Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Managementu Katedra stratégie a podnikania Aplikácia nekooperatívnej teórie hier v manažérskom rozhodovaní Diplomová práca Tomáš Kubiš Odbor: Manažment Špecializácia: Strategický manažment Vedúci diplomovej práce Doc. RNDr. Ján Pekár, PhD. Bratislava 2008
Čestné vyhlásenie Vyhlasujem, že som diplomovú prácu vypracoval samostatne s odbornou pomocou školitel a a s využitím uvedenj literatúry....................... Bratislava, september 2008
Pod akovanie Chcel by som sa v prvom rade pod akovat môjmu školitel ovi, pánovi Doc. RnDr. Jánovi Pekárovi, PhD., za jeho odborný dohl ad a cenné rady. Vd aka patrí aj Národnému štipendijnému fondu, ktorý mi umožnil navštevovanie prednášok zameraných na teóriu hier a prístup k literárnym zdrojom počas študijného pobytu na Humboldtovej univerzite v Berlíne.
Abstrakt V prvej časti tejto práce (kapitoly 1, 2 a 3) je spracovaná teoretická stránka základných konceptov nekooperatívnej teórie hier, pričom je pozornost zameraná na interpretáciu používaných matematických konštruktov. Pochopenie tohto teoretického základu je nevyhnutné pre schopnost uplatnit tieto metódy rozhodovania v praxi. V druhej časti je predstavená úloha teórie hier v manažérskom rozhodovaní a metodický rámec modelovania hier (kapitola 4). Ďalej je tu predstavené riešenie niekol kých prípadových štúdií s tematickým zameraním na strategický manažment, ktoré demonštrujú možnosti využitia teórie hier v manažérskom rozhodovaní (kapitoly 5 a 6). Hlavným ciel om tejto práce je poskytnút predstavu o možnostiach využitia tejto teórie rozhodovania v manažérskej praxi, ale aj identifikáciu možných obmedzení. Teória hier nenahrádza štandardné nástroje manažérskeho rozhodovania, ale je ich vhodným doplnkom. Môže byt prínosom najmä pri analýze problémov, v ktorých prostredie vplýva na subjekt rozhodovania a prijaté rozhodnutia spätne ovplyvňuje prostredie. Takéto typy rozhodnutí nie sú v manažérskej praxi a obzvlášt v strategickom manažmente zriedkavé. Teória hier je neutrálnou analýzou, ktorá neskúma interakciu z pohl adu jedného subjektu, ale snaží sa nájst také ekvilibrium, v ktorom je správanie všetkých subjektov navzájom konzistentné. Model teórie hier sa bez dodatočných empirických dôkazov nedá považovat za platnú deskriptívnu teóriu rozhodovania. Schopnost predpovedat výsledok interakcie, prípadne ekvilibrium interakcie poskytuje výhodu, ktorú manažéri môžu využit vo svoj prospech. Ekvilirbium hry sa dá za určitých špecifických podmienok použit na identifikáciu optimálneho rozhodnutia a teda teória hier sa môže v praxi uplatnit ako normatívna teória rozhodovania. Kl účové slová: teória hier, manažérske rozhodovanie, stratégia, konkurencia
Obsah Zoznam obrázkov Zoznam tabuliek iii iv Úvod 1 I Úvod do nekooperatívnej teórie hier 5 1 Základné definície 6 1.1 Hra............................. 7 1.2 Hráč............................ 11 1.3 Informácie......................... 12 1.4 Stratégia.......................... 15 1.5 Hra v strategickom tvare................. 19 1.6 Bayesovské hry...................... 21 2 Statické hry 26 2.1 Eliminácia dominovaných stratégií............ 27 2.2 Nashove ekvilibrium................... 31 2.3 Bayesovo-Nashove ekvilibrium.............. 37 3 Dynamické hry 40 3.1 Nashove ekvilibrium................... 41 3.2 Vzhl adom na podhry dokonalé ekvilibrium....... 43 3.3 Dokonalé Bayesove ekvilibrium............. 45 3.4 Opakované hry...................... 47 i
II Aplikácia teórie hier na vybrané problémy manažerského rozhodovania 50 4 Teória hier a manažérske rozhodovanie 51 4.1 Úloha teória hier v manažérskom rozhodovaní..... 52 4.2 Modelovanie hier..................... 56 4.3 Obmedzenia teórie hier v manažerskom rozhodovaní.. 60 5 Teórie hier ako pozitívna teória rozhodovania 66 5.1 Väzňova dilema vs. cenové vojny............ 67 5.2 Hra Jastrab a holubica vs. vstup na malý trh...... 74 5.3 Signalizačné hry vs. kvalita produktov a cena..... 80 6 Teória hier ako normatívna teória rozhodovania 91 6.1 Vstup na trh....................... 92 6.2 Strategická investícia................... 99 Záver 108 A Články z tlače I A.1 Väzňova dilema vs. cenové vojny............ I A.2 Hra Jastrab a holubica vs. prirodzený monopol.... II B Poradenské spoločnosti zamerané na aplikácie teórie hier IV ii
Zoznam obrázkov 1.1 Príklad hry v extenzívnom tvare............. 10 1.2 Asociovaná hra...................... 20 1.3 Ďalšia extenzívna hra k asociovanej hre na obrázku 1.2. 20 1.4 Zmena vzt ahov dominancie pri transformácii hry... 21 2.1 Reakčné funkcie pre firmy v Cournotovom modeli trhu 30 2.2 Diagram relácie najlepšej odpovedi........... 35 3.1 Jednoduchá hra s dvomi Nashovými ekvilibriami.... 42 3.2 Hra bez (netriviálnych) podhier............. 44 4.1 Proces modelovania hier................. 58 5.1 Opakované upravovanie cenových rozhodnutí (m = 2). 70 5.2 Signalizačná hra...................... 82 6.1 Vstup na trh - scenár č. 1................. 93 6.2 Vstup na trh - scenár č. 2................. 95 6.3 Vstup na trh, kde sa rozhoduje Loka ako prvá za prítomnosti externého rizika................. 98 6.4 Interakcia firiem imobile a T-Blue pri uvedení produktu na trh............................ 101 6.5 Konkurenčné správanie firiem v závislosti od výšky dopytu.106 iii
Zoznam tabuliek 1.1 Inštancie hry....................... 13 2.1 Jednoduchá hra obsahujúca dominované akcie..... 29 2.2 Hra bez Nashovho ekvilibria............... 35 2.3 Hra s viacerými Nashovými ekvilibriami........ 35 2.4 Hra s viacerými Nashovými ekvilibriami........ 38 2.5 Asociovaná hra k Bayesovskej hre v tabul ke 2.4..... 38 5.1 Cenová vojna medzi obchodnými ret azcami...... 68 5.2 Hra Jastrab a holubica na príklade dvoch firiem.... 75 5.3 Stratégie predávajúceho s ohl adom na vzt ah cena-kvalita. 82 6.1 Zisky pre Krepsi a Loku pre rôzne kombinácie stratégií. 92 6.2 Zisky pre Krepsi a Loku pre prípad vstupu diskontného ret azca........................... 96 6.3 Parametre a ich hodnoty.................. 100 6.4 Parametre a ich hodnoty.................. 107 iv
Úvod Teória hier je čast matematiky zaoberajúca sa problematikou rozhodovania v situáciách, kedy subjekty rozhodovania navzájom interagujú. Teoretický základ tejto teórie bol položeny v práci von Neumann a Morgenstern (1953), ktorá svojou matematickou eleganciou určila d alší smer rozvoja tejto oblasti. V súčasnosti sa teória hier dá rozdelit na dve vetvy. Jedna sa zaoberá teoretickou stránkou a zdokonalovaním konceptov riešenia hier a druhá vetva sa zameriava na aplikáciu teórie hier pri riešení praktických problémov. Táto práca, ktorá sa snaží skúmat potenciálny prínos teórie hier v manažérskom rozhodovaní, sa radí do druhej vetvy - aplikovanej teórie hier. Motivácia pre vznik teórie hier vyšla z praxe. Vznikla z potreby teoretického rámca pre analýzu ekonomických situácií, v ktorých je výsledok trhových subjektov ovplyvnený ich vzájomnou interakciou, a preto sú ich rozhodnutia prepojené. Ekonómia nie je jediná oblast, v ktorej poznatky teórie hier našli svoje uplatnenie. Medzinárodné politické konflikty boli po ekonómii d alšou arénou pre rozvoj teórie hier (Schelling (1980)) a prispela aj k zefektívneniu bojových techník. V biológii prispela teória hier k objasneniu a modelovaniu evolučných mechanizmov (Maynard-Smith a Price (1973)). Skúmanie sociálnych situácií v psychológii je oblast ou, v ktorej zohráva teória hier tiež významnú úlohu. Behaviorálna teória hier je jednou z najdynamickejšie sa rozvíjajúcich častí tejto teórie s ciel om prepojit elaborované teoretické koncepty teórie hier so skutočnou povahou rozhodovacích procesov l udí. V teórii umelej inteligencie slúžia koncepty teórie hier na modelovanie správania inteligentných agentov. O vymenovanie všetkých aplikácií teórie hier sa tu nedá ani uvažovat. Naskytuje sa však otázka, 1
či táto populárna teória môže byt prínosom aj v oblasti manažérskeho rozhodovania. Preskúmanie možnosti použitia teórie hier v manažérskom rozhodovaní je hlavnou tézou tejto práce. Manažéri zastupujú záujmy firmy a musia často robit rozhodnutia, ktoré sa odohrávajú v širokom kontexte. Nielenže musia brat do úvahy faktory prostredia, ale musia zobrat do úvahy aj to, aký dopad bude mat ich rozhodnutie spätne na prostredie. Manažéri sú iba jedným elementom v komplexnom systéme, vymedzenom vnútorným prostredím firmy a firma samotná je iba jedným z elementov trhového systému. Vzájomná prepojenost týchto elementov nedovol uje vnímat takmer žiadny problém ako izolovaný. Rozhodovanie v takýchto podmienkach si vyžaduje špeciálnu teoretickú bázu pre manažment ako vednú disciplínu a takisto zbierku analytických techník pre manažment ako profesiu, prípadne ako firemný proces. Teória hier môže predstavovat jednu z týchto analytických techník. Manažéri do praxe prichádzajú vyzbrojení množstvom nástrojov, ktoré im pomáhajú lepšie analyzovat problémy a zlepšit tak ich schopnost rozhodovat sa. Väčšina týchto nástrojov nezohl adňuje jeden významný aspekt, ktorým je spätná väzba prostredia. V teórii hier je tento aspekt integrálnou súčast ou modelov a ich riešenia, čo podčiarkuje jeho potenciálny význam pri použití v praxi. Táto diplomová práca sa bude snažit o predstavenie metodického rámca, s použitím ktorého budú manažéri schopní analyzovat rozhodovacie problémy pomocou teórie hier. Žiadna teória nie je univerzálna a obzvlášt jej aplikácia v praxi podlieha určitým obmedzeniam. Bez preskúmania týchto obmedzení by bola táto práca nekompletnou. Teória hier je vel mi rozsiahla oblast a preto je nevyhnutné vymedzit zameranie tejto diplomovej práce. Teória hier sa delí na nekooperatívnu teóriu hier a kooperatívnu teóriu hier 1. Táto práca sa zameriava 1 Kooperatíva teória hier sa pozerá na problém rozhodovania z iného uhla a skúma formovanie koalícií medzi hráčmi. Už jednoduché modely kooperatívnej teórie hier sa v kontexte manažérskeho rozhodovania dajú použit na formalizáciu konceptu hodnotového ret azca a pridanej hodnoty, takže aj táto oblast skrýva potenciál pri aplikáciách v manažmente. 2
na nekooperatívnu teóriu hier. Pod pojmom teória hier sa preto v tejto práci bude rozumiet nekooperatívna teória hier. Treba podotknút, že pomenovanie nekooperatívna nepochádza z neochoty subjektov rozhodovania navzájom kooperovat, ale z faktu, že svoje rozhodnutia robia samostatne a snažia sa maximalizovat svoj vlastný úžitok bez ohl adu na úžitok ostatných. Táto diplomová práca je rozdelená na dve časti. Prvá, teoretická čast predstavuje úvod do problematiky nekooperatívnej teórie hier s dôrazom na interpretáciu teoretických konštruktov, ktorá je dôležitá pre aplikáciu v praxi. Druhá čast sa zaoberá samotnou aplikáciou teórie hier v manažérskom rozhodovaní a poskytuje okrem metodických otázok implementácie demonštráciu použitia teórie hier pri použití na vysvetlenie reálnych trhových fenoménov a riešenie rozhodovacích problémov. Prvá čast sa d alej delí na tri kapitoly. V kapitole 1 sú definované základné matematické štruktúry, ktoré sa používajú na modelovanie hier. Ďalej je tu objasnený význam odborných výrazov, ktorý sa v teórii hier odlišuje od ich významu pri bežnom použití. V kapitolách 2 a 3 sú predstavené koncepty riešenia hier, pričom v prevej z týchto kapitol sa jedná o hry v strategickej forme a v druhej o hry v extenzívnej forme. Druhá čast takisto pozostáva z troch kapitol. Kapitola 4 premost uje teóriu hier s manažérskym rozhodovaním. V tejto kapitole sú vymedzené charakteristiky problémov, na analýzu ktorých je teória hier vhodným nástrojom, je tu predstavený metodický rámec na vytvorenie modelu hry a takisto obmedzenia, ktorých si musia byt manažéri pri použití v praxi vedomí. V kapitolách 5 a 6 sú aplikované koncepty riešenia z predchádzajúcej časti na reálne problémy. V týchto aplikáciách je pozornost venovaná analýzam konkurenčného prostredia a problematikám strategického manažmentu, ako prirodzeným oblastiam, kde sa teória hier môže uplatnit. Aplikácie teórie hier sú rozdelené na teórie hier ako pozitívnej teórie rozhodovania a teórie hier ako nor- 3
matívnej teórie rozhodovania. V kapitole 5 je teória hier použitá na vysvetlenie mechanizmov trhových fenoménov ako cenové vojny alebo vznik prirodzeného monopolu. V kapitole 6 je teória hier použitá ako nástroj rozhodovania na podporu rozhodnutí firiem v konkurenčných podmienkach. 4
Čast I Úvod do nekooperatívnej teórie hier 5
Kapitola 1 Základné definície Teória hier je disciplínou aplikovanej matematiky, ktorá sa zaoberá analýzou interakcií medzi racionálnymi subjektmi, ktorých úžitok závisí nielen od ich individuálnych akcií, ale aj od akcií ostatných subjektov. Ciel om teórie hier je modelovat rozhodovacie procesy a následné správanie subjektov v takýchto situáciách. Táto teória vznikla z potreby skúmania ekonomických javov, ale je aplikovaná vo vel kom množstve d alších disciplín ako biológia, informatika alebo politológia. V teórii hier ako matematickej disciplíne sú pojmy jednoznačne definované a v mnohých prípadoch majú iný význam ako pri bežnej komunikácii. Táto kapitola sa zaoberá spôsobom, ako sa v teórii hier interakčné situácie modelujú pomocou matematických štruktúr. Aj ked sa v niektorých prípadoch jedná o čisto technické aspekty, ich osvojenie je nevyhnutným krokom pred uvedením konceptov riešenia hier, ktoré sa dajú použit na modelovanie interakčných situácií a následne ako preskriptívna teória rozhodovania. V časti 1.1 bude predstavený pojem hra. S pojmom hra sa každý bežne stretáva. Tento pojem sa používa na pomenovanie rôznych situácií v rôznych oblastiach života (šport, divadlo, pedagogika atd.). Ako centrálny pojem teórie hier má hra iný význam a preto je na úvod tejto práce potrebné uviest jeho formálnu definíciu. V časti 1.2 je stručne popísaný význam pojmu hráč, ktorý je základným elementom hry. Vplyv prostredia a prakticky l ubovol ný vplyv pravdepodobnosti na úžitok hráčov je modelovaný podobným 6
spôsobom ako inteligentní hráči, ktorí robia vedomé rozhodnutia. Je tu tiež objasnený vzt ah medzi pojmami hráč a agent. Čast 1.3 sa venuje problematike informácií v teórii hier. Informácie sú v praxi často rozhodujúcim faktorom a preto majú vel kú úlohu aj v teórii hier ako teórii rozhodovania, ktorá má pomôct objasnit správanie hráčov v realite. Spôsob, akým sa modelujú informácie hráčov v priebehu hry je integrálnou súčast ou hry a informácie majú významnú úlohu pri niektorých konceptoch riešenia. Stratégia je d alší z pojmov, ktorý je v teórii hier presne definovaný a jeho význam sa odlišuje od chápania v manažmente. Vo svojej podstate nie je však úplne rozdielny. Tak ako stratégia podniku určuje správanie firmy, tak stratégia hráča určuje jeho správanie vo všetkých situáciách, ktoré môžu nastat. Stratégiou v teórii hier sa zaoberá čast 1.4. So stratégiou súvisí dôležité zjednodušenie konceptu hry, ktoré sa používa najmä pri jednorazových situáciách, v ktorých robia hráči svoje rozhodnutia simultánne. Jedná sa o hru v strategickom tvare, ktorá je popísaná v časti 1.5. Aj ked sa každá hra v extenzívnom tvare dá redukovat na hru v strategickom tvare, táto transformácia je spojená so stratou niektorých detailov hry. Napriek tomu predstavovala táto forma hry východiskový bod pre rozvoj teórie hier a stále je jej neoddelitel nou súčast ou. Na problematiku nekompletných informácií z časti 1.3 nadväzuje čast 1.6. Je tu predstavená Harsanyiho transformácia hry, ktorá predstavuje jednoduchý a elegantný spôsob, akým sa teória hier aspoň čiastočne vyrovnáva s rozhodovaním v podmienkach obmedzenej racionality. Na modelovanie nekompletnosti a asymetrie informácií je v teórii hier použitý Bayesovský prístup založený na priradení pravdepodobnosti rôznym scenárom. 1.1 Hra Pojem hra nesie so sebou v teórii hier vysoký stupeň abstrakcie. Hra je chápaná ako abstraktná štruktúra, pomocou ktorej sa modelujú in- 7
terakčné situácie a ktorá je jednoznačne určená svojimi pravidlami. Konkrétna reprezentácia vývoja takto modelovanej situácie bude označovaná ako inštancia hry, prípadne aj ako hra, ak kontext dovolí jednoznačné priradenie významu. Rozdiel vo význame týchto dvoch výrazov sa dá ilustrovat na príklade hry šach. Tu sa rozumie pod hrou samotná hra šach a pod inštanciou hry jeden konkrétny zápas reprezentovaný konkrétnymi t ahmi hráčov, napr. e4, e5 atd. Definícia 1 (podl a Kuhn (1953)) Hra Γ s n hráčmi je (konečný) strom T s nasledovnými špecifikáciami: Rozdelenie hráčov H, ktoré rozdel uje jednotlivé vrcholy grafu, nazývané t ahy, na n množín H 1,..., H n podl a toho, ktorý hráč z 1,..., n je na t ahu. Zvláštna množina H 0 H slúži na identifikáciu pravdepodobnostných t ahov. Informačné rozdelenie I, ktoré rozdel uje vrcholy grafu do množín podl a informovanosti príslušného hráča, ktorý je na t ahu. Ak bude rozdelenie vrcholov podl a počtu príslušných alternatív označená ako A a jej člen reprezentujúci t ahy s j alternatívami ako A j, potom pre každý člen I partície I, ktorý sa nazýva informačná množina, platí: I H i A j, pričom I neobsahuje dva t ahy, kotré ležia na rovnakej inštancii hry. Pre každú informačnú množinu I, pre ktorú platí: I H 0 A j, je potrebné definovat pravdepodobnostné rozdelenie alternatív t ahu: p(1),..., p(j) s p(i) 0 pre i = 1,..., j. Úžitková funkcia u(v) = (u 1(v),..., u n (v)) pre každú inštanciu hry v. Ako je z definície jasné, hra sa chápe ako strom, t.j. graf, v ktorom sú l ubovol né dva vrcholy spojené presne jednou jednoduchou cestou. Hra bude v práci označovaná ako Γ a tento symbol môže byt v 8
prípade potreby doplnený o index. Strom hry T je zložený z vrcholov a z hrán. Počiatočný vrchol, ktorý je obsiahnutý v každej ceste, bude označovaný ako o. Ostatné vrcholy hry, ktoré sú označované znakmi a, b,..., predstavujú t ahy, prípadne výsledky. Uzly hry sú spojené hranami A, B,..., ktoré sú označené indexmi 1,..., j. Tieto hrany predstavujú akcie, ktoré sú hráčovi k dispozícii pri rozhodovaní v danom t ahu. Množina všetkých ackií sa bude označovat ako A. Množina akcií, ktorými hráč môže disponovat v informačnej množine I sa bude označovat ako A(I) 1. Akcie prislúchajúce danému t ahu sú incidentné v jednom vrchole. Množina všetkých vrcholov, ku ktorým vedú hrany z vrcholu x sa bude označovat ako S(x). Na množine vrcholov je definovaná lineárna relácia predchádzania. Táto relácia určuje poradie uzlov na ceste vedúcej k l ubovol nému uzlu, pričom x pred y práve vtedy, ked y C o,x, kde C o,x je cesta spájajúca vrcholy o a x. Táto cesta bude označovaná ako história hry pre rank t, h t, ktorá predstavuje informácie obsiahnuté v predošlých rozhodnutiach. Množina všetkých uzlov, ktoré predchádzajú uzlu x sa bude označovat ako P (x). Takisto je na množine vrcholov definovaná aj funkcia P red n (x), ktorá vrcholu x priradí jeho n-tého predchodcu v strome hry. V súvislosti s touto funkciou je definovaná ešte funkcia α : T o A, ktorá priradí každému vrcholu x alternatívu z množiny A(P red 1 (x)), ktorá k nemu viedla. Ranková funkcia prirad uje l ubovol nému t ahu X číslo, ktoré zodpovedá počtu t ahov na ceste C O,X, teda počet všetkých Y Γ, kde Y X. Vrchol O má rank 1. Uzly, ktoré majú akcie sa nazývajú t ahy. Súčast ou hry sú aj vrcholy, ktoré nemajú akcie. Tieto sa nazývajú výsledky a sú jednoznačne popísané cestou, ktorá k nim vedie. Každý výsledok tak reprezentuje možnú inštanciu hry. Výsledky budú označované ako v 1, v 2,... a ich množina ako V. Ako je vyššie spomenuté, hra je jednoznačne určená svojimi pravidlami. Pravidlami hry sa teda v teórii hier rozumie strom hry spolu 1 Predpokladá sa, že každá akcia z množiny A(I) je dostupná vo všetkých vrcholoch x I. Viaceré hrany tak môžu predstavovat rovnakú akciu. 9
o A B a b C D E F G c d e f g v 1 H I v 2 v 3 J K v 4 v 5 L M v 6 N v 1 v 8 O P v 9 Q v 10 Obrázok 1.1: Príklad hry v extenzívnom tvare s pravdepodobnostnými rozdeleniami pravdepodobnostných t ahov a úžitkovou funkciou všetkých hráčov. V hre sú definované nasledovné rozdelenia 2 množiny t ahov: Rozdelenie hráčov H, ktoré rozdel uje množinu t ahov na podmnožiny H 0,..., H n. Každá podmnožina H i obsahuje iba t ahy, v ktorých robí rozhodnutie hráč i. Funkcia h : T N priradí každému vrcholu x T hráča, ktorý je v danom vrchole na t ahu. Rozdelenie akcií A, ktoré rozdel uje množinu t ahov na podmnožiny A 1, A 2... podl a počtu alternatív, ktoré stoja hráčovi v t ahu k dispozícii. Rozdelenie rankov R, ktoré rozdel uje t ahy hry na podmnožiny R 1, R 2,... podl a toho, aký rank im priradila ranková funkcia. Všetky t ahy, ktoré majú rovnaký rank, predstavujú pre príslušného hráča abstraktnú možnost urobit rozhodnutie. Rozhodnutím sa označuje vol ba konkrétnej akcie spomedzi alternatív. Dĺžka hry je definovaná ako maximálny rank výsledného uzla hry. Príklad 1 (Hra) Na obrázku 1.1 je zobrazený príklad stromu hry vo všeobecnom tvare. Na to, aby bola 2 Rozdelením množiny sa rozumie systém disjunktných podmnožín, pričom každý prvok množiny patrí práve jednému elementu rozdelenia. 10
hra kompletná, je potrebné definovat rozdelenia pre vrcholy a úžitkovú funkciu. Ak je prvý t ah pravdepodobnostný, v druhom rozhoduje hráč 1 a v tret om t ahu hráč 2, tak rozdelenie hráčov má nasledovný tvar H = {H 0, H 1, H 2 } = {{o}, {a, b}, {c, d, e, f, g}}. Ďalej je pre pravdepodobnostný t ah vo vrchole o H 0 A 2 potrebné definovat pravdepodobnostné rozdelenie, napr (0.8, 0.2). Pre každého z hráčov pravidlá hry požadujú priradenie úžitku ku každému z výsledkov v 1,..., v 10. Prvému vrcholu vo výsledkovej množine bude priradená usporiadaná dvojica (u 1 (v 1 ), u 2 (v 1 )). 1.2 Hráč Základným elementom hry sú hráči, ktorých rozhodnutia v jednotlivých t ahoch určujú výsledok hry. Von Neumann a Morgenstern (1953) rozlišujú dva typy hráčov. Hráči prvého typu robia rozhodnutia maximalizujúce ich úžitok podl a vlastnej vôle a budú označovaní číslami 1,..., n. Hráči druhého typu nie sú hráčmi v pravom slova zmysle, lebo robia rozhodnutia náhodným výberom podl a pravdepodobnostného rozdelenia alternatív. Slúžia na modelovanie tej zložky reality, na ktorú rozhodnutia hráčov nemajú vplyv a ktorú hráči s určitost ou nevedia predpovedat. Jedná sa väčšinou o externé faktory prostredia. V tejto práci bude t ah, v ktorom robí rozhodnutie hráč druhého typu, pomenovaný ako pravdepodobnostný t ah. V príklade 1.1 môže pravdepodobnostný t ah vo vrchole o predstavovat dva stavy dopytu v budúcnosti - vysoký dopyt s pravdepodobnost ou 80% a s pravdepodobnost ou 20% nízky dopyt. Ak je v hre viac pravdepodobnostných t ahov, tieto sú navzájom nezávislé a stanovené nezávisle od rozhodnutí ostatných hráčov. Niektoré hry vyžadujú, aby hráč nevedel určit svoju pozíciou v strome hry. Tento problém bol v Kuhn (1953) vyriešený zavedením tzv. agentov. Agenti sú samostatné subjekty, ktoré sú priradené ku každej informačnej množine I v hre bijektívnou reláciou. Agenti sú podl a rozdelenia H zoskupení do hráčov 1,..., n. Hráč je teda tvorený zoskupením príslušných agentov. 11
1.3 Informácie Hráči robia rozhodnutia na základe informácii, ktoré sú im podl a pravidiel hry prístupné. Informovanost hráča je preto integrálnou súčast ou definície hry. Ked že inštancia hry je jednoznačne určená rozhodnutiami v jednotlivých t ahoch, všetky informácie o hre sú obsiahnuté v predchádzajúcich rozhodnutiach všetkých hráčov. Informovanost hráča je charakterizovaná jeho informačnou množinou pre daný rank i. Popis informovanosti hráča v Kuhn (1953), ktorý bude v tejto práci d alej používaný, bude pre lepšie pochopenie prepojený s konceptom teórie množín z práce von Neumann a Morgenstern (1953). Základnou množinou popisujúcou hru je množina Ω, ktorá je súborom všetkých inštancií hry dosiahnutel ných podl a pravidiel. Jedná sa teda o množinu usporiadaných l-tíc (l je dĺžka hry), ktorých elementy predstavujú rozhodnutia hráčov. Ak rozhodnutie pre rank t označíme symbolom ρ t, tak inštancia hry je charakterizovaná usporiadanou l-ticou (ρ 1,..., ρ l ). Táto množina je rozdelením d alej rozdelená na podmnožiny X t, ktoré charakterizujú množstvo informácií obsiahnutých v hre pre rank t. V jednej množine X t X t sú výsledky, pre ktoré sa prvých t 1 členov ρ 1,..., ρ t 1 zhoduje, čiže sú charakterizované rovnakou postupnost ou rozhodnutí pred rankom t. Podl a toho, ktorý hráč je v t ahu t na rade, je množina Ω rozdelená rozdelením Y na podmnožiny Y t (i). Tieto združujú inštancie hry, v ktorých je pre rank t hráč i na t ahu. Ked že rozhodnutie hráča i môže nasledovat po rôznych históriách hry, je rozdelenie X t subrozdelením rozdelenia Y t. To znamená, že každý člen rozdelenia X je obsiahnutý v nejakom členovi rozdelenia Y. Nakol ko hráčovi v danom momente nemusia byt známe všetky informácie o priebehu hry, je potrebné definovat informačné rozdelenie pre každého hráča j {1,..., n} pre rank i Z t (i). Toto rozdelenie má množiny Y t (i) obsiahnuté ako subrozdelenia v disjunktných množinách Z t podl a informovanosti hráča. Ked že hráč nemôže mat pre rank t viac informácií, ako je obsiahnuté v celej hre, je X t subrozdelením v Z t. Čím má informačná množina menej elementov, tým má hráč viac informácií 12
v 1 (o, a, c, v 1 ) v 6 (o, a, e, v 6 ) v 2 (o, a, c, v 2 ) v 7 (o, b, f, v 7 ) v 3 (o, a, d, v 3 ) v 8 (o, b, g, v 8 ) v 4 (o, a, d, v 4 ) v 9 (o, b, g, v 9 ) v 5 (o, a, e, v 5 ) v 10 (o, b, g, v 10 ) Tabul ka 1.1: Inštancie hry a vie tak lepšie posúdit svoju situáciu (v ktorom vrchole stromu pre daný rank sa nachádza). Množina Z t (i) je rozdelená na j disjunktívnych podmnožín C t (k) podl a toho, aké rozhodnutie je priradené t ahu t pre k {1,..., j}. Údaje o informáciách v definícii 1 sa dajú z týchto množín odvodit nasledovným spôsobom. Množina X t predstavuje pre každý rank jeden vrchol grafu Γ, ked že táto množina zahŕňa všetky informácie o priebehu rozhodnutí a každá inštancia prebieha práve jedným vrcholom v každom t ahu. Pre každý t ah t existuje rozdelenie C t, ktoré rozdel uje inštancie hry podl a zvolenej alternatívy k v danom t ahu na podmnožiny C t definované ako v predchádzajúcom odseku. Dva vrcholy a, b : a p redb sú spojené hranou, ak platí: X b = X a C a. V definícii 1 je informačná množina hráča pre daný t ah označovaná ako I a jedná sa o množinu vrcholov stromu hry, pre ktorú platí: I = {X t : X t Z t }, pričom I je definované pre každé Z t Z t (i), kde i = 1,..., n. Opät platí, čím menej elementov má množina I, tým lepšie dokáže hráč určit svoju pozíciu v strome hry. Množina všetkých informačných množín hráča i sa bude označovat I i. Príklad 2 (Rozdelenia hry) Na obrázku 1.1 je zobrazená hra v extenzívnom tvare. V tabul ke 1.1 sú vymenované všetky inštancie hry, ktoré môžu v tejto hre nastat. Existuje bijektívne zobrazenie z množiny inštancií hry do množiny výsledkov hry. Na reprezentovanie určitej inštancie sa preto bude d alej používat označenie výsledok hry. Množina Γ má tvar: Ω = {v 1,..., v 10 } 13
Táto množina je rozdelením X t rozdelená pre jednotlivé ranky nasledovne: X 1 = Ω X 2 = {{v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 }, {v 7, v 8, v 9, v 10 }} X 3 = {{v 1, v 2 }, {v 3, v 4 }, {v 5, v 6 }, {v 7 }, {v 8, v 9, v 10 }} = {o} = {{a}, {b}} = {{c}, {d}, {e}, {f}, {g}} X 4 = {{v 1 },..., {v 10 }} V jednom ranku sa jedna množina X t dá vyjadrit ako jeden vrchol, ktorý pre všetky inštancie v X t zodpovedá jednému vrcholu na t-tej pozícii. Rozdelenie Y d alej zohl adňuje, ktorý hráč je na t ahu pre jednotlivé inštancie. Napríklad pre rank t = 2 platí: Y 2 = {Y 2 (0), Y 2 (1), Y 2 (2)} = {{ }, {v 1,..., v 10 }, { }} = {{ }, {a, b}, { }} Konečne rozdelenie Z t (i) určuje, ktorý hráč má aké informácie k dispozícii pre rank t. Napríklad pre t = 3 platí: Z 3 (2) = {{v 1,..., v 6 }, {v 7 }, {v 8,..., v 10 }} Z toho vyplýva nasledovné pre rozdelenie mathcali 2 v tejto hre nasledovné: I 2 = {{c, d, e}, {f}, {g}} V hre s dokonalými informáciami sú pravidlá hry verejnou informáciou, takže sú známe všetkým hráčom. Strom hry sa dá obrazne prirovnat k mape, ku ktorej má každý hráč prístup. Informovanost hráča sa odráža v tom, ako presne dokáže určit svoju polohu na tejto mape. Ked má úplné informácie o všetkých predošlých t ahoch, tak vie určit presný vrchol stromu hry, v ktorom sa práve nachádza. Príkladom hry s dokonalými informáciami je šach, kde všetky informácie o predošlých t ahoch sú obidvom hráčom známe. V realite sú ovel a bežnejšie nedokonalé informácie, kedy hráč nevie presne, v ktorom vrchole sa nachádza. Takéto hry sa nazývajú hry s nedokonalými informáciami. Skupina vrcholov, v rámci ktorej hráč nevie rozlíšit svoju pozíciu, tvorí jednu informačnú množinu. Ďalším informačným kritériom, podl a ktorého sa hry rozdel ujú je ich kompletnost. V hrách s kompletnými informáciami majú hráči 14
úplné informácie o pravidlách hry. Podl a Harsanyi (1967-68) existujú tri spôsoby ako vzniká nekompletnost informácií v hre: hráči nepoznajú výsledkovú funkciu, ktorá každému strategickému profilu priradí fyzický výsledok, hráči nepoznajú úžitkové funkcie ostatných hráčov a tak nevedia presne určit ich úžitok v konkrétnom strategickom profile, hráči nepoznajú úplný strategický priestor ostatných hráčov, prípadne svoj vlastný. Pri modelovaní trhovej situácie za účelom prijatia podnikových informácií sa prvý prípad týka predikcie toho, ako trh zareaguje na určitú kombináciu rozhodnutí firiem. Takéto predpovede o miere dopytu, vývoji ceny alebo výsledku vstupu na nový trh sú vždy spojené s mierou neurčitosti. Druhý bod sa týka výpočtu úžitku, ktorý sa snažia firmy svojimi rozhodnutiami maximalizovat. Pre zjednodušenie môže byt úžitok firmy vyjadrený ziskovou funkciou. Náklady alebo výnosy vyplývajúce z rozhodnutia firmy sú vo väčšine prípadov neverejnými informáciami a ich odhad je často nepresný. Zisk navyše nie je jediným faktorom, na základe ktorého firmy robia rozhodnutia. V tret om prípade sa jedná o neurčitost ohl adom alternatív, ktoré stoja firmám na trhu k dispozícii. Identifikácia všetkých alternatívnych akcií je pomerne náročná úloha už z pohl adu samotnej firmy. V prípade identifikácie alternatív konkurentov je spojená ešte s vyššou mierou neurčitosti. Príkladom je odhad produkčnej kapacity firmy, interval pre pohyb cien, rozpočet na výskum a vývoj a iné. Uvedené demonštruje nedostatočnost štandardného modelu hry už pri bežných rozhodovacích problémoch firiem. Rozšíreniu všeobecného modelu hry pre situácie s nekompletnými informáciami je venovaná čast 1.6. 1.4 Stratégia Pojem stratégia predstavuje v teórii hier vyčerpávajúci plán akcií, resp. rozhodnutí pre hráča, ktorý berie do úvahy všetky eventuality hry. 15
Stratégia hráča stanovuje, aké rozhodnutie v danom t ahu urobí v závislosti od informačnej množiny, v ktorej sa nachádza. Rozhodnutia sú priradené aj t ahom v informačných množinách, ktoré nebudú nikdy dosiahnuté, pokial bude hráč nasledovat svoju stratégiu. Nejedná sa však o redundantné informácie, pretože slúžia ako očakávania iných hráčov pri racionálnom výbere ich vlastnej stratégie, a to nielen pre prípad kedy hráč i sleduje svoju stratégiu, ale aj ked sa od nej odchýli. Dôležitým predpokladom, ktorý vyplýva z tejto interpretácie je, že očakávania hráčov v súvislosti s akciami iných hráčov sú homogénne. Hráči nevykonávajú rozhodnutia podl a toho, ako sa hra vyvíja, ale všetky rozhodnutia sú v podobe stratégií hráčov formulované už pred začiatkom hry. Tým sa bez straty všeobecnosti eliminuje časový faktor hry, pretože stratégia predstavuje vyčerpávajúci kontingenčný plán, v ktorom sú určené akcie pre všetky eventuality. Definícia 2 (podl a Kuhn (1953)) Čistá stratégia je funkcia s i (I), ktorá predstavuje zobrazenie z množiny informačných množín hráča i J i = {I : I H i } do množiny alternatív hráča v príslušnom t ahu. Takže pre I A j platí, že s i (I) j. Ak s i (I) = a, tak hráč i sa rozhodol v danom t ahu pre alternatívu a. Usporiadaná n-tica stratégií všetkých hráčov (s 1,..., s n ) predstavuje strategický profil hry. Množina všetkých stratégií hráča i bude označovaná ako S i a S bude množinou všetkých strategických profilov, pričom platí: S = i N S i. Stratégie hráčov determinujú ich správanie a teda aj výsledok hry. Ciel om teórie hier je identifikovat najlepšie 3 stratégie pre hráčov a identifikovat tak ekvilibrium hry. Ekvilibrium každej hry sa však nedá determinovat pomocou čistých stratégií. Jedným z dôvodov je, že hráč môže mat viac stratégií, ktoré sú rovnocenné v zmysle, že mu prinášajú rovnaký očakávaný úžitok. O žiadnom z týchto rozhodnutí sa nedá povedat, že je lepšie. Príkladom takejto hry je papier, kameň, 3 Najlepšie v zmysle maximalizácie úžitku hráča. 16
nožnice. O žiadnom rozhodnutí sa nedá povedat, že by bolo lepšie ako d alšie dve. Prirodzene sa hráči snažia robit rozhodnutia tak, aby v nich súper nenašiel žiadny opakujúci sa vzor. Odhalenie zámerov hráča vedie v takom prípade k výhode u ostatných hráčov. Hráči sa preto snažia robit rozhodnutia nepravidelne, čo ostatní hráči vnímajú ako náhodný výber akcií v jednej inštancii hry. Pretože ciel om je stanovit ekvilibrium v hre a nie v sekvencii opakujúcich sa inštancií hry, je preto potrebné zaviest pravdepodobnostné rozdelenie. Podl a tohto rozdelenia hráč vyberá svoje rozhodnutia z množiny čistých stratégií, medzi ktorými je indiferentný. V prípade hry papier, kameň, nožnice je najlepšou stratégiou hrat jednotlivé alternatívy s pravdepodobnost ou 1 3. Takýto typ stratégie sa nazýva zmiešaná stratégia. Definícia 3 Zmiešaná stratégia hráča i je pravdepodobnostné rozdelenie σ i, ktoré prirad uje pravdepodobnost σ i (s i ) každej čistej stratégii s i S i. Zmiešaný strategický profil inštancie hry bude označovaný ako σ. Očakávaný úžitok hráča pri zmiešanom strategickom profile je nasledovný: u i (σ) = s S ( n σ i (s i ))u i (s). j=1 Stratégie hráča sa dajú znázornit ako body v priestore vytýčenom jeho čistými stratégiami. Strategický priestor hráča i bude označovaný ako S i. Čisté stratégie sú bodom na jednej z ôs priestoru a zmiešané stratégie predstavujú bod v priestore, ktorý neleží na jednej z ôs. Každá stratégia je teda lineárnou kombináciou čistých stratégií, pričom ich koordináty predstavujú pravdepodobnost, s akou bude hráč danú čistú stratégiu hrat. Na čisté stratégie sa dá pozerat ako na špeciálny prípad zmiešaných stratégií, v ktorom sa pravdepodobnost danej čistej stratégie rovná 1 a pravdepodobnost všetkých ostatných 0. Strategický priestor hráča v zmiešaných stratégiách bude označovaný ako Σ i. Najmä u extenzívnych hier je intuitívnejšie použitie tzv. behavi- 17
orálnych stratégií. Tieto stratégie predstavujú rozdelenie na množine akcií pre každú informačnú množinu hráča. Definícia 4 (podl a Kuhn (1953)) Behaviorálna stratégia b i hráča i je funkcia, ktorá každej informačnej množine hráča priradí pravdepodobnostné rozdelenie na akciách, ktoré sú hráčovi k dispozícii: b i : A(I i ) [0; 1], pričom platí: a AI b i(a I) = 1 I I i. Behaviorálna stratégia je vektor pravdepodobností pre každú informačnú množinu, na rozdiel od zmiešanej stratégie, ktorá je pravdepodobnostným rozdelením na čistých stratégiách. Kuhn (1953) dokázal, že v hrách s dokonalou spomienkou 4 sa dá každá zmiešaná stratégia vyjadrit ako ekvivalentná behaviorálna stratégia. Ekvivalenciou sa tu myslí rovnaké pravdepodobnostné rozdelenie na množine výsledkov hry a teda aj rovnaký očakávaný úžitok hráčov pri danom strategickom profile. Príklad 3 (Behaviorálne stratégie) V hre na obrázku 1.1 označíme možné akcie hráča 2 z informačnej množiny {c, d, e} ako l a r a podobne v informačnej množine {g} má hráč 2 k dispozícii akcie L, M a R. Z toho vyplýva, že strategický priestor hráča 2 je vymedzený nasledovnou množinou S 2 = {(l, L), (l, M), (l, R), (r, L), (r, M), (r, R)}. Ktorýkol vek z týchto elementov predstavuje čistú stratégiu hráča 2. Zmiešaná stratégia predstavuje pravdepodobnostné rozdelenie na tejto množine, napr. v zmiešanej stratégii σ = ( 1, 1, 0, 0, 0, 0) 2 2 bude hrat hráč 2 stratégie (l, L) a (l, M) s pravdepodobnost ou 1 2 a ostatné stratégie s pravdepodobnost ou 0. Behaviorálna stratégia predstavuje pravdepodobnostné rozdelenie na alternatívach, ktoré stoja hráčovi v určitej informačnej množine k dispozícii. V tomto prípade bude hráč musiet vymedzit nasledovné pravdepodobnostné rozdelenia: b 2 = ((b 2 (l); b 2 (r)), (b 2 (L); b 2 (M); b 2 (R))). So zmiešanou stratégiou vytvorenou v tomto príklade je ekvivalentná behaviorálna stratégia b 2 = ((1; 0), ( 1; 1; 0). 2 2 4 V tejto práci sú použité iba hry s dokonalou spomienkou, teda také, v ktorých sú hráčovi známe všetky informácie, ktoré mu boli známe v nejakom predchádzajúcom momente hry. 18
1.5 Hra v strategickom tvare Uvedenie konceptu stratégie umožňuje jednoduchšie znázornenie hry. Ako bolo v časti 1.1 popísané, inštancia hry je definovaná rozhodnutiami v hre. Rozhodnutia v hre sú však funkciou stratégie príslušných hráčov a sú tak jednoznačne určené. Na popísanie inštancie hry je preto postačujúci strategický profil. Definícia 5 Hra v strategickom tvare Γ s je zložená z nasledovných elementov: Množina hráčov N, hráči sa označujú číslami 1,..., n. Strategický priestor S i pre každého hráča v N. Úžitková funkcia u i : n i=1 S i R pre každého hráča v N. Hra v tvare podl a definície 1 bude pre rozlíšenie označená ako hra v extenzívnom tvare. Vo všeobecnosti sa bude používat táto forma hry na zápis jednoduchších situácií, kde sa hráči rozhodujú simultánne. Von Neumann a Morgenstern (1953), str. 79-84 popísali proces, ako sa hra v extenzívnom tvare dá pretransformovat na hru v strategickom tvare. Takto pretransformovaná hra sa bude nazývat asociovaná hra. V asociovanej hre sú všetky čisté stratégie extenzívnej hry premenené na akcie strategickej hry. Každý hráč si vyberá simultánne s ostatnými spomedzi týchto akcií, takže robí v rámci jednej inštancie hry iba jednu vol bu. Nedá a však povedat, že by tieto dva zápisy boli úplne ekvivalentné. Extenzívne hry poskytujú viac detailov o priebehu hry. Podl a Kreps (2001) existuje ku každej extenzívnej hre jedna hra v strategickom tvare, ale ku každej hre v strategickom tvare môže existovat viac hier v extenzívnom tvare. Príklad 4 (Extenzívna vs. strategická forma hry) Transformácia extenzívnej formy hry na strategickú spočíva v identifikácii všetkých možných stratégií, teda v identifikácii strategických priestorov hráčov a v priradení očakávaného úžitku každému hráčovi na základe pravdepodobnosti, s akou tento výsledok pri danej stratégii nastane. 19
1 l1 r1 2 2 u1 d1 u2 d2 1 1a 1 1 1b 1 l2 r2 v 1 v 2 l2 r2 v 3 v 4 l3 r3 v 5 v 6 (a) Extenzívna forma hry l3 r3 v 7 v 8 Hráč 1 Hráč 2 u1u2 u1d2 d1u2 d1d2 l1l2 v 1 v 1 v 3 v 3 l1r2 v 2 v 2 v 4 v 4 r1l3 v 5 v 7 v 5 v 7 r1r3 v 6 v 8 v 6 v 8 (b) Strategická forma hry Obrázok 1.2: Asociovaná hra 1 l1 r1 2 2 u1 d1 u1 d1 1 1 1 1 l2 r2 l2 r2 l3 r3 l3 r3 2 2 2 2 2 2 2 2 v 1 u2 d2 v 1 v 2 u2 d2 v 2 v 3 u2 d2 v 3 v 4 u2 d2 v 4 v 5 u2 d2 v 7 v 6 u2 d2 v 8 v 5 u2 d2 v 7 v 6 u2 d2 v 8 Obrázok 1.3: Ďalšia extenzívna hra k asociovanej hre na obrázku 1.2. 20
0 0.5 0.5 1 1 a1 b1 w1 x1 (2, 0) 2 2a 2 (6, 0) y2 z2 y2 z2 (8, 6) (0, 0) (8, 0) (0, 2) (a) Extenzívna forma hry Hráč 1 Hráč 2 y2 z2 a1w1 (5, 0) (1, 1) a1x1 (4, 0) (4,0) b1w1 (8, 3) (0, 1) b1x1 (7, 3) (3, 0) (b) Strategická forma hry Obrázok 1.4: Zmena vzt ahov dominancie pri transformácii hry V prípade hry bez pravdepodobnostných t ahov sa jedná o jednoduchý proces. Príklad je uvedený na obrázku 1.2, kde je extenzívna forma hry transformovaná na tabul kový tvar strategickej formy hry. Na tomto príklade sa dá pozorovat, že pri transformácii dochádza k určitej strate informácií o priebehu hry. Tá istá asociovaná hra sa dá priradit viacerým extenzívnym hrám. Tá istá asociovaná hra z obrázka 1.2 sa dá zostrojit aj z hry na obrázku 1.3, ktorá má inú formu. Takto môže l ahko dôjst k situácii, kedy rovnovážny bod jednej asociovanej hry má v jednej extenzívnej forme logiku, ale v inej nie. Tejto problematike je venovaná čast 3. Najdôležitejším aspektom, ktorý asociovaná hra nezohl adňuje je poradie, v akom robia hráči t ahy. Ak sú súčast ou hry aj pravdepodobnostné t ahy, výsledná asociovaná hra môže vykazovat iné vzt ahy dominancie medzi stratégiami ako pôvodná hra. Príkladom je hra uvedená v Myerson (1991), str. 62-63. Obidve formy tejto hry sú zobrazené na obrázku 1.4. Pre hráča 2 je v asociovanej hre dominantnou stratégiou y2, ale v extenzívnej hre nedominuje žiadna stratégia. 1.6 Bayesovské hry Predchádzajúce modely hier predpokladali kompletné informácie, čiže úplnú znalost pravidiel hry všetkými hráčmi. Toto obmedzenie bude odstránené uvedením Bayesovských hier, ktoré boli definované v práci Harsanyi (1967-68). Teória hier profitovala z uvedenia Bayesovských hier, pretože vo väčšine reálnych situácií hráči nemajú kompletné informácie o situácii, 21
v ktorej sa nachádzajú, či už sa týka charakteristík ostatných hráčov, informácií o výsledkoch hier alebo vlastných alternatív v určitom bode hry (vid 1.3). Asymetria informácií je bežným aspektom, ktorý sa pomocou predošlých konceptov taktiež nedá modelovat. Bayesovský prístup k modelovaniu neurčitosti spočíva v priradení subjektívneho pravdepodobnostného rozdelenia pre charakteristiky, ktoré hráčovi nie sú s určitost ou známe. Každý hráč si takto vytvorí určitý predpoklad o charakteristikách ostatných hráčov. Predpoklady ostatných hráčov o konkrétnom hráčovi sú mu tiež neznáme, inými slovami sám nevie, čo ostatní hráči vedia. Nakol ko predpoklady ostatných hráčov predstavujú dôležitú informáciu, ktorá ovplyvňuje správanie samotného hráča, musí hráč vytvorit očakávania o očakávaniach ostatných hráčov. Správanie hráča však nie je ovplyvnené iba očakávaniami o charakteristikách ostatných hráčov, očakávaniach o očakávaniach ostatných hráčov, ale aj o tom, aké sú očakávania o očakávaniach o očakávaniach ostatných hráčov atd. Takýto spôsob analýzy vedie k nekonečnej hierarchii pravdepodobnostných rozdelení a z toho vyplývajúcim rozsiahlym a komplikovaným modelom. Harsanyi (1967-68) ako prvý predstavil návrh transformovat hru s nekompletnými informáciami na hru s kompletnými, ale nedokonalými informáciami. V Bayesovských hrách je neurčitost ohl adom určitej charakteristiky modelovaná ako pravdepodobnostné rozdelenie tejto charakteristiky bez sprostredkovania jej implicitnej hodnoty. Neurčitost o charakteristikách ostatných hráčov je v Bayesovských hrách vyjadrená pomocou neurčitosti o úžitkovej funkcii ostatných hráčov. Celkové súkromné informácie o charakteristikách hráča ovplyvňujúce jeho úžitok určujú jeho typ. V inštancii hry pozná každý hráč svoj vlastný typ, ale nepozná typy ostatných hráčov. Spoločné pravdepodobnostné rozdelenie, podl a ktorého sú na začiatku hry hráčom priradené ich typy, je v Bayesovskej hre verejnou informáciou. Ked že o konkrétnych typoch, ktoré boli priradené hráčom náhodnými t ahmi na začiatku hry, nemajú hráči informácie, jedná sa o typ hry s nedokonalými informá- 22
ciami. Pravidlá pre Bayesovské hry sa mierne odlišujú od všeobecnej definície hry a sú popísané v definícii 6. Definícia 6 (podl a Harsanyi (1967-68)) Bayesovská hra je zložená z nasledovných elementov: Množina hráčov N = {1,..., n}. Akčný priestor A = A 1... A n, kde A i predstavuje množinu akcií hráča i pre i N. Priestor typov T = T 1... T n, kde T i je množina typov hráča i pre i N. Pravdepodobnostné rozdelenie typov P (T ). Konkrétny typ hráča i bude označovaný ako t i T i. Úžitková funkcia u i(a, t), ktorá každej usporiadanej dvojici (a, t) A T priradí hodnotu z R pre i N. Bayesovská hra je v tejto podobe rozšírením hry v strategickom tvare o typy hráčov, rozdelenie týchto typov a vyžaduje si aj upravenie úžitkovej funkcie. Odvodenie Bayesovskej hry v extenzívnej forme je obdobné a formálna definícia tu preto nie je potrebná. Stratégia predstavuje vyčerpávajúci akčný plán. V Bayesovských hrách musí teda každý hráč pripravit svoju akciu v závislosti od typu, ktorý mu bude v konkrétnej inštancii hry známy. Stratégiou sa preto v Bayesovských hrách myslí systém usporiadaných dvojíc (a i, t i ) pre t i T i, alebo inak funkcia z priestoru typov do priestoru akcií a i = s i (t i ) (Myerson, 1991). Dôsledkom toho je, že sa jeden hráč môže správat v prípade rôznych typov odlišne. Ked že hráč pozná svoj vlastný typ ešte predtým, ako vykoná svoje rozhodnutie, môže sa zdat určenie akcií pre každý typ zvlášt redundantné. Avšak typ určitého hráča nie je s určitost ou známy ostatným hráčom. Preto sú ich rozhodnutia závislé od očakávania, ako sa bude daný hráč správat vo všetkých typoch a aj od pravdepodobnostného rozdelenia týchto typov. Tento argument 23
opodstatňuje určenie správanie pre všetky typy hráčov 5. Zmiešaná stratégia hráča i pre Bayesovské hry predstavuje funkciu z priestoru typov T i do pravdepodobnostného rozdelenia na množine akcií (A i ). Pravdepodobnostné rozdelenie pri stratégii σ pre hráča i a jeho typ t i sa bude označovat ako σ i (t i ) a pravdepodobnost hrania akcie a i hráčom i, ktorý má v danej hre typ t i sa bude označovat ako σ i (a i t i ). Zmiešaná stratégia v Bayesovských hrách predstavuje vektor pravdepodobnostných rozdelení na množine A i určujúci ako má každý typ t i miešat svoje stratégie. Zmiešaný strategický profil bude označovaný ako σ = ((σ 1 (a 1 1 t 1 1);...; σ 1 (a k 1 t k 1)),..., (σ n (a 1 n t 1 n);...; σ n (a l n t l n)), kde n je počet hráčov a k a l sú počty typov jednotlivých hráčov. Strategický priestor Bayesovskej hry bude označovaný Σ. Očakávaný úžitok hráča i pre zmiešaný strategický profil σ a daný profil typov t sa vypočíta ako: v i (σ, t) = ( σ j (a j t j )) σ i (a i ) u i (a, t). a A j N i Očakávania hráčov ohl adom typov ostatných hráčov sú vytvárané na základe pravdepodobnostného rozdelenia (T i ) i N a pravdepodobnost výskytu profilu typov t sa vyjadruje ako p(t) = p(t 1 )... p(t n ). Ked že toto rozdelenie je všetkým hráčom známe, predpokladá sa, že ich očakávania sú navzájom konzistentné. Hráč pozná svoj vlastný typ a pravdepodobnostné rozdelenie všetkých typov, takže môže pomocou Bayesovho pravidla určit pravdepodobnost určitej usporiadanej (n 1)-tice typov ostatných hráčov: p(t i t i ) = p(t) t i T i p(t i, t i ). Hráči majú informácie o pravdepodobnosti výskytu typov ostatných hráčov, ale pred začiatkom hry nepoznajú svoj vlastný typ. Ich aprorný očakávaný úžitok v inštancii hry, v ktorej sa hráči budú sprá- 5 Jedná sa o podobný argument ako v prípade stratégií pre dynamické hry, kde sa musí určit správanie hráča aj pre také situácie, ktoré podl a aktuálnej stratégie nemôžu nastat. Tieto slúžia pri formovaní očakávaní a stratégií ostatných hráčov. 24
vat podl a strategického profilu σ, sa dá vyjadrit nasledovne: w i (σ) = t T p(t) v i (σ, t) Po zvolení typu hráča môže hráč vypočítat svoj aposteriórny 6 očakávaný úžitok: w i (σ t i ) = p i (t i t i ) v i (σ, t). t i T i Príklad 5 (Typy hráčov) Klasickým príkladom Bayesovskej hry v ekonomickej teórii je Bertrandov model duopolu, v ktorom môže firma A používat starú alebo novú technológiu, pričom pri novej technológii má nižšie náklady. Firma B nevie, s akým typom práve hrá, ale je presvedčená, že s pravdepodobnost ou p sú náklady nízke a s pravdepodobnost ou (1 p) sú vysoké a podl a týchto presvedčení maximalizuje svoj očakávaný úžitok. V tomto príklade sú v hre dva typy hráča A - firma A s nízkymi nákladmi a firma A s vysokými nákladmi. Ďalší riešený príklad Bayesovskej hry je uvedený v časti 2.3. 6 Toto očakávanie je ovplyvnené znalost ou vlastného typu t i. 25
Kapitola 2 Statické hry Statické hry sú také hry, v ktorých všetci hráči robia svoje rozhodnutia simultánne, pričom nemajú žiadne informácie o rozhodnutiach ostatných hráčov. Hráči tak volia jedinú stratégiu, podl a ktorej sa budú správat v každej inštancii hry - preto názov statické hry. Takýto model je najvhodnejší pre situácie, v ktorých sa hráči zaujímajú iba o momentálny výsledok a na rozdiel od dynamických hier neberú ohl ad na to, aký by malo dopad ich rozhodnutie na inú inštanciu hry v budúcnosti, resp. na budúci priebeh tej istej hry. Tento typ hier je najjednoduchším typom hier, na analýzu ktorého postačuje zápis v strategickej forme, ako je uvedený v definícii 7. Táto kapitola začína v časti 2.1 popisom princípu dominancie pri statických hrách, ktorý je rozšíreným spôsobom riešenia rozhodovacích problémov v štandardnej teórii rozhodovania. Pri riešení hier je tento princíp postačujúcim iba v špeciálnych prípadoch. Táto téma predstavuje východiskový bod pre d alší, vel mi dôležitý koncept riešenia, ktorým je Nashove ekvilibrium. Nashove ekvilibrium je konzistentné s riešením problémov pomocou princípu dominancie a predstavuje všeobecnejší koncept použitel ný pri širšej skupine hier. Nashovmu ekvilibriu je venovaná čast 2.2. Nashov prínos do teórie hier bol zdanlivo jednoduchý a bezprostredne po zverejnení jeho riešenia nepovšimnutý. Neskôr však prispel k významnému pokroku vo viacerých oblastiach, kde sa používali modely teórie hier ako napríklad v ekonómii, čo Nashovi prinieslo uznanie širokej odbornej verejnosti. V 26
tejto časti budú predstavené dôvody, prečo je práve Nashove ekvilibrium také atraktívne riešenie hry, ale zároveň sú tu popísané aj úskalia a obmedzenia, ktorých si musí byt analytik pri použití v praxi vedomí. V časti 2.3 je koncept Nashovho ekvilibria rozšírený pre prípad hier s nedokonalými informáciami. Napriek tomu, že v tejto práci je tomuto typu hier venovaný iba obmedzený priestor, nie je potrebné zdôrazňovat ich význam v praxi, kedy sa rozhodnutia väčšinou vykonávajú za podmienok neistoty alebo rizika. 2.1 Eliminácia dominovaných stratégií Princíp dominancie je známy zo štandardnej teórie rozhodovania. Alternatívy, ktoré vždy prinesú horší výsledok ako ostatné alternatívy sú označované ako striktne dominované. Žiadny racionálny agent by sa nerozhodol pre dominovanú alternatívu, preto ich vylúčenie nemá na výsledok rozhodnutia žiadny vplyv. Takýto princíp sa dá použit aj pri hl adaní riešenia hry. Pri hrách je potrebné zaručit, že dominancia nie je závislá od toho, aké rozhodnutie urobia ostatní hráči. Definícia 7 (podl a Osborne a Rubinstein (1994)) Stratégia s i S i hráča i v statickej hre Γ je striktne dominovaná, ak existuje zmiešaná stratégia σ i hráča i, že u i (s i, σ i ) > u i (s i, s i ) pre všetky s i S i. Jedným zo základných predpokladov teórie hier je, že hráči pri vlastných rozhodnutiach berú ohl ad na potenciálne rozhodnutia ostatných hráčov a tvoria si ohl adom nich očakávania. To sa v teórii hier nazýva strategickým správaním hráčov. Hráči pri výbere svojej akcie teda berú do úvahy možné vol by ostatných hráčov. Ked hráč očakáva od svojich súperov určitý strategický profil, tak robí svoje rozhodnutie o stratégii tak, aby za podmienok daných týmto strategickým profilom maximalizoval vlastný úžitok. Ako je z definície 7 zrejmé, striktne dominovaná stratégia nie je najlepšou odpoved ou na žiadny strategický profil ostatných hráčov. Preto takúto stratégiu žiadny racionálny hráč nikdy nezvolí a takisto žiadny hráč nebude predpokladat, že by nejaký 27