Teorija naklju nih matrik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matemematiko in ziko Avtor: Benjamin Batisti Mentor: prof. dr. Tomaº Prosen Maj 2006 Povzetek Kompleksne kvantnomehanske sisteme, ki jih ne moremo eksplicitno re²iti lahko obravnavamo na osnovi statisti nih lastnosti spektra. S tem motivom nastane teorija naklju nih matrik. Na nivoju statistike razmikov med spektralni nivoji, lahko razlo imo dva razreda, ki sta vsebinko razlo ljiva tudi v klasi ni obravnavi. To sta razred klasi no integrabilnih in razred klasi no kaoti nih sistemov. Tak²na stroga razlika med integrabilnimi in kaoti nimi sistemi v kvantno mehanski sliki ima velik teoreti en pomen, saj so denicije kaosa v okviru klasi nih ena b gibanja nekonsistentne s konstrukcijo kvantne mehanike.
Kazalo 1 Motivacija 3 2 Kratka zgodovina 4 3 Konstrukcija ensembla 5 3.1 Matri na reprezentacija...................... 5 3.2 Konstrukcijski pogoji....................... 5 3.3 Porazdelitev za 2 2 realne simetri ne matrike........ 6 3.4 Trije nereducibilni ensembli................... 7 3.5 Aplikacija............................. 8 4 Energijski spekter 9 4.1 Izpeljava za 2 2 matrike.................... 9 4.2 Fluktuacijske lastnosti...................... 11 4.3 Uspeh teorije........................... 12 5 RMT v preprostih sistemih 12 5.1 Biljardi............................... 13 5.2 Numeri ni eksperimenti..................... 14 6 Nauk 15 7 Zaklju ek 16
1 Motivacija Predstavljajte si kompleksen Hamiltonski sistem, ki ima, ali tako zapleteno strukturo, da kljub poznavanju fundamentalnih principov, teh ne moremo skomponirati v kompakten opis ali pa celo, da teh fundamentalnih principov ne poznamo in smo ºe na samem za eku zavezanih rok. Vemo, da smo Hamiltonski sistem re²ili, e smo poiskali integrale gibanja. Klasi na dinami na analiza je pokazala, da obstaja poseben razred dinami nih sistemov, ki imajo samo eno dinami no invarianto, energijo. V tem smislu lo imo sisteme na integrabilne in na neintegrabilne. Na slednje se ponavadi referenciramo kot na kaoti ne sisteme, zaradi posebnih dinami nih lastnosti. Mnogi so verjeli, da neintegrabilnih sitemov sploh ni, ampak, da je edini problem le, da nismo dovolj pametni, da bi integrale poiskali. Kakorkoli, delo Poincareja in drugih, na podro ju nelinearnih sistemov, to je tak²nih sistemov, ki niso separabilni, nakazuje, da tak²nih integralov res ni. V klasi ni dinami ni analizi se o nelinearnih sistemih ne mol i, sposobni smo namre izmeriti tipi ne dinami ne lastnosti kot so Ljapunovi eksponenti, dinami na entorpija, me²anje; vsekakor je pa to dale od popolnega opisa integrabilnih sistemov. V asovni evoluciji nelinearnih sistemov se eksponentno hitro producira informacija, ki je ne moremo kompaktno zaobjeti v analiti ni formi. Kako je v kvantni mehaniki? Kvantno-mehanski sitem razumevamo kot re²en, e smo poiskali valovno funkcijo. V kolikor valovno funkcijo poznamo, smo sposobni iz nje izlu² iti kakr²nokoli zikalno informacijo. Kvantna mehanika je v osnovi linearna in sorodnih teºav kot jih sre amo v klasi ni mehaniki ne bi smelo biti. Nekdo bi pomislil, da bi lahko re²il kvantnomehanski problem in potem re²itev koresponden no prenesel v klasi no sliko. Tak²en poskus se hitro izkaºe kot izgubljena igra, saj smo v kvantni mehaniki zares sposobni re²iti le pe² ico bolj ali manj ²olskih problemov, preostanek pa je prepu² en numeri ni analizi, katero je smiselno uporabiti ºe takoj v klasi no zastavljenem problemu, v kolikor nas ta zanima. Re²evanje resnih kvantno-mehanskih problemov ni preprosto, zato lahko pri akujemo, da je upanje za re²itev kompleksnega problema, ki ga ne znamo niti korektno zastaviti, neumestno, e ne predrzno. Poskusi intuziastov so lahko v zadovoljstvo le-njih, ne sovpadajo pa s tem kar razumevamo kot prakti no. V praksi nas najpogosteje zanima energijski spekter, ali spekter kar²nega koli drugega operatorja in neizpodpitna resnica je, da spektra ne bomo poznali, e problema ne bomo re²ili. ƒe je problem klasi no integrabilen, potem se lahko tak²en spekter v semiklasi nem reºimu opi²e s kvantizacijo periodi nih orbit (Bohr, Sommerfeld). V posebnih problemih lahko samo s semiklasi no teorijo to no opi²emo ves spekter (kvantni oscilator). Tukaj bomo ponovno praznih rok, e je na² problem klasi no neintegrabilen (nelinearen). Preostane pa neko 3
drugo upanje. Kaj e imajo kvantnomehanski sistemi, kak²ne univerzalne lastnosti, tako, da bi lahko iz minimalnega poznavanja, ki sistem sicer ne determinira enoli no ampak zgolj klasicira v podobnostni razred, sklepali na latnost, ki bi bila univerzalna za ta razred? Gremo korak dalje. Kaj e so vsi tak²ni sistemi, ki jih ne znamo re²iti, ekvivalentni ktivnemu ensemblu sistemov v katerem je kakr²en koli opis sistema enako verjeten? Potem bi lahko nazaj sklepali ali tak²en sistem res ne znamo re²iti. 2 Kratka zgodovina Gledano zgodovinsko, ta ²pekulacija pripada Wignerju, ki je bil postavljen pred problem razlage spektralnih vzorcev dobljenih pri spektroskopiji teºkih jeder. V letu 1951, ko se je lotil razlage, ni bila na voljo nobena ustrezna teorija. Prisiljen ali pa ne, se je lotil raziskovanja statisti nih lastnosti spektra. Na prvi pogled se zdi statisti en pristop k spektroskopiji osupljiv, saj je spekter vsakega jedra (kot tudi vsakega drugega konzervativnega dinami nega sistema) jasno dolo en s Hamiltonjanom, ki na videz ne daje nobenega prostora statisti nim konceptom. Wignerjeva ideja se je v osnovi razlikovala od ustaljenih konceptov statisti ne zike. V klasi ni statisti ni mehaniki si predstavljamo nek ensemble identi nih zikalnih sistemov, katerim ustreza isti Hamiltonjan, a se razlikujejo v za etnih pogojih; potem s povpre enjem preko tega ensembla izra unamo termodinamske funkcije. Wigner je postopal druga e. Zamislil si je ensemble dinami nih sistemov, ki jih dolo ajo razli ni Hamiltonjani z istimi simetrijskimi lastnostmi. Ta nov statisti ni koncept je osredoto en na generi ne lastnosti sistemov, ki so sorodne vsem predstavnikom ensembla dolo enega z osnovnimi simetrijami. Aplikacija tako dobljenega rezultata je upravi ena, e obstaja ergodi ni izrek. Dyson je predstavil ustrezno lozojo. Z njegovimi besedami: "Kar potrebujemo je nova statisti ne mehanika, kjer se odre emo eksaktnemu poznavanju, ne le stanja sistema, pa pa sistema samega. Kompleksno jedro si predstavljamo kot " rno ²katlo"v kateri interagira veliko ²tevilo delcev (nukleonov) na osnovi nepoznanih zakonov. Problem je potem denirati na matemati no ist na in ensemble sistemov v katerih so vsi interakcijski zakoni enako verjetni.". V resnici pa Wignerjev pristop ni bil tako splo²en. 4
3 Konstrukcija ensembla 3.1 Matri na reprezentacija Iz operatorske slike raje preidimo v matri no. Ne samo ker se je tako problem re²eval v zgodovini, ampak predvsem zaradi sugestivnega in relativno preprostega formalizem, ki ga v okviru na²ih potreb dopu² a matri na reprezentacija. Prehod je preprost. Pokaºimo to za asovno reverzibilen primer. V neki poljubni realni ortonormirani funkcijski bazi {u j (q)}, lahko pi²emo ψ i (q) = j c (i) j u j (q), s imer zgeneriramo neskon no dimenzionalni lastni problem Hc i = E i c i (1) kjer c i = (c (i) 1, c (i) 2,...) in kjer so H lm = u l (q)[( h 2 /2m) 2 V (q)]u m (q)d N q elementi matrike H. Matrika H lm je o itno realna in simetri na, H lm = H ml. V primeru asovno nereverzibilnega sistema je matrika H Hermitska s kompleksnimi izvendiagonalnimi elementi. Iskali bomo torej ensemble Hamiltonskih matrik, izbranih s simetrijskimi lastnostmi. 3.2 Konstrukcijski pogoji Kot si je to zamislil Wigner, tvorimo ensemble na osnovi dveh statisti nih pogojev, katerima mora zado² ati verjetnostna porazdelitvev ensembla Hamiltonskih matrik: Invariantnost: Fizikalni rezultati so neodvisni od izbire baze. To pomeni, da mora biti verjetnostna porazdelitev za elemente matrike invariantna na kanoni ne transformacije matrike. V primeru asovno reverzibilnega sistema to pomeni invariantnost na ortogonalne transformacije in v primeru asovno nereverzibilnega sistema, invariantnost na unitarne transformacije. Neodvisnost: Matri ni elementi so neodvisna naklju na ²tevila. Porazdelitev P (H) matrike H je potem enaka produktu porazdelitev za posamezne elemente H lm kjer l m (elementi za l > m so dolo eni s simetrijskimi lastnostmi matrike H). Na osnovi teh predpostavk lahko zgradimo ensemble. Kako se to izvede za neskon ne matrike mogo e ni zanimivo, ker se lahko re²itev ugane, ampak brez teºav lahko napravimo formalno ilustracijo na preprostem 2 2 primeru realnih simetri nih matrik. 5
3.3 Porazdelitev za 2 2 realne simetri ne matrike I² emo torej verjetnostno porazdelitev P (H) za tri neodvisne elemente H 11, H 22 in H 12. Spolnimo se, da je matrika H realna in simetri na, zato H 12 = H 21. Porazdelitev je normalizirana z dh 11 dh 22 dh 12 P (H) = 1 (2) Zahtevi po invariantnosi in neodvisnosti sta dovolj, da enoli no dolo imo verjetnostno porazdelitev. Torej P (H) mora biti invariantna na katerokoli ortogonalno transformacijo dvodimenzionalne baze, P (H) = P ( H) H = O 1 HO (3) Kot drugo, trije neodvisni elementi morajo biti nekorelirani. Torej, funkcija P (H) mora biti produkt treh verjetnostnih gostot za vsak posamezen element, P (H) = P 11 (H 11 )P 22 (H 22 )P 12 (H 12 ) (4) Za izpeljavo verjetnostne gostote zadostuje innitezimalna sprememba baze, O = iz esar dobimo za H = O 1 HO, ( 1 α α 1 ) H 11 = H 11 2αH 12 H 22 = H 22 + 2αH 12 H 12 = H 12 + α(h 11 H 22 ) ƒe dobljeno vstavimo v faktoriziran izraz za P (H), razvijemo do prvega reda v α in upo²tevamo invariantnost, dobimo P (H) = P (H) { 1 α [ d ln P 11 2H 12 dh 11 d ln P 22 2H 12 (H 11 H 22 ) d ln P ]} 12 dh 22 dh 12 Ker je innitezimalen kot α poljuben, moramo zahtevati, da je njegov koecient enak ni, 1 d ln P 12 1 ( d ln P 11 d ln P ) 22 = 0 H 12 dh 12 H 11 H 22 dh 11 dh 22 6
Diferencialna ena ba je razcepna. To ni nikakr²na sre a ali posebnost, ampak direktna posledica zahteve, da so verjetnostne porazdelitve za posamezne elemente v matriki stohasti no neodvisne. Tako dobimo tri diferencialne ena be za vsako od treh neodvisnih funkcij P ij (H ij ). Re²itve so Gaussove funkcije katerih produkt je, P (H) = C exp [ A(H11 2 + H22 2 + 2H12) 2 + B(H 11 + H 22 ) ] Integracijsko konstanto B lahko postavimo na ni s primerno izbiro ni le energije, C dolo imo z normalizacijo, A pa dolo a enoto energije. Brez izgube splo²nosti lahko kon no zapi²emo pomemben rezultat: P (H) = C exp ( A Tr H 2 ) (5) To je izhodi² ni rezultat teorije naklju nih matrik. Potrebno je povdariti, da Gaussova oblika verjetnostne porazdelitve ni edina izbira, ki zadosti konstrukcijskemu pogoju invariantnosti, ampak je posledica dodatne zahteve po neodvisnosti. Balian je izpeljal isto Gaussovo porazdelitev iz principa minimalne informacije. Na²a izpeljava je v okviru dvodimenzionalnih matrik, hiter pogled pa zadostuje, da vidimo, da dobljena porazdelitev zado² a poljubnim dimenzijam. ƒe tega ne vidite, pokaºite za poljubne dimenzije, da je sled matrike invariantna na izbiro baze in da Tr H 2 nima me²anih produktov. ƒe velja slednje, potem pokaºite, da lahko verjetnostno porazdelitev za matriko zapi²emo kot produkt verjetnostnih porazdelitev za posamezne matri ne elemente. Teoriji, ki bazira ne Gaussovi verjetnostni porazdelitvi pravimo GRMT (Gauss random matrix theory) in je naj²ir²e obravnavana. 3.4 Trije nereducibilni ensembli Na osnovi zgodnjih Wignerjevih teoreti nih rezultatov je Dyson pokazal, da v kontekstu standardne Schrödingerjeve teorije obstajajo trije generi ni nereducibilni ensembli naklju nih matrik, dolo eni s smietrijskimi lastnostmi Hamiltonjana (s tipom invariantnih transformacij): 1. Ortogonalni ensemble. Sistem je invarianten na obrat asa z rotacijsko simetrijo. V tak²nem primeru je Hamiltonska matrika realna in simetri na: H mn = H nm H mn = Hmn V to skupino sodijo tudi sistemi s celo²tevilskim spinom in brez rotacijske simetrije. 7
2. Unitarni ensemble. Sistem brez simetrije na obrat asa. Na primer elektron v magnetnem polju. Za tak²ne sisteme je Hamiltonjan hermitski: H mn = [ H ] mn 3. Simplekti ni ensemble. Sistem invarianten na obrat asa s polovi nim spinom in brez rotacijske simetrije. Ustrezno Hamiltonsko matriko se da napisati s kvaternioni ali s Paulijevimi spinskimi matrikami σ γ, kjer γ = 1, 2, 3. Hamiltonjan ima obliko: H (0) mni 2 + 3 γ=1 H (γ) mnσ γ Vse ²tiri matrike H (γ) so realne. Medtem pa so H (γ=1,2,3) antisimetri ne in H (0) simetri na. V vseh treh primerih je verjetnost, da najdemo konkretno matriko dana s produktom verjetnostne gostote P Nβ in produktom diferencialov matri nih elementov, N je tukaj dimenzija matrike. Tako simetri ne lastnosti, navedene zgoraj, kot verjetnostne gostote P Nβ kjer β = 1, 2, 4 so invariantne na ortogonalne (β = 1), unitarne (β = 2) in simplekti ne (β = 4) transformacije. Za Gaussove ensemble, kot jih je vpeljav Wigner ima P Nβ obliko Gaussove porazdelitve: P Nβ (H) exp ( βn λ 2 Tr H2) (6) Konstanta λ je neodvisna od N, faktor N pa zagotavlja, da ostane spekter omejen, ko N. 3.5 Aplikacija Pri uvajanju RMT(random matrix theory) v zikalne sisteme naletimo na dve osnovni vpra²anji: Kako iz RMT dobiti napovedi in opazljive koli ine in kak²ne so te napovedi v primerjavi s zikalno realnostjo? Tretje vpra²anje se pojavi, ko opazimo, da so trije ireducibilni ensembli denirani zgolj z nijhovimi simetrijskimi in kvantno-mehanskimi lastnostmi, med tem, ko je Gaussova verjetnostna gostota posledica dodatnih predpostavk. Moramo se torej vpra²ati ali so rezultati, ki sledijo iz predpostavke o Gaussovi gostoti verjetnosti splo²ni ali ne? Bistvena za vse aplikacije GRMT je razlika med povpre nimi vrednostmi in njihovimi uktuacijami. Zaradi lokaliziranosti Gaussove gostote verjetnosti, 8
imajo vsi trije ensembli, denirani v prej²njem razdelku, pri limiti N omejen spekter na interval 2λ E 2λ. V tem intervalu ima gostota energiskih nivojev obliko polkroga (semicircle law): ρ(e) = N ( ) E 2 1 (7) πλ 2λ Za ve ino zikalnih sistemov je omejen spekter s polkroºno obliko popolnoma nerealisti en. Torej je GRMT, v generi nem smislu neuporabna za modeliranje povpre nih lastnosti, kot je na primer gostota nivojev. Druga e je s statisti nimi uktuacijami okoli povpre nih vrednosti opazljivih koli in. Ker je v spektru N nivojev gre razmik D N 1 proti ni, ko gre N. V tej limiti lahko postanejo uktuacije neodvisne od oblike celotnega spektra in izbire Gaussove gostote verjetnosti, ter tako splo²no veljavne. Ravno to pri akovanje je vzpodbudilo razvoj GRMT. Dana²nji rezultati nam zagotavljajo ustreznost GRMT za napovedi uktuacij dolo enih opazljivih koli in. Splo²en pristop je tak²en: Povpre enje merljive koli ine nad ensemblom sluºi kot vhodni podatek in potem nam GRMT pove uktuacijske lastnosti. Na primer, lokalne korelacijske funkcije med nivoji (s povpre no gostoto nivojev kot vhodno informacijo, ki dolo a zikalno vrednost N/λ). Pri primerjanju napovedi teorije z napovedjo eksperimenta, primerjamo povpre je nad ktivnim ensemblom in konkretnim povpre jem nad podatki dobljenimi z eksperimentom. Na tem mestu mora veljati ergodi na hipoteza, ki zagotavlja da je povpre enje nad ensemblom enako povpre enju na dovolj velikem spektralnem vzorcu skoraj vsakega posameznega predstavnika ensembla. V speci nih primerih, je bila ergodi na hipoteza dokazana. Razi² imo torej spektralne in uktuacijske lastnosti ensembla naklju nih matrik. 4 Energijski spekter Jasno je, da RMT ne more repruducirati danega niza podatkov, relevantne so zgolj napovedi v zvezi s uktuacijami opazljivih koli in. Tak²na opazljiva koli ina je seveda spekter, zato bi radi dobili njegovo verjetnostno porazdelitev. 4.1 Izpeljava za 2 2 matrike Z dano verjetnostno gostoto za matri ne elemente matrike H, bi torej radi dobili verjetnostno gostoto za spekter oziroma lastne vrednosti. V splo²nem, 9
e ho emo izpeljati redukcijo verjetnostne gostote za neodvisne matri ne elemente na verjetnostno gostoto za lastne vrednosti moramo zamenjati niz matri nih elementov z nizom iste dimenzije, ki ima lastne vrednosti za svoj podniz. Preostale parametre, katere integriramo, najustrezneje izberemo kot parametre v kanoni ni transformaciji, ki diagonalizira H. Spolnimo se na²e 2 2 matrike; lastni vrednosti sta: E ± = 1 2 (H 11 + H 22 ) ± 1 2[ (H11 + H 22 ) 2 + 4H 2 12 ] 1/2 Najpreprostej²a ortogonalna transformacija, ki diagonalizira H, ( ) cos θ sin θ O = sin θ cos θ vsebuje le en parameter. Zveza med matri nimi elementi H ij in elementi E ±, θ je: H 11 = E + cos 2 θ + E sin 2 θ H 22 = E + sin 2 θ + E cos 2 θ H 12 = (E + E ) cos θ sin θ Potrebujemo Jacobian te transformacije: J = det (H 11, H 22, H12) E +, E, θ = E + E Ker je verjetnostna gostota za H invariantna na ortogonalne transformacije, je reducirana verjetnostna gostota za lastne vrednosti mnoºice realnih simetri nih 2 2 matrik kar: P (E +, E ) = C E + E exp [ A(E 2 + + E 2 ) ] (8) Da se pokazati, da je posplo²ena oblika verjetnostne gostote za spekter matrik poljubnih dimenzij enaka: 1...N P (E) = C E µ E ν β exp ( N ) A Eµ 2 µ<ν µ=1 (9) kjer β = 1 ustreza GOE (Gauss orthogonal ensemble), β = 2 ustreza GUE (Gauss unitary ensemble) in β = 4 ustreza GSE (Gauss symplectic ensemble). Na tem mestu je Dyson opazil zanimivo povezavo GRMT s stati nim Coulombovim plinom; zgornjo ena bo lahko prepi²emo v: ( [ ] N 2 En P (E) = exp βn + β [ ] 2 ) Em E n ln λ 2 λ n=1 10 m>n
S termodinamskega gledi² a je to izraz za stati ni Couloumbov plin N delcev, zaprtih s harmoni nom potencialom v eni dimenzji z legami E 1,..., E N in temperaturo β 1. Razlika je samo v radialni odvisnosti interakcijske sile med delci, ki je sorazmerna z 1/r in ne kot Coulombova sila, ki je sorazmerna z 1/r 2. To dejstvo pa vendarle ne prepre uje, da si ustvarimo nazorno predstavo. Najpomembnej²a lastnost dobljene porazdelitve je, da napoveduje odbijanje med nivoji (level repulsion). 4.2 Fluktuacijske lastnosti V statistiki naklju nih matrik nas posebej zanima porazdelitev razmikov med lastnimi vrednostmi oziroma v zikalnem kontekstu, porazdelitev razmikov med energijskimi nivoji. Razmik med energijskima nivojema razumemo kot S i = E i+1 E i, v nara² ajo e urejenem nizu lastnih vrednosti. Ni teºko nadaljevati tudi s tem izra unom za na² preprosti 2 2 primer: P (S) = C de + de δ ( S E + E ) P (E +, E ) ƒe konstanti A in C, ki nastopata v P (E +, E ) dolo imo s pogojem S = 0 P (S)dS = 1 s katerim nastavimo enoto energije tako, da normiramo povpre en razmik med nivoji in z normalizacijo, dobimo naslednjo porazdelitev: P GOE (S) = πs 2 e S2 π/4 (10) V primeru, da bi ra une izvedli tudi za preostala dva ensembla bi dobili ²e: P GUE (S) = 32S2 π 2 e 4S2 /π P GSE (S) = 218 S 4 3 6 π 3 e 64S2 /9π (11) (12) Celotno izvajanje je vezano na 2 2 matrike in v tem okvirju so rezulati eksaktni. Fizikalno zanimive pa so seveda matrike N N kjer N. Na sre o se da pokazati (Mehta), da se dobljeni rezultati za preprost 2 2 primer zelo dobro ujemajo s zikalnim limitnim primerom N. Teºave, ki nastopijo pri ra unanju spektralnih lastnosti, je razre²il Mehta leta 1960, ko je predstavil metodo ortogonalnih polinomov. Delo Mehte je prineslo dolgo pogre²ano orodje s katerim bi lahko ra unali uktuacijske lastnosti spektra in je zato imelo velik vpliv na podro je RMT. 11
4.3 Uspeh teorije Originalno je torej RMT uvedel Wigner, da bi lahko opravil s kompleksnimi kvantnimi sistemi ve teles. V tem kontekstu je bila in je, RMT uspe²no uporabljena pri opisu spektralnih uktuacij teºkih jeder, kompleksnih atomov in molekul. Histogram na zgornji sliki kaºe porazdelitev razmikov energijskih nivojev v jedrih, pravzaprav razmikov v enoti povpre nega razmika. Podatki obsegajo 1726 razmikov med nivoji z istim spinom in parnostjo, dobljenih iz velikega ²tevila teºkih jeder (NDE - nuclear data ensemble). Podatki se nana²ajo na nivoje precej nad osnovnim stanjem. Krepka rta (GOE) predstavlja napoved teorije naklju nih matrik. Napoved je brez dodatnih parametrov, zato je ujemanje ²e posebej impresivno. 5 RMT v preprostih sistemih RMT izhaja iz aplikacij na komplicirane zikalne sisteme z mnogo prostostnimi stopnjami, vendar RMT uspe²no funkcionira tudi v enostavnih sistemih z majhnim ²tevilom prostostnih stopenj, ki so klasi no kaoti ni. V letu 1984 so Bohigas, Giannoni in Schmidt postavili slavno hipotezo:" Spektri sistemov, ki so invariantni na obrat asa in ki so klasi no analogni K sistemom, kaºejo enake uktuacijske lastnosti, kot jih napoveduje GOE". K sistemi so klasi ni sistemi z najmo nej²im me²anjem. Mo nej²a verzija te domneve nadomesti K sisteme s kaoti nimi sistemi, ki so ergodi ni. V obeh primerih hipotezi re emo Bohigasova hipoteza (domneva). Pri sistemih, ki niso invariantni na obrat asa zamenjamo GOE z GUE. V originalni verziji se Bohigasova 12
hipoteza ne nana²a zgolj na semiklasi ni reºim, ko h 0, a vendarle se vsa prizadevanja za dokaz te domneve nana²ajo na semiklasi no aproksimacijo. Barry in Tabor (1977) sta pokazala, da je verjetnostna gostota razmikov med energijskimi nivoji P (S) za klasi no integrabilne sisteme Poissonova porazdelitev, P (S) = exp ( S) (13) Porazdelitev velja splo²no, za vsak integrabilni sistem. Razlika je pomembna saj pomaga v kvantni sliki razlikovati klasi no kaoti ne sisteme, od regularnih. Kaosa, zaradi linearnosti kvantne mehanike, ne moremo enako konceptualizirati kot v klasi ni mehaniki. Zato v kvantni sliki i² emo sledi ali zna ilnosti nekega razreda sistemov, ki bi enoli no nakazovale na kaos v klasi ni sliki. Problem je, da ni ustrezne korenspodence med kvantno in klasi no mehaniko, e je sistem klasi no kaoti en. Zato ima vsak univerzalen razlo ek med regularnimi in kaoti nimi sistemi v kvantni sliki velik teoreti ni pomen. 5.1 Biljardi Pomembni sistemi, pri raziskovanju klasi nega kaosa so biljardi. Klasi ni biljard sestavlja to kast delec, ki se giblje v d dimenzionalni domeni in se elasti no odbija od sten domene. Energija in absolutna vrednost gibalne koli ine delca sta konstanti gibanja. Dinamika je neodvisna od energije. Zgleden in dovolj bogat je dvodimenzionalen (d = 2) primer. Med mnogimi kaoti nimi biljardi sta dva ²e posebej obravnavana, Bunimovichev stadion in Sinajev biljard: V Sinajevem biljardu je kaos posledica defokusiranja pri odboju na notranjem krogu, v Bunimovichevem stadionu pa nastopi kaos, ker ravne rte 13
zlomijo rotacijsko invariantnost dveh polkrogov. Oba biljarda sta popolnoma kaoti na in sodita v tako imenovan Bernullijev razred. V kvantno sliko preidemo tako, da re²ujemo stacionarno Schrödingerjevo ena bo z Dirichletovimi robnimi pogoji. Hamiltonjan je preprosto Laplaceov operatotor, tako je problem matemati no ekvivalenten iskanju vibracijskih stanj membrane. Tak²ne sisteme so neodvisno od kvantne mehanike precej asa obravnavali matematiki. Na primer, Dirichletov robni pogoj, ki zahteva ni elnost funkcije na robu, lahko nadomestimo z Neumannovim robnim pogojem, ki zahteva, da je na robu ni eln prvi odvod funkcije. V tak²nih sistemih gladek del gostote nivojev in gladek del kumulativne gostote ξ(k) kaºeta splo²ne lastnosti. Kot funkcija valovnega ²tevila k je ξ(k) dan kot: ξ(k) = A 4π k2 ± L 4π k + C Tukaj sta A plo² ina in L obseg biljarda. Konstanta C opisuje popravke zaradi ukrivljenosti, ogli² in drugih topolo²kih lastnosti. Plus znak pred linearnim lenom dolo a Dirichletov robni pogoj in minus znak Neumannnov robni pogoj. Ena ba je veljavna za poljubne geometrije biljardov. Za razliko od gostote stanj so uktuacijske lastnosti spektra mo no odvisne od oblike biljarda. Ko uporabimo GOE ali GUE statistiko v kaoti nih sistemih je pomembno, da upo²tevamo diskretne simetrije tega sistema. Re²itve Helmholtzove ena be v biljardih z diskretnimi simetrijami razpadejo na ustrezne simetrijske razrede. Na primer, e ima biljard zrcalno simetrijo okoli neke osi dobimo dva razreda, kjer so v enem sode v drugem pa lihe re²itve glede na to os. Ensemble naklju nih matrik je konstruiran brez predpostavke o kakr²nihkoli simetrijah. Tako GOE statistika ne velja za celoten spekter sistemov, ki imajo diskretne simetrije, pa pa zgolj znotraj posameznega simetrijskega razreda. Sinajev biljard ima ²tiri simetrijske osi, zato moramo obravnavati le eno osmino celotnega biljarda. V primeru Bunimovichevega stadiona obravnavamo zgolj etrtino celotnega biljarda. 5.2 Numeri ni eksperimenti Kljub temu, da teoreti ni dokaz za Bohigasovo hipotezo v vsej svoji splo²nosti ne obstaja, se ta preizku²a z numeri nimi eksperimenti. Tako je Bohigas (1984) z numeri nim re²evanjem Helmholcove ena be v delu Sinajevega biljarda brez simetrij, dobil rezultate, ki kaºejo v prid njegovi hipotezi: 14
Zgornja slika prikazuje histogramsko oproksimacijo k verjetnostni gostoti za razlike med nivoji, P (S). Histogram se dobro ujema z rezultatom za GOE, ki je na sliki kot temna zvezna krivulja in se mo no razlikuje od Poissonove porazdelitve, ki je narisana rtkano. Glavna razlika med porazdelitvijo razmikov med energijskimi nivoji za integrabilne in kaoti ne sisteme je, da P (S) gre proti ni, ko S 0 za klasi no kaoti ne sisteme in ima tam maksimum v primeru integrabilnih sistemov. 6 Nauk Kaj je torej nauk te zgodbe? Poglejte na kako preprostih temeljih je zgrajena RMT! Predelajmo celotno zgodbo ²e v popolnoma abstraktno. Shema, ki jo je pokazal Wigner ni naklju no delovala, amapk vsebuje v sebi nekaj globljega in tako kot se je pokazal univerzalen njegov rezultat, tako je lahko univerzalna tudi njegova ideja. Na²a naloga je bijektivna preslikava {E i } H, ki je ne moremo re²iti. Potem predpostavimo, da je H { H n }; to je tak²ne mnoºice, da za neko surjektivno transformacijo T ( H) = Ĩ H { H n } in T (H) Ĩ e H / { H n }. Z minimalno informacijo o sistemu H zgeneriramo ekvivalen no mnoºico { H n }, ki vsebuje H in i² emo kompersirano informacijo Ĩ tako da T 1 (Ĩ) { H n }. Ta naloga je lahko preteºka, je pa neka transformacija T dobra, e uspemo pokazati da T (P ({ H n })) = T ( H) H { H n }, kjer je P ({ H n }) povpre je mnoºice { H n }. Transformacija T je trivialna, e priredi poljubnemu H isto 15
informacijo. Abstraktni model, konkretiziran v RMT nam da naslednje: H je Hamiltonska matrika, T slika H v porazdelitev razmikov med energijskimi nivoji, T (H) = I = P (S). In za T je potrebno dokazati ergodi nost. 7 Zaklju ek Teorija naklju nih matrik s svojimi aplikacijami posega v mnoga podro ja matematike in zike. Podro je naklju nih matrik vedno bolj navdu²uje tako zike kot matematike s svojo bogatostjo in daljnoseºnostjo. ƒe povzamemo Dysona, je teorija naklju nih matrik nova statisti na mehanika kjer je realizacija zikalnega sistema nepomembna. Namesto ensembla stanj imamo ensemble Hamiltonjanov. Eden od razlogov za uspeh teorije naklju nih matrik je njena univerzalnost: korelacija med nivoji (lastnimi vrednostmi) na skali povpre nega razmika med nivoji ni odvisna od verjetnostne porazdelitve. Ta lastnost je temelj teorije naklju nih matrik. Korelacija med nivoji, kot sledi iz teorije naklju ni matrik, izgleda prej pravilo kot izjema. Kakorkoli, najpomembnej²i razlog za raziskovanje teorije naklju nih matrik je, da se njene napovedi dejansko pojavljajo v naravi; na primer: energijski nivoji v jedrih, ni le Riemmanove ζ funkcije, zvo nih valovih v kvar nih kristalih,... Ob tem je teorija naklju nih matrik zanimiva zaradi matemati nih izzivov, ki jih ponuja. Problemi vezani na njo so dale od enostavnih, vendar, z dovolj prizadevnosti, lahko veliko vpra²anj iz tega podro ja odgovorimo v celoti. Teºko je ostati ravnodu²en ob teoriji naklju nih matrik. Vsakdo, ki dela na tem podro ju za uti lepoto univerzalnih lastnosti spektrov velikih matrik. Dandanes, kakor kaºe razvoj teorije in kakor kaºejo njene aplikacije, je navdu²enje ²e bolj ºivo, kot takrat, ko je bila teorija ustvarjena. Literatura [1] Thomas Guhr, Axel Müller-Groeling, Hans A. Weidenmüller: Random matrix Theories in Quantum Physics: Common Concepts, (Physics Reports, 1997). [2] F. Hake: Quantum Signatures Of Chaos, 2nd edition (Springer-Verlag, Berlin, 2000). [3] E. Ott: Chaos In Dynamical Systems, 2nd edition (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). 16