UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ŠTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI UČITELJ SMER: FIZIKA - MATEMATIKA KANDIDAT: JOŠT MLINARIČ MENTOR: prof. dr. MATIJA CENCELJ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2017

Zahvala Iskreno se zahvaljujem prof. dr. Matiju Cenclju za mentorstvo, vse nasvete in ideje, ki so bili v veliko pomoč pri nastajanju diplomskega dela. Zahvala gre tudi partnerici, hčerki, staršem, sestri in babici, za vso potrpežljivost in podporo, ki so mi jo izkazali v vseh letih študija in me spodbujali vse do konca. Zahvalil bi se tudi vsem profesorjem ter sošolkam in sočolcem, s katerimi smo skupaj preživeli študentsko obdobje in drug drugega spodbujali v napornih trenutkih. i

Povzetek V diplomskem delu je opisan in obravnavan problem lociranja kamere ob zajetju fotografije nekega objekta kvadraste oblike oziroma zgradbe. V prvem delu je predstavljeno teoretično ozadje samega postopka, ki temelji na principih elementarne in projektivne geometrije, v drugem delu pa so teoretične ugotovitve preverjene še praktično na majhni škatli kvadraste oblike, predstavljeni pa so tudi vzroki za napake pri merjenju oziroma izračunu samega položaja fotoaparata. Ključne besede: položaj fotoaparata, projekcija, višina fotoaparata, razdalja. iii

Abstract The problem of determining the location of the camera for taking a given photo of a rectangular body e.g. a building is described and considered. In the first part the theoretical prerequisites of elementary and projective geometry are introduced and the problem is solved, in the second part the solution is checked in a practical example of a photo of a small box. The reasons for inacuracy are discussed. Keywords: camera location, projection, camera height, distance. iv

Kazalo Povzetek Abstract iii iv 1 Uvod 1 2 Evklidska geometrija 2 2.1 Afina geometrija................................ 3 2.2 Afine transformacije in osnovni izrek afine geometrije............ 3 2.3 Aksiomatsko definirana afina ravnina..................... 4 2.4 Projektivna geometrija............................. 4 2.4.1 Vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo.......... 5 3 Talesovi izreki 6 4 Določanje položaja kamere 8 4.1 Ozadje postopka................................ 8 4.2 Postopek določanja položaja kamere...................... 12 5 Praktični del 24 5.1 Mala škatla pravokotne oblike......................... 24 6 Zaključek 27 6.1 Napaka odvisna od resolucije fotografije.................... 27 6.2 Napaka odvisna od oddaljenosti fotoaparata................. 27 Literatura 31 Kazalo slik 32 Seznam tabel 33 v

1 Uvod Ljudje radi med seboj primerjamo preteklost in sedanjost, pri tem pa velikokrat primerjamo tudi posamezne pomembnejše zgradbe. Preteklost in sedanjost zgradbe z okolico najlažje prikažemo z dvema fotografijama; prva prikazuje fotografijo zgradbe v preteklosti, druga pa prikazuje isto zgradbo v sedanjem času. Če želimo, da je naša primerjava relevantna oziroma smiselna, moramo seveda upoštevati nekaj pomembnih dejstev. Smiselno je primerjati isti del zgradbe, saj je namreč brez pomena primerjati fotografiji, na katerih je na eni fotografirana sprednja stran zgradbe, na drugi pa zadnja stran. Poleg tega pa primerjava izgubi smisel tudi, če fotografiji nista zajeti iz enakega položaja. Fotoaparat torej mora biti pri zajetju ene in druge fotografije na istem položaju. In tega problema se bom lotil v svojem diplomskem delu. Opisal bom postopek kalibracije kamere, to je določanje položaja kamere iz fotografije. Problem razumevanja relativnega položaja fotografije in samega objekta se raziskuje s pomočjo matematike in računalniške znanosti. Za osnovo sem uporabil članek iz matematične revije [1], ki se primera loti zgolj teoretično, ga razširil in na koncu uporabil oziroma preveril še praktično. Poleg omenjenega članka, sta mi bila v pomoč še dva članka, prav tako iz matematičnih revij [2] [3], in pri evklidski geometriji tudi zapiski s predavanj mojega mentorja, prof. dr. Matija Cenclja[4]. Sam postopek temelji na elementarni ravninski geometriji in osnovnih principih projektivne in afine geometrije. 1

2 Evklidska geometrija Z evklidsko geometrijo se srečamo že v fazi našega otroštva oziroma pri prvih stikih z matematiko, saj poleg tega, da živimo v evklidskem prostoru, evklidsko geometrijo spoznavamo tudi v šoli, ko spoznavamo različne geometrijske like in telesa oziroma ko spoznavamo pojem daljice in premice. Večinoma geometrija, ki jo spoznavamo v osnovni šoli, zadošča našim potrebam po vključevanju geometrije v naše življenje, a se vendarle izkaže, da študij neevklidske geometrije ni zaman. Vsi spoznamo daljice in premice ter like kot so kvadrat, krog in pravokotnik, obenem pa spoznamo tudi lastnosti togih premikov, kot sta zrcaljenje in rotacija, in da se pri tem ohranjajo vse lastnosti daljic, premic oziroma likov. Danes na voljo veliko različne tehnologije, ki nam omogoča igranje igric, risanja v treh dimenzijah in še bi lahko našteval. In ravno pri zaznavanju na primer geometrijskih teles, kot je kvader, opazimo, da si z evklidsko geometrijo ne znamo razložiti vsega. Namreč pri premikanju kvadra po zaslonu ugotovimo, da se koti ne ohranjajo, kakor bi pričakovali po petih aksiomih evklidske geometrije, ki jih je približno 300 let pred našim štetjem v zbirki 13 knjig z naslovom Elementi zapisal Evklid. Pa si poglejmo teh pet postulatov oziroma aksiomov, ki so za lažje razumevanje in uporabo prevedeni v sodobni matematični jezik: (E1) Skozi različni točki poteka natanko ena premica. (E2) Premica je neomejena množica točk. (E3) Za različni točki obstaja krožnica, ki ima središče v prvi točki in poteka skozi drugo točko. (E4) Vsi pravi koti so med seboj skladni. (E5) Za vsako točko X in premico p obstaja natanko ena premica, ki gre skozi X in je vzporedna premici p. V 19. stoletju sta János Bolyai in Nikola Ivanovič Lobačevski [5] neodvisno odkrila hiperbolično ravninsko geometrijo, ki zadošča prvim štirim postulatom, ki jih je zapisal Evklid (E 1 -E 4 ), a ne zadošča postulatu o vzporednosti. S tem sta dokazala, da je peti postulat 2

(E 5 ) o vzporednosti posledica prvih štirih postulatov. Za nas to ni tako zelo pomembno, zato se vrnimo k vprašanju, čemu služi študij neevklidske geometrije. Odgovor je preprost. Danes, v dobi računalnikov, prikaz premikanja objektov na zaslonu ni možen v okviru evklidske geometrije, torej neevklidksa geometrija ni nekaj teoretičnega, pač pa je prisotna tudi v našem vsakdanjem življenju. Zamislimo si na primer primer kvadra, ki ga premikamo po zaslonu. Ugotovimo, da se koti in dolžine ne ohranjajo. 2.1 Afina geometrija Definicija. Naj bodo V končnorazsežen vektorski prostor nad obsegom O, U < V vektorski podprostor in a V. Množico a+u = {a+x : x U} imenujemo afin podprostor v V. Množica A je afin prostor, če je afin podprostor v kakšnem vektorskem prostoru. 2.2 Afine transformacije in osnovni izrek afine geometrije Definicija. Točke x, y in z v afinem prostoru A so kolinearne, če obstaja afina premica U A, ki jih vsebuje. Točke x, y, z in w so v afinem prostoru A koplanarne, če obstaja afina ravnina U A, ki jih vsebuje. Definicija. Naj bosta A in B afina podprostora v vektorskem prostoru V, razsežnosti dima=dimb 2. Bijektivno preslikavo τ : A B, ki poljubne tri kolinearne točke preslika v kolinearne, imenujemo afina transformacija. Poglejmo si sedaj osnovni izrek afine geometrije, ki je zapisan spodaj. Izrek 2.1 (Osnovni izrek afine geometrije). Naj bodo V vektorski prostori nad obsegom O in A, B V afina podprostora razsežnosti dima=dimb 2. Preslikava τ : A B je afina transformacija, ki ohranja vzporednost, natanko tedaj, ko obstajajo a, b V in obrnljiva semilinearna preslikava M, da je τ(x) = M(x a) = +b. Definicija. Preslikava M : V V iz vektorskega prostora V nad O nazaj vase je semilinearna, če obstaja tak avtomorfizem φ obsega O, da za vsaka x, y V in za vsak α O velja: M(x + y) = M(x) + M(y) (aditivnost) M(ax) = φ(α)m(x) (semihomogenost) 3

2.3 Aksiomatsko definirana afina ravnina Aksiomatsko definirana afina ravnina je par {A, A 1 }, kjer je A 1 podmnožica potenčne množice 2 A. Elemente prve množice imenujemo točke, elemente druge pa premice. Če za točko X A 0 in premico p A 1 velja X p, pravimo da točka X leži na premici p oziroma, da gre premica p skozi točko X. Če točke ležijo na isti premici, so kolinearne. Premici p in q se sekata, če obstaja X, da je hkrati na p in q (X p X q). Premici p in q sta vzporedni (p q), če se ne sekata ali pa je p = q. Množica A 1 oziroma relacija med točkami in premicami zadošča naslednjim aksiomom. (A1) Skozi različni točki poteka natanko ena premica. (A2) Za vsako točko P in premico p obstaja natanko ena premica, ki gre skozi P in je vzporedna s p. (A3) Obstajajo tri nekolinearne točke. (A4) Za poljubni točki A in B obstaja translacija τ, da je τ(a) = B. (A5) Obstaja točka O, da za taki točki A in B, da O A in B OA, obstaja razteg ρ s središčem v O, za katerega velja ρ(a) = B. 2.4 Projektivna geometrija Projektivno geometrijo dobimo iz afine tako, da vsaki množici vzporednih premic v afini geometriji dodamo točko "na obzorju", to je točka v neskončnosti. Točka v neskončnosti je točka, v kateri se sekajo vse družine paroma vzporednih premic. Tako se vse vzporedne premice sekajo v novo dodani točki na obzorju. V projektivni ravnini se tako poljubni premici sekata v natanko eni točki. Definicija. Naj bo V končnorazsežen vektorski prostor nad obsegom O. Množica vseh vektorskih podprostorov v V se imenuje projektivna geometrija P (V ) nad V. Enorazsežne podprostore imenujemo točke projektivne geometrije, dvorazsežne projektivne premice, vektorske podprostore korazsežnosti 1 pa imenujemo projektivne hiperravnine. Projektivni prostor P V je množica vseh točk projektivne geometrije P (V ) 4

2.4.1 Vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo Lema 2.2. Naj bo ã : A(A) P (V ) standardna vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo. Za vsak x + U A(A) je ã(x + U) W = U. Posledica 2.3. Naj bo ã : A(A) P (V ) standardna vložitev afine ravnine v projektivno ravnino. Različni premici p in q v afini ravnini A sta vzporedni natanko tedaj,ko se l(p) in q sekata v točki v neskončnosti. Posledica 2.3 je za nas bistvenega pomena, saj bomo lahko prevzeli, da se vzporedne premice v slikovni ravnini sekajo v skupni točki, in sicer v točki v neskončnosti. Dokaz. Naj bosta U p in U q vektorska podprostora v W in naj bosta x, y V, da velja p = x + U p in q = y + U q. Ker sta p in q afini premici, velja dimu p = dimu q = 1. Če sta premici p in q vzporedni, potem velja U p = U q = U. Tedaj sta l(p) = Lin{x} U in l(q) = Lin{y} U različni ravnini v troraszežnem prostoru, zato je njun presek enorazsežen podprostor v V. Jasno je potem l(p) l(q) = U. Ker je U < W, je presek U točka v neskončnosti. Denimo obratno, da se l(p) in l(q) sekata v točki v neskončnosti. Torej obstaja U < W razsežnosti 1, da je l(p) l(q) = U. Po lemi 2.2 je l(p) W = Up. Ker je U < l(p) in U < W, je U < l(p) W = U p. Ker je dimu = dimu p, je U = U p. Enako sklepamo, da je U = U q. Sledi U p = U q, torej sta afini premici p in q vzporedni. 5

3 Talesovi izreki Pri nekaterih dokazih za podobne trikotnike bom uporabil naslednja Talesova izreka. Izrek 3.1 (1. Talesov izrek). Če vzporednici sekata kraka kota, sta dolžini odsekov na enem kraku kota v enakem razmerju kot dolžini istoležnih odsekov na drugem kraku. a 2 : a 1 = b 2 : b 1 Slika 1: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 in c 2. 6

Izrek 3.2 (2. Talesov izrek). Če vzporednici sekata kraka kota, sta dolžini odsekov na enem kraku v enakem razmerju kot dolžini istoležnih odsekov na vzporednicah. a 2 : a 1 = c 2 : c 1 b 2 : b 1 = c 2 : c 1 Slika 2: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1 in b 2. 7

4 Določanje položaja kamere Trditev 4.1. Če je bila fotografija pravokotnega telesa oziroma prizme zajeta z vodoravno postavljeno camero obscuro, ima naslednje razdalje (Slika 3) a, b, c, d in e, Slika 3: Shema za razdaljami na fotografiji a, b, c, d in e. potem je bila kamera postavljena levo od B v smeri od C proti B in pred B, kjer sta BC in AB dejanske mere zgradbe. Enačbo (1) in enačbo (2) bomo dokazali v nadaljevanju. dc BC (1) d(b c) + e(b a) ae AB (2) d(b c) + e(b a) 4.1 Ozadje postopka Predpostavka je, da je naša kamera camera obscura in da kamera ni digitalna, pač pa uporablja film in je vodoravno postavljena glede na podlago. Pod temi pogoji oziroma predpostavkami, je slika na negativu enaka, kot če bi projicirali tridimenzionalen svet na ravnino, kar bomo poimenovali slikovna ravnina, na kateri bodo ravne črte povezovale objekt z opazovalčevim očesom. 8

Slika 4: Prikaz projiciranja objekta na slikovno ravnino. Edina razlika s camero obscuro je, da je na filmu slika zrcaljena preko točke (v našem primeru preko očesa) in je obrnjena navzdol ter zamaknjena v desno. Potrebovali bomo še nekaj elementarnih dejstev, ki bodo definirali našo projekcijo. Trditev 4.2. Dve premici, ki sta vzporedni med seboj in glede na tla, nista pa vzporedni na slikovni ravnini, se stikata oziroma sekata v eni sami točki v slikovni ravnini, ki jo bomo poimenovali stičišče množice vzporednih črt oziroma točka v neskončnosti. Slika 5: Vzporedne črte, ki niso vzporedne v slikovni ravnini, se sekajo v točki v neskončnosti. Predstavljajte si množico ravnin, kjer vsaka poteka skozi oko in eno izmed vzporednih črt, katerih nosilke ne gredo skozi oko. Potem se ravnine sekajo v premici, ki se v slikovni ravnini stika v stičišču oziroma točki v neskončnosti. 9

Slika 6: Vse točke ležijo na vodoravni premici - horizont. Vse točke, ki ležijo na odebeljenih daljicah (na shemi), in tudi točka v neskončnosti ležijo na eni sami vodoravni črti, ki ji bomo rekli horizont oziroma obzorje. Trditev 4.3. Črte, ki so v resničnosti med seboj vzporedne in so tudi vzporedne s slikovno ravnino, so tudi vzporedne, ko jih projiciramo na slikovno ravnino. Slika 7: Vzporedne daljice, ki so vzporedne s slikovno ravnino, so vzporedne tudi v slikovni ravnini. Iz tega sledi, da so resnične vodoravne daljice vzporedne s slikovno ravnino projicirane v vodoravnice oziroma horizontalne daljice. 10

Trditev 4.4. Prav tako se ohranjajo tudi razmerja med vzporednimi daljicami, ko jih projiciramo na slikovno ravnino. Na sliki 8 je to prikazano, in sicer velja X Y = x y. Najprej si poglejmo Talesov izrek, s katerim bomo dokazali razmerja med daljicami v resničnosti in v slikovni ravnini. Izrek 4.5 (Talesov izrek). Če množico premic, ki se sekajo v eni točki, sekamo z množico vzporednic, je razmerje odsekov na eni premici šopa enako razmerju enakoležnih odsekov na katerikoli premici istega šopa. Dokaz. Razmerje X Y se ohranja, saj se po Talesovem izreku ohranjajo razmerja odsekov. Torej navpična črta med X in Y ter x in y po Talesovem izreku ohranja razmerje. Slika 8: Razmerje X:Y na fotografiji in razmerje x:y v slikovni ravnini. Trditev 4.6. Črte na tleh, ki objekt povezujejo z opazovalcem, se na slikovni ravnini pojavljajo kot navpičnice. Predstavljajmo si ravnino, ki vsebuje oko fotografa in črte, ki vodijo do fotografovega očesa. 11

Slika 9: Črte, ki objekt povezujejo z opazovalcem. Ta ravnina je usmerjena navpično in slikovno ravnino seka v navpični premici. Velja tudi obrat Trditve 4.6: premice v ravnini tal, katerih projekcije so navpične, so povezane s fotografovimi očmi. 4.2 Postopek določanja položaja kamere Postopek določanja je enak, kot so ga opisali v matematični reviji [1]. Dodane so še ostale izpeljave, da je bralcem lažje razumljivo, kako smo prišli do rezultata, in nekaj pojasnil. V reviji so se postopka lotili s fotografijo John M. Greene Hall at Smith College (avtor Edgar Scott), ki je bila posneta okoli leta 1935. Ker je zgradba dokaj zapleteno telo, poiščemo na zgradbi pravokotno telo, ki je primerno za analizo. 12

Slika 10: Fotografija John M. Greene Hall at Smith College [1]. To sliko bomo poimenovali shema. Slika 11: Shema dela fotografije za analizo. Shema ustreza tlorisu (Slika 12), kjer je BC sprednji del zgradbe, P pa označuje mesto fotografa. 13

Slika 12: Tloris sheme. Naša naloga je izračunati razdalje IB in JB. Najprej bomo izračunali IB, nato pa bomo izračunali oziroma izrazili še JB. Naš namen je izraziti IB BC z različnimi dolžinami a, b, c, d in e v slikovni ravnini. Predpostavljamo, da lahko izmerimo BC, potem pa tolikokrat množimo z razmerjem, da dobimo IB. Da bo dokaz lažje razumljiv, bomo postopek pokazali na shemi s koti: 14

Slika 13: Shema. Začeli bomo s podaljšanjem EF in AB na shemi, da bomo določili pozicijo levega stičišča V, ki je točka v neskončnosti. Potem opazimo, da je PI iz tlorisa vzporeden AB.Po Trditvi 4.2 gre na shemi skozi stičišče V. Po Trditvi 4.6 je ta slika navpična, ker gre skozi fotografovo oko, zato je točka I presečišče te navpičnice in podaljšane daljice BC. Slika 14: Točka v neskončnosti V in točka I. Sedaj na tlorisu sheme dodamo vodoravnico skozi B, ki je vzporedna slikovni ravnini, daljici PI in DC pa podaljšamo, da sekata to vodoravnico. Na tlorisu to zgleda takole (Slika 15): 15

Slika 15: Točka P - položaj kamere ob zajetju fotografije. Po Trditvi 4.2, so te daljice in premice vzporedne tudi na shemi. Iz tlorisa je torej daljica CL vzporedna AB in PI, torej gre tudi skozi stičišče vzporednic oziroma skozi točko v neskončnosti V. Slika 16: Premica skozi točki C in L poteka skozi točko v neskončnosti V. 16

Za lažjo predstavo bomo kote označili takole (Slika 17): Slika 17: Tloris sheme z označenimi koti. kot α = IBK (z vrhom v B), kot β = BKI (z vrhom v K), kot γ = BIK (z vrhom v I), kot α 1 = CBL (z vrhom v B), kot β 1 = BLC (z vrhom v L), kot γ 1 = BCL (z vrhom v C). Ker za trikotnika KIB in LCB (Slika 17) velja: α = α 1 (kot ob prečnici), β = β 1 (kot ob prečnici, saj KI CL), γ = γ 1 (če sta dva para kotov skladna, je skladen tudi tretji par), 17

sta trikotnika KIB LCB podobna trikotnika. Iz podobnosti trikotnikov KIB LCB dobimo (Slika 17): IB BC = KB BL. Po Trditvi 4.4 so razmerja enaka razmerju v slikovni ravnini r s. Slika 18: Razmerje r:s. Da določimo r, dodamo dve vodoravni daljici: daljico CN in daljico VH (Slika 19). Na- s tančneje si pogledamo spodnji del nastale slike. Slika 19: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V. Po 1. in 2. Talesovem izreku o posameznih odsekih lahko trdimo, da sta trikotnika V LK in V CN podobna (slika 18), saj po 1. Talesovem izreku velja V N : V K = V C : V L, po 2. Talesovem izreku pa velja V N : V K = NC : KL oziroma V C : V L = NC : KL, torej sta dana trikotnika podobna. 18

Iz podobnosti trikotnikov V LK V CN lahko izrazimo: r + s b = r + e c. (3) Enačbo (3) pomnožimo z b c in dobimo: izrazimo sc in dobimo: Nato enačbo delimo še z c r : Razmerje s r zapišemo kot razmerje r s rc + sc + = rb + eb, sc = b r + b e c r. c r s r = b r + b e c r c r r s = in dobimo: c r b r + b e c r. (4) Enako, kot smo prej trdili, da sta trikotnika V LK in V CN podobna, lahko s pomočjo Talesovih izrekov trdimo tudi, da sta podobna trikotnika V JB in V HA, saj po 1. Talesovem izreku dobimo enakost V H : V J = V A : V B, po 2. Talesovem izreku pa dobimo še enakost V H : V J = AH : BJ oziroma V A : V B = AH : BJ. Vsi istoležni odseki so torej v sorazmerju in zato sta trikotnika V LK in V CN podobna. Iz podobnosti trikotnikov V JB V HA lahko izrazimo r b = r d a. (5) Sedaj bomo iz enačbe (5) eksplicitno izrazili r. Najprej enačbo (5) pomnožimo z b a in dobimo nato pa odštejemo rb, da dobimo ra = rb b d, ra rb = b d. Izpostavimo r r(a b ) = b d 19

in dobljeno enačbo delimo z a b : To enačbo lahko preoblikujemo v b d r = a b. r = Enačbo (6) vstavimo v enačbo (4) in dobimo: r s = c b d b a b b d + b b a e c b d b a. (6). b d b a Nato v imenovalcu damo vse ulomke na skupni ulomek: c b d b a b b d + b b e b a e b a b a. c b d b a Ko razrešimo dvojni ulomek, ugotovimo, da se člen (b a ) krajša in nam ostane c b d b b d + b b e b a e c b d, kjer lahko izpostavimo in krajšamo b, da na koncu dobimo r s = c d b d + b e a e c d. (7) Rekli smo, da bomo razmerje izrazili z a,b, c, d in e. To lahko zopet naredimo s pomočjo podobnih trikotnikov in dobimo (Slika 20): Slika 20: Podobni trikotniki - a, b in c izrazimo z a, b in c. Iz tega sledi a b = x x + d = a b in c b = y y + e = c b. a a = b b = c c. (8) 20

Po pravilu, da se ulomek ne spremeni, če števec in imenovalec množimo z istim številom, lahko števec in imenovalec množimo z a a, b b Najprej v enačbi (7) števec in imenovalec pomnožimo z a a IB BC = r s = Naš namen je izraziti razmerje r s ali c c, saj so po enačbi (8) razmerja enaka. a c d a in dobimo a b a d + a b a e e a a a a c a d. z a, b, c, d in e, zato bomo z uporabo enačbe (8) krajšali člene a, b in c. Z enakostjo razmerij iz enačbe 8 preuredimo dobljeno enačbo in dobimo Okrajšamo ulomke in dobimo r s = c c d c b b b d + b b b e e a a a c c c d. IB BC = r s = cd d(b c) + e(b a) (9) S tem smo dokazali veljavnost enačbe (1). Sedaj na podoben način razrešimo še enačbo BJ. Poglejmo si najprej novo shemo, ki AB ustreza izračunu BJ AB. Slika 21: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V. 21

Poglejmo si trikotnika V KL V NA. Po 1. in 2. Talesovem izreku o posameznih odsekih lahko trdimo, da sta trikotnika V KL in V NA podobna (Slika 21), saj po 1. Talesovem izreku velja V N : V K = V A : V L, po 2. Talesovem izreku pa velja V N : V K = NA : KL oziroma V A : V L = NA : KL, torej sta dana trikotnika podobna. Tokrat iz podobnosti trikotnikov V KL V NA dobimo: r + s b = s + d a. Izrazimo tokrat razmerje s r (ker je drugačna shema) in dobimo r + s b = s + d a ra + sa = sb + db ra = sb + db sa r s = sb + db sa sa. Na koncu dobimo s r = sa sb + db sa. (10) Vidimo, da sta trikotnika V CQ in V BP podobna, saj po 1. Talesovem izreku velja V C : V B = V Q : V P, po 2. Talesovem izreku pa velja se V C : V B = V Q : V P = c : b. Iz podobnosti trikotnikov V CQ V BP dobimo s = s e sc = sb eb sb sc = eb s = eb b c b c. Dobili smo torej enačbo za naš s, ki se glasi: s = Enačbo (11) vstavimo v enačbo (10) in dobimo s r = a eb b c b b e + b b c d a eb b c. (11). b e b c Nato v imenovalcu damo vse ulomke na skupni ulomek: a eb b c b b e + b b d c b d b c b c a b e Ko razrešimo dvojni ulomek, ugotovimo da se člen (b c ) krajša in nam ostane b c a eb b b e + b b d c b d eb a. 22

Izpostavimo člen b in krajšamo, da dobimo a e b e + b d c d a e. (12) Sedaj lahko enačbo (12) poenostavimo s pomočjo enačbe (8) in dobimo BJ AB = ae d(b c) + e(b a). (13) Dokazali smo enačbo (2), torej smo dokazali obe enačbi, ki nam določata položaj fotoaparata. Zadnja naloga, ki jo moramo še narediti pri določanju položaja kamere, je njena višina. To bomo naredili na zelo preprost način, in sicer bomo samo pogledali, kje horizont seka fotografijo. Višina kamere je višina te premice, ki se pojavlja nasproti zgradbe na fotografiji. Slika 22: Določanje višine kamere ob zajetju fotografije.[1] 23

5 Praktični del Postopek, ki sem ga prevzel po Byersu, sem preveril še praktično. Najprej sem preveril z manjšo škatlo, ki jo je bilo lahko izmeriti. Za začetek sem kamero položil na tla, torej naj bi bila višina kamere enaka 0 cm, kar pa seveda ni res, saj višino določa leča in ne ohišje fotoaparata. Dejanska višina je bila enaka višini središča leče, kar je bilo 3 cm. 5.1 Mala škatla pravokotne oblike Na tla sem postavil škatlo kartonske oblike in jo fotografiral na oddaljenosti 85 cm, kar se vidi na spodnji fotografiji. Slika 23: Črna škatla pravokotne oblike. Nato sem v programu Photoshop na fotografiji označil shemo, s katero sem analiziral fotografijo po prej omenjenem postopku. Slika 24: Črna škatla pravokotne oblike s shemo. Nato sem s pomočjo orodja "Ruler" izmeril dolžine a, b, c, d in e na fotografiji v pikslih. a = 93 px b = 104 px c = 85 px d = 155 px e = 250, 45 px 24

Izmeril sem tudi dimenzije škatle, in sicer višina škatle je bila enaka 5 cm, širina (krajša) 12 cm in dolžina (daljša) 20 cm. Ko sem izmeril vse potrebno na fotografiji in škatlo, sem se lotil računanja položaja kamere po enačbah 1 in 2. Enota piksel se eliminira (ulomek), zato jih pri izračunu nisem zapisal. BI = dc d(b c) + e(b a) BC = 85 155 12 cm = 155(104 85) + 250, 45(104 93) = 13175 12 = 43, 248 cm 6463, 55 Nato sem izračunal še dolžino vektorja BJ. ae BJ = d(b c) + e(b a) AB = 93 250, 45 20 cm = 155(104 85) + 250, 45(104 93) 23291, 85 = 12 = 72, 071 cm 6463, 55 Dobil sem dolžini vektorjev BI in BJ, s pomočjo katerih sem določil pozicijo kamere P, kar je razvidno na Sliki 12. Vidimo, da gre za enaka pravokotna trikotnika BIP in BJP, torej lahko razdaljo BP izračunamo po Pitagorovem izreku. BP = BI 2 + BJ 2 = (43, 248) 2 + (72, 071) 2 = 7064, 618 = 84, 1 cm Kot vidimo, se dobljeni rezultat ujema z dejansko postavitvijo kamere, saj je bila kamera oddaljena 85 cm. Izračunana oddaljenost torej odstopa od dejanske za 1 cm. Sam postopek merjenja dolžin na fotografiji v pikslih je zelo zahteven in v neprofesionalnih programih, dostopnih na osebnem računalniku, je zelo težko določiti do nekaj milimetrov natančno. Preveril sem še višino kamere ob zajetju fotografije. Višino sem določil tako, kot sem opisal v teoretičnem delu in je vidno na spodnji sliki. Dejanska fotografija, na kateri sem določil višino, je bila zaradi dolžine zelenih premic prevelika, da bi jo lahko vključil v diplomsko delo. Ko sem dobil presečišča, sem skozi njiju narisal vodoravno premico. Nato sem izmeril razdaljo od horizonta do premice skozi presečišči, in sicer 62 pikslov. Nato sem teh 62 pikslov s pomočjo znane višine škatle v realnosti in na fotografiji, pretvoril v višino položaja kamere v centimetrih. 62 px h = 25 104 px 5 cm

Slika 25: Prikazano je, kako sem podaljšal daljice, da sem dobil presečišče s horizontom (zelene črte). Preuredim enačbo in dobim h = 62 px 5 cm 104 px = 3 cm. Čeprav je bila kamera na tleh, je 3 cm pravilen rezultat, saj je sredina leče fotoaparata ravno 3 cm nad tlemi. Tako sem dobil položaj fotoaparata ob zajetju fotografije. 26

6 Zaključek Pri opisanem postopku je velik problem, da je pri nekaterih fotografijah težko najti primeren del zgradbe oziroma objekta za analizo. Prav tako je težko izmeriti samo zgradbo in fotografijo. Potrebno je imeti dobro opremo, s katero se da natančno izmeriti potrebne podatke. Da bi preveril, kolikšna je napaka pri merjenju pikslov, me je zanimala odvisnost od dveh spremenljivk. Za lažjo primerjavo, so vse meritve podane v obliki koliko metrov oziroma kolikšen del metra predstavlja 1 piksel. Najprej sem predpostavil, da na napako vpliva resolucija fotografije, zato sem isti objekt fotografiral na isti razdalji z različnimi resolucijami. Predpostavil sem tudi, in kar je za nas najpomembnejše, da na velikost napake vpliva tudi razdalja fotoaparata od samega objekta. Meritve sem vpisal v tabelo in narisal tudi graf. 6.1 Napaka odvisna od resolucije fotografije Okno širine 1, 07 m sem fotografiral trikrat z različnimi resolucijami, in sicer 5152 3864, 2560 1920 in 640 480, na isti oddaljenosti, in sicer 10 m. V Photoshopu sem izmeril velikost okna v pikslih in pretvoril vse meritve v velikost 1 piksla v metrih, kar je razvidno v spodnji tabeli. Velikost 1 piksla v metrih 640 480 2560 1920 5152 3864 0, 022 m 0, 0054 m 0, 0027 m Tabela 1: Velikost 1 piksla v metrih pri različnih resolucijah. Kot vidimo, je velikost 1 piksla v metrih odvisna od resolucije. Več slikovnih točk ima fotografija, manjša je vrednost 1 piksla v metrih, kar posledično pomeni manjšo napako. Da zmanjšamo napako, izberemo največjo možno resolucijo fotografije. 6.2 Napaka odvisna od oddaljenosti fotoaparata Za nas pomembnejša pa je napaka, odvisna od oddaljenosti fotoaparata od objekta, saj zgradbe fotografiramo na večji oddaljenosti, da zajamemo v objektiv celotno zgradbo. 27

Tokrat sem isto okno fotografiral iz treh različnih lokacij, in sicer na oddaljenosti 2, 5 m, 5 m in 10 m. Za samo primerjavo sem postopek ponovil pri dveh različnih resolucijah, in sicer 5152 3864 in 2560 1920, kar je razvidno v spodnjih dveh tabelah. Velikost 1 piksla v metrih 2560 1920 2, 5 m 5 m 10 m 0, 0013 m 0, 0027 m 0, 0054 m Tabela 2: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata. Velikost 1 piksla v metrih 5152 3864 2, 5 m 5 m 10 m 0, 00064 m 0, 0014 m 0, 0027 m Tabela 3: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata. Za lažjo predstavo si poglejmo dane podatke še v obliki grafov. 28

Slika 26: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (2560 1920). Slika 27: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (5152 3864). Kot je razvidno iz grafov, z oddaljenostjo narašča tudi vrednost 1 piksla v metrih, torej se z oddaljenostjo fotoaparata povečuje tudi napaka pri merjenju razdalj. Ker je graf linearen, lahko zapišemo enačbo za izračun vrednosti 1 piksla v metrih v 1 za poljubno 29

razdaljo pri resoluciji 2560 1920: v 1 = 0.00052 d 1, (14) kjer je d 1 oddaljenost fotoaparata od objekta in vrednost v 2 za resolucijo (5152 3864) v 2 = 0.00027 d 2, (15) kjer je d 2 oddaljenost fotoaparata od objekta. Za zakjuček si poglejmo še, kaj to pomeni pri samem merjenju fotografije v pikslih. Po enačbah (14) in (15) dobimo, da napaka pri merjenju za 1 piksel, na zajeti fotografiji na oddaljenosti 10 m, pomeni 5 cm pri resoluciji 2560 1920 in 2, 7 cm pri resoluciji 5152 3864, kar pomeni v prvem primeru 5 % napako in v drugem 2, 7 %. 5 cm oziroma 2, 7 cm se ne zdi veliko vendar je pri zgradbi dolžine 50 m to že 2, 5 m in 1, 35 m, kar pa že spremeni samo lokacijo. Vidimo torej, da moramo biti pri merjenju fotografij na računalniku zelo pozorni, saj hitro naredimo napako v vrednosti nekaj pikslov. 30

Literatura [1] Byers, K. M., Henle, J. M.(Oktober 2004). Where the Camera Was. Mathematics Magazine, Vol. 77, No. 4, pp. 251-259.Mathematical Association of America. Pridobljeno 10.3.2016, s http://www.jstor.org/stable/3219282. [2] Crannell, A. (Oktober 2006). Where the Camera Was, Take Two. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 4, pp. 306-308. Mathematical Association of America. Pridobljeno 10.3.2016, s http://www.jstor.org/stable/27642958. [3] Robin A. C. (Junij 1978). Photomeasurement. The Mathematical Gazette, No. 420, pp. 77-85. The Mathematical Association. Pridobljeno 21.8.2017, s http://www.jstor.org/stable/3617660. [4] Pedagoška fakulteta, Cencelj, M. Pridobljeno 20.6.2017, s http://www.pef.uni-lj.si/~matijac/uvodgeom.pdf. [5] Fakulteta za matematiko in fiziko, Vavpetič A. Pridobljeno 20.6.2016, s https://www.fmf.uni-lj.si/~vavpetic/apg/apg.pdf. 31

Kazalo slik Slika 1: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 in c 2.................. 6 Slika 2: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1 in b 2...................... 7 Slika 3: Shema za razdaljami na fotografiji a, b, c, d in e............. 8 Slika 4: Prikaz projiciranja objekta na slikovno ravnino............. 9 Slika 5: Vzporedne črte, ki niso vzporedne v slikovni ravnini, se sekajo v točki v neskončnosti............................... 9 Slika 6: Vse točke ležijo na vodoravni premici - horizont............. 10 Slika 7: Vzporedne daljice, ki so vzporedne s slikovno ravnino, so vzporedne tudi v slikovni ravnini........................... 10 Slika 8: Razmerje X:Y na fotografiji in razmerje x:y v slikovni ravnini..... 11 Slika 9: Črte, ki objekt povezujejo z opazovalcem................. 12 Slika 10: Fotografija John M. Greene Hall at Smith College [1]......... 13 Slika 11: Shema dela fotografije za analizo..................... 13 Slika 12: Tloris sheme................................ 14 Slika 13: Shema.................................... 15 Slika 14: Točka v neskončnosti V in točka I..................... 15 Slika 15: Točka P - položaj kamere ob zajetju fotografije............. 16 Slika 16: Premica skozi točki C in L poteka skozi točko v neskončnosti V.... 16 Slika 17: Tloris sheme z označenimi koti...................... 17 Slika 18: Razmerje r:s................................ 18 Slika 19: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V..... 18 Slika 20: Podobni trikotniki - a, b in c izrazimo z a, b in c........... 20 Slika 21: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V..... 21 Slika 22: Določanje višine kamere ob zajetju fotografije.[1]............ 23 Slika 23: Črna škatla pravokotne oblike....................... 24 Slika 24: Črna škatla pravokotne oblike s shemo.................. 24 Slika 25: Prikazano je, kako sem podaljšal daljice, da sem dobil presečišče s horizontom (zelene črte).......................... 26 Slika 26: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (2560 1920). 29 Slika 27: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (5152 3864). 29 32

Seznam tabel Tabela 1: Velikost 1 piksla v metrih pri različnih resolucijah............ 27 Tabela 2: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata.. 28 Tabela 3: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata.. 28 33