FD. FIZICĂ STATISTICĂ

FD. FIZICĂ STATISTICĂ

C u p r n s Introucere... 4 Captolul FD.0. Obect ş metoă. Prncple ş postulatele fzc statstce 5 FD.0.. Obectul fzc statstce... 5 FD.0.. Metoa statstcă... 7 FD.0.3. Prncple fzc statstce... 8 FD.0.4. Anexe matematce ş fzce... 0 Captolul FD.0. Dstrbuţa Boltzmann. Dstrbuţa Maxwell... 9 FD.0.. Moelul. Partcule clasce ş cuantce... 9 FD.0. Ponerea statstcă în strbuţle clasce. Dstrbuţa Boltzmann... 0 FD.0.3 Calculul mărmlor termonamce... 3 FD.0.4 Introucere în stuul strbuţe canonce a lu Gbbs... 6 FD.0. 5 Dstrbuţa Maxwell... 9 Captolul FD.03. Dstrbuţ Gbbs: mcrocanoncă, canoncă... Captolul FD.04. Aplcaţ smple: gazul eal, paramagnetsmul. 3 FD.04.. Gazul eal... 3 FD.04.. Paramagnetsmul... 3 FD.04.3. Temperatur absolute negatve... 38 Captolul FD.05. Dstrbuţa macrocanoncă... Captolul FD.06. Teoreme generale. Aplcaţ.. 40 FD.06.. Domen e aplcabltate a strbuţe Boltzmann... 40 FD.06.. Teorema echpartţe energe... 40 FD.06.3. Aplcaţ smple ale teoreme echpartţe energe... 4 FD.06.4. Statstca efectelor în corpur sole... 43 Captolul FD.07. Statstc cuantce... 45 FD.07.. Dstrbuţa Bose-Ensten... 45 FD.07.. Dstrbuţa Ferm-Drac... 50 FD.07.3. Conensarea Bose-Ensten... 54 Captolul FD.08. Ssteme în nteracţune: feromagnetsmul.. 5 FD.08. Moelul Isng... 5 FD.08.. Moelul Isng aplcat relaţlor socale... 53 Captolul FD.09. Aplcaţ e laborator Captolul FD.0. Autoevaluare... Captol FD.0. Obect ş metoă. Prcple ş postulatele fzc statstce... Exercţ ș probleme rezolvate... Exercţ ș probleme propuse spre rezolvare... Întrebăr/ chestun recaptulatve... Captol FD.0. Dstrbuţa Boltzmann. Dstrbuţa Maxwell... Exercţ ș probleme rezolvate... Exercţ ș probleme propuse spre rezolvare... Întrebăr/ chestun recaptulatve...

Captol FD.04. Aplcaţ smple: gazul eal, paramagnetsmul... Exercţ ș probleme rezolvate... Exercţ ș probleme propuse spre rezolvare... Întrebăr/ chestun recaptulatve... Captol FD.06. Teoreme generale. Aplcaţ... Exercţ ș probleme rezolvate... Exercţ ș probleme propuse spre rezolvare... Întrebăr/ chestun recaptulatve... Captol FD.07. Statstc cuantce... Exercţ ș probleme rezolvate... Exercţ ș probleme propuse spre rezolvare... Întrebăr/ chestun recaptulatve... Captol FD.08. Ssteme în nteracţune: feromagnetsmul... Exercţ ș probleme rezolvate... Exercţ ș probleme propuse spre rezolvare... Întrebăr/ chestun recaptulatve... Bblografe... 3

I n t r o u c e r e Cuvnte-chee Grae e lbertate Fzca statstcă se ocupă cu cercetarea sstemelor care conţn extrem e multe partcule. Acestea pot f e acelaş tp, ca e exemplu moleculele unu gaz eal, sau ferte, ca e exemplu versele molecule în nteracţune ntr-un amestec chmc. Se stuază verse stăr e agregare, verse ssteme e crstalzare, transformărle ntr-o stare în alta, etc. Fzca statstcă este complementară termonamc. Termonamca foloseşte relatv puţn parametr e stare ş găseşte relaţ foarte generale, aplcable în multe omen ale fzc, însă nu se ocupă e structura mcroscopcă a sstemelor. Fzca statstcă porneşte e la stuul mcroscopc al sstemelor cu foarte multe grae e lbertate, acă cu foarte multe posbltăţ nepenente e mşcare. Deoarece acest stuu este foarte laboros, se trece apo la meerea relaţlor, căutân aecvarea cu termonamca, sau cu alte părţ macroscopce ale fzc. 4

Captolul FD.0. Obect ș metoă. Prncple ş postulatele fzc statstce Cuvnte-chee Constrânger, spaţul e confguraţe, spaţul fazelor, teorema lu Louvlle, prncpulu e ncerttune al lu Hesenberg, macrostare, mcrostare, colectv statstc vrtual, ponere statstcă, prncpul probabltăţloe a pror egale, prncpul valorlor me maxme la echbru, mea în tmp, mea pe ansamblu, prncpul ergoc, funcţ caracterstce, multplcator Lagrange, aproxmaţa Strlng, prncple termonamc FD.0.. Obectul fzc statstce In mecanca clască se stuaza mşcarea sstemelor e n puncte materale. Starea sstemulu este escrsă e toate cooronatele ş vtezele generalzate t q t,..., q t, q t, q t,..., q t q, f f. umărul acestor parametr este egal cu f, une f 3n l este numărul e grae e lbertate, egal cu numărul e cooronate generalzate nepenente. În formula numărulu e grae e lbertate l este numărul e constrânger, cu alte cuvnte numărul e legătur ntre cooronatele punctelor materale. Metoa e lucru este următoarea: - Se conseră cunoscută starea nţală ată e cooronatele ş e vtezele nţale q q, q 0,..., q 0, q 0, q 0,..., q 0 0 n n - Se rezolvă ecuaţle lu Lagrange, în număr e f. - Se găsesc cooronatele ş vtezele generalzate la un moment ulteror t q t,..., q t, q t, q t,..., q t, n n. otă. Cooronatele generalzate escru un spaţu cu f cooronate, numt spaţul e confguraţe. Se pot ntrouce cooronatele generalzate ş mpulsurle generalzate p, p,..., p f. Cooronatele ş mpulsurle generalzate formează un spaţu abstract cu f cooronate, numt spaţul fazelor ş notat cu. Un punct n acest spaţu escre complet starea sstemulu e puncte. 5

Fg.. Rezolvarea une probleme e mecancă clască Amntm fără emonstraţe teorema lu Louvlle: volumul n spaţul fazelor ocupat e stărle unu sstem rămâne constant în tmpul evoluţe sstemulu. Metoa escrsă în Fg.. funcţoneaza acă nu sunt prea multe ecuaţ ş/sau conţ nţale. În mecanca cuantcă aborarea anteroară nu este posblă, n prcna prncpulu e ncerttune al lu Hesenberg. De aceea escreres cuantcă este ma puţn etalatecât cea clască. - Se cunosc contle nţale, cooronate sau mpulsur, ar nu ş unele ş altele - Se rezolvă ecuaţa Schrönger (pentru probleme nerelatvste) - Se găseşte starea sstemulu la momentul t Fg.. Rezolvarea une probleme e mecancă cuantcă Starea nu este efntă e un punct n spaţul fazelor Γ, c e o regune e volum f f xp. 6

Fg. 3. În mecanca cuantcă nu sunt smultan etermnate pozţle ş mpulsurle punctelor unu sstem materal. Putem vorb numa espre regun n spaţul fazelor. FD.0.. Metoa statstcă Sstemele n fzca statstcă au un numar e partcule e ornul numărulu lu Avogaro(0 3 ). Metoele mecanc clasce nu se pot aplca eoarece: - nu putem măsura toate cooronatele ş vtezele nţale (eror) - nu putem rezolva un număr aşa mare e ecuaţ - nu putem urmăr fecare partculă în parte, pentru a veea acă rezultatele calculelor noastre sunt corecte ş se confrmă expermental. De aceea se folosesc metoe statstce. Ca ş în alte omen statstca matematcă, cea socală rezultatele statstce în fzcă sunt valable pentru sstemele cu un număr mare e elemente (partcule). Erorle relatve sunt proporţonale cu, fn numărul e partcule. Fzca statstca stuază aşaar ssteme formate ntr-un număr foarte mare e partcule, care pot f entce, sau ferte. Cunoscân legle mcroscopce e nteracţune ş e mşcare, trebue eusă comportarea mee a sstemulu, numtă ş comportare termonamcă. Este un caz specal e sstem complex, prmul ş cel ma bne stuat în evoluţa storcă. o vom stua ma ales fzca statstcă a sstemelor la echlbru. e lmtăm la ssteme e partcule entce: - acă partculele sunt clasce, ele sunt scernable; satsfac strbuţa Boltzmann, cu un caz partcular strbuţa Maxwell 7

- acă partculele sunt cuantce, ele sunt nscernable; acă au spn întreg satsfac strbuţa Bose-Ensten; acă au spn sem-întreg satsfac strbuţa Ferm-Drac. Fzca statstcă este legată e teora nformaţe ş, ma e curân, e nformatca cuantcă prn noţunea e entrope, ntrousă e Clausus, funamentată e Boltzmann ş aplcată în teora nformaţe e către Shannon. Observaţe. Entropa lu Shannon este legată e necunoaşterea unor nformaţ ş pare să fe fertă e entropa fzcă a lu Boltzmann, care este legată e marm energetce. Totus legătura exstă ş a fost pusă în evenţă e Jaynes ş e Lanauer. [J0, L0]. Introucem următoarele efnţ.. Spaţul fazelor Γ: cu f~0 3 cooronate. Macrostare: starea macroscopcă, termonamcă, escrsă e puţn parametr e stare, e multe or ma puţn e 0. 3. Mcrostare: starea sstemulu efntă în Γ prn cooronatele ş mpulsurle tuturor partculelor, f~0 3 parametr. 4. Colectv statstc vrtual: mulţmea e mcrostăr compatble cu o macrostare. 5. Ponerea statstcă Ω: numărul e mcrostăr n colectvul statstc. Observaţe. Acest număr este enorm. O estmare nţala se poate face astfel: entropa este o funcţe atvă, aşaar este proporţonală cu numărul e partcule n sstem. Conform relaţe lu Boltzmann S klnω, aşaar S / k e e. Pentru 3 60 rezulta A 3,50 3 exp[6 0 ] 0 De aceea se foloseşte ma ales logartmul poner statstce, care are ş un înţeles termonamc clar, fn proporţonal cu entropa. FD.0.3. Prncple fzc statstce Fzca satstcă a sstemelor la echlbru se bazează pe câteva noţun statstce pe care le vom prezenta într-un mo cât ma smplu. Conform prncpulu general al termonamc, un sstem zolat aunge întoteauna la echlbru ş rămâne acolo până cân se mofcă parametr extern. Pe e altă parte, fecare stare termonamcă e echlbru se realzează prn foarte multe stăr mcroscopce ale partculelor componente. Ca exemplu, să ne gânm la aerul ntr-o cameră, pe care îl presupunem format numa n molecule e azot ş e oxgen. umărul acestora se poate estma în felul următor. În conţ normale e 8

temperatură ş presune un mol e gaz eal ocupă un volum e crca,4 L. Într-o cameră e 50 m 3 se vor găs aproxmatv 50 e mol, acă 7,35 0 molecule. Gazul nu-ş va mofca temperatura sau presunea acă permutăm între ele ouă molecule e oxgen, sau ouă e azot, nc acă le permutăm mpulsurle, nc acă facem acest lucru cu grupur e câte 3, 4, 5,... molecule. Rezultă că aceeaş stare macroscopcă (termonamcă) se poate obţne n enorm e multe stăr mcroscopce (a se veea observaţa e ma sus, e la sfârştul captolulu FD.0.). De ac, prn generalzare, rezultă următoarele prncp.. Probabltăţ a pror egale: în lpsa nformaţlor suplmentare, stărle mcroscopce compatble cu o macrostare ată (n aşa-numtul colectv statstc vrtual) sunt egal probable. Orce nformaţe în plus mofcă această poteză. Exemplu macroscopc: probabltatea ca la aruncarea unu zar să caă faţa 6 este a pror egală cu /6. Orce propozţe e genul: faţa 6 are o probabltate e aparţe egală cu /4, sau /3 presupune nformaţ suplmentare ş trebue prvtă cu suspcune.. Starea e echlbru este cea ma probablă: la echlbru starea macroscopcă corespune celu ma bogat colectv statstc vrtual, acă are ponerea statstcă maxmă. Prncpul poate f înţeles acă observăm că maottatea stărlor mcroscopce ntr-un colectv vrtual feră foarte puţn între ele (gânţ-vă la exemplul aerulu ntr-o cameră). Oată la echlbru, un sstem termonamc nu rămâne în aceeaş mcrostare, c trece prn toate mcrostărle n colectvul statsrc vrtual. Dar prncpul general al termonamc afrmă că un sstem nu ese n starea e echlbru fără mofcarea parametrlor extern. Aceasta înseamnă că mcrostărle sunt extrem e numeroase ş sstemul nu face ecât să treacă prn toate acestea. 3. Mărmle macroscopce sunt mele mărmlor mcroscopce. Mea, fe cea calculată în tmp, fe pe ansamblu, se foloseşte la calcularea mărmlor termonamce caracterstce. Fgura următoare clarfcă înţelesul ş moul e calcul al celor ouă me. 9

Fg. 4. Mea în tmp ş mea pe ansamblu. Pentru mea în tmp a unu parametru e stare a trebue să calculăm ntegrala a t lm a( t) t pentru () 0 pe o urată cât ma mare. Gbbs a ntrous noţunea e ansamblu statstc, presupunân că spunem e un număr foarte mare e ssteme entce cu sstemul nţal. Dacă fxăm un 0

moment e tmp ş măsurăm sau calculăm valorle parametrulu a a acest moment pentru toate sstemele, putem calcula apo mea pe ansamblu: a ansamblu n a n, une n () Teorema ergocă (sau prncpul ergoc) afrmă că cele ouă me sunt egale aproape peste tot (amănunte e exemplu în http://en.wkpea.org/wk/ergoc_theory#ergoc_theorems). Metoa e cercetare a stărlor e echlbru. o vom stua în specal stărle e echlbru. Aşaar cum găsm stărle e echlbru? Exstă o metoă clară, pe care o vom urma e ma multe or ş care cuprne câţva paş:. Determnăm ponerea statstcă Ω folosn cunoştnţele espre sstem ş estmân valorle unor canttăţ fzce.. Calculăm maxmul poner statstce folosn unele noţun e analză matematcă ş unele aproxmaţ. Toate aceste noţun e matematcă se găsesc în anexe. 3. Calculăm mele ş găsm comportarea macroscopcă (termonamcă). Pentru acest pas este nevoe e câteva noţun e termonamcă, în specal asupra funcţlor caracterstce. Vom face acest lucru în captolul următor FD.0.4. Întreaga cercetare se bazează aşaar pe relaţa: echlbru maxm (3) FD.0.4. Anexe matematce ş fzce. Extreme cu legătur, multplcator Lagrange (upă http://en.wkpea.org/wk/lagrange_multpler) Cautăm extremele une funcţ acă exstă constrânger asupra omenulu e varaţe a varablelor. Să cautăm maxmul funcţe f(x, y) acă lmtăm soluţle pe curba g(x, y) = c. În absenţa constrângerlor, maxmele se găsesc prntre punctele în care se anulează ervatele parţale e ornul întâ. Într-aevăr, în aproperea acestor puncte varaţa funcţe se anulează:

f f f x y 0 (A. ) x y Deoarece varablele x ş y sunt nepenente, la fel sunt varaţle lor ş ervatele parţale se anulează: f f 0, 0 x y (A.) Acum să cautăm maxmul funcţe f(x, y) acă, în acelaş tmp, g(x, y) = c. Acum varaţle x ş y nu ma sunt nepenente ş ec ervatele parţale nu se ma anuleaza. Tot ce putem spune este oar că relaţa (A.) ramâne valablă. Fg. 5a. Căutăm punctul (x, y) une f(x,y) este maxmă, cu constrângerea (în roşu) g(x,y) = c. Se ntrouce o nouă necunoscută, numtă multplcator Lagrange ş se stuază funcţa Lagrange x, y, f x, y gx y, c (A.3) Punctele e maxm ale lu f(x, y) se găsesc prntre punctele staţonare ale lu x, y,.

Fgura : Curbe e nvel pt Fg.. Lna roşe este constrângerea g(x,y) = c. Lnle albastre sunt curbele e nvel pt f(x,y). Soluţa este ată e punctul une lna roşe este tangentă la una n curbele albastre e nvel constant. Dacă parcurgem curba roşe g(x,y) = c ntersectăm verse curbe e nvel ale lu f(x,y), acă valoarea functe f(x,y) varază. Valoarea nu varază numa în urul unu punct e extrem, acă numa acă lna g(x,y) = c este tangentă la curbele e nvel ale lu f(x,y). Dacă tangentele la cele oua curbe conc, la fel se întamplă cu normalele, aca graenţ sunt paralel. Aşaar cautăm punctele în care x, y f g x, y ş, în acelaş tmp, g(x,y) = c. Ecuaţa care ă aceste conţ este x y, f x, y gx, y c 0 x, y,, x, y, (A. 4) Graentul upa ă constrangerea g(x,y) = c, ar graentul upa x ş y este: f g f g u x u y 0 (A. 5) x x y y sau, în general, f g 0 u. x x Deoarece versor sunt ortogonal, fecare paranteză este nulă. Pentru constrânger în n mensun: 3

f x g g 0,,,... n (A. 6) x x. Aproxmata Strlng umarul e stăr mcroscopce ntr-un ansamblu vrtual poate f enorm: acă numărul e partcule este e ornul numărulu lu Avogaro, atunc numărul e stăr poate f e ornul 00 0 0 s varază extrem e rap cu populaţle verselor stăr. Maxmele unor astfel e funcţ sunt foarte ascuţte ş e obce se lucrează cu logartm. Vom avea nevoe e o aproxmaţe a lu ln n!, cu n. Aproxmaţa se ustfcă astfel: n n n n! n ln xx x ln x x nln n n nln n n ln k ln( n!) nln n n, n>> (A. 7) O aproxmaţe ma exactă se gaseşte, e exemplu, în «Mathworl», la aresa : (http://mathworl.wolfram.com/strlngsapproxmaton.html): ln( n!) nln n n ln(n ) (A.8) Aproxmaţa () este corectă ş pentru numere mc; upă cum se vee în Fg. 6a ş 6b. 4 3 3 4 5 4

Fgura 6a. Cu negru : ln(n!); cu vere nlnn-n; cu roşu: nlnn-n+/ln(πn). n 5 350 300 50 00 50 00 50 0 40 60 80 00 Fgura 6b:. Cu negru : ln(n!); cu vere nlnn-n; cu roşu: nlnn-n+/ln(πn). 0 n 00 ln( n!) ( nln n n) Eroarea relatvă varază ca în Fg. 7: ln( n!) 6 0 7 5 0 7 4 0 7 3 0 7 0 7 0 7 0 6 4 0 6 6 0 6 8 0 6 0 7 Fgura 7: Eroarea relatvă ată e aproxmaţa Strlng pentru 0 n 0. 6 7 5

Eroarea relatvă evne nesemnfcatvă pentru numere obşnute e molecule, e ornul numărulu lu Avogaro. 3. Elemente e termonamcă Reamntm câteva rezultate n termonamcă. Începem cu prncple termonamc. Prncpul general: un sstem zolat aunge toteauna la echlbru ş nu ese n această stare fără varaţa parametrlor extern. Observaţe: Char la echlbru parametr sstemulu fluctuează, acă varază puţn în urul valorlor staţonare. Puţn înseamnă că erorle relatve în etermnarea parametrlor (temperatura, presune, volum, energe nternă, energe lberă, etc) sunt e ornul 4 0 înseamnă 0 -. / ; pentru Prncpul zero: Temperatura (emprcă) este funcţe e stare. Observaţe: Se bazează pe tranztvtatea echlbrulu TD; oua ssteme în echlbru cu al trelea sunt în echlbru între ele. Prncpul întâ: energa nterna este o functe e stare a care varate este egala cu suma ntre calura ş lucru mecanc: U Q L Q A a (A.0) Observat: Călura ş lucrul nu sunt funcţ e stare, c e proces. Parametrul e forţă pentru un sstem smplu este A p. Prncpul al olea: - pentru procese reversble exstă o funcţe e stare numtă entrope efntă prn: Q S (A. ) T 6

- pentru procese reversble exstă o funcţe e stare numta entrope pentru care Q S (A. ) T Observaţ: Prncpu I (A.0) se scre T S U A a sau T S U A a (A.) Entropa este o functe e stare atvă (sau extensvă), acă epne e mărmea sstemulu. Dn (A. ) rezultă că pentru ssteme zolate aabatc, pentru care Q 0, entropa creşte în toate procesele reversble ş rămâne constantă în procesele reversble. Ṭnân cont e prncpul general, rezultă că entropa unu sstem zolat aabatc este maxmă la echlbru. Prncpul al trelea: La temperatur apropate e 0 K entropa sstemelor tne spre zero: S 0 pentru T 0 Ssteme eschse (cu numar varabl e partcule): presupunem că sstemul este format n k tpur e partcule (e verse felur, sau e acelaş fel în verse stăr e agregare). Prncpul I se mofcă prn ntroucerea unu termen care ţne cont e posbltatea ca numerele e partcule să vareze. otân cu numărul e partcule e tp, screm: n k U TS A a (A.3) Marmle se numesc potenţale chmce ş repreznta energa necesară pentru a mofca cu o untate numărul e partcule e tp. Observate: exstă potenţale chmce efnte pe partcula, sau pe mol, etc. Funcţ termonamce caracterstce Funcţle termonamce caracterstce sunt marm e stare care, oată cunoscute, permt etermnarea meată a celorlalte funcţ e stare. Vom folos ma ales funcţle energetce. 7

8 Energa nternă a S U,,, pentru un sstem smplu V S U, : k n a A S T U V P S T U (A.4) Energa lberă a T F,,, pentru un sstem smplu V T F, : TS a S U a T F,,,, TS V S U V T F ), (, (A.5) k n a A T S F V P T S F (A.6) Entalpa: A S H,,, pentru un sstem smplu P S H, : k n A a a S U A S H,,,, PV V S U p S H ), ( ), ( (A.7) k n A a S T H P V S T H (A.8) Entalpa lberă: A T G,,, pentru un sstem smplu P T G, : k n A a TS a S U A G T,,,, (A.9 ) PV TS V S U P T G ), ( ), ( (A.9 ) k n A a T S G P V T S G (A.0)

Potenţalul macrocanonc T, a, ma multe faze (vez ma os), T, V, : k T a, US, a, TS, pentru un sstem cu un sngur parametru extern, ar cu, (A.) n k ST A a ST PV k (A.) Exemplu: Cum folosm energa lberă F(T, V)? Pentru un sstem smplu F ST pv. Cunoaştem F(T, V), celelalte necunoscute sunt S ş p. Ele rezultă prn smple ervăr : S F T V F P (A.3) V T Echlbrul într-un sstem TD Faza este o porţune omogenă a unu sstem, separată e restul sstemulu prntr-o suprafaţă la traversarea cărea verse marm (enstatea, marm e materal electrce sau magnetce, nce e refracţe) au scontnutăţ. Aşaar faza nu este totuna cu starea e agregare. Se numeste component fecare compus chmc n sstem. Exemple: - o fază cu ma mulţ componenţ un amestec e gaze, un ala omogen - un component cu ma multe faze apa lchă în contact cu vapor e apă. Echlbrul într-un sstem TD. Pentru ca un sstem TD cu ma multe faze sa se afle în echlbru, trebue să exste - echlbru termc aceeaş temperatură - echlbru mecanc aceeaş presune - echlbru chmc acelaş potental chmc Regula fazelor (Gbbs) stableste varanţa, acă numărul e parametr nepenenţ a unu sstem e f faze cu c componenţ. În absenţa reacţlor chmce varanţa este V=c-f+ (A.4) 9

- Într-aevăr, pentru fecare fază trebue sa cunoaştem concentraţa fecăru component, cu totul c- mărm. Pentru tot sstemul avem nevoe e o fază cu ma mulţ componenţ un amestec e gaze, un ala omogen un component cu ma multe faze apa lchă în contact cu vapor e apa f(c-) marm, la care se aaugă presunea ş temperatura. Între aceste f(c-)+ mărm exstă relaţ care escru echlbrul chmc. Pentru fecare component exstă f- relaţ e egaltate a potentalelor chmce n toate fazele, în total c(f-) relaţ. umărul e parametr nepenenţ este în fnal V= f ( c ) c( f ) c f 0

Captolul FD.0. Dstrbuţa Boltzmann. Dstrbuţa Maxwell Cuvnte-chee Dstrbuţe, partculă clască, partculă cuantcă, scernabltate, fermon, boson, prncpul lu Paul, egenerare, funcţe e partţe, sumă sau ntegrală e stare, FD.0.. Moelul. Partcule clasce ş cuantce. Sstemele reale conţn verse tpur e partcule atom, molecule, on, electron lber care formează combnaţ chmce ferte. Char în echlbru, la temperatură constantă, verse părţ ale sstemulu se pot afla în stăr e agregare ferte, sau în ssteme e crstalzare ferte. Vom stua un caz ealzat, mult ma smplu, în care presupunem exstenţa unu sngur tp e partcule. umm strbuţe un anumt aranament al partculelor pe stărle compatble cu macrostarea ată. Este ma greu să magnăm stăr pentru 6 0 3 partcule care pot ocupa un număr e 3,50 0 stăr cu verse energ, aşa încât începem cu câteva exemple smple, cu un număr mc e partcule ş e stăr. În fzcă se întâlnesc ouă tpur e ssteme: clasce ş cuantce. Sstemele cuantce sunt stuate în partea FG. Acestea sunt ssteme în general mcroscopce, comportarea lor fn escrsă e mecanca cuantcă. Partculele cuantce entce sunt nscernable, în sensul că nu pot f eosebte una e cealaltă prn nc o experenţă car să nu le mofce starea. În natură se găsesc ouă tpur e partcule cuantce, fermon ş boson. Fermon (numţ aşa eoarece satsfac strbuţa Ferm-Drac, pe care o vom stua în captolul FD.08, precum ş în partea FG) sunt partcule care satsfac prncpul lu Paul: într-un sstem cuantc nu pot exsta o fermon entc în aceeaş stare. Boson (numţ upă statstca Bose-Ensten pe care o satsfac) se pot găs ma mulţ în aceeaş stare. Pe e altă parte, partculele clasce entce sunt scernable. Deosebrea ntre aceste tpur e partcule este esenţală ş este lustrată în contnuare. Să începem cu partculele clasce.. Partcule clasce. Partculele: = monez entce; stărle: ouă buzunare. Char acă monezle sunt entce, putem să le eosebm, e exemplu numerotânu-le, sau vopsnu-le în culor ferte; ele sunt scernable. Stărle posble sunt lustrate în fgura 8a:

Fg. 8a. Stărle posble pentru ouă partcule scernable strbute pe ouă stăr Probabltatea ca ambele partcule să se afle în aceeaş stare este /4=0,5.. Partcule cuantce fermon. = fermon nscernabl (e exemplu electron) care se pot găs pe ouă stăr. Într-o stare nu se poate afla ma mult e o partculă. Sngura stare posblă este cea n Fg. 8b: Fg. 8b. Stărle posble pentru o fermon strbuţ pe ouă stăr u se pune problema probabltăţ e a găs ambele partcule în aceeaş stare. 3. Partcule cuantce boson. = boson nscernabl (e exemplu foton) care se pot găs pe ouă stăr. Sunt tre stăr posble: Fg. 8c. Stărle posble pentru o boson strbuţ pe ouă stăr Probabltatea ca cele ouă patrcule să se afle în aceeaş stare este /3=0,67, care este ma mare ecât în cazul clasc n Fg. 8. Ca o regulă generală, probabltatea ca un număr e boson să se găsească în aceeaş stare este ma mare cu cât numărul total e partcule este ma mare. Vom scuta statstcle cuantce în captolul FD.08. Acum trecem la stuul strbuţe clasce e echlbru, numte ş strbuţa Boltzmann.

FD.0.. Ponerea statstcă în strbuţle clasce. Dstrbuţa Boltzmann. În moelele smple e ma sus n-am ţnut cont e constrângerle fzce, în afară e prncpul lu Paul. Dar în fzcă ne nteresează strbuţ e echlbru, care apar e exemplu la temperatură constantă, sau la energe constantă, sau cân numărul total e partcule e un anumt tp este constant. Vom stua un moel cu >> partcule clasce (entce, ar scernable) care au ma multe stăr posble. Pe o stare se pot găs orcâte partcule, ş în acest sens partculele nu nteracţonează între ele. Energa fecăre partcule a una ntre valorle cuantfcate... z (4) Pot exsta ma multe stăr cu aceeaş energe. Se spune că stărle sunt egenerate. Stărle energetce au egenerărle g..., g, g z, conserate >> (5) Căutăm populaţle (numerele e partcule) la echlbru e pe fecare nvel e energe, populaţ notate cu n, n,... n z (6) Atât numărul total e partcule, cât ş energa totală U a sstemulu sunt constante : n const (7) n U const (8) Conform prncplor fzc statstce, trebue să etermnăm ponerea statstcă a stărlor ş să calculăm maxmul acestea în funcţe e n, ţnân cont e constrângerle (7) ş (8). În câte felur ferte putem aşeza partcule pe z nvele e energe, punân n pe prmul nvel, n pe al olea s.am..? Este event că toate aranamentele se obţn permutân partculele între ele ş exstă! permutăr. Dar orce permutare a partculelor e pe aceeas stare nu uce la o nouă aranare. Aşaar numărul e aranăr felurte este at e 3

W ' Bz!. Fxân o valoare pentru calculăm numărul e aşezăr a celor n partcule pe n! cele g sub-nvele. Fecare poate f aşezată în g felur, ec toate pot f aşezate în W'' Bz = g felur ferte. Ponerea statstcă pe care o căutăm este prousul rezultatelor: n Bz! g n n! (9) Căutăm maxmul lu ln n (.6), folosn metoa multplcatorlor Lagrange ş aproxmaţa Strlng prezentate în anexele matematce : Bz ln Bz ln n ln g ( n lnn n ) ln g n ln n, la ultma egaltate am folost conţa (7). Calculăm varaţa lu ln Bz, care este nulă la echlbru, acolo une ponerea statstcă este maxmă. ln Bz g ln Bz n ln n n 0 (0) n n n Însa varaţle n nu sunt nepenente, eoarece exstă conţle (7) ş (8) care stpulează conservarea energe totale ş a numărulu total e partcule. La conţa (0) aăugăm varaţle relaţlor (7) ş (8), care sunt nule ş ele, ca orce varaţe a unor constante: n 0, () n 0 () otăm multplcator Lagrange cu ş, calculăm suma (0)+ () + () ş găsm relaţa fnală cu varaţ n nepenente: g ln n g ln n n 0, e une 0,, 3,..., z Rezultă strbuţa Boltzmann la echlbru. Populaţle me la echlbru sunt ate e: 4

n Bz Ag exp (3) cu A o constantă e normare. Aceasta rezultă n relaţle (7) ş (8) sub forma: Mărmea A g exp Z (4) Z g exp (5) se numeşte funcţe e partţe sau sumă (ntegrală) e stare (pentru o partculă, lucru ncat e ncele ). Cunoaşterea acestea permte calculul mărmlor termonamce mportante. Conţle e normare permt etermnarea parametrulu β. Cunoaştem untăţle sale e măsură, [β]=j -. Se arată că (6) kt cu k,38 0 3 J K, constanta lu Boltzmann. umărul meu e partcule aflate la echlbru în stărle cu energe este at e n Bz n g exp g exp g exp Z (7) Probabltatea ca starea cu energe sa fe ocupată cu n partcule este P n g g exp exp g exp Z (8) 5

FD.0.3. Calculul mărmlor termonamce Relaţa lu Boltzmann Entropa este o măsură termonamcă a ezorn (vez ş [J0]). Ponerea statstcă măsoară ş ea ezornea mcroscopcă. Boltzmann a postulat o relaţe între cele ouă mărm. O vom euce folosn o emonstraţe smplfcată. Presupunem ca entropa S epne e ponerea statstcă Ω, S S(). e magnăm un sstem în echlbru pe care îl împărţm în ouă subssteme s. Entropa fecăru subsstem epne numa e ponerea statstcă a acestua: S S( ) ş S S ( ). Entropa sstemulu întreg se obţne prn aunare ş epne e ponerea statstcă totală, care este prousul ponerlor celor oua subssteme: Dervăm succesv: S ( ) S( ) S ( ) S S S S S S S S Rămânem cu: S S S S (9) (0) Inmulţm () cu, () cu ş observăm că în reapta se găseşte aceeaş exprese S. Aşaar: S S S 6

Prma parte epne oar e subsstemul ; a oua parte oar e subsstemul ; împărţrea întregulu în ouă subssteme este arbtrară, aşa că pentru toate sstemele la echlbru mărmea S este constantă: S k, e une S klnω () Constanta 3 k,380 J/K este constanta lu Boltzmann. Observaţ. Demonstraţa se bazează pe nepenenţa celor oua subssteme. În general entropa nu epne numa e ponerea statstcă. Puteţ sa reţneţ numa relaţa lu Boltzmann, care este foarte mportantă, fără emonstraţe. Deucerea mărmlor termonamce n funcţa e partţe Câteva propretăţ ale lu Z ( ) (unele sunt meate, altele vor f emonstrate în contnuare): - Z (0) g, acă ponerea statstcă a întregulu colectv vrtual Z - ( ) mn, acă energa stăr funamentale - ervatele lu lnz au momentele energe ln Z ln Energa nterna ş capactatea calorca C V Reluăm strbuţa Boltzmann (3) Z n Bz n g exp g exp g exp Z (3) Energa nternă este ata e (8) ş o putem scre cu (3) 7

U sau n Z ln Z exp[ ( ) g ] Z Z V V Dn efnţe ln Z U kt T V ( ) C V U T T Z Z ln Z kt T ln ln k T V T T (3) V V Entropa S ş energa lberă F Logartmăm (3) sub forma: g Z ln n Folosn ponerea statstcă (9) screm ln Bz ln ln n g ln n Cu relaţa lu Boltzmann () găsm Z S kln kn ln kln kln Z kln ku U ln Z T ln Z S k ln Z kln Z T k T T V T (4 ) V Energa lberă este: F U TS kt ln Z (5) Folosn relaţa (A.3) n anexa termonamcă regăsm expresa (4) a entrope. 8

Inversân (5) găsm: Alte mărm termonamce Z exp F kt Pornm tot e la relaţa (A.3) n anexa termonamcă pentru a găs altă exprese pentru entrope ş relaţa care ă presunea: F S T V ln Z k V V (4 ) P F V T ln Z kt V T (6) Entalpa ş entalpa lberă rezultă meat: ln Z ln Z H U PV ktt V T V V T (7 ) ln Z G H TS F PV kt ln Z V (7 ) V T FD.0.4. Introucere în stuul strbuţe canonce a lu Gbbs Toate relaţle anteroare sunt valable pentru ansamblur e partcule entce. Gbbs a generalzat rezultatele lu Boltzmann pentru ssteme termonamce oarecare formate ntrun număr mare e partcule ferte. Fe un sstem format n >> partcule, sstem aflat la temperatura constantă T. Introucem un număr foarte mare t e ssteme vrtuale, entce cu cel nţal. Energa e nteracţune ntre acestea este estul e mcă pentru a putea vorb e echlbrul fecărua, ar îneauns e mare pentru ca toate să se afle la aceeaş temperatură. Ansamblul tuturor celor t ssteme este zolat ş se numeste ansamblul canonc al lu Gbbs (sau macrocanonc, 9

acă sstemele pot schmba ş partcule între ele, sau acă, în general, numărul e partcule e un anumt tp nu este constant). În loc să folosm sume, se trece la ntegrale în spaţul fazelor, probabltăţle trec în enstăţ e probabltate, ar egenerarea trece în enstatea e nvelur energetce. Această trecere este ustfcată e ferenţele mc între energle unor stăr posble ale sstemelor macroscopce. Într-aevăr, la tranzţa unu electron între ouă stăr atomce sau moleculare, energa se mofcă cu o valoare e ornul 0 ev. Energa nternă a unu sstem macroscopc este e ornul câtorva J, acă e 0 8 or ma mare. O varaţe atât e mcă poate f consarată contnuă. Pe e altă parte, este ma uşor să calculăm ntegrale acât sume. Fără să refacem toate calculele, ăm câteva rezultate. Funcţa e partţe corectată a sstemulu este Z ată e: Z exp[ H ] 3! h (8) Corecţle apar la numtor. Am mpărţt cu! pentru a ţne cont e nscernabltate ş cu h 3 pentru a ţne cont e prncpul e ncerttune al lu Hesenberg. Γ repreznta elementul e volum n spaţul fazelor f q p. Hamltonanul sstemulu reprezntă energa totală. Dacă folosm cooronate cartezene ş energa potenţală nu epne ecât e cooronate screm: n p H V r, r,..., rn (9) m Toate marmle termonamce sunt ate e relaţ analoge celor anteroare. U E E exp[ E] ln Z ln Z kt exp[ E] T V V (30) 30

ln Z C V k V (3) F ktln Z F Z exp F exp (3) kt s ln Z P kt V T (33) Denstatea e probabltate este ata e P exp Z H kt (34) Conţa e normare este: Z H p, q exp kt (35) Folosn (3) screm: Ştn relaţa n termonamcă F - P exp H kt U F S, calculăm T F H S k k lnp (36 ) kt Care se poate scre explct: S k P lnp (36 ) 3

Pentru stăr screte, (36 ) evne S k p ln p (36 ) FD.0.5.Dstrbuţa Maxwell Aplcăm rezultatele strbuţe Boltzmann (3) unu gaz eal monoatomc format n partcule lbere, fecare cu masa m, ansamblul aflânu-se la temperatura constanta T. Atom fn lber, energa fecărua este ată numa e energa cnetcă: m v x v y g v x z y. Suma n relaţa (3) se înlocueşte cu o ntegrală, cu schmbarea v v v. Daca ne nteresează numa valorle absolute ale vtezelor, nu ş z recţa lor, trecem la cooronate sferce în spaţul vtezelor. În cazul zotrop se ntegrează upa unghur ş se găseşte m vx v y v z mv A exp v xv yvz 4 A v exp v kt (37) kt 0 umărul e molecule cu vtezele cuprnse între v ş v+v este at e n v v, cu 3/ n m mv 4 v exp v kt kt Această mărme, împărţtă la numărul total e partcule, este funcţa e strbuţe Maxwell upă vteze, reprezentată în Fg. 9 în funcţe e vteza normalzată w=v/v 0. 3 / f m mv ( v) 4 v exp Mx kt (38) kt 3

Fg. 9. Dstrbuţa Maxwell cu ncarea pozţe vtezelor normalzate mportante. vteza cea ma probablă v kt RT (39) m 0 M mol vteza mee v 8kT 8RT (40) m M mol vteza mee pătratcă v 3kT 3RT (4) m M mol Ac m este masa une molecule, ar M mol este masa molară M mol = Av m. Se vee clar că strbuţa este asmetrcă. Câteva aplcaţ se găsesc în problemele e la sfârştul captolulu. 33

Captolul FD.04. Aplcaţ smple: gazul eal, paramagnetsmul Cuvnte-chee Paramagnetsm, funcţa lu Langevn, legea lu Cure, temperatur absolute negatve, efecte în corpur sole, efecte Frenkel, efecte Schottky, vacanţă FD.04.. Gazul eal Un gaz perfect monoatomc care ocupă volumul V este format n atom entc, fecare e masă m. Să găsm mărmle termonamce ale gazulu. Hamltonanul conţne numa partea e energe cnetcă n p 3 H p (4) m m Trecem la ntegrale ş calculăm funcţa e partţe pentru toate moleculele Z! h 3... 3 p exp[ ] p mkt 3 l x l Integralele se separă meat. Cele 3 ntegrale pentru cooronate sunt e tpul vxv yvz ş ec sunt egale cu volumul sstemulu V. Cele 3 ntegrale pentru volum 0 mpulsur se pot calcula cu formula exp ax mkt /. În fnal găsm funcţa e partţe x 3 / (a>0) ş fecare este egală cu a V mkt Z (43) 3! h Rezultă energa lberă cu relaţa (3): 34

F kt ln Z kt lnv 3 mkt ln ln h Sau, punân în evenţă caracterul extensv al energe lbere V 3 mkt F ktln ln (44) h Energa nternă se calculează cu relaţa (30) ş se găseşte expresa cunoscută pentru gaze eale monoatomce: ln Z U kt T 3 3 kt RT V (pt. mol) (45) Dervân în funcţe e temperatură se obţne capactatea calorcă la volum constant. Presunea este ată e relaţa (30) ş satsface legea gazelor perfecte Meneleev-Clapeyron: Iar entropa rezultă n ln Z P kt V T kt / V, sau pv kt RT (pt. mol) (46) F S T V kln V 3 mkt 3 ln h (47) FD.04.. Paramagnetsmul O substanţă paramagnetcă se poate moela (numa n punct e veere magnetc) prntr-o mulţme e mc momente magnetce moleculare, presupuse entce, pe care le notăm cu. Aceste momente magnetce nteracţonează cu un câmp magnetc extern unform, energa e nteracţune fn B B cos. Această nteracţune tne să alneze momentele magnetce paralel cu câmpul extern, pe care-l presupunem orentat e-a lungul axe Oz. Agtaţa termcă se opune aceste alner. Presupunem că momentele magnetce se pot rot lber ş că nu nteracţoneaza între ele. Dacă temperatura este constantă, ansamblul lor urmează strbuţa Boltzmann. În ntegrala e stare ne nteresează oar partea 35

magnetcă. Char acă suntem în carul statstc clasce, ş e aceea nu stuem magnetsmul at e spn, putem să aborăm comparatv ouă moele: - Moelul clasc, în care momentul poate lua orce orentare faţă e axa Oz - Moelul cuantc în care momentul nu se poate orenta ecât la anumte unghur faţă e axa Oz. Teora clască. Orentarea momentelor magnetce fata e axa Oz poate lua orce valoare. Energa care ne nteresează fn numa cea magnetcă, factorul exponenţal al lu Boltzmann este B cos exp exp kt x cos Une cu x am notat raportul ntre energa magnetcă ş cea termcă pentru o partculă ş este mărmea care guvernează toată fzca aceste probleme.: B x (48) kt Suma e stare pentru un moment magnetc se calculează astfel: Z mgn 0 0 snh B snh x exp B cos sn 4 4 (49) B x Mărmea e nteres este magnetzarea, efntă ca mea proecţe momentulu magnetc ea lungul lu B raportată la untatea e volum. otăm cu = V magnetce. Magnetzarea mee a materalulu este: M z cos V Rezultatul fnal este: Z enstatea momentelor mgn cos mgn exp exp Bsn B ln Z Bsn Zmgn B M z cothb L( B) B (50 ) 36

Sau, cu noaţa (48), M z ( x) cothx L( x) x (50 ) Am ntrous funcţa lu Langevn L( x) coth( x), pe care o reprezentăm în contnuare: x Fg. 0. Funcţa Langevn Pentru x>>, acă pentru câmpur mar sau temperatur mc, magnetzarea aunge la saturaţe, x L, M z M sat. Pentru temperatur mar, sau câmpur mc, atunc cân x<<, exstă aproxmaţa 3 x x L( x ). Reţnân oar prmul termen 3 45 obţnem legea lu Cure, acă proporţonaltatea magnetzăr cu nversul temperatur M z B. 3kT T absolute: x Teore cuantcă pentru spn Dacă momentele magnetce aparţn unor partcule cu spn, sunt posble oar ouă orentăr ale acestora. Energle magnetce au numa valorle B, ş anume B pentru momentele orentate omoparalel cu câmpul extern ş B pentru cele orentate antparalel. 37

Fg.. Stărle unu sstem e spn în câmp magnetc constant. Suma e stare pentru o partculă are numa o termen: x x Z e e cosh x B cosh kt Calculele ulteroare sunt smple ş găsm succesv: - Probabltăţle celor ouă stăr: (5) P e x e x e x x e P e e, x x (5) - Momentul magnetc meu per spn: P P tanh x - Magnetzarea mee: M B μ tanh x μ tanh (53) kt Aceasta este reprezentată în funcţe e /x în Fg. 38

Fg.. Magnetzarea în funcţe e mărmea kt x B pentru un sstem e spn - Energa mee per partcula este: B P B B tanh x P (54) ar energa magnetcă totală U mgn E B tanh x (55) Energa normată faţă e valoarea la saturaţe este prezentată în Fg. 3. Fg. 3. Energa în funcţe e mărmea kt x B pentru un sstem e spn. Pentru x>>, acă pentru câmpur mar sau temperatur mc, magnetzarea aunge la saturaţe, tanh x, M. Pentru temperatur mar, sau câmpur mc, atunc z 39

cân x<<, exstă aproxmaţa tanh( x ) x. Obţnem n nou legea lu Cure, ar fără factorul 3 e la numtor: x M z B. kt T In materalele paramagnetce reale spnul are valor ma mar e / aşa încât rezultatele găste nu pot f comparate uşor cu măsurătorle expermentale. Energa lbera: F B kt ln Z kt lncosh (56) kt Dferenţala energe lbere este F ST MH (volumul nu este un parametru mgn extern nteresant ş e aceea utlzăm câmpul magnetc H mgn ). Entropa este ată e: F S T H mgn B B B kln cosh tanh (57) kt kt kt În Fg. 4 această entrope este esenată ca o funcţe e mărmea kt : x B Fg. 4. Entropa în funcţe e mărmea Momentul magnetc meu este kt x B pentru un sstem e spn. ar magnetzarea F B M tanh (58) H mgn kt T 40

M B tanh (59) kt Capactatea calorcă la parametru extern constant este C H mgn E B B k sech (60) T kt kt H mgn ş este reprezentată ma os: Fg. 5. Capactatea calorcă la câmp magnetc constant pentru un sstem e spn. FD.04.3. Temperatur absolute negatve După cum se şte n termonamcă, temperature e zero absolut nu poate f atnsă ncoată. Cum putem nterpreta atunc ttlul acestu captol? Aevărul este că nu putem atnge 0 K, în schmb putem aunge la temperatur ma mc. Am scrs cuvântul între ghlmele, eoarece sstemele cu temperatur absolute negatve sunt e fapt în afara echlbrulu, aşa încât nu pot f caracterzate e o temperatură corect efntă. Dar prntr-o extnere a noţun ş pentru a păstra acelaş cuvânt, se spune că ş aceste ssteme au o temperatură, ş anume una absolut negatvă, ma mcă ecât 0 K. 4

Pentru a înţelege aceste ssteme, sa ne referm la sstemul e spn n paragraful preceent. Funcţa tangenta hperbolcă este negatvă pentru argumente negatve ş poztvă în caz contrar. Energa magnetcă nternă este: U E B tanh x. Atât n această relaţe, cât ş n grafcul n Fg. 3 se vee că energa are numa valor negatve, ş, în acest caz, temperatura este strct poztvă. De altfel toate grafcele n paragraful FD.04. sunt construte în regunea normală T>0. Dar acă energa ar f poztvă, E>0, atunc temperatura ar even strct negatvă, T<0. Cum putem înţelege această regune? Să screm ponerea statstca a stăr macro cu energa E mgn ( n) E ( n) B, e une rezultă o relaţe pentru numărul n: n E B O astfel e stare se obţne aşezân pe nvelul nferor n momente magnetce n totalul celor. Acest tp e aranament se poate face în n felur, ar ponerea statstcă este n! n! n! Înlocun n prn relaţa e ma sus, screm: Calculăm entropa:! n (6) E B! E B! E E E E S k ln k ln ln ln B B B B Temperatura este ata e relaţa n termonamcă: S T E, B E k B B ln E B Este clar că pentru valor negatve ale energe argumentul logartmulu natural este suprauntar ş ec T>0. Dar acă energa evne poztvă, argumentul logartmulu este subuntar, logartmul însuş este negatv ş la fel este ş temperatura. Stuaţa este prezentată în Fg. 6. (6) 4

Fg. 6. Entropa normată în funcţe e energa normată pentru un sstem e spn. Sunt arătate atât stărle obşnute, cât ş cele cu temperatur negatve. Rezulta că stărle cu temperatur absolute negatve au energe ma mare ecât cele cu temperatur poztve orcât e mar ar f ele, char ecât stărle cu T 0 T. De fapt, stărle cu au cele ma mar energ. Aceste energ nu sunt nfnte, c egale cu B, acă cu nversul energe e saturaţe. Pentru a înţelege acest lucru, să schţăm populaţle celor ouă nvele la verse temperatur. Pentru T<0 energle sunt poztve, ar sstemele nu sunt la echlbru, eoarece sstemele se ezexctă în tmp e pe nvelul superor pe cel nferor, aungân la temperatur "normale". Fg. 7. Populaţle stărlor unu sstem e spn la verse temperatur poztve ş negatve. Energa creşte e la stânga spre reapta. 43

Captolul FD.06. Teoreme generale. Aplcaţ Cuvnte-chee Ssteme cu partcule nepenente, teorema echpartţe energe, teorema vralulu, teorema lu Euler, legea Dulong-Pett FD.06.. Domen e aplcabltate ale strbuţe Boltzmann Sstemele stuate până acum în această parte se numesc ssteme cu partcule nepenente ş se presupune că între ele nu exstă nteracţune. De fapt nteracţune exstă [C0], atât pentru partculele clasce, ar ş pentru cele cuantce, pe care le vom stua ma în etalu în captolul FD.08. De exemplu, partculele clasce trebue să nteracţoneze între ele, pentru a aunge la echlbru ş a putea efn temperatura. Fermon trebue să nteracţoneze între e, pentru a satsface prncpul lu Paul. Sngurul caz în care nteracţunea este neglablă este stuul unu ansamblu e foton. Char acă neglăm nteracţunle specfce, precum cele ntre moleculele unu gaz real, sau cele ntre atom unu crstal, aproxmaţle făcute permt stuul acestor ssteme măcar în prmă aproxmaţe. Desgur, moelele sunt smplfcate la maxmum. Putem stua gazele eale, ar nu pe cele reale. Putem stua sole în aproxmaţa legăturlor elastce între nourle reţele, ar nu sole reale cu nteracţunle lor specfce. Pe e altă parte, corpurle reale necestă calcule lung ş complexe, aşa încât ne vom lmta la sstemele fără nteracţune (cu excepţa captolulu FD.07). FD.06.. Teorema echpartţe energe Această teoremă este un nstrument foarte puternc pentru a obţne energle me pentru verse ssteme complexe, fără a trece prn tot lanţul e calcule: ponere statstcă, funcţe e partţe, energe nternă. Fe un sstem cu f grae e lbertate, escrs e un punct n spaţul fazelor Γ. Pentru ssteme termonamce obşnute, numărul e mensun ale acestu spaţu este e ornul 0 0. otăm cu X k orcare ntre varablele q k sau p k n spatul fazelor Γ. otăm cu I f 44

ntegrala pe tot spaţul fazelor n relaţa e normare (8) ş separăm una n ntegrale, cea upă cooronata X : H p, q I... exp f X X k Z kt k f ntegrale (63) Integrăm prn părţ upă X în ntegrala nteroară ş obţnem: H exp kt X b p, q H p, q H p, q X exp kt X a kt exp kt X H X X Termenul ntegrat se anulează, eoarece la lmte energa tne spre nfnt. Ultma ntegrală se aaugă celor I f- ş upă înmulţrea cu nversul funcţe e partţe obţnem: H H p, q I f... X exp X k kt Z X kt k Canttatea ntre acolae este mea prousulu X H. Egaltatea anteroară se scre ec X X H X kt (64) Dacă X este un mpuls, aceasta este teorema echpartţe energe. Dacă este o cooronată generalzată, expresa (64) se numeşte teorema vralulu. În cazul partcular mportant în care Hamltonanul conţne termen pătratc, putem folos teorema lu Euler asupra funcţlor omogene. Reamntm că o funcţe f(x, x, x 3 ) este omogenă e gra n acă f(tx, tx, tx 3 ) =t n f(x, x, x 3 ) 45

Dervăm în funcţe e t: f n x nt f x, 3 tx, x x ş apo facem t=: f x nf x, x, x3 (65) x Energa cnetcă se scre toteauna ca o funcţe omogenă e graul al olea în mpulsur. Energa potenţală elastcă este tot o funcţe omogenă e graul al olea în cooronatele normale. Aplcân teorema Euler (65) pentru n= găsm că un termen pătratc n Hamltonan partcpă la energa mee cu mărmea kt/. Observaţe. Echpartţa energe este un rezultat foarte general ş extrem e puternc al fzc clasce (necuantce). În 900 Planck a ntrous prma relaţe e cuantfcare n stora fzc, eoarece a emonstrat că teorema echpartţe energe nu poate explca corect spectrul raaţe termce e echlbru. FD.06.3. Aplcaţ smple ale teoreme echpartţe energe Gazul eal monoatomc. Să reluăm problema unu gaz eal monoatomc care ocupă volumul V ş este format n atom entc, fecare e masă m. Hamltonanul conţne numa partea e energe cnetcă, ca în relaţa (4), pe care o rescrem ac: n p 3 H p (4) m m Dar în loc să recalculăm ntegrala (43), putem scre meat energa mee pentru fecare gra e lbertate kt /. Deoarece exstă 3 grae e lbertate, găsm arăş relaţa (45). Legea Dulong-Pett Călura specfcă a solelor a fost măsurată e mult tmp, ar în 89 fzcen francez P. L. Dulong ş A. T. Pett au formulat această lege, care în termen moern se enunţă astfel: la temperatur normale, capactatea calorcă molară a unu sol este aproxmatv egală cu 3R. Putem emonstra aceasta, presupunân că între nourle crstalulu exstă numa nteracţun pur elastce. Atunc în relaţa (4) se aună un număr e 3 termen pătratc: 46

3 3 m q H p m (66) Hamltonanul cuprne acum 6 termen pătratc, aşaar energa nternă este: kt U 6 3RT. Rezultă capactatea calorcă molară la volum constant C U T V 3 V R, acă legea Dulong-Pett. Această lege nu este valablă pentru toate substanţele, ma ales n prcna aproxmăr tuturor nteracţunlor cu termen pătratc e osclator lnar. Dar legea nu este valablă pentru nc o substanţă la temperatur foarte mc, une efectele cuantce sunt preponerente (a se veea captolul FJ.0). 47

FD.06.4. Statstca efectelor în corpur sole Defecte e tp Frenkel. Toate crstalele reale au efecte punctforme, lnare, etc. Într-aevăr, energa lberă evne mnmă acă în crstal exstă astfel e efecte. Energa lberă a unu crstal perfect este ma mare ecât cea a unu crstal cu efecte, e aceea o stare cu efecte este ma convenablă pentru crstale. Fără a emonstra rguros această afrmaţe, putem spune că F U TS este ma mcă acă entropa S este ma mare, eoarece termenul TS se scae. Entropa fn legată e ezorne, valoarea e creşte cu cât sunt ma multe efecte. Această creştere a numărulu e efecte face să crească energa nternă ş se aunge la un echlbru pe care-l vom calcula în contnuare. Dacă un atom mgrează ntr-un no al reţele într-o pozţe nterstţală atunc apare un efect Frenkel. Fg. 8. Defecte Frenkel (upă Wkpea) Pentru mgrarea unu atom este nevoe e o energe w pe care o presupunem mult ma mare ecât energa termcă kt, w>>kt. Să notăm cu >> numărul e nour ale reţele eale ş cu >> numărul e pozţ nterstţale lbere. În aceste locur mgrează un număr n e atom, n, '. Deoarece numărul n este mult ma mc ecat numărul e pozţ lbere, putem consera că atom ntersţtal nu nteracţonează între e ş putem aplca strbuţa Boltzmann. Energa totală mplcată în mgraţe este E nw. umărul e felur în care alegem n atom ntre ce ş î aranăm pe cele pozţ este n n!!! n! n! n!. Căutăm maxmul acestu număr cân varază n, cu conţa 48

E nw =constant. Proceân ca pentru a găs strbuţa Boltzmann obţnem: n exp n n Deoarece w kt w kt exponenţala este mult subuntară ş negaltăţle n, ' sunt verfcate, aşa că putem negla mărmle n e la numtor: n exp w kt Aplcaţe numercă.: 3 0 3 0 cm, 40 cm, w 0, ev, T 300 K. kt 0, 05 ev w, aşa că putem folos aproxmaţa anteroară n exp w kt 0 3,350 4 6,7 0 7 cm 3 Dacă temperatura creşte la T =900 K atunc kt =0,075 ev, care nu ma este mult ma mc ecât w. Efectuaţ -stră calculele în contnuare. Statstca efectelor e tp Schottky Defectele e tp Schottky sunt efecte superfcale. Într-un crstal eal cu >> nour, n atom, <<n<< mgrează spre suprafaţă. Dacă în nourle reţele se află on, mgraţa se face în perech, pentru a menţne neutraltatea globală. Pentru fecare astfel e proces este nevoe e energa w>>kt. În locul atomlor mgraţ rămân vacanţe, ca în Fg. 9. Fg. 9. Defecte Schottky (upă Wkpea) 49

Proceân ca ma sus, se găseşte n exp n w kt w, sau n exp. kt 50

Captolul FD.07. Statstc cuantce Cuvnte-chee Potenţal chmc, nvel Ferm, conensare Bose-Ensten, enstate e stăr, absenţa egenerăr FD.07.. Dstrbuţa Bose-Ensten Reluăm tot ce am spus în captolul FD.0., până la relata (8), cu următoarea schmbare: partculele sunt entce ş nscernable, ar într-o stare se pot găs orcâte ntre ele. Relaţle e normare (7, 8) sunt valable. Dar eoarece partculele sunt nscernable, exstă un sngur mo e a le repartza pe subnvele. Reluăm pe scurt emonstraţa n captolul FD.0.. Vom stua un moel cu >> partcule nscernable care au ma multe stăr posble. Pe o stare se pot găs orcâte partcule, ş în acest sens partculele nu nteracţonează între ele. Energa fecăre partcule a una ntre valorle cuantfcate... z (4) Pot exsta ma multe stăr cu aceeaş energe. Se spune că stărle sunt egenerate. Stărle energetce au egenerărle g, g,... g z, conserate >> (5) Căutăm populaţle (numerele e partcule) la echlbru e pe fecare nvel e energe, populaţ notate cu n, n,... n z (6) Atât numărul total e partcule, cât ş energa totală U a sstemulu sunt constante : n const (7) n U const (8) 5

Conform prncplor fzc statstce, trebue să etermnăm ponerea statstcă a stărlor ş să calculăm maxmul acestea în funcţe e n, ţnân cont e constrângerle (7) ş (8). Trebue calculat analogul marm W'' Bz, care se înlocueşte în felul următor. Pentru fecarevaloare trebue să mpărţm n partcule pe g subnvele. Raţonamentul se face ma uşor acă ne închpum că starea cu energe este împărţtă în g sertare, care au între ele g - pereţ. Plecân e la o strbuţe oarecare a atomlor în sertare obţnem o alta permutân între e ce g +n - atom s pereţ. Obţnem g n! no aranăr. Dar acestea nu sunt no acă permutăm numa pereţ între e, sau numa atom între e. Dec pentru fecare exstă g n! mour ferte e aranare a atomlor. Ponerea statstcă este: g! n! BE g n! g! n! Proceân ca în captolul FD.0. găsm în fnal: (67) n BE exp[ ] g B (68) Ac / kt, ar μ B este potenţalul chmc al tpulu e partcule, care epne e temperatură. După cum se va veea la stuul conensăr Bose-Ensten, potenţalul chmc este întoteauna ma mc ecât cea ma mcă energe pe care o pot avea partculele, B mn ; acă se alege mn 0 rezultă B 0. Vom stua în etalu aplcaţle strbuţe Bose-Ensten în captolele FG, Mecanca cuantcă ş FH, Fzca atomulu ş a molecule. FD.07.. Dstrbuţa Ferm-Drac Prncpul e excluzune al lu Paul mplcă n g. Repartţa pe verse stăr este uncă, eoarece: partculele sunt entce ş nscernable ca ş în strbuţa Bose-Ensten. Se obţne pentru fecare energe, ec pentru fecare, un număr e posbltăţ ferte egal cu g C n n!. În total găsm ponerea statstcă g!g n! 5

FD g! n! g n! (69) Proceân ca ma sus găsm strbuţa Ferm-Drac cea ma probablă (la echlbru): Ac / kt n FD exp[ ] g F (70), ar μ F este potentalul chmc al tpulu e partcule, numt ş nvel Ferm, care epne e temperatură. La temperatur obşnute (ma mc ecat 0 5 K) F mn, prn aceasta pozţa nvelulu Ferm eosebnu-se prncpal e pozţa potentalulu chmc pentru boson, care este întoteauna sub mnmul energe. Vom stua în etalu aplcaţle strbuţe Ferm-Drac în captolele FJ, Fzca solulu ş FK, Fzca semconuctorlor. Observaţ.. Dstrbuţle cuantce trec în strbuţa clască Boltzmann acă la numtorul expreslor (86) s (88) se poate negla untatea faţă e exponenţală. Stuaţa, numtă absenţa egenerăr, este schţată ma os. Fg. 0. Comparaţe între strbuţle cuantce ş statstca Boltzmann.. Dacă numărul total e partcule nu este constant, atunc conţa (7) nu exstă ş nu avem o multplcator Lagrange, c numa cel asocat une energ constante. În relaţle anteroare acest lucru se obţne anulân potenţalul chmc. Pentru boson aceasta stuaţe se 53

întâlneşte la foton, care sunt absorbţ ş emş în tmpul stablr echlbrulu ş char în starea e echlbru. De aceea potenţalul chmc al fotonlor este nul. 3. Relaţle n captolul FD.0.3, care leagă mărmle termonamce e funcţa e partţe rămân valable. Putem calcula cu aceleaş formule (-7) energa nternă, capactatea calorcă la volum constant, energa lberă, entropa, presunea, entalpa ş entalpa lberă. FD.07.3. Conensarea Bose-Ensten Conensarea Bose-Ensten este un fenomen prezs încă n 95: la temperatur apropate e 0 K boson se aglomerează pe nvelul funamental. Aglomeratul a fost obţnut în 995 e către Erc Cornell s Carl Weman pe atom e 87 Rb ş e către Wolfgang Ketterle pe 3 a. Temperaturle e lucru au fost ma mc e 00 nk ( 0!).În Fg. se prezntă (upă http://en.wkpea.org/wk/bose%e%80%93ensten_conensate) strbuţa e vteze a atomlor la verse temperatur. Regunle în alb ş albastru conţn ce ma mulţ atom ş ac atom au vtezele cele ma mc. La 444 nk conensarea Bose n-a început încă. La 00 nk conensarea aba a început, ar la 50 nk conensatul este aproape pur. 7 K Fg.. La scăerea temperatur vtezele atomlor sca corezpunzător. 54

Puteţ afla ma multe espre conensarea Bose-Ensten e la aresa Unverstăţ Colorao http://www.colorao.eu/physcs/000/bec/. Denstatea e stăr. Pentru a înţelege conensarea Bose-Ensten (BEC) trebue să ntroucem noţunea e enstate e stăr. În calcularea funcţlor e partţe, la trecerea e la sume la ntegrale, trebue să înlocum egenerărle g cu enstatea e stăr, acă cu numărul e stăr pe untatea e volum ş untatea e canttate fzcă fe aceasta vector e ună, energe, frecvenţă, lungme e ună, sau mpuls. Pe no ne nteresează acum enstatea energetcă e stăr, acă numărul e stăr pe untatea e volum ş pe untatea e energe. Se emonstrează că pentru partculele lbere sau aproape lbere enstatea energetcă este: 3/ G( ) m / (7) 3 h Plecăm e la relaţa e normare a numărulu e partcule (7), scrsă însă pentru strbuţ contnu ş folosn relaţa (7): 3/ m mkt x V V x 3 x h exp - h 0 e 0 / Am presupus că energa mnmă este nulă, ar cea maxmă estul e mare pentru a f luată nfntă. De asemenea am schmbat puţn notaţa, folosn în loc e, pentru că relata (7) nu numără partculele e pe nvelul funamental. Într-aevăr enstatea e stăr conţne / factorul care se anulează pentru 0. Aşaar numărul total e partcule se scre: 3/ / (7) 0 e g0 g (73) e 0 Ac 0 este numărul e partcule e pe nvelul funamental cu 0, ar restul partculelor, aflate la energ strct poztve. Introucem funcţa: F 3/ / n0 n x e x x 3/ 0 e n, cu 55

Aceasta este convergentă numa pentru 0. Funcţa este monoton escrescătoare, aşa încât: F 3/ F 3/0 3/, 64 umărul partculelor normale, cu energe strct poztvă, este at e: 3/ mkt,64 V ( T ) h max Exstă o lmtă superoară a numarulu e partcule în stăr exctate, lmtă care scae oată cu temperatura. Ce se întâmplă cu restul partculelor? Ele nu spar la scăerea temperatur, c se conenseaza pe nvelul funamental, une se afla 0 partcule care nu sunt luate în calcul e ntegrala (7). Defnm temperatura crtcă T c h n mk,64 une n / V este enstatea partculelor. Sub această temperatură potenţalul chmc, care nu poate f poztv, tne spre zero, T T 0 c. umerele e partcule evn: 3/ / 3 (75) T pe nvelele superoare (76 ) T c ş 3/ T 0 pe cel funamental (76 ) T c Fg. reprezntă fracţunea ntre partcule e pe starea funamentală. Acestea au energe nulă ş nu sunt luate în calcul e ntegrala (7). În Fg. 3 se arată epenenţa e temperatură a potenţalulu chmc 56

Fg.. Fracţunea e partcule în starea funamentală. Fg. 3. Potenţalul chmc în funcţe e temperatură. Aplcaţle în fzcă ş în ştnţele socale se pot găs la aresele Wkpea e la bblografe, în specal la http://en.wkpea.org/wk/bose%e%80%93ensten_conensate. 57

Captolul FD.08. Ssteme în nteracţune. Feromagnetsmul Cuvnte-chee Moelul Isng, câmp meu, self-consstenţă, câmp Wess, cluster, moelul economc neoclasc FD.08.. Moelul Isng Până acum am stuat numa ssteme cu nteracţune slabă, e exemplu gazul eal, sau sstemul e spn n materale paramagnetce. În acest al olea exemplu fecare spn nteracţonează oar cu câmpul magnetc extern. Exstă însă multe cazur nteresante, ca e exemplu feromagnetsmul ş tranzţle e fază. Metoele ezvoltate în aceste cazur au aplcaţ în toata teora sstemelor complexe. În aceste ssteme cu nteracţune puterncă calculele analtce sunt foarte fcle ş e obce se fac aproxmaţ. Aproxmaţa câmpulu meu (self-consstent) Iee: Să presupunem un sstem e partcule în nteracţune. Să stuem una ntre ele. Asupra sa acţonează forţe n partea vecnlor meaţ, a altor partcule apropate, sau a tuturor celorlalte. Acest câmp e forţe poate f aproxmat prntr-un câmp molecular meu. El epne e stărle partculelor vecne, asa încât poate lua verse valor, ar ne lmtăm la o mee statstcă a nfluenţelor celorlalte partcule. Se poate efn acum un câmp meu cu care partcula conserată actonează asupra celorlalte. Dacă partculele sunt entce, aceste ouă câmpur trebue să concă. Astfel se ntrouce conţa e self-consstenţă. Interacţa foarte complexă ntre toate perechle e partcule este înlocută cu una mult ma smpla, ntre fecare partculă ş un câmp meu. Vom aplca această metoa moelulu Isng. Moelul Isng Este un moel al materalelor feromagnetce, care are o aplcabltate mult ma generală. Fecare atom are un moment magnetc care poate f orentat în sus sau în os, exact ca în paragraful FD.04., Paramagnetsmul. 58

Fg. 4. Ilustrare a confguraţe spnlor în moelul Isng. Starea spnulu este escrsă e varabla (=,,,) care poate lua valorle + sau -. Interacţunea ntre spn are acelaş moul pentru orce pereche, fn luată cu semnul + sau upă cum spn au sens opus sau acelaş sens: J J J, J J. Energa e nteracţune este o sumă peste toate perechle (, ) care nteracţonează: Ent J (77 ), Daca J>0 spn vecn tn să se araneze omo-paralel, ca în feromagnetsm; aca J<0, spn vecn se aranează ma egrabă ant-paralel, ceea ce se întâmplă în ferrmagnetsm. Dacă se a în conseraţe ş energa spnlor în câmp exteror, atunc energa magnetcă totală este: E mgn B J (77 ), Rezultate analtce nu se pot obţne ecât pentru cazurle D ş D. Le prezentăm fără emonstraţe: - D=: nu exstă tranzţe e fază la T>0; magnetzarea este nulă în absenţa câmpulu extern - D=: exstă tranzţe e fază pentru o temperatură crtcă T c, ş anume magnetzarea este nulă la T>T c ş nenulă la T<T c. Calculele sunt foarte complexe. - D=3: nu se cunosc rezultate analtce, ar smulărle numerce arată că exstă tranzţe e fază la o temperatură fntă care epne e mensunea D. 59

Câmpul Wess Dacă sstemul se află în câmp magnetc extern atunc fecare spn se află în acest câmp ş în câmpul meu al vecnlor. Cu toate că acesta n urmă fluctuează, îl tratăm ca pe un câmp meu B, numt câmpul Wess. Câmpul efectv este ec B ef B B (78) Dacă meul nu are magnetzare permanentă, B=0. Presupunem aşaar că în general câmpul molecular este proporţonal cu magnetzarea B qm (79) une q este constanta câmpulu molecular. B Folosm relaţa (59), M μ tanh x μ tanh ( este enstatea spnlor) ş kt screm magnetzarea mee per spn, ar înlocun câmpul magnetc exteror cu câmpul magnetc efectv: m Bef μ tanh (80) kt Magnetzarea evne M m μ tanh B qm (8) kt Aceasta este efnţa self-consstentă a câmpulu molecular. Să notăm cu z numărul e vecn a unu spn at ş fe z s z numerele me e spn în sus ş în os. Atunc: M z z z, une M M sat (8) M Deoarece B este valoarea mee a nteracţe unu spn cu vecn, găsm apo: 60

M B Jz z zj, e une M q zj M (83) Atunc (8) se scre M B zjm tanh (84) M kt ktm fracţa În absenţa câmpulu extern găsm magnetzarea spontană (permanentă), măsurată prn X M M sp zj tanh X (85) kt Fe x zj X kt, acă kt T X x x zj T, une cu T c am notat temperatura crtcă zj T c (86) k zj In grafcul următor se observă că pentru T Tc curbele X=tanhx ş X=x nu se k ntersectează, aşa încât nu exstă magnetzare spontană. La T T c curbele se ntersecteaza ş exstă magnetzare spontană la temperatur poztve. Punctele e ntersecţe e pe grafc arată cân apare această magnetzare. c Fg. 5. Aparţa magnetzăr spontane în moelul Isng. 6

Exercţu: Arătaţ că magnetzarea spontană la 0 K este magnetzarea e saturaţe. Deucerea anteroară nsstă pe partea fzcă, ar acum prezentăm o metoă combnatorcă, ma apropată e cele statstce n fzcă. otăm cu numărul total e spn, cu + =n numărul e spn-în sus ş cu - =-n numarul e spn-în-os. Ponerea statstcă a stăr este W! n!( n)!. Entropa este S k ln W k nln nln n n, sau S k Mărmea X este ată e X ln X X ln X n n X X În crstal exstă în total z/ perech e spn vecn, între care ++ perech e tpul ++, - - perech e tpul - - ş +- perech e tpul +-. Energa e nteracţe () se scre (87) (88) E IT J (89) Cunoaşterea numerelor + =n ş - =-n nu etermnă însă numerele ++ ş.a.m.. Dacă presupunem că putem consera valorle me (vez observaţa e la sfârşt), găsm: z p z z X 8 z p z z X 4 (90) z p z 8 z X Am notat cu p + ş p - probabltăţle ca noul reţele să abe un spn-în-sus, respectv un spnîn-os. Introucân aproxmaţa (90) în (89) găsm Cu (A.5) găsm energa lberă E nt zjx (9) 6

F E nt TS zjx kt X ln X X ln X (9) Marmea X la echlbru se gaseste anulan ervata F X 0, e une zjx kt ln X X sau în sfârşt, n nou relaţa (65): sau zj kt X ln X X (93) zj tanh X X (94) kt Observaţe. La calculul valorlor me n relaţle (90) am presupus că toate stărle sunt egal probable. Această presupunere nu este întru-totul corectă, eoarece spn vecn se aranează ma mult omo-paralel (aca J>0), at fn că energa lor e nteracţe este ma mcă în acest caz. FD.08.. Moelul Isng aplcat relaţlor socale [C0] Aplcaţle moelulu Isng în verse stuaţ sunt numeroase: reţele e vânzător ş cumpărător cu nteracţe locală, rassm, crmnaltate, grupur mnortare, crstalzarea socetăţlor prn legătur e famle, relge, eologe. Ele se bazează pe unele e n termonamcă: temperatura, care este proportonală cu energa cnetcă, este asocată cu ntroucerea unor nfluenţe externe: cu cât acestea sunt ma multe ş ma mportantee, cu atât varetatea e aleger ş mobltatea e acţune sunt ma mar. Presunea este tratată ca un câmp extern care lmtează lbertatea. Moelul economc neoclasc tratează socetatea ca pe un gaz la temperatur mar ş presun mc, asemănător unu gaz eal fără nteracţe. Interacţle locale uc la formarea unor conensăr locale (clustere), socetatea evne ma lchă. La câmpur externe mar ş la ntrăr mc agenţ au mobltate scazută ş puţne aleger e facut; se află în stare solă. Moelul Isng se aplcă unor probleme nelnare cu fenomene e blocare care uc la rezultate sub optm. Exemplu: corupţa. Aglomerarea cercetăr ştntfce în oar câteva centre este un alt fenomen nelnar, care poate f tratat utlzân metoele nteracţunlor locale. Moelul: o reţea D e puncte echstante. Fecare punct reprezntă un agent socal ş poate avea oua stăr, ca spn /. 63

Starea lberă: u exstă nteracţe, nu exstă câmp magnetc, fecare agent are o stare nepenentă e a tuturor celorlalţ, cu orentăr s=+, sau s=. Probabltăţle celor oua stăr sunt q pentru starea + ş -q pentru starea -. Deoarece nu se conseră nc o nteracţune, moelul seamănă cu cel al gazulu eal. În omenul relaţlor socale fecare agent este lber ş face ce vrea. Interacţa locală: Prmul artcol a fost scrs e Thomas Schellng în 969 ş se ocupa e segregare rasală (e exemplu în alegerea vecnlor ş în mgrarea în scopul e a tră într-o vecnătate acceptablă). Rezultatul mportant: segregarea este ma puterncă ecât prefernţele nvuale. Interacţa locală cu mtarea vecnlor uce la creşterea grupurlor locale. Exemplu: un agent îş mofcă starea acă amb vecn sunt e tp contrar. Stare ntală: + + + + + + + + + + + Stare fnală: + + + + + + + + + + + + Agenţ notaţ în roşu îş mofcă starea, ceea ce uce la feomarea unor grupur (cluster) local tot ma mar, ş în vtor, tot ma nfluenţ. Influenţa câmpulu extern. Câmpul extern mofcă probabltatea e schmabare a stăr. Dacă e exemplu probabltăţle erau egale, q=/, ar ntenstatea câmpulu extern (eologe, obceur, reclamă) este γ, probabltăţle evn e e P ( ), P( ) e e e e Daca γ>0, probabltatea e aungere în starea + este ma mare ş lanţurle e stăr + vor f ma lung în starea fnala ecât în absenţa câmpulu extern. Event că acă γ<0, este favorzată trecerea în stărle. 64

Captolul FD.09. Aplcaţ e laborator Cuvnte-chee Smulare numercă Reprezentaţ grafc funcţle ln(n!), nlnn n, nlnn n+ln(πn)/, în omenle: a) n [, 5] b) n [5, 0] c) n [0, 00] Rezolvare: Folosn Mathematca, o sngură nstrucţune este e auns. De exemplu pentru punctul a): Plot[{Log[n!],n Log[n] n,n Log[n] n+log[ P n]},{n,,5}]. Rezultatul: 4 3 3 4 5 Ientfcaţ curbele. c). Rezultatul: 350 300 50 00 50 00 50 40 60 80 00 Smulare numercă 65

ln( n!) ( nln n n) 5 0 Reprezentaţ grafc eroarea relatvă, pentru n [0, 0 ] ln( n!) Rezolvare: Plot[(Log[n!]-(n*Log[n]-n))/Log[n!],{n,0^5,0^6}] 4.5 0 6 4. 0 6 3.5 0 6 3. 0 6.5 0 6. 0 6.5 0 6 400000 600000 800000 0 6 Smulare numercă 3 Reprezentaţ grafc funcţa e strbuţe Maxwell pentru : a) Molecule e hrogen (M molară =4 g) la temperaturle e 300 K, 600 K, 00 K; b) Molecule e oxgen (M molară =3 g) la temperaturle e 300 K, 600 K, 00 K; c) Verfcaţ conţa e normare. R=8,3 Jmol - K - ; se foloseşte relaţa (38) n v / f Max 3/ m mv ( v) 4 v exp. kt kt a), b): Programul e calcul pentru fecare moleculă la temperatura e 300 K este următorul: ClearAll[m,m,k,t,v,R,fMax,fMax] m=0.004;m=0.03;r=8.3;t=300; fmax[v_]=4*p*(sqrt[m/(*p*r*t)])^3*v^*exp[- m*v^/(*r*t)]; fmax[v_]=4*p*(sqrt[m/(*p*r*t)])^3*v^*exp[- m*v^/(*r*t)]; Plot[{fMax[v],fMax[v]},{v,0,5000},PlotRangeAll,PlotStyle{ {Re,Thck},{Re,Thck,Dashe}}] Observaţ: masele celor ouă molecule sunt ate în kg; curba pentru H este întreruptă, cea pentru O este contnuă. Aceleaş forme se folosesc ş pentru celelalte 66

temperatur, la 600 K curbele sunt albastre, la 00 K sunt verz. Rezultatele sunt prezentate în grafcul următor: 0.000 O 300 K 0.005 O 600 K 0.000 O 00 K 0.0005 H 300 K H 600 K H 00 K 000 000 3000 4000 5000 Roşu: 300 K; albastru: 600 K; vere: 00 K. Lne întreruptă: O ; lne contnuă: H. c): Se ntegrează analtc strbuţa Maxwell între 0 ş : ClearAll[m,m,k,t,v,R,fMax,fMax] fmax[v_]=4*p*(sqrt[m/(*p*r*t)])^3*v^*exp[- m*v^/(*r*t)]; fmax[v_]=4*p*(sqrt[m/(*p*r*t)])^3*v^*exp[- m*v^/(*r*t)]; Integrate[fMax[v],{v,0,Infnty}] Rezultatul este conţonat : se obţne oar acă partea reală a raportulu m /(Rt) este poztvă, ceea ce se întâmplă event, căc masa, constanta gazelor perfrcte ş temperatura absolută sunt poztve. ContonalExpresson[,Re[m /( ]>0] Smulare numercă 4 Reprezentaţ grafc mărmle caracterstce paramagnetsmulu, în funcţe e sau e /x, ca în paragraful FD.04.: a) Funcţa Langevn L( x) coth( x) x, pentru x 0, 0 B x, kt 67

b) Magnetzare mee normată: M /( μ) tanh x, pentru 0, 5 x ; Pentru ce valoare a lu x magnetzarea este egală cu 95% n valoarea e saturaţe? c) Energa normată E / B B B B ) Entropa normată S /( k) lncosh tanh în funcţe e /x kt kt kt e) Capactatea calorcă normată CH mgn B B /( k) sech în funcţe e /x kt kt Rezolvare: a) Plot[{Coth[x]-/x,},{x,0,0}, PlotRange{{0,0},{0,}},AxesLabel{x,L[x]}] L x.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0 5 0 5 0 x b) In funcţe e x, grafcul arată ca ma os. Plot[{Tanh[x],},{x,0,0},PlotRange{{0,5},{0,}},AxesLabel{x,"M/"}] M m.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0 3 4 5 x Magnetzarea e saturaţe este M /( ). Conţa M /( ) =0,95 uce la valoarea sat x=,83. În curs se reprezntă magnetzarea în funcţe e /x: Plot[{Tanh[/x],},{x,0.0,0}, PlotRange{{0,0},{0,}},AxesLabel{/x,"M/"}] 68

M m.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0 4 6 8 0 x E M c) Energa este opusul magnetzăr, tanh x B Aşa încât găsm un grafc ca ma os: ) Plot[{Log[*Cosh[/x]]- Tanh[/x]/x,Log[]},{x,0,5},PlotRange{{0,5},{0,}},AxesLabel{/x,"S/kT"}] S kt.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0 3 4 5 x 69

e) Plot[(Sech[/x])^/x^,{x,0,5},PlotRange{{0,5},{0,0.5}},AxesLabel{/x,"C/k" }] C k 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.0 0 3 4 5 x 70

Captolul FD.0. Autoevaluare Cuvnte-chee Surse e lumnă cu un foton, paraoxul lu Gbbs, asorbţe, strbuţe macrocanoncă Captol FD.0. Obect ş metoă. Prcple ş postulatele fzc statstce Exercţ/probleme rezolvate. Intr-o urnă se găsesc 5 e ble albe ş 75 e ble negre. a). Care este probabltatea ca să se extragă succesv o blă albă ş una neagră, în această orne, acă bla extrasă nu se ma pune la loc? b). Care este probabltatea ca să se extragă smultan o blă albă ş una neagră? Rezolvare : a). P(albă )=5/00. P(neagră )=75/99. Probabltatea totală este P a = 5 75 0, 89. b). Ornea nefn mpusă, aunăm probabltăţle celor ouă 00 99 evenmente posble: blă albă + blă neagră, sau blă neagră + blă albă: 5 75 75 5 P b = P a = + 0,379. 00 99 00 99. a). Într-o urnă sunt 00 e ble entce, ar scernable, numerotate e la la 00. Care este probabltatea ca numărul une ble extrase să nu conţnă cfra 7? b). Dar acă sunt 00 000 e ble? b). Aceeaş problemă, acă blele sunt nscernable. Rezolvare : a). e nteresează numerele cu una sau ouă cfre care nu conţn cfra 7. Este ma smplu să presupunem că ş numerele ma mc ecât 0 se scru ca numere e ouă cfre: 0, 0, 03,...09,. Pentru a găs toate aceste numere asocem perech e cfre ferte e 7. Avem e ales între 9 cfre pe prmul loc ş 9 cfre pe al olea, în total 9 =8 e combnaţ. Probabltatea este 5 8 9 P ( non 7) 0,8. b). P (non 7) 0, 59. c). Blele fn nscernable, nu pot f 00 00 numerotate. De aceea problema nc nu se poate pune. 7

3. Legea lu Posson exprmă probabltatea aparţe unu anumt număr e evenmente întrun nterval e tmp at, acă aceste evenmente sunt aleatoare ş nepenente. Se ma numeşte ş legea evenmentelor rare, eoarece este valablă pentru numere mc e evenmente pe untatea e tmp. otân cu n acest număr, strbuţa este ată e n a a e P( n) n!.(http://en.wkpea.org/wk/posson_strbuton#how_oes_ths_strbuton_ar se.3f_.e.80.94_the_law_of_rare_events). a). Calculaţ valoarea mee a une măsurător. b). Arătaţ că strbuţa Posson satsface conţa e normare. c). Desenaţ strbuţa Posson pentru a=, a=, a=5. ). Statstca Posson moelează corect emsa fotonlor pentru sursele e lumnă foarte slabe. Putem să construm o sursă e lumnă cu un foton, care să emtă cu certtune numa câte un foton pe secună? n a a a a a a Rezolvare 3: a). n np( n) e n a e a e e a. Dec n0 n n! n0 ( n )! parametrul a este valoarea mee a măsurătorlor...3 p n0 n b). Conţa e normare este P ( n). Calculăm folosn ezvoltarea funcţe e a : n a a a a a a P ( n) e e e e...3 p n0 n n! n n! c). Rezultatul în Mathematca este: DscretePlot[Evaluate@Table[PDF[PossonDstrbuton[],k],{,{,,5}}],{k,0,5},PlotRan geall,jonetrue,plotmarkersautomatc] ş este reprezentat în fgura următoare. n... 4 p 7