EVA MARKELJ RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA EVA MARKELJ RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ: FIZIKA - MATEMATIKA EVA MARKELJ MENTOR: izr. prof. dr. BOJAN GOLLI RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016

Zahvala Iskreno se zahvaljujem svojemu mentorju, izr. prof. dr. Bojanu Golliju, najprej za zanimiva predavanja, zaradi katerih sem se začela še bolj zanimati za fiziko. Hvala tudi za kvalitetne nasvete, usmeritve in stokovno pomoč pri nastajanju diplomskega dela. Cenim vso motivacijo in čas, ki mi ga je profesor namenil. Rada bi se zahvalila svoji družini, še posebej staršema Milanu in Metki, za finančno in moralno podporo. Hvala tudi sošolcem in prijateljem za popestritev študentskega življenja. Posebej bi se rada zahvalila prijatelju Timu za pomoč pri programiranju. Hvala!

Povzetek Diplomsko delo zajema računalniško simuliranje, v katero je vključena metoda Monte Carlo. Metodo najprej predstavim, na kratko povzamem njeno zgodovino in opišem njene sestavne dele. V nadaljevanju opišem nekaj lažjih primerov računalniških simulacij in predstavim njihove rezultate. Ti primeri so: računanje približka števila π, naključna hoja v eni dimenziji, naključna hoja v dveh dimenzijah in nevtronski reflektor. Problemi si sledijo po zahtevnosti od najpreprostejšega do najzahtevnejšega. Nazadnje predstavim še glavni problem dela, to je sipanje svetlobe v atmosferi. Opišem tudi računalniško simulacijo in njene rezultate. Preko izračunov in grafov pojasnim, zakaj je nebo modro in zakaj je sonce ob sončnem zahodu rdeče. Vključila sem tudi sliki neba in zahajajočega sonca, ki sta obarvani glede na deleže posamezne osnovne barve, pridobljene z računalniško simulacijo. Ključne besede: metoda Monte Carlo, naključna števila, računalniška simulacija, sipanje svetlobe v atmosferi, modro nebo, rdeče sonce

Abstract In my diploma thesis I present computer simulation based on the Monte Carlo method. In the beginning I describe the method and some history behind it. I also present its components, which are important for using the method. In the following chapter, I present some simple examples of computer simulations. They are organized by difficulty, from basic to the more complicated ones. These examples are: calculating the mathematical constant π, random walk in one dimension, random walk in two dimensions, and neutron reflector. After that I introduce the main problem of the thesis, light scattering in the atmosphere. I describe the problem and its implementation in the computer simulation in detail. Using the results of my calculations I explain why the sky is blue when the sun is in the zenith and also why the sun is red at the sunset. I also made a picture of the sky and of the sun at the sunset, which are coloured according to the results of simulation. Key words: Monte Carlo method, random numbers, computer simulation, scattering light in the atmosphere, blue sky, red sun

Kazalo 1 Uvod 1 2 Metoda Monte Carlo 3 2.1 Opis metode................................... 3 2.2 Zgodovina.................................... 3 2.3 Sestavni deli................................... 4 2.3.1 Verjetnostna porazdelitev....................... 5 2.3.2 Generator naključnih števil...................... 6 2.3.3 Vzorčenje................................ 6 2.4 Integracija in napaka.............................. 8 3 Preprosti primeri uporabe metode Monte Carlo 11 3.1 Računanje približka števila π......................... 11 3.1.1 Opis problema.............................. 11 3.1.2 Računalniška simulacija........................ 12 3.2 Naključna hoja v eni dimenziji......................... 14 3.2.1 Opis problema.............................. 14 3.2.2 Računalniška simulacija........................ 16 3.3 Naključna hoja v dveh dimenzijah....................... 18 3.3.1 Opis problema.............................. 18 3.3.2 Računalniška simulacija........................ 18 3.4 Nevtronski reflektor............................... 21 3.4.1 Opis problema.............................. 21 3.4.2 Računalniška simulacija........................ 24 4 Sipanje svetlobe v atmosferi 29 4.1 Opis problema.................................. 29 4.2 Rayleighovo sipanje............................... 29 4.2.1 Sipalni presek in prosta pot...................... 30

KAZALO 4.2.2 Kotna porazdelitvena funkcija..................... 37 4.2.3 Transformacija vektorja premika v prvotni koordinatni sistem.................................. 39 4.3 Računalniška simulacija............................ 41 4.3.1 Rezultati računalniške simulacije................... 42 4.3.2 Odbojnost in prodornost........................ 42 4.3.3 Število sipanj.............................. 42 4.3.4 Porazdelitve fotonov po kotu v določeni smeri............ 44 5 Zaključek 47 A Priloge A.1 Koda za računalniško simulacijo sipanja fotonov...............

Slike 2.1 Inverzna transformacijska metoda....................... 7 2.2 Numerično integriranje............................. 8 3.1 Naključne točke znotraj enotskega kvadrata................. 12 3.2 Graf σ 1 ( N).................................. 13 3.3 Graf porazdelitve delcev po končnih oddaljenostih od izhodišča....... 17 3.4 Graf r (N)................................... 19 3.5 Graf r 2 (N).................................. 20 3.6 Graf porazdelitve delcev po končnih oddaljenostih od izhodišča....... 20 3.7 Poenostavljen model sipanja nevtrona na jedru................ 22 3.8 Porazdelitev nevtronov po številu sipanj - model 1.............. 25 3.9 Porazdelitev nevtronov po številu sipanj - model 2.............. 25 3.10 Graf odbojnost(n)............................... 26 3.11 Graf odbojnost( a)................................ d 26 4.1 Opis sipanja s sfernim koordinatnim sistemom................ 31 4.2 Sipalni presek.................................. 32 4.3 Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od valovne dolžine pri d = 8 km. 35 4.4 Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od valovne dolžine pri d = 24 km. 35 4.5 Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od valovne dolžine pri d = 320 km. 36 4.6 Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od kota α............. 36 4.7 Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od kota α v razmerju z deležem direktne rdeče svetlobe............................. 37 4.8 Primer metode zavrnitve, kjer točko T 1 zavrnemo, T 2 pa sprejmemo.... 39 4.9 Graf porazdelitve fotonov po številu sipanj pri debelini atmosfere 8 km.. 43 4.10 Graf porazdelitve fotonov po številu sipanj pri debelini atmosfere 24 km.. 43 4.11 Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu pri debelini atmosfere 8 km.. 44 4.12 Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu pri debelini atmosfere 24 km. 45 4.13 Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - prvo sipanje 45 4.14 Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - drugo sipanje 46

SLIKE 4.15 Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - tretje sipanje 46 4.16 Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - četrto sipanje 46 5.1 Modro nebo................................... 48

Tabele 3.1 Primer rezultatov simulacije računanja približka števila π.......... 12 3.2 Primer rezultatov simulacije naključne hoje v 1D za milijon delcev..... 17 3.3 Primer rezultatov simulacije naključne hoje v 2D za milijon delcev..... 19 4.1 Izračuni sipalnega preseka in proste poti................... 34 4.2 Prilagajanje intervala žrebanja prve opravljene poti za d = 8 km, d = 240 km in d = 320 km............................. 34 4.3 Odbojnost in prodornost fotonov pri debelinah d = 8 km in d = 24 km.. 42

Poglavje 1 Uvod Vsem se zdi samoumevno, da je nebo modre barve. Redko kateri pa zna odgovoriti na vprašanje, zakaj je temu tako. Glavni problem diplomske naloge je sipanje fotonov v Zemljini atmosferi. Ker so premeri molekul zraka manjši v primerjavi z valovno dolžino svetlobe, prevladuje pojav, ki ga imenujemo Rayleighovo sipanje. To je elastično sipanje, pri katerem se svetloba s krajšo valovno dolžino bolj razprši od tiste, ki ima daljšo. Tako lahko pojasnimo, zakaj je nebo podnevi modro in zakaj sonce rumeno. Modra svetloba se siplje približno desetkrat bolj kot rdeča, zato torej nebo v smereh proč od sonca vidimo modre barve. Ker pa so v sončni svetlobi zastopane vse valovne dolžine vidnega spektra, v smeri sonca prihaja svetloba rumene barve. Z istim pojavom lahko razložimo tudi rdeče zahajajoče sonce. Takrat je pot, ki jo prepotujejo fotoni, daljša, zato se modra svetloba še bolj razprši in v sončnih žarkih ostane rdečkasta svetloba. Izdelala sem računalniški program, pri katerem sem simulirala potovanje posameznega fotona skozi atmosfero. Pri tem sem upoštevala, da imajo fotoni z modro valovno dolžino na molekulah zraka večji sipalni presek kot fotoni z rdečo. Srečanja fotonov z molekulami atmosfere so naključna, zato sem v program vključila numerično metodo Monte Carlo, ki za svoje izvajanje uporablja zaporedje naključnih števil. Metoda Monte Carlo se uporablja v znanosti za preučevanje sistemov, pri katerih ne moremo priti do analitične rešitve. Namenjeno ji je prvo poglavje diplomske naloge. Metoda je najprej opisana, nato pa je na kratko povzeta tudi njena zgodovina. Navedene in opisane pa so tudi njene glavne sestavine, ki jih je potrebno poznati, če metodo želimo uporabljati. Drugo večje poglavje je namenjeno preprostim primerom uporabe metode Monte Carlo. Vsak problem je najprej opisan skupaj s pripadajočo računalniško simulacijo. 1

2 POGLAVJE 1. UVOD Predstavljeni so tudi rezultati v obliki tabel in grafov. Prvi preprosti primer je računanje približka matematične konstante π. Ta zelo nazorno predstavi metodo in je zelo zanimiv, saj pokaže, da se preko naključnih števil da zelo natančno določiti število π. Kot drug in tretji primer je obravnavana naključna hoja v eni in dveh dimenzijah. Naključna hoja je preprost primer, toda osnova za številne fizikalne pojave, kot je na primer Brownovo gibanje. Naključna števila so tu uporabljena za izbiro smeri gibanja. Četrti primer pa je nevtronski reflektor. Gre za sipanje nevtronov v snovi, pri čemer so naključne njihove proste poti in kot, pod katerem se sipljejo. Ta primer je zelo zanimiv, saj gre za realističen primer in tudi nekaj, s čimer se ukvarjajo jedrski inženirji. Zadnje poglavje govori o glavnem problemu, o sipanju svetlobe. Opisana je tudi računalniška simulacija in predstavljena porazdelitev fotonov določene valovne dolžine po sipalnem kotu. Meritve so opravljene za atmosfero debeline 8 kilometrov in še za trikrat večjo. Dalje je zapisana še interpretacija rezultatov in odgovori na raziskovalna vprašanja diplomske naloge. Na koncu diplomske naloge je priložena tudi računalniška koda simulacije sipanja fotonov v atmosferi, napisana v programskem jeziku C.

Poglavje 2 Metoda Monte Carlo 2.1 Opis metode Metoda Monte Carlo je vsaka numerična metoda, ki za svoje izvajanje uporablja zaporedje naključnih števil. Uporablja se pri reševanju problemov, zlasti tistih, pri katerih klasični pristop odpove. Nekaterih pojavov ne moremo napovedati deterministično. Pogosto je znana le verjetnost za posamezen dogodek. [1] Pri metodi izvajamo naključne poskuse na mikroskopskem nivoju, pri čemer naredimo veliko število meritev. Te meritve potem statistično obdelamo in dobimo makroskopsko rešitev problema. Z njeno uporabo simuliramo fizikalne pojave ali matematične prostore. [2] 2.2 Zgodovina Ideja o metodi je veliko starejša od iznajdbe računalnika. Ime je dobila okoli leta 1940 po slavnem kazinoju v monaški kneževini zaradi iger na srečo in njihovo povezavo z naključnimi dogodki. Poimenoval jo je Nicholas Metropolis, ki je tudi veliko prispeval k njenemu razvoju. Pred tem so jo poznali pod imenom statistično vzorčenje. [3] Zelo slaven primer uporabe metode brez računalnika je poskus Buffonova igla iz leta 1733, preko katerega se da določiti matematično konstanto π. Približek je določen z metanjem igle dolžine L na papir, na katerem so narisane vzporedne daljice na razdalji D, pri čemer velja: L D. Verjetnost, da igla pade in prekriža vsaj eno daljico, je P = 2L. Pri poskusu preštejemo število vseh metov N in število prekrižanj R. Empirično πd verjetnost izračunamo tako, da število ugodnih dogodkov delimo s številom vseh dogodkov. 3

4 POGLAVJE 2. METODA MONTE CARLO Po preoblikovanju zvez dobimo enačbo za izračun števila π: π = 2LN RD. (2.1) Zanimivo pri tem eksperimentu je, da se z naključnim poskusom da zelo natančno določiti matematično konstanto. [3] Matematiki so metodo dolgo časa uporabljali kot aproksimacijo za reševanje diferencialnih enačb in integralov, za kar v tistem času ni bilo drugih metod, ki bi pripeljale do analitičnih rešitev. V teh letih se je metoda kar precej razvila in ljudje so nehali dvomiti o rezultatih, ki jih je ponujala. A vendar ni bila popolnoma izkoriščena v znanstvenoraziskovalne namene, pač pa bolj v didaktične. [2] Prvi večji in pomembni izračuni s pomočjo metode Monte Carlo so bili izvedeni pri študiju sipanja in absorpcije nevtronov. S tem sta se ukvarjala predvsem John von Neumann in Stanislaw Marcin Ulam. Delala sta na projektu Manhattan pri izdelavi vodikove bombe v Los Alamosu. V tem obdobju so se zaradi pomembnosti in sredstev projekta razvijali modernejši algoritmi. Ker eksperimentov niso mogli dejansko izvesti, so jih simulirali. Pojavi, s katerimi so se ukvarjali, so naključni, zato je bilo primerno, da so v računalniško simulacijo vključili naključna števila. Ugotovili so, da lahko z uporabo matematičnega modela pridejo do realističnih statističnih rezultatov. Potrebovali so le dober generator primernih naključnih števil. [3] Metoda se je po uspešnih uporabah pričela širiti. Uporabili so jo celo pri reševanju Schrödingerjeve enačbe in nelinearnih paraboličnih parcialnih diferencialnih enačb ter celo pri razvoju računalnikov kot hevristično iskanje algoritmov. [4] Skupaj z razvojem računalnikov in računalniškim programiranjem se je razvijala tudi metoda, kar je privedlo do večje preciznosti in prepričljivosti. Danes jo uporabljajo na različnih področjih: v fiziki, astronomiji, meteorologiji, matematiki, kemiji, biologiji, inženirstvu, tehnologiji, ekonomiji, računalništvu, prometu... 2.3 Sestavni deli Glavne komponente metode Monte Carlo so verjetnostna porazdelitev, generator naključnih števil in vzorčenje. Zahtevnejše simulacije pa sestavljajo še beleženje izidov,

2.3. SESTAVNI DELI 5 ocena napake, metoda zmanjšanja odklona ter algoritmi, ki omogočajo, da se metoda Monte Carlo lahko izvršuje na zmogljivejših računalnikih. [2] 2.3.1 Verjetnostna porazdelitev Naključna spremenljivka je spremenljivka, ki lahko zavzame več kot eno vrednost, ki je ni moč predvideti vnaprej. Pogosto poznamo le njeno porazdelitev. Ta nam pove, kolikšna je verjetnost P, da spremeljivka zavzame določeno vrednost. Za simuliranje pojava z metodo Monte Carlo moramo poznati gostoto verjetnosti f(x). Izraz f(x)dx nam predstavlja verjetnost, da se naključna vrednost x nahaja znotraj intervala [x, x + dx]: [1] f(x)dx = P (x [x, x + dx]). (2.2) Verjetnost ima vrednost velikosti ploščine pod krivuljo, kar zapišemo kot določeni integral. Če nas zanima, kolikšna je verjetnost, da se slučajna spremenljivka nahaja na poljubnem intervalu [c, d], jo izračunamo kot: Za gostoto verjetnosti velja: P (x [c, d]) = d c f(x)dx. (2.3) Vedno je pozitivna ali enaka 0: Je normalizirana: f(x) 0. (2.4) f(x)dx = 1. (2.5) Definirajmo še porazdelitveno funkcijo c(x): c(x ) = x x min f(x)dx, (2.6) ki je monotono naraščujoča funkcija, definirana na intervalu [0, 1]. Če zgornjo definicijo obrnemo, dobimo zvezo: f(x) = dc(x) dx. (2.7)

6 POGLAVJE 2. METODA MONTE CARLO 2.3.2 Generator naključnih števil Simulacija Monte Carlo za svoje delovanje potrebuje programsko opremo, ki generira čim bolj naključna števila. Zaporedje pravih naključnih števil je nepredvidljivo in zato tudi težko ustvarljivo. Ustvarimo ga lahko preko naključnih fizikalnih pojavov, kot sta na primer radioaktivni razpad in termalni hrup v elektronskih napravah. Izkaže pa se, da je uporaba takšnega načina generiranja naključnih števil nepraktična, saj zaporedje ni ponovljivo. Hitrejša in enostavnejša je uporaba psevdo-naključnih števil. To je zaporedje števil, ki statistično gledano ni naključno, ima pa podobne lastnosti. Členi zaporedja so določeni z matematično rekurzivno zvezo. Najbolj znan je linearni kongruenčni algoritem z rekurzivno zvezo: x i+1 = (ax i + b) mod m, (2.8) kjer so konstanti a in b, modul m ter začetni člen x 0 pozitivna cela števila, pri čemer velja še: m > x 0 in m > a. Dobimo števila, ki so med 0 in m 1 enakomerno porazdeljena. Pri tem algoritmu želimo, da je cikel čim daljši, saj se v nasprotnem primeru zaporedje števil med delovanjem simulacije ponovi. Dolžina cikla je odvisna od izbire konstant in od maksimalnega števila, ki ga generator premore. [1] 2.3.3 Vzorčenje Pri simulaciji Monte Carlo želimo dobiti vzorce, ki so porazdeljeni po določeni gostoti verjetnosti f(x). Zelo uporabni metodi vzorčenja sta inverzna transformacijska metoda in metoda zavrnitve. [6] Inverzna transformacijska metoda Števila ξ so na tem intervalu poraz- 1. Najprej izberemo naključno število ξ [0, 1]. deljena enakomerno. 2. Število ξ izenačimo s porazdelitveno funkcijo: ξ = c(x ) = f(x)dx. (2.9) x min 3. Spremenljivko x izrazimo tako, da izračunamo inverz porazdelitvene funkcije: x = c 1 (ξ ). (2.10) x

2.3. SESTAVNI DELI 7 Slika 2.1: Inverzna transformacijska metoda Metoda zavrnitve V primeru zapletenega sistema se zgodi, da se inverzna funkcija verjetnostne porazdelitve ne da določiti v analitični obliki. Takrat uporabimo bolj zapletene metode, s pomočjo katerih vzorčimo spremenljivko. Ena izmed njih je metoda zavrnitve, ki je zasnovana na preprosti geometriji. [6] Najprej narišemo graf gostote verjetnosti f(x). Pod krivuljo te funkcije želimo generirati enakomerno porazdeljene naključne točke. To naredimo z naslednjim postopkom: 1. Določimo primerjalno funkcijo g(x), ki ima pod krivuljo nad osjo x končno ploščino ter za katero velja: g(x) f(x) za x [x min, x max ]. Ta funkcija mora biti analitična, prav tako tudi njen nedoločeni integral in inverz. Najbolj priročno je izbrati kar konstantno funkcijo. Primerjalna funkcija vedno obstaja, saj je naša gostota verjetnosti normalizirana, kar pomeni, da ima ploščino pod krivuljo in nad osjo x končno. 2. Sedaj moramo izbrati naključno točko, ki leži nekje v ravnini pod krivuljo primerjalne funkcije g(x). Označimo z A ploščino pod krivuljo primerjalne funkcije, na območju, kjer je x [x min, x max ]. Ploščina pod krivuljo se izračuna kot določeni integral: xmax A = g(x)dx. (2.11) x min V naslednjem koraku izžrebamo A [0, A], pri čemer velja: A = x ia, kjer so naključna števila x i enakomerno porazdeljena na intervalu [0, 1].

8 POGLAVJE 2. METODA MONTE CARLO Velja: A = x x min g(x)dx. (2.12) Po metodi transformacije, ki sem jo opisala zgoraj, lahko sedaj določimo koordinato x. Izžrebati moramo še naključno koordinato y, enakomerno porazdeljeno na intervalu [0, g(x )]. 3. V primeru, da točka (x, y ) leži zunaj območja pod porazdelitveno funkcijo f(x), točko zavrnemo in postopek ponovimo. V tem primeru velja: y > f(x ). V nasprotnem primeru pa točko sprejmemo, kar pomeni, da uporabimo izžrebano spremenljivko x. Na tak način dobimo slučajne vrednosti spremenljivke x, ki so porazdeljene po želeni porazdelitvi. 2.4 Integracija in napaka Izberimo si N naključnih točk x 1, x 2,..., x N, enakomerno porazdeljenih na intervalu [a, b]. Pri metodi Monte Carlo integral nadomestimo z vsoto: [5] b a f(x)dx (b a) 1 N N f(x i ) = (b a)f. (2.13) i=1 Ker so števila x i naključna, so tudi vrednosti funkcije f(x i ) naključne. Integral lahko aproksimiramo z vsoto naključnih vrednosti funkcije. Slika 2.2: Numerično integriranje

2.4. INTEGRACIJA IN NAPAKA 9 Napaka integrala je posledica računanja povprečja funkcije. Če namesto povprečne vrednosti vzamemo naključno vrednost funkcije, v povprečju storimo napako σ f. Vemo, da se napaka s številom poskusov spreminja kot: Napaka integrala je sorazmerna s to napako: σ 2 f(n) = 1 N σ2 f. (2.14) σ I = (b a)σ f (N) = (b a) 1 N σ f. (2.15) Napaka metode Monte Carlo se torej z večanjem števila ponovitev manjša s korensko odvisnostjo: σ I 1 N. (2.16)

10 POGLAVJE 2. METODA MONTE CARLO

Poglavje 3 Preprosti primeri uporabe metode Monte Carlo 3.1 Računanje približka števila π 3.1.1 Opis problema V podpoglavju Zgodovina 2.2 smo že omenili način, kako preko naključnih dogodkov določimo približek matematične konstante π. Določimo ga lahko tudi na drugačen način. V enotski kvadrat včrtamo četrtino kroga. Ploščina enotskega kvadrata je 1. Četrtina kroga s polmerom dolžine 1 pa ima ploščino π. Znotraj kvadrata generiramo točke tako, da 4 izžrebamo njihove koordinate. V primeru, da je uporabljen generator dober in izžrebamo dovolj veliko število točk, bodo izbrane točke po kvadratu razporejene približno enakomerno. To lastnost vidimo tudi na slikah 3.1.a) in 3.1.b). Če je to res, bo razmerje ploščin četrtine kroga in kvadrata enako razmerju točk znotraj četrtine kroga in vseh generiranih točk. Označimo celotno število točk s črko N in število točk, ki padejo znotraj četrtine kroga, s črko M. V limiti, ko gre število točk N proti neskončno, velja: Število π lahko določimo kot: M N = S 1 4 kroga = π S kvadrata 4. (3.1) π = 4 M N. (3.2) 11

12 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO Za določanje matematičnega števila π obstaja veliko učinkovitejših metod. Opisan način sicer zelo nazorno predstavi metodo Monte Carlo, vendar je dokaj zamuden. (a) 100 naključnih točk (b) 500 naključnih točk Slika 3.1: Naključne točke znotraj enotskega kvadrata 3.1.2 Računalniška simulacija V računalniški simulaciji sem generirala N naključnih točk v ravnini znotraj enotskega kvadrata. Program z ukazom rand() generira naključno število z algoritmom (2.8). Ta števila so enakomerno porazdeljena med številom 0 in nekim velikim celim številom (RAND MAX). Vsaka točka T (x, y) ima dve koordinati, ki sta naključni števili iz intervala [0, 1]. Ta števila sem dobila s predpisom: j = rand()/(rand MAX + 1), kar pomeni, da sem naključno število delila s številom vseh možnih števil. Ne smemo pozabiti na število 0. V primeru, da je točka padla znotraj četrtine kroga, je ustrezala pogoju: x 2 + y 2 1. V tem primeru sem jo štela pod množico točk M. Na koncu sem izračunala še približek števila π po enačbi (3.2) in določila odstopanje od prave vrednosti. Preverila sem tudi, v kakšni zvezi sta napaka in število točk. Tabela 3.1: Primer rezultatov simulacije računanja približka števila π N-število korakov π σ N σ 1 100 3,14223 0,13102 10,00 7,63250 500 3,14193 0,05875 22,36 17,02139 1000 3,14152 0,04144 31,62 24,13374 1500 3,14152 0,03388 38,73 29,51889 2000 3,14137 0,02937 44,72 34,04301 2500 3,14155 0,02606 50,00 38,37902 Iz rezultatov v tabeli 3.1 opazimo, da se natančnost določanja konstante s povečevanjem števila točk izboljšuje.

3.1. RAČUNANJE PRIBLIŽKA ŠTEVILA π 13 Slika 3.2: Graf σ 1 ( N) Iz grafa razberemo, da je napaka res obratno sorazmerna s korenom števila točk. Rezultatom se najbolje prilega funkcija: σ 1 ( N) = 0,76072 N.

14 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO 3.2 Naključna hoja v eni dimenziji 3.2.1 Opis problema Z naključno hojo lahko simuliramo veliko pojavov, kot so na primer Brownovo gibanje, finančni modeli in igre na srečo. Delec se ob času t = 0 nahaja v izhodišču in koraka po premici. Premika se tako, da naključno izbere smer gibanja. Zanima nas, kolikšna je verjetnost, da bo po N korakih delec na koordinati x. Na primer, da se delec premakne le enkrat. Označimo s P +1 verjetnost, da bo ta premik v desno smer ter s P 1 verjetnost, da bo v levo smer. V našem primeru sta ti dve verjetnosti enaki, poleg tega pa velja še: P +1 + P 1 = 1. Posledično je njuna vrednost enaka: P +1 = P 1 = 1. S k označimo vrednost koraka. V našem primeru ima vsak korak 2 dolžino 1. Velja torej k {1, 1}. Vrednosti sta enako verjetni, zato je njuna povprečna vrednost enaka 0. Ker je verjetnost, da se delec nahaja nekje na desni strani, enaka kot verjetnost, da se nahaja na levi, se v povprečju nahaja v izhodišču. Velja: x = 0. Označimo z x N mesto, na katerem smo po N korakih, in s k N korak naslednjega premika. Velja rekurzivna zveza: x N = x N 1 + k N. Povprečna vrednost oddaljenosti od izhodišča po N korakih je še vedno 0, prav tako povprečna vrednosti koraka. Poglejmo si sedaj povprečne vrednosti kvadrata oddaljenosti od izhodišča. x 2 i = (x i 1 + k i ) 2 = x 2 i 1 + k 2 i + 2x i 1 k i = x 2 i 1 + k 2 i + 2 x i 1 k i (3.3) k 2 i = (±1) 2 = 1 (3.4) x i 1 k i = x i 1 (+1)P +1 + x i 1 ( 1)P 1 = 0 (3.5) Dobljene zveze za i = N vstavimo v enačbo (3.3): x 2 N = x 2 N 1 +2 0+1 = x 2 N 1 +1 = x 2 N 2 +1+1 =... = x 2 0 +1+1+...+1 = N. (3.6) Za standardno deviacijo σ 2 smo dobili izraz: σ 2 = x 2 x 2 = N 0 = N. (3.7)

3.2. NAKLJUČNA HOJA V ENI DIMENZIJI 15 Centralni limitni izrek pravi, da se vsota enakomerno porazdeljenih slučajnih spremeljivk v limiti, ko gre N proti neskončno, približuje normalni porazdelitvi. Tej porazdelitvi pravimo tudi Gaussova porazdelitev s predpisom: Za standardno deviacijo σ 2 velja: f(x, N) = 1 x 2 2πσ 2 e 2σ 2. (3.8) σ 2 = N σi 2 = Nσ1 2 = N. (3.9) i=0 Izraz je enak, ko smo ga izpeljali zgoraj. Našo porazdelitev lahko torej aproksimiramo z normalno porazdelitvijo s predpisom: f(x, σ 2 ) 2 1 x 2 2πσ 2 e 2σ 2. (3.10) Normalizacijska konstanta ima vrednost 2, zato ker je x = 2. Interval dolžine x ima sredino v koordinati x in sega do x 1 na eni strani in x+1 na drugi strani. Njegova širina je torej 2. Standarno deviacijo σ 2 nadomestimo s številom korakov N in dobimo: Zveza z difuzijsko enačbo 1 f(x, N) 2 2πN e x 2 2N. (3.11) Predpostavimo, da je čas enega koraka konstanten. V tem primeru dobimo, da se standardna deviacija s časom linearno povečuje: σ 2 = N = kt. Vzeli bomo tudi širino intervala x = 1, da bo porazdelitev normirana. Dobimo porazdelitev s predpisom: 1 f(x, t) = 2πkt e x 2 2kt. (3.12) Vstavimo porazdelitev v difuzijsko enačbo in pokažimo, da ji zadošča. Difuzijska enačba ali drugi Fickov zakon ima obliko: D 2 f x 2 = f t. (3.13)

16 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO Posebej izračunamo odvode: f t = f x = 2 f x 2 = 1 2πkt e x 1 2πkt e x 1 2πkt e x 2 2kt 2 2kt 2 2kt ) x2 ( + 12t 2kt 2, (3.14) ( x ), (3.15) kt ( x 2 k 2 t 2 1 ). (3.16) kt Izračunane odvode vstavimo v difuzijsko enačbo (3.13). ) ( 1 2πkt e x 2 x2 1 2kt ( + 12t 2kt 2 = D 2πkt e x 2 x 2 2kt k 2 t 2 1 ) kt ) ( x2 x 2 ( + 12t 2kt 2 = D k 2 t 2 1 ) kt D = k 2 Če vstavimo dobljeno zvezo v izraz za standardno deviacijo: σ 2 = kt, dobimo: 3.2.2 Računalniška simulacija σ 2 (t) = 2Dt. (3.17) V simulaciji sem naključna števila uporabila pri izbiri smeri premika. Premik delca sem definirala z enačbo: x = 2m 1. Število m je moralo torej imeti vrednosti 0 ali 1. To sem dosegla s predpisom: m = (int) (2 rand()/(rand MAX + 1)), (3.18) pri čemer žrebamo naključna števila enakomerno porazdeljena po intervalu [0, 2] in vzamemo le celi del tega števila. Iz rezultatov v tabeli 3.2 razberemo, da res velja x 0 in x 2 N. Povprečna vrednost oddaljenosti x teoretično ni 0, ampak se njena vrednost razlikuje od 0 za napako, ki je obratno sorazmerna s številom delcev. To smo izpeljali pri zvezi (2.16). V našem primeru je število ponovitev poskusa kar število delcev, zato je napaka sorazmerna z 1/ 10 6. Za število korakov N = 1500 in število delcev M = 100000 sem narisala graf porazdelitve delcev po končnih oddaljenosti od izhodišča. Gaussova krivulja na grafu 3.3 ima predpis 2 1 f(x, 1500) = 2 3000 in se našim rezultatom simulacije dobro prilega. 3000π e x

3.2. NAKLJUČNA HOJA V ENI DIMENZIJI 17 Tabela 3.2: Primer rezultatov simulacije naključne hoje v 1D za milijon delcev N-število korakov x x 2 N-število korakov x x 2 50 0 50 550 0 549 100 0 99 600 0 599 150 0 149 650 0 650 200 0 200 700 0 699 250 0 250 750 0 750 300 0 299 800 0 801 350 0 349 850 0 850 400 0 400 900 0 899 450 0 449 950 0 950 500 0 499 1000 0 1000 Slika 3.3: Graf porazdelitve delcev po končnih oddaljenostih od izhodišča

18 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO 3.3 Naključna hoja v dveh dimenzijah 3.3.1 Opis problema Naključno hojo v eni dimenziji sem nadgradila še s premikom naprej in nazaj. Delec se ob času t = 0 nahaja v izhodišču in se premika po ravnini. Pred vsakim korakom naključno izbere eno izmed štirih smeri gibanja. Teoretično naj bi bila porazdelitev delcev po oddaljenostih od izhodišča Gaussova krivulja pomnožena s spremeniljivko r z enačbo: f(r, σ 2 ) = 2 r2 re 2σ σ2 2. (3.19) Kot pri naključni hoji v eni dimenziji ima tudi tu standardna deviacija vrednost N, zato lahko zapišemo porazdelitev še v drugačni obliki: f(r, N) = 2 r2 re 2N. (3.20) N Določimo še izraz za povprečno vrednost oddaljenosti in njenega kvadrata. 0 rf(r, N)dr r = 0 f(r, N)dr = 1 2 2 0 N r2 e r 2 1 2N dr = 0 N r2 e r 2 π 2N dr = 2 N 1,25 N (3.21) r 2 = 0 r 2 f(r, N)dr 0 f(r, N)dr = 1 2 0 2 N r3 e r 2 1 2N dr = N r3 e r 2 2N dr = 2N (3.22) 0 3.3.2 Računalniška simulacija Naključna števila sem uporabila pri izbiri smeri premika. Kot pri hoji v eni dimenziji sem tudi tu s predpisom (3.18) generirarala števili m in o, ki sta imeli vrednosti 0 ali 1. Premik delca v dveh smereh sem definirala z enačbama: x = 2m 1 in y = 2o 1. Iz tabele 3.3 razberemo, da povprečni odmik od izhodišča nima več vrednosti 0 in se njegov kvadrat povečuje premo sorazmerno s številom korakov. Graf r (N) na sliki 3.4 nam prikazuje, da je odvisnost korenska funkcija. Velja torej: r N. Iz grafa na sliki 3.5 pa razberemo, da je odvisnost r 2 (N) linearna funkcija. Velja: r 2 2N. Odvisnosti sta konsistentni s tistima, ki smo ju izpeljali pri izrazih (3.21) in (3.22).

3.3. NAKLJUČNA HOJA V DVEH DIMENZIJAH 19 Tabela 3.3: Primer rezultatov simulacije naključne hoje v 2D za milijon delcev N-število delcev x x 2 N-število delcev x x 2 50 8,5165 100,05878 550 28,9953 1100,6851 100 12,1564 199,7602 600 30,2931 1199,4837 150 14,9799 300,1939 650 31,5644 1301,2826 200 17,3355 399,7259 700 32,7383 1398,5745 250 19,4230 499,6424 750 33,9225 1500,1906 300 21,3132 599,7751 800 35,0259 1598,7578 350 23,0476 699,9543 850 36,1299 1700,3543 400 24,6591 799,5240 900 37,1811 1799,2988 450 26,1891 899,8097 950 38,2258 1900,6834 500 27,6216 1000,1520 1000 39,2389 2001,6472 Slika 3.4: Graf r (N)

20 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO Slika 3.5: Graf r 2 (N) Zanimala me je še porazdelitev delcev po končnih oddaljenostih od izhodišča. Meritve so bile izvedene za 100000 delcev in za sprehode s 1500 koraki. Krivulja na grafu ima predpis: f(r, 1500) = 2 1500 re r 2 3000. Rezultati se ji dobro prilegajo. Slika 3.6: Graf porazdelitve delcev po končnih oddaljenostih od izhodišča

3.4. NEVTRONSKI REFLEKTOR 21 3.4 Nevtronski reflektor 3.4.1 Opis problema Nevtroni so osnovni delci brez električnega naboja. Posledično se lahko v snovi brez težav prebijejo do jeder in povzročijo različne reakcije. Ena izmed njih je elastičen trk, pri čemer se nevtron prožno odbije v različne smeri. Dogodek je enak, kot če bi opazovali trk dveh trdih krogel, na primer bilijardnih krogel. Z nevtronskim reflektorjem se srečamo v jedrskih reaktorjih. Njegova vloga je, da določen delež nevtronov odbije nazaj do jedrskega goriva, kjer sprožijo nadaljne reakcije. Tam je veliko število nevtronov (10 8 /cm 3 ) in veliko število jeder (10 22 /cm 3 ), zato nas pri takšnih in podobnih pojavih zanima le povprečno obnašanje delcev. Posledično za simulacijo pojava uporabimo metodo Monte Carlo. [7] Poglejmo si zelo enostaven primer. Na ploščo z določeno debelino je pravokotno na njene meje usmerjen curek nevtronov. V plošči se nevtroni le sipljejo in nič absorbirajo. Velja, da je porazdelitev proste poti pri sipanju nevtronov eksponentna. Takšni porazdelitvi pravimo tudi porazdelitev Poissonovega toka in je značilna tudi za čase radioaktivnih razpadov. Gostota porazdelitve po prostih poteh je funkcija: f(r) = Ae r a, (3.23) kjer je r dolžina vektorja premika, a povprečna prosta pot in A normalizacijska konstanta, ki jo določimo iz normalizacijskega pogoja. Gostota porazdelitve ima obliko: 0 0 f(r)dr = 1 Ae r a dr = 1 A( a)(e a e 0 a ) = 1 A = 1 a f(r) = 1 a e r a. (3.24) Za vzorčenje spremenljivke r uporabimo inverzno transformacijsko metodo, opisano v podpoglavju Vzorčenje 2.3.3: 1. Izberemo naključno število ξ i iz intervala [0, 1]. 2. Naključno število ξ i izenačimo s porazdelitveno funkcijo: ξ i = c(r i ) = ri 0 f(r)dr. (3.25)

22 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO Število ξ i nam predstavlja ploščino pod porazdelitveno funkcijo c(r) na intervalu [0, r i ] : ξ i = c(r i ) = ri 0 f(r)dr = ri 3. Izrazimo iskano spremenljivko r i = c 1 (ξ i ): 0 1 a e r 1 r i a dr = a ( a)(e a e 0 a ) = 1 e r i a. (3.26) r i = a ln(1 ξ i ) = a ln(ξ i). (3.27) Naključno število ξ i je enakomerno porazdeljeno na intervalu (0, 1]. število ξ i = 1 ξ i. Enako velja tudi za Nevtron se po trku premakne v smeri sipalnega kota θ glede na prvotno smer curka za dolžino r i. Nas zanima le projekcija na os, ki je vzporedna vpadnemu curku. Premik v smeri te osi je: x i = r i cos θ. (3.28) Za gostoto porazdelitve sipalnega kota bomo vzeli: f(θ) = cos θ. (3.29) Pokazati moramo, da je ta porazdelitev po prostorskem kotu enakomerna. Taki porazdelitvi rečemo tudi, da je izotropna. Slika 3.7: Poenostavljen model sipanja nevtrona na jedru Gostota porazdelitve nevtronov po prečnem preseku jedra, ki ima obliko krogle s polmerom R, je konstantna, kar zapišemo kot: f(s) = dp ds = C. (3.30)

3.4. NEVTRONSKI REFLEKTOR 23 Konstanto C izračunamo iz normalizacijskega pogoja. f(s)ds = 1 S C ds = 1 Gostota porazdelitve ima obliko: S slike 3.7 lahko razberemo naslednji zvezi: Iz zgornjih zvez izrazimo razdaljo r: ( ) π θ r = R cos α = R cos 2 S CS = 1 C = 1 S f(s) = C = 1 S = 1 πr 2. (3.31) θ = π 2α, (3.32) cos α = r R. (3.33) ( π = R cos 2 θ ) = R sin θ 2 2. (3.34) Zanima nas gostota porazdelitve po prostorskem kotu Ω, torej f(ω) = dp dω, ki jo izračunamo s pomočjo transformacije spremenljivk: dp dω = dp ds ds dω = dp ds dr dω dr dω. (3.35) Diferencial ploščine je: Diferencial prostorskega kota je: Izračunajmo še dr dω : dr dω = ds dr = 2πr = 2πR sin θ 2. (3.36) dω = 2π sin θdθ. (3.37) dr 2π sin θdθ = 1 d(r sin θ 2 ) = 2π sin θ dθ 1 R 2π sin θ 2 cos θ 2. (3.38)

24 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO Dobljene zveze vstavimo v enačbo (3.35). f(ω) = dp dω = 1 πr 2 2πR sin θ 2 sin θ 2 = cos θ 2 2π sin θ = = 1 2 sin θ 2π sin θ = = 1 4π 1 R 2π sin θ 2 cos θ 2 = Porazdelitev po prostorskem kotu je enakomerna funkcija. Poglejmo si še, ali to velja za porazdelitev po kosinusu sipalnega kota. f(cos θ) = dp d cos θ = dp dω dω d cos θ = = 1 2π sin θdθ 4π d cos θ = = 1 2πd(cos θ) 4π d cos θ = = 1 2 Tudi porazdelitev po kosinusu sipalnega kota je enakomerna funkcija. Vrednosti kosinusa sipalnega kota so torej enakomerno porazdeljene po intervalu [ 1, 1]. To bomo dosegli, če bomo naključno spremenljivko cos θ vzorčili kot: kjer je ξ j naključno število na intervalu [0, 1]. 3.4.2 Računalniška simulacija cos θ j = 2ξ j 1, (3.39) Naredila sem računalniški simulaciji dveh modelov sipanja nevtronov v snovi. Pri prvem modelu so se nevtroni sipali le naprej in nazaj, pri drugem pa izotropno. V simulacijo sem vključila naključna števila za žrebanje dolžine premika. Drugi model pa sem nadgradila še z generiranjem naključnih vrednosti kosinusa sipalnega kota. Za povprečno pot a sem najprej določila vrednost d 2, kjer je d debelina plošče. Zanimala me je porazdelitev nevtronov po številu sipanj. V obeh primerih je bilo v simulacijo vključenih milijon nevtronov.

3.4. NEVTRONSKI REFLEKTOR 25 Slika 3.8: Porazdelitev nevtronov po številu sipanj - model 1 Slika 3.9: Porazdelitev nevtronov po številu sipanj - model 2 Opazimo, da je porazdelitev pri drugem modelu bolj fina. Nevtroni se v tem primeru tudi večkrat sipljejo in so dalj časa ujeti v plošči.

26 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO Pri razmerju a d = 0,5 sem raziskala odvisnost odbojnosti reflektorja od števila nevtronov. Slika 3.10: Graf odbojnost(n) Iz grafa lahko razberemo, da je odbojnost reflektorja pri prvem modelu vedno manjša od odbojnosti pri drugem modelu. Zdi se, da vrednost z večanjem števila nevtronov konvergira proti vrednosti 3 4 = 0,75. Pri drugem modelu pa se približuje vrednosti 0, 83. Zanimala me je tudi odvisnost odbojnosti reflektorja od razmerja a d. V simulacijo je bilo vključenih milijon nevtronov. Slika 3.11: Graf odbojnost( a d )

3.4. NEVTRONSKI REFLEKTOR 27 Pri obeh modelih je odbojnost blizu 1, ko je razmerje a d 1. Proste poti nevtronov so v tem območju zelo majhne v primerjavi z debelino plošče. Pri prvem modelu odbojnost z naraščanjem vrednosti razmerja a d pada hitreje kot pri drugem. Če bi povečevali prosto pot, da bi bila mnogo večja od debeline, bi bila odbojnost reflektorja enaka nič, saj bi večina nevtronov že v prvem koraku izstopila iz plošče.

28 POGLAVJE 3. PREPROSTI PRIMERI UPORABE METODE MONTE CARLO

Poglavje 4 Sipanje svetlobe v atmosferi 4.1 Opis problema Svetloba je elektromagnetno valovanje, ki potuje skozi snov, pri čemer interagira z atomi in molekulami. Svetlobo sestavljajo majhni energijski paketi oziroma svetlobni kvanti, ki jih imenujemo fotoni. So brez električnega naboja, zato lahko prodrejo globoko v snov, pri čemer se razpršijo oziroma sipljejo. [8] 4.2 Rayleighovo sipanje Rayleighovo sipanje je pojav, poimenovan po angleškemu fiziku lordu Rayleighu. Teorijo je napisal leta 1871. Gre za elastično sipanje svetlobe ali drugega elektromagnetnega valovanja na delcih, ki so veliko manjši od valovne dolžine vpadnega valovanja. Približno razmerje, ki določa, za katero vrsto sipanja gre, je 2πr λ, kjer je r polmer delca in λ valovna dolžina vpadne svetlobe. Rayleighovo sipanje nastopi, ko je razmerje mnogo manjše od 1, kar pomeni, da je delec manjši od desetine valovne dolžine svetlobe. [9] Pojav opazimo večinoma v plinih, lahko pa tudi v trdnih in tekočih snoveh. Delec svetlobo najprej absorbira, nato pa nihajoče električno polje valovanja povzroči, da se delec vzbudi in začne nihati z enako frekvenco. Na ta način postane majhen sevajoči dipol z dipolnim momentom: [8] p(t) = αɛ 0 E 0 e iωt, (4.1) kjer je E = E 0 e iωt električno polje valovanja in α polarizabilnost delca. Vsak vzbujen delec v različnih smereh oddaja elektromagnetno valovanje, ki ga imenujemo sipana svetloba. Pojav lahko poenostavimo in interpretiramo kot elastično sipanje fotona na molekuli. 29

30 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI Gostota toka sipanih fotonov ali intenziteta sipane svetlobe na molekuli s polarizabilnostjo α na razdalji R je: [9] I = I 0 α 2 ( 2π λ ) 4 1 + cos 2 θ 2R 2, (4.2) kjer je λ valovna dolžina vpadne svetlobe in I 0 njena intenziteta. Iz enačbe razberemo, da je zveza med intenziteto sipane svetlobe in valovno dolžino vpadne svetlobe: I λ 4. To nam pove, da se svetloba krajših valovnih dolžin na delcih atmosfere siplje močneje kot svetloba daljših valovnih dolžin. Izračun pokaže, da je intenziteta modre sipane svetlobe desetkrat večja od intenzitete rdeče sipane svetlobe. Razpršena svetloba daje nebu svetlost in barvo. Svetloba krajših valovnih dolžin se siplje intenzivnejše, zato je nebo videti modro. V smeri sonca pa ostane svetloba daljših valovnih dolžin, zato je sonce videti rumeno oziroma oranžno. Ob sončnih vzhodih in zahodih pa je pot, ki jo opravijo fotoni v atmosferi, daljša, zato pride do večjega števila sipanj in se razprši tudi nekaj svetlobe daljših valovnih dolžin. V tem primeru pa vidimo sonce rdeče. 4.2.1 Sipalni presek in prosta pot Kam se je foton po odboju sipal, najbolje opiše sferni koordinatni sistem na sliki 4.1, z osjo z usmerjeno v smeri vpadne svetlobe. Vektor premika ima koordinate: r = r (r, θ, ϕ), kjer je r dolžina vektorja, θ polarni kot in ϕ azimutni kot. Polarni kot lahko zavzame vrednosti na intervalu [0, π], azimutni pa na [0, 2π]. Foton se po sipanju premakne za vektor: r = (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ). (4.3) Interakcijski geometrijski presek tarče, ki prestreže tok fotonov, imenujemo sipalni presek. To ni dejanska meritev fizikalnih lastnosti tarče. Definicija sipalnega preseka σ je: I 0 σ = IdS = IR 2 dω. (4.4) R je oddaljenost delca, na katerem se svetloba siplje, od opazovalca in tudi polmer sfere, po kateri integriramo. Diferencial prostorskega kota je: dω = sin θdθdϕ.

4.2. RAYLEIGHOVO SIPANJE 31 Slika 4.1: Opis sipanja s sfernim koordinatnim sistemom Določimo sedaj sipalni presek. I σ = R 2 dω = (4.5) I 0 I0 α 2 ( 2π λ = )4 (1+cos 2 θ) 2R 2 R 2 dω = (4.6) I 0 ( ) 2π 4 = α 2 1 2π π dϕ (1 + cos 2 θ) sin θdθ. (4.7) λ 2 Posebej izračunajmo integrala po kotih ϕ in θ. π 0 (1 + cos 2 θ) sin θdθ = = 0 2π 0 π 0 π 0 0 dϕ = 2π (4.8) (sin θ + cos 2 θ sin θ)dθ = (4.9) sin θdθ + π 0 cos 2 θ sin θdθ = 2 + 2 3 = 8 3 Vrednost zgornjih dveh integralov vstavimo v enačbo za sipalni presek (4.7) : (4.10) σ = α 2 ( 2π λ ) 4 1 2 2π 8 3 = 128π5 α 2 3λ 4. (4.11)

32 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI Slika 4.2: Sipalni presek Dober približek zgornjega izraza za sipalni presek je: [10] kjer je τ 0 4,4 10 16 cm 2 nm 4 za zrak. σ τ 0 λ 4, (4.12) Proste poti fotonov v snovi so kot pri nevtronih porazdeljene eksponentno. Zato jih vzorčimo kot: r i = a ln(ξ i ), (4.13) kjer je ξ i naključno število, enakomerno porazdeljeno po intervalu (0, 1]. Povprečna prosta pot a je povprečna pot med dvema interakcijama fotona z delci. Zamislimo si, da vsako molekulo zapremo v kvader s stranico a in presekom σ. Njegova prostornina je torej: V 1 = aσ. Vseh molekul je N, zato celotni prostor sestavlja N takšnih kvadrov. Velja: V 1 = aσ = V N = 1 n, (4.14) kjer smo z n označili številsko gostoto molekul zraka. Povprečno prosto pot a izrazimo iz zgornje zveze: a = 1 nσ. (4.15)

4.2. RAYLEIGHOVO SIPANJE 33 Izračunajmo številsko gostoto zraka pri temperaturi T = 273 K : n = ρ(t ) NA A = 1,2922 6,022 kg/m3 1026 /kmol = 2,687 10 25 /m 3. (4.16) 28,9644/kmol (4.17) V simulaciji bom prevzela, da ima atmosfera na vseh višinah enako temperaturo in tudi gostoto. Zanima me, kolikšno debelino ima v okviru te predpostavke. Zrak je plin, zato uporabimo splošno plinsko enačbo: Če v plinsko enačbo vstavimo zvezo za gostoto ρ = m V, dobimo: pv = m RT. (4.18) M p = ρ RT. (4.19) M Tlak v atmosferi lahko zapišemo kot: p = F S. Ker je F sila teže atmosfere debeline d, ki pritiska na površino S, jo izračunamo kot: F = mg = ρv g = ρdsg. (4.20) Izraz za silo vstavimo v definicijo tlaka in v plinsko enačbo (4.19). Dobimo izraz za debelino atmosfere v našem približku: d = RT gm. (4.21) Izračun debeline atmosfere pri povprečni temperaturi T = 273 K : d = RT gm = 8314 J/(K kmol) 273K 9,81 m/s 2 = 7988 m = 8 km. (4.22) 28,9644 kg/kmol (4.23) Preko dneva se spreminja višina sonca nad obzorjem in s tem tudi debelina atmosfere, ki je vmes. Njeno debelino lahko iz kosinusnega izreka izračunamo kot: kjer je kot α kot med potjo x in polmerom Zemlje. x = R 2 z cos 2 α + 2R z d + d 2 R z cos α, (4.24) Ob sončnem zahodu je kot α enak 90. Ker je cos 90 = 0, to debelino atmosfere izračunamo kot: d = 2R z d + d 2 = 2 6378000 m 7988 m + (7988 m) 2 = 32010 m = 320 km. (4.25)

34 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI Tabela 4.1: Izračuni sipalnega preseka in proste poti barva λ[nm] σ[10 27 cm 2 ] a[km] modra 470 9,016 41,278 zelena 550 4,808 77,405 rdeča 610 3,178 117,111 Iz tabele razberemo, da se z večanjem valovne dolžine sipalni presek manjša, povprečna prosta pot pa povečuje. V primerjavi z debelino atmosfere so povprečne poti mnogo večje, kar pomeni, da gre večina fotonov direktno skozi in se sploh ne siplje. Njihov delež lahko izračunamo tako, da namesto poti vstavimo debelino atmosfere in izračunamo vrednost spremenljivke ξ: x = a ln ξ 0, (4.26) ξ 0 = e x a. (4.27) Če želimo v simulacijo vključiti le tiste fotone, ki se vsaj enkrat sipljejo, pri vzorčenju prve poti število ξ žrebamo na intervalu [ξ 0, 1]. Tabela 4.2: Prilagajanje intervala žrebanja prve opravljene poti za d = 8 km, d = 240 km in d = 320 km barva λ[nm] ξ 0 ξ 0 ξ 0 modra 470 0,824 0,559 0,0004 zelena 550 0,902 0,733 0,016 rdeča 610 0,934 0,815 0,065 Število ξ 0 nam torej pove, kolikšen delež fotonov gre nemoteno skozi atmosfero. Delež se s krajšanjem valovne dolžine pomanjšuje. Iz tabele vidimo, da so ti deleži kar precejšnji ter da se s povečevanjem debeline atmosfere zmanjšujejo. Tretja debelina atmosfere d ustreza debelini atmosfere pri sončnemu zahodu. Opazimo, da se delež fotonov, ki grejo direktno skozi atmosfero, s krajšanjem valovne dolžine približuje številu 0. To pomeni, da se skoraj vsa svetloba siplje. Poglejmo si splošno odvisnost deleža ξ 0 od valovne dolžine pri konstantni debelini d in odvisnost deleža ξ 0 od poljubne debeline atmosfere x pri določeni valovni dolžini svetlobe. V enačbo (4.27) vstavimo zvezi (4.15) in (4.12) in dobimo: ξ 0 (λ) = e x a = exp ( τ 0nx λ 4 ). (4.28) V enačbo (4.27) vstavimo zvezo (4.24) in dobimo: ( ) ξ 0 (x) = e x R 2 a = exp z cos 2 α + 2R z d + d 2 R z cos α. (4.29) a

4.2. RAYLEIGHOVO SIPANJE 35 Slika 4.3: Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od valovne dolžine pri d = 8 km. Slika 4.4: Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od valovne dolžine pri d = 24 km.

36 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI Slika 4.5: Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od valovne dolžine pri d = 320 km. Slika 4.6: Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od kota α Rdeča krivulja predstavlja rdečo svetlobo z valovno dolžino 610 nm, zelena zeleno svetlobo z valovno dolžino 550 nm in modra modro svetlobo z valovno dolžino 470 nm.

4.2. RAYLEIGHOVO SIPANJE 37 Slika 4.7: Graf deleža direktne svetlobe v odvisnosti od kota α v razmerju z deležem direktne rdeče svetlobe Iz grafov na slikah 4.6 in 4.7 razberemo, da je delež direktne rdeče svetlobe pri vseh kotih α, torej pri vseh debelinah atmosfere, večji od deležev direktne zelene in modre svetlobe. Seštevanje barv v modelu RGB nam da različne barve. Ob sončnem zahodu, ko gre kot α proti 90, se deleža modre in zelene direktne svetlobe zmanjšujeta glede na rdečo, kar pomeni, da sonce postaja vedno bolj rdeče barve. 4.2.2 Kotna porazdelitvena funkcija Sipanje opisuje kotna porazdelitvena funkcija, ki nam pove verjetnost, da se bo foton sipal v smeri sipalnega kota θ glede na prvotno smer. Gostota porazdelitve po sipalnem kotu pri Rayleighovemu sipanju je: [10] f(θ) = 2 3π (1 + cos2 θ). (4.30) Vpeljali bomo novo spremenljivko u = cos(θ); u [ 1, 1]. Gostota porazdelitve po spremenljivki u ima obliko: f(u) = A(1 + u 2 ), (4.31) kjer je A normalizacijska konstanta, ki jo določimo preko normalizacijskega pogoja.

38 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI 1 Dobimo porazdelitev s predpisom: 1 ki zavzame vrednosti na intervalu [ 3 8, 3 4 ]. 1 1 f(z)du = 1 A(1 + u 2 )du = 1 8 3 A = 1 A = 3 8 f(u) = 3 8 (1 + u2 ), (4.32) Te porazdelitve ne moremo enostavno obrniti kot v prejšnjih primerih, zato uporabimo metodo zavrnitve, ki je opisana v podpoglavju Vzorčenje 2.3.3: 1. Za primerjalno funkcijo g(u) bomo vzeli kar konstantno funkcijo, ki ima vrednost največje vrednosti gostote porazdelitve f(u). Določimo: g(u) = 3 4. (4.33) 2. Izžrebamo naključno vrednost u i iz intervala [ 1, 1]. 3. Izžrebamo naključno vrednost v i iz intervala [0, 3 4 ]. Dobili smo naključno točko v ravnini s koordinatami (u i, v i ). 4. Če velja: v i f(v i ), potem vrednost u i sprejmemo in naprej izvajamo sipanje fotona. V nasprotnem primeru vrednost u i zavrnemo in postopek žrebanja ponovimo, dokler ne dobimo ustrezne vrednosti.

4.2. RAYLEIGHOVO SIPANJE 39 Slika 4.8: Primer metode zavrnitve, kjer točko T 1 zavrnemo, T 2 pa sprejmemo 4.2.3 Transformacija vektorja premika v prvotni koordinatni sistem Vzeli bomo takšen koordinatni sistem, ki ima os z usmerjeno v smeri sipanja. Njegovo os x pa izberemo tako, da je ϕ 1 = 0, kar pomeni, da se foton po prvem sipanju giblje v ravnini x, z. Po prvem sipanju se foton premakne za vektor: kjer je r 1 izžrebana dolžina poti. r1 = (r 1 sin θ 1, 0, r 1 cos θ 1 ), (4.34) V primeru, da je foton še vedno v atmosferi, se siplje še enkrat. Toda foton se sedaj premakne glede na nov koordinatni sistem, ki ima os z usmerjeno v smeri sipanja. V tem sistemu se premakne za vektor: r2 = (r 2 cos ϕ 2 sin θ 2, r 2 sin ϕ 2 sin θ 2, r 2 cos θ 2 ). (4.35) Nas zanimata kot in premik glede na prvotni koordinatni sistem, pri katerem je os z usmerjena v smeri vpadnega curka fotonov. Vektor r 2 moramo zato zavrteti okoli osi y za sipalni kot prvega sipanja θ 1. Uporabimo rotacijsko matriko: cos θ 1 0 sin θ 1 R y (θ 1 ) = 0 1 0. (4.36) sin θ 1 0 cos θ 1

40 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI Iskani zavrteni vektor dobimo kot produkt rotacijske matrike in vektorja. r2 = R y (θ 1 ) cos θ 1 0 sin θ 1 r 2 cos ϕ 2 sin θ 2 cos ϕ 2 sin θ 2 cos θ 1 + cos θ 2 sin θ 1 r 2 = 0 1 0 r 2 sin ϕ 2 sin θ 2 = r 2 sin ϕ 2 sin θ 2 sin θ 1 0 cos θ 1 r 2 cos θ 2 cos ϕ 2 sin θ 2 sin θ 1 + cos θ 2 cos θ 1 Izračunajmo še sipalni kot θ, ki je kot med vektorjem r 2 in osjo z. cos θ = z r 2 r 2 = r 2( cos ϕ 2 sin θ 2 sin θ 1 + cos θ 2 cos θ 1 ) r 2 = cos θ 2 cos θ 1 cos ϕ 2 sin θ 2 sin θ 1 (4.37) Sipalni kot θ torej izračunamo kot: θ = arccos (cos θ 2 cos θ 1 cos ϕ 2 sin θ 2 sin θ 1 ). (4.38) Poglejmo si, kaj dobimo za vrednosti sipalnega kota in koordinat zavrtenega vektorja v dveh posebnih primerih, ko je ϕ 2 enak 0 in π. r2 ϕ2 =0 = r 2 cos 0 sin θ 2 cos θ 1 + cos θ 2 sin θ 1 sin 0 sin θ 2 cos 0 sin θ 2 sin θ 1 + cos θ 2 cos θ 1 = r 2 sin θ 2 cos θ 1 + cos θ 2 sin θ 1 0 sin θ 2 sin θ 1 + cos θ 2 cos θ 1 V tem primeru smo dobili za sipalni kot θ vsoto sipalnih kotov: θ = θ 1 + θ 2. = r 2 sin(θ 1 + θ 2 ) 0 cos(θ 1 + θ 2 ) cos π sin θ 2 cos θ 1 + cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 cos θ 1 + cos θ 2 sin θ 1 sin(θ 1 θ 2 ) r2 ϕ2 =π = r 2 sin π sin θ 2 = r 2 0 = r 2 0 cos π sin θ 2 sin θ 1 + cos θ 2 cos θ 1 sin θ 2 sin θ 1 + cos θ 2 cos θ 1 cos(θ 1 θ 2 ) Sipalni kot θ ima v tem primeru vrednost razlike sipalnih kotov: θ = θ 1 θ 2.

4.3. RAČUNALNIŠKA SIMULACIJA 41 4.3 Računalniška simulacija Težko je napovedati obnašanje enega samega fotona v snovi. Za simuliranje pojava zato vzamemo paket N-tih fotonov, ki ubogajo statistične lastnosti tega pojava. V ta namen v simulaciji uporabimo metodo Monte Carlo. Postopek sipanja fotona: 1. Foton opravi prvi premik r 0 v atmosferi. Po zvezi (4.13) izžrebamo dolžino poti. Interval, po katerem so enakomerno porazdeljene naključne spremenljivke ξ, prilagodimo na [e d a, 1]. Kamor se foton premakne, postavimo koordinatno izhodišče. 2. Foton se prvič siplje. Žrebamo pot r 1 in kot θ 1, ki ga vzorčimo po metodi zavrnitve, podrobno opisani v podpoglavju Kotna porazdelitvena funkcija 4.2.2. Foton se premakne v točko: (r 1 sin θ 1, 0, r 1 cos θ 1 ). 3. Prvemu premiku r 0 dodamo nov premik v smeri osi z: r 1 cos θ 1. 4. V primeru, da je foton še vedno v atmosferi, se zopet siplje. Po enakih postopkih kot prej izžrebamo kot θ 2 in premik r 2. Nato izžrebamo še azimutni kot ϕ 2, ki je enakomerno porazdeljen po intervalu [0, 2π], zato ga vzorčimo kot: kjer je ξ k naključna spremenljivka iz intervala [0, 1]. ϕ k = 2πξ k, (4.39) 5. Vektor premika r 2 transformiramo v prvotni koordinatni sistem. Po enačbi (4.38) izračunamo kot θ 2. 6. Premiku v smeri osi z prištejemo nov premik: r 2 cos θ. 7. Foton se siplje, dokler ne pride ven iz atmosfere. Pri vsakem sipanju izžrebamo naključne spremenljivke: r n, θ n in ϕ n. Rekurzivna zveza, ki opisuje ključen korak pri transformaciji v prvotni koordinatni sistem, je: cos θ n = cos θ n cos θ n 1 cos ϕ n sin θ n sin θ n 1. (4.40) 8. V primeru, da foton pride iz atmosfere, zabeležimo njegov zadnji sipalni kot θ. To je kot, pod katerim pride do Zemlje ali pa se odbije nazaj v vesolje. Velikost teh dveh skupin fotonov določimo s sprotnim štetjem. Če nas zanimajo posamezna sipanja, pa vključimo še posebne števce. Sama sem v simulaciji ustvarila dvodimezionalno tabelo s spremenljivkama: sipalni kot in zaporedno število sipanja.

42 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI 4.3.1 Rezultati računalniške simulacije 4.3.2 Odbojnost in prodornost Nekateri fotoni so prišli skozi atmosfero do Zemljinega površja, ostali pa so se odbili nazaj v vesolje. Moč teh dveh skupin fotonov je računalniška simulacija preštela, jaz pa sem izračunala odbojnost in prodornost glede na število vseh fotonov, ki so bili vključeni. Upoštevala sem tudi tiste, ki so šli direktno skozi atmosfero. Velja: N vseh = 10 9 /(1 ξ 0 ), (4.41) kjer je ξ 0 delež fotonov, ki so šli nemoteno skozi atmosfero, in ga izračunamo po enačbi (4.27). Tabela 4.3: Odbojnost in prodornost fotonov pri debelinah d = 8 km in d = 24 km barva λ[nm] ξ 0 prodornost odbojnost ξ 0 prodornost odbojnost modra 470 0,824 0,911 0,089 0,559 0,772 0,228 zelena 550 0,902 0,951 0,049 0,733 0,865 0,135 rdeča 610 0,934 0,967 0,033 0,815 0,907 0,093 Rezultati pokažejo, da se z daljšanjem valovne dolžine prodornost povečuje. To smo ugotovili že pri prilagajanju intervala žrebanja prve proste poti v tabeli 4.2. Z večanjem debeline atmosfere pa se odbojnost povečuje, torej se več fotonov siplje nazaj v vesolje. 4.3.3 Število sipanj Zanimalo me je, kolikokrat se fotoni določene valovne dolžine sipljejo. Za obe debelini atmosfere sem narisala porazdelitev fotonov po številu sipanj. V računalniško simulacijo sem vključila 10 9 sipanih fotonov. Modra barva stolpca predstavlja število fotonov z modro valovno dolžino, zelena barva predstavlja fotone z zeleno valovno dolžino in rdeča barva fotone z rdečo valovno dolžino. Poglejmo si grafa na slikah 4.9 in 4.10. Pri manjši debelini se fotoni sipljejo manjkrat. Zanimivo je, da so ta števila sipanj zelo majhna. Opazimo tudi, da se s krajšanjem valovne dolžine število sipanj povečuje. S podaljšanjem debeline atmosfere pa se pri vseh valovnih dolžinah poveča tudi maksimalno število sipanj. Fotoni so v tem primeru dalj časa ujeti v atmosferi. Pri fotonih modre svetlobe je bilo to število večje od 25.

4.3. RAČUNALNIŠKA SIMULACIJA 43 Slika 4.9: Graf porazdelitve fotonov po številu sipanj pri debelini atmosfere 8 km Slika 4.10: Graf porazdelitve fotonov po številu sipanj pri debelini atmosfere 24 km

44 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI Opazimo, da imajo porazdelitve fotonov na slikah 4.9 in 4.10 obliko linearne funkcije. Označimo število sipanj z L. Na os y sem nanašala logaritemsko skalo števila fotonov, zato ima linearna funkcija predpis: ln L = kn + ln L 0, (4.42) L = L 0 e kn. (4.43) Konstanta k je odvisna od valovne dolžine svetlobe in od debeline atmosfere. 4.3.4 Porazdelitve fotonov po kotu v določeni smeri Narisala sem tudi porazdelitve fotonov po kotu, pod katerim zapustijo atmosfero. Porazdelitev je bila normirana glede na število vseh fotonov, tudi tistih, ki so šli nemoteno skozi atmosfero. Kot odvisno spremenljivko sem izbrala normirano porazdelitev v določeni smeri. Delež fotonov, ki se siplje pod kotom θ, sem delila še s sin(θ), zato da smo dobili porazdelitev po prostorskem kotu. VSA SIPANJA Slika 4.11: Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu pri debelini atmosfere 8 km

4.3. RAČUNALNIŠKA SIMULACIJA 45 Slika 4.12: Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu pri debelini atmosfere 24 km Opazimo, da se pri kotu 90 delež vseh barv zmanjša, toda velja, da so vse zastopane enako. V primeru, ko je sonce v zenitu, je pri 90 obzorje. Seštevanje barv po modelu RGB nam da ob enakem deležu vsake izmed treh osnovnih barv belo barvo. Tako lahko pojasnimo, zakaj je obzorje zelo blede barve. Bolj ko se pomikamo po nebu stran od obzorja, več je deleža fotonov modre svetlobe, kar pomeni, da nebo postaja modrejše. Z razmerjem deležev posamezne barve se spreminja odtenek modre barve. Opazila sem tudi, da so porazdelitve zelo simetrične glede na kot 90. S povečevanjem debeline pa postanejo vedno bolj nesimetrične, saj se svetloba bolj intenzivno siplje nazaj, stran od Zemlje. (a) d=8 km (b) d =24 km Slika 4.13: Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - prvo sipanje

46 POGLAVJE 4. SIPANJE SVETLOBE V ATMOSFERI (a) d=8 km (b) d =24 km Slika 4.14: Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - drugo sipanje (a) d=8 km (b) d =24 km Slika 4.15: Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - tretje sipanje (a) d=8 km (b) d =24 km Slika 4.16: Graf porazdelitve fotonov po sipalnem kotu v določeni smeri - četrto sipanje

Poglavje 5 Zaključek V diplomskem delu sem predstavila računalniško simuliranje z metodo Monte Carlo. Preko preprostejših primerov sem metodo spoznavala in se učila programirati. Preden sem prvič analizirala rezultate simulacij, sem bila zelo skeptična, da lahko z uporabo naključnih števil pridemo do realističnih rezultatov. Sedaj sem prepričana, da je metoda zelo močno in uporabno orodje. Najbolj pa so me presenetili rezultati simulacije sipanja fotonov v atmosferi. Z izračuni in grafi sem pojasnila, zakaj je nebo modro in tudi zakaj je sonce ob zahodu rdeče. Z uporabo meritev simulacije sem narisala tudi sliko neba in sonca, pri čemer sem njune barve dobila s seštevanjem po modelu RGB. Narisala sem sliko zahajajočega sonca, pri kateri sem uporabila izračune deležev direktne svetlobe. Sonce pri zahajanju postaja rdeče barve. V resnici sonce pri zahajanju ni tako temne rdeče barve. K izračunom sem vključila le svetlobo, ki pride direktno iz smeri sonca, nisem pa vključila deleže fotonov, ki se sipljejo v tej smeri. V tem primeru bi najbrž dobili bolj oranžno barvo, kar bi se skladalo z realnostjo. 47

48 POGLAVJE 5. ZAKLJUČEK Barve na sliki modrega neba sem določila preko deležev sipanih fotonov z določeno valovno dolžino. Poleg slike modrega neba je fotografija posneta nad puščavo. Nad sivo zemljo je tudi na moji sliki belo obzorje, nato pa modri odtenki počasi temnijo. Opazimo, da se odtenki prelivajo podobno kot na fotografiji. (a) Slika modrega neba (b) Fotografija modrega neba Slika 5.1: Modro nebo