DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM

Doctorad Bogda-Coreliu BIOLAN Uiversitatea di Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Abstract. We show that i a abstract covex space (E, D; Γ ), the partial KKM priciple implies the Ky Fa miimax iequality, from which we deduce a geeralizatio of the Nash equilibrium theorem. Ky Fa miimax iequality has may applicatios i ecoomy as well as the Nash equilibrium ad both are a useful tool for the ecoomists. Keywords: Nash Equilibrium, Ky Fa miimax iequality, KKM Theorem, abstract covex space, fiexed poit theorems. Clasificarea JEL: C61, C62, C70 1.Itroducere Este bie ştiut ca Teorema de puct fix a lui Brouwer, Lema lui Sperer di combiatorica, Teorema Kaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (pe scurt,kkm), Teorema de puct fix a lui Kakutai, Teorema de echilibru a lui Joh Nash, Teorema lui Ky Fa petru mulţimi cu secţiui covexe, Iegalitatea Fa de tip miimax, Teorema Fa- Browder de puct fix, i pricipal i teoria KKM,sut reciproc echivalete, a se vedea de exemplu [1,2]. Reamitim ca teorema de echilibru a lui Nash a fost demostrata îtâia oara utilizâd teoremele de puct fix ale lui Brouwer si Kakutai ;vezi [3,4](i aceasta lucrare am folosit doar teorema lui Brouwer). Mai târziu,i baza propriei leme KKM,Fa a demostrat teorema lui Nash aplicâd rezultatul sau pe mulţimi cu secţiui covexe i cadrul teoriei KKM ;vezi [5,6]

Bogda - Coreliu Biola Aceasta parte a teoremei este echivaleta cu Teorema de puct fix a lui Browder,di care putem deduce Teorema lui Nash, Teorema Neuma-Sio de tip miimax si u umăr importat de rezultate. I zilele oastre, teorema lui Nash este cuoscuta drept a fi ua ditre aplicaţiile cele mai importate ale iegalităţii de tip miimax a lui Fa[9].Iegalitatea si geeralizările diverse sut uelte foarte folositoare i umeroase domeii ale matematicii,de exemplu aaliza eliiara,i special i teoria puctelor fixe,iegalităţi variaţioale,diverse teorii ale echilibrului,programarea matematica,ecuaţii cu derivate parţiale,teoria jocurilor,teoria impulsurilor si matematica aplicata i ecoomie. De câd iegalitatea a apărut i 1972, a fost urmata de u umăr de geeralizări si aplicaţii i teoria KKM petru submulţimi covexe ale spatiilor vectoriale topologice,spatii covexe de tip Lassode,H-spaţii de tip Horvath, Spaţii covexe geeralizate i ses Park,si spatii de alt tip. Toate acestea sut uificate î categoria spatiilor abstracte covexe ;vezi [2] si referiţele de acolo petru mai multe detalii. De fapt oi studiem elemete sau rădăcii ale teoriei KKM i spatii covexe abstracte. Pricipiul parţial KKM petru spaţii covexe abstracte este o forma abstracta a teoremei clasice KKM. Observăm că multe rezultate importate î teoria KKM sut strâs legate de spatiile care satisfac pricipiul parţial KKM. Mai mult,multe asemeea rezultate sut echivalete itre ele. Aici itroducem o oua forma abstractă de teorema KKM legata de multifucţii avâd valorile îchiderii itersecţiei i sesul lui Luc et al.[15]. Arătam că această teoremă KKM implică forme diverse ale iegalităţii Fa Miimax. Scopul este de a arata că o iegalitate miimax de acest tip implică o oua geeralizare a teoremei echilibrului lui Nash i spatii abstracte covexe. I secţiuea 2, itroducem fapte de baza despre Echilbru Nash. I secţiuea 3.1. itroducem fapte de baza despre spatii covexe abstracte. Sectiuea 3.2. tratează oua teorema geeralizata KKM,teorema cu fucţii KKM avâd îchiderea itersecţiei valorilor datorată lui Luc et al.[15] si aplicaţiile î multe alterative aalitice sau iegalităţi Fa de tip miimax. I secţiuea 3.3. deducem o geeralizare a teoremei lui Nash i spatii covexe abstracte de la alterativa aalitica la o iegalitate de tip miimax.

De la teorema Fa miimax la echilibrul Nash 2.Modelul lui Joh Nash i teoria jocurilor. I lucrarea umita Equilibrium poits i jocuri de -persoae di 1950, Joh Nash descrie fără a formaliza,coceptele jocului de -persoae si ale echilibrului ataşat jocului. Defieşte jocul de -persoae,ude fiecare jucător are u umăr fiit de strategii si fiecare -uplu de strategii corespud uui aumit set strategii câştigătoare. Orice -uplu de strategii poate fi privit ca u puct i spatiul produs al mulţimilor de strategii câştigătoare. U puct de echilibru este u -uplu de strategii astfel îcât strategia fiecărui jucător ii aduce câştigul max, m jucătorului, împotriva a -1 strategii de celălalt tip. Dam defiiţia formala petru u joc de -persoae mai jos : Defiitia 2.1. Forma ormala a uui joc de persoae este (X i, r i ) i=1, ude petru fiecare i {1,2,, }, X i este o mulţime evidă (mulţimea strategiilor idividuale ale jucătorului i) si r i este relatia de preferita pe X i I X i a jucatorului i. Preferiţele idividuale r i sut adesea reprezetate pri fuctii utilitati,i.e. petru fiecare i {1,2,, } există o fucţie cu valori reale umita fucţie de utilitate i astfel îcât u i : X X i i I R xr i y > u i (x) u i (y), x, y X. Forma ormala a jocului de -persoae este (X i, u i ) i=1 Notaţie. Descriem x i = (x 1,, x i 1, x i+1,, x ). Defiiţia 2.2. Echilibrul lui Nash petru jocul (X i, u i ) i=1 satisface petru fiecare i {1,2,, } : u i (x ) u i (x i, x i ) x i X i.. este u puct x X care Teorema 2.1. (Următoarea teorema oferă codiţii suficiete de existeta a echilibrului Nash) Fie Γ = (X i, u i ) i=1 defiita pri : u joc de -persoae si fie f o fuctie reala defiita pe X X

Bogda - Coreliu Biola Presupuem că au loc : f(x, y) = u i (x i, y i ) i=1 1) Petru fiecare i {1,2,, }, X i este submulţime evidă compactă si covexa a uui spaţiu liiar topologic Hausdorff ; 2) Petru fiecare i {1,2,, }, u i (., x i ) este cotiuă pe X i = j i X j, x i X i fixat; 3) i=1 u i este cotiuă pe X 4) f(x,. ) este quasi-cocavă pe X, petru fiecare x X. Atuci, Γ are pucte de echilibru. Demostraţie. Arătam îtâi că există x X astfel îcât f(x, x ) f(x, y), y X. (*) Pri absurd, presupuem că x X, y x X a. i. f(x, x) < f(x, y x ). Defiim G(y) = {x X: f(x, x) < f(x, y)} petru y X. Mulţimea G(y) este deschisă i X iar X = G(y). y Y Com X este compacta î topologia produs,urmează că există o submulţime fiită X = {y 1, y 2,, y k } a lui X, astfel îcât Defiim h: cox cox, pri: h(x) = k X = G(y j ). j=1 k h j (x) j=1 k y j, i=1 h i (x) ude h j (x) = max (0, f(x, y j ) f(x, x)), j = 1,2,, k.

De la teorema Fa miimax la echilibrul Nash Toate codiţiile di teorema de puct fix a lui Brouwer sut îdepliite de h si atuci exista x X a. i. x = h(x ) Fie J = {j: h j (x ) > 0}. Evidet J, si j J <=> f(x, y j ) > f(x, x ) Cum x co{y j : j J},decurge di (iv) ca f(x, x ) > f(x, x ), cotradicţie! Verificăm că x este puct de echilibru. Fixam i N si x i X. Luâd i (*) y = (x i, x i ),avem că: u j (x ) u j (x ) j=1 Deci x este puct de echilibru. j i u i (x ) u i (x i, x i ) + u i (x i, x i ) 3.Iegalitatea Fa miimax implică teorema lui Nash de echilibru 3.1. Spatii covexe abstracte Fie D multimea partilor uei multimi evide D.Vom folosi i cotiuare termeul de multifuctie, petru a descrie fucţii ce au valori i D. Defiiţia 3.1.1. U spaţiu abstract covex (E, D, Γ) este alcătuit ditr-u spaţiu topologic E,o mulţime evidă D si o multifuctie Γ: D E cu valori evide Γ A Γ(A) petru A D. D D, acoperirea covexa Γ al lui D este astfel otata si defiita pri : co Γ D {Γ N N D } E. O submulţime X a lui E este umita Γ -submultime covexa a lui (E,D, Γ) relativ la D,daca petru orice N D, avem ca Γ N X, ceea ce iseama ca co Γ D X. Atuci (X, D, Γ D ) este umit subspatiu Γ -covex al lui (E, D, Γ).

Bogda - Coreliu Biola Câd D E, saptiul este otat pri (E D; Γ). I acest caz o submultime X a lui Eeste spusa a fi Γ-covexa daca co Γ (X D) X; cu alte cuvite X este Γ-covexa relativ la D X D. I cazul E = D, presupuem ca (E,Γ ) (E, E; Γ).Petru exemple de spatii abstracte covexe se pot cosulta [2,7,8,12-14] si referitele de acolo,i restul lucrarii lucram cu aceasta oţiue i mod abstract. Defiiţia 3.1.2. Fie (E, D; Γ) u spaţiu abstract covex. Daca o multifuctie G: D E satisface : Γ A G(A) y A G(y), A D, atuci G este umita a fi o fucţie KKM. Defiiţia 3.1.3. : Pricipiul parţial KKM petru u spaţiu abstract covex (E, D, Γ) este ca, petru orice îchidere a valorilor fucţiei KKM G: D E, familia {G(y)} y D are proprietatea itersectiei fiite. Pricipiul KKM este o mărturie a faptului că aceeaşi proprietate rămâe valabila fucţiei KKM cu valori deschise (pri îchiderea fucţiei e referim la valoarea care o poate lua fucţia KKM, care poate fi o multime ichisa/deschisa). Lucrări aterioare au arătat că elemete fudametale ale teoriei KKM pe spatii abstracte covexe sut strâs legate de pricipiul partial KKM. Exemple de spatii KKM sut date i [2,7,8,12-14] si i referiţele da acolo. Aici dam doar doua exemple după cum urmează: Exemplu. (1) U spatiu geeralizat covex sau u spatiu G-covex (X, D, Γ) după Park iseama u spatiu abstract covex astfel icat petru orice A D cu cardialitatea A = + 1, A : Γ(A) cotiua a.i. J A => A ( J ) Γ(J). Aici,petru cu puctele {e i } i=0, J este fata corespuzatoare lui J A ;aceasta este daca A = {a 0, a 1,, a } si J = {a i0, a i1,, a ik } A, atuci J = co{e i0, e i1,, e ik }. (2)U A - spatiu (X, D; { A } A D ) este alcatuit ditr-u spatiu topologic X,o multime evidă D, si o familie de multimi cotiue A : X( acestea sut i geeral -simplex-urile ) petru A D cu A = + 1. Fiecare A -spatiu poate fi costruit itr-u spatiu G-covex( a se vedea [19] de exemplu).uii spu ca spatiile GFC sau spatiile FC sut A -spatii sau cazuri particulare ale lor,respective.

De la teorema Fa miimax la echilibrul Nash (3) Observam ca spatiile G-covexe coţi submultimi covexe ale spatiilor vectoriale topologice, spatii covexe de tip Lassode, H-spatii de tip Horvath, A -spatii si spatii de alt tip.observam ca fiecare spatiu G-covex satisface pricipiul KKM. 3.2. De la pricipiul KKM la iegalitatea miimax I aceasta sectiue urmărim îdeaproape lucrările [14-16]. Cosideram următoarele patru relatii legate echivalete: (a) G(z) z D => z D G(z). (b) G(z) z D = z D G(z) (G este îchisa la itersectie) (c) G(z) z D = z D G(z) (G este trasfer îchis) (d) G este îchisa. A fost demostrat la cursul de metode variatioale (vezi Dica, G., Metode variatioale si aplicatii, Editura Tehica, Bucuresti,1980) ca de altfel si i [13] ca (a) <= (b) <= (c) <= (d),si au fost date exemple de multifuctii satisfacad (b) dar u si (c). Pri urmare, o sa discutam mai mult i jurul lui (b) si u al lui (c) i teoria KKM. Petru o multifuctie G: D E,cosideram urmatoarele 4 relatii echivalete: (a) z D G(z) = E => z D It G(z) = E. (b) It z D G(z) = z D G(z) (G este deschis la reuiue) (c) z D G(z) = z D It G(z) (G este trasfer deschis) (d) G este deschisa. Lema 3.2.1. Multifuctia G R este ichisa la itersectie( respectiv trasfer ichis) daca si umai daca G C,complemetara sa, este deschisa la itersectie. Avem următoarele forme ale tipurilor de teoreme KKM [14-26] Teorema 3.2.1. Fie (E, D; Γ) u spatiu covex abstract satisfacad pricipiul partial KKM,si G: D E o fuctie astfel icat:

Bogda - Coreliu Biola (1) G este o fuctie KKM;si (2) Exista o submulţime evidă si compacta K a lui E astfel îcât : (i) {G(y) y M} K petru M D ; sau (ii) petru fiecare N D, Γ submultime covexa L N a lui E relativ la u D D a.i. N D si L N G(y) y D K. Atuci avem: K G(y) y D. Mai mult: (α) daca G este trasfer ichis atuci K {G(y) y D} ; (β) daca G este ichisa la itersectie atuci {G(y) y D}. Teorema 3.2.1. poate fi reformulata i multe moduri asemăătoare echivalete ca si i [2,10-12]. Dam următoarea forma aalitica echivaleta: Teorema 3. 2. 2. Fie (E, D; Γ) u spatiu covex abstract care satisface pricipiul partial KKM,si presupuem α, β R, si f: D E R, g: E E R sut fuctii extise cu valori reale. (1) z D, G(z) {y E f(z, y) α} este ichisa la itersectie (2) y E avem ca: co Γ {z D f(z, y) > α} {x E g(x, y) > β}; (3) Codiţia de compacitate (2) di teorema 1 se meţie. Atuci ori: (i) (ii) y 0 E a. i. f(z, y 0 ) α, z D; sau x E a. i g( x, x ) > β. Lema 3.2.2. I ipotezele teoremei 2 G: D E,presupuem (3) si egatia lui (2).Atuci multifuctia G: D E este o fuctie KKM. Demostratie. Negatia lui (ii) este g(x, x) β, x E. Presupuem,di cotra ca exista o mulţime fiita N D astfel icat Γ N G(N). Atuci y Γ N a. i. y G(z) sau f(z, y) > α, z N.

De la teorema Fa miimax la echilibrul Nash Pri urmare, N {z D f(z, y) α} si di (2),avem ca Γ N {y E g(z, y) > β} Cum y Γ N,avem ca g(y, y) > β.obtiem astfel cotradictie! Demostratia Teoremei 3.2.2. Presupuem ca (ii) u are loc. Atuci, di lema (2),G este fuctie KKM. Mai mult, toate coditiile teoremei 1 KKM sut satisfăcute si {G(z)} z D are itersectia evida.pri urmare y 0 z D G(z) E.Deci f(z, y 0 ) α, z D.Pri urmare (i ) are loc Corolar 3.2.1.I ipotezele Teoremei 2 cu α = β = 0, daca g(x, x) 0, x E, atuci: (i) y 0 E a. i. f(z, y 0 ) 0, z D. Defiim acum oi cocepte. Petru mai multe detalii a se vedea [14-16] Defiitia 3.2.1. Fie (E, D; Γ) u spatiu covex abstract.o extidere a fuctiei cu valori reale f: D E R este spusa geeral iferior(respectiv superior) semicotiua (g.l.s.c.) (respectiv superior ) semicotiua (g.l.s.c.0(resp.,gu.s.c.)) pe E daca z D, {y E f(z, y) r}, (resp., {y E f(z, y) r} ) este ichisa la itersectie petru orice r R. Aceasta este o geeralizare a trasferului l.s.c. datorat lui Tia. Daca îchiderea itersecţiei mulţimilor este îlocuită, atuci f(z,. ) este spusa a fi l.s.c.(respectiv u.s.c.). Defiitia 3.2.2. Petru u spatiu abstract covex,(e D; Γ) o fuctie f: E R este spusa a fi quasicocav a daca {x E f(x) > r}, (resp., {x E f(x) < r}) este Γ- covex, petru orice r R. Di corolarul 3.2.1 obţiem următoarele : Corolar 3.2.2. :Fie (E; Γ) u spatiu compact abstract covex si f, g: E E R astfel icat : (1) f(x, y) g(x, y), (x, y) E E si g(x, x) 0, x E; (2) y f(x, y) este g.l.s.c. petru orice x E; si

Bogda - Coreliu Biola (3) x g(x, y) este quasicocava y E. Atuci exista y 0 E astfel icat f(x, y 0 ) 0 petru orice x E. Di teorema 3.2.2., avem clar urmatoarea iegalitate de tip Fa miimax : Teorema 3.2.3.I ipotezele Teoremei 2, α = β = sup x X g(x, x) atuci (a) y 0 E a.i. f(z, y 0 ) sup x E g(x, x), z D; si (b) Avem urmatoarea iegalitate miimax : if y E sup z D f(z, y) sup x E g(x, x). 3.3. De la iegalitatea miimax la Teorema de Echilibru a lui Nash I aceasta sectiue, aplicam Teorema 3.2.2. la o demostratie geeralizata a teoremei lui Nash.Fie I = {1,, } u set de jucatori.u joc ecooperativ de -persoae i forma ormala este u 2-uplu ordoat ude multimea evida X i este strategia pura al i-ului jucator.presupuad ca A {X 1,, X ; u 1,, u },si u i : X = jucătorului i. i=1 X i R este fuctia de pay-off a U puct di X i este umit strategie a jucătorului i. Presupuâd ca X 1 = si itelegad pri x si x i u elemet al lui X i si X i respectiv. O strategie este -uplul (y 1,, y ) X care este umit puct de echilibru Nash daca urmatoarea iegalitate are loc : u i (y 1, y 1 ) u i (x 1, y 1 ) x i X i si i I j l {i} X j Lema 3.3.1. Fie {(X i, D i ; Γ i )} i I o familie abstracta de spatii covexe. Fie X = i I X i echipat cu topologia produs si D = j l D i.petru fiecare i I fie proiectia π i : D D i.petru fiecare,defiim A (D),defiim Γ(A) i l Γ i ( A)).Atuci (X, D; Γ) este u spatiu covex abstract. Fie {(X i, D i ; Γ i )} i I o familie de G-spatii covexe.atuci (X, D; Γ) este G-spatiu covex.

De la teorema Fa miimax la echilibrul Nash Teorema 3.3.1. Fie Λ = {X 1,, X ; u 1,, u } u joc ude fiecare (X i, Γ i ) este u spatiu abstract covex astefl icat (X; Γ) ( i=1 X i ; Γ),ude Γ este data mai sus si satisface pricipiul partial KKM si fiecare u i : X R este cotiua.daca petru fiecare i si petru fiecare puct x i X i, x i u i (x i, x i ) este o fuctie quasicocava pe X i,atuci exista u echilibru Nash petru Λ. Demostratie. Petru fiecare i fie e i : X i X o aplicatie astfel icat petru a = (a 1,, a ) sa avem e i X i (x i, a 1 ) X.Presupuem ca D i e i (X i ) X si Γ i Γ (Di ).Atuci (X D i ; Γ i ) este u spatiu covex abstract si se vede usor ca satisface pricipiul partial KKM. Observam ca D i este Γ i - mulţime covexa,si z D i implica z = (z i, a i ) X. Petru u i : X R defiim f i : D i X R si g i : X X R pri f i (z, y) u i (z i, y i ) u i (y i, y i ) si g i (x, y) u i (x i, y i ) u i (y i, y i ),respectiv. Atuci f i (z, y) = g i (z, y) pe D i X si g i (x, x) = 0, x X. Acum aplicam Teorema 3.2.2. petru spatii abstracte covexe (X, D i ; Γ i ) cu α = β = 0. (1) Cum fiecare u i, este cotiua,petru fiecare z D i,multimea {y X f i (z, y) > 0} = {y X u i (z i, y i ) u i (y i, y i ) > 0} este deschisa. (2) Petru fiecare y X, aplicatia z u i (z i, y i ) este quasicocava.pri urmare{z D i u i (z i, y i ) > r} este Γ i - covexa r R si pri urmare :{z D i f i (z, y) = u i (z i, y i ) u i (y i, y i ) > 0} este covexa si cotiuta i {x X g i (x, y) > 0}. (3) X este compact. Succesiv, toate ipotezele (1)-(3) Teoremei 2 sut satisfăcute. Mai mult,cocluzia (ii) u mai are loc di momet ce g i (x, x) = 0, x X.Pri urmare avem: (i) u i (y i i, y i i y i X a. i. f i (z, y i ) 0, z D;cu alte cuvite ) u i (z i, y i i ), z i X i, i I.

Bogda - Coreliu Biola Atuci: y (y 1 1,, y ) este puctul de echilibru Nash cautat. Remarca : (1) Ziad [20] a idicat faptul că teorema Nash rezultă di iegalitatea Fa. Demostratia de mai sus completează acest tablou i forma geerala. (2) Cum teorema lui Nash rezultă di iegalitatea Fa şi acesta di urmă are u umăr mare de geeralizări petru diferite spatii covexe abstracte,argumetele oastre merg si petru corespodete geeralizate ale teoremei lui Nash.Mai precis,cum toate submultimile uui spatiu vectorial topologic,spatiile Lassode de tip covex,spatiile H de tip Horvath(exemplu spatiile hypercovexe metrice),spatiile phi-a,spatiile G-covexe si alte tipuri de spatii sut spatii covexe abstracte satisfacad pricipiul partial KKM,Teorema 3.3.1. poate fi aplicata la toate ;Petru detalii vezi [2,12-14].De exemplu urmatoarea este o teorema variata a lui Nash : Corolar 3.3.1. Fie Λ {X 1,, X ; u 1,, u } u joc ude fiecare X i este o submultime compacta covexa a uui spatiu vectorial topologic si fiecare u i este cotiua. Daca petru fiecare i I si petru fiecare puct x i X i, aplicatia x i u i (x i, x i ) este quasicocava pe X i,atuci exista u echilibru Nash petru Λ. I 2006,Torres-Martiez [21] a aratat u tip particular de teorema [3,4] de echilibru Nash,si pri urmare Teorema 3.3.1. implica teorema lui Brouwer careia ii dam i aceasta lucrare demostratie completa. Pri urmare,toate rezultatele i aceasta lucrare sut echivalete cu teorema lui Brouwer.Geeralizari ale teoremei lui Nash si alte teoreme de acest tip au fost facute i lucrarile [2,7]. Nota Această lucrare a fost susțiută fiaciar î cadrul proiectului ititulat: Programe doctorale si postdoctorale-suport petru Cresterea Competitivitatii Cercetării î Domeiul știițelor exacte, cotract umărul: POSDRU/159/1.5/S/137750. Acest proiect este co-fiațat de Fodul Social Europea pri Programul Operațioal Sectorial Programul petru Dezvoltarea Resurselor Umae 2007-2013. Ivestim îoamei!

De la teorema Fa miimax la echilibrul Nash BIBLIOGRAFIE [1] S. Park (1999), Niety years of the Brouwer fixed poit theorem; Vietam J. Math. 27 ; 187 222; [2] S. Park (2010), The KKM priciple i abstract covex spaces: equivalet formulatios ad applicatios; Noliear Aal. TMA 73, 1028 1042; [3] J.F. Nash (1950), Equilibrium poits i N-perso games; Proc. Natl. Acad. Sci. USA 36, 48 49; [4] J. Nash (1951), No-cooperative games; A. Math. 54; 286 295; [5] K. Fa (1961), A geeralizatio of Tychooff s fixed poit theorem; Math. A. 142 ; 305 310; [6] K. Fa (1966), Applicatios of a theorem cocerig sets with covex sectios; Math. A. 163, 189 203; [7] S. Park, Geeralizatios of the Nash equilibrium theorem i the KKM theory; Takahashi Legacy, Fixed Poit Theory Appl. vol. 2010, Article ID 234706, 23 pp, doi:10.1155/2010/234706; [8] S. Park (2010), O the vo Neuma Sio miimax theorem i KKM spaces; Appl. Math. Lett. 23, 1269 1273; [9] K. Fa (1972), A Miimax Iequality ad Applicatios, Iequalities III; Academic Press, New York, i: O. Shisha (Ed.), pp. 103 113; [10] E. Zeidler, Noliear Fuctioal Aalysis ad its Applicatios; Vol. 5, Spriger-Verlag, New York, 1986 1990; [11] Y.J. Li, G. Tia (1993), Miimax iequalities equivalet to the Fa Kaster Kuratowski Mazurkiewicz theorem; Appl. Math. Optim. 28, 173 179; [12] S. Park (2008), Elemets of the KKM theory o abstract covex spaces ; J. Korea Math. Soc. 45 (1), 1 27; [13] S. Park (2008), Equilibrium existece theorems i KKM spaces; Noliear Aal. TMA 69 ; 4352 4364; [14] S. Park (2008), New foudatios of the KKM theory ; J. Noliear Covex Aal. 9 (3) ; 331 350; [15] D.T. Luc, E. Sarabi, A. Soubeyra (2010), Existece of solutios i variatioal relatio problems without covexity; J. Math. Aal. Appl. 364 ; 544 555; [16] S. Park (2011), A geesis of geeral KKM theorems for abstract covex spaces; J. Noliear Aal. Optim. 2 (1) ; 121 132; [17] S. Park (2011), New geeralizatios of basic theorems i the KKM theory; Noliear Aal. TMA 74 ; 3000 3010; [18] S. Park, O S.-Y. Chag s iequalities ad Nash equilibria (i press);

Bogda - Coreliu Biola [19] S. Park (2009), Geeralized covex spaces, L-spaces ad FC-spaces; J. Global Optim. 45; 203 210; [20] A. Ziad, A couterexample to 0-diagoal quasicocavity i a miimax iequality; J. Optim. Theory Appl. 109 (2); [21] J.P. Torres-Martíez (2006), Fixed poits as Nash equilibria; Fixed Poit Theory Appl. vol. 2006, Article ID 36135, 4 pp.