SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVRŠNI RAD br. 5494 Simulacia fluida tehnikom SPH Juri Kos Zagreb, lipan, 2018
Sadrža 1. Uvod... 2 2. Osnove mehanike fluida... 5 2.1 Svostva fluida... 5 2.2 Navier-Stokesove ednadžbe... 5 3. Modeli fluida... 7 3.1 Lagrangeova rešetka... 7 3.2 Eulerova rešetka... 7 3.3 Čestične metode bez mreže( engl. Meshfree Particle Methods)... 8 4. Hidrodinamika zaglađuućih čestica... 9 4.1 Svostva SPH-a... 9 4.2 Sila tlaka... 11 4.3 Viskozna sila... 11 4.4 Površinska napetost... 11 4.5 Vanske sile... 12 5. Implementacia... 13 6. Rezultati izvođena i moguća proširena programa... 17 7. Zaklučak... 19 8. Literatura... 20 9. Sažetak... 21 10. Abstract... 22
1. Uvod Računalne simulacie su uobičaen način za rešavane mnogih složenih problema u inženerstvu i znanosti. Nihov cil e pretvoriti klučne dielove fizikalnog modela u diskretan matematički oblik koi se rešava uporabom računala. Mogu se koristiti kao alat za znanstveno istraživane umesto pokusa koi mogu biti skupi, opasni ili teško merlivi te zbog toga igrau važnu ulogu u potvrđivanu teoria, pomažu kod interpretacie nekih fenomena, a ponekad služe i za otkrivane novih. Računalne simulacie su pronašle svou primenu u velikom brou područa uklučuući analizu električnih krugova, analizu utecaa sile otpora na avion, simulirane testova sudara (engl. crash test) (Slika 1.) te simulaciu fluida koa e i tema ovog rada. Slika 1. Simulacia prometne nesreće Fluidi su tvari koe strue odnosno neprekidno se deformirau pod delovanem smičnog naprezana. Dielimo ih na stlačive i nestlačive. Stlačivi fluidi imau sposobnost promene volumena, a nestlačivi fluidi imau konstantan volumen. Voda e primer nestlačivog fluida, a plinovi stlačivog fluida. Fluidi su sastavni dio prirode koa nas okružue, a kako e nihovo ponašane zanimlivo za promatrane te potrebno za 2
rešavane različitih inženerskih problema poavom dovolno snažnih računala ona su se počela koristiti i za simulaciu fluida. Gibana fluida opisana su matematičkim ednadžbama, ali u realnim slučaevima te ednadžbe postau nesvedive na linearne. Takve ednadžbe rešavamo pomoću numeričkih metoda. Za rešavane ednadžbi koristimo računala koa broeve pohranuu s nekom zadanom preciznošću i zbog toga ednadžbe e potrebno diskretizirati. Glavna razlika između različitih metoda simulacia e način na koi diskretiziramo osnovne ednadžbe. Radi složenosti postupka diskretizacie i fizikalnih poava poput viskoznosti i površinske napetosti izrada programa za simulaciu fluida e zahtevna. Metode pomoću koih dobivamo točnie i detalnie simulacie traže više računalnih resursa i zbog toga nih ne možemo koristiti u aplikaciama koe rade u stvarnom vremenu poput igara. Zbog toga vrlo precizne simulacie fluida koristimo kod animacia za filmove, dok kod igara moramo koristiti mane zahtevne, ali zbog toga nažalost moramo prihvatiti i nihovu manu razinu preciznosti. Nakvalitetnie simulacie danas su toliko detalne i precizne da ih e ponekad teško razlikovati od stvarnosti(slika 2 i Slika 3). Slika 2. Realistična simulacia vode 3
Slika 3. Voda u igri battlefield 1 4
2. Osnove mehanike fluida 2.1 Svostva fluida Na mikroskopsko razini fluid se sastoi od velikog broa molekula koe se međusobno sudarau. Bro molekula e prevelik da bi se bavili izravno nima, pa se bavimo većim nakupinama molekula koe nazivamo česticama. Za opisivane fluida koristimo pomove tlak, viskoznost, gustoća i temperatura. Tlak e fizikalna veličina koa opisue delovane sile okomito na površinu fluida. Postoe hidrostatski, hidraulički i hidrodinamički tlak. Hidrostatski tlak e tlak mirnog fluida uzrokovan negovom težinom, hidraulički tlak e tlak koi nastae zbog delovana sila izvana, a hidrodinamički tlak nastae kod toka fluida[1]. Viskoznost e svostvo fluida koe nastae kao posledica opirana fluida smičnim silama putem viskoznih naprezana, koa se avlau kao reakcia na brzinu deformacie. Gustoća e fizička veličina određena kao količnik mase i volumena. Temperatura e veličina koa opisue toplinsko stane i sposobnost tiela ili tvari da izmenue toplinu s okolinom. Temperatura ovisi o količini unutarne energie koe sadrži neko tielo određene mase i tlaka. Temperatura ne uteče izravno na kretane fluida, ali uteče na tlak o koem izravno ovisi gibane fluida. Idealni fluid e fluid u koemu su viskoznost, površinska napetost, kapilarnost i ostale posledice međumolekularnih sila zanemarive. Sredinom osamnaestoga stoleća švicarski matematičar Leonard Euler formulirao e ednadžbe za opis takvih fluida koe su po nemu dobile ime Eulerove ednadžbe. 2.2 Navier-Stokesove ednadžbe Francuski inžener Claude-Louis Navier 1821. godine proširio e Eulerove ednadžbe tako da e nima moguće opisati viskozne(realne) fluide. Sir George Gabriel Stokes e pobolšao Navierov rad, ali potpuna rešena se mogu dobiti samo za ednostavne dvodimenzionalne tokove. Složena vrtložena i turbulentna gibana fluida u trodimenzionalnom prostoru se rešavau pomoću metoda numeričke analize. Ove ednadžbe proizlaze iz primene drugog Newtonovog zakona (F=ma) na gibane fluida 5
uz pretpostavku da e naprezane fluida ednako sumi članova koi opisuu viskoznost i članu koi označava tlak. Sledeće ednadžbe redom prikazuu Navier-Stokesove ednadžbe[1] po prostornim osima: ρ ( u u u u + u + v + w t x y z ) = F x p x + μ u ( 2 x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2) ρ ( v v v v + u + v + w t x y z ) = F y p y + μ v ( 2 x 2 + 2 v y 2 + 2 v z 2) ρ ( w t w w w + u + v + w x y z ) = F z p z + μ w ( 2 x 2 + 2 w y 2 + 2 w z 2 ) Variable u, v, w predstavlau brzinu po osima x, y, z. Kada bismo cielu ednadžbu pomnožili s volumenom lieva strana ednadžbe bi predstavlala umnožak mase i akceleracie, a desna sile koe deluu na infinitezimalno mali dio fluida. Prvi član s desne strane ednakosti predstavla bilo kakve vanske sile koe deluu na fluid, a načešće se radi o gravitacii, drugi član silu koa nastae zbog razlike tlaka koi delue na fluid, a treći član modelira viskoznost fluida. 6
3. Modeli fluida Fluidi se mogu opisati na dva osnovna načina: Eulerov i Lagrangeov. Za Eulerov fluid kažemo da e prostorni opis er e to način promatrana kretana fluida kod koeg promatramo specifičnu lokaciu prostora kroz kou teče fluid. Lagrangeov opis nazivamo materialnim opisom er promatramo česticu koa se kreće prostorom. Navier-Stokesove ednadžbe koima opisuemo fluid često nisu egzaktno rešive i za nihovo rešavane koristimo različite numeričke metode koe su podielene u dvie grupe. Jednu grupu čine metode koe koriste rešetku s konačnim broem ćelia unutar koe se nalazi fluid, a drugu grupu čine metode koe prikazuu fluid pomoću konačnog broa diskretnih čestica. 3.1 Lagrangeova rešetka Rešetka e postavlena na material i kreće se s nime. Rešetka prati deformaciu materiala. Napoznatia i načešće korištena metoda koa koristi Lagrangeovu rešetku e metoda konačnih elemenata. Metoda konačnih elemenata e numerička metoda za rešavane parcialnih diferencialnih ednadžbi. Ova metoda dieli domenu na malene, ednostavne dielove koi se nazivau konačnim elementima. Glavna prednost te metode su ednostavnii i brži račun u odnosu na metode koe koriste Eulerovu rešetku, a mana e što se ne može primieniti na materiale kod koih dolazi do velikih deformacia. Metoda konačnih elemenata napopularnia e kod simulacia čvrstih tiela, dok se kod simulacie fluida ova metoda danas vrlo rietko koristi. 3.2 Eulerova rešetka Eulerova rešetka fiksirana e u prostoru, a fluid se kreće. Kako su oblik, volumen i položa ćelia nepromenivi za cielo vrieme traane simulacie, deformacie materiala ne mienau rešetku te ne dolazi do numeričkih problema kao u metodama s Lagrangeovom rešetkom. Metode s ovim tipom rešetke su dominantne kod simulacia fluida, ali ipak imau niz mana: teško e pratiti ponašane materiala u neko točki kroz vrieme, teško e postaviti rešetku koa bi odgovarala složenim tielima i često e 7
potrebna rešetka puno veća od tiela koe nas zanima što negativno uteče na brzinu izvođena simulacie. 3.3 Čestične metode bez mreže( engl. Meshfree Particle Methods) Metode ovog tipa koriste konačan bro diskretnih čestica gde diskretna čestica može izravno predstavlati diskretan fizički obekt ili mali dio kontinuuma. U ovu grupu pripadau metode: dinamika molekula(engl. molecular dynamics), Monte Carlo, čestica u ćelii(engl. particle-in-cell), marker u ćelii(engl. marker-in-cell), metoda diskretnih elemenata (engl discrete element method), vrtložne metode(engl.vortex methods) i metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica(engl. smoothed particle hydrodynamics). Mnoge od ovih metoda su razviane za sustave s diskretnim česticama, ali su našle primenu i u kontinuiranim sustavima. Primeri za to su metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica koa se razvila za simulirane interakcia zviezda, te metoda dinamike molekula koa e razviena za simulirane kretana atoma. 8
4. Hidrodinamika zaglađuućih čestica 4.1 Svostva SPH-a Metodu Smoothed Particle Hydrodynamics razvili su 1977. godine Lucy, Gingold i Monaghan za rešavane problema u astrofizici, ali e ona dovolno općenita da se može koristiti za simulacie fluida, a uz to koristi se i za simulirane čvrstih tiela. Gibane fluida opisano e pomoću sustava parcialnih diferencialnih ednadžbi. Metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica se koristi za rešavane sustava parcialnih diferencialnih ednadžbi koima e prikazan problem gibana fluida. Sustavi tih parcialnih diferencialnih ednadžbi nisu analitički rešivi osim za nekoliko vrlo ednostavnih slučaeva. Zbog toga e veliki trud uložen u tražene numeričkih rešena ovog problema. Prvi potreban korak e diskretizacia domene u koo se nalaze parcialne diferencialne ednadžbe. Uz to nam e oš potrebna funkcia koa nam dae aproksimaciu funkcia pola i nenih derivacia u svako točki prostora. Tada na parcialne diferencialne ednadžbe primenuemo funkciu aproksimacie te dobivamo skup običnih diferencialnih ednadžbi u diskretiziranom obliku koe su ovisne samo o vremenu. Da bismo došli do spomenutih rezultata pomoću metode hidrodinamike zaglađuučih čestica koristimo sledeće idee[3]: Domena problema e prikazana pomoću skupa raspodielenih čestica. Ne postoi povezanost između čestica(engl. meshfree). Za aproksimaciu funkcie pola se koristi integralna reprezentacia funkcie. U metodi SPH to nazivamo ezgrena(engl. kernel) funkcia. Jezgrena funkcia se zatim aproksimira koristeći čestice. To nazivamo čestičnom aproksimaciom, a izvodi se tako da integral u integralno reprezentacii zamienimo sumom odgovaraućih vriednosti kod svih susednih čestica. Čestična aproksimacia se izvodi u svakom vremenskom koraku i rezultat ovisi o trenutnom rasporedu čestica u susedstvu. Čestične aproksimacie se izvode za sve izraze koi su povezani s funkciama pola u parcialnim diferencialnim ednadžbama kako bismo izveli skup običnih diferencialnih ednadžbi koe ovise samo o vremenu. 9
Obične diferencialne ednadžbe se rešavau pomoću eksplicitnih integraciskih algoritama kako bi se postiglo brzo napredovane simulacie i dobile vriednosti svih variabli kroz vrieme. SPH diskretizira fluid u čestice, čia svostva se zaglađuu pomoću funkcie zaglađivana što znači da samo susedne čestice koe se nalaze unutar radiusa zaglađivana uteču na svostva čestice. Formulaciu metode SPH dielimo u dva koraka. Prvi korak e integralna reprezentacia, a drugi korak e čestična aproksimacia. Čestična aproksimacia e korak u koemu integralnu reprezentaciu funkcie pretvaramo u sumu delovana susednih čestica. Prema metodi hidrodinamike zaglađuućih čestica, skalarna veličina A interpolirana e na položau r pomoću sume doprinosa svih čestica. A s (r) = A(r )W(r r, h)dr A m ρ W(r r, h) M i ρ predstavlau masu i gustoću -te čestice. Funkciu W nazivamo ezgrenom zaglađuućom funkciom. Za ezgrenu funkciu[3] se odabire parna funkcia koa treba zadovolavati nekoliko uveta. Jezgrena funkcia mora biti normalizirana W(r r, h)dr = 1. Funkcia treba zadovolavati svostvo Diracove delta funkcie kada su udalenost približava nuli lim W(r h 0 r, h) = δ(r r ). Jezgrena funkcia iznosi nula izvan područa zaglađivana W(r r, h) = 0 when r r > κh. Κ e konstanta koa se odnosi na funkciu zaglađivana u točki x i definira efektivnu površinu funkcie zaglađivana. Zbog linearnosti derivacia uteče samo na ezgrenu funkciu pa gradient od A iznosi: A(r) = m A ρ W(r r, h) = m A ρ W(r r, h) 10
Primenuući ova svostva na Navier-Stokesove ednadžbe prvo trebamo naći prikaz gustoće fluida u ovisnosti o susednim česticama do čega dolazimo tako da na mesto proizvolne veličine A uvrstimo gustoću ρ. ρ ρ(r i ) = m W(r r ρ, h) = m W(r r, h) 4.2 Sila tlaka Formula za silu koa nastae zbog tlaka koi delue na česticu glasi: f i pressure = m p i + p 2ρ W(r i r,h ) Budući da čestice poseduu samo tri konstantne veličine(masa, pozicia i brzina), potrebno e naprie izračunati tlak. Tlak izračunavamo ednadžbom idealnog plina. p = kρ, Gde e k plinska konstanta koa ovisi o temperaturi. U simulaciama se često koristi modificirana verzia ednadžbe. p = k(ρ ρ 0 ) 4.3 Viskozna sila Formula za viskoznu silu glasi: f i viscosity = μ m v v ρ 2 W(r i r, h) 4.4 Površinska napetost Na molekule u fluidu deluu privlačne sile susednih molekula. Unutar fluida te molekularne sile su ednake u svim smerovima i poništavau se, ali to nie sluča na rubovima fluida. Rezultanta tih sila, kou nazivamo silom površinske napetosti delue 11
u smeru normale prema površini fluida. Zbog toga fluid poprima oblik koi ima namanu površinu(voda u bestežinskom stanu poprima oblik kugle). Površinska napetost ovisi i o koeficientu napetosti σ. Površina fluida može se pronaći pomoću veličine pola koa iznosi 1 ako e prisutna čestica, a inače 0. To pole se naziva color field. Za pole smoothed color field [2] vriednost računamo formulom Sila iznosi: 1 c s (r) = m W(r r ρ, h). f surface = σ 2 c s c s c s 4.5 Vanske sile Na fluid deluu vanske sile poput gravitaciske sile i sila koe nastau zbog sudara s preprekama. Ove sile izračunavamo direktno bez korištena metode SPH. Za gravitacisku silu koristimo formulu F grav = mg, a kod sudara s preprekama ili rubovima terena samo reflektiramo vektor brzine oko normale koa e okomita na tielo s koim se fluid sudara. 12
5. Implementacia Za simulaciu fluida korištena e metoda Smoothed Particle Hydrodynamics. Fluid e reprezentiran pomoću konačnog broa čestica, govorimo o Lagrangeovom modelu fluida. Za spremane pozicie i brzine čestice sam koristio tip glm::vec2 iz matematičke biblioteke glm(opengl Mathematics). Slika 4 Klasa Particle Čestica e u programu prikazana pomoću klase Particle čia e implementacia prikazana na slici 5. Kod integracie e potrebna gustoća i podatak kolika sila delue na česticu, pa uz brzinu i poziciu za svaku česticu spremamo i ta svostva. Dodano e i pole pokazivača na susedne čestice Particle **neighbours, te pole udalenosti susednih čestica float *neighboursdist. Ova pola su korištena er se tiekom svakog koraka nekoliko puta poavlue potreba za pronalaskom suseda i nihovih udalenosti na što se troši velika količina procesorskog vremena. Dodavanem ovih pola svako čestici povećali smo potrebu za memoriom, ali memoria i dale nie problematična, a 13
brzina izvođena programa se udvostručila. Kretane čestica fluida određeno e silom, brzinom, tlakom, gustoćom. Ove vriednosti potrebno e izračunati za svaku česticu. Izračun položaa čestica i nihovih svostava za svaku novu sliku podieleni su u tri metode: izračun tlaka i gustoće čestice(computedensitypreassure), izračun sila(computeforces) i integracia(integrate). Nakon što izračunamo sve vriednosti crtamo sliku na ekran. Za crtane koristimo aplikacisko programsko sučele OpenGL. U metodi Compute Density Pressure gustoću računamo: particles[i]. rho = MASS POLY6 (H 2 particles[i]. neighboursdist[ 2 ]) 3, a tlak formulom particles[i]. p = k(ρ ρ 0 ). Nakon toga u metodi ComputeForces izračunavamo viskoznu silu, silu tlaka i gravitacisku silu na svaku od čestica. Gravitaciska sila ednaka produktu koeficienta gravitacie i ubrzanu sile teže. Viskozna sila ednaka e zbrou viskoznih sila čestice sa svakom susednom česticom. f i viscosity = μ m v v ρ 2 W(r i r, h) Proporcionalna e s razlikom brzina čestica, a obrnuto proporcionalna gustoći čestice. Laplacian nam dae veću vriednost kada e udalenost između dvie čestice mana, a u slučaevima kada e udalenost između čestica veća od radiusa zaglađivana iznos mu e nula pa iz tog razloga provodimo račun samo s polem susednih čestica koe se nalaze unutar radiusa h od čestice na koo trenutno računamo iznos sile. Viskozna sila ovisi i o koeficientu dinamičke viskoznosti. U programu e moguće za vrieme izvođena mienati koeficient viskoznosti i ubrzane sile teže te tako možemo promatrati kako ove veličine uteču na gibane fluida što se može videti na slici 5. 14
Slika 5 Izvođene razviene aplikacie Zadni korak prie iscrtavana slike na ekran e integracia. Nakon što nam e SPH izračunao približne vriednosti gustoće i sila koe deluu na čestice u svakom trenutku možemo koristiti neku od metoda numeričke integracie kako bismo izračunali brzine i došli do novih položaa čestica. a x+1 = x = F total m U programu simuliramo tok vode koa e nestlačiv fluid što znači da o e volumen konstantan. Smatramo da e volumen edne čestice iznosi edan što znači da su iznos gustoće i mase čestice ednaki pa zbog toga kod izračuna akceleracie na mestu mase čestice uvrštavamo nenu gustoću. Nakon toga primenuemo Eulerovu metodu. Eulerova metoda e metoda za numeričko rešavane diferencialnih ednadžbi prvog reda. U metodi Integrate pomoću sledećih ednadžbi izračunavao brzinu i poziciu čestice. 15
x t+1 = x t + Δt x t+1 = x t + Δt F total ρ x t+1 = x t + Δt x t+1 16
6. Rezultati izvođena i moguća proširena programa Razvienu aplikaciu sam testirao na prienosnom računalu s procesorom Intel i7-8550u i osam gigabata radne memorie. Da bismo mogli izračunati sile moramo za svaku česticu proći kroz pole svih čestica kako bismo pronašli čestice koe se nalaze unutar radiusa zaglađivana i uteču na česticu kou promatramo, pa e zbog toga složenost ovog algoritma O(n 2 ), gde n predstavla bro čestica. Aplikacia dobro radi s 800 čestica, a s 1000 čestica dolazi do velikog usporena programa i više nie pogodna za izvođene u stvarnom vremenu. Brzina izvođena se može pobolšati dodavanem pola u koem bi se za određenu lokaciu u prostoru nalazila referenca na česticu koa se nalazi na to pozicii. Tako bi se smanila složenost i povećala brzina izvođena programa. Simulacia e ako osetliva na promenu parametara pa samo malom promenom nekog parametra dolazi do drugačieg ponašana fluida. Gibane fluida ovisi o tlaku koi različito delue na svaku česticu. Jednadžba stana plina p = k(ρ ρ 0 ) ovisi o gustoći mirovana fluida ρ 0 i konstanti tlaka k. Povećanem konstante tlaka k dolazi do većih odbonih sila između čestica fluida i između čestica dolazi do većeg razmaka(slika 6), a smanenem konstante odbone sile postau mane i čestice postau zbienie što se vidi na slici 7. Slika 6 Izvođene uz k=10000 17
Slika 7 Izvođene uz k=1000 Isti uteca na izvođene ima i promena parametra ρ 0 koi predstavla gustoću mirovana. Osim ubrzana postoi i niz drugih promena i proširena koa bi pobolšala ovu aplikaciu, a nazanimliviim se čini proširene na rad u tri dimenzie. Za rad u 3D potrebno e proširiti izračun brzine i sila u tri dimenzie i trebalo bi ponovno prilagoditi parametre. 18
7. Zaklučak Simulacia fluida e važno i zanimlivo područe računalne grafike. Fluidi se nalaze svuda oko nas i primena simulacia e vrlo široka od računalnih igara i specialnih efekata u filmsko industrii do virtualnih operacia u medicini, virtualnih simulatora letena i mnogih drugih. Za izvođene tih simulacia potreban a ako velik bro operacia što računalo često ne može pratiti pa se time narušava svostvo rada u stvarnom vremenu. Potrebno e smaniti bro operacia i zbog toga se mnoge vriednosti spremau u memoriu kako ih se ne bi računalo više puta, a u slučaevima kada aplikacia treba omogućavati rad u stvarnom vremenu koriste se mane zahtevne simulacie, ali to dovodi i do nihove mane preciznosti. Osnovu svih metoda čine Navier-Stokesove ednadžbe. Integralne ednadžbe se poednostavluu korištenem hidrodinamike zaglađuućih čestica. Budući da tlak nie uviek ednak kod dvie čestice sile koe nastau zbog tlaka nisu simetrične pa kod metode SPH treba obratiti pozornost na očuvane trećeg Newtonovog zakona. Da bi simulacia fluida bila što realnia dodae se površinska napetost koa nie opisana Navier-Stokesovim ednadžbama. Za izračunavane površinske napetosti potrebno e doći do površine fluida za što se koristi pole color field. Simulacie su osetlive na promenu parametara i promena samo ednog parametra dovodi do narušavana izvedbe pa treba paziti na nihovu međuovisnost prilikom mienana. 19
8. Literatura [1] Zdravko Virag, Mario Savar, Ivo Džian Mehanika fluida I i II: predavana, 2017 [2] Matthias Muller, David Charypar, Markus Gross, Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications, SIGGRAPH Symposium on Computer Animation(2003) [3] G. R. Liu, M. B. Liu, Smoothed Particle Hydroynamics a meshfree particle method, 2003 [4]https://software.intel.com/en-us/articles/fluid-simulation-for-video-games-part-1 Michael J. Gourlay, datum pristupana 13.06.2018 20
9. Sažetak Ova rad se bavi simulaciom fluida u stvarnom vremenu. Opisani su Eulerov i Lagrangeov fluid, nihove prednosti i nedostaci. Detalnie e opisana metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica, interpolaciska metoda koa fluid opisue skupinom diskretnih čestica. Ovom metodom ostvarena e simulacia nestlačivog fluida. Za implementaciu e korišten programski ezik c++ i biblioteke glfw, glm i ImGui. U radu su opisani navažnii dielovi programskog koda i utecai parametara na rezultate simulacie. Klučne rieči: simulacia, mehanika fluida, hidrodinamika zaglađuućih čestica, Eulerov fluid, Lagrangeov fluid, SPH 21
10. Abstract This report presents fluid simulations in real time. It describes Euler and Lagrange fluid, their advantages and disadvantages. Smoothed particle Hydrodynamics method is described in more details. SPH is an interpolation method for particle systems. This method is used to make simulation of incompressible fluid. Application is written using c++ and libraries glfw, glm and ImGui. Report describes most important parts of source code and influence of parameters on simulation. Key words: simulation, fluid mechanics, Euler fluid, Lagrange fluid, Smoothed particle Hydrodynamics, SPH 22