PROGRAMY NA SPRACOVANIE A VIZUALIZÁCIU EXPERIMENTÁLNYCH DÁT Ladislav ŠEVČOVIČ http://people.tuke.sk/ladislav.sevcovic Strana 1 z 20
Strana 2 z 20 V prezentácii sú použité názvy programových produktov, firiem a pod., ktoré môžu byť ochrannými známkami alebo registrovanými ochrannými známkami príslušných vlastníkov. Copyright c 2006 Ladislav Ševčovič
Úvod 4 Základné pojmy 7 Chyby....................................... 8 Neistoty...................................... 9 Numerické metódy 10 Hlavné črty MNŠ................................. 12 χ 2 test kvality fitovania.............................. 13 NIST 14 Program QtiPlot 15 Program Kpl 16 Záver 17 Strana 3 z 20 Vzdialenosť protónov v H 2 O 19
ÚVOD Niektoré matematicko-grafické programy: GNUPLOT, Gnumeric a Calc z kancelárskeho balíka OpenOffice sú plnohodnotnou náhradou za komerčný program Excel z MS Office, d alej sú to Veusz, LabPlot, Grace (xmgrace), Scigraphica, Octave, PyLab, QtiPlot, Kpl. Strana 4 z 20
Strana 5 z 20 Obrázok 1: S. PEKAREK M. MURLA 2002. PHYSICS I II, Laboratory Manual, Praha : Vydavatelství ČVUT, 2002, p. 80
J. Uhrin, L. Ševčovič, J. Murín : Fyzikálne merania, Košice, elfa, 2006, str. 93 Strana 6 z 20 Obrázok 2: Numerická derivácia programom PyLab
ZÁKLADNÉ POJMY V súčasnosti sa v metrológii, pri fyzikálnych a technických meraniach postupne prechádza na nové metódy vyjadrovania odchýlok. Doterajšie chyby meraní sú v súlade s medzinárodnými predpismi ISO a IEC nahradzované neistotami meraraní. NIST (http://physics.nist.gov/cuu/uncertainty/basic.html) prináša základné informácie o neistotách a ich vyjadrovaní. Hlavný dokument je smernica Guide to Expression of the Uncertainty of Measurement (GUM) (ISO, Switzerland 1995) vydaná medzinárodnými metrologickými orgánmi v roku 1993, korigovaná a doplnená v roku 1995. Strana 7 z 20
CHYBY Chyba, máme tu ma mysli chybu meracieho prístroja, ktorá má svoj pôvod v konštrukčnom usporiadaní, v konečnom delení stupnice meraných hodnôt a pod. Základnými zdrojmi chýb sú: nedokonalost prístrojov, stárnutie a opotrebenie prístrojov, čím sa môžu menit ich charakteristiky a parametre, chyby experimentátora, nepresné metódy vyhodnocovania meraní, vplyv linearizácie, interpolácie a zaokrúhl ovania, zlá kalibrácia, inštalácia alebo umiestnenie prístrojov atd. Strana 8 z 20
NEISTOTY Neistota merania (skrátene neistota) je parameter, ktorý súvisí s výsledkom merania a určujúci rozptyl hodnôt, ktorý môžeme ešte racionálne priradit k meranej veličine. Neistota je teda interval, v ktorom sa s určitost ou, definovanou pravdepodobnost ou bude skutočná (pravá) hodnota nachádzat. Neistoty (z jednotlivych zdrojov) môžeme vyhodnocovat dvoma základnými metódami: štatistickými metódami z nameraných údajov, ktoré sa nazývajú neistoty stanovené metódou A, skrátene ich voláme neistoty typu A, neistoty získané iným spôsobom ako v predošlom prípade, ktoré sa nazývajú neistoty stanovené metódou B, skrátene ich voláme neistoty typu B (napr. výsledky získané pri predchádzajúcich meraniach, špecifikácie od výrobcu meracieho prístroja, údaje z certifikátov, kalibračných listov, neistoty referenčných údajov a pod.). Strana 9 z 20
NUMERICKÉ METÓDY Úlohy súvisiace s vyhodnotením experimentálnych dát vo fyzikálnej a technickej praxi sa vyznačujú týmito základnými vlastnost ami: rozsah a objem spracovaných dát obyčajne nie je vel ký, v dátach sa nachádzajú aj vybočujúce hodnoty merania a rôzne nehomogenity, v dátach sa zvyčajne vyskytujú nelinearity, vzájomné väzby a pod., ktoré treba identifikovat a opísat, parametre modelov majú obyčajne definovaný fyzikálny význam, Strana 10 z 20 často narážame na istú neurčitost (nejasnost, nepresnost ) pri výbere modelu na opis dát.
V konkrétnych prípadoch sa najčastejšie stretneme s týmito situáciami: Fyzikálna interpretácia meranej závislosti nie je dobre prepracovaná. To znamená, že v čase konania experimentu neexistuje teoretický model, ktorý by viac-menej úspešne predpovedal tvar funkčnej závislosti. Potom je možné získané závislosti interpretovat iba kvalitatívne. Teoretický model predpovedá očakávanú závislost, napr. y = a + bx. Experiment 1 lineárnu závislost potvrdí. Treba nájst správne hodnoty parametrov, napr. a, b, ktorým môžu odpovedat d alšie dôležité informácie. Úlohami tohto druhu sa zaoberá vyrovnávací počet. V súčasnej dobe sa široko využíva metóda najmenších štvorcov (MNŠ). Strana 11 z 20 1 Experiment môžeme rozdelit na časti, ktoré sú do istej miery samostatné, voláme ich pokusy.
Hlavné črty MNŠ Majme nameranú funkčnú závislost f i = f (x i ) v bodoch i = 1, 2,..., n. Odchýlky teoretickej F a experimentálej funkcie f i, vypočítané v nameraných bodoch, označíme η i η i = F(x i, p 1, p 2,..., p k ) f i. (1) Ďalej označíme Φ = n η 2 n i = [F(x i, p 1, p 2,..., p k ) f i] 2. (2) i=1 i=1 Úlohou je nájst také odhady p 1, p 2,..., p k parametrov p 1, p 2,..., p k, pre ktoré funkcia Φ (označovaná tiež ako účelová alebo kriteriálna) nadobúda minimum. Nutnou podmienkou pre minimum je potom splnenie rovnice Φ = 2 p j n i=1 η η i i = 2 p i n i=1 η i F(x i, p 1,..., p k ) p j = 0, j = 1, 2,..., k. (3) Strana 12 z 20
χ 2 test kvality fitovania Predpokladáme, že máme k dispozíci n dvojíc meraných hodnôt (x i, f i ), pričom chyba veličiny x i je zanedbatel ne malá a chyba merania veličiny f i je známa, rovná sa σ f i. Optimálny postup pre dáta s normálnou distribúciou šumu. Hl adáme váhovanú sumu štvorcov rezíduí ( ) 2 ( χ 2 η = i = n i=1 σ f i n i=1 F(x i, p 1,..., p k ) f i σ f i ) 2. (4) Vo všetkých prípadoch χ 2 slúži, ako indikátor zhody medzi experimentálnymi a očakávanými hodnotami nejakej premennej. Praktické pravidlo pre dobrý výsledok fitovania má tvar χ 2 n k (5) a platí pre jednu sériu meraní. Strana 13 z 20
NIST NIST National Institute od Standards and Technology http://www.itl.nist.gov/div898/strd/general/dataarchive.html Strana 14 z 20 Obrázok 3: Zdroj referenčných dát pre lineárnu a nelineárnu regresiu
PROGRAM QtiPlot 0.8.5 Výkonný programový balík analýza dát a kreslenie grafov http://soft.proindependent.com/qtiplot.html Tabuľkové okno zobrazuje dáta na analýzu a na tvorbu grafu Grafické okno zobrazuje graf a výsledky grafickej analýzy Strana 15 z 20 Obrázok 4: Grafické okno programu QtiPlot
PROGRAM Kpl Kpl 3.3 jednoduchý na ovládanie vyhladzovanie, optimalizácia, derivovanie, integrovanie... http://frsl06.physik.uni-freiburg.de/privat/stille/kpl/ Strana 16 z 20 Obrázok 5: Importovanie a zobrazenie dát metódou t ahaj a pust
ZÁVER Tabuľka 1: Porovnanie parametrov fitovania pre referenčné dáta NIST s hodnotami získanými z programov QtiPlot a Kpl, a a b sú odhadované parametre, σ a a σ b sú štandardné neistoty (smerodajné odchýlky) odhadovaných parametrov, RSD je reziduálna štandardná odchýlka (Residual Standard Deviation), SQ je suma štvorcov odchýlok (Sum of Squres) a Chi^2/doF je redukovaná hodnota χ 2, dof znamená Degrees of Freedom čiže n k NIST QtiPlot Kpl a 2,074 38 2,074 38 2,074 38 NoInt1 σ a 0,016 53 0,004 63 0,016 53 n k = 10 RSD=3,567 53 Chi^2/doF=12,727 3 chi-square=127,3 SQ=127,272 72 Chi^2=127,273 Strana 17 z 20 BoxBOD a 213,809 41 213,809 53 213,809 00 σ a 12,354 52 0,722 99 12,354 50 b 0,547 24 0,547 24 0,547 24 n k = 4 σ b 0,104 56 0,006 12 0,104 56 RSD = 17,088 07 Chi^2/doF = 292,002 chi-square = 1168,008 876 SQ=1 168,088 77 Chi^2=1 168,008
Program QtiPlot počíta redukovanú hodnotu χ 2 χ 2 = χ2, označená je ako Chiˆ2/doF. (6) n k Štandardná neistota parametra je určená vzt ahom σ qti (cov) ii = Chiˆ2/doF. (7) NIST údaj štandardnej neistoty parametra počíta podl a vzt ahu σ nist = (cov) ii, (8) kde (cov) ii je v oboch prípadoch kovariančná matica parametrov regresie. Strana 18 z 20 Pri rovnosti kovariančných matíc, potom pre súvis oboch údajov platí σ qti σ = nist. (9) Chiˆ2/doF
Vzdialenosť protónov v H 2 O r = 1,58 10 10 nm (A. Lötz a J. Voitländer: Bruker Report, Vol. 1, 40, 1991) 600 6000 400 4000 200 0-200 -400-600 Delta_B = 11.97 G r = 1.524e-10 m Amplitude (mv) 2000 0 2000 Parameters obtained by max max technique: -800-1000 4000 B D exp =12.4573 Gs exp r p p =1.5033e 010 m Strana 19 z 20 200 400 Obrázok 6: Jeden záznamu JMR spektra CaSO 4 2 H 2 O filtrovaný FFT B exp = 12,12 G r exp = 1,517 10 10 m 600 800 1000 6000 1.044 1.046 1.048 1.05 1.052 1.054 1.056 1.058 1.06 1.062 Frequency (khz) Obrázok 7: Merané a simulované JMR spektrum protónov v CaSO 4 2 H 2 O 2α = 10,7 G (simulácia) B exp = 12,46 G r exp = 1,503 10 10 m x 10 4
POĎAKOVANIE Agentúra SR KEGA Ján BUŠA Michal KAUKIČ Peter MANN Peter POPOVEC Strana 20 z 20