Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I

Raport de Cercetare Grat: CNCSIS 57 Tema Autori: Georgeta Budura, Coria Botoca Uiversitatea: Politeica Timioara APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE INTRODUCERE. Cosideraii geerale CAPITOLUL I Tediele actuale î proiectarea sistemelor de comuicaii modere arat c î viitor, implemetrile acestora se vor baza î special pe teicile de prelucrare umeric a semalului i pe reducerea la miim a iterfeelor aalogice. U alt aspect luat î cosiderare este legat de creterea cotiu a performaelor acestor sisteme. Eforturile depuse î acest ses au artat c î umeroase cazuri performaele sistemelor sut determiate de prezea pe calea de procesare a semalelor a uor eliiariti edorite [], [], [], []. Aceast lucrare îi propue ivestigarea teicilor de modelare i a procedurilor de idetificare petru caracterizarea eliiaritiilor edorite. Scopul urmrit este acela de a gsi procedeele teice capabile s reduc efectul acestor imperfeciui î sistem. Sut ivestigate dou tipuri de modele împreu cu teicile de compesare aferete: modele petru sistemele eliiare far memorie; modele petru sistemele eliiare cu memorie; Î prima categorie itr modelele bazate pe reprezetrile î serie de puteri i cele bazate pe reprezetrile ortogoale cu ajutorul uor polioame. Î cea de-a doua categorie itr modelele bazate pe reprezetrile cu ajutorul seriilor Volterra i a celor bazate pe reprezetrile cu ajutorul seriilor Wieer. Î fiecare caz sut abordate pe larg teicile de compesare aferete.. Modele petru sistemele eliiare ivariate î timp fr memorie Aa umitele modele fr memorie sut adecvate petru a reprezeta eliiariti î sistemele care au lrgimea bezii foarte mare, î raport cu lrgimea bezii semalului pe care-l prelucreaz. Avatajul pricipal al acestor modele, cost î simplitatea lor, uuria aplicrii lor, precum i î compleitatea redus î ceea ce privete calculul. Astfel u sistem eliiar fr memorie avîd itrarea ( t) i ieirea y ( t ) poate fi reprezetat pri itermediul uei serii de puteri, de ordi N. Î acest caz compesarea se poate realiza cu ajutorul sistemului ivers pri itroducerea aa-umitei post-distorsiori. O metod simpl de a obie o bu aproimare a sistemului ivers are la baz iversa de ordi p a seriei de puteri de ordi N ce reprezit eliiaritatea. Efectul cascadrii ître sistemul de ordi N i sistemul post-ivers îl costituie obierea uui semal de ieire ce coie doar compoeta de ordiul îtâi si compoete eliiare de ordi mai mare ca p. Totui, cuplarea îcruciat ditre termeii seriei puterii, poate cauza deseori probleme al cror rezultat cost îtr-o compesare ereuit, dup cum reiese di capitolul. O alt teic petru modelarea eliiaritilor fr memorie se bazeaz pe reprezetrile cu ajutorul polioamelor ortogoale. La fel ca i î cazul reprezetrii î serie de puteri, iversarea seriilor ortogoale poate fi folosit petru a compesa sistemul origial, aplicîd post-distorsiuea. Aceast lucrare dezvolt o ou metod de iversare, bazat pe îlturarea pâ la termeii ortogoali de ordi p i verific dac aceast teica produce o mai bu compesare decât cea bazat pe iversarea seriilor de puteri. Aceste modele fr memorie i iversele lor sut foarte simple dar aplicarea lor este limitat deoarece ambele presupu o lrgime ifiit a bezii sistemului. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

Î cazurile î care bada sistemului este limitat sut ecesare modele mult mai complee, care s ia î cosiderare memoria sistemului, cum ar fi cele bazate pe reprezetarea cu ajutorul seriei Volterra i cele bazate pe reprezetarea cu ajutorul seriei Wieer.. Modele petru sisteme eliiare ivariate î timp cu memorie Î paragraful. am artat c sistemele eliiare fr memorie pot fi modelate folosid fucii i coeficiei. Î acelai fel, cele mai utilizate modele, Volterra i Wieer, se folosesc de uclee de fucioale petru a reprezeta o clas larg de sisteme eliiare cu memorie. Modelul Volterra de ordiul N este reprezetat de o sum de operatori Volterra omogei, t, aa dup cum rezult di relaia de mai jos. otai [ ] H y ( t ) H H [ ( t )] H [ ( t )]... H [ ( t )] H [ ( t )]... N (.) Petru a modela u sistem folosid seria Volterra, trebuie s fie aproimate ucleele Volterra ale sistemului otate i ataate fiecrui operator H. Se pot folosi mai multe metode petru a estima ucleele Volterra ale uui sistem, aa dup cum se va arta î capitolul. Modelul Wieer de ordiul N este reprezetat de o sum de fucioale Wieer pâ la ordiul N aa cum rezult di relaia de mai jos. y ( t ) K [ ; ( t )] K [ ; ( t) ]... K [ ; ( t )]... K [ ( t )] (.) N N; Î acest caz fiecrei fucioale de ordi, K, îi corespude u ucleu Wieer de acelai ordi, otat. Fiecare fucioal Wieer poate fi privit ca o fucie a semalului de itrare. Fucioalele Wieer sut ortogoale î cazul uui semal de itrare alb Gausia i aceasta coduce la o metod direct de estimare a ucleelor Wieer pri metoda itercorelaiei ître semalul de itrare i cel de ieire al filtrului. Modelele Volterra i Wieer pot fi folosite petru a reprezeta i petru a compesa eliiariti edorite care coi memorie. Aceasta implic o procedur de msurare petru estimarea parametrilor modelului urmat de determiarea iversului de ordi p al modelului. Di ou, ca i î cazul sistemelor fr memorie, este implemetat compesarea, folosid sistemul ivers petru a aplica post-distorsiuea.. Metode de compesare a eliiaritilor Î cadrul lucrrii se vor studia atât metodele de compesare a eliiaritilor fr memorie cât si a celor cu memorie. Î cazul compesrii eliiaritilor fr memorie s-au elaborat metode de compesare corespuztoare reprezetrii eliiaritilor cu ajutorul seriilor de puteri cât i metode corespuztoare reprezetrii eliiaritilor cu ajutorul polioamelor ortogoale. Î ambele cazuri compesarea s-a realizat pri aplicare uei post-distorsiui. Ordiul sistemului pri care se realizeaz acest lucru este acelai cu ordiul eliiaritii ce se dorete a fi îlturat. Astfel, î cazul compesrii de tip post-distorsiue, bazat pe seria de puteri ivers aproimat, de u aumit ordi, se pot compesa cu succes eliiariti di sistem de ordi egal cu cel al sistemului ivers petru u iterval fiit a amplitudiii semalului de itrare. Î afara acestui iterval, sistemul i compesatorul produc u grad de distorsiue mai mare decât sistemul origial. Dei problema compesrii eliiaritilor fr memorie este relativ simpl, iar metodele aalitice folosite elemetare, totui cocluziile ce se desprid îi vor dovedi utilitile i î cazul sistemelor eliiare cu memorie. Petru sistemele eliiare cu memorie problema compesrii eliiaritilor edorite este abordat pe dou direcii diferite: compesarea cu ajutorul sistemului eliiar Volterra post-ivers de u aumit ordi. compesarea cu ajutorul sistemului Volterra adaptiv. Î primul caz alegerea ordiului sistemului eliiar pri care se realizeaz compesarea presupue o bu cuoatere î prealabil a eliiaritii ce se cere a fi compesat. Acest lucru se poate realiza pritr-o bu idetificare a sistemului eliiar. Di aceasta cauz, î cadrul lucrrii se acord o importa deosebit metodelor de idetificare a sistemelor eliiare folosid modelele Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

Volterra si Wieer. Se vor studia deasemeea metodele de msurare a celor dou tipuri de uclee Volterra, respectiv Wieer care itervi î modelarea sistemelor. Î cel de al doilea caz idetificarea eliiaritilor u este ecesar îtrucât problema compesrii se realizeaz pri itermediul uui sistem adaptiv ce are la baz u filtru Volterra adaptiv. CAPITOLUL II TEHNICI DE MODELARE A SISTEMELOR NELINIARE. Modelarea sistemelor eliiare fr memorie.. Modele bazate pe serii de puteri Aa-umitele "modele fr memorie" sut adecvate reprezetrii eliiaritilor ce apar î acele sisteme a cror bad de frecve este foarte mare comparativ cu cea a semalului pe care îl prelucreaz. Avatajele pricipale pe care le prezit aceste modele sut date de faptul c ele sut simple, uor de implemetat i u ecesit u efort de calcul deosebit. Astfel u sistem eliiar î timp cotiuu fr memorie, avâd semalul de itrare ( t) i ieirea y ( t ), poate fi reprezetat î domeiul timp cu ajutorul uei dezvoltri î serie de puteri, de ordi N. y N ( t ) f ( ( t) ) f f ( t) f ( t)... f (.) N t Coeficieii { f i } se pot determia pri mai multe metode ca de eemplu: algoritmii adaptivi. Valorile coeficieilor { f i } reprezit o msur a eliiaritii sistemului.... Modele bazate pe polioame ortogoale U sistem eliiar fr memorie poate fi reprezetat sub forma uei descompueri Fourier geeralizate ca o sum de polioame ortogoale. Seturile de polioame ortogoale sut adecvate diferitelor tipuri de semale de itrare prelucrate de ctre sistem. Relaia itrare-ieire î acest caz poate fi eprimat fie pe cale matematic, atuci cîd acest lucru e posibil, fie pri msurarea coeficieiilor dezvoltrii Fourier î cazul î care eist o implemetare a sistemului. Cele mai cuoscute metode de msurare se bazeaz pe itercorelaia semalelor de itrare i ieire. Fie cazul uui semal de itrare a crui fucie desitate de probabilitatea p poate fi eprimat sub forma diagoal: ude: p (,, ) p p( ) D D ( t ) i D ( t ς ), iar { Φ (*) ( τ ) a ς Φ Φ ( D ) (.) C } reprezit u set complet de fucii ortogoale care î majoritatea cazurilor sut polioame. c τ este fucia sa de autocorelaie. C - este valoarea medie ptratic a lui Φ i a Dac se ie cot de proprietatea de ortogoalitate a polioamelor Φ i apariâd setului de polioame ortogoale asociat lui ( t) relaia (.): ude δ este simbolul lui Kroecer. [ Φ ] Φ Φ p d Cδ Φ,, atuci este satisfacut egalitatea dat de E Φ (.) Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

O importa deosebit petru aplicaiile practice îl reprezit cazul uui semal de itrare t Αcos π ft Θ, avîd amplitudiea costat A, frecvea f i faza Θ uiform p, î itervalul ( A,A) i zero i rest. π A Fuciile ortogoale sut î acest caz polioamele Cebîev defiite mai jos : siusoidal: distribut î itervalul [, π ]. Î acest caz T ( A) Φ (.) / Deasemeea avem: cos( πf τ ) a i C, petru i î rest: C, 5. τ U alt caz importat î aplicaiile practice este cel al semalului zgomot alb gausia de medie ul i varia σ. Î cazul acestui semal de itrare, setul de fucii ortogoale este reprezetat de polioamele Hermite, Φ He. σ a τ se obie epresia: ude: ( τ ) Petru [ ( τ )] /σ a τ R (.5) R este fucia de autocorelaie a semalului de itrare. Î acest caz C!. Î cazul acestui tip de semal de itrare i î virtutea uor codiii matematice îtodeaua satisfacute î practic, ieirea uui sistem eliiar fr memorie y f ( ) poate fi scris ca o sum de polioame ortogoale dup cum este idicat î relaia : y f Φ (.6) c Coeficieii se pot determia pe baza produsului scalar ître fucia f i elemetele bazei aa dup cum se idic î relaia (.7). [ Φ ] f Φ p E f d (.7) Fucia de autocorelaie a semalului de ieire este: R y ( τ ) f f ( D ) p( D, τ ) ddd i poate fi scris î virtutea relaiei (.) i (.8) sub forma :, (.8) R Y ( τ ) a ( τ ) c (.9) Î cazurile î care dispuem de o implemetare a fuciei f, dar forma ei aalitic este vor fi mai degrab estimai decît calculai. ecuoscut setul de coeficiei { } Presupuîd c procesul de itrare este ergodic i îlocuid medierile statistice cu medieri temporale se obie o teic de idetificare bazat pe fucia de itercorelaie. T / lim f ( ( t )) ( ( t ))dt T Φ (.) Τ T / Îtrucît procesul de idetificare are loc î timp discret avem: Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

K K lim f ( [ ] ) Φ ( [ ] ) (.) K Î fig... este reprezetat scematic procesul de idetificare. ( t) Sistem eliiar f fr memorie Φ ( ) Mediator Fig.. Idetificarea sistemului eliiar utilizâd polioame ortogoale. Modelarea sistemelor eliiare cu memorie Modelele prezetate î paragrafele aterioare utilizeaz coeficiei si fucii petru reprezetarea sistemelor eliiare fr memorie. Aa dup cum se va vedea î cele ce urmeaz reprezetrile Volterra si Wieer utilizeaz uclee i fucioale petru a caracteriza o clas importat de sisteme eliiare cu memorie. Ambele costituie modele de tipul mediatoarelor eliiare aluectoare [5],[6],[7]. Î tabelul. este realizat o comparaie privid parametrii tipurilor de modele cosiderate î cadrul lucrrii. Tipul sistemului Tipul modelului Tipul bazei utilizate petru reprezetri Sistem eliiar fr memorie Sistem eliiar fr memorie Sistem eliiar cu memorie Sistem eliiar cu memorie Model bazat pe dezvoltarea î serie de puteri Model bazat pe dezvoltarea î serie ortogoal Model Volterra Model Wieer Puteri ale lui Fucii ortogoale Fuctioale Volterra Fuctioale Wieer ortogoale TABELUL. Tipul ucleelor î cadrul reprezetrilor Coeficiei costai Coeficiei costai Nuclee Volterra Nuclee Wieer Î virtutea codiiilor stabilite de teorema lui Weierstrass modelele Volterra i Wieer de u aumit ordi, pot reprezeta eliiariti de orice ordi i petru u domeiu limitat al amplitudiii semalului de itrare. Aplicaii ale acestor modele se îtâlesc î domeii ditre cele mai variate: de la modelarea sistemelor biologice, la modelarea iteraciuii ître platformele maritime i valurile oceaice, modelarea caalelor de trasmisiue pri satelii [8],[9],[] etc... Modelul Volterra Petru u sistem eliiar cu memorie, ca cel di figura. modelul Volterra de ordi este reprezetat de suma de fucioale omogee H [] de ordi maim N [5]. ( t) Sistem eliiar cu memorie y ( t) Fig.. Sistem eliiar cu memorie supus modelrii. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 5/

ude: ordi i defiit de relaia : y ( t ) H H [ ( t )] H [ ( t )]... H [ ( t )]... H [ ( t )] i N (.) H i reprezit compoeta de curet cotiu, iar [ ( t )] Fucia i ( τ, τ,..., τ i ) Petru, i se obie ( t ) [ ( t )] H H i [ ( t )] i ( τ,..., τ i ) ( t τ) ( t τ )... ( t τ i ) τ, dτdτ... dτ i H i este operatorul Volterra de (.) reprezit ucleul Volterra de ordi i., ucleul de ordiul îtîi ce caracterizeaz operatorul liiar. Aceast fucie mai poart umele de rspus la impuls al sistemului liiar. Modelul Volterra î timp discret de ordi N se poate scrie sub forma [7]: y [ ] [ m] [ m] [ m, m ] [ m] [ m ] m m m m mi [ m, m,..., m ] [ m ] [ m ]... [ m ]...... i i i (.)... N N m mn [ m, m,..., m ] [ m ] [ m ]... [ m ] Î cazurile practice trebuie îlocuit limita superioar cu valoarea M, fiit, ce reprezit memoria ucleului respectiv. Aceasta poate diferi î fucie de ordiul ucleului cosiderat. O alt simplificare ce poate fi adus relaiei (.) rezult di presupuerea c ucleele Volterra sut fucii simetrice. Aceast proprietate stabilete c valoarea uclelor rmîe aceeai î cazul permutrilor idicilor m, m,... mn. Î cazul ucleului de ordi al II -lea proprietatea de simetrie este ilustrat de relaia : relaia: [ m, m ] [ mm] ; m m (.5), Orice ucleu Volterra asimetric poate fi simetrizat pe baza uei operaii aa cum se idic î * ude: [ m m,..., ] * [ m, m,..., m ] [ m, m,..., m ] (.6)! permutari dupa m reprezit ucleul asimetric. Î coseci, pe tot parcursul prezetrii ce va, m urma vom lucra umai cu uclee simetrice. Î cazul cîd se lucreaz umai cu uclee simetrice, relaia (.) se poate scrie simplificat sub forma []: N y M M M [ ] [ ] [ m] [ m, m ] [ m] [ m ] m M M M, m m m m m m m m [ m, m m ] [ m ] [ m ] [ m ] (.7) Uele sisteme eliiare pot avea, uclee Volterra separabile. U ucleu de ordi este separabil dac poate fi scris ca produse ître ucleele de ordie iferioare. De eemplu, eist posibilitatea eprimrii ucleului de ordi ca produs de uclee de ordiul îtâi, dup cum se poate vedea î relaia (.8). i ( m m,..., m ) ( m ) ( m )... ( m ), i i i Î acest caz relaia itrare - ieire devie de forma : (.8) ii i Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 6/

M M M [ ] [ m] [ m] [ m] [ m ] [ m] [ m ] y (.9) m m m m Petru simplificare s-a ales ordiul N al sistemului egal cu. U caz particular îl costituie cazul ucleului eprimat sub forma uui produs multiplu î care itervie ucleul liiar. Coeficieii [ m m,..., m ] f [ m ] [ m ] [ m ],... i (.) i i i f eprim cotribuia ucleului de u aumit ordi i î cadrul rspusului. i Putem scrie [ m ] f [ ] m i luîd f î acest caz partea cu memorie a sistemului poate fi separat de partea ce coie eliiaritatea dup cum apare î (.). M M y [ ] [ m] [ m] f[ m] [ m] (.) m Petru simplificarea s-a ales i î acest caz u sistem de ordiul al II-lea. Î aceste codiii putem adopta petru sistemul eliiar cu memorie reprezetarea di figura.. [ ] y [ ] Sistem liiar fr memorie Fig.. Structura sistemului eliiar cu memorie defiit de relaia.. Petru a stabilii o legatur ître reprezetarea sub forma uei serii de puteri i modelul Volterra, vom cosidera cazul î care toate ucleele au memoria egal cu zero, adic : f m [ ] fδ [ ] [ m ] f δ [ m ] δ [ ] m m. N [ m, m,..., mn ] fnδ [ m] δ [ m ]... δ [ mn ] (.) Î acest caz seria Volterra se reduce la o simpl reprezetare î serie de puteri dup cum se vede î relaia: (.).. Modelul Wieer i [ ] f f [ ] f ( [ ] ) f ( [ ]) N ( [ ]) N... i... f y (.) Reprezetarea sistemelor eliiare cu memorie propus de ctre Wieer este o sum costituit di fucioale eomogee, ortogoale cîd semalul de itrare este u zgomot alb- Gausia. Setul de fucioale ortogoale a fost obiut de ctre Wieer pri procedeul de ortogoalizare Gram Scmidt, aplicat fucioalelor Volterra. Proprietatea de ortogoalitate a fucioalelor Wieer ofer posibilitatea determirii ucleelor Wieer pe baza uui procedeu bazat pe fucia de itercorelaie a semalelor de la itrarea si ieirea sistemului eliiar. Modelul Wieer de ordi este reprezetat pritr-o serie de fucioale aa dup cum apare î relaia (.). y ( t ) K [ ; ( t )] K [ ; ( t )]... K [ ; ( t )]... K [ ( t )] (.) i i ; Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 7/

ude: pri K i s-a otat fucioala Wieer de ordi i, iar i reprezit ucleul Wieer de ordi i i argumete τ, τ,..., τ i. Aa dup cum s-a artat, fucioalele Wieer se bucur de proprietatea de ortogoalitate : [ ; ( t )] K [ ; ] > < K m m t petru m (.5) Î relaia.5 pri < > s-a otat operatorul de mediere statistic. Semificaia ucleelor va fi aratat î cotiuare. Petru aceasta se vor scrie eplicit epresiile fucioalelor de ordi [7]. [ ( t) ] K ; [ ( t )] ( τ) ( t τ) d K ; τ K K, [ ( t )] ( τ, τ ) ( t τ) ( t τ ) dτdτ σ ( τ τ ) ; dτ, [ ( t )] ( τ, τ τ ) ( t τ ) ( t τ ) ( t τ ) ; dτ dτ dτ ( τ, τ, τ ) ( t τ ) σ dτ dτ (.6) Modelul Wieer petru sistemele î timp discret cu memorie fiit poate fi obiut pritr-u procedeu similar modelului Volterra discret. U model Wieer cu uclee simetrice poate fi deasemeea dezvoltat, dar spre deosebire de modelul Volterra este mai laborios datorit prezeei fucioalelor eomogee. Epresia uui model Wieer discret de ordi cu uclee simetrice este: [ ] K [ [ ] K [ ; [ ] K [ ; [ ] K [ [ ] ; y ; (.7) ude : [ [ ] K ; K [ ; [ ] [ m ] [ m ] M m (.8) M M M [ ; [ ] [ m, m ] [ m] [ m ] [ m, m ] K σ K m m m M M M, m m m m m m [ ; [ ] [ m, m m ] [ m] [ m ] [ m ] M m M M [ m, m, m ] [ m] σ [ m, m, m ] [ m] [ ] σ m m m, m m Modelul Wieer poate fi comparat cu dezvoltarea î serie cu ajutorul polioamelor Hermite. Se poate demostra c, dac î relaiile (.6) se folosesc uclee Wieer fr memorie, fucioalele Wieer degeereaz î polioame Hermite [7]. Avatajele oferite de proprietatea de ortogoalitate sut multiple: - posibilitatea msurrii ucleelor pri itercorelaia itrare - ieire. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 8/

- valoarea ucleelor Volterra depide de ordiul reprezetrii. Î cazul modificrii acestuia se modific valorile ucleelor. Dac ordiul seriei Volterra corespude ordiului sistemului modelat o ou cretere a ordiului seriei u va produce modificarea ucleelor. Dac îs u se cuoate ordiul sistemului i ca atare ici ordiul seriei Volterra, atuci pe msur ce se itroduc uclee de ordi superior î cadrul modelului cele de ordi iferior trebuiesc recalculate. - seria Wieer fiid complet i ortogoal ucleele Wieer sut îtodeaua optime î sesul erorii medii ptratice. Î acest caz dac ordiul modelului este crescut, ucleele Wieer de ordi iferior u se modific i u trebuiesc reestimate. Numai ucleul superior adugat trebuie estimat... Relaia ître ucleele Wieer i ucleele Volterra Î uele situaii este ecesar deducerea ucleelor Volterra pe baza setului de uclee Wieer sau ivers. Setul de uclee Volterra poate fi obiut di setul de uclee Wieer utilizâd relaiile de mai jos. Eemplificarea se va face î cazul uui sistem de ordi. ude: (.9) σ τ, τ dτ (.) ( ) Petru ucleul Volterra de ordi îtâi se obie : τ) ( τ ) ( τ (.) ude : τ τ τ, τ, τ dτ (.) ( ) i Petru ucleul Volterra de ordi doi avem : ( τ, τ ) ( τ τ ) (.), ( τ, τ, τ ) ( τ, τ τ ), (.) Relaiile ître modelele Volterra i Wieer demostreaz c primele se modific o dat cu creterea ordiului seriei pri care se face modelarea îtrucît aa dup cum se vede di (.) î calculul ucleelor itervi ucleele Wieer de ordi superior. CAPITOLUL III TEHNICI DE COMPENSARE A NELINIARITIILOR INTRODUSE DE SISTEMELE FR MEMORIE. Compesarea eliiaritilor î cazul modelului eliiar bazat pe seria de puteri Se realizeaz pri itroducerea î laul de prelucrare a semalului a aa-umitului sistem ivers. Î cazul î care el este plasat dup sistemul ale crui eliiaritai se cer a fi compesate vorbim de post-distorsioare. O metod simpl de a costrui sistemul ivers î cazul modelului bazat pe dezvoltarea î serie de puteri de ordi N se bazeaz pe utilizarea iversei de ordi p a seriei de puteri. Seria de puteri ivers de ordi p este defiit pri aceea c plasat î cascad cu u sistem eliiar de ordi, aa dup cum se idic î figura., produce la ieire u semal coform cu relaia.. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 9/

( t) ( t) Sistem eliiar y Sistem ivers fara memorie g ( ) f ˆ ( t) Fig.. Compesarea eliiaritilor pri post-distorsioare ude: ( y p ) g y g y g y... g p y g (.) / f g g g f / f ( f ) 5 f ff (.) Î relaia (.) coeficieii f i sut cei di dezvoltarea î serie de puteri (.). Pri cascadarea celor dou sisteme sut elimiai toi termeii ce reprezit puteri pî la ordiul p, î semalul de ieire aprâd compoete liiare i termei eliiari superiori lui p. p p ( f )... ˆ g p p (.) Î cazul semalelor de itrare de amplitudie joas, efectul acestor termei este eglijabil i rezultatul compuerii îl reprezit elimiarea efectului edorit al eliiaritilor. Dac îs ivelul semalului de itrare este crescut peste u aumit prag efectul acestor eliiariti este atît de mare îcît performaele sistemului compesat sut mult iferioare celui iiial. Deasemeea trebuie subliiat faptul c post-iversa de ordi p este asociat uui model eliiar de ordi N, iferior î geeral, ordiului de eliiaritate al sistemului. Ca i eemplu se cosider sistemul caracterizat de relaia itrare ieire: c y f (.) ude c reprezit o msur a cât de puteric este eliiaritatea. Calculâd coeficietii g i ai sistemului ivers, potrivit relaiilor (.) se obie: g, g g c. Î coseci, sistemul ivers este caracterizat de relaia:, g ( y ) y cy (.5) Pri coectarea î cascad a celor dou sisteme se obie: g 5 7 9 ( f ) c c( c ) c c c (.6) Alegâd c, s-au fcut reprezetrile di figura.. care ilustrez compesarea eliiaritilor de ordi. Aa dup cum se poate observa, eist u iterval al semalulului de itare petru care compuerea celor dou sisteme e mai liiar decât sistemul origial. Limitele acestui iterval se obi rezolvâd iegalitatea: g ( f ) f i î acest caz au codus la soluia: (,6,6 ) (.7). Î afara acestui iterval rezultatul compesrii este mai eliiar decât sistemul iiial. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

Fig.. Compesarea eliiaritilor de ordi Î cazul uui semal siusoidal de itrare: Asiωt (.8) ieirea sistemului eliiar ecompesat este: i: f A siω t c( A si( ωt )) g (.9) ( f ) Asiωt c ( Asiωt ) 5 c ( Asiωt ) 7 c ( A si ωt) 9 (.) Petru a putea compara (.9) i (.) se rescriu aceastea sub forma (.) respectiv (.) : f A A (.) A c siωt c si ωt g 5 7 9 ( f ) ( A 5A c / 8 A c / 6 6A c /8) siωt 5 7 9 ( 5A c /6 6A c / 6 A c / 6) siωt 5 7 9 ( A c /6 A c / 6 9A c / 6) si5ωt 7 9 9 ( A c / 6 9A c / 56) si7ωt 9A c / 56 si9ωt (.) Coeficieii di dezvoltrile (.) i (.) dau amplitudiile armoicilor itroduse de eliiaritate, respectiv rezultate î urma compesrii. Î figura. sut reprezetate: eliiaritatea iaitea compesrii, precum i eliiaritile de ordi, 5, 7 i 9 prezete î urma compesrii, î fucie de amplitudiea semalului de itrare. Petru repezetare s-a ales o scar semilogaritmic. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

Fig.. Compesarea eliiaritilor de ordiul î cazul semalului de itrare siusoidal Se poate remarca c i î acest caz eist u ivel al semalului de itrare sub care compesarea este valid, armoica a-iii-a fiid puteric ateuat. S-a studiat de asemeea variaia domeiului semalului de itrare petru care e valabil compesarea î fucie de coeficietul c ce eprim cît de puteric e eliiaritatea. TABELUL. c Itervale de compesare, < 5,,5 <,8, <,6,5 <,7. Compesarea eliiaritiilor î cazul modelului bazat pe polioame ortogoale Se cosider dou sisteme eliiare fr memorie: y f i z g( y ) descompuere îtr-o baz ortogoal f ~ Φ f g m ( y) g~ m Φ ( y) m Φ dat de:, fiecare avâd o (.) Î relaia (.) f ~ respectiv g ~ m reprezit coeficieii dezvoltrii fuciei f, respectiv coeficieii dezvoltrii fuciei g î baza ortogoal. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

Problema care se pue este aceea de a gsi reprezetarea î baza { Φ } a sistemului rezultat pri cascadarea celor dou sisteme pe care îl vom umi î cotiuare sistem q g f. Legea de compesare coduce la: compesat: ( ) ~ q g f g ~ mφmfφ (.) m Î geeral u eist posibilitatea de a cotiua dezvoltarea î membrul drept al relaiei de mai sus. Acest lucru este posibil doar dac se scimb baza i se utlizeaz o baza costituit di puteri ale lui, aa dup cum se idic î relaia.5. Î acest caz avem : ude pri a a. { } t, ( m) m ( a) t (.5) m ( m) a a (.6) este reprezetat covoluia de m ori ître irurile de coeficiei Petru simplificare, fie : a ( a ), ude: [ a a a ] [ a a a ] [ a a a a a a a a a ] a Reprezetrile î serie de puteri petru cele dou eliiariti sut: ( ) f f (.7) y m m g g m y (.8) Petru sistemul compesat avem : ude: q m g f m ( m) q m ( ) ( m) g f g m f gmf q i δ. f m m (.9) Î acest fel s-a reuit reprezetarea sistemului compesat cu ajutorul seriei de puteri. Petru rezolvarea problemei ridicat la îceputul paragrafului trebuiesc parcuri urmtorii pai: -scimbarea bazei petru cele dou reprezetri ale lui fuciilor f, respectiv g coform: Φ { } t -scimbarea bazei petru reprezetarea fuciei q coform: { t} Φ Petru a uura scrierea se vor utiliza î cele ce urmeaz otaii matriciale i aume cele dou baze vor fi reprezetate sub forme matriciale ca î relaiile. i.. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

[,,,.. ] T t,... (.) [ Φ Φ, Φ,... ] T Φ, Φ,... (.) Relaia ître Φ i t di ecuaia. este o relaie tipic de trasformare a bazei : Φ Φt (.) ude Φ este matricea trasformrii corespuztoare setului de polioame ortogoale ales i este dat î tabele []. (m) Petru f se va utiliza reprezetarea sub forma uor vectori coloa: [ ] T Petru clarificare î eemplul cosiderat avem: a () ( m) ( m) ( m) ( m) ( m f f f f... f )... (.) ( f ) a f aa ( ) f f aa a (.) f aa f a -dimesiuea lui f este 5. -petru a determia dimesiuea lui T [ a a a ] [ a a a ] [ a a a ] () f trebuie iut cot de faptul c f. Î cocluzie, dimesiuea sa va fi 7. Avâd î vedere dimesiuea depedet de ( m ) a acestor vectori coloa vom îcerca crearea uei matrici F pri completarea vectorilor de dimesiui mici cu poziii de zero. F f f f.. (.5) Î cazul cosiderat avem: a a a aa F a aa a (.6) aa a Î aceste codiii relaia (.9) se poate scrie sub forma matricial: q F g (.7) ude: Trecerea la baza Φ se realizeaz coform relaiilor: q ~ T Φ F g q Φ q ~ - este matricea coeficieiilor determiat; F T ( g ~ T T Φ ) ( Φ FΦ ) g ~ Ψg ~ T ~ q (.8) (.9) corespuztori dezvoltrii î baza Φ ce trebuie Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

T FΦ T Ψ - se determi cu relaia: Ψ Φ ; Î aplicaii se porete de la o fucie f cuoscut i se cere determiarea fuciei iverse de g f ˆ s costituie u bu aproimat al lui. Î aceste codiii ordi p, otat g, astfel îcât ( ) avem : cu codiia: ude: [...] q ~ (.) g ~ Ψ q ~ (.) Ψ T ( Φ Φ ) T F (.) g ~ - (matricea coeficieilor dezvoltat î baza ortogoal) se obie pri etragera coloaei de rag doi di matricea Ψ.. Calculul sistemului ivers î cazul uui semal de itrare siusoidal. Fie sistemul eliiar modelat coform relaiei (.). y, (.) Aa dup cum se observ sistemul are o puteric compoet liiar i o compoet eliiar slab, ilustrâd perfect cazul eliiaritii edorite i perceput ca imperfeciue î sistem. Reprezetarea relaiei (.) cu ajutorul polioamelor lui Cebîev se poate realiza fie pe cale matematic fie pri msurarea coeficieilor atasai dezvoltrii. Alegerea acestor reprezetri a fost impus de studierea comportri sistemului î prezea uui semal de itrare (t) siusoidal. Alegîd amplitudiea, semalului de itrare siusoidal, A, rezult:,888t,698t,t... f (.) 5 Alegerea acestei reprezetri este util îtrucât pe baza coeficieilor de rag di dezvoltare se poate calcula puterea armoicei de rag prezet î semalul de ieire i datorat eliiaritii sistemului. O aproimare de ordi N, a fuciei f se poate obie trucid dezvoltarea di relaia (.) la ragul N. Petru aceast reprezetare se poate determia o ivers de ordi p, care reprezit î acelai timp o aproimare a iversei corespuztoare sistemului descris de relaia.. Petru simplificarea prezetrii impuem p ( M) Se alege astfel petru,888t, T N î cele ce urmeaz. f, o reprezetare aproimat de rag N. (.5) f 698 Rezult c î acest caz se caut u sistem ivers de ordi p N. Vectorul coeficieilor dezvoltrii ortogoale este î acest caz: f ~ [,888, 698] T ; ( ) N (.6) Vectorul coeficieilor dezvoltri ortogoale petru g va fi de forma: [ g ~ g ~ g ~ g ~ ] iar sistemul ivers este dat de relaia.8. g ~ ( p ) N (.7) pai: Determiarea coeficieilor ( y ) g ~ Φ ( y ) g ~ Φ ( y ) g ~ Φ ( y ) g ~ Φ ( y ) g (.8) g ~ i ai matricii di relaia (.7) presupue parcurgerea urmtorilor Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 5/

Pasul : Trecerea de la baza { Φ } la baza { t } petru f utilizâd matricea traformrii: f Φ T ~ f Τ f f Τ Φ [,888,698 ] [,95,679 ] ~ Pasul : Calculul vectorilor [ ] T f f [ ] Τ f,95, 679 f m i realizarea matricei F: [ ] Τ f,696,, 6 [ ] Τ F,558,779,8,,95,679,696,,6 Pasul : Calculul matricii Ψ Matricea trasformrii{ Φ Τ Φ Τ,558,779,8, [ ] Φ }-{ [ ] - este dat î tabele t }, î acest caz. [ ] -este dat deasemeea î tabele Matricea Ψ recalculat î urma relaiei are dimesiuea []. Se truciaz aceasta la dimesiuea []. Rezult :,888 Ψ [ ],698 Pasul : Calculul matricei iverse,776,8 Ψ,6779,58,6 Ψ [,9865 ],886,7 Pasul 5: Calculul iversei de ordi.,8,7858 Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 6/

[ ] T [,9865, ] T g ~ q ~ Ψ Ψ 7 g ( y ),9865T ( y ),T ( y ),9678 y, y 68 CAPITOLULIV IDENTIFICAREA NELINIARITIILOR CU MEMORIE FOLOSIND MODELELE VOLTERRA I WIENER. Itroducere Acest capitol prezit u studiu detaliat despre modelele Volterra i Wieer, î ceea ce privete metodele de estimare ale ucleelor ataate celor dou modele pri metode adaptive. Sut utilizate reprezetri ale ucleelor î timp discret cu memorie truciat. Sut discutate uclee Volterra i Wieer simetrice i separabile, precum i compleitatea metodelor de estimare asociate acestora. Se prezit de asemeea relaiile matematice ditre ucleele Volterra i Wieer. Teica aleas petru estimarea adaptiv a ucleelor Volterra i Wieer este cea bazat pe algoritmul LMS. Aplicarea sa celor dou modele eliiare, se bazeaz pe liiaritatea relaiei itrare ieire î raport cu ucleele, vzute ca i coeficiei ai filtrelor, aa dup cum s-a artat î tabelul.. Paragraful. dezbate î detaliu problema stabilirii limitelor î ceea ce privete pasul de avas î cadrul algoritmului LMS. O trecere î revist a literaturii de specialitate pe aceast tem a pus î evide faptul c cercetarea meioat, legat de teicile de estimare LMS Volterra u este doar icomplet, ci i greit î mai multe privie. Scopul cercetrii realizate a fost s revad i s dezvolte metoda estimrii ucleelor Volterra cu ajutorul algoritmului LMS adaptiv, i s modifice metoda astfel îcât s poat fi folosit la estimarea ucleului Wieer. Se aalizeaz relaia ditre valorile pasului de avas i rata covergeei ucleului Volterra i Wieer i se ofer formule empirice petru stabilirea pailor de avas ai algoritmului LMS pâ la al cicilea ordi.. Estimarea ucleelor Volterra i Wieer pri metoda adaptiv bazat pe algoritmul LMS Metodele i algoritmii adaptivi sut folosii pe larg î scopul estimrii ucleelor Volterra de diferite ordie. O teic adaptiv tipic se prezit î fig... U filtru Volterra de grad i memorie fie se adapteaz la sistemul eliiar ecuoscut cu ajutorul uuia ditre diverii algoritmi de adaptare. Folosirea teicilor de adaptare la estimarea ucleului Volterra a fost pe larg publicat [], []-[6]. Cele mai multe ditre lucrrile aterioare iau î cosiderare filtre Volterra de ordiul, iar uele cosider cazul filtrului Volterra de ordiul al-iii-lea. Î fig.. este prezetat o teic de adaptare tipic. U filtru Volterra de ordi fi i memorie fiit este ales petru a costrui cu ajutorul algoritmilor adaptivi, u model petru sistemul eliiar cu memorie. [] Sistem eliiar cu y[] e[] memorie _ y[] Filtru Volterra adaptiv Fig.. Determiarea ucleelor Volterra pri metode adaptive Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 7/

Scopul acestui paragraf este s discute despre cel mai simplu ditre algoritmi, algoritmul LMS. Dei algoritmul LMS îi are puctele sale slabe, cum ar fi depedea sa de statistica semalului, fapt ce poate coduce la vitez redus de coverge sau erori eperimetale mari, este foarte uor de aplicat i se comport bie î comparaie cu algoritmii recursivi mai rapizi. Pricipalele subiecte ale acestui subcapitol sut u studiu detaliat al literaturii de specialitate, discuia i dezvoltrile ulterioare ale limitelor pasului de avas petru covergea garatat a metodelor adaptive Volterra LMS, ca i modificarea metodei LMS petru estimarea ucleelor Wieer. Vom oferi mai îtâi o scurt itroducere petru algoritmul LMS î cazul liiar, iar apoi vom dezbate etesia la cazul eliiar... Algoritmul LMS petru filtrele adaptive liiare Filtrele liiare adaptive LMS au fost bie documetate [7], [8]. Rspusul la impuls al uui sistem î timp discret de memorie M, se scrie sub form vectorial ca î (.), iar itrarea ca î (.): [ ] T ( ) [ ] ( ) [ ]... ( ) [ M ] (.) T [ ] M... (.) Î aceste codiii ieirea sistemului adaptiv e dat de relaia: yˆ T (.) este La mometul, ieirea corespuztoare a sistemului adaptiv este y. Petru algoritmul LMS, miimizm (.): ŷ, iar ieirea filtrului liiar [ ] T [ ] e E y E (.) Vectorul * care miimizeaz relaia (.) poate fi eprimat ca o soluie a ecuaiilor ormale date de (.5): ude: R g (.5) T [ ] E (.6) R este matricea de autocorelaie de itrare ce coie mometele semalului de itrare pâ la ordiul al-ii-lea, iar: [ ] E y (.7) g este vectorul itercorelaiei ître itrare i ieirea dorit. Ecuaia de adaptare a coeficieilor filtrului potrivit algoritmului LMS este de forma: µ e ) (.8) T ude: reprezit vectorul coeficieilor filtrului la mometul, e y, iar µ este o cotat de valoare mic, pozitiv, ce reprezit mrimea pasului de adaptare ce determi viteza de coverge i iflueeaz eroarea fial î cadrul algoritmului. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 8/

Implemetarea algoritmului LMS î cazul uui filtru eliiar, bazat pe u model Volterra, implic câteva scimbri simple. Mai îtâi, vectorul coeficieilor de rspus sub form de impuls devie u vector al coeficieilor ucleului Volterra. De asemeea, vectorul de itrare care î cazul liiar coiea umai o combiaie liiar a itrrilor îtârziate, coie acum o combiaie de eatioae îtârziate. Etiderea algoritmului LMS la filtrele Volterra eliiare este eplicat mai detaliat î paragraful urmtor... Algoritmul LMS petru estimarea ucleelor Volterra Î cele ce urmeaz se va cosidera u filtru Volterra ale crui uclee sut simetrice. Sut dou pri ale acestei reprezetri: ()estimrile ucleelor Volterra i () produsele ître valorile semalului de itrare îtârziat. Dac eprimm ucleele Volterra i produsele ître valorile semalului de itrare î form vectorial, atuci putem scrie ieirea filtrului adaptiv Volterra cu ajutorul otaiei vectoriale. Fiecare ucleu Volterra (estimat la mometul ) se poate scrie î form vectorial astfel: - ucleul Volterra de ordi i memorie M, la mometul : [ ] T ( ) [ ] ( ) [ ] (,,...,,,...,... ) [ M, M,..., M ] (.9) - vectorul Volterra ce coie ucleele de diferite ordie: T T T T ( N ) T...... - vectorul de itrare corespuztor eliiaritii de ordi : T [... ]... M M (.) (.) U vector al produselor semalului de itrare poate fi scris luâd toi vectorii corespuztori diferitelor ordie i grupâdu-i ca î relaia (.): T T T T ( N ) T (.) Î coseci, ieirea filtrului Volterra adaptiv la mometul este: T yˆ (.) La mometul, ieirea dorit este LMS, trebuie s miimizm (.): { } T e [ y ] y, iar ieirea filtrului Volterra este ŷ. Petru algoritmul E (.) Vectorul * care miimizeaz relaia (.) poate fi eprimat ca soluie a ecuaiilor ormale date de (.5): T ude: [ ] E R g (.5) R reprezit matricea autocorelaiei semalului de itrare i coie mometele g E y este vectorul semalului de itrare pâ la ordiul N, petru u model de ordi N, iar [ ] itercorelaiei ditre itrare i ieirea dorit. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 9/

Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 / Ecuaia de actualizare a coeficieilor filtrului Volterra este di puct de vedere formal aceeai ca i î cazul filtrului liiar: e µ (.6) ude: este vectorul coeficieilor ucleului Volterra la mometul, y e ŷ T y iar µ este o costat de valoare mic care, ca i mai devreme, determi viteza de coverge i de asemeea afecteaz eroarea fial a ieirii filtrului. Trebuiesc remarcate asemarea de form, î aceast otaie, ître cazul liiar dat de (.) - (.8) i cazul eliiar dat de (.9) - (.6). Petru a garata covergea algoritmului LMS, este ecesar s puem limite costatei µ. Dac pasul de avas este mic, algoritmul LMS se adapteaz îcet, iar dac algoritmului i se permite s ruleze u timp îdelugat, eroarea fial va fi redus. Totui, dac se folosete u pas al avasului mai mare, algoritmul se adapteaz mai rapid, dar eroarea fial va fi mai mare. Dac pasul de avas este prea mare, atuci algoritmul poate devei istabil i diverget. De aceea, fiarea limitelor superioare petru coverge este de mare iteres. Limita maim a pasului de avas este legat de valorile proprii maime ale matricei de autocorelaie a vectorilor de itrare. Se vor prezeta î cele ce urmeaz câteva di aspectele cele mai importate î problematica alegerii mrimii pasului µ. Î acest scop vectorii i vor fi îlocuii de matricele H respectiv X iar scalarul µ va fi îlocuit de ctre matricea M. Trebuie fcut observaia c vectorii ce alctuiesc matricile H i X au dimesiui diferite, locurile rmase libere vor fi completate cu zerouri. Matricea H va coie ca liii vectorii uclee : [ ] N T H (.7) Î mod similar matricea X are liiile formate di vectori ce coi produse de acelai ordi ale semalului de itrare. [ ] N T X (.8) Matricea pasului de adaptare M este de forma: N M µ µ µ µ (.9) Î aceste codiii ecuaia de actualizare a coeficieilor filtrului devie de forma: MX e H H (.) adic: N N N N e µ µ µ µ (.) Aceast reprezetare permite alegerea uor pai de adaptare diferii petru ucleele de diferite ordie.

.. Limitri ale pasului de avas Eist umeroi cercettori care utilizeaz limite egale ale pasului avasului petru toate ucleele, adic coeficietul µ di relaia (.9) au aceeai limit. Petru u filtru Volterra de ordiul i al-ii-lea cu compoeta DC presupus a fi cuoscut, [] ofer limitele petru µ i µ, de forma < µ, µ < λma ude λ ma este valoarea proprie maim a matricei de autocorelaie corespuztoare lui vectorului de itrare X. Aceste valori garateaz covergea î medie. Petru filtrul Volterra de ordiul al-ii-lea, cu u iterval de memorie M i semale de itrare gaussiee idepedete i distribuite idetic (i.i.d), cu medie zero i varia σ, matricea de autocorelie este dat de (.): ude: R E{ K T K } R R R R R T R R R T T σ σ ( i ) T R E{ } j i are urmtoarele valori proprii: ij K K σ σ σ σ σ σ σ σ σ (.) λ σ, λ σ, λ σ, 8 λ σ σ 6σ σ 6σ λ5, λ6 Valorile proprii sut reprezetate grafic fa de deviaia stadard σ, î fig... Dup cum se poate 8 (.) vedea di fig.., mrimile valorilor proprii petru toate valorile lui σ, sut limitate superior de λ 6 i î coseci:.5.5 λ 6 λ λ λ,λ Marimea valorilor proprii.5.5.5...6.8...6.8 Deviatia stadard Fig.. Graficul valorilor proprii fa de deviaia stadard Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

λ ma 8 σ 6σ λ 6 (.) Petru acest eemplu, paii avasului pot fi stabilii coform cu (.5): < µ, µ < λ6 σ 6σ 8 (.5) Petru o mai mare simplificare, trebuie meioat c: Deci: 8 6σ < σ (.6) < µ, µ < (.7) σ Vom cosidera î cele ce urmeaz u filtru Volterra de ordiul al-ii-lea petru care se cuoate compoeta DC, astfel c ea u va fi cupris î algoritmul de estimare. Î acest caz, matricea de autocorelaie corespuztoare va coie statisticile pâ la ordiul, al semalului de itrare, dar ici o cotribuie DC. De eemplu, cu u iterval de memorie M i semale de itrare gaussiee autocorelaie va fi dat de (.8). cu medie zero, idepedete i distribuite idetic (i.i.d), i varia σ, matricea de R R R R R σ σ σ σ σ σ σ (.8) petru care valorile proprii sut: λ σ, λ σ, λ σ, λ5 σ λ (.9) Spre deosebire de cazul î care avem compoet DC, aici u eist ici u umr caracteristic care s fie cel mai mare petru toate valorile lui σ, iar valoarea proprie maim este dat de: λ ma λ λ σ, petru < σ <.5 λ ma λ σ, petru 5 σ >.5 Aadar, limitele sut fiate î coformitate cu (.) petru σ <. 5 i (.) petru σ >. 5. < µ, µ < petru < σ <.5 (.) σ < µ, µ < petru σ >.5 (.) σ < Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

Petru ambele cazuri de mai sus (cu i fr termeul DC), covergea î medie ptratic poate fi garatat dac se aplic o limit mai strâs pasului de avas coform cu (.). < µ, µ,, µ N < (.) tr [ RN ] ude tr [ R N ] reprezit trasa matricei R N Aceasta este îtotdeaua o limit mai strâs îtrucât [ R ], adic suma elemetelor de pe diagoala pricipal. tr N > λ ma Î cele de mai sus a fost cosiderat cazul uei sigure limite a pasului de avas. Eperimetele au dovedit îs, c atuci câd este posibil, utilizarea de limite diferite ale pasului de avas i de pai diferii ai avasului petru uclee de ordie diferite, pot coduce la o coverge mai rapid a algoritmului. Petru itrri corespuztoare, s-a costatat de asemeea c î cazul uor semale de itrare particulare, ucleele Volterra pare i impare devi ecuplate i pot coverge idepedet. I cele ce urmeaz vom cosidera cazul utilizrii a dou limite diferite ale pasului de avas, ua petru uclee Volterra de ordi impar, iar alta petru uclee Volterra de ordi par... Limite diferite ale pasului de avas petru uclee de ordi par i impar Paragraful aterior a cosiderat cazul matricii M, a pasului de avas di (.9), avâd elemetele de pe diagoal de aceeai valoare. Vom cosidera acum cazul î care elemetele acestei matrice sut fiate la dou valori diferite, î fucie de paritatea ucleului. Petru u semal de itrare avâd fucia desitate de probabilitate simetric, toate mometele de ordi impar ale acestuia dispar. Î plus, fucioalele Volterra de ordi impar u sut corelate cu fucioalele Volterra de ordi par. De eemplu, î cazul sistemului Volterra de ordi, compoeta de ordiul îtâi u este cuplat cu compoeta cotiu, DC, i ici cu compoeta de ordi. Dup toate probabilitile, covergea ucleelor de ordi impar u afecteaz covergea ucleelor de ordi par i ivers. Petru a asigura coverge sistemului Volterra de ordiul al-ii-lea, presupuâd c se cuoate compoeta DC, limitele petru µ i µ sut date astfel: ma < µ < λma, iar < µ < λ ude, ca i mai devreme, λma este valoarea proprie maim a matricei de autocorelaie R. Petru u filtrul Volterra de ordiul al-ii-lea cu itervalul de memorie M, i compoeta DC cuoscut, se ofer limite mai strâse (coverge de medii ptratice) petru primii doi pai ai avasului i se prezit î (.): < µ < i Mσ < µ < (.) ( Mσ ) Limita petru µ stabilit de relaia (.) este fudametat pe rezultatele cercetrilor publicate î [9] i []. De eemplu, [9] ofer o limit superioar mai coservatoare petru covergea garatat, mai eact petru u semal de itrare gaussia idepedet i distribuit idetic (i.i.d) < µ <. Petru cazul gaussia (i.i.d) Mσ [ ] tr R. Mσ Î [] se cosider u filtru Volterra LMS de ordiul al-ii-lea cu u semal de itrare gaussia (i.i.d). Î acest caz, compoeta DC u se cosider a fi cuoscut, ci cupris î algoritmul de estimare. De vreme ce termeul DC este cuplat umai cu ucleele de ordi, are acelai pas de avas ca i ucleul de ordi. Limita pasului de avas de ordiul îtâi este dat de < µ < σ, petru coverge î cadrul mediei i < µ < Mσ, petru covergea î cadrul mediei ptratice. Limitele pasului de avas petru ordiul al-ii-lea i termeul DC sut date de < µ < petru covergea di cadrul mediei. Aceste limite sut bazate pe M σ C ( M ) λ ma σ C i λ mi C, astfel îcât C C. Formele sau valorile lui C i C u Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

sut date. Totui, o limit ceva mai strâs poate fi scris sub forma: ( M ) σ < µ < ude λ λ λ ma λmi difer de cea di (.). Icluderea uei compoete DC ecuoscute î algoritm ofer u elemet costat î matricea de autocorelaie, iar acesta d o epresie diferit petru valoarea proprie maim, ca i o limit diferit petru pasul de avas. Acest terme costat devie foarte semificativ petru σ <, oferid limite foarte diferite. Aaliza limitelor impuse pailor de adaptare a fost etis la filtrul Volterra de ordiul al-iii-lea. Numrul lucrrilor care abordeaz acest subiect este pâ la ora actual etrem de redus. Î [] sut prezetate rezultatele obiute referitoare la u filtru Volterra adaptiv de ordiul al-iii-lea. Î cadrul algoritmului de adaptare sut utilizai doi pai de adaptare diferii, uul petru uclee de ordi par, iar cellalt petru uclee de ordi impar: ( µ µ µ par ; µ µ µ impar ). Cele dou limite sut date de (.) i (.5): < µ par < (.) par λ ma < µ impar < (.5) λ impar ma ma mi par ma ude λ este valoarea proprie maim a matricei de autocorelaie ce coie mometele de ordi par R par, asociat cu eliiaritile de ordi par, iar matricea de autocorelaie ce coie momete de ordi impar impar λ ma este valoarea proprie maim petru R impar, asociat cu eliiaritile de ordi impar. Limitele pasului de avas de ordi par petru coverge î cadrul mediei sut date dup cum urmeaz: < µ < (.6) par ( M ) σ K ude: par ( M ) par mi λ ma σ K i λ K petru K K (.7) Deci putem deduce o limit de ordi par ceva mai strâs, dat de: < µ par < (.8) par par λ λ ( M ) σ ma mi Limitele pasului de avas de ordi impar petru coverge î cadrul mediei sut date astfel: < µ < (.9) impar 6 ( M 6) σ impar λ ma Totui, limita petru µ impar s-a bazat pe aproimarea fcut valorii proprii efective, î care s-a elimiat termeul σ. Asta face ieact limita petru valori mici ale lui σ, mai ales dac σ <. Di cuotiele autorilor, la ora actual îc u s-au obiut limitele pasului de avas petru filtrele adaptive Volterra LMS de ordi mai mare decât. Cercetrile îtreprise au artat c eist posibilitatea etiderii metodei la u filtru de ordi N. Problema care trebuie rezolvat este aceea de a obie o bu aproimare a valorii proprii maime a matricei de autocorelaie î acest caz. Odat determiate aceste valori ele pot fi folosite petru a stabili limitele pasului de avas. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 /

Capitolul V TEHNICI DE COMPENSARE A NELINIARITILOR CU MEMORIE 5. Geeraliti Î capitolele aterioare s-au prezetat modelele Volterra i Wieer precum i metode de estimare ale ucleelor corespuztoare acestor modele. Estimarea acestor uclee prezit o importa deosebit i trebuie realizat cu mult acuratee petru a obie u sistem eliiar care s caracterizeze cât mai eact prezea eliiaritilor edorite ce trebuiesc compesate. Compesarea se poate realiza ca i î cazul eliiaritilor fr memorie aplicâd teica post-distorsiorii pri itroducerea uui sistem ivers sistemului model determiat pe cale eperimetal. Sistemul post ivers poate fi costruit pe cale aalitic sau pri metode adaptive. Se prezit î cotiuare dou metode de compesare a eliiaritilor edorite cu memorie pri itermediul uui sistem Volterra. î primul caz sistemul Volterra ce realizeaz compesarea e obiut pe cale aalitic; î al doilea caz sistemul Volterra de post-compesare e obiut pri metode adaptive. 5. Obierea sistemului Volterra post-ivers pe cale aalitic Ne propuem s determim sistemul Volterra post-ivers corespuztor uui sistem Volterra de ordi. Petru a uura scrierea relaiilor se itroduc urmtoarele otaii: H - reprezit u model Volterra de ordi N ( N )[] [] H - reprezit u operator Volterra de ordi Î coseci, petru u model Volterra de ordi N vom folosi relaia (5.): y ( t ) H[ ( t )] H H [ ( t) ] H [ ( t) ]... H [ ( t )] N N (5.) Compesarea pri itermediul sistemului ivers de u aumit ordi p, se realizeaz coform scemei idicate î figura 5. (t) Sistem eliiar cu y (t) Sistem ivers de ordi p ˆ( t) memorie G ( p) H ( N ) Fig.5. Compesarea eliiaritilor pri sistemul post-ivers Ieirea compesat ˆ ( t ) trebuie s reprezite o bu aproimare petru (t). Î figura 5. [] G este u model Volterra ivers, iar pri G [] s-a otat operatorul Volterra p de ordi m ivers. Semalul de la ieirea sistemului G ( p) este dat de relaia: G p [ t ] G G[ y( t) ] G[ y( t )]... Gp[ y( t )] (5.) Costruirea sistemului ivers este astfel realizat îcât sistemul ecivalet celui reprezetat î figura 5. s fie u sistem Volterra avâd ucleele: ucleu de ordi îtâi egal cu impulsul uitar; ucleele de ordi j, p, egale cu zero, aa dup cum rezult di relaia (5.): m Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 5/

[ ] Q ( t ) ( t ) G H[ ( t )] [ ] Q [ ( t )] Q [ ( t )] Q [ ] ˆ p N p p... pn t pn [ ( t )] Q[ ( t) ] Q j [ ( t )] Q j p (5.) Ne propuem s determim post-iversa de ordi ; G [] di cadrul modelului, petru G se obie scema:. Igorâd compoeta cotiu G y (t) G ˆ( t) G Fig. 5. Scema sistemului ivers corespuztor uui sistem Volterra de ordi trei Metoda de determiare a sistemelorg m a fost elaborat de ctre M. Scetze [5]. Ea permite determiarea epresiilor petru operatori Q j [] de rag j p î fucie de operatorii H, petru j i de operatorii G m, petru m j. Pri egalarea cu zero a operatorilor Q j [] petru j p, se obi epresiile operatorilor di cadrul sistemului ivers G j î fucie de operatorii H, petru j precum i de cele ale operatorilor G m petru m j. Presupuâd c operatorul Volterra de ordiul îtâi modeleaz u sistem stabil i cauzal avem: G H (5.) G G H (5.5) G G [ H G H [ G G H G ] H G H G H ] G G (5.6) iâd cot de relaia (5.6) se obie petru G urmtoarea scem de implemetare. y(t) -H G H G -H G G [y(t)] H -H Fig. 5. Implemetarea sistemului G Î cazul î care eliiaritile ce trebuie compesate sut de ordi impar, relaiile de mai sus se simplific i avem: Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 6/

G H G (5.7) G G H G Ca urmare, scema de implemetare a sistemului post ivers G este mult simplificat aa dup cum se idic i fig.5.. - G H y (t) ˆ( t) G -H - - H H Fig. 5. Sistem ivers de ordiul al treilea corespuztor uui sistem Volterra ce prezit umai uclee impare Dac se lucreaz î domeiul trasformatei Z i otm cu H ( z) trasformata Z a ucleului de ordiul îtâi, atuci trasformata Z, G (z) are epresia. G ( z) ( z) ( z) H (5.8) H Dac G ( z) e stabil el poate fi implemetat utilizâd u filtru IIR sau FIR. Acest lucru este posibil dac toate zerourile lui H ( z) sut î iteriorul cercului uitate 5. Obierea sistemului Volterra post-ivers pri metoda adaptiv Metoda aterior prezetat, de determiare a sistemului post-ivers presupue cuoaterea sau o bu estimare a ucleelor Volterra. Sistemul ivers poate fi obiut i pritr-o metod adaptiv ilustrat î figura 5.5. ( t) Sistem eliiar y ( t) Filtru Volterra ˆ ( t) - Fig. 5.5 Obierea sistemului Volterra post-ivers pri metoda adaptiv Metoda adaptiv este mult asemtoare metodelor adaptive de determiare a ucleelor Volterra i Wieer aterior prezetate. Eist îs dou diferee eseiale: ua este dat de amplasarea filtrului Volterra adaptiv. cea de a doua este determiat de modul de calcul al erorii pe baza creia fucioeaz algoritmul de adaptare. Dei aceast metod pare mai uor de aplicat di puct de vedere teoretic îtrucât u ecesit o modelare prealabil a eliiaritilor, î practic sut ecesare uele iformaii privid ordiul acestora petru a putea stabili ordiul i memoria sistemului Volterra ivers. Problema stabilirii memoriei petru sistemul Volterra ivers este laborioas i u face obiectul acestei lucrri. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 7/

5. Aplicaie practic 5.. Idetificarea uui sistem eliiar de ordiul al-ii-lea Se vor determia î cele ce urmeaz ucleele Volterra de ordiul I i II corespuztoare uui sistem de ordiul al-ii-lea avâd scema di figura 5.6 ( t) y ( t) Sistem liiar Figura 5.6 Scema sistemului de ordiul al-ii-lea supus idetificrii Sistemul liiar este caracterizat de rspusul la impuls ( t ) reprezetat î figura 5.6 i avâd epresia dat de relaia: 56 (5.9).98 ( t ) ep( 5.t ) si( t ) σ ( t ) Sistemul astfel ales reprezit u sistem eliiar fr compoet cotiu aa dup cum rezult di relaia: y ( t ) τ t τ dτ ( τ ) ( ) t τ dτ ( τ ) ( t τ ) dτ ( τ) ( τ ) ( t τ) ( t τ ) dτdτ (5.) Comparâd aceast relaie cu cea obiut modelâd sistemul cu u sistem Volterra de ordiul al-ii-lea: y ( t ) ( τ, τ ) ( t τ) ( t τ ) dτdτ (5.) se obie: ( τ τ ) ( τ ) (5.), τ Modelarea sistemului eliiar s-a fcut î MATLAB. La itrarea sistemului a fost adus u semal de zgomot alb gaussia de medie ul. Cele dou serii de timp [ ] i y [ ] implicate î calculul ucleelor Volterra de diferite ordie s-au obiut pri eatioarea semalelor de la itrare respectiv ieirea sistemului utilizâd u pas de eatioare T e 5µ s. Petru calculul ucleelor s-au folosit serii de timp de câte 6 de eatioae. Petru calculul ucleului de ordiul I sa folosit formula: N σ N [ ] y[ i] [ i ] i (5.) ude N6, iar σ reprezit dispersia zgomotului alb de la itrarea sistemului, egal cu desitatea spectral de putere. Calculul ucleului de ordi al-ii-lea, [, ], s-a fcut utilizâd formula: Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 8/

[ ] N i [ i] [ i ] [ i ], y (5.) ( σ ) N Ambele uclee au fost calculate î câte de pucte folosid programe scrise î MATLAB. Relaia 5. este aplicabil doar î cazul puctelor.petru a elimia aceast restricie s-a îlocuit y [ ] cu [ ] y[ ] idicat î figura 5.7 y î formula lui Lee-Scetze. Graficul ucleului de ordiul al-ii-lea e Figura 5.7 Nucleul de ordiul al-ii-lea determiat eperimetal teoretic. Î figura 5.8 s-a reprezetat ucleul Volterra de ordiul îtâi, [ ], ul di puct de vedere Figura 5.8 Nucleul de ordiul I determiat eperimetal Aa dup cum se poate observa, valorile determiate eperimetal î cazul ucleului de ordiul îtâi se apropie de cele teoretice. Revista de Politica Stiitei si Scietometrie - Numar Special 5 - ISSN- 58-8 9/