Magistrski študijski programi: Matematika Financna matematika IŠRM 2 Matematièna statistika

Transcription

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za matematiko 2013/2014 Magistrski študijski programi: Matematika Financna matematika IŠRM 2 Matematièna statistika

2 Magistrski študij Matematike (2. stopnja) v študijskem letu 2013/14 Vpis: Prijava do 30. avgusta, vpis najkasneje do 27. septembra. Pogoji za vpis: 1. končan študijski program Matematika prve stopnje; ali 2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora opraviti za 60 ECTS izpitov iz predmetov na univerzitetnem študiju Matematika prve stopnje, med temi obvezno: Algebra 2, Algebra 3, Splošna topologija, Analiza 3, Analiza 4, Verjetnostni račun in statistika ter Seminar 2); ali 3. končan študijski program prve stopnje iz tehničnih ali naravoslovnih področij, kjer je že osvojil osnove matematične analize in linearne algebre, npr. finančna matematika, fizika, računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske obveznosti v obsegu 10 do 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje); ali 4. končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini. Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. Opravljeni izpiti v obsegu 60 ECTS (12 predmetov) izmed strokovnih predmetov v skupinah M1-M5 in R1, pri tem iz skupine M1 nujno izbere Teorijo mere ali Uvod v funkcionalno analizo. Opravljeni izpiti v obsegu 35 ECTS izmed strokovnih (matematičnih) ali splošnih (na drugih oddelkih in fakultetah) izbirnih predmetov na 2. stopnji UL; od tega do največ 10 ECTS lahko zbere z delovno prakso (vsaj 150 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur ustreza 1 ECTS) ali z raziskovalnim delom z objavo. Magistrsko delo in zaključni magistrski izpit sta vredna 25 ECTS. Zaključni izpit obsega tri vprašanja: po eno iz matematične analize in iz algebre ter eno iz preostalih osnovnih področij študija (geometrija, topologija, verjetnostni račun, numerične metode, diskretna in računalniška matematika). Vprašanja so zajeta iz vnaprej pripravljenega seznama izpitnih vprašanj, ki obsegajo zgolj osnovno matematično znanje. Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50 ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

3 Seznam predmetov za študijsko leto 2013/2014 M1 (analiza in mehanika) 2/2 Teorija mere Bojan Magajna 1. sem 2/2 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek 1. sem 3/1 Uvod v harmonično analizo Oliver Dragičević 1. sem 2/2 Specialne funkcije Pavle Saksida 1. sem 2/2 Funkcionalna analiza Roman Drnovšek 2. sem 2/2 Dinamični sistemi Jasna Prezelj 2. sem 2/2 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek 2. sem M2 (algebra in diskretna matematika) Jakob Cimprič, Karin 3/1 Urejenostne algebrske strukture Cvetko-Vah 1. sem 3/1 Kardinalna aritmetika Andrej Bauer 1. sem 3/1 Komutativna algebra David Dolžan 2. sem 2/2 Kombinatorika Sandi Klavžar 2. sem 2/2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Riste Škrekovski 2. sem M3 (geometrija in topologija) 2/2 Riemannove ploskve Franc Forstnerič 1. sem 3/1 Liejeve grupe Janez Mrčun 1. sem 3/1 Diferencialna geometrija Pavle Saksida 2. sem 2/2 Algebraična topologija 2 Petar Pavešić 2. sem M4 (numerična matematika) 2/2 Iterativne numerične metode v linearni algebri Bor Plestenjak 1. sem 2/2 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak 1. sem 2/2 Numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb Jernej Kozak 2. sem M5 (verjetnost, statistika in finančna matematika) 3/1 Verjetnostni račun 2 Matjaž Omladič 1. sem Tomaž Košir, Dejan Velušček, 3/1 Ekonometrija Egon Zakrajšek 1. sem 2/2 Slučajni procesi 2 Janez Bernik 1. sem 2/2 Finančna matematika 2 (numerične metode za finance) Antonino Zanette 2. sem 2/2 Aktuarska matematika (neživljenjska zavarovanja) Gianni Bosi 2. sem 2/2 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević 2. sem Izbrana poglavja iz finančne matematike (uvod v 2/2 stohastični račun) Janez Bernik, Mihael Perman 2. sem 2/2 Časovne vrste Bojan Basrak 2. sem 3/1 Statistika 2 Dejan Velušček 2. sem R1 (računalniška matematika) 3/1 Matematika z računalnikom Andrej Bauer 1. sem 2/2 Računska zahtevnost Marko Petkovšek 1. sem 2/2 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Sergio Cabello (Verjetnostne metode v računalništvu) 1. sem 2/2 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Andrej Bauer (Teorija programskih jezikov) 1. sem 2/2 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Aleksandar Jurišić (Kriptografija in računalniška varnost) 1. sem 2/2 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Andrej Bauer (Logika v računalništvu) 2. sem O (splošni predmeti izven M1-M5 in R1) 2/2 Moderna fizika Peter Križan 1. sem

4 Magistrski študij Finančne matematike (2. stopnja) v študijskem letu 2013/14 Vpis: Prijava do 30. avgust, vpis najkasneje do 27. septembra. Pogoji za vpis: 1. končan študijski program Finančna matematika prve stopnje; ali 2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora opraviti izpite iz predmetov: Denar in finance, Makroekonomija, Analiza 3, Verjetnostni račun 1, Finančna matematika 1, Mikroekonomija, Finančni trgi in inštitucije, Programiranje 1, Finančni praktikum, Statistika 1, Slučajni procesi 1, Operacijske raziskave, Teorija iger, Seminar 1 in 2 ter Optimizacijske metode); ali 3. končana prva stopnja študijskega programa Matematika (kandidat mora opraviti izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije; če še ni opravil predmeta Slučajni procesi 1, potem mora obvezno opraviti predmet Uvod v slučajne procese); ali 4. končan študijski program prve stopnje iz ekonomskih, tehničnih ali naravoslovnih področij npr. ekonomija, fizika, računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske obveznosti v obsegu 10 do 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje, med temi obvezno izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije); ali 5. končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini; ali 6. končan stari (nebolonjski) univerzitetni študijski program Matematika (kandidat mora opraviti izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije, če še ni opravil predmeta Slučajni procesi 1, potem mora obvezno opraviti predmet Uvod v slučajne procese). Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. Opravljeni izpiti v obsegu 35 ECTS (7 predmetov) izmed strokovnih predmetov v skupini M5, med temi obvezno Verjetnostni račun 2. Opravljeni izpiti v obsegu 20 ECTS izmed finančnih predmetov na Ekonomski fakulteti. Opravljeni izpiti v obsegu 20 ECTS (4 predmeti) izmed strokovnih predmetov v skupinah M1-M4 in R1. Opravljena delovna praksa (od 150 do 300 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur ustreza 1 ECTS) ali projektno delo v skupnem obsegu od 5 do 10 ECTS. Opravljene obveznosti v obsegu 15 ECTS po lastni izbiri na drugih magistrskih ali doktorskih študijskih programih na UL (npr. na doktorskem študijskem programu Statistika), na poletnih šolah iz ustreznih tematskih področij in drugje. Študent lahko največ 3 ECTS pridobi tudi z aktivnim sodelovanjem v okviru podiplomskega Seminarja iz finančne matematike, ki poteka na OM FMF. Magistrsko delo je vredno 20 ECTS. Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50 ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

5 Predmeti iz skupine M5 predvideni v študijskem letu 2013/14: 3/1 Verjetnostni račun 2 Matjaž Omladič 1. sem 2/2 Slučajni procesi 2 Janez Bernik 1. sem 3/1 Ekonometrija Egon Zakrajšek, Tomaž Košir, Dejan Velušček, 1. sem 2/2 Izbrana poglavja iz finančne matematike (uvod v Janez Bernik, stohastični račun) Mihael Perman 1. sem 2/2 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević 2. sem 3/1 Statistika 2 Dejan Velušček 2. sem 2/2 Finančna matematika 2 (numerične metode za finance) Antonino Zanette 2. sem 2/2 Aktuarska matematika (neživljenjska zavarovanja) Gianni Bosi 2. sem 2/2 Časovne vrste Bojan Basrak 2. sem Predmeti iz skupin M1-4 in R1 predvideni v študijskem letu 2013/14: (Poudarjeni so predmeti, ki so priporočeni kot izbirni predmeti za študente programa Finančna matematika, poševno označeni pa so predmeti, ki so tudi primerni za študente programa Finančna matematika.) M1 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek 2. sem M1 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek 1. sem M1 Teorija mere Bojan Magajna 1. sem M1 Funkcionalna analiza Roman Drnovšek 2. sem M1 Uvod v harmonično analizo Oliver Dragičević 1. sem M1 Specialne funkcije Pavle Saksida 2. sem M1 Dinamični sistemi Jasna Prezelj 2. sem M2 Urejenostne algebrske strukture Jakob Cimprič, Karin Cvetko Vah 1. sem M2 Komutativna algebra David Dolžan 2. sem M2 Kombinatorika Sandi Klavžar 2. sem M2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Riste Škrekovski 2. sem M2 Kardinalna aritmetika Andrej Bauer 1. sem M3 Riemannove ploskve Franc Forstnerič 1. sem M3 Diferencialna geometrija Pavle Saksida 2. sem M3 Liejeve grupe Janez Mrčun 1. sem M3 Algebraična topologija 2 Petar Pavešić 2. sem M4 Iterativne numerične metode v linearni algebri Bor Plestenjak 1. sem M4 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak 1. sem M4 Numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb Jernej Kozak 2. sem R1 Matematika z računalnikom Andrej Bauer 1. sem R1 Računska zahtevnost Marko Petkovšek 1. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike (Verjetnostne metode v računalništvu) Sergio Cabello 1. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike (Logika v računalništvu) Andrej Bauer 2. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike (Teorija Andrej Bauer programskih jezikov) 1. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Aleksandar Jurišić 1. sem

6 (Kriptografija in računalniška varnost) Predmeti na interdisciplinarnem doktorskem študijskem programu Statistika za leto 2013/14, ki so priporočeni študentom Finančne matematike: Analiza omrežij Vladimir Batagelj 1. ali 2. sem Statistični paketi izvajalec bo javljen naknadno 1. ali 2. sem Posplošeni linearni modeli Herwig Friedl, Maja Pohar Perme 1. ali 2. sem Predmet na doktorskem študijskem programu Matematika in fizika za leto 2013/14, ki je priporočen študentom druge stopnje programa Finančna matematika: Izbrana poglavja iz finančne matematike (Linearne metode v statistiki) Matjaž Omladič, Damjana Kokol Bukovšek 2. sem Na doktorskem študijskem programu Matematika in fizika se bosta predvidoma predavala še dva predmeta iz vsebin finančne matematike. Ob posebnem dovoljenju lahko katerega od teh opravljajo tudi študenti 2. stopnje: Finančna matematika v zveznem času (Financial mathematics) Slučajni procesi (Optimal stopping and free-boundary problems with applications in mathematical finance) Ernst Eberlein Goran Peskir 1. sem 2. sem Predvideni predmeti na magistrskih študijskih programih Ekonomske fakultete za leto 2013/14, ki so priporočeni študentom Finančne matematike, so: predmet predvideni izvajalec ECTS semester Ekonomske politike EU Mojmir Mrak sem Makroekonomija 3 Sašo Polanec, Igor Masten sem Mikroekonomija 3 Maks Tajnikar sem Finančna analiza 2 Aljoša Valentinčič, Neil Garrod 8 1. sem Management finančnih inštitucij Marko Košak 8 1. sem Modeli denarne politike Igor Masten 8 1. sem Poslovne finance 2 Banu Durukan 8 1. sem Ekonometrija 2 Igor Masten, Sašo Polanec 8 2. sem Finančna ekonomija Aleš Ahčan 8 2. sem Davki in davčna harmonizacija EU Tine Stanovnik 7 2. sem Ekonomika trga dela Janez Malačič 7 2. sem Javne finance 2 Tine Stanovnik 7 2. sem Mednarodne finance 2 Mojmir Mrak 7 2. sem Predvidoma se bodo vsi našteti predmeti z EF razen predmeta Ekonomske politike EU izvajali v angleškem jeziku.

7 Interdisciplinarni magistrski program Računalništvo in matematika (2. stopnja) v študijskem letu 2013/14 Vpis: Prijava do 30. avgusta, vpis najkasneje do 27. septembra. Kandidat za vpis mora izpolnjevati enega od naslednjih pogojev: 1. Ima končan univerzitetni študijski program prve stopnje Interdisciplinarnega študija Računalništvo in matematika, Matematika, Finančna matematika ali Računalništvo in informatika. 2. Ima končan visokošolski strokovni študijski program prve stopnje Računalništvo in informatika oz. študijski program Računalništvo in informatika za pridobitev visoke strokovne izobrazbe,sprejet pred (Kandidat mora dodatno opraviti naslednje predmete s prve stopnje IŠRM: Analiza 3, Diskretne strukture 2, Linearna algebra in Numerične metode.) 3. Ima končan visokošolski študijski program prve stopnje Praktična matematika oz. študijski program Praktična matematika za pridobitev visoke strokovne izobrazbe, sprejet pred (Kandidat mora dodatno opraviti naslednje predmete s prve stopnje IŠRM: Osnove umetne inteligence, Operacijski sistemi, Računalniške komunikacije, Algoritmi in podatkovne strukture.) 4. Ima končan študijski program prve stopnje oz. študijski program za pridobitev visoke strokovne izobrazbe, sprejet pred , iz tehniških ali naravoslovnih področij, kjer je že osvojil potrebna osnovna znanja s področja matematike in računalništva. (Pred vpisom mora kandidat opraviti še študijske obveznosti v obsegu 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje, s katerega prihaja kandidat, in so bistvene za nadaljevanje študija.) 5. Ima končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini. Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. Vsi predmeti so semestrski. Računalniški predmeti praviloma obsegajo 45 ur predavanj in 30 ur vaj, vredni pa so po 6 ECTS. Matematični predmeti praviloma obsegajo 30 ur predavanj in 30 ur vaj, vredni pa so po 5 ECTS. Študentovo izbiro predmetov mora potrditi študijska komisija. Predmeti se delijo na obvezne in izbirne. Obvezna sta računalniška predmeta Algoritmi in Računalniški sistemi. Med izbirnimi predmeti mora študent opraviti 5 izbirnih računalniških predmetov, 4 izbirne matematične predmete iz skupine A, 5 izbirnih matematičnih predmetov iz skupine B, še en strokovni (tj. matematični ali računalniški) izbirni predmet ter 2 splošna izbirna predmeta. Kot strokovne matematične predmete iz skupine B lahko študent izbere tudi največ tri predmete matematične vsebine iz magistrskega študijskega programa 2. stopnje Matematika na FMF. Študent torej zbere potrebnih 120 ECTS na naslednji način: 12 ECTS z dvema obveznima predmetoma; 80 ECTS z izbirnimi matematičnimi oziroma računalniškimi predmeti; 11 ECTS s splošnimi izbirnimi vsebinami; 17 ECTS z izdelavo magistrskega dela in zagovorom. Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje v drugi letnik mora študent opraviti vse obveznosti prvega letnika. Za ponovni vpis v 1. letnik je potrebno opraviti vsaj polovico obveznosti iz študijskega programa tega letnika (torej 30 ECTS).

8 Izbirni matematični predmeti, skupina A Logika v računalništvu 2 / 2 5 ECTS Računalniško podprto (geometrijsko) načrtovanje 2 / 2 5 ECTS Računska geometrija 2 / 2 5 ECTS Teorija kodiranja in kriptografija 2 / 2 5 ECTS Verjetnostne metode v računalništvu 2 / 2 5 ECTS Izbirni matematični predmeti, skupina B Analiza in vizualizacija podatkov 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz računalniške matematike 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz numerične matematike 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz teorije iger 2 / 2 5 ECTS Matematika z računalnikom 2 / 2 5 ECTS Simbolno računanje 2 / 2 5 ECTS Teorija grafov 2 / 2 5 ECTS Izbrana poglavja iz diskretne matematike 2 / 2 5 ECTS Kombinatorika 2 2 / 2 5 ECTS Optimizacijske metode 2 2 / 2 5 ECTS Kriptografija in računalniška varnost 2 / 2 5 ECTS Obvezna računalniška predmeta Algoritmi 3 / 2 6 ECTS Računalniški sistemi 3 / 2 6 ECTS Izbirni računalniški predmeti Umetna inteligenca 3 / 2 6 ECTS Digitalno procesiranje signalov 3 / 2 6 ECTS Izračunljivost in računska zahtevnost 3 / 2 6 ECTS Uvod v bioinformatiko 3 / 2 6 ECTS Sodobne metode razvoja programske opreme 3 / 2 6 ECTS Strojno učenje 3 / 2 6 ECTS Zaznavanje v kognitivnih sistemih 3 / 2 6 ECTS Mehko računanje in naravni algoritmi 3 / 2 6 ECTS Teorija programskih jezikov 3 / 2 6 ECTS Interaktivnost in obvladovanje informacij 3 / 2 6 ECTS Sodobni pristopi in arhitekture pri razvoju 3 / 2 6 ECTS informacijskih sistemov Odkrivanje znanj iz podatkov 3 / 2 6 ECTS

9 Magistrski študij Matematična statistika (2. stopnja) v študijskem letu 2013/14 Vpis: Prijava do 30. avgusta, vpis najkasneje do 27. septembra. Pogoji za vpis: 1. Končan univerzitetni študijski program prve stopnje Matematika ali Finančna matematika. 2. Končan triletni univerzitetni študijski program prve stopnje iz tehničnih, naravoslovnih ali družboslovnih področij, kjer je predmetnik študija vseboval najmanj 10 kreditnih točk matematike. Taka področja so npr. fizika, računalništvo, informatika, gradbeništvo, strojništvo. 3. Končan katerikoli triletni univerzitetni študijski program prve stopnje. Pred vpisom mora kandidat opraviti še študijske obveznosti, ki so bistvene za nadaljevanje študija. Te obveznosti se določijo glede na kandidatovo strokovno področje in obsegajo od 10 do največ 20 kreditnih točk, kandidat pa jih lahko opravi med študijem na prvi stopnji, v programih za izpopolnjevanje ali z opravljanjem izpitov pred vpisom v magistrski študijski program. Primerne kombinacije predmetov so: - Analiza 1 na programu Matematika ali - Analiza 1 in Analiza 2 na programu IŠRM ali - Analiza 1 in Analiza 2 na programu Finančna matematika ali - Matematika 1 in Matematika 2 na programu Fizika. 4. Končan stari (nebolonjski) ali novi (bolonjski) visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika. Pred vpisom mora kandidat opraviti še študijske obveznosti v obsegu 45 kreditnih točk na univerzitetnem študijskem programu prve stopnje Matematika ali Finančna matematika, ki so bistvene za nadaljevanje študija. Pri tem mora obvezno opraviti izpite iz naslednjih predmetov: Algebra 2, Algebra 3, Analiza 3, Analiza 4 in Seminar 2 na programu Matematika prve stopnje. 5. Končan katerikoli stari (nebolonjski) ali novi (bolonjski) visokošolski strokovni študijski program. Pred vpisom mora kandidat opraviti še študijske obveznosti v obsegu 60 kreditnih točk na univerzitetnem študijskem programu prve stopnje Matematika ali Finančna matematika, ki so bistvene za nadaljevanje študija. Te obveznosti se določijo glede na kandidatovo strokovno področje. 6. Končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini. Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. V prvem letu študija opravljene obveznosti morajo obsegati 60 ECTS. Predmeta A2 in A4 imata po 10 ECTS točk, vsi ostali pa po 5. Diplomantom matematike 1. bolonjske stopnje ne bo potrebno opravljati predmetov, označenih v prvi tabeli spodaj z **, katerih vsebine so že poslušali in opravili na 1. stopnji. Namesto tega bodo morali nabrati do 15 ECTS točk iz predmetov, navedenih v drugih tabelah spodaj. Diplomantom finančne matematike 1. bolonjske stopnje ne bo potrebno opravljati predmetov, označenih z ** ter tistih označenih z *, katerih vsebine so že poslušali in opravili na 1. stopnji. Namesto tega bodo morali nabrati do 25 ECTS točk iz predmetov, navedenih v drugih tabelah spodaj. Študenti, navedeni v zgornjih dveh alineah, naj obvezno poslušajo predmet Verjetnost 2 iz skupine M5. Poleg tega naj študenti iz druge alinee opravljajo še po en predmet iz skupine M5, študenti iz tretje pa po 2 ali 3 predmete iz skupine M5. Izmed predmetov iz programa Uporabna statistika opravljajo študenti iz tretje alinee še po en predmet. Preostalih 25 ECTS točk je možno zbrati iz spodaj navedenih izbirnih predmetov, pri čemer naj študenti upoštevajo pedvsem priporočene predmete.

10 V primeru vpisa študentov, ki so končali druge programe in nimajo zadostnega obsega predznanja iz matematike, kot je prevideno v programu, lahko leti uveljavljajo pridobitev kreditov na podlagi predmetov B1 Linearna algebra za statistike in B2 Matematična analiza za statistike, ki pa se bosta izvajala le v primeru zadostnega števila takih študentov, sicer pa s konsultacijami. Magistrsko delo je vredno 20 ECTS, kar se upošteva v drugem letniku študija. Napredovanje in ponavljanje: Za vpis v 2. letnik je potrebno opraviti vse obveznosti iz 1. letnika, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS obveznosti. Obvezni predmeti iz skupin A in S v študijskem letu 2013/14 (Predmeti označeni z, so namenjeni študentom z manj znanja verjetnosti oz. statistike podrobnosti zgoraj): 2/2 A1 Osnove statistike Matjaž Omladič, Dejan Velušček 1. sem 4/3 A2 Verjetnost Matjaž Omladič, Dejan Velušček 1. sem 2/1 A3 Teorija mere Matjaž Omladič 1. sem 4/3 A4 Matematična statistika Matjaž Omladič, Dejan 1. ali 2. Velušček sem 3/1 A5 Multivariatne metode Anuška Ferligoj 2. sem 3/1 A6 Slučajni procesi 1 Janez Bernik 2. sem /2 S1 Seminar Dejan Velušček 2. sem Izbirni predmeti iz skupine M5 v študijskem letu 2013/14: (Poudarjeni so predmeti, ki so priporočeni kot izbirni predmeti za študente Matematične statistike.) 2/2 C1 Časovne vrste Bojan Basrak 2. sem 2/2 C2 Statistični paketi izvajalec bo javljen 1. ali 2. naknadno sem 3/1 Ekonometrija Egon Zakrajšek, Tomaž Košir, Dejan Velušček, 1. sem 3/1 Verjetnostni račun 2 Matjaž Omladič 1. sem 2/2 Aktuarska matematika (neživljenjska zavarovanja) Gianni Bosi 2. sem 2/2 Slučajni procesi 2 Janez Bernik 1. sem 2/2 Izbrana poglavja iz finančne matematike (uvod v Janez Bernik, stohastični račun) Mihael Perman 1. sem 2/2 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević 2. sem 2/2 Finančna matematika 2 (numerične metode za finance) Antonino Zanette 2. sem

11 Predmeti iz skupin M1-4 in R1 predvideni v študijskem letu 2013/14: (Poudarjeni so predmeti, ki so priporočeni kot izbirni predmeti za študente programa Matematična statistika, poševno označeni pa so predmeti, ki so tudi primerni za študente programa Matematična statistika.) M1 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek 2. sem M1 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek 1. sem M1 Teorija mere Bojan Magajna 1. sem M1 Funkcionalna analiza Roman Drnovšek 2. sem M1 Uvod v harmonično analizo Oliver Dragičević 1. sem M1 Specialne funkcije Pavle Saksida 2. sem M1 Dinamični sistemi Jasna Prezelj 2. sem M2 Jakob Cimprič, Karin Urejenostne algebrske strukture Cvetko Vah 1. sem M2 Komutativna algebra David Dolžan 2. sem M2 Kombinatorika Sandi Klavžar 2. sem M2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Riste Škrekovski 2. sem M2 Kardinalna aritmetika Andrej Bauer 1. sem M3 Riemannove ploskve Franc Forstnerič 1. sem M3 Diferencialna geometrija Pavle Saksida 2. sem M3 Liejeve grupe Janez Mrčun 1. sem M3 Algebraična topologija 2 Petar Pavešić 2. sem M4 Iterativne numerične metode v linearni algebri Bor Plestenjak 1. sem M4 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak 1. sem M4 Numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb Jernej Kozak 2. sem R1 Matematika z računalnikom Andrej Bauer 1. sem R1 Računska zahtevnost Marko Petkovšek 1. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike (Verjetnostne metode v računalništvu) Sergio Cabello 1. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike (Logika v računalništvu) Andrej Bauer 2. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike (Teorija Andrej Bauer programskih jezikov) 1. sem R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike (Kriptografija in računalniška varnost) Aleksandar Jurišić 1. sem Predmeti na interdisciplinarnem doktorskem študijskem programu Statistika za leto 2013/14 oz. na študiju Uporabna statistika, ki so priporočeni študentom Matematične statistike: Analiza omrežij Vladimir Batagelj 1. ali 2. sem Posplošeni linearni modeli Herwig Friedl, Maja Pohar Perme 1. ali 2. sem Predmet na doktorskem študijskem programu Matematika in fizika za leto 2013/14, ki je priporočen študentom druge stopnje programa Matematične statistike: Izbrana poglavja iz finančne matematike (Linearne metode v statistiki) Matjaž Omladič, Damjana Kokol Bukovšek 2. sem

12 Teorija mere Bojan Magajna Teorija mere je temelj za poglobljeno obravnavo verjetnostnega računa in statistike, neizogibna pa je tudi na mnogih drugih področjih matematike, na primer v funkcionalni in harmonični analizi, operatorskih algebrah, ergodični teoriji... Mera je posplošitev pojmov dolžine, ploščine in prostornine na poljubne množice. To omogoča definicijo integrala funkcij (Lebesgueovega integrala) na splošnih množicah, ki niso nujno podmnožice v R n. Ta integral ima ugodnejše lastnosti od Riemannovega integrala, čeprav se za zvezne funkcije na intervalu [a, b] reducira na Riemannov integral. Pri predmetu se bomo seznanjali z osnovami teorije mere in integrala v taki splošnosti kot je potrebna za uporabo na drugih področjih matematike. Kako daleč bomo pri tem prišli pa bo odvisno od zanimanja (in morebitnega predznanja) poslušalcev. Potrebno/pričakovano predznanje: osnovni pojmi o množicah in razumevanje osnov analize iz prvega letnika. Izvedba 2/2 v 1. semestru: Dva kolokvija, ki lahko nadomestita izpit iz vaj, izpit iz vaj ter izpit iz teorije.

13 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek Spoznamo osnovne pojme teorije Hilbertovih prostorov in linearnih operatorjev med njimi. Precej pozornosti posvetimo kompaktnim operatorjem, ki imajo podobne lastnosti kot operatorji na končnorazsežnih prostorih. Dobljene rezultate uporabimo pri reševanju Sturm-Liouvilleovega problema, ki se pojavlja pri več fizikalnih problemih, na primer pri opisu gibanja nihajoče strune. Nekoliko pokukamo v teorijo Banachovih prostorov, ki so posplošitev Hilbertovih prostorov. Potrebno/pričakovano predznanje: Osnove linearne algebre in matematične analize. Prav tako je zaželeno je poznati osnovne pojme iz topologije. Izvedba 2/2 v 1. semestru: Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domača naloga, ki se upošteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

14 Uvod v harmonično analizo Oliver Dragičević Za okvirno vsebino predmeta pridejo v poštev naslednja poglavja: (1) Fourierove vrste. Sumacijske metode, konvergenca, Littlewood-Tauberjev izrek. (2) Fourierova transformacija. Schwartzov razred, umirjene distribucije, Riesz-Thorinov interpolacijski izrek, Youngova ter Hausdorff-Youngova neenakost. (3) Harmonične funkcije na disku. Poissonovo jedro, izrek F. & M. Riesza. (4) Hardy-Littlewoodova maksimalna funkcija. Približne enote, Calderón-Zygmundova dekompozicija, Marcinkiewiczev interpolacijski izrek, šibka 1-1 neenakost ter utežena neenakost. (5) Hilbertova transformacija. Harmonična konjugiranka, izrek Kolmogorova in M. Riesza, L p norma Hilbertove transformacije. (6) Singularni integrali. Homogena jedra, metoda rotacij, Rieszove transformacije, singularni integrali s sodim jedrom, Calderón-Zygmundovi integralski operatorji. (7) Littlewood-Paleyjeva teorija. Izreka Marcinkiewicza ter Hörmanderja o množiteljih. (8) Hermiteovi polinomi in Hermiteove funkcije. (9) Paley-Wienerjev izrek in princip nedoločenosti. (10) Parcialni diferencialni operatorji s konstantnimi koeficienti, fundamentalna rešitev. Potrebno/pričakovano predznanje: Funkcionalna analiza, Teorija mere. Izvedba 2/2 v 1. semestru: Domače naloge ter morebiti še zagovor.

15 Funkcionalna analiza Roman Drnovšek V prvem delu bomo obravnavali tri temeljne izreke teorije Banachovih prostorov: izrek o odprti preslikavi, izrek o zaprtem grafu in princip enakomerne omejenosti. Hahn-Banachov izrek bo glavno orodje v drugem delu: separacija konveksnih množic, šibke topologije, Banach-Alaoglujev izrek, Krein-Milmanov izrek o ekstremnih točkah. V zadnjem delu bomo obravnavali osnove teorije Banachovih algeber: spekter elementa, Rieszov funkcijski račun, Gelfandova transformacija. Potrebno/pričakovano predznanje: Osnovni pojmi in rezultati iz predmeta Uvod v funkcionalno analizo. Izvedba 2/2 v 2. semestru: Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domača naloga, ki se upošteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

16 Specialne funkcije Pavle Saksida Z imenom specialne funkcije običajno označujemo funkcije Ψ λ : R n R, za katere velja H(Ψ λ ) = ( + V ( x)ψ λ = E λ Ψ λ. Pri tem je Laplaceov operator ali operator, ki je Laplaceovemu zelo podoben, V ( x) primerno izbrana funkcija na R n in E λ neka konstanta. Specialne funkcije so torej lastni vektorji (najpomembnejšega) razreda diferencialnih operatorjev. Po drugi strani lahko specialne fukcije proučujemo s pomočjo teorije upodobitev Liejevih grup. Liejeva grupa je matematični objekt, ki je hkrati grupa in mnogoterost. Primer Liejeve grupe je matrična grupa SU(2) specialnih unitarnih 2 2 matrik, ki je hkrati tudi tridimenzionalna sfera. Pri predmetu bomo specialne funkcije spoznali z obeh plati. Teorija specialnih funkcij je zanimivo matematično področje na križišču analize in geometrije in je eno najpomembnejših orodij pri preučevanju simetrijskih lastnosti različnih matematičnih in fizikalnih objektov. Potrebno/pričakovano predznanje: Analiza 3 in Analiza 4. Izvedba 2/2 v 1. semestru: Domače naloge in izpit iz teorije.

17 Dinamični sistemi Jasna Prezelj V prvem delu bomo ponovili osnovne izreke o eksistenci in enoličnosti rešitev sistemov diferencialnih enačb in Picardovo metodo. Pogledali si bomo tudi nekaj primerov (morski psi, pikapolonice, nalezljive bolezni) in obravnavali družino Lotka-Volterrovih modelov za različne tipe rasti. Po potrebi si bomo ogledali še kako metodo za numerično reševanje. Obravnavali bomo fazne portrete avtonomnih linearnih sistemov, študij nelinearnih sistemov v okolici kritičnih točk pa bomo s pomočjo linearizacije prevedli na študij linearnih sistemov (izrek Hartmana in Grobmana o linearizaciji). Govorili bomo tudi vedenju rešitev za velike čase (o raznih vrstah stabilnosti). Natančneje bomo obravnavali Lorenzov sistem in povedali, da ima čuden atraktor (metuljev efekt). Pokazali bomo, kako se vedejo rešitve, ki so omejene na območju brez kritičnih točk (Poincaré-Bendixsonov izrek). Na kratko bomo spregovorili tudi o bifurkacijah (gre za točke, kjer se spremeni fazni portret sistema). Zaključili bomo s primeri diskretne dinamike. Najprej bomo obravnavali logistično iteracijo in povedali analog Hartman - Grobmanovega izreka. Definirali bomo Smalovo konjsko podkev. Pri diskretni kompleksni dinamiki bomo definirali Juliajevo in Fatoujevo množico in si ogledali nekaj primerov. Potrebno/pričakovano predznanje: Navadne diferencialne enačbe in sistemi, linearna algebra, osnove topologije, osnove teorije omejenih linearnih preslikav, osnove analize na mnogoterostih. Izvedba 2/2 v 2. semestru: Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domača naloga, ki se upošteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

18 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek Mehaniko kontinuuma lahko definiramo kot matematični način opisa osnovnih principov obnašanja teles zvezne strukture, kjer kontinuum razumemo kot večkrat odvedljivo materialno mnogoterost. Področja uporabe osnovnih principov mehanike kontinuuma so precej široka: od uporabe v mehaniki trdnih teles, mehaniki fluidov, biofiziki, tehniki, do uporabe pri različnih interdisciplinarnih raziskovalnih projektih. Vsebinsko jedro predmeta temelji na matematični obravnavi osnovnih principov, kjer se prepletajo elementi linearne algebre, analize na mnogoterostih in diferencialne geometrije. Poleg tega bodo za potrebe teorije izpeljani elementi, s pomočjo katerih na strogo matematični način opišemo gibanje, ohranitvene zakone in enačbe snovi na nivoju materialne mnogoterosti. S tem je pristop k uporabi na različnih področjih v matematiki, fiziki in tehniki poenoten in lažji. Po uspešno opravljenem izpitu bo študent opremljen z znanjem, ki je potrebno za poglobljen nadaljni študij na širšem raziskovalnem področju mehanike, s posebnim poudarkom na uporabi sodobnih matematičnih sredstev. Potrebno/pričakovano predznanje: Potrebno je operativno znanje osnov iz analize in linearne algebre, zaželeno pa poznavanje osnovnih pojmov iz diferencialne geometrije. Izvedba v obsegu 2/2 v 2. semestru: Poleg predavanj in individualnega študija posameznih poglavij skladno z interesi študenta, če ta izrazi željo po takšnem načinu študija, bo poudarek na reševanju domačih nalog. Rešitve nalog skupaj z izbranimi poglavji iz predavanj ter individualnega študija bodo osnova za zagovor na teoretičnem delu izpita.

19 Urejenostne algebrske strukture Jaka Cimprič in Karin Cvetko-Vah V prvem delu bomo pobližje spoznali teorijo mrež. Pri tem bo posebna pozornost namenjana distributivnim mrežam in Booleovim algebram, dokazali pa bomo tudi Stoneov upodobitveni izrek, ki pravi, da je vsaka Booleova algebra izomorfna algebri odprto zaprtih podmnožic nekega Booleovega topološkega prostora. V drugem delu se bomo ukvarjali z algebrskimi strukturami (grupe, kolobarji, obsegi, vektorski prostori), ki so opremljene še z relacijo delne urejenosti (zlasti linearne in mrežne urejenosti). Motivacija za študij teh urejenih algebrskih struktur prihaja predvsem iz geometrije (urejeni kolobarji) in funkcionalne analize (urejeni vektorski prostori). Prepletanje algebrske in urejenostne strukture je bogat vir izrekov in primerov. Obravnavali bomo naslednje teme: (1) Delno urejene množice in preslikave, ki ohranjajo urejenost. (2) Mreže in mrežni homomorfizmi. Kongruence. (3) Modulske in distributivne mreže. Booleove algebre. (4) Delno urejene grupe in delno urejeni vektorski prostori. (5) Linearno urejeni obsegi in kolobarji. Potrebno/pričakovano predznanje: Algebra II in Algebra III. Izvedba 3/1 v 1. semestru: domače naloge (20% ocene), izpit (80% ocene).

20 Kardinalna aritmetika Andrej Bauer Pri predmetu bomo obravnavali neskočnost v teoriji množic. Najprej bomo spoznali aksiome teorije množic ter nekaj osnovnih tehnik dokazovanja v teoriji množic, kot je na primer princip transfinitne indukcije. Nato pa prešli na pojma ordinalnih in kardinalnih števil. Nadaljevali bomo s študijem aritmetičnih operacij na neskončnih številih in se dotaknili znamenite Cantorjeve hipoteze o kontinuumu. Potrebno/pričakovano predznanje: Splošna matematična izobraza s 1. stopnje študija matematike. Predmet je izrazito matematične narave, zato mora imeti študent veselje do abstraktnega razmišljanja in dokazovanja izrekov. Izvedba 3/1 v 1. semestru: Predavanja in vaje, študent pridobi oceno z ustnim in pisnim izpitom.

21 Komutativna algebra David Dolžan Komutativni kolobarji, ideali, moduli. Spekter kolobarja. Nilradikal in Jacobsonov radikal. Lokalizacija. Groebnerjeve baze, osnove računanja z ideali. Primarni razcep. Prirejeni praideali, primarne komponente, izreka o enoličnosti. Celostno zaprtje. Valuacijski kolobarji. Osnove teorije dimenzije, artinski kolobarji. Kolobarji z diskretno valuacijo. Napolnitev in Henselova lema (če bo čas). Literatura: M. F. Atiyah, I. G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, D. Cox, J. Little, D. O Shea: Ideals, Varieties and Algorithms : An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, 2nd edition, Springer, New York, D. Eisenbud. Commutative Algebra. With a View toward Algebraic Geometry, Springer, New York, M. Reid: Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge Univ. Press, Cambridge, Potrebno/pričakovano predznanje: Znanja iz predmetov Algebra 2 in 3. Izvedba 3/1 v 2. semestru: Domače naloge, izpit.

22 Kombinatorika (IŠRM2: Kombinatorika 2) Sandi Klavžar Enumerativna kombinatorika je področje diskretne matematike, ki se ukvarja s preštevanjem matematičnih objektov z določenimi lastnostmi. Problemi segajo od zelo lahkih (poiskati število permutacij množice) do (verjetno) nerešljivih (poiskati število neizomorfnih grafov na n točkah). Pri predmetu bomo spoznali osnovne probleme preštevanja, med drugim: izbori (urejeni in neurejeni, s ponavljanjem in brez ponavljanja) razbitja in razčlenitve (Stirlingova števila 1. in 2. vrste, Lahova števila, število razčlenitev naravnega števila) dvanajstera pot (ekvivalenčni razredi preslikav med končnima množicama). Poudarek bo na uporabi rodovnih funkcij, najpomembnejšem orodju v enumerativni kombinatoriki. Naučili se bomo pomembnih sredstev pri delu z rodovnimi funkcijami (eksponentna formula, Lagrangeova inverzija). Med primeri uporabe rodovnih funkcij, ki jih bomo spoznali, bodo: formula za Catalanova števila (ki štejejo celo vrsto naravnih kombinatoričnih objektov, npr. triangulacije mnogokotnika, postavitve oklepajev na produktu) reševanje rekurzivnih enačb iskanje povprečij in standardnih deviacij aproksimacija členov zaporedja z znano rodovno funkcijo Nekaj ur bomo namenili Möbiusovi inverziji, pomembni posplošitvi načela vključitev in izključitev na delno urejene množice. Pri predmetu bomo predelali veliko večino vsebin, zahtevanih na kombinatoričnem delu diplomskega izpita iz diskretne matematike. Potrebno/pričakovano predznanje: Poznavanje osnovnih principov preštevanja. Izvedba 2/2 v 2. semestru: Izpit iz vaj in izpit iz teorije.

23 Izbrana poglavja iz diskretne matematike (IŠRM2: Izbrana poglavja iz diskretne matematike) Riste Škrekovski Obravnavali bomo naslednja področja: I. Splošno o grafih. Osnove teorije grafov, povezanost, usmerjeni grafi, ravninski grafi. II. Program Sage. Uporaba programskega paketa Sage za delo in raziskovanje v teoriji grafov. III. Spektralna teorija grafov. Nekatere lastnosti grafovskega spektra, Laplacov spekter in Kirchoffov izrek o vpetih drevesih. IV. Velika omrežja. Erdös-Renyi-jev model slučajnih grafov, mali svetovi, brezlestvična omrežja, samopodobna omrežja, itd. Mere sredičnosti in pomembnosti, koeficient grupiranja in druge mrežne mere. Razpoznavanje skupin in motivi. Dinamika na omrežjih. Program Pajek. V. Kemijska teorija grafov. Fulereni in nanocevke, molekularni deskriptorji, energija grafa oz. molekula. Nujno predznanje: Diskretna matematika 1 ali Diskretna matematika 2 ali Izbrana poglavja iz optimizacije. Izvedba 2/2 v 2. semestru: pisni izpit: reševanje nalog + teorija (hkrati).

24 Riemannove ploskve Franc Forstnerič Riemannova ploskev je enorazsežna kompleksna mnogoterost. Poleg domen v kompleksni ravnini so najpreprostejši primeri Riemannova sfera, kompleksni torusi (imenovani tudi eliptične krivulje) ter druge algebraične krivulje v projektivnih prostorih. Teorija Riemannovih ploskev leži na presečišču številnih področij matematike, od klasične kompleksne analize in analize na mnogoterostih, preko teorije algebraičnih krivulj, do novejših uporab v simplektični geometriji, nizko dimenzionalni topologiji, teoriji strun, pa vse do kriptografije. V predmetu bomo razvili osnove teorije Riemannovih ploskev s pomočjo kompleksne analize, ki ponuja najhitrejšo pot do nekaterih globljih in zanimivih rezultatov, kot je npr. Riemann-Rochov izrek. V prvem delu si bomo ogledali nekaj naravnih konstrukcij Riemannovih ploskev (analitično nadaljevanje, krovni in kvocientni prostori, Riemannove ploskve kot algebraične krivulje). V drugem delu bomo obravnavali kompaktne Riemannove ploskve, konstrukcijo meromorfnih funkcij na njih, divizorje in vektorske svežnje ter Riemann-Rochov izrek. V zadnjem delu si bomo ogledali nekaj zanimivih rezultatov iz teorije nekompaktnih Riemannovih ploskev. Potrebno/pričakovano predznanje: Osnove analize in topologije. Nekaj izrekov, ki so podrobno obdelani pri predmetu Analiza 2 (I. stopnja) in Uvod v kompleksno analizo, bomo navedli pred prvo uporabo. Izvedba 2/2 v 1. semestru: Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domača naloga, ki se upošteva pri oceni. Pisni in ustni izpit. Viri literature: H. M. Farkas, I. Kra: Riemann surfaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 71. Springer-Verlag, New York, 1992, O. Forster; Lectures on Riemann surfaces. Graduate Texts in Mathematics, 81. Springer-Verlag, New York, 1991, P. Griffiths: Introduction to Algebraic Curves. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 76, AMS, 1980, R. Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 5. American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.

25 Liejeve grupe Janez Mrčun Kratek opis predmeta: Liejeva grupa je množica, ki je hkrati opremljena z dvema med seboj kompatibilnima strukturama: z algebraično strukturo grupe in z geometrično strukturo gladke mnogoterosti. Liejeve grupe se naravno pojavljajo kot grupe simetrij geometrijskih objektov. Osnovni primeri Liejevih grup so matrične grupe: splošni linearni grupi GL(n, R) in GL(n, C), ortogonalna grupa O(n), unitarna grupa U(n), specialni linearni grupi SL(n, R) in SL(n, C) itd. Primeri Liejevih grup so tudi R n in n-razsežni torus T n. Tangentni prostor poljubne Liejeve grupe v točki 1 ima naravno strukturo končno-razsežne Liejeve algebre. Tako na primer splošni linearni grupi GL(n, R) pripada Liejeva algebra vseh realnih matrik dimenzije n n, medtem ko ortogonalni grupi O(n) pripada Liejeva algebra vseh realnih antisimetričnih matrik dimenzije n n. V obeh primerih je množenje v pripadajoči Liejevi algebri dano s komutatorjem matrik. Velik del strukture Liejeve grupe je določen s pripadajočo Liejevo algebro: Liejeva teorija pove, da vsaka realna končno-razsežna Liejeva algebra pripada natanko eni enostavno povezani Liejevi grupi. Za študij strukture abstraktne Liejeve grupe so še posebej pomembne njene upodobitve na vektorskih prostorih. Takšne upodobitve nam omogočijo, da množenje v Liejevi grupi interpretiramo kot množenje matrik in nato za študij strukture Liejeve grupe uporabimo orodja iz linearne algebre. Izkaže se celo, da je vsaka kompaktna Liejeva grupa izomorfna neki podgrupi unitarne grupe. Teorija upodobitev Liejevih grup je posplošitev Fourierove teorije, ki se uporablja za analizo, kompresijo in filtracijo signalov, slik ter filmov. V mehaniki se simetrija sistema kaže kot invariantnost tega sistema glede na delovanje neke Liejeve grupe, simetrije mehanskih sistemov pa so tesno povezane z ohranitvijo fizikalnih količin kot sta na primer energija in pa vrtilna količina. V moderni fiziki se upodobitve unitarnih grup uporabljajo pri opisu osnovnih delcev. Vektorska polja na gladkih mnogoterostih. Liejeva grupa in njena Liejeva algebra. Eksponentna preslikava. Delovanja in upodobitve Liejevih grup. Adjungirana upodobitev. Liejeva teorija. Kompaktne Liejeve grupe. Maksimalni torusi. Upodobitve kompaktnih Liejevih grup. Temeljna literatura: J. F. Adams, Lectures on Lie Groups. W. A. Benjamin, New York-Amsterdam, T. Bröcker, T. T. Dieck, Representations of Compact Lie Groups. Springer, New York, J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie Groups. Springer, Berlin, J. P. Serre, Lie Algebras and Lie Groups, 2nd edition. Springer, Berlin, F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer, New York- Berlin, Potrebno/pričakovano predznanje: Potrebno je poznavanje analize funkcij več realnih spremenljivk in linearne algebre. Poleg tega je pričakovano tudi poznavanje nekaterih osnovnih pojmov iz teorije grup ter iz splošne topologije (oziroma metričnih prostorov), ki pa jih bomo tudi na kratko povzeli v uvodnih urah predavanj. Izvedba 3/1 v 1. semestru: Tri ure predavanj in ena ura vaj tedensko. Obveznosti študenta: samostojno reševanje domače naloge ob koncu semestra in ustni izpit.

26 Diferencialna geometrija Pavle Saksida Medtem ko je Gaussova ukrivljenost ploskve relativno enostaven pojem, je ustrezna količina za n-dimenzionalno gladko mnogoterost z metriko precej bolj zapletena. Pri predmetu bodo študentje spoznali matematične vsebine, ki so potrebne za opis in razumevanje ukrivljenosti v n dimenzijah. S tem orodjem bomo lahko opisali tudi druge pomembne geometrijske pojme, kot so npr. geodetske krivulje v n-dimenzionalnih mnogoterostih. Osnovni pojem, potreben za opis ukrivljenosti v n dimenzijah, je kovariantni odvod oziroma povezava. Teorijo povezav (kovariantnih odvodov) bomo predstavili v precej splošnem kontekstu. Razumevanje te teorije je nujno pri kasnejšem študiju večine sodobnih matematičnih teorij, ki so vezane na geometrijo (nove topološke invariante mnogoterosti, geometrijski Langlandsov program...). Teorija povezav ima tudi veliko pomembnih in zanimivih uporab v sodobni fiziki. Potrebno/pričakovano predznanje: Koristno je predznanje, pridobljeno pri predmetu Specialne funkcije. Izvedba 3/1 v 2. semestru: Domače naloge in izpit iz teorije.

27 Algebraična topologija 2 Petar Pavešić Algebraična topologija 2 je predmet, ki z Algebraično topologijo 1 tvori vsebinsko celoto, vendar sta zaradi cikličnega izvajanja oba predmeta oblikovana tako, da eden ni predpogoj za drugega. V algebraični topologiji uporabljamo algebrajske strukture za študij geometrijskih objektov, ki so lahko ploskve, telesa, višje razsežne mnogoterosti, vozli, prostori rešitev diferencialnih enačb pa tudi zapleteni vzorci, digitalizirani posnetki in podobno. Algebrajske strukture pa so predvsem številske karakteristike (stopnja, ovojno število, Eulerjeva karakteristika) ter grupe. Pri predmetu se bomo naučili, kako diskretiziramo geometrijske objekte s pomočjo simplicialnih in CW-kompleksov, potem pa bomo geometrijo teh objektov algebrajsko opisali s pomočjo homotopskih in kohomoloških grup. Tradicionalno je algebraična topologija sinteza in vrhunec dodiplomskega študija ter pomemben predpogoj za nadaljevanje študija na tretji stopnji in za raziskovalno delo. Nekateri deli pa so tudi močno povezani z uporabo: na primer, simplicialni kompleksi so standardno orodje za digitaliziranje slik in za numerično modeliranje, homološke in kohomološke grupe pa se rutinsko uporabljajo za samodejno računalniško analizo zapletenih množic podatkov, kot so satelitske slike, posnetki dobljeni z magnetno resonanco ter druge digitalizirane podobe, tako statične kot tudi dinamične. Potrebno/pričakovano predznanje: Pričakovano predznanje obsega predmete, kot so Splošna topologija, Uvod v Geometrijsko topologijo, Algebra 2 in delno Algebra 3. Predmet se navezuje na vse predmete, ki imajo močno geometrijsko komponento (npr. Algebraična topologija 1, Algebraične krivulje, Algebrajska geometrija, Diferencialna geometrija, Analiza na mnogoterostih, Riemannove ploskve, Liejeve grupe) in je poznavanje kateregakoli od teh zelo dobrodošlo s stališča motivacije, ni pa predpopogoj za poslušanje predmeta. Izvedba 2/2 v 2. semestru: Predmet se bo izvajal s predavanji ter s kombinacijo seminarjev in vaj. Ocena bo oblikovana na podlagi pisnega in ustnega izpita.

28 Iterativne numerične metode v linearni algebri (IŠRM2: Izbrana poglavja iz numerične matematike) Bor Plestenjak Ukvarjali se bomo z numeričnimi metodami, ki jih uporabljamo za reševanje velikih razpršenih linearnih sistemov oziroma računanje lastnih vrednosti in vektorjev za velike razpršene matrike. Za matriko A velikosti n n pravimo, da je razpršena, če ime le O(n) neničelnih elementov, ki poleg tega nimajo kakšne posebne strukture, ki bi jo lahko izkoristili pri reševanju našega problema. Take matrike se velikokrat pojavijo v praktičnih aplikacijah, direktnih metod, kot sta npr. LU razcep za reševanje linearnega sistema ali QR metoda za računanje lastnih vrednosti, pa ne moremo uporabiti, saj nam zmanjka pomnilnika ali pa časa. Namesto tega uporabljamo iterativne metode, kjer dobimo zaporedje približkov, ki konvergirajo k točni rešitvi. Zanimal nas bo razvoj učinkovitih numeričnih algoritmov za razpršene matrike, pri čemer bomo uporabljali orodja iz numerične linearne algebra in algoritme preizkušali v programu Matlab. Spoznali bomo tudi nekatere praktične probleme, kjer nastopajo velike razpršene matrike. Tako npr. za analizo potresne varnosti zgradbe potrebujemo nekaj najnižjih lastnih vrednosti modela, ki ga predstavlja velika razpršena matrika. Z reševanjem velikih linearnih sistemov se srečamo pri numeričnem reševanju parcialnih diferencialnih enačb. Če uporabimo npr. metodo simetričnih diferenc ali metodo končnih elementov, problem prevedemo na reševanje ogromnega sistema. Velikost sistema je odvisna od natančnosti, s katero želimo rešiti parcialno diferencialno enačbo, v praksi pa vzamemo maksimalno velik sistem, ki ga še lahko rešimo v doglednem času. Ključne besede: Iteracijska matrika, Jacobijeva, Gauss-Seidlova in SOR metoda. Simetrična SOR metoda s pospešitvijo Čebiševa. Podprostori Krilova. Lanczosev in Arnoldijev algoritem. GMRES, MINRES, konjugirani gradienti. Predpogojevanje. Galerkinov pogoj. Rayleigh Ritzeve vrednosti in vektorji. Jacobi Davidsonova metoda. Potrebno/pričakovano predznanje: Vse potrebno predznanje dobite pri obveznih numeričnih predmetih na 1. stopnji Matematike oz. Finančne matematike. Pri matematikih vam pride prav (gre pa tudi brez tega) tudi znanje predmeta Numerična linearna algebra. Izvedba 2/2 v 1. semestru: 2 domači nalogi, ki se upoštevata pri pisni oceni, pisni in ustni izpit. Ostalo: Predmet je namenjen vsem, ki jih zanima praktično reševanje matematičnih problemov in delo z računalnikom. Tudi t.i. teoretični matematiki boste pri tem predmetu prišli na svoj račun, saj moramo za razvoj algoritmov in študij njihove stabilnosti nadgraditi linearno algebro s številnimi teoretičnimi rezultati. Več informacij o predmetu lahko najdete na spletni strani preko elektronske pošte, lahko pa se oglasite tudi osebno.

29 Numerična aproksimacija in interpolacija (IŠRM2: Izbrana poglavja iz numerične matematike) Jernej Kozak Predmet obravnava matematična orodja, ki so nepogrešljiva v približnem reševanju praktičnih problemov. Spoznamo razrede funkcij, ki so primerni za iskanje aproksimacij, npr. polinome, odsekoma polinomske funkcije (zlepke), trigonometrijske polinome, racionalne funkcije ipd. ter kriterije, ki povedo, kako aproksimativne funkcije poiščemo. Tu izbiramo med optimalnimi shemami, kot sta npr. enakomerna aproksimacija ali aproksimacija po metodi najmanjših kvadratov, in preprostejšimi, linearnimi pristopi, kot je interpolacija. Postavimo merila, ki povedo kaj o kvaliteti aproksimacij in poiščemo konkretne postopke kontrukcije. Predmet je osnova vsem drugim predmetom s področja numerične analize. Potrebno/pričakovano predznanje: Zaželen je opravljen izbirni predmet Numerična linearna algebra, priporočamo tudi izbiro predmeta Matematično modeliranje. Predmet je osnova vsem drugim predmetom s področja numerične analize. Izvedba 2/2 v 1. semestru: Dve uri predavanj in dve uri vaj tedensko. Načrtovan izpitni režim: domači nalogi, pisni in ustni izpit.