STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT THE STUDY OF GEOMETRY AND TOPOLOGY OF CONTACT MANIFOLDS AND THEIR SUBMANIFOLDS PHD THESIS ABSTRACT Doctorand: CÎRNU A. Maria Conducător științific: Prof. univ. dr. Gheorghe PITIȘ Brașov 2011

MINISTERUL EDUCAȚIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ȘI SPORTULUI UNIVERSITATEA TRANSILVANIA BRAȘOV BRAȘOV, B-DUL EROILOR NR 29, 500036, TEL. 0040-268-413000, FAX 0040-268-410525 RECTORAT Către...... Vă aducem la cunoștință că în ziua de Vineri, 25 februarie 2011, ora 13, în corpul P, sala PP6, la Facultatea de MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ, va avea loc susținerea publică a tezei de doctorat intitulată STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR, elaborată de domnișoara CÎRNU A. Maria, sub conducerea științifică a Prof. univ. dr. Gheorghe PITIȘ, în vederea obținerii titlului științific de doctor în domeniul fundamental ȘTIINȚE EXACTE, domeniul MATEMATICĂ. Componența COMISIEI DE DOCTORAT, numită prin Ordinul Rectorului Universității Transilvania Brașov, Nr. 4451 din 04. 01. 2011 PREȘEDINTE: CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC: REFERENȚI: - Conf. Univ. dr. Eugen PĂLTĂNEA DECAN Facultatea de Matematică și Informatică Universitatea Transilvania Brașov - Prof. univ. dr. Gheorghe PITIȘ Universitatea Transilvania Brașov - Prof. univ. dr. Ion MIHAI Universitatea din București - Conf. univ. dr. Mircea CRÂȘMĂREANU Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iași - Prof. univ. dr. Gheorghe MUNTEANU Universitatea Transilvania Brașov Aprecierile și observațiile dumneavoastră asupra conținutului tezei pot fi trimise pe adresa Catedrei de Algebră, Geometrie și Ecuații diferențiale, Strada Iuliu Maniu, Nr 50, Corp P, Brașov, tel/fax +40268414016, e-mail: maria.cirnu@yahoo.com

STUDIUL GEOMETRIEI ŞI TOPOLOGIEI VARIETĂŢILOR DE CONTACT ŞI SUBVARIETĂŢILOR LOR Maria Cîrnu

ii

Cuprins Introducere v 1 Noţiuni de bază 1 1.1 Structuri aproape de contact şi de contact metrice....... 1 1.2 Structuri Sasaki, Kenmotsu şi generalizări ale lor........ 2 1.3 Probleme de curbură în varietăţi de contact.......... 3 1.4 Subvarietăţi remarcabile în varietăţi de contact........ 4 2 Stabilitate Chen în varietăţi (α, β) trans-sasaki şi în forme spaţiale Sasaki generalizate 7 2.1 Deformări de ordinul unu ale subvarietăţilor oblice şi semioblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki.............. 7 2.2 Deformări de ordinul doi ale subvarietăţilor oblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki........................ 9 2.3 Deformări de ordinul doi ale subvarietăţilor oblice în forme spaţiale Sasaki generalizate.................... 10 3 Coomologia subvarietăţilor în varietăţi (α, β) trans-sasaki 13 3.1 Geometria distribuţiilor unei subvarietăţi semi-oblice..... 13 3.2 Coomologie pe subvarietăţi semi-oblice............. 15 3.3 Forme Chern ale subvarietăţilor anti-invariante normale în forme spaţiale Sasaki generalizate (α, β) trans-sasaki..... 17 4 Probleme de existenţă pentru subvarietăţi în forme spaţiale Sasaki generalizate 21 4.1 Subvarietăţi paralele în forme spaţiale generalizate....... 21 4.2 Subvarietăţi pseudo-paralele în forme spaţiale Sasaki generalizate................................ 22 iii

iv 4.3 Subvarietăţi anti-invariante normale cu câmp conform închis în varietăţi Kenmotsu....................... 24 Bibliografie 29

Introducere Geometria varietăţilor de contact este o ramură modernă a geometriei diferenţiale, cu rezultate profunde şi cu aplicaţii multiple în fizica teoretică, în special în mecanica Hamiltoniană (depinzând de timp), în optică, electromagnetism. Rezultatele şi aplicaţiile obţinute în ultimul timp, au determinat mulţi matematicieni de mare valoare să se ocupe în mod intens de aceste varietăţi. Studiul subvarietăţilor semi-invariante, precum şi generalizări ale lor în varietăţile Sasaki, a fost făcut de A. Bejancu, N. Papaghiuc, [BP81], M. Kobayashi, [Ko81], K. Yano şi M. Kon, [YK82] şi alţii, obţinând rezultate deosebit de interesante ce ţin de proprietăţi ale lor şi integrabilitatea distribuţiilor ce le definesc. Noţiunea de subvarietate semi-invariantă este o generalizare a altor două clase de subvarietăţi ale unei varietăţi aproape de contact, şi anume: clasa subvarietăţilor invariante (cele cu distribuţia normală nulă) şi cea a subvarietăţilor anti-invariante (cele cu distribuţia invariantă nulă), ultimele fiind studiate intens de G. D. Ludden, M. Okumura şi K. Yano, [LOK77]. În cazul Kenmotsu, aceste subvarietăţi au fost studiate de N. Papaghiuc, [Pa83], M. Kobayashi, [Ko74], I. Mihai, M. S. Sahid, [MMS98], M. M. Tripathi, N. Kakkar, J-S Kim, [TK01], [TKS03]. Un alt subiect deosebit de important în geometria subvarietăţilor de contact ce a trezit interesul multor geometri, a fost studiul subvarietăţilor oblice, semi-oblice şi bi-oblice în varietăţile de contact. Acesta a fost iniţiat de A. Lotta în cazul varietăţilor aproape de contact metrice, [Lo96], J. L. Cabrerizo, A. Carriazo, L. M. Fernández şi M. Fernández în cazul varietăţilor de K- contact şi Sasaki, [CCFF99], [CCFF00]. Scopul acestei teze de doctorat, intitulată STUDIUL GEOMETRIEI ŞI TOPOLOGIEI VARIETĂŢILOR DE CONTACT ŞI SUBVARIETĂŢILOR LOR, este acela de a aduce noi contribuţii în studiul subvarietăţilor unor varietăţi aproape de contact metrice, în particular a unor clase de subvarietăţi, v

vi precum cele semi-invariante, invariante, anti-invariante, oblice şi semi-oblice, a căror importanţă în studiul geometriei de contact este deja binecunoscută. Prezenta teză de doctorat este structurată în patru capitole: primul capitol este dedicat noţiunilor introductive, unde sunt reamintite rezultate importante din geometria de contact, pe care le vom folosi în celelalte capitole, în timp ce capitolele II, III şi IV conţin rezultate originale ale autoarei ce au constituit subiectul unor articole publicate, [Cî08], [Cî09], [Cîxa], [Cî10b] sau trimise spre publicare, [Cî10c], [Cî10d], în reviste de specialitate. Capitolul I, intitulat Noţiuni de bază, are un caracter introductiv şi are rolul de a reaminti noţiuni şi rezultate deja cunoscute, utile pentru consideraţiile din capitolele următoare. În secţiunea 1.1, sunt introduse structurile aproape de contact şi de contact metrice, structurile de K-contact şi structurile normale, precum şi proprietăţi ale lor. Secţiunea 1.2 continuă cu prezentarea varietăţilor Sasaki, Kenmotsu şi generalizări ale acestora. Sunt prezentate teoreme ce caracterizează aceste varietăţi şi relaţiile dintre ele, urmărind lucrări precum [Sa68], [Ke72], [JV81], [Ou85]. Secţiunea 1.3 este dedicată unor probleme de curbură în varietăţile de contact, de K-contact, Sasaki, Kenmotsu şi (α, β) trans-sasaki. Secţiunea 1.4 încheie primul capitol cu prezentarea unor clase remarcabile de subvarietăţi ale unei varietăţi de contact şi anume: clasa varietăţilor integrale, a subvarietăţilor semi-invariante, invariante, anti-invariante, oblice, semi-oblice şi bi-oblice, ce vor constitui obiectul de studiu al capitolelor următoare, urmărind lucrările [BP81], [YK82], [Pa83], [Lo96], [CCFF99], [CCFF00], [GKS04], [So04]. Capitolul II, intitulat Stabilitate Chen în varietăţi (α, β) trans- Sasaki şi în forme spaţiale Sasaki generalizate este dedicat studiului unor probleme variaţionale ale subvarietăţilor oblice şi semi-oblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki şi în forme spaţiale Sasaki generalizate, iar rezultatele ce apar în acest capitol au fost publicate în [Cî09], [Cî1xa]. În secţiunea 2.1, studiem deformările de ordinul unu ale subvarietăţilor oblice şi semi-oblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki prin analogie cu cele studiate în [Pi01], pentru subvarietăţile integrale în varietăţi Sasaki. Pornind apoi de la noţiunile de variaţie Legendre, Hamiltoniană şi armonică şi ţinând

cont de formula primei variaţii volum pentru o subvarietate M, se definesc noţiunile de subvarietate l-minimală, e-minimală şi h-minimală. Exemple de variaţii armonice pentru o subvarietate oblică a unei varietăţi Sasaki sunt construite în Exemplul 2.1.4, iar rezultate referitoare la aceste noţiuni apar în Propoziţia 2.1.6, Propoziţia 2.1.7, Teorema 2.1.8. Secţiunea 2.2 este dedicată studiului deformărilor de ordin doi ale subvarietăţilor oblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki. Astfel, folosind formula pentru a doua variaţie a formei volum V ( n) a unei subvarietăţi n-dimensionale compacte într-o varietate riemanniană, reamintim noţiunile de subvarietate stabilă, l-stabilă, e-stabilă şi h stabilă. Propoziţia 2.2.5 exprimă condiţii necesare ca anumiţi vectori normali la o subvarietate l-minimală, oblică şi ombilicală a unei varietăţi (α, β) trans- Sasaki cu tensorul lui Riemann-Cristoffel negativ definit, să verifice condiţia V ( n) 0, iar Exemplul 2.2.6 satisface această propoziţie. Studiul deformărilor de ordin doi ale subvarietăţilor continuă în secţiunea 2.3 pentru formele spaţiale Sasaki generalizate. Prin analogie cu Propoziţia 2.2.5, în Propoziţia 2.3.2 exprimăm condiţiile ca un câmp vectorial normal şi paralel la o subvarietate oblică, minimală şi contact total geodezică a unei forme spaţiale Sasaki generalizate să verifice condiţia V ( n) 0. Exemplul 2.3.3 verifică această propoziţie. Capitolul III, intitulat Coomologia subvarietăţilor în varietăţi (α, β) trans Sasaki, este structurat în 3 secţiuni, rezultatele ce apar aici fiind publicate în lucrările [Cî08], [Cî1xa]. Secţiunea 3.1 este dedicată studiului proprietăţilor distribuţiilor subvarietăţilor semi-oblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki. Astfel, Lema 3.1.1 caracterizează aceste subvarietăţi, generalizând Lema 3.1.2 demonstrată în [CCFF00]. În secţiunea 3.2, studiem probleme de coomologie pe subvarietăţi semioblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki. Astfel, considerând subvarietăţile semi-oblice ale unei varietăţi (α, β) trans-sasaki, ce verifică condiţia (3.2.1), demonstrăm rezultatul principal al acestei secţiuni, dat de Teorema 3.2.8, şi anume: numărul lui Betti de ordin 2k, 1 k q, al unei subvarietăţi semioblice M cu distribuţia invariantă de dimensiune 2q într-o varietate (α, β) trans-sasaki este nenul. În secţiunea 3.3, folosind ecuaţiile Maurer-Cartan de structură ale unei varietăţi riemanniene, vom determina 2-formele de conexiune ωβ α şi 2-formele de curbură Ω α β ale unei subvarietăţi anti-invariante normale în forme spaţiale Sasaki generalizate, arătând în Teorema 3.3.6, că prima formă Chern nor- vii

viii mală a unei astfel de subvarietăţi într-o formă spaţială Sasaki generalizată M(f 1, f 2, f 3 ) cu vectorul curbură medie paralel, este nulă. Capitolul 4, intitulat Probleme de existenţă pentru subvarietăţi în forme spaţiale Sasaki generalizate este structurat în 3 secţiuni. Rezultatele acestui capitol au fost publicate în [Cî10b] şi trimise spre publicare în [Cî10c] şi [Cî10d]. În secţiune 4.1, vom demonstra două teoreme de reducere a codimensiunii pentru subvarietăţile paralele ale formelor spaţiale Sasaki generalizate satisfăcând anumite condiţii. Rezultatele importante ale acestei secţiuni se regăsesc în Teoremele 4.1.7 şi 4.1.8. Secţiunea 4.2 este dedicată studiului subvarietăţilor n-dimensionale antiinvariante normale şi pseudo-paralele în varietăţi Kenmotsu de dimensiune 2n + 1. Rezultatul principal al acestei secţiuni este dat de Teorema 4.2.1, în care se demonstrează că orice astfel de subvarietate a unei forme spaţiale Kenmotsu este semi-paralelă. De asemenea, vom arăta că subvarietăţile n-dimensionale minimale, pseudo-paralele, anti-invariante normale ale unei forme spaţiale Sasaki generalizate de dimensiune 2n + 1, ce satisfac anumite condiţii, sunt total geodezice. În secţiunea 4.3, studiem proprietăţile subvarietăţilor anti-invariante normale cu câmpuri vectoriale conforme închise ale unei varietăţi Kenmotsu. Aceste proprietăţi sunt date în Propoziţiile 4.3.1, 4.3.3 şi 4.3.5. Definim o clasă de subvarietăţi ale varietăţilor Kenmotsu, numite clasa sferelor de tip Whitney, iar în Teorema 4.3.15 demonstrăm că pentru astfel de subvarietăţi ale formelor spaţiale Kenmotsu M(c), F H este un câmp vectorial conform al lui M, unde H este vectorul curbură medie al lui M şi F este endomorfismul care defineşte structura aproape de contact metrică pe M(c). În încheiere aş dori să mulţumesc în mod deosebit domnului Prof. univ. dr. Gheorghe Pitiş, conducătorul acestei teze de doctorat, pentru răbdarea, îndrumarea şi încrederea acordată pe toată perioada pe care am petrecut-o ca doctorand al Universităţii Transilvania Braşov. Mulţumesc domnilor Prof. univ. dr. I. Mihai, Prof. univ. dr. Gheorghe Munteanu şi Conf. univ. dr. Mircea Crâşmăreanu pentru faptul că au acceptat să fie referenţi, pentru observaţiile constructive făcute. Domnilor Prof. univ. dr. Gheorghe Munteanu şi Prof. univ. dr. Emil Stoica le mulţumesc pentru discuţiile utile avute în perioada examenelor din timpul

stagiului de doctorat. Îmi exprim mulţumirea tuturor profesorilor Facultăţii de Matematică şi Informatică din cadrul Universităţii Transilvania Braşov pentru contribuţia deosebită de-a lungul anilor în formarea mea ca profesor. De asemenea, aş dori să multumesc doamnei Asist. univ. dr. Olivia Florea şi domnului Asist. univ. dr. Cristian Ida pentru amabilitatea şi sprijinul pe care mi le-au oferit. Nu în ultimul rând aş dori să mulţumesc familiei mele pentru susţinerea şi încurajările primite în timpul pregătirii prezentei lucrări. ix

x

Capitolul 1 Noţiuni de bază 1.1 Structuri aproape de contact şi de contact metrice Fie M o varietate C -diferenţiabilă, F( M)-modulul funcţiilor C -diferenţiabile pe M cu valori reale şi cu χ( M)-modulul peste F( M) al câmpurilor vectoriale pe M. Varietatea M de dimensiune 2n + 1 se numeşte varietate aproape de contact dacă există pe M un câmp tensorial F de tip (1, 1), un câmp vectorial ξ, numit vectorul Reeb şi o 1- formă η astfel încât sunt îndeplinite următoarele condiţii: F 2 = I + η ξ; η(ξ) = 1. (1.1.1) În acest caz (F, ξ, η) se numeşte structură aproape de contact pe varietatea M. Propoziţia 1.1.1. Dacă (F, ξ, η) este o structură aproape de contact pe varietatea M de dimensiune 2n + 1, atunci (i) F (ξ) = 0; F 3 = F ; η F = 0; rangf = 2n; (ii) există pe M o metrică g cu proprietatea g(f X, F Y ) = g(x, Y ) η(x)η(y ), (1.1.2) 1

2 oricare ar fi X, Y în χ( M). În acest caz (F, ξ, η, g) se numeşte structură aproape de contact metrică, iar M se numeşte varietate aproape de contact metrică. Din (1.1.2) rezultă η(x) = g(x, ξ). (1.1.3) Notăm cu Ω 2- forma fundamentală (sau 2-forma Sasaki), definită prin Ω(X, Y ) = g(x, F Y ). (1.1.4) Definiţia 1.1.2. O varietate M de dimensiune 2n+1 este o varietate aproape de contact normală dacă N J = 0, unde N J (X, Y ) = J 2 [X, Y ] + [JX, JY ] J[JX, Y ] J[X, JY ] este tensorul lui Nijenhius şi J : χ( M) R χ( M) R, J(X, f d dt ) = (F X fξ, η(x) d dt ) este structura aproape complexă definită pe cilindrul χ( M) R al varietăţii M. Propoziţia 1.1.3. Structura aproape de contact (F, ξ, η) este normală dacă şi numai dacă N (1) N F + 2dη ξ = 0. Definiţia 1.1.6. O varietate 2n + 1-dimensională M, pe care este definită o 1-formă η ce satisface condiţia η (dη) n 0 peste tot pe M, se numeşte varietate de contact. 1.2 Structuri Sasaki, Kenmotsu şi generalizări ale lor. Definiţia 1.2.1. O varietate aproape de contact M cu structura aproape de contact metrică (F, ξ, η, g) este o varietate Sasaki dacă dη = Ω; N (1) = 0.

Teorema 1.2.2. Structura aproape de contact metrică (F, ξ, η, g) este o structură Sasaki dacă şi numai dacă oricare ar fi X, Y χ( M). ( X F ) = g(x, Y )ξ η(y )X, (1.2.1) 3 Definiţia 1.2.7. O varietate aproape de contact metrică cu structura aproape de contact metrică (F, ξ, η, g) se numeşte varietate aproape Kenmotsu dacă dη = 0; dω = 2η Ω. (1.2.2) O varietate aproape Kenmotsu normală se numeşte varietate Kenmotsu. Teorema 1.2.9. O varietate aproape de contact M cu structura aproape de contact (F, ξ, η, g) este o varietate Kenmotsu dacă şi numai dacă ( X F )Y = η(y )F X g(x, F Y )ξ. (1.2.3) Definiţia 1.2.16. O varietate aproape de contact metrică M este o varietate (α, β) trans-sasaki dacă există două funcţii diferenţiabile α şi β pe M astfel încât ( X F )Y = α[g(x, Y )ξ η(y )X] + β[g(f X, Y )ξ η(y )F X], (1.2.4) oricare ar fi X, Y χ( M). 1.3 Probleme de curbură în varietăţi de contact Fie M o varietate aproape de contact cu structura (F, ξ, g, η), conexiunea Levi-Civita asociată, R tensorul de curbură al lui M. De asemenea, notăm cu K(X, Y ) curbura sa secţională în direcţia 2-planului < X, Y > şi cu H curbura F -secţională a varietăţii M definită prin H(X) = K(X, F X).

4 Definiţia 1.3.10. O varietate conexă Sasaki (sau Kenmotsu) M de curbură F -secţională constantă c se numeşte formă spaţială Sasaki (sau Kenmotsu) şi se notează cu M(c). Teorema 1.3.14. Fie M o varietate Sasaki (sau Kenmotsu) de dimensiune 2n + 1 5. Dacă în fiecare punct x M, curbura F -secţională H nu depinde de F -planul ales, atunci curbura F -secţională H = c = constant pe M şi tensorul de curbură al varietăţii este dat de R(X, Y )Z = c + 3( 1)i+1 [g(y, Z)X g(x, Z)Y ] 4 + c + ( 1)i [η(x)η(z)y η(y )η(z)x 4 + g(x, Z)η(Y )ξ g(y, Z)η(X)ξ + g(z, F Y )F X + g(x, F Z)F Y + 2g(X, F Y )F Z], (1.3.1) unde i = 1 pentru cazul Sasaki şi i = 2 pentru cazul Kenmotsu. Definiţia 1.3.15. O varietate aproape de contact metrică M de dimensiune 2m + 1 se numeşte formă spaţială Sasaki generalizată dacă există f 1, f 2, f 3 funcţii diferenţiabile pe M astfel încât tensorul său de curbură R să aibă expresia R(X, Y )Z = f 1 [g(y, Z)X g(x, Z)Y ] + f 2 [g(x, F Z)F Y g(y, F Z)F X + 2g(X, F Y )F Z] + f 3 [η(x)η(z)y η(y )η(z)x + g(x, Z)η(Y )ξ g(y, Z)η(X)ξ], (1.3.2) oricare ar fi X, Y, Z câmpuri vectoriale pe M. În acest caz vom nota forma spaţială Sasaki generalizată cu M(f 1, f 2, f 3 ). 1.4 Subvarietăţi remarcabile în varietăţi de contact Noţiunea de subvarietate aproape semi-invariantă în varietăţi Sasaki a fost introdusă şi studiată de A. Bejancu şi N. Papaghiuc în 1981, [BP81], studiul acestora fiind făcut în acelaşi timp de M. Kobayashi, [Ko81], şi putin mai târziu de către K. Yano şi M. Kon, [YK82].

Definiţia 1.4.6. Fie M o varietate aproape de contact metrică cu structura aproape de contact metrică (F, ξ, η, g) şi M o subvarietate p-dimensională, tangentă câmpului vectorial Reeb ξ. M se numeşte subvarietate semiinvariantă dacă există două distribuţii D şi D astfel încât, oricare ar fi x M, sunt îndeplinite următoarele condiţii: (i) T x M = D x D x < ξ x >; 5 (ii) subspaţiile D x, D x şi < ξ x > sunt ortogonale două câte două; (iii) F D x = D x, F D x T x M. În acest caz D se numeşte distribuţia invariantă şi D se numeşte distribuţia anti-invariantă. O subvarietate semi-invariantă M cu distribuţia D = 0 se numeşte subvarietate invariantă, iar dacă D = 0 atunci M se numeşte subvarietate anti-invariantă. Subvarietăţile semi-invariante ale varietăţilor Kenmotsu au fost definite şi studiate de N. Papaghiuc în 1983, [Pa83]. Profesorul Papaghiuc a considerat două tipuri de subvarietăţi semi-invariante: cele tangente câmpului vectorial Reeb ξ, numite subvarietăţi semi-invariante şi cele normale lui ξ, numite subvarietăţi semi-invariante normale. Astfel, o subvarietate M normală lui ξ într-o varietate Kenmotsu M este o subvarietate semi-invariantă normală dacă există D şi D două distribuţii pe M astfel încât, oricare ar fi x M, T x M = D x D x. Dacă în plus, D = 0 atunci M se numeşte subvarietate invariantă normală, iar dacă D = 0 atunci M se numeşte subvarietate antiinvariantă normală a varietăţii Kenmotsu M. Noţiunea de subvarietate oblică a unei varietăţi aproape de contact metrică a fost introdusă de A. Lotta în 1996, [Lo96], astfel: Definiţia 1.4.17. Subvarietatea M a varietăţii aproape de contact metrice M se numeşte subvarietate oblică dacă θ(x) = θ = constant, unde θ(x) este unghiul dintre F X şi T x M, definit ca fiind unghiul θ(x) [0, π 2 ] ce satisfăce condiţia cos θ(x) = g(f X, T X) F X T X, (1.4.1) unde D este distribuţia ortogonală distribuţiei generate de < ξ > în fibratul tangent T M, T X reprezintă componenta lui F X în D, X χ(m) {0},

6 necoliniar cu ξ, Y 2 = g(y, Y ), Y χ(m). În acest caz θ se numeşte unghiul de oblicitate şi D distribuţia oblică a subvarietăţii M. J. L. Cabrerizo, A. Carriazo, L. M. Fernández şi M. Fernández generalizează noţiunea de subvarietate oblică, introducând noţiunile de subvarietate semi-oblică şi bi-oblică în 1999 şi 2000, [CCFF99], [CCFF00]. Definiţia 1.4.23. O subvarietate M a varietăţii aproape de contact metrice M se numeşte subvarietate semi-oblică dacă există două distribuţii D 1, D 2 astfel încât (i) T x M = D 1 D 2 < ξ > x, oricare ar fi x M; (ii) distribuţia D 1 este invariantă; (iii) distribuţia D 2 este oblică. În acest caz θ se numeşte unghiul de oblicitate al subvarietăţii M. Definiţia 1.4.27. Fie ( M, F, ξ, η, g) o varietate aproape de contact metrică şi M o subvarietate a sa. Atunci M se numeşte subvarietate bi-oblică dacă există D 1 şi D 2 două distribuţii ortogonale pe M astfel încât sunt îndeplinite următoarele condiţii: (i) χ(m) = D 1 D 2 < ξ >; (ii) D i sunt distribuţii oblice cu unghiurile de oblicitate θ i, i {1, 2}.

Capitolul 2 Stabilitate Chen în varietăţi (α, β) trans-sasaki şi în forme spaţiale Sasaki generalizate 2.1 Deformări de ordinul unu ale subvarietăţilor oblice şi semi-oblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki Fie f : M M o imersie a unei varietăţi n-dimensională şi compactă M într-o varietate riemanniană M de dimensiune m. Prima variaţie a formei volum a lui M, relativ la câmpul vectorial normal n, poate fi exprimată sub forma, [Ch73]: V ( n) = n g( n, H)dv, M unde H este vectorul curbură medie al lui M şi dv reprezintă elementul volum al lui f(m). Considerăm 1-forma α n duală vectorului n χ (M), definită de α n (X) = g(f n, X). Notăm cu L = { n χ (M) : dα n = 0 } mulţimea variaţiilor Legendre, E = { n χ (M) : ( )f F(M) : α n = df } 7

8 mulţimea variaţiilor Hamiltoniene şi mulţimea variaţiilor armonice. H = { n χ (M) : dα n = δα n = 0 } Definiţia 2.1.2. O subvarietate M a unei varietăţi aproape de contact metrică M este (i) l-minimală dacă V ( n) = 0, oricare ar fi n L, (ii) e-minimală dacă V ( n) = 0, oricare ar fi n E, (iii) h-minimală dacă V ( n) = 0, oricare ar fi n H. Propoziţia 2.1.3. Fie M o subvarietate a unei varietăţi riemanniene M. Au loc următoarele afirmaţii: (i) dacă M este minimală, atunci M este l, e şi h-minimală. (ii) dacă M este e-minimală sau h-minimală, atunci M este l-minimală. Exemplul 2.1.4. În M = R 5, considerăm structura Sasaki uzuală dată de η = 1 2 (dz y1 dx 1 y 2 dx 2 ); ξ = 2 z ; Atunci g = η η + 1 4 (dx1 dx 1 + dx 2 dx 2 + dy 1 dy 1 + dy 2 dy 2 ); F ( x 1 ) = y 1 ; F ( y 1 ) = x 1 + y1 z ; F ( x 2 ) = y 2 ; F ( z ) = 0; F ( y 2 ) = x 2 + y2 z. M : x(u, v, t) = (2u cos θ, 2u sin θ, 2v, 0, 2t). este o subvarietate oblică, minimală de dimensiune 3 cu n 1 = 2 y 2 ; variaţii armonice. n 2 = 2 sin θ x 1 2 cos θ x 2 + 4v sin θ z

2.2 Deformări de ordinul doi ale subvarietăţilor oblice în varietăţi (α, β) trans-sasaki Pentru o subvarietate n-dimensională şi compactă M a unei varietăţi riemanniene M, a doua variaţie a formei volum a lui M este dată de B. Y. Chen, [Ch92], sub forma [ V ( n) = n 2 A n 2] dv unde n χ (M). + M M [ n 2 g 2 (H, n) ng(h, ] n n) dv M a=1 n R( n, e a, n, e a )dv, (2.2.1) Definiţia 2.2.2. Fie M o subvarietate compactă a varietăţii aproape de contact metrică M. Atunci (i) M este stabilă dacă V ( n) 0, oricare ar fi n χ (M); (ii) M este l-stabilă dacă V ( n) 0, oricare ar fi n L; (iii) M este e-stabilă dacă V ( n) 0, oricare ar fi n E; (iv) M este h-stabilă dacă V ( n) 0, oricare ar fi n H. Pentru o subvarietate n-dimensională, oblică M, cu distribuţia oblică D şi unghiul de oblicitate θ în varietatea (α, β) trans-sasaki M de dimensiune 2m + 1, considerăm {e 1,..., e n 1 } o bază locală ortonormală în D şi { e n+1 = Ne 1 sin θ,..., e 2n 1 = Ne } n 1 sin θ un sistem de vectori ortonormali normali la subvarietatea M, ce generează un subspaţiu notat cu NF D în χ (M). Fie Γ(τ(M)) complementul ortogonal al lui NF D în χ (M). Propoziţia 2.2.5. Fie M o subvarietate oblică, ombilicală în varietatea (α, β) trans-sasaki M, astfel încât vectorul curbură medie al lui M este 9

10 paralel. Dacă subvarietatea M este l-minimală şi M are tensorul Riemann- Christoffel negativ, atunci oricare ar fi n Γ(τ(M)) avem V ( n) 0. (2.2.2) Exemplul 2.2.6. Pentru subvarietatea minimală M a lui R 5 cu 0 v 1 2 şi variaţia sa armonică n 1 = 2 y 2, luată în exemplul 2.1.4, avem adică V ( n 1 ) 0. V ( n 1 ) = cos2 θ 2 = cos2 θ 2 M M ( 64v 5 32v 4 + 32v 3 + 4v + 5)dv [4v { v 2 [9 (4v + 1) 2 ] + 1 } + 5]dv, 2.3 Deformări de ordinul doi ale subvarietăţilor oblice în forme spaţiale Sasaki generalizate Propoziţia 2.3.2. Fie M o subvarietate n-dimensională, minimală, oblică şi contact total geodezică, cu unghiul de oblicitate θ în forma spaţială Sasaki generalizată M(f 1, f 2, f 3 ). Dacă există un câmp vectorial normal n la M, paralel în raport cu conexiunea Levi-Civita şi pr NF D n este proiecţia lui n pe NF D astfel încât nf 1 f 3 + 3f 2 sin 2 θ pr NF D n 2 0, atunci V ( n) 0. Exemplul 2.3.3. R 5 ( 3) este o formă spaţială Sasaki generalizată cu f 1 = 0 şi f 2 = f 3 = 1. Deoarece h( v 1, v 1 ) = h( v 2, v 2 ) = h(ξ, ξ) = h( v 1, v 2 ) = 0; h( v 1, ξ) = (sin θ) n 2 ; h( v 2, ξ) = (sin θ) n 1 ; η(ξ) = 1; η( n 1 ) = η( n 2 ) = 0,

11 şi h este simetrică, subvarietatea oblică M din exemplul 2.1.4 este o subvarietate contact total geodezică. De asemenea, avem F ( v 1 ) = (cos θ) v 2 + (sin θ) n 2 ; F ( v 2 ) = (cos θ) v 1 (sin θ) n 1, n 2 = N v 1 sin θ ; n 1 = N v 2 sin θ, adică n 1, n 2 NF D şi Γ(τ(M)) = 0. Mai mult, Ric( n 1 ) = 3f 1 + 3f 2 [g 2 ( n 1, F v 1 ) + g 2 ( n 1, F v 2 )] = 1 3[g 2 ( n 1, (cos θ) v 2 + (sin θ) n 2 ) + g 2 ( n 1, (cos θ) v 1 (sin θ) n 1 ) = 1 3 sin 2 θ, iar de aici deducem că V ( n 1 ) 0, pentru θ (0, arcsin 1 3 ].

12

Capitolul 3 Coomologia subvarietăţilor în varietăţi (α, β) trans-sasaki 3.1 Geometria distribuţiilor unei subvarietăţi semi-oblice Fie M o subvarietate semi-oblică în varietatea (α, β) trans-sasaki M, cu distribuţia invariantă D 1, distribuţia oblică D 2 şi unghiul de oblicitate θ. Pentru X χ(m) considerăm descompunerea X = P 1 + P 2 X + η(x)ξ, unde P i reprezintă proiecţia lui X pe D i, i {1, 2}. Lema 3.1.1. Fie M o subvarietate semi-oblică în varietatea α-sasaki (sau în varietatea β-kenmotsu) M de dimensiune 2m + 1, m 2. Atunci, pentru orice X, Y χ(m), avem (i) P 1 ( X (F P 1 Y )) + P 1 ( X (T P 2 Y )) = P 1 A NP2 Y X + F P 1 X Y λη(y )θ(x), unde λ = α, θ(x) = P 1 (X) pentru cazul α-sasaki şi λ = β, θ(x) = F P 1 (X) pentru cazul β-kenmotsu; 13

14 (ii) P 2 ( X (F P 1 Y )) + P 2 ( X (T P 2 Y )) = P 2 A NP2 Y X + T P 2 X Y + [F h(x, Y )] T λη(y )θ(x), unde λ = α, θ(x) = P 2 (X) pentru cazul α-sasaki şi λ = β, θ(x) = T P 2 X pentru cazul β-kenmotsu; (iii) η( X (F P 1 Y )) + η( X (T P 2 Y )) = λω(x, Y ) + η(a NP2 Y X), unde λ = α, ω(x, Y ) = g(x, Y ) η(x)η(y ) pentru cazul α-sasaki şi λ = β, ω(x, Y ) = g(f X, Y ) pentru cazul β-kenmotsu; (iv) h(x, F P 1 Y ) + h(x, T P 2 Y ) + X(NP 2 Y ) = NP 2 X Y + [F h(x, Y )] λθ(x)η(y ), unde λ = 0, θ(x) = 0 pentru cazul α-sasaki şi λ = β, θ(x) = NP 2 X pentru cazul β-kenmotsu. Propoziţia 3.1.3. Dacă M este o subvarietate semi-oblică în varietatea α- Sasaki M cu α 0, atunci distribuţia invariantă D 1 nu este integrabilă. Propoziţia 3.1.4. Fie M o subvarietate semi-oblică în varietatea α-sasaki M cu α 0. Dacă distribuţia oblică D 2 este integrabilă, atunci M este o subvarietate semi-invariantă. Propoziţia 3.1.5. Fie M o subvarietate semi-oblică în varietatea (α, β) trans-sasaki M cu distribuţia invariantă D 1 şi distribuţia oblică D 2. Atunci (i) distribuţia D 1 < ξ > este integrabilă dacă şi numai dacă oricare ar fi X, Y D 1 < ξ >. h(f X, Y ) = h(x, F Y ), (ii) distribuţia D 2 < ξ > este integrabilă dacă şi numai dacă P 1 ( X T P Y Y T P X) = P 1 (A NP2 Y X A NP2 XY ), oricare ar fi X, Y D 2 < ξ >.

15 3.2 Coomologie pe subvarietăţi semi-oblice Propoziţia 3.2.1. Fie M o subvarietate semi-oblică în varietatea (α, β) trans-sasaki M. Atunci (i) ( X T )Y = α[g(x, Y )ξ η(y )X] + β[g(t X, Y )ξ η(y )T X] + A NP2 Y X + [F h(x, Y )] T, (ii) următoarele două relaţii sunt echivalente ( X T )Y = α[g(p 1 X, Y )ξ η(y )P 1 X] + α cos 2 θ[g(p 2 X, Y )ξ η(y )P 2 X] + β[g(t X, Y )ξ η(y )T X]; (3.2.1) (AP ) A NP2 Y X = A NP2 XY α sin 2 θ[η(x)p 2 Y η(y )P 2 X], oricare ar fi X, Y χ(m). Definiţia 3.2.2. O subvarietate semi-oblică M a unei varietăţi (α, β) trans- Sasaki M, ce satisface una din condiţiile echivalente din Propoziţia 3.2.1 ii), se numeşte subvarietate semi-oblică de tip (AP ). Propoziţia 3.2.3. Fie M o subvarietate semi-oblică în (α, β) trans-sasaki varietatea M. Atunci M este o subvarietate de tip (AP) dacă şi numai dacă ( X T P 2 )Y = α cos 2 θ[g(p 2 X, Y )ξ η(y )P 2 X], (3.2.2) oricare ar fi X D 1, Y χ(m). Consecinţa 3.2.4. Dacă M este o subvarietate semi-oblică de tip (AP) în varietatea (α, β) trans-sasaki M, atunci (i) X Y D 1 < ξ >, pentru X χ(m) şi Y D 1 ;

16 (ii) pentru X χ(m) şi Y D 2. X Y D 2 < ξ >, Proposition 3.2.5. Fie M o subvarietate semi-oblică, p-dimensională în varietatea α-sasaki (sau β-kenmotsu) M de dimensiune 2m + 1, m 2, astfel încât ( X T )Y = α[g(p 1 X, Y ) η(y )P 1 X] + α cos 2 θ[g(p 1 X, Y )ξ η(y )P 2 X] în cazul α-sasaki (sau ( X T )Y = β[g(t X, Y )ξ η(y )T X] în cazul β-kenmotsu). Atunci distribuţia invariantă D 1 este minimală în cazul α-sasaki. În cazul β-kenmotsu, D 1 este minimală dacă şi numai dacă β = 0. Notăm cu o : D 2 D 1 D 1 conexiunea Bott parţială definită prin o X U = P 1 [X, U], (3.2.3) oricare ar fi X D 2 şi U D 1. Fie S D1 : D 1 D 1 D 2 definit de S D1 (X, Y ) = P 2 ( X Y + Y X), (3.2.4) pentru X, Y D 1, [Re73]. Fie {ω 1,..., ω 2q } baza duală bazei locală ortonormală a lui D 1. Avem {X 1,..., X q, F X 1 = X q+1,..., F X q = X 2q } ω i (X j ) = δ i j; ω i /D 2 = 0; ω i (ξ) = 0, (3.2.5) pentru i, j {1,..., 2q}. Obţinem 2q-forma global definită ω = ω 1... ω 2q. Teorema 3.2.6. Fie M o subvarietate semi-oblică, p-dimensională în varietatea (α, β) trans-sasaki M. Atunci (i) metrica g a subvarietăţii M este paralelă cu o dacă şi numai dacă S D1 = 0;

17 (ii) dacă M este o subvarietate compactă de tip (AP), atunci ω este paralelă în raport cu o. Propoziţia 3.2.7. Fie M o subvarietate semi-oblică de tip (AP), p-dimensională în varietatea (α, β) trans-sasaki M. Atunci (i) 2q-forma ω = ω 1... ω 2q este închisă; (ii) θ este închisă; (iii) ω = θ, unde reprezintă operatorul Hodge. Teorema 3.2.8. Fie M o subvarietate compactă semi-oblică de tip (AP) în varietatea (α, β) trans-sasaki M. Atunci b 2k (M) 1, unde k {1,..., q}, dim D 1 = 2q şi b 2k (M) este numărul lui Betti de ordin 2k al subvarietăţii M. 3.3 Forme Chern ale subvarietăţilor anti-invariante normale în forme spaţiale Sasaki generalizate (α, β) trans-sasaki Fie M-o varietate riemanniană m-dimensională, conexiunea Levi-Civita pe M şi {e 1,..., e m } o bază locală ortonormală a lui χ( M). Definim 1-formele ω α, ω α β prin X = ω α (X)e α ; X e β = ω α β (X)e α şi 2 formele de torsiune τ α, respectiv 2 formele de curbură Ω α β prin T (X, Y ) = τ α (X, Y )e α ; R(X, Y )eβ = Ω α βe α, pentru orice X, Y χ( M) şi α, β {1,..., m}, unde T reprezintă torsiunea lui M. Fie M o subvarietate n-dimensională, anti-invariantă normală în forma spaţială Sasaki generalizată (α, β) trans-sasaki M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune

18 dimensiune 2m + 1. Din proprietăţile subvarietăţilor anti-invariante normale avem n m. Considerăm pe M(f 1, f 2.f 3 ) o bază locală ortonormală B = { e 1,..., e n, e n+1,.., e m, e 1,..., e n, e (n+1),..., e m, ξ }, unde e i = F e i, i {1,..., m}, e (m+1) = ξ şi {e 1,..., e n } bază locală ortonormală pe M. Considerăm următoarea convenţie de notare a indicilor: j = j+ m; a = a+m; b = b+m; c = c+m, pentru j {1,..., m}, a, b, c {1,..., n} şi λ = λ + m; µ = µ + m; ν = ν + m, pentru λ, µ, ν {n + 1,..., m). De asemenea, considerăm α, β, γ, δ {1,..., 2m + 1}. Fie B = { ω 1,..., ω n, ω n+1,..., ω m,..., ω 1,..., ω n,..., ω (n+1),..., ω m, ω (m+1) = η } baza duală lui B. În punctele lui M avem ω λ = ω j = ω (m+1) = 0. (3.3.1) ω a (m+1) = βωa ; ω λ (m+1) = ωλ (m+1) = 0; ω(m+1) a = αωa ; (3.3.2) ω j a = ω a j ; ω j a = ωj a; ω j λ = ωλ j ; ω j λ = ω j λ ; (3.3.3) ω a (m+1) = αωa ; ω (m+1) a = βω a ; ω a b = ω b a; ω j a = ωa j. (3.3.4) Fie R α βγτ, respectiv Ra bcd coeficienţii de curbură ai lui, respectiv în raport cu bazele B, respectiv {e 1,..., e n }, daţi de descompunerile locale R(e γ, e τ )e β = R α βγτe α, R(e c, e d )e b = R a bcde a. Propoziţia 3.3.2. Fie n un câmp vectorial normal al subvarietăţii antiinvariante normale M în forma spaţială Sasaki generalizată (α, β) trans- Sasaki M(f 1, f 2, f 3 ). Considerăm 1-forma α n duală lui n şi 1-forma θ definită de θ = n a=1 ω a a. (3.3.5) Atunci formele diferenţiabile α n şi θ au următoarele proprietăţi:

19 (i) α ξ = 0 şi θ = nα H, unde H este vectorul curbură medie al M; (ii) α n este închisă dacă şi numai dacă g( X n, F Y ) = g( Y n, F X), oricare ar fi X, Y câmpuri vectoriale pe M; (iii) diferenţiala exterioară a lui θ este dată de n m dθ = Rλbcω λ b ω c = 2 b,c=1 λ=n+1 m λ=n+1 Ω λ λ. (3.3.6) Spaţiul normal T x M în fiecare punct x al lui M are următoarea descompunere: T x M = F (T x M) τ x (M) < ξ x >, (3.3.7) unde < ξ x > este subspaţiul generat de ξ x şi τ x (M) este subspaţiul de dimensiune 2(m n) al lui T x M, ortogonal lui F (Tx M) < ξ x >. Atunci τ(m) = x M τ x (M) este un subfibrat al fibratului T (M) şi B τ = { } e n+1,..., e m, e (n+1),..., e m este o bază locală a modulului secţiunilor sale Γ(τ(M)). Acest subfibrat se notează cu τ(m) şi îl numim subfibratul normal maximal invariant al subvarietăţii anti-invariante normale M. Propoziţia 3.3.3. Fie M o subvarietate n-dimensională, anti-invariantă normală în forma spaţială Sasaki generalizată (α, β) trans-sasaki M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune 2m + 1. Atunci subfibratul său normal maximal invariant τ(m) are următoarele proprietăţi: (i) τ(m) este un fibrat vectorial complex; (ii) τ(m) este invariant, adică F (τ x (M)) = τ x (M), oricare ar fi x M. Considerăm următoarea descompunere: X n = B n X + τ X n, (3.3.8) unde B n X Γ(F T M) şi τ X n Γ(τ(M)). Aplicaţiile B : Γ(τ(M)) χ(m) Γ(F T M) şi τ : χ(m) Γ(τ(M)) Γ(τ(M)) au următoarele proprietăţi:

20 Propoziţia 3.3.4. (i) τ este o conexiune aproape complexă pe subfibratul normal maximal invariant complex al subvarietăţii anti-invariante normale M, adică ( τ xf ) n = 0. (ii) B n X = F A F n X, oricare ar fi X χ(m), n Γ(τ(M)). Deoarece subfibratul normal maximal invariant Γ(τ) este un fibrat complex, clasele sale caracteristice de bază sunt clasele Chern [γ k (τ)], reprezentate de formele Chern normale de ordin k γ k (τ) = i k (2π) k k! δµ 1...µ k λ 1...λ k Ω τλ 1 µ 1... Ω τλ k µ k, (3.3.9) unde Ω τλ µ sunt 2-formele curbură ale lui τ, iar δ µ 1...µ k λ 1...λ k Kronecker. sunt multiindicii lui Teorema 3.3.5. Prima formă Chern normală a unei subvarietăţi n-dimensională, anti-invariantă normală M în forma spaţială Sasaki generalizată (α, β) trans-sasaki M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune 2m + 1, este dată de γ 1 (τ) = 1 2π m λ=n+1 Ω λ λ. (3.3.10) Teorema 3.3.6. Fie M o subvarietate anti-invariantă normală în forma spaţială Sasaki generalizată (α, β) trans-sasaki M(f 1, f 2, f 3 ). Dacă vectorul curbură medie al lui M este paralel, atunci prima formă Chern normală γ 1 (τ) este nulă. Propoziţia 3.3.7. Fie M o subvarietate total ombilicală, anti-invariantă normală în forma spaţială Sasaki generalizată (α, β) trans-sasaki M(f 1, f 2, f 3 ). Dacă M este paralelă, atunci prima sa formă Chern normală γ 1 (τ) este nulă.

Capitolul 4 Probleme de existenţă pentru subvarietăţi în forme spaţiale Sasaki generalizate 4.1 Subvarietăţi paralele în forme spaţiale generalizate Propoziţia 4.1.3. Fie M o subvarietate n-dimensională, conexă şi paralelă a formei spaţiale Sasaki generalizate M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune 2n + 1 cu n 2, f 2 0, f 3 0 şi 3f 2 + f 3 0. Atunci câmpul vectorial Reeb ξ este ori tangent sau ori normal lui M în orice punct al lui M. Propoziţia 4.1.4. Fie M o subvarietate n-dimensională, conexă şi paralelă a formei spaţiale Sasaki generalizate M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune 2n + 1 cu f 2 0, f 3 0 şi 3f 2 + f 3 0. Dacă M este tangentă câmpului vectorial Reeb ξ, atunci M este invariantă sau anti-invariantă. Propoziţia 4.1.5. Orice subvarietate invariantă M a unei forme spaţiale Sasaki generalizate (α, β) trans-sasaki M(f 1, f 2, f 3 ) este minimală. Propoziţia 4.1.6. Fie M o subvarietate invariantă a formei spaţiale Sasaki generalizate M(f 1, f 2, f 3 ). Dacă M este total geodezică, atunci curbura sa F -secţională verifică relaţia K M(X, F X) = K M (X, F X) = f 1 + 3f 2 [η 2 (X) 1] 2 f 3 η 2 (X). (4.1.1) oricare ar fi X χ(m). 21

22 Teorema 4.1.7. Fie M o subvarietate n-dimensională, conexă, simetrică şi paralelă a formei spaţiale Sasaki generalizate M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiuine 2n + 1 cu n 2, f 2 0, f 3 0 şi 3f 2 + f 3 0. Presupunem că M este tangentă câmpului vectorial Reeb ξ. Dacă M este anti-invariantă, atunci există o subvarietate unică, completă şi total geodezică M a lui M astfel încât (i) x M şi T x M = Osc x M, oricare ar fi x M; (ii) M este invariantă; (iii) dim(m ) = 2 dim(m) 1. Teorema 4.1.8. Fie M o subvarietate paralelă, conexă, anti-invariantă normală în forma spaţială Sasaki generalizată (α, β) trans-sasaki M(f 1, f 2, f 3 ) cu α 0, β = constant, f 2 0, f 3 0 şi 3f 2 + f 3 0. Atunci există o subvarietate unică M, completă şi total geodezică a lui M(f 1, f 2, f 3 ) astfel încât T x M = Osc x M, pentru orice x M. 4.2 Subvarietăţi pseudo-paralele în forme spaţiale Sasaki generalizate Subvarietatea M este semi-paralelă dacă şi pseudo-paralelă dacă ( R h)(x, Y, V, W ) = 0 (4.2.1) ( R h)(x, Y, V, W ) + Φ Q(g, h)(x, Y, V, W ) = 0, (4.2.2) unde Φ este o funcţie diferenţiabilă pe M, ( R h)(x, Y, V, W ) = ( X Y h)(v, W ) ( Y X h)(v, W ) ( [X,Y ] h)(v, W ),

23 ( X Y h)(v, W ) = X(( Y h)(v, W )) ( Y h)( X V, W ) ( Y h)(v, X W ) şi Q(g, h)(x, Y, V, W ) = h((x Y )V, W ) + h(v, (X Y )W ), oricare ar fi X, Y, V, W χ(m). (X Y )V = g(y, V )X g(x, V )Y, Teorema 4.2.1. Orice subvarietate n-dimensională, pseudo-paralelă, antiinvariantă normală M a unei forme spaţiale Kenmotsu M(c) de dimensiune 2n + 1, este semi-paralelă. Propoziţia 4.2.3. Fie M o subvarietate Legendre pseudo-paralelă în forma spaţială Sasaki M(c) astfel încât ω este simetric în W şi Z, unde ω este câmpul tensorial definit de ω(x, Y, Z, W ) = g(h(x, V ), F Z)g(Y, W ) g(h(y, V ), F Z)g(X, W ), oricare ar fi X, Y, Z, W χ(m). Atunci, oricare ar fi x M, există un câmp vectorial unitar X şi λ 1 F(M) astfel încât X x T x M şi A F X X = λ 1 X; c = 1 + 8λ 2 1. Observaţia 4.2.4. Din Propoziţia 4.2.3, observăm că forma spaţială Sasaki M(c) are subvarietăţi Legendre pseudo-paralele dacă şi numai dacă λ 1 este o constantă. Propoziţia 4.2.5. Fie M o subvarietate n-dimensională, minimală, pseudoparalelă, anti-invariantă normală a formei spaţiale Sasaki generalizate M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune 2n + 1. Atunci 1 2 h 2 = Φn h 2 + h 2, (4.2.3) unde este laplacianul unei funcţii diferenţiabile pe o varietate diferenţiabilă şi Φ este o funcţie diferenţiabilă definită de (4.2.2).

24 Propoziţia 4.2.6. Fie M o subvarietate n dimensională, minimală, antiinvariantă normală în forma spaţială Sasaki generalizată M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune 2n + 1. Atunci 1 2 h 2 = h 2 + (f 2 + nf 1 ) h 2 [ [A eα, A eβ ] 2 + (tra eα A eβ ) 2 ]. (4.2.4) α,β α,β Teorema 4.2.7. Fie M o subvarietate n-dimensională, minimală, pseudoparalelă, anti-invariantă normală în forma spaţială Sasaki generalizată M(f 1, f 2, f 3 ) de dimensiune 2n + 1 astfel încât nφ f 2 nf 1 0, (4.2.5) unde Φ este funcţia diferenţiabilă definită de (4.2.2). Atunci M este total geodezică. Consecinţa 4.2.8. Dacă M este o subvarietate Legendre, minimală şi pseudoparalelă în forma spaţială Sasaki M(c) de dimensiune 2n + 1 astfel încât nφ n(c + 3) + c 1 4 0, cu Φ funcţie diferenţiabilă definită de (4.2.2), atunci M este total geodezică. Consecinţa 4.2.9. Dacă M este o subvarietate n-dimensională, minimală, pseudo-paralelă, anti-invariantă normală în forma spaţială Kenmotsu M(c) de dimensiune 2n + 1 astfel încât nφ n(c 3) + c + 1 4 0, cu Φ funcţie diferenţiabilă definită de (4.2.2), atunci M este total geodezică. 4.3 Subvarietăţi anti-invariante normale cu câmp conform închis în varietăţi Kenmotsu Fie M o subvarietate anti-invariantă normală de dimensiune m a varietăţii Kenmotsu M cu dim M = 2n + 1. Avem m n şi putem considera următoarea descompunere: T x M = F T x (M) τ x M < ξ x >,

unde τ x (M) reprezintă complementul ortogonal lui F T x M < ξ x > în T x M, F T M = x M F T xm, τ(m) = x M τ x(m). Fie {e 1,..., e m } o bază locală ortonormală a lui M. Atunci {F e 1,..., F em } este o bază locală ortonormală a lui F T M şi considerăm {e 2m+1,..., e 2n } o bază locală ortonormală a lui τ(m). Fie h τ (X, Y ) şi h F (X, Y ) componentele lui h(x, Y ) pe τ(m), respectiv F T M, pentru X, Y χ(m). Propoziţia 4.3.1. Fie M o subvarietate anti-invariantă normală şi de dimensiune m în varietatea Kenmotsu M, cu dim M = 2n + 1. Atunci F = F + F h τ ; F h F + A F = 0; h = h F + h τ g ξ. Considerăm 3-forma 25 C F : χ(m) χ(m) χ(m) F(M); C F (X, Y, Z) = g(h F (X, Y ), F Z), oricare ar fi X, Y, Z χ(m). Propoziţia 4.3.3. Fie M o subvarietate m-dimensională, anti-invariantă normală a varietăţii Kenmotsu M de dimensiune 2n + 1. Atunci C F este simetrică în X şi Y. Propoziţia 4.3.5. Fie M o subvarietate m-dimensională, anti-invariantă normală a varietăţii Kenmotsu M cu dim( M) = 2n+1. Dacă este îndeplinită cel putin una din următoarele condiţii: (i) M are vectorul curbură medie paralel; (ii) m = n, atunci F H este un câmp vectorial închis. Definiţia 4.3.6. Fie M o subvarietate normală anti-invariantă a varietăţii Kenmotsu M. Un câmp vectorial X χ(m) este un câmp închis conform dacă acesta este închis şi conform. Mai mult, dacă există f F(M) astfel încât h(x, X) = ff X, atunci X este un câmp conform închis special al lui M. Considerăm L = { Y/Y χ(m) : g(f H F, Y ) = 0 }.

26 Propoziţia 4.3.7. Fie M o subvarietate m-dimensională, anti-invariantă normală a varietăţii Kenmotsu M şi X un câmp conform închis special pe M, cu h(x, X) = ff X, f F(M). Atunci (i) f este o valoare proprie a lui A F X şi X este un vector propriu corespunzător ei; (ii) Y este un vector propriu al lui A F X, corespunzător valorii proprii λ dacă şi numai dacă h F (X, Y ) = λf X; Y (F X) = div(x) m F Y + F hτ (X, Y ); (iii) Y Z şi C F (X, Y, Z) = 0, oricare ar fi Y, Z L vectori proprii corespunzători la valori proprii diferite ale lui A F X. Propoziţia 4.3.10. Fie M o subvarietate m-dimensională, normală şi antiinvariantă a formei spaţiale Kenmotsu M(c) de dimensiune 2n + 1. Fie X un câmp vectorial conform închis special al lui M şi L X = {Y χ(m)/g(x, Y ) = 0}. Dacă Y L X, Y 0, este un vector propriu al lui A F X, corespunzător valorii proprii λ, atunci λ 2 fλ + Ric(X) m 1 c 3 X 2 + 1 4 Y 2 hτ (X, Y ) 2 = 0. Propoziţia 4.3.11. Dacă M este o subvarietate n-dimensională, anti-invariantă normală a formei spaţiale Kenmotsu M(c) de dimensiune 2n + 1 şi X este un câmp vectorial conform închis special pe M, atunci (i) A F X are cel mult trei valori proprii f, λ 1, λ 2 în orice punct al lui M, unde λ 1, λ 2 verifică următoarea ecuaţie: λ 2 fλ + Ric(X) n 1 c 3 X 2 = 0; 4 (ii) valorile proprii λ 1 şi λ 2 ale lui A F X conexe ale foliaţiei L. sunt constante pe subvarietăţile

Propoziţia 4.3.12. Fie M o subvarietate anti-invariantă normală a formei spaţiale Kenmotsu M(c) cu dim M 2. Dacă X este un câmp vectorial paralel nenul al lui M astfel încât h(x, X) = ff X, atunci f = constant. Definiţia 4.3.13. O subvarietate n-dimensională, anti-invariantă normală M a unei varietăţi Kenmotsu M de dimensiune 2n + 1 este o sferă de tip Whitney, dacă a doua sa formă fundamentală h satisface ecuaţia h(v, V ) = λ[g(v, V )H + 2g(H, F V )F V + 2 g(h, ξ)g(v.v )ξ], (4.3.1) n unde H este vectorul curbură medie al lui M, V χ(m) şi λ F(M). Propoziţia 4.3.14. Dacă M este o sferă de tip Whitney a unei varietăţi Kenmotsu M, atunci λ = unde λ este definit de (4.3.1) şi pentru orice V, W χ(m). n ; H > 1, n + 2 h(v, W ) = λ[g(v, W )H + g(h, F V )F W 27 + g(h, F W )F V 2 g(v, W )ξ], (4.3.2) n Teorema 4.3.15. Dacă M este o sferă de tip Whitney a unei forme spaţiale Kenmotsu M(c), atunci F H este un câmp vectorial conform închis al lui M. Propoziţia 4.3.16. Dacă M este o sferă de tip Whitney a formei spaţiale Kenmotsu M(c) de dimensiune 2n + 1, atunci tensorul lui Ricci, curbura scalară şi curbura secţională a lui M au următoarele expresii: (i) (n 1)(c 3) Ric(V ) = [ + 3n2 4 ] V 2 4 (n + 2) 2 n 2 + (n + 2) [n V 2 2 H 2 + (n 2)g 2 (F V, H)];

28 (ii) ρ = n(n 1)(c 3) 4 + 2n(n 1) (n + 2) + n2 (n 1) (n + 2) H 2 ; (iii) K(X, Y ) = c 3 4 + + 4 n + 4 n 2 ]. n 2 (n + 2) 2 [ H 2 + 3g 2 (H, F X) + 3g 2 (H, F Y ) Propoziţia 4.3.17. Fie M o sferă de tip Whitney a formei spaţiale Kenmotsu M(c) de dimensiune 2n + 1 şi H vectorul curbură medie al lui M. Atunci tensorul lui Ricci şi curbura secţională lui M verifică următoarele inegalităţi: (i) (n 1)(c 3) 4 (n 1)(c 3) 4 + 3n2 4 (n + 2) 2 + n 3 (n + 2) 2 H 2 Ric + 3n2 4 (n + 2) + 2n2 (n 1) H 2 : 2 (n + 2) (ii) K(X, Y ) c 3 4 + 4n2 (n + 2) 2 ( H 2 + 1 n + 1 n 2 ). În forme spaţiale Kenmotsu nu există sfere de tip Whit- Propoziţia 4.3.19. ney compacte.

Bibliografie [ABC04] [AC] [AC08] [AC09] [ACOS] [ALM99] [ALM02] [BC00] [Be81] P. Alegre, D. E. Blair, A. Carriazo, Generalized Sasakian space forms, Israel J. Math., 141(2004), 157 183. P. Alegre, A. Carriazo, Generalized Sasakian space-forms and conformal changes of metrics, Preprint. P. Alegre, A. Carriazo, Structures on generalized Sasakian space forms, Differ. Geom. Appl., 26(2008), 656 666. P. Alegre, A Carriazo, Submanifolds on generalized Sasakian space forms, Taiwanese J. Math., 13(2009), 923 941. P. Alegre, A. Carriazo, C. Özgür, S. Sular, New examples of generalized Sasakian space forms, Preprint. A. C. Asperti, G. A. Lobos, F. Mercuri, Pseudo-parallel immersions in space forms, Math. Contemp. 17(1999) 59 70. A. C. Asperti, G. A. Lobos, F. Mercuri, Pseudo-parallel submanifolds of a space form, Adv. Geom. 2(2002), 57 71. D. E. Blair, A. Carriazo, The contact Whitney sphere, Note di Matematica, 20, no. 2,(2000), 125 133. A. Bejancu, On semi-invariant submanifolds of an almost contact metric manifold. An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, 27(1981), suppl., 17 21. [Be82] A. Bejancu, Umbilical semi-invariant submanifolds of a Sasakian manifold, Tensor NS, 37(1982), 203 213. 29

30 Bibliografie [Bl76] [Bl02] [BO90] [BP81] [BP84] D. E. Blair, Contact Manifolds in Riemannian Geometry, Lecture Notes in Math., 509 (1976), Springer-Verlag. D. E. Blair, Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds, Birkhäuser, Boston, 203(2002). D. E. Blair, J. A. Oubina, Conformal and related changes of metrics on the product of two almost contact metric manifolds, Publ. Mat. Barcelona, 34(1990), 199 207. A. Bejancu, N. Papaghiuc, Semi-invariant submanifolds of a Sasakian manifold, An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iaşi, 27(1981), 163 170. A. Bejancu, N. Papaghiuc, Almost semi-invariant submanifolds of a Sasakian manifold, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 28(1984), 13 30. [Ca92] M. P. Do. Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992. [CCFF99] [CCFF00] [CCK70] [CCMS] [CG90] [Ch73] J. L. Cabrerizo, A. Carriazo, L. M. Fernández, M. Fernández, Semi-slant submanifolds of a Sasakian manifold, Geom. Dedicata, 78(1999), 183 199. J. L. Cabrerizo, A. Carriazo, L. M. Fernández, M. Fernández, Slant submanifolds in Sasakian manifolds, Glasgow Math. J., 42(2000), 125 138. S. S. Chern, M. P. do Carmo, S. Kobayashi, Minimal submanifolds of a sphere with second fundamental form of constant length, Functional analysis and Related Fields, Springer Verlag, 1970, 59 75. C. Călin, M. Crâşmăreanu, M. I. Munteanu, V. Saltarelli, Semiinvariant ξ -submanifolds of generalized quasi-sasakian manifolds, arxiv:1005.0184v1 [math.dg]. 2010. D. Chinea, C. Gonzalez, A classification of almost contact metric manifolds, Ann. Mat. Pura Appl., IV(156)(1990), 15 36. B. Y. Chen, Geometry of submanifolds, M. Dekker, New-York, 1973.

Bibliografie 31 [Ch92] [Ch93] [Ch02] B. Y. Chen, Geometry of slant submanifolds, Katholieke Universiteit Leuven, 1990. B. Y. Chen, Some pinching and classification theorems for minimal submanifolds, Arch. Math., 60(1993), 568 578. B. Y. Chen, Ricci curvature of real hypersurfaces in complex hyperbolic space, Arch. Math. (Brno), 38(2002), 73 80. [Cî08] M. Cîrnu, Topological properties of semi-slant submanifolds in Sasaki manifolds, Bull. Univ. Transilvania Braşov, 15(50)(2008), 79 86. [Cî09] M. Cîrnu, Stability of slant and semi-slant submanifolds in Sasaki manifolds, Acta Univ. Apulensis, 20(2009), 63 78. [Cî1xa] M. Cîrnu, Cohomology and stability of generalized Sasakian space forms, Bull. Malaysian Math. Sci. Soc., acceptată pentru publicare, http://www.emis. de/journals/bmmss/accepted papers.htm. [Cî10b] [Cî10c] [Cî10d] [CM05] [CM94] [De85] M. Cîrnu, Normal anti-invariant submanifolds with closed conformal vector field in Kenmotsu manifolds, Bull. Univ. Transilvania Braşov, 3(52)(2010), 9 18. M. Cîrnu, On pseudo-parallel submanifolds in Kenmotsu space forms, trimisă spre publicare, Stud. Univ. Babeş Bolyai Math. M. Cîrnu, Parallel and pseudo-parallel submanifolds in Generalized Sasakian space forms, trimisă spre publicare, Novi Sad J. of Math. B. Y. Chen, I. Mihai, Isometric immersions of contact Riemannian manifolds in real space forms. Houston J. Math., 31(2005), 743 764. B. Y. Chen and J. M. Morvan, Deformations of isotropic submanifolds in Kähler manifolds, J. Geom and Physics, 13(1994), 79 104. J. Deprez, Semi parallel surfaces in Euclidian space, J. Geom. 25(1985), 192 200.

32 Bibliografie [De92] [Do57] [DVV09] [Fe80] [GKS04] [GO76] [Ha69] [HOT63] [Ia83] [IP93] [JV81] [Ke72] R. Deszcs, On pseudosymmetric spaces, Bull. Soc. Math. Belg. Ser. A 44(1992), 1 34. P. Dolbeault, Formes différentielles et cohomologie sur une variété analytique complexe I, II, Ann of Math., 64(1956), 83 130 şi 65(1957), 282 330. F. Dillen, J. Van der Veken, L. Vranken, Pseudo-parallel submanifolds are semi-parallel, Differ. Geom. Appl., 27(2009), 766 768. D. Ferus, Symmetric submanifolds of euclidean space, Math. Ann., 247(1980), 81 93. R. S. Gupta, S. M. Khursheed Haider, M. H. Shashid, Slant submanifolds of a Kenmotsu manifold, Rad. Mat. 12(2004), no. 2, 205 214. Gh. Gheorghiev, V. Oproiu, Varietăţi diferenţiabile finit şi infinit dimensionale, Vol I, II, Edidura Academiei Române, 1976. M. Harada, On Sasakian submanifolds, Tôhoku Math. J.., 21(1969), 495 500. Y. Hatakeyema, Y. Ogawa, S. Tanno, Some properties of manifolds with contact metric structures, Tôhoku Math. J., 15(1963), 42 48. S. Ianuş, Geometrie diferenţială cu aplicaţii în teoria relativităţii, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1983. S. Ianuş, A. M. Pastore, Harmonic maps on metric almost contact manifolds, Dipart. di. Matematica, Univ. degli Studi di Bari, Report no 3 /93. D. Janssens, L. Vanhecke, Almost contact structures and curvature tensors, Kodāi Math. J., 4(1981), 1 27. K. Kenmotsu, A class of almost contact Riemannian manifolds, Tôhoku Math. J., 24(1972), 93 103.