Diskretna matematika 1 / Teorija grafov

Diskretna matematika 1 / Teorija grafov 1. Osnovni pojmi Vladimir Batagelj Univerza v Ljubljani FMF, matematika Finančna matematika Ljubljana, december 2013 / februar 2008 1 / 31

Kazalo 1 2 3 4 5 6 Pajek Učilnica: http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/course/view.php?id=39 Različica: 24. december 2013 2 / 31

Park th Kenton Wembley ey Central ridge Park Harlesden n Junction Kensal Rise Brondesbury Finchley Road Kensal Green Queen's Park Maida Vale Kilburn Park Edgware Warwick Avenue Paddington Road Royal Oak stbourne Park Paddington Edgware Marylebone roke Grove timer Road Road Bayswater White City Wembley Park Dollis Hill Willesden Green Primer 1: Kilburn The Tube West Hampstead Holland Notting Lancaster Bond Oxford Chancery Park Hill Gate Gate Street Circus Holborn Lane Queensway Marble Tottenham St. Paul's Arch Court Road 2 1 Covent Garden Bank A High Street st Shepherd's ton Bush on Kensington tral (Olympia) Mondays - Saturdays Shepherd's open 0700-2345 Sundays Bush open 0800-2345 hawk Road mmersmith avenscourt Park Barons Court West Kensington West Brompton Fulham Broadway Brondesbury Park Earl's Court Closed until May 2006 Kensington Gloucester Road Knightsbridge South Kensington Hyde Park Corner 1 Swiss Cottage St. John's Wood Sloane Square Finchley Road & Frognal Victoria 200m Baker Street Green Park St. James's Park Piccadilly Circus Great Portland Street Westminster Belsize Park Heath Chalk Farm Camden Town No entry from the street on Sundays 1300-1730 (exit and interchange only) Mornington Crescent Warren Street Regent s Park Goodge Street Waterloo Euston Euston Square Leicester Square Oak Kentish Town West Euston 200m Charing Cross Mansion House Embankment Charing Cross 100m Camden Road King's Cross St. Pancras Russell Square Temple Kentish Town Open Mondays - Saturdays Waterloo & City line Mondays - Fridays 0615-2130 Saturdays 0800-1830 Sundays closed Blackfriars Caledonian Road Caledonian Road & Barnsbury Angel Farringdon Barbican Moorgate Cannon Street Open Mondays - Fridays until 2100 only Saturdays 0730-1930 Holloway Road Arsenal Old Street Monument Liv S Fenchurch S London Bridge 3 / 31

Primer 2: They Rule 4 / 31

Primer 3: Molekule 5 / 31

Graf, vozlišče, povezave Graf imenujemo trojico G pv, E, Aq, kjer so V, E in A paroma ločene (končne ali števno neskončne) množice. Množica V je množica vozlišč (ali točk) grafa G; množici E in A pa zaporedoma množica neusmerjenih povezav in množica usmerjenih povezav grafa G. Množici E in A sta lahko tudi prazni. Graf lahko narišemo tako, da za vsako vozlišče narišemo krogec, povezave pa prikažemo s črtami, ki vežejo ustrezna vozlišča. Če je povezava usmerjena, nakažemo smer s puščico. Pogosto tudi tako dobljeni sliki grafa pravimo kar graf. 6 / 31

Usmerjene in neusmerjene povezave, zanke Vsaki povezavi iz L E Y A pripadata dve vozlišči - njeni krajišči. Če je povezava usmerjena, je eno krajišče začetek, drugo pa konec povezave. Da ima neusmerjena povezava p krajišči u in v bomo zapisali ppu : vq, oziroma enakovredno ppv : uq; in apy, xq, da je vozlišče y začetek in vozlišče x konec usmerjene povezave a. Rekli bomo tudi, da povezava p P E veže svoji krajišči, in da povezava a P A gre (vodi) od svojega začetka do svojega konca. V primeru, ko predstavlja obe krajišči povezave isto vozlišče, pravimo taki povezavi zanka. Vozlišče, ki ni krajišče nobene povezave, je osamljeno (izolirano) vozlišče. 7 / 31

Opis grafa množice V ta, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, lu A tpa, bq, pa, dq, pa, f q, pb, aq, pb, f q, pc, bq, pc, cq, pc, gq 1, pc, gq 2, pe, cq, pe, f q, pe, hq, pf, kq, ph, dq, ph, lq, pj, hq, pl, eq, pl, gq, pl, hqu E tpb : eq, pc : dq, pe : gq, pf : hqu G pv, E, Aq L A Y E 8 / 31

Krajišče, začetek, konec, dvojček Označimo z V p2q ttu, vu : u, v P V u množico vseh eno ali dvo elementnih podmnožic množice vozlišč V. Pri opisu zvez med vozlišči in povezavami bomo uporabljali naslednje funkcije: ext : L Ñ V p2q init : A Ñ V term : A Ñ V twin : V ˆ L Ñ V ki zadoščajo naslednjim zahtevam: krajišči povezave začetek povezave konec povezave drugo krajišče povezave extpppu : vqq tu, vu initpapu, vqq u twinpu, apu, vqq v twinpu, ppu : vqq v extpapu, vqq tu, vu termpapu, vqq v twinpu, apv, uqq v 9 / 31

Razširitev zapisa na vse povezave V nadaljnem nam bosta prišli prav naslednji razširitvi zapisa povezav: naj bo p P L, potem pomeni in ppu, vq pp P E ^ ppu : vqq _ pp P A ^ ppu, vqq ppu : vq ppu, vq _ ppv, uq Povezavi sta vzporedni, če imata isti krajišči. Če je A H, pravimo, da je graf neusmerjen; in je usmerjen, če je E H. 10 / 31

Enostavni grafi Kadar veže vsak par vozlišč v danem grafu kvečjemu ena neusmerjena povezava ali pa vodi v vsako smer največ po ena usmerjena povezava in graf nima neusmerjenih zank, pravimo da je graf enostaven. Enostavnim usmerjenim grafom pravimo tudi relacijski ali Bergeovi grafi. Pri enostavnih je vsaka povezava enolično določena s krajiščema in vrsto (usmerjena/neusmerjena). Zato lahko neusmerjeno povezavo s krajiščema u in v označimo kar z pu : vq; usmerjeno povezavo z začetkom u in koncem v pa z pu, vq. Potemtakem je množica povezav A relacijskega grafa G pv, H, Aq povratno enolično povezana z relacijo: R A tpu, vq : Da P A : apu, vqu Ď V ˆ V Tako smo prišli do običajne definicije relacijskega grafa kot dvojice pv, Rq, pri čemer je R Ď V ˆ V dvomestna relacija nad V. 11 / 31

Končni grafi Če so vse tri množice V, E in A končne, je tudi graf končen. V tem sestavku se bomo v glavnem ukvarjali le s končnimi grafi, zato bomo ta pridevnik opuščali. Število vozlišč grafa bomo označevali z n, število povezav pa z m. Torej n cardpv q in m cardplq 12 / 31

Graf Matrika a b c d e f g h i j k l a 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 b 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 c 0 1 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 d 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 h 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 Graf G je enostaven ntk. vse vrednosti v matriki so 0 ali 1. 13 / 31

uki fra wge jap net ita usa bel lux swe den swi can nor spa irn irq pak ire aut hun isr sau kuw aus fin por bra arg pol cze usr ege yug ind cha gre tur egy bul rum syr leb cyp ice tun cub liy mor alg nig uga ken eth brm tha sud sri gha kor vnr phi nze tai mla ins saf mex col uru per chi ven ecu lib dom zai jam tri pan sen ivo els cos gua hon nic car chd nau tog dah nir gab sie con hai gui mat bol par cam maa yem kod lao mon nep bur rwa vnd som afg mli upv alb kmr jor uki fra wge jap net ita usa bel lux swe den swi can nor spa irn irq pak ire aut hun isr sau kuw aus fin por bra arg pol cze usr ege yug ind cha gre tur egy bul rum syr leb cyp ice tun cub liy mor alg nig uga ken eth brm tha sud sri gha kor vnr phi nze tai mla ins saf mex col uru per chi ven ecu lib dom zai jam tri pan sen ivo els cos gua hon nic car chd nau tog dah nir gab sie con hai gui mat bol par cam maa yem kod lao mon nep bur rwa vnd som afg mli upv alb kmr jor Slika grafa / Matrični prikaz kod car par yem mat bol nau lib hai alb nic gua mon zai hon syr tri kmr sri saf sie uru tai rum vnr upv arg gab pol usr lux spa nor ins isr mex pan usa bul liy mli cze fra net gre jor eth jap can ita col ege bra swe gui bur ind chd vnd nep por uki tha nze tur sau pak wge els maa chi den uga con cha yug bel swi dom phi irn egy mor kor cyp aus alg aut hun ire cam leb irq fin ven per nig kuw gha afg rwa ice sen cub ecu som mla brm sud tun ivo cos ken jam nir Pajek - shadow [0.00,1.00] dah lao tog Na sliki je prikazan graf trgovine med izbranimi državami sveta. Pri večjih z veliko povezavami postane slika grafa nepregledna; v matričnem prikazu, za ustrezni vrstni red vozlišč, pa lahko opazimo pravilnosti in vzorce. 14 / 31

Graf H pv 1, E 1, A 1 q, za katerega velja V 1 Ď V in L 1 Ď L, imenujemo podgraf grafa G pv, E, Aq in zapišemo H Ď G. Pozor, ker je H graf, so vsa krajišča povezav iz L 1 v V 1. 15 / 31

... Če je V 1 V, govorimo o vpetem podgrafu. Poleg vpetih podgrafov poznamo še podgrafe, porojene z množico vozlišč V 1 Ď V : L 1 LpV 1 q tp P L : Du, v P V 1 : ppu : vqu, extppq Ď V 1 oziroma z množico povezav L 1 Ď L: V 1 V pl 1 q tv P V : Dp P L 1 Du P V : ppu : vqu Y ppl 1 extppq extpl 1 q 16 / 31

Homomorfizmi in izomorfizmi Imejmo grafa G pv, E, Aq in H pv 1, E 1, A 1 q. Preslikavi ϕ : V Ñ V 1 in ψ : L Ñ L 1 določata šibki homomorfizem grafa G v graf H natanko takrat, ko velja: @u, v P V @p P L : pppu : vq ñ ψppqpϕpuq: ϕpvqqq oziroma določa (krepki) homomorfizem grafa G v graf H natanko takrat, ko velja: @u, v P V @p P L : pppu, vq ñ ψppqpϕpuq, ϕpvqqq Pri enostavnih je krepki homomorfizem določen že s preslikavo ϕ. 17 / 31

Izomorfizmi in stalnice V primeru, ko sta ϕ in ψ bijekciji in v ustreznem pogoju velja namesto implikacije ekvivalenca, pa govorimo o izomorfizmu grafov G in H. Da sta grafa šibko izomorfna zapišemo G H; da sta (krepko) izomorfna pa G «H. Obe izomorfnosti sta ekvivalenčni relaciji in velja «Ă. Stalnica ali invarianta grafa imenujemo vsako grafu prirejeno število, ki je enako za vse med seboj izomorfne grafe. Stalnice imajo pomembno vlogo pri postopkih za ugotavljanje izomorfnosti grafov. V nadaljevanju bomo spoznali več stalnic. 18 / 31

h 6 i j 5 7 k e l f g 3 4 d b c 1 a 2 u A B t F J v z G E I C H y x D 9 m 8 ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t y z x v u z y t ψ a b c d e f g h i j k l m E J D H G C H G B F J I E Pajek: homoena.net Pajek 19 / 31

Izomorfna grafa 1 a j 5 10 6 7 2 d h b g i 9 8 c 4 3 e f ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b h j a g c e i d f Pajek: izopet.net Pajek 20 / 31

Zvezde, kratnosti in stopnje Števila vseh povezav izbrane vrste (usmerjene/neusmerjene, vstopajoče/ izstopajoče, vse,... ) s krajiščem v danem vozlišču, oziroma števila povezav, ki vežejo dani vozlišči, imenujemo kratnosti povezav. Formalno vpeljemo kratnosti s pomočjo zvezd. Zvezda v danem vozlišču je množica vseh povezav, ki imajo to vozlišče za krajišče: Lpvq tp : v P extppqu 21 / 31

Zvezde, kratnosti in stopnje Pravzaprav poznamo več vrst zvezd. Npr.: L 0 pvq tp : extppq tvuu Epvq tp : p P E ^ v P extppqu A term pvq tp : p P A ^ termppq vu Tako lahko definiramo kratnost povezav v vozlišču u ali stopnjo vozlišča u dpuq cardplpuqq kratnost povezav med vozliščema u in v dpu, vq cardplpuq X Lpvqq in kratnost usmerjenih povezav iz vozlišča u v vozlišče v Ad out pu, vq cardpa init puq X A term pvqq 22 / 31

Zveze Med kratnostmi velja cel kup zvez. Na primer: dpu, vq dpv, uq in dpuq ÿ vpv dpu, vq Kadar želimo posebej povedati, da se neko število nanaša na graf G, mu dodamo oznako grafa. Tako na primer z oznako dpu, v; Gq poudarimo, da gre za kratnost povezav med vozliščema u in v glede na graf G. Če je za vsako vozlišče v P V stopnja dpvq končna, pravimo, da je graf lokalno končen. 23 / 31

Graf Sosedi N A paq tb, d, f u N A pbq ta, f u N A pcq tb, c, g, gu N A peq tc, f, hu N A pf q tku N A phq td, lu N A pjq thu N A plq te, g, hu N E peq tb, gu N E pcq tdu N E pf q thu Npvq N A pvq Y N E pvq 24 / 31

Valence Na povezave s krajiščem v danem vozlišču lahko gledamo na dve načina (povezave v celoti; ali pa čisto lokalno, kot polpovezave zanke štejemo dvakrat). Zato vpeljemo še pojem valence: vpuq dpuq ` d 0 puq kjer je d 0 puq cardpl 0 puqq število zank v vozlišču u. Poglejmo si vsoto vseh valenc. Vzemimo povezavo p s krajiščema u in t. Če je u t, štejemo povezavo enkrat v valenci vozlišča u in drugič v valenci vozlišča t; če pa je u t, je p zanka in jo, po definiciji valence, štejemo dvakrat v vozlišču u. V vsakem primeru jo v vsoti vseh valenc štejemo natanko dvakrat. Torej je: ÿ vpuq 2m oziroma p ÿ vpuqq mod 2 0 upv upv 25 / 31

Lema o rokovanjih Od tu izhaja naslednja ugotovitev: V vsakem grafu je sodo vozlišč lihe valence. Dokaz: Naj bo V 0 množica vozlišč sode valence in V 1 množica vozlišč lihe valence. Velja V 0 Y V 1 V in V 0 X V 1 H. Zato je 0 p ÿ vpuqq mod 2 p ÿ ÿ vpuq ` vpuqq mod 2 upv upv 0 upv 1 pp ÿ ÿ vpuqq mod 2 ` p vpuqq mod 2q mod 2 upv 0 upv 1 cardpv 1 q mod 2 l Gornji izrek pogosto imenujejo tudi lema o rokovanjih, kar izhaja iz naslednje preobleke : Na nekem srečanju se je več ljudi med seboj rokovalo. Vselej se je sodo izmed njih rokovalo z lihim številom udeležencev srečanja. 26 / 31

Sosedi Vozlišči sta sosednji, če sta krajišči skupne povezave. Podobno kot obstaja več vrst zvezd, obstajajo tudi ustrezne množice sosedov dane vozlišče. Tako je na primer: extplpv qqztv u extpepvq Y A term pvqq extpepvq Y A init pvqq... (pravi) sosedi vozlišča v (neposredni) predhodniki vozlišča v (neposredni) nasledniki vozlišča v V končnem grafu je sodo vozlišč, ki ima liho pravih sosedov. To lahko sprevidimo takole. Grafu G pv, E, Aq priredimo ogrodje (skelet), to je enostaven neusmerjen graf SpGq pv, E 1, Hq, pri čemer je: E 1 tpu : vq : u, v P V, u v, Dp P L : ppu : vqu Ker je vpu; Sq enaka številu pravih sosedov vozlišča u v grafu G, je, po prejšnji trditvi, trditev dokazana. 27 / 31

δpgq in pgq S stopnjo vozlišča sta povezani dve stalnici grafa: najmanjša valenca δpgq in največja valenca pgq δpgq min vpuq in pgq max vpuq upv upv Če imajo vsa vozlišča grafa isto valenco r, pravimo, da je graf r regularen (pravilen). 3 regularnim grafom pravimo tudi kubični grafi. Na sliki je prikazanih nekaj kubičnih grafov. Drugi izmed njih je Petersenov graf, ki ima v teoriji grafov pomembno vlogo kot dežurni protiprimer. 28 / 31

Ničelni graf in polni graf Poglejmo si še nekaj primerkov enostavnih neusmerjenih grafov: Ničelni graf na n vozliščih: N n pv, Hq, cardpv q n Polni graf na n vozliščih: K n pv, Eq, cardpv q n, E tpu : vq : u, v P V ^ u vu Na sliki sta prikazana grafa N 4 in K 5. Pajek 29 / 31

Kocke 010 000 011 001 111 101 110 100 Na sliki sta prikazana grafa trirazsežne kocke Q 3 in štirirazsežne kocke Q 4. k razsežno kocko Q k lahko opišemo na primer takole. Za množico vozlišč V vzamemo naravna števila od 0 do 2 k 1. Naj bo u u k 1 u k 2... u 2 u 1 u 0 p2q dvojiški zapis številavozlišča u. Tedaj množico povezav k razsežne kocke opišemo takole Pajek k 1 ÿ E tpu : vq : pu i Y v i q 1u i 0 Dvojiški številki krajišč povezave se razlikujeta natanko na enem mestu. 30 / 31

Pravilni poliedri Platonska telesa 31 / 31