Osnove telekomunikacija Osnove obrade signala potrebne za analizu modulacijskih tehnika prof. dr. Nermin Suljanović

Osnove telekomunikacija Osnove obrade signala potrebne za analizu modulacijskih tehnika prof. dr. Nermin Suljanović

Osnovni pojmovi Kontinualna modulacija je sistematična promjena signala nosioca u skladu sa promjenama drugog signala, poruke ili modulacijskog signala. Cilj je generirati signal koji nosi informaciju, a čije su osobine prilagođene datom zadatku. Linearna kontinualna modulacija direktna translacija spektra signala poruke. Amplitudna modulacija (AM), AM sa jednim bočnim opsegom (SSB), AM sa nesimetričnim bočnim opsezima (vestigial-sideband modulation - VSB)

Signal u transponovanom opsegu (bandpass signal) Realni signal v bp (t), čiji spektar V bp (f) odgovara propusniku opsega. S obzirom da je signal realan, spektar je simetričan u odnosu na frekvenciju ±f c. Signal nema spektralnog sadržaja van opsega 2W u okolini frekvencija f c. V bp f =0 za f f c W i f f c W v bp t=atcos c tt amplituda (envelopa) A(t)>0 faza

Signal u transponovanom opsegu (bandpass signal)

Predstavljanje pomoću fazora v bp (t) je vektor u kompleksnoj ravni dužine A(t) i faze ω c t+φ(t). Član ω c t predstavlja stacionarne rotacije sa frekvencijom f c.

Predstavljanje u osnovnom opsegu preko komponenti u kvadraturi faze v bp (t) možemo predstaviti i u osnovnom opsegu. v i t=at cost u fazi v q t = At sin t u kvadraturi faze v bp t =v i t cos c t v q t sin c t=v i t cos c tv q t cos c t90 Potražimo Fourierovu transformaciju prethodnog izraza: V bp f = 1 2 [ V i f f c V i f f c ] j 2 [ V q f f c V q f f c ]

Predstavljanje u osnovnom opsegu preko komponenti u kvadraturi faze Da bi bio zadovoljen uslov V bp f =0 za f f c W signali u i kvadraturi faze moraju biti NF signali: V i f =V q f =0 za f W i f f c W Definiramo ekvivalentni NF spektar: V lp f = 1 2 [ V i f jv q f ]=V bp f f c u f f c koji je jednak dijelu spektra Vbp(f) za pozitivne frekvencije, transliranom u okolinu DC komponente.

Predstavljanje u osnovnom opsegu preko komponenti u kvadraturi faze Ako potražimo inverznu Fourierovu transformaciju prethodne jednačine, dolazimo do fiktivnog kompleksnog signala v lp t = 1 2 [ v i t jv q t ] ili u polarnoj formi: v lp t = 1 2 At e j t Signal u transponovanom opsegu je jednak: v bp t =Re {At e j ctt }=2 Re [ v lp t e j c t V bp f =V lp f f c V * lp f f c V bp f =V lp f za f 0 ]

Prenos u transponovanom opsegu Signal x bp (t) u transponivanom opsegu se dovodi na ulaz propusnika opsega H bp (f). Y bp f =H bp f X bp f Jednostavnija je analiza sistema u ekvivalentnom NF opsegu. Y lp f =H lp f X lp f gdje je ekvivalentni frekventni odziv H lp f =H bp f f c u f f c

Prenos u transponovanom opsegu Zamijenili smo sistem u transponovanom opsegu sa NF ekvivalentnim modelom. Komplejksni signal na izlazu ekvivalentnog NF sistema je jednak y lp t =F 1 [Y lp f ]=F 1 [ H lp f X lp f ] Mogu se direktno odrediti i izlazne komponente u fazi i kvadraturi faze: y i t =2 Re[ y lp t] y q t =2 Im[ y lp t]

Kašnjenje nosioca i envelope Posmatramo sistem sa konstantnom amplitudnom i nelinearnom faznom karakteristikom. H bp f =Ke j f za f l f f u H lp f =Ke j f f c u f f c za f l f c f f u f c U transponovanom opsegu NF ekvivalent

Kašnjenje nosioca i envelope Nelinearnu faznu karakteristiku možemo aproksimirati razvojem u Taylorov red, sa prva dva člana. f f c 2t 0 f c t 1 f t 0 = f c, t 2 f 1 = 1 c 2 Za interpretaciju vremena t0 i t1 posmatraćemo ulazni signal faze nula, odnosno x bp t = A x tcos c t x lp t = 1 2 A xt d f df f = f c Ako spektar X bp (f) upada u propusni opseg sistema: Y lp f =Ke j f f c X lp f Ke j2 t 0 f c t 1 f X lp f Ke j c t 0 [ X lp f e j2 ft 1 ]

Kašnjenje nosioca i envelope Na osnovu osobina Fourierove transformacije (vremensko kašnjenje), vrijedi y lp t Ke j ct 0 xlp t t 1 =Ke j ct 0 1 2 A xt t 1 pa je odziv sistema u transponovanom opsegu y bp t=2 Re {v lp t e j c t } K A x t t 1 cos c t t 0 t 0 kašnjenje nosioca t 1 kašnjenje envelope (ili grupno kašnjenje)

Frekventni opseg signala Okarakterizirati signale pomoću jednog broja. Spektar koji signal zauzima. Postoje različite definicije za frekventni opseg signala. Apsolutni frekventni opseg: opseg frekvencija u kojem je spektar S(f) različit od nule. Apsolutni frekventni opseg teži.

Frekventni opseg signala Frekventni opseg od nule do nule : opseg frekvencija u spektru S(f) između dvije nule u odnosu na maksimum u amplitudnoj karakteristici. Maksimum u amplitudnoj karakteristici

Frekventni opseg signala Relativni frekventni opseg B x definiran za X db: ako signal x(t) ima energetski spektar Ψ x (f), tada je relativni spektar B x za X decibela određen sa: 10logmax f x f = X 10log x B x x B x x f za svako f B x Npr. ako je X= 3 db, onda se traži frekvencija u kojoj maksimalna vrijednost u amplitudnom spektru padne na 1/2.

Frekventni opseg signala (3 db) P/2 P/2 Maksimalna vrijednost P

Frekventni opseg signala Relativni frekventni opseg B x definiran za snagu P: ako signal x(t) ima energetski spektar Ψ x (f), tada je relativni spektar B P za procentualnu snagu P određen sa: P= B P B P x f df E x Snaga u opsegu [-B p,b p ] odgovara P% od ukupne snage signala E x.

Energija signala i spektralna gustina energije signala Energija signala x(t) može se povezati sa njegovim spektrom X(jω): E = x x t x * t dt= [ 1 x t 2 X * j e j t ] d dt Ako promijenimo redoslijed integracije: E x = 1 2 X * [ j E x = 1 2 X j 2 d x t e j t ] dt d = 1 2 X j X * j d Učešće spektralne komponente frekvencije ω signala x(t) u njegovoj snazi je proporcionalno X j 2.

Spektralna gustina energije signala X j 2 predstavlja spektralnu gustinu energije signala x(t), odnosno energiju po jednom Hz. Raspodjela energije signala po spektralnim komponentama. x = X j 2 E x = 1 2 X j 2 d = 1 2 x d

Energija moduliranog signala Množenje signala u osnovnom opsegu x(t) sa sinusnim nosiocem dovodi to translacije njegovog spektra. Klasično amplitudno modulirani signal je: x c t =x t cos c t X c j = 1 2 [ X j c X j c ] Spektralna gustina energije moduliranog signala je: c = 1 4 [ X j c X j c ] 2 Ako je ω c >W, gdje je W širina jednog bočnog opsega signala x(t), ne dolazi do preklapanja spektara X(ω+ω c ) i X(ω-ω c ), te vrijedi: c = 1 4 [ X j c 2 X j c 2 ]= 1 4 [ x c x c ]

Energija moduliranog signala Očigledno je da modulacija pomjera spektralnu gustinu energije signala x(t) za ±ω c. Površina ispod Ψ c (ω) je polovina površine ispod Ψ x (ω), pa je i energija moduliranog signala x c (t) jednaka polovini energije signala x(t). E c = 1 2 E x za c W

Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina energije signala Korelacija signala x(t) sa samim sobom. Za realni signal x(t), autokorelaciona funkcija je x = x t x t dt Ako u gornjem izrazu uvedemo smjenu x = x s x s ds s je pomoćna promjenljiva, i možemo je zamijeniti sa t. x = x t x t dt x = x t x t±dt x = x s=t:

Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina energije signala Autokorelaciona funkcija je funkcija od pomaka τ, a ne od vremena t. Potražimo Fourierovu transformaciju autokorelacione funkcije: x = e j [ ] xt xtdt d = Koristeći svojstvo vremenkog pomaka FT za unutrašnji integral, imamo x = X j x t [ xt e j d ] dt x t e j t dt= X j X j = X j 2 x = X j 2

Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina energije signala Zaključujemo da spektralna gustina energije signala odgovara Fourierovoj transformaciji autokorelacione funkcije tog signala. Uočimo vezu između korelacije i konvolucije. Autokorelacija je konvolucija x(τ) sa x(-τ). x x = x t x [ t ] dt= x t x t dt= x

Snaga signala i spektralna gustina snage signala Za signale snage, značajna mjera njihovog intenziteta je snaga. Energija signala, usrednjena na beskonačno dugom vremenskom intervalu. Snaga realnog signala x(t) je: P x =lim T Radi jednostavnije analize, paralelno uvodimo signal konačnog trajanja: x T t ={ T /2 1 T T / 2 x 2 t dt x t t T / 2 0 t T / 2

Snaga signala i spektralna gustina snage signala Integral na desnoj strani prethodne jednačine je snaga signala x T (t). P x =lim T Ako je x(t) signal snage, tada je njegova snaga konačna i x T (t) je energetski signal sve dok je T konačno. Iskoristićemo Parsevalov teorem da odredimo ovu energiju: E xt = T /2 1 T T / 2 x 2 t dt=lim T E xt T x 2 T t dt= 1 2 X T j 2 d

Snaga signala i spektralna gustina snage signala Dolazimo do snage signala signala x(t). P x =lim T E xt T =lim T 1 [ T 1 2 X T j 2 ] d Sa povećanjem T, povećava se i trajanje signala x T (t) te se proporcionalno povećava i njegova energija. To znači da se X(jω) 2 povećava sa T, i X(jω) 2 se približava beskonačnosti kada T ꝏ. Međutim, se X(jω) 2 približava beskonačnosti istom brznom kao i T, jer je x(t) signal snage i integral na desnoj strani mora konvergirati.

Snaga signala i spektralna gustina snage signala (PSD) Pošto integral na desnoj strani konvergira, možemo zamijeniti redoslijed limesa i integracije. P x = 1 2 X lim T j 2 d T T Spektralnu gustinu snage definiramo kao: X S x =lim T j 2 T T pa se i snaga može zapisati u formi: P x = 1 2 S x d = 1 S x d 0 PSD je realna, pozitivna i parna funkcija od ω, izražena u V 2 /Hz.

Autokorelaciona funkcija signala snage Autokorelaciona funkcija realnog signala snage je: T /2 1 R x =lim T T x t x tdt T /2 Sličnom analizom kao i kod energetskih signala, dolazimo do sličnog zaključka T /2 1 R x =lim T T x t x t dt T /2 R x =R x U nastavku ćemo pokazati da je spektralna gustina snage (PSD) Fourierova transformacija autokorelacione funkcije.

Autokorelaciona funkcija signala snage Ponovo ćemo uvesti fiktivni signal x T (t) konačnog trajanja T. R x =lim T T /2 1 T T /2 Ako uzmemo u obzir za energetske signale da je Fourierova transformacija FT { xt }= X T j 2 dolazimo do zaključka da je FT {R x }=lim T x T t x T tdt=lim T X T j 2 =S T x xt T

Srednja kvadratna vrijednost. RMS Snaga signala je srednja kvadratna vrijednost signala. Usrednjavanje u vremenu, a ne statistička srednja T /2 vrijednost. 1 P x =lim T T x 2 t dt T / 2 RMS je kvadratni korijen srednje kvadratne vrijednosti. [ x t] rms = P x

Značaj autokorelacione funkcije Ako je Fourierova transformacija signala dovoljna da odredimo ESD, zašto kompliciramo i računamo autokorelacionu funkciju?

Značaj autokorelacione funkcije Odgovor su signali snage i slučajni signali. Fourierova transformacija signala snage općenito ne postoji. Fourierovu transformaciju možemo računati samo za determinističke signale, koji su opisani funkcijom vremena. U telekomunikacijama, poruke se predstavljaju slučajnim signalima koji se ne mogu opisati funkcijom vremena. Autokorelaciona funkcija ovakvih signala se može odrediti na osnovu njihovog statističkog opisa. Ovo omogućava da se odredi PSD, odnosno spektralni sadržaj, takvih signala.

PSD moduliranog signala Izvodimo analognu analizu kao za signale snage. Za neki signal snage x(t) vrijedi: x c t =x t cos c t S xc = 1 4 [ S x c S x c ] P xc = P x 2

Literatura B.P. Lathi, Modern Digital and Analog Communication Systems, OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1998, Third edition A.B.Carlson, P.B.Crilly, J.C. Rutledge, Communication System, fourth edition, McGraw- Hill, 2002.