AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje Matematika in tehnika ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR Ljubljana, 2016

Zahvala Mentorju izr. prof. dr. Marku Slaparju Hvala, da ste me vzeli pod svoje okrilje, predvsem pa hvala za vso potrpežljivost, skrb, čas in strokovno pomoč pri nastajanju magistrskega dela. Mojim Hvala za vso podporo, zaupanje in razumevanje ter tisočkrat hvala, da ste vedno verjeli vame in mi stali ob strani.

Povzetek V magistrskem delu so najprej predstavljena naravna števila, in sicer smo jih vpeljali preko Peanovih aksiomov. Z vsemi petimi aksiomi postopoma prikažemo računski operaciji seštevanje in množenje ter njune osnovne lastnosti (nevtralni element, komutativnost, asociativnost, distributivnost). Predstavljena so tudi rekurzivno definirana zaporedja, urejenost naravnih števil ter odštevanje in deljenje, ki pa sta le delno definirani operaciji v naravnih številih. V nadaljevanju je velik poudarek na natančnih dokazih osnovnih lastnosti naravnih števil le s pomočjo Peanovih aksiomov. V poglavju o množicah smo se v glavnem posvetili sistemu ZFC aksiomov, ki so ime dobili po matematikih Zermelu in Fraenkelu ter aksiomu izbire (C). S pomočjo aksiomatske teorije množic (predvsem aksioma o neskončnosti) naravna števila vpeljemo kot množico, v kateri pokažemo veljavnost Peanovih aksiomov. V zadnjem delu smo vpeljali še cela in racionalna števila kot kvocientni množici kartezičnega produkta N N oziroma Z Z \ {0}. Ključne besede: naravna števila, Peanovi aksiomi, rekurzivno zaporedje, teorija množic, ZFC aksiomi, cela števila, racionalna števila. Abstract The natural numbers are presented first in the master s thesis. We introduced them through Pean axioms. With all five axioms we gradually show the arithmetic operations of addition and multiplication and their basic characteristics (neutral element, commutative, associative and distributive properties). The recursively defined sequences, order of natural numbers and subtraction and division, which are only partially defined operations in natural numbers, are also presented. A great emphasis is on accurate proofs of basic properties of natural numbers only with the help of Pean axioms. In the chapter about sets we focused our attention to the system of ZFC axioms, which got their names after mathematicians Zermel and Fraenkel and the axiom of choice (C).

With the help of axiomatic of the theory of sets (mainly axiom of infinity) we introduce natural numbers like a set in which we show validity of Pean axioms. In the last part of the thesis we also introduced integers and rational numbers like quotient sets of the Cartesian product N N or Z Z \ {0}. Key words: Natural numbers, Pean axioms, recursive sequence, theory of sets, ZFC axioms, integers, rational numbers.

Kazalo Poglavje 1. Uvod 1 Poglavje 2. Naravna števila 3 2.1. Peanovi aksiomi 3 2.2. Rekurzivno definirana zaporedja 9 2.3. Seštevanje naravnih števil 9 2.4. Lastnosti seštevanja 11 2.5. Urejenost naravnih števil 13 2.6. Množenje naravnih števil 15 2.7. Lastnosti množenja 16 2.8. Odštevanje in deljenje v naravnih številih 19 Poglavje 3. Množice 21 3.1. ZFC aksiomi 22 3.2. Konstrukcija naravnih števil 28 3.3. Ekvipolenca množic 30 Poglavje 4. Cela in racionalna števila 35 4.1. Cela števila 35 4.2. Racionalna števila 41 Poglavje 5. Sklep 47 Literatura 49

POGLAVJE 1 Uvod V magistrskem delu bomo pokazali enega izmed standardnih načinov definicije naravnih števil, s pomočjo Peanovih aksiomov, ki jih je prvič postavil Giuseppe Peano (1858-1932). To ni edini način za definicijo naravnih števil, saj drug pristop zajema pogovor o kardinalnosti (moči) končnih množic, kjer lahko vzamemo množico elementov in definiramo npr. število kot število elementov v tej množici. Vendar se bomo sami osredotočili na Peanove aksiome in z njimi definirali naravna števila. Neformalno lahko rečemo: Definicija 1.1 (neformalno). Naravno število je katerikoli element v množici N := {0, 1, 2, 3,...}, kjer je množica dobljena tako, da začnemo z 0 in nato štejemo naprej v neskončnost. Množico N imenujemo množica naravnih števil. Kljub temu to ni ravno zadovoljujoče, saj se poraja vprašanje, kaj pa je N. Definicija začni pri 0 in štej v neskončno je sicer intuitivno jasna, ni v pa celoti sprejemljiva, saj pušča veliko neodgovorjenih vprašanj. Na primer: kako vemo, da lahko štejemo v neskončnost, brez da se bomo slej ko prej vrnili nazaj na 0? Kako izvajamo operacije, kot so seštevanje, množenje ali potenciranje? Na zadnje vprašanje bo dokaj preprosto odgovoriti: definiramo lahko kompleksne operacije s pomočjo preprostejših operacij. Potenciranje ni nič drugega kot ponavljajoče množenje (5 3 ni nič drugega kot tri petice zmnožene skupaj), množenje ni nič drugega kot ponavljajoče seštevanje (5 3 ni nič drugega kot tri petice seštete skupaj). In seštevanje? Ne gre za nič drugega kot ponavljajočo operacijo štetja oziroma povečevanja. Če dodamo petici število 3, pravzaprav petico trikrat povečamo za 1. Seveda bomo v nadaljevanju videli, da tudi takšne definicije zahtevajo nekaj razmisleka. Po drugi strani pa zgleda, da je povečevanje števila za 1 osnovna operacija, ki je ne moremo razbiti na bolj preprosto operacijo in je dejansko 1

prva operacija, ki se jo naučimo na številih, celo preden se naučimo seštevanja. Zgodovinsko gledano je spoznanje, da lahko s števili ravnamo aksiomatično, precej novo, ni staro več kot 100 let. Pred tem so bila števila običajno razumljena kot neločljivo povezana z nekim zunanjim konceptom, kot je na primer določanje moči množice, merjenje dolžine dela črte ali mase fizičnega objekta itd. Ta način je deloval precej dobro, dokler se ni bilo potrebno premakniti iz enega sistema števil v drugega; na primer, razumeti števila v smislu štetja kroglic na abaku je zelo dobro za predstavitev števil kot sta 3 in 5, ampak ne deluje tako dobro za števila kot so 3, 1/2, 2, π ali 1 + i; zato je vsak velik napredek v teoriji števil (npr. negativna števila, cela števila, iracionalna števila, kompleksna števila) vodil do veliko nepotrebne filozofske tesnobe. Veliko odkritje pozno v devetnajstem stoletju je bilo, da lahko števila razumemo abstraktno, preko aksiomov, ne da nujno potrebujemo konkretni model. Zato bomo tudi z uporabo ZFC aksiomov predstavili množico in posledično naravna števila, iz le teh pa bomo izpeljali še cela in racionalna števila. 2

POGLAVJE 2 Naravna števila 2.1. Peanovi aksiomi Za definiranje naravnih števil bomo uporabili dva osnovna koncepta: ničelno število in operacijo povečevanja (naslednika). Podobno kot v modernih programskih jezikih, bomo uporabili n++ za označevanje naslednika števila n. Tako je na primer 3 + + = 4 naslednik števila 3, (3 + +) + + = 5 naslednik števila 4, itd. To je malce drugačna uporaba kot v programskih jezikih (npr. C), kjer n + + pravzaprav preoblikuje vrednost n-ja v njegovega naslednika. V matematiki ne želimo definirati vrednosti spremenljivke več kot enkrat v kakršnihkoli pogojih, saj to lahko vodi v zmedo; veliko trditev, ki so bile resnične za staro vrednost spremenljivke, bi postale lahko napačne in obratno. Naravna števila N želimo definirati tako, da je 0 naravno število in da bodo naravna števila vse, kar lahko dobimo iz števila 0 s pomočjo operacije naslednik. Od tako definiranih naravnih števil tudi zahtevamo, da se bodo kot matematični objekt dovolj dobro ujemala z našo vnaprejšnjo intuicijo. To bomo storili tako, da bomo naravna števila vpeljali s pomočjo Peanovih aksiomov: P1 0 je naravno število. P2 Če je n naravno število, potem je tudi n + + naravno število. P3 Število 0 ni naslednik nobenega naravnega števila. P4 Različni naravni števili imata različna naslednika. P5 Če neka značilnost P velja za število 0 in če iz P (n) sledi P (n + +) za vsako naravno število n, potem velja značilnost P za vsa naravna števila. Naravna števila so sestavljena iz števila 0 in njegovih naslednikov: 0, 0 + +, (0 + +) + +, ((0 + +) + +) + +, itd. Takšen zapis pa je zelo okoren (hitro postane predolg), zato je dobro sprejeti dogovor in števila pisati v bolj primernem zapisu. Tako lahko definirajmo 1 kot 3

0 + +, 2 kot (0 + +) + +, 3 kot ((0 + +) + +) + +, itd. Seveda čisto formalno ni jasno, kaj itd. pomeni, vendar se je v večini kultur razvil način pisanja naravnih števil vse do precej velikih števil. Zavedati se moramo, da pri tem ne gre za nikakršno vpeljavo novih pojmov, temveč le za vpeljavo simbolov, s katerimi števila zapišemo v nekoliko krajši, praviloma sistematični obliki. V nadaljevanju bomo s pomočjo virov [1], [3], [4] in [7] pogledali, kako vsak aksiom posebej vpliva na definicijo naravnih števil oziroma na lastnost naslednika. V tem poglavju se namenoma izogibamo pojmom teorije množic, saj bomo naravna števila kot množico vpeljali v naslednjem poglavju. Vseeno pa bomo občasno primere navajali v obliki množic, da se izognemo pretiranemu zapletanju notacij. Tako naj bralec to poglavje razume ne kot povsem formalno obravnavo Peanovih aksiomov, temveč raje kot pol formalno razlago, zakaj so Peanovi aksiomi dobra aproksimacija naše vnaprejšnje intuitivne predstave o naravnih številih. Vloga aksioma P1 je dokaj jasna. Poglejmo si primer trditve, ki jo lahko na primer dokažemo le z uporabo aksiomov P1 in P2. Trditev 2.1. 3 je naravno število. Dokaz. Dokažemo z aksiomoma P1 in P2. P1 pravi, 0 je naravno število. Po P2 je 1 = 0 + + naravno število. Ponovno, po P2, je 2 = 1++ naravno število. S še zadnjo uporabo aksioma P2 je 3 = 2++ naravno število. Zdi se, da je zgornja trditev, in s tem aksioma P1 in P2, dovolj, da definiramo naravna števila. Vendar se izkaže, da potrebujemo dodatne omejitve glede operacije naslednik. Poglejmo si primer. Primer 2.2. Oglejmo si številski sistem, ki je sestavljen iz števil in operacija naslednik (n + +) poskrbi, da pridemo nazaj v število 0. Če na primer v množico A = {0, 1, 2, 3} vpeljemo operacijo naslednik 1 = 0 + +, 2 = 1 + +, 3 = 2 + + in 3 + + = 0, bo množica A skupaj s tako vpeljano operacijo naslednik zadoščala aksiomoma P1 in P2. Vsekakor pa to ni številski sistem, ki ga razumemo kot naravna števila. 4

Kot smo videli v zgornjem primeru, aksioma P1 in P2 (brez dodatnih aksiomov) dopuščata, da se pri štetju po končno korakih vrnemo nazaj v število 0. To se ne more zgoditi, če uporabimo še aksiom P3. Trditev 2.3. 4 ni enako 0. Dokaz. Iz Trditve 2.1 sledi, da je 3 naravno število. Ker po P3 0 ni naslednik nobenega naravnega števila, ne velja 3 + + = 0. Torej 4 0. Vendar je še kljub vsemu (kljub temu, da smo definirali P3) mogoče, da številski sistem deluje na drugačne načine. Primer 2.4. Oglejmo si številski sistem s petimi števili pri katerih se operacija povečevanja konča pri neki zgornji meji. Bolj natančno, naj bo A = {0, 1, 2, 3, 4}, pri čemer naj velja 1 = 0 + +, 2 = 1 + +, 3 = 2 + +, 4 = 3 + + in pa 4 + + = 4. To ni v nikakršnem nasprotju z aksiomi P1, P2 in P3. Podobna ne bi bilo v nasprotju z aksiomi P1, P2 in P3, če bi definirali 1 = 0 + +, 2 = 1 + +, 3 = 2 + +, 4 = 3 + + in pa 4 + + = 1. V obeh teh primerih velja med drugim 4 = 8. V prvem primeru zato, ker je 5 = 4 + + = 4, 6 = 5 + + = 4 + + = 4, 7 = 6++ = 5++ = 4++ = 4 in 8 = 7++ = 6++ = 5++ = 4++ = 4; v drugem primeru pa, ker je 5 = 4 + + = 1, 6 = 5 + + = 1 + + = 2, 7 = 6 + + = 2 + + = 3 in 8 = 7 + + = 3 + + = 4. Obstaja veliko načinov, kako preprečiti zgornjo situacijo, pri čemer je aksiom P4 verjetno eden bolj primernih možnosti. S pomočjo P4 lahko dokažemo na primer: Trditev 2.5. 8 ni enako 4. Dokaz. Dokažimo s protislovjem. Recimo, da je 8 = 4. Potem je po aksiomu P4 7 = 3, nato 6 = 2, 5 = 1 in 4 = 0. To pa je že v nasprotju s Trditvijo 2.3. Kot lahko vidimo iz zgornje trditve, je videti, da se vsa naravna števila med seboj razlikujejo. Vendar še vedno obstaja en problem. Če upoštevamo le aksiome P1-P4, je množica naravnih števil lahko prevelika. 5

Primer 2.6. Poglejmo si nekoliko neformalno zapisano množico A = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5,...}, torej številski sistem, ki je sestavljen iz naravnih in polovičnih števil. Če v A definiramo operacijo naslednik kot 0++ = 1, 1++ = 2,... in 0.5++ = 1.5, 1.5++ = 2.5,..., množica A skupaj s tako definirano operacijo zadošča aksiomom P1-P4. Potrebujemo torej dodaten aksiom, ki bo določal, da so edina števila v N tista, ki jih lahko pridobimo iz 0 z operacijo naslednik. To nam omogoča aksiom P5 oziroma princip matematične indukcije: Naj bo P (n) kakršnakoli smiselna lastnost naravnega števila n. Predpostavimo, da je res P (0) in da iz P (n) sledi P (n + 1). Sledi da je P res za vsako naravno število. Oziroma povedano v jeziku množic (naslednje poglavje), P5 pravi, da če neka podmnožica naravnih števil vsebuje 0 in z vsakim številom tudi njegovega naslednika, je ta podmnožica enaka množici vseh naravnih števil. Za primer poglejmo, kako aksiom P5 razreši težavo iz primera 2.6. Vzemimo (zopet nekoliko neformalno) za lastnost P (n) n ni polovično število oziroma nekoliko bolj formalno, n = 0 ali n lahko dobimo iz 0 z večkratno uporabo operacije naslednik. Jasno velja P (0), in tudi P (n + +) sledi iz P (n). Torej lastnost P (n) velja za vsa naravna števila. Ker ta lastnost ne velja za polovična števila 0.5, 1.5,..., množica A niso naravna števila. Seveda je precej nejasno, kaj naj pomeni lastnost P. Nekateri primeri takšnih lastnosti so: je sodo število, je enak 3, reši enačbo in tako naprej. Precej teh konceptov še nimamo definiranih, bomo pa nekatere od njih bolj natančno definirali v nadaljevanju. Bolj formalno, vendar že v jeziku množic, funkcij in izjavnega računa, bi P pomenil katerokoli funkcijo P : N {, }, kjer pomeni resnico, pa neresnico, lahko pa P pomeni neko formulo znotraj logike drugega reda. Opomba. Ker se aksiom P5 ne navezuje le na spremenljivke ampak tudi na lastnosti, je nekoliko drugačne narave kot ostali štirje aksiomi; tako bi lahko aksiom P5 imenovali aksiomska shema namesto aksiom, saj je predloga za izdelavo (neskončno) mnogo aksiomov, bolj kot za samostojen aksiom. 6

Princip matematične indukcije (aksiom P5) je zelo močno orodje pri dokazovanju lastnosti naravnih števil. Predstavlja način za dokazovanje, da neka lastnost velja za vsako naravno število. Tako bomo v nadaljevanju videli trditev oblike: Trditev: Lastnost P (n) velja za vsako naravno število n. S pomočjo matematične indukcije takšno trditev dokažemo tako, da najprej dokažemo bazo indukcije P (0), kar pomeni, da dokažemo, da lastnost (formula, enakost,...) velja za število 0, nato pa s pomočjo predpostavke P (n) dokažemo P (n++). Temu drugemu koraku rečemo indukcijski korak. Hitro lahko vidimo, zakaj je tak način dokazovanja dobrodošel: v vsakem primeru moramo dokazati, da lastnost P velja za vsa naravna števila n. Indukcijski korak nam dovoljuje, da pri dokazovanju, če seveda potrebujemo, lahko uporabimo dejstvo, da lastnost velja za predhodnika števila n. V pomoč pri dokazovanju torej dobimo dodatno orodje. Poglejmo si primer. Primer 2.7. Za vsako naravno število n velja, da je 3 2n 1 deljivo z 8, oziroma P (n) 8 3 2n 1. Uporabimo indukcijo. 1. baza indukcije: P(0) Ker 8 0 velja P (0). 3 2 0 1 = 1 1 = 0 2. indukcijski korak: P (n) = P (n + 1) 3 2 (n+1) 1 = 9 3 2n 1 = 9(3 2n 1) + 8 Po indukcijski predpostavki P (n), 8 3 2n 1, zato 8 9(3 2n 1) + 8, oziroma velja P (n + 1) [10]. Opazite lahko, da naša definicija naravnih števil ni konstruktivna, ampak aksiomatska. Nismo povedali, kaj naravna števila so, ampak smo našteli nekaj lastnosti, ki jih smiselno pričakujemo od množice, v kateri lahko štejemo (P1-P4), skupaj z aksiomom P5, ki nam na nek način zagotovi, da so naravna števila najmanjša taka množica, v 7

kateri lahko običajno štejemo. V bistvu smo naravna števila definirali kot objekt, v katerem štejemo (povečujemo števila za eno vrednost). Kot bomo videli v nadaljevanju, ostale operacije, ki smo jih navajeni v naravnih številih, lahko definiramo le z uporabo operacije naslednik. Za enkrat se pa še nismo vprašali, ali tak številski sistem dejansko obstaja in kakšen matematični objekt naj to bo. V naslednjem poglavju bomo pokazali naslednji izrek. Izrek 2.8. Obstaja množica N skupaj z operacijo naslednik, ki zadošča vsem aksiomom P 1 P 5. Opomba. Na ta številski sistem, ki ga bomo pisali kot množico N = {0, 1, 2,...}, bomo gledali kot na sistem naravnih števil. Seveda bi lahko obravnavali možnost, da obstaja več kot en sistem naravnih števil, npr. lahko bi vzeli arabski številski sistem in rimski številski sistem in bi na te številske sisteme gledali kot medsebojno različne. V naslednjem poglavju bomo med drugim pokazali, da v primeru ko imamo dva modela naravnih števil, torej (A, 0 A, ++ A ) in (B, 0 B, ++ B ), kjer sta A, B množici, 0 A A in 0 B B pripadajoča elementa 0, ter ++ A in ++ B pripadajoči operaciji naslednik v množicah A in B, tako da so izpolnjeni aksiomi P1-P5, potem obstaja bijekcija f : A B, da velja f(n + + A ) = f(n) + + B za vsak element n A. Tako bomo rekli, da obstaja natanko ena množica naravnih števil do izomorfizma, ki ohranja operacijo naslednik. Opomba. (neformalno) Ena od zanimivih značilnosti množice naravnih števil je, da je, čeprav je vsako posamezno naravno število končno, množica naravnih števil neskončna. Da neskončno velika naravna števila (kaj to formalno pomeni, bomo videli v nadaljevanju) ne obstajajo, lahko dokažemo z uporabo aksioma P5. Kljub vsem trenutnim nejasnostim, je dokaz preprosto naslednji: število 0 je končno število. Če predpostavimo, da je naravno število n končno število, je tudi n + + končno število. Torej so vsa naravna števila končna. Naravna števila se lahko približajo neskončnosti, vendar je ne morejo 8

doseči, kajti neskončnost ni eno od naravnih števil. Obstajajo pa drugi sistemi števil, ki dopuščajo neskončna števila. To so npr. kardinalna števila, ordinalna števila in p-adična števila. 2.2. Rekurzivno definirana zaporedja Peanov aksiom P5 nam omogoča, da rekurzivno definiramo zaporedja naravnih števil. Trditev 2.9 (Rekurzivne definicije). Predpostavimo, da imamo za vsako naravno število n neko funkcijo f n : N N iz naravnih števil v naravna števila. Naj bo c neko naravno število. Nato lahko vsakemu naravnemu številu n določimo natanko eno naravno število a n, tako da velja a 0 = c in a n++ = f n (a n ). Dokaz. Uporabimo indukcijo. Najprej opazimo, da lahko a n definiramo pri n = 0, s tem da je a 0 = c. Sedaj predpostavimo, da imamo definirano vrednost a n, in definiramo a n++ = f n (a n ) (iz aksiomov P3 in P4 sledi, da vrednosti a 0, a 1,, a n s tem ne spremenimo). To zaključi indukcijo in tako je a n enolično definiran za vsako naravno število. Opazimo lahko, da je bilo potrebno uporabiti vse aksiome. V sistemu števil, ki bi vseboval neke vrste zanko, rekurzivne definicije ne bi delovale, saj bi rekurzija lahko določene elemente preoblikovala za nazaj. Če bi na primer veljalo 3 + + = 0, bi tako rekurzija zahtevala dve (morda) različni vrednosti a 0, in sicer c in f 3 (a 3 ). Rekurzivne definicije so močno orodje. Uporabimo jih na primer lahko za definiranje seštevanja in množenja, čemur se bomo zdaj posvetili [4] in [11]. 2.3. Seštevanje naravnih števil Sistem naravnih števil je v tem trenutku še zelo pomanjkljiv. Imamo le eno operacijo naslednik (povečevanje) in nekaj aksiomov. V tem poglavju bomo s pomočjo vira [4] v naravna števila vpeljali še operacijo seštevanje. Seštevanje deluje po naslednjem sistemu. Popolnoma enako je, če dodamo tri k pet ali pet k tri. Je pa to en korak več, kot če bi dodali 9

dva k pet, kar je en korak več, če bi dodali ena k pet in še en korak več če bi dodali nič k pet. Seštevanje definiramo rekurzivno. Definicija 2.10 (Seštevanje naravnih števil). Naj bo m naravno število. Če dodamo 0 k m, to definiramo kot m + 0 := m. Nadalje rekurzivno definiramo m + (n + +) := (m + n) + +. Kar smo definirali, je operacija prištevanja poljubnega naravnega števila n k danemu naravnemu številu m, in to označimo z m + n. Bolj formalno, v obliki rekurzivno definiranih zaporedij iz prejšnjega poglavja, smo danemu naravnemu številu m priredili rekurzivno zaporedje a n s predpisom a 0 = m in a n++ = f n (a n ), kjer so f n : N N vse enake f n (k) = k ++ za vsak k iz N. Vsoto m+n potem definiramo kot m + n = a n. Nikakor pa na prvi pogled ni jasno, ali nam prištevanje n k m da isto naravno število kot prištevanje m k n, oziroma, ali velja m + n = n + m. Primer 2.11. Izračunajmo 3 + 5. Po definiciji seštevanja velja 3 + 0 = 3 3 + 1 = (3 + 0) + + = 3 + + = 4 3 + 2 = (3 + 1) + + = 4 + + = 5 3 + 3 = (3 + 2) + + = 5 + + = 6 3 + 4 = (3 + 3) + + = 6 + + = 7 3 + 5 = (3 + 4) + + = 7 + + = 8. Torej je 3 + 5 = 8. Izračunajmo še 5 + 3: 5 + 0 = 5 5 + 1 = (5 + 0) + + = 5 + + = 6 5 + 2 = (5 + 1) + + = 6 + + = 7 5 + 3 = (5 + 2) + + = 7 + + = 8. Opazimo pričakovano 5 + 3 = 8 = 3 + 5. 10

2.4. Lastnosti seštevanja V naslednjih treh razdelkih povzemamo predvsem po [2], [4] in [7]. V tem trenutku vemo le dve dejstvi o seštevanju in sicer m + 0 = m in m+(n++) = (m+n)++. Presenetljivo se izkaže, da sta ti dve dejstvi dovolj, da izpeljemo vse ostale lastnosti (seveda s pomočjo Peanovih aksiomov), ki jih poznamo o seštevanju. Omenimo na tem mestu, da nekateri avtorji ti dve lastnosti seštevanja privzamejo med aksiome naravnih števil. Pri naslednji trditvi se spomnimo, da še nismo dokazali komutativnosti seštevanja, in da rezultat ne sledi povsem očitno iz dejstva n + 0 = n. Trditev 2.12. Za vsako naravno število n velja 0 + n = n. Dokaz. Uporabili bomo indukcijo. Baza indukcije 0 + 0 = 0 sledi iz definicije. Sedaj lahko induktivno predpostavimo, da je 0 + n = n in pokažimo, da velja tudi 0 + (n + +) = n + +. Iz definicije sledi 0 + (n + +) = (0 + n) + + = n + +, kjer smo pri drugem enačaju uporabili indukcijsko predpostavko. S tem zaključimo indukcijo. Lema 2.13. Za vsaki dve naravni števili m in n velja (m++)+n = (m + n) + +. Dokaz. Ponovno ne moremo kar direktno sklepati, da trditev sledi iz n + (m + +) = (n + m) + +, saj nimamo komutativnosti. Uporabimo indukcijo na spremenljivko n (m se torej ne spreminja). Najprej naredimo bazo indukcije. V tem primeru moramo dokazati (m + +) + 0 = (m + 0) + +. Ampak po definiciji seštevanja je (m + +) + 0 = m + + in m + 0 = m, zato je (m + +) + 0 = (m + 0) + +. Sedaj predpostavimo, da je (m + +) + n = (m + n) + + in dokažimo (m + +) + (n + +) = (m + (n + +)) + +. Iz definicije sledi (m + +) + (n + +) = ((m + +) + n) + +, iz indukcijske predpostavke pa (m++)+n = (m+n)++. Zato je (m++)+(n++) = ((m+n)++)++. Ker pa je po definiciji seštevanja (m + n) + + enako m + (n + +), smo s tem zaključili indukcijo. Kot posebno posledico Trditve 2.12 in Leme 2.13 lahko opazimo, da velja 1 + n = n + +. 11

Trditev 2.14 (Zakon komutativnosti). Za vsak par naravnih števil m in n velja m + n = n + m. Dokaz. Uporabili bomo indukcijo na n (m se torej ne spreminja). Vemo že, da velja m + 0 = 0 + m, saj to sledi iz definicije seštevanja ter Trditve 2.12. Predpostavimo sedaj, da velja m+n = n+m in dokažimo m + (n + +) = (n + +) + m. Po definiciji seštevanja je m + (n + +) enako (m + n) + +, po Lemi 2.13 pa je (n + +) + m = (n + m) + +. Rezultat sedaj sledi iz indukcijske predpostavke. Trditev 2.15 (Zakon asociativnosti). Za katerakoli naravna števila l, m, n velja (l + m) + n = l + (m + n). Dokaz. Fiksirajmo l in m ter naredimo indukcijo po n. Pri n = 0 imamo (l + m) + 0 = l + m in l + (m + 0) = l + m iz definicije seštevanja. Predpostavimo sedaj (l + m) + n = l + (m + n) in dokažimo (l + m) + (n + +) = l + (m + (n + +)). Iz definicije seštevanja sledi (l + m) + (n + +) = ((l + m) + n) + + in l + (m + (n + +)) = l + ((m + n) + +) = (l + (m + n)) + +. S tem je dokaz zaključen. S tem smo pokazali, da so naravna števila za seštevanje komutativna polgrupa z enoto, oziroma komutativni monoid, saj velja komutativnost, asociativnost in m + 0 = 0 + m = m. Pokažimo, da v naravnih številih za operacijo seštevanje velja pravilo krajšanja (v splošnem pravilo krajšanja ne velja v polgrupah). Trditev 2.16 (Pravilo krajšanja). Naj bodo l, m, n naravna števila in naj velja l + n = m + n. Potem je l = m. Dokaz. Uporabimo indukcijo na n. Pri n = 0 trditev očitno sledi iz definicije seštevanja. Predpostavimo sedaj, da iz l + n = m + n sledi l = m in naj bo l + (n + +) = m + (n + +). Velja l + (n + +) = (l + n) + + 12

in Torej je m + (n + +) = (m + n) + +. (l + n) + + = (m + n) + +, in zato po aksiomu P4 l + n = m + n. Po indukcijski predpostavki je l = m. Definicija 2.17. Naravno število n je pozitivno, če je n 0. Lema 2.18. Naj bo n pozitivno naravno število. natanko eno naravno število m, da je n = m + +. Potem obstaja Dokaz. Trditev, ki jo bomo pokazali s pomočjo indukcije je: Za vsako naravno število n obstaja natanko eno naravno število m, da je n = m + +, ali pa je n = 0. Baza indukcije je očitna, saj je 0 = 0. Predpostavimo sedaj, da trditev velja za število n, in dokažimo, da trditev velja za n + +. To je očitno, saj je n + + = n + +, enoličnost pa sledi iz aksioma P4. Trditev 2.19. Naj bo m pozitivno naravno število in n naravno število. Potem je m + n pozitivno naravno število. Dokaz. Ker je m pozitivno naravno število, obstaja (natanko eno) naravno število k, da velja m = k ++. Potem je m+n = (k ++)+n = (k + n) + +. Torej je n + m naslednik nekega naravnega števila in zato po P3 m + n 0. Skupaj s komutativnostjo lahko to trditev preuredimo v Posledica 2.20. Če sta m in n naravni števili in velja m + n = 0, potem sta tako m kot n enaka 0. 2.5. Urejenost naravnih števil Definicija 2.21. Naj bosta m in n naravni števili. Pravimo, da je m manjši ali enak n, zapišemo m n, če je n = m + k za neko naravno število k. Nadalje rečemo, da je m strogo manjši od n, pišemo m < n, če m n in m n 13

Tako je na primer 3 < 8, ker je 8 = 3+5 in 5 0. Če je m n, lahko rečemo tudi, da je n večji ali enak m, in zapišemo n m. Podobno za strogo večji. Tako je na primer 8 > 3. Za vsako naravno število n velja 0 + n. Torej je n 0 za vsako naravno število in n > 0 natanko tedaj, ko n 0 (torej je pozitivno število). Vidimo lahko tudi, da je m < n natanko tedaj, ko je m + + n. Iz definicije tudi takoj sledi, da ne obstaja največje naravno število, saj je n + + > n za vsako naravno število n, ker je n + + = n + 1. Trditev 2.22 (Osnovne lastnosti urejenosti). Relacija zadošča naslednjim lastnostim. (i) Refleksivnost: n n za vsako naravno število n. (ii) Tranzitivnost: če je l m in m n je l n. (iii) Antisimetričnost: če je m n in n m je m = n. (iv) Stroga sovisnost: za poljubni dve naravni števili m, n velja n m ali m n. Dokaz. Refleksivnost sledi iz n = n + 0. Pokažimo tranzitivnost. Velja m = l + j in n = m + k, kjer sta j in k naravni števili. Potem je n = (l + j) + k = l + (j + k) zaradi asociativnosti seštevanja. Torej je l n. Pokažimo antisimetričnost. Po predpostavki je n = m + j in m = n+k. Torej je n = (n+k)+j = n+(k+j), torej n+0 = n+(k+j). Pravilo krajšanja nam pove, da je k + j = 0 in zato k = 0 in j = 0 (Posledica 2.20). Zato je n = m. Strogo sovisnost bomo pokazali z indukcijo na n (m fiksirajmo). Če je n = 0 velja 0 m. Predpostavimo sedaj, da za n velja n m ali m n in pokažimo, da velja n + + m ali m n + +. Če velja n m, potem je bodisi n = m ali pa n < m. V prvem primeru je n + + = m + 1 m, v drugem pa n + + m. Če velja m n, potem je m n + +. S tem je trditev dokazana. V zgornji trditvi smo refleksivnost napisali kot posebno lastnost, vendar direktno sledi iz stroge sovisnosti. Prav tako iz stroge sovistnosti lahko hitro izpeljemo tudi trihotomijo: za vsaki naravni števili m in n velja bodisi m < n bodisi m = n bodisi m > n. Zgornja trditev nam pove, da je urejenost na naravnih števili linearna urejenost oziroma totalna urejenost. 14

Trditev 2.23 (Povezava med seštevanjem in urejenostjo). Naj bo m n in l poljubno naravno število. Potem je m + l n + l. Dokaz. Dokaz takoj sledi iz opazke n = m + k = n + l = (m + l) + k. 2.6. Množenje naravnih števil V tem razdelku bomo v naravna števila vpeljali še operacijo množenje. Tako kot seštevanje je tudi množenje definirano rekurzivno. Definicija 2.24 (Množenje naravnih števil). Naj bo m naravno število. Množenje števila m z 0 definiramo kot m 0 = 0. Rekurzivno definiramo m (n + +) = m n + m. Podobno kot pri seštevanju si poglejmo, zakaj je zgornja definicija smiselna. Množenje števila m z naravnimi števili definiramo preko rekurzivnega zaporedja a n, ki je definirano kot a 0 = 0 in a n++ = f n (a n ), kjer je f n : N N definirana z f n (k) = k + n. Nato definiramo m n = a n. Primer 2.25. Izračunajmo 3 5. Po definiciji množenja velja 3 0 = 0 3 1 = (3 0) + 3 = 0 + 3 = 3 3 2 = (3 1) + 3 = 3 + 3 = 6 3 3 = (3 2) + 3 = 6 + 3 = 9 3 4 = (3 3) + 3 = 9 + 3 = 12 3 5 = (3 4) + 3 = 12 + 3 = 15. Torej je 3 5 = 15. Izračunajmo še 5 3: 5 0 = 0 5 1 = (5 0) + 5 = 0 + 5 = 5 5 2 = (5 1) + 5 = 5 + 5 = 10 5 3 = (5 2) + 5 = 10 + 5 = 15. Opazimo pričakovano 5 3 = 15 = 3 5. 15

Definirajmo še potenciranje naravnih števil. Definicija 2.26. Naj bo m naravno število. Naj bo a n rekurzivno definirano zaporedje a 0 = 1 in a n+1 = f n (a n ), kjer je f n : N N definirana kot f n (k) = k m. Definiramo n-to potenco števila m kot m n := a n. Primer 2.27. Poglejmo si 5 3. 5 0 = 1 5 1 = 5 0 5 = 1 5 5 2 = 5 1 5 = (1 5) 5 5 3 = 5 2 5 = ((1 5) 5) 5. V nadaljevanju bomo videli, da so oklepaji, ki smo jih pisali, nepotrebni (asociativnost), da je 1 5 = 5, in da je zato zapis 5 3 = 5 5 5 povsem smiseln. 2.7. Lastnosti množenja Trditev 2.28 (Komutativnost množenja). Naj bosta m in n naravni števili. Potem velja m n = n m. Dokaz. Pokažimo najprej z indukcijo, da je 0 m = 0 za vsako naravno število m. Seveda je res za m = 0, in predpostavimo, da velja 0 m = 0. Potem je 0 (m + +) = (0 m) + 0 = 0 + 0 = 0. Pokažimo sedaj, tokrat z indukcijo po m, da velja (n + +) m = (n m)+m. Pri m = 0 je izjava resnična. Naj velja (n++) m = (n m)+m in dokažimo (n + +) (m + +) = (n (m + +)) + (m + +). (n + +) (m + +) = ((n + +) m) + (n + +) = (n m) + m + (n + +) = (n m) + n + (m + +) = (n (m + +)) + (m + +). Sedaj smo pripravljeni, da z indukcijo po n dokažemo, da velja m n = n m pri danem poljubnem m. Velja m 0 = 0 m = 0. 16

Predpostavimo m n = n m in pokažimo m (n + +) = (n + +) m. Velja m (n + +) = (m n) + m = (n m) + m. Po drugi strani pa je prav tako (n + +) m = (n m) + m, kot smo videli zgoraj. Iz komutativnosti in definicije množenja dobimo Trditev 2.29 (Obstoj enote za množenje). Za vsako neničelno naravno število n velja n 1 = 1 n = n. V nadaljevanju bomo upoštevali, da ima množenje prednost pred seštevanjem, in si s tem prihranili nekaj pisanja oklepajev. Trditev 2.30 (Distributivnost). Za vsa naravna števila l, m, n imamo (l + m) n = l n + m n. Dokaz. Pokažimo z indukcijo po n. Ker velja (l + m) 0 = 0 in l 0 + m 0 = 0, imamo bazo indukcije. Predpostavimo (l + m) n = l n + m n in dokažimo (l + m) (n + +) = l (n + +) + m (n + +). Velja (l + m) (n + +) = (l + m) n + l + m = l n + m n + l + m = l n + l + m n + m = l (n + +) + m (n + +), kar je enako desni strani. S tem je trditev dokazana. Trditev 2.31 (Asociativnost množenja). Za vsaka naravna števila l, m, n velja (l m) n = l (m n). Dokaz. Pokažimo z indukcijo po n. Za n = 0 sta obe strani enaki 0. Predpostavimo sedaj, da velja (l m) n = l (m n) in dokažimo (l m) (n + +) = l (m (n + +)). Leva stran je enaka (l m) (n + +) = (l m) n + (l m) = l (m n) + (l m), 17

desna pa l (m (n + +)) = l (m n + m) l (m n) + l m. Torej sta obe strani enaki. Trditev 2.32 (Naravna števila nimajo deliteljev niča). Naj bosta m in n naravni števili. Potem je m n = 0 natanko tedaj, ko je vsaj eden od m ali n enak 0. Dokaz. Naj bo m neničelno. Pokazati moramo, da je m n = 0 natanko tedaj, ko je n = 0. Recimo, da n 0. Potem je n = l + + za nek l. Zato je m n = m (l + +) = (m l) + m m > 0. Posledica 2.33 (Pravilo krajšanja). Naj bodo l, m, n naravna števila in l 0. Če velja m l = n l, potem je m = n. Poglejmo si še, kako sta povezani operacija množenja in relacija urejenosti. Trditev 2.34 (Povezava med množenjem in urejenostjo). Če sta l in m naravni števili in je l m ter m naravno število, potem velja l n m n. Dokaz. Dokažimo z indukcijo po n. Pri n = 0 dobimo l m = 0 0. Predpostavimo, da trditev velja pri n in jo dokažimo pri n + +: l (n + +) = l n + l m n + m = m (n + +). Opomba. Povedali smo že, da so naravna števila komutativni monoid brez deliteljev niča za operacijo seštevanje. V tem razdelku smo pokazali, da so neničelna naravna števila tudi komutativni monoid brez deliteljev niča za operacijo množenja. Skupaj z distributivnostnim zakonom dobimo, da so naravna števila komutativni polkolobar brez deliteljev niča. Lastnosti operacije (v povezavi s + in ) nam povedo, da so naravna števila linearno urejen polkolobar. 18

2.8. Odštevanje in deljenje v naravnih številih Odštevanje in deljenje lahko le delno definiramo v naravnih številih [4]. Definicija 2.35. Naj bo m n. Potem definiramo n m kot tisto naravno število k, za katerega velja n = m + k. Da je zgornja definicija dobra, se lahko hitro prepričamo. m n po definiciji pomeni, da obstaja tako število k, da je n = m+k. Preverimo še, da je tako število eno samo. Naj bo tudi n = m + l. Potem nam pravilo krajšanja pove, da je l = k. Pravilo krajšanja je torej tisto, ki nam omogoča, da delno definiramo operacijo odštevanja. Podobno je z deljenjem, le da v tem primeru ni tako enostavno povedati, kdaj je le to definirano. Definicija 2.36. Naj bosta m in n taki naravni števili, da je n = k m za neko naravno število k. Predpostavimo nadalje, da n 0. Potem definiramo n/m := k. Da je ta definicija dobra, ugotovimo s pomočjo pravila krajšanja, tokrat seveda za množenje. Naslednja trditev nam pove, da v naravnih številih lahko vedno definiramo operacijo deljenje z ostankom. Trditev 2.37 (Osnovni izrek o deljenju). Naj bo m naravno število in n pozitivno naravno število. Potem obstajata enolično določeni naravni števili k in l, l < n, da velja m = k n + l. Dokaz. Pokažimo najprej enoličnost. Predpostavimo, da obstajajo števila k, l, k, l da velja m = k n+l in m = k n+l, pri čemer je l, l < n. Če velja k = k takoj vidimo, da je tudi l = l. Predpostavimo torej, da je k > k. Potem mora veljati (k k)n + l = l. Ker pa je (k k)n + l n, to ni mogoče. Pokažimo sedaj s pomočjo indukcije po m še obstoj. Če je m = 0, je k = 0 in l = 0 za vsak n > 0. Naj bo sedaj m = kn + l. Potem je m + 1 = kn + (l + 1). Če je l + 1 < n, smo končali. Ker je l < n, je možno le še l + 1 = n. V tem primeru je m + 1 = (k + 1)n + 0. 19

POGLAVJE 3 Množice Intuitivno kot množico razumemo skupek nekih reči, kot na primer množica otrok na igrišču, množica galebov, množica racionalnih števil,... Pojem množice je nekaj, kar smo si izmislili, da si lažje predstavljamo stvari in o njih govorimo. Je abstrakten pojem, ki pa zahteva bolj natančno definicijo. Utemeljitelj teorije množic, Georg Cantor je pojem množice definiral kot: Množica je skupek določenih, različnih stvari iz našega nazornega ali miselnega sveta, ki ga imamo za celoto. Ampak težava te definicije je, da nas hitro pripelje do protislovij. Enega je opazil Bertrand Russel leta 1902. Po Cantorju bi morala obstajati tudi množica vseh množic, recimo ji U. Vzemimo tisto njeno podmnožico A, ki je sestavljena iz vseh tistih množic B, ki niso vsebovane same v sebi. Torej A = {B U; B B}. Imamo dve možnosti in sicer, da je A vsebovana v A, ali pa da A ni vsebovana v A. Če A je element A, potem iz definicije množice A sledi, da A ni element množice A. Če pa A ni vsebovana v A, pa iz definicije množice A sledi, da A je element množice A. Torej pridemo do paradoksa. Kot bomo videli kasneje, paradoks izhaja iz preveč ohlapne definicije pojma množica. Sama definicija množice A ni toliko problematična, saj bo eden od aksiomov teorije množic dopuščal, da lahko naredimo bolj ali manj poljubno podmnožico dane množice. Problem je bolj v tem, da je A definirana kot podmnožica množice vseh množic. Če torej dopustimo, da lahko dokaj poljubno gradimo podmnožice, moramo biti precej bolj restriktivni pri tem, katere objekte bomo imenovali množice. V nadaljevanju bomo predstavili sistem aksiomov ZFC teorije množic. Ta sistem aksiomov se imenuje po matematikih Ernstu Zermelu in 21

Abrahamu Fraenkelu, in je eden izmed najbolj uporabljenih aksiomatskih modelov teorije množic. Simbol C pomeni, da bomo v teorijo privzeli še aksiom izbire. Sistem aksiomov, predvsem aksiom o neskončnosti, bomo nato uporabili pri konstrukciji modela naravnih števil kot množice. Podobno kot v prejšnjem poglavju, bo tudi v tem poglavju obravnava aksiomov precej neformalna, še posebej pri navajanju primerov. Prav tako bomo za lažje razumevanje dodali nekaj aksiomov, ki bi jih sicer lahko izpeljali kot posledice ostalih aksiomov. Pri pisanju tega poglavja se bomo predvsem naslonili na [2], [4] in [6]. 3.1. ZFC aksiomi Celotna teorija množic temelji na pojmu biti element oziroma na odnosu pripadnosti. Če je neka reč x element množice A, to zapišemo kot x A. Edini objekti, ki jih bomo obravnavali pri tej teoriji so množice. Zato bodo tudi elementi množic lahko le množice same. Zato bodo množice včasih označene z malimi tiskanimi, včasih pa z velikimi tiskanimi črkami. Z malimi predvsem takrat, ko jih želimo gledati le kot elemente večje množice. To je sicer nekoliko ne intuitivno, vendar nam omogoča bolj čisto teorijo. Vseeno pa bomo včasih v primerih za lažje razumevanje pisali nekoliko neformalno npr. {1, 2, 3}. Ker pa bomo ob koncu poglavja naravna števila opisali kot množice, bo tudi s povsem formalnega stališča to v redu. Povejmo najprej, kdaj sta dve množici enaki. Enakost dveh množic A in B v splošnem označimo s simbolom =, torej A = B. Če pa množici A in B nista enaki, to zapišemo kot A B. Enakost množic vpeljemo z naslednjim aksiomom. Aksiom 3.1 (Aksiom o ekstenzionalnosti). Dve množici A in B sta enaki natanko tedaj, ko imata natanko iste elemente. Torej A B : x(x A x B) A = B. Primer 3.2. Imamo množico A = {1, 2, 3}, ki jo vsi prav dobro poznamo. Tudi B = {n N : 1 n 3} je množica. Čeprav na prvi pogled zgleda, da A in B nimata nič skupnega, po aksiomu o ekstenzionalnosti velja A = B. Aksiom o ekstenzionalnosti pravzaprav vpeljuje pojem enakosti. Pravi, da za množico ni prav nič pomembno, 22

kako smo opisali elemente. Pomembno je le, kateri elementi to so. Prav tako ni pomembno, če se pri naštevanju elementi ponavljajo, oziroma kakšen je njihov vrstni red. Torej {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {1, 2, 1, 3, 1, 2}. Z naslednjim aksiomom bomo vpeljali prazno množico. Obstoj prazne množice bi sicer lahko kasneje izpeljali iz ostalih aksiomov. Aksiom 3.3 (Obstoj prazne množice). Obstaja množica, ki ne vsebuje nobenega elementa. Torej : x(x ). Opomba. Po aksiomu o ekstenzionalnosti je prazna množica ena sama, saj očitno velja trditev x(x A x B) x(x A x B). Večina aksiomov v nadaljevanju nam pove, kako lahko iz že obstoječih množic dobimo nove množice. Aksiom 3.4 (Aksiom o podmnožici). Naj bo A dana množica in L lastnost, ki je smiselna za elemente množice A. Tedaj obstaja množica B, ki sestoji iz natanko tistih elementov množice A, ki imajo lastnost L. Bolj natančno, naj bo L formula v teoriji množic s prostimi spremenljivkami x, w 1,... w n, A. Potem velja w 1,..., w n A B x(x B (x A L(x, w 1,..., w n, A))). Opomba. Po aksiomu o ekstenzionalnosti je množica B natanko določena z množico A in lastnostjo L. Vpeljimo sedaj še formalni pojem podmnožice. Definicija 3.5. Če sta A in B množici, in je vsak element A tudi element B, potem rečemo, da je A podmnožica B, oziroma B vsebuje A in to zapišemo kot A B ali B A. Prazna množica je seveda podmnožica vsake množice. Seveda je vsaka množica tudi podmnožica sama sebe. Relacija biti podmnožica je torej refleksivna. Prav tako je relacija tudi tranzitivna, saj velja (A B) (B C) A C, in po aksiomu o ekstenzionalnosti antisimetrična, torej (A B) (B A) A = B. Če imamo torej 23

neko množico A, katere elementi so zopet množice, nam relacija biti podmnožica poda delno urejenost na A. Aksiom 3.6 (Aksiom o paru). Naj bosta x in y poljubni množici. Tedaj obstaja množica A, katere edina elementa sta x in y. Bolj natančno x y A(x A y A). Primer 3.7. Edina množico, ki smo jo dosedaj spoznali, je prazna množica. Poglejmo si, kako nam aksiom o paru omogoča, da zgradimo nove množice. Naj bo x poljubna množica. Potem je tudi {x} množica, saj lahko vzamemo pri aksiomu o paru y = x. dobimo množico { }. Če vzamemo x = y =, Če sedaj vzamemo x = in y = { } dobimo novo množico {, { }}. S postopkom lahko nadaljujemo. Aksiom 3.8 (Aksiom o uniji). Naj bo A poljubna množica. Potem obstaja množica A, katere elementi so natanko elementi, ki pripadajo vsaj eni od množic iz A. Bolj formalno A A Y x((x Y Y A) x A). Po aksiomu o ekstenzionalnosti je taka množica natanko določena z množico A. Lahko jo označimo z A. Če je na primer A = {X, Y }, pa pišemo kar X Y. Podobno lahko pišemo pri vsaki končni uniji. Primer 3.9. Podobno kot v prejšnjem primeru, lahko tudi s pomočjo aksioma o uniji skonstruiramo nove množice. Množico {, { }} lahko dobimo kot unijo množic { } in {{ }}, vendar teh dveh množic ne moremo dobiti brez aksioma o paru. Zanimivo je, da za definicijo poljubnega preseka množic ne potrebujemo dodatnega aksioma, ampak lahko presek definiramo že s pomočjo aksioma o podmnožicah. Naj bo A neprazna množica in Y poljuben element v A. Potem lahko presek množic iz A dobimo kot A = {x Y : X(X A x X)}. Podobno lahko vpeljemo razliko dveh množic kot A \ B = {x A : x / B}. 24

Aksiom 3.10 (Aksiom o zamenjavi). Naj bo A množica. Za vsak x A in vsak element y naj bo P (x, y) izjava, ki je resnična za največ en element y. Potem obstaja množica B, ki vsebuje natanko tiste elemente y, da je izjava P (x, y) resnična za vsaj nek element x A. Bolj formalno je izjava P formula v teoriji množic s prostimi spremenljivkami x, y, w 1,..., w n, A in velja w 1,..., w n A(( x A!yP (x, y, w 1,..., w n, A)) B y(y B x AP (x, y, w 1,..., w n, A))). Zgornji aksiom nam na primer omogoča, da iz množice A = {1, 2, 3} naredimo B = {2, 3, 4}. To dobimo tako, da vzamemo izjavo y = x+1. Seveda pa lahko to množico naredimo tudi brez zgornjega aksioma. Da se izognemo Russelovemu paradoksu, bomo od množic zahtevali naslednji aksiom. Za dve množici A in B rečemo, da sta disjunktni, če ne vsebujeta nobenega skupnega elementa, torej x : x A x B. Aksiom 3.11 (Aksiom o regularnosti). Vsaka neprazna množica A vsebuje element, ki je disjunkten z A. Ta aksiom nam onemogoča, da bi bila množica element same sebe. Naj bo na primer množica A poljubna množica. Potem je A edini element množice {A}, zato mora biti A disjunkten z {A}, kar pa po definiciji pomeni, da A A. Aksiom nam tudi pove, da ni neskončnega ugnezdenega zaporedja množic in da za par množic A in B ne more hkrati veljati, da je A B in B A. Aksiomi o prazni množici, o podmnožici, o uniji in o paru nam že omogočajo, da iz prazne množice gradimo poljubno velike končne množice. Pravzaprav se izkaže, da so to edini aksiomi, ki jih potrebujemo, če želimo operirati le s končnimi množicami. Ne omogočajo pa nam še, da bi zgradili kakršnokoli neskončno množico, kot je na primer množica naravnih števil. Aksiom 3.12 (Aksiom neskončnosti). Obstaja vsaj ena množica M, ki ima lastnosti 25

prazna množica je njen element: M, če je poljubna množica x njen element, potem je množica x {x} tudi njen element: x M x {x} M. Krajše M( M x M((x {x}) M)). Kot bomo videli v nadaljevanju, je množica M neskončna. Zdi se, da je najmanjša množica, ki ustreza aksiomu o neskončnosti, množica N = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},...}. Potenčna množica dane množice A je množica P (A), katere elementi so natanko podmnožice množice A. Čeprav se izkaže, da lahko potenčne množice končnih množic skonstruiramo brez dodatnih aksiomov, pa v splošnem potrebujemo nov aksiom. Aksiom 3.13 (Aksiom o potenčni množici). Za vsako množico A obstaja njena potenčna množica P (A). Bolj natančno A P (A) B(B P (A) x(x B x A)). Primer 3.14. Imamo množico A = {1, 2}. P (P (A)) Poiščimo P (A) in P (A) = {, {1}, {2}, {1, 2}} P (P (A)) = {, { }, {{1}}, {{2}}, {{1, 2}}, {, {1}}, {, {2}}, {, {1, 2}}, {{1}, {2}}, {{1}, {1, 2}}, {{2}, {1, 2}}, {, {1}, {2}}, {, {1}, {1, 2}}, {, {2}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {1, 2}}, {, {1}, {2}, {1, 2}} Aksiom o potenčni množici nam omogoča, da definiramo kartezični produkt dveh množic. Naj bosta A in B množici, ter a A in b B elementa. Definirajmo množico (a, b) := {a, {a, b}}. Ta množica obstaja po aksiomu o paru. Kartezični produkt želimo definirati kot množico A B, ki bo vsebovala natanko take pare (a, b). 26

Tako množica {a} kot množica {a, b} sta elementa množice P (A B). Zato je {a, {a, b}} P (P (A B)) in lahko definiramo A B = {C P (P (A B)) : a A b B, C = (a, b)}. Kartezični produkt treh množic A, B in C lahko definiramo kot (A B) C) in nato induktivno za vsak končen kartezični produkt. Vsako podmnožico R A B imenujemo dvočlena relacija med množicama A in B. Če je A = B, rečemo kar, da imamo relacijo na A. Če je (a, b) R pišemo tudi arb. Domena relacije R A B je definirana kot množica {a A : b B, (a, b) R}, kodomena pa kot {b B : a A, (a, b) R}. Za relacijo R A B rečemo, da je levo totalna, če je domena enaka množici A. Relacija je funkcijska, če za vsak a A velja (a, b) R (a, c) R b = c. Definicija 3.15. Dvočlena relacija R A B je preslikava med množicama A in B, če je levo totalna in funkcijska. Opomba. Naj bo R A B preslikava med A in B. Potem za vsak a A obstaja natanko en b B, da velja (a, b) R. Če označimo f(a) := b, dobimo bolj običajen zapis za preslikavo, ki jo pogosto raje pišemo kot trojico f : A B. V nadaljevanju bomo uporabljali tak zapis. Preden nadaljujemo, si poglejmo še definicijo ekvivalenčne relacije in kvocientne množice. Definicija 3.16. Dvočlena relacija na A je ekvivalenčna relacija, če je refleksivna ( a A(a a)), simetrična ( a, b A(a b b a)) in tranzitivna ( a, b, c A(a b b c a c)). Če je ekvivalenčna relacija na A in a A, lahko definiramo ekvivalenčni razred [a] = {b A : a b}. Za a, b A sta ekvivalenčna razreda [a] in [b] bodisi enaka, bodisi disjunktna. Množico A 27

lahko razbijemo na disjunktno unijo ekvivalenčnih razredov, oziroma, definiramo kvocientno množico A/ A/ = {B P (A) : a, b B c A ((a b) (a c c B))}. Naj bosta sedaj I in A množici in f : I A preslikava. Če je i I pišimo A i = f(i). Potem lahko definiramo kartezični produkt družine množic iz A indeksirane s f kot A i = {g : I A : i I, g(i) A i }. i I Kartezični produkt dveh množic A in B je prazna množica natanko tedaj, ko je vsaj ena od njiju prazna množica. Podobno lahko vidimo pri končnem kartezičnem produktu. Pri poljubnem kartezičnem produktu indeksirane družine množic pa moramo del te trditve postaviti kot aksiom. Aksiom 3.17 (Aksiom izbire). Če je A i poljubna družina nepraznih indeksiranih množic, potem je kartezični produkt te družine neprazna množica. 3.2. Konstrukcija naravnih števil V tem razdelku bomo znotraj ZFC teorije množic skonstruirali model naravnih števil s pomočjo vira [2] in [5]. Pokazali bomo naslednji izrek. Izrek 3.18 (Obstoj naravnih števil). Obstaja množica N, za katero velja P1 Prazna množica je element množice N, N. Označimo 0 :=. P2 Za vsak n N, obstaja element n + + N, ki mu pravimo naslednik elementa n. 28

P3 V množici N ni nobenega elementa, ki bi imela 0 za svojega neposrednega naslednika, n N : n + + 0. P4 Če sta neposredna naslednika dveh elementov enaka, potem sta tudi ta dva elementa enaka, n, m N((n + + = m + +) n = m). P5 Če je S N, tako da je 0 S in je za vsak n S tudi n + + S, potem je S = N. Oziroma (S N) (0 S ( n S n + + S)) S = N. Dokaz. Naj bo Ω množica, ki jo dobimo iz aksioma o neskončnosti. Za vsak n Ω označimo n + + := n {n}. Potem je n++ Ω. Imenujmo podmnožico S Ω induktivna množica, če velja S in n S n + + S. Seveda je Ω induktivna množica. Vse induktivne množice so elementi potenčne množice P (Ω), zato obstaja množica S = {S P (Ω) : S induktivna}. Naj bo N = S. Poglejmo, da množica N zadošča aksiomom 1-5. Aksiom 1. Ker je 0 S za vsak S S je 0 N. Aksiom 2. Naj bo n N. Potem je n S za vsak S S in zato n + + S za vsak S S. Torej je n + + N. Aksiom 3. Predpostavimo, da je 0 = m + + za nek m N. Torej je = m {m} in zato m, kar pa ni možno. Aksiom 5. Pokazati moramo, da je vsaka induktivna podmnožica N enaka N. To je očitno, saj je N induktivna in je hkrati presek vseh induktivnih množic. Aksiom 4. Pokažimo najprej, da za vsak n N velja m n m n. Naj bo S := {n N : ( m n : m n)}. Preverimo, da velja n S (n {n}) S. Naj bo m n {n}. Potem je m n ali pa m = n. V obeh primerih je m n + +. Množica S je induktivna, saj je tudi 0 S. Torej je N S. Ker pa je tudi S N je S = N, 29

kar smo želeli pokazati. Naj bo sedaj n + + = m + +. Potem je n {n} = m {m}. Če m n, potem {m} {n}, kar pomeni, da mora veljati m n in n m. Po zgornjem dobimo m n in n m, kar pomeni m = n. Dobili smo protislovje. Množico naravnih števil smo torej skonstruirali kot najmanjšo induktivno podmnožico neke induktivne množice, katere obstoj nam zagotavlja aksiom o neskončnosti. Sama naravna števila so seveda tudi množice, in sicer 0 =, 1 = { }, 2 = {, { }}, 3 = {, { }, {, { }},... Operacija naslednik je definirana kot n + + = n {n}. Urejenost naravnih števil je v tem modelu podana kar kot m n m n. Spomnimo se, da je totalna urejenost na množici M dobra urejenost, če ima vsaka neprazna podmnožica A M najmanjši element. To je, obstaja tak a A, a b za vsak b A. Najmanjši element A je zaradi antisimetričnosti en sam. Izrek 3.19. Množica naravnih števil je dobro urejena. Dokaz. Naj bo A neprazna podmnožica naravnih števil. Potem obstaja naravno število b A. Naj bo a najmanjši izmed števil {0, 1,..., b} ki je tudi v A. Hitro vidimo, da je a najmanjši element v A. 3.3. Ekvipolenca množic Naslednji razdelek je napisan s pomočjo [2], [9] in [13]. Naj bo f : A B preslikava med množicama A in B. Preslikava je injektivna, če različne elemente slika v različne elemente, to je x, y A(x y f(x) f(y)) in surjektivna, če je kodomena preslikave cela množica B. Če je preslikava injektivna in surjektivna, rečemo, da je bijektivna. Definicija 3.20 (Ekvipolenca množic). Množici A in B sta ekvipolentni, če obstaja bijektivna preslikava f : A B. Seveda je vsaka množica ekvipolentna sama sebi, ker za preslikavo lahko vzamemo kar identiteto. Prav tako velja tranzitivnost: če je A 30