POUZITIE PROGRAMOVEHO SYSTEMU MATHEMATICA PRI V YU CBE Z AKLADOV MATEMATICKEJ ANAL YZY NA SJF STU A. Kolesarova, M. Kovacova, V. Zahonova Katedra matematiky, SjF STU, nam. Slobody 17, 812 31 Bratislava kolesarova@ dekan.sjf.stuba.sk, kovacova v@ dekan.sjf.stuba.sk, zahonova @ dekan.sjf.stuba.sk Abstrakt. V prspevku sa zaoberame moznost'ou pouzitia programoveho systemu Mathematica pri vyucovan v zakladnom kurze matematiky na technickych vysokych skolach. Su v nom popsane aj konkretne poznatky experimentu, ktory sa uskutocnil v sk. roku 1997/98 na SjF STU v Bratislave. 1. Popis experimentu. Najsk^or uved'me niekol'ko faktov. Zakladny kurz matematiky na SjF STU je v prvych troch semestroch studia. Programovy system M athematica pouzvame pri vyucovan matematiky v zakladnom kurze v druhom a tret'om semestri. V clanku sa budeme venovat'moznostiam vyucovania matematiky pomocou uvedeneho programoveho systemu, pricom budeme hovorit'najmaoskusenostiach s jeho pouzitm v druhom semestri 1. rocnka, a to v sk. rokoch 1996/97 a 1997/98. V sk. roku 1997/98 sme experiment spravili v jednej paralelke, do ktorej bolo zaradenych 115 studentov. Kym sme pristupili k vyucovaniu v paralelke, pripravili sme v predchadzajucom sk. roku pokusne vyucovanie v dvoch kruzkoch 1. rocnka (50 studentov). Studenti, ktor ho uspesne absolvovali, pokracovali v takomto sp^osobe vyucovania aj v 3. semestri. V druhom semestri su vstudijnom plane tyzdenne 4 hodiny prednasok a 4 hodiny cvicen. Pri pociatocnom experimente boli v druhom semestri vsetky cvicenia pri poctaci. Pri opakovan experimentu bolo 2 hodiny klasicke "tabul'ove" cvicenie a dve hodiny cvicenie v poctacovej miestnosti. V 3. semestri su tyzdenne 4 hodiny prednasok a 3 hodiny cvicen, ktore boli zorganizovane v priebehu dvoch tyzdnov ako 4 hodiny tabul'oveho cvicenia a 2 hodiny pri poctaci. Pre lepsiu predstavu uved'me, ze obsahom druheho semestra je integralny pocet realnej funkcie jednej realnej premennej a jeho aplikacie, zaklady analytickej geometrie v priestore, diferencialny pocet funkci dvoch a troch premennych, dvojne a trojne integraly a ich aplikacie, zaklady vektorovych funkci.
Naplnou tretieho semestra su obycajne diferencialne rovnice, cselne ifunkcio- nalne rady (s d^orazom na mocninove rady), specialne Tayloroveradyfunkcie jednej realnej premennej a Fourierove rady, krivkove integraly a ich aplikacie. Studenti pokusnych skupn boli s vyucovanm pomocou poctacov spokojn. Experiment hodnotili hlavne na zaklade zaujmavosti cvicen anamahy vynalozenej na zskanie skusky. Ucitelia sa snazili najst'sk^or jeho chyby aprid'alsom opakovan ich vco najvacsej miere odstranit'. Ako smeuz spomenuli, pri pokusnom vyucovan v druhom semestri boli vsetky 4 hodiny cvicen v poctacovej miestnosti. Vzhl'adom na to, ze islo o cvicenia k predmetu teoretickeho zakladu, ukazalo sa to ako nevhodne. Preto sa organizacia cvicen zmenila tak, ako bolo uvedene na zaciatku. Dalsm poznatkom bolo, ze skupiny majuce poctacove cvicenia by mali mat' zvlastne prednasky a rozhodne by malibyt'skusaninym sp^osobom akostudenti s klasickym vyucovanm. Studenti pokusnej skupiny majuci cvicenia na poctaci, boli pomocou poctaca aj skusan, avsak riesili rovnake ulohy, ako mali v ten den studenti s klasickymi cviceniami. Samozrejme, ze boli vo vyhode, dosiahli vel'mi dobre vysledky, aleich vedomosti casto nezodpovedali ich znamkam. Myslme si, ze existuje urcite minimum zakladnych matematickych vedomost, zrucnost ajednoduchych postupov, ktore studenti potrebuju vo fyzike alebo vosvojich odbornych predmetoch aktore by mali byt' schopn aplikovat' aj bez pouzitia poctaca. Student, ktoreho pustme k poctacu, casto nie je toto ochotny dobrovol'ne akceptovat'. Prave preto sme, napriek technickym t'azkostiam, experiment rozsrili na celu paralelku, ktora mala samostatneprednasky a studenti boli skusaninym sp^osobom ako ostatn. Moznost' pouzvania poctaca na cviceniachovplyvnila aj prednasku. Niektorecasti tykajuce sa najma metod a techniky poctania mohli byt' vynechane alebo znacne zredukovane azskany cas mohol byt' venovany hlbsiemu vysvetl'ovaniu zavadzanych pojmov. Uz pocas prednasky sa hovorilo aj o moznosti riesenia problemov pomocou programoveho systemu M athematica. Skusku sme rozdelili na tri casti. Teoreticku cast', ktoru maju vsetci studenti (20 bodov), 3 prklady riesene smoznost'ou pouzitia poctaca (28 bodov) a 3 prklady riesene bezpoctaca (12 bodov). Kym prklady, ktore mohli studenti riesit' pomocou poctaca, boli obt'aznejsie a komplexnejsie, ako riesili ich kolegovia, prklady riesene bez poctaca boli naopak vel'mi jednoduche, mali ukazat', ze student ma to minimum matematickych vedomost a zrucnost, o ktorych sme hovorili. Co je d^olezite, na uspesne vykonanie skusky musel student zskat' minimalne 6 bodov (50 %) z prkladov riesenych bez poctaca a 6 bodov z teorie. Naviac, v den skusky musel zskat'aspon 24bodov. Posledna podmienka saeste tykala celkoveho poctu zskanych bodov vratane bodov zo semestra. Prvu podmienku mali len nasi studenti, ostatne boli spolocne pre cely rocnk. Touto nutnou podmienkou sme si chceli zarucit', ze studenti budu poznat' napr. zakladne metody integrovania (zakladne integracne vzorce, vseobecnu substitucnu metodu, metodu per-partes), techniku poctania parcialnych derivaci, a pod. Dat'takuto nutnu podmienku bolo potrebne aj preto, lebo kym pociatocneho experimentu sa zucastnili zvacsa leps studenti, ktor mali ostudium naozaj zaujem, do druhej casti bola vybrana paralelka C, ktorej studenti dosiahli za prvy semester len priemerne vysledky. Pri opakovan experimentu dokonca uvazujeme zmenit' pomer bodov z prkladovych cast z 28:12 na 25:15.
2. Pom^oze poctac prekonat' t'azkosti v zakladnom kurze? Vyucovanie matematiky pomocou poctaca uz vzakladnom kurze matematiky nie je vel'mi rozsrene. Preto spomenme niekol'ko faktov, ktore nas k nemu viedli a specialne, preco sme pouzvali prave programovy system M athematica. Vacsinastudentov na SjF STU prichadza z priemyselnychsk^ol strojnckychalebo zucnovskychsk^ol s maturitou. Iked'mame aj vynikajucich studentov, treba povedat', ze nasi studenti si v priemere neprinasaju z matematiky dobre vedomosti zo strednej skoly. Naviac, v poslednych rokoch sivsmame celkove slabsiu pripravenost' studentov z matematiky ako v predchadzajucich obdobiach. Nizsia je fakticka uroven poznatkov (ich objem i h lbka), vyrazna je aj strata numerickej zrucnosti a priestorovej predstavivosti. Cize strucne, k problemom, s ktorymi sa na zaciatku vyucovania stretavame, patria najma : (1) nedostatocna uroven vedomost zo strednej skoly (2) strata numerickej zrucnosti (3) nedostatocne rozvinuta priestorova predstavivost' (4) nedostatok skutocneho zaujmu ostudium. Otazka je, ci a v akej miere m^oze zavedenie poctacov dovyucby vzakladnom kurze pom^oct' riesit'uvedene problemy. Prvy problem je mozne riesit' ajpomocou poctaca, ale na inej urovni ako pri beznom vyucovan. Vyzaduje to aktvny zaujem studentov, vel'a casu a prstupne vyukove programy, ktore imt. c. nem^ozeme poskytnut'. Preto sa snazme riesit' problem aspon organizovanm doucovacieho kurzu na zaciatku 1. semestra. Avsak za 30 hodn sa vel'ky pokrok dosiahnut' neda. Studentom sk^or ukazeme "potrebne minimum" vedomost zo strednej skoly, ktore su prvym predpokladom uspesneho zvladnutia studia. Kurzy absolvuje rocne asi 35 % studentov zapsanych do 1. rocnka. Samozrejme, ze okrem toho aj pocas vsetkych troch semestrov zakladneho kurzu, sa popri odovzdavan novych poznatkov snazme odstranovat' ajstare nedostatky. Bezne sa vsak stretavame s tym, ze student zvladne podstatu riesenia novych problemov, ale zlyha pri vypocte na chybach typu p 1+x 2 = 1+x alebo na obycajnych numerickych chybach. Matematika ma prestudenta tu nevyhodu, ze nie je suborom izolovanych cast, ale je kontinualna a stare chyby ich znova a znova dohanaju. Pouzite poctacov pri skusan zredukovalo prejavenie sa takychto chyb, co sa odzrkadlilo aj na dosiahnutych znamkach. Kym pri klasickom skusan najcastejsia znamka z vyhovujucich jedobre m (3-), dokonca az v50-60%prpadov, pri nasom experimente po dvoch termnoch zo100studentov, ktor zskali zapocet, malo spravenu skusku 70, pricom rozdelenie znamok bolo nasledujuce : x i 1 1 ; 2 2 ; 3 3; n i 0 3 12 17 20 18 To znamena, ze podiel znamky 3- na celkovom pocte spravenychskusok je 25,7%. Na porovnanie, absolutne pocetnosti jednotlivych znamok v dvoch kontrolnych paralelkach boli:
x i 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; x i 1 1 ; 2 2 ; 3 3; n i 3 2 1 11 14 40 n i 2 1 3 9 10 32 Cize podiel znamky 3- je 56,3 % resp. 56,1 %. Ukazalo sa, ze ak student vedel "ako na to", cize vedel ulohu rozobrat' a poznal postup riesenia, nestracal body na chybach uvedeneho typu. Aj ked' nebolo nasm ciel'om skusat'pomocoupoctacov, aby sme mohli rozdavat'dobreznamky, rozhodne to bol pozitvny stimul pre studentov. Na zaklade doterajsch vysledkov predpokladame, ze aj pri uvedenom sp^osobe skusania sa percento spravenych skusok zvysi aspon opat' percent. Numericke chyby a neschopnost' doriesit' zadane problemy v predpsanom case, suvisia s nedostatkom numerickej zrucnosti. Pouzitie vhodneho vypoctoveho systemu iste nezleps numericku zrucnost'studentov, sk^or naopak. Ked'ze korene tohto javu su v podstate mimo nasho vplyvu, pretoze suvisia najma soznizovanm poctu hodn matematiky a so sp^osobom vyucovania na nizsch stupnoch sk^ol, zaujmame sk^or obranny postoj a prisp^osobujeme sa. M^ozeme riesit'bud' podstatne jednoduch- sie ulohy, alebo aj ulohy, ktore vyzaduju zlozitejsie a casovo narocnejsie vypocty, ale pomocou vhodneho vypoctoveho systemu. Rozhodli sme sa pre kompromis. Na klasickych cviceniach riesime jednoduche ulohy, abysazopakovali zakladne pojmy, ich vlastnosti a postupy riesenia, na poctacovych obt'aznejsie ulohy, pricom cas usetreny odstranenm zd lhavych vypoctov mozno venovat'hlbsiemu rozboru uloh, vizualizacii, vyuzvaniu moznosti rychleho preriesenia ulohy za inych vstupnych podmienok a pod. Co sa tyka tretieho z hore uvedenych problemov, vzhl'adom na vel'mi dobre grackemoznosti programoveho systemu Mathematica, jeho pouzvanie pri vyucovan bolo jednoznacne vel'kym prnosom. Vd'aka moznosti grackeho znazornovania vrovine i v priestore, studenti riesili ulohy na aplikacie urciteho integralu, dvojnych a trojnych integralov podstatne lepsie ako bezpoctacov. Poucneavel'mi zaujmave bolo napr. kreslenie grafov funkci dvoch premennych jednak pri zaveden pojmu funkcie dvoch premennych a jej grafu a tiez ajprihl'adan extremov takychto funkci. Moznost' videnia grafovfunkcidvoch premennych a znazornovanych telies zr^oznych uhlov pohl'adu m^oze napom^oct' aj k zlepseniu priestorovej predstavivosti, nielen k nahradeniu jej nedostatku. Aj vd'aka grackym moznostiam programoveho systemu M athematica boli cvi- cenia ovel'a zaujmavejsie, atmosfera cvicen bola ina ako na tabul'ovych cviceniach, studenti pracovali aktvnejsie, necakali na zazvonenie. Prave naopak. V tomto smere m^ozeme vyucovanie pomocou programoveho systemu M athematica na 100% odporucat'. Aj anketa na konci semestra ukazala, ze studenti by chceli v tomto sp^osobe vyucovania pokracovat'aj v d'alsom semestri. Pokusme sa teraz vysvetlit' d^ovody, ktore nas viedli k rozhodnutiu pouzvat' prave program M athematica. Vsucasnosti existuje vel'ky pocet softwareovychbalkov dost' podobneho charakteru, ktore mohli byt' pouzite. Niektore z nich su vol'ne sritel'ne, vacsina je vsak
komercnehocharakteru. Vol'nesritel'neprogramy maju zvycajne obmedzene schopnosti. Aj ked' su pouzitel'ne privyucovan vzakladnom kurze, nie su uz vhodne pre neskorsie pouzvanie v technickej praxi. Pretoze pri vybere vhodneho programu sme mali na zreteli aj moznosti pouzitia zskanych vedomost a zrucnost pri d'alsom studiu resp. v praxi, vyberali sme z komercnych programov. Ich nevyhodou je pomerne vel'ka nancna narocnost'.vacsina riem vsak ponuka nizsie verzie programov podstatne lacnejsie ako najvyssiu existujucu verziu, niektore dokonca ako vol'ne sritel'ne. Pri nasom experimente sme pouzvali verziu M athematica 2:1: Najznamejsmi komercnymi programovymi systemami su napr. M athlab, Derive, M athematica, M athcad. Kym system M athlab podporuje numericku pracu sdatami, systemy Derive, M athematica, MathCad podporuju symbolicku matematiku. Preto pri vybere vhodneho programoveho systemu pre vyucovanie matematiky uz v zakladnom kurze prichadzali do uvahy posledne tri zo spomenutych programov. Derive je program lokalizovany pod systemom DOS, je vel'mi jednoducho ovladatel'nyama minimalne hardwareovenaroky,co je, vzhl'adom na vybavenost'nasho skolstva, dost' vel'kou vyhodou. Za vel'ku nevyhodu vsak povazujeme obmedzene schopnosti tohoto programu, napr. pri riesen mnohych uloh symbolickej matematiky ( pri integrovan, riesen vacsch sustav rovnc a pod.). Hlavnym d^ovodom, pre ktory sme pouzvanie tohoto programu zamietli, bola nemoznost' jeho pouzitia v d'alsom studiu a v praxi. M athcad v sucasnej verzii je program porovnatel'nej urovne s programom M a- thematica, ale len pri pouzit zakladneho balka. Doplnkove moznosti programu M athematica (tzv. packages) posuvaju tento program na vyssiu uroven. Naviac nema zmysel porovnavat' sucasny stav. Pred troma rokmi, kedy sme vyucovanie zacali pripravovat', mal program MathCad podstatne obmedzenejsie moznosti ako dnes. Za hlavne vyhody programu M athematica povazujeme : (1) moznost' symbolickej dencie funkci r^oznych typov (premenna m^oze byt' napr. typu cslo, vektor, list, ret'azec) (2) gracke moznosti programu (3) dostupne aplikacne balky, napr. pre nancnu matematiku, fyziku, optiku, mechaniku (4) moznost' dynamickeho programovania (5) moznost' vytvarania uzavretych programovych balkov a exe. suborov (6) prepojenie s prog. jazykom C, resp. C++, objektove programovanie (7) animacne moznosti programu a prepojenie so systemami CAD, Max 3D. Z uvedeneho je zrejme, ze tento program je dobre vyuzitel'ny pri vyucovan i v praxi. 3. Este niekol'ko poznamok. Na zaver uved'me este niekol'ko konkretnych poznamok resp. postrehov, tykajucich sa samotneho vyucovania. Prve poctacove cvicenie sme venovali oboznameniu sa s programom M athema;
tica. Za jedno cvicenie sa studenti prakticky zoznamili s aritmetickymi operaciami, so sp^osobom zadavania zabudovanych elementarnych funkci,svypoctom ich hodn^ot v zadanom bode a s r^oznymi formami cselneho vysledku, s preddenovanymi konstantami, s prkazom Plotna kreslenie grafov funkci (jednej realnej premennej), s prkazom Solve na riesenie rovnc a systemov rovnc. Na d'alsch cviceniach uz stacilo pridavat'prkazy tykajuce sa preberaneho uciva. Vzhl'adom na priestorove t'azkosti a vybavenie poctacovych ucebn sme museli ucit'20-clenny kruzok v ucebni s desiatimi poctacmi. To, co sme pokladali najprv za nevyhodne, sa ukazalo pre zaciatok prace s tymto programom sk^or vyhodou. Ked'ze v tomto programe je treba vsetky prkazy vypisovat'(anaviac v anglictine) a studenti malokedy maju zrucnost' kvalikovanej pisarky, je dobre, ze si m^ozu navzajom pomahat' akontrolovat' sa. Treba poctat' stym, ze cas, ktory usetrme pouzvanm poctaca pri zlozitych vypoctoch, stratme na zaciatku nedostatocnou zrucnost'ou. Preto ma zmysel pouzvat' tento programovy system najma vtedy, ked' ho m^ozeme pouzvat' dlhsie. Takyto zamer na katedre existuje. Studenti pokusnych skupn, ktor absolvovali 2. a3. semester zakladneho kurzu s podporou programoveho systemu M athematica, ho pouzvali aj v 4. semestri v predmete Numericka matematika, vid' [1], a prihlasili sa aj na d'alsie (volitel'ne) predmety z aplikovanej matematiky vyucovane pomocou tohto systemu. Pociatocne t'azkosti sme prekonavali aj tym, ze na poctacovych cviceniach v druhom semestri boli dvaja ucitelia. Nevyhodou druheho semestra v sk. roku 1997/98 bolo, ze sa zacnal neurcitym a urcitym integralom a jeho aplikaciami. Aj ked' sapodl'a planu cvicen priame integrovanie, vseobecna substitucna metoda a metoda per-partes pre neurcite i urcite integraly preberali na tabul'ovych cviceniach, studenti rychlo pochopili, ze prkazy Integrate[f(x) x]aintegrate[f(x) fx a bg] imnamahu usetria a nemali v semestri motv pre zvladnutie tychto metod. Z omylu ich vyviedla az skuska, ked' nezskali z jednoduchych prkladov riesenych bezpoctaca nutny pocet bodov askusku, napriek casto vel'mi dobremuvysledku poctacovej casti, museli opakovat'. Casto sme sa studentom snazili ukazat',ze pouzvanie poctaca bez porozumenia problematiky m^oze viest' knespravnym vysledkom alebo vysledkom nevhodneho tvaru. Niekedy dochadzalo aj neocakavane k takymto situaciam. Napr. pri integrovan racionalnych funkci dostali studenti ulohu : najst' primitvnu funkciu 1 k funkcii f(x) = x 4 ;4x 3 ;2x. Ocakavalo sa, ze prkazom 2 Factor rozlozia +4x+16 polynom vmenovateli, navrhnu tvar elementarnych zlomkov, urcia prslusne koe- cienty riesenm systemu rovnc (vysledok si mohli skontrolovat'prkazom Apart) anafunkciu rozlozenu na elementarne zlomky pouziju prkaz Integrate. Student, ktory chcel mat'vysledok vel'mi rychlo, pouzil prkaz Integrate[f(x) x]. Vysledok ho prekvapil, pretoze primitvna funkcia bolanavonok komplexnou funkciou. Ked' videl, ze tento tvar vysledku nie je vhodny, bol ochotny postupovat' navrhnutym sp^osobom. Ukazalo sa, ze aj ked' pomocou poctaca v mnohych prkladoch priamym integrovanm racionalnej funkcie dostaneme primitvnu funkciu vhodneho tvaru, niekedy si musme vediet' pom^oct', a ze bez znalost pojmov ako su primitvna funkcia, racionalna funkcia, sp^osob integrovania racionalnych funkci by to v tomto prpade neslo. Je dobre, ze vsk. roku 1998/99 je zmeneny ucebny plan a neurcite a urcite
integraly su presunuteuzdoprveho semestra. Sme toho nazoru, ze kym sa studenti dostanu kpoctacu, mali by prejst' zakladmi diferencialneho a integralneho poctu funkcie 1 realnej premennej. Studenti su vel'mi vynachadzav amaju mimoriadne vyvinuty obranny mechanizmus. Ked' zistia, ze poctacovy system je vel'mi schopny, nesnazia sa aktvne zvladnut' ani zakladne vzorce a postupy. Katedra matematiky poskytuje "matematicky servis" aj pre ostatnekatedry. Preto by sme mali studenta dobre oboznamit'sozakladnymi pojmami vyssej matematiky a prinutit'hopomocou nich aktvne zvladnut' aspon riesenie jednoduchych problemov. Aj preto sa ustupilo od 100%-nych poctacovych cvicen azaviedli sa aj spomenute nutne podmienky na zskanie skusky. Je uz na zvazenie, ci ucit' napr. integrovanie pomocou specialnych substituci alebo specialne typy diferencialnych rovnc a pod. Taketo vedomosti zvycajne nepreziju prslusny semester matematiky. Vd'aka moznosti riesit' zlozitejsie ulohy pomocou poctaca, nie je treba sa natol'ko sustred'ovat' na techniku poctania, r^ozne zjednodusujuce vzt'ahy a metody vypoctov. Vyucovanie pomocou poctacov prinuti ucitel'ov podstatne prehodnotit' nazory na to, co ucit' aakotoucit' co najefektvnejsie. V suvislosti s vyucovanm pomocou poctacov samusme rozhodnut' nielen do akej miery ma byt'student schopny poctat'sam, ale aj kedy mu dovolit'pouzvat' poctac len na zjednodusenie vypoctov pridodrzan postupu "klasickeho" vypoctu a kedy mu plne umoznit' vyuzvat' schopnosti poctaca. Treba si uvedomit', ze hovorme o vyucovan predmetu teoretickeho zakladu. Preto poslednu zo spomenutych moznost sme vyuzvali len v aplikacnych ulohach. Casto sa stavalo, ze studenti nepostupovali pri riesen pomocou poctaca tak, ako sme ocakavali, resp. tak, ako bymuseli postupovat' prirucnom vypocte a nas niekedy vyviedli z vychodenych kol'aj rozmysl'ania. Napr., aj ked' na prednaskach a tabul'ovych cviceniach boli veden k pouzvaniu zakladnych transformaci pri vypocte dvojnych a trojnych integralov istych typov, moznost' pouzitia poctaca pri vypoctoch ich k tomu nenutila. Aj ked' siintegracnu oblast' popsali len v kartezianskych suradniciach adostali integral, ktory by sami urcite nevypoctali, poctac to zvycajne zvladol a samozrejme, ze studenti body zskali, pretoze pri aplikacnych ulohach bolo podstatne, aby zadanu ulohu spravne vyriesili. Vzhl'adom na to, ze ide o vyucovanie teoretickeho predmetu, vo vacsineprpadov sme dodrziavali postupny vypocet. Aj v takychto prpadoch bol program pomocnkom. Bol platny nielen ako dobryvypoctovy prostriedok, ale vyuzvali sme aj jeho vyucovacie schopnosti. Sk lbenm grackych arychlych vypoctovych moznost sme mohli vysvetlit'suvis jednotlivych pojmovcasto ovel'alepsie akonaobycajnych cviceniach. Ako prklad spomenme pouzitie programu privyucbe nevlastnych integralov. Tejto teme sa nevenujeme dlho, ani do h lbky, ide nam len o pochopenie pojmu nevlastneho integralu avysetrovanie existencie na zaklade dencie. Poctac sa dal vel'mi dobre pouzit' pri rozbore prkladov - na urcenie realnych csiel, ktore by mohli byt' kritickymi bodmi zadanej funkcie, na vypocet jednostrannych limt v tychto bodoch a na nakreslenie grafu funkcie na ich okol. Tak si studenti mohli dobre uvedomit' suvis medzi hodnotami limt a spravanm sa funkcie na okol vysetrovaneho bodu. Rozbor ulohy im pomohol pochopit' d'als postup vypoctu. Pri vysetrovan existencie jednotlivych integralov sadodrziaval postup z dencie,
t.j. vypocet urciteho integralu a prslusnej limity, ale pomocou poctaca. Poznamenajme este, ze aj ked' sme v niektorych prpadoch dodrziavali postupny vypocet, hovorili sme aj o moznosti priameho "uzvatel'skeho" sp^osobu riesenia problemu (napr. pri hl'adan lokalnych vol'nych resp. viazanych etremov). Na vacsine technickych sk^ol sa znzil pocet hodn matematiky a ucivo vzaklad- nom kurze je vel'mi nahustene. Ako prve sa vytratili z cvicen vysvetl'ovacie prklady. Ucia sa napr. postupnosti realnych csiel a ich limity, aleprklady, ktore bypo- mohli studentovi pochopit' tieto zakladne pojmy, sa obmedzuju alebo vynechavaju. Vysvetlenie pojmov na prednaske jepre studenta pasvnym stretnutm. Vyhodu programoveho systemu M athematica vidme nielen vo vypoctovych schopnostiach, ale aj v moznosti jeho vyuzitia pri ilustracii a vysvetl'ovan mnohych zakladnych pojmov a ich suvislost. Pri jeho pouzvan kratky cas, ktory mame, nemusme venovat' zbytocne technike poctania, vyucbe r^oznych algoritmov resp. narocnemu zskavaniucselneho vysledku. Je mozne riesit' aj viac fyzikalnych prkladov, pretoze cas, ktory je treba venovat' zostaveniu matematickeho modelu, formulacii problemu, usetrme jeho riesenm pomocou poctaca (napr. pri diferencialnych rovniciach). Na zaver este poznamenajme, ze za uspech povazujeme aj to, ze pouzvanie tohto programu prerastlo ramec nasho predmetu. Mnoh studenti program vyuzvali uz na konci druheho semestra na riesenie zadanzodbornych predmetov. Ocakavame, ze po troch semestroch pouzvania programoveho systemu M athematica ho zvladnu tak, ze bude pre nich uzitocnym pomocnkom v d'alsej praci. LITERAT URA [1] Halada L., Kovacova M., Skusenosti s pouzitm programoveho systemu Mathematica pri vyucbe numerickej matematiky na SjF STU, Zbornk koferencie : Kalnica 1. -5.6. 1998. [2] KovacovaM., Vyucba diferencialneho poctu funkcie viac premennych s podporou programoveho systemu Mathematica, 25 VSTEP-Z Matematika v inzinierskom vzdelavan, Trnava 7. - 10. setpembra 1998. [3] Wolfram S., The Mathematica Book, 3rd ed., Cambridge University Press, 1996. [4] Zahonova V., Vyucba integralneho poctu funkcie jednej premennej s podporou programoveho systemu Mathematica, 25 VSTEP-Z Matematika v inzinierskom vzdelavan, Trnava 7. - 10. setpembra 1998.