Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Teja Bergant Ljubljana, junij 01

. Zahvala Iskreno se zahvaljujem mentorju dr. Marku Razpetu za strokovno pomoč, usmerjanje in čas, ki ga je posvetil nastajanju mojega diplomskega dela. Velika zahvala gre vsem domačim za podporo, pomoč in potrpežljivost v času študija. Hvala tudi vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli, da je diplomsko delo končno končano. 3

Program dela V diplomskem delu obravnavajte hiperbolične funkcije in navedite nekaj primerov uporabe. Ljubljana, junij 01 Mentor: dr. Marko Razpet 5

Povzetek V diplomskem delu so predstavljene hiperbolične funkcije. V sklopu zgodovine le-teh sta skozi življenje in delo opisana matematika Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert, pod lastnostmi hiperboličnih funkcij pa so obravnavane njihove definicije, grafi, odvodi, integrali in razvoji v potenčne vrste. Predstavljene so tudi zveze med njimi, njihove inverzne funkcije in adicijski izreki. Povzete so povezave hiperboličnih funkcij s trigonometričnimi, in sicer preko geometrijske razlage prvih in drugih ter povezava s pomočjo kompleksnega argumenta. Na koncu sta navedena še dva primera uporabe, in sicer verižnica in Dirichletov problem. Ključne besede: Hiperbolične funkcije, Vincenzo Riccati, Johann Heinrich Lambert, eksponentna funkcija, inverzne hiperbolične funkcije, verižnica, Dirichletov problem. 7

Hyperbolic functions Abstract This thesis is an introduction to hyperbolic functions. The history part describes the lives and work of the mathematicians Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert. The characteristics section deals with the hyperbolic functions definitions, graphs, derivatives, integrals, and power series expressions. The thesis also presents the relations between the hyperbolic functions, their inverse functions and addition theorems. Also included are the comparison of the hyperbolic functions to the trigonometric functions by means of their geometric interpretation, and the description of the relations among them by means of a complex argument. The thesis concludes with two examples of use, the catenary and the Dirichlet problem. Key words: Hyperbolic functions, Vincenzo Riccati, Johann Heinrich Lambert, exponential function, inverse hyperbolic functions, catenary, Dirichlet problem. MSC(010): 01A50, 6A06. 8

Kazalo Zahvala 3 Program dela 5 Povzetek 7 Kazalo 9 1 Uvod 11 Zgodovina hiperboličnih funkcij 13.1 Vincenzo Riccati......................... 13. Johann Heinrich Lambert.................... 15 3 Lastnosti hiperboličnih funkcij 19 3.1 Definicije in grafi......................... 19 3. Zveze med hiperboličnimi funkcijami.............. 7 3.3 Area funkcije........................... 8 3.4 Adicijski izreki.......................... 31 3.5 Odvodi............................... 33 3.6 Integrali.............................. 36 3.7 Razvoji v potenčne vrste..................... 39 4 Analogija s trigonometričnimi funkcijami 43 4.1 Trigonometrične funkcije..................... 43 9

4. Geometrijska razlaga hiperboličnih funkcij........... 45 4.3 Hiperbolične in trigonometrične funkcije v kompleksni ravnini 47 5 Zveza z diferencialnimi enačbami 51 5.1 Verižnica.............................. 51 5. Dirichletov problem........................ 61 6 Zaključek 63 Literatura 65 10

Poglavje 1 Uvod Hiperbolične funkcije so prek kompleksnih funkcij sorodne trigonometričnim in so transcendentne, kar pomeni, da niso algebraične. Osnovni hiperbolični funkciji sta hiperbolični sinus (sh) in hiperbolični kosinus (ch), iz teh pa so izpeljane še funkcije hiperbolični tangens (th), hiperbolični kotangens (cth), hiperbolični sekans (sch) in hiperbolični kosekans (csh). Zgodovina hiperboličnih funkcij sega v 18. stoletje, ko sta jih neodvisno eden od drugega vpeljala matematika Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert. Skozi življenje in delo sta opisana v sledečem poglavju. V poglavju o lastnostih hiperboličnih funkcij so najprej predstavljene njihove definicije in grafi, nato pa še nekatere pomembne zveze med njimi. Inverzne hiperbolične funkcije se imenujejo area funkcije: area hiperbolični sinus (Ar sh), area hiperbolični kosinus (Ar ch), area hiperbolični tangens (Ar th), area hiperbolični kotangens (Ar cth), area hiperbolični sekans (Ar sch) in area hiperbolični kosekans (Ar csh). Adicijski izreki hiperboličnih funkcij močno spominjajo na adicijske izreke trigonometričnih funkcij. V nadaljevanju so izpeljani tudi odvodi, integrali in razvoji v potenčne vrste hiperboličnih funkcij s pomočjo lastnosti eksponentne funkcije. 11

Tako kot točke (cos x, sin x) tvorijo enotsko krožnico, tako točke (ch x, sh x) tvorijo desno polovico enakostranične hiperbole. V 4. poglavju tako najdemo malo več o tem, pa tudi povezavo hiperboličnih funkcij s trigonometričnimi s pomočjo kompleksnega argumenta. Hiperbolične funkcije se pojavljajo v rešitvah nekaterih pomembnejših linearnih diferencialnih enačb, na primer enačba verižnice in Laplaceova enačba na pravokotniku v kartezijskih koordinatah. Prva je pomembna v arhitekturi in gradbeništvu na področju gradnje mostov in obokov, druga pa je pomembna na mnogih področjih fizike, med drugim v elektromagnetizmu, termodinamiki, mehaniki tekočin in posebni teoriji relativnosti. V diplomskem delu so bolj podrobno obravnavane štiri hiperbolične funkcije, in sicer hiperbolični kosinus, hiperbolični sinus, hiperbolični tangens in hiperbolični kotangens, funkciji hiperbolični sekans in hiperbolični kosekans pa sta obravnavani zelo površinsko. 1

Poglavje Zgodovina hiperboličnih funkcij Hiperbolične funkcije sta v 60. letih 18. stoletja neodvisno eden od drugega vpeljala Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert. Riccati je uporabil oznaki Sc. za sinus (sinus circulare) in Cc. za kosinus (cosinus circulare) ter Sh. za hiperbolični sinus (sinus hyperbolico) in Ch. za hiperbolični kosinus (cosinus hyperbolico). Lambert je privzel imena in spremenil okrajšave v take, kot se ponekod uporabljajo še danes: sinh in cosh. [18].1 Vincenzo Riccati Italijanski matematik Vincenzo Riccati se je rodil 11. januarja leta 1707 v kraju Castelfranco blizu mesta Treviso kot drugi sin matematika Jacopa Francesca Riccatija in Elisabette dei Conti d Onigo. [35] Zgodnjega šolanja je bil deležen doma pod okriljem jezuitov, katerih redu se je leta 176 tudi sam pridružil. Leta 178 je na jezuitskem kolegiju v Piacenzi začel poučevati literaturo. Kasneje je literaturo poučeval še v Padovi in Parmi. Za tem je v Rimu študiral teologijo, nato pa je od leta 1739 v Bologni 30 let poučeval matematiko. Riccati je bil med drugim izučen tudi v vodogradbeništvu. Delal je na obvladovanju poplavne ogroženosti na rekah Reno, Pad, Adiža in Brenta, kar je beneško in bolonjsko regijo reševalo pred 13

Slika.1: Vincenzo Riccati (1707 1775). [34] katastrofalnimi poplavami. Ob ukinitvi njegovega reda leta 1773 se je vrnil v rodni Treviso in dve leti za tem, 17. januarja leta 1775 tam umrl za koliko, star 68 let. [8], [9], [35] Pri objavi svojega odkritja, hiperboličnih funkcij, je sodeloval z Girolamom Saladinijem. Riccati ni le vpeljal teh novih funkcij, pač pa je izpeljal tudi enačbe za integrale le-teh. Nato je izpeljal še integrale trigonometričnih funkcij. Njegova knjiga Institutiones (1765 1767) se šteje za prvo obsežno razpravo na temo računanja integralov. Riccati je hiperbolične funkcije razvil in njihove lastnosti dokazal geometrijsko s pomočjo enotske hiperbole x y = 1 ali xy = 1, podobno, kot je opisan v razdelku (4.). [30] Riccati in Saladini sta se ukvarjala tudi z geometrijskimi problemi, kot so traktrisa 1, strofoida in štiriperesna deteljica 3. Oče Vincenza Riccatija, Ja- 1 Traktrisa ali vlečnica krivulja, ki jo zariše telo-točka, privezano na en konec neraztegljive vrvice, medtem ko drugega vlečemo vzdolž premice na isti ravnini. [7] Strofoida ravninska algebrska krivulja 3. reda, v polarnih koordinatah (r, ϕ) podana z enačbo r = a sin(α ϕ)/ sin(α ϕ). [31] 3 Štiriperesna deteljica krivulja, podana z enačbo r(ϕ) = 3 cos(ϕ). [17] 14

copo (1676 1754), po komer se imenuje Riccatijeva diferencialna enačba 4, je bil eden vodilnih italijanskih matematikov 18. stoletja. [9]. Johann Heinrich Lambert Johann Heinrich Lambert, nemški matematik, fizik, astronom in filozof, je bil eden velikih mislecev 18. stoletja. Nemški filozof Immanuel Kant (174 1804) ga je opisal kot največjega genija Nemčije. Posvečal se je optiki, astronomiji, pirometriji, balistiki, psihologiji, fotometriji, algebri, trigonometriji, projekciji, filozofiji, logiki, verjetnosti. Čeprav so bila njegova matematična razmišljanja vredna spoštovanja, pa so bila njegova odkritja dostikrat zasenčena od del njegovih sodobnikov. Izjema je bil njegov prispevek k hiperbolični trigonometriji, ki mu je zagotovil trajno mesto v zgodovini razvoja matematike. Lambert je bil prav tako prvi, ki je dokazal, da je π iracionalno število. Domneval je tudi, da sta tako π kot e transcendentni števili 5, vendar pa je dokaz za to priskrbel šele kasneje Charles Hermite za e in Ferdinand Lindemann za π. [3], [5], [30] Kot sin Lukasa Lamberta, krojača, in Elisabethe Schmerber se je Johann Heinrich rodil 6. avgusta 178 v Mülhausnu (danes Mulhouse, Alzacija, Francija) in umrl za tuberkulozo le 49 let kasneje v Berlinu. Izhajal je iz revnega okolja, zato je bil glede izobraževanja prepuščen samemu sebi. Služboval je kot računovodja, tajnik, zasebni učitelj in arhitekt po Nemčiji, Nizozemski, Franciji, Italiji in Švici. Delal je tudi kot uradnik v železarni, nato pa je postal učitelj v hiši družine grofa Andreasa von Salisa v mestu Coire v Švici, ki je imela v lasti odlično knjižnico. Tu je imel Lambert možnost raziskovati teme, ki so mu bile blizu. Leta 1759 je Coire zapustil in z dvema svojima študentoma potoval po zahodnoevropskih mestih Göttin- 4 Riccatijeva diferencialna enačba enačba oblike y = a(x)y + b(x)y + c(x). [7] 5 Transcendentno število vsako kompleksno število, ki ni algebrsko oziroma ni rešitev nobene polinomske enačbe oblike a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x 1 + a 0 x 0 = 0, kjer je n > 0 in so koeficienti a i racionalna števila, ne vsa enaka 0. [3] 15

Slika.: Johann Heinrich Lambert (178 1777). [1] gen, Utrecht, Pariz, Marseilles in Torino, nato pa še sam po mestih Augsburg, München, Erlangen, zopet Coire in Leipzig. Živel je v času, ko je bila znanstvena dejavnost skoncentrirana v deželah, ki so jih vodili razsvetljeni vladarji, ki so se radi obdajali z učenjaki. Bil je član berlinske Akademije znanosti, kjer je med drugimi sodeloval z Leonhardom Eulerjem in Josephom Lagrangeem. [1], [], [3] Lambert je bil eden prvih, ki je predvidel nekatere lastnosti Rimske ceste. V svojem delu Kosmologische Briefen (Kozmološka pisma) (1761) je objavil svojo verzijo nastanka Sončevega sistema iz meglice. Predpostavil je, da se zvezde blizu Sonca skupaj gibljejo po Rimski cesti in da je v galaksiji še mnogo takih sistemov zvezd. To je kasneje potrdil Sir William Herschel. Prepričan je bil tudi, da nobeno telo v vesolju ni brez neke vrste življenja. Stvarnik, je zapisal, je veliko preveč celovit, da ne bi vtisnil življenja, sile in dogajanja na vsak drobec prahu... Če naj bi si nekdo ustvaril pravilno podobo sveta, naj si za izhodišče postavi resnično veličino namena Boga, da bi poselil ves svet... Izračunal je tudi dolžino orbite Venerinega satelita, ki 16

je obšel planet v 11 dneh in 5 urah na povprečni razdalji 66,5 radijev planeta po tiru, katerega ekscentričnost je znašala 0,195. Lambert ni bil edini, ki je opazoval omenjeni satelit. V 17. in 18. stoletju je 15 različnih astronomov opravilo 33 opazovanj telesa, vendar pa o satelitu ni več nobenega sledu od leta 1768. [3], [5] Lambert je prispeval svoj delež tudi k razvoju kartografije. Bil je prvi, ki se je ukvarjal s projekcijo trodimenzionalne Zemeljine površine na dvodimenzionalno površino ploskve valja, stožca ali na ravno ploskev. Po njem se imenuje Lambertova konformna konusna projekcija (slika.3), ki jo je razvil leta 177. To je projekcija, ki preslika točke z Zemljine površine na plašč stožca. Precej natančno se ujema povsod, razen na območjih obeh polov. Po 1. svetovni vojni je ta projekcija dobila novo veljavo in je postala standardna projekcija za večje zemljevide, še posebaj za regije srednjih zemljepisnih širin. [0], [3] Slika.3: Lambertova konformna konusna projekcija. [4] Med drugim je Lambert pomembno prispeval tudi k razvoju optike. Prvi je meril jakost svetlobe. Po njem se imenuje enota za merjenje svetlosti lambert, ki je enak π 1 10 4 cd/m (kandela na kvadratni meter). Njegovo delo Photometria (Fotometrija) (1760) je bilo prva pomembnejša knjiga o količinski opredelitvi svetlobe in posledicah. Znan je tudi Lambert-Beerov zakon o absorbciji svetlobe v obarvanih raztopinah, po katerem je svetilnost, ki jo obarvana plast raztopine absorbira, odvisna od debeline tega sloja in 17

od molarne koncentracije raztopljene obarvane snovi. [1], [3] Po njem se imenujeta tudi kraterja na Luni in na Marsu ter velik asteroid glavnega pasu 187 Lamberta. [1] 18

Poglavje 3 Lastnosti hiperboličnih funkcij 3.1 Definicije in grafi Hiperbolične funkcije so tesno povezane z eksponentno funkcijo x e x, ki je bijektivna preslikava iz R na R +. Za osnovo ima Eulerjevo število 1 e, 7188188. Ker velja e > 1, funkcija x e x strogo raste na R. Ker je vrednost funkcije vedno pozitivna, je navzdol omejena z 0, navzgor pa ni omejena. Inverz eksponentne funkcije x e x je naravna logaritemska funkcija x ln x. Funkcija x e x je posebej zanimiva v povezavi z odvajanjem in integriranjem, saj se pri teh dveh operacijah ne spremeni: f(x) = e x f (x) = e x f(x) = e x f(x) = e x + C, C = konst. Posledica tega je dejstvo, da lahko eksponentno funkcijo x e x zelo pre- 1 Eulerjevo število matematična konstanta, poimenovana po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707 1783). 19

y... 1. 0. 1.. x Slika 3.1: Eksponentna funkcija. prosto zapišemo v obliki potenčne vrste: e x = 1 + x + x + x3 3! + x4 4! +... = Vrsta absolutno konvergira za vsak realen x. n=0 x n n!. 3.1.1 Hiperbolični kosinus Funkcija ch : R R (hiperbolični kosinus) je definirana s predpisom ch : x ch x = ex + e x. Oglejmo si definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije. Iz definicije funkcije vidimo, da je res definirana na R. Izraz (e x + e x )/ spominja na enačbo za izračun aritmetične sredine. Velja, da je aritmetična sredina A(a, b) pozitivnih števil a in b vedno večja ali enaka geometrični sredini G(a, b), torej A(a, b) = a + b a b = G(a, b). Enačaj v tej neenačbi velja samo v primeru, ko je a = b. Če spremenljivko a 0

zamenjamo z e x in spremenljivko b z e x, dobimo e x + e x e x e x. Torej je ch x 1, s čimer smo določili zalogo vrednosti funkcije hiperbolični kosinus. Poglejmo si še, kaj je s sodostjo oziroma lihostjo funkcije: ch( x) = e x + e x = ch x. Funkcija ch je torej soda, kar pomeni, da je njen graf simetričen glede na ordinatno os. Ko gre x, je vrednost e x / zelo majhna, zato jo smemo v primerjavi z e x / zanemariti. To pomeni, da se pri velikih x graf funkcije ch obnaša kot graf funkcije x e x /. Kje funkcija ch seka ordinatno os, ugotovimo z izračunom vrednosti funkcije pri x = 0. Ko je x = 0, je e x = 1 in e x = 1, torej ch 0 = 1 + 1 = 1. Tako smo dobili desno polovico grafa funkcije ch. zaradi sodosti funkcije z zrcaljenjem čez ordinatno os. Levo polovico dobimo 3.1. Hiperbolični sinus Funkcija sh : R R (hiperbolični sinus) je definirana s predpisom sh : x sh x = ex e x. 1

y... 1. 0. 1.. x Slika 3.: Hiperbolični kosinus. Iz definicije vidimo, da je tudi ta funkcija definirana na množici realnih števil. Funkcija sh je liha, saj velja sh( x) = e x e x = sh x. Na vsem definicijskem območju strogo narašča, torej x < y = sh x < sh y. Dokaz za to je naslednji razmislek: vemo, da funkcija x e x strogo pada, torej funkcija x e x strogo narašča. Torej mora biti funkcija sh kot vsota strogo naraščajočih funkcij x e x / in x e x / tudi strogo naraščajoča. Iz istega razloga kot graf funkcija ch se tudi graf funkcije sh obnaša kot graf funkcije x e x /, ko gre x. Graf funkcije hiperbolični sinus gre skozi točko (0, 0), saj je sh 0 = 0. Zaradi lihosti se opisana desna polovica grafa funkcije sh prezrcali čez to točko. S tem dobimo še levo polovico grafa funkcije sh.

y... 1.. 0 1 x... Slika 3.3: Hiperbolični sinus. 3.1.3 Hiperbolični tangens Funkcija th : R R (hiperbolični tangens) je definirana s predpisom Funkcija je definirana na R. Ker velja th : x th x = sh x ch x. th( x) = sh x ch x = th x, y...... 1. 0. 1... x... 1. Slika 3.4: Hiperbolični tangens. 3

je funkcija th liha. Za x, y > 0 je th(x + y) th x = sh(x + y) ch(x + y) sh x ch x = sh y ch(x + y) ch x > 0, torej je th x < th(x + y), kar dokazuje, da funkcija x th x strogo narašča na R +. Ker je th liha funkcija, strogo narašča tudi na R. Ker za funkcijo th velja in e x e x lim th x = lim x x e x + e x e x (1 e x ) = lim x e x (1 + e x ) = 1 e x e x lim th x = lim x x e x + e x = lim x = 1, e x (e x 1) e x (e x + 1) sta premici y = 1 in y = 1 vodoravni asimptoti njenega grafa. Ker je th 0 = 0, gre graf funkcije th skozi točko (0, 0). Torej je zaloga vrednosti funkcije hiperbolični tangens interval ( 1, 1). 3.1.4 Hiperbolični kotangens Funkcija cth : R R (hiperbolični kotangens) je definirana s predpisom cth : x cth x = ch x sh x = 1 th x. Iz definicije lahko vidimo, da je funkcija definirana za vsa realna števila, 4

y...... 1. 0. 1... x 1..... Slika 3.5: Hiperbolični kotangens. razen za x = 0, torej je definicijsko območje funkcije cth množica R\ {0}. Graf funkcije cth ima zato navpično asimptoto pri x = 0. Funkcija cth je liha, saj je cth( x) = 1 th x = cth x. Iz th x < th(x + y) = 1 th x > 1 th(x + y) = cth x > cth(x + y) vidimo, da funkcija cth strogo pada na intervalu (0, + ). Ker je liha funkcija, strogo pada tudi na množici strogo negativnih realnih števil. S podobnim razmislekom kot za funkcijo th tudi tu ugotovimo, da velja e x + e x lim cth x = lim x x e x e x 5

y.. 1. 0. 1.... x Slika 3.6: Hiperbolični sekans. e x (1 + e x ) = lim x e x (1 e x ) = 1 in e x + e x lim cth x = lim x x e x e x = lim x = 1, e x (e x + 1) e x (e x 1) torej ima tudi graf funkcije cth vodoravni asimptoti pri y = 1 in y = 1. 3.1.5 Hiperbolični sekans Funkcija sch : R R (hiperbolični sekans) je definirana s predpisom sch : x sch x = 1 ch x. 3.1.6 Hiperbolični kosekans Funkcija csh : R R (hiperbolični kosekans) je definirana s predpisom csh : x csh x = 1 sh x. 6

y.. 1. 0. 1. x.... Slika 3.7: Hiperbolični kosekans. 3. Zveze med hiperboličnimi funkcijami Med sh x in ch x velja pomembna zveza saj je ch x sh x = 1, (3.1) ( ) e x + e x ( ) e x e x = 1 ( e x + + e x e x + e x) = 1. 4 Če enakost (3.1) delimo s ch x, dobimo če jo delimo z sh x, pa dobimo 1 th x = 1 ch x, cth x 1 = 1 sh x. Poglejmo si še nekatere druge zveze. Ker je th x = 1/ cth x, velja zveza th x cth x = 1. 7

Veljata pa tudi enakosti in th x + sch x = 1 (3.) cth x csh x = 1. (3.3) Ker je th x + sch x = sh x + 1 ch x in ker iz zveze (3.1) sledi ch x = sh x + 1, zveza (3.) res velja. Podobno razmislimo še o zvezi (3.3); ker velja cth x csh x = ch x 1 sh x in ker iz zveze (3.1) sledi tudi sh x = ch x 1, enakost velja. Navedimo in dokažimo še zvezo med funkcijama sh in th: sh x = th x 1 th x. (3.4) Dokaz za to izpeljemo iz zveze (3.1), in sicer tako, da levo in desno stran enakosti delimo z sh x in dobimo 1 th x 1 = 1 sh x sh x = th x 1 th x S korenjenjem leve in desne strani enakosti sedaj res dobimo zvezo (3.4). 3.3 Area funkcije Iz dejstva, da sta sh in th lihi funkciji, sledi, da strogo naraščata na množici R. Velja: 8

Izrek 1. [6] Naj bo S neprazna podmnožica množice realnih števil R in naj bo f strogo monotona funkcija, ki deluje na množici S. a) Tedaj za funkcijo f obstaja inverzna funkcija f 1. b) Če f strogo narašča na S, potem tudi f 1 strogo narašča na R(f). c) Če f strogo pada na S, potem tudi f 1 strogo pada na R(f). Iz izreka 1 sledi, da za funkciji sh in th obstajata inverzni funkciji sh 1 in th 1. Funkcija sh 1 je definirana na R, ker je R(sh) = R, funkcija th 1 pa je definirana na intervalu ( 1, 1), saj je R(th) = ( 1, 1). Nasprotno pa funkcija ch zaradi sodosti ni bijektivna (premica y = b seka krivuljo y = ch x v dveh točkah za vsak b > 1). Označimo s Ch desno polovico krivulje y = ch x, torej funkcijo ch na intervalu [0, + ), in s Cth funkcijo cth na množici R +. Funkciji Ch in Cth sta strogo monotoni funkciji, zato iz izreka 1 sledi, da obstajata tudi inverzni funkciji Ch 1 in Cth 1. Pri tem je funkcija Ch 1 definirana na poltraku [1, ), njena zaloga vrednosti pa je interval [0, + ). Funkcija Cth 1 je definirana na poltraku (1, ), njena zaloga vrednosti pa je množica R +. Poiščimo sedaj izraze za sh 1 y, th 1 y, Ch 1 y in Cth 1 y, ki jih po vrsti imenujemo area hiperbolični sinus (Ar sh y), area hiperbolični tangens (Ar th y), area hiperbolični kosinus (Ar ch y) in area hiperbolični kotangens (Ar cth y). 3..1 Za realno število y = sh x = (e x e x )/ je e x e x y = 0. Z množenjem enačbe z e x dobimo u uy 1 = 0, (3.5) kjer je u = e x. Z reševanjem kvadratne enačbe (3.5) dobimo u = y ± y + 1. (3.6) Ker je y < y + 1 in u = e x > 0, lahko iz enačbe (3.6) zapišemo e x = y + y + 1 = x = ln(y + y + 1). 9

Iz y = sh x sledi x = sh 1 y. Funkcija sh 1 : R R pa je podana z enačbo Ar sh y = ln(y + y + 1), y R. 3.. Za realno število y ( 1, 1) je y = th x = ex e x e x + e x = (1 y)e x = (1 + y)e x = = e x = 1 + y 1 y = x = 1 ln 1 + y 1 y. Funkcija th 1 je torej podana z enačbo 1 + y Ar th y = ln, y ( 1, 1). 1 y 3..3 Za realno število y 1 je y = Ch x = ex + e x = e x ye x + 1 = 0 = e x = y ± y 1. Ker velja ln(y y 1)+ln(y+ y 1) = ln((y y 1)(y+ y 1)) = ln 1 = 0, je tudi x = ln(y + y 1) ali x = ln(y y 1) = ln(y + y 1). Strogo naraščajoča funkcija Ch 1 je torej podana z enačbo Ar ch y = ln(y + y 1), y 1. 3..4 Ker je funkcija th definirana na intervalu ( 1, 1) in velja cth x = 1/ th x, je D(cth) = {1/t : 0 < t < 1} = {t R : t > 1}. Torej je y + 1 Ar cth y = ln, y > 1. y 1 30

3.4 Adicijski izreki Adicijski izrek je relacija, ki izraža funkcijsko vrednost vsote s funkcijskimi vrednostmi posameznih sumandov. Za hiperbolične funkcije veljajo podobni adicijski izreki kot za trigonometrične funkcije. Veljajo namreč naslednji trije adicijski izreki [11]: Izrek. ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y Dokaz. ch x ch y + sh x sh y = ex + e x ey + e y + ex e x ey e y = (ex+y + e x+y + e x y + e x y ) + (e x+y e x+y e x y + e x y ) 4 = ex+y + e x y = ch(x + y) Izrek 3. sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y Dokaz. sh x ch y + ch x sh y = ex e x ey + e y + ex + e x ey e y = (ex+y e x+y + e x y e x y ) + (e x+y + e x+y e x y e x y ) 4 = ex+y e x y = sh(x + y) Izrek 4. th(x + y) = Dokaz. th x + th y 1 + th x th y th x + th y 1 + th x th y = sh x ch x +sh ch y y 1 + ch sh x x sh y ch y = sh x ch y + ch x sh y ch x ch y ch x ch y + sh x sh y ch x ch y = sh(x + y) ch(x + y) = th(x + y) 31

Iz teh treh izrekov s spremembo predznaka spremenljivke y sledijo naslednje relacije, ki jih zaradi podobnosti s prejšnjimi dokazi ne bomo dokazovali: Posledica 5. ch(x y) = ch x ch y sh x sh y Posledica 6. sh(x y) = sh x ch y ch x sh y Posledica 7. th(x y) = Iz izrekov za x = y sledi še: th x th y 1 th x th y Posledica 8. ch x = ch x + sh x Posledica 9. sh x = sh x ch x Posledica 10. th x = th x 1 + th x Če sedaj prvič seštejemo in drugič odštejemo enakosti () in (5), dobimo še Posledica 11. ch(x + y) + ch(x y) = ch x ch y Posledica 1. ch(x + y) ch(x y) = sh x sh y Če seštejemo in odštejemo enakosti (3) in (6), dobimo Posledica 13. sh(x + y) + sh(x y) = sh x ch y Posledica 14. sh(x + y) sh(x y) = ch x sh y Z uvedbo novih spremenljivk u = x + y in v = x y preoblikujemo enakosti (11), (1), (13) in (14) v Posledica 15. ch u + ch v = ch u + v Posledica 16. ch u ch v = sh u + v Posledica 17. sh u + sh v = sh u + v Posledica 18. sh u sh v = ch u + v 3 ch u v sh u v ch u v sh u v

3.5 Odvodi Odvod funkcije x f(x) je definiran z enakostjo f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h in obstaja za tiste vrednosti spremenljivke x, v katere okolici je funkcija definirana in obstaja končna limita lim h 0 f(x + h) f(x). [1] h Ker so hiperbolične funkcije sestavljene iz eksponentne funkcije x e x, bomo njihove odvode poiskali s pomočjo odvoda te funkcije in pravil za odvajanje. Funkcija x e x ima odvod (e x ) = e x v vsaki točki x R, ker je (e x ) = lim h 0 e x+h e x h e x (e h 1) = lim. h 0 h Pri majhnih vrednostih se h le malo razlikuje od 1, zato zapišemo e h = 1 + 1/m, kjer je pri majhnih vrednostih h število m veliko. Od tod lahko zapišemo h = log(1 + 1 m ). Potem je e h 1 h = 1 m log(1 + 1 m ) = 1 log(1 + 1 m )m. Če gre torej h 0, gre m in log(1 + 1/m) m 1. Torej je e h 1 lim h 0 h = 1 33

in je torej res (e x ) = e x. [11] Po pravilu za odvajanje sestavljenih funkcij (g f) (x) = g (f(x)) f (x) dobimo še odvod (e x ) = e x ( 1) = e x. Sedaj poiščimo odvode hiperboličnih funkcij. Odvoda funkcij ch in sh sta precej enostavna: in ( e x (ch x) + e x ) = = ex e x ( e x (sh x) e x ) = = ex + e x = sh x = ch x. Pri odvodu funkcij th in cth uporabimo pravilo za odvajanje kvocienta (u/v) = u v uv v in zvezo med ch x in sh x ch x sh x = 1 in dobimo: in (th x) = ( ) sh x = (sh x) ch x sh x(ch x) ch x ch x = ch x sh x ch x = 1 ch x (cth x) = ( ) ch x = (ch x) sh x ch x(sh x) sh x sh x = sh x ch x sh x = 1 sh x, pri odvajanju funkcij sch in csh pa uporabimo pravilo (1/u) = (u /u ) in dobimo: in (sch x) = (csh x) = ( ) 1 = sh x ch x ch x = th x ch x ( ) 1 = ch x sh x sh x = cth x sh x. 34

Ker jih bomo v nadaljevanju potrebovali, poiščimo še odvode inverznih hiperboličnih funkcij, torej area funkcij. Pri tem bomo uporabili pravilo za odvajanje naravnega logaritma (ln x) = 1/x in pravilo za odvajanje sestavljenih funkcij. Najprej odvajajmo funkcijo Ar sh. (Ar sh y) = ( ( ln y + y + 1 ( 1 = y + 1 + y + 1 1 = y + y + 1 1 = y + 1 )) ) y y + 1 y + 1 + y y + 1 za y R. Na podoben način dobimo odvod funkcije Ar ch. (Ar ch y) = ( ( ln y + y 1 ( 1 = y + 1 + y 1 1 = y + y 1 1 = y 1 )) ) y y 1 y 1 + y y 1 za y 1. Poiščimo zdaj odvod funkcije Ar th. (Ar th y) = ( 1 ln 1 + y ) 1 y = 1 1 y 1 + y = (1 + y)(1 y) (1 y) + (1 + y) (1 y) = 1 1 y za y ( 1, 1). 35

Pa še odvod funkcije Ar cth. (Ar cth y) = 3.6 Integrali ( 1 ln y + 1 ) y 1 = 1 y 1 (y 1) (y + 1) y + 1 (y 1) = (y + 1)(y 1) 1 = (1 + y)(1 y) = 1 za y > 1. 1 y V prejšnjem razdelku smo imeli dano funkcijo in iskali njen odvod. V integralskem računu pa iščemo funkcijo, ki jo moramo odvajati, da dobimo funkcijo. Integral funkcije je izraz f(x)dx = F (x) + C, C = konst. in velja F (x) = f(x) f(x)dx = F (x) + C. [1] Kot pri iskanju odvodov hiperboličnih funkcij si tudi pri integriranju teh pomagamo z integralom eksponentne funkcije. Ker velja velja tudi (e x ) = e x, e x dx = e x + C. 36

In ker velja (e x ) = e x, velja tudi e x dx = e x + C oziroma e x dx = e x + C. Z upoštevanjem tega in pravil integriranja [10] najprej poiščemo integrala hiperboličnega sinusa in kosinusa. e x e x sh x dx = dx = 1 ( e x dx ) e x dx = 1 ( e x + e x) + C, in je torej sh x dx = ch x + C. e x + e x ch x dx = dx = 1 ( zato je e x dx + ch x dx = sh x + C. ) e x dx = 1 ( e x e x) + C, Pri integriranju hiperboličnega tangensa in kotangensa si pomagamo s pravilom in dobimo in f (x) f(x) th x dx = cth x dx = dx = ln f(x) + C sh x dx = ln ch x + C ch x ch x dx = ln sh x + C sh x 37

Poiščimo sedaj integral funkcije hiperbolični sekans. dx sch x dx = ch x = dx e x + e = x Na tem mestu uporabimo substitucijo e x dx 1 + e x in dobimo Z upoštevanjem pravila dobimo t = e x, dt = e x dx, dx = (dt/t) (3.7) sch x dx = dt 1 + t. dx 1 + x = arctg x + C sch x dx = arctg t + C in končno sch x dx = arctg e x + C. Podobno se lotimo še integrala hiperboličnega kosekansa. dx csh x dx = sh x = dx e x e = e x dx x 1 e x Ponovno uporabimo substitucijo (3.7) in dobimo dt csh xdx = 1 t. Ker velja dobimo na koncu dt 1 t = 1 ln 1+t 1 t + C za t < 1 1 ln 1+t + C za t > 1 t 1 csh x dx = ln 1 + e x 1 e x + C., 38

3.7 Razvoji v potenčne vrste Zvezno funkcijo ene spremenljivke f(x), ki je v okolici točke x = a neskončnokrat odvedljiva, lahko zapišemo v obliki potenčne vrste kot f(a + h) = f(a) + h 1! f (a) + h! f (a) +... + hn n! f (n) (a) + R n (3.8) Ta formula se imenuje Taylorjeva vrsta, člen R n pa je ostanek vrste, definiran kot razlika med f(a + h) in izrazom in ga izračunamo kot f(a) + h 1! f (a) + h! f (a) +... + hn n! f (n) (a) R n = Formula (3.8) se za a = 0 in h = x glasi hn+1 (n + 1)! f (n+1) (a + ϑh), 0 < ϑ < 1. f(x) = f(0) + x 1! f (0) + x! f (0) +... + xn n! f (n) (0) + R n, (3.9) ostanek R n pa ima zdaj obliko R n = xn+1 (n + 1)! f (n+1) (ϑx), 0 < ϑ < 1. Tudi potenčne vrste hiperboličnih funkcij bomo razvili s pomočjo razvoja potenčne vrste eksponentne funkcije f(x) = e x. Zaporedni odvodi funkcije e x so f (x) = f (x) =... = f (n) (x) = e x, torej je f(0) = f (0) = f (0) =... = f (n) (0) = 1. Taylorjeva vrsta (3.9) se v tem primeru glasi e x = 1 + x 1! + x! +... + xn n! + R n. 39

Ostanek R n lahko zapišemo kot R n = xn+1 (n + 1)! eϑx = e ϑx x 1 x x 3... x n + 1. Če je le n dovolj velik, lahko postane R n tako majhen, kot želimo. Naj bo sedaj m največje celo število, ki je manjše od x. Produkt e ϑx x 1 x x 3... x m ima neko končno vrednost, vsi nadaljni faktorji v R n so absolutno manjši od 1. Zato velja Torej je vrsta lim R n = 0. n e x = 1 + x 1! + x! + x3 3! +... = absolutno konvergentna za vsak x. [11] n=0 x x... x pa m+1 m+ n+1 x n n! Razvijmo sedaj v vrsti funkciji sh in ch. sh x = ex e x ( = 1 x n ) n! ( x) n n! n=0 n=0 = 1 ( 1 1 + x 1! x + x 1!! x! + x3 3! ( x)3 3! = 1 ( x ) 1! + x3 3! + x5 5! + x7 7! +... = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! +... x n+1 = (n + 1)! n=0 ) +... 40

ch x = ex + e x ( = 1 x n ) n! + ( x) n n! n=0 n=0 = 1 ( 1 + 1 + x 1! + x + x 1!! + ( x)! = 1 ) ( + x! + x4 4! + x6 6! +... = 1 + x! + x4 4! + x6 6! +... x n = (n)! n=0 + x3 3! + ( x)3 3! ) +... Obe vrsti sta absolutno konvergentni za vsak realen x. Kako se v vrsto razvijeta funkciji th in cth zaradi kompleksnosti ne bomo izpeljevali, vseeno pa ju zapišimo [10]: th x = x x3 3 + x5 15 17x7 315 +...+ n ( n 1)B n x n 1 (n)! in +... π < x < π cth x = 1 x + x 3 x3 45 + x5 945... + n B n x n 1 +... π < x < π. (n)! Z B k so označena Bernoullijeva števila, ki so definirana s pomočjo razvoja x e x 1 = B x 0 + B 1 1! + B x! + B x 3 3 3! +... = n=0 B n x n n! za x < π. 41

Poglavje 4 Analogija s trigonometričnimi funkcijami 4.1 Trigonometrične funkcije Trigonometrične funkcije prav tako kot hiperbolične pripadajo transcendentnim funkcijam in so tesno povezane s stožnicami. Temeljijo na presekih s krožnimi loki krožnice x + y = 1. Za ostre kote so definirane v pravokotnem trikotniku s hipotenuzo c, nasproti ležečo kateto a in priležno kateto b (slika 4.1): sinus: kosinus: tangens: kotangens: sekans: kosekans: sin α = a c cos α = b c tg α = a b ctg α = b a sc α = c b csc α = c a Trigonometrične funkcije pa lahko definiramo tudi na enotskem krogu, kjer merimo kot α od polmera OA do pomičnega polmera OC v nasprotni smeri 43

Slika 4.1: Pravokotni trikotnik. vrtenja urinega kazalca (slika 4.). Z enotskim krogom (OA = R = 1) lahko funkcije opredelimo kot: sinus: kosinus: tangens: kotangens: sekans: kosekans: sin α = BC cos α = OB tg α = AD ctg α = EF sc α = OD csc α = OF Slika 4.: Enotski krog. Za tako definirane trigonometrične funkcije lahko argument predstavlja središčni kot ali pa tudi ploščino krožnega izseka p, ki pripada središčnemu kotu α, saj za R = 1 velja p = 1 R α = α. 44

Tako je tudi sin p = BC, cos p = OB, tg p = AD, ctg p = EF, sc p = OD in csc p = OF. [1], [10] 4. Geometrijska razlaga hiperboličnih funkcij Hiperbolične funkcije razložimo podobno kot trigonometrične s ploščinskim argumentom, le da namesto krožnega izseka kroga, danega z enačbo x +y = 1, obravnavamo ustrezni izsek hiperbole, dane z enačbo x y = 1 (slika 4.3). Na hiperboli si izberemo točko C(x, y). Ustreza ji natanko en t R, tako da velja sh t = BC = y, ch t = OB = x, th t = AD. Povezan je s središčnim kotom α, in sicer velja tg α = th t. Sedaj s črko p označimo ploščino obarvanega lika OCAE (slika 4.3). Ploščina polovice tega lika, torej lika OCA, je enaka ploščini trikotnika OCB, od katere odštejemo ploščino hiperbolnega odseka ABC. Imamo torej 1 p = 1 xy x 1 x 1dx. S pomočjo integracije per partes izračunamo desni integral in dobimo 1 p = 1 xy 1 x x 1 + 1 ( ln x + ) x 1. In ker je y = x 1, sledi 1 p = 1 xy 1 xy + 1 ( ln x + ) x 1 = 1 (x ln + ) x 1 = 1 Ar ch x 45

Slika 4.3: Enotska hiperbola. Če izrazimo sedaj x s polovično tetivo BC, torej x = y + 1, je ploščina p enaka p = Ar sh y. In ker velja sh t = y t = Ar sh y, je tudi tu zveza med parametrom t in ploščimo p p = t. Argument pri prej definiranih hiperboličnih funkcijah torej predstavlja ploščino izseka hiperbole OCAE. Tako lahko zapišemo tudi sh p = BC, ch p = OB in th p = AD. [1], [11] 46

4.3 Hiperbolične in trigonometrične funkcije v kompleksni ravnini V kompleksni ravnini lahko hiperbolične in trigonometrične funkcije predstavimo z istimi funkcijami in jih transformiramo ene v druge s pomočjo kompleksnega argumenta. Spomnimo se najprej Taylorjevih vrst za trigonometrični funkciji sin in cos ter za eksponentno funkcijo x e x : sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos x = 1 x! + x4 4! x6 6! +... e x = 1 + x 1! + x! + x3 3! +... (4.1) Vse tri vrste so absolutno konvergentne za vsak realen, pa tudi kompleksen x [11]. Smiselno je vpeljati za vsak kompleksen z e z = 1 + z 1! + z! + z3 3! +... (4.) Sedaj si poglejmo, kaj se z vrsto (4.) zgodi, če za eksponent vzamemo čisto imaginarno število, torej z = ix, kjer je x realno število, za i pa velja i = 1: e ix = 1 + ix x! ix3 + x4 3! 4! +... (4.3) Če v vrsti (4.3) ločimo realne in imaginarne člene, dobimo ) ) e ix = (1 x! + x4 4! x6 6! +... + i (x x3 3! + x5 5! x7 7! +... Opazimo, da smo v oklepaja zapisali ravno vrsti za funkciji sin in cos. Torej lahko zapišemo e ix = cos x + i sin x. (4.4) 47

Če spremenljivki x spremenimo predznak, torej x x, dobimo e ix = cos x i sin x. (4.5) Sedaj enkrat seštejemo in enkrat odštejemo enakosti (4.4) in (4.5) in dobimo e ix + e ix = cos x in e ix e ix = i sin x in od tod Eulerjevi formuli 1 in cos x = eix + e ix sin x = eix e ix i. Pri imaginarnem kotu ti dve enačbi postaneta in cos(ix) = e x + e x (4.6) sin(ix) = e x e x. i (4.7) Primerjajmo sedaj enačbi (4.6) in (4.7) z definicijama hiperboličnih funkcij sh in ch: cos(ix) = ch x (4.8) in sin(ix) = i sh x. (4.9) 1 Eulerjeva formula matematična formula v kompleksni analizi, imenovana po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707 1783), ki povezuje trigonometrične funkcje in kompleksno eksponentno funkcjo. [16] 48

Funkciji tg in ctg lahko pri kompleksnem argumentu z pišemo kot in tg z = sin z cos z = 1 i e iz e iz e iz + e iz = 1 i e iz 1 e iz + 1 ctg z = cos z sin z = i eiz + e iz e iz e iz = i eiz + 1 e iz 1. Pri imaginarnem argumentu imamo tako tg(ix) = sin(ix) cos(ix) = i sh x ch x = i th x in ctg(ix) = cos(ix) sin(ix) = ch x i sh x = i cth x. Tako smo dobili povezave med hiperboličnimi in trigonometričnimi funkcijami s pomočjo kompleksnega argumenta. [11] 49

Poglavje 5 Zveza z diferencialnimi enačbami 5.1 Verižnica Tanka, gibka, neraztegljiva in homogena nit ali veriga, ki jo obesimo v dveh točkah tako, da prosto visi, zaradi težnosti po umiritvi zavzame obliko krivulje, ki ji pravimo verižnica. [6] Slika 5.1: Veriga. 51

Slika 5.: The Gateway Arch. [14] O krivulji, ki ima obliko v dveh koncih vpete verige, je razmišljal že Galileo Galilei (1564 164), vendar pa je bila po njegovem prepričanju ta krivulja parabola. Značilnosti verižnice je kot prvi začel raziskovati Robert Hooke (1635 1703) v 70. letih 17. stoletja, enačbo zanjo pa so na pobudo Jakoba Bernoullija (1654 1705) leta 1691 izpeljali Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716), Christiaan Huygens (169 1695) in Johann Bernoulli (1667 1748). Ugotovili so, da je verižnica graf funkcije hiperbolični kosinus. [14] Slika 5.3: Primer preprostega visečega mostu. [13] Verižnica je zelo pomembna v arhitekturi in gradbeništvu pri gradnji mostov in obokov. Oboki, ki so zgrajeni v obliki pokončne verižnice, so namreč zelo 5

Slika 5.4: Golden Gate Bridge. [14] trdni in se ne zrušijo pod lastno težo, saj so kamni, iz katerih so zgrajeni, le stisnjeni. Oboki drugačnih oblik pa radi pokajo. Primer takega oboka je The Gateway Arch (slika 5.), ki stoji v mestu St. Louis v ameriški zvezni državi Missouri. Prav tako kot prosto viseča veriga, vpeta v dveh točkah, dobi obliko verižnice tudi preprost viseči most (slika 5.3). Ostali viseči mostovi, kot na primer Golden Gate Bridge (slika 5.4) v San Franciscu v Californii, pa zaradi teže konstrukcije, ki jo nosijo, zavzamejo obliko parabole. [8], [14] 5.1.1 Fizikalni dokaz enačbe verižnice Enačba verižnice se glasi y = a ch x a. Pogledali si bomo fizikalni dokaz te trditve. Na verigi, ki jo obesimo v dveh točkah tako, da prosto visi, si izberemo točki A in B, kot kaže slika (5.5). Točki nista na isti vertikali. Na del verige med tema dvema točkama delujejo tri sile: sila teže F g, tangentna sila na 53

Slika 5.5: Sile, ki delujejo na del verige med točkama A in B. verigo F v točki A in tangentna sila na verigo F + df v točki B. Ker veriga miruje, so vse tri sile v ravnovesju, torej mora biti njihova vsota enaka nič tako v smeri osi x kot v smeri osi y. Torej: F x + F x + df x = 0 = df x = 0 F y + F y + df y F g = 0 = df y = F g Silo teže obravnavanega dela verige lahko pišemo kot F g = dm g = σ 0 g ds, kjer je σ 0 specifična gostota verige, ds dolžina obravnavanega dela verige in g težnostni pospešek. Torej je df y = σ 0 g ds oziroma df y ds = σ 0 g. (5.1) Izrazimo sedaj sili F x in F y s kotom ϕ: F x = F cos ϕ = F 0 = konst. = F = F 0 cos ϕ 54

F y = F sin ϕ = F 0 cos ϕ sin ϕ = F 0 tg ϕ In ker velja je tg ϕ = dy dx = y, F y = F 0 y. (5.) Iz enačb (5.1) in (5.) sledi d(f 0 y ) ds = σ 0 g in dalje torej F 0 dy dx dx ds = σ 0 g, F 0 y = σ 0 g ds dx. (5.3) Spomnimo se na izrek: Izrek 19. [4] Graf funkcije f, ki je zvezno odvedljiva na odseku [α, β], ima dolžino l = β α 1 + (f (x)) dx. (5.4) S pomočjo izreka (19) lahko sedaj enačbo (5.3) zapišemo kot F 0 y = σ 0 g 1 + y oziroma y = σ 0 g F 0 1 + y. Konstanto poenostavimo z a = F 0 σ 0 g 55

in dobimo diferencialno enačbo verižnice y = 1 a 1 + y. (5.5) Na tem mestu uvedemo novo spremenljivko p = y in iz enačbe (5.5) dobimo p = 1 a 1 + p = dp dx. Z integriranjem enakosti dp 1 + p = dx a dobimo Ar sh p = x x 0, (5.6) a kjer je x 0 integracijska konstanta. V enačbo (5.6) vstavimo p = y in dobimo y = sh x x 0 a = dy dx. Z integriranjem enakosti dy = dobimo splošno enačbo verižnice sh x x 0 dx a y = f(x) = a ch x x 0 a kjer je y 0 druga integracijska konstanta. [14], [1] + y 0, (5.7) 5.1. Verižnica skozi dve točki Skozi točki T 1 (α, A) in T (β, B) naj poteka verižnica dolžine l, ki jo opisuje enačba (5.7). Za točki T 1 in T naj bo α < β. Pri tem mora biti izpolnjen pogoj T 1 T < l, torej (β α) + (B A) < l. 56

Najprej odvajamo funkcijo f(x) = y iz enačbe (5.7) in dobimo f (x) = (a ch x x 0 a + y 0 ) = sh x x 0 a. To vstavimo v enačbo (5.4) in dobimo l = a sh x x 0 a β = a α ( sh β x 0 sh α x 0 a a ). Uporabimo posledico adicijskih izrekov (18) in dobimo l = a ch β + α x 0 a sh β α a. (5.8) Veljata tudi enakosti in A = a ch α x 0 a B = a ch β x 0 a + y 0 (5.9) + y 0. (5.10) Če enačbo (5.9) odštejemo od enačbe (5.10), dobimo B A = a ch β x 0 a + y 0 a ch α x 0 a y 0 = a ( ch β x 0 ch α x ) 0 a a S pomočjo posledice adicijskih izrekov (16) imamo sedaj B A = a sh β + α x 0 a sh β α a. (5.11) Sedaj med seboj delimo enačbi (5.8) in (5.11) in dobimo B A l = th β + α x 0 a. (5.1) 57

Med funkcijama sh in th velja zveza (3.4), zato lahko zapišemo sh β + α x 0 a = th β+α x 0 a 1 th β+α x 0 a = B A l 1 ( ). B A l To vstavimo v enakost (5.11) in dobimo B A = a l B A 1 ( B A l V primeru, ko je A = B, iz enakosti (5.1) sledi ) sh β α a. (5.13) th β + α x 0 a = 0 = β + α x 0 a = 0 = α + β saj velja th 0 = 0. V tem primeru iz enakosti (5.8) sledi saj je ch 0 = 1. l a = sh β α a = β α a l β α, = x 0, Če A B, iz (5.13) dobimo sh β α = l ( ) B A 1 = β α ( ) l B A 1. a a l a β α l Poenostavimo z vpeljavo konstante ρ = l ( B A 1 β α l ) in nove neznanke z = β α a. (5.14) Iščemo torej pozitivni koren z 0 enačbe sh z = ρz, (5.15) 58

torej koordinato x preseka krivulje sh z in premice ρz. Opazimo, da ima enačba pozitivno rešitev le v primeru, ko je ρ > 1. Enačbo (5.15) rešimo numerično. Ko dobimo z 0, lahko s pomočjo enakosti (5.14) izrazimo še iz enakosti (5.1) dobimo in iz enakosti (5.9) x 0 = α + β a = β α z 0, (5.16) a Ar th B A l y 0 = A a ch α x 0 a (5.17). (5.18) Tako smo dobili enačbe za vse tri neznanke, torej za a, x 0 in y 0. Določimo sedaj minimum obravnavanega dela verižnice. Vemo, da je stacionarna točka funkcije tista točka, v kateri je prvi odvod funkcije enak nič, v tem primeru je torej sh x x 0 a = 0. Ker velja sh 0 = 0, je x = x 0. Iz splošne enačbe verižnice dobimo še y = a ch 0 + y 0 = a + y 0. Tako smo dobili koordinati iskanega minimuma T (x 0, a + y 0 ). Preverimo sedaj dobljene enakosti na primeru. Za primer vzemimo verigo, dolgo 9 enot, ki smo jo obesili v točki T 1 (1, 5) in T (6, 3). Tedaj je α = 1, A = 5, β = 6, B = 3 in l = 9. Najprej izračunamo vrednost konstante ρ: ρ = l ( ) B A 1 = 1.754999 β α l 59

Slika 5.6: Veriga, obes ena v toc ki T1 in T. Pri iskanju vrednosti z0 si pomagamo s programom Derive in dobimo z0 = 1.9384. Sedaj pois c imo s e vrednosti spremenljivk a, x0 in y0 iz enakosti (5.16), (5.17) in (5.18): a = x0 = β α = 1.897 z0 α+β B A a Ar th = 3.7915 l y0 = A a ch α x0 = 0.6906 a Minimum je torej v toc ki T (x0, a + y0 ) = T (3.7915, 0.5991). Nalogo preverimo s e praktic no. Na steno obesimo list papirja z mrez o, na kateri so oznac ene toc ke T1 (1, 5), T (6, 3) in izrac unana toc ka T (3.8, 0.6) (slika 5.6). Z bucikama pripnemo verigo, dolgo 9 enot, v dani toc ki T1 in T. Toc ka T se na sliki ne vidi, saj jo pokriva minimum veriz nice, kar dokazuje pravilnost izrac unanih koordinat x0 in a + y0. [1] 60

5. Dirichletov problem Dirichletov problem je postopek iskanja funkcije, ki reši določeno parcialno diferencialno enačbo v notranjosti danega območja, ki zavzame neke vrednosti na robu tega območja. Imenuje se po nemškem matematiku Gustavu Lejeuneu Dirichletu (1805 1859). Dirichletov problem nastopa pri mnogih parcialnih diferencialnih enačbah, čeprav je bil prvotno zasnovan le za Laplaceovo enačbo. V tem primeru lahko problem zastavimo takole: dana je funkcija f z vrednostmi povsod po robu območja v R n. Ali obstaja enolična zvezna funkcija u, ki je dvakrat zvezno odvedljiva v notranjosti in zvezna na robu, tako da je harmonična v notranjosti, na robu pa velja u = f? Ta zahteva se imenuje Dirichletov robni pogoj. [15] Hiperbolične funkcije najdemo v rešitvah Dirichletovega problema za pravokotnik 0 x a, 0 y b (slika 5.7). Iščemo rešitev u(x, y) Laplaceove diferencialne enačbe u(x, y) = u x (x, y) + u (x, y) = 0, (5.19) y ki zadošča robnim pogojem u(0, y) = ϕ 1 (y), u(a, y) = ϕ (y), u(x, 0) = ψ 1 (x), u(x, b) = ψ (x). Slika 5.7: Dirichletov problem za pravokotnik. 61

Najprej poiščemo partikularno rešitev za robne pogoje ϕ 1 (y) = ϕ (y) = 0. Z multiplikativno substitucijo u = X(x)Y (y) v enačbi (5.19) lahko zapišemo X Y + XY = 0. (5.0) Če enačbo (5.0) delimo z XY, dobimo in je torej X X X + Y Y = 0 X = k in Y Y = k, kjer je k > 0. Dalje lahko zapišemo X + kx = 0 (5.1) in Y ky = 0. (5.) Dobljeni enačbi sta homogeni linearni diferencialni enačbi drugega reda. Njuni rešitvi najdemo s pomočjo vpeljave karakterističnih enačb []. Najprej rešimo enačbo (5.1). Njena karakteristična enačba je P (m) = m + k = 0, ki jo dobimo iz nastavka X = e mx. Splošna rešitev enačbe (5.1) je X(x) = C 1 cos k x + C sin k x. Podobno se lotimo enačbe (5.). S pomočjo karakteristične enačbe P (m) = m k = 0, ki jo tudi dobimo iz nastavka Y = e my, dobimo splošno rešitev Y (y) = D 1 ch k y + D sh k y. Pri tem smo uporabili obrazca e ±iα = cos α ± i sin α in e ±α = ch α ± sh α. Rešitev Dirichletovega problema ni predstavljena do potankosti, pač pa le toliko, da služi svojemu namenu, to je prikazati uporabo hiperboličnih funkcij na konkretnem primeru. Celotno rešitev Dirichletovega problema za pravokotnik najdemo na primer v [1]. 6

Poglavje 6 Zaključek Pri pisanju svojega diplomskega dela sem spoznala, da so hiperbolične funkcije veliko bolj zanimive in uporabne, kot bi si sprva mislila. Povezane so z eksponentno funkcijo, preko kompleksnih funkcij s trigonometričnimi, njihovi inverzi pa se izražajo z logaritemsko funkcijo. Uporabne so na mnogih področjih matematike in fizike. V tem diplomskem delu sta predstavljena dva primera. Prvi primer je verižnica, ki je uporabna predvsem na področju arhitekture in gradbeništva. Oboki, ki so zgrajeni v obliki narobe obrnjene verižnice, so trdni in ne pokajo, saj vsak kamen na nek način počiva na sosednjih. Lastnosti takih obokov uporabljajo tudi pri gradnji kupol, saj so prav tako bolj trdne od ostalih. V drugem primeru pa nakažemo uporabo hiperboličnih funkcij pri reševanju Dirichletovega problema za pravokotnik. Dejstvo je torej, da hiperbolične funkcije pogosto srečujemo v vsakdanjem življenju, le da jih dostikrat ne opazimo. Verižnica, na primer, se zelo malo razlikuje od oblike parabole. Ljudje pa pri omembi hiperboličnih funkcij dostikrat niti ne vedo, katere funkcije so to. 63

Literatura [1] Bronštejn, I. N., Semendjajev, K. A., Musiol, G. & Mühlig, H. (009). Matematični priročnik. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. [] Cencelj, M. (003). Navadne diferencialne enačbe. Študijsko gradivo. [3] Hairer, E. (1995). Analysis by Its History. New York: Springer-Verlag, Inc. [4] Klinc, T. (1994). Predavanja iz matematike. Del 1. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo. [5] Križanič, F. (1990). Temelji realne matematične analize. Ljubljana: Državna založba Slovenije. [6] Kurepa, S. (1970). Matematička analiza, prvi dio. Zagreb: Tehnička knjiga. [7] Lavrič, B. (1990). Traktrisa. Presek, 17 (5), str. 17. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. [8] Likar, A. (1990). Veriga in obok. Presek, 18 (3), str. 130 133. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. [9] Razpet, M. & Razpet, N. (1998). Kvadratno kolo, verižnica in traktrisa. Presek, 5 (5), str. 94 99. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. 65

[10] Stöcker, H. (006). Matematični priročnik z osnovami računalništva. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. [11] Vidav, I. (1994). Višja matematika I. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. [1] Zakrajšek, E. (1999). Verižnica. Študijsko gradivo. [13] Albania suspension bridge. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/ File:Albania suspension bridge.jpg (05.06.01) [14] Catenary. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary (04.06.01) [15] Dirichlet problem. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet problem (08.06.01) [16] Eulerjeva formula. URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Eulerjeva formula (11.06.01) [17] Graph of the 4-Petal Rose. URL=http://www.jtaylor114001.net/calcjat/Solutions/Polar/ Coordinates-Graphs/Rose-4/4-Petal-Leaf-L.htm (1.03.011) [18] Hyperbolic function. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic function (0.1.010) [19] Hyperbolic functions. URL=http://www.mathcentre.ac.uk/resources/workbooks/ mathcentre/hyperbolicfunctions.pdf (0.1.010) 66

[0] Johann Heinrich Lambert. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Johann Heinrich Lambert (15.05.01) [1] Johann Heinrich Lambert. URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Johann Heinrich Lambert (15.05.01) [] Johann Heinrich Lambert. URL=http://spider.seds.org/spider/Misc/lambert.html (15.05.01) [3] Johann Lambert. URL=http://www.robertnowlan.com/pdfs/Lambert,%0Johann.pdf (0.04.01) [4] Lambert conformal conic projection. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/ File:Lambert conformal conic projection SW.jpg (15.05.01) [5] Lambert, Johann Heinrich. URL=http://www.daviddarling.info/encyclopedia/L/Lambert.html (15.05.01) [6] Razpet, M. (010). Verižnica. Izlet v matematično vesolje. URL=http://izleti.famnit.upr.si/01011/slides/ FAMNITvesolje010-Razpet.pdf (17.5.01) [7] Riccati equation. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati equation (1.03.011) [8] Riccati, Vincent. URL=http://words.fromoldbooks.org/Chalmers-Biography/r/ riccati-vincent.html (15.05.01) 67

[9] Riccati, Vincenzo. URL=http://www.encyclopedia.com/doc/1G-830903650.html (1.01.011) [30] Special Functions. URL=http://www.ms.uky.edu/~droyster/courses/fall06/PDFs/ Chapter09.pdf (15.05.01) [31] Strofoida. URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Strofoida (1.03.011) [3] Transcendentno število. URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Transcendentno %C5%A1tevilo (8.03.01) [33] Vincent Riccati. URL=http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/scientists/ riccati.htm (1.01.011) [34] Vincenzo Riccati. URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Vincenzo Riccati (15.05.01) [35] Vincenzo Riccati. URL=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/ Riccati Vincenzo.html (15.05.01) 68