Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008.
Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako je rijeµc o logici prvoga reda, onda se semantiµcki izraz ima za posljedicu moµze zamijeniti sa sintaktiµckim dokazuje i obratno.
Postupak ispitivanja javljanja implikacije U konkretnom sluµcaju kada se u okviru logike prvoga reda pitamo ima li Γ za posljedicu K ili, što je isto, je li sluµcaj da Γ dokazuje K, onda potvrdan odgovor opravdavamo izradom dokaza, a nijeµcan gradnjom protuprimjera. Pitanje koje se otvara jest postoji li postupak ispitivanja koji će nam za svaki skup Γ i svaku reµcenicu K dati odgovor na pitanje Je li sluµcaj da Γ ima za posljedicu (dokazuje) K? Ako takav postupak postoji, onda se logika prvoga reda "moµze mehanizirati", "svesti na µcinovniµcku proceduru", "moµze algoritmizirati", "moµze svesti na proceduru", "onda se moµze izraµcunati odgovor", onda je ona odluµciva ("decidable").
Izraµcunljivost Turingovi strojevi Churchova teza Predteorijsko odre enje. Postoji postupak traµzenja odgovora na pitanje P? ako (i) svaki korak tog postupka je krajnje jednostavan, (ii) na kraju svakog koraka jasno je koji je korak sljedeći, (iii) koraka ima konaµcno mnogo, i (iv) oni na kraju daju toµcan odgovor. "Da/Ne" pitanje P? moµzemo poistovjetiti s karakteristiµcnom funkcijom?: DA ako P,? (P) = NE ako :P.
Churchova teza Kako povezati predteorijski i teorijski pojam? U teoriji izraµcunljivosti daje se formalna de nicija za pojam postupka ili algoritma. Pojam izraµcunljivosti moµze se uµciniti preciznim na razliµcite naµcine, ovisno o odgovoru koji ćemo dati na pitanja poput ovih: "Hoće li se raµcun izraditi na pravocrtnoj vrpci ili na pravokutnoj mreµzi polja? Ako koristimo pravocrtnu vrpcu, hoće li ona imati poµcetak ali ne i kraj ili će biti beskonaµcna u oba smjera? Hoće li polja na koja je vrpca razdijeljena imati adrese ili ćemo pratiti raµcun pišući posebne simbole kao podsjetnike na odgovarajućim mjestima?" I tako dalje.razliµciti će odgovori za posljedicu imati razliµciti izgled raµcuna, ali naš cilj nisu pojedinosti raµcuna već karakterizacija skupa izraµcunljivih funkcija. Zapravo, pokazalo se da skup izraµcunljivih funkcija ostaje isti neovisno o pojedinstima izvedbe raµcuna.
Kako opisati postupak? Churchova teza Nema kraja mogućim varijacijama u detaljnom opisu pojmova izraµcunljivosti i efektivnosti, zato na kraju moramo ili prihvatiti ili odbaciti tezu (koju nije moguće deduktivno dokazati) po kojoj je skup funkcija koje su izraµcunljive u smislu nekog odre enog pojma izraµcunljivosti identiµcan skupu funkcija koje bi ljudi ili strojevi ikada mogli izraµcunati putem bilo koje efektivne metode ako ne bilo ograniµcenja u pogledu vremena, brzine i materijala. Drugim rijeµcima, otvara se pitanje u kakvom su odnosu formalizirani teorijski pojam izraµcunljivosti i neformalizirani izvanteorijski intuitivni pojam izraµcunljivosti.
Churchova [hipo]teza Churchova teza Izvorno i u uµzem smislu, teza po kojoj su sve intuitivno efektivne metode općenito rekurzivne (u smislu u kojem se ovaj termin koristi u teoriji rekurzivnih funkcija). Pripisujemo je Alonzu Churchu, 1935. Trenutaµcno i u širem smislu, teza po kojoj se sve intuitivno efektivne metode mogu zahvatiti jednom od nekoliko formalizacija, koje ukljuµcuju teoriju rekurzivnih funkcija, Turingove strojeve, Markovljeve algoritme, lambda kalkulus, itd.
Predteorijsko i teorijsko Churchova teza Churchovu hipotezu moµzemo shvatiti kao tvrdnju o istovrijednosti predteorijskog pojma o postupku (algoritma) i teorijskog pojma (gdje ima više kandidata). Teorijski pojam kojega ćemo koristiti je pojam o Turingovom stroju. Naša varijanta Churchove hipoteze glasi: Za neku vrstu pitanja postoji postupak pronalaµzenja odgovora akko postoji Turingov stroj koji izraµcunava vrijednost karakteristiµcne funkcije za tu vrstu pitanja. Churchova teza nije dokaziva ali jest osporiva. Prvo bismo trebali pokazati da je neka funkcija izraµcunljiva u intuitivnom smislu, što znaµci izloµziti niz uputa za izraµcunavanje njezine vrijednosti za bilo koji argument i pokazati da su te upute efektivne. Zatim bismo trebali pokazati da ta funkcija nije izraµcunljiva u formalnom smislu, pokazujući da niti jedan Turingov stroj ne moµze izraµcunati tu funkciju.
Tko (što) je onaj (ono) koji (koje) raµcuna? Turingov stroj je imaginaran stroj koji moµze uzvesti bilo koju kompjutaciju izvedivu na bilo kojem raµcunalu. Stroj se sastoji od beskonaµcne vrpce, radnog dijela i popisa pravila. Ulazno/izlazna vrpca je podijeljena u polja na kojima se mogu naći simboli koje radni dio stroja bilo µcita, briše ili upisuje. Stroj se uvijek nalazi u nekom unutarnjem stanju, te ovisno o tom stanju i zapisima na vrpci izvodi radnje pomicanja, brisanja ili pisanja. Popis pravila je program koji odre uje ponašanje stroja u zadanim okolnostima. Turingov stroj µcita simbole na vrpci i gleda popis pravila, u skladu s time mijenja svoje unutarnje stanje te ili piše ili briše simbole ili pomiµce svoj radni dio na lijevo ili na desno.
Izvorni opis Turingovi strojevi Citat We may compare a man in the process of computing a real number to a machine which is only capable of a nite number of conditions q 1, q 2,..., q r which will be called m-con gurations. The machine is supplied with a tape, (the analogue of paper) running through it, and divided into sections (called squares ) each capable of bearing a symbol. At any moment there is just one square, say the r-th, bearing the symbol S(r) which is in the machine. We may call this square the scanned square. The symbol on the scanned square may be called the scanned symbol. The scanned symbol is the only one of which the machine is, so to speak, directly aware. A.M. Turing. On Computable Numbers, with an Application to the Entsheidungdproblem. Proceedings of the London Mathematical Society 43: 544-546, 1937.
Izvorni opis (drugi dio) Citat However, by altering its m-con guration the machine can e ectively remember some of the symbols which it has seen (scanned) previously. The possible behaviour of the machine at any moment is determined by the m-con guration q n and the scanned symbol S(r). This pair q n, S(r) will be called the con guration : thus the con guration determines the possible behaviour of the machine. In some of the con gurations in which the scanned square is blank (i.e. bears no symbol) the machine writes down a new symbol on the scanned square: in other con gurations it erases the scanned symbol. The machine may also change the square which is being scanned, but only by shifting it one place to right or left. In addition to any of these operations the m-con guration may be changed. A.M. Turing. On Computable Numbers, with an Application to the Entsheidungdproblem. Proceedings of the Odluµcivost London i izraµcunljivost Mathematical Society
Razliµciti naµcini ospisivanja Turingovih strojeva Program uputa moµze se iskazati na razliµcite naµcine. U strojnoj tablici. Pomoću dijagrama toka. Pomoću skupa ure enih µcetvorki....
Strojna tablica Turingovi strojevi Primjer Program koji u sluµcaju da 0 dijeli dva niza 1-ica upisuje 1 na mjestu 0, zatim briše posljednju 1-icu u drugom nizu, vraća se na poµcetak prvog niza i tada staje. U tabliµcnom prikazu retci (od drugoga na dalje) pokazuju za stroj koji je u odre enom stanju s i u koje stanje s j prelazi i što µcini ovisno o tome koji je simbol na polju koje se µcita. Radnje su: pomak udesno >, pomak u lijevo <, pisanje nekog simbola, 1, 0 ili brisanje (koje bismo mogli shvatiti kao pisanje "praznog" simbola).
Strojna tablica Turingovi strojevi 1 0 s 0 s 0 > s 1 1 s 1 s 1 > s 2 < s 2 s 3 s 3 s 4 < s 4 s 4 < s 5 > s 5
Dijagram toka Turingovi strojevi Dijagram toka u prikazu koristi sljeći redoslijed: [sadašnje stanje] simbol na traci: radnja [sljedeće stanje].
Ure ene µcetvorke Turingovi strojevi Zapis ure enih µcetvorki moµze imati razliµciti redosljed. U sljedećem prikazu to će biti niz sadašnje stanje - proµcitani simbol - sljedeće stanje - radnja: s 0 1s 0 >, s 0 0s 1 1, s 1 1s 1 >, s 1 s 2 <, s 2 1s 3, s 3 s 4 <, s 4 1s 4 <, s 4 s 5 >.
Vjeµzba Turingovi strojevi http://www. st.hr/~logika/pilot/applet/turing/turing.htm Dizajnirajmo Turingov stroj koji µcita niz 1-ica i ako je broj 1-ica paran, piše P, a ako nije piše N.
Odgovor Turingovi strojevi Odgovor Neka se program "vrti" za svake dvije 1-ice. Ako se takva "petlja" ne moµze zatvoriti jer se naišlo na 1-icu iza koje nema druge, završimo sa simbolom N. Ako se "petlja" zatvorila i više nema 1-ica, završimo sa simbolom P.
Tvrdnja Skup svih Turingovih strojeva je prebrojiv.
Dokaz prebrojivosti Turingovi strojevi Svaki Turingov stroj je iskaziv kao konaµcan niz simbola u jednom beskonaµcnom alfabetu (ovdje ograniµcavamo popis simbola na vrpci na "prazni simbol" i brojke) >, <, s 0,, 0, s 1, 1, s 2, 2,... Neki je niz simbola Turingov stroj akko zadovoljava sljedeće uvjete: (i) duljina niza djeljiva je s 4, (ii) na mjestima 1, 3, 5, 7,..., 4n + 1, 4n + 3,... javljaju se jedino simboli s 0, s 1,..., (iii) na mjestima 2, 6, 10,..., 4n + 2,... javljaju se jedino simboli, 0, 1,..., (iv) na mjestima 4, 8, 12,..., 4n,... javljaju se simboli >, <,, 0, 1,..., (iv) nijedna kon guracija 1 µciji je oblik s i n j s k ne javlja se više od jednog puta u nizu simbola, gdje n j 2 f, 0, 1,...g. 1 Posljednji uvjet iskljuµcit će strojeve µcije su upute ili kontradiktorne ili ponovoljene.
Dokaz prebrojivosti Turingovih strojeva Ako usvojimo konvenciju o oznaµcavanju poµcetnog stanja (na primjer, tako da mu dodijelimo najmanji s-broj), moći ćemo napraviti prebrojivi beskonaµcni popis svih Turingovih strojeva. µcim odredimo nabrajanje nizova simbola iz alfabeta, odredit ćemo i nabrajanje Turing-izraµcunljivih funkcija. Jedan naµcin kako to moµzemo izvesti jest da svakom stroju pridruµzimo koda. Na primjer ovako: > < s 0 0 12 122 1222 12222 122222 s 1 1... n-ti simbol... 1222222 12222222... 1-ica praćena s n 2-ki
Primjer Turingov stroj s 0 s 0 1 imao bi kod 122212222122212222222. Budući da prirodnih brojeva ima prebrojivo mnogo i da smo svakom Turingovom broju pridruµzili jedan prirodnih broj, Turingovih strojeva ima prebrojivo mnogo. Nizove simbola moµzemo poredati u jedan beskonaµcni popis koji je prebrojiv. Ako izbacimo one nizove koji ne imenuju neki Turingov stroj, dobit ćemo popis T 1, T 2, T 3,... u kojemu je svaki Turingov stroj imenovan barem jednom i ništa drugo nije imenovano na tom popisu.
Uvo enje ograniµcenja U daljnjem razmatranju usvajamo neka ograniµcenja. 1 Promatramo samo funkcije s pozitivnih cijelih u pozitivne cijele brojeve. 2 Zapise na traci suµzavamo na monadiµcki zapis brojki, eventualno razdvojenih s praznim poljem ("praznim simbolom"). Na primjer: 5 će biti zapisano kao 11111. 3 Pretpostavljamo da na poµcetku stroj µcita krajnju lijevu 1-icu. 4 Ako funkcija dodjeljuje vrijednost za argumente (nizove 1-ica razdvojene praznim poljem) koji su se u poµcetnom stanju nalazili na traci, onda će se stroj zaustaviti u standardnoj završnoj kon guraciji, a to znaµci da će µcitati krajnji lijevi simbol iz bloka 1-ica koji se nalazi na vrpci koja je drugdje prazna. 5 Ako funkcija ne dodjeljuje vrijednost za zadane argumente, ona se neće zaustaviti u standardnoj završnoj kon guraciji veće će, prvo, ili raditi bez prestanka ili će se, drugo, zaustaviti bilo na 1-ici koja nije krajnja lijeva ili će se pri zaustavljanju na vrpci nalazaiti više od jednog blok jedinica.
Standardizacija prethodnog primjera Primjer Turingove strojeve koji zadovoljavaju navedena ograniµcenja nazovimo "standardnim"! Usvajajući gornja ograniµcenja 1 5 modi cirajmo Turingov stroj iz prethodnog zadatka tako da umjesto P upisuje 11, a umjesto N - 1. Zapis jednog takvog Turingovog stroja je: s 0 1s 1 s 0 s 4 1s 1 s 2 > s 2 s 6 1 s 2 1s 3 s 3 s 0 > s 4 1s 4 > s 4 s 5 1s 5 1s 6 < Funkcija koju on izraµcunava je karakteristiµcna funkcija p: 11 ako je n paran broj, p(n) = 1 ako je n neparan broj.
Turingovi strojevi i funkcije Pod gornjim ograniµcenjima svaki Turingov stroj odre uje jednu funkciju s pozitivnih cijelih brojeva u pozitivne cijele brojeve. Paµznju moµzemo usmjeriti na sluµcajeve kada u poµcetnom stanju nalazimo samo jedan neprekinuti niz 1-ica. Koristeći popis Turingovih strojeva moµzemo saµciniti popis funkcija f 1, f 2, f 3,... svih Turing-izraµcunljivih funkcija s jednim argumentom, gdje je za svako n, f n funkcija s jednim argumentom koju raµcuna stroj T n.
µcega ima više? Strojevi i funkcije Turingovi strojevi Tvrdnja Nabrajajući Turingove strojeve, nabrojili smo i funkcije koje oni izraµcunavaju. Mogućnost nabrajanja pokazuje da moraju postojati (Turing) neizraµcunljive funkcije s jednim argumentom. Ima više naµcina za pokazati postojanje takvih funkcija. Postoje funkcije koje ne izraµcunava niti jedan Turingov stroj.
Nekonstruktivni dokaz Prebrojivo mnogo strojeva i neprebrojivo mnogo podskupova Dokaz. Totalne karakteristiµcne funkcije za svaki ulaz daju ili potvrdan ili nijeµcan odgovor (tako da upiše 1 odnosno 11). Promotrimo bilo koji skup pozitivnih cijelih brojeva. Za svaki takav skup moµzemo zapitati postoji li karakteristiµcna funkcija koja prepoznaje µclanove tog skupa. Po Cantorovom dokazu, podskupova prebrojivo beskonaµcnog skupa ima više nego njegovih elemenata. Budući da je skup Turingovih strojeva prebrojiv, neka karakteristiµcna funkcija neće biti Turing-izraµcunljiva.
Konstruktivan dokaz Konstrukcija funkcije koju ne izraµcunava niti jedan stroj Konstruktivan naµcin za pokazati postojanje Turing-neizraµcunljivih funkcija sastoji se u tome da konstruiramo funkciju u koja nije na popisu, a to moµzemo uµciniti ako funkciju u tako de niramo da bude razliµcita od bilo koje funkcije na popisu. 1 u(n) = f n (n) + 1 ako je fn (n) nede nirano, u protivnom.
Neizraµcunljiva funkcija De nicija Neka je T 1, T 2, T 3,... popis svih standardnih Turingovih strojeva. Neka je f 1, f 2, f 3,... popis svih Turing-izraµcunljivih funkcija s jednim argumentom, gdje je za svaki podznak i > 0, f i funkcija s jednim argumentom koju raµcuna stroj T i. 1 u(n) = f n (n) + 1 ako je fn (n) nede nirano, u protivnom. Lema Funkcija u nije Turing-izraµcunljiva.
Reductio Turingovi strojevi Dokaz. Pretpostavimo suprotno: neka je u jedna od Turing-izraµcunljivih funkcija, recimo m-ta. Tada za svaki pozitivni cijeli broj n, vrijednosti za u(n) i f m (n) su ili (i) obje nede nirane ili (ii) obje de nirane i jednake [jer su, po pretpostavci, u i f m jedna te ista funkcija]. Promotrimo sluµcaj kada m = n. 1 u(m) = f m (m) = f m (m) + 1 ako je fm (m) nede nirano, u protivnom. Ispitajmo sluµcajeve (i) i (ii)! Ako f m (m) nije de nirano, onda f m (m) = 1. Kontradikcija. Ako je f m (m) de nirano, onda f m (m) = f m (m) + 1. Kontradikcija.
Dijagonalna funkcija Vrijednost funkcije u razlikovat će se od vrijednosti svake Turing izraµcunljive funkcije barem za uokvireni argument Turingov stroj: Funkcija koju on raµcuna: Argumenti funkcije: T 1 f 1 1 2 3 4... n... T 2 f 2 1 2 3 4... n... T 3 f 3 1 2 3 4... n... T 4 f 4 1 2 3 4... n..... T n f n 1 2 3 4... n.....
Primjedba Turingovi strojevi Niti jedan Turingov stroj ne moµze izraµcunati vrijednosti funkcije u za sve argumente, ali u pojedinim sluµcajevima to je moguće uµciniti. De nirajmo najjednostavniji stroj T 1 : s 0 s 0 >. On izraµcunava identitetnu funkciju za svaki pozitivni cijeli broj. Oznaµcimo je s f 1.Kako je f 1 (1) = 1, u(1) = 2. Za T 2 dobivamo sljedeći stroj s 0 s 0 <, on tako er izraµcunava identitenu funkciju, a tu funkciju nabrajamo kao f 2. Po de niciji, u(2) = f 2 (2) + 1 = 2 + 1 = 3. Kod T 3 : s 0 s 0 ; f 3 nije de nirano ni za jedan pozitivni cijeli broj, zato u(3) = 1. No, kako dokaz pokazuje, odredba vrijednosti funkcije u ne moµze biti "rutinski posao". To što u nije "mehaniµcki" izraµcunljiva ne znaµci da se ona ne moµze izraµcunati zahvaljujući "uvidu".
Pitanje zaustavljanja "Problem zaustavljanja" sastoji se u odredbi općenitog efektivnog postupka koji otkriva hoće li se neki Turingov stroj zaustaviti ili ne kada se pokrene u svom poµcetnom stanju µcitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu 1-ica na drugdje praznoj vrpci. Oznaµcimo slovom h funkciju koja je izraµcunljiva (u intuitivnom smislu) ako i samo ako je problem zaustavljanja rješiv. Neka je x broj Turingovog stroja, neka je on pokrenut u svom poµcetnom stanju dok µcita krajnju lijevu 1-icu iz neprekinutog niza od y 1-ica na inaµce praznoj vrpci.
De nicija funkcije zaustavljanja De nicija Neka x oznaµcava Turingov stroj koji se javlja na mjestu x u popisu svih standardnih Turingovih strojeva, te neka je y bilo koji pozitivni cijeli broj. 2 ako se stroj x zaustavlja za argument y, h(x, y) = 1 u protivnom. Tvrdnja Ako je Churchova teza toµcna, problem zaustavljanja je nerješiv.
Reductio ad absurdum Dokaz. Pokazat ćemo da ako funkciju h izraµcunava neki Turingov stroj H, onda mora postojati neki Turingov stroj T m takav da se za svaki pozitivni cijeli broj n, T m zaustavlja ako i samo ako se T n ne zaustavlja, kada se pokrene u svom poµcetnom stanju µcitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu od n 1-ica na drugdje praznoj vrpci. No, to nije moguće jer bi se za niz od m 1-ica T m morao zaustaviti ako i samo ako se nikad ne zaustavlja kada se pokrene u svom poµcetnom stanju µcitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu od m 1-ica na drugdje praznoj vrpci. Ovaj će stroj, kada se primijeni na svoj broj m, ući u beskonaµcnu petlju ako i samo ako se bude zaustavio; a to je oµcigledno nemoguće. Ako bi bila zadovoljena pretpostavka po kojoj funkciju h izraµcunava stroj H, onda bi se mogao konstruirati stroj T m poput ovoga na slici dolje. H oznaµcava mjesto gdje bi se trebao naći dijagram toka za H. Cijeli stroj T m sadrµzi H kao svojodluµcivost dio. Ti izraµcunljivost m se zaustavlja samo
Problem odluµcivanja Dokaz neodluµcivosti Problem odluµcivanja je rješiv za neko svojstvo ako postoji mehaniµcki postupak ispitivanja koji kada se primjeni na bilo koji predmet odgovarajuće vrste, nakon konaµcnog broja koraka ispravno klasi cira taj predmet bilo kao pozitvnu instancu (primjer) bilo kao negativnu instancu (ne-primjer) svojstva o kojemu je rijeµc. U postupku ispitivanja moµzemo razlikovati pozitivni i negativni dio. Pozitivni dio postupka ispitivanja je mehaniµcki postupak koji klasi cira kao pozitivne sve pozitivne instance i samo njih. Sliµcno, negativni dio postupka ispitivanja je mehaniµcki postupak koji klasi cira kao negativne sve negativne instance i samo njih. Ako za neko svojstvo postoji i pozitivni i negativni dio postupka ispitivanja, onda i samo onda problem odluµcivanja za to svojstvo jest rješiv.
Odluµcivost u logici prvog reda Dokaz neodluµcivosti U logici nas zanimaju svojstva zadovoljivosti, valjanost i posljedice, a "predmeti" koje trebamo klasi cirati su skupovi reµcenica, reµcenice i skupovi parova saµcinjenih od skupova reµcenica i reµcenica. Vrijedno je podsjetiti se sljedećeg teorema: S je posljedica prvog reda skupa reµcenica T ako i samo ako T [ f:sg nije zadovoljivo. Ako je problem odluµcivosti za zadovoljivost rješiv onda je on rješiv i za posljedicu prvoga reda. Da bismo raspravu ograniµcili na reµcenice, preoblikovat ćemo prethodni teorem u istovrijednu tvrdnju: ^ P! S je valjana P 2T reµcenica prvoga reda akko ^ P ^ :S nije zadovoljiva reµcenica. P 2T
µcinjenice Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Za logiku prvoga reda postoji pozitivan mehaniµcki postupak provjere valjanosti ili, što je isto, negativan test zadovoljivosti. No ne postoji negativan test valjanosti ili, što je isto, ne postoji pozitivan test zadovoljivosti. Pozitivan test Negativan test Valjanost DA NE Zadovoljivost NE DA
Primjer Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Jedan mehaniµcki postupak ispitivanja valjanosti i zadovoljivosti dan je u metodi gradnje istinitosnog stabla. Ako promatramo zadovoljivost reµcenice i zadovoljivost njezine negacije, onda postoje tri vrste reµcenica: (i) valjane reµcenice prvoga reda, koje su zadovoljive i µcija negacija nije zadovoljiva, (ii) kontingentne reµcenice, koje su zadovoljive i µcija negacija jest zadovoljiva, (iii) nezadovoljiva reµcenice, koje su nezadovoljive i µcija negacija jest zadovoljiva (tj. njihova negacija je valjana reµcenica prvoga reda). Poteškoća nastaje kada se susretnemo s reµcenicama kod kojih test ne završava. Što tada moµzemo zakljuµciti? Iskušajmo??
Vjeµzba Sposobnost uvida Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Primjer Ako ispitujemo zadovoljivost isf-e 8x9yR(x, y)! R(a, a) metodom gradnje istinitosnog stabla, postupak gradnje stabla ići će u beskonaµcnost. S druge strane, negacija te reµcenice, : (8x9yR(x, y)! R(a, a)) je zadovoljiva. Što znamo na osnovi testa koji ne završava? (i) 8x9yR(x, y)! R(a, a) bi mogla biti zadovoljiva, pa niti jedna iz ovog para kontradiktornih reµcenica ne bi bila valjana. (ii) No, 8x9yR(x, y)! R(a, a) bi mogla biti nezadovoljiva, pa bi njezina negacija mogla biti valjana reµcenica prvoga reda. Lako je uvidjeti da je (i) sluµcaj.
Um nije mehanizam Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti pokazuje da se ona ne moµze svesti na "mehaniµcko" raµcunanje već da se neka pitanja daju razriješiti samo na osnovi uvida.
Skica dokaza Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Dokaz neodluµcivosti logike prvoga reda obiµcno se provodi svo enjem na "halting problem". U takvom se dokazu pokazuje da kad bi logika prvoga reda bila odluµciva, onda bi problem zaustavljanja bio rješiv. No, kako drugo nije sluµcaj, onda ni prvo nije sluµcaj.