Eratostenovo sito i Euklidov algoritam

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Dragana Bobičić Eratostenovo sito i Euklidov algoritam Diplomski rad Osijek, 2014.

Sadržaj Uvod 1 1 Općenito o Eratostenu i Euklidu 2 1.1 Eratosten.................................. 2 1.1.1 Kako je Eratosten izmjerio Zemlju?................ 4 1.2 Euklid.................................... 6 2 Matematički doprinosi 9 2.1 Eratostenovo sito.............................. 9 2.1.1 Prosti brojevi............................ 9 2.1.2 Eratostenovo sito.......................... 10 2.2 Još neki Eratostenovi matematički doprinosi............... 14 2.3 Euklidov algoritam............................. 15 2.4 Euklidovi Elementi........................... 17 2.5 Eratostenovo sito i Euklidov algoritam u nastavi matematike...... 19 2.5.1 Eratostenovo sito.......................... 20 2.5.2 Euklidov algoritam......................... 21 3 Vrste znanja 24 3.1 Učenikovo razumijevanje u matematici: Koje znanje i razumijevanje nastavnici trebaju?............................... 24 3.1.1 Učenički koncepti.......................... 24 3.2 Instrumentalno i relacijsko razumijevanje: Dihotomija ili kontinuum?. 28 3.3 Algoritamska, formalna i intuitivna dimenzija matematike: Interakcije i nedosljednosti................................ 30 3.4 Znati činjenice vs. znati djelovati..................... 30 Literatura 32

Uvod Matematičari stare Grčke su uvelike doprinijeli matematici kakvu mi poznajemo danas. Svojim istraživanjima, promatranjima običnih pojava, stvari u prirodi, zaključili su neke elementarne činjenice današnjice. Što se tiče matematike, postavili su osnove geometrije, matematičkog dokazivanja, primjenjene matematike, matematičke analize, teorije brojeva, a pomalo su se približili integralnom računu. Neki od tih matematičara su i Eratosten i Euklid na čijem djelu se bazira ovaj rad. U prvom djelu rada ćemo reći nešto općenito o Eratostenu i Euklidu. Nešto malo što se znalo o njihovim životima izvan znanosti te o njihovim doprinosima za druge znanosti, osim matematike. Drugi dio rada temeljit ćemo na doprinosu Eratostena i Euklida u matematici. Prvenstveno ćemo se bazirati na Eratostenovo sito i Euklidov algoritam. Osim matematičkog dijela, reći ćemo nešto i o upotrebi tih algoritama u školi. U trećem dijelu naglasak je na vrstama znanja. Reći ćemo nešto o učenikovom razumijevanju u matematici, odnosno koje znanje i razumijevanje nastavnici trebaju. Spomenut ćemo i učeničke koncepte. Usporedit ćemo instrumentalno i relacijsko razumijevanje. U ovom poglavlju ćemo takoder obraditi i interakcije i nedosljednosti algoritamske, formalne i intuitivne dimenzije matematike. 1

Poglavlje 1 Općenito o Eratostenu i Euklidu 1.1 Eratosten Eratostena su njegovi suvremenici prepoznali kao čovjeka s velikim odlikama u svim granama znanja, iako je u svakoj temi bio nadomak prvog mjesta. Zbog toga je prozvan Beta, ali i Pentatlos, koji implicira isto, predstavljajući ga kao svestranog sportaša koji nije ni prvi trkač ni hrvač, ali uvijek osvaja drugo mjesto u ovim natjecanjima kao i drugi. Thomas L. Heath Grčki učenjak, geograf i astronom Eratosten roden je 276. godine prije Krista u Kireni u Sjevernoj Africi (današnji Shahhat, Libija). Nije poznat točan datum njegova rodenja. Eratosten je prvi koji je sistematizirao geografiju, stoga ni ne čudi što je danas znan kao otac geografije. Osim toga, bio je glavni knjižničar Aleksandrijske knjižnice, koja je u to vrijeme bila najveća svjetska biblioteka s oko 700 000 svezaka. Kako je bio okružen mnogim djelima u kojima su bila sadržana sva tadašnja znanstvena dostignuća, Eratosten je bio jedan od najučenijih ljudi svoga vremena. Bavio se astronomijom, geografijom, poezijom, poviješću, filozofijom, filologijom te matematikom. Slika 1.1: Eratosten Eratosten se obrazovao u Kireni kod Kalimaha, a jedno vrijeme je studirao i na Platonovoj akademiji u Ateni. U Aleksandriju ga je pozvao tadašnji egipatski vladar Ptolomej III. Euergeta kako bi bio učitelj njegovom sinu Filopatoru. 236 god. pr. Kr. 2

3 Ptolomej III. Euergeta ga je imenovao predstojnikom aleksandrijske knjižnice. Aleksandrijsku knjižnicu planirao je još Ptolomej I. Soter, ali njegova ideja zaživjela je za vrijeme njegova sina Ptolemeja II. Filadelfa, uspješnog vladara koji je učinio Aleksandriju središtem književnika i znanstvenika. Originalna djela u knjižnici temeljena su na kopijama djela iz Aristotelove knjižnice. Eratosten je predstojnik knjižnice bio nekoliko desteljeća sve dok nije izgubio vid. Priča se da je Eratosten izgubio volju za životom jer više nije mogao čitati. Umro je 194. godine prije Krista izgladnivši se na smrt. Eratosten je svojim znanstvenim djelima ušao u povijest geografije, astronomije i matematike. Konstruirao je razne astronomske instrumente koje su se koristile stoljećima. On je predložio da se prijestupni dan nadoda svake četvrte godine u kalendaru. Pokušao je složiti točnu kronologiju svijeta skupljajući datume znanstvenih i političkih dogadaja od opsade Troje. Eratosten je odredio ukošenost ekliptike, tj. nagib Zemje prema zamišljenoj kružnici kojom se Sunce prividno giba, mjereći nagib Zemlje s velikom točnošću do dobivene vrijednost od 23 51 20. Pripremio je zvjezdanu kartu na kojoj je bilo 675 zvijezda, a opis osnova astronomije dao je i u pisanom obliku, u pjesmi Hermes. Još jedno o Eratostenovih poznatijih djela jest Katastarismoi. U ovom djelu Eratosten je dao mitološka tumačenja imena zviježda. Eratosten je skupio sva dostupna tadašnja znanja o geografiji i uradio je brojna mjerenja udaljenosti na zemlji izmedu značajnih mjesta. U svom djelu Geografija skupio je sve svoje metode i rezultate svojih mjerenja i izračuna. Njome je postavio temelje matematičkog usmjerenja u geografiji. Nažalost, niti spomenuta Geografija niti djelo O izmjeri Zemlje nije sačuvano, nego o njima saznajemo iz zapisa kasnijih filozofa poput Kleomeda i Strabona. Takoder je napravio geografsku kartu tada poznatog svijeta. U dodatku je skicirao, prilično točno, rutu od Nila do Khartouma te prijedlog da su izvor Nila jezera. Slika 1.2: Rekosntrukcija Eratostenove karte svijeta

4 Eratsotenova karta svijeta nije preživjela, samo opisi onih koji su uživo vidjeli original. Rekonstrukcije karte prema Eratostenu su bazirane na tim opisima. Eratosten je bio prijatelj s Aristotelom, te su zahvaljujući toj korespondenciji sačuvani neki od Aristotelovih radova. O Eratostenovom doprinosu u matematici reći ćemo u posebnom poglavlju. Pročitavši samo neke od Eratostenovih doprinosa, potrebno je primjetiti da je njegov nadimak Beta, spomenut u citatu, vrlo grub, jer se njegovih doprinosa u puno različitih područja sjećamo i danas, i to ne samo kao povijesno važnih, nego vrlo značajnih jer u mnogo slučajeva još uvijek pružaju osnovu za moderne znanstvene metode. Stoga ćemo spomenuti još jedan citat povjesničara znanosti George Sartona koji je zapisao sljedeće: medu njima [Eratostenovim suvremenicima] je postojao genijalan čovjek no kako je on radio na novom području oni su bili preglupi da ga priznaju. 1.1.1 Kako je Eratosten izmjerio Zemlju? Eratostenov doprinos u geografiji je izuzetan. On je prvi koji je uopće koristio riječ geografija. On je prvi koji je ispravno podijelio Zemlju u pet klimatskih regija: žarki pojas u sredini, dva hladna pojasa na krajnjem sjeveru i jugu, te dva umjerena pojasa izmedu njih. No, najznačajnije Eratostenovo djelo jest izračun opsega Zemlje s pouzdanošću od 0.5%. Danas, uz pomoć velikih znanstvenih i tehničkih otkrića, nije teško izračunati opseg Zemlje. No, u vrijeme Eratostena nije bilo ni satelita ni računala, ničega što bi danas znanstvenici koristili za taj izračun. Sve što je tada ljudima bilo na raspolaganju za ovaj izračun jesu: Sunce, deve i, naravno, matematika. Eratosten je oko 240. god. pr. Kr. precizno izmjerio opseg Zemljine kugle. Ovaj dogadaj opisan je kao prvi znanstveni pokušaj davanja matematičke osnove geografskim istraživanjima. Eratosten se koristio trigonometrijom i poznavanjem kuta visine Sunca u podne u Aleksandriji i Sieni (današnji Asuan, Egipat). Proučavajući spise u Velikoj Aleksandrijskoj knjižnici, Eratosten je naišao na neobičan podatak. U jednom spisu je stajalo da se odredenog dana u godini, točno u podne, sunce izravno odbija iz dubokog bunara u blizini grada Siene smještenog na Rakovoj, tj. sjevernoj obratnici, odnosno da nema sjene. To znači da Sunce u Sieni kulminira (ima najviši položaj na obzoru) u zenitu, točki koja se iznad točke motrišta nalazi pod pravim kutem. Taj dan je morao biti ljetni solsticij: 21. lipnja, prvi dan ljeta. Slika 1.3: Sunčeve zrake u Sieni

5 U Aleksandriji se to nikad ne dogada. Obelisci su uvijek bacali sjenu. Stoga je čekao podne ljetnog solsticija sljedeće godine te je gnomonom 1 izmjerio kut pod kojim upadaju sunčeve zrake u Aleksandriji. Dobio je vrijednost od 82 48. Razlika izmedu kuta upada Sunčevih zraka u Sieni (90 ) i Aleksandriji u 12 sati iznosi 7 12, što je pedesetina punog kuta. Slika 1.4: Sunčeve zrake u Aleksandriji Eratosten je kao matematičar smatrao da Sunčeve zrake upadaju paralelno na Zemlju, dakle paralelno one u Sieni i one u Aleksandriji. Tako je znao da i središnji kut koji zatvaraju polumjeri iz središta do dva grada na istom meridijanu ima istu vrijednost. Trebala mu je još udaljenost dvaju gradova. To je procijenio na temelju vremena od 50 dana koje karavana deva treba da prijede takav put. Deve prijedu oko 100 stadija dnevno tako da je udaljenost od Aleksandrije do Siene procijenjena na 5000 egipatskih stadija 2. Eratosten je takoder poznavao i bitnu činjenicu da je Zemlja okrugla. Sljedećom slikom opisana je situacija toga dana u podne: Slika 1.5: Situacija u podne 1 Antički uredaj kojim se na temelju duljine sjene u smjeru meridijana mogao zaključiti kut. 2 1 stadij = 157.5 m

6 Matematički gledano, cijeli opseg Zemlje O odnosi se prema luku ŜA duljine 5000 stadija kao puni kut od 360 prema kutu od 7.2 što ga zatvara luk ŜA: O : 5000 = 360 : 7.2. Iz ovog razmjera Eratosten je lako izračunao da je opseg Zemlje 250 000 stadija, odnosno O = 250000. Ako preračunamo stadije u metre dobijemo O = 250000 157.5 m 40000000 m = 40000 km, što je vrlo točna procjena, jer danas znamo da opseg Zemlje iznosi 40 008 km. No, Eratostenovi suvremenici su mislili da je Eratostenov rezultat prevelik, njihova procjena je bila da opseg Zemlje nije veći od 30 000 km. Eratostenove pogreške bile su sljedeće: Udaljenost od Siene do Aleksandrije je 729 km, a ne 770 km, Dva grada nisu na istom meridijanu kao što je pretpostavljao, Siena nije na obratnici nego 55 km sjeverno od nje, Kut zraka Sunca nije 7 12 nego 7 05. Upravo zbog ovog jednostavnog modela računanja dimenzija Zemlje, koji se koristio još stoljećima nakon Eratostena, geografi ga s pravom smatraju ocem geografije, a geodeti ocem geodezije. Zasluženo, po Eratostenu je nazvano sljedeće: Eratostenov krater na Mjesecu Eratostenov period u mjesečevoj geološkoj vremenskoj skali Eratostenove podmorske planine u istočnom Sredozemnom moru 1.2 Euklid Zakoni prirode su samo matematičke misli Boga. Euklid Euklid je najistaknutiji grčki matematičar. Iako su kroz čitavu povijest čovječanstva, mnogi znanstvenici i učenjaci davali svoje postulate i razne teorije, Euklid je taj koji s razlogom nosi naziv otac geometrije. On je sakupio, ne samo sva svoja razmišljanja i teorije, nego i teorije svojih prethodnika u svom djelu Elementi. Kako su Elementi doživjeli preko 1700 izdanja, dugotrajnost tog djela sigurno čini Euklida vodećim matematičarem svih vremena. Osim toga, ne čudi činjenica što se Elemenati smatraju najprevodenijim, najtiskanijim i najproučavanijim djelom u ljudskoj povijesti poslije Biblije.

7 Slika 1.6: Euklid Malo je poznato o Euklidovom životu. Živio je od oko 330. do 275. godine prije Krista u središtu egipatskog kraljevstva, Aleksandriji za vrijeme Ptolomeja I. Sotera. Ptolomej je počeo vladati Egiptom nakon smrti Aleksandra Velikog i raspada njegovog ogromnog carstva. On je osnovao sveučilište i biblioteku u jednom - poznatu visoku školu Museion. U to vrijeme, Aleksandrija je bila glavni znanstveni centar u kojem su se nalazili tadašnji najveći znanstvenici. Sam Museion je sadržavao više od 700 000 rukopisa. Prvi šef matematike u Museionu bio je upravo Euklid. Iz nekoliko izvora možemo saznati nešto o Euklidu kao osobi. Recimo, njegov suvremenik, matematičar Pap o Euklidu kaže da je bio čestit, skroman i tih čovjek, koji nije znao za oholost i egoizam. Smatralo ga se čovjekom koji je živio samo za znanost i uporno je stajao na stajalištu da je znanje potrebno jedino zbog samog znanja, a nikako zbog koristi koja se iz njega može izvući. O njegovoj predanosti geometriji, odnosno znanosti uopće, govore sljedeće dvije anegdote: Prva anegdota Najpoznatija anegdota o Euklidu (autor je Proklo), kaže kako je Euklid išao faraonu Ptolemeju pokazati svoju knjigu Elementi. Faraon ga je upitao: Postoji li lakši i kraći način do geometrije od proučavanja Elemenata? Ovaj je odgovorio: Da, postoji. Faraon ga upita: Postoji li kraljevski način do matematike? Euklid mu odgovori: Ne, ne postoji. Onaj tko želi shvatiti geometriju mora raditi. Isto vrijedi i za kraljeve. Druga anegdota Nakon završetka Euklidovog predavanja u njegovoj školi, jedan od Euklidovih učenika geometrije upitao je kakvu će korist u životu imati od tog predavanja i koliko on može zaraditi ako to sve nauči. Euklid nije odgovorio na to pitanje, pozvao je roba i po robu poslao tom učeniku jedan zlatnik i otpustio ga iz škole. Što se tiče Euklidovih djela, već spomenuti i sačuvani Elementi su za nas najvažniji. Od ostalih sačuvanih djela spomenimo:

8 Pojave - spisi o astronomiji, Optika - s teorijom perspektive, O dijeljenju figura - konstruktivni zadatci, Uvjeti - geometrijski zadatci koji se rješavaju na algebarski način, Data - vrsta repetitorij. Iako su ostala djela izgubljena, znamo da su Euklidova područja interesa bila matematika, optika, glazba i astronomija.

Poglavlje 2 Matematički doprinosi 2.1 Eratostenovo sito 2.1.1 Prosti brojevi Definicija 2.1.1 Za prirodan broj p > 1 kažemo da je prost ili prim broj ako nema niti jednog djelitlja d takvog da je 1 < d < p; tj. ako ima samo trivijalne djelitelje. Dakle, prost (prim) broj je onaj prirodni broj koji je veći od 1 i djeljiv je samo s 1 i samim sobom. Definicija 2.1.2 Prirodan broj a > 1 koji nije prost nazivamo složen broj. Složen broj je onaj prirodni broj veći od jedan, a koji nije prost, tj. djeljiv je, osim s 1 i samim sobom, s barem još jednim brojem. Primjer 2.1.1 Brojevi 2 i 3 su prosti, jer su djeljivi samo s 1 i sa samim sobom. Brojevi 4 i 6 su složeni, jer osim s 1 i sa samim sobom, djeljivi su i s nekim drugim brojem (u ovom slučaju, 4 je djeljiv s 1, 2 i 4, a 6 s 1, 2, 3 i 6) Važno je istaknuti da broj 1 nije ni složen ni prost broj, zbog toga što broj 1 ima osobiti položaj medu brojevima. Zato, prirodne brojeve dijelimo u tri klase: broj jedan (1), proste brojeve i složene brojeve. Teorem 2.1.1 Svaki prirodni broj n > 1 je ili prost broj ili ima prosti djelitelj. Dokaz. Ako n nije prost broj, onda ima netrivijalne djelitelje. Najmanji izmedu njih označimo s p. Broj p je prost, jer kada on to ne bi bio, bio bi složen, što bi značilo da n ima manjeg prostog djelitelja od p. Sljedeći teorem dokazao je Euklid. Teorem 2.1.2 Prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Dokaz. Indirektnim dokazom ćemo zaključiti da prostih brojeva nema konačno, nego beskonačno mnogo na sljedeći način: ako prostih brojeva ima konačno mnogo, treba 9

10 medu njima biti jedan koji je najveći označit ćemo ga s p. Promotrimo broj (2 3 5 p) + 1 (2.1) gdje je broj u zagradi za jedan veći od produkta svih prostih brojeva. Broj naveden pod (2.1) veći je od svakog prostog broja (jer je p po pretpostavci najveći prosti broj), pa kao takav ne može biti prost broj. Taj isti broj nije ni složen, jer nije djeljiv niti jednim prostim brojem (od navedenih koji su po pretpostavci jedini prosti brojevi). Ako taj broj podijelimo s bilo kojim od sljedećih brojeva 2, 3, 5,..., p ostatak će biti 1. Dakle: zaključili smo da najveći prosti broj p ne postoji. Skup prostih brojeva je beskonačan. Želimo li naći sve proste brojeve manje ili jednake n, gdje je n unaprijed odabran prirodan broj, koristimo jednostavni postupak kojeg nazivamo Eratostenovo sito. 2.1.2 Eratostenovo sito Eratostenovo sito je jednostavan postupak kojim se mogu naći svi prosti brojevi koji nisu veći od nekog zadanog broja n, tj. granica do koje želimo naći proste brojeve. Postupak pronalaženja prostih brojeva pomoću Eratostenovog sita: 1. napišemo proizvoljan broj uzastopnih prirodnih brojeva počevši od 2, 2. zaokružimo najmanji neoznačeni broj, 3. precrtamo sve njegove višekratnike, koji nisu već označeni, 4. ponavljamo postupak od 2. koraka dok svi brojevi nisu označeni (zaokruženi ili precrtani). Postupak završi u konačno mnogo koraka, jer na početku imamo konačno mnogo brojeva, a u svakom koraku barem jedan broj označimo. Zaokruženi brojevi su prosti brojevi. Precrtani brojevi su složeni brojevi. Ovaj postupak ponavljamo dok ne dodemo do broja p za koje je p 2 > n. Neprecrtani brojevi su prosti. Sada ćemo na jednom jednostavnom primjeru pokazati kako Eratostenovo sito radi. Primjer 2.1.2 Nadimo sve proste brojeve manje ili jednake 120 pomoću Eratostenovog sita.

11 Rješenje. Ispišemo sve prirodne brojeve od 2 do nekog broja n, u ovom slučaju n = 120. Precrtamo svaki drugi broj iza broja 2 (svaki paran broj), tj. sve višekratnike broja 2 (crvena polja).

12 Dolazimo do broja 3 i precrtamo svaki treći boj iza broja 3, tj. sve višekratnike broja 3, pri čemu se broje i oni brojevi koje smo prije precrtali (zelena polja). Polazimo od sljedećeg neprecrtanog broja, tj. od broja 5 i precrtamo sve njegove višekratnike, tj. svaki peti broj (plava polja).

13 Opet polazimo od sljedećeg neprecrtanog broja, tj. od broja 7 i precrtamo sve njegove višekratnike (žuta polja). Postupak je gotov kada dodemo do prostog broja p čiji je kvadrat veći od n (n = 120) Svi neprecrtani brojevi do broja n su prosti brojevi (ljubičasta polja). Precrtani brojevi su, naravno, složeni.

14 Iz ovog primjera vidimo da se zaista radi o prosijavanju skupa prirodnih brojeva nakon kojega u situ ostaju samo prosti brojevi, pa nam je sada jasno zašto ovaj postupak nazivamo Eratostenovim sitom. Nagada se da Eratosten nije samo precrtavao brojeve, nego da ih je bušio. Zato je njegov papirus izgledao kao četvrtasto sito. On je ovim putem takoder naslutio da je skup prostih brojeva beskonačan. Razvojem računalne tehnologije razradene su neke druge efikasnije metode odredivanja prostih brojeva jer je za Eratostenovo sito, iako je prilično jednostavno za primjene, potreban jako velik broj operacija. Dokažimo da rupe izmedu dva prosta broja mogu biti po volji velike. Teorem 2.1.3 Za dani broj n N \ {1} postoji bar n uzastopnih složenih brojeva. Dokaz. Neka je n N \ {1} proizvoljan. Tada je svaki od brojeva 2 + (n + 1)!, 3 + (n + 1)!,..., n + (n + 1)!, (n + 1) + (n + 1)! složen broj, jer je prvi djeljiv s 2, drugi s 3,..., n-ti s (n + 1) i očigledno su jedan drugom direktni sljedbenici, odnosno oni su uzastopni brojevi. Iako rupe izmedu prostih brojeva mogu biti po volji velike, s druge strane prosti brojevi mogu biti i veoma blizu. Brojevi 2 i 3 su jedina dva uzastopna prosta broja (jer je 2 jedini prost paran broj). Medutim, postoje i parovi prostih brojeva koji se razlikuju za 2. Ti brojevi se nazivaju prosti blizanci. Primjeri takvih brojeva su: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 101 i 103,...,... 2.2 Još neki Eratostenovi matematički doprinosi Još jedno poznato Eratostenovo djelo jest Platonicus u kojoj se bavio matematikom koja se temeljila na Platonovoj filozofiji. Ovo djelo nije sačuvano, nego o njemu saznajemo od Teona iz Smirne. Teon je svoje djelo Expositio rerum mathematicarum bazirao na Eratostenovom djelu. Kao matematičara zanimale su ga tri čuvena problema tadašnje matematike: kvadratura kruga, trisekcija kuta i udvostručenja kocke. Eutokios je u svom komentaru neke propozicije iz Arhimedove knjige O sferama i cilindrima prikazao pismo koje je navodno napisao Eratosten Ptolomeju III. Euergetesu. Pismo opisuje povijest problema udvostručenja kocke te opisuje mehanički uredaj kojeg je Eratosten izumio da bi riješio taj problem. Time je nastalo jedno od najpoznatijih mehaničkih rješenja problema udvostručnja kocke koje nazivamo mezolabij. To je mehanizam za odredivanje srednjih geometrijskih proporcionala: ako su dane dvije paralelne fiksirane letve AB i CD i na njih pričvršćena tri sukladna pravokutna trokuta tako da im po jedna kateta leži na AB. Ako trokute dovedemo u položaj kao na Slici 6. Vidimo da je K polovište od BD, točke A, N, L i K su kolinearne, te vrijedi: DK : ML = ML : NO = NO : 2 DK.

15 Slika 2.1: Mezolabij Ako je DK = a, stranica kocke dvostrukog volumena je ML. Još jedno Eratostenovo izgubljeno djelo O sredinama spominje Pap Aleksandrijski kao odličnu knjigu iz geometrije. 2.3 Euklidov algoritam Euklidov algoritam je jedan od najstarijih algoritama koji se koriste i dan danas. Nalazimo ga u Euklidovim Elementima, u V II. knjizi, gdje je Euklidov algoritam formuliran za cijele brojeve, te u X. knjizi gdje imamo primjenu Euklidovog algoritma u geometriji. Iako smo od Euklida saznali o ovom algoritmu, ne postoje dokazi da je on originalni tvorac tog algoritma. Iako stoljećima kasnije, Euklidov algoritam je otkriven u Indiji i Kini, i to kao sredstvo za odredivanje rješenja diofantskih jednadžbi koje su se javljale kod astronomskih problema i kod izrade preciznih kalendara. U 19. stoljeću dolazi do razvoja novih brojeva, zahvaljujući upravo Euklidovom algoritmu. Euklidov algoritam je bio prvi algoritam za utvrdivanje cjelobrojne povezanosti, odnosno za pronalazak cjelobrojnih odnosa izmedu usporedivih realnih brojeva. Krajem 20. stoljeća razvijeno je još nekoliko novih algoritama koji mogu provjeriti cjelobrojnu povezanost. Euklidov algoritam i danas koristimo za pronalazak najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju ili više brojeva. Definirajmo zajednički djelitelj dva broja a i b. Definicija 2.3.1 Najveći zajednički djelitelj (ili najveća zajednička mjera) brojeva a i b jest broj m koji ima svojstva: 1. m je djelitelj svakog od brojeva a i b, 2. m je najveći broj s tim svojstvom. Najveći zajednički djelitelj označavamo s (a, b). Prije Euklidovog algoritma, izreći ćemo sljedeći teorem. Teorem 2.3.1 (Teorem o dijeljenju s ostatkom) Za proizvoljan prirodan broj b i cijeli broj a postoje jedinstveni cijeli brojevi q i r takvi da je a = bq + r, 0 r < b. Broj q se zove količnik, a r se zove ostatak. Teorem 2.3.2 (Euklidov algoritam) Neka su b, c Z gdje su b, c > 0. Pretpostavimo da je uzastopnom primjenom teorema

16 o dijeljenju s ostatkom dobiven niz jednakosti: b = cq 1 + r 1, 0 < r 1 < c c = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2. r j 2 = r j 1 q j + r j, r j 1 = r j q j+1. 0 < r j < r j 1 Tada je (b, c) = r j, odnosno najveći zajednički djeljitelj je jednak posljednjem ostatku različitom od nule u Euklidovom algoritmu. Vrijednosti od x 0 i y 0 u izrazu (b, c) = bx 0 + cy 0 mogu se dobiti izračunavanjem svakog ostatka r i kao linearne kombinacije od b i c. Napomena. Primjetimo da ćemo u konačno mnogo koraka doći do situacije: r j+1 = 0 (b, c) = (c 1, r 1 ) = (r 1, r 2 ) = = (r j 1, r j ) = r j jer je prema pretpostavci r j+1 = 0 (b, c) = r j. Za dokaz ovog teorema potrebna nam je sljedeća propozicija. Propozicija 2.3.1 Vrijedi gdje je x Z. (a, b) = (a, b + ax) Dokaz teorema. Prema gornjoj propoziciji slijedi: (b, c) = (b cq 1, c) = (r 1, c) = (r 1, c r 1 q 1 ) = (r 1, r 2 ) = (r 1 r 2 q 3, r 2 ) = (r 1, r 3 ). Nastavljajući ovaj proces, dobivamo: (b, c) = (r j 1, r j ) = (r j, 0) = r j. Indukcijom ćemo dokazati da je svaki r i linearna kombinacija od b i c. Za r 1 i r 2 to vrijedi pa pretpostavimo da vrijedi i za r i 1 i r i 2. Kako je r i = r i 2 r i 1 q i, po pretpostavci indukcije dobivamo da je r i linearna kombinacija od b i c. Pokažimo na primjerima: Primjer 2.3.1 Pronadite najveći zajednički djelitelj brojeva 3102 i 4002. Rješenje. 4002 = 1 3102 + 900 3102 = 3 900 + 402 900 = 2 402 + 96 402 = 4 96 + 18 96 = 5 18 + 6 18 = 3 6

17 Najveći zajednički djelitelj brojeva 3102 i 4002 je NZD(4002, 3102) = 6. Primjer 2.3.2 Pronadite najveći zajednički djelitelj brojeva 224 i 319. Rješenje. 319 = 1 224 + 95 224 = 2 95 + 34 95 = 2 34 + 27 34 = 1 27 + 7 27 = 3 7 + 6 7 = 1 6 + 1 6 = 6 1 Najveći zajednički djelitelj brojeva 224 i 319 je NZD(224, 319) = 1. Definicija 2.3.2 Za dva prirodna broja a i b kažemo da su relativno prosti ako je njihov najveći zajednički djelitelj jednak 1, tj. ako je NZD(a, b) = 1. Dakle, brojevi 224 i 319 su relativno prosti. 2.4 Euklidovi Elementi Euklidovi su Elementi i jedno od najkontroverznijih djela u povijesti znanosti. Upravo kritikom sadržaja Elemenata razvijala se povijest strogo logičkog zasnivanja matematike i bilo koje aksiomatske teorije. Dva osnovna problema koje su Elementi inicirali, problem paralela i problem potpunosti aksiomatike euklidske geometrije, riješeni su tek početkom odnosno krajem 19. stoljeća nakon bezuspješnih pokušaja gotovo svih najvećih matematičara kroz više od dvije tisuće godina. prof. dr. sc. Vladimir Volenec Euklidovi Elementi su vrlo važno djelo matematike, svjetske znanosti i kulture prevedeno na većinu svjetskih jezika pa tako i na na hrvatski. Prvih šest knjiga Euklidovih Elemenata prevela je Maja Hudoletnjak Grgić. Elementi su objavljeni oko 300. g. pr. Kr.. U tom djelu od 13 knjiga skupljeno je sve što se do tada znalo iz matematike. Originalni rukopis Elemenata nije sačuvan nego su na temelju postojećih nezavisnih tekstova krajem 19. stoljeća J.L. Heiberg i H. Menge restaurirali originalni Euklidov tekst. Elementi su u svakom pogledu više nego značajni. Služili su kao udžbenik iz geometrije sve do 19. stoljeća. Razlika izmedu Elemenata i današnjih udžbenika se na primjer nalazi u tome što se u Elementima ne spominje neposredno mjerenje površina i obujama figura, nego samo

18 Slika 2.2: Hrvatsko izdanje Euklidovih Elemenata njihova usporedba, nigdje se ne spominje broj π, a dokazi su čisto apstraktni, dobiveni čistim logičkim razmišljanjem. No, ipak mnogi poučci se po sadržaju poklapaju u oba udžbenika, a metode dokaza su u većini slučajeva jednake. U Elementima je na aksiomatskoj osnovi vrlo uspješno izložena elementarna geometrija. Teoremi su logički poredani tako da svaki slijedi isključivo iz već dokazanih ili pak osnovnih tvrdnji (23 definicije, 5 aksioma i 5 postulata) danih na početku, a zaključci se izvode strogo deduktivno. U knjizi [5] se takoder ističe kako je ideja Elemenata izvesti cijelu matematiku iz malog broja početnih pretpostavki. U ovom djelu se izrazito osjeti utjecaj Aristotela na Euklida koji je već ranije izložio bit znanstvenih definicija, aksioma i dokaza. Tako je Euklid svaku svoju geometrijsku tvrdnju formulirao općenito, pa konkretno, crtežima pokazujući ono što je zadano i što treba dokazati ili konstruirati. Nakon dokaza slijedi zaključak. Dakle, Elementi se sastoje od 13 knjiga. Knjige 1 4 se bave planimetrijom, a knjige 5 10 predstavljaju znanje o omjerima i razmjerima. Knjiga 1: temeljna svojstva geometrije, Pitagorin poučak, jednakost kutova, paralelnost, zbroj kutova u trokutu, Knjiga 2: površine trokuta i četverokuta, zlatni rez, Knjiga 3: krugovi, kružnice i njihova svojstva, odsječci, tangente, Knjiga 4: konstrukcija kružnici opisanih i upisanih trokuta te konstrukcija pravilnih poligona, Knjiga 5: omjeri veličina, Knjiga 6: primjena omjera u geometriji, sličnost trokuta,

19 Knjiga 7: teorija brojeva (djeljivost, prosti brojevi), Knjiga 8: geometrijski redovi, Knjiga 9: kombinacija rezultata sedme i osme knjige beskonačnost prostih brojeva, suma geometrijskog reda, Knjiga 10: nesumjerljivost i iracionalni brojevi, Knjiga 11: primjena rezultata prve do šeste knjige na prostor, Knjiga 12: oplošja i volumeni stošca, piramide, valjka, sfere, Knjiga 13: generalizacija četvrte knjige na prostor, upisivanje pet Platonovih pravilnih tijela u sferu. Slika 2.3: Sačuvani fragmenti Euklidovih Elemenata 2.5 Eratostenovo sito i Euklidov algoritam u nastavi matematike Nastavni plan i program za osnovnu školu propisuje da se prosti brojevi te najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više prirodnih brojeva i odredivanje istih obraduju u petom razredu osnovne škole. Ovi pojmovi su neophodni za usvajanje računskih operacija u skupu racionalnih brojeva Q. Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva učenici u osnovnoj školi odreduju faktorizacijom svakog od danih brojeva. U srednjoj školi ova nastavna jedinica se obraduje u prvom razredu srednje škole. Većina učitelja svoj sat prilagodi udžbeniku, a pojmovi NZD i NZV su u udžbeniku petog razreda, ali i u prvom razredu srednje škole, predstavljeni tako da je naglasak na uvježbavanju postupka njihova odredivanja. Obradu ove nastavne jedinice možemo svesti na igre s brojevima.

20 2.5.1 Eratostenovo sito Za obradu Eratostenovog sita možemo kombinirati razne nastavne metode i oblike. Jednu od ideja vidjet ćemo kroz sljedeću didaktičku igricu. Igrica je namijenjena za osnovnoškolce, ali može se primjenjivati i u srednjim strukovnim školama. Učenike podijeliti u parove. Cilj igre: Usvojiti/ponoviti pojmove: prost broj, djelitelj cijelog broja. Plan: 1. Uvodno ponoviti pojam prostog broja. Zatim ponoviti i pojam djelitelja. 2. Pratiti upute nastavnika i uredno ih provoditi. 3. Nakon završetka zadatka proučiti tablicu i odgovarati na pitanja nastavnika. 4. Izrada postera. Provodenje plana. Svakoj dvojici učenika podijeliti radni list s kvadratičnom tablicom 10 10 u koju su uneseni brojevi od 1 do 100. Nastavnik čita upute, učenici izvode dane naredbe. - Zaokružite broj 2. - Precrtajte u tablici sve parne brojeve (brojeve koji su djeljivi s 2). - Zaokružite broj 3. - Precrtajte u tablici sve brojeve djeljive s 3. - Zaokružite prvi sljedeći netaknut broj, broj 5. - Precrtajte u tablici sve brojeve koji su djeljivi s 5. - Nastavite postupak za brojeve 7 i 11. Pitanja. Učenici trebaju odgovoriti na sljedeća pitanja navedena na radnom listu: 1. Ispišite sve proste brojeve manje od 100. 2. Koliko djelitelja ima broj 72? 3. Koji broj manji od 100 ima najviše djelitelja? Koliki je taj broj djelitelja? 4. Koji brojevi imaju točno tri djelitelja? Možete li dati općenit odgovor? 5. Je li broj 1 prost ili složen? Objasnite odgovor. 6. Nastavite s ispisivanjem prostih brojeva p za 100 < p < 200. Očekuju se sljedeći odgovori: 1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

21 2. Broj 72 ima ukupno 12 djelitelja. To su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. 3. Brojevi 72 i 96 imaju najviše djelitelja. 4. Točno tri djelitelja imaju kvadrati prostih brojeva. Naime, za svaki prost broj p, djelitelji broja p 2 su brojevi 1, p i p 2. 5. Broj 1 niti je prost niti je složen. 6. Pri ispisivanju prostih brojeva možete se poslužiti priloženim kalkulatorom koji provodi Eratostenovo prosijavanje za brojeve koje su manji od 2500. Poster. Na hamer-papiru većeg formata izraditi završnu tablicu. Neka bude što urednija i preglednija te estetski što dotjeranija. Izraditi poster sa svim prostim brojevima manjim od 1000. 2.5.2 Euklidov algoritam Kako bi učenici usvojili Euklidov algoritam s razumijevanjem, u [4] je predloženo da nastavnik to može učiniti kroz sljedeća tri koraka: Korak 1. Uočavanje svojstava na kojima se temelji Euklidov algoritam. Korak 2. Osigurati da učenici znaju u kojim situacijama primjeniti Euklidov algoritam. Korak 3. Primjena - stavljanje Euklidovog algoritma u odredeni kontekst i demonstriranje važnosti faktorizacije u suvremenom svijetu. Korak 1. Prvo je potrebno ponoviti sve što učenici zanju o djeljivosti prirodnih brojeva. Učenici trebaju uočiti da ako je d zajednički djelitelj brojeva a i b, onda d dijeli i zbroj i razliku višekratnika brojeva a i b, tj. d dijeli cjelobrojnu linearnu kombinaciju brojeva a i b. Primjer 2.5.1 Broj 7 dijeli brojeve 35 i 21. Znači da 7 dijeli i brojeve: 56 = (35 + 21), 14(= 35 21), 91(= 2 35 + 21), 329(= 10 35 21). Zatim učenike upoznajemo s Teoremom o dijeljenju s ostatkom. Podsjetimo se definicije pojmova: najveći zajednički djelitelj, relativno prosti brojevi te kako se odreduje najveći zajednički djelitelj dva prirodna (cijela) broja faktorizacijom kroz nekoliko zadataka. Korak 2. Postavlja se pitanje kada primjeniti Euklidov algoritam. Da bi to razjasnili, učenicima dajemo primjer s brojevima koje je teško faktorizirati. No, nakon što primjene Euklidov algoritam, učenici uvidaju da postoje primjeri u kojima je dane brojeve teško faktorizirati, ali lako primjeniti Euklidov algoritam.

22 Primjer 2.5.2 Odredi najveći zajednički djelitelj brojeva 3587 i 1819. Rješenje. U ovom primjeru je očito da je lakše primjeniti Euklidov algoritam nego faktorizirati. Odmah na početku možemo eliminirati 2, 3 i 5, pa zaključujemo da ćemo pomoću Euklidovog algoritma brže doći do rješenja: 3587 = 1 1819 + 1768 1819 = 1 1768 + 51 1768 = 34 51 + 34 51 = 1 34 + 17 34 = 2 17 Najveći zajednički djelitelj brojeva 3587 i 1819 je NZD(3587, 1819) = 17. Korak 3. Treći korak jest učenicima pokazati primjenu Euklidovog algoritma te kontekstualizaciju pojma. U sljedećem primjeru Euklidov algoritam postavljamo u kontekst geometrije. Primjer 2.5.3 Trebamo pronaći najdulju dužinu koja se cijeli broj puta sadrži u dužinama čije su duljine 76 mm i 20 mm. Rješenje. Dužinu, čija je duljina 76 mm, mjerimo sada pomoću dužine čija je duljina 20 mm. (Probamo dulju dužinu izmjeriti kraćom.) Dužinu, čija je duljina 20 mm, mjerimo sada pomoću dužine čija je duljina 16 mm. (Ostatak pri prethodnom mjerenju.) Dužinu čija je duljina 16 mm mjerimo sada pomoću dužine čija je duljina 4 mm. (Ostatak pri prethodnom mjerenju.)

23 Dobili smo da je dužina duljine 4 mm najdulja dužina koja je sadržana cijeli broj puta u dužinama čije su duljine 76 mm i 20 mm. Još neki primjeri zadataka u kojima učenici mogu primjeniti Euklidov algoritam su sljedeći: 1. Slastičarna treba isporučiti 120 čokoladnih i 192 voćna kolača. Kolače žele rasporediti u jednake kutije tako da u svakoj kutiji bude jednak broj jedne vrste kolača. U kutiju na ovaj način treba stati najveći mogući broj kolača. Koliko je kutija potrebno i koliki je broj svake vrste kolača u kutiji? 2. Dvije neonske lampice su uključene u isto vrijeme. Prva zasvijetli svake 4 sekunde, a druga svakih 6 sekundi. Koliko će puta lampice zasvijetliti istovremeno u periodu od 60 sekundi?

Poglavlje 3 Vrste znanja Danas je naširoko prihvaćeno da bi nastavnici trebali biti svjesni oblika učenikovog znanja matematike. Vjeruje se da ta svjesnost i znanje značajno doprinose raznim aspektima nastavničkog zvanja. U ovom dijelu ćemo kritički ispitati ovo ustaljeno vjerovanje. 3.1 Učenikovo razumijevanje u matematici: Koje znanje i razumijevanje nastavnici trebaju? Stvaranjem pojma pedagoško znanje sadržaja, Shulman (1986.) je uvelike pridonio pokretanju sadašnje rasprave o tome što nastavnici moraju znati o učenikovom učenju matematike. Ovaj pojam se uglavnom odnosio na razumijevanje što učenje neke odredene teme čini teškom ili laganom; koncepcije i predrasude koje učenici različitih godina i podrijetla imaju pri učenju tih najčešće učenih tema i cjelina. 3.1.1 Učenički koncepti U posljednja tri desetljeća, mnogi znanstvenici su istraživali učeničke matematičke ideje i koncepte te njihov nastanak kod učenika. Rezultati istraživanja su pokazali da je učenje matematike kompleksno, te da je za učenje matematike potrebno puno vremena. Rezultati pokazuju da učenici svoje znanje matematičkih koncepata i ideja grade na načine koji se često razlikuju od onog što je pretpostavila profesionalna zajednica. Opisat ćemo doprinose tih istraživanja: gradnja teorije, zablude, put od zablude do znanja i uloga prikazivanja. Gradnja teorije Pokušaj da se razvije sveobuhvatna teorija koja opisuje kako učenici uče odredene matematičke domene ili pojmove je prilično rijetka u polju matematičkog obrazovanja. Istaknuti primjer je Van Hiele teorija, najsveobuhvatnija teorija formulirana za učenje geometrije. Razvili su je Pierre i Dina Van Hiele prije gotovo pola stoljeća. Teorija tvrdi da učenici, kada uče geometriju, napreduju iz jedne odredene razine geometrijskog mišljenja u drugo. Ovaj proces je diskontinuiran, a razine su uzastopne i hijerarhijske. Van Hiele teorija takoder predlaže faze instrukcija koje pomažu učenicima 24

25 da napreduju kroz razine. Nekoliko znanstvenika je gradenju teorije prišlo na drugačiji način. Oni su pokušali izgraditi teoriju koja nije specifična za učenje samo odredenog dijela matematike, nego su predložili opća načela. Jedan takav pristup se odnosi na stjecanje matematičkih koncepata (Breidenbach, Dubinsky, Hawks i Nichols, 1992.; Davis, 1975.; Dubinsky, 1991.; Sfard, 1991.). Ovaj pristup sugerira da postoji lanac prijelaza od operativnih do strukturnih koncepata. Neki znanstvenici nadalje tvrde da su operativne koncepcije, za većinu ljudi, prva faza u stjecanju novih matematičkih koncepata. Glavna tvrdnja jest ta da se procesi izvedeni na odredenim apstraktnim objektima pretvaraju u nove objekte koji služe kao ulazi u više razine procesa. Zablude Puno izraženija crta istraživanja u području matematičkog obrazovanja je proučavanje pogrešaka. Dok se prethodno istraživanje bazira na općim aspektima učenja matematike, ovdje se znanstvenici obično usredotočuju na odredene lokalne koncepte. Neki se znanstvenici uključe u detaljno opisivanje pogrešaka koje učenici naprave u odredenim temama. Drugi istražuju dodatne dimenzije. U ovom dijelu ćemo opisati dvije takve dimenzije: izvori učeničkih zabluda i razvoj zabluda s godinama i uputama. Izvori učeničkih zabluda Puno znanstvenika smatra proučavanje učeničkih grešaka fascinantnim. Oni ulažu napore da bi otkrili moguće izvore čestih učeničkih pogrešaka. Ilustrirat ćemo ovo često dokumentiranom pogreškom: sklonost spajanja algebarskih izraza (npr. kada se izraz 2x + 3 zapiše kao 5x ili 5). Literatura predlaže nekoliko različitih razloga zašto učenici čine ovu grešku. Jedna od njih je što učenici ne razlikuju zbrajanje i pridruživanje (spajanje). Jedan od načina da učenici ovaj problem riješe jest pomoću drugih predmeta u kojima koristimo algebarske simbole. Recimo, u kemiji dodavanje kisika ugljiku daje CO 2. Zbog sličnih značenja riječi i i plus u prirodnom jeziku, normalno je da učenici misle da ab znači isto što i a + b, jer se simbol ab čita kao aib, a interpretira kao a + b. Drugo objašnjenje za ovu pogrešku jest što se učenici često suočavaju s kognitivnom poteškoćom prihvaćanja nedostatka zatvorenosti te su otvorene izraze skloni percipirati kao nedovršene. Ovo objašnjenje i dalje ostavlja mjesto za pitanje: Zašto učenici osjećaju to?. Tipično objašnjenje je to da učenici očekuju da se algebarski izrazi ponašaju slično kao i aritmetički izrazi. Ponekad očekuju odredeni odgovor. tj. da je konačan odgovor jednoznačan. S druge strane, učenici nekada simbole, kao što je +, interpretiraju samo u smislu akcija koje će se obaviti, kao što je to inače u aritmetici, i stoga spojiti izraze. Drugo, nešto šire objašnjenje za isto ponašanje povezujemo s dualnom prirodom matematičkih oznaka: postupak i objekt. U algebri, simbol 5x + 8 označava i proces dodaj pet puta x i osam, ali i objekt. Često učenici 5x + 8 shvaćaju samo kao postupak koji treba izvesti te zbrojiti 5x + 8, što je njima razumno, te dobiti 13x. Mnogi slučajevi uobičajenih pogrešaka, alternativnih koncepcija i zabluda su opisani u brojnim istraživanjima. Na temelju tog dokumentiranog istraživanja, u nekoliko teorijskih okvira pokušano je opisati opće, temeljne izvore učeničkih netočnih odgovora. Ovdje ćemo ukratko pokušati opisati jednu teoriju, teoriju intuitivnih pravila. Bitna

26 tvrdnja ove teorije je da nevažna, vanjska obilježja zadataka često odreduju ljudske odgovore na matematičke i znanstvene zadatke. Npr., odgovori učenika da usporede zadatke iz različitih područja su često tipa više A - više B. Jedan primjer se odnosi na kutove koji su vertikalno položeni. Istraživanja su pokazala da kada učenicima u nižim razredima osnovne škole prikažemo dva vertikalna kuta i nacrtamo ih s jednako dugačkim krakovima, njima izgleda očito da su kutovi jednake velične. No, kada istu djecu pitamo da usporede dva vertikalna kuta, a jedan je nacrtan s dužim krakovima od drugog, djeca tvrde da je kut s dužim krakovima veći. Ova procjena ilustrira učinak pravila više A - više B na odgovore učenika. U ovom slučaju, razlika izmedu kutova u veličini A (percipirana duljina krakova) utječe na učenikovu procjenu veličine B (veličinu kutova). Ovo i druga pravila nose karakteristike intuitivnog mišljenja: Čine se očita, koriste se s velikim samopouzdanjem i ustrajnošću, a alternativni odgovori su isključeni kao neprihvatljivi. Teorija intuitivnih pravila objašnjava brojne netočne odgovore i ima jaku prediktivnu moć. Razvoj zabluda s godinama i uputama Još jedan trend u istraživanju pogrešaka jest evolucija zabluda s godinama i uputama. Npr., Hershkowitz (1987.) te Fischbein i Schnarch (1997.) su istraživali razvoj s godinama i uputama osnovnih geometrijskih koncepta vjerojatnosti. U Hershkowitzom proučavanju, ispitanici su bili učenici viših razreda osnovne škole, kao i njihovi učitelji. Zadatci u upitniku su preuzeti iz kurikuluma geometrije osnovnih škola. U svojim analizama grešaka, Hershkowitz je identificirala nekoliko uzoraka razvoja zabluda s godinama i uputama. Očekivani uzorak jest taj da se pogreške smanjuju s godinama i uputama. Na primjer, ispitanicima je pokazano nekoliko oblika i zamoljeni su da pokažu one koji su četverokuti. Rezultati su pokazali veliki napredak s obzirom na dob u identificiranju netipičnih primjera četverokuta (npr. konkavnih). Dublja analiza otkriva da neke od ovih pogrešaka imaju isti uzorak sveukupne učestalosti, od jednog razreda do drugog, kao i za učenike te učitelje. Npr, kada su trebali prepoznati pravokutne trokute, učenici i učitelji su imali poteškoća u prepoznavanju tih trokuta čije okomite strane nisu bile vertikalno-horizontalnom položaju. Ova poteškoća se smanjuje s godinama i iskustvom, ali uzorak pogrešaka ostaje prilično stabilan. Pomalo iznenadujući uzorak uključuje pogreške koje rastu s godinama i uputama. Na primjer, ispitanici su pitani da nacrtaju visinu na jednu stranicu od nekoliko ponudenih trokuta: jednakokračnih, raznostraničnih, tupokutnih i pravokutnih. Suprotno onome što se moglo očekivati, broj ispitanika koji su pogriješili crtajući sve visine unutar trokuta rasli su s godinama i uputama. Primjer iz drugog područja jest intuitivna upotreba heuristike u vjerojatosti. U sveobuhvatnom nizu studija, Kahneman i Tversky su otkrili da kada procjenjuju vjerojatnost dogadaja, ljudi su skloni korištenju odredene osudujuće heuristike. Kada koriste reprezentativnu heuristiku, ljudi procjenjuju vjerojatnost dogadaja temeljenom na tome koliko je slično procesu po kojem su izlazi generirani. Recimo, puno ljudi vjeruje da u obitelji od šestero djece, niz reda rodenja BGGBGB (B - dječak (boy), G - djevojčica (girl) ) je vjerojatniji od oba, BBBBGB ili BBBGGG. U prvom slučaju, niz BGGBGB se čini više reprezentativniji za očekivani 50 50 omjer dječaka i djevojčica u populaciji nego niz BBBBGB. U drugom slučaju, niz BBBGGG nije reprezentativan u slučajnom procesu začetka djece. Kada se koristi

27 druga heuristika, heuristika dostupnosti, ljudi procjenjuju vjerojatnost dogadaja na temelju toga koliko je jednostavno da se slučajevi tog dogadaja mogu konstruirati u mislima. Na primjer, ako pitamo učenika da procjeni vjerojatnost automobilske nesreće, učestalost njegovog/njezinog kontakta s tim dogadajem može utjecati na njegovu procjenu. Proučavajući razvoj s godinama s korištenjem ove heuristike, Fischbein i Schnarch su otkrili da, dok se netočno intuitivno korištenje reprezentativne heuristike smanjuje s godinama, netočno intuitivno korištenje heuristike dostupnosti dobiva sve veći utjecaj. Put od zablude do znanja Početna istraživanja matematičkog obrazovanja gledala su na učeničke pogreške kao mane koje ometaju učenje i koje se trebaju izbjegavati te kao zablude koje se treba zamijeniti s točnim znanjem. Noviji trend u tom polju jest fokus na ono što učenici znaju i mogu napraviti, naglašavajući korisnu i produktivnu prirodu ograničenog znanja učenika i kontinuitet u znanju izmedu novaka i majstora. Prema starijem trendu, znanstvenici su se fokusirali na to kako učenici neuspješno usporeduju razlomke kao što su 1 i 1, tvrdeći da je 1 veće jer je 8 veće od 6. U novijem trendu pokazalo se 6 8 8 da su isti učenici riješili probleme koji su uključivali usporedivanje razlomaka kada su im problemi značajni i kada im je dopušteno korištenje vlastitog neformalnog znanja. Štoviše, pokazalo se da se osnovne sličnosti u karakteristikama znanja o razlomcima i kod majstora i kod novaka. Primjerice, obje grupe su sklone konstruirati strategije koje su prilagodene rješavanju odredenih klasa problema umjesto korištenja općenitijih strategija koje su učili u školi. Uloga prikazivanja Uloga različitih reprezentacija u konceptualnom razumijevanju je takoder bila fokus pažnje u zajednici matematičkog obrazovanja. Istaknuto promatranje u proučavanju fundamentalnih teoretskih i praktičnih pitanja u domeni reprezentacija jest da učenici često drugačije reagiraju na matematičke probleme koji su u osnovi isti ali uključuju različitu reprezentaciju. Recimo, to je otkriveno na pojmu funkcije, kao i u kontekstu beskonačnih skupova. Potonje su izvjestili Tirosh i Tsamir koje su otkrile da intuitivne odluke učenika o tome imaju li dva dana beskonačna skupa jednak broj elemenata, uvelike ovise o odredenom prikazu beskonačnih skupova u problemu. Numerički horizontalni prikaz, u kojem su dva skupa vodoravno smještena, jedan pokraj drugog, (npr. {1, 2, 3, 4,...},{1, 4, 9, 16,...}), dao je visok postotak odgovora različitog broja elemenata. Oko 70% uključenih učenika kad im je prezentiran ovaj tip reprezentacije, složili su se da dani skupovi nisu ekvivalentni, opravdavajući tvrdnju s dio-cijelo razmatranjima (npr. Broj elemenata u skupu je veći od broja elemenata u njegovom podskupu ). Numerički eksplicitni prikaz, u kojem su oba skupa vertikalno smještena i u kojem su odgovarajući elementi u skupovima sastavljeni od istih simbola, s odredenim varijacijama, npr. ({1, 2, 3, 4,...}) ({1 2, 2 2, 3 2, 4 2,...}) izmamio je visok postotak odgovora isti broj elemenata, oko 90%, uz visok postotak jedan-na-jedan opravdanja (npr. Svaki element u jednom skupu možemo upariti

28 s jednim elementom drugog skupa. ). Dakle, ova dva načina prikazivanja u osnovi istog matematičkog zadatka, izazvala su različita opravdanja i dovela su do proturječnih rješenja. 3.2 Instrumentalno i relacijsko razumijevanje: Dihotomija ili kontinuum? Pojmovi znanje i razumijevanje su višedimenzionalni. Različite vrste znanja i različite vrste razumijevanja su opisani u literaturi vezanoj za matematičko obrazovanje (npr. instrumentalno, relacijsko, konceptualno, proceduralno(algoritamsko), implicitno, eksplicitno, osnovno, napredno, formalno, intuitivno, vizualno, nalazi se, znati da je, znati kako, znati zašto, znati da,... ). U ovom poglavlju ćemo ukratko predstaviti neke od ovih vrsta. U iznimno utjecajnom članku iz 1978. godine, Richard Skemp je predstavio svoj pogled na različitosti izmedu dvije vrste znanja u matematici: relacijsko i instrumentalno. Relacijsko znanje opisano je kao znati što raditi i zašto, dok instrumentalno znanje zahtijeva pravila bez razloga. Skemp je tvrdio da, iako je instrumentalnu matematiku lakše razumijeti unutar vlastitog konteksta, da su njene nagrade neposrednije i očitije te da se često pravi odgovor može dobiti brže i pouzdanije, relacijska matematika ima prednosti jer je prilagodljivija novim zadatcima, lakša je za zapamtiti te može poslužiti kao cilj sama po sebi. Nadalje, Skemp je tvrdio da vrsta učenja koja vodi k instrumentalnoj matematici uključuje učenje velikog broja ustaljenih nacrta po kojima učenici mogu pronaći svoj put od odredene početne točke do tražene završne točke. Ti nacrti im govore što trebaju raditi na svakoj raskrsnici, ali onda ne postoji svijest o cjelokupnoj vezi izmedu uzastopnih etapa i konačnog cilja pa je učenik ovisan o vanjskim smjernicama za učenje svakog novog nacrta. Nasuprot tome, učenje relacijske matematike sastoji se od gradenja konceptualne strukture (sheme), iz koje njegov vlasnik može izvesti neograničen broj nacrta kako bi se od bilo koje početne točke došlo

29 do bilo koje završne točke unutar nacrta. Što je potpunija učenikova shema, to on više gradi svoje samopouzdanje u vlastitu sposobnost pronalska novih puteva do rješenja bez pomoći izvana. No, te sheme nisu nikad dovršene i proces njihova gradenja se samostalno nastavlja, bez obzira koji cilj treba postići, i samostalno nagraduje, jer u suštini zadovoljava cilj sam po sebi. Skemp je tvrdio da se ove dvije vrste znanja Slika 3.1: Richard Skemp toliko razlikuju da ih se može promatrati kao dvije vrste matematike. Protivio se instrumentalnoj matematici, smatrajući da se pojam matematika treba vezati samo za relacijsku matematiku. Iznio je nekoliko ozbiljnih problema koji bi se mogli pojaviti kada bi učenici, čiji je cilj instrumentalno razumjeti matematiku, učili od nastavnika koji od njih želi relacijsko razumijevanje i obratno. Skempov rad značajno doprinosi dugogodišnjoj raspravi o relativnoj važnosti vještine računanja u odnosu na matematičko razmišljanje te daljnim istraživanjima i raspravama na tu temu. Na primjer, Pearla Nesher u svom članku iz 1986. godine ističe da je dihotomija izmedu učenja algoritama i razumijevanja površna i zavaravajuća, tvrdeći da nas istraživanja o matematičkim izvedbama ne informiraju o vezi izmedu uspjeha u algoritamskoj izvedbi u odnosu na uspjeh u razumijevanju, niti daje dokaze o doprinosima razumijevanja algoritamskoj izvedbi. Isto tako, ona tvrdi da je mogućnost učenja matematike bez algoritamskih i proceduralnih aspekata upitno. Slično, 1981. godine, Lauren B. Resnick i Wendy W. Ford sugeriraju da pamćenje odredenih činjenica i postupaka nije važno toliko kao cilj sam po sebi, nego kao način da se produži kapacitet radne memorije razvijanjem automatskog odgovora. One tvrde da kad se odredeni procesi izvedu automatski, bez potrebe za direktnim uputama, više prostora ostane slobodno u radnoj memoriji za procese koji zahtijevaju pažnju. I drugi znanstvenici koji su istraživali obrazovanje matematike takoder ispituju korisnost instrumentalno-relacijske dihotomije i daju različite, povezane ishode. Hiebert i njegove kolege (Hiebert i Carpenter, 1992. godine; Hiebert i Lefevre, 1986. godine), na primjer, predlažu da je i konceptualno i proceduralno znanje potrebno za matematičko znanje. Oni definiraju konceptualno znanje kao znanje koje je bogato u vezama. Učenje novog koncepta ili veze implicira dodavanje čvora ili poveznice na postojeću kognitivnu strukturu, što cjelinu čini stabilnijom nego prije. S druge strane, proceduralno ili algoritamsko znanje je niz radnji koje se mogu naučiti sa ili bez značenja. Hiebert i Carpenter sugeriraju da veze izmedu konceptualnog i proceduralnog znanja mogu varirati, tako da ne moraju imati nikakve medusobne veze ili je pak veza medu njima