacija S ij C ijrs e rs i ij eij dobije se pribliţna jednadţba gibanja C ijrs ers eijd V Sij ijd V Sij eijd V. V V V Linearizirana jednadţba ravnoeţe u TL formulaciji glasi (15) Cijrs ers eijd V Sij ijd V Sij eijd V, V V V Fakule srojarsva i brodogradnje 14

29 dok se pomoću UL formulacije dobije Cijrs ers eij d V ij ijd V ij eij d V, (16) V V V gdje su Cijrs i Cijrs inkremenalni enzori elasičnosi u renuku, a u odnosu na konfiguracije u vremenu i. U gornjim izrazima S ij i ij su drugi Piola-Kirchhoffov i Cauchyev enzor naprezanja u renuku, a e ij, ij i e ij, ij linearne i nelinearne inkremenalne deformacije u odnosu na konfiguraciju u vremenu i. Tablica 2. Inkremenalna dekompozicija veličina mehanike koninuuma UL formulacija 1. Jednadţba gibanja gdje su V S d V ij ij, 1 i. 2 Sij xi, m mn x j, n ij ui, j u j, i uk, i u k, j 2. Inkremenalna dekompozicija (a) Naprezanja (b) Deformacije S S gdje je S. ij ij ij, ij ij e, ij ij ij ij ij 1 1 eij ui, j u j, i, ij uk, i uk, j Jednadţba gibanja uz inkremenalnu dekompoziciju S d V d V e d V. ij ij ij ij ij ij V V V 4. Linearizacija jednadţbe gibanja Korišenjem aproksimacija S ij C ijrs e rs i ij eij dobije se pribliţna jednadţba gibanja C e e d V d V e d V. ijrs rs ij ij ij ij ij V V V Fakule srojarsva i brodogradnje 15

30 Inkremenalne linearne deformacije e ij u TL formulaciji sadrţe počene deformacije koje vode do sloţenije marice elasičnosi (u usporedbi s UL). Definira se greška koja nasaje uslijed linearizacije, pri čemu su aproksimirane vrijednosi označene sa *, i o za TL odnosno za UL Greška S d V * * ij ij, V Greška e d V * * ij ij. V (17) (18) Prema ovome se moţe zaključii da desna srana jednadţbi (15) i (16) predsavlja zv. neuravnoeţeni virualni rad (eng. ou-of-balance virual work), ali prije računanja inkremenaa u pomacima, dok je desna srana jednadţbi (17) i (18) neuravnoeţeni virualni rad nakon računanja, j. nakon šo je provedena linearizacija. Kako bi se smanjila greška porebno je ieraivno ponavljai ovaj korak dok se ne dobije zadovoljavajuća greška, koja će se moći zanemarii. Ukoliko se korisi TL formulacija jednadţba se rješava ieraivno, za k = 1, 2, 3,..., (19) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) C k k k k k k ijrs ers eij d V S ij ij d V S ij ij d V, V V V e korišenjem UL formulacije, akoďer za k = 1, 2, 3,..., dobije se C e e d V d V ( k 1) ( k ) ( k 1) ( k ) ijrs rs ij ij ij ( k1) ( k1) V V ( k 1) ( k 1) ij eij d V. ( k1) V gdje slučaj k = 1 odgovara izrazima u (15) i (16), a pomaci su aţurirani kako slijedi ( ) ( 1) ( ) () i i i (2) u u u ; u u. (21) Izrazi (19) do (21) su zapravo Newon-Raphsonova ieracija o kojoj je bilo govora prije Izvod izoparamearskog koninuum elemena U prehodno danim lineariziranim jednadţbama emeljenim na principu virualnih pomaka, jedine veličine su pomaci definirani u fiksnom (maerijalnom, Lagrangeovom) koordinanom susavu. Ukoliko se formuliraju konačni elemeni kod kojih se kao supnjevi slobode korise samo pomaci u čvorovima ada se sve jednadţbe mehanike koninuuma prehodno izvedene mogu direkno korisii. Princip virualnih pomaka u TL formulaciji je Fakule srojarsva i brodogradnje 16

31 Sij ijd V. (22) V Ako se gornji izraz linearizira s obzirom na supnjeve slobode u čvorovima a (gdje a moţe bii pomak ili roacija u čvoru), korišenjem razvoja u Taylorov red i s preposavkom da ne ovisi o deformacijama dobije se k k gdje je gdje je k Sij ij Sij ij Sij ij dak, ak (23) da diferencijalni inkremen varijable pomaka u čvoru a. Osim oga ovdje je ij ij al, al k (24) al varijacija pomaka a l, j. varijacija je provedena u odnosu prema čvornom pomaku a u konfiguraciji u renuku. l Ako se provede lančana derivacija drugog člana u jednadţbi (23), e korišenjem konsiuivne relacije i definicije Green-Lagrangeovog enzora naprezanja dobije se 2 rs ij ij ij Cijrs d V Sij d V dakal l ij l, S d V a ak al ak al a V V V l (25) gdje je l rad vanjskih sila u odnosu na varijaciju al. Ograničavanjem na samo pomake u čvorovima u nasavku su dane marice koje opisuju izoparamearske konačne elemene izvedene na principu virualnih pomaka. Da bi se dobile jednadţbe koje opisuju konačne elemene iso kao i za linearne konačne elemene korise se inerpolacijske funkcije kojima se inerpoliraju koordinae čvorova i pomaci u općim jednadţbama mehanike koninuuma. Pozivanjem na dobivene linearizirane jednadţbe virualnih pomaka dobivaju se jednadţbe konačnog elemena. Dok se jednadţba čiavog sklopa, iso kao i kod linearne analize, dobije korišenjem meode direkne kruosi. Bino je da se u svakom renuku za vrijeme gibanja moraju korisii ise inerpolacijske funkcije, jer se nove koordinae elemenaa dobiju zbrajanjem (inkremenalno) na prehodne (originalne) koordinae. Time se ujedno i zadovoljavaju uvjei konvergencije. Korišenjem isih funkcija oblika kao i za izvod linearnih izoparamearskih konačnih elemenaa e uvršavanjem isih u jednadţbe dane u ablicama 1. i 2. dobiju se izrazi za TL formulaciju i saičku analizu L NL, K K V R F (26) Fakule srojarsva i brodogradnje 17

32 za dinamičku analizu, e implicinu vremensku inegraciju L NL, M V K K V R F (27) za dinamičku analizu i eksplicinu vremensku inegraciju odnosno za UL formulaciju i saičku analizu M V R F (28), L NL, zaim za dinamičku analizu, implicina inegracija e konačno za eksplicinu inegraciju K K V R F (29) L NL, M V K K V R F (3) gdje su M V R F, (31) M vremenski neovisna marica masa, K K linearna inkremenalna marica kruosi, L, L K K nelinearna (geomerijska ili uslijed počenih naprezanja) inkremenalna marica NL, NL kruosi, R vekor vanjskih čvornih sila u renuku + Δ (ovaj se vekor akoďer korisi i u renuku kod eksplicine inegracije), F F vekor čvornih sila ekvivalennih naprezanjima u elemenu u renuku,, V vekor inkremenalnih čvornih pomaka, V, V vekori čvornih ubrzanja u renucima i + Δ. U gornjim izrazima zanemaren je ujecaj sila prigušenja i smara se da je vanjsko operećenje neovisno o deformacijama. Ukoliko se uzimaju efeki prigušenja i ujecaj deformacija na operećenje porebno je provodii ieraciju i aţurirai operećenje (korišenjem npr. N-R ieracije). Gornje jednadţbe rješavaju se slično kao i u linearnoj analizi. U ablici 3. dan je pregled korišenih inegrala i marica za jedan konačni elemen, a u ablici 4 dan je opis maerijala koji se najčešće korisi. Fakule srojarsva i brodogradnje 18

33 Tablica 3. Pregled marica korišenih u analizi konačnim elemenima Vrsa analize Inegral Marična evaluacija U svim analizama V u u d V i i S S fi ui d S S f V f B i uid V M uˆ d V ˆ N N u V T T S S R N f ds S f V N T B f dv TL formulacija Cijrs ers eij d V V S ij V ijd V Sij eijd V V K uˆ B C B uˆ T L L LdV V K uˆ B S B uˆ T NL NL NLdV V T ˆ F BL SdV V Cijrs ers eij d V V K uˆ dv ˆ B C B u V T L L L UL formulacija V V ij ijdv ij eijd V K uˆ dv ˆ B τ B u V T NL NL NL F B τˆ T L V dv Pri ome se korise sljedeće veličine N S, N površinske i volumne inerpolacijske marice, f, f S B vekori površinskih i volumnih sila, B B linearne marice ransformacije deformacija-pomak, L, L B B nelinearne marice ransformacije deformacija-pomak, NL, NL C, Cinkremenalne marice elasičnosi maerijala, τ, τˆ marica i vekor Cauchyevih naprezanja i S, Sˆ marica i vekor drugog Piola-Kirchhoffovog naprezanja. Fakule srojarsva i brodogradnje 19

34 Tablica 4. Opis korišenog maerijalnog modela Maerijalni model Karakerisike Primjer Elasičan, linearan ili nelinearan Naprezanja su funkcija samo deformacija (raserećenje se odvija po isom puu kao i operećenje; nema plasičnih deformacija) C e ij ijrs rs Pri čemu za linearno elasične vrijedi da je C kons. ijrs A za nelinearno elasične vrijedi Cijrs f eij Tako se ponašaju goovo svi ehnički maerijali ukoliko su deformacije male. Kao na primjer: čelici lijevano ţeljezo saklo, kamen drvo 2.3. Meode numeričke inegracije u meodi konačnih elemenaa Jednadţba (3) opisuje gibanje dinamičkog susava koji je ograničen na male pomake, j. linearnog je karakera. Maemaički, jednadţba (3) predsavlja susav linearnih diferencijalnih jednadţbi drugog reda i u pravilu se moţe rješavai sandardnim procedurama za rješavanje diferencijalnih jednadţbi sa konsannim koeficijenima [23]. To za susave sačinjene od konačnih elemenaa moţe bii problem jer su redovi marica nerijeko veliki. Jednadţba (4) predsavlja nelinearnu jednadţbu gibanja čija je inegracija izuzeno zahjevna. Nakon provoďenja linearizacije isi se problem moţe znano lakše riješii ako se inegriraju jednadţbe (27) i (28) odnosno (3) i (31), ovisno o formulaciji. Tako se za rješavanje diferencijalnih jednadţbi u analizi konačnim elemenima korise dvije procedure. Ukoliko se prije same inegracije ne uječe na diferencijalne jednadţbe, onda se za inegriranje isih korise meode direkne inegracije, koje se dijele na: eksplicinu inegraciju meoda cenralnih razlika (eng. cenral difference mehod) implicinu inegraciju Newmarkova i Hilber-Hughes-Taylorova meoda Osim meoda direkne inegracije, efikasnom se pokazala meoda modalne superpozicije (primjenom modalnih, skalarnih jednadţbi) kojom se susav spregnuih diferencijalnih jednadţbi raspregne, čime marica masa, prigušenja i kruosi posaju dijagonalne marice. Fakule srojarsva i brodogradnje 2

35 Ovo je jedan oblik redukcije susava koji se provodi radi smanjenja vremena računanja. Ukrako o ome moţe se naći u Dodaku B. U okviru ovog rada korisi će se meode direkne inegracije, soga su ise pobliţe opisane u nasavku Meode Direkne inegracije Pod direknom inegracijom smara se da se linearizirana dinamička jednadţba inegrira numerički (zadovoljavajući isu u diskrenim vremenskim renucima Δ) bez da se jednadţba prije ransformira u drugi oblik prije same inegracije. Za razliku od analiičkih rješenja koja se daju za bilo koji renuak u vremenu, pribliţnim meodama inegracije dobivaju se rješenja u diskrenim renucima vremena, Δ, 2Δ,..., nδ, ako da se ukupno vrijeme T u kojem se odvija dinamička simulacija podijeli na n inkremenaa rajanja Δ. Posupak rješavanja se sasoji od oga da se na osnovu poznaog rješenja u renuku na počeku inkremena Δ, raţi rješenje u renuku + Δ na kraju koraka, pri čemu se uvode preposavke za promjenu pomaka, brzine i ubrzanja unuar inervala Δ. Upravo e preposavke uvjeuju sabilnos i očnos odreďene procedure. Počinje se od preposavke da su poznai počeni uvjei u renuku =, za V, V i V e da reba riješii dinamički problem do renuka T s. Radi jednosavnosi raspisivanja izraza preposavii će se da su jednadţbe gibanja s konsannim koeficijenima M, C i K, šo vrijedi za linearan slučaj, a na analogan način se proširi za nelinearne slučajeve Eksplicina inegracija Jedna od numeričkih meoda inegracije je eksplicina meoda. Sasoji se o oga da se predvidi sanje u renuku + Δ na osnovu poznaog sanja u renuku. U ovoj meodi nije porebo računai inverz marice kruosi. Na prvu se o moţe činii dobro, no upravo je o razlog samo uvjene sabilnosi ove meode. Kako bi se zadovoljio uvje sabilnosi eksplicine meode, korak inegracije mora bii dovoljno mali šo dikira veličina najmanjeg konačnog elemena. Najčešće se korisi za krake analize (npr. udarac, sudar i slično). Kada se govori o inegraciji jednadţbi gibanja za susave diskreizirane konačnim elemenima, meďu najpoznaijim eksplicinim meodama inegracije je meoda cenralnih razlika Meoda cenralnih razlika Počinje se od preposavke da se ubrzanje aproksimira izrazom Fakule srojarsva i brodogradnje 21

36 Greška u gornjem izrazu je korisi se izraz 2 1 V V 2 V V. (32) 2 i kako bi se osvarila isa greška pri aproksimaciji brzine 1 V V V. (33) 2 Rješenje za pomake u renuku + Δ dobije se korišenjem jednadţbe (3) u renuku Uvršavanjem V i V u gornju jednadţbu dobije se M V C V K V R. (34) , M 2 C V R K M V M 2 C V (35) iz koje se moţe izrazii V. Iz izraza se vidi da kako bi se mogli izračunai pomaci V, je porebno izračunai i V i V. Soga, da bi se dobilo rješenje u renuku Δ moraju se posavii počeni uvjei. Korišenjem izraza (32) i (33) dobije se 2 Vi Vi Vi V i, (36) 2 gdje se indeks i odnosi na i-i elemen pojedinog vekora. Ova meoda najčešće se korisi kada se moţe izrazii dijagonalna marica masa i ime efikasno, uz relaivno mali korak diskreizacije provodii inegracija, a pri čemu se (35), uz zanemarivanje prigušenja, svodi na gdje je 1 ˆ 2, M V R (37) R ˆ 2 1 R, K M V M V (38) 2 2 šo pokazuje da je porebno provesi samo marično mnoţenje kako bi se dobio čega se dobije V koriseći izraz R ˆ, nakon 2 Vi R i m ii ˆ, (39) Fakule srojarsva i brodogradnje 22

37 gdje su Vi marice masa M. i R ˆ i-e komponene vekora V i i R ˆ, a m ii je i-i dijagonalni elemen Moţe se pokazai da vrijedi šo znači da se vekor operećenja K V ( i ) ( K U F i), (4) i i KV moţe provesi na nivou elemena e se nakon oga dobije efekivni R ˆ 1 R R F M V V (41) ˆ ˆ () i 2. 2 i Tu se sada moţe jasno vidjei ono šo je prije rečeno, a o je da se kod meode cenralnih razlika ne reba računai marica kruosi čiavog sklopa konačnih elemenaa, jer se moţe rješavai na nivou elemena, čime se efekivno mogu rješavai susavi velikog reda. Mana eksplicine meode je o, da bi se posigla konvergencija, odnosno sabilnos rješavača, korak inegracije mora bii dovoljno malen, j. mora bii zadovoljen uvje Tn kr, (42) gdje je T n najmanji period oscilacije sklopa konačnih elemenaa, a n broj supnjeva slobode. U ablici 5. dan je pregled algorima koji se korisi pri implemenaciji eksplicine inegracije. Posebnos eksplicine meode je šo je robusna i efikasna ukoliko se moţe izrazii dijagonalna marica masa susava e ako se pazi na odabran korak inegracije koji prema izrazu (42) mora bii dovoljno malen kako bi zadovoljio krierij sabilnosi. Meoda cenralnih razlika nema nikakvo numeričko prigušenje šo pri odabiru jako malog koraka diskreizacije moţe rezulirai velikim oscilacijama u vremenskoj domeni zbog obuhvaćanja fenomena pojave jako visokih frekvencija koje česo nasaju u dinamičkoj analizi konsrukcija diskreiziranih meodom konačnih elemenaa. Eksplicina meoda akoďer ne računa ravnoeţu u svakom koraku e se ime svakim novim inkremenom prenosi greška zaokruţivanja (eng. round off error) koja moţe porasi ukoliko analiza raje dugo. Iz og razloga preporučeno je korisii eksplicinu meodu za analize koje su relaivno krake. Fakule srojarsva i brodogradnje 23

38 Tablica 5. Algoriam inegracije za eksplicinu meodu A. Računanje počenih uvjea 1. Formiranje marice kruosi K, marice masa M i marice prigušenja C 2. Računanje počenih vrijednosi za V, V i V 3. Odabiranje koraka inegracije Δ, i o ako da je Δ = Δ kr, i računanje inegracijskih konsani 4. Računanje a 1 1 ; a1 ; a 2 a ; V V V V a3. a3 5. Formiranje efekivne marice masa M ˆ a. M a1c 6. Triangulacija efekivne marice masa ˆ : ˆ T M M LDL. B. Računanje u svakom koraku 1. Računanje efekivnog operećenja u renuku a a a 1 a Rˆ R K M V M C V Rješavanje jednadţbe pomaka za + Δ T LDL U Rˆ 3. Ukoliko je porebno, riješii jednadţbu ubrzanja i brzina u renuku a 2 V V V V V a V V Implicina inegracija Meode implicine inegracije koje se korise u meodi konačnih elemenaa najčešće su bezuvjeno sabilne šo uvelike olakšava rješavanje dinamičkih problema jer nije porebno obraćai posebnu paţnju na diskreizaciju konačnim elemenima ili vremenske domene koja se rješava, odnosno čak i uz velike vremenske korake meoda osaje sabilna. Nedosaak ovakvih meoda je šo se u svakom renuku računa inverz marice kruosi šo za susave s puno supnjeva slobode (kakvi su česo susavi diskreizirani konačnim elemenima) moţe bii računalno zahjevno, a posebno ako su prisune dodane nelinearnosi. Osim oga implicina 2 Fakule srojarsva i brodogradnje 24

39 meoda u svakom inkremenu provodi numerički zahjevni ieraivni posupak šo akoďer moţe rezulirai znanim produljenjem vremena računanja. Za razliku od eksplicine meode gdje se direkno raţe rješenja za V, kod implicine meode se susav rješava za V i o u renuku + Δ, a pri ome koriseći rješenja dobivena za. U okviru meode konačnih elemenaa najpoznaija implicina meoda je Newmarkova meoda, e njena izvedenica, zv. Hilber-Hughes-Taylorova meoda Newmarkova meoda Za Newmarkovu meodu donose se sljedeće preposavke za ubrzanja i brzine V V 1 V V, (43) V V V V V, (44) gdje su α i δ konsane koje se mogu odredii u svrhu dobivanja inegracijske očnosi i sabilnosi. Ova meoda je originalno predsavljena kao bezuvjeno sabilna inegracijska shema s konsannim prosječnim ubrzanjem i u om slučaju je α = 1/4 i δ = 1/2. TakoĎer se razmara jednadţba ravnoeţa u renuku + Δ M V C V K V R. (45) Posupak rješavanja sasoji se od oga da se najprije iz jednadţbe (44) dobije rješenje za V u ovisnosi o V e uvršavanjem V u (43), dobiju se jednadţbe za V i V, obje u ovisnosi o nepoznaim pomacima V. Nakon oga se jednadţbe za V i V uvršavaju u (45) kako bi se dobilo rješenje za V, na posljeku se, koriseći (43) i (44) mogu dobii nepoznaa ubrzanja V i brzine V. Algoriam za Newmarkovu meodu dan je u ablici 6. Fakule srojarsva i brodogradnje 25

40 A. Računanje počenih uvjea Tablica 6. Algoriam inegracije pomoću Newmarkove meode 1. Formiranje marice kruosi K, marice masa M i marice prigušenja C. 2. Računanje počenih vrijednosi za V, V i V. 3. Odabiranje koraka inegracije Δ, e parameara α i δ, i računanje inegracijskih konsani a 2.5; ; a ; 1 a 1 2 ; 1 a 1; 3 2 a 4 1; a5 2 ; 2 a6 1 ; a7 4. Formiranje efekivne marice kruosi Kˆ : Kˆ K am a1c. 5. Triangulacija efekivne marice kruosi ˆ : ˆ T K K LDL. B. Računanje u svakom koraku 1. Računanje efekivnog operećenja u renuku + Δ a a2 a3 a1 a4 a5 ˆ R R M V V V C V V V 2. Rješavanje jednadţbe pomaka za + Δ T LDL U Rˆ 3. Računanje ubrzanja i brzina u renuku + Δ V a V V a V a V 2 3 V V a V a V Hilber-Hughes-Taylorova meoda Hilber-Hughes-Taylorova (HHT) meoda izvedena je na osnovu Newmarkove meode, sa paramerom za konrolu numeričkog prigušivanja [2]. TakoĎer je bezuvjeno sabilna, a česo se još naziva A-sabilna i α-meoda (HHT- α meoda) kada se rješavaju linearni problemi. Implemenirana je u programski pake Abaqus u okviru Abaqus/Sandard rješavača [13]. Posupak rješavanja isi je kao i kod Newmarkove meode i korise se ise preposavke s ime da se rješava sljedeća jednadţba ravnoeţe Fakule srojarsva i brodogradnje 26

41 M U 1 C U C U 1 K U K U 1 R R, (46) gdje je γ paramear koji se najčešće odabire ako da bude -1/2 γ. Problem visokih frekvencija koje se pojavljuju uslijed diskreizacije konačnim elemenima eleganno se moţe riješii unošenjem blagog numeričkog prigušenja koje HHT omogućuje. To je ujedno i glavni razlog zašo je meoda razvijena. Činjenica da je bezuvjeno sabilna bez obzira na odabran korak inegracije i da ieraivno rješava ravnoeţu u svakom vremenskom renuku čini je primjenjivom u analizama koje se provode kroz duţu vremensku domenu Dinamika susava više ijela Dinamika susava više ijela izvorno je osmišljena kao ala koji će posluţii za analiziranje dinamičkih pojava koje se dešavaju unuar konsrukcijskih susava sačinjenih od više kruih ijela. Krua ijela se mogu pojednosavii diskreizacijom maerijalnih svojsava (mase) i geomerijskih svojsava (momena inercije) u jednu očku (koja je obično eţiše ijela). Ta preposavka uvelike pojednosavljuje jednadţbe gibanja. Iz og razloga ovim prisupom se mogu rješavai problemi dinamike koju uključuju jako velik broj meďusobno povezanih ijela. Taj broj nerijeko iznosi soine pa čak i isuće ijela. Poloţaji očaka geomerije koje će posluţii za vezu s osalim ijelima e poloţaj eţiša definirani su pomičnim koordinanim susavom u globalnom fiksnom koordinanom susavu. Na osnovu ih preposavki, u nasavku je dan pregled jednadţbi gibanja za kruo ijelo i za susav kruih ijela Jednadžbe gibanja kruih ijela U ovom poglavlju bii će prikazan izvod Newon-Euler susava jednadţbi koji se korisi za rješavanje dinamike konsrukcijskih susava. Cilj je prikazai eoriju iza simulacija koje su provedene u radu, radi razumijevanja i konrole rezulaa. Izrazi su preuzei iz [1]. Slika 3. Proizvoljno kruo ijelo [1] Fakule srojarsva i brodogradnje 27

42 Gibanje kruog ijela se moţe rasavii ranslaciju i roaciju. Ako se razmara proizvoljna očka kruog ijela s obzirom na neku referennu očku A njen poloţaj je definiran s iz čega se dolazi do brzine r r r (47) A, v v r v ωr (48) A A. Ako se razmara cenar mase, vekor njegovog poloţaja je dan izrazom a relaivni poloţaj u odnosu na A izrazom Koriseći izraz (48) moţe se izvesi izraz za količinu gibanja 1 rc dm, m r (49) m 1 rac r C dm. m r (5) m odnosno v ω r v ω r (51) A dm A dm dm, m m m v A ω r dm v Am ω m r C, m m v ωr mv mr Sličnim posupkom se moţe doći do izraza za momen količine gibanja s obzirom na ishodiše koordinanog susava O C C. A O. Uvršavanjem izraza (47) i (48) dobiva se sljedeće m, C, (52) h r r dm (53) h r r v ωr O A A m dm, r v ωr m r v m r ωr dm. A A C C A Nadalje, moguća je sljedeća ransformacija m 2 dm r ωr r E- rr dmω, m I A ω. m (54) (55) Fakule srojarsva i brodogradnje 28

43 U gornjoj jednadţbi I A predsavlja enzor inercije s obzirom na očku A, dok E predsavlja jediničnu maricu. Ako se radi jednosavnosi uzme da je cenar mase ujedno i referenna očka (C = A), jednadţba (54) se ransformira u h r v I ω (56) O C Cm C. Newonov drugi zakon kaţe da je derivacija količine gibanja po vremenu jednaka sumi sila koje djeluju na ijelo, odnosno d m vc f, (57) d e ako se uzme da je masa ijela konsanna, moţe se zapisai kao ma f (58) C. Preko momena količine gibanja moguće je opisai roaciju ijela h l, (59) O O gdje je h O momen količine gibanja oko O, a l O rezulanni momen oko O. Deriviranjem izraza (56) dobiva se h v v r a I ω ω I ω (6) O C Cm C m C C C, s obzirom da vrijedi vcv Cm, izraz (6) se prevara u h r a I ω ω I ω (61) O C m C C C. Uvršavanjem izraza (61) u (59) uzimajući u obzir (58), dobiva se Eulerova jednadţba roacije kruog ijela I ω ωi ω l r f l. (62) C C O C C Nakon šo su dobivene Newon-Eulerove jednadţbe, posavlja se marična jednadţba dinamike konsrukcijskog susava. To se posiţe razmaranjem općeniog susava i raspisivanjem Newon-Eulerovih jednadţbi za svako ijelo. Slikom 3. prikazan je proizvoljni susav sačinjen od više kruih ijela koja su u meďusobnom meďudjelovanju. Ovdje se moţe vidjei da se za dinamički susav sačinjen od kruih ijela i dalje mogu modelirai evenualne elasičnosi i nelinearnosi meďu pojedinim elemenima. Takvi elemeni su razni prigušivači vibracija, opruge s jednim supnjem slobode i slično. Fakule srojarsva i brodogradnje 29

44 Slika 4. Proizvoljni susav više kruih ijela [1] Poloţaj ijela u susavu se moţe opisai preko šes koordinaa. To su ri koordinae poloţaja i ri kua koja definiraju orijenaciju Veza izmeďu kune brzine je prikazana sljedećim izrazom i T T i xi yi zi, x (63) T R i i i i. x (64) ω i vremenskih derivacija Eulerovih kuova, T. i Ri R i Daljnjim deriviranjem po vremenu dobije se kuno ubrzanje x Ri i i i ω H x (65) α H x α (66) i Ri R i i. Sada kada su poznai svi članovi, moguće je napisai susav Newon-Eulerovih jednadţbi za proizvoljno ijelo u maričnom obliku ili skraćeno mie E xti fi, I H x I α ω I ω l i Ri Ri i i i i i i (67) M H x q q (68) v a i i i i i. Ako se u obzir uzima cijeli konsrukcijski susav ( i 1 p), jednadţba (68) prelazi u Newon-Eulerov susav jednadţbi za proizvoljni konsrukcijski susav v MHx q q a. (69) Valja napomenui da jednadţba (69) predsavlja slobodan susav. Za slučaj ograničenog konsrukcijskog susava, ona se modificira u sljedeće Fakule srojarsva i brodogradnje 3

45 Razlog zašo su reakivne sile v a MHx q q q c. (7) c q izdvojene iz akivnih sila je šo se za ograničenja, ovisno o njihovom ipu, uvijek zna smjer djelovanja (npr. radijalni leţaj će imai reakivne sile u radijalnom smjeru dok su cirkularni i aksijalni smjerovi neograničeni). Gornje jednadţbe predsavljaju osnovne jednadţbe korišene u računanju dinamike konsrukcijskih susava u većini programskih pakea za proračun dinamike susava više ijela. [1], [8], [9] Deformabilna ijela u dinamici susava više ijela Deformabilna ijela najčešće se modeliraju meodom konačnih elemenaa. Prije spomenua meoda konačnih elemenaa korišenjem eorije velikih pomaka emelj je za rješavanje problema dinamike u programskom pakeu Abaqus. Programski pake Adams namijenjen je prvensveno za analizu dinamičkih susava sačinjenih od kruih ijela. Tek u novijim verzijama dosupna je analiza deformabilnih ijela kroz modul Adams/Flex koji se akoďer djelomično emelji na meodi konačnih elemenaa. Za razliku od Abaqusa koji je u popunosi emeljen na meodi konačnih elemenaa, Adams konačne elemene korisi na nešo drugačiji način. Za opisivanje gibanja i inercijskogeomerijskih svojsava kruog ijela dovoljna je jedna očka (npr. eţiše) e dodane očke koje sluţe za povezivanje sa osakom konsrukcije. Maemaički model akvih dinamičkih susava sačinjenih od više kruih ijela opisan je u prehodnom poglavlju. Pomaci kruog ijela definirani su u globalnom koordinanom susavu, a deformacije unuar ijela definirane su u lokalnom pomičnom koordinanom susavu vezanim za ijelo [8]. Meoda konačnih elemenaa diskreizira koninuum konačnim elemenima koji sadrţe odreďen broj dosupnih čvorova. Broj dosupnih čvorova, odnosno očaka, soga je česo pua daleko veći nego šo je o porebno da bi se opisalo gibanje ijela. U akvim slučajevima jedno deformabilno ijelo moţe imai više čvorova nego osaak konsrukcije sačinjen od kruih ijela. Analiza dinamike akvog susava, sačinjenog od velikog broja kruih ijela i djelomično od deformabilnih ijela koji su diskreizirani konačnim elemenima zahijevalo bi veliku procesorsku moć i puno vremena. Da bi se o izbjeglo, porebno je na odreďen način smanjii preveliki broj čvorova. U u svrhu korise se reducirani modeli koji ukupan broj konačnih Fakule srojarsva i brodogradnje 31

46 elemenaa s pripadnim im čvorovima reduciraju na ţeljeni broj čvorova koji se zadrţavaju, a preosali čvorovi se eliminiraju. U zadrţanim čvorovima posoje odreďeni supnjevi slobode. Za zadrţane supnjeve slobode se u pravilu uzimaju oni koji će naknadno bii porebni za povezivanje s osakom konsrukcije. S druge srane, radi jednosavnosi, preporučeno je osavii sve supnjeve slobode (ri roacije i ri ranslacije) u zadrţanim čvorovima. Eliminirani čvorovi, skupa sa svim svojsvima koja su im dodijeljena, reducirani su na zadrţane čvorove koji su vidljivi prema van i koje se moţe korisii kao očke za spajanje s osakom konsrukcije. Reduciranjem je moguće svesi model konačnih elemenaa reda veličine n n, na red m m, gdje je m << n. Reducirani modeli u meodi konačnih elemenaa nazivaju se super elemeni (eng. super elemens) ili podsrukure (eng. subsrucure). Tako na primjer, ako se zadrţe dva čvora podsrukure, sve pomake koje moţe opisai podsrukura predsavljaju linearnu superpoziciju pomaka ih dvaju čvorova. Kako su akve linearne forme najčešće nedovoljne da bi se opisalo sloţeno savijanje ili uvijanje modela, dodano se uvode poopćeni supnjevi slobode koji su povezani s prirodnim formama podsrukure. Svaka prirodna forma definirana je vlasiim vekorom koji opisuje na koji način se model deformira pri nekoj vlasioj frekvenciji. Ukoliko se uzme dovoljan broj prirodnih formi koje opisuju savijanje i uvijanje, moguće je opisai i sloţene forme savijanja i uvijanja podsrukure. Na analiičaru je da procijeni na koji način će se model deformirai i prema ome odabere prirodne forme koje izgledom najbliţe odgovaraju deformiranom izgledu modela. Ako nije moguće procijenii deformirani izgled modela, poţeljno je uzei dovoljan broj (npr. prvih 1- ak) formi čijom će se superpozicijom uz eţinske udijele svake forme moći opisai deformiranje konsrukcije. Te prirodne forme dobivaju se iz frekvencijske analize, soga je eorija porebna za razumijevanje izvoda reduciranog modela dana u Dodaku C Reduciranje reda modela Prije je napomenuo kako se radi sloţenosi susava i u svrhu povećanja brzine računanja model reducira. Posoje goove procedure koje se korise za redukciju reda modela [2], [4], [13]. U Abaqusu se o izvodi na način da se definira podsrukura. Podsrukura je skup elemenaa kojima su oduzei unuarnji supnjevi slobode, a zadrţani supnjevi slobode osaju na korišenje. Zadrţani čvorovi i pripadni im supnjevi slobode su oni koji se mogu prepoznai i iskorisii izvana, j. kada se podsrukura korisi u analizi. Osnovna Fakule srojarsva i brodogradnje 32

47 ideja podsrukuriranja je razmarai dio modela (podsrukuru) odvojeno i eliminirai sve supnjeve slobode osim onih porebnih da bi se povezala s osakom konsrukcije. To se radi na način da podsrukura bude skup elemenaa čiji je odziv definiran kruošću (i masom) zadrţanih supnjeva slobode. Bii će označeni s vekorom u R, gdje R dolazi od eng. reained šo znači zadrţan. Treba napomenui da je eorija podsrukuriranja u ovom rada vezana za programski pake Abaqus, soga je veliki dio eorije preuze iz dokumenacije [13], [14]. Odziv modela unuar podsrukure, kad je reduciran na podsrukuru, preposavlja se da je malen, odnosno da oscilira linearno oko ravnoeţnog poloţaja koju je imala podsrukura u renuku kad je posala akovom. Prema ome, moţe se pisai da je podsrukura u ravnoeţi s naprezanjima σ, pomacima u i svim drugim varijablama koje će se označii kao h, koje je posjedovala u renuku kad je posala podsrukura. U skladu s ime, kad god reagira kao podsrukura, ukupna vrijednos pomaka ili naprezanja u nekoj očki unuar podsrukure mogu se zapisai kao gdje su R Lu i u u L u R u R R L u, R. (71) R L marice linearne ransformacije izmeďu zadrţanih supnjeva slobode podsrukure i komponene pomaka ili naprezanja koja se razmara. U renuku kada se svara, podsrukura obavezno mora bii u ravnoeži sa samom sobom, u smislu da sve vanjske sile moraju bii jednake unuarnjim silama (ovo se ne odnosi na reakcijske sile na zadanim rubnim uvjeima koji su narinui na unuarnje supnjeve slobode). Doprinos podsrukure na ukupnu ravnoeţu modela definiran je u popunosi linearnim odzivom podsrukure. Kako je glavna zadaća ehnike podsrukuriranja da jedino zadrţani čvorovi doprinose podsrukuri, porebno je definirani vanjski vekor operećenja R P, koji se sasoji od operećenja koja djeluju na podsrukuru e vekor unuarnjeg operećenja linearnih ransformacija zadrţanih varijabli Δu R i njihovih brzina i akceleracija R I, kao sumu R R R R I Mu Cu Ku, (72) gdje je M reducirana marica masa podsrukure, C je reducirana marica prigušivanja, a K je reducirana marica kruosi. Ove reducirane marice masa, prigušivanja i kruosi povezane su samo sa zadrţanim čvorovima. Fakule srojarsva i brodogradnje 33

48 Reducirana marica kruosi moţe se lako izvesi kada se razmara samo saički odziv konsrukcije. Kako je čiav odziv podsrukure linearan, doprinos virualnog rada podsrukure ukupnom modelu je gdje su R P i R RR RE R R E W P K K u u u, E ER EE E P K K u KT (73) E P konzisenne čvorne sile dodijeljene na svorenu podsrukuru (ne odnose se na inicijalna operećenja), a K T je angenna marica kruosi. E Kako se unuarnji čvorovi, u, u podsrukuri pojavljuju samo u podsrukuri, jednadţba ravnoeţe konjugirana preko E u se moţe pisai kao Gornja jednadţba se moţe pisai ako da se izrazi E ER R EE E P K u K u. (74) 1 E u čime se dobije Sada je doprinos podsrukure saičkoj ravnoeţi u E K EE P E K ER u R (75) R R RE EE 1 E RR RE EE 1 ER R W u. P K K P K K K K u (76) Za saičku analizu reducirana marica podsrukure je 1, RR RE EE ER K K K K K (77) i doprinos podsrukure uslijed sila koje operećuju podsrukuru je vekor operećenja R 1, R RE EE E P P K K P (78) Saičke forme definirane jednadţbom (74) česo pua nisu dovoljne kako bi očno definirale dinamički odziv podsrukure. Dinamička odziv podsrukure moţe se poboljšai ako se zadrţe dodani čvorovi,- osim onih koji su porebni za povezivanje podsrukure s osakom modela; j neki od u E mogu se maknui u u R. Ova ehnika se zove Guyan redukcija (u lierauri još i saic condensaion, Guyan condensaion, Guyan reducion) [1]. E Moţe se pokazai, uz preposavku da su vanjske sile na unuarnje čvorove P, u svrhu dobivanja odnosa meďu unuarnjim i zadrţanim čvorovima, da se jednadţba (75) svodi na gdje je E R u Gu, (79) s m G R Guyanova marica kondenzacije i definirana je kao Fakule srojarsva i brodogradnje 34

49 1. E EE ER u G K K (8) Osim oga provodi se još jedna ehnika, koja je općenio i učinkoviija, kako bi se bolje opisao odziv unuar same podsrukure uključivanjem poopćenih supnjeva slobode označene s q, a koji su povezani s prirodnim formama podsrukure. Najjednosavniji način da se o učini je da se odrede prirodne forme podsrukure koja ima sve zadrţane supnjeve slobode ograničene, na akav način da se jednadţba (8) sada moţe zapisai kao čija je varijacija i vremenske derivacije 1 u E K EE E ER R E P K u q, (81) 1 E EE ER R E u K K u q, (82) 1 1 E EE ER R E u K K u q E EE ER R E u K K u q U gornjim jednadţbama E su vlasie forme podsrukure dobivene kada su svi zadrţani supnjevi slobode spriječeni, a,. (83) q su poopćeni pomaci i predsavljaju iznose odziva okom ih formi. Ovaj posupak u lierauri se naziva Craig-Bampon [1], [13]. Doprinos podsrukure virualnom radu za dinamički slučaj je u gdje je R u E R RR RE R RR RE R RR RE R P M M u C C u K K u, E ER EE E ER EE E ER EE E P M M u C C u K K u (84) marica mase podsrukure, zaim je marica prigušenja, e RR RE M M M, ER EE M M (85) RR RE C C C, ER EE C C (86) je vekor čvornih sila u podsrukuri. P P P R E, (87) Fakule srojarsva i brodogradnje 35

50 S preposavljenim dinamičkim odzivom unuar podsrukure, unuarnji supnjevi slobode svojim doprinosom (Δu E i njegove vremenske derivacije) se mogu ransformirai u zadrţane supnjeve slobode i ampliude normalnih formi, ako reducirajući susav na R R R R T T u T u T u u qt P T MT T CT T KT, (88) q q q gdje je I T EE 1 (89) ER E K K E u kojem je marica vlasiih vekora, q je vekor poopćenih supnjeva slobode, I je jedinična marica, a je nul marica. TakoĎer se mogu izvesi i podsrukure za velike roacije. Takve najprije zahijevaju izračun ekvivalenne marice roacije R za kruo ijelo, koja je povezana isključivo za gibanje podsrukure. Kako analiza koja uključuje podsrukuru ispoljava samo male deformacije, mogu se korisii izvorne i renune pozicije dvaju čvorova u dvodimenzionalnim analizama ili ri čvora u rodimenzionalnim analizama, kako bi se izračunala dva pravokuna lokalna susava i s njima definirala marica roacije. To se radi na sljedeći način. Za rodimenzionalnu analizu, Abaqus računa referennu (uprosječenu) očku koriseći 3 čvora iz izvorne konfiguracije. Prvi jedinični vekor E 1 j je usmjeren od referenne očke prema prvom čvoru. Treći smjer E 3 j se uzima kao normala na ravninu koju čine 3 čvora, dok se drugi vekor smjera E 2 j uzima kao vekorski umnoţak rećeg i prvog. Taj proces se ponavlja u renunoj konfiguraciji kako bi se izračunao lokalni susav e k i. Marica roacije jednosavno se moţe izračunai kao R ij = e k i E k j. Abaqus auomaski odabire dva, odnosno ri čvora kako bi računao maricu. Čvorovi se odabiru od zadrţanih i kandidai su samo oni koji imaju sva ri ranslacijska supnja slobode. Tako na primjer u 3D analizi, prvi čvor je onaj koji ima najveću kruos (najveću dijagonalnu vrijednos) podsrukure. Kao drugi čvor se uzima zadrţani čvor koji je najudaljeniji od prvog čvora, s preduvjeom da mu je čvorna kruos dovoljno velika (minimalno,1% kruosi prvog čvora). Treći se odabire prema uvjeu da je udaljenos od og čvora do linije koju čine prva dva čvora najveća. U rijekim slučajevima kada su zadrţana manje od ri čvora za 3D analizu, marica roacije se računa direkno ako da se uzme najkrući čvor koji sada mora posjedovai sve supnjeve slobode (ri roacije i ri ranslacije). Fakule srojarsva i brodogradnje 36

51 Kako bi se računalne unuarnje sile pridruţene podsrukuri s velikom roacijom, Abaqus računa pomake/roacije koje uzrokuju naprezanje oduzimanjem gibanja kruog ijela od čvornih pomaka/roacija podsrukure. Za ranslacijske supnjeve slobode, pomaci u koji uzrokuju naprezanje u čvoru mogu se napisai kao u x x R( X X ). (9) gdje su X i x izvorne i renune pozicije čvorova a X i x su izvorne i renune koordinae referennih očaka (koje su spomenue prehodno). Za roacijske supnjeve slobode oalna marica roacije u nekom čvoru R o je spoj roacija izmeďu roacijske marice koja uzrokuje naprezanje i roacijske marice kruog ijela o R exp ˆ R. (91) Roacije koje uzrokuju naprezanja se mogu lako izračunai. Soga se sada moţe pisai unuarnja sila u podsrukuri gdje je ro F K u, (92) ro T K RKR, (93) roirana marica kruosi kruog ijela, a u u. (94) Slična procedura provodi se u dinamici za reduciranu masu (koja je spoj izmeďu čvornih pomaka/roacija i doprinosa vlasiih formi) gdje se kruo ijelo akoďer zaroira prije nego se uračunaju bilo kakvi doprinosi mase u virualni rad koji se odnosi na podsrukuru. Kako je prije već napomenuo, podsrukure se korise kako bi se smanjio red modela. Kao zaključak gornjeg izvoda korisniku o moţe omogućii sljedeće [14]: da se skup elemenaa grupira zajedno i da se svi osim zadrţanih supnjeva slobode eliminiraju na bazi linearnog odziva unuar podsrukure, da se korise kao i bilo koji drugi konačni elemen iz biblioeke, mogu se korisii za analize naprezanja i pomaka e za akusično-srukuralne analize, imaju linearni odziv ali dozvoljavaju velike roacije, posebno su pogodne ako se idenični komadi pojavljuju više pua u konsrukciji, spojeni su s osakom konsrukcije preko zadrţanih supnjeva slobode koji se nalaze u zadrţanim čvorovima, Fakule srojarsva i brodogradnje 37

52 mogu sadrţavai susave unuarnjih slučajeva operećenja koji se mogu akivirai po ţelji ili skalirai, mogu uključii dinamičke efeke uključivanjem zadrţanih formi, pokazai se osaku modela kao kruos, kao izborna masa, prigušivanje i se skalarnih vekora operećenja Meode inegracije u dinamici susava više ijela Prije je rečeno na koji se način najčešće inegriraju jednadţbe gibanja za susave diskreizirane meodom konačnih elemenaa. Ovdje će se spomenui najčešće meode inegracije korišene za inegriranje jednadţbi gibanja u dinamici susava više ijela. Kada se maemaički formuliraju diferencijalne jednadţbe koje opisuju dinamički susav sačinjen od kruih ijela, moţe se zapazii da su e jednadţbe dosa krue (eng. siff). Termin kruih jednadţbi dolazi od činjenice da se korišenje neprimjerene numeričke meode za rješavanje akvih diferencijalnih jednadţbi ponaša nesabilno ili da rješenje popuno divergira. Kada se diferencijalne jednadţbe inegriraju numerički, za očekivai je da zadovoljavajući korak inegracije bude relaivno malen u području gdje se funkcija izrazio mijenja e da bude relaivno velik na području gdje se krivulja rješenja goovo poravnava s linijom gdje je nagib funkcije jednak nuli. Za neke probleme o nije slučaj i kakad je korak inegracije forsiran da bude izrazio i neprihvaljivo malen u području gdje je krivulja dosa poloţena (nema velik nagib). Taj problem se naziva problem kruosi jednadţbe [28], [29]. U u svrhu su razvijene odreďene numeričke meode koje mogu inegrirai susave kruih diferencijalnih jednadţbi. MeĎu najpoznaijim meodama inegracije u području dinamike susava više ijela razvili su Runge, Kua, Gear, Wielenga i drugi. Većina prehodno spomenuih inegraora su, ili kao izvorno osmišljeni ili kao izvedenice izvornih inegraora implemenirani u programski pake Adams [15]. S obzirom da je u novijim verzijama Adamsa implemeniran i implicini HHT inegraor koji će se korisii u numeričkom primjeru radi bolje usporedbe s rezulaima dobivenim u Abaqusu, drugim inegraorima se neće posvećivai posebna paţnja. U Adamsu posoji mogućnos odabira inegraora kojim će se rješavai jednadţba dinamike. Korisniku je meďu osalima dosupan GSTIFF inegraor koji se emelji na Gearovoj meodi inegracije [28] i ujedno je zadan kao uobičajeni (eng. defaul) rješavač jednadţbi gibanja, zaim WSTIFF inegraor koji se emelji na Wielengovoj meodi [29], a posoji i RKF45 inegraor blago kruih jednadţbi koji je emeljen na Runge-Kua-Fehlbergovoj meodi 4. i 5. reda. Fakule srojarsva i brodogradnje 38

53 3. O korišenim programskim pakeima U ovom radu korišena su dva, u sušini popuno različia programska pakea. Abaqus, koji se emelji na meodi konačnih elemenaa, koji je namijenjen numeričkoj analizi konsrukcija pri čemu je isa diskreizirana konačnim elemenima. Adams je program izvorno namijenjen računalnim simulacijama susava više kruih ijela. U novijim verzijama Adamsa posoji mogućnos provoďenja simulacije s reduciranim modelima deformabilnih ijela. Kako se programski pakei preklapaju u računanju dinamičkog odziva deformabilnih susava više ijela usporedi će se programski pakei i meode na kojoj se emelje Abaqus Programski pake Abaqus sluţi za numeričku analizu konsrukcija, a emelji se na meodi konačnih elemenaa kojom se a konsrukcija diskreizira kako bi se mogla dobii rješenja u vidu polja raţenih varijabli izračunaih u diskrenim dijelovima koninuuma (konačnim elemenima, j. njima pripadnim inegracijskim očkama). Programski pake Abaqus sadrţi više modula od kojih su i Abaqus/Sandard i Abaqus/Explici, a koji su primijenjeni u ovom radu za rješavanje dinamičkih problema Abaqus sučelje za Adams Procedura dobivanja elasičnih ijela koja se mogu korisii u Adamsu sasoji se od dva koraka. U prvom koraku porebno je uredii Abaqus ulaznu daoeku (eng. Abaqus inpu file) ako da sadrţi sve čvorove i elemene, definirana maerijalna svojsva (modul elasičnosi i gusoću), definiranu frekvencijsku analizu (*Frequency) sa ţeljenim brojem formi i zadrţanim čvorovima e njima pripadnim supnjevima slobode i još definiran korak svaranja podsrukure (*Subsrucure generae) u kojoj se prehodno izračunae forme i čvorovi e pripadni im supnjevi slobode zadrţavaju. U ulaznoj daoeci akoďer je porebno definirai ispis naprezanja i deformacija ako se ise ţele razmarai kasnije u Adams simulacijama. Tako dobivena ulazna daoeka sluţi za provoďenje analize u Abaqusu u kojem se korišenjem prozora za pozivanje naredbi (eng. command window) izvršava naredba abaqus job=ulazna_daoeka.inp čime se provodi frekvencijska analiza i redukcija reda modela. Rezula prvog koraka je reducirani model, j. podsrukura, kojem su zadrţani prehodno definirani čvorovi sa pripadnim supnjevima slobode i sve izračunae forme vibriranja. Korišenjem Abaqus sučelja za Adams (eng. Abaqus inerface for Adams) provodi se drugi Fakule srojarsva i brodogradnje 39

54 korak koji se sasoji od prevaranja podsrukure (zapisane u.sim daoeci) i dobivenih rezulaa za naprezanja i deformacije (zapisanih u.fil daoeci) u modalno neuralnu daoeku (.mnf daoeku). Sučelje se akoďer pokreće kroz prozor za pozivanje naredbi e se izvršava naredba abaqus adams job=ulazna_daoeka_zn, gdje je Zn oznaka podsrukure. Rezula drugog koraka je modalno neuralna daoeka spremna za korišenje u dinamičkoj analizi deformabilnih ijela u Adamsu. Treba napomenui da valja vodii računa o mjernim jedinicama. Sučelje auomaski radi u susavu mear-kilogram-sekunda, a ako su vrijednosi u ulaznoj daoeci zadane u drugom susavu u drugom koraku reba korisii i naredbu unis, kojom se odabire susav mjernih jedinica ili pojedino za svaku mjernu jedinicu korišenjem naredbi mass (za odabir jedinice mase), lengh (za odabir jedinice duljine) i ime (za odabir jedinice vremena) Adams Adams je programski pake vrke MSC Sofware koji je namijenjen za računalnu analizu dinamike susava više ijela. Unuar samog programskog pakea korisniku je inuiivno i jednosavno omogućeno svaranje sloţenih susava sačinjenih od više ijela koja su meďusobno spregnua različiim kinemaskim ograničenjima Adams Flex Adams Flex je modul u programskom pakeu Adams koji sluţi za rad sa deformabilnim ijelima. Ograničen je na linearno elasična ijela i reducirane modele pojedinih ijela. Sve pojedinosi o pojedinim elasičnim ijelima zapisane su u modalno neuralnoj daoeci (.mnf). Isa se moţe dobii kroz razna sučelja za programske pakee emeljene na meodi konačnih elemenaa kao šo su Abaqus, Nasran, Ansys i slično, ali u novijim verzijama i direkno u Adams Flex modulu pri čemu je korisnik ada ograničen na korišenje isključivo eraedarskih elemenaa prvog i drugog reda. Izlazna varijabla koju ispisuje Adams Flex su pomaci pojedinih čvorova Adams Durabiliy Adams Durabiliy je modul za programski pake Adams koji sluţi za rad s deformabilnim ijelima. Ukoliko su korisniku od ineresa naprezanje i deformacije na pojedinom deformabilnom ijelu, a u modalnoj daoeci su sadrţane informacije za modalna naprezanja i deformacije, ada Adams Durabiliy modul korisniku omogućuje ispis naprezanja i deformacija po pojedinom deformabilnom ijelu u vremenu. Fakule srojarsva i brodogradnje 4

55 4. Numerički primjer Kako bi se pokazala učinkovios i mogućnos pojedinog programskog pakea, pokazai će se usporedba rezulaa na numeričkom primjeru. Rezulai su dobiveni korišenjem programskog pakea Abaqus i programskog pakea Adams. U programskom pakeu Abaqus korišene su implicina i eksplicina meoda, a u Adamsu je korišen HHT inegraor. Veličine koje se promaraju su energija susava e pomaci i brzine pojedinih očaka susava. S obzirom da se radi o susavu deformabilnih ijela, promaraju se naprezanja e osale veličine vezane za deformabilne susave kao šo energija deformiranja susava, propagacija vala u pojedinim dijelovima i slično. TakoĎer su predme usporedbe vremena računanja, odnosno rajanja simulacije pojedine meode, pojedinog programskog pakea i pojedinog inegraora Mehanizam s 3 grede Kao numerički primjer odabran je mehanizam sačinjen od 3 grede prema slici 5. Slika 5. Geomerija i rubni uvjei mehanizma s 3 grede U očkama B i C definirane su veze pomoću zglobova koji dozvoljavaju roaciju meďu pojedinim dijelovima, a ranslacije su ograničene na način da se zadana očka jednog dijela giba skupa s drugim dijelom. U očkama A i D grede su zglobno vezane za nepomičnu podlogu. U Abaqusu su veze definirane pomoću spoja (eng. connecor) ipa Hinge, a u Adamsu pomoću roacijskog zgloba ipa Revolue join. U očku A dodijeljen je momen M čija je raspodjela u vremenu prikazana slikom 6. Grede su kvadranog poprečnog presjeka Fakule srojarsva i brodogradnje 41

56 Momen M, Nmm Bruno Dogančić duljine sranice a prema slici 5. Geomerijsko maerijalne karakerisike dane su ablicom 7. Analiza raje 25 ms. Tablica 7. Zadane geomerijske i maerijalne karakerisike numeričkog modela p, mm q, mm l, mm s, mm a, mm E, N/mm 2 ν ρ, /mm e Momen Vrijeme, s Slika 6. Raspodjela pogonskog momena u vremenu Kako bi se izbjegao diskoninuie operećenja i zadrţala dvosruka diferencijabilnos funkcije operećenja u vremenu, u Abaqusu je operećenje zadano ablično koriseći Smooh sep opciju, a u Adamsu je korišena Sep funkcija [13], [15]. Na pojedinim šapovima, označenima s P, Q i L, nalaze se očke P 2, P 1,..., L 3. U im očkama i zglobovima A, B, C i D mjerene su veličine u vremenu. Ovakav mehanizam čes je u praksi i korisi se u auomobilskoj indusriji kao izvršni član brisača vjerobrana, ali i podizača bočnih prozora auomobila. Moţe bii konsruiran ako da izvršava funkciju opisivanja sloţenih puanja sa promjenjivom brzinom izvršnog člana duţ puanje. Mehanizam koji je spomenu i obraďen u ovom radu posluţi će kao primjer na kojemu se moţe pokazai ujecaj inercijskih sila u dinamičkoj analizi. Inercijske sile na ovom modelu bi će posebno izraţene jer je maerijal odabran ako da ima veliku gusoću, a relaivno malu kruos šo čini mehanizam dovoljno podaljivim. U nasavku su provedene analize za maerijalno neprigušeni. Kod maerijalno neprigušenih modela i dalje moţe posojai numeričko prigušenje kao posljedica inegraora. Maerijalno prigušeni susavi česo se modeliraju Rayleighevim prigušenjem (pogledai Dodaak B). Fakule srojarsva i brodogradnje 42

57 Numerički model Abaqus Numerički model sasoji se od ri grede koje su meďusobno povezane s kinemaskim ograničenjem ipa Hinge. Grede su diskreizirane grednim konačnim elemenima ipa B31 i B32. Za dobivene mreţe konačnih elemenaa provedeno je više analiza koriseći dva različia inegraora. Analize su provedene u modulu Abaqus/Sandard korišenjem implicinog inegraora i u modulu Abaqus/Explici korišenjem eksplicinog inegraora. Posavke inegracije dane su u ablici 8, a geomerija i rubni uvjei modela na slici 7. Tablica 8. Posavke simulacija u Abaqusu Abaqus Implici Abaqus Explici Trajanje simulacije T s,25 Trajanje simulacije T s,25 NLGEOM 1 Uključena NLGEOM Uključena Inkremenacija Auomaska Inkremenacija Auomaska Maksimalni broj inkremenaa 1 Veličina počenog 1-5 inkremena Korak inegracije Minimalna ovisi o veličini veličina 2,5 1-1 najmanjeg KE inkremena Maksimalna veličina inkremena 1-5 < auomaski < 2,5 1-1 Paramear α -,5 Paramear linearne volumne viskoznosi Paramear β, Paramear kubične Paramear γ,55 volumne viskoznosi Mreţe konačnih elemenaa odabrane su ako da se po pojedinoj gredi nalazi 16, 32, 64 ili 128 elemenaa prvog ili drugog reda. U ablici 9. prikazani su nazivi pojedinih korišenih mreţa konačnih elemenaa. OdreĎene mreţe iskorisii će se kako bi se usporedili rezulai i vremena računanja pojedine meode u Abaqusu. S obzirom da dinamička analiza moţe bii dosa zahjevna za loše odabrane paramere, numeričkoj zahjevnosi dodano moţe doprinijei odabir nepovoljnog konačnog elemena. Za dinamičku analizu preporuča se korišenje elemenaa prvog reda e će se pokušai opravdai a preporuka.,6 1,2 1 NLGEOM je skraćenica od eng. Non Linear Geomery i dosupna je korisniku Abaqusa kao opcija za uključivanje/isključivanje geomerijske nelinearnosi u analizi Fakule srojarsva i brodogradnje 43

58 Slika 7. Rubni uvjei i geomerija modela u Abaqusu Tablica 9. Mreže konačnih elemenaa Mreţa Tip elemena Broj KE po gredi Broj čvorova #1-1 B #2-1 B #3-1 B #4-1 B #1-2 B #2-2 B #3-2 B #4-2 B Numerički model Adams Kako bi se dao bolji uvid u kinemaiku susava i bolji prikaz ujecaja deformabilnih ijela u dinamici susava više ijela, u Adamsu je provedena i analiza s kruim ijelima. Prehodno spomenue mreţe dobivene u Abaqusu korišene su za dobivanje modalno neuralne daoeke koje korisi Adams pri analizi deformabilnih ijela. Uključena su modalna naprezanja i deformacije kako bi se mogla proučavai naprezanja na reduciranom modelu. Tako dobivene modalno neuralne daoeke uvoze se u Adams. Mreţe konačnih elemenaa u Adamsu sasoje se od korisniku po dva dosupna čvora na svakoj gredi. Ti čvorovi sluţe kako Fakule srojarsva i brodogradnje 44

59 bi se grede povezale meďusobno i s nepomičnom podlogom koriseći roacijski zglob s jednim supnjem slobode (Revolue join) e kako bi se dodijelio rubni uvje operećenja, odnosno zadani pogonski momen. Novije verzije Adamsa imaju implemeniran Hilber-Hughes-Taylor (HHT) inegraor za dinamičke jednadţbe. S obzirom da se u Abaqusu implicina meoda emelji na HHT inegraoru, u Adamsu je akoďer korišen HHT inegraor radi bolje usporedbe pojedine meode. Posavke Adams analize za deformabilna ijela dane su u ablici 1., a geomerija i rubni uvjei kruog i deformabilnog modela prikazani su slikama 8. i 9. Posavke za krui model u Adamsu sasoje se od odabira inegraora i koraka inegracije koja za krui model iznosi,1. Uz akav korak, rajanje simulacije kruog modela, koje je više informaivnog karakera, iznosi oprilike 14s korišenja procesora za ri različia inegraora u Adamsu (Gearov inegraor kruih jednadţbi (GSTIFF), Wielenga inegraor kruih jednadţbi (WSTIFF) i prije spomenui HHT inegraor). Krui model sačinjen je od 3D modela pojedinih šapova zadane gusoće, dok je deformabilni model, s obzirom da je dobiven korišenjem ise mreţe konačnih elemenaa kao i u Abaqusu, sačinjen od 3D grednih konačnih elemenaa kojima je definiran zadani poprečni presjek i sva osala maerijalna svojsva okom prevorbe u modalno neuralnu daoeku. Slika 8. Rubni uvjei i geomerija kruog modela u Adamsu Fakule srojarsva i brodogradnje 45

60 Slika 9. Rubni uvjei i geomerija deformabilnog modela u Adamsu Tablica 1. Posavke simulacije u Adamsu Adams HHT Trajanje simulacije, T s,25 Inerpolacija 2 Uključena Najveći dozvoljeni broj ieracija ravnoeţe 8 (Newon-Raphson) Veličina koraka.1 Dopušena greška inegraora 1-5 Veličina počenog inkremena 1-5 Minimalna veličina inkremena 2,5 1-1 Maksimalna veličina inkremena 2,5 1-3 Paramear α -,5 2 Uključena inerpolacija definira da maksimalni korak inegracije bude jednak veličini koraka inegracije (u ovom slučaju 2,5E-3) Fakule srojarsva i brodogradnje 46

61 4.2. Rezulai simulacije Provedene su analize za pojedine gusoće mreţe i prikazana su vremena računanja pojedine meode u ablici 11. S obzirom da je za dinamičke probleme općenio pa ako i za konkrean dinamički problem obraďen u ovom radu, analiičko (egzakno) rješenje nemoguće pronaći nije ispiivana konvergencija u koneksu u kojem se ispiuje u saičkom slučaju. Nakon odraďenih analiza u vremenskoj domeni za pojedinu mreţu, nije primijećen značajan ujecaj daljnjeg progušćivanja mreţe na dinamički odziv konsrukcije prema dolje navedenim krierijima. Soga je kao konačna mreţa uzea mreţa #4-1 koja ima dobar omjer vremena rajanja simulacije i opisivanja polja deformacija i naprezanja. Jedan od krierija odabira mreţe bilo je dobii rješenja za kinemaske veličine u odnosu na krui model šo su relaivno grube mreţe uspjele lako zadovoljii. Drugi krierij bio je dobii čim bolju raspodjelu naprezanja duţ pojedine grede. Pokazalo se da su rješenja gušćih mreţa zbog diskreizacije imala značajan ujecaj na rezulae eksplicine analize. Uslijed grube diskreizacije koninuuma konačnim elemenima povećava se ujecaj visokih frekvencija u frekvennom području, a s druge srane s relaivno malim konačnim elemenima, smanjuje se sabilni vremenski inkremen poreban za eksplicinu analizu, čime se u vremenskoj domeni obuhvae pojave nasale uslijed oscilacija visokih frekvencija koje nisu od ineresa u konkrenoj analizi. U Adamsu je akoďer korišena samo najgušća mreţa zbog prisune redukcije modela. Tablica 11. Vremena računanja pojedine meode (rajanje simulacije T s =.25 s) Abaqus Explici Abaqus Implici Adams HHT Vrijeme računanja (CPU ime) R, s # # # # # # # # Dijagramima su prikazani rezulai pojedine analize. S obzirom da je cilj usporedii meode, rezulai pojedinih analiza prikazani su u isim dijagramima. Gdje je o bilo moguće, prikazani su i rezulai dobiveni za model sačinjen od kruih ijela kako bi se dobio bolji uvid u ujecaj Fakule srojarsva i brodogradnje 47

62 Rad poopćenih vanjskih sila W e, mj Bruno Dogančić deformabilnosi pojedinih članova e radi bolje konrole rješenja za numerički model sačinjen od elasičnih ijela. Najprije su prikazani rezulai za ukupne energije cijelog modela. Energije su prikazane za cijeli model i uključuju dijagram rada vanjskih poopćenih sila (u ovom slučaju je o samo rad pogonskog momena) prikazan slikom 1., dijagram za kineičku energiju prikazan slikom 11. i dijagram za unuarnju energiju (u ovom slučaju je o energija deformiranja susava) prikazan slikom 12. Nakon oga pokazano je dijagramima kinemaika gibanja očaka od ineresa. Te očke nalaze se kao krajnje očke mehanizma, koje u praksi sluţe za izvršavanje glavnih funkcija, a označene su očkama B i C. Osim oga cilj je praii i savijanje pojedinih greda, odnosno progibe e raspodjelu naprezanja koja je nasaju posljedica savijanja. Soga su prikazani i rezulai za brzine i pomake očaka koje se nalaze na polovinama greda e naprezanja u im očkama, ali i na jednoj rećini i jednoj čevrini pojedine grede kako bi se dobila bolja slika o raspodjeli naprezanja po pojedinoj gredi ALLWK adm kruo ALLWK abq (impl) ALLWK abq (expl) ALLWK adm (hh) Vrijeme, s Slika 1. Rad poopćenih vanjskih sila W e cijelog modela Fakule srojarsva i brodogradnje 48

63 Unuarnja energija modela E i, mj Kineička energija modela E k, mj Bruno Dogančić ALLKE adm kruo ALLKE abq (impl) ALLKE abq (expl) ALLKE adm (hh) Vrijeme, s Slika 11. Kineička energija E k cijelog modela ALLIE adm kruo ALLIE abq (impl) ALLIE abq (expl) ALLIE adm (hh) Vrijeme, s Slika 12. Unuarnja energija E i cijelog modela Zaim su prikazani rezulai u pojedinim očkama modela. Mjerene su vrijednosi za pomake i brzine očaka e ekvivalenna naprezanja prema von Misesu. Pomaci i brzine u smjeru osi x i y za očke B i C prikazani su slikama 13. do 2. Točke B i C predsavljaju krajnje pokrene očke mehanizma i česo pua sluţe za izvršavanje odreďene funkcije. Iz rezulaa je vidljivo Fakule srojarsva i brodogradnje 49

64 Pomak u x, mm Bruno Dogančić da rješenja za deformabilni model dobro prae rend gibanja kruog modela. TakoĎer se vidi značajan ujecaj inercijskih sila šo uz odabrana maerijalna svojsva koja model čine podaljivim rezulira vibracijama pojedine grede, a ime i ineresnih očaka B i C. Točke od ineresa nalaze se i na polovinama pojedinih greda. S obzirom da se radi o relaivno podaljivim gredama progibi na sredini mogu bii veliki, a posljedično ome i velika naprezanja nasala uslijed savijanja grede. Te očke su za pojedine grede označene s P 1, Q 1 i L 1, ovisno na kojoj gredi se nalaze. U nasavku su soga prikazani pomaci i brzine e ekvivalenna naprezanja prema von Misesu upravo u im očkama. Kako bi se dobio bolji uvid u raspodjelu naprezanja po pojedinim gredama u očkama na jednoj čevrini i ri čevrine svake grede posavljene su dodane očke u kojima se mjere ekvivalenna naprezanja. Na slikama 21. do 32. prikazani su pomaci i brzine očaka P 1, Q 1 i L 1 u smjeru osi x i y. Osim kinemaskih veličina, na slikama 33., 36. i 39. prikazana su ekvivalenna naprezanja prema von Misesu u prije spomenuim očkama. U očkama P 2, P 3, Q 2, Q 3 e L 2 i L 3 akoďer su prikazana ekvivalenna naprezanja prema von Misesu slikama 34. do B adm kruo U1 B abq (impl) U1 B abq (expl) U1 B adm (hh) U Vrijeme, s Slika 13. Pomak očke B u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 5

65 Brzina v x, mm/s Pomak u y, mm Bruno Dogančić B adm kruo U2 B abq (impl) U2 B abq (expl) U2 B adm (hh) U Vrijeme, s 3 Slika 14. Pomak očke B u smjeru osi y B adm kruo V1 B abq (impl) V1 B abq (expl) V1 B adm (hh) V Vrijeme, s Slika 15. Brzina očke B u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 51

66 Pomak u x, mm Brzina v y, mm/s Bruno Dogančić B adm kruo V2 B abq (impl) V2 B abq (expl) V2 B adm (hh) V Vrijeme, s Slika 16. Brzina očke B u smjeru osi y C adm kruo U1 C abq (impl) U1 C abq (expl) U1 C adm (hh) U Vrijeme, s Slika 17. Pomak očke C u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 52

67 Brzina v x, mm/s Pomak u y, mm Bruno Dogančić C adm kruo U2 C abq (impl) U2 C abq (expl) U2 C adm (hh) U Vrijeme, s Slika 18. Pomak očke C u smjeru osi y C adm kruo V1 C abq (impl) V1 C abq (expl) V1 C adm (hh) V Vrijeme, s Slika 19. Brzina očke C u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 53

68 Pomak u x, mm Brzina v y, mm/s Bruno Dogančić C adm kruo V2 C abq (impl) V2 C abq (expl) V2 C adm (hh) V Vrijeme, s 12 Slika 2. Brzina očke C u smjeru osi y 1 8 P1 kruo U1 P1 impl U1 P1 expl U1 P1 adm (hh) U Vrijeme, s Slika 21. Pomak očke P 1 u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 54

69 Brzina v x, mm/s Pomak u y, mm Bruno Dogančić P1 kruo U2 P1 impl U2 P1 expl U2 P1 adm (hh) U Vrijeme, s Slika 22. Pomak očke P 1 u smjeru osi y P1 adm kruo V1 P1 abq (impl) V1-15 P1 abq (expl) V1-2 P1 adm (hh) V Vrijeme, s Slika 23. Brzina očke P 1 u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 55

70 Pomak u x, mm Brzina v y, mm/s Bruno Dogančić P1 adm kruo V2 P1 abq (impl) V2 P1 abq (expl) V2 P1 adm (hh) V Vrijeme, s Slika 24. Brzina očke P 1 u smjeru osi y Q1 adm kruo U1 Q1 abq (impl) U1 Q1 abq (expl) U1 Q1 adm (hh) U Vrijeme, s Slika 25. Pomak očke Q 1 u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 56

71 Brzina v x, mm/s Pomak u y, mm Bruno Dogančić 5-5 Q1 kruo U2 Q1 impl U2 Q1 expl U2 Q1 adm (hh) U Vrijeme, s Slika 26. Pomak očke Q 1 u smjeru osi y Q1 adm kruo V1 Q1 abq (impl) V1 Q1 abq (expl) V1 Q1 adm (hh) V Vrijeme, s Slika 27. Brzina očke Q 1 u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 57

72 Pomak u x, mm Brzina v y, mm/s Bruno Dogančić Q1 adm kruo V2 Q1 abq (impl) V2 Q1 abq (expl) V2 Q1 adm (hh) V Vrijeme, s Slika 28. Brzina očke Q 1 u smjeru osi y L1 adm kruo U1 L1 abq (impl) U1 L1 abq (expl) U1 L1 adm (hh) U Vrijeme, s Slika 29. Pomak očke L 1 u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 58

73 Brzina v x, mm/s Pomak u y, mm Bruno Dogančić L1 adm kruo U2 L1 abq (impl) U2 L1 abq (expl) U2 L1 adm (hh) U Vrijeme, s Slika 3. Pomak očke L 1 u smjeru osi y L1 adm kruo V1 L1 abq (impl) V1 L1 abq (expl) V1 L1 adm (hh) V Vrijeme, s Slika 31. Brzine očke L 1 u smjeru osi x Fakule srojarsva i brodogradnje 59

74 Brzina v y, mm/s Bruno Dogančić L1 adm kruo V2 L1 abq (impl) V2 L1 abq (expl) V2 L1 adm (hh) V Vrijeme, s Slika 32. Brzina očke L 1 u smjeru osi y Naprezanja prema von Misesu očiana su na svakoj gredi u ri očke kako bi se prikazala čim bolja raspodjela naprezanja po duţini grede i o na ¼, ½ i ¾ svake grede. Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm 2 14 P1 abq (impl) 12 P1 abq (expl) P1 adm (hh) Vrijeme, s Slika 33. Naprezanja prema von Misesu u očki P 1 Fakule srojarsva i brodogradnje 6

75 Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm 2 14 P2 abq (impl) 12 P2 abq (expl) P2 adm (hh) Vrijeme, s Slika 34. Naprezanja prema von Misesu u očki P 2 Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm P3 abq (impl) P3 abq (expl) 8 P3 adm (hh) Vrijeme, s Slika 35. Naprezanja prema von Misesu u očki P 3 Fakule srojarsva i brodogradnje 61

76 Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm 2 8 Q1 abq (impl) 7 Q1 abq (expl) Q1 adm (hh) Vrijeme, s Slika 36. Naprezanja prema von Misesu u očki Q 1 6 Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm 2 Q2 abq (impl) 5 Q2 abq (expl) Q2 adm (hh) Vrijeme, s Slika 37. Naprezanja prema von Misesu u očki Q 2 Fakule srojarsva i brodogradnje 62

77 Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm Q3 abq (impl) Q3 abq (expl) 4 Q3 adm (hh) Vrijeme, s Slika 38. Naprezanja prema von Misesu u očki Q 3 Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm L1 abq (impl) L1 abq (expl) 4 L1 adm (hh) Vrijeme, s Slika 39. Naprezanja prema von Misesu u očki L 1 Fakule srojarsva i brodogradnje 63

78 Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm 2 25 L2 abq (impl) L2 abq (expl) L2 adm (hh) Vrijeme, s Naprezanje prema Misesu σ ekv, N/mm Slika 4. Naprezanja prema von Misesu u očki L 2 L3 abq (impl) L3 abq (expl) L3 adm (hh) Vrijeme, s Slika 41. Naprezanja prema von Misesu u očki L 3 Fakule srojarsva i brodogradnje 64

79 4.3. Zaključak analize korišenjem maerijalno neprigušenog modela Za dinamičke probleme poţeljno je praii zakon očuvanja energije susava, a posebno ako se razmara susav koji nema maerijalno prigušenje (kao šo je prehodno analizirani). TakoĎer, poţeljno je napravii simulaciju maerijalno neprigušenih modela kako bi se vidio ujecaj odabranih parameara numeričkog prigušenja. Parameri numeričkog prigušenja biraju se ovisno o dinamičkom problemu i ţeljenim rezulaima, a obično zahijevaju odreďeno iskusvo analiičara. U ovom primjeru odabrano je jako blago numeričko prigušenje, a s obzirom da se ne razmara ujecaj graviacije na susav, j. zanemareno je ubrzanje zemljine sile eţe, a ime i moguća poencijalna energija susava, moţe se praii kako se rad poopćenih vanjskih sila prevara u kineičku energiju i unuarnju energiju za deformabilni susav. Za krui model, s obzirom da se susav nalazi u sanju mirovanja i popuno je zanemareno poencijalno polje zemljine sile eţe, sav rad poopćenih vanjskih sila prevara se u kineičku energiju susava šo se moţe zapisai izrazom W E, e k (95) gdje je W e rad poopćenih vanjskih sila (indeks e, dolazi od eng. exernal šo znači vanjski), a E k je kineička energija susava (indeks k dolazi od eng. kineic). Za akav susav sačinjen od više kruih ijela, iz preposavke da je deformacija unuar pojedinog ijela ε = i činjenice da nije prisuno prigušenje, proizlazi da je i unuarnja energija akoďer jednaka nuli Ei, (96) gdje je E i unuarnja energija susava, a indeks i dolazi od eng. inernal šo znači unuarnja. Na slikama 1., 11. i 12. jasno se vide dosadašnji zaključci. Za krui model crnom iscrkanom linijom na slici 1. prikazan je rad vanjskih poopćenih sila koji je ideničan kineičkoj energiji kruog modela na slici 11. Osim oga, na slici 12. vidljivo je da je unuarnja energija kruog modela jednaka nuli. Za deformabilne modele pogledom na slike 1., 11. i 12. mogu se donijei slijedeći zaključci. Implicina meoda u Abaqusu i reducirani model u Adamsu korise uvjeno rečeno isi 3 numerički inegraor (HHT), sa isim numeričkim paramerom prigušenja i osalim posavkama analize, soga je i konačna energija za a dva modela pribliţno jednaka, jer je ukupna kineička energija dobivena od rada vanjskih sila sa isim paramerom numeričkog 3 S obzirom da su numeričke meode na kojima se zasnivaju odreďeni programski pakei česo pua srogo čuvana ajna i svaki nije nuţno popuno isi, zaključak da se i u Abaqusu i u Adamsu korisi isi Hilber-Hughes- Taylorov inegraor ne mora bii isina, ali za ovakav primjer u okviru akademskih razmaranja se moţe reći da su o isi inegraori. Fakule srojarsva i brodogradnje 65

80 Kineička energija modela E k, mj Bruno Dogančić prigušenja, prigušena na goovo isu razinu. Kako bi se bolje vidio odnos konačnih kineičkih energija pojedinog modela uvećan je kraj dijagrama i prikazan na slici ALLKE adm kruo ALLKE abq (impl) ALLKE abq (expl) ALLKE adm (hh) Vrijeme, s Slika 42. Kineička energija modela uvećani dijagram Moţe se donijei i zaključak glede rezulaa eksplicine analize. U eoreskom dijelu ovog rada spomenuo je kako eksplicina meoda nema numeričko prigušenje i da ne računa ravnoeţu kroz ieraivne posupke nego neupino 4 maršira naprijed (eng. marshing forward), koriseći zadnju izračunau vrijednos dobivenu za akceleraciju u renuku kako bi dobila iduću nepoznau vrijednos u renuku + Δ, čime u svakom inkremenu povećava grešku zaokruţivanja. Razlika kineičke energije, usporedi li se crvena linija (koja označava eksplicinu analizu) na slici 42. s plavom (za implicinu) i zelenom (za Adams HHT rješavač), na nekim dijelovima iznosi i do 3 pua više. Ta velika razlika u kineičkoj energiji eksplicine u odnosu na druge dvije meode ukazuje da se već akumulirao dio greške uslijed načina izvoďenja eksplicine meode. Za deformabilni susav, na slici 12. je vidljivo da se dio rada vanjskih sila prevorio u energiju deformiranja, šo za slučaj modela bez maerijalnog prigušenja ujedno predsavlja i ukupnu unuarnju energiju susava, pri čemu vrijedi relacija W E E. (97) e k i 4 Newon-Rhapsonov posupak emelji se na zadovoljavanju uvjea relaivne greške, a šo se u programskom kodu najčešće manifesira korišenjem if pelje (eng. if znači ako) kojom se ispiuje ako je zadovoljena rel. greška Fakule srojarsva i brodogradnje 66

81 Ujecaj numeričkog prigušenja najbolje se uočava na dijagramu za energiju unuarnjih sila, gdje se jasno vidi razlika izmeďu popuno neprigušenog modela (eksplicine analize) i numerički prigušenog modela (implicine i Adams HHT analize). TakoĎer je zanimljivo za primijeii da momen nije konzervaivna veličina. Ako se usporeďuje deformabilni susav u odnosu na krui, na slici 1., koja prikazuje rad poopćenih vanjskih sila, vidljivo je da je rad poopćenih vanjskih sila veći za deformabilni model, no unaoč ome i dalje vrijedi izraz (97). Usporedbom rezulaa za pomake i brzine, sve ri meode pokazale su dobre rezulae praeći rend koji opisuje krui model. Glede apsolunih pomaka, reducirani model korišen u Adamsu, u jednom renuku počinje monoono odsupai od preosalih modela, šo se jasno vidi praeći zelenu krivulju na dijagramima za pomake. Za eksplicinu meodu se vidi, ako se pogleda na bilo koju kinemasku veličinu, da se akumulirana greška u kineičkoj energiji manifesira i kroz veće pomake i brzine pojedinih očaka. Fakule srojarsva i brodogradnje 67

82 Energija susava, mj Bruno Dogančić 4.4. Analiza s kraćim rajanjem simulacije Provesi će se i kraka analiza u rajanju od,1 s, j. sam počeak prijašnje analize. Rubni uvjei sila i pomaka idenični su prijašnjem modelu. Posavke analize su nešo drugačije e su soga vrijednosi koje su drugačije u odnosu na prošlu (dugu) analizu prikazane u ablici 12. Tablica 12. Posavke krake simulacije mali vremenski korak za sve analize Abaqus Adams Explici Implici HHT Trajanje simulacije T s, s.1 Korak inegracije 1-8 Maks. broj inkremenaa/ieracija Dopušena greška inegracije Veličina počenog inkremena Minimalna veličina inkremena Maksimalna veličina inkremena Ovako posavljenom analizom, koja raje relaivno krako, uz korišenje jako malog koraka inegracije, moguće je opisai pojave kao šo su propagacije vala naprezanja u elasičnim srukurama. Kao i u prehodnoj analizi, najprije će se pokazai energije susava slikom ALLKE abq (impl) ALLIE abq (impl) ALLWK abq (impl) ALLKE abq (expl) ALLIE abq (expl) ALLWK abq (expl) ALLKE adm (hh) ALLIE adm (hh) ALLWK adm (hh) Vrijeme, s Slika 43. Energije susava, ALLKE se odnosi na kineičku energiju, ALLIE se odnosi na unuarnju energiju i ALLWK se odnosi na rad poopćenih vanjskih sila Fakule srojarsva i brodogradnje 68

83 Tablicom 13. su prikazana vremena računanja za pojedinu gusoću mreţe i paramere koji su zadani za kraku analizu (ablica 12.). Tablica 13. Vremena računanja za kraku analizu (posavke analize prema ablici 12.) Abaqus Explici Abaqus Implici Adams HHT Vrijeme računanja (CPU ime) R, s #1-1 27,2 3169,8 - #2-1 29,6 485,7 - #3-1 38,3 5876,2 - #4-1 55, ,5 #1-2 3,7 - - #2-2 39,1 - - #3-2 42,1 - - #4-2 92,5 - - Prema ablici 13. se vidi prakičnos eksplicine meode za krake analize. Implicini inegraor s jako malim korakom goovo da nema smisla, čak ni za krake analize popu ove, jer se vremena računanja uvelike povećavaju šo se moţe vidjei i u ablici 13. Iz og razloga nije imalo smisla ispiivai vremena računanja implicinom meodom s mreţama grednih elemenaa drugog reda. Iz rezulaa za energije vidljivo da je u počeku, dok val naprezanja puuje kroz konsrukciju, energija deformiranja za model veća od kineičke energije. To se objašnjava na način da se konsrukcija svojim oblikom i inercijom oduprla gibanju, a lokalno se deformira. Na idućoj sranici, slikom 44., su prikazani rezulai za propagaciju vala kroz deformabilnu gredu P na koju je dodijeljen pogonski momen u zglobu A. Kako bi se bolje prikazala propagacija udarnog vala kroz gredu u očkama P 2, P 1 i P 3 mjere se naprezanja prema von Misesu. Gledajući od očke P 2 koja se nalazi na ¼ grede, mjereno od zgloba A i na koju val prvo nailazi, vidi se da do renuka 1 za eksplicini i implicini model dobiven u Abaqusu u očki P 2 nema naprezanja. U renuku 2 val je dosigao do očke P 1 koja se nalazi na ½ grede. U renuku 3 val je goovo prošao cijelu gredu jer se već nalazi u očki P3 koja je na ¾ grede. Slika 44. akoďer pokazuje da za dovoljno mali korak implicina i eksplicina meoda daju goovo ise rezulae i dobro poklapanje u cijeloj vremenskoj domeni. Za probleme propagacije reba dovoljno gusa mreţa kako bi se čim bolje opisalo polje deformacija i naprezanja. Reducirani model korišen u Adamsu ne opisuje dobro konkreni problem. Fakule srojarsva i brodogradnje 69

84 6 Naprezanje prema misesu σ ekv, N/mm P2 abq (impl) P2 abq (expl) P2 adm (hh) 6 Naprezanje prema misesu σ ekv, N/mm P1 abq (impl) P1 abq (expl) P1 adm (hh) Naprezanje prema misesu σ ekv, N/mm Vrijeme, s.6 P3 abq (impl) P3 abq (expl) P3 adm (hh).8.1 Slika 44. Propagacija vala unuar deformabilnog ijela Fakule srojarsva i brodogradnje 7

85 5. Zaključak U radu je provedena nelinearna numerička analiza dinamičkog odziva susava deformabilnih ijela koji se sasoji od ri meďusobno povezane deformabilne grede. Provedeno je više analiza, a koriseći načelno različie programske pakee koji se emelje na drugačijim meodama, čiji su rezulai usporeďeni. Rezulai su pokazali prednosi i nedosake pojedine meode e primjenjivos meoda za odreďene dinamičke probleme. Eksplicina meoda u Abaqusu pokazala se kao dosa robusna meoda šo opravdava da je česo pua prva preporučena opcija, iako uvidom u eoresku pozadinu, ali i rezulae riješenog primjera vidi se da je meoda uvjeno sabilna i primjenjiva samo za relaivno krake simulacije. Eksplicina meoda pokazala je endenciju akumulacije greške inegracije s obzirom da ne provodi ieraciju kako bi zadovoljila uvje ravnoeţe u svakom vremenskom inkremenu. Implicina meoda u Abaqusu je, za razliku od eksplicine meode, bezuvjeno sabilna e moţe posluţii za rješavanje duţih dinamičkih analiza s relaivno grubom diskreizacijom vremenske domene. TakoĎer moţe posluţii i za rješavanje kvazi saičkih problema u kojima je od ineresa računanje rješenja u evenualno par očaka vremenske domene analize i dobivanja konačnog rješenja. Meoda se pokazala pogodna za rješavanje problema diskreiziranih konačnim elemenima jer posjeduje odreďeno numeričko prigušenje koje anulira ujecaj visokih frekvencija koje su česa pojava koja nasaje kao posljedica diskreizacije. Korišenjem koncepa dinamike susava više ijela u Adamsu su korišeni reducirani modeli pojedinih deformabilnih ijela kako si se provela računalna analiza. Rješenja su unaoč izrazio maloj računalnoj zahjevnosi pokazala dobro poklapanje sa osale dvije meode. Ova meoda bi svakako mogla posluţii kao preliminarna analiza kojom bi se mogao razmorii ujecaj pojedinih deformabilnih ijela na ukupni dinamički odziv e za procjenu moţe li se susav evenualno modelirai kao susav kruih ijela, čime bi se dodano ušedilo na vremenu računanja. Osim računalne simulacije u radu je dealjno opisana eorija na kojoj se emelje korišeni programski pakei e je dan pregled korišene lieraure koja je posluţila za dodano izučavanje problemaike nelinearnih problema i dinamike deformabilnih ijela. Prikazani su i Fakule srojarsva i brodogradnje 71

86 algorimi koji su implemenirani u programske pakee. U nasavku ovog poglavlja ukrako će se dai zaključak svakog od obraďenih poglavlja. U uvodnom poglavlju rada ukrako je objašnjena problemaika primijenjene dinamike e je savljen naglasak na računalnu dinamiku deformabilnih susava više ijela (eng. flexible mulibody dynamics). U drugom poglavlju rada opisana je eorija vezana za računalnu dinamiku deformabilnih ijela. Teţnja pri pisanju eoreskog dijela bila je da se na jednosavan način obuhvae svi aspeki dinamičkih problema, a naglasak je savljen na nelinearnos e način na koji se rješavaju nelinearni problemi numeričkim meodama. Soga je dan je pregled i opis korišenih algoriama, uključujući formulaciju problema dinamike deformabilnih ijela korišenjem meode konačnih elemenaa izvedene na eoriji velikih pomaka, zaim problema dinamike susava više ijela e meode redukcije reda modela pojedinih članova susava. U rećem poglavlju ukrako su opisani korišeni, komercijalno dosupni, programski pakei Abaqus i Adams. Dva navedena programska pakea osmišljena su da rješavaju popuno drugačije probleme; Abaqus za rješavanje srukuralnih problema čvrsoće, a Adams za rješavanje problema dinamike susava više kruih ijela. S razvojem računala i računalnih meoda oba programa proširila su prosor rješavanja dinamičkih problema e su se preklopila upravo u području računalne dinamike deformabilnih ijela. Radom su usporeďene dvije meode, a ime i dva korišena programska pakea. U čevrom poglavlju provedena je numerička analiza dinamičkog odziva mehanizma s ri grede koje su modelirane kao deformabilne. Grede diskreizirane konačnim elemenima korišene su u programskom pakeu Abaqus e u progamskom pakeu Adams kao reducirani modeli. Programski pakei i pojedine korišene meode pokazale su dobro meďusobno poklapanje rezulaa. S obzirom na ograničeno vrijeme za izradu ovog rada, bilo je porebno osmislii numerički primjer na kojem bi se moglo čim vjernije usporedii pojedini programski pake. TakoĎer, s obzirom na nedosaak analiičkih izraza i eksperimenalnih podaaka nije provedena verifikacija i validacija numeričke meode. Iz og razloga na rezulae reba gledai srogo i kriički. Ideja za nasavak rada bilo bi provesi odreďeni eksperimen i/ili osmislii esni primjer (eng. benchmark) koji bi posluţili za validaciju i verifikaciju korišenih numeričkih procedura. U posljednja ri poglavlja koja se nalaze u nasavku kako dodaci, ukrako je dan pregled osnovnih izraza mehanike koninuuma, modeliranja prigušenja i frekvencijske analize. Fakule srojarsva i brodogradnje 72

87 6. Dodaak A: Osnovne veličine mehanike koninuuma S obzirom da se pri formulaciji rješenja za nelinearne dinamičke probleme korise izrazi iz mehanike koninuuma u ovom poglavlju dan je pregled osnovnih korišenih izraza. Osnovna veličina mehanike koninuuma je enzor gradijena deformiranja, kojim se opisuje roacija i produljenje dijela koninuuma, a koji je definiran na sljedeći način x1 x1 x 1 x1 x2 x3 x2 x2 x 2 F X, (A.1) x1 x2 x3 x3 x3 x 3 x1 x2 x3 gdje su x koordinae u renunoj konfiguraciji označene vremenom i x koordinae u i počenoj konfiguraciji označene vremenom =. Za enzor gradijena deformiranja vrijedi 1 F X X (A.2) 1. Značenje enzora gradijena deformiranja i njegovog inverza prikazano je slikom 45. j Slika 45. Geomerijska inerpreacija enzora gradijena deformiranja Gusoća u renunoj konfiguraciji moţe se definirai kao Fakule srojarsva i brodogradnje 73

88 . de F Za mjerenje deformiranosi korise se desni Cauchy-Greenov enzor deformiranosi (A.3) T T, e lijevi Cauchy-Greenov enzor deformiranosi C X X F F (A.4) T T. C X X FF (A.5) Vaţno svojsvo enzora gradijena deformiranja je da se moţe rasavii na umnoţak dvaju enzora, od kojih je jedan simeričan i naziva se desni enzor izduţenja U, a drugi orogonalan enzor i naziva se enzor roacije R. X R U (A.6) Taj se posupak naziva polarna dekompozicija enzora gradijena deformiranja i moţe se primijenii ako da vrijedi i sljedeće gdje je V lijevi enzor izduţenja.. X V R (A.7) Geomerijska inerpreacija jednadţbi (A.6) i (A.7) dana je na slici 46. Slika 46. Polarno razlaganje enzora gradijena deformiranja Tenzor gradijena brzine deformiranja definiran je kao gradijen renunog polja brzine u odnosu na renunu konfiguraciju maerijalnih očaka u i L XX 1, (A.8) x j Fakule srojarsva i brodogradnje 74

89 a moţe se rasavii na simerični dio D koji predsavlja enzor brzine deformacije i koso simerični dio W koji se zove enzor vrloţenja L DW. (A.9) Tenzor deformacija koji je bian za meodu konačnih elemenaa je Green-Lagrangeov enzor enzor deformacije koji je definiran s 1 ε C I, (A.1) 2 gdje je I jedinični enzor, ili preko pomaka kao 1 ij ui, j u j, i uk, i uk, j. (A.11) 2 Green-Lagrangeov enzor deformacije definiran je u počenoj konfiguraciji i predsavlja popuni enzor deformacija (nisu zanemareni viši članovi). TakoĎer je bino uočii da Green- Lagrangeov enzor deformacije ne ovisi o pomacima kruog ijela, šo ga čini pogodnim za izvod konačnih elemenaa za opisivanje velikih pomaka i roacija. Izrazi koji će se korisii pri izvodu konačnih elemenaa za velike pomake i roacije, a koji dovode u vezu D i ε su e 1 ε X D X X X X X, (A.12) 2 T T T D X ε X (A.13) T. Tenzor naprezanja koji je energeski konjugiran s Green-Lagrangeovim enzorom deformacija je drugi Piola-Kirchhoffov enzor naprezanja S. Ako se preposavi snaga naprezanja (eng. sress power) po jediničnom volumenu J τ D, gdje je τ Cauchyev enzor naprezanja, a J de sljedećim izrazom X, onda se drugi Piola-Kirchhoffov enzor naprezanja moţe dovesi u vezu J, τ D S ε (A.14) e nakon sreďivanja se moţe izrazii drugi Piola-Kirchhoffov enzor naprezanja odnosno Cauchyev enzor S X τ X (A.15) T, τ X S X (A.16) T. Fakule srojarsva i brodogradnje 75

90 Izraz koji povezuje silu d T koja djeluje na površinu d S u renuku moţe se izrazii preko Cauchyeve formule T d T τ n d S. (A.17) Osim oga posluţi će i Nansonova formula n X n d S. (A.18) T d S Fakule srojarsva i brodogradnje 76

91 7. Dodaak B: Modeliranje prigušenja 7.1. Slobodne prigušene vibracije susava s jednim supnjem slobode Modeliranje prigušenja počinje od razmaranja jednadţbe dinamičke ravnoeţe bez vanjske uzbudne sile, odnosno razmara se čije rješenje daje vlasiu kruţnu frekvenciju prigušenih vibracija a samo prigušenje se mijenja u granicama mv cv kv, (B.1) gdje je c kr kriično prigušenje definirano izrazom 2 d 1, (B.2) c c kr, (B.3) c 2m 2 km, (B.4) kr a prije spomenui ξ omjer prigušenja koji predsavlja unuarnje, Columbovo renje u mehaničkim vezama, definiran kao c, (B.5) c Kod analiza deformabilnih konsrukcija omjer prigušenja kreće se najčešće u granicama a obično je izmeďu 1 i 5% i pri akvom odabiru je Fakule srojarsva i brodogradnje 77 kr,15. (B.6) d Modeliranje prigušenje u meodi konačnih elemenaa U jednadţbi prigušenog gibanja susava konačnih elemenaa MV CV KV R ( ), (B.7) član CV u pravilu ima ukupni udio u jednadţbi, naspram drugih članova, manji od 1%. U meodi konačnih elemenaa prigušenje se modelira na dva načina proporcionalno prigušenje (Rayleighevo prigušenje) modalano prigušenje Proporcionalno prigušenje Kod ovakvog načina modeliranja marica prigušenja nema fizikalno značenje, a definirana je s C M K (B.8) R R, gdje su α R i β R konsane Rayleighevog prigušenja koje se odreďuju eksperimenalno.

92 Konsane α R i β R mogu se odredii pomoću i R R 1 1, (B.9) 21 2 R R 2 2, (B.1) 22 2 gdje su ω 1 i ω 2 vlasie frekvencije susava, a ξ 1 i ξ 2 omjeri prigušenja dvaju formi (modova), pri čemu se obično uzimaju prva i druga forma vibriranja. Slikom 47 prikazano je modeliranje Rayleighevog prigušenja. Slika 47. Modeliranje Rayleighevog prigušenja Modalno prigušenje Modalno prigušenje uključuje viskozno prigušenje u modalne jednadţbe. Najprije je porebno raspregnui susav dinamičkih jednadţbi, pri čemu se primjenjuju karakerisike vlasiih modova za ransformaciju i dobiva se, K M V (B.11) i i gdje i = 1, 2,..., n, a n broj supnjeva slobode, odnosno ime i broj vlasiih formi, a V i je vekor vlasiih formi. Osim oga definira se modalna marica koja se sasoji od vlasiih formi čiavog susava ( nn) Φ V1 V2 V n. (B.12) Fakule srojarsva i brodogradnje 78