Numerical modeling of a non-linear viscous flow in order to determine how parameters in constitutive relations influence the entropy production

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1 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Numercal moelng of a non-lnear vscous flow n orer to etermne how parameters n consttutve relatons nfluence the entropy proucton Wolfgang H. Müller, B. Emek Abal Technsche Unverstät t Berln Insttut für f r Mechank Lehrstuhl für f r Kontnuumsmechank un Materaltheore GAMM, Copyrght Copyrght Prof. Dr. rer. Prof. nat. W.H. Dr. rer. Müller, nat. W.H. e-mal: Müller, Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, emal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 1 1

2 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Goals of our research How to moel an compute non-lnear materals? (now!) How to measure an etermne the coeffcents? (future work...) Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: 1

3 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Outlne Introucton: Entropy as a gue for consttutve equatons an measure of rreversblty Computng the entropy: Drven l cavty (shear test) Summary & outlook Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 3

4 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Outlne Introucton: Entropy as a gue for consttutve equatons an measure of rreversblty Computng the entropy: Drven l cavty (shear test) Summary & outlook Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 4

5 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - I Prmary obectve of contnuum thermo-mechancs: Fn the followng fve prmary fels n a contnuum for all ts ponts n space, x, at all tmes, t mass ensty velocty temperature ( x,t) ( x t) ( x t) ρ υ, T, ρ, T υ Fel equatons are base on conservaton laws balance of mass balance of lnear momentum balance of nternal energy ρ υ + ρ t υ σ ρ ρ f t u q υ ρ + σ + ρ r t Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 (assume f,r are gven) an consttutve relatons: stress: σ ( ρ, υ, T ) heat flux: q ( ρ, υ, T ) nternal energy: u( ρ, υ, T ) How to fn them as functons of the prmary fels? 5

6 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - II The form of consttutve relatons for rreversble processes nvolvng flus an sols are typcally constrane by Prncples, such as: prncple of sotropy, homogenety prncple of obectvty entropy prncple(s): postve sem-efnteness of entropy proucton (n Law) We encounter an evaluate the latter n varous forms: prncple of least sspaton (Onsager, 1931); Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 6

7 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - II The form of consttutve relatons for rreversble processes nvolvng flus an sols are typcally constrane by Prncples, such as: prncple of sotropy, homogenety prncple of obectvty entropy prncple(s): postve sem-efnteness of entropy proucton (n Law) We encounter an evaluate the latter n varous forms: prncple of least sspaton (Onsager, 1931); lnear flux-force concept of T.I.P. (Eckart, 194); Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 7

8 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - II The form of consttutve relatons for rreversble processes nvolvng flus an sols are typcally constrane by Prncples, such as: prncple of sotropy, homogenety prncple of obectvty entropy prncple(s): postve sem-efnteness of entropy proucton (n Law) We encounter an evaluate the latter n varous forms: prncple of least sspaton (Onsager, 1931); lnear flux-force concept of T.I.P. (Eckart, 194); Coleman-Noll formalsm (1963, 1964); Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 8

9 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - II The form of consttutve relatons for rreversble processes nvolvng flus an sols are typcally constrane by Prncples, such as: prncple of sotropy, homogenety prncple of obectvty entropy prncple(s): postve sem-efnteness of entropy proucton (n Law) We encounter an evaluate the latter n varous forms: prncple of least sspaton (Onsager, 1931); lnear flux-force concept of T.I.P. (Eckart, 194); Coleman-Noll formalsm (1963, 1964); metho of Lagrange multplers (Lu & Müller, 197); Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 9

10 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - II The form of consttutve relatons for rreversble processes nvolvng flus an sols are typcally constrane by Prncples, such as: prncple of sotropy, homogenety prncple of obectvty entropy prncple(s): postve sem-efnteness of entropy proucton (n Law) We encounter an evaluate the latter n varous forms: prncple of least sspaton (Onsager, 1931); lnear flux-force concept of T.I.P. (Eckart, 194); Coleman-Noll formalsm (1963, 1964); metho of Lagrange multplers (Lu & Müller, 197); maxmum sspaton rate (Zegler, 1977); Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 1

11 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - III In ths talk we nether queston nor evaluate entropy prncples. Instea we rely on lnear flux-force relatons of Eckart: q T, σ, υ ( ) u T an sspaton rate of Zegler: Φ ΣT, Eloss Ω τ Φ t v We wll use ths expresson to answer the followng queston: In whch way can we use the energy loss from the system to etermne materal parameters for the consttutve laws? Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 11

12 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Introucton - III In ths talk we nether queston nor evaluate entropy prncples. Instea we rely on lnear flux-force relatons of Eckart: q T, σ, υ ( ) u T an sspaton rate of Zegler: Φ ΣT, Eloss we hope that the energy loss can be measure Ω τ Φ t v We wll use ths expresson to answer the followng queston: In whch way can we use the energy loss from the system to etermne materal parameters for the consttutve laws? Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 1

13 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Outlne Introucton: Entropy as a gue for consttutve equatons an measure of rreversblty Computng the entropy: Drven l cavty (shear test) Summary & outlook Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 13

14 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) I υ top υ 1 Harmonc tracton of the l Asn( ωt) ˆ υ x 1 Moel has to satsfy: ρ υ + ρ t υ σ ρ ρ f t u q υ ρ + σ + ρ r t Coe an compute n FEnCS, vsualze n Mayav Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 14

15 15 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: 1 Drven l cavty (shear test) I Harmonc tracton of the l Moel has to satsfy: ) sn( ˆ t A ω υ f x t ρ σ υ ρ r x x q t u ρ υ σ ρ x t υ ρ ρ Coe an compute n FEnCS, vsualze n Mayav t

16 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) II Settng up the problem to solve: conservaton laws ρ υ + ρ t υ σ ρ ρ f t u q υ ρ + σ + ρ r t ρ( x, t), ( x, t), T ( x, t) υ assume ncompressblty no boy forces no raaton supply ρ const. x,t f r consttutve relatons T σ µ q κ u& η& T Amssble? Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 16

17 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) III Lst of unknowns: υ ( x, t), T ( x, t) Representaton of secon orer tensor [Spencer 1971] σ ( L ) δ + ( L) + h ( L) k k π µ υ( ) 1 υ υ + π π µ µ ( ll, ml, mnnl ) (,, ) ll ml mn nl (, ) h h, ll ml mn nl Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 17

18 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) III Lst of unknowns: υ ( x, t), T ( x, t) Representaton of secon orer tensor [Spencer 1971] σ ( L ) δ + ( L) + h ( L) k k π µ υ( ) 1 υ υ + π π µ µ ( ll, ml, mnnl ) (,, ) ll ml mn nl (, ) h h, ll ml mn nl We choose a lnear relaton: h Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 18

19 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) III Lst of unknowns: υ ( x, t), T ( x, t) Representaton of secon orer tensor [Spencer 1971] σ ( L ) δ + ( L) + h ( L) k k π µ υ( ) 1 υ υ + π π µ µ ( ll, ml, mnnl ) (,, ) ll ml mn nl (, ) h h, ll ml mn nl We choose a lnear relaton: h π p No pressure graents: p p envronmen t Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 19

20 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) III Lst of unknowns: υ ( x, t), T ( x, t) Representaton of secon orer tensor [Spencer 1971] σ ( L ) δ + ( L) + h ( L) k k π µ υ( ) 1 υ υ + π π µ µ ( ll, ml, mnnl ) (,, ) ll ml mn nl (, ) h h, ll ml mn nl We expect: 1 υ υ + x x υ1 x υ x 1 µ 1 1 ( () ) () Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1

21 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) III Lst of unknowns: υ ( x, t), T ( x, t) Representaton of secon orer tensor [Spencer 1971] σ ( L ) δ + ( L) + h ( L) k k π µ υ( ) 1 υ υ + π π µ µ ( ll, ml, mnnl ) (,, ) ll ml mn nl (, ) h h, ll ml mn nl We expect: 1 υ υ + x x υ1 x υ x 1 µ 1 1 ( () ) () Example: µ + b σ µ a, b, c? ( ) c a () Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 1

22 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) IV Lst of unknowns: υ ( x, t), T ( x, t) Lnear relaton: q T e Secon Law: q T κ, κ >,gven Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1

23 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) V Lst of unknowns: Gbbs equaton: υ η u p T t t ρ ncompressblty: ρ const. x,t ( x, t), T ( x, t) ρ t } (lnear T η& u& relaton) Suppose: T T u η Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 3

24 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) V Lst of unknowns: Gbbs equaton: υ η u p T t t ρ ncompressblty: ρ const. x,t ( x, t), T ( x, t) ρ t } (lnear T η& u& relaton) Suppose: T T u η } Dscrete n tme, we can calculate entropy ncrementally Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 4

25 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) VI To compute entropy: q υ T ρ u& + σ, q κ, T η& u& q ρ T & η + σ ρη& + entropy flux q T 1 q + T 1443 κ T + T T 1 σ 1T µ T, κ, a, b, c entropy proucton Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 5

26 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) VI To compute entropy: q υ T ρ u& + ρ σ, q κ, T η& u& q ρ T & η + σ ρη& + entropy flux q T 1 q + T 1443 κ T + T T 1 σ 1T µ T, κ, a, b, c entropy proucton Start from η an fn ncrementally ρη t ρη + ( t ) t t n each screte tme step Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 6

27 7 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: 1 Drven l cavty (shear test) VII Varatonal formulaton for fnte element scretzaton n space: Fnte fference backwars scretzaton n tme: Ω v x t δυ σ υ ρ + Ω v T x x q t u δ υ σ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + x t t x t x t t υ t x υ

28 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) VIII Dscretze nvarant form to mnmze: elements Ω Ω ( σ δυ n q δtn ) a ele υ υ ρ t t δυ + ρυ υ δυ + σ δυ + ρt & ηδt q δt σ δt v Employng bounary contons: σ n on Ω, q n h( T Tenv. ) on Ω. Computng entropy evoluton approxmately: ρ T & η σ q ρ Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 8

29 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) VIII Dscretze nvarant form to mnmze: elements Ω Ω ( σ δυ n q δtn ) a ele υ υ ρ t t δυ + ρυ υ δυ + σ δυ + ρt & ηδt q δt σ δt v Employng bounary contons: σ n on Ω, q n h( T Tenv. ) on Ω. Computng entropy evoluton approxmately: q ρ T & η σ ρ from the last tme step Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 9

30 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) VIII Dscretze nvarant form to mnmze: elements Ω Ω ( σ δυ n q δtn ) a ele υ υ ρ t t δυ + ρυ υ δυ + σ δυ + ρt & ηδt q δt σ δt v Employng bounary contons: σ n on Ω, q n h( T Tenv. ) on Ω. Computng entropy evoluton approxmately: } ρ T & η σ q ρ υ, T s compute! Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 3

31 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) IX Energy loss out of the system: κ T T 1 Σ + σ T T Φ ΣT per Ω Eloss ( t t ) Φ v, per π ω Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 31

32 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Drven l cavty (shear test) X Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 3

33 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Outlne Introucton: Entropy as a gue for consttutve equatons an measure of rreversblty Computng the entropy: Drven l cavty (shear test) Summary & outlook Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 33

34 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Summary Thermoynamcally amssble consttutve relatons for fluxes an energy ensty are use to calculate entropy Energy loss from a system uner harmonc tracton s compute Non-lnear stress tensor may obtan the rate epenency, although no explct tme epenence has been use. Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 34

35 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Outlook How to measure the energy loss out of a system? an oscllatory tracton n a vscometer How to solve the nverse problem & ft the ata to etermne the coeffcents? mofe Levenberg-Marquart (ScPy) least square errors fnte element metho (FEnCS) Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 35

36 Technsche Unverstät Berln Fakultät für Verkehrs- un Maschnensysteme, Insttut für Mechank Lehrstuhl für Kontnuumsmechank un Materaltheore, Prof. W.H. Müller Thanks a lot for your attenton! Questons? Copyrght Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mal: Wolfgang.H.Mueller@tu-berln.e, 1 36