UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo Diplomsko delo ODPRTE PRESLIKAVE UVERIŽLJIVIH KONTINUUMOV Mentor: doc. dr. Iztok Banič Kandidatka: Sabina Skornšek Maribor, 2012

ZAHVALA Ničesar ne pričakujem, zato sem vedno neskončno hvaležen za preproste stvari. (Ralph W. Emerson) Zahvaljujem se mentorju, doc. dr. Iztoku Baniču za pomoč, strokovno vodenje in spodbudo pri izdelavi moje diplomske naloge. Iskrena hvala tudi staršem in bratu, ki so mi v tem lepem in pomembnem obdobju življenja stali ob strani, me vzpodbujali in mi kakorkoli pomagali. Hvala vsem.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisana Sabina Skornšek, rojena 02. decembra 1987, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa matematika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom ODPRTE PRESLIKAVE UVERIŽLJIVIH KONTINUUMOV pri mentorju doc. dr. Iztoku Baniču avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev. Maribor, 25. september 2012 Sabina Skornšek

Odprte preslikave uverižljivih kontinuumov program diplomskega dela Uverižljivi kontinuumi predstavljajo pomemben razred kontinuumov, saj predstavljajo natanko kontinuume, ki jih lahko predstavimo kot inverzne limite inverznih zaporedij zaprtih enotskih intervalov in zveznih veznih preslikav. V diplomskem delu naj bodo predstavljene osnovne lastnosti uverižljivih kontinuumov. Natančneje naj bodo opisane odprte preslikave na njih [1]. Opisani rezultati naj bodo ilustrirani tudi s primeri. Osnovni viri: [1] I. Rosenholtz, Open maps of chainable continua, Proceedings of the American Mathematical Society 42 (1974), 258-264. doc. dr. Iztok Banič

SKORNŠEK, S.: Odprte preslikave uverižljivih kontinuumov. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalnšitvo, 2012. IZVLEČEK V diplomskem delu bomo v uvodnem poglavju skupaj s primeri predstavili osnovne pojme v topologiji, povezane in kompaktne prostore. V drugem poglavju bomo definirali kontinuume in si pogledali nekaj osnovnih primerov. Del poglavja je namenjen uverižljivim kontinuumom, kjer bomo definirali nekaj lastnosti le-teh. V tretjem poglavju se bomo seznanili z odprtimi preslikavami v povezavi z uverižljivimi kontinuumi. Dokazali bomo pomemben izrek, ki pravi, da je slika vsakega uverižljivega kontinuuma z odprto preslikavo spet uverižljiv kontinuum. Zanimiva teorija se razvije v četrtem poglavju v povezavi z lokalnimi homeomorfizmi. Dokazali bomo, da če je preslikava iz uverižljivega kontinuuma na nek prostor lokalni homeomorfizem, potem je homeomorfizem. Omenjena dokaza iz tretjega in četrtega poglavja pa sta tudi najpomembnejša rezultata diplomskega dela. Ključne besede: Kontinuum, Uverižljiv kontinuum, Odprta preslikava, Lokalni homeomorfizem Math. Subj. Class. (2010): 54C10; 54D05; 54E45; 54F15

SKORNŠEK, S.: Open maps of chainable continua. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2012. ABSTRACT In introductory chapter of graduation thesis we introduce basic concepts of topology, connected spaces and compact spaces with basic examples. In second part of graduation thesis we define the concept of continuum with examples. The second part of the section is dedicated to chainable continua, where some characteristics of them are presented. In the third section we introduce open maps and their relations to chainable continua. We prove important theorem which says that image of a chainable continuum with open map is a chainable continuum. An interesting theory is developed in fourth section describing results of local homeomorphism. We prove that a local homeomorphism of chainable continua onto another space is actually a homeomorphism. Mentioned results from the third and the fourth section are the most important results of graduation thesis. Key words: Continuum, Chainable continuum, Open map, Local homeomorphism Math. Subj. Class. (2010): 54C10; 54D05; 54E45; 54F15

Kazalo Uvod 1 1 Osnovni pojmi 2 1.1 Povezanost.................................... 8 1.2 Kompaktni prostori............................... 13 2 Kontinuumi 19 2.1 Kontinuumi.................................... 19 2.2 Uverižljivi kontinuumi.............................. 21 2.3 Psevdolok..................................... 27 3 Odprte preslikave 28 4 Homeomorfizmi in lokalni homeomorfizmi 33 4.1 Homeomorfizmi.................................. 33 4.2 Lokalni homeomorfizmi............................. 35 Literatura 37 ix

Uvod V diplomskem delu bomo govorili o uverižljivih kontinuumih in odprtih preslikavah na njih. Glavni rezultat diplomskega dela je, da če je X uverižljiv kontinuum in f odprta preslikava iz X na Y, potem je Y tudi uverižljiv kontinuum. Kontinuum je povezan metrični prostor. Da pa je uverižljiv pa pomeni, da je mogoče X pokriti z verigo s poljubno majhnimi členi. Kontinuume uporabljamo tudi v povezavi z lokalnimi homeomorfizmi. Zato je eden izmed pomembnih rezultatov tudi ta, da če je X uverižljiv kontinuum in preslikava f iz X na Y lokalni homeomorfizem, potem je f homeomorfizem. V uvodnem poglavju bomo definirali osnovne pojme, ki jih bomo v nadaljevanju potrebovali. Ogledali si bomo tudi nekaj osnovnih primerov. V nadaljevanju bomo definirali pojem kontinuuma in uverižljivega kontinuuma, ter ta dva pojma povezali z odprtimi preslikavami in homeomorfizmi. 1

Poglavje 1 Osnovni pojmi V tem poglavju bomo definirali nekaj osnovnih pojmov, ki se bodo v nadaljevanju pojavljali. Prav tako bomo navedli nekatere pomembne izreke, ter nekaj primerov za lažje razumevanje posameznih pojmov. Definicija 1.1 Metrični prostor (X, d) je množica X s funkcijo d : X X R, za katero za vsak x, y in z velja: 1. d(x, y) 0; 2. d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x = y; 3. d(x, y) = d(y, x); 4. d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Primer 1.2 Naj bo prostor X = R 2 in funkcija d : R R R. Potem je s predpisom d(x, y) = x y definirana metrika na X. Primer 1.3 Preverimo, če je s predpisom d 1 (T 1, T 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 definirana metrika na R 2. Dokazati moramo štiri točke definicije: 1. d 1 (T 1, T 2 ) 0 To velja, ker je vsaka izmed absolutnih vrednosti vedno večja ali enaka nič. 2

3 2. d 1 (T 1, T 2 ) = 0 T 1 = T 2 Najprej predpostavimo, da je d 1 (T 1, T 2 ) = 0. Iz tega sledi, da je x 1 x 2 = 0 x 1 = x 2 in y 1 y 2 = 0 y 1 = y 2. Torej je res T 1 = T 2. Sedaj pa predpostavimo obratno. Da je d 1 (T 1, T 2 ) = 0, je očitno. 3. d 1 (T 1, T 2 ) = d 1 (T 2, T 1 ) x 1 x 2 + y 1 y 2 = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 ) = 1 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = d 1 (T 2, T 1 ). V predpisu smo izpostavili minuse in dobili željeno. 4. d 1 (T 1, T 3 ) d 1 (T 1, T 2 ) + d 1 (T 2, T 3 ) Kar želimo dokazati je trikotniška neenakost. x 1 x 3 + y 1 + y 3 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + y 1 y 2 + y 2 y 3 x 1 x 2 + x 2 x 3 + y 1 y 2 + y 2 y 3 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + x 2 x 3 + y 2 y 3 = d 1 (T 1, T 2 ) + d 1 (T 2, T 3 ). Definicija 1.4 Podmnožica U X je odprta v metričnem prostoru (X, d), če za vsak x U obstaja takšen r > 0, da je K(x, r) U. Pri tem K(x, r) označuje odprto kroglo s središčem v x in radijem r. Prazna množica in celotna množica X sta hkrati odprti in zaprti v X. Definicija 1.5 Topologija na množici X je družina T podmnožic množice X, za katero velja: 1., X T ; 2. za vsak λ Λ velja, da je U λ T. Potem je λ Λ U λ T ; 3. če U, V T, potem U V T. Topološki prostor je par (X, T ), v katerem je X množica in T topologija na njej. Primer 1.6 X. Če je množica X = {a} množica z eno točko, je T = {, {a}} topologija na Primer 1.7 Naj bo X = N in za vsak n N velja: U n = {1, 2, 3,..., n}. Zanima nas, če je s predpisom T = {, X} {U n ; n N} definirana topologija na X. Preverimo lastnosti definicije 1.5 :

4 1. Očitno je, X T. 2. Brez izgube za splošnost predpostavimo, da so množice oblike U n1, U n2,..., U nk,... T. Dokazati moramo da velja k=1 U n k T. Če je n 1 = 1, n 2 = 2,... dobimo {1}, {1, 2},... Torej če maksimum množice {n k ; k N} ne obstaja, potem je k=1 U n k = N, kar je vredu. Če pa maksimum množice {n k ; k N} obstaja, potem je k=1 U n k = U max{nk ;k N}, kar je tudi vredu. 3. Da je U n U m = U min{n,m} T je očitno. Torej je T res topologija na X. Vsak metrični prostor (X, d) lahko opremimo s topologijo T d vseh odprtih podmnožic od X. Zato lahko na vsak metrični prostor (X, d) gledamo kot na topološki prostor (X, T d ). Definicija 1.8 Naj bo (X, T ) topološki prostor. Pravimo, da je (X, T ) metrizabilen, če lahko na X definiramo takšno metriko d : X X R, da je T = T d. Primer 1.9 Naj bo X = {a, b} in topologija T = {, X, {a}} na X. Zanima nas, če obstaja metrika d na X, tako da bo T = T d. Denimo, da je d metrika na X, d(a, b) = r 0, d(a, a) = 0 in d(b, b) = 0. Topologija T d je definirana s predpisom T d = {U X; x U r > 0 : K(x, r) U}. Vzemimo U = {a}. Seveda U T. Ali obstaja takšen r > 0, da bo U T d? Naj bo r r 0 poljubno izbran. Potem je K(a, r) = {a}. Po drugi strani pa je {b} = K(b, r) T dr. Ampak K(b, r) ne pripada T. Torej na X ni možno definirati take metrike d, da bi veljalo T = T d. Ta prostor torej ni metrizabilen. Definicija 1.10 Naj bo (X, T ) topološki prostor in B P(X). Pravimo, da je B baza topologije T, če velja: 1. B T (v bazi so same odprte množice) 2. vsak U T lahko zapišemo kot unijo množic iz družine B.

5 Primer 1.11 Naj bo B = {(a, ); a R}. katero je B baza. Zanima nas, če obstaja topologija na R, za Preverimo lastnosti: 1. a R (a, ) = R velja. 2. Dokazati moramo, da za vsak B 1, B 2 B, ter za vsak x B 1 B 2 obstaja B B, tako da: x B B 1 B 2. Vemo, da je B 1 = (a, ) in B 2 = (b, ). Presek množic B 1 in B 2 pa je: B 1 B 2 = (max {a, b}, ). Za B torej vzamemo B = B 1 B 2. V nadaljevanju bomo definirali nekaj primerov topologij. Definirali bomo produktno topologijo, kvocientno topologijo in koinducirano topologijo. Definicija 1.12 bazo množico Če sta (X, T ) in (Y, S) topološka prostora, tedaj topologijo U, ki ima za B = {V W ; V T, W S}, imenujemo produktna topologija na X Y dobljena iz (X, T ) in (Y, S). Izrek 1.13 Obstaja topologija na X Y, za katero je B baza. Dokaz. Dokažimo, da za vsaki množici B 1, B 2 B in za vsako točko (x, y) B 1 B 2 obstaja množica B B, tako da je (x, y) B B 1 B 2. Naj bosta B 1 in B 2 poljubni množici iz B. B 1 = V 1 W 1 in B 2 = V 2 W 2, kjer sta množici V 1 in V 2 iz T in množici W 1 in W 2 iz S. B 1 B 2 = (V 1 W 1 ) (V 2 W 2 ) = (V 1 V 2 ) (W 1 W 2 ). (V 1 V 2 ) T in (W 1 W 2 ) S, zato je B 1 B 2 B. Torej za B izberemo B 1 B 2 in zato taka topologija T res obstaja. Definicija 1.14 Naj bo f : X Y poljubna surjektivna funkcija in T topologija na X. Tedaj topologiji S = { V Y ; f 1 (V ) T }

6 pravimo kvocientna topologija na X, dobljena iz X, T in f. Definicija 1.15 Če sta (X, T ) in (Y, S) topološka prostora, tedaj je surjektivna f : (X, T ) (Y, S) kvocientna preslikava, če za vsako podmnožico V prostora Y velja, da je V S natanko tedaj, ko je f 1 (V ) T. Definicija 1.16 Naj bodo (X λ, T λ ) topološki prostori, Y množica in f λ : (X λ, T λ ) Y funkcije. Največjo topologijo S na Y, kjer so vse funkcije f λ : (X λ, T λ ) (Y, S) zvezne, imenujemo koinducirana topologija. Definicija 1.17 Lastnost L je topološka lastnost, če velja: če ima (X, T ) lastnost L in če obstaja homeomorfizem f : (X, T ) (Y, S), tedaj ima tudi (Y, S) lastnost L. V nadaljevanju sledijo topološke lastnosti, ki jih imenujemo separacijske lastnosti topoloških prostorov. Definicija 1.18 Naj bo (X, T ) topološki prostor in x X. Množica N X je okolica točke x, če velja da: 1. je x N; 2. obstaja takšna množica U T, da je x U in U N. Okolica N je odprta okolica točke x, če je N odprta v X in hkrati okolica točke x. Definicija 1.19 Naj bo (X, T ) topološki prostor in A zaprta podmnožica X. Pravimo, da je N X okolica množice A, če velja: 1. A N 2. obstaja takšna množica U T, da je A U N. Definicija 1.20 Naj bo (X, T ) topološki prostor. (X, T ) ima lastnost T 1, če za poljubni različni točki x, y X obstaja množica U T, da je x U in y / U. Definicija 1.21 Naj bo (X, T ) topološki prostor. (X, T ) ima lastnost T 2, oziroma je Hausdorffov prostor, če za poljubni različni točki x, y X obstajata odprti okolici U in V teh točk, da velja

7 x U, y V, U V =. Definicija 1.22 Naj bo (X, T ) topološki prostor. (X, T ) ima lastnost T 3, če za poljubno neprazno zaprto množico A v X in poljubno točko x X \A obstaja takšna odprta okolica U množice A in takšna odprta okolica V točke x, da je A podmnožica U, x V in U V =. Definicija 1.23 Naj bo (X, T ) topološki prostor. (X, T ) ima lastnost T 4, če za poljubni disjunktni zaprti množici A in B v X obstajata takšni odprti množici U T in V T, da velja: A U, B V U V =. Velja: 1. Topološkemu prostoru, ki ima lastnost T 1, pravimo T 1 -prostor. 2. Topološkemu prostoru, ki ima lastnost T 2, pravimo T 2 -prostor. 3. Topološkemu prostoru, ki ima lastnost T 3, pravimo T 3 -prostor. 4. Topološkemu prostoru, ki ima lastnost T 4, pravimo T 4 -prostor. Definicija 1.24 Topološki prostor je regularen, če je T 1 -prostor in T 3 -prostor. Definicija 1.25 Topološki prostor je normalen, če je T 1 -prostor in T 4 -prostor. Naslednji trditvi se navezujeta na separacijske lastnosti. Trditev 1.26 Naj bo (X, T ) topološki prostor. Tedaj sta naslednji trditvi ekvivalentni: 1. X je T 1 -prostor 2. za vsak x X velja, da je {x} zaprta množica v X. Dokaz. Najprej dokažemo implikacijo (1) (2). Naj bo x X poljuben. Dokazati je potrebno, da je {x} zaprta v X. Naj bo y X\ {x}. Iščemo tako množico U T, da je y U X\ {x}. Seveda je x y, saj je y U X\ {x}. Ker je prostor X T 1 -prostor, za poljubni različni točki x, y X obstaja množica U T, tako da je y U in x / U. Iz tega sledi, da je y U X\ {x}. Dokazati je potrebno še implikacijo (2) (1). Vemo, da za vsak x X velja, da je {x} zaprta v X. Dokazati moramo, da iz tega sledi,

1.1 Povezanost 8 da je X T 1 -prostor. Izberimo poljubni točki x, y X in x y, če ima X vsaj dve točki, iščemo takšno množico U T, da bo x U in y / U. Takšna množica je množica U = X \ {y}, ki je odprta, saj je {y} zaprta. Trditev 1.27 Topološki prostor X je T 3 -prostor natanko tedaj, ko za vsako točko x X in za vsako okolico U točke x obstaja takšna zaprta okolica Z točke x v X, da je Z U. To pomeni, da ima vsaka točka poljubno majhne zaprte okolice. Dokaz. Naj bo X T 3 -prostor, x X in U okolica točke x v X. Predpostavimo lahko, da je U odprta. Ker je X \ U zaprta in x / X \ U, obstaja takšna odprta okolica V točke x in takšna odprta okolica W množice X \ U, da je V W =. Tedaj je X \ W zaprta okolica točke x in X \ W U. Sedaj pa predpostavimo, da je x X, B zaprta podmnožica X in x / B. Ker je X \B odprta okolica točke x, po predpostavki obstaja takšna zaprta okolica Z točke x, da je Z X \ B. Zdaj je V = X \ Z odprta okolica množice B. Ker je Z okolica točke x, obstaja takšna odprta okolica U točke x, da je U Z. Zdaj je U V Z V =. 1.1 Povezanost Definicija 1.28 Naj bo (X, T ) topološki prostor. Paru množic U, V T pravimo separacija prostora X, če velja: 1. U in V 2. X = U V 3. U V = Definicija 1.29 Naj bo (X, T ) topološki prostor. separacijo. Sicer je povezan. Tedaj je (X, T ) nepovezan, če ima Izrek 1.30 Prostor X je povezan natanko tedaj, ko sta edini podmnožici, ki sta hkrati odprti in zaprti v X, X in. Dokaz. Najprej bomo dokazali, da če je prostor X povezan, potem sta edini podmnožici ki sta hkrati odprti in zaprti v X, X in. Vemo, da je X povezan. To pomeni, da ne obstaja separacija za X. Naj bo A prava neprazna podmnožica X, ki je hkrati odprta in zaprta. Definirajmo množici U in V na naslednji način :

1.1 Povezanost 9 U = A in V = X \ A. Ker je U = A X, je V = X \ A neprazna. Velja še: U V = A (X \ A) = X. Iz tega sledi, da sta U in V separacija za X. To pa je protislovje s predpostavko, da je X povezan prostor. Dokazati je potrebno še, da če sta X in edini neprazni podmnožici, ki sta hkrati odprti in zaprti v X, potem je X povezan prostor. Recimo, da X ni povezan. Potem obstajata množici U in V, ki sta neprazni, odprti, disjunktni in U V = X. Naj bo A = U odprta in U = X \ V. Ker je U odprta, prava in neprazna podmnožica X sledi, da je A zaprta in odprta. Torej sta edini možnosti naslednji: A = X ali A =. To pa je protislovje s predpostavko ki pravi, da X ni povezan prostor. Lema 1.31 Če množici C in D tvorita separacijo prostora X in če je Y povezan podprostor prostora X, potem Y v celoti leži v eni izmed množic C in D. Dokaz. Ker sta obe množici C in D odprti v X, sta množici C Y in D Y odprti v Y. Ti dve množici sta disjunktni in njuna unija je cel prostor Y. Če bi bili neprazni, potem bi tvorili separacijo prostora Y, zato je ena izmed teh dveh množic prazna in mora Y v celoti ležati v C ali D. Izrek 1.32 Naj bo A povezan podprostor prostora X. Če je A B A, potem je B prav tako povezan. Dokaz. Naj bo A povezan in naj bo A B A. Predpostavimo, da je B = C D separacija B. Iz leme 1.31 sledi, da mora A v celoti ležati v C ali v D. Predpostavimo, da je A C. Potem je A C, ker sta C in D disjunktni množici, B ne seka D. To pa je v protislovju z dejstvom, da je D neprazna podmnožica od B. Opomba 1.33 Iz izreka 1.32 sledi, da je A povezan prostor, če je A povezan prostor. Izrek 1.34 Zvezna slika povezanega prostora je povezan prostor. Dokaz. Naj bo f : X Y zvezna preslikava in naj bo X povezan prostor. Pokazati želimo, da je množica Z = f(x) povezana. Ker je preslikava, ki jo dobimo iz f z zožitvijo na prostor Z, tudi zvezna, je dovolj, da gledamo primer zvezne surjektivne preslikave

1.1 Povezanost 10 g : X Y. Predpostavimo, da je Z = A B separacija za Z. Potem sta g 1 (A) in g 1 (B) disjunktni množici, katerih unija je cel prostor X. Množici g 1 (A) in g 1 (B) sta odprti v X, saj je g zvezna funkcija, in neprazni, saj je g surjektivna funkcija. Našli smo separacijo prostora X, kar pa je v protislovju s predpostavko, da je X povezan prostor. Torej ne obstaja separacija prostora Z in zato je zvezna slika povezanega prostora povezan prostor. Izrek 1.35 Naj bo f : X Y zvezna, surjektivna funkcija in X povezan prostor. Potem je tudi Y povezan prostor. Dokaz. Izrek je posledica izreka 1.34. Definicija 1.36 Naj bosta x in y točki iz prostora X. Pot v X od točke x do točke y je zvezna funkcija f : [a, b] X, [a, b] R, tako da f(a) = x in f(b) = y. Prostor X je povezan s potmi, če za vsak par točk iz prostora X obstaja pot od prve do druge točke v X. Izrek 1.37 Vsak s potmi povezan prostor X je povezan. Dokaz. Pa recimo, da s potmi povezan prostor X ni povezan. Potem obstaja separacija X = A B prostora X. Pa naj bo f : [a, b] X, [a, b] R poljubna pot v prostoru X. Vemo, da je zvezna slika f([a, b]) povezane množice povezana množica. Zato v celoti leži v A ali v B. Torej ni poti v X, ki bi povezovala neko točko iz A z neko točko iz B. To pa je protislovje s tem, da je prostor X s potmi povezan prostor. Opomba 1.38 Obrat izreka ne drži. Povezan prostor ni nujno s potmi povezan. Na primer množica S = { (x, sin 1 x ); 0 < x 1} je povezana množica v R 2, vendar pa ni povezana s potmi. Izrek 1.39 Zvezna slika s potmi povezanega prostora je povezana s potmi.

1.1 Povezanost 11 Dokaz. Naj bo X povezan s potmi in g : X Y zvezna, surjektivna funkcija. Dokazati želimo, da je prostor Y povezan s potmi. Ker je g surjektivna, zato je Y = g(x). Naj bosta a, b Y poljubni točki. Iščemo pot v Y od a do b. Vemo, da je funkcija g surjektivna, zato obstajata takšna x, y X, tako da velja g(x) = a in g(y) = b. Ker je X s potmi povezan prostor, potem obstaja funkcija f : [0, 1] X tako da je f(0) = x in f(1) = y. Iz tega pa sledi, da je f g pot v Y od točke a do točke b. Definicija 1.40 Prostor X je lokalno povezan v točki x, če za vsako odprto okolico U od x obstaja odprta povezana okolica V od x, tako da x V U. Če je X lokalno povezan v vsaki točki pravimo, da je lokalno povezan. Definicija 1.41 Prostor X je lokalno povezan s potmi v x, če za vsako odprto okolico U od x, obstaja odprta s potmi povezana okolica V od x, tako da x V U. Če je X lokalno s potmi povezan v vsaki točki, potem pravimo, da je lokalno s potmi povezan. Primer 1.42 Naj bo dan prostor X = {(x, y); y = 0} { (x, y); x > 0, y = 1 x} R 2. Zanima nas, ali je prostor X povezan. Označimo množici A = {(x, y); y = 0} in B = { (x, y); x > 0, y = x} 1. Vemo da je X = A B. Podmnožici A in B množice X sta neprazni, odprti v X in disjunktni. Torej sta separacija za prostor X. Iz tega pa sledi, da prostor X ni povezan. Primer 1.43 Ali je unija družine povezanih podmnožic topološkega prostora, ki imajo skupno točko, povezana? Naj bo {A λ } družina povezanih podmnožic in naj bo p λ Λ A λ. Ali je torej λ Λ A λ = Y povezana? Pa recimo, da ni povezana. Potem obstaja separacija prostora Y = C D. Zato velja, da je C D = in C, D. Vemo, da je p A λ za vsak λ Λ. Zato je tudi p λ Λ A λ = Y. Iz tega pa sledi, da je p C ali p D. Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo, da je p C. Ker je A λ Y povezana podmnožica sledi, da je A λ C ali A λ D. Za vsak λ Λ velja, da je p A λ. Iz tega sledi, da je A λ C za vsak λ Λ. Zato velja, da je λ Λ A λ C. Iz tega pa sledi, da je D =. To pa je protislovje s predpostavko, da D. Torej je λ Λ A λ = Y povezana množica.

1.1 Povezanost 12 Slika 1.1: Kartezični produkt povezanih prostorov. Primer 1.44 Kartezični produkt povezanih prostorov je povezan. Naj bosta X in Y povezana prostora. Zanima nas, če je X Y tudi povezan prostor. Vzemimo točko (a, b) X Y. X {b} je povezan prostor, ki je homeomorfen prostoru X (slika 1.1). Naj bo funkcija f : X {b} X in f(x, b) = x. Točka x X in {x} Y povezan in homeomorfen z Y. Zato je prostor T x = (X {b}) ({x} Y ) povezan, saj je (x, b) skupna točka. Tvorimo unijo x X T x. Vemo, da je x X T x X Y. Vzemimo točko (a, c) X Y. Iz tega sledi, da je (a, c) T a = (X {b}) ({a} Y. To pa je podmnožica x X T x. Zato je unija x X T x = X Y. Torej je kartezični produkt povezanih prostorov res povezan prostor. Podobno lahko dokažemo, da je produkt poljubno mnogo povezanih prostorov spet povezan prostor. Primer 1.45 Naj bo dan prostor S = { (x, sin 1 x ); 0 < x 1} (slika 1.2). Zanima nas, ali je prostor S povezan.

1.2 Kompaktni prostori 13 Slika 1.2: sin 1 x kontinuum. Množica S je slika povezane množice (0, 1], glede na zvezno funkcijo. Zato je S povezana. S je unija krivulje S in daljice {0} [ 1, 1]. S je povezana v R 2. Sinusna krivulja S je povezana, vendar pa ni povezana s potmi. 1.2 Kompaktni prostori Definicija 1.46 Pokritje prostora X je takšna družina A podmnožic prostora X, da je unija teh podmnožic cel prostor X. Definicija 1.47 Odprto pokritje je pokritje topološkega prostora z odprtimi množicami. Definicija 1.48 Podpokritje je poddružina družine, ki je sama pokritje. Definicija 1.49 Prostor X je kompakten, če za vsako odprto pokritje za X obstaja končno podpokritje. Opomba 1.50 Včasih bomo tudi rekli, da je množica X kompaktna, kar bo pomenilo, da je kompakten prostor X. Izrek 1.51 Vsaka zaprta podmnožica kompaktnega prostora je kompaktna.

1.2 Kompaktni prostori 14 Dokaz. Naj bo A zaprta podmnožica kompaktnega prostora X in naj bo U poljubno odprto pokritje množice A v X. Ker je tedaj U {X \ Y } odprto pokritje prostora X, lahko izberemo takšne množice U 1, U 2..., U n U, da je U 1 U 2... U n {X \ Y } = X. Od tod pa sledi, da je A U 1 U 2... U n. Izrek 1.52 Slika kompaktnega prostora z zvezno preslikavo je kompaktna. Dokaz. Naj bo funkcija f : X Y zvezna in naj bo X kompakten prostor. Naj bo Q odprto pokritje za f(x) z odprtimi množicami iz Y. P = { f 1 (A) A Q } je pokritje množice X. Te množice so odprte, ker je f zvezna funkcija. Od tod sledi, da lahko izberemo končno mnogo množic iz P, ki bodo pokritje prostora X, ker je X kompakten. Recimo, da je f 1 (A 1 ), f 1 (A 2 ),..., f 1 (A n ) pokritje za X. Potem so množice A 1, A 2,..., A n pokritje za f(x). Torej je slika kompaktnega prostora z zvezno preslikavo res kompaktna. Izrek 1.53 Produkt končno mnogo kompaktnih prostorov je kompakten. Dokaz. Dokažimo, da je produkt dveh kompaktnih prostorov kompakten prostor. Izrek za poljuben končni produkt sledi z indukcijo. KORAK 1: Predpostavimo, da imamo podana prostora X in Y, kjer je Y kompakten prostor. Predpostavimo tudi, da je x 0 točka iz X, in da je N odprta množica v X Y, ki vsebuje del {x 0 } Y iz X Y. Dokazali bomo, da obstaja takšna okolica W točke x 0 iz X, da N vsebuje celotno množico W Y. Množico W Y pogosto imenujemo cev prostora {x 0 } Y. Najprej pokrijmo {x 0 } Y z baznimi elementi U V (za topologijo na X Y ), ki ležijo v okolici N. Prostor {x 0 } Y je kompakten, saj je homeomorfen prostoru Y, zato lahko {x 0 } Y pokrijemo s končno mnogo baznimi elementi U 1 V 1, U 2 V 2,..., U n V n. Pri tem predpostavimo, da vsak izmed baznih elementov U i V i seka {x 0 } Y, saj bi bil sicer ta bazni element odveč. Pridobili bi ga lahko iz končne družine množic in bi vseeno imeli pokritje {x 0 } Y. Definirajmo W z naslednjim predpisom W = U 1 U 2... U n.

1.2 Kompaktni prostori 15 Slika 1.3: Cev W Y. Množica W je odprta in vsebuje x 0, saj vsaka množica U i V i seka prostor {x 0 } Y. Upoštevamo tudi, da množice U i V i, ki smo jih izbrali za pokritje dela {x 0 } Y, pokriva tudi cev W Y (slika 1.3). Naj bo (x, y) točka iz W Y. Točka (x 0, y) iz dela {x 0 } Y ima s to točko enako y- koordinato. Točka (x 0, y) pripada U i V i za nek i, tako da je y V i. Vendar je x U j za vsak j, saj je x W. Tako smo dobili, da je (x, y) U i V i, kot smo želeli. Ker vse množice U i V i ležijo v N in pokrivajo W Y, tudi cev W Y leži v N. KORAK 2: Sedaj dokažimo izrek. Naj bosta X in Y kompaktna prostora. Naj bo Q odprto pokritje X Y. S podano točko x 0 X je del {x 0 } Y kompakten in ga zato lahko pokrijemo s končno mnogo elementi A 1, A 2,... A m iz Q. Njihova unija N = A 1 A 2... A m je odprta množica, ki vsebuje {x 0 } Y. Iz prvega koraka sledi, da odprta množica N vsebuje cev W Y, ki pripada {x 0 } Y, kjer je W odprta v X. Potem je W Y pokrit s končno mnogo elementi iz Q. Množica vseh okolic W x je odprto pokritje prostora X, zato iz kompaktnosti prostora X sledi, da obstaja končna podmnožica {W 1, W 2,..., W k }, ki je pokritje prostora X. Unija cevi W 1 Y, W 2 Y,..., W k Y

1.2 Kompaktni prostori 16 je celoten prostor X Y. Ker lahko vsako cev pokrijemo s končno mnogo elementi iz Q, lahko pokrijemo tudi celoten prostor X Y. Definicija 1.54 Prostor X je lokalno kompakten v točki x, če obstaja kompaktna okolica točke x. Prostor je lokalno kompakten, če je lokalno kompakten v vsaki točki. Opomba 1.55 Vsak kompakten prostor je tudi lokalno kompakten. Primer 1.56 Ali je prostor R kompakten oziroma lokalno kompakten? Naj bo A = {(n, n + 2), n Z} odprto pokritje za R. Prostor R pa nima končnega pokritja, zato ni kompakten. Vendar pa je lokalno kompakten, saj za vsako točko x R obstaja E > 0, tako da velja: x [x E, x + E]. Primer 1.57 Ali je prostor X = {0} { 1 n ; n Z} R kompakten? Lokalno kompakten? A naj bo odprto pokritje za X. Naj bo A A, tako da 0 A. A pokrije vse točke iz X, razen morda končno mnogo: x 1, x 2,... x n. A 1 A : x 1 A 1 A 2 A : x 2 A 2. A n A : x n A n Podpokritje A A 1 A 2... A n pa je končno in odprto, zato je X kompakten. Prostor X je tudi lokalno kompakten, saj je vsak kompakten prostor tudi lokalno kompakten. Primer 1.58 Prostor X ima končno mnogo točk. Ali je prostor X kompakten? Naj bo X = {x 1, x 2,... x n }. Izberemo si: A 1 : x 1 A 1 A 2 : x 2 A 2. A n : x n A n

1.2 Kompaktni prostori 17 Slika 1.4: Množica A. Zato je A 1 A 2... A n = X, množice A 1, A 2,... A n pa tvorijo končno podpokritje. Torej je prostor X kompakten. Izrek 1.59 Podmnožica A na R n je kompaktna natanko tedaj, ko je zaprta in omejena. Dokaz. Najprej dokažimo implikacijo iz leve v desno. Predpostavimo, da je A kompaktna, in dokažimo, da je A zaprta in omejena. Vemo, da je R n Hausdorffov prostor. Ker je vsaka kompaktna podmnožica Hausdorffovega prostora zaprta v njem sledi, da je A zaprta. Ker je A kompaktna, jo lahko pokrijemo s končno mnogo odprtimi kroglami, kjer središča krogel gredo po A. A = {K(x, 1); x A} je odprto pokritje. Ker je A kompaktna, jo lahko pokrijemo s končno mnogo kroglami iz A: A K(x 1, 1) K(x 2, 1)... K(x n, 1). Vsaka takšna krogla je omejena, saj je diameter končen. Torej je unija teh odprtoh krogel omejena. Iz tega sledi, da je A omejena. Dokazati moramo še implikacijo iz desne proti levi. Sedaj predpostavimo, da je A zaprta in omejena. Dokazujemo pa, da je A kompaktna. Ker je A omejena, obstaja r > 0, tako da je K(0, r) A. Oglejmo si naprimer krogle v metriki d. To bo lažje, saj so intervali kompaktni. Od prej vemo, da je vsak zaprti interval kompakten. Torej bo njihov produkt tudi kompakten. Vemo, da je A zaprta podmnožica kompaktnega prostora in da je vsaka zaprta podmnožica kompaktnega prostora tudi kompaktna. Iz tega torej sledi, da je A kompaktna. Primer 1.60 Ali je množica A = { (x, 1 x ); 0 x 1} (slika 1.4) kompaktna? Množica A je zaprta v R 2, vendar pa ni omejena. Zato po izreku 1.59 A ni kompaktna.

1.2 Kompaktni prostori 18 Primer 1.61 Ali je množica S = { (x, sin 1 x ); 0 < x 1} kompaktna? Glej sliko 1.2. Množica S je omejena nad R 2, ker obstaja neka krogla, ki zajame vse. Ker pa 1 y 1 ni zraven, množica S ni zaprta. Zato po izreku 1.59 tudi ni kompaktna.

Poglavje 2 Kontinuumi 2.1 Kontinuumi Kontinuume lahko definiramo na poljubnih topoloških prostorih, vendar se bomo v nadaljevanju omejili le na metrične prostore. Definicija 2.1 Kontinuum je neprazen, kompakten in povezan metrični prostor. Definicija 2.2 Podprostor kakega kontinuuma, ki je tudi sam kontinuum, imenujemo podkontinuum. Definicija 2.3 Nedegeneriran prostor vsebuje več kot eno točko. Izrek 2.4 Metrični prostor, ki je homeomorfen kakšnemu kontinuumu, je tudi sam kontinuum. Dokaz. Ker je kontinuum kompakten in povezan vidimo, da je tak po izreku 1.34 in izreku 1.52 tudi metrični prostor, ki je homeomorfen kontinuumu. Sledi nekaj osnovnih primerov kontinuumov. Primer 2.5 Lok je vsak prostor, ki je homeomorfen zaprtemu intervalu [0, 1]. Ker je [0, 1] kontinuum, je po izreku 2.4 tudi lok kontinuum. 19

2.1 Kontinuumi 20 Primer 2.6 n-celica je prostor, ki je homeomorfen n-dimenzionalni zaprti krogli B n v R n, kjer je B n = {x R n ; x 1} za vsak n = 1, 2,... Ker je B n kontinuum, je po izreku 2.4 tudi n-celica kontinuum. Primer 2.7 n-sfera je prostor, ki je homeomorfen n-dimenzionalni sferi S n v R n+1, kjer je S n = { x R n+1 ; x 1 } za vsak n = 1, 2,... Ker je S n kontinuum, je po izreku 2.4 tudi n-sfera kontinuum. Primer 2.8 Hilbertova kocka je prostor, ki je homeomorfen števnemu kartezičnemu produktu i=1 I i, kjer je vsak I i = [0, 1] opremljen s produktno topologijo. Ker vemo, da je kartezični produkt povezanih prostorov povezan prostor, in da je produkt kompaktnih prostorov kompakten prostor, je i=1 I i kontinuum, saj je števni produkt metrizabilnih prostorov spet metrizabilen. Zato je po izreku 2.4 tudi Hilbertova kocka kontinuum. Primer 2.9 sin 1 x-kontinuum (slika 1.2) je zaprtje množice W, ki je definirana s predpisom W = { (x, sin 1 x ) R2 ; 0 < x 1 }. Zvezna slika povezanega prostora (0, 1], je W povezan in zato je tudi njegovo zaprtje povezan prostor. Prostor W je po izreku 1.51 kompakten. Torej, ker je kompakten in povezan, je sin 1 x-kontinuum, res kontinuum. Definicija 2.10 Kontinuum je dedno nerazcepen, če se noben podkontinuum ne da zapisati kot unija dveh pravih podkontinuumov.

2.2 Uverižljivi kontinuumi 21 2.2 Uverižljivi kontinuumi Definicija 2.11 Neprazna urejena družina D = {D 1, D 2,..., D n } odprtih množic je veriga, če velja, da D i D j natanko tedaj, ko i j 1. Element D i imenujemo i-ti člen verige D. Elementa D 1 in D n imenujemo robna člena verige. Členi, ki niso robni, so notranji členi verige D. Dva različna člena verige D sta sosedna člena natanko tedaj, ko je njun presek neprazen. Če p D 1, q D n in p, q / D 2 D 3...D n 1, pravimo verigi D veriga od p do q. Naj bo χ neka družina podmnožic prostora X. Z X bomo označevali unijo H χ H. Definicija 2.12 Veriga E je finejša od verige D, če je vsak člen verige E podmnožica kakšnega člena verige D. Definicija 2.13 Veriga E je strogo finejša od verige D, če je zaprtje vsakega člena verige E vsebovano v kakšnem členu verige D. V nadaljevanju označimo del E(i, j) = {E i, E i+1,..., E j } verige E. Definicija 2.14 Veriga E = {E 1, E 2,..., E n } je zvita v verigi D = {D 1, D 2,..., D m } (slika 2.1), če: 1. je veriga E finejša od verige D in 2. za vsako podverigo E(i, j), i < j verige E, ter za vse h, k {1, 2, 3,..., m} velja, da če E i D h, E j D k in je h k > 2, potem obstajata r, s {i + 1, i + 2,..., j 2, j 1}, tako da je E(i, j) = E(i, r) E(r, s) E(s, j), (s r)(j i) > 0 in sta E r D k+1 in E s D h 1, če k < h. Definicija 2.15 Kontinuum X je uverižljiv kontinuum, če je za vsako pozitivno realno število E, obstaja veriga C v X, ki pokrije X, tako da za vsak C C velja, da diameter od C manjši od E. Mi bomo v večini primerov uporabljali verige, katerih členi so odprte krogle. Pri tem velja še to, da C i seka C j natanko tedaj, ko je j = i 1, j = i ali j = i + 1. V grobem to pomeni, da je kontinuum X uverižljiv, če vsebuje odprto pokritje sestavljeno iz majhnih krogel, ki skupaj tvorijo verigo. Takšno odprto pokritje bomo imenovali E-veriga, odprte krogle C j pa so členi te verige.

2.2 Uverižljivi kontinuumi 22 Slika 2.1: Zvita veriga. Slika 2.2: Varšavski lok. Primer 2.16 Psevdolok, ki ga bomo v nadaljevanju spoznali, je po definiciji nedegeneriran, dedno razcepen kontinuum, ki se ga da uverižiti. Torej je psevdolok uverižljiv kontinuum. Primer 2.17 Varšavski lok X (slika 2.2) je kompakten metrični prostor. Torej ima vsako njegovo odprto pokritje neko končno podpokritje. Ker za vsak E > 0 obstaja E-veriga v X, ki pokrije X, je X uverižljiv kontinuum. Primer 2.18 Enostavna sklenjena krivulja (slika 2.3) pa ni uverižljiv kontinuum. Če bi bila enostavna sklenjena krivulja primer uverižljivega kontinuuma, potem bi vsebovala odprto pokritje, sestavljeno iz odprtih krogel C 1, C 2,..., C n, ki skupaj tvorijo verigo. Pri tem mora veljati še to, da C i seka C j natanko tedaj, ko je j = i 1, j = i ali j = i + 1. To pa v tem primeru ne velja, saj C n zmeraj seka C 1, to pa ni lastnost uverižljivih kontinuumov.

2.2 Uverižljivi kontinuumi 23 Slika 2.3: Enostavna sklenjena krivulja. Slika 2.4: Enotski interval. Primer 2.19 Enotski interval (slika 2.4) [0, 1] je očitno uverižljiv. Primer 2.20 Naj bo X sin 1 x -kontinuum in naj bo X zrcalna slika od X glede na premico x = 2 π. Naj bo Z = X X. Potem je Z uverižljiv kontinuum od (0, 1) do ( 4 π, 1) (slika 2.5). Cantorjeva množica C je primer neštevne množice, ki je definirana na intervalu [0, 1] na realni osi. Množico C konstruiramo na naslednji način: Začnemo z intervalom C 0 = [0, 1], in odstranimo srednje tretjinski odprti interval. Kar dobimo je C 1. Nato v vsaki povezani komponenti od C 1 spet odstranimo srednje tretjinski odprti interval. Kar dobimo označimo s C 2. Recimo, da smo že skonstruirali C i za nek i N. Tedaj dobimo C i+1 iz C i tako, da v

2.2 Uverižljivi kontinuumi 24 Slika 2.5: Kontinuum Z = X X. vsaki povezani komponenti od C i odstranimo srednje tretjinski odprti interval. Cantorjeva množica je definirana kot C = n N C n. Primer 2.21 Knasterjev kontinuum K (slika 2.6) definiramo na naslednji način: Kontinuum sestavljajo 1. polkrožnice na R 2 s pozitivno ordinato s središčem v točki ( 1 2, 0), ki potekajo skozi vsako točko Cantorjeve množice C, glej sliko (slika 2.6); 2. polkrožnice na R 2 z negativno ordinato s središčem v točki ( 5 2 3, 0) za vsak n N, ki n potekajo skozi vsako točko Cantorjeve množice C, ki leži na intervalu [ 2 1 3, ], glej n 3 n 1 sliko (slika 2.6). Izkaže se, da je Knasterjev kontinuum K uverižljiv.

2.2 Uverižljivi kontinuumi 25 Slika 2.6: Cantorjev kontinuum K. Slika 2.7: Lok. Definicija 2.22 Točko p uverižljivega kontinuuma X imenujemo krajišče kontinuuma X, če za vsak E > 0 obstaja E-veriga na X takšna, da samo prvi člen te verige vsebuje točko p. Primer 2.23 Lok (slika 2.7) je kontinuum, homeomorfen zaprtemu intervalu [0, 1]. Torej sta točki 1 in 0 njegovi edini krajišči, saj točko 1 vsebuje samo zadnji člen verige, točko 0 pa samo prvi člen verige, ki predstavlja odprto pokritje za lok. Primer 2.24 Psevdolok je uverižljiv kontinuum, za katerega velja, da je vsaka njegova točka krajišče. Torej vsako točko psevdoloka vsebuje samo en člen verige, ki je odprto pokritje psevdoloka. Zato je psevdolok tudi homeomorfizem. Dokaz najdemo v [1]. Definicija 2.25 Kontinuum X je ireducibilen med točkama p in q, če ne obstaja pravi podkontinuum Y od X, tako da p, q Y. Če je kontinuum ireducibilen med nekim parom svojih točk, potem je ireducibilen.

2.2 Uverižljivi kontinuumi 26 Primer 2.26 Lok je ireducibilen med svojima krajiščema, saj ne obstaja pravi podkontinuum loka, ki bi vseboval njegovi krajišči. Primer 2.27 Enostavna sklenjena krivulja ni ireducibilna, saj na njej obstaja pravi podkontinuum, ki vsebuje poljubni njeni točki. Primer 2.28 Zaprti interval [0, 1] ni ireducibilen med 1 3 in 2 3, saj je [ 1 3, 2 3 ] pravi podkontinuum, ki pa vsebuje 1 3 in 2 3. Opomba 2.29 Dokazati se da, da je verižljiv kontinuum vedno ireducibilen. Trditev 2.30 Naj bo X uverižljiv kontinuum in K njegov podkontinuum. Potem je K tudi uverižljiv. Dokaz. Naj bo E > 0. Če je X uverižljiv kontinuum, potem obstaja E-veriga D = {D 1, D 2,..., D n }, ki pokriva X. Naj bo i = min {k {1, 2,..., n} ; K D k } in naj bo j = max {k {1, 2,..., n} ; K D k }. Pokažimo, da je D = {D i K,..., D j K} E-veriga, ki pokriva K. Očitno je D finejša od E. Predpostavimo, da D ni veriga. Potem obstaja l {i,..., j 1} tako da (D l K) (D l+1 K) =. Zato K ( l m=i (D m K)) ( j m=l+1 (D m K)) in ( l m=i (D m K)) ( j m=l+1 (D m K)) =. To pa je protislovje s predpostavko, da je K povezan ker K D i in K D j. Torej D je veriga. Iz tega pa sledi, da je K uverižljiv.

2.3 Psevdolok 27 2.3 Psevdolok Definicija 2.31 Psevdolok je nedegeneriran dedno nerazcepen kontinuum, ki se ga da uverižiti. V nadaljevanju bo opisana konstrukcija psevdoloka v metričnih prostorih. Izrek 2.32 Naj bo X kompakten metrični prostor in p, q različni točki v X. Naj bo {D n } n=1 zaporedje verig v X, tako da za vsak n N velja 1. veriga D n poteka od točke p do točke q, 2. veriga D n+1 je strogo finejša od verige D n, 3. veriga D n je 1 n - veriga, 4. veriga D n+1 je zvita v verigi D n. Potem je M = n=1 D n psevdolok. Dokaz. [1] V [2] najdemo dokaz, da je psevdolok edini uverižljiv kontinuum, katerega neka točka je krajišče.

Poglavje 3 Odprte preslikave Zvezna preslikava je zvezna funkcija. Funkcija f : X Y je odprta, če je slika vsake odprte podmnožice iz X, tudi sama odprta podmnožica v Y. Definicija 3.1 Naj bosta (X, T ) in (Y, S) topološka prostora in f : (X, T ) (Y, S) funkcija. Funkcija f je zvezna, če za vsak U S velja, da je f 1 (U) T. Opomba 3.2 V nadaljevanju bodo vsi prostori metrični. Primer 3.3 Naj bo funkcija f : [0, 1] [0, 1] definirana s predpisom f(x) = x. Tedaj je f odprta, saj za vsako odprto množico U v [0, 1] velja, da je f(u) = U. Primer 3.4 Naj bo funkcija f : [0, 1] [0, 1] definirana s predpisom f(x) = x 2. Tedaj je f očitno odprta, saj je strogo monotona. Primer 3.5 Naj bo funkcija f : [0, 1] [0, 1] definirana s predpisom 2x za x 1 4, f(x) = 2x + 1 za x [ 1 4, 1 2 ], 2x 1 za x 1 2. Tedaj f ni odprta, saj za odprto množico U = (0.25, 0.5) velja, da f(u) = [0, 0.5] ni odprta v [0, 1] (slika 3.1). 28

29 Slika 3.1: Odprta funkcija f(x). Primer 3.6 Naj bo funkcija f : [0, 1] [0, 1] definirana s predpisom f(x) = 2x za x 1 5, 3x 1 za x [ 2 5, 3 5 ], x + 7 5 za x [ 3 5, 4 5 ], x + 3 5 za x [ 1 5, 2 5 ], 2x 1 za x 4 5. Tedaj f ni odprta, saj za odprto množico U = (0.2, 0.6) velja, da f(u) = [0.4, 0.8] ni odprta v [0, 1] (slika 3.2). Vidimo lahko, da če v funkciji obstajajo maksimumi in minimumi, ki so manjši od 1, potem funkcija ni odprta. Primer 3.7 Naj bo funkcija f : [0, 1] [0, 1] definirana s predpisom h(x) = 1 2. Tedaj f ni odprta, saj za odprto množico U = ( 1 3, 2 3 ) velja, da h(u) = 1 2 ni odprta v [0, 1] (slika 3.3). Izrek 3.8 Predpostavimo, da je X uverižljiv kontinuum in f : X Y odprta, zvezna in surjektivna preslikava. Potem je tudi Y uverižljiv kontinuum.

30 Slika 3.2: Odprta funkcija f(x). Slika 3.3: Odprta funkcija f(x).

31 Dokaz. Ker je f zvezna, surjektivna preslikava, je Y kompakten in povezan prostor. Iz tega sledi, da je Y kontinuum. Naj bo E > 0. Dokažimo, da obstaja E-veriga, ki pokrije Y. Ker je f zvezna, zato obstaja δ > 0, tako da velja, če je d(x, y) < δ, tedaj je d (f(x), f(y)) < E. Naj bo C 1, C 2,..., C n δ-veriga v X. Definirajmo: D 1 = f(c 1 ), D 2 = f(c 2 ), D 3 = f(c 3 ) f(c 1 ), D 4 = f(c 4 ) f(c 1 C 2 ), D 5 = f(c 5 ) f(c 1 C 2 C 3 ),. D j+2 = f(c j+2 ) f( j k=1 C k),. D n = f(c n ) f( n 2 k=1 C k). Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo, da so vse D i neprazne. Pokazali bomo, da je D E-veriga, ki pokrije Y. Vemo, da je vsak D k odprt, ker je f odprta preslikava. Po definiciji δ ima vsak D k premer manjši od E. Ker je C 1, C 2,..., C n δ-veriga na X opazimo, da je C k vsebovan v C k 1 C k C k+1 za vsak k. Zato je k j=1 C j vsebovano v k+1 j=1 C j. Potem D i vsebuje f(c i ) i 1 j=1 f(c j) za vsak i. Zato velja enakost f(c 1 ) f(c 2 )... f(c m ) = f(c 1 ) (f(c 2 ) f(c 1 ))... f((c m ) m 1 j=1 f(c j)) in je f(c 1 ) f(c 2 )... f(c m ) vsebovana v D 1 D 2... D m. Iz tega sledi, da je D pokritje za Y. Očitno je, da D j ne seka D k, če se j in k razlikujeta za več kot 1. Ker vemo, da je Y povezan in D pokritje za Y, iz tega sledi, da D k seka D k+1 za vsak k. Posledica 3.9 Nedegenerirna slika z odprto zvezno preslikavo loka je lok.

32 Dokaz. Po izreku 3.8 je nedegenerirana slika z odprto zvezno preslikavo loka uverižljiva. Edini uverižljivi s pozti povezan kontinuum pa je lok, [6]. Posledica 3.10 Naj bo X uverižljiv kontinuum in f : X Y zvezna, odprta in surjektivna preslikava. Potem je slika vsakega krajišča v X, krajišče v Y. Dokaz. Sledi iz dokaza izreka 3.8. Izrek 3.11 Nedegenerirana slika z odprto zvezno preslikavo psevdoloka je spet psevdolok. Dokaz. Naj bo f : P 1 P 2 zvezna, odprta in surjektivna, kjer je P 1 psevdolok. Po izreku 3.8 je P 2 uverižljiv kontinuum, saj je P 1 uverižljiv. Po posledici 3.10 je vsaka točka od P 2 krajišče od P 2. Iz dejstva, da je psevdolok edini uverižljiv kontinuum, katerega vse točke so krajišča sledi, da je tudi P 2 psevdolok.

Poglavje 4 Homeomorfizmi in lokalni homeomorfizmi 4.1 Homeomorfizmi Definicija 4.1 Naj bosta (X, T ) in (Y, S) topološka prostora in f : (X, T ) (Y, S) funkcija. Funkcija f je homeomorfizem, če velja: 1. f zvezna, 2. f bijektivna, 3. f 1 zvezna. Definicija 4.2 Topološka prostora sta homeomorfna, če obstaja homeomorfizem med njima. Izrek 4.3 Naj bo f : X Y zvezna, bijektivna funkcija. Če je X kompakten prostor in Y Haussdorfov prostor, potem je f homeomorfizem. Dokaz. Dokazati je potrebno, da so slike zaprtih množic v X, zaprte v Y. S tem dokažemo, da je f 1 zvezna. Če je neka množica A zaprta v X, sledi da je A kompaktna. Ker je Y Haussdorfov, je f(a) zaprta v Y, ker je f(a) kompaktna. Torej je f res homeomorfizem. Primer 4.4 Naj bo (X, T ) topološki prostor. Tedaj je id : (X, T ) (X, T ) homeomorfizem, saj je identiteta zvezna in bijektivna, njen inverz pa je zvezen. 33

4.1 Homeomorfizmi 34 Slika 4.1: Homeomorfizem f : [a, b] [c, d]. Slika 4.2: Homeomorfizem f : X Y. Primer 4.5 Naj bo f : ( π 2, π 2 ) R podana s predpisom f(x) = tan x. Potem je f(x) homeomorfizem. Primer 4.6 Naj bodo a < b in c < d, kjer so a, b, c, d R. Konstruirajmo homeomorfizem f : [a, b] [c, d] (slika 4.1). y c = d c d c b a (x a) y = b a (x a) + c Torej če definiramo funkcijo f takole: f(x) = d c b a (x a) + c, tedaj je f homeomorfizem. Primer 4.7 Poiščimo homeomorfizem f : X Y (slika 4.2), kjer je X = { (x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1, y 0 } in Y = { (x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1, x 0, y 0 }. Uporabimo polarne koordinate:

4.2 Lokalni homeomorfizmi 35 Slika 4.3: Homeomorfizem g : X Y. f(r, ϕ) = (r, ϕ 2 ) Funkcija f je zvezna, saj sta obe koordinati funkcije zvezni. Njen inverz pa je tudi zvezen. Primer 4.8 Naj bo X = { x R 2 ; x = 1 } [0, 1] R 3. Poiščimo takšen Y R 2, da bo X = Y. X je v R 3 plašč valja, v R 2 pa je kolobar. 4.3). Torej prostor Y je predstavlja kolobar (slika Naj bo g(r, ϕ, z) = (r + z, ϕ). Preverimo, če je to homeomorfizem. Funkcija g je zvezna in bijektivna, prav tako pa je zvezen tudi njen inverz. 4.2 Lokalni homeomorfizmi Definicija 4.9 Zvezna preslikava f : X Y je lokalni homeomorfizem, če za vsako točko x X obstaja odprta množica U, ki vsebuje x, tako da 1. f(u) je odprta v Y 2. f U : U f(u) je homeomorfizem. V splošnem je lokalni homeomorfizem zmeraj odprta preslikava.

4.2 Lokalni homeomorfizmi 36 Izrek 4.10 Naj bo X uverižljiv kontinuum in preslikava f : X Y lokalni homeomorfizem. Potem je f homeomorfizem. Dokaz. Vemo, da če je X uverižljiv kontinuum, je kompakten. Ker je f lokalni homeomorfizem in X kompakten, zaradi zveznosti f obstaja takšen δ > 0, da če je C krogla, katere premer je manjši od δ, potem je f, ki je zožena na C, homeomorfizem. Naj bo C 1, C 2,..., C n definirana kot: D 1 = f(c 1 ), D 2 = f(c 2 ), D 3 = f(c 3 ) f(c 1 ), D 4 = f(c 4 ) f(c 1 C 2 ), D 5 = f(c 5 ) f(c 1 C 2 C 3 ),. D j+2 = f(c j+2 ) f( j k=1 C k),. D n = f(c n ) f( n 2 k=1 C k). δ 3 veriga v X. Naj bo D 1, D 2,..., D n ustrezna veriga v Y, ki je Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo, da so vse D i neprazne. Za vsak j še velja, da je D j vsebovana v f(c j ).Zožitev f Cj je homeomorfizem, zato je funkcija (f Cj ) 1 : D j C j dobro definirana. Če je y D j D j+1, potem je y f(c j ) f(c j+1 ). Ker je f (Cj C j+1 ) homeomorfizem, je (f Cj ) 1 (y) = (f Cj+1 ) 1 (y). Torej je funkcija g : Y X, ki je definirana z g Dj = (f Cj ) 1, dobro definirana in zvezna. Ker je funkcija f(g(y)) = y za vsak y Y, je g injektivna. Zaradi zveznosti f pa je g odprta preslikava, ki je homeomorfizem na X. Funkcija f pa je njen inverz, zato je f homeomorfizem.

Literatura [1] I. Banič, Psevdolok: magistrsko delo, Pedagoška fakulteta, Maribor (2004) [2] R. H. Bing, Snake-like Continua, Duke Math. J., 18 (1951), 653-663. [3] S. Macias, Topics of Continua, Taylor Francis Group, Boca Raton, 2005. [4] J. R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall, England Cliffs, New Jersey, 1975. [5] S. B. Nadler, Continuum Theory: an introduction, Marcel Dekker, New York, 1992. [6] I. Rosenholtz, Open maps of chainable continua, Proceedings of the American Mathematical Society 42 (1974) str. 258 264. [7] B. Veit, Dekompozicije kontinuumov: diplomsko delo, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Maribor (2011) 37

Slike 1.1 Kartezični produkt povezanih prostorov..................... 12 1.2 sin 1 x kontinuum................................. 13 1.3 Cev W Y.................................... 15 1.4 Množica A.................................... 17 2.1 Zvita veriga.................................... 22 2.2 Varšavski lok................................... 22 2.3 Enostavna sklenjena krivulja........................... 23 2.4 Enotski interval.................................. 23 2.5 Kontinuum Z = X X............................. 24 2.6 Cantorjev kontinuum K............................. 25 2.7 Lok........................................ 25 3.1 Odprta funkcija f(x)............................... 29 3.2 Odprta funkcija f(x)............................... 30 3.3 Odprta funkcija f(x)............................... 30 4.1 Homeomorfizem f : [a, b] [c, d]......................... 34 4.2 Homeomorfizem f : X Y........................... 34 4.3 Homeomorfizem g : X Y........................... 35 38