Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Master rad Spektralne invarijante u Florovoj homologiji Student: Mentor: Vukaxin Stojisavljevi dr Darko Milinkovi U Beogradu, 2014-2015.
Sadraj 1 Topoloxki uvod 2 1.1 Transverzalnost............................. 2 1.2 Fundamentalna klasa i orijentabilnost............... 7 1.3 Poenkareova dualnost.......................... 8 1.4 Indeks preseka i proizvodi u (ko)homologiji............ 14 2 Morsova homologija 16 2.1 Morsove funkcije i negativni gradijentni tok........... 16 2.2 Modulski prostor krivih i Morsova homologija.......... 22 2.3 Izomorfizam Morsove i singularne homologije........... 27 2.4 Operacije u Morsovoj homologiji................... 30 2.5 Analitiqki pristup Morsovoj homologiji.............. 35 3 Panorama simplektiqke topologije 49 3.1 Simplektiqke mnogostrukosti..................... 49 3.2 Lagraneve podmnogostrukosti.................... 52 3.3 Hamiltonova dinamika......................... 54 3.4 Hoferova geometrija.......................... 62 3.5 Generixue funkcije i Viterboove invarijante.......... 67 4 Spektralne invarijante 71 4.1 Pseudoholomorfne krive........................ 71 4.2 Osnove Florove teorije......................... 77 4.2.1 Klasiqna Morsova teorija kao teorija holomorfnih krivih 77 4.2.2 Florova homologija kao Morsova homologija funkcionala dejstva.............................. 81 4.2.3 O uopxte ima Florove homologije za Lagraneve preseke 89 4.2.4 Proizvodi u Florovoj homologiji............... 91 4.3 Piunikin-Salamon-Xvarcov izomorfizam............. 94 4.4 Konstrukcija i osobine spektralnih invarijanti......... 99 4.5 Hoferova metrika na prostoru Lagranevih podmnogostrukosti u kotangentnom rasloje u........................ 107
Uvod Florova teorija se danas smatra jednim od standardnih alata u simplektiqkoj topologiji. U ovom radu je dat pregled Florove teorije, pri qemu je posebna pa a posveena spektralnim invarijantama koje se pomou e konstruixu. U radu su prikazani klasiqni rezultati vezani za simplektiqku topologiju i Florovu teoriju, kao i neki moderni istraivaqki pravci. U prvoj glavi je naprav en pregled klasiqnih tvre a diferencijalne i algebarske topologije neophodnih za prae e ostatka materijala. U drugoj glavi se bavimo izuqava em Morsove teorije. Florova teorija se moe videti kao beskonaqno-dimenziono uopxte e Morsove teorije u simplektiqkom ambijentu, pa se zbog toga mnoge ideje izloene u Morsovom sluqaju mogu preneti i na Florov sluqaj. U ovoj glavi je izloen klasiqan pristup Morsovoj teoriji koji koristi ideje diferencijalne topologije i dinamiqkih sistema, kao i moderan pristup koji koristi vixe analitiqke metode. Trea glava slui kao uvod u simplektiqku topologiju. U oj su prikazane osnovne teoreme simplektiqke topologije sa posebnim akcentom na Hamiltonovu dinamiku. Na kraju poglav a smo, da bismo motivisali uvoe e spektralnih invarijanti, opisali konstrukciju Viterboovih invarijanti koje se mogu smatrati konaqno dimenzionom verzijom spektralnih invarijanti. Suxtina rada je izloena u qetvrtoj glavi. U oj su izloeni rezultati vezani za pseudo-holomorfna preslikava a u simplektiqkom ambijentu, konstrukcija nekoliko verzija Florove homologije i spektralnih invarijanti, kao i primena spektralnih invarijanti u dokazu nedegenerisanosti Hoferove metrike na prostoru Lagranevih podmnogostrukosti. elim da se zahvalim svom mentoru, profesoru Darku Milinkoviu, na mnogim sugestijama, uputstvima i savetima koje mi je davao tokom izrade ovog rada. On je svojim zna em, iskustvom i entuzijazmom veoma doprineo izradi ove teze, kao i izgrad i mog matematiqkog ukusa uopxte. Takoe elim da se zahvalim Jovani ureti na diskusijama koje smo vodili i objax e ima koja mi je davala u vezi sa temom rada. Zahva ujem se qlanovima komisije profesoru Miodragu Mate eviu i dr Mi anu Kneeviu na sugestijama. 1
1 Topoloxki uvod U ovom poglav u navodimo klasiqna tvre a diferencijalne i algebarske topologije neophodna za razumeva e ostatka materijala. Kod tvre a koja se mogu formulisati i na jeziku algebarske i na jeziku diferencijalne topologije smo uglavnom birali diferencijalno-topoloxku formulaciju. Veina materijala je preuzeta iz [2] i [48]. 1.1 Transverzalnost U ovom ode ku emo navesti nekoliko klasiqnih tvre a i dokazati dve Teoreme o parametarskoj transverzalnosti. Definicija 1.1. Glatku mnogostrukost zovemo zatvorenom ukoliko je kompaktna i bez granice. Prisetimo se sledeih klasiqnih tvre a: Teorema 1.1. (O rangu) Neka je F : R n R m glatko preslikava e konstantnog ranga r u okolini taqke x 0 R n. Tada postoje otvorene okoline U R n i V R m, x 0 U, F (U) V i difeomorfizmi takvi da je ϕ : U I n = {(x 1,..., x n ) R n ( j) x j < 1} ψ : V I n = {(x 1,..., x m ) R m ( j) x j < 1} ψ F ϕ 1 (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x r, 0,..., 0). Specijalno ukoliko je F submerzija, postoje lokalne koordinate u kojima je F projekcija i ima zapis: F (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x m ), m n. Definicija 1.2. Neka su M i N glatke mnogostrukosti i F : M N glatka funkcija. Ukoliko df (p) : T p M T F (p) N nije,,na" taqku p M zovemo singularnom ili kritiqnom taqkom, a F (p) N singularnom ili kritiqnom 2
vrednoxu. Taqke p M i q N zovemo regularnom taqkom i regularnom vrednoxu ukoliko nisu singularne (q ne mora pripadati F (M)). Posledica 1.1. Ako su M i N glatke mnogostrukosti i F : M N glatka funkcija i q N regularna vrednost tada je F 1 (q) M podmnogostukost za koju vai: codim(f 1 (q)) = dim(n) ( p F 1 (q)) T p F 1 (q) = ker(df (p)). Definicija 1.3. Neka je F : M N glatko preslikava e izmeu glatkih mnogostrukosti M i N i neka je Q N podmnogostrukost. Kaemo da je F transverzalno na Q i oznaqavamo F Q ukoliko za svako p M, q = F (p) vai T q Q + df (p)(t p M) = T q N. Ukoliko je G : M 1 N, transverzalnost F i G definixemo uslovom df (p)(t p M) + dg(p 1 )(T p1 M 1 ) = T q N dok se transverzalnost dve podmnogostrukosti definixe kao transverzalnost odgovarajuih ulaga a. Slika 1 pokazuje dve mnogostrukosti koje se seku netransverzalno i transverzalno. Primetimo da malim pomera em netransverzalnog poloaja dolazimo u transverzalan poloaj. Slika 1: Netransverzalan i transverzalan poloaj Definicija 1.4. Neka je su M i N glatke mnogostrukosti i Q N podmnogostrukost. Rasloje e T N/T Q nad Q nazivamo normalnim rasloje em i oznaqavamo ν Q. Neka je π : T N T N/T Q = ν Q projekcija data sa π(v) = [v] i 3
F : M N glatko preslikava e. Kompoziciju π df (p) : T p M ν Q (F (p)) nazivamo vertikalnim izvodom i oznaqavamo sa DF (p) := π df (p). Teorema 1.2. Neka se M i N glatke mnogostrukosti, Q podmnogostrukost od N i F : M N glatko preslikava e transverzalno na Q. Tada je F 1 (Q) M podmnogostrukost i vai: codim(f 1 (Q)) = codim(q) ( p F 1 (Q)) T p F 1 (Q) = ker(df (p)). Dokaz. Tvre e je lokalnog karaktera, a lokalno Q N moemo posmatrati kao R k R n i R n /R k je dobro definisano. U okolini taqke p F 1 (Q) moemo smatrati da F : R m R n i uslov F Q znaqi da jr F R k. Definixemo F : R m R n /R k, F := π F gde je π : R n R n /R k projekcija. Sada je F 1 (Q) = F 1 (R k ) = F 1 (0), a iz F R k sledi da je 0 regularna vrednost preslikava a F, pa tvre e sledi iz Posledice 1.1. Specijalno, ukoliko je E vektorsko rasloje e nad bazom B i F : B E seqe e takvo da je F 0 E, onda je F 1 (0 E ) B podmnogostrukost. Definicija koja sledi se bazira na qi enicama da je u R n prebrojiva unija skupova mere nula opet skup mere nula, da difeomorfizmi quvaju skupove mere nula i da glatka mnogostrukost ima prebrojivu bazu topologije. Definicija 1.5. Podskup S glatke mnogostrukosti M je mere nula ukoliko je za svaku kartu (U, ϕ), ϕ(u S) R m skup Lebegove mere nula. Skup qiji je komplement mere nula zovemo generiqkim. Teorema 1.3. (Sard) Skup kritiqnih vrednosti glatkog preslikava a F : M N izmeu glatkih mnogostrukosti M i N je mere 0. Teorema 1.4. (Parametarska transverzalnost I) Neka su M i N zatvorene mnogostrukosti, Q N podmnogostrukost i S mnogostrukost (koju zovemo 4
skupom parametara). Neka: F : M S N, F Q. Tada je F s := F (, s) Q za generiqki parametar s S. Dokaz. Iz F Q sledi da je W := F 1 (Q) M S podmnogostrukost. Uoqimo projekciju na drugu koordinatu π : M S S. Sada za s S vai: F s Q s je regularna vrednost za π W. Zaista za w = (m, s) W i q = F (w) iz F Q imamo T w W = ker(df (w)) = {( m, s) T w (M S) df (w)( m) + df (w)( s) T Q} pri qemu smo koristili T w (M S) = T w M T w S. Da e vae ekvivalencije: s je regularna vrednost za π W dπ W : T W T S je surjektivno za svako w W π 1 (s) ( s T s S)( m T m M) df (w)( m) + df (w)( s) T q Q ( n T q N) n = df (w)( m 1 ) + q za neke m 1 T m M, q T q Q Posled a ekvivalencija vai jer F Q, pa T N = df (T (M S)) + T Q. Meutim, kako m 1 T m M to je df (w)( m 1 ) = df s (m)( m 1 ), pa je ( n T q N) n = df (w)( m 1 ) + q za neke m 1 T m M, q T q Q F s Q. Sada tvre e sledi iz Sardove teoreme. Teorema 1.5. (Parametarska transverzalnost II) Neka su M, N, Q, S kao u Teoremi 1.4, F : M S N, F Q i W = F 1 (Q). Tada vai: ker(dπ W (w)) = ker(df s (m)) coker(dπ W (w)) = coker(df s (m)) 5
gde je w = (m, s), π : M S S projekcija, a DF s (m) : T m M ν Q vertikalni izvod. Dokaz. Neka je w = (m, s) W, F (w) = q. Vai niz jednakosti: ker(dπ W (w)) = {( m, 0) T w W } = { m T m M df (w)( m) T q Q} = { m T m M DF (w)( m) = 0 ν Q } = ker(df s (m)) koji dokazuje prvi deo tvre a. U okolini w imamo da vai: dπ : T M T S je surjekcija, pa je dπ : T M T S T S izomorfizam, pa je i T M dπ : T M T S T S T M+T W dπ(t W ) = coker(dπ W ) izomorfizam u w. S druge strane, kako F Q to je T W = ker(df ) i ν Q = Im(DF ), pa vai = ν Q odnosno T M T S T W T M T S T M + T W = ν Q DF (T M) = u taqki w qime je tvre e dokazano. ν Q DF s (T M) = coker(df s ) 6
1.2 Fundamentalna klasa i orijentabilnost Teorema 1.6. Svaka glatka mnogostrukost je homeomorfna simplicijalnom kompleksu (videti [2]). Znaqaj navedene teoreme je u tome xto omoguava da pojmove vezane za mnogostrukosti iskaemo kombinatornim jezikom. Specijalno orijentabilnost moemo izraziti kao mogunost konzistentne orijentacije svih n-simpleksa, dok singularnu homologiju moemo raqunati kao simplicijalnu. Na taj naqin jednostavnim kombinatornim argumentima moemo dokazati sledeu teoremu (videti [2]). Teorema 1.7. Za glatku povezanu mnogostrukost M dimenzije n vai: 1. Ako M nije zatvorena, onda je H n (M; G) = 0. 2. Ako je M zatvorena, onda je H n (M; Z 2 ) = Z 2. 3. Ako je M zatvorena i orijentabilna, onda je H n (M; Z) = Z. 4. Ako je M zatvorena i neorijentabilna, onda je H n (M; Z) = 0. Gor a teorema motivixe uvoe e sledee klase mnogostrukosti. Definicija 1.6. Glatku mnogostrukost M dimenzije n zovemo G-orijentabilnom ukoliko je H n (M; G) = G. Specijalno zatvorena i orijentabilna mnogostrukost je Z-orijentabilna. Ukoliko je G = Z p ili G = Z generator grupe H n (M; G) zovemo fundamentalnom klasom te mnogostrukosti i oznaqavamo ga sa [M]. Najqexe se fundamentalnom klasom naziva generator grupe H n (M; Z). Napomena: Teorema o trijangulaciji ne vai za topoloxke mnogostrukosti. Naime, poznato je da topoloxke mnogostrukosti dimenzije ne vee od 3 imaju glatku strukturu, pa se stoga mogu i trijangulisati ([39]). Fridmanova E8 mnogostrukost je primer qetvorodimenzione mnogostrukosti koja se ne moe trijangulisati. Problem trijangulacije topoloxkih mnogostrukosti dimenzije vee od 4 bio je otvoren do 2013. godine kada je Ciprian Manulesku dokazao da postoje mnogostrukosti koje se ne mogu trijangulisati u svim dimenzijama veim od 4. Zanim ivo je napomenuti da je Manulesku ovo tvre e dokazao konstruixui novu verziju Florove homologije! 7
1.3 Poenkareova dualnost Singularna homologija je definisana posmatra em neprekidnih preslikava a iz simpleksa u topoloxki prostor. Meutim, ako je kodomen M glatka mnogostrukost, moemo posmatrati glatka preslikava a iz simpleksa u M i na taj naqin konstruisati glatku sngularnu homologiju. Inkluzija glatkih singularnih simpleksa u singularne simplekse indukuje izomorfizam na nivou homologije, pa je u razmatra ima koja slede dovo no posmatrati samo glatke simplekse. Za deta no izlaga e teorije vezane za glatke simplekse pogledati [33]. Naxe izlaga e uglavnom prati [2]. Konveksan omotaq k + 1 taqaka A 0, A 1,..., A k u R k koje ne lee u jednoj hiperravni nazivamo euklidskim k-simpleksom i oznaqavamo sa k. Neprekidno preslikava e s : k X u topoloxki prostor X zovemo singularnim k-simpleksom. Ukoliko je M glatka mnogostrukost, moemo govoriti o glatkim preslikava ima iz otvorenih skupova u R k u M. Za preslikava e: c : k M kaemo da je glatko ukoliko postoji egovo glatko proxire e na neki otvoren skup U R k takav da k U. Takvo glatko preslikava e c zovemo glatkim singularnim simpleksom. Graniqni operator kojim je definisana (glatka) singularna homologije dat je sa c = k ( 1) i c i i=0 gde su c i (glatki) singularni simpleksi dobijeni restrikcijom preslikava a c na A 0,..., A i 1, A i+1,... A k, vodei raquna o redosledu taqaka A 0, A 1,..., A k. Izbor redosleda temena euklidskog simpleksa do na parnu permutaciju moemo smatrati egovom orijentacijom. U tom smislu je c formalna suma graniqnih (k 1)-simpleksa uz indukovnu orijentaciju (slika 2): 8
Slika 2: Graniqni operator u singularnoj homologiji Unutrax ost euklidskog k-simpleksa je otvoren skup u R k dok je egova granica mere 0, pa za diferencijalnu k formu ω na M i glatki singularni simpleks c : k M moemo definisati c ω = kao integral po unutrax osti k. Za ovako definisan integral e vaiti Stoksova teorema (videti [33]): c dω = c ω = k c ω k ( 1) i gde je c glatki singularni k-simpleks, a ω diferencijalna k 1 forma na M. Ovako definisan integral produujemo po linearnosti na glatke simplicijalne komplekse. Gor e razmatra e nam omoguuje da definixemo spariva e homologije nad R i de Ramove kohomologije pomou integrala. Naime, Stoksova teorema ostvaruje dualnost izmeu operatora i d, pa je mogue definisati integral na nivou homologije i kohomologije, odnosno mogue je definisati 1 [σ] [ω] i=0 c i ω nezavisno od izbora predstavnika σ i ω. Zaista, za σ 1 σ 2 = σ imamo ω ω = ω = σ 2 σ 1 σ 2 σ 1 ω = dω = 0 σ σ 1 Ovo spariva e e odgovarati uobiqajenom spariva u homologije i kohomologije [ω], [σ]. 9
jer je ω zatvorena kao predstavnik kohomoloxke klase, a za ω 1 ω 2 = dω je ω 1 ω 2 = ω 1 ω 2 = dω = ω = 0 σ σ σ σ σ jer je σ = 0 zato xto je σ predstavnik homoloxke klase. Za tako definisan integral e vaiti sledea teorema: Teorema 1.8. (de Ram) Bilinearno preslikava e je nedegenerisano. : HdR(M) k H k (M; R) R, ([ω], [σ]) [ω] Lema 1.1. Ukoliko su V i W realni vektorski prostori konaqne dimenzije i ϕ : V W R nedegenerisano bilinearno preslikava e, onda je V = W. Izomorfizam ovih prostora je definisan na prirodan naqin pomou preslikava a ϕ. Dokaz. Definixemo φ : V W sa φ(v)(w) = ϕ(v, w). Ostalo je linearna algebra. U sluqaju da je M zatvorena mnogostrukost, ene homoloxke i kohomoloxke grupe su konaqno generisane, pa qine konaqno dimenzione vektorske prostore nad R. Tada de Ramova teorema zajedno sa Lemom 1.1 daje sledeu posledicu. Posledica 1.2. Za zatvorenu mnogostrukost M vai H k dr(m) = (H k (M; R)) pri qemu se izomorfizam ostvaruje pomou integrala. Navedena posledica daje vezu izmeu homologije i kohomologije sa koeficijentima u R u obliku dualnosti koja se ostvaruje putem integrala. Ova posledica ne vai za homologiju i kohomologiju nad bilo kojim prstenom. Na primer, ne vai H k (M; Z) = Hom(H k (M; Z), Z). Tvre a koja slede su sliqnog duha kao navedena posledica i qesto se skupa nazivaju Poenkareovom dualnoxu. Prvo navodimo jednu tehniqku lemu. [σ] Definicija 1.7. Dobro pokriva e mnogostrukosti M je pokriva e kartama {U α } qiji je svaki neprazan konaqan presek U α1 U αk difeomorfan R n. 10
Lema 1.2. Svaka mnogostrukost ima dobro pokriva e. Kompaktna mnogostrukost ima konaqno dobro pokriva e. Dokaz. Videti u [16]. Preslikava e [α] [β] M α β je dobro definisano na kohomoloxkom nivou ukoliko je M mnogostrukost bez granice. Zaista kako je M dω = M i iz osobina d i dα = dβ = 0 imamo da vai to je pa M ω = 0 (α + dα 1 ) (β + dβ 1 ) = dα 1 dβ 1 + dα 1 β + α dβ 1 + α β = = d(α 1 dβ 1 ) + d(α 1 β) ± d(α β 1 ) + α β M α β = (α + dα 1 ) (β + dβ 1 ) M α β ne zavisi od izbora predstavnika klasa [α] i [β]. Ovim raqunom smo takoe pokazali da kohomoloxka klasa [α β] zavisi samo od [α] i [β], a ne i od samih predstavnik. Sledea teorema je klasiqno tvre e diferencijalne topologije, pa en dokaz neemo navesti. Skica dokaza se moe nai u [2]. Teorema 1.9. (Poenkareova dualnost) Neka je M orijentisana mnogostrukost (bez granice) koja ima konaqno dobro pokriva e. Tada je H k dr(m) = (H n k c,dr (M)) i dualnost se ostvaruje nedegenerisanim spariva em H k dr(m) H n k c,dr (M) R, [α] [β] M α β gde je Hc,dR kohomologija sa kompaktnim nosaqem. Specijalno ukoliko je M zatvorena vai HdR k (M) = Hc,dR k (M) i ona ima konaqno dobro pokriva e, pa ako je jox i orijentisana, onda vai HdR k (M) = (H n k dr (M)). 11
U sluqaju zatvorene orijentisane mnogostrukosti Poenkareova dualnost daje HdR k (M) = (H n k dr (M)), a kako je zbog kompaktnosti H n k dr (M) vektorski prostor konaqne dimenzije, vai (H n k dr (M)) = H n k dr (M). Da e zak uqujemo da vai HdR(M) k = H n k dr (M). Kao posledicu de Ramove teoreme imamo da vai H k dr (M) = (H k (M; R)) xto sliqnim argumentima o konaqnosti dimenzije daje HdR(M) k = H n k dr (M) = H k (M; R) = H n k (M; R). Najqexe se Poenkareova dualnost formulixe kao H k (M; R) = H n k (M; R) pri qemu izomorfizam vai kada je R proizvo an komutativni prsten sa jedinicom. Poenkareova dualnost vai i u mnogim drugim oblicima (vixe o tome moe se nai u [13]). Neka je sada M povezana orijentisana mnogostrukost dimenzije n i N M zatvorena podmnogostrukost dimenzije k. Ako je i N ulaga e N u M, onda je sa N : Hc,dR(M) k R, α N α = dobro definisano linearno preslikava e, pa prema Poenkareovoj dualnosti postoji jedinstvena kohomoloxka klasa [β] H n k dr (M) takva da je N α = M α β N i Nα za svako [α] Hc,dR k (M). Ovu kohomoloxku klasu zovemo Poenkareovim dualom podmnogostrukosti N i oznaqavamo P D(N). Primer 1.1. Ukoliko je N taqka imamo da su sve zatvorene 0 forme f na M funkcije qiji je izvod 0 odnosno konstante. Zato je za f λ: f = λ = λ = f P D(N) = λ P D(N) N M M 12
odnosno P D( ) je forma zapremine normalizovana tako da je zapremina od M jednaka 1. Teorema 1.10. (Princip lokalizacije) Neka je N M zatvorena podmnogostrukost. Tada za svaku otvorenu okolinu U N postoji forma β koja je predstavnik P D(N) i qiji je nosaq sadran u U. Dokaz. Neka je ϕ proizvo na glatka funkcija qiji je nosaq sadran u U i koja je jednaka 1 na N. Sada za svaku α HdR k (M) vai: α = i Nα = i N(ϕα) = (ϕα) P D(N) = α (ϕp D(N)), N N N M M pa je ϕp D(N) traeni predstavnik. 13
1.4 Indeks preseka i proizvodi u (ko)homologiji U prethodnom ode ku smo dokazali da [α β] zavisi samo od [α] i [β], a ne i od samih predstavnik. Iz tog razloga moemo definisati proizvod u kohomologiji sa : HdR(M) k HdR(M) l H k+l dr (M), ([α], [β]) = [α β]. (1.1) Ovako definisan proizvod se naziva kap proizvodom. Neka je sada M mnogostrukost i R, S M ene podmnogostrukosti koje se seku transverzalno. Iz Teoreme 1.2 sledi da je R S M takoe podmnogostrukost. Teorema 1.11. Neka je M orijentisana mnogostrukost i R, S M dve ene zatvorene orijentisane podmnogostrukosti koje se seku transverzalno. Tada vai Dokaz. Pogledati [2]. P D(R S) = P D(R) P D(S) Kako P D : H k dr (M) H n k(m) koristei Poenkareovu dualnost moemo definisati proizvod dualan kap proizvodu na kohomologiji sa : H n k (M) H n l (M) H n k l (M), a b = P D(P D(a) P D(b)) gde su sa P D( ) oznaqeni odgovarajui Poenkareovi duali. Iz Teoreme 1.11 zak uqujemo da proizvod moemo videti i kao indukovan presekom. 2 Neka je sada M zatvorena orijentisana mnogostrukost i R, S M ene zatvorene orijentisane podmnogostrukosti koje se seku transverzalno i za koje vai dimr + dims = dimm. ihov presek je konaqan skup taqaka i u svakoj 2 Ovakva interpretacija vai pod pretpostavkom da se odgovarajue homoloxke klase ostvaruju podmnogostrukostima. Ovo nije uvek mogue postii, odnosno postoje homoloxke klase koje se ne mogu ostvariti podmnogostrukostima. Ovo pita e je prvi razmatrao Poenkare. Naime, on je pokuxavao da definixe homologiju posmatrajui podmnogostrukosti umesto simpleksa. Hegard je kritikovao ovakav pristup, koji je na kraju napustio i sam Poenkare. Ovo pita e je u moderna razmatra a vratio Stinrod iz qega se kasnije rodila teorija (ko)bordizama. Prvi primer homoloxke klase koja se ne moe prikazati podmnogostrukoxu je dao Tom u [53]. 14
preseqnoj taqki vai T p M = T p R T p S. Odavde sledi da orijentacije mnogostrukosti R i S indukuju orijentaciju T p M u svakoj taqki preseka R i S. Za p R S definiximo ε(p) = 1 ako se orijentacija prostora T p M indukovana iz T p R i T p S poklapa sa orijentacijom prostora T p M nasleenom iz orijentacije M, a ε(p) = 1 inaqe. Definicija 1.8. Broj R S = ε(p) se naziva indeksom presek R i S. p R S Iz Teoreme 1.11 i Primera 1.1 sada sledi sledea teorema. Teorema 1.12. Neka je M zatvorena orijentisana mnogostrukost i R, S M ene zatvorene orijentisane podmnogostrukosti. Tada je R S = M P D(R) P D(S). 15
2 Morsova homologija 2.1 Morsove funkcije i negativni gradijentni tok Postoji mnogo naqina da se uvedu homoloxke grupe H (M; G) za Abelovu grupu G i topoloxki prostor M. Singularna homologija je definisana za xiroku klasu topoloxkih prostora, dok su simplicijalna ili CW-homologija definisane na uoj klasi prostora, ali su qesto jednostavnije za rad. Mi emo se ograniqiti na sluqaj kada je M zatvorena mnogostrukost. Poznato je da su u ovom sluqaju sve navedene homoloxke grupe dobro definisane i izomorfne. U ovom poglav u emo izvesti jox jednu konstrukciju homoloxkih grupa koje e biti izomorfne svim ostalim i koje se nazivaju Morsove homoloxke grupe. U toj konstrukciji emo koristiti gradijentne tokove pridruene odreenoj klasi funkcija. Ovo je verovatno najjednostavniji i istorijski jedan od prvih primera primene Teorije obiqnih diferencijalnih jednaqina u topologiji glatkih mnogostrukosti. Nama e Morsova homologija sluiti kao motivacija za uvoe e i model za bo e razumeva e Florove homologije, pa emo stoga izbegavati duboko izuqava e svih tehniqkih deta a. Iz istog razloga emo razmatrati samo sluqaj Morsove homologije nad po em Z 2. Za definisa e Morsove homologije nad Z je potrebno koristiti koherentnu orijentaciju o kojoj mi neemo govoriti (za razmatra a vezana za koherentnu orijentaciju videti [52]). Prikaz koji sledi je veim delom preuzet iz [28], [47] i [48]. Izlaga e poqi emo uvodnim razmatra ima vezanim za Morsove funkcije i negativni gradijenti tok. U da em tekstu M je zatvorena mnogostrukost. Neka je F : M R i neka je p kritiqna taqka funkcije F, to jest df (p) = 0. Tada vai df (p)([x, Y ] p ) = 0 odnosno X p (Y F ) = Y p (XF ), xto opravdava sledeu definiciju. Definicija 2.1. Bilinearno preslikava e H p (F ) : T p M T p M R dato sa H p (F )(X p, Y p ) = X p (Y F ) naziva se Hesijan funkcije F u kritiqnoj taqki p. Zaista ukoliko su X, X, Y, Ỹ vektorska po a takva da X p = X p i Y p = Ỹp, 16
onda je H p (F )(X p, Y p ) = X p (Y F ) = X p (Y F ) = Y p ( XF ) = Ỹp( XF ) = H p (F )(Ỹp, X p ), pa je Hesijan dobro definisan u taqki p. Kako je X p (Y F ) = Y p (XF ) vidimo da je H p (F ) simetriqno bilinearno preslikava e, pa je u lokalnim koordinatama predstav eno simetriqnom matricom, xtavixe nije texko proveriti da za lokalnu kartu ϕ = (x 1,..., x n ) vai [ ] 2 (F ϕ 1 ) [H p (F )] = x i x j Definicija 2.2. Za kritiqnu taqku p funkcije F kaemo da je nedegenerisana ukoliko je H p (F ) nedegenerisano bilinearno preslikava e. Iz Linearne algebre nam je poznato da se simetriqno bilinearno preslikava e moe predstaviti dijagonalnom matricom, qiji su qlanovi na dijagonali 0, 1 i 1, meutim u sluqaju nedegenerisanog Hesijana H p (F ) vai i vixe. Lema 2.1. (Mors) Neka je p nedegenerisana kritiqna taqka funkcije F : M R. Tada postoji okolina U taqke p i difeomorfizam ϕ : (U, p) (R n, 0) takav da vai F ϕ 1 (x 1,..., x n ) = F (p). i,j k x 2 i + i=1 n i=k+1 Definicija 2.3. Broj k iz prethodne leme naziva se indeksom kritiqne taqke p i oznaqava ind(p). Prema Silvesterovom zakonu inercije indeks je dobro definisan. Skup svih kritiqnih taqaka indeksa k oznaqavaemo sa Crit k (F ). Iz Morsove leme sledi da su nedegenerisane kritiqne taqke izolovane. Funkcija qije su sve kritiqne taqke nedegenerisane naziva se Morsovom funkcijom. Morsove funkcije qine otvoren i gust podskup od C (M) sa C -topologijom 3. Iz kompaktnosti M i izolovanosti kritiqnih taqaka Morsove funkcije sledi da ih ima konaqno mnogo. x 2 i. Definicija Morsove funkcije se moe iskazati i na jeziku transverzalnosti, 3 Pod C topologijom podrazumevamo topologiju indukovanu skupovima U C (M) gde su U otvoreni u topologiji indukovanoj C k normom za neko k N. 17
odnosno vai sledea lema koja se izvodi direktno. Lema 2.2. F : M R je Morsova ako i samo ako je diferencijal df : M T M transverzalan na nulto seqe e od T M (df 0 M ). Uoqimo par (F, g) gde je F Morsova funkcija, a g Rimanova metrika na M i posmatrajmo negativni gradijentni tok na M zadat sa: d dt φ t(x) = g F (φ t (x)), (2.1) pri qemu g F (x) oznaqava gradijent u odnosu na metriku g, to jest vektor takav da df (x)(ξ) = g( g F, ξ). Primetimo da je d dt F (φ t(x)) = df (φ t (x))( g F (φ t (x))) = g( g F (φ t (x)), g F (φ t (x))) < 0, pa F opada du trajektorija sistema. Kako je M kompaktna φ t je definisano za t R. Vai sledea lema. Lema 2.3. Neka je φ t negativni gradijentni tok na zatvorenoj mnogostrukosti M za Morsovu funkciju F. Tada x M postoji Crit(F ). lim φ t(x) i x ± lim φ t(x) x ± Dokaz ove leme se moe direktno izvesti. Ipak, mi emo prikazati nexto dui dokaz koji koristi pojam energije koji e nam biti od vixestruke koristi u da em izlaga u. Definicija 2.4. Neka je (M, g) glatka Rimanova mnogostrukost i F : M R glatka funkcija. Neka je γ : (a, b) M glatka kriva u M. Definixemo energiju krive γ sa E(γ) = b g F (γ(t)) 2 dt gde je norma definisana pomou g. a Energija je oqigledno pozitivna i jednaka 0 samo u sluqaju krive koja je konstantno jednaka kritiqnoj taqki funkcije F. Neka je sada γ rexe e jednaqine 18
(2.1) za koje vai lim = p, lim γ(t) = q. Sada je t t + F (p) F (q) = + d dt F (γ(t))dt = + g( g F (φ t (x)), g F (φ t (x))) = E(γ). Sledea lema daje ocenu energije du gradijentnih trajektorija. Lema 2.4. Neka je γ : (a, b) M glatka kriva koja zadovo ava (2.1) i za koju vai lim γ(t) = x i lim γ(t) = y. Pretpostavimo takoe da je gf (γ(t)) t t + K za neku konstantu K > 0 i t (a, b). Tada je E(γ) K d(x, y), pri qemu d(x, y) oznaqava rastoja e izmeu taqaka x i y dobijeno kao infimum duina krivih koje spajaju x i y. Dokaz. Oznaqimo sa L(γ) duinu krive γ. Vai E(γ) = b a g F (γ(t)) 2 dt K b a g F (γ(t)) dt = K L(γ) K d(x, y). Kao direktnu posledicu navedene leme izvodimo sledee tvre e. Posledica 2.1. Neka je p krtiqna taqka Morsove funkcije F : M R. Postoje otvorene okoline U U V taqke p i δ > 0 takvi da svaka kriva γ koja zadovo ava (2.1) i,,prolazi kroz" 4 V \U ima energiju E(γ) > δ. Dokaz. Kritiqne taqke funkcije p su izolovane, pa moemo nai okoline U i V iz formulacije takve da g F 0 na V \U. Ovaj skup e biti kompaktan, pa e na emu vaiti g F m za neko m > 0, odnosno moemo da primenimo lemu. U sluqaju kompaktne mnogostrukosti M, Morsova funkcija F e imati konaqan broj taqaka, pa moemo odrediti konstantu δ iz prethodnog tvre a nezavisno od kritiqne taqke. Sada sliqnim argumentima moemo dokazati Lemu 2.3. Dokaz. Kako je M kompaktna to F dostie minimum a i maksimum b na M. Zbog formule za energiju gradijentne trajektorije imamo da je E(φ t (x)) b a. 4 Odnosno postoje t 1 i t 2 takvi da γ(t 1 ) U, γ(t 2 ) / V. 19
Ukoliko φ t (x) ne bi konvergiralo ka kritiqnoj taqki na primer za t + imali bismo da ( T > 0)( t > T )φ t (x) / B p ni za jednu kritiqnu taqku p. Odavde sledi da φ t (x) ima beskonaqnu energiju xto je kontradikcija. Oznaqimo W s (p) = {x M lim za p Crit(F ). Vai sledea teorema. φ t(x) = p} i W u (p) = {x M lim φ t(x) = p} t + t Teorema 2.1. (O stabilnim i nestabilnim mnogostrukostima) Neka je F : M R Morsova funkcija na zatvorenoj mnogostrukosti M dimenzije n sa Rimanovom metrikom g. Tada se za p Crit k (F ), W s (p) moe dobiti kao slika pri ulaga u diska dimenzije n k u M, a W u (p) kao slika pri ulaga u diska dimenzije k u M. Dokaz navedene teoreme je netrivijalan i tehniqki zahtevan, pa ga ovde neemo izvoditi. Malo opxtija formulacija teoreme i en dokaz mogu se nai u [12]. Ipak, za odreenu specijalnu klasu metrika, moemo dokazati navedeno tvr- e e. Iz Morsove leme znamo da u okolini svake kritiqne taqke moemo da uoqimo lokalne koordinate (x 1,..., x n ) za koje vai F ϕ 1 (x 1,..., x n ) = F (p) k x 2 i + i=1 n i=k+1 Pretpostavimo da je g u tim koordinatama standardna euklidska metrika u okolini svake kritiqne taqke. Tada je negativni gradijentni tok u okolini kritiqnih taqaka zadat sistemom: u = 2u v = 2v za u = (x 1,..., x k ) i v = (x k+1,..., x n ). Rexe a ovog sistema su u(t) = e 2t u(0) i v(t) = e 2t v(0), pa je W u (p) k-dimenzioni podprostor zadat sa {v = 0}, a W s (p) (n k)-dimenzioni podprostor zadat sa {u = 0}. Neka je sada x W s (p) i U okolina taqke p, takva da funkcija ima gor i zapis i metrika je euklidska na U. Tada postoji okolina V taqke x takva da za dovo no veliko T vai x 2 i. φ T (V ) U. 20
Kako je φ T difeomorfizam, i x W s (p) ako i samo ako φ T (x) W s (p) tvre e sledi iz strukture W s (p) u okolini taqke p. Dokaz je sliqan za W u (p). Definicija 2.5. W s (p) i W u (p) nazivamo redom stabilnom i nestabilnom mnogostrukoxu taqke p. Za p, q Crit(F ) oznaqimo M(p, q) = {u : R M u = g F (u(t)), lim u(t) = p, lim u(t) = q} t t + odnosno M(p, q) predstav a skup svih parametrizovanih negativno-gradijentnih trajektorija koje spajaju p i q. Primetimo da je M(p, q) = W u (p) W s (q), pa ukoliko se W u (p) i W s (q) seku transverzalno, onda je M(p, q) podmnogostrukost u M i vai codim(m(p, q)) = codim(w u (p)) + codim(w s (q)) = n ind(p) + ind(q), pa je dim(m(p, q)) = ind(p) ind(q). Definicija 2.6. Par (F, g) gde je F Morsova funkcija, a g Rimanova metrika na M nazivamo Mors-Smejlovim ukoliko za svake dve taqke p, q Crit(F ) vai W u (p) W s (q). Mors-Smejlov uslov je ispu en u generiqkom sluqaju, pa emo u da em tekstu Mors-Smejlove parove (F, g) zvati i generiqkim parovima. 21
2.2 Modulski prostor krivih i Morsova homologija Fiksirajmo generiqki par (F, g), Morsove funkcije i Rimanove metrike na M. Kako je jednaqina d dt φ t(x) = g F (φ t (x)) autonomna, R slobodno dejstvuje na skupu M(p, q) za p q putem translacija: (s u)(t) = u(t + s) za s R. Koliqniqki prostor M(p, q) := M(p, q)/r nazivamo modulskim prostorom ili prostorom neparametrizovanih trajektorija izmeu p i q. Vai: Izdvajamo dva vana specijalna sluqaja: M(p, q) = ind(p) ind(q) 1. (2.2) Ukoliko je ind(p) ind(q), onda je M(p, q) =, odnosno indeks kritiqnih taqaka opada du trajektorija. Ukoliko je ind(p) ind(q) = 1, onda je M(p, q) mnogostrukost dimenzije 0. Primer 2.1. Posmatrajmo jediniqnu krunicu S 1 R 2 i funkciju visine F (x, y) = y na oj. Uoqimo parametrizaciju krunice bez taqke (1, 0) intervalom (0, 2π) datu sa ϕ 1 (t) = (cos t, sin t). U lokalnim koordinatama F se moe izraziti kao funkcija parametra t i vai F (t) = sin t, pa lako nalazimo da su jedine dve kritiqne taqke funkcije F maksimum p = (0, 1) i minimum q = (0, 1), pri qemu je ind(p) = 1, a ind(q) = 0. Sada je dimm(p, q) = ind(p) ind(q) 1 = 0. Skricirajui vidimo da se M(p, q) sastoji od dve taqke (slika 3). 22
Slika 3: Morsova funkcija visine na krunici U opxtem sluqaju M(p, q) ne mora biti kompaktna. Ilustrujmo to primerom. Primer 2.2. Neka je T 2 dvodimenzioni torus zadat identifikacijom ivica kvadrata [ π, π] 2, neka je F : T 2 R data sa F (t, s) = cos(t) + cos(s) za (t, s) [ π, π] 2 (F je zbir funkcija visina na krunicama ukoliko posmatramo T 2 kao S 1 S 1 ) i neka je g ravna Rimanova metrika (nasleena na [ π, π] 2 iz R 2 ). Sada se lako vidi da je Crit(F ) = {p, q, r 1, r 2 } gde su p, q, r 1, r 2 date u koordinatama na [ π, π] 2 sa p = (0, 0), q = (π, π), r 1 = (π, 0), r 2 = (0, π), kao i da vai ind(p) = 2, ind(r 1 ) = ind(r 2 ) = 1, ind(q) = 0. Za s {0, π} imamo g F = sin t, a za t {0, π} imamo g F = sin s pa linije toka moemo skicirati koristei ove jednaqine kao i to da su disjunktne i da du ih indeks opada (slika 4): Slika 4: Gradijentne trajektorije Morsove funkcije F (t, s) = cos(t) + cos(s) na torusu Kako je ind(p) ind(q) = 2 to je dimm(p, q) = 1. Posmatrajui neparametrizovane trajektorije u prvom kvadrantu i kreui se,,nadesno" kroz M(p, q) 23
vidimo (barem na nivou intuicije) da familija trajektorija konvergira ka,,izlom enoj trajektoriji" koja spaja p i q, odnosno ka krivoj koja se dobija kao unija dve trajektorije, od p do r 1 i od r 1 do q. Navedeni primer ilustruje generalnu situaciju, M(p, q) se moe kompaktifikovati dodava em izlom enih trajektorija. Da bismo to objasnili prvo dajemo dve definicije. Definicija 2.7. Neka su p, q CritF. Tada skup M(p, q) = r i CritF M(p, r 1 ) M(r 1, r 2 )... M(r k 1, r k ) M(r k, q) nazivamo skupom (neparametrizovanih) izlom enih trajektorija izmeu p i q. Kako indeks opada du trajektorija u uniju ulaze samo proizvodi takvi da je ind(q) < ind(r i ) < ind(p). Definicija 2.8. Hausdorfov topoloxki prostor M, koji ima prebrojivu bazu topologije nazivamo glatkom mnogostrukoxu sa ivicama ukoliko postoji familija U = {(U λ, ϕ λ ) λ Λ}, gde je {U λ } λ Λ otvoreno pokriva e postora M, a ϕ λ : U λ R n k [0, + ) k za neko 0 k n, familija homeomorfizama, takva da je ϕ β ϕ 1 α difeomorfizam za svako α, β Λ za koje U α U β. Za fiksirano k skup svih taqaka p ϕ 1 λ (Rn k 0) pri qemu λ prolazi skup svih indeksa iz Λ takvih λ da ϕ λ : U λ R n k [0, + ) k nazivamo ivicom kodimenzije k. Ivicu kodimenzije k emo oznaqavati sa M k. Specijalno mnogostrukost sa granicom je mnogostrukost koja ima samo ivicu kodimenzije 1 koju zovemo granicom te mnogostrukosti. Opis pomenute kompaktifikacije daje sledea teorema. Teorema 2.2. Neka je (F, g) generiqki par Morsove funkcije F i Rimanove metrike g na zatvorenoj mnogostrukosti M. Tada za svake dve taqke, p, q Crit(F ) modulski prostor M(p, q) dopuxta prirodnu kompaktifikaciju do 24
glatke mnogostrukosti sa ivicama M(p, q) qija je ivica kodimenzije k M(p, q) k = r 1,...,r k CritF p,r 1,...,r k,q razliqite M(p, r 1 ) M(r 1, r 2 )... M(r k 1, r k ) M(r k, q). Ukoliko je ind(p) = ind(q)+1, onda je M(p, q) ve kompaktna 0-dimenziona mnogostrukost, odnosno konaqan skup taqaka. U tom sluqaju emo oznaqavati broj taqaka u M(p, q) modulo 2. n(p, q) = # 2 M(p, q) Ukoliko je ind(p) = ind(q) + 2 M(p, q) je kompaktna jednodimenziona mnogostrukost sa granicom, qija je granica M(p, q) = r CritF ind(r)=ind(q)+1 M(p, r) M(r, q). S obzirom na to da je broj taqaka na granici jednodimenzione kompaktne mnogostrukosti paran, to je # 2 M(p, q) = 0, pa kako vae sledee jednakosti (modulo 2) # 2 M(p, q) = to je r CritF ind(r)=ind(q)+1 # 2 M(p, r) # 2 M(r, q) = r CritF ind(r)=ind(q)+1 r CritF ind(r)=ind(q)+1 n(p, r) n(r, q), n(p, r) n(r, q) = 0. (2.3) Sada imamo sve xto je potrebno da bismo definisali Morsovu homologiju sa Z 2 koeficijentima. Uvedimo Morsov lanqasti kompleks sa CM k (F ) = Crit k (F ) Z2 i definiximo diferencijal = g : CM k (F ) CM k 1 (F ) na generatorima sa p = r Crit k 1 F n(p, r) r 25
i produimo ga po linearnosti. Primetimo da zavisi od metrike g, dok CM (F ) ne. Proverimo sada da zadovo ava 2 = 0. Za p Crit k F imamo = r Crit k 1 F 2 p = ( ( n(p, r) r Crit k 1 F q Crit k 2 F n(p, r) r) = r Crit k 1 F ) n(r, q) q = q Crit k 2 F n(p, r) r = ( q r Crit k 1 F ) n(p, r) n(r, q) pa prema (2.3) imamo da je = 0, pa moemo definisati homologiju ovog kompleksa. Definicija 2.9. Homologija kompleksa (CM (F ), g ) se naziva Morsovom homologijom para (F, g) i oznaqava HM (F, g). Primer 2.3. Razmotrimo ponovo primer krunice S 1 i fukncije visine F na oj. Imamo da je CM 1 (F ) = p Z2 i CM 0 (F ) = q Z2, kao i da je p = 2q = 0 (mod 2) i q = 0, pa je HM 1 (F ) = HM 0 (F ) = Z 2, a HM k (F ) = 0 za k 2. Napomena: Struktura mnogostrukosti na modulskom prostoru iz Teoreme 2.2 se lakxe zadaje korixe em analitiqkog pristupa Morsovoj teoriji koji e biti izloen na kraju ove glave. U ovom trenutku kompaktnost shvatamo kao postoja e konvergentnog podniza svakog niza neparametrizovanih trajektorija. Konvergencija niza neparametrizovanih trajektorija se zadaje na sledei naqin: Definicija 2.10. Neka je γ = ( γ 0,..., γ k ) izlom ena trajektorija koja spaja p i g i neka γ k spaja r k i r k+1 pri qemu r 0 = p, r k+1 = q. Kaemo da niz neparametrizovanih trajektorija [γ n ] konvergira ka [ γ] = ([ γ 0 ],..., [ γ k ]) ako za svako n postoje realni brojevi t n,0 t n,1... t n,k takvi da γ n (t n,i + ) γ i lokalno C. 26
2.3 Izomorfizam Morsove i singularne homologije Morsov kompleks definisan u prethodnom ode ku oqigledno zavisi od para (F, g). Ipak homologije razliqitih Morsovih kompleksa su izomorfne na kanonski naqin. Neka su (F 1, g 1 ) i (F 2, g 2 ) dva generiqka para. Odaberimo generiqku familiju parova {(F t, g t )} t R takvu da vai: (F 1, g 1 ), t 1 (F t, g t ) = (F 2, g 2 ), t 1. Posmatrajmo sada neautonomni sistem u(t) = gt F t (u(t)). (2.4) Moe se dokazati da je za x Crit(F 1 ) i y Crit(F 2 ), ind(x) = ind(y), skup rexe a sistema (2.4) koja spajaju x i y kompaktna 0-dimenziona mnogostrukost. Oznaqimo sa ν(x, y) broj trajektorija koje spajaju x i y modulo 2. Definixemo preslikava e Φ : CM k (F 1 ) CM k (F 2 ), Φ(x) = y ν(x, y)y na generatorima i proxirimo po linearnosti. Vai sledea teorema: Teorema 2.3. Za preslikava e Φ vai: 1 Φ = Φ, odnosno Φ je lanqasto preslikava e, pa indukuje morfizam Φ : HM (F 1, g 1 ) HM (F 2, g 2 ); 2 Φ ne zavisi od izbora generiqke familije (F t, g t ); 3 Za tri para (F i, g i ), i = 1, 2, 3 i sledei dijagram komutira: Φ (ij) : CM(F i ) CM(F j ) 27
Φ (12) HM (F 1 ) HM (F 2 ) Φ (13) HM (F 3 ) Φ (23) Uzimajui sada konstantnu familiju (F t, g t ) (F 1, g 1 ) dobijamo Φ : CM (F 1 ) CM (F 1 ), pa je i Φ = id, odnosno komutira dijagram Φ = id, HM (F 1 ) HM (F 2 ) id Φ (12) HM (F 1 ) Φ (21) odakle je Φ (21) Φ (12) = id i sliqno Φ (12) Φ (21) = id. Iz dobijenog sledi da je HM (F 1, g 1 ) = HM (F 2, g 2 ) i izomorfizam se ostvaruje na kanonski naqin. Identifikujui pomou kanonskih izomorfizama vektorske prostore HM (F, g) za razliqite generiqke parove (F, g), dobijamo vektorski prostor HM (M) koji nazivamo Morsovom homologijom zatvorene mnogostrukosti M. Morsova homologija zatvorene mnogostrukosti M e biti izomorfna enoj CW homologiji, pa samim tim i enoj singularnoj homologiji. Dokaz tog tvre a se izvodi konstrukcijom odgovarajueg izomorfizma posmatra em skupova F 1 ((, λ)) pri qemu e kritiqnim vrednostima λ odgovarati lep e e elija. Dokaz se moe nai u [48]. Napomena: Upravo izloeni argumenti koriste posmatra e izvesnih modulskih prostora preslikava a sa graniqnim uslovima. Dodatna struktura tih modulskih prostora (struktura mnogostrukosti sa ili bez granice, kompaktnost) se moe na efikasan naqin koristiti za izvoe e raznih tvre a. Primer za to smo ve videli kada smo dokazivali da je = 0 korixe em Teoreme 2.2. Drugi primer je upravo izloena konstrukcija kanonskih izomor- 28
fizama izmeu razliqitih Morsovih homologija. Ovakve argumente emo zvati argumentima kobordizama. 29
2.4 Operacije u Morsovoj homologiji Mnoge veze i operacije koje postoje u (ko)homoloxkim teorijama mogu se opisati u terminima Morsove (ko)homologije 5. Ilustrujmo to na nekoliko primera. Neka je M zatvorena mogostrukost dimenzije n. Primetimo prvo da x Crit k ( F ) x Crit n k (F ), odnosno kritiqne taqke funkcije F moemo ujedno smatrati i kritiqnim taqkama funkcije F uz promenu indeksa. Imajui u vidu ovu identifikaciju definixemo: Γ : CM k ( F ) CM n k (F ), Γ(x) = δ x. Γ je izomorfizam na nivou lanaca. Da e imamo da za γ(t) := γ( t) vai: d dt γ(t) = d dt γ( t) = gf (γ( t)) = g ( F )( γ(t)), odnosno gradijentne trajektorije za funkciju F dobijamo od gradijentnih trajektorija za funkciju F promenom smera toka. Stoga preslikava e γ γ indukuje bijekciju pa vai n F (y, x) = n F (x, y). M F (y, x) M F (x, y), Za x CM k ( F ) i y CM n k+1 (F ) vai: kao i δγ(x), y = Γ(x), y = Γ( x), y = = Γ( z Crit k 1 ( F ) δ x, z Crit n k F z Crit k 1 ( F ) n F (y, z)z = n F (y, x), n F (x, z)z), y = n F (x, z)δ z, y = n F (x, y), 5 Morsova kohomologija se konstruixe koristei Morsove homoloxke lance primenom Hom funktora na uobiqajeni naqin. 30
pa δ Γ = Γ odnosno Γ je lanqasto preslikava e. Kako je Γ izomorfizam na nivou lanaca to je i Γ : HM k ( F ) HM n k (F ) izomorfizam, pa je komponova em sa Φ : HM k (F ) HM k ( F ), definisan izomorfizam koji opisuje Poenkareovu dualnost. P D := Γ Φ : HM k (F ) HM n k (F ) Primetimo da pri konstrukciji P D-a nismo zahtevali uslov da je M orijentisana mnogostrukost koji je neophodna za ostvariva e Poenkareove dualnosti u opxtem sluqaju. Razlog za to je qi enica da radimo sa Z 2 koeficijentima, gde nam uslov orijentabilnosti nije neophodan. Izomorfizam se moe na sliqan naqin konstruisati i u Morsovoj homologiji nad Z, ali bismo tada morali da dodamo uslov da je M orijentabilna i vodimo raquna o orijentaciji pri broja u trajektorija. Pomou preseka je definisan proizvod dualan kap proizvodu: : H n k (M; Z 2 ) H n l (M; Z 2 ) H n k l (M; Z 2 ). Ovaj proizvod ima elegantan geometrijski opis u Morsovoj homologiji. Posmatrajmo generiqku trojku parova (F i, g i ), i = 1, 2, 3, neka su x i Crit (F i ) i neka je φ i t negativni gradijentni tok pridruen paru (F i, g i ). Oznaqimo sa M(x 1, x 2, x 3 ) prostor sledeih konfiguracija: Slika 5: Elementi prostora M(x 1, x 2, x 3 ) 31
Preciznije: M(x 1, x 2, x 3 ) = {z M lim t φ1 t (z) = x 1, lim t φ2 t (z) = x 2, lim t + φ3 t (z) = x 3 } = = W u (x 1 ) W u (x 2 ) W s (x 3 ). Ukoliko je presek ovih podmnogostrukosti transverzalan, imamo da vai dimm(x 1, x 2, x 3 ) = ind(x 1 ) + ind(x 2 ) ind(x 3 ) n, pa je dimm(x 1, x 2, x 3 ) = 0 ako i samo ako je ind(x 1 )+ind(x 2 ) ind(x 3 ) = n. U tom sluqaju je M(x 1, x 2, x 3 ) kompaktna i oznaqavamo n(x 1, x 2, x 3 ) = # 2 M(x 1, x 2, x 3 ). Definiximo na nivou lanaca sa: x 1 x 2 = x 3 n(x 1, x 2, x 3 )x 3 pri qemu je n(x 1, x 2, x 3 ) = 0 ukoliko je dimm(x 1, x 2, x 3 ) 0. Ovako definisano preslikava e e indukovati proizvod u Morsovoj homologiji: koji odgovara pomenutom proizvodu. : HM n k (F 1 ) H n l (F 2 ) H n k l (F 3 ) Na sliqan naqin moemo konstruisati i kap proizvod u Morsovoj kohomologiji. Klasiqan kap proizvod je preslikava e: : H k (M; Z 2 ) H l (M; Z 2 ) H k+l (M; Z 2 ). Neka je ponovo (F i, g i ) za i = 1, 2, 3 generiqka trojka parova, x i Crit (F i ) i neka je M (x 1, x 2, x 3 ) prostor sledeih konfiguracija: 32
Slika 6: Elementi prostora M (x 1, x 2, x 3 ) odnosno M (x 1, x 2, x 3 ) = W s (x 1 ) W s (x 2 ) W u (x 3 ). Ukoliko je ovaj presek transverzalan vai dimm (x 1, x 2, x 3 ) = ind(x 3 ) ind(x 1 ) ind(x 2 ), pa je dimm (x 1, x 2, x 3 ) = 0 ako i samo ako je ind(x 3 ) ind(x 2 ) ind(x 3 ) = 0. Tada je M (x 1, x 2, x 3 ) kompaktna i oznaqavamo n (x 1, x 2, x 3 ) = # 2 M (x 1, x 2, x 3 ). Neka je Ψ := x 1,x 2,x 3 n (x 1, x 2, x 3 )x 1 x 2 x 3 CM (F 1 ) CM (F 2 ) CM (F 3 ) pri qemu je n (x 1, x 2, x 3 ) = 0 ukoliko je dimm (x 1, x 2, x 3 ) 0. Da e za A 1 HM k (F 1 ) i A 2 HM l (F 2 ) odaberimo kociklove predstavnike koje redom oznaqavamo a 1 i a 2. Sada je (a 1 a 2 ) Ψ = x 1,x 2,x 3 ind(x 1 )=k ind(x 2 )=l ind(x 3 )=k+l n (x 1, x 2, x 3 )a 1 (x 1 )a 2 (x 2 )x 3 CM k+l (F 3 ) = CM n k l ( F 3 ), pa Γ((a 1 a 2 ) Ψ) CM k+l (F 3 ) i A 1 A 2 definixemo kao kohomoloxku klasu od Γ((a 1 a 2 ) Ψ). Na ovaj naqin smo definisali kap proizvod: na nivou kohomologije. : HM k (F 1 ) HM l (F 2 ) HM k+l (F 3 ) Ideja broja a razliqitih konfiguracija i definisa a (ko)homoloxkih operacija na taj naqin je deta no obraena u [14] i [15]. U tom radu je opisano kako je mogue brojati konfiguracije pridruene bilo kom usmerenom grafu, pri qemu primeri koje smo mi ovde opisali odgovaraju broja u dva razliqito usmerena Y-grafa. Primetimo da smo u naxem postupku brojali grafove koji spajaju kritiqne taqke odnosno generatore (ko)lanqastih kompleksa u Morsovoj (ko)homologiji. Moe se dokazati da e ovakav postupak uvek indukovati element i na nivou (ko)homologije (pogledati [14] i [15]) xto smo preutno koris- 33
tili u primerima Y-grafova. 34
2.5 Analitiqki pristup Morsovoj homologiji Prikazani pristup Morsovoj homologiji nam prua uvid u osnovne ideje iza ove teorije. Meutim, takav pristup nije pogodan za beskonaqno-dimenzione generalizacije koje nas zanimaju, odnosno Florovu teoriju. U revolucionarnom radu [55] Edvard Viten je izloio drugaqiji, analitiqki, pristup Morsovoj homologiji (nekada se pristup koji smo prikazali naziva klasiqnim, a analitiqki pristup modernim). Novi pogled na Morsovu teoriju je, zajedno sa takoe revolucionarnim radom Mihaila Gromova [26], posluio kao osnova i inspiracija Andreasu Floru za definisa e jedne beskonaqno-dimenzione verzije Morsove homologije koja danas nosi naziv Florova homologija i o kojoj e biti reqi kasnije. Mi emo sada prikazati kratak pregled modernog pristupa Morsovoj homologiji, uglavnom pratei [48]. Ova teorija je deta no izloena u [52]. Pretpostavimo sada da je (M, g) zatvorena Rimanova mnogostrukost i f : M R Morsova funkcija. Neka su p, q Crti (f) i neka je U prostor puteva koji spajaju p i q, tj. takvih da γ( ) = p, γ(+ ) = q. Neka je E prostor vektorskih po a du puteva koji spajaju p i q i π : E U projekcija koja slika vektorsko po e du γ u γ. Po analogiji sa Teoremom 1.2, ukoliko bismo imali da su U i E mnogostrukosti, da je π : E U vektorsko rasloje e i F : U E, F (γ) = d dt γ + gf(γ) seqe e tog rasloje a takvo da je F 0 E, gde je 0 E nulto seqe e, onda bi F 1 (0 E ) U bila podmnosotrukost svih puteva γ za koje vai d γ = dt gf(γ) odnosno F 1 (0 E ) = M(p, q). Problem lei u pravilnoj formalizaciji ove ideje. Naime, ispostavie se da se prostori U i E mogu posmatrati kao beskonaqno-dimenzione Banahove mnogostrukosti i da se u tom sluqaju problemi transverzalnosti mogu napasti tehnikama funkcionalne analize. Takoe, da bismo postigli transverzalnost moramo da perturbujemo Rimanovu metriku, pa e u razmatra e biti uk uqen i prostor G Rimanovih metrika na M. Formalizujmo sada ova razmatra a. 35
Definicija 2.11. Hausdorfov topoloxki prostor M, koji ima prebrojivu bazu topologije nazivamo glatkom Banahovom mnogostrukoxu modelovanom nad Banahovim prostorom X ukoliko postoji familija U = {(U λ, ϕ λ ) λ Λ}, gde je {U λ } λ Λ otvoreno pokriva e postora M, a ϕ λ : U λ ϕ λ (U λ ) B, (ϕ λ (U λ ) otvoren) familija homeomorfizama, takva da je ϕ β ϕ 1 α glatko preslikava e izmeu otvorenih podskupova Banahovih prostora za svako α, β Λ za koje U α U β. Ukoliko traimo da funkcije prelaska budu samo klase C k, kaemo da je X klase C k. Za Banahove mnogostrukosti definixemo veinu pojmova po analogiji sa konaqno-dimenzionim sluqajem (tangentni prostor, tangentno rasloje e, izvod preslikava a, transverzalnost...) Takoe, teoreme o implicitnoj i inverznoj funkciji vae i za Banahove prostore (za preciznu formulaciju i dokaz pogledati [5]). Situacija sa teoremom o rangu i Teoremom 1.2 je malo drugaqija. Teorema 2.4. (O rangu) Neka je su X i Y Banahovi prostori, p X i F : X Y glatka submerzija takva da ker(df (p)) ima zatvoren komplement. Tada postoje potprostori X 1, X 2 X takvi da je X = X 1 X 2, X 2 = Y i F je projekcija u okolini taqke p i ima zapis: pri qemu poistoveujemo X 2 i Y. F (x, y) = y, Imitirajui dokaz Teoreme 1.2 koristei Teoremu 2.4 izvodimo sledeu teoremu. Teorema 2.5. Neka se M i N Banahove mnogostrukosti, Q Banahova podmnogostrukost od N i F : M N glatko preslikava e transverzalno na Q takvo da ker(df (p)) ima zatvoren komplement za p F 1 (Q). Tada je F 1 (Q) M Banahova podmnogostrukost za koju vai: ( p F 1 (Q)) T p F 1 (Q) = ker(df (p)). 36
Da bismo preneli Teoreme o parametarskoj transverzalnosti (Teorema 1.4 i Teorema 1.5) na sluqaj Banahovih mnogostrukosti potrebna nam je teorema analogna Sardovoj teoremi, kao i uslov postoja a zatvorenog komplementa za jezgra izvoda. Ovi uslovi e biti ispu eni za odreenu klasu preslikava a koja nazivamo Fredholmovim. U ponovnom izvoe u emo izostaviti delove koji se izvode analogno kao u konaqno-dimenziono sluqaju. Da bismo definisali Fredholmovo preslikava e moramo prvo da definixemo Fredholmov operator. Definicija 2.12. Ograniqen linearan operator L : X Y izmeu Banahovih prostora X i Y se naziva Fredholmovim ukoliko su ker(l) i coker(l) = Y/Im(L) konaqno dimenzioni prostori. Broj ind(l) := dim(ker(l)) dim(coker(l)) nazivamo indeksom Fredholmovog operatora. Sledee tvre e sumira osnovna svojstva Fredholmovih operatora: Lema 2.5. Za Fredholmov operator L : X Y izmeu Banahovih prostora X i Y vai: 1 ker(l) ima zatvoren komplement u X; 2 Im(L) B je zatvoren; 3 Skup Fredholmovih F(X, Y ) operatora je otvoren u skupu ograniqenih linearnih operatora B(X, Y ) u odnosu na operatorsku normu i indeks je neprekidno preslikava e. ind : F(X, Y ) Z Definicija 2.13. Glatko preslikava e f : M N izmeu Banahovih mnogostrukosti M i N nazivamo Fredholmovim ukoliko je df(p) : T p M T f(p) N Fredholmov operator za p M. Iz svojstva 3 Fredholmovih operatora sledi da je ind(df(p)) lokalno konstantan, pa za povezanu Banahovu mnogostrukost M i Fredholmovo preslikava e 37
f : M N moemo definisati ind(f) := ind(df p ) za bilo koje p M. Sada navodimo teoremu analognu Sardovoj u Banahovom sluqaju. Definicija 2.14. Podskup S metriqkog prostora M je Berov ili generiqki ukoliko sadri prebrojiv presek otvorenih gustih skupova. U okviru kurseva Analize na Matematiqkom fakultetu u Beogradu se obiqno daje ekvivalentna definicja Berovog skupa kao skupa qiji je komplement skup prve kategorije. Takoe se dokazuje sledea teorema (pogledati [5]): Berov podskup kompletnog met- Teorema 2.6. (Berova o kategorijama) riqkog prostora je gust. Zbog navedene teoreme je prirodno Berove skupove smatrati ekvivalentom generiqkih skupova u konaqno-dimenzionom sluqaju. Teorema 2.7. (Sard-Smejl) Ako su M i N Banahove mnogostrukosti klase C k za 1 k, F : M N Fredholmovo preslikava e klase C k, i k > index(f ) (ovaj uslov ignorixemo za k = ) onda je skup regularnih vrednosti F generiqki. Dokaz. Pogledati u [2]. Teorema 2.8. (Parametarska transverzalnost III) Neka su M, N i S Banahove mnogostrukosti, Q N Banahova podmnogostrukost i F : M S N glatko preslikava e, F Q, takvo da je DF s (m) : T m M ν Q (F s (m)) Fredholmovo. Tada je F s Q za generiqki parametar s S. Dokaz. Neka je W = F 1 (Q). Imitira em dokaza Teoreme 1.5 zak uqujemo da je dπ W Fredholmovo ako i samo ako je DF s Fredholmovo. Analizirajui dokaz Teoreme 1.4 zak uqujemo da su s S za koje vai F s Q regularne vrednosti π W. Dokaz sada zavrxavamo primenom Sard-Smejlove teoreme na π W : W S. Ipak, da bismo mogli da primenimo sve navedene teoreme i razmatra a vezana za ih, potrebno je da W bude Banahova mnogostrukost. Prema Teoremi 2.5 dovo no je dokazati da ker(df (m, s)) ima zatvoren komplement za (m, s) W. Kako je DF (m, s)( m, s) = DF (m, s)( m, 0)+DF (m, s)( 0, s) = DF s (m)( m)+df (m, s)( 0, s) i DF s (m) je Fredholmov, dokaz zavrxava sledea lema: 38