DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011

ZAHVALA Za vso strokovno pomo, koristne nasvete in vodenje pri izdelavi diplomskega dela se zahvaljujem mentorju doc. dr. Primoºu parlu. Nazadnje se zahvaljujem ²e star²em, ki so mi omogo ili ²tudij in mi ves as stali ob strani, ter fantu Aljaºu za vso podporo in pomo. i

ii

PROGRAM DELA V diplomskem delu se posvetite dominaciji v grah. Predstavite koncept dominacijske mnoºice in dominacijskega ²tevila. Obravnavajte teºavnost izra unljivosti dominacijskega ²tevila za poljuben graf. Nato na primeru posplo²enih Petersenovih grafov pokaºite, da lahko za nekatere dovolj lepe druºine grafov dominacijsko ²tevilo dolo imo teoreti no. Pri tem se lahko naslonite na lanek avtorjev B. J. Ebrahimi, N. Jahanbakht in E. S. Mahmoodian, Vertex domination of generalized Petersen graphs, Discrete Math. 309 (2009), 4355-4361. Ljubljana, november 2010. Mentor: doc. dr. Primoº parl iii

iv

POVZETEK Osrednja tema diplomskega dela so dominacijske mnoºice in z njimi povezano dominacijsko ²tevilo grafa. Mnoºica vozli² grafa G je dominacijska mnoºica, e njena zaprta okolica pokrije celoten graf. Minimalno kardinalnost dominacijske mnoºice grafa imenujemo dominacijsko ²tevilo grafa. Predstavljena je zgodovina raziskovanja dominacijskega ²tevila in opisan tako imenovan problem kraljic, ki predstavlja za etek raziskovanja na tem podro ju. Dominacijsko ²tevilo grafa je praviloma zelo teºko dolo iti, saj je problem dolo itve dominacijskega ²tevila grafa tako imenovan NP-poln problem. Prepri amo se, da je temu res tako. Pri dolo anju dominacijskega ²tevila si zato obi ajno pomagamo z nekaterimi zgornjimi in spodnjimi mejami. Ogledamo si nekatere, ki so odvisne tudi od minimalne in maksimalne stopnje grafa ter ²tevila vozli². Podano je dominacijsko ²tevilo nekaterih osnovnih druºin grafov, kot so polni gra, cikli, poti in polni dvodelni gra, v zadnjem delu pa se posvetimo dolo itvi dominacijskega ²tevila nekaterih posplo²enih Petersenovih grafov. Klju ne besede: teorija grafov, dominacijsko ²tevilo, dominacijska mnoºica, minimalna dominacijska mnoºica, NP-poln problem v

ABSTRACT The main theme of this BSc thesis are the domination sets and the corresponding domination number of the graph. The set of vertices of a graph is a dominating set if its closed neighborhood covers the whole graph. The domination number of a graph is the minimum number of vertices in a dominating set of the graph. In this thesis a brief history of the research of the domination number is presented together with the so-called Queen's problem, which marks the beginning of the studies in this eld. Determining the domination number of a graph is in general a very hard problem. We show that it is in fact a so-called NP-complete problem. Lower and upper bounds are thus very helpful when one wants to determine the domination number of a graph. We present some bounds depending on the number of vertices and the minimal and maximal degree of the graph in question. We present the domination numbers of some basic graph families like the complete graphs, the cycles, the paths and the complete bipartite graphs. In the last part of the thesis we present the domination numbers of some generalized Petersen graphs. Key words: graph theory, domination number, domination set, minimal domination set, NP-complete problem Math. Subj. Class: 05C69, 68Q17, 68Q25 vi

Kazalo 1 Uvod 1 2 Osnovni pojmi in denicije 4 2.1 Graf................................. 4 2.2 Posebne druºine grafov....................... 10 3 Dominacijsko ²tevilo grafa 13 3.1 Dominacijske kraljice in dominacijska mnoºica grafa....... 13 3.2 Matemati na zgodovina dominacije v grah........... 16 3.3 Minimalna dominacijska mnoºica grafa.............. 17 3.4 Dominacijsko ²tevilo grafa..................... 21 3.5 Zgornje in spodnje meje dominacijskega ²tevila grafa...... 24 4 Dominacijsko ²tevilo nekaterih druºin grafov 27 4.1 Polni gra.............................. 27 4.2 Cikli................................. 28 4.3 Poti................................. 29 4.4 Polni dvodelni gra......................... 30 5 NP-polnost problema dolo itve dominacijskega ²tevila grafa 32 5.1 Razredi P, NP in NP-polnih problemov.............. 32 5.2 Problem dolo itve dominacijskega ²tevila grafa je NP-poln problem................................. 36 vii

6 Dominacijsko ²tevilo nekaterih posplo²enih Petersenovih grafov 39 6.1 Dominacijsko ²tevilo posplo²enih Petersenovih grafov P (n, 1).. 41 6.2 Dominacijsko ²tevilo posplo²enih Petersenovih grafov P (n, 2).. 44 7 Zaklju ek 54 Literatura 57 viii

Poglavje 1 Uvod Predstavljajmo si mreºo ra unalnikov, ki so med seboj povezani z omreºno povezavo, kar pomeni, da si med seboj lahko po²iljajo informacije in jih tudi sprejemajo. Na nekaj ra unalnikov ºelimo priklju iti laserske tiskalnike na tak na in, da bodo lahko vsi ra unalniki dostopali do njih v kratkem asu. Na²a naloga je, da najdemo najbolj optimalno postavitev tiskalnikov, da bodo vsi ra unalniki imeli u inkovit dostop do njih. Koliko tiskalnikov bomo morali priklju iti v na²o mreºo ra unalnikov? Kaj pa primer, ko imamo skupino ljudi, v kateri se dolo eni ljudje med seboj poznajo, drugi ne. Sestaviti ºelimo odbor s im manj²im ²tevilom lanov. Da bi bila komunikacija med odborom in ostalimi lani skupine im bolj²a, je najbolje, da vsak, ki ni lan odbora, pozna vsaj enega izmed njegovih lanov. Koliko lanov bi omenjeni odbor vseboval? Poglejmo si ²e primer, pri katerem ºelimo med nekaj manj²ih vasic na oddaljenem koncu sveta postaviti radio postaje. Pomembno je, da postaje postavimo v vasi tako, da bo vsaka vas prejela signal. Vsaka postaja ima omejen obseg oddajanja (recimo 50 km), zato jih bomo med oddaljene vasi morali locirati ve, iz nan nih razlogov pa stremimo k temu, da bi jih locirali im manj. Kak²no ²tevilo postaj moramo postaviti, da vsaka vas prejme signal? Vsem omenjenim problemom je skupno to, da jih lahko predstavimo in re- ²imo s pomo jo teorije grafov. V prvem primeru so vozli² a grafa ra unalniki, dve vozli² i pa sta povezani, e med ra unalnikoma obstaja direktna omreºna povezava. Da bodo vsi ra unalniki imeli u inkovit dostop do tiskalnika, je najbolje, da je vsak ra unalnik brez tiskalnika direktno povezan z ra unalnikom, 1

2 Poglavje 1. Uvod ki ga ima. Pri drugem primeru vozli² a predstavljajo ljudi, med dvema obstaja povezava, e se med seboj poznata. Pri radio postajah so vozli² a vasi, kjer sta dve vasi povezani, e sta med seboj oddaljeni za manj kot 50 km (obseg oddajanja radio postaje). V vseh primerih moramo najti tako mnoºico vozli² grafa (ra unalnikov, ljudi, mest), da bo vsako vozli² e element te mnoºice ali pa sosedno vsaj enemu vozli² u iz izbrane mnoºice. Podmnoºico vozli² grafa s to lastnostjo, torej, da vsako vozli² e leºi v njej ali pa je vsaj sosedno z vozli- ² em iz te podmnoºice, imenujemo dominacijska mnoºica grafa. Kardinalnost dominacijske mnoºice grafa, ki vsebuje najmanj elementov, pa je dominacijsko ²tevilo grafa in tudi re²itev vseh omenjenih problemov. Problem dominacije ima korenine ºe v letu 1862, ko so se ²ahovski navdu²enci ukvarjali s problemom dolo itve najmanj²ega ²tevila ²ahovskih gur (kraljic, konjev, trdnjav), ki dominirajo celo ²ahovnico, kar pomeni da lahko vsako nezasedeno mesto na ²ahovnici napadejo v eni potezi. Raziskave o dominacijskih mnoºicah in z njimi povezanimi podmnoºicami so eno izmed najhitreje rasto- ih podro ij v teoriji grafov. Eden izmed razlogov za pove an interes je velika uporabnost na razli nih podro jih, kot so linearna algebra in optimizacija, komunikacijska omreºja, socialne znanosti in podobno. Dominacijske mnoºice se pojavljajo v ²tevilnih lokacijskih problemih, kjer se ukvarjajo z optimalno postavitvijo bolni²nic, gasilskih postaj, po²t, ²ol in podobno. Uporabljajo se tudi pri problemih, kot so iskanje reprezentativnih mnoºic, dodeljevanje dela (nalog) osebju, organizacija komunikacijskih in elektri nih omreºij, merjenje zemlji² (minimiziranje ²tevila mest na katerih mora merilec zemlji² opraviti vi²inske meritve za celotno regijo) in celo pri nekaterih igrah. Kot problem dolo itve dominacijskega ²tevila grafa lahko predstavimo veliko zanimivih problemov, ki na prvi pogled izgledajo precej enostavni, kmalu pa se izkaºe da temu ni tako, saj moramo pregledati veliko razli nih moºnosti, preden dobimo pravo re²itev. Problem dolo itve dominacijskega ²tevila grafa je tako imenovan NP-poln problem, kar med drugim pomeni, da ga ni enostavno dolo iti. Pri dolo anju dominacijskega ²tevila si zato sku²amo pomagati z zgornjimi in spodnjimi mejami. Na za etku diplomskega dela so obrazloºeni nekateri osnovni pojmi teorije grafov, ki so uporabljeni tekom raziskovanja. Sledi poglavje, v katerem so na za etku obravnavane dominacijske kraljice, podana pa je tudi splo²na de-

3 nicija dominacijske mnoºice grafa. V nadaljevanju poglavja je predstavljena kratka zgodovina raziskovanja dominacijskih ²tevil, v podpoglavju, ki sledi, pa je vpeljan pojem minimalne dominacijske mnoºice. Sledi vpeljava dominacijskega ²tevila grafa, predstavljene pa so tudi nekatere spodnje in zgornje meje dominacijskega ²tevila. V poglavju, ki sledi, so predstavljena dominacijska ²tevila nekaterih osnovnih druºin grafov. Naslednje poglavje se dotakne NPpolnosti problema dolo itve dominacijskega ²tevila, v zadnjem poglavju pa je dolo eno dominacijsko ²tevilo posebnih druºin grafov, znanih kot posplo²eni Petersenovi gra P (n, 1) in P (n, 2).

Poglavje 2 Osnovni pojmi in denicije V tem poglavju bomo obravnavali nekatere osnovne denicije teorije grafov, ki jih bomo potrebovali za laºje razumevanje diplomskega dela. Pri oblikovanju denicij si bomo pomagali z literaturo [21, 13], vse pa bomo ponazorili tudi z zgledi. 2.1 Graf Najprej si poglejmo primer na podlagi katerega bomo vpeljali osnovni pojem v teoriji grafov. Diagram na sliki 2.1 predstavlja del zemljevida metroja v Madridu (http://balo g.hu/madrid/images/utazas/metro_terkep_madrid_metro_map_01.jpg), ki vsebuje le najpomembnej²e podrobnosti mesta. Pomembno je, da se iz zemljevida da razbrati kje so postaje metroja in kako so med seboj povezane, tako da lahko potnik na rtuje pot iz ene na drugo lokacijo. Tak zemljevid je primer kako z diagramom prikaºemo povezave med postajami. V tem primeru imamo sistem objektov (postaj), ki so na nek na in povezani med seboj. Lahko ga predstavimo z diagramom, v katerem so objekti to ke, povezave pa rte. Tak diagram se imenuje graf. To ke, ki predstavljajo objekte, imenujemo vozli² a, rte med njimi pa povezave grafa. Poglejmo si natan no denicijo. 4

2.1. Graf 5 Slika 2.1: Zemljevid metroja v Madridu Denicija. Graf G = (V (G), E(G)) je urejeni par mnoºic V (G) in E (G), kjer je V (G) kon na neprazna mnoºica elementov, ki jih imenujemo vozli- ² a grafa, E (G) pa mnoºica (neurejenih) parov teh vozli², ki jih imenujemo povezave grafa. Kadar ne bo bojazni za nejasnost, bomo namesto V (G) in E (G) uporabljali oznake V in E. Naj bosta u in v vozli² i grafa G, tako da je e = {u, v} E (G). V tem primeru bomo rekli, da sta u in v sosednji vozli² i, ter da sta u in v kraji² i povezave e. Rekli bomo tudi, da je povezava e inciden na z u in v, ter da sta vozli² i u in v inciden ni z e. Dogovorimo se, da bomo povezavo {u, v} kraj²e ozna evali kot uv. Mnoºica vozli² grafa G na sliki 2.2 je V (G) = {u, v, w, x, y}, mnoºica povezav pa E (G) = {uv, vw, wx, xv, xy, yu}. Poglejmo si sedaj ²e nekaj osnovnih denicij in pojmov. v u w x y Slika 2.2: Primer grafa G

6 Poglavje 2. Osnovni pojmi in denicije Denicija. Odprta okolica N (v) vozli² a v je mnoºica vozli², ki so sosedna vozli² u v, torej N (v) = {w V : vw E}, zaprta okolica N [v] vozli² a v pa je N [v] = N (v) {v}. ƒe imamo poljubno podmnoºico vozli² S V, lahko njeno odprto okolico deniramo kot N (S) = v S N (v), zaprto okolico pa kot N [S] = N (S) S. Odprta okolica vozli² a x na sliki 2.2 je N (x) = {w, v, y}, zaprta pa N [x] = {w, x, v, y}. Denicija. Kardinalnost (mo ) mnoºice vozli² V (G) grafa G je ²tevilo vozli², re emo lahko tudi red grafa G. tevilo povezav grafa je enako mo i mnoºice povezav E (G). tevilo vozli² grafa G na sliki 2.2 je V (G) = 5, ²tevilo povezav pa E (G) = 6. Struktura grafov je lahko precej zapletena, zato si lahko pri preu evanju pomagamo tako, da se osredoto imo na enostavnej²e, manj²e dele grafa in sicer tako, da pod drobnogled vzamemo samo dolo ena vozli² a in povezave. Denicija. Naj bo G = (V (G), E (G)). Graf H z mnoºico vozli² V (H) in mnoºico povezav E (H) je podgraf grafa G, kar ozna imo kot H G, e je V (H) V (G) in E(H) E(G). v v u v u v u w x x y H 1 H 2 H 3 H 4 x y w x Slika 2.3: Podgra grafa iz slike 2.2 Na sliki 2.3 lahko vidimo nekaj podgrafov grafa iz slike 2.2. ƒe pogledamo prvi graf H 1 je njegova mnoºica vozli² V (H 1 ) = {v, w, x} V (G 1 ) in mnoºica povezav E (H 1 ) = {vw, wx, xv} E (G 1 ). Graf H 1 je res podgraf grafa G 1. Denicija. Naj bo H G. Denimo, da za vsak par vozli² u, v V (H) velja, da je uv E (H) natanko tedaj, ko je uv E (G). V tem primeru pravimo,

2.1. Graf 7 da je H induciran podgraf grafa G. Inducirani podgra so dolo eni s podmnoºicami vozli² grafa G. ƒe je U V (G), potem z U ozna imo induciran podgraf grafa G na mnoºici vozli² U. Vozli² a induciranega podgrafa U so elementi mnoºice U, povezave pa povezave grafa G, katerih kon na vozli² a so elementi mnoºice U. Mnoºici U = {v, w, x} in W = {u, v, x, y} sta podmnoºici grafa G na sliki 2.2. Grafa H 1 in H 3 iz slike 2.3 sta inducirana podgraf grafa G na mnoºicah U in W. Torej H 1 = U in H 3 = W. Denicija. Naj bo H G. Podgraf H je vpet podgraf grafa G, e velja V (H) = V (G). Dobimo ga tako, da grafu G odstranimo nekaj (ali ni ) povezav. Na sliki 2.4 je graf H 1 vpet podgraf prvotnega grafa G, graf H 2 pa induciran podgraf grafa G. G H 1 H 2 Slika 2.4: Vpet podgraf H 1 in induciran podgraf H 2 Pri preu evanju grafov in njihovih lastnosti je poleg ²tevila vozli² in povezav pomemben parameter tudi stopnja vozli² a v. Denicija. Naj bo G graf in v V (G) vozli² e grafa. Stopnja ali valenca vozli² a v, ki jo ozna imo z deg (v), je ²tevilo povezav, ki vsebujejo v kot kraji² e. Zapi²emo lahko tudi da je deg (v) = N (v). Vozli² e, katerega stopnja je enaka 0, imenujmo izolirano vozli² e. Stopnje vozli² grafa pogosto zapi²emo v nara² ajo em vrstnem redu, tako da upo²tevamo tudi ve kratne ponovitve stopenj. Dobljeni seznam imenujemo zaporedje stopenj grafa. Minimalna stopnja grafa G je najmanj²a stopnja vozli² in se ozna i z δ(g). Podobno je denirana tudi maksimalna stopnja grafa, ki je enaka najve ji stopnji vseh vozli² grafa in se ozna i z (G).

8 Poglavje 2. Osnovni pojmi in denicije Stopnje vozli² grafa H 2 na sliki 2.3 so deg (v) = 1, deg (u) = 2, deg (y) = 2 in deg (x) = 1, zaporedje njegovih stopenj lahko zapi²emo tudi kot (1, 1, 2, 2). Minimalna stopnja grafa je δ (H 2 ) = 1, maksimalna pa (H 2 ) = 2. Gra, za katere velja, da je δ (G) = (G) so ²e posebej zanimivi. Denicija. Graf je regularen, e imajo vsa vozli² a v grafu isto stopnjo. ƒe je ta stopnja enaka r, pravimo da je graf regularen stopnje r ali r-regularen. Na sliki 2.5 je prikazanih nekaj regularnih grafov. r=1 r=2 r=3 r=4 Slika 2.5: Primeri regularnih grafov V mnogih aplikacijah grafov je pomembno tudi ali se lahko po povezavah sprehodimo iz enega vozli² a do drugega in na kak²en na in lahko to storimo. I² emo torej sprehode med poljubnima vozli² ema oziroma poljubnimi vozli- ² i. Denicija. Sprehod dolºine k v grafu G je alternirajo e zaporedje u 0, e 0, u 1, e 1, u 2, e 2, u 3,..., u k 1, e k 1, u k vozli² in povezav, kjer je e i povezava s kraji² ema u i in u i+1 (e i = u i u i+1 ). Lahko ga zapi²emo tudi brez povezav kot u 0, u 1, u 2,..., u k 1, u k in ga poimenujemo sprehod med vozli² ema u 0 in u k. Sprehod, ki ima vse povezave razli ne, imenujemo enostavni sprehod ali sled, e pa so razli na tudi vsa vozli² a sprehoda, ga imenujemo pot. Sprehod u, y, x, u, v, w dolºine 5 vidimo na sliki 2.6 pri prvem primeru, primer poti u, y, v, x, w pa je prikazan na sliki 2.6 pri drugem primeru. Posebno poimenovanje obstaja tudi za sprehode, ki se za nejo in kon ajo v istem vozli² u.

2.1. Graf 9 u u u v yv yv y w x w x w x Slika 2.6: Sprehod, pot in cikel v grafu Denicija. Sklenjen sprehod ali obhod v grafu G je sprehod u 0, u 1,..., u k, za katerega je u k = u 0. ƒe so vse povezave obhoda razli ne, ga imenujemo enostavni obhod ali sklenjena sled, e pa so razli na tudi vsa vozli² a obhoda, razen seveda prvega in zadnjega, ga imenujemo cikel. Primer cikla je prikazan pri tretjem primeru na sliki 2.6. Razlikujemo tudi med gra, ki so v "enem kosu in pa gra, ki so razdeljeni, torej sestavljeni iz dveh ali ve lo enih delov. Denicija. Graf G je povezan, e za poljubni vozli² i u in v grafa G obstaja pot s kraji² ema u in v. Sicer je graf G nepovezan. Nepovezani graf razpade na povezane podgrafe, ki jih imenujemo komponente grafa. w v u w v u x y z x y z Slika 2.7: Primer nepovezanega in povezanega grafa Ve ina grafov, ki smo jih sre ali do sedaj, je bilo povezanih. Edina izjema je bil prvi primer grafa na sliki 2.5. Na sliki 2.7 vidimo ²e en primer nepovezanega in povezanega grafa na 6 vozli² ih. Prvi primer grafa na sliki je nepovezan in ima 2 komponenti.

10 Poglavje 2. Osnovni pojmi in denicije Denicija. Razdalja med vozli² ema u in v v grafu je dolºina najkraj²e poti med njima, e ta obstaja. V nasprotnem primeru re emo, da je razdalja med u in v neskon na. Razdaljo ozna imo z d(u, v) in pravimo, da je vozli² e u za d(u, v) oddaljeno od vozli² a v. Razdaljo med najbolj oddaljenima vozli² ema v grafu imenujemo premer ali diameter grafa G in ga ozna imo z diam(g). ƒe pogledamo drug primer grafa na sliki 2.7 je razdalja med vozli² ema w in z enaka d(w, z) = 2. Premer grafa pa je diam(g) = 3. 2.2 Posebne druºine grafov Graf z n vozli² i v katerem je vsak par razli nih vozli² povezan, imenujemo polni graf K n. Graf K n je regularen stopnje n 1 in ima n(n 1) 2 povezav. Nekaj primerov je prikazanih na sliki 2.8. K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 Slika 2.8: Polni gra K n, 3 n 7 Denicija. Graf G je dvodelen, e lahko njegovo mnoºico vozli² razbijemo na dve podmnoºici V 1 in V 2 tako, da ima vsaka povezava grafa G eno kraji² e v mnoºici V 1 in drugo kraji² e v mnoºici V 2. Posebna vrsta dvodelnih grafov so polni dvodelni gra pri katerih velja, da je vsako vozli² e iz mnoºice V 1 povezano z vsakim vozli² em iz mnoºice V 2. ƒe je V 1 = m in V 2 = n, polni dvodelni graf ozna imo s K m,n. Ta graf ima m+n vozli² in m n povezav. Nekaj primerov polnih dvodelnih grafov vidimo na sliki 2.9, kjer so vozli² a ene mnoºice ozna ena z rde o, vozli² a druge pa s rno barvo.

2.2. Posebne druºine grafov 11 ali ali K 1,3 K 3,3 ali K 2,4 Slika 2.9: Polni dvodelni gra K m,n Pot na n vozli² ih je graf, katerega vozli² a lahko ozna imo z v 1, v 2,.., v n tako, da je mnoºica povezav grafa E = {v 1 v 2, v 2 v 3,..., v n 1 v n }. Vozli² i v 1 in v n sta kraji² i poti in imata stopnjo 1, n 2 ostalih vozli² grafa ima stopnjo 2. Pot z n vozli² i ozna imo s P n, ²tevilo povezav poti P n pa je n 1. Primeri poti so prikazani na sliki 2.10. P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 Slika 2.10: Poti P n, 1 n 6 P 6 ƒe kraji² i v 1 in v n poti poveºemo, dobimo cikel. Ozna imo ga s C n. Cikel C n ima n povezav in je regularen stopnje 2, imenujemo pa ga tudi n-cikel. Nekaj primerov ciklov je prikazanih na sliki 2.11. Povezan graf brez ciklov je drevo. To pomeni, da v drevesu ne obstaja podmnoºica vozli² grafa, ki inducira cikel. ƒe je ²tevilo vozli² v drevesu n, ima drevo n 1 povezav, med poljubnima vozli² ema drevesa pa vedno obstaja pot. Tudi pot je drevo z maksimalno stopnjo 2. Graf, ki je sestavljen iz enega ali ve dreves, imenujemo gozd. Primer drevesa je prikazan na sliki 2.12.

12 Poglavje 2. Osnovni pojmi in denicije C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 Slika 2.11: Cikli C n, 3 n 7 Slika 2.12: Drevo Vpeto drevo grafa G je vpet podgraf grafa G, ki je drevo. Dobimo ga iz grafa G z odstranitvijo nekaj povezav. Primer vpetega drevesa je predstavljen na sliki 2.13. G Slika 2.13: Dva primera vpetih dreves grafa G

Poglavje 3 Dominacijsko ²tevilo grafa Sedaj, ko smo vpeljali ve ino osnovnih pojmov teorije grafov, se bomo posvetili dominacijskim mnoºicam. Najprej bomo predstavili iz kje izhaja pojem dominacije in podali natan no denicijo dominacijske mnoºice grafa. Temu sledi kratek pregled zgodovine razvoja dominacije v grafu, denicija minimalne dominacijske mnoºice grafa in nekaj osnovnih trditev o dominacijskih mnoºicah. Natan no bomo predstavili tudi dominacijsko ²tevilo grafa in za zaklju ek poglavja pregledali nekatere znane zgornje in spodnje meje za dolo anje dominacijskega ²tevila grafa. 3.1 Dominacijske kraljice in dominacijska mno- ºica grafa Koncept dominacijskih mnoºic izhaja iz priljubljene igre ²aha, kjer je cilj pokritje oziroma dominiranje vseh polj ²ahovnice velikosti n n z dolo enimi ²ahovskimi gurami. Okoli leta 1850 so ²ahovski navdu²enci preu evali problem dominacijskih kraljic, ki ga bomo podrobno predstavili v nadaljevanju. Prvi je omenjeni problem v svojem delu tudi formalno predstavil de Jaenisch [10] leta 1862. Na sliki 3.1 je prikazana ²ahovnica velikosti 8 8 na kateri je na dolo enem polju postavljena kraljica. Po pravilih ²aha se lahko kraljica premika poljubno ²tevilo polj horizontalno, vertikalno ali diagonalno ( e predvidevamo, da ji nobena druga ²ahovska gura 13

14 Poglavje 3. Dominacijsko ²tevilo grafa X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Slika 3.1: Kraljica na ²ahovnici, ki lahko napada vertikalno, horizontalno in diagonalno ne stoji na poti). Kraljica na sliki 3.1 se lahko premika (napada ali dominira) po vseh poljih ozna enih z 'X'. Omenjeni problem dominacijskih kraljic je problem dolo itve najmanj²ega ²tevila kraljic, ki dominirajo vsa polja ²ahovnice n n. To pomeni, da vsako polje ²ahovnice, na katerem ni kraljice, napada oziroma dominira vsaj ena izmed postavljenih kraljic. Raziskovalci problema so domnevali, da je 5 najmanj²e ²tevilo kraljic, ki dominirajo celotno ²ahovnico standardne velikosti 8 8. Leta 1964 sta Yaglom in Yaglom [22] pokazala, da obstaja natanko 4860 razli nih postavitev petih kraljic na ²ahovnico standardne velikosti. Ena izmed moºnih postavitev je prikazana na sliki 3.2 [7]. Slika 3.2: Ena izmed postavitev petih kraljic, ki dominirajo vsa polja ²ahovnice Obstajata dva tipa postavitev kraljic in sicer postavitve, pri katerih se kraljice

3.1. Dominacijske kraljice in dominacijska mnoºica grafa 15 med seboj napadajo in postavitve, pri katerih se nobeni izmed kraljic ne napadata med seboj. Dve kraljici na ²ahovnici se medsebojno napadata, e je polje, na katerem stoji ena izmed kraljic, napadeno s strani druge kraljice. Jasno je, da se poljubni dve kraljici na sliki 3.2 napadata. Ena izmed postavitev petih kraljic, ki dominirajo vsa polja ²ahovnice in se medsebojno ne napadajo, je prikazana na sliki 3.3. Za vajo lahko pokaºete, da v primeru, ko so 3 kraljice postavljene na poljih a1, b7 in d8, postavitev petih kraljic, ki se medsebojno ne napadajo in dominirajo celotno ²ahovnico, ne obstaja. Slika 3.3: Ena izmed postavitev petih kraljic, ki dominirajo ²ahovnico in se med seboj ne napadajo Zgornji problem lahko prevedemo v teorijo grafov tako, da 64 polj ²ahovnice predstavlja vozli² a grafa v katerem sta dve vozli² i (polji) sosednji, e kraljica, ki je postavljena na enega izmed obeh polj, napada drugo polje. Ker vemo, da se kraljica premika poljubno ²tevilo polj vertikalno, horizontalno ali diagonalno, je v grafu poljuben par vozli² povezan, e sta polji, ki ju vozli- ² i predstavljata, v isti vrstici, stolpcu ali diagonali. Dobljeni graf imenujemo graf kraljic in ga ozna imo s Q n [4]. I² emo minimalno ²tevilo vozli², katerih okolice, skupaj z njimi, pokrijejo cel graf. Problem dominiranja mest na ²ahovnici lahko posplo²imo in ga poimenujemo problem dominacije vozli² grafa. Dve vozli² i v poljubnem grafu sta sosednji, e med njima obstaja povezava. Za vozli² e v grafu G pravimo, da dominira sebe in vsa njemu sosednja vozli² a. Poljubno vozli² e v torej dominira vozli² a v svoji zaprti okolici N [v]. Za mnoºico S vozli² grafa G re emo, da dominira

16 Poglavje 3. Dominacijsko ²tevilo grafa celoten graf, e je vsako vozli² e grafa G dominirano z vsaj enim vozli² em iz mnoºice S. Mnoºico S vozli² grafa G imenujemo dominacijska mnoºica, sedaj pa bomo zapisali ²e njeno formalno denicijo povzeto iz literature [14, 15]. Denicija. Mnoºica S V vozli² grafa G = (V, E) se imenuje dominacijska mnoºica, e je vsako vozli² e v V element mnoºice S ali pa je sosednje kakemu elementu mnoºice S. 3.2 Matemati na zgodovina dominacije v grah Problem dominacije ima za etke v letu 1862, ko je ²ahovski igralec in teoretik Carl Jaenisch (1813-1872) [10] preu eval problem dolo itve najmanj²ega ²tevila kraljic, ki so potrebne za dominiranje ²ahovnice velikosti n n. Leta 1892 je W. W. Rouse Ball (1850-1925) [2] v svojem delu preu il dominacijske mnoºice grafov Q n za n 8. Wilhelm Ahrens (1872-1927) [1] je raziskavo dopolnil in leta 1910 podal ugotovitve o dominacijskih mnoºicah grafov Q n za 9 n 13 in n = 17. Ball [2] je v svojem delu omenil tri osnovne tipe problemov, ki so jih poleg ostalih, ²ahovski navdu²enci preu evali ob koncu 19. stoletja. Osnovni trije tipi problemov so: Pokrivanje kak²no je najmanj²e ²tevilo ²ahovskih gur dolo enega tipa, ki so potrebne za pokritje/dominiranje/napad celotne n n velike ²ahovnice. To je primer problema, kjer je potrebno najti dominacijsko mnoºico najmanj²e kardinalnosti. Neodvisno pokrivanje kak²no je minimalno ²tevilo ²ahovskih gur dolo enega tipa, ki se med seboj ne napadajo in so potrebne za dominiranje celotne n n velike ²ahovnice. To je primer problema, kjer je potrebno najti neodvisno dominacijsko mnoºico najmanj²e kardinalnosti. Neodvisnost Kak²no je maksimalno ²tevilo ²ahovskih gur dolo enega tipa, ki jih postavimo na ²ahovnico tako, da se nobeni dve guri med seboj ne napadata. Jasno je, da zaradi maksimalnosti taka mnoºica gur dominira celotno ²ahovnico. Torej je to primer problema, kjer moramo najti neodvisno dominacijsko mnoºico najve je kardinalnosti. ƒe

3.3. Minimalna dominacijska mnoºica grafa 17 je ²ahovska gura kraljica, se problem imenuje problem kraljic. Znano je, da za vsako pozitivno celo ²tevilo n 4 lahko na n n veliko ²ahovnico postavimo n (neodvisnih) kraljic, ki se med seboj ne napadajo. še ve kot 100 let ljudje prou ujejo razli ne na ine kako to storiti. Bolj intenzivno matemati no preu evanje dominacijskih mnoºic grafov se je za- elo okoli leta 1960. Zgoraj omenjene tipe problemov sta v tem asu podrobno raziskala brata Isaak Yaglom (1921-1988) in Akiva Yaglom (1921-2007) [22]. Na²la sta re²itve nekaterih problemov za trdnjave, kralje, skaka e in lovce. Koncept dominacijskega ²tevila grafa, ki ga bomo vpeljali v razdelku 3.4, je leta 1958 v svojem delu prvi deniral Claude Berge (1926-2002) [3] in ga poimenoval koecient zunanje stabilnosti (coecient of external stability). Oystein Ore (1899-1968) [18] je leta 1962 prvi uporabil tudi imeni dominacijska mnoºica in dominacijsko ²tevilo grafa, za katero je uporabljal oznako d (G). Eno izmed prvih aplikacij dominacije je v svojem delu leta 1968 podal Liu [16], kjer je razpravljal o konceptu dominacije v komunikacijskih omreºjih. Dominacijsko mnoºico v tem primeru predstavlja mnoºica mest, v katerih so oddajne postaje, ki oddajajo sporo ila v vsa mesta omreºja. Cockayne in Hedetniemi [8] sta leta 1977 objavila raziskavo rezultatov, ki so bili do takrat znani o dominacijskih mnoºicah v grafu. Bila sta prva, ki sta za dominacijsko ²tevilo grafa uporabila oznako γ (G), ki je postala priznana oznaka dominacijskega ²tevila grafa. Prav njuno poro ilo in bogata zgodovina naj bi privla ila pozornost mnogih in s tem ponovno obudila in mo no pospe²ila raziskave na podro ju dominacije. Haynes, Hedetniemi in Slater so leta 1998 izdali knjigo [14], ki je bila temeljna literatura mojega diplomskega dela. V njej je zbranih ve kot 1200 razli nih raziskav na temo dominacije, ²tevilo pa ²e vedno nara² a. 3.3 Minimalna dominacijska mnoºica grafa Preden vpeljemo pojem minimalne dominacijske mnoºice si poglejmo ²e nekaj pojmov v povezavi z dominacijskimi mnoºicami.

18 Poglavje 3. Dominacijsko ²tevilo grafa Denicija. Naj bo G = (V, E) graf in T V podmnoºica mnoºice vozli² grafa G. Vozli² e v T je enklava mnoºice T, e je N [v] T. Vozli² e v T je izolirano v mnoºici T, e je N (v) V T. Zaradi razli nih pogledov na koncept dominacije obstaja veliko razli nih, a ekvivalentnih na inov, kako denirati pojem dominacijske mnoºice grafa. Lahko bi torej rekli, da je S V dominacijska mnoºica grafa G = (V, E) natanko tedaj, ko ima katerokoli in posledi no vse izmed naslednjih lastnosti [14]: i. za vsako vozli² e v V S obstaja vozli² e u S, ki je sosedno vozli² u v; ii. za vsako vozli² e v V S velja, da je d (v, S) 1, kjer je d (v, S) = min {d (v, s) : s S}; iii. zaprta okolica mnoºice S so ravno vsa vozli² a grafa, torej N [S] = V ; iv. za vsako vozli² e v V S velja N (v) S 1, to pomeni, da je vsako vozli² e v V S sosedno vsaj enemu vozli² u iz S; v. za vsako vozli² e v V velja N [v] S 1 ; vi. V S ne vsebuje enklav. ƒe je S dominacijska mnoºica grafa, potem o itno tudi za vsako mnoºico S, za katero je S S, velja, da je dominacijska, medtem ko vsaka njena podmnoºica S S ni nujno dominacijska mnoºica. V nadaljevanju diplomskega dela nas bodo zanimale predvsem minimalne dominacijske mnoºice grafa, katere ne vsebujejo nobene dominacijske podmnoºice. Poglejmo si natan no denicijo. Denicija. Podmnoºica S mnoºice vozli² grafa G je njegova minimalna dominacijska mnoºica, e je S dominacijska mnoºica grafa G in nobena njena prava podmnoºica S S ni dominacijska. Torej, e minimalni dominacijski mnoºici odstranimo katerokoli vozli² e, le ta ni ve dominacijska. Na sliki 3.4 je podan graf G in nekatere minimalne dominacijske mnoºice grafa G.

3.3. Minimalna dominacijska mnoºica grafa 19 a a i f b i f b G h a g d e c h a g d e c i f b i f b h e c h e c g d g d Slika 3.4: Minimalne dominacijske mnoºice grafa G Graf G med drugimi premore minimalne dominacijske mnoºice kardinalnosti tri ( mnoºica {b, e, h}), ²tiri (mnoºica {a, d, f, i}) in pet (mnoºica {a, c, f, g, i}). Prve tri trditve o dominacijskih mnoºicah grafa je leta 1962 v svojem delu podal Ore [18]. Trditev 3.1. Dominacijska mnoºica S je minimalna dominacijska mnoºica natanko tedaj, ko za vsako vozli² e u S velja eden izmed slede ih pogojev: i. u je izolirano vozli² e v mnoºici S, kar pomeni, da so vsa sosednja vozli² a vozli² a u elementi mnoºice V S; ii. obstaja vozli² e v V S za katerega velja N (v) S = {u}, kar pomeni, da obstaja vozli² e v, katerega edini sosed iz mnoºice S je vozli² e u. Dokaz. ƒe je S minimalna dominacijska mnoºica, za vsak u S velja, da mno- ºica S {u} ni ve dominacijska. Torej obstaja vozli² e v ((V S) {u}), ki ni sosedno nobenemu vozli² u iz mnoºice S {u}. Imamo dve moºnosti in sicer v = u ali v V S. ƒe je v = u, je u izolirano v S, torej velja prvi pogoj. ƒe je v V S, za katerega vemo, da ni sosedno nobenemu vozli² u iz

20 Poglavje 3. Dominacijsko ²tevilo grafa S {u}, je lahko sosedno le vozli² u u S. V tem primeru je izpolnjen drugi pogoj N (v) S = {u}. Dokaºimo trditev ²e v nasprotno smer. S je dominacijska mnoºica in za vsak u S velja eden izmed pogojev. Pokazati moramo, da je S minimalna dominacijska mnoºica. Predpostavimo da S ni minimalna dominacijska mnoºica, da torej obstaja tak u S, da je S {u} ²e vedno dominacijska mnoºica. To pomeni, da je vozli² e u sosedno vsaj enemu izmed vozli² mnoºice S {u}, torej za u ne velja prvi pogoj. Vemo tudi, da e je S {u} dominacijska mnoºica, je vsako vozli² e iz mnoºice V S sosedno vsaj enemu izmed vozli² mnoºice S {u}. Tudi drugi pogoj za vozli² e u ne velja. Pridemo do protislovja, torej je S res minimalna dominacijska mnoºica. Trditev 3.1 nas napelje na naslednjo denicijo. Denicija. Naj bo S mnoºica vozli² in u S. ƒe za nek v velja N [v] S = {u}, pravimo, da je vozli² e v privatni sosed vozli² a u (glede na mnoºico S). Deniramo lahko tudi mnoºico privatnih sosedov vozli² a u, in sicer pn [u, S] = {v : N [v] S = {u}}. Vemo da je u pn[u, S] le v primeru, ko je u izolirano vozli² e v podgrafu S, kar pomeni, da je u sam svoj privatni sosed. Poglejmo primer na sliki 3.4, ko je minimalna dominacijska mnoºica grafa S = {b, e, h}. Privatni sosedi vozli² a b so v tem primeru vozli² a b, c in a, torej pn[b, S] = {a, b, c}. V jeziku te terminologije lahko torej re emo, da je dominacijska mnoºica minimalna natanko tedaj, ko ima vsako vozli² e mnoºice S vsaj enega privatnega soseda, to pomeni, da za vsak u S velja, da pn [u, S] 0. Trditev 3.2. Vsak povezan graf G, katerega red je n 2, ima dominacijsko mnoºico S katere komplement V S je tudi dominacijska mnoºica. Dokaz. Naj bo T poljubno vpeto drevo v grafu G in naj bo u V poljubno vozli² e grafa. Vozli² a drevesa T lahko razdelimo na dve disjunktni mnoºici S in S, ki sta sestavljeni iz vozli², katerih razdalja do u v T je soda ali liha. O itno je, da sta mnoºici S in S = V S obe dominacijski mnoºici grafa G.

3.4. Dominacijsko ²tevilo grafa 21 Primer vpetega drevesa T v grafu G iz slike 3.4 je prikazan na sliki 3.5. Rde e obarvana vozli² a vpetega drevesa so od izbranega vozli² a f oddaljena za liho razdaljo, rna pa za sodo razdaljo. Vpeto drevo v tem primeru razdelimo na mnoºici S = {f, i, g, d, c, a} in S = {e, b, h}. a i f b e f b h e c i g d c a g d h Slika 3.5: Vpeto drevo T grafa G in prikaz mnoºic S in S Trditev 3.3. ƒe je G graf brez izoliranih vozli², potem je komplement V S poljubne minimalne dominacijske mnoºice S grafa G dominacijska mnoºica grafa G. Dokaz. Naj bo S poljubna minimalna dominacijska mnoºica grafa G in u S. Za vozli² e u torej velja eno izmed pravil zapisanih v trditvi 3.1. Najprej predpostavimo, da velja prvi pogoj in sicer, da je vozli² e u izolirano od mnoºice S, kar pomeni da ni sosedno nobenemu vozli² u iz mnoºice S. Ker je graf G brez izoliranih vozli², vozli² e u ni izolirano v grafu G, torej je sosedno vsaj enemu izmed vozli² mnoºice V S. ƒe za u velja drugi pogoj, obstaja tako vozli² e v V S, da je N (v) S = {u}. Tudi v tem primeru je vozli² e u sosedno vsaj enemu vozli² u iz mnoºice V S. Torej velja, da je tudi mnoºica V S dominacijska mnoºica grafa G. 3.4 Dominacijsko ²tevilo grafa Minimalnih dominacijskih mnoºic v poljubnem grafu je obi ajno ve, kot smo videli pa so lahko razli ne celo njihove kardinalnosti. V nadaljevanju se bomo osredoto ili na minimalne dominacijske mnoºice grafov, katerih kardinalnost je najmanj²a.

22 Poglavje 3. Dominacijsko ²tevilo grafa Denicija. Dominacijsko ²tevilo grafa γ(g) je enako kardinalnosti minimalne dominacijske mnoºice grafa G, katere mo je najmanj²a. Dominacijsko mnoºico, katere kardinalnost je enaka γ(g), imenujmo tudi γ-mnoºica. a b c e a b c e G d d h g f h g f a b c e d h g f Slika 3.6: Minimalne dominacijske mnoºice grafa Dve izmed minimalnih dominacijskih mnoºic grafa G na sliki 3.6 sta {b, d, g} in {b, e, f, h}. {b, d, g} = 3; {b, e, f, h} = 4; Mnoºica vozli² {b, e, f, h} grafa G je minimalna dominacijska mnoºica grafa, vendar njena kardinalnost ni najmanj²a. Ena izmed minimalnih dominacijskih mnoºic grafa G, katere kardinalnost je manj²a, je {b, d, g}, zato je dominacijsko ²tevilo grafa na sliki 3.6 najve 3, to je γ(g) 3. Pokaºimo, da ne obstaja dominacijska mnoºica grafa G, katere kardinalnost je manj²a od 3, torej da ne obstaja dominacijska mnoºica kardinalnosti 2. Naj bo mnoºica S dominacijska mnoºica grafa G. Ker je vozli² e e stopnje 1 in d njegov edini sosed, mora biti eno izmed vozli² e in d element mnoºice S. ƒe je e S, mora biti element S tudi eno izmed vozli² f in g. Katerokoli vozli² e vzamemo kot drugi element dominacijske mnoºice, ne dominira vseh preostalih vozli² grafa. V primeru, ko je d S, mora biti element S tudi eno izmed vozli² a in b. Tudi v tem primeru nobeno izmed vozli² ne dominira preostalih vozli² v grafu. Torej

3.4. Dominacijsko ²tevilo grafa 23 dominacijska mnoºica kardinalnosti 2 za omenjeni graf ne obstaja, zato je dominacijsko ²tevilo grafa γ(g) enako 3. Na temo dominacije in dominacijskega ²tevila grafa obstaja veliko razli nih variacij, ki predstavlja veliko motivacijo za raziskave na tem podro ju. V slede i deniciji bomo na kratko omenili dve izmed njih. Denicija. Zgornje dominacijsko ²tevilo Γ(G) grafa je enako kardinalnosti minimalne dominacijske mnoºice grafa G, katere mo je najve ja. ƒe je S neodvisna mnoºica, kar pomeni, da nobeni vozli² i iz mnoºice nista sosednji, jo imenujemo neodvisna dominacijska mnoºica. Najmanj²a kardinalnost neodvisne dominacijske mnoºice grafa G je neodvisno dominacijsko ²tevilo grafa i(g). Sledi denicija posebne dominacijske mnoºice, ki nam je pri iskanju dominacijskega ²tevila grafa v veliko pomo, saj je njena kardinalnost zagotovo najmanj²a. Denicija. Mnoºica S vozli² grafa G je u inkovita oziroma popolna dominacijska mnoºica, e je vsako vozli² e v S izolirano od S, vsako vozli² e v V \ S pa je sosedno natanko enemu vozli² u iz mnoºice S, torej e za vsak v V (G) velja, da je N [v] S = 1. Za poljubni dve vozli² i u, v S velja, da je N [u] N [v] =. Primeri u inkovitih dominacijskih mnoºic so prikazani na sliki 3.7. Slika 3.7: Primeri u inkovitih dominacijskih mnoºic grafov Trditev 3.4. ƒe ima graf G u inkovito dominacijsko mnoºico, potem je kardinalnost katerekoli u inkovite dominacijske mnoºice enaka dominacijskemu ²tevilu grafa γ(g). Vse u inkovite dominacijske mnoºice grafa imajo isto kardinalnost.

24 Poglavje 3. Dominacijsko ²tevilo grafa Dokaz. Brez ²kode za splo²nost lahko predpostavimo, da je {v 1, v 2,..., v k } u inkovita dominacijska mnoºica grafa in S poljubna dominacijska mnoºica grafa, katere kardinalnost je minimalna. O itno je k S. Za vsaka 1 i < j k velja, da je N [v i ] N [v j ] = in S N [v i ], zato je S k. Iz tega sledi, da je S = k in dokaz je kon an. 3.5 Zgornje in spodnje meje dominacijskega ²tevila grafa Pri iskanju dominacijskega ²tevila grafa moramo pregledati veliko razli nih podmnoºic vozli² grafa, preden dobimo pravo re²itev. Zahtevnost problema se z velikostjo in kompleksnostjo grafa hitro pove uje. V tem razdelku bomo predstavili nekaj zgornjih in spodnjih mej dominacijskega ²tevila grafa, ki nam lahko pomagajo pri njegovi dolo itvi. O itna zgornja meja dominacijskega ²tevila je ²tevilo vseh vozli² grafa. Ker za dominacijo grafa potrebujemo najmanj eno vozli² e, se dominacijsko ²tevilo giblje med 1 γ(g) n za vsak graf na n vozli² ih. Graf dosega spodnjo mejo le v primeru, ko vsebuje vozli² e stopnje n 1. Zgornjo mejo pa graf doseºe samo v primeru, ko je graf G = K n, kar pomeni, da je graf G mnoºica samih izoliranih vozli². V tem primeru ima graf eno samo dominacijsko mnoºico, ki sestoji iz vseh izoliranih vozli² grafa. Kot posledico trditve 3.3 je Ore [18] zgornjo mejo dominacijskega ²tevila grafov, ki ne vsebujejo izoliranih vozli², mo no izbolj²al. Trditev 3.5. (Ore) ƒe je G graf brez izoliranih vozli², je γ(g) n 2. Dokaz. Naj bo S minimalna dominacijska mnoºica grafa G. ƒe upo²tevamo trditev 3.3 velja, da je tudi V S dominacijska mnoºica grafa G, torej γ(g) min { S, V S } n. 2 Trditev 3.5 velja za grafe, katerih minimalna stopnja je δ(g) 1. Z omejitvijo na povezane grafe z minimalno stopnjo δ(g) 2 sta McCuaig in Shepherd [17] zgornjo mejo dominacijskega ²tevila ²e izbolj²ala. Pomagala sta si z zbirko tako imenovanih slabih grafov na sliki 3.8, ki jih bomo ozna ili z A. Izbolj²ana

3.5. Zgornje in spodnje meje 25 zgornja meja velja za vse povezane grafe, katerih minimalna stopnja je δ(g) 2, razen za grafe iz zbirke A. Slika 3.8: Zbirka slabih grafov A Trditev 3.6. (McCuaig in Shepherd) ƒe je graf G povezan z minimalno stopnjo δ(g) 2 in G / A, potem je γ(g) 2n 5. Dokaz trditve 3.6 je precej dolg in tehni en. Bralec, ki bi ga zanimal, si ga lahko ogleda v lanku [17]. Naslednji je zgornjo mejo dominacijskega ²tevila grafa z omejitvijo na grafe, katerih minimalna stopnja je δ(g) 3, izbolj²al Reed [19]. Trditev 3.7. ƒe je G povezan graf z δ(g) 3, je γ(g) 3n 8. Dokaz trditve je obseºen in predstavljen v lanku [19]. Vse do sedaj omenjene zgornje meje bomo zbrali v tabeli. Spodnja meja za δ(g) Zgornja meja za γ(g) 0 n 1 n 2 2, G povezan, G / A 2n 5 3, G povezan 3n 8 Tabela 3.1: Zgornje meje dominacijskega ²tevila γ(g), odvisne od minimalne stopnje grafa δ(g) Iz tabele 3.1 hitro vidimo zakaj so Haynes, Hedetniemi in Slater [14] podali naslednjo domnevo. Domneva 3.8. ƒe je G povezan graf z δ(g) k, je γ(g) kn (3k 1).

26 Poglavje 3. Dominacijsko ²tevilo grafa Domneva ²e vedno ni dokazana za grafe, pri katerih je 4 k 6. Caro in Roditty [5, 6] sta domnevo dokazala za grafe katerih minimalna stopnja je δ(g) 7 in za iste grafe zgornjo mejo ²e izbolj²ala. Trditev 3.9. (Caro in Roditty) Za graf G velja, da je [ ( γ(g) n 1 δ(g) 1 δ(g) + 1 ) ] 1+ 1 δ(g). Predstavili bomo ²e eno dobro znano omejitev dominacijskega ²tevila, ki je odvisna od ²tevila vozli² in maksimalne stopnje (G) grafa G. Za spodnjo mejo so odgovorni Walikar, Acharya in Sampathkumar [20], medtem ko zgornjo mejo pripisujejo Bergu [3]. Trditev 3.10. Za poljubni graf G velja n 1+ (G) γ(g) n (G). Dokaz. Naj bo S minimalna dominacijska mnoºica grafa G. Ker vsako vozli² e grafa lahko dominira najve sebe in (G) sosednjih vozli² je o itna spodnja meja dominacijskega ²tevila res. Preverimo ²e zgornjo mejo. Naj n 1+ (G) bo v vozli² e grafa z najve jo stopnjo (G). Vozli² e v dominira svojo zaprto okolico N[v], vozli² a iz mnoºice V N[v] pa se dominirajo sama. V N(v) je torej dominacijska mnoºica, katere kardinalnost je enaka n (G). Od tod sledi, da velja γ(g) n (G). V nadaljevanju diplomskega dela bomo preu evali dominacijska ²tevila nekaterih regularnih grafov, zato si poglejmo spodnjo mejo dominacijskega ²tevila za r-regularne grafe, ki je neposredna posledica trditve 3.10. Posledica 3.11. ƒe je graf G regularen stopnje r, kjer je r N, je γ(g) n r+1.

Poglavje 4 Dominacijsko ²tevilo nekaterih druºin grafov 4.1 Polni gra Na sliki 4.1 so predstavljene dominacijske mnoºice polnih grafov K n, kjer je 3 n 7. (K 3 )=1 (K 4 )=1 (K 5 )=1 (K 6 )=1 (K 7 )=1 Slika 4.1: Dominacijske mnoºice polnih grafov K n, 3 n 7 Na podlagi primerov bomo podali naslednjo trditev in jo tudi dokazali. Trditev 4.1. Dominacijsko ²tevilo poljubnega polnega grafa K n na n vozli² ih je γ(k n ) = 1. Dokaz. V polnem grafu je vsako vozli² e povezano z vsemi ostalimi in je zato stopnje n 1. ƒe vzamemo poljubno vozli² e kot element dominacijske mno- ºice, o itno ºe samo vozli² e dominira vsa ostala. Dominacijsko ²tevilo polnih grafov je torej γ(k n ) = 1 za poljubno celo ²tevilo n. 27

28 Poglavje 4. Dominacijsko ²tevilo nekaterih druºin grafov 4.2 Cikli Najprej si poglejmo nekaj primerov na sliki 4.2, na podlagi katerih bomo sku²ali ugotoviti dominacijsko ²tevilo poljubnega cikla na n vozli² ih. (C 3 )=1 (C 4 )=2 (C 5 )=2 (C 6 )=2 (C 7 )=3 Slika 4.2: Dominacijske mnoºice ciklov C n, 3 n 7 S pomo jo primerov hitro ugotovimo, da je dominacijsko ²tevilo cikla C n enako n 3. Zapi²imo to dejstvo kot trditev in jo dokaºimo. Trditev 4.2. Dominacijsko ²tevilo n-cikla je γ(c n ) = n 3. Dokaz. Pokaºimo najprej, da je γ(c n ) n 3, torej da je spodnja meja dominacijskega ²tevila cikla C n res enaka n 3. V prej²njem poglavju smo dokazali posledico 3.11, ki pravi, da za poljuben r-regularen graf G velja γ(g) n r+1. Ker so cikli 2-regularni, je na podlagi te trditve spodnja meja dominacijskega ²tevila n r+1 = n 2+1 = n 3, torej velja, da je γ(cn ) n 3. Pokaºimo sedaj ²e, da je tudi zgornja meja dominacijskega ²tevila cikla C n enaka n 3. V ta namen je treba le poiskati kako dominacijsko mnoºico velikosti. Kot vemo, vsako vozli² e cikla Cn dominira sebe in ²e svoji 2 sosednji n 3 vozli² i. Skupaj torej dominira 3 vozli² a. Vozli² a grafa lahko razdelimo na bloke s po tremi vozli² i (razen morda enega bloka, ki vsebuje eno ali dve vozli² i), kjer je sredinsko vozli² e element dominacijske mnoºice in dominira vsa vozli² a bloka. Sedaj lahko lo imo tri primere. ƒe je n 0 (mod 3), vozli² a grafa razdelimo na natan no n blokov s tremi vozli² i. Kot vemo ima vsak blok eno dominacijsko vozli² e, zato je za 3 dominacijo celotnega grafa potrebnih ravno n 3 vozli², torej res velja γ(c n) n 3. Ko je n 1 (mod 3), nam po razdelitvi grafa na bloke na koncu ostane ²e eno vozli² e, ki ni dominirano. ƒe v dominacijsko mnoºico vzamemo ²e to vozli² e, smo izbrali 1 + n 1 = n 3 3 vozli². Torej je res γ(cn ) n 3.

4.3. Poti 29 Poglejmo ²e zadnji primer, ko je n 2 (mod 3). V tem primeru nam na koncu ostaneta dve vozli² i, ki ²e nista dominirani. ƒe v dominacijsko mnoºico vzamemo ²e eno izmed preostalih vozli², ki dominira drugo, smo izbrali 1 + n 2 = n 3 3 vozli². Torej je tudi v tem primeru γ(cn ) n 3. Dokazali smo, da je γ(c n ) = n 3. 4.3 Poti Ponovno si najprej poglejmo nekaj primerov dominacijskih mnoºic poti prikazanih na sliki 4.3. (P 2 )=1 (P 3 )=1 (P4 )=2 (P 5 )=2 (P6 )=2 (P 7 )=3 Slika 4.3: Dominacijske mnoºice poti P n, 2 n 7 Kot vemo pot P n dobimo tako da ciklu C n odvzamemo povezavo med poljubnima vozli² ema. Tudi dominacijsko ²tevilo poljubne poti P n je enako dominacijskemu ²tevilu cikla C n, kar je lepo vidno na sliki 4.3. Podajmo naslednjo trditev. Trditev 4.3. Dominacijsko ²tevilo poljubne poti P n na n vozli² ih je γ(p n ) = n 3. Dokaz. Da je γ (P 2 ) = 1, je o itno. S pomo jo trditve 3.10 hitro vidimo, da je spodnja meja dominacijskega ²tevila poti P n, kjer je n 3, res n 3. Dokaºimo, da je n 3 tudi zgornja meja. Vemo, da pot Pn iz cikla C n dobimo tako, da mu odvzamemo poljubno povezavo. Izberimo poljubno dominacijsko mnoºico S cikla C n z n 3 elementi in izberimo neko vozli² e v / S. Tedaj je vsaj eden od sosedov u, w vozli² a v vsebovan v S. Brez ²kode za splo²nost naj bo u S. ƒe ciklu odstranimo povezavo vw, dobimo pot P n, za katero je S ²e vedno dominacijska mnoºica. Torej je γ (P n ) n 3 in zato γ(pn ) = n 3.

30 Poglavje 4. Dominacijsko ²tevilo nekaterih druºin grafov 4.4 Polni dvodelni gra Poglejmo si najprej nekaj primerov polnih dvodelnih grafov prikazanih na sliki 4.4, na podlagi katerih bomo hitro razbrali kak²no je dominacijsko ²tevilo za splo²en poln dvodelen graf. Vozli² a dominacijske mnoºice so na sliki obarvana rde e. (K 3,1 )=1 (K 1,4 )=1 (K 2,5 )=2 (K 3,3 )=2 Slika 4.4: Dominacijske mnoºice polnih dvodelnih grafov Pri polnih dvodelnih grah K m,n lahko med sabo lo imo dva primera in sicer je prvi primer ta, ko je n = 1 ali m = 1, drugi pa ko sta m 2 in n 2. Poglejmo si sedaj kak²no je dominacijsko ²tevilo za oba primera. Trditev 4.4. Dominacijsko ²tevilo polnega dvodelnega grafa je γ (K m,n ) = 2, razen v primeru, ko je m = 1 ali n = 1. Tedaj je γ (K m,n ) = 1 Dokaz. Poglejmo najprej primer, ko je m = 1 ali n = 1. Kot vemo za polni dvodelen graf velja, da lahko njegovo mnoºico vozli² V razdelimo na dve podmnoºici V 1 in V 2, tako da je vsako vozli² e iz ene mnoºice povezano z vsakim vozli² em iz druge mnoºice, vozli² a v isti mnoºici pa med seboj niso povezana. Predpostavimo, da je V 1 = 1 in V 2 = n. Torej mnoºica V 1 vsebuje eno samo vozli² e, ki je povezano z n vozli² i mnoºice V 2. O itno je ºe edino vozli² e iz V 1 dovolj za dominacijo celotnega grafa, zato velja γ(k 1,n ) = 1. Do enake ugotovitve bi pri²li, e je n = 1 in m poljubno celo ²tevilo ali pa bi bila in n = 1 in m = 1. ƒe sta m 2 in n 2, vzamemo za elementa dominacijske mnoºice poljubno vozli² e iz mnoºice V 1 in poljubno vozli² e iz mnoºice V 2. Ker je vsako vozli- ² e iz V 1 povezano z vsakim vozli² em iz V 2 in obratno, je dobljena mnoºica o itno dominacijska. Da bomo pokazali, da je njena kardinalnost, torej 2, tudi

4.4. Polni dvodelni gra 31 dominacijsko ²tevilo grafa, moramo najprej pokazati ²e, da velja γ (K m,n ) 1. Brez ²kode za splo²nost lahko predpostavimo, da je n m. Ker je m 2, zaradi trditve 3.10 sledi, da je γ (K m,n ) n+m 1+n n+2 n+1 = 2. Torej res velja γ(k m,n ) = 2 (m 2, n 2).

Poglavje 5 NP-polnost problema dolo itve dominacijskega ²tevila grafa Omenili smo ºe, da je iskanje dominacijskega ²tevila poljubnega grafa dolgotrajen postopek in zato problem uvr² amo med teºje. V tem poglavju bomo razpravljali o teºavnosti konstrukcije u inkovitega algoritma za iskanje dominacijske mnoºice grafa, katere kardinalnost je najmanj²a, kar nas bo pripeljalo do diskusije o NP-polnosti problemov. Povedali bomo, kaj pomeni, da je problem NP-poln in dokazali, da je problem dolo itve dominacijskega ²tevila NP-poln. Tukaj se bomo dotaknili samo tistih delov teorije NP-problemov in NP-polnosti, ki so potrebni za dokaz NP-polnosti problema dolo itve dominacijskega ²tevila grafa. Bralca, ki bi ºelel o tem izvedeti ve, napotimo k literaturi [9, 12]. 5.1 Razredi P, NP in NP-polnih problemov Algoritem je spisek natan no dolo enih navodil, ki nas pripeljejo do re²itve problema. Isti problem lahko re²imo z razli nimi algoritmi (na ve na inov), najbolj²i pa je obi ajno algoritem, ki za re²evanje problema porabi najmanj asa. S pomo jo asovne kompleksnosti merimo ali je dolo en algoritem za re²evanje problema u inkovit. ƒasovna kompleksnost algoritma predstavlja red velikosti za ²tevilo korakov (operacij), ki jih algoritem potrebuje za re²itev 32

5.1. Razredi P, NP in NP-polnih problemov 33 problema. ƒasovno kompleksnost algoritma ozna imo z notacijo O, odvisna pa je od velikosti vhodnih podatkov. Probleme kot so razvr² anje n celih ²tevil, iskanje najkraj²e poti med dvema vozli² ema v grafu, iskanje najcenej²ega vpetega drevesa v grafu in podobne lahko re²imo s pomo jo algoritmov, ki so u inkoviti in hitri. S tem ºelimo povedati, da potreben as za re²itev problema nara² a kot polinomska funkcija (kot n, n 2 ali n 3 ) v odvisnosti od velikosti vhodnih podatkov (²tevila celih ²tevil, ²tevila vozli² grafa, ²tevila povezav v grafu, itd.). Omenjeni problemi spadajo v tako imenovani razred problemov P. Razred P ozna uje razred problemov, katerih re²itev je mogo e dobiti s pomo- jo algoritma polinomske asovne kompleksnosti. ƒe povemo bolj natan no, je problem v razredu P, e obstaja konstanta k in algoritem, s pomo jo katerega dobimo re²itev poljubnega primera velikosti n tega problema v asu O(n k ). Primeri zgoraj omenjenih problemov so predstavljeni z mnoºico vhodnih podatkov, kot na primer z zaporedjem n celih ²tevil (pri razvr² anju), mnoºico n-tih parov (x, y) povezav v grafu, itd. Velikost vhodnih podatkov, ki je odvisna od kompleksnosti analize, lahko merimo kot ²tevilo bitov, ki so potrebni za njihovo predstavitev. Pri primeru razvr² anja velja, da e lahko katerokoli celo ²tevilo predstavimo s c biti, potem je n celih ²tevil, ki jih moramo razvrstiti, lahko predstavljeno z vhodnim podatkom velikosti O(cn). Velikost vhodnih podatkov je lahko tudi ²tevilo e povezav v grafu ali ²tevilo n + e vozli² in povezav v grafu. V vseh problemih med razli nimi moºnostmi i² emo ustrezno re²itev (ustrezno zaporedje ²tevil, drevo, pot, ujemanje, itd.). Poglejmo si ali tudi za re²evanje problema dolo itve dominacijskega ²tevila grafa obstaja kak algoritem in si poglejmo njegovo asovno kompleksnost. Dan imamo graf G = (V, E) z n vozli² i. O itno dominacijsko ²tevilo grafa leºi med 1 γ(g) n. Torej v vsakem grafu obstaja kon no ²tevilo moºnih dominacijskih mnoºic grafa G, katerih kardinalnost je najmanj²a. Algoritem za iskanje dominacijskega ²tevila grafa bi lahko implementirali tako, da bi algoritem najprej na²tel vseh 2 n podmnoºic vozli² grafa V (G) v nara² ajo em vrstnem redu glede na njihovo kardinalnost in za vsako dano mnoºico S V (G) preveril ali je S dominacijska ali ne. Dominacijsko ²tevilo grafa bi dobil tako, da bi vzel