UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor: IZR. PROF. DR. MARKO SLAPAR HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016

Povzetek V diplomskem delu obravnavamo Hausdorffov paradoks, ki pravi, da je sfera, ki ji odvzamemo končno mnogo točk, paradoksalna. Najprej obravnavamo koncept neskončne množice. Nato se osredotočimo na aksiom izbire, ki je ključen za dokazovanje Hausdorffovega paradoksa. Namen naslednjega poglavja o rotacijskih grupah je ponovitev znanja, ki je ključno za razumevanje sledečih izrekov in dokazov. V četrtem poglavju govorimo o skladnosti likov s stališča teorije množic. Preden definiramo paradoksalnost množice, ponovimo še pojem delovanja grupe. Obravnavamo tudi prosto grupo ranga 2, ki jo potrebujemo za dokazovanje paradoksa. Šesto poglavje je namenjeno paradoksom ravnine, v sedmem poglavju pa kot končen rezultat navedemo dokaz Hausdorffovega paradoksa. Ključne besede: Hausdorffov paradoks, neskončnost, aksiom izbire, paradoksalna množica, Sierpiński Mazurkiewiczev paradoks Abstract In this diploma paper we will deal with the Hausdorff paradox, which says, that the sphere without a finite number of points is paradoxical. First we cover the concept of an infinite set. Then we focus on the axiom of choice, which is essential for prooving the Hausdorff paradox. The purpose of the next chapter on rotation groups is just a revision of knowledge, crucial for understanding further theorems and proofs. In Chapter 4 we talk about a congruence of figures based on the set theory. Before defining the paradoxical set, we revise the concept of a group action. We also deal with the free group of rank 2, which is required to prove the paradox. Chapter 6 is about paradoxes of the plane, in Chapter 7 we finally present a proof of the Hausdorff paradox. Key words: Hausdorff paradox, infinity, axiom of choice, paradoxical set, Sierpiński Mazurkiewicz paradox

Kazalo 1 Uvod 1 2 Neskončnost in aksiom izbire 3 2.1 O neskončnosti.................................. 3 2.2 Aksiom izbire................................... 5 3 Rotacijska grupa 7 3.1 Ortogonalna grupa................................ 7 3.2 Specialna ortogonalna grupa........................... 7 4 Enakost po razdelitvi in enakost po razkosanju 9 4.1 Enakost po razdelitvi............................... 9 4.2 Enakost po razkosanju.............................. 11 5 Paradoksalnost 15 5.1 Delovanje grupe.................................. 15 5.2 Paradoksalnost množice............................. 15 5.3 Paradoksalnost prostih grup in polgrup..................... 16 6 Paradoksalnost ravnine 19 6.1 O transcendentnih in algebraičnih številih................... 19 6.2 Geometrijski paradoks.............................. 20 6.3 Sierpiński Mazurkiewiczev paradoks...................... 20 7 Hausdorffov paradoks 23 8 Zaključek 25 9 Literatura 27

1 Uvod Na začetku diplomskega dela govorimo o neskončnosti. Najprej predstavimo Zenonove paradokse. Ti so eni izmed prvih, ki nakazujejo paradoksalnost koncepta neskončnosti. Nato definiramo neskončno množico in števno oziroma neštevno neskončno množico, kjer tudi podamo dokaz števnosti racionalnih števil in neštevnosti realnih števil. Poglavje nadaljujemo z definicijama funkcije izbire in aksioma izbire ter podamo nekaj primerov uporabe obeh definicij. Potem na kratko predstavimo ortogonalno grupo in njeno podgrupo rotacij, kjer elemente v grupah predstavimo z matrikami. V poglavju o enakosti po razdelitvi in enakosti po razkosanju se osredotočimo na skladnosti likov z vidika evklidske geometrije in z vidika teorije množic ter ju primerjamo. Koncept enakosti po razkosanju obravnavamo tudi na primeru množic realne osi, kar nam omogoči boljši vpogled v dokaz, da sta lika z enako ploščino enaka po razkosanju. V tem poglavju pokažemo tudi manj formalen dokaz števne paradoksalnosti krožnice. Formalen dokaz je zapisan nekaj poglavji kasneje. Sledi definicija delovanja grupe in definicija paradoksalnosti množice oziroma grupe. Na tem mestu predstavimo tudi precej nematematičen primer paradoksalnega razbitja, slovar Hyperwebster, definiramo prosto grupo in pokažemo, da je prosta grupa ranga 2 paradoksalna. Predzadnje poglavje je namenjeno paradoksalnosti ravnine. Na začetku ponovimo definicijo algebraičnih in transcendentnih števil, saj jih potrebujemo pri enem izmed dokazov tega poglavja, nato uvedemo pojem števne paradoksalnosti in zapišemo že prej omenjeni dokaz števne paradoksalnosti krožnice. Na koncu poglavja sta še trditev in dokaz paradoksa Sierpińskega in Mazurkiewicza. V zadnjem delu diplomskega dela obravnavamo končni rezultat Hausdorffov paradoks. Najprej zapišemo in dokažemo tri trditve, ki so potrebne za dokaz Hausdorffovega paradoksa. Sledi še kratek premislek, ki je hkrati zadnje potrebno dejstvo za dokaz paradoksa. Diplomsko nalogo zaključimo z navedbo Banach-Tarskega paradoksa, ki je močnejša verzija Hausdorffovega paradoksa. Hausdorffov paradoks govori o tem, da lahko podvojimo sfero, če ji odvzamemo nekaj točk. Podvojitev je v realnem svetu nemogoča, zato je Hausdorffov paradoks res paradoks. Vendar trditev ni več tako presenetljiva, ko se preselimo v svet matematike. Na sfero gledamo kot na neskončno množico točk. Neskončnost pa ni intuitivna; ko je govora o neskončnosti, začnejo veljati pravila, ki ne veljajo v končnem, realnem svetu. Pogosto enačenje matematičnih rezultatov z realnim svetom je verjetno posledica dejstva, da je matematika skoraj vedno aplikativna v realnem svetu, pa tudi na mnogo področjih, ki se ukvarjajo z opisovanjem realnega sveta, npr. fizika, kemija. Toda tudi na določenih področjih fizike (kvantna mehanika, relativnostna teorija) veljajo precej čudni zakoni. Znan je primer sipanja elektrona na dveh režah. Rezultati kažejo na to, da elektron, ki naj bi potoval bodisi skozi eno bodisi skozi drugo režo, potuje skozi obe! Morda Hausdorffov paradoks konec koncev le ni paradoks? 1

2 Neskončnost in aksiom izbire Nekateri deli tega poglavja so povzeti po [3] in [5]. 2.1 O neskončnosti Kot bomo videli v nadaljevanju, je Cantor definiral neskončno množico kot množico, ki ima enako moč kot neka njena prava podmnožica. To nasprotuje Evklidovim ugotovitvam, da je celota večja od dela. Če je že sama definicija neskončne množice nekoliko paradoksalna, potem ne bi smeli biti preveč presenečeni, da delo z neskončnimi množicami včasih prinaša paradoksalne rezultate. Zato najprej povejmo nekaj besed o neskončnosti. Eden prvih, ki omenja neskončnost, je grški filozof Zenon iz Eleje iz 4. stoletja pred našim štetjem. Znan je po Zenonovih paradoksih, ki se nanašajo na neskončne procese. Paradoks Dihotomije pravi, da tekač ne bo nikoli pretekel cele steze. Da bi jo pretekel, mora najprej preteči polovico, potem polovico preostanka, pa še polovico preostalega preostanka in tako naprej. To lahko zapišemo kot neskončno vsoto ulomkov 1 + 1 + 1 +... Torej bi moral tekač 2 4 8 preteči neskončno mnogo delov poti v končnem času, kar pomeni, da ne bi nikoli dosegel konca poti. Podobna ideja je tudi v Zenonovem paradoksu o Ahilu in želvi. Ahil tekmuje z želvo v teku. Ker je Ahil hitrejši od želve, da želvi določeno prednost. Zenon pravi, da Ahil ne bo mogel nikoli dohiteti želve, saj mora najprej preteči do točke, kjer je želva začela tekmo, v tem času pa se želva premakne, recimo do točke 2. Ko Ahil doseže točko 2, se je želva že premaknila do točke 3 in tako naprej. Ker se proces ponavlja v neskončnost, Ahil ne more prehiteti želve v končnem času. Močan mejnik v dojemanju neskončnosti je v drugi polovici 19. stoletja postavil Georg Cantor. Z neskončnostjo se je ukvarjal v konceptu teorije množic, ko je začel preučevati kardinalnost množic. Kakšna je kardinalnost množice naravnih števil? Je enaka kardinalnosti realnih števil? Kdaj ima množica neskončno moč? Definicija 2.1. Naj bosta A in B množici. Množica A je ekvipolentna množici B, če obstaja kaka bijektivna funkcija f : A B. Definicija 2.2. Naj bo A množica. Množica A je neskončna, če je ekvipolentna kaki svoji pravi podmnožici. PRIMER: Množica naravnih števil in množica pozitivnih celih števil imata enako kardinalnost, saj je f : N Z +, kjer f(x) = 2x, bijekcija. Niso pa vse neskončne množice enako velike. Definicija 2.3. Naj bo A poljubna neskončna množica. Tedaj je A števno neskončna, če je ekvipolentna množici naravnih števil N. Množica, ki je končna ali števno neskončna, je števna. V nasprotnem primeru je neštevna. Množica naravnih števil je števno neskončna, saj lahko njene elemente preštejemo oziroma popišemo. Tudi množica racionalnih števil je ekvipolentna množici naravnih števil. 3

PRIMER: Množica racionalnih števil je števna. Spomnimo se dokaza, kjer pokažemo, da so racionalna števila ekvipolentna množici naravnih števil. Vsa racionalna števila lahko zapišemo v obliki ulomkov. V prvo vrsto pišemo ulomke, ki imajo v imenovalcu 1, v drugo vrsto pišemo ulomke, ki imajo v imenovalcu število dve, v tretjo vrsto tiste ulomke, ki imajo v imenovalcu tri,... Vzorec se nadaljuje v vodoravni in navpični smeri, torej lahko na ta način zapišemo vsa racionalna števila. Če sledimo puščicam na sliki, lahko sistematično popišemo oziroma preštejemo vsa racionalna števila. Da se izognemo popisovanju istih števil, izpustimo števila, ki smo jih že enkrat popisali (npr. popisali smo 1, zato izpustimo ulomke 2/2, 3/3,...). Množica realnih števil je večja od množice naravnih števil, saj je neštevno neskončna. Trditev 2.1. Množica realnih števil R je neštevna množica. Dokaz. Dokaz, da množica realnih števil ni ekvipolentna množici naravnih števil, bomo naredili na podmnožici realnih števil, in sicer na intervalu (0, 1). Da je dovolj dokazati le neštevnost podmnožice, sledi iz naslednjega premisleka: če bi bila množica realnih števil števna, potem bi bila zagotovo števna vsaka njena podmnožica. Dokazovali bomo s protislovjem. Predpostavimo, da je množica realnih števil števna. Potem lahko vsa realna števila na danem intervalu popišemo: 1.) 0, a 1 a 2 a 3... 2.) 0, b 1 b 2 b 3... 3.) 0, c 1 c 2 c 3.... Sedaj konstruirajmo število x = 0, x 1 x 2 x 3..., kjer x 1 a 1, x 2 b 2, x 3 c 3,... Število x očitno ni na listi, saj se od prvega števila razlikuje na prvem decimalnem mestu, od drugega na drugem, tretjega na tretjem,... Protislovje. Torej množica realnih števil ni ekvipolentna množici naravnih števil. 4

2.2 Aksiom izbire Aksiom izbire je eden izmed najbolj kontroverznih aksiomov v matematiki, saj se ga uporablja pri dokazovanju nekaterih precej neintuitivnih konceptov, kot je na primer Banach- Tarski paradoks. Ta pove, da lahko enotsko kroglo razrežemo na pet kosov in jih nato samo z rotacijami in translacijami preuredimo tako, da iz njih nastaneta dve enotski krogli. Z drugimi besedami, Banach-Tarski paradoks govori o obstoju podvojitve. Hausdorffov paradoks, katerega dokaz je zapisan na koncu diplomskega dela, je milejša oblika Banach-Tarskega paradoksa. Tako kot za dokazovanje paradoksa Banacha in Tarskega je tudi za dokazovanje Hausdorffovega paradoksa potreben aksiom izbire. Kljub njegovi kontroverznosti aksiom izbire zagotavlja tudi splošno sprejete matematične rezultate, na primer obstoj baze. Tako je aksiom izbire vključen v standardno družino aksiomov teorije množic in ga uporablja večina matematikov. Aksiom izbire nam pove naslednje: če imamo več nepraznih množic, lahko hkrati izberemo po en element iz vsake množice. Preden si pogledamo formalni zapis aksioma, povejmo še nekaj o funkciji izbire. Definicija 2.4. Naj bo S množica nepraznih množic. Funkcija izbire na S je taka funkcija f : S S, ki zadošča pogoju S S : f(s) S. Funkcija izbire iz vsake množice S izbere po en element. Poglejmo si primera. PRIMER 1: S = {S 1 = R, S 2 = N, S 3 = {1}} Funkcija izbire bo iz množice S 1 izbrala realno število f(s 1 ) R, iz druge množice bo izbrala neko naravno število f(s 2 ) N, pri tretji množici pa funkcija lahko izbere le en element f(s 3 ) = 1. Funkcija izbire za množico S očitno obstaja. PRIMER 2: S = {S 1 = R, S 2 = N, S 3 = {1}, S 4 = } Če množici S dodamo še prazno množico, potem funkcije izbire ni, saj iz S 4 ne moremo izbrati elementa. Aksiom izbire: Če je (S i ) i I poljubna družina nepraznih množic, potem obstaja funkcija f : I S i, da je f(i) S i za vsak i I, kjer je f funkcija izbire. Aksiom izbire velja za končne in neskončne nabore nepraznih množic. Vendar se uporabi aksioma izbire v nekaterih primerih lahko ognemo, tudi kadar govorimo o neskončnih naborih množic. Na primer, naj bo S množica nepraznih podmnožic naravnih števil. Vsaka taka podmnožica ima najmanjši element. Funkcijo izbire lahko v tem primeru definiramo tako, da iz vsake od podmnožic izbere najmanjši element. Težava se pojavi, kadar ni neke naravne izbire elementov iz vsake od množic in je nabor množic neskončen, zato ne moremo zapisati funkcije izbire za vsako množico posebej. Na primer, S je množica podmnožic realnih števil, moč S pa je neskončna. Če poskušamo izbrati element iz vsake množice S S, potem se naš postopek izbiranja ne bo nikoli končal, saj je množic neskončno, in ne bomo mogli definirati funkcije izbire. Naslednja težava nastopi 5

pri izbiri najmanjšega elementa množice. Nekatere podmnožice realnih števil nimajo najmanjšega elementa, na primer odprti interval (0,1). Kako torej vemo, da funkcija izbire v takem primeru obstaja? Ne vemo. Zato potrebujemo aksiom izbire. Izkaže se, da za množice z dobro urejenostjo obstaja funkcija izbire. Vsaka dobro urejena množica ima namreč minimum. Torej funkcija izbire iz dobro urejenih množic lahko izbere najmanjši element. V resnici velja tudi obrat, zato sta dobra urejenost množic in aksiom izbire ekvivalentna. PRIMER 1: Če imamo nabor intervalov realne osi, ki so končnih dolžin, potem aksiom izbire ni potreben. Funkcija izbire lahko izbere npr. razpoloviščno točko vsakega izmed intervalov. PRIMER 2: Znan je tudi primer rabe aksioma Bertranda Russella. Kdaj je aksiom izbire potrebno uporabiti, je ponazoril na primeru nogavic in čevljev. Imamo neskončno mnogo parov čevljev. Zato da izberemo iz vsakega para po en čevelj, ne potrebujemo aksioma izbire, saj iz vsakega para lahko preprosto izberemo levi čevelj. Po drugi strani pa moramo za izbiro nogavic iz neskončnega nabora parov nogavic uporabiti aksiom izbire. 6

3 Rotacijska grupa V tem poglavju bomo obravnavali rotacijsko grupo SO 3, ki jo bomo uporabili pri dokazovanju paradoksalnosti sfere. Grupa SO 3 je podgrupa ortogonalne grupe, zato na tem mestu sledi nekaj besed o ortogonalni grupi. 3.1 Ortogonalna grupa Ortogonalna grupa dimenzije n, označena z O n, je grupa transformacij Evklidskega prostora dimenzije n, ki ohranjajo razdalje in izhodišče. Operacija na grupi je kompozitum. Transformacije lahko predstavimo kot n n matrike, ki so ortogonalne (vrstice in stolpci ortogonalne matrike predstavljajo ortonormirane vektorje, za matrike velja AA T = A T A = I). Vrednost determinante ortogonalnih matrik je enaka 1 ali 1. PRIMER: Ortogonalna grupa O 2 je grupa vseh rotacij okoli fiksne točke in zrcaljenj preko katerekoli osi skozi to fiksno točko; govorimo o rotacijah in zrcaljenjih v 2D prostoru. Poglejmo si nekaj njenih elementov: (1) identiteta: [ ] 1 0 I = 0 1 (2) Rotacija za kot ϕ: (3) Zrcaljenje čez os x: [ ] cos ϕ sin ϕ R(ϕ) = sin ϕ cos ϕ Z(x) = [ ] 1 0 0 1 3.2 Specialna ortogonalna grupa Specialna ortogonalna grupa SO n je podgrupa ortogonalne grupe O n. V njej so samo tiste matrike ortogonalne grupe, ki imajo determinanto enako 1. Imenujemo jo tudi rotacijska grupa, saj so v dimenzijah 2 in 3 njeni elementi običajne rotacije okoli točke oziroma premice. Rotacijsko grupo v tridimenzionalnem evklidskem prostoru označimo z SO 3. Rotacija okoli premice ohranja premico, razdaljo in orientacijo. 7

PRIMER: Matrika za rotacijo pod kotom ϕ okoli osi z: cos ϕ sin ϕ 0 R(ϕ) = sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 8

4 Enakost po razdelitvi in enakost po razkosanju V tem poglavju bomo najprej na kratko pogledali pojem enakosti po razdelitvi, potem se bomo osredotočili na pojem enakosti po razkosanju. Poglavje je deloma povzeto po [2] in [5]. 4.1 Enakost po razdelitvi Definicija 4.1. Večkotnik je poljubna zaprta in omejena množica v ravnini, katere rob je unija končnega števila daljic. Definicija 4.2. Izometrija ravnine R 2 je bijekcija iz R 2 v R 2, ki ohranja razdalje. Opomba: Vsaka izometrija v R 2 je bodisi premik, zasuk ali zrcaljenje preko premice bodisi kombinacija teh transformacij. Definicija 4.3. Ravninski množici F in F sta skladni, če obstaja taka izometrija g ravnine R 2, da je F = g(f ). Skladnost množic označimo s F = F. Definicija 4.4. Večkotnik L je po razdelitvi enak večkotniku L, označimo L r L, če velja: 1. L = L 1 L 2... L r, kjer imajo liki L i paroma disjunktne notranjosti. 2. L = L 1 L 2... L r, kjer imajo liki L i paroma disjunktne notranjosti. 3. Za vsak i = 1, 2,..., r je L i = L i. Poglejmo si primera enakosti po razdelitvi: PRIMER 1: Vsak trikotnik je po razdelitvi enak paralelogramu z enako osnovnico in polovično višino: Slika 2 PRIMER 2: Vsak paralelogram je po razdelitvi enak pravokotniku z enako osnovnico in enako višino: Slika 3 Bralec že intuitivno povezuje ploščinsko enakost in enakost po razdelitvi. Precej očitno 9

je, da iz L r L sledi ploščinska enakost p(l) = p(l ). Ploščina je namreč aditivna funkcija, če govorimo o likih s paroma disjunktnimi notranjostmi. Ker se ploščina ohranja pri izometrijah, po definiciji enakosti po razdelitvi velja: p(l) = p(l 1 ) + p(l 2 ) +... + p(l r ) = p(l 1) + p(l 2) +... + p(l r) = p(l ). Da velja tudi obrat, nam pove naslednji izrek. Trditev 4.1. (Bolyai-Gerwien) Večkotnika, ki imata enako ploščino, sta po razdelitvi enaka: Iz p(l) = p(l ) sledi L r L. Dokaz. Vidimo, da je trikotnik po razdelitvi enak pravokotniku z enako osnovnico in polovično višino. Od tod sledi, da sta trikotnika z enako osnovnico in enako višino med seboj po razdelitvi enaka. Slika 4 V danem trikotniku ABC si izberimo poljubno točko B na nosilki stranice AB. Potegnimo daljico B C in k njej vzporednico BC, kjer je C točka na nosilki stranice AC. Slika 5 Zaradi prejšnjega premisleka je C BC r C BB (za osnovnico izberemo daljico C B). Ker je ABC = ABC C BC in AB C = ABC C BB, je tudi ABC r AB C. Izbira točke B je bila poljubna, zato je poljuben trikotnik po razdelitvi enak trikotniku z osnovnico 1. Če je prvotni trikotnik imel ploščino p, ima po razdelitvi enak trikotnik z osnovnico 1 tudi ploščino p in višino 2p. Sledi, da sta poljubna trikotnika z enako ploščino po razdelitvi enaka. Zato sta tudi poljubna pravokotnika z enako ploščino po razdelitvi enaka. Imejmo sedaj večkotnika L in L z enako ploščino: p(l) = p(l ). Večkotnik L lahko prevedemo v ploščinsko enak pravokotnik na naslednji način. Najprej ga razbijemo na trikotnike. Vsakega od teh trikotnikov spremenimo npr. v trikotnik z osnovnico 1, tega pa potem v pravokotnik z osnovnico 1. Nato vse dobljene pravokotnike združimo v en sam pravokotnik 10

P (z osnovnico 1), ki je po razdelitvi enak večkotniku L. Podobno pretvorimo tudi večkotnik L v ploščinsko enak pravokotnik P. Ker imata pravokotnika P in P enaki ploščini, sta po razdelitvi enaka. To velja tudi za lika L in L. 4.2 Enakost po razkosanju Recimo, da imamo kvadrat, ki ga prerežemo po diagonali. Nastala dva manjša trikotnika sestavimo skupaj tako, da nastane enakokrak pravokotni trikotnik. Slika 6 Očitno je, da sta kvadrat in enakokrak pravokotni trikotnik enaka po razdelitvi in imata enako ploščino. Kaj pa, če gledamo na lika kot na množici točk? Kateremu od manjših trikotnikov pripadajo točke diagonale, po kateri režemo kvadrat? Kaj se dogaja pri spojitvi, ko manjša trikotnika združimo v enakokrak pravokotni trikotnik? Definicija 4.5. Množici A in B v istem evklidskem prostoru sta enaki po razkosanju, če obstajata končni razbitji A = r i=1 A i in B = r i=1 B i množic A in B na paroma disjunktne podmnožice A i, B i z lastnostjo A i = Bi, za vsak i = 1, 2,..., r. Če ne znamo odgovoriti na zgoraj zapisana vprašanja, potem ne moremo transformirati kvadrata v enakokrak pravokotni trikotnik tako, da bi našli bijekcijo med točkami obeh likov. Izkaže se, da je možno transformirati kvadrat v omenjeni trikotnik s končnim razbitjem, kjer se upošteva vse točke. Preden pokažemo enakost po razkosanju med likoma, si poglejmo še primer enakosti po razkosanju na podmnožicah realne osi. PRIMER 1: Množici {1, 2, 3,...} in {2, 4, 6,...} nista enaki po razkosanju. Enakost po razkosanju zahteva skladnost podmnožic. Skladnost je izometrija, torej ohranja razdalje. V našem primeru pa se razdalja med najbližjima točkama v prvi in v drugi množici razlikuje za faktor dve. PRIMER 2: Množici A = {1, 2, 3,...} in B = {1, 2, 3} {5, 6, 7,...} sta enaki po razkosanju. Podmnožico B, {5, 6, 7,...}, lahko premaknemo za ena levo (izometrija), da dobimo množico {4, 5, 6,...}. Temu pravimo premik iz neskončnosti. Sedaj je {1, 2, 3} {4, 5, 6,...} = {1, 2, 3,...}. Prav tako bi se lahko naloge lotili s premikanjem podmnožice A. {1, 2, 3,...} razbijemo na dve podmnožici, {1, 2, 3} in {4, 5, 6,...}. Potem množico {4, 5, 6,...} premaknemo za ena v desno (premik v neskončnost), da dobimo {5, 6, 7,...}. Idejo je jasno ponazoril David Hilbert s tako imenovanim Hilbertovim hotelom. Hilbertov hotel ima neskončno mnogo sob. Hotel je poln. Prispe popotnik, ki bi rad prespal 11

v hotelu. Problem s zasedenostjo hotela rešijo tako, da vsakega gosta preselijo v sobo, ki ima za ena višjo številko, kot jo je imela soba, v kateri je bival sedaj. Gost v sobi ena gre v sobo dve, tisti iz sobe dve gre v sobo tri,... Tako se soba številka ena izprazni in hotel sprejme popotnika. Potem pripelje avtobus z neskončno mnogo potniki. Ali jih lahko nastanijo v hotel? Lahko. Gost sobe ena se premakne v sobo dve, gost sobe dve se premakne v sobo številka štiri, gost iz sobe tri v sobo številka šest in tako naprej. Spraznijo se vse sobe lihega števila in prispeli potniki se lahko nastanijo v hotelu. Idejo premika proti neskončnosti oziroma iz neskončnosti uporabimo tudi, da pokažemo, da je krožnica enaka po razkosanju krožnici, kateri smo odvzeli eno točko. Naj bo krožnica enotska. Točko, ki jo bomo krožnici odvzeli, označimo z 0. Od točke 0 se po krožnici za poljubno racionalno razdaljo premaknemo v nasprotni smeri urinega kazalca in označimo točko z 1. Spet se pomaknemo za enako razdaljo v nasprotni smeri urinega kazalca in označimo točko z 2. Postopek nadaljujemo. Ker je dolžina krožnice iracionalna, v našem primeru 2π, lahko postopek nadaljujemo v neskončnost, brez da bi dve izbrani točki sovpadali. Označimo množico izbranih točk z A, A = {0, 1, 2, 3,...}. Naj bo B množica vseh točk krožnice, ki niso vsebovane v A. Zavrtimo vse točke množice A za izbrano razdaljo v nasprotni smeri urinega kazalca. Torej smo točko 0 zavrteli v 1, točko 1 v točko 2,... Množico A smo tako premaknili za eno enoto proti neskončnosti, množica B pa je ostala nespremenjena. Sedaj točka 0 na krožnici manjka. Seveda bi lahko dokaz začeli s krožnico z manjkajočo točko in premaknili točke iz neskončnosti (rotacija v smeri urinega kazalca), da bi dobili celo krožnico. Omenjena trditev je bolj formalno zapisana in dokazana v poglavju Paradoksalnost ravnine. Vendar na zgornji način zapisana trditev omogoča lažje razumevanje, kako pridemo od dokaza Hausdorffovega paradoksa (sfera je paradoksalna, če ji odstranimo končno mnogo točk) do dokaza paradoksa Banacha in Tarskega (celotna sfera je paradoksalna). Ideja dokaza Banac- Tarskega paradoksa je, da točke, ki jih odvzamemo od sfere pri Hausdorffovem paradoksu, lahko dobimo nazaj s premikom iz neskončnosti. Pri tem vsaka izmed omenjenih točk sfere leži na krožnici, ki je del sfere. Da zapolnimo manjkajočo točko na sferi rotiramo točke na omenjeni krožnici. Dejstvo, da prvotno manjka le končno mnogo točk na sferi je seveda ključno. Vrnimo se sedaj k problemu, kako pokazati, da sta kvadrat in enakokrak pravokotni trikotnik z enakima ploščinama enaka po razkosanju. Kvadrat razrežemo po diagonali, vse točke diagonale naj pripadajo zgornjemu manjšemu trikotniku, kot je prikazano na sliki. Slika 7 Ko želimo iz manjših trikotnikov tvoriti enakokraki pravokotni trikotnik, se pojavita se dve težavi. Prvič, samo ena od stranic obeh trikotnikov je lahko višina enakokrakega pravokotnega trikotnika. Drugič, manjka nam zgornja leva stran trikotnika. 12

Slika 8 Težavo deloma rešimo tako, da eno izmed obeh stranic, ki naj bi predstavljali višino, premaknemo na manjkajoči levi zgornji del trikotnika. Sedaj lahko trikotnika brez težav združimo skupaj. Še vedno nam manjka del katete trikotnika in eno oglišče. Ker je dolžina stranice kvadrata 1, ni težko izračunati, da nam manjka daljica dolžine 2 1, kar je približno 0,4. Težavo rešimo takole: Manjkajoči del vzamemo iz notranjosti prvotnega kvadrata (slika 9). Slika 9 Sedaj imamo manjkajoči del znotraj kvadrata. Ta del lahko zlahka zapolnimo tako, kot smo to naredili pri zapolnitvi manjkajoče točke krožnice. Predstavljajmo si, da v kvadrat načrtamo koncentrične krožnice s središčem, ki sovpada s središčem kvadrata. Vsaka od točk v kvadratu leži na eni izmed krožnic. Vse kar moramo narediti je, da točke na krožnici zavrtimo in zapolnimo praznino s premikom iz neskončnosti. Poudarimo, da enakost po razkosanju in enakost po razdelitvi nista ekvivalentni. Iz enakosti po razkosanju ne sledi enakost po razdelitvi, vendar obrat velja. Enakost po razdelitvi implicira enakost po razkosanju. 13

5 Paradoksalnost Poglavje je deloma povzeto po [1] in [4]. 5.1 Delovanje grupe Definicija 5.1. Naj bo G grupa z nevtralnim elementom e in X neprazna množica. Grupa deluje na množici X, če za vsak g G obstaja bijekcija g : X X, ki zadošča naslednjima pogojema: (1) e(x) = x za vsak x X. (2) (gh)x = g(h(x)) za vse g, h G in vse x X. PRIMERI: 1. Trivialno delovanje poljubne grupe G, ki je definirano kot g(x) = x, za vsak g G in vsak x X. 2. Ortogonalna grupa O n in specialna ortogonalna grupa SO n z delovanjem na R n. 3. Grupa simetrij poliedra deluje na množici njegovih stranic, oglišč, diagonal, lic,... 4. Simetrična grupa S n in njene podgrupe naravno delujejo na množici {1,..., n} tako, da permutirajo elemente. Vsaka grupa naravno deluje sama na sebi z leve strani. Eden izmed primerov paradoksalnosti grupe, ki deluje naravno, je prosta grupa ranga dva, ki si jo bomo ogledali malce kasneje. Najprej si poglejmo definicijo paradoksalnosti. 5.2 Paradoksalnost množice Definicija 5.2. Naj bo G grupa, ki deluje na množici X in E X. E je G-paradoksalna, če za nek m, n N obstajajo paroma disjunktne podmnožice množice E, označimo jih z A 1,..., A n in B 1,..., B m, in taki g 1,..., g n, h 1,..., h m G, da velja E = g i (A i ) in E = h i (B i ). O paradoksalnosti množice E torej govorimo, kadar ima množica E taki disjunktni podmnožici, da lahko vsako izmed teh dveh podmnožic razbijemo tako, da podmnožica pokrije celotno množico E, pri čemer smo na podmnožici delovali z grupo G. Zanimiv in skoraj nematematičen primer paradoksalnega razbitja je tudi slovar Hyperwebster matematika Iana Stewarta. Slovar Hyperwebster vsebuje vse možne besede, ki jih lahko tvorimo iz 26 črk angleške abecede, tudi nesmiselne. Besede so končne in urejene po abecednem redu, vsaka beseda je zapisana natanko enkrat. Hyperwebster vsebuje le seznam besed, ne tudi njihove razlage. Neka založba se odloči izdati slovar. Vse besede, ki se začnejo s črko A so v poglavju A, besede, ki se začnejo na B so v poglavju B in tako naprej. Besede so seveda urejene po abecednem redu tudi znotraj posameznega poglavja. Slovar izgleda takole: 15

Poglavje A:A, AA, AAA,..., AB, ABA, ABAA,..., ABB, ABBA,..., AC,... Poglavje B: B, BA, BAA,..., BB, BBA, BBAA,..., BBB, BBBA,..., BC,... Poglavje C: C, CA, CAA,..., CB, CBA, CBAA,..., CBB, CBBA,..., CC,.... Poglavje Z: Z, ZA, ZAA,..., ZB, ZBA, ZBAA,..., ZBB, ZBBA,..., ZC,... Ko se založba zave obsežnosti celotnega slovarja, sklene, da ga bo malce skrajšala. V poglavju A izpusti prvo črko (A) vsake besede, saj bo bralec vedel, da mora pri vseh besedah le dodati črko A. Podobno v poglavju B izpusti vse prve črke B in tako nadaljuje s krajšanjem prvih črk skozi vsa poglavja slovarja. Založba bo tako prihranila nekaj črnila, saj ji ne bo treba natisniti neskončno mnogo črk. Potem ugotovi, da je sedaj vseh 26 poglavji enakih, razen njihovih naslovov. Če izvzamemo naslove poglavji, je Hyperwebster razpadel na 26 identičnih kopij samega sebe. Zakaj bi torej tiskali 26 enakih poglavji? Založba spremeni naslov prvega poglavja v Hyperwebster in pripravi za tisk le eno poglavje. Poglavje razdeli na podpoglavja glede na črko, s katero se besede v poglavju začnejo. Spet okrajša vsako izmed podpoglavji tako, da izpusti prvo črko vsake besede, saj se glede na naslov podpoglavja ve, katero črko je treba besedam dodati. Nato založba ponovno opazi, da je vsako izmed podpoglavji enako... Proces zmanjševanja obsega slovarja lahko ponavljamo v neskončnost, zato se založba na koncu odloči, da slovarja ne bo izdala. Najbolj zanimivi primeri paradoksalnosti množice so tisti, pri katerih delujemo na podmnožico metričnega prostora z grupo, ki je podgrupa grupe izometrij. Za primer vzemimo že omenjen paradoks Banacha in Tarskega. Da lahko podvojimo žogo ali pa trdimo, da je Sonce enako veliko kot grah (kar je še en ekvivalent paradoksa), je precej pretresljiv rezultat in mnogi dvomijo v njegovo resničnost. Po drugi strani je podvojitev ploščine nekega lika popolnoma običajna, če nanj delujemo npr. s funkcijo raztega. Zato bomo, kadar je G grupa izometrij množice X, namesto E je G-paradoksalna, rekli, E je paradoksalna. 5.3 Paradoksalnost prostih grup in polgrup Kot smo že povedali, je prosta grupa ranga 2 paradoksalna z naravnim delovanjem. Poglejmo si strukturo proste grupe. Definicija 5.3. Prosta grupa z n generatorji je grupa, ki jo lahko zapišemo kot F n = σ 1, σ 2,..., σ n. Prosta grupa F, generirana z množico M, je torej grupa vseh končnih besed, ki so sestavljene iz črk {σ, σ 1 : σ M}, pri čemer sta dve besedi ekvivalentni, če lahko eno besedo pretvorimo v drugo z dodajanjem ali odstranjevanjem končno mnogo parov oblike σσ 1 ali σ 1 σ. Besedo, ki ne vsebuje takih parov, imenujemo okrajšana beseda. Da se izognemo ekvivalenčnim razredom, grupo F običajno sestavljajo le okrajšane besede. Identiteta grupe F je prazna beseda. Omenimo še, da so vse proste grupe enakega ranga izomorfne. 16

PRIMER 1: Prosta grupa z enim generatorjem je izomorfna grupi celih števil Z: F (a) = {1, a, a 1, aa, a 1 a 1,...}. PRIMER 2: Prosta grupa z dvema generatorjema: F (a, b) = {1, a, b, a 1, b 1, aa, a 1 a 1, ab, ba, a 1 b,...}. Proste grupe z več generatorji so nekomutativne. Opazimo, da so v grupi besede poljubnih dolžin, zato je moč vsake proste grupe neskončna. Trditev 5.1. Prosta grupa F ranga 2 je F -paradoksalna, kjer F deluje na sebi z leve strani. Dokaz. Naj bosta σ in τ prosta generatorja grupe F. Če je ρ eden od σ ±1,τ ±1, potem naj bo W (ρ) množica tistih besed iz F, ki se na levi začnejo z ρ. Tedaj je F = {1} W (σ) W (σ 1 ) W (τ) W (τ 1 ), kjer so množice paroma disjunktne. Velja pa tudi W (σ) σw (σ 1 ) = F in W (τ) τw (τ 1 ) = F ; če je h F \W (σ), potem σ 1 h W (σ 1 ) in h = σ(σ 1 h) σw (σ 1 ). Opomba 1: Dokaz smo v resnici naredili za F \{1}, vendar ga je mogoče izboljšati tako, da pokrije celo množico F. Opomba 2: Ko bomo v nadaljnjem govorili o paradoksalnosti grupe, bomo vedno referirali na delovanje z leve. Poglejmo si še delovanje polgrupe ranga 2 na množici X. Ker polgrupa ne vsebuje nujno inverzov, funkcija delovanja na X morda ni bijekcija. Zato za polgrupe ne moremo uporabiti definicije 5.1. Vendar so, kot kaže naslednja trditev, med prostimi grupami in prostimi polgrupami določene podobnosti. Trditev 5.2. Prosta polgrupa S z generatorjema τ in ρ ima dve disjunktni podmnožici A, B, tako da velja τs = A in ρs = B. Zato velja, da vsaka grupa s prosto polgrupo ranga 2 vsebuje neprazno paradoksalno množico. Dokaz. Naj bo A množica besed, generiranih s τ, ρ, ki se z leve začnejo s τ. Podobno, naj bo B množica besed, generiranih s τ in ρ, ki se z leve začnejo z ρ. Če je S vsebovana v grupi, je S že sama paradoksalna množica grupe, saj je S = τ 1 A = ρ 1 B. 17

6 Paradoksalnost ravnine Deli poglavja so povzeti po [4]. 6.1 O transcendentnih in algebraičnih številih Ker bomo v nadaljevanju v enem od dokazov uporabili delitev števil na algebraična in transcendentna, se spomnimo pomena pojmov transcendentnosti in algebraičnosti. Definicija 6.1. Naj bo E razširitev polja F. Element α E je algebraičen nad F, če obstaja tak nekonstanten polinom f(x) F [x], da velja f(α) = 0. V nasprotnem primeru je α transcendenten nad F. Kadar je E = R in F = Q, namesto α R je algebraično nad Q, običajno rečemo samo, da je α algebraično število. Podobno velja tudi za transcendentna števila. Najbolj znana primera transcendentnih števil sta π in e. V nasprotju s pogostim prepričanjem, da je transcendentnih števil malo, je dejstvo, da je večina realnih števil transcendentnih; množica vseh realnih števil je neštevno neskončna. Ker je množica algebraičnih števil števno neskončna in se algebraičnost in transcendentnost izključujeta, je množica transcendentnih števil neštevna. PRIMER 1: Število 5 je algebraično nad Q, ker je ničla polinoma x 2 5 Q[x]. PRIMER 2: Povedali smo že, da je e transcendentno število. To pomeni, da je e R transcendentno nad Q. Nad R pa je e algebraično, saj je ničla polinoma x e R[x]. Primer kaže, da je algebraičnost oz. transcendentnost števila odvisna od polja nad katerim je polinom. V podpoglavju Sierpiński Mazurkiewiczev paradoks, bomo dokazovali s takimi števili oblike e iθ, ki so transcendentna. Spomnimo se, da je e iθ kompleksno število. V kompleksni ravnini upodobi točko na enotski krožnici, ki je za kot θ oddaljena od osi x. Kot merimo v nasprotni smeri urinega kazalca. 19

6.2 Geometrijski paradoks Slika 1 Za obravnavo tega podpoglavja moramo definicijo 5.1 nekoliko razširiti: Definicija 6.2. E je števno G-paradoksalna natanko tedaj, ko je E = i=1 g i A i = h i B i, kjer je {A 1, A 2,..., B 1, B 2,...} števni nabor paroma disjunktnih podmnožic množice E in so g i, h i G. Spomnimo se, da S 1 označuje enotsko krožnico, SO 2 pa grupo vseh rotacij krožnice. Trditev 6.1. S 1 je števno SO 2 -paradoksalna. Če G označuje grupo translacij modulo 1, ki delujejo na množici [0, 1), potem je [0, 1) števno G-paradoksalna. Dokaz. Definirajmo ekvivalenčne razrede na S 1 tako, da sta dve točki v istem ekvivalenčnem razredu, če eno dobimo iz druge z rotacijo okoli središča krožnice, ki je racionalen večkratnik 2π radianov. Z uporabo aksioma izbire določimo množico M, ki vsebuje po en element vsakega ekvivalenčnega razreda. Ker je množica racionalnih števil števna, lahko rotacije označimo z {ρ i : i = 1, 2,...} in definiramo množico M i = ρ i (M). Potem je {M i } razbitje krožnice S 1. Ker sta poljubni dve M i kongruentni glede na rotacijo, lahko sodo indeksirane množice rotiramo tako, da pokrijejo vse M i, to je, celo krožnico. Podobno velja za liho indeksirane množice. To konstrukcijo lahko prenesemo v [0,1) z bijekcijo, ki (cos θ, sin θ) preslika v θ/2π. 6.3 Sierpiński Mazurkiewiczev paradoks Presenetljivo je, da lahko konstruiramo paradoksalne primere z uporabo izometrij, tudi če se omejimo na končno mnogo kosov. Naslednja konstrukcija tudi ne zahteva aksioma izbire, kar kaže na to, da ne moremo vseh paradoksalnih rezultatov pripisovati le aksiomu izbire. Spomnimo se dogovora: če pri paradoksalnosti grupe posebej ne omenjamo, gre za grupo izometrij. 20 i=1

Trditev 6.2. (Sierpiński Mazurkiewiczev paradoks) Obstaja neprazna, paradoksalna podmnožica ravnine R 2. Ta trditev je posledica naslednjih dveh rezultatov. Razlog za obstoj take podmnožice ravnine je, da vsebuje ravninska grupa izometrij G 2 prosto polgrupo. Trditev 6.3. G 2 vsebuje dve izometriji, τ in ρ, ki generirata prosto polgrupo S G 2. Poleg tega velja, če sta w 1, w 2 S taki besedi, da se w 1 z leve začne s τ, w 2 pa z ρ, potem w 1 (0, 0) w 2 (0, 0). Dokaz. Da poenostavimo dokaz, obravnavajmo R 2 kot kompleksno ravnino. Naj bo θ tak, da je u = e iθ transcendentno kompleksno število. Ker je algebraičnih števil na enotski krožnici števno mnogo, tak θ obstaja. Naj bo τ translacija τ(z) = z + 1 in ρ rotacija ρ(z) = uz. Dokazati moramo le, da τ in ρ zadoščata drugi trditvi, saj prva izhaja iz druge. Če je w 1 = w 2 in je ena od besed začeten del druge (ali je identiteta), potem po krajšanju z leve dobimo w = 1. Sledi w ρ(0) = ρ(0) in w τ(0) = τ(0), kar je protislovje druge trditve. Če pa nobena od besed ni začetni del druge, potem po krajšanju z leve dobimo w 1 in w 2, ki se z leve zagotovo razlikujeta. Naj bo w 1 = τ j 1 ρ j 2...τ jm in w 2 = ρ k 1 τ k 2...τ k l, kjer sta m, l 1 in so vsi eksponenti pozitivna cela števila. Ker je ρ(0) = 0, se w 1 in w 2 končata na potenco generatorja τ, razen kadar je w 2 = ρ k 1. Potem je in w 1 (0) = j 1 + j 3 u j 2 + j 5 u j 2+j 4 +... + j m u j 2+j 4 +...+j m 1. w 2 (0) = k 2 u k 1 + k 4 u k 1+k 3 +... + k l u k 1+k 3 +...+k l 1 (= 0, če w 2 = ρ k 1 ). Če w 1 (0) = w 2 (0), lahko besedi odštejemo in dobimo nekonstanten polinom s celimi koeficienti, ki je enak nič za vrednost e iθ, kar je protislovno izbiri θ. Trditev 6.4. Naj grupa G, ki deluje na X, vsebuje taka τ in ρ, da za nek x X velja, da sta poljubni dve besedi generirani s τ, ρ, kjer se ena začne s τ, druga pa z ρ, ne ujemata, ko delujeta na x. Potem obstaja neprazna G-paradoksalna podmnožica množice X. Dokaz. Naj bo S G polgrupa, generirana s τ, ρ. Naj bo E S-orbita x, to je E = {gx : g S}. Potem sta τ(e), ρ(e) E in velja τw 1 (x) ρw 2 (x) za poljubni w 1, w 2 S. Zato τ(e) ρ(e) =. Ker τ 1 (τe) = E = ρ 1 (ρe), je E G-paradoksalna. 21

7 Hausdorffov paradoks Trditev 7.1. Če je G paradoksalna in deluje na X brez netrivialnih fiksnih točk, potem je X G-paradoksalna. Torej je X F-paradoksalna, kadar F, prosta grupa ranga 2, deluje na X brez netrivialnih fiksnih točk. Dokaz. Naj bo A i, B j G in g i, h j G taka, da je G paradoksalna. Po aksiomu izbire obstaja množica M, ki vsebuje natanko po en element iz vsake G-orbite množice X. Potem je {g(m) : g G} particija množice X; množice so paroma disjunktne, ker ni netrivialnih fiksnih točk v delovanju grupe G. Naj bosta A i = {g(m) : g A i } in B j = {g(m) : g B j }. Potem je {A i } {B i } paroma disjunkten nabor podmnožic X, saj so {A i } {B i } paroma disjunktne. Iz G = g i A i = h j B j sledi X = g i A i = h j B j. Trditev o F sledi iz izreka 5.1. Trditev 5.1 nam pove nekaj o tem, katere grupe so paradoksalne. Ker podgrupa grupe G deluje z leve na G brez netrivialnih fiksnih točk, je naslednji izrek takojšnja posledica omenjene trditve. Trditev 7.2. Grupa s paradoksalno podgrupo je paradoksalna. Torej je paradoksalna vsaka grupa s prosto podgrupo ranga 2. Glede na podane trditve se nam poraja vprašanje ali so grupe, ki imajo prosto podgrupo ranga 2 edine paradoksalne grupe. Niso. Izkaže se, da obstaja celo paradoksalna grupa, ki nima nobenega elementa neskončnega reda in zato ne vsebuje nobene proste podgrupe. Vendar za vse grupe evklidskih izometrij velja, da bodisi ne izpolnjujejo pogojev za paradoksalnost bodisi vsebujejo prosto nekomutativno podgrupo. Grupi evklidskih izometrij v eni in dveh dimenzijah ne vsebujeta nobene proste nekomutativne podgupe. Najnižja razsežnost prostora v katerem se nekomutativna prosta grupa pojavi je tridimenzionalen prostor. Trditev 7.3. V SO 3 obstajata dva elementa, φ in ρ, ki sta neodvisna. Zato velja, če n 3, potem ima SO n prosto podgrupo ranga 2. Dokaz. Naj bosta φ in ρ rotaciji v smeri nasproti urinega kazalca; prva okli osi z, druga okoli osi x in naj obe oklepata z osema kot arccos 1 3. Potem lahko φ±1 in ρ ±1 zapišemo z matrikama: φ ±1 = 1 2 2 0 3 3 ± 2 2 3 1 0 3 0 0 1 1 0 0 ρ ±1 = 0 1 0 ± 2 2 3 2 2 3 3 1 3 Pokazati moramo, da ni nobena netrivialna okrajšana beseda, generirana s φ ±1 ali z ρ ±1, enaka identiteti. Ker konjugacija s φ ne vpliva na to ali beseda izgine ali ne, lahko obravnavamo le besede, ki se na desni končajo s φ ±1. 23

Dokazujemo s protislovjem. Naj bo w beseda, ki se konča s φ ±1 in je enaka identiteti. Trdimo, da je w(1, 0, 0) oblike (a, b 2, c)/3 k, kjer so a, b, c cela števila in b ni deljivo s 3. Torej w(1, 0, 0) (1, 0, 0), protislovje. Trditev, da je w(1, 0, 0) oblike (a, b 2, c)/3 k dokažemo z indukcijo na dolžino besede. Če je w dolžine ena, potem je w = φ ±1 in w(1, 0, 0) = (1, ±2 2, 0)/3. Naj bo w = φ ±1 w ali w = ρ ±1 w, kjer je w (1, 0, 0) = (a, b 2, c )/3 k 1. Po indukcijski predpostavki velja, da je w(1, 0, 0) = (a, b 2, c)/3 k, kjer so a = a 4b, b = b ± 2a, c = 3c, če w = φ ±1 w ali a = 3a, b = b 2c, c = c ± 4b, če w = ρ ±1 w. V obeh primerih so a, b, c vedno cela števila. Pokazati moramo še, da b ni nikoli deljivo s 3. Besede so štirih različnih tipov; w je oblike φ ±1 ρ ±1 v, ρ ±1 φ ±1 v, φ ±1 φ ±1 v ali ρ ±1 ρ ±1 v, kjer je v lahko prazna beseda (identiteta). V prvih dveh primerih je b = b 2c, kjer 3 deli c ali b = b ± 2a, kjer 3 deli a. Toda če b ni deljiv s 3, potem tudi b ni. Za preostala dva primera pa naj bodo a, b, c cela števila, ki jih dobimo iz v(1, 0, 0). Potem je v obeh primerih b = 2b 9b. Na primer, v tretjem primeru je b = b ± 2a = b ± 2(a 4b ) = b + b ± 2a 9b = 2b 9b. Podobno velja za četrti primer. Ponovno: če b ni deljiv s 3, tudi b ni. Rotacijska grupa SO 3 je torej paradoksalna. Če želimo uporabiti trditev 7.1, mora grupa delovati na množici X brez netrivialnih fiksnih točk. Težava je v tem, da vsak element grupe rotacij fiksira vse točke neke premice (osi rotacije) v R 3. Vzemimo za X množico točk enotske sfere S 2. Vsaka rotacija, ki ni identiteta, ima na sferi S 2 dve fiksni točki. Točki sta enaki preseku rotacijske osi in sfere. Z D označimo množico vseh fiksnih točk. Ker je grupa SO 3 števna, je števna tudi D. Če je P S 2 \D in je g SO 3, potem je tudi g(p ) v S 2 \D; če h fiksira g(p ), potem je tudi P fiksna točka g 1 hg. Zato SO 3 deluje na S 2 \D brez netrivialnih fiksnih točk. S tem smo dokazali tudi Hausdorffov paradoks: Trditev 7.4. (Husdorffov paradoks) Obstaja taka števna podmnožica D S 2, da je S 2 \D SO 3 -paradoksalna. Kot že rečeno, je mogoče Hausdorffov paradoks izboljšati. Naslednji izrek pove, da je celotna sfera paradoksalna. Ker je dokaz le-tega precej bolj zahteven kot dokaz Hausdorffovega paradoksa, ga ne bom navedla. Dokaz najdete v [4], po kateri je tudi povzeto poglavje. Priporočam pa tudi knjigo [5], v kateri je dokaz sicer zapisan na daljši, a bolj poljuden način. Trditev 7.5. (Banach-Tarski paradoks) S 2 je SO 3 -paradoksalna. 24

8 Zaključek V diplomskem delu smo vpeljali pojem paradoksalnosti množice in ga predstavili na primeru Hausdorffovega paradoksa. Zaključimo lahko, da za razlago koncepta paradoksalnosti množice potrebujemo znanje o delovanju grupe in razumevanje aksioma izbire. Za dokazovanje Hausdorffovega paradoksa pa potrebujemo še znanje o rotacijskih in prostih grupah. V diplomski nalogi smo videli tudi primera paradoksalnosti ravnine. Razložili smo pojma enakosti po razkosanju in enakosti po razdelitvi, ki osvetlita razumevanje paradoksalnih konstrukcij. K razumevanju le-teh prispeva tudi koncept neskončnosti, kateremu smo posvetili prvo poglavje. Omenili smo Banach-Tarski paradoks, ki je tesno povezan s Hausdorffovim paradoksom. Rezultati, zbrani v tem diplomskem delu, dajejo osnovo za nadaljevanje študija paradoksalnih množic oziroma paradoksalnih grup. V nadaljnje bi bilo zanimivo raziskati, kako dokazati paradoks Banacha in Tarskega. Diplomsko delo bi lahko razširili tudi na koncept merljivosti množic, predvsem na Lebesguevo merljivost. Če bi želeli raziskovati izven matematičnega področja, bi lahko delo navezali na področje fizike in poskušali primerjati Hausdorffov oz. Banach-Tarski paradoks z nekaterimi fizikalnimi rezultati. 25

9 Literatura [1] Grillet, P. A. (2007). Abstract algebra. New York: Springer. [2] Hladnik, M. (1995). Moderna kvadratura kroga. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije [3] Jech, T. J. (1973). The axiom of choice. Amsterdam: North-Holland Publishing Company [4] Wagon, S. (1985). The Banach-Tarski Paradox. Cambridge: Cambridge University Press [5] Wapner, L. M. (2005). The Pea and the Sun: A Mathematical Paradox. Boca Raton: Taylor & Francis Group 27