84 Revsta Inormatca Economca, nr. ()/00 Program pentru utlzarea unctlor splne în probleme de nterpolare nelnara Con.dr. Maela MUNTEAN Catedra de Inormatca Economca, Facultatea de Stnte Economce Unverstatea de Vest Tmsoara În mod obsnut, rezultatele une nvestgat expermentale, e în probleme economce, e în probleme tence, se preznta sub orma une multm de puncte în R sau R. Avînd la dspozte aceste rezultate prme, problema de prelucrare a lor este strîns legata de aproxmarea analtca prn nterpolare. Sub aspect matematc problema este oarte vece s a consttut obectul unor ntense preocupar a marlor matematcen Newton, Lagrange, Gauss, Euler, Cebîsev. În ultmele decen un loc mportant revne utlzar unctlor splne, a caror multme ormeaza un spatu lnar [], [], []. Ele preznta dn punct de vedere aplcatv, datorta orme polnomale, avantajul de a usor programable conducînd la solut nale numerce. Important este aptul ca unctle splne polnomale au propretatea de a mnmza o anumta semnorma a uncte splne de nterpolare de grad mpar, ar utlzînd tenca spatlor Hlbert se poate den elementul splne ca unca solute a une probleme varatonale. Acest lucru permte obtnerea propretatlor mportante ale tuturor multmlor lnare de unct splne, cum ar unctle splne polnomale, trgonometrce, exponentale, unctle L-splne, de tp Cebîsev etc. Se poate studa astel s convergenta unctlor splne de nterpolare catre uncta pe care o nterpoleaza în normele obsnute Cebîsev s L, precum s ordnul de convergenta. Cuvnte cee: unct splne, nterpolare lnara, solut numerce. U rmarnd dversele tpur de polnoame de nterpolare s-a constatat în procesul utlzar lor practce ca se poate întîmpla ca derenta dntre valorle uncte (x) s ale polnomulu de nterpolare în aara nodurlor x sa e oarte mare. Constructa une retele { } ma dese s a unu polnom de un grad ma mare nu rezolva problema. Exemplele lu Runge (90), ale lu Bernsten (9) precum s celebra teorema a lu Faber (94) au aratat ca polnomul nu este cel ma potrvt nstrument de aproxmare a une unct date. Asa au aparut unctle splne care sunt unct segmentar polnomale, care se racordeaza în nodur împreuna cu un anumt numar de dervate ale lor. Des aparent noua, nd ntrodusa de I.J. Scoenberg în 946, notunea îs are orgnea în lucrarle matematcenlor dn antctate care utlzau lnle polgonale la calculul arlor s volumelor. Generalzarle au aparut dupa 958 cînd începe utlzarea metodelor analze unctonale, cînd Golomb s Wenberger pornnd de la aproxmarea unctonalelor lnare s contnue, ntroduc notunea de uncte splne într-un spatu Hlbert. Dupa 968 se produce o dezvoltare explozva în acest domenu creându-se adevarate scol de unct splne (Madson, Grenoble, Novosbrsk, Münster etc.) prvnd ma ales aplcarea lor la rezolvarea numerca a ecuatlor derentale nelnare sau cu dervate partale, ecuat ntegrale, ssteme ntegro-derentale etc. Ma vo ocupa numa de unctle splne cubce; tentata utlzar acestora este legata de propretatle lor de extrem descoperte destul de tîrzu. Astel, pe lînga condtle de contnutate s dervabltate în nodur, care arma ca uncta splne de nterpolare pe [ a,b] cu:
Revsta Inormatca Economca, nr. ()/00 85 s (x) y ;Ds,(x ) D s, (x );D s(a) D s(b) 0 ( ) este unca solute a urmatoare probleme de extrem: b b (D s) dx n (D g s) dx,g J[Y] ( ) a a unde J(Y) {g C [a, b] g(x ) y,, N}. Aceasta este numta uncte splne cubca naturala. În contnuare este prezentata o modaltate de a constru polnomul splne cubc de nterpolare, pentru cazul în care pe [ a, b] R este data o dvzune I s, a b H ) ch ) dh) În conormtate cu denta unctlor splne, trebue sa e satsacute urmatoarele condt: s, ) B, s, ) m, ) B s, s, ) s, ) m ( 5 ) s, ) B s, ) m s, ) B s, ) s, ) Utlzarea globala a acestor condt conduce la calcule deosebt de greoae s lung. De aceea, am realzat un proces semte-ratv care sa permta întocmrea unu pro-gram cît ma smplu. Avem succesv urma-toarele relat, utlzînd numa condtle preczate: - pentru H H, condta s, ) B conduce la a B - pentru H H, condta s, ) B conduce la a b c d B - pentru H H, condta s, ) m conduce la b m : a H < H <... < H < n H n b ( ) s vectorul n Y R,Y(B,B,...,Bn ). Se va consdera acesta uncte pe ntervalul (x,x ), sub orma urmatoare: ( 4 ) B B m m - pentru H H, condta ) m conduce la s, b c d m În relatle de ma sus s-a notat cu : H ), D ) m,j ;. În. s, j j urma ordonar se obtne: a B ; b m B B m c d ( 6 ) m m c d, de unde rezulta expresle pentru cecent c s d. B B m m c ( 7 ) B B m m d Cu aceste rezultate, uncta s, ) devne: B B m m s, ) B m H ) H ) H ), n '' '' Impunînd condta s, ) s, ) relatva la dervatele partale de ordnul do, a caror exprese este data ma jos, se obtne relata (9): ) c 6d H ); ) c 6d H ) ( 8 ) c d c. ( 9 ) s, s,
86 Revsta Inormatca Economca, nr. ()/00 Se obtne, tnînd cont de expresle gaste ma sus, urmatorul sstem lnar, cu ajutorul carua se vor determna pantele la gracul uncte de aproxmate în nodurle retele date. B B B B m ( )m m ( 0 ), n Pentru a usura s organza algortmc rezolvarea acestu sstem, se împarte cu ) > 0. m Daca se noteaza cu: A m m ; C ; D B B B 0, n B B ( B A C ;, n ) sstemul () se poate scre sub orma: A m m C m D ;, n ( ) S-a obtnut un sstem de (n-) ecuat cu n necunoscute (m ), care nu este unvoc rezolvabl. Trebue sa ma adaugam doua condt la lmta suplmentare. Exsta dverse metode de a rezolva problema, mpunînd - de exemplu - condt de prelungre analtca în aara domenulu de dente. Eu vo presupune ca la capetele ntervalulu de dente este cunoscuta panta graculu: ) m ; ) m ( 4 ) s, s,n n Aceste valor aproxmatve se vor calcula acînd urmatorul artcu : (daca numarul de ntervale este sucent de mare). Se va scoate dn crcutul valorlor de capat cîte o perece de valor, pentru care se presupune ca uncta varaza lnar, dec se va putea calcula panta. Evdent ca procesul poate teratv, adca dupa o prma aproxmate se poate lucra cu alte pante la capetele ntervalulu, renuntînd la înca un mc nterval de dvzune nteror, de la capetele ntervalulu. Se poate, de asemenea, Tabelul nr. Date ntale H n B B ( ) ( împart ntervalul de capat în alte subntervale s sa se admta ntal o alta varate etc. Pentru a ace o vercare concreta a programulu am ales nste rezultate expermentale de pe un grac oarecare puternc nelnar (tabelul ). Pe baza acestor rezultate s-a întocmt matrcea sstemulu de ecuat () s s-au rezolvat ecuatle polnomale aproxmatve pe ecare subnterval de dvzune al domenulu de dente (tabelul ). În contnuare am studat, ara sa preznt rezultatele, urmatoarele doua probleme: cum varaza erorle pe prmul nterval H [.,.6] cu un pas de 0.05 s pe un nterval de la mjlocul domenulu H [5.8, 5] pentru acelas pas de dscretzare; cum se scmba curbele de aproxmate pe cele doua ntervale preczate ma sus, daca la capatul dn stânga, panta graculu, care a ost aleasa de mne, obtne alte 0 valor posble. Date calculate B A C D H, B 0,6 0,5 A 0,57 C 0,4678 D 0,56556
Revsta Inormatca Economca, nr. ()/00 87 H,6 B 0,7 0,57 A 0,58088 C 0,49 D 0,46488 H,8 B 0,8 0,79 A 4 0,57066 C 4 0,494 D 4 0,40 H 4,97 B 4 0,9 4,05 A 5 0,58 C 5 0,4 D 5 0,56 H 5 5,0 B 5,0 5,45 A 6 0,57478 C 6 0,45 D 6 0,84 H 6 6,47 B 6, 6,96 A 7 0,6044 C 7 0,9756 D 7 0,6 H 7 8,4 B 7, 7,97 A 8 0,5970 C 8 0,4098 D 8 0,08778 H 8,4 B 8, 8 4,4 A 9 0,67647 C 9 0,5 D 9 0,05667 H 9 5,8 B 9,4 9 9, A 0 0,6705 C 0 0,975 D 0 0,074 H 0 5 B 0,5 0 8,7 A 0,64584 C 0,546 D 0,047 H 4,7 B,6 4, A 0,59549 C 0,4045 D 0,007656 H 77,8 B,7 50, A 0,57885 C 0,45 D 0,0059 H 8 B,8 69 A 4 0,6087 C 4 0,79 D 4 0,00705 H 4 97 B 4,9 4 A 5 0,757 C 5 0,467 D 5 0,004 H 5 0 B 5,0 5 45 A 6 0,69469 C 6 0,05 D 6 0,0007 H 6 655 B 6, 6 785 A 7 0,50474 C 7 0,4956 D 7 0,00078 H 7 440 B 7, 7 800 A 8 0,5 C 8 0,5 D 8 0,0075 H 8 40 B 8, 8 800 A 9 0,5 C 9 0,5 D 9 0,00075 H 9 040 B 9,4 9 800 - - - H 0 840 B 0,5 - - - - Tabelul m 0,5 ; m 0,5. 0-4 H -H H ~H s, ecuata uncte de aproxmare pe domenul [, ] 0,5 (,,6) s, 0,6 0,5 -,) 0,05 -,) - 0,04 -,) 0,57 (,6,8) s, 0,7 0,074 -,6) 0,4668 -,6) - 0,95097 -,6) 0,79 (,8,97) s, 0,8 0,8 -,8) - 0,60799 -,8) 0,67047 -,8) 4,05 (,97 5,0) s,4 0,9 0,45 -,97) - 0,077006 -,97) 0,0508 -,8) 5,45 (5,0 6,47) s,5,0 0,07-5,0) 0,000797-5,0) - 0,008696-5,0) 6,96 (6,47 8,4) s,6, 0,06-6,47) - 0,00767-6,47) 0,0007706-6,47) 7,97 (8,4,4) s,7, 0,04-8,4) -,700. 0 - - 8,4) 0,055. 0 - -,) 8 4,4 (,4 5,8) s,8, 0,08 -,4) -,9. 0 - -,4) 0,088. 0 - -,4) 9 9, (5,8 5) s,9,4 0,08-5,8) - 0,009778-5,8) 0,00009566-5,8) 0 8,7 (5 4,7) s,0,5 6,95. 0 - - 5) -,0884. 0-4 - 5) 0,0975. 0-5 - 5) 9, (4,7 77,8) s,,6 4,098.0 - - 4,7) - 0,4855.0-4 - 4,7) 0,4044.0-6 -4,7)
88 Revsta Inormatca Economca, nr. ()/00 50, (77,8 8) s,,7,56.0 - - 77,8) - 0,05566. 0-4 - 77,8) 5,5.0-9 - 77,8) 69 (8 97) s,,8,74. 0 - - 8) - 0,477. 0-5 - 8) 7,06. 0-9 - 8) 4 (97 0) s,4,9,9. 0-4 - 97) - 0,797. 0-5 - 97) 5,066. 0-9 - 97) 5 45 (0 655) s,5 6,446. 0-4 - 0) -,557. 0-6 - 0),5. 0-9 - 0) 6 785 (655 440) s,6,,64. 0-4 - 655) 0,607. 0-7 - 655) - 0,58. 0-0 - 655) 7 800 (440 40) s,7,,89.0-4 - 440) - 0,085.0-7 - 440) 0,045.0-0 -440) 8 800 (40 040) s,8,,4.0-4 - 40) 0,05.0-7 - 40) - 0,0094.0-0 -40) 9 800 (040 840) s,9,4,5. 0-4 - 040) - 7,5. 0-0 - 040) 4,68. 0 - - 040) Metoda de determnare a unctlor de aproxmare de tp splne cubc, descrsa s utlzata în cadrul aceste lucrar, se poate sntetza în urmatoarea exprmare într-un lmbaj de tp pseudocod. Splne_cubca (n, H, B, m, a, b, c, d) Intrar: n numarul punctelor de nterpolare (0) H, H,..., H n ) suportul nterpolar B (B, B,..., B n ) valorle uncte pe suportul nterpolar Iesr: m (m, m,..., m n ) pantele la gracul uncte de aproxmare în nodur a (a, a,..., a n- ) coecent unctlor splne de aproxmare pe cele b (b, b,..., b n- ) (n-) ntervale c (c, c,..., c n- ) d (d, d,..., d n- ) Început ntrodu valorle marmlor de ntrare calculul marmlor dn Tabelul. [] H [] - H [] pentru : n- repeta [ ] H [ ] - H [] [] A [] [ ] [] [ ] C [] [ ] [] B[ ] B[] B[] B[ ] D [] [ ] [] [ ] [] [] [ ] sîrst determnarea matrce sstemulu T_LIBER []
Revsta Inormatca Economca, nr. ()/00 89 T_LIBER [n] 0,0005 pentru : n repeta M_SISTEM [, ] daca < n- atunc M_SISTEM [, ] A [] M_SISTEM [, ] C [] T_LIBER [] D [] sîrst sîrst determnarea pantelor m (m, m,..., m n ), adca se rezolva ecuata matrceala M_SISTEM x m T_LIBER m M_SISTEM - x T_LIBER se determna coecent unctlor splne pentru ecare nterval pentru : n- repeta a [] B [] b [] m [] B[ ] B[] m[ ] m[] c [] [] [] B[ ] B[] m[ ] m[] d [] [] [] sîrst sîrst În concluze se observa ca valorle de capat nu pot absolut arbtrare. La o crestere de 00 or a parametrulu m (de la 0,5 la 50) pe prmul nterval erorle cresc brusc pîna la 700. Dar, la varat rezonable în jurul valor calculate ntal sunt oarte mc s nu depasesc %. Datorta rezultatelor obtnute, consder ca modul de analza propus de mne este oarte acceptabl s ecace. Bblograe Iorga V., Jora B., Nculescu C., Lopatan I., Fatu I., Programare numerca, Edtura Teora, Bucurest, 996 Mcula G., Funct splne s aplcat, Edtura Ddactca s Pedagogca, Bucurest, 98 Mng Yu, Kuel E., Splne Element or Boundary Element Metod, IEEE Transactons on Magnetcs, vol. 0, nr. 5, 994, p.905-907 Paraskevopoulos P.N., Krtss K.H., Mnmal realzaton o recursve and non recursve D systems, IEE Proceedngs, Part G, Vol. 40, pp 87-90, 99 Muntean M., Stud s cercetar prvnd analza cîmpurlor magnetce prn metode numerce, Edtura Eubeea, Tmsoara, 999, ISBN 97-990-0-