Transformations are used: Transformations. Simple Transformations. Rigid-Body / Euclidean Transforms. Similitudes / Similarity Transforms

Transcription

1 rasormatios are sed: rasormatios Positio ojets i a see modelig) hage the shae o ojets reate mltile oies o ojets Projetio or irtal ameras imatios Ma o the slides are take rom MI EES 6.87, rad ad tler Simle rasormatios igid-od / Elidea rasorms Preseres distaes Preseres agles a e omied re these oeratios iertile? Yes, eet sale igid / Elidea Idetit raslatio Similitdes / Similarit rasorms Liear rasormatios Preseres agles Similitdes igid / Elidea Similitdes igid / Elidea Liear raslatio Idetit Isotroi Salig raslatio Idetit Isotroi Salig Salig eletio Shear

2 Liear rasormatios ie rasormatios L q) L) Lq) La) a L) reseres arallel lies ie Similitdes igid / Elidea Liear Similitdes igid / Elidea Liear raslatio Idetit Isotroi Salig Salig eletio Shear raslatio Idetit Isotroi Salig Salig eletio Shear Projetie rasormatios Persetie Projetio reseres lies Projetie ie Similitdes igid / Elidea Idetit raslatio Liear Salig Isotroi Salig eletio Shear Persetie Otlie ssigmet ea Itro to rasormatios lasses o rasormatios eresetig rasormatios omiig rasormatios hage o Orthoormal asis Ho are rasorms ereseted? a d e a d e M t

3 Homogeeos oordiates dd a etra dimesio i, e se matries I, e se 4 4 matries Eah oit has a etra ale, a e i m j g k o M d h l Homogeeos oordiates Most o the time, ad e a igore it a e i j g k d h l I e mltil a homogeeos oordiate a aie matri, is haged Homogeeos Visaliatio iide to ormalie homogeie) W? Poit at iiit diretio) oordiate Sstems ight-haded oordiate sstem:,, ),, ) 7,, ) 4,, ) 4, 5, ) 8,, ) Let-haded oordiate sstem: rasormatios I homogeeos oordiates, trasormatios are rereseted 44 matries. oit trasormatio is erormed: raslate t, t, t) Wh other ith the etra dimesio? ease o traslatios a e eoded i the matri! raslate,,) a d g e h i t t t t t t

4 Sale s, s, s) Isotroi iorm) salig: s s s s s s Sales,s,s) q q Shearig e a d a d e he hage i eah oordiate is a liear omiatio o all three. rasorms a e ito a geeral aralleleied. ot ais - Zotate ) ot ais: ot ais: - - ot k, k, k), a it etor o a aritrar ais odriges Formla) kk-) kk-)ks kk-)-ks kk-)-ks kk-) kk-)-ks otatek, ) k kk-)ks kk-)-ks kk-) o geerate a rotatio i e hae to sei: ais o rotatio d.o.) amot o rotatio d.o.) Note, the ais asses throgh the origi. here & s 4

5 5 oter-lokise rotatio aot the -ais: ) oter-lokise rotatio aot the -ais: ) oter-lokise rotatio aot the -ais: ) Ierse ) ) omosite s,, ad, a erorm a rotatio aot a ais asg throgh the origi. ot s ot a ritrar is is o rotatio a e loated at a oit: 6 d.o.. he idea: make the ais oiidet ith oe o the oordiate aes ais), rotate, ad the trasorm ak. ssme that the ais asses throgh the oit. Stes: raslate P to the origi. Make the ais oiidet ith the -ais or eamle): otate aot the -ais ito the lae. otate aot the -ais oto the -ais. otate as eeded aot the -ais. l ierse rotatios aot ad. l ierse traslatio. ot a ritrar is

6 ot a ritrar is Otlie ssigmet ea Itro to rasormatios lasses o rasormatios eresetig rasormatios omiig rasormatios hage o Orthoormal asis E F Ho are trasorms omied? Sale the raslate No-ommtatie omositio Sale the raslate: ' S ) S,),) Sale,),),) raslate,),) 5,),),) Sale,),),) raslate,),) 5,) Use matri mltiliatio: ' S ) S S atio: matri mltiliatio is NO ommtatie! raslate the Sale: ' S ) S raslate,) 4,) Sale,),) 6,),),) 8,4) No-ommtatie omositio Sale the raslate: ' S ) S S raslate the Sale: ' S ) S S 6 Otlie ssigmet ea Itro to rasormatios lasses o rasormatios eresetig rasormatios omiig rasormatios hage o Orthoormal asis 6

7 eie o ot Prodt hage o Orthoormal asis a Gie: oordiate rames ad oit,,) Fid:,,) hage o Orthoormal asis hage o Orthoormal asis..... ). ). ). ). ). ). ). ). ). ). ). ). ). ). ) Sstitte ito eqatio or :,,) [ [ [. ). ). ). ). ). ). ). ). ). ). ). ) ] ] ] hage o Orthoormal asis [. ) [. ) [. ) erite: [ [ [. ). ). ). ). ). ). ). ). ). ) ]. ) ]. ) ]. ). ). ) ] ] ] hage o Orthoormal asis [. ) [. ) [. ). ). ). ). ). ). ),,) Eressed i asis:. ). ). ). ). ). ) ] ] ]. ). ). ) 7

8 hage o Orthoormal asis hage o Orthoormal asis. ). ). ). ). ). ). ). ). ) M I matri orm: here:.. et. Whats M -, the ierse?.. M - M hagig oordiate Sstems,, ) M is rotatio matri hose olms are U,V, ad W:,, ),, ),, ) MX U d the ierse M U For the rotatio matri: X rasormig Plaes Plae reresetatio: three o-olliear oits imliit eqatio: P P P 8

9 9 rasormig Plaes Oe a to trasorm a lae is trasormig a three o-olliear oits o the lae. other a is to trasorm the lae eqatio: Gie a trasormatio that trasorms [,,,] to [,,,] id [',',','], sh that: ) ) Ÿ