تحلیل و طراحی سیستم های کنترل چندمتغیره در حوزه فضای حالت

Size: px

Start display at page:

Download "تحلیل و طراحی سیستم های کنترل چندمتغیره در حوزه فضای حالت"

Eleanor Taylor
6 years ago
Views:

باسمه تعالی سیستم های کنترل چند متغیره Lecture 4 تحلیل و طراحی سیستم های کنترل چندمتغیره در حوزه فضای حالت مقدمه اهمیت استفاده از تحلیل و طراحی سیستم ها در فضای حالت دست یاقتن

1 باسمه تعالی سیستم های کنترل چند متغیره Lecture 4 تحلیل و طراحی سیستم های کنترل چندمتغیره در حوزه فضای حالت مقدمه اهمیت استفاده از تحلیل و طراحی سیستم ها در فضای حالت دست یاقتن به توصیف دینامیک داخلی سیستم امکان در نظر گرفتن شرایط اولیه بدون لزوم به در نظر گرفتن ورودی های اضافی سادگی تعمیم ایده ها از سیستم های تک ورودی-تک خروحی به سیستم های چندمتغیره 2 1

2 x ( t) Ax ( t) Bu ( t) n1 n1 m1 y ( t) Cx( t) Du( t) l1 کنترل پذیری و رویت پذیری کنترل پذیری تعریف شرایط کنترل پذیری حالت n 1 C B AB A B si A B : full rank 1- کامل بودن رتبه ماتریس کنترل پذیری -2 آزمون PBH 3 T A T A wc e BB e d : Positive Definite 0 T T AwC wca BB کنترل پذیری و رویت پذیری کنترل پذیری 3- کامل بودن رتبه ماتریس گرامیان کنترل پذیری - در حالت پیوسته در زمان wc A BB A k0 k T T T T AwCA wc BB k : Positive Definite - در حالت گسسته در زمان * ماتریس گرامیان کنترل پذیری قابل محاسبه برای سیستم های پایدار می باشند. 4 2

3 کنترل پذیری و رویت پذیری اندیس کنترل پذیری در سیستم های چندمتغیره می توان از ماتریس کوچکتری به جای ماتریس کنترل پذیری استفاده نمود. nm B b b b 1 2 m n1 n1 c b1 bm Ab1 Abm A b1 A b m 1- بررسی بردارهای ماتریس کنترل پذیری از چپ به راست و جدا کردن بردارهای مستقل خطی )حداکثر n بردار( 2- مرتب کردن بردارهای مستقل خطی به صورت زیر i 2,, m 5 کنترل پذیری و رویت پذیری i : Controllability indices Controllability INDEX max, i1, 2,, m : c i i اندیس کنترل پذیری m i1 =n i 4- شرط کنترل پذیری: 6 3

4 کنترل پذیری و رویت پذیری مثال کنترل پذیری و رویت پذیری مثال

5 کنترل پذیری و رویت پذیری ماتریس کنترل پذیری جزئی در سیستم های کنترل پذیر می توان از ماتریس کنترل پذیر جزئی به صورت زیر استفاده نمود. q1 Cq, B AB A B, 1 q n ** q همان اندیس کنترل پذیری است. 9 x ( t) Ax ( t) Bu ( t) n1 n1 m1 y ( t) Cx( t) Du( t) l1 کنترل پذیری و رویت پذیری رؤیت پذیری تعریف شرایط رؤیت پذیری حالت 1- کامل بودن رتبه ماتریس رؤیت پذیری n 1 T T T T T O C A C A C si A : full rank C -2 آزمون PBH 10 5

6 کنترل پذیری و رویت پذیری رؤیت پذیری 3- کامل بودن رتبه ماتریس گرامیان رؤیت پذیری T A T A - در حالت پیوسته در زمان wo e C Ce d : Positive Definite 0 T T A wo woa C C k0 T k T k wo A C CA T T A woa wo C C : Positive Definite - در حالت گسسته در زمان * ماتریس گرامیان رؤیت پذیری قابل محاسبه برای سیستم های پایدار می باشند. 11 کنترل پذیری و رویت پذیری اندیس رؤیت پذیری در سیستم های چندمتغیره می توان از ماتریس کوچکتری به جای ماتریس رؤیت پذیری استفاده نمود. T T T T C ln c1 c2 c l T T T T T T T n 1 1 T T 1 1 n1 O c cl A c A cl A c A c l 1- بررسی بردارهای ماتریس رؤیت پذیری از چپ به راست و جدا کردن بردارهای مستقل خطی )حداکثر n بردار( T T T T 1 1 T c A c A c 2- مرتب کردن بردارهای مستقل خطی به صورت زیر T T T i 1 T i i i c c A c i 2,, l 12 6

7 کنترل پذیری و رویت پذیری i : Observability indices Observability INDEX max, i1, 2,, l : o i i اندیس رؤیت پذیری l i1 =n i 4- شرط رؤیت پذیری: 13 کنترل پذیری و رویت پذیری ماتریس رؤیت پذیری جزئی در سیستم های رؤیت پذیر می توان از ماتریس رؤیت پذیر جزئی به صورت زیر استفاده نمود. q 1 T T T T T Oq, C A C A C, 1 q n ** q همان اندیس رؤیت پذیری است. 14 7

8 1 1 0 x( t) x( t) y( t) x( t) کنترل پذیری و رویت پذیری مثال O O ** سیستم رؤیت ناپذیر است. 15 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم کنترل پذیری P( s) Q(s) P( s) ( s) ( s) R W G R P Q W 1 ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) P( s) L( s) P ( s) Q(s) Ls ( ) Q (s) 1 1 ()Q باشد. s و P() اگر () Ls بزرگترین عامل مشترک s G( s) R( s) P () s Q ( s) W( s)

9 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم ) Ls ( ) : unimodular از طرف چپ نسبت به هم اول باشند) ()Q s و P() نتیجه: اگر s آنگاه مرتبه سیستم کاهش پیدا نخواهد کرد و یا به عبارت دیگر حذف قطب و صفری صورت نخواهد پذیرفت )سیستم کنترل پذیر(. ()Q از طرف چپ نسبت به هم اول نباشند آنگاه مرتبه s و P() اگر s سیستم کاهش پیدا خواهد کرد و یا به عبارت دیگر حذف قطب و صفری صورت خواهد پذیرفت )سیستم کنترل ناپذیر(. در این حالت: Ls ( ) 0 input decoupling zeros (i.d.z.) * توجه: صفرهای دکوپله ورودی در تشکیل تابع تبدیل حذف می گردند. 17 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم رؤیت پذیری P( s) Q(s) P( s) ( s) ( s) R W G R P Q W 1 ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) P( s) P () s D( s) 1 R(s) R (s) D( s) 1 اگر () Ds بزرگترین عامل مشترک راستs ()P وs ()R باشد. G( s) R ( s) P ( s) Q ( s) W( s)

10 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم ) Ds ( ) : unimodular از طرف راست نسبت به هم اول باشند) ()R s و P() نتیجه: اگر s آنگاه مرتبه سیستم کاهش پیدا نخواهد کرد و یا به عبارت دیگر حذف قطب و صفری صورت نخواهد پذیرفت )سیستم رؤیت پذیر(. ()R از طرف راست نسبت به هم اول نباشند آنگاه مرتبه s و P() اگر s سیستم کاهش پیدا خواهد کرد و یا به عبارت دیگر حذف قطب و صفری صورت خواهد پذیرفت )سیستم رؤیت ناپذیر(. در این حالت: Ds ( ) 0 output decoupling zeros (o.d.z.) * توجه: صفرهای دکوپله خروجی نیز مشابه o.d.zها در تشکیل تابع تبدیل حذف می گردند. 19 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم i i : i. d. z : o. d. z صفرهای دکوپله ورودی-خروجی i i. o. d. z. : : o. d. z after removing all the i. d. z i i i 20 10

11 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم روش دیگر محاسبه صفرهای دکوپله: صفرهای دکوپله ورودی مقادیری از s هستند که در آنها ماتریس های زیر دچار نقص رتبه می شوند: si A B P( s) Q( s) : i. d. z i P( s) Q( s) rank P( ) Q( ) n P Q ( s) ( s) S. M.: S( s) 0 S( ) i 0 i i 21 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم روش دیگر محاسبه صفرهای دکوپله: صفرهای دکوپله خروجی مقادیری از s هستند که در آنها ماتریس های زیر دچار نقص رتبه می شوند: T T si A C P T T ( s) R ( s) i : o. d. z i i T T T T P ( s) R ( s) rank P ( ) R( ) n T T P ( s) R ( s) S. M.: S( ) s 0 ( S) i

12 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم مثال 4-4 s P( s) s( s 1) s i. d. z : کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم s( s 1) 0 s P( s) 0 s( s 2) s s 0 s1 0 P() s 0 s 0 s 2 i. d. z : i 0,0 s 0 1 o. d. z : 0 Q() s i 0 s 1 i. d. z removing: ( s 1) 0 1 ( s) 0 ( s 2) مثال 5-4 P 0 i i 24 12

13 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم s( s 1) 0 s P( s) 0 s( s 2) 1 1 s 0 s 0 s1 0 P() s ادامه مثال 5-4: در صورتیکه سیستم به صورت زیر باشد ss ( 2) i. d. z : i 0 s 0 1 o. d. z : 0 Q() s i i. d. z removing: ( s 1) 0 1 ( s) 0 s( s 2) 1 1 s 0 P 0 i i 25 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم مثال 6-4: 26 13

14 توجه: کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم از اشتراک و/یا اجتماع i و i نمی توان در خصوص صفرهای دکوپله ورودی- خروجی نظر داد! P( s) 0 با تعریف به صورت قطب های سیستم حاصل از i i i i i, i, i i i i, i i i i i قطب های ماتریس تابع تبدیل متناظر است. i 27 صفرهای تغییر ناپذیر Invariant factors can be computed by employing the Smith form of Ss (). r Invariant zeros are roots of () s iz i1 i 28 14

15 صفرهای تغییر ناپذیر P( ) z 0 if m p P T ( ) z 0 if m p where, P( s) is Rosenbrock system matrix m : number of output variables p : number of input variables 29 صفرهای تغییر ناپذیر References: M. C. Turner, D. Bates, Mathematical Methods for Robust and Nonlinear Control: EPSRC Summer School, Springer, P. J. Antsaklis, A. N. Michel, A Linear Systems Primer, Birkhauser, R. Berber Methods of Model Based Process Control, Kluwer Academic Publisher, P. Colaneri, J. C. Geromel, A. Locatelli Control Theory and Design: An RH2 and RH Viewpoint, Academic Press,

16 s s 4 s s1 s2 1 0 Ps () s صفرهای تغییر ناپذیر مثال 1: 1 1 s3 s3 Gs () 1 2s 5 ( s 3)( s 2) ( s 3)( s 2) 1 ( s 2) ( s 2) Gs () ( s3)( s2) 1 2s 5 T. Zeros : i. d. z : 4 o. d. z : 1 2 det( P( s)) 0 s 3s 4 0 Inv. Zeros: 4,1 1 0 M() s ( s3)( s2) صفرهای تغییر ناپذیر s s s 3 1 Ps () s 3 Gs () ( s1)( s3) 3s 7 مثال 2: 1 1 M() s ( s1)( s3) 0 T. Zeros : i. d. z : 1 o. d. z : Inv. Zeros : 32 16

17 صفرهای تغییر ناپذیر s s Ps () 0 0 s Gs () s 2 0 مثال 3: T. Zeros : i. d. z : 5 o. d. z : 3 Inv. Zeros : 5 33 صفرهای تغییر ناپذیر 34 17

کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم مثال 7-4: 1 Gs () s 2 35 کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی تعریف کنترل پذیری خروجی سیستمی با مدل فضای حالت زیر را کنترل پذیر خروجی گویند اگر

18 کنترل پذیری و رویت پذیری در توصیف ماتریس سیستم مثال 7-4: 1 Gs () s 2 35 کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی تعریف کنترل پذیری خروجی سیستمی با مدل فضای حالت زیر را کنترل پذیر خروجی گویند اگر بتوان یک بردار ورودی ()u را چنان یافت که هر بردار اولیه خروجی )y t را به هر بردار خروجی نهایی غیرمقید t 0) )y در زمان محدود انتقال دهد. T) شرط کنترل پذیری خروجی: n1 op CB CAB CA B D : full rank 36 18

19 کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی تعریف کنترل پذیری تابعی به منظور طرح مساله ردیابی ورودی مرجع در حوزه ماتریس های تابع تبدیل: سیستم را کنترل پذیر تابعی گویند اگر شرط کنترل پذیری خروجی برآورده گردد: به منظور ردیابی ورودی مرجع: l m rank G() s l G () lm s 37 کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی مثال 8-4 * توجه! 38 19

20 کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی 39 کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی 40 20

21 کنترل پذیری خروجی و کنترل پذیری تابعی 41 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره تحقق می نیمال: تحقق (D (,A,B,C از ماتریس تابع تبدیل () Gs را می نیمال گویند اگر ابعاد ماتریس A برای توصیف سیستم حداقل باشد. 42 توجه: تحقق های می نیمال یک سیستم منحصر به فرد نیستند. توجه: یک تحقق می نیمال است اگر و فقط اگر کامال کنترل پذیر حالت و رؤیت پذیر حالت باشد. تحقق های کانونیکال در سیستم های SISO تحقق کانونیکال کنترل پذیری تحقق کانونیکال رؤیت پذیری تحقق کانونیکال کنترل کننده تحقق کانونیکال رؤیتگر تحقق قطری گیلبرت یا نرمال 21

22 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره تحقق می نیمال: تحقق (D (,A,B,C از ماتریس تابع تبدیل () Gs را می نیمال گویند اگر ابعاد ماتریس A برای توصیف سیستم حداقل باشد. توجه: تحقق های می نیمال یک سیستم منحصر به فرد نیستند. توجه: یک تحقق می نیمال است اگر و فقط اگر کامال کنترل پذیر حالت و رؤیت پذیر حالت باشد. تحقق های کانونیکال در سیستم های SISO تحقق کانونیکال کنترل پذیری تحقق کانونیکال رؤیت پذیری تحقق کانونیکال کنترل کننده تحقق کانونیکال رؤیتگر تحقق قطری گیلبرت یا نرمال 43 تحقق سیستم های چند ورودی-چند خروجی n1 () s a () s 1 b1 () s n2 () s 1 b2 () s a2 () s Gs () as () bm () s nm () s a m () s n1 i () in1 i1 i0 b s b s b s b n تحقق سیستم های : SIMO n1 n1 1 0 a() s s a s a s a تحقق به صورت کانونیکال کنترل کننده: x( t) 0 x( t) u( t) a0 a1 a2 a n 1 1 b10 b11 b1 n1 b20 b21 b 2n1 y( t) x( t) Modern Control 44 bm0 bm0 bmn 1 22

23 مثال Modern Control 45 تحقق سیستم های چند ورودی-چند خروجی n1 () s nm () s 1 G( s) b1 ( s) bm ( s) a1 ( s) am ( s) a( s) تحقق سیستم های : MISO n1 i () in1 i1 i0 b s b s b s b n n1 n1 1 0 a() s s a s a s a تحقق به صورت کانونیکال رؤیتگر: a0 b10 b20 bm a 1 b11 b21 b m1 x( t) 1 x( t) u( t) an2 b1 n1 b2 n1 b mn1 0 1 a n1 y( t) x( t) 46 Modern Control 23

24 مثال Modern Control 47 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره تحقق های غیر می نیمال سیستم های MIMO 48 24

25 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره 49 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره 50 25

26 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره مثال نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره ادامه مثال

27 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره تحقق گیلبرت یا تحقق نرمال منجر به یک تحقق قطری و یا شبه قطری خواهد گشت. حالت اول: ماتریس تابع تبدیل با قطب های غیرتکراری حقیقی 1 G( s) Cn( si ) Bn D Gs () نمایش قطری از ماتریس تابع تبدیل (, B, C, D) لذا این رابطه را می توان به صورت زیر بازنویسی نمود: n n n n T Gk cnkbnk G( s) Cndiag,,...,, Bn D D D s 1 s 2 s n k1 s k k1 s k 53 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره تحقق گیلبرت یا تحقق نرمال D lim G( s) s G lim s G( s) k sk k C و B به صورت دلخواه انتخاب خواهند گشت و لذا تحقق گیلبرت بدیهی است که مقادیر n n منحصر به فرد نیست و ممکن است کنترل پذیر یا رؤیت پذیر نباشد A n T b n1 T bn 2 B T b nk C c c c n1 n2 nk 54 27

28 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره مثال D lim G( s) s نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره ادامه مثال

29 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره تحقق گیلبرت یا تحقق نرمال حالت دوم: ماتریس تابع تبدیل با قطب های تکراری حقیقی برای ساده شدن بحث فرض کنید ماتریس تابع تبدیل دارای 3 قطب حقیقی تکراری باشد لذا G () m m s M 3 1 M 2 2 M 3 s s s r1 linear Independent rows 1 1,..., l1 lr rank M r b b M1 r2 linear Independent rows rank r2 b b b b M 2 1 l1,..., lr, 1 l( r1 1),..., lr2 M1 r3 linear Independent rows rank M 2 r3 bl 1,..., blr, b,..., b, b,..., b M 3 1 l( r1 1 ) lr2 l( r21) lr3 57 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره r1 r2 r3 m بدیهی است که bl 1 b M c b c b c b c c c C B blr 1 T T 1 l l l l Cr M 1 1 B r B 1 r B 1 r1 l 2 l l 1 11 l1 12 l 2 1r1 lr r 1 r1 r1 l rank C r r 1 1 : all column vectors are independent 58 29

30 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره bl 1 بطور مشابه b l 2 r1 r2 r3 m M 2 c21 c22 c2r c b 1 1 1( r1 1) c1 r lr 2 bl 1 b l( r1 1) b l 2 b lr2 blr 1 b l( r1 1) M 3 c31 c32 c3r c 1 2( r1 1) c2r c 2 1( r2 1) c 1r3 blr2 b l( r2 1) b 59 lr3 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره r1 r2 r3 m می توان نشان داد که در تحقق متناظر: بلوک جردن وجود دارد. اولین r 1 بلوک جردن بعدی برابر تعدد قطب متناظر با M 1 است. دومین r 2 - r 1 بلوک جردن بعدی برابر تعدد قطب متناظر با سومین 3 r بلوک جردن بعدی برابر تعدد قطب متناظر با است. است. M 2 M 3 r 2 r توجه: این تحقق همواره کنترل پذیر است ولی لزوما رؤیت پذیر نیست

31 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره مثال نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره مثال

32 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره ادامه مثال نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره مثال

33 نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره ادامه مثال نظریه تحقق در سیستم های چندمتغیره ادامه مثال

34 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت کاهش مرتبه معادالت فضای حالت غیر می نیمال کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال کاهش مرتبه معادالت فضای حالت غیر می نیمال - تحقیق کانونیکال کنترل پذیری - می توان با استفاده از عملیات مناسب صفرهای دکوپله خروجی را شناسایی و حذف کرد

35 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت غیر می نیمال - تحقیق کانونیکال کنترل پذیری 69 عملیات )الف (: جابجایی دو ردیف )رسیدن به P( 1 و بالفاصله تعویض دو ستون هم شماره با سطرها در ماتریس P 1 )رسیدن به P(. 2 عملیات )ب(: جمع نمون مضربی از یک سطر با سطر دیگر )رسیدن به P( 1 و بالفاصله کم کردن مضربی از ستون هم شماره از ستون دیگر )رسیدن به P( کاهش مرتبه معادالت فضای حالت غیر می نیمال در خصوص مدل فضای حالت کلی si A B P() s C D استفاده از الگوریتم ارائه شده در کتاب )صفحه 164(. این الگوریتم اگرچه به دنبال حذف صفرهای دکوپله ورودی است ولیکن به سادگی و با استفاده از قضیه دوگانی برای سیستم های دارای صفرهای دکوپله خروجی نیز قابل استفاده است

36 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت غیر می نیمال مثال 16-4: * این تحقق کنترل ناپذیر ولیکن رویت پذیر است 71 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت غیر می نیمال مثال 16-4: - در نتیجه 72 36

37 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال سیستم کنترل پذیر و رؤیت پذیر زیر را در نظر بگیرید: x ( t) Ax ( t) Bu ( t) n1 n1 m1 y ( t) Cx( t) Du( t) l1 هدف: کاهش مرتبه معادالت باال از مرتبه n به مرتبه k گشته و خطای کاهش مرتبه حداقل باشد. بازنویسی معادالت حالت: در حالیکه مشخصات سیستم اصلی حفظ x ( t) A x ( t) A x ( t) B u( t) x ( t) A x ( t) A x ( t) B u( t) y ( t) C x ( t) C x ( t) Du( t) l کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال روش های مد نظر برای کاهش مرتبه 1- روش برش 2- روش مانده گذاری 74 37

38 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال روش برش )Truncation( در این روش بخش های مربوط به با برش حذف گشته و معادالت کاهش یافته عبارتند از: x1( t) A11 x1( t) A12 x2( t) B1u ( t) G( s) : x2( t) A21x 1( t) A22 x2( t) B2u( t) yl1( t) C1x1 ( t) C2x2( t) Du( t) G( s ) G ( s ) D r x1( t) A11 x1( t) B1u ( t) Gr ( s) : yl1( t) C1x1 ( t) Du( t) * لذا روش برش پاسخ فرکانس باالی سیستم را تغییر نمی دهد. 75 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال روش برش )Truncation( در این روش بخش های مربوط به با برش حذف گشته و معادالت کاهش یافته عبارتند از: x1( t) A11 x1( t) A12 x2( t) B1u ( t) G( s) : x2( t) A21x 1( t) A22 x2( t) B2u( t) yl1( t) C1x1 ( t) C2x2( t) Du( t) G( s ) G ( s ) D r x1( t) A11 x1( t) B1u ( t) Gr ( s) : yl1( t) C1x1 ( t) Du( t) * لذا روش برش پاسخ فرکانس باالی سیستم را تغییر نمی دهد

39 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال روش برش )Truncation( x 2 را متناظر با قطب های اگر نمایش فضای حالت به صورت قطری یا جردن باشد حالت های غیرغالب انتخاب می کنند. 77 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال روش برش )Truncation( در این حالت خطای مدل سازی را می توان به صورت زیر محاسبه نمود: * این نامساوی نشان می دهد که خطای کاهش مرتبه به روش برش فقط به محل قطب های غیر غالب وابسته نبوده بلکه مقدار مانده های در این قطب ها نیز وابسته است

40 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال مثال 17-4 )توربین گازی دو ورودی-دو خروجی و 12 متغیر حالت( کاهش به مرتبه 5 79 مثال 17-4 )توربین گازی دو ورودی-دو خروجی و 12 متغیر حالت( کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال مقادیر استثنایی سیستم خط توپر: سیستم اصلی خط چین: سیستم کاهش یافته 80 40

41 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال روش ماندگذاری )Residulization( به این روش آشفتگی های تکین Perturbation( )Singular نیز می گویند. x 2 متناظر با مدهای سریع )غیرغالب( سیستم بوده و در این حالت فرض بر این است که سریعا به حالت ماندگار می رسند لذا: x 2 0 x1( t) A11 x1( t) A12 x2( t) B1u ( t) G( s) : x2( t) 0 A21x 1( t) A22 x2( t) B2u( t) yl1( t) C1x1 ( t) C2x2( t) Du( t) با فرض ناویژه بودن ماتریس خواهیم داشت: A کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال روش ماندگذاری )Residulization( ماتریس تایع تبدیل سیستم کاهش یافته عبارت است از: Gr (0) G(0) G ( ) D C A B G( ) r و در نتیجه: در حالیکه: لذا این روش کاهش مرتبه خواص حالت ماندگار را حفظ کرده و خواص حالت گذرا را تغییر می دهد

42 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال مثال 18-4 )توربین گازی دو ورودی-دو خروجی و 12 متغیر حالت( 83 کاهش مرتبه معادالت فضای حالت می نیمال مثال 18-4 )توربین گازی دو ورودی-دو خروجی و 12 متغیر حالت( 84 42

43 انتخاب مرتبه مدل استفاده از تحقق باالنس شده تحققی را باالنس شده گویند که ماتریس های گرامیان کنترل پذیری و رویت پذیری آن قطری و برابر باشند. لذا در یک تحقق باالنس شده: و با مقایسه i ها مرتبه مدل مشخص می گردد: T T AwC wca BB T T A wo woa C C w w diag O C 1 2 n If k k 1 85 انتخاب مرتبه مدل استفاده از تحقق باالنس شده k می توان از هر یک از دو روش k 1 با انتخاب مرتبه k از رابطه برش و/یا مانده گذاری برای کاهش مرتبه استفاده نمود: برش باالنس شده مانده گذاری باالنس شده 86 43

44 انتخاب مرتبه مدل کاهش به مرتبه 3 خط توپر: سیستم اصلی خط چین: سیستم کاهش یافته روش برش باالنس شده نقطه چین: سیستم کاهش یافته به روش مانده گذاری باالنس شده 87 انتخاب مرتبه مدل خط توپر: سیستم اصلی خط چین: سیستم کاهش یافته روش برش باالنس شده نقطه چین: سیستم کاهش یافته به روش مانده گذاری باالنس شده 88 44

45 T At A t T T At At W ( e B)( e C ) dt e BCe dt co 0 0 یافتن تحقق باالنس شده ماتریس کراس گرامیان برای تحقق باالنس شده : W A AW BC co co (1) (2) ( n) cob cb ob H H H W W W diag([ ]) ماتریس تبدیل همانندی T که ماتریس کراس گرامیان را قطری کند مدل فضای حالت را به صورت زیر به یک نمایش باالنس شده تبدیل می کند. b 1 A T AT b 1 B T B C b CT 89 پروژه بخش کاهش مرتبه انتخاب یک سیستم مرتبه 3 به باال تحلیل وضعیت کنترل و رؤیت پذیری )تحقق می نیمال( اگر مود ناپایدار در سیستم وجود دارد بخش ناپایدار را از بخش پایدار جدا کنید. با استفاده از روشهای برش مانده گذاری برش باالنس شده و مانده گذاری باالنس شده مرتبه سیستم را کاهش دهد. تحلیل خود را از مرتبه سیستم کاهش یافته ارائه کنید. )مقایسه مقادیر ویژه و )HSV پاسخ های زمانی و فرکانسی را مقایسه کنید ( ار دیدگاه مقدار خطا(. مرتبه مدل کاهش یافته را به یک واحد کمتر از مرتبه انتخابی مجددا کاهش داده و نتایج را با مدل کاهش یافته اولیه مقایسه کنید. جمع بندی و تحلیل نهایی خود را ارائه کنید

46 دکوپله سازی سیستم های چندمتغیره با فیدبک حالت هدف: تبدیل سیستم به چند سیستم دکوپله با استفاده از فیدبک حالت سیستم m ورودی و m خروجی : xn1( t) Axn 1( t) Bum 1( t) Gs () ym1 ( t) Cx( t) Du( t) G که یک ماتریس گویا است با فرض داشتن شرط کنترل پذیری تابعی از () s 1 را می توان به عنوان پیش جبرانساز استفاده نمود. فرض محدود کننده: پایداری و می نیمم فاز بودن سیستم حلقه باز است. 91 دکوپله سازی سیستم های چندمتغیره با فیدبک حالت حالت خاص G( ) D 0 Matrix Inversion Lemma : ( A A A A ) A A A ( A A A A ) A A 92 46

47 دکوپله سازی سیستم های چندمتغیره با فیدبک حالت در صورتیکه D 0 سیستم معکوس ناسره خواهد بود و در این حالت نمی توان از یک پیش جبرانساز سره برای دکوپله سازی استفاده نمود. درچنین مواردی دکوپله سازی تنها با سه نوع فیدبک امکان پذیر است: u( t) Fy( t) Tr u( t) Kx( t) Tr جبراسناز دینامیکی به همراه فیدبک حالت( فیدبک خروجی استاتیکی فیدبک حالت استاتیکی فیدبک خروجی دینامیکی ( کی d دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی شرط الزم و کافی برای دکوپله سازی سیستم با فیدبک حالت استاتیکی: i T k1 min 0 i 0 * ) B ( 0 D 0 کامل بودن رتبه ماتریس دکوپله سازی i* k c A B other wise T th c : i row of matrix C i d i n * ماتریس دکوپله سازی: اندیس دکوپله سازی عبارت است از: 94 47

48 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی rows of lim D( s) G( s) cte 0 s D s diag s s s d1 d2 dm () همچنین مقادیر صحیحی هستند که به ازای آنها: لذا d i با حداقل درجه نسبی درایه های iامین ردیف مارتیس تابع تبدیل G(s) برابر هستند. d i 95 B c A T 1 T * 2 c A T c m A دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی d1 1 d2 1 dm 1 B B lim D( s) G( s) s B ماتریس دکوپله سازی توجه: ماتریس دکوپله سازی نشان دهنده رفتار فرکانس باالی ماتریس تابع تبدیل 96 48

49 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی x( t) x( t) 0 0 u( t) y( t) x( t) c B 1 2 d 1 T 1 1 cb T 2 c AB T c A B 2 4 d 3 T مثال 20-4: T * cb B T 2 :singular c A B دکوپله سازی با فیدبک حالت استاتیکی امکان پذیر نیست. 97 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی 1 2 s s1 Gs () 4 8s s3 s4 مثال 21-4: s 0 Ds () 0 1 * 1 2 B lim D( s) G( s) s 0 8 دکوپله سازی با فیدبک حالت استاتیکی امکان پذیر است. 1 2 s s1 Gs () 4 8 s3 s4 s 0 Ds () 0 s دکوپله سازی با فیدبک حالت استاتیکی امکان پذیر نیست. * 1 2 B lim D( s) G( s) s

50 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی 99 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی اثبات v t x t u t * ( ) B ( ) B ( )

51 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی ادامه اثبات v t x t u t * ( ) B ( ) B ( ) * 1 u( t) B B x( t) v( t) از سوی دیگر با توجه به تعریف v(t) خواهیم داشت: d1 s 0 Y( s) V ( s) V ( s) D( s) Y( s) dm 0 s این تساوی نشان می دهد که رابطه ورودی جدید v(t)( ) - خروجی قطری است. 101 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی جمع بندی

52 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی چند نکته مهم 103 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی مثال 22-4:

53 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی ادامه مثال 22-4: 105 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی ادامه مثال 22-4:

54 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی دست یافتن به یک سیستم دکوپله پایدار اگر بخواهیم به یک سیستم حلقه بسته دکوپله پایدار دست یابیم الزم است: p ( ) 0 1 s Dˆ d () s 0 pm( s) B * ˆ s lim D( s) G( s) کهs pi ها چندجمله ای پایدار دلخواه از مرتبه می توان نشان داد که () d است. i 107 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی دست یافتن به یک سیستم دکوپله پایدار ˆC,A,B یک تحقق از, B همچنین * شدن سیستم می شود عبارت است از: است و فیدبک حالتی که موجب دکوپله 1 u( t) B Cx( t) v( t) * ˆ D ˆ ( s) G( s)

55 دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی s 1 0 Dˆ d () s 0 1 s 2 ادامه مثال 22-4: لذا 1 ss ( 1) 1 ˆ d ( s ) G ( s ) s s1 s1 D * 1 0 B 1 1 ˆ C دکوپله سازی با استفاده از فیدبک حالت استاتیکی ادامه مثال 22-4: معادله فیدبک حالت عبارت است از: u( t) x( t) v( t) سیستم حلقه بسته دکوپله شده عبارت خواهد بود از: ˆ 1 d () s D 1 s ( s 1)

56 بررسی مرتبه کاهش پروژه سیستم سازی را برای دکوپله شرط کنید. پروژه دکوپله سازی اگر شرط دکوپله سازی برقرار نیست با تغییر اعداد به یک سیستم با قابلیت دکوپله سازی کامل تبدیل کنید. سیستم را با استفاده از فیدبک حالت دکوپله کنید. به دو روش )دکوپله پایدار و ناپایدر( برای سیستم دکوپله ناپایدار کنترل کننده SISO طراحی کنید و عملکرد سیستم تحت کنترل را بررسی کنید. بررسی اثر نامعینی در ماتریس های B A و C بر روی سیستم دکوپله شده

LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad

LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Aociate Profeor Ferdowi Univerity of Mahhad Lecture Stability analyi Topic to be covered include: Stability of linear control ytem. Bounded input bounded output tability