Variabla e rastit dhe shpërndarjet probabilitare Ligjërata e pestë Variabla e rastit dhe shpërndarjet e probabilitetit Qëllimet: Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në gjendje që të : Definoni termet: variabël e rastit dhe shpërndarjet e probabilitetit Të bëni dallimet në mes të shpërndarjes së probabiliteteve të variablave të rastit të ndërprea dhe të vazhdueshme Kalkuloni mesataren aritmetike, variancën dhe devijimin standard të shpërndarjeve probabilitare të variablave të rastit të ndërprera. 1
Variablat e rastit Variabla e rastit është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti të rasatit SHEMBULL 1. Supozojmë që tabela vijuese prezanton shpërndarjen e frekuencave absolute dhe frekuencave relative për numrin e telefonave celular që posedojnë 200 familje të zgjedhura rastësisht në qytetin e Prishtinës. (Numri i telefonave mobil) (X) Shembull Numri i familjeve (F) Frekuencat relative (Fr) 0 10 10/200=0.05 1 45 45/200=0.225 2 65 65/200=0.325 3 35 35/200=0.175 4 25 25/200=0.125 5 20 20/200=0.1 n=200 Supozojmë që një familje është zgjedhur rastësisht nga tërësia e përgjithshme. Procesi i zgjedhjes së rastësishme të familjes quhet eksperiment i rastit. Nëse me X shënojmë numrin e tel. celular që posedon familja e zgjedhur, atëherë X mund të marrë vlera prej 0 deri në 5 ( 0, 1, 2, 3, 4, 5). Se cilën vlerë do të marrë X varet nga se cila familje është zgjedhur. Kështu, kjo vlerë varet nga rezultati i eksperimentit të rastit. Për këtë X quhet variabël e rastit 2
Variabla e rastit Definimi: Variabla e rastit është variabla vlera e së cilës përcaktohet nga rezultati i eksperimentit të rastit Variabla e rastit është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti të rastit Llojet e variablave të rastit Variablat e rastit Variabla e rastit diskrete/ e ndërpreë Variabla e rastit kontinuale/ e vazhdueshme 3
Variabla e rastit diskrete/e ndërprerë Variabla e rastit diskrete/ e ndërpreë është variabla e cila mund të marr vetëm disa vlera të caktuara qartë që rezultojnë nga numërimi i disa njësive që janë me interes. P.sh. - Numri i SMS në telefonin tuaj gjatë ditës, - Numri i aksidenteve në komunikacion gjatë muajit prill, - Numri i MP3 të shitur në një shitore, - Numri i produkteve me defekt gjatë një dite pune, etj Shembull: Le të jetë X numri i rënjes së numri kur monedha hudhet tri herë. Këtu vlerat për X janë: X = 0,1,2,3. Variablat e rastit kontinuale/e vazhdueshme Variabël e rastit kontinuale /e vazhdueshme është variabla e cila mund të marr në infinit numër të madh të vlerave. Shembuj: - Gjatësia dhe pesha e studentëve, - Koha e nevojshme që me taksi të vihet në fakultet nga shtëpia, - Kohëzgjatja e një dremitje (gjumi) etj. 4
Shpërndarja e probabiliteteve Shpërndarja e probabilitetit për variablën e rastit përshkruan se si probabilitetet janë të shpërndara rreth vlerës së variablës së rastësishme. Shpërndarjen e probabilitetetve mund ta përshkruajmë me tabelë, grafik apo ekuacion. Modelet teorike të shpërndarjes së probabiliteve Modelet e shpërndarjes/distribucionit Distribucioni diskret i probabiliteve Distribucioni kontinual i probabiliteteve Distribucioni Binomial Distribucioni hipergjeometrik Distribucioni i Poisson-it Distribucioni uniformues Distribucioni normal Distribucioni i Studentit 2 Distribucioni (hi në katror) 2 Distribucioni i Fisherit (Snedecor) 5
Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete Shpërndarja e probabilitetit është lista e të gjitha vlerave të mundshme që mund të marrë variabla e rastit dhe probabilitetet gjegjëse të tyre. Shpërndarja e probabilitetit definohet përmes funksionit të probabilitetit, i shënuar me P(x), i cili siguron probabilitet për çdo vlerë të varablës së rastësishme. Kushtet e kërkuara për funksionin e probabilitetit diskret janë: P(x) > 0 P(x) = 1 Shpërndarja e probabiliteteve të variablave të ndërprera Nese marrim shembullin e pare të shpërndarjes së familjeve sipas numrit të telefonave celular. (Numri i telefonave mobil) (X) Numri i familjeve (F) Frekuencat relative (Fr) 0 10 10/200=0.05 1 45 45/200=0.225 2 65 65/200=0.325 3 35 35/200=0.175 4 25 25/200=0.125 5 20 20/200=0.1 n=200 Ne kemi mesuar se frekuencat relative mund të përdoren si përafrim i probabiliteteve, kështu, duke përdorur frekuencat relative si përafrim I probabiliteteve krijojmë shpërndarjen e probabiliteteve për vlerat e variablës së rastit. 6
Shpërndarja e probabiliteteve të variablave të ndërprera Shpërndarja e probabiliteteve për numrin e tel. celular (Numri i telefonave mobil) (X) Probabilitetet P (x) 0 0.05 1 0.225 2 0.325 3 0.175 4 0.125 5 0.1 P(x) =1 Shperndarja probabilitare I ploteson dy kushtet elementare: 1. P(x) është në mes të 0 dhe 1 dhe 2. P(x) =1 Shpërndarja e probabiliteteve të variablave të ndërprera Nga tabela mund të lexojmë probabilitet për cilëndo vlerë të x-it. Psh. Probabiliteti se familja e zgjedhur rastësisht ka 3 telefona celular është 0.175. Ky probabilitet përshkruhet në këtë mënyrë: P(x=2) =0.175, ose P(2)=0.175 Probabiliteti se familja e zgjedhur posedon më shumë se 3 telefona celular është shumë e probabiliteteve të familjeve që posedojnë 4 dhe 5 telefona celular. P( x>3) = P(x=4) + P(x=5)=P(4)+P(5)=0.125+0.1=0.225 7
Probabilitetet P(x) Paraqitja grafike e shpërndarjes së probabiliteteve të variablave të rastit të ndërprera 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 Nr. i telefonave celular (X) Shembull për diskutim Të tri tabelat e mëposhtme prezantojnë variablat e rastësishme X dhe probababilitetet e tyre. Duhet të përcaktojmë se secila tabelë a prezanton shpërndarjen probabilitare? (a) X P(X) 0 0.10 1 0.22 2 0.39 3 0.20 (b) X P(X) 1 0.40 2 0.20 3 0.29 4 0.11 (c) X P(X) 6 0.60 7 0.50 8 0.10 9-0.20 8
Probabiliteti Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete Shembull Përdorimi i të dhënave për shitjen e TV në të kaluarën. Prezantimi tabelar i distribucionit të probabilitetit për shitjen e TV.. Nj. e shitura Numri i ditëve 0 80 1 50 2 40 3 10 4 20 200 x P(x) 0.40 1.25 2.20 3.05 4.10 1.00 80/200 Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete Paraqitja grafike.50.40.30.20.10 0 1 2 3 4 Vlerat e variablës së rastësishme x (Shitjet e TV) 9
Mesatarja, Varianca dhe Devijimi standard te Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastit të ndërprera /diskrete Sikurse shpërndarja e frekuencave që karakterizohet me mesataren, variancën dhe devijimin standard, ashtu edhe shpërndarja e probabiliteve përmblidhet me mesataren e tij dhe variancën. Mesatarja e shpërndarjes së probabilitetit shënohet me shkronjën greke mi μ Devijimi sandard i shpërndarjes së probabiliteteve shënohet me shkronjën greke sigma σ Vlera e pritur (mesatarja), varianca dhe devijimi standard Vlera e pritur, ose mesatarja, e variablës së rastësishme është matës i tendencës qendrore. E(x) = = xp(x) Varianca përmbledh variabilitetin e vlerave të variablës së rastësishme. Var(x) = 2 = (x - ) 2 P(x) Devijimi standard,, definohet si rrënja katrore e Variancës. 2 (x ) P(x) 10
Vlera e pritur, varianca dhe devijimi standard Vlera e pritur- mesatarja aritmetike x P(x) xp(x) 0.40.00 1.25.25 2.20.40 3.05.15 4.10.40 E(x) = 1.20 Numri i pritur i TVs të shitur brenda ditës Varianca dhe Devijimi Standard E(x) = = 1.20 x 0 1 2 3 4 x - (x - ) 2 P(x) (x - ) 2 P(x) -1.2-0.2 0.8 1.8 2.8 1.44 0.04 0.64 3.24 7.84.40.25.20.05.10.576.010.128.162.784 Varianca e shitjeve ditore= 2 = 1.660 TVs Në katror Devijimi standard për shitjet ditore= 1.2884 TVs 11
Shembull Tabela vijuese prezanton shpërndarjen e probabiliteteve për numrin e prishjeve brenda javës të një makine bazuar nga të dhënat e së kaluarës. Prishjet javore (X) 0 1 2 3 Probabiliteti (P(x) 0.15 0.20 0.35 0.30 a. Paraqitni grafikisht shpërndarjen probabilitare b. Përcaktoni probabilitetin që numri i prishjeve për këtë makinë gjatë një jave të caktuar është si më poshtë: - Saktesisht 2 prishje P(x=2)=? - Nga 0 deri në 2 prishje; - Më shumë se 1 prishje P(x>1)=? - Më së shumti 1 prishje; P(0 X 2)? PX ( 1)? c. Nga të dhënat e tabelës, llogaritni vlerën e pritur, variancën dhe devijimin standard KONCEPTET KYÇE Variabla e rastësishme Variabla diskrete Variabla diskrete Distribucioni i probabilitetit Distribucioni diskret i probabiliteteve Distribucioni i variablave kontinuale Vlera e pritur- mesatarja aritmetike Devijimi standard dhe varianca. 12