Matematická analýza II. - PDF Free Download

V. Diferenciálny počet (prezentácia k prednáške MANb/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prezentácie k prednáškam čast II 21. februára 2018

The extent of this calculus is immense: it applies to curves both mechanical and geometrical; radical signs cause it no difficulty, and even are often convenient; it extends to as many variables as one wishes; the comparison of infinitely small quantities of all sorts is easy. And it gives rise to an infinity of surprising discoveries concerning curved or straight tangents, questions De maximis & minimis, inflexion points and cusps of curves, envelopes, caustics from reflexion or refraction, &c. as we shall see in this work. Marquis de L Hospital: Analyse des infiniment petits (1696)

Infinitezimálny počet motivácia And I dare say that this is not only the most useful and most general problem in geometry that I know, but even that I ever desired to know. Descartes: La Geometrie, Appendix to the Discours de la methode (1637) What contempt for the non-english! We have found these methods, without any help from the English. Joh. Bernoulli: Opera, vol. IV (1735), p. 70 Isaac Newton was not a pleasant man. His relations with other academics were notorious, with most of his later life spent embroiled in heated disputes... A serious dispute arose with the German philosopher Gottfried Leibniz. Both Leibniz and Newton had independently developed a branch of mathematics called calculus, which underlies most of modern physics... Hawking: A Brief History of Time (1988) Problém: Nech y = f (x) je daná krivka. V každom bode x chceme poznat sklon krivky, dotyčnicu ku krivke a normálu ku krivke. Motivácie: výpočet uhla, pod ktorým sa dve krivky pretínajú (Descartes); konštrukcia d alekohl adov (Galilei) a hodín (Huygens 1673); nájdenie maxima a minima funkcie (Fermat 1638); rýchlost a zrýchlenie pohybu (Galilei 1638, Newton 1686); astronómia, overenie gravitačného zákona (Kepler, Newton).

Infinitezimálny počet okolnosti vzniku a historické súvislosti NEWTON (1671, publikované až v roku 1736): Uvažuje premenné v, x, y, z ako as gradually and indefinitely increasing,... And the velocities by which every Fluent is increased by its general motion, (which I may call Fluxions) I shall represent by the same Letters pointed thus v, ẋ, ẏ, ż. Hodnoty dostal spôsobom rejecting the Terms... as being equal to nothing.

Infinitezimálny počet okolnosti vzniku a historické súvislosti LEIBNIZ (1684): Nech y = x 2. Ak x narastie o x, tak y narastie na y + y = (x + x) 2 = x 2 + 2x x + ( x) 2 y = 2x x + ( x) 2. Podl a Leibniza x a y predstavujú nekonečne malé veličiny, ktoré označil dx a dy. Zanedbaním výrazu (dx) 2, ktorý je nekonečne menší ako 2xdx dostal dy = 2xdx alebo dy dx = 2x.

Infinitezimálny počet okolnosti vzniku a historické súvislosti JACOB A JOHANN BERNOULLI: tretie znovuobjavenie diferenciálneho kalkulu na základe Leibnizovho článku z roku 1684. Johann dáva v roku 1691/92 súkromné hodiny nového kalkulu markízovi de L Hospitalovi, pričom nekonečne malé veličiny chápal ako veličiny, ktoré sa môžu pripočítat ku konečným veličinám bez zmeny ich hodnôt kritika tejto novej matematiky od B. NIEVENTIJTA z roku 1694

Infinitezimálny počet okolnosti vzniku a historické súvislosti GUILLAUME DE L HOSPITAL (1696): vydal knihu Analyse des infiniment petits, ktorá sa stala prvou učebnicou diferenciálneho počtu a znamenala prelom v používaní nového kalkulu dokonca aj vo Francúzsku, kde veda bola ovplyvnená dlhé desat ročia karteziánmi (abbé Catelan, Papin, Rolle, atd.)

Derivácia rodiaca sa: derivácia umožňuje popis fyzikálnych dejov a geometrické správanie sa funkcií ISAAC NEWTON (1643 1727) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 1716)

Derivácia uháňajúca: derivácia udáva rýchlost zmien fyzikálnych veličín derivácia umožňuje merat rýchlost dejov najrôznejšieho druhu

Derivácia tvarujúca: derivácia funkcie v bode je smernica jej dotyčnice v danom bode, t.j. udáva ako rýchlo funkcia rastie alebo klesá druhá derivácia udává mieru konvexnosti či konkávnosti derivácia je vhodný nástroj pre popis kriviek najrôznejšieho druhu

Derivácia zjednodušujúca: derivácia slúži na aproximáciu funkcie, ak ju nahradíme jej dotyčnicou namiesto všeobecne komplikovaných závislostí medzi veličinami pracujeme s lineárnymi funkciami a rovnicami

Derivácia všeobklopujúca: ked že väčšina fyzikálnych dejov prebieha tak, že zmena jednej veličiny vyvoláva zmenu či prítomnost inej veličiny, je derivácia ideálnym prostriedkom pre formulovanie fyzikálnych zákonov popisuje všetko, čo nás obklopuje

... tangentem invenire, esse rectam ducere, quæ duo curvæ puncta distantiam infinite parvam habentia, jungat,... Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis... (1684) Definícia derivácia funkcie v bode Nech x 0 D f je hromadný bod D f. Deriváciou funkcie f v bode x 0 nazývame f (x) f (x 0 ) vlastnú limitu lim a označujeme ju f (x 0 ). x x0 x x 0

f f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim = lim x x0 x x 0 h 0 h Príklady: Nájdite deriváciu funkcie f v l ubovol nom bode x 0 R, ak f (x) = c, kde c R; f (x) = x n pre n N; f (x) = a x pre a > 0, a 1;

Pozorovanie: ked že derivácia je nejaká limita, asi má zmysel zaviest jej jednostranné verzie (ako pri limite funkcie vo vlastnom bode) Definícia jednostranná derivácia funkcie v bode Nech x 0 D f je hromadný bod množiny D f x 0, + ) [D f (, x 0 ]. Deriváciou sprava [zl ava] funkcie f v bode x 0 nazývame vlastnú limitu f (x) f (x lim 0 ) f (x) f (x x x + x x 0 [ lim 0 ) 0 x x x x 0 ] a označujeme ju f +(x 0 ) [f (x 0 )]. 0 Veta V.14 Nech x 0 D f je hromadný bod množín D f x 0, + ) a D f (, x 0. Funkcia f má deriváciu v bode x 0 práve vtedy, ked f má deriváciu sprava a zl ava v bode x 0 a platí f (x 0 ) = f +(x 0 ) = f (x 0 ). Fakt: absolútna hodnota nemá deriváciu v bode x 0 = 0! Existuje nejaký pojem derivácie, ktorý umožňuje derivovat aj také potvory? Symetrická derivácia: funkcia f má symetrickú deriváciu v bode x 0, akk existuje vlastná limita lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 h). 2h

Pozorovanie: ked že derivácia je nejaká limita, asi má zmysel zaviest jej jednostranné verzie (ako pri limite funkcie vo vlastnom bode) Definícia jednostranná derivácia funkcie v bode Nech x 0 D f je hromadný bod množiny D f x 0, + ) [D f (, x 0 ]. Deriváciou sprava [zl ava] funkcie f v bode x 0 nazývame vlastnú limitu f (x) f (x lim 0 ) f (x) f (x x x + x x 0 [ lim 0 ) 0 x x x x 0 ] a označujeme ju f +(x 0 ) [f (x 0 )]. 0 Veta V.14 Nech x 0 D f je hromadný bod množín D f x 0, + ) a D f (, x 0. Funkcia f má deriváciu v bode x 0 práve vtedy, ked f má deriváciu sprava a zl ava v bode x 0 a platí f (x 0 ) = f +(x 0 ) = f (x 0 ). Fakt: absolútna hodnota nemá deriváciu v bode x 0 = 0! Spojitost funkcie na množine je definovaná bodovo rovnako definujeme aj deriváciu na množine! Definícia derivácia na množine Nech f je definovaná na množine M. Hovoríme, že f má deriváciu na množine, akk má deriváciu v každom bode množiny M.

Ako súvisí derivácia v bode a spojitost v bode? Veta V.15 Ak f má deriváciu v bode x 0, tak f je spojitá v bode x 0. Poznámka: analogické tvrdenie dostaneme pre jednostrannú deriváciu a spojitost Pozorovanie: na základe príkladu funkcie f (x) = x, ktorá je spojitá v bode x 0 = 0, ale nemá tam deriváciu, sa dá l ahko vytvorit funkcia, ktorá bude spojitá všade, ale nebude mat deriváciu v l ubovol nom konečnom (alebo aj nekonečnom) počte bodov. Napr. funkcia { x, 0 x 1 f (x) = 2, 1 1 x, 2 x 1 rozšírená periodicky na R, t.j. f (x + 1) = f (x) pre x R. Explicitný tvar tejto funkcie je f (x) = inf m Z x m. Existuje však funkcia, ktorá je spojitá na celej reálnej osi, ale nemá deriváciu v žiadnom bode reálnej osi?

Všade spojité funkcie nemajúce nikde deriváciu The first lecture of M. Jašek reporting on Functionenlehre was given on December 3, 1921. Already on February 3, 1922 Karel Rychlík presented to KČSN 1 his treatise where the correct proof of the continuity of Bolzano s function was given as well as the proof of the assertion that this function does not have a derivative at any point of the interval (a, b) (finite or infinite). The same assertion was proved by Vojtěch Jarník at the same time but in a different way. Both Jarník and Rychlík knew about the work of the other. Hykšová: Bolzano s inheritance research in Bohemia (2001) Already the fact that it occurred to Bolzano at all that such a function might exist, deserves our respect. The fact that he actually succeeded in its construction, is even more admirable. Hykšová: Bolzano s inheritance research in Bohemia (2001) A. M. AMPÉRE (1806) dôkaz, že každá spojitá funkcia má deriváciu v každom bode až na konečný počet bodov B. BOLZANO (okolo 1830) Bolzanova funkcia, skonštruovaná ako limita postupnosti spojitých funkcií, bola objavená v Bolzanovej pozostalosti, no publikovaná až v roku 1922 C. CELLÉRIER (okolo 1860) vyjdené tiež posmrtne v roku 1890 1 C(x) = a n sin(an x), a > 1 n=1 1 Královská česká spoločnost nauk

Všade spojité funkcie nemajúce nikde deriváciu Until very recently it was generally believed, that a... continuous function... always has a first derivative whose value can be indefinite or infinite only at some isolated points. Even in the work of Gauss, Cauchy, Dirichlet, mathematicians who were accustomed to criticize everything in their field most severely, there can not be found, as far as I know, any expression of a different opinion. Weierstrass: Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments... (1872) B. RIEMANN (1861) mylne sa domnieval, že funkcia sin(n 2 x) R(x) = n 2 n=1 nemá nikde deriváciu (v roku 1970 GERVER ukázal, že R má deriváciu v niektorých bodoch, napr. x = π) K. WEIERSTRASS (1872) šokoval matematický svet dokázaním, že také (monštruózne) funkcie existujú, napr. W (x) = a n cos(b n πx), 0 < a < 1, ab > 1 + 3π/2 n=0 odvtedy mnohí d alší matematici skonštruovali takéto funkcie: DARBOUX (1875), DINI (1878), HILBERT (1891), TAKAGI (1903), VAN KOCH (1906), FABER (1907, 1908), SIERPIŃSKI (1912)...

Všade spojité funkcie nemajúce nikde deriváciu I turn away with fear and horror from the lamentable plague of continuous functions which do not have derivatives... Hermiteov list Stieltjesovi zo dňa 20. mája 1893 A hundred years ago such a function would have been considered an outrage on common sense. Poincaré: L oeuvre math. de Weierstrass (1899) C(x) pre a = 2 na 0, π W (x) pre a = 1/2, b = 5 na 0, 3 diplomová práca venovaná prehl adu a konštrukcii takýchto funkcií http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/ltu-ex-03320-se.pdf

His positis calculi regulae erunt tales: Veta (o základných aritmetických operáciách s deriváciami) Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis... (1684) Nech f a g majú deriváciu v bode x 0. Potom funkcie f ± g a f g majú deriváciu v bode x 0 a platí (i) (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ); (ii) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ). Ak naviac g(x 0 ) 0, tak funkcia f g má deriváciu v bode x 0 a platí (iii) ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) g g 2. (x 0 ) Príklady: Nájdite deriváciu funkcie f na množine M, ak f (x) = x n, kde x 0 a n N; f (x) = tg x pre x (2k + 1) π 2, kde k Z; f (x) = cotg x pre x kπ, kde k Z;

His positis calculi regulae erunt tales: Veta (o derivácii zloženej funkcie) Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis... (1684) Nech g má deriváciu v bode x 0 a f má deriváciu v bode y 0 = g(x 0 ). Potom funkcia f g má deriváciu v bode x 0 a platí Príklady a poznámky: (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). veta dáva postačujúcu podmienku k existencii derivácie, napr. na funkciu h(x) = x 2 1 sa nedá použit, ked že g(x) = x nemá deriváciu v bode x 0 = 0, avšak z definície h +(1) x 2 1 1 x 2 = lim = 2 2 = lim x 1 + x 1 x 1 x 1 = h (1); ešte zaujímavejšou je situácia s f (x) = g(x) = χ(x), ktorá nemá deriváciu nikde, ale f g 1 má deriváciu na celej množine R; nájdite deriváciu funkcie f (x) = cos na množine M = ( 1, + ); 1 1+x

His positis calculi regulae erunt tales: Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis... (1684) Veta (o derivácii inverznej funkcie) Nech f C (a, b) je rýdzomonotónna, má deriváciu v bode x 0 (a, b) a f (x 0 ) 0. Potom funkcia f má deriváciu v bode y 0 = f (x 0 ) a platí f (y 0 ) = 1 f (x 0 ), kde x 0 = f (y 0 ). Príklady: Nájdite deriváciu funkcie f na množine M, ak f (y) = n y, kde y > 0 a n N; f (x) = x r, kde x > 0 a r = m n Q; f (y) = log a x pre x > 0 a a R, a > 0, a 1; f (x) = x α pre x > 0 a α R; f (y) = arcsin y pre y ( 1, 1); f (y) = arccos y pre y ( 1, 1); f (y) = arctg y pre y R; f (y) = arccotg y pre y R;

His positis calculi regulae erunt tales: Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis... (1684) Zhrnutie základné "pravidlá" o výpočte derivácie Za príslušných podmienok (presné znenia jednotlivých viet pozri v predchádzajúcej prednáške) platí: (i) (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ); (ii) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ); ( ) f (iii) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) g g 2 ; (x 0 ) (iv) (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ); (v) f (y 0 ) = 1 f (x 0 ), kde x 0 = f (y 0 ). Príklad: Nájdite (a upravte!) deriváciu funkcie f na množine M, ak f (x) = x 1 + 8x 3 + 1 (1 + 2x)2 3 ln 12 1 2x + 4x 2 + 4x 1 arctg, M = R\{ 1/2}. 6 3

Zhrnutie: derivácie základných elementárnych funkcií na množine* (c) = 0, kde c R (x α ) = αx α 1, kde α R (a x ) = a x ln a, kde a > 0, a 1 (log a x) = 1 x ln a, kde a > 0, a 1 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) = 1 cos 2 x (cotg x) = 1 sin 2 x (arcsin x) = 1 x 1 pre x ( 1, 1) 2 (arccos x) = 1 x 1 pre x ( 1, 1) 2 (arctg x) = 1 1+x 2 (arccotg x) = 1 1+x 2 (sinh x) = cosh x (tgh x) = 1 cosh 2 x (cosh x) = sinh x (cotgh x) = 1 sinh 2 x * ak nie je povedané inak, myslí sa tu na celom definičnom obore!

f (x) f (x Zopakovanie: za deriváciu funkcie f v bode x 0 sme prijali existenciu vlastnej limity lim 0 )!!! x x x x 0 0 Definícia nevlastnej derivácie Nech x 0 je hromadný bod D f. Hovoríme, že funkcia f má v bode x 0 f (x) f (x nevlastnú deriváciu + [ ], akk lim 0 ) x x0 x x 0 = + [ ]. 3 2 1 sgn(x) -3-2 -1 1 2 3-1 x arccotgx y arccosx π π/2 arcsinx 0-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 Otázka: Prečo majú arcsin a arccos deriváciu len na množine M = ( 1, 1)? Čo sa deje v krajných bodoch? Príklad: Nájdite deriváciu funkcie y = arccos Veta (o limite derivácií) π/2 arctg x 1 na množine M = R. 1 + x 2 Nech x 0 je hromadný bod D f a f je spojitá v bode x 0. Ak f má deriváciu na nejakom O (x 0 ) a lim x x0 f (x) = A R, potom f (x 0 ) = A. x

Geometrická interpretácia vlastnej derivácie Úloha: Nájdite rovnicu dotyčnice t ku grafu funkcie f v danom bode x 0. Riešenie: úvaha o sečnici vedie k smernici sečnice k s = tg ϕ s = f (x) f (x 0) x x 0 limitná úvaha k smernici dotyčnice f (x) f (x 0 ) k t = tg ϕ t = lim = f (x 0 ), x x0 x x 0 t.j. derivácia funkcie f v bode x 0 je smernica dotyčnice ku grafu funkcie f v bode x 0, čiže rovnica dotyčnice má tvar t : y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) a

Infinitezimálny počet okolnosti vzniku a motivácia Derivácia zjednodušujúca: derivácia slúži na aproximáciu funkcie, ak ju nahradíme jej dotyčnicou namiesto všeobecne komplikovaných závislostí medzi veličinami pracujeme s lineárnymi funkciami a rovnicami Ako spolu súvisia uvedené vzorce na obrázku?

Geometrická interpretácia derivácie zhrnutie normála = priamka kolmá na dotyčnicu (ak existuje) v bode P = [x 0, f (x 0 )] t : y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) t : y = f (x 0 ) t : x = x 0 n : y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) 0) n : x = x 0 n : y = f (x 0 ) Geometrická interpretácia nevlastnej derivácie: ak f (x 0 ) = +, tak dotyčnica v bode P = [x 0, f (x 0 )] zviera s osou o x uhol π 2, t.j. sečnica prechádzajúca bodmi P a l ubovol ným bodom Q grafu funkcie f, ktorého x-ová súradnica je z malého okolia bodu x 0, zviera s osou o x uhol blízky π 2 ak f (x 0 ) =, tak dotyčnica v bode P = [x 0, f (x 0 )] zviera s osou o x uhol opät π 2 a sečnica prechádzajúca bodmi P a l ubovol ným bodom Q grafu funkcie f, ktorého x-ová súradnica je z malého okolia bodu x 0, zviera s osou o x uhol blízky π 2 ak f + (x 0) = ± a f (x 0) =, tak dotyčnica v bode P = [x 0, f (x 0 )] zviera s osou o x uhol π 2, ale jednostranné sečnice zvierajú s osou o x uhol blízky ± π (podl a znamienok jednostranných nevlastných derivácií) 2 Ponaučenie: mat deriváciu v bode x 0 a vediet nájst rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode x 0 nie sú ekvivalentné pojmy!

Diferencia, diferenciál a diferencovatel nost funkcie Nie je možné vyjadrit rozdiel f (x 0 ) := f (x 0 + h) f (x 0 ) len pomocou prírastku h?

Veta V.16 The total variation f (x 0 + h) f (x 0 )... can in general be decomposed into two terms... Weierstrass: Differential Rechnung (1861) Nech f má deriváciu v bode x 0. Potom existuje funkcia ω spojitá v bode 0 s lim h 0 ω(h) = 0 taká, že f (x 0 ) = f (x 0 )h + hω(h) pre každé h z nejakého okolia bodu 0. Označenie: výraz f (x 0 )h nazývame diferenciál funkcie f v bode x 0 a píšeme d f (x 0 ) := f (x 0 )h, taktiež označenie dy Poznámka: Ak položíme h = x x 0, potom d f (x 0 ) := f (x 0 )(x x 0 ) = f (x 0 ) dx, teda df (x 0 ) dx Definícia diferencovatel nost funkcie v bode = f (x 0 ) Nech x 0 je hromadný bod D f. Funkciu f nazývame diferencovatel ná v bode x 0, akk existuje A R a funkcia ω spojitá v bode 0 s lim h 0 ω(h) = 0 taká, že f (x 0 ) = Ah + hω(h) pre každé h z okolia bodu 0. Poznámka: v tejto novej terminológii Veta V.16 tvrdí, že ak f má deriváciu v bode x 0, tak f je diferencovatel ná v bode x 0!

The total variation f (x 0 + h) f (x 0 )... can in general be decomposed into two terms... Weierstrass: Differential Rechnung (1861) Definícia diferencovatel nost funkcie v bode Nech x 0 je hromadný bod D f. Funkciu f nazývame diferencovatel ná v bode x 0, akk existuje A R a funkcia ω spojitá v bode 0 s lim h 0 ω(h) = 0 taká, že f (x 0 ) = Ah + hω(h) pre každé h z okolia bodu 0. Historické poznámky: uvedená definícia diferencovatel nosti funkcie f v bode x 0 pochádza od CONSTANTINA CARATHÉODORYHO (1873 1950) z roku 1950; staršia Weierstrassova definícia (1861) vyžadovala existenciu dvoch funkcií na vyjadrenie diferencie (pozri citáciu hore); ešte skôr Cauchy (1821) považoval diferencovatel nost reálnej funkcie v bode za ekvivalentnú s existenciou derivácie funkcie v bode; Je Cauchyho prístup ekvivalentný s Carathéodoryho prístupom?

Veta V.17 Ak f je diferencovatel ná v bode x 0, tak f má deriváciu v bode x 0. Dôsledok f je diferencovatel ná v bode x 0 práve vtedy, ked f má deriváciu v x 0. Definícia diferencovatel nost funkcie na množine Hovoríme, že f je diferencovatel ná na množine M D f, akk f je diferencovatel ná v každom bode množiny M. Označenie: množinu všetkých diferencovatel ných funkcií na M budeme označovat D(M), t.j. podl a Dôsledku Vety V.17 máme f D(M) f má deriváciu na množine M Poznámka: ekvivalentný vzt ah mat deriváciu a byt diferencovatel ný nemusí platit, ked opustíme reálne funkcie jednej reálnej premennej, napr. pri reálnej funkcii viacerých premenných to už neplatí! Príklad: Približne vypočítajte hodnotu 6 1,06.

Dôsledok f je diferencovatel ná v bode x 0 práve vtedy, ked f má deriváciu v x 0. Výhody vyjadrenia derivácie pomocou diferencovatel nosti: funkcia f diferencovatel ná v bode x 0 sa dá vyjadrit v tvare f (x) = f (x 0 ) + ϕ(x)(x x 0 ), kde ϕ(x) = f (x 0 ) + ω(x x 0 ) dôkaz vety o derivácii zloženej funkcie cez diferencovatel nost : g(x) g(x 0 ) = ϕ(x)(x x 0 ), kde ϕ(x 0 ) = g (x 0 ), f (y) f (y 0 ) = ψ(y)(y y 0 ), kde ψ(y 0 ) = f (y 0 ). Dosadením y y 0 = g(x) g(x 0 ) z prvej rovnice do druhej máme f (g(x)) f (g(x 0 )) = ψ(g(x))ϕ(x)(x x 0 ). Funkcia ψ(g(x))ϕ(x) je spojitá v bode x 0 s hodnotou ψ(g(x 0 ))ϕ(x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ).

Derivácia a diferenciál funkcie vyšších rádov But the velocities of the velocities, the second, third, fourth, and fifth velocities, etc., exceed, if I mistake not, all human understanding. The further the mind analyseth and pursueth these fugitive ideas the more it is lost and bewildered;... Bishop Berkeley: The Analyst (1734)... our modern analysts are not content to consider only the differences of finite quantities: they also consider the differences of those differences, and the differences of the differences of the first differences. And so on ad infinitum. That is, they consider quantities infinitely less than the least discernible quantity; and others infinitely less than those infinitely small ones; and still others infinitely less than the preceding infinitesimals, and so without end or limit... Now to conceive a quantity infinitely small... is, I confess, above my capacity. But to conceive a part of such infinitely small quantity that shall be still infinitely less than it, and consequently though multiplied infinitely shall never equal the minutest finite quantity, is, I suspect, an infinite difficulty to any man whatsoever;... Bishop Berkeley: The Analyst (1734) (Prvá) derivácia funkcie f v bode x 0 M D f je definovaná ako f f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) := lim = lim. x x0 x x 0 h 0 h Čo ak je funkcia g = f diferencovatel ná v bode x 0? Potom má zmysel uvažovat limitu g(x) g(x 0 ) f (x) f (x 0 ) lim = lim. x x 0 x x 0 x x0 x x 0

Derivácia a diferenciál funkcie vyšších rádov We shall call the function f x a primitive function of the functions f x, f x, etc. which derive from it, and we shall call these latter the derived functions of the first one. Lagrange: Théorie des fonctions analytiques... (1797) Definícia n-tá derivácia funkcie v bode Nech f má na množine M D f derivácie f,..., f (n 1), n N, n 2. Ak f (n 1) je diferencovatel ná v bode x 0 M, tak jej deriváciu nazývame n-tou deriváciou funkcie f v bode x 0 M a označujeme f (n) (x 0 ) := ( f (n 1) (x) ) x=x 0. Inými slovami: uvedená definícia je induktívna, t.j. ak f je diferencovatel ná v bode x 0 M, tak f f (x) f (x 0 ) (x 0 ) := lim. x x0 x x 0 Ak f (n 1) je diferencovatel ná v bode x 0, tak f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (x 0 ) (x 0 ) := lim. x x0 x x 0 Príklad: Nájdite druhú deriváciu funkcie f (x) = x x v bode x 0 = 0.

Derivácia a diferenciál funkcie vyšších rádov We shall call the function f x a primitive function of the functions f x, f x, etc. which derive from it, and we shall call these latter the derived functions of the first one. Lagrange: Théorie des fonctions analytiques... (1797) Definícia n-tá derivácia funkcie v bode Nech f má na množine M D f derivácie f,..., f (n 1), n N, n 2. Ak f (n 1) je diferencovatel ná v bode x 0 M, tak jej deriváciu nazývame n-tou deriváciou funkcie f v bode x 0 M a označujeme f (n) (x 0 ) := ( f (n 1) (x) ) x=x 0. Pripomenutie: pri prvej derivácii sme výraz f (x 0 )(x x 0 ) nazvali diferenciál funkcie f v bode x 0, označili sme ho symbolom d f (x 0 ) := f (x 0 )(x x 0 ). Analogicky to urobíme pre vyššie rády. Definícia n-tý diferenciál funkcie Nech f je n-krát diferencovatel ná v bode x 0. Výraz f (n) (x 0 )(x x 0 ) n nazývame n-tý diferenciál funkcie f v bode x 0 a označujeme ho d n f (x 0 ). Príklad: Nájdite diferenciál 5. rádu funkcie f (x) = ln x v bode x 0 = 1.

Vety o stredných hodnotách funkcie Motivácia: Po jazde z miesta A do miesta B palubný počítač udal priemernú rýchlost vozidla 70 km/h. Znamená to, že niekde na ceste medzi A a B existuje bod, v ktorom sme šli rýchlost ou 70 km/h? Praktické pozorovanie: Rýchlost auta rastie/klesá spojite, t.j. nemôžeme skočit z rýchlosti 50 km/h na rýchlost 60 km/h bez nadobudnutia všetkých hodnôt medzi nimi. Rozbor možností: 1. Možno sme išli rýchlost ou 70 km/h celý čas v takom prípade určite bol čas, v ktorom sme šli rýchlost ou presne 70 km/h. 2. Keby sme šli rýchlost ou menšou ako 70 km/h, nemohlo by to byt počas celej cesty, pretože potom by priemerná rýchlost nemohla byt 70 km/h. To znamená, že sme niekedy museli mat rýchlost väčšiu ako 70 km/h, čo zase znamená, že pri zrýchl ovaní sme museli v nejakom časovom okamihu dosiahnut rýchlost 70km/h. 3. Poslednou možnost ou je, že celý čas sme išli rýchlost ou väčšou ako 70 km/h. To ale znamená, že pri zrýchl ovaní sme v istom čase museli mat rýchlost presne 70 km/h.

Vety o stredných hodnotách funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie Veta V.19 Nech f nadobúda vo vnútornom bode x 0 množiny M D f maximum, resp. minimum. Ak f je diferencovatel ná v bode x 0, potom f (x 0 ) = 0. Veta (Rolleova, 1691) Nech f C a, b D(a, b) a f (a) = f (b). Potom ( c (a, b)) f (c) = 0. MICHEL ROLLE (1652 1719)

If a curved line is situated in one plane and if a straight line meets it in either two points, two line segments, or in a line segment and a point, then we can draw another straight line parallel to the previous line which touches the part of the curve situated between the two mentioned meetings. Cavalieri: Geometria indivisibilibus (1635) Veta (Rolleova, 1691) Nech f C a, b D(a, b) a f (a) = f (b). Potom ( c (a, b)) f (c) = 0. Historické poznámky: výsledok poznali už predchodcovia diferenciálneho počtu v Indii BASHKARA (1114 1185) a PARAMESHVARA (1380 1460); geometrická interpretácia Rolleovej vety bola známa už B. CAVALIERIMU pred narodením Rollea (pozri citát hore); o pôvode vety v Rolleových spisoch sa viedli dlho polemiky, až v roku 1910 sa podarilo uspokojivo dokázat, že túto vetu Rolle naozaj poznal a dokázal; pôvodný Rolleov výsledok súvisel s polynómami a riešením rovníc: rovnica f (x) = 0 má aspoň jeden koreň medzi dvoma za sebou idúcimi koreňmi rovnice f (x) = 0 (tzv. kaskádovitá metóda pre polynómy);

Balada o vete Rolleovej (Ivan Kupka) Túto vetu závažnú, no krátku, nechal nám pán Rolle na pamiatku. Každému z vás iste cestu skríži (l ubovol ní autori: Skriptá z analýzy). V tej vete je skrytá vôňa kvetov, dovol te mi zblížit vás s tou vetou. Predpoklady tie sú vskutku malé: spojitost na celom intervale. No a vnútri (vlastnost to nie nová) funkciu f možno derivovat. Na okrajoch potom už len stačí, ak sa f (a) f (b) rovnat ráči. Ked už spĺňa tieto predpoklady, funkcia f máva vel ké klady: kdesi v (a, b) bod c sa už kl uje, f sa v céčku vynuluje. Snád stratíme ešte dve-tri slová o tom, ako vetu dokazovat : ak f žije medzi konštantami, urobte si, prosím, dôkaz sami. No a ak je nekonštantne pestré, celkom iste nadobúda extrém. Zvyšok úvah, nie je ich tak vel a, necháme na prácu čitatel a. Je to iste pocta poézie, že pán Rolle oddnes v básňach žije. Zato, prosím, priatel slovesnosti, neuberaj vetám na presnosti: to, čo básnik do obrazov snuje, matematik presne sformuluje. zhudobnená verzia https://www.youtube.com/watch?v=s0bxv90mlha

Vety o stredných hodnotách funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie If a curved line is situated in one plane and if a straight line meets it in either two points, two line segments, or in a line segment and a point, then we can draw another straight line parallel to the previous line which touches the part of the curve situated between the two mentioned meetings. Cavalieri: Geometria indivisibilibus (1635) Veta (Lagrangeova, 1797) Nech f C a, b D(a, b). Potom ( c (a, b)) f (c) = f (b) f (a) b a. JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736 1813)

Vety o stredných hodnotách funkcie Veta (Lagrangeova, 1797) V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie Nech f C a, b D(a, b). Potom ( c (a, b)) f (c) = f (b) f (a) b a. Motivácia: Po jazde z miesta A do miesta B palubný počítač udal priemernú rýchlost vozidla 70 km/h. Znamená to, že niekde na ceste medzi A a B existuje bod, v ktorom sme šli rýchlost ou 70 km/h? Fyzikálne riešenie: Ak funkcia s = f (t) vyjadruje dráhu bodu pohybujúceho sa po priamke, tak jej derivácia f (t) určuje (okamžitú) rýchlost bodu v čase t a podiel f (t 2 ) f (t 1 ) t 2 t 1 vyjadruje priemernú rýchlost v časovom intervale t 1, t 2. Podl a Lagrangeovej vety existuje časový okamih c (t 1, t 2 ) taký, že f (c) = f (t 2) f (t 1 ) t 2 t 1, t.j. existuje časový okamih, v ktorom sa okamžitá rýchlost rovná priemernej rýchlosti.

Niektoré dôsledky Lagrangeovej vety... the real nature of the Mean Value Theorem is exhibited by writing it as an inequality, and not as an equality. Dieudonné: Foundations of Modern Analysis (1969) Dôsledok A Ak f D(a, b) a ( x (a, b)) f (x) = 0, tak f je konštantná na (a, b). Dôsledok B Ak f, g D(a, b) a ( x (a, b)) f (x) = g (x), tak f a g sa líšia len o konštantu na (a, b). Dôsledok C Ak f D(a, b) a ( x (a, b)) f (x) 0, tak f je prostá na (a, b). Príklady: Dokážte, že ( x 1, 1 ) arccos x + arcsin x = π 2 ( x 1, x 2 R) arctg x 1 arctg x 2 x 1 x 2

Niektoré dôsledky Lagrangeovej vety V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie... the real nature of the Mean Value Theorem is exhibited by writing it as an inequality, and not as an equality. Dieudonné: Foundations of Modern Analysis (1969) Zopakovanie rovnomerná spojitost funkcie na množine Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M D f, akk ( ε > 0) ( δ > 0) ( x, y M, x y < δ) f (x) f (y) < ε. Budeme písat f C u (M). Dôsledok D Ak f D(a, b) a ( K > 0)( x (a, b)) f (x) K, tak f C u (a, b).

Vety o stredných hodnotách funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie This was supplied by the mean value theorem; and it was Cauchy s great service to have recognized its fundamental importance... because of this, we adjudge Cauchy as the founder of exact infinitesimal calculus. Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (1908) Veta (Cauchyho, 1821) Nech f, g C a, b D(a, b). Ak ( x (a, b)) g (x) 0, tak ( c (a, b)) f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). Poznámky: podmienka g (x) 0 na (a, b) podl a Lagrangeovej vety znamená, že g je prostá na (a, b), a teda g(b) g(a) 0 elementárny dôkaz Cauchyho vety: podl a Lagrangeovej vety pre funkcie f a g máme, že ( c (a, b) f f (b) f (a) (c) = b a Podelením týchto výrazov dostávame tvrdenie Cauchyho vety. Zle, zle, zle!!! Zavrite za sebou dvere a viac sa už neukazujte! tvrdenie Cauchyho vety sa dá prepísat do tvaru ( c (a, b)) Otázka: Nedá sa z toho dostat ešte viac? (Napríklad osýpky...) f (c) g (c) 0 f (a) g(a) 1 f (b) g(b) 1 a g g(b) g(a) (c) =. b a = 0.

Vety o stredných hodnotách funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie... the proof is easy, I learned it from my teacher Angelo Genocchi. It is due to Bonnet, see Serret (with imperfections) and Dini, Harnack, Pasch (perfectly). z korešpondencie medzi Peanom a Gilbertom (1884) Veta (Peanova, 1884) Nech f, g, h C a, b D(a, b). Potom f (c) g (c) h (c) ( c (a, b)) f (a) g(a) h(a) f (b) g(b) h(b) = 0. na dôkaz stačí zobrat funkciu ψ(x) = a aplikovat na ňu Rolleovu vetu; špeciálne, pre h 1 dostávame Cauchyho vetu; f (x) g(x) h(x) f (a) g(a) h(a) f (b) g(b) h(b) pre g(x) = x a h 1 zase dostávame Lagrangeovu vetu; Ponaučenie: stačí vediet Peanovu vetu, ostatné už príde samo..., x a, b

Niektoré d alšie vety o stredných hodnotách funkcie Pompeiuova veta (1946): Ak a, b neobsahuje nulu a f D a, b, potom pre každé x 1, x 2 a, b existuje c (x 1, x 2 ) také, že f (c) c f (c) = x 1f (x 2 ) x 2 f (x 1 ) x 1 x 2. Geometrická interpretácia: dotyčnica v bode [c, f (c)] pretina os o y v rovnakom bode ako sečnica prechádzajúca bodmi [x 1, f (x 1 )] a [x 2, f (x 2 )] Flettova veta (1958): Ak f D a, b a f (a) = f (b), potom existuje c (a, b) také, že f f (c) f (a) (c) =. c a Geometrická interpretácia: ak sú dotyčnice ku grafu funkcie f v bodoch [a, f (a)] a [b, f (b)] rovnobežné, potom existuje bod c (a, b), v ktorom skonštruovaná dotyčnica prechádza bodom [a, f (a)] viac o Flettovej vete http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/clanky/oh_aeq15.pdf

L Hospitalove pravidlá V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie Besides, I acknowledge that I owe very much to the bright minds of the Bernoulli brothers, especially to the young one presently Professor in Gröningen. I have made free use of their discoveries... Marquis de L Hospital: Analyse des infiniment petits (1696)

... entirely above the vain glory, which most scientists so avidly seek... Fontenelleov názor na Guillame Françoisa Antoine de L Hospitala Veta ( l ahké L Hospitalovo pravidlo, 1696) Nech x 0 R je hromadný bod D f D g. Ak (i) lim f (x) = lim g(x) = 0; x x0 x x0 (ii) ( O (x 0 )) f, g D(O (x 0 )) a ( x O (x 0 )) g (x) 0; (iii) f lim (x) x x0 g (x) = A R f (x), potom lim x x0 g(x) = A. GUILLAUME FRANÇOIS ANTOINE DE L HOSPITAL (1661 1704)

... entirely above the vain glory, which most scientists so avidly seek... Fontenelleov názor na Guillame Françoisa Antoine de L Hospitala Veta ( t ažké L Hospitalovo pravidlo, 1696) Nech x 0 R je hromadný bod D f D g. Ak (i) lim f (x) = lim g(x) = + ; x x0 x x0 (ii) ( O (x 0 )) f, g D(O (x 0 )) a ( x O (x 0 )) g (x) 0; (iii) f lim (x) x x0 g (x) = A R f (x), potom lim x x0 g(x) = A. GUILLAUME FRANÇOIS ANTOINE DE L HOSPITAL (1661 1704)

... entirely above the vain glory, which most scientists so avidly seek... Fontenelleov názor na Guillame Françoisa Antoine de L Hospitala Veta (L Hospitalove pravidlá spolu) Nech x 0 R je hromadný bod D f D g. Ak (i) lim f (x) = lim g(x) = 0 alebo lim f (x) = lim g(x) = + ; x x0 x x0 x x0 x x0 (ii) ( O (x 0 )) f, g D(O (x 0 )) a ( x O (x 0 )) g (x) 0; (iii) f lim (x) x x0 g (x) = A R f (x), potom lim x x0 g(x) = A. Príklady: Vypočítajte (ak existujú) nasledujúce limity (i) lim x α ln x pre α > 0; x 0 + ( (ii) lim 1 x 0 x cosec x) ; (iii) lim x 0 +(sin x)x ; (iv) lim x 1 ln 2 x. x 0 +

Využitie derivácie pri vyšetrovaní priebehu funkcie... Iní učení muži museli zložitými cestami hl adat to, čo človek skúsený v pomto počte urobí na troch riadkoch... - predstavenie základných myšlienok Leibniz derivácia y = f (x) > 0 (t.j. smernica dotyčnice tg ϕ je kladná) = dotyčnica zviera s osou o x uhol ϕ (0, π 2 ) funkcia y = f (x) je rastúca

Využitie derivácie pri vyšetrovaní priebehu funkcie... Iní učení muži museli zložitými cestami hl adat to, čo človek skúsený v pomto počte urobí na troch riadkoch... - predstavenie základných myšlienok Leibniz derivácia y = f (x) < 0 (t.j. smernica dotyčnice tg ϕ je záporná) = dotyčnica zviera s osou o x uhol ϕ ( π 2, 0) funkcia y = f (x) je klesajúca

Využitie derivácie pri vyšetrovaní priebehu funkcie... Iní učení muži museli zložitými cestami hl adat to, čo človek skúsený v pomto počte urobí na troch riadkoch... - predstavenie základných myšlienok Leibniz lokálne maximum (= bod, v okolí ktorého nie je žiadna väčšia funkčná hodnota) má spojitá funkcia v bode, kde mení monotónnost lokálne minimum (= bod, v okolí ktorého nie je žiadna menšia funkčná hodnota) má spojitá funkcia v bode, kde mení monotónnost ak f má v bode x 0 lokálny extrém, potom f (x 0 ) = 0 alebo neexistuje

Využitie derivácie pri vyšetrovaní priebehu funkcie... Iní učení muži museli zložitými cestami hl adat to, čo človek skúsený v pomto počte urobí na troch riadkoch... - predstavenie základných myšlienok Leibniz y = f (x) < 0 (t.j. y = f (x) má zápornú deriváciu, teda f klesá) rast funkcie f sa spomal uje, prípadne sa mení na pokles, ktorý sa zrýchl uje graf funkcie f leží v okolí bodu dotyku pod svojou dotyčnicou, t.j. f je rýdzokonkávna

Využitie derivácie pri vyšetrovaní priebehu funkcie... Iní učení muži museli zložitými cestami hl adat to, čo človek skúsený v pomto počte urobí na troch riadkoch... - predstavenie základných myšlienok Leibniz y = f (x) > 0 (t.j. y = f (x) má kladnú deriváciu, teda f rastie) pokles funkcie f sa spomal uje, prípadne sa mení na rast, ktorý sa zrýchl uje graf funkcie f leží v okolí bodu dotyku nad svojou dotyčnicou, t.j. f je rýdzokonvexná

Využitie derivácie pri vyšetrovaní priebehu funkcie... Iní učení muži museli zložitými cestami hl adat to, čo človek skúsený v pomto počte urobí na troch riadkoch... - predstavenie základných myšlienok Leibniz konvexnost sa mení na konkávnost (a naopak) len v bode, kde sa mení znamienko druhej derivácie, t.j. v bode, kde je druhá derivácia nulová alebo má bod nespojitosti (teda druhá derivácia neexistuje)

a) Globálny význam znamienka prvej derivácie The extent of this calculus is immense: it applies to curves both mechanical and geometrical; radical signs cause it no difficulty, and even are often convenient;... and it gives rise to an infinity of surprising discoveries concerning curved or straight tangents, questions De maximis & minimis, inflexion points... Marquis de L Hospital: Analyse des infiniment petits (1696) Veta V.20 Nech f D(a, b) a ( x (a, b)) f (x) > 0 [f (x) < 0]. Potom f je rastúca [klesajúca] na (a, b). Poznámka: veta sa nedá obrátit, pretože rastúca funkcia na (a, b) nemusí mat kladnú deriváciu na (a, b)! Napr. f (x) = x 3 na R.

a) Globálny význam znamienka prvej derivácie The extent of this calculus is immense: it applies to curves both mechanical and geometrical; radical signs cause it no difficulty, and even are often convenient;... and it gives rise to an infinity of surprising discoveries concerning curved or straight tangents, questions De maximis & minimis, inflexion points... Marquis de L Hospital: Analyse des infiniment petits (1696) Veta V.21 Nech f D(a, b). Funkcia f je neklesajúca [nerastúca] na (a, b) práve vtedy, ked ( x (a, b)) f (x) 0 [f (x) 0]. Príklad: Dokážte, že ( x > 0) x 1 + x < ln(1 + x) < x.

b) Lokálny význam znamienka prvej derivácie I just wish him to know that our questions de maximis et minimis and de tangentibus linearum curvarum were perfect eight or ten years ago and that several persons who have seen them in the last five or six years can bear witness to this. z listu Fermata Descartovi (jún 1638) When a Quantity is the greatest or the least that it can be, at that moment it neither flows backward or forward. For if it flows forward, or increases, that proves it was less, and will presently be greater than it is... Newton: Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (1671) Definícia lokálny extrém funkcie Nech f je definovaná na M a x 0 M. Ak existuje δ > 0 také, že ( x O δ (x 0) M) platí (i) f (x) f (x 0 ), hovoríme, že f má v bode x 0 lokálne maximum; (ii) f (x) f (x 0 ), hovoríme, že f má v bode x 0 lokálne minimum; (iii) f (x) < f (x 0 ), hovoríme, že f má v bode x 0 ostré lokálne maximum; (iv) f (x) > f (x 0 ), hovoríme, že f má v bode x 0 ostré lokálne minimum. Poznámka: (ostré) lokálne maximum a (ostré) lokálne minimum označujeme spoločným pojmom lokálne extrémy funkcie, ich ostré verzie prívlastkom ostré lokálne extrémy

b) Lokálny význam znamienka prvej derivácie There are few Problems concerning Curves more elegant than this, or that give a greater Insight into their nature. Newton: Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (1671) Veta (Fermatova = nutná podmienka existencie lok. extrému) Nech f je definovaná na množine M a má v bode x 0 M lokálny extrém. Ak f je diferencovatel ná v bode x 0, tak f (x 0 ) = 0. Označenie: bod x 0 M, v ktorom f (x 0 ) = 0, nazveme stacionárny bod funkcie f Ponaučenie: funkcia môže mat lokálny extrém bud v stacionárnych bodoch, alebo v bodoch definičného oboru, v ktorých derivácia neexistuje! PIERRE DE FERMAT (1601 1665)

b) Lokálny význam znamienka prvej derivácie Veta (postačujúca podmienka existencie lok. extrému) Nech f je spojitá v bode x 0 M a nech ( δ > 0) f D(O δ (x 0)). (i) Ak ( x O δ (x 0)) f (x) 0 a ( x O + δ (x 0)) f (x) 0, tak f má v bode x 0 lokálne maximum. (ii) Ak ( x O δ (x 0)) f (x) 0 a ( x O + δ (x 0)) f (x) 0, tak f má v bode x 0 lokálne minimum. (iii) Ak ( x O δ (x 0)) f (x) > 0 f (x) < 0, tak f nemá v bode x 0 lokálny extrém. Poznámka: Ak nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostaneme postačujúce podmienky existencie ostrého lokálneho extrému.

b) Lokálny význam znamienka prvej derivácie Príklad: Vyšetrite extrémy funkcie f (x) = x x 1 x + 1. Otázka: Ako sa dá ešte inak rozhodnút o existencii lokálneho extrému? Veta V.22 Nech x 0 je stacionárny bod funkcie f a f je dvakrát diferencovatel ná v x 0. (i) Ak f (x 0 ) > 0, tak f má v bode x 0 ostré lokálne minimum. (ii) Ak f (x 0 ) < 0, tak f má v bode x 0 ostré lokálne maximum. Otázka: Ak nepomôže znamienko druhej derivácie (ako napr. v prípade g(x) = 2x 5 + 4), môžu pomôct vyššie derivácie? Tvrdenie V.23 Nech f je n-krát diferencovatel ná v bode x 0, kde n 1. Nech f (k) (x 0 ) = 0 pre každé k {1, 2,..., n 1} a f (n) (x 0 ) 0. (i) Ak n je nepárne, tak f nemá v bode x 0 lokálny extrém. (ii) Ak n je párne, tak f má v bode x 0 lokálny extrém: pre f (n) (x 0 ) > 0 ostré lokálne minimum a pre f (n) (x 0 ) < 0 ostré lokálne maximum. Príklad: Nájdite extrémy funkcie h(x) = x 4.

c) Konvexnost a konkávnost funkcie There are in a plane certain terminated bent lines, which either lie wholly on the same side of the straight lines joining their extremities, or have not part of them on the other side. Archimedes: On the sphere and cylinder It seems to me that the notion of convex function is just as fundamental as positive function or increasing function. If am not mistaken in this, the notion ought to find its place in elementary expositions of the theory of real functions Jensen: Om konvexe Funktioner og Uligheder mellem Middelvaerdie (1905) Superkrátka história konvexnosti: staroveké Grécko: objav pravidelných konvexných mnohostenov = Platónske telesá (kocka, štvorsten, osemsten, dvanást sten, dvadsat sten) LEONHARD EULER (1707 1783): v uzavretom konvexnom mnohostene platí V E + F = 2 OTTO STOLZ (1842 1905) poznal už roku 1893 vzt ah medzi konvexnou a diferencovatel nou funkciou konvexná funkcia má v rodnom liste oficiálne rok narodenia 1906 a otca JOHANA L. W. V. JENSENA (1859 1925)

c) Konvexnost a konkávnost funkcie Definícia konvexná funkcia Hovoríme, že f je konvexná na intervale I, akk ( x 1, x 2, x 3 I; x 1 < x 2 < x 3 ) f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2. Zamenením znaku za <, a >, dostávame definíciu rýdzokonvexnej, konkávnej a rýdzokonkávnej funkcie na I. Geometrická interpretácia konvexnej funkcie: Ak si vezmeme l ubovol né tri body x 1, x 2, x 3 I také, že x 1 < x 2 < x 3, tak nerovnost f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 3 ) f (x 2 ) znamená, x 2 x 1 x 3 x 2 že smernica sečnice s 1 prechádzajúcej bodom [x 1, f (x 1 )] a [x 2, f (x 2 )] nikdy nepreskočí hodnotu smernice sečnice s 2 prechádzajúcej bodom [x 2, f (x 2 )] a [x 3, f (x 3 )], t.j. sklon sečnice s 1 je vždy menší alebo sa rovná sklonu sečnice s 2.

c) Konvexnost a konkávnost funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie f (x Pripomenutie: f je konvexná na I, akk ( x 1, x 2, x 3 I; x 1 < x 2 < x 3 ) 2 ) f (x 1 ) f (x 3 ) f (x 2 ) x 2 x 1 x 3 x 2 Pozorovanie: ak f je konvexná funkcia na I, potom pre l ubovol né x 1, x 2, x I také, že x 1 < x 2, x x 1, x x 2, platí Veta (Stolzova, 1893) f (x 1 ) f (x) x 1 x f (x 2) f (x) x 2 x Ak f je konvexná na intervale I, potom f C (I 0 ), kde I 0 je množina vnútorných bodov intervalu I. Naviac, ( x I 0 ) f (x) f +(x). OTTO STOLZ (1842 1905) Poznámka: na uzavretom intervale nemusí byt konvexná funkcia spojitá, napr. f (x) = { 0, x (0, 1) 1, x {0, 1}

Pozorovanie: funkcia f je konvexná na intervale I ( x 1, x 2, x 3 I; x 1 < x 2 < x 3 ) f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2 f (x 1 )(x 3 x 2 ) + f (x 2 )(x 1 x 3 ) + f (x 3 )(x 2 x 1 ) 0 ( x, y I, x < y)( λ 0, 1 ) f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y) Jensenova konvexnost (1906): ( x, y I 0 ) f ( x+y ) 2 f (x)+f (y) 2 JOHAN LUDWIG WILLIAM VALDEMAR JENSEN (1859 1925) viac o konvexnosti http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/manb/dp_konvexnost.pdf

c) Konvexnost a konkávnost funkcie Veta V.24 Nech f D(a, b). Potom f je konvexná na (a, b) práve vtedy, ked f je neklesajúca na (a, b). Poznámka: Príslušná verzia vety platí aj v ostatných troch prípadoch: f je konkávna na (a, b) práve vtedy, ked f je nerastúca na (a, b); f je rýdzokonvexná na (a, b) práve vtedy, ked f je rastúca na (a, b); f je rýdzokonkávna na (a, b) práve vtedy, ked f je klesajúca na (a, b);

c) Konvexnost a konkávnost funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie It seems to me that the notion of convex function is just as fundamental as positive function or increasing function. If am not mistaken in this, the notion ought to find its place in elementary expositions of the theory of real functions Jensen: Om konvexe Funktioner og Uligheder mellem Middelvaerdie (1905) Veta V.24 Nech f D(a, b). Potom f je konvexná na (a, b) práve vtedy, ked f je neklesajúca na (a, b). Veta V.21 pripomenutie Nech f D(a, b). Funkcia f je neklesajúca na (a, b) práve vtedy, ked ( x (a, b)) f (x) 0. Veta V.25 Nech f D (2) (a, b). Potom (i) f je konvexná na (a, b) práve vtedy, ked ( x (a, b)) f (x) 0; (ii) ak f (x) > 0 na (a, b), tak f je rýdzokonvexná na (a, b).

c) Konvexnost a konkávnost funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie It seems to me that the notion of convex function is just as fundamental as positive function or increasing function. If am not mistaken in this, the notion ought to find its place in elementary expositions of the theory of real functions Jensen: Om konvexe Funktioner og Uligheder mellem Middelvaerdie (1905) Veta V.24 modifikácia Nech f D(a, b). Potom f je rýdzokonvexná na (a, b) práve vtedy, ked f je rastúca na (a, b). Veta V.20 pripomenutie Nech f D(a, b). Ak ( x (a, b)) f (x) > 0, tak funkcia f je rastúca na (a, b). Veta V.25 Nech f D (2) (a, b). Potom (i) f je konvexná na (a, b) práve vtedy, ked ( x (a, b)) f (x) 0; (ii) ak f (x) > 0 na (a, b), tak f je rýdzokonvexná na (a, b).

c) Konvexnost a konkávnost funkcie Veta V.25 Nech f D (2) (a, b). Potom (i) f je konvexná na (a, b) práve vtedy, ked ( x (a, b)) f (x) 0; (ii) ak f (x) > 0 na (a, b), tak f je rýdzokonvexná na (a, b). Poznámka: Príslušná verzia vety platí pre konkávnost : f je konkávna na (a, b) práve vtedy, ked ( x (a, b)) f (x) 0; ak f (x) < 0 na (a, b), tak f je rýdzokonkávna na (a, b);

c) Konvexnost a konkávnost funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie An inflection point is an event that results in a significant change in the progress of a company, industry, sector, economy or geopolitical situation. An inflection point can be considered a turning point after which a dramatic change, with either positive or negative results, is expected to result. Investopedia (online) Definícia inflexný bod funkcie Hovoríme, že x 0 R je inflexný bod funkcie f, akk ( O δ (x 0 ) D f ), pričom f je diferencovatel ná v x 0 a f je rýdzokonvexná [rýdzokonkávna] na O δ (x 0) a rýdzokonkávna [rýdzokonvexná] na O + δ (x 0).

Inflexný bod funkcie (parafráza): Bod x 0 R je inflexný bod funkcie f, akk f je diferencovatel ná v x 0 a na okoliach sa f správa rozdielne v zmysle rýdzej konvexnosti/konkávnosti Veta V.25 pripomenutie Nech f D (2) (a, b). Potom (i) ak f (x) > 0 na (a, b), tak f je rýdzokonvexná na (a, b); (ii) ak f (x) < 0 na (a, b), tak f je rýdzokonkávna na (a, b). Veta (postačujúce podmienky existencie inflexného bodu) Nech f je diferencovatel ná v bode x 0 a ( δ > 0) f D (2) (O δ (x 0)). (i) Ak ( x O δ (x 0)) f (x) > 0 [f (x) < 0] a ( x O + δ (x 0)) f (x) < 0 [f (x) > 0], tak x 0 je inflexný bod funkcie f. (ii) Ak ( x O δ (x 0)) f (x) > 0 f (x) < 0, tak x 0 nie je inflexný bod funkcie f. Príklad: Určte intervaly konvexnosti/konkávnosti a nájdite inflexné body, ak e x, x > 0, f (x) = 1, x = 0, 1 2 e x + 3 2, x < 0.

Inflexný bod funkcie (parafráza): Bod x 0 R je inflexný bod funkcie f, akk f je diferencovatel ná v x 0 a na okoliach sa f správa rozdielne v zmysle rýdzej konvexnosti/konkávnosti Veta V.25 pripomenutie Nech f D (2) (a, b). Potom (i) ak f (x) > 0 na (a, b), tak f je rýdzokonvexná na (a, b); (ii) ak f (x) < 0 na (a, b), tak f je rýdzokonkávna na (a, b). Veta (postačujúce podmienky existencie inflexného bodu) Nech f je diferencovatel ná v bode x 0 a ( δ > 0) f D (2) (O δ (x 0)). (i) Ak ( x O δ (x 0)) f (x) > 0 [f (x) < 0] a ( x O + δ (x 0)) f (x) < 0 [f (x) > 0], tak x 0 je inflexný bod funkcie f. (ii) Ak ( x O δ (x 0)) f (x) > 0 f (x) < 0, tak x 0 nie je inflexný bod funkcie f. Fermatova veta: ak f má extrém v bode x 0 R a je v ňom diferencovatel ná, tak nutne f (x 0 ) = 0! Veta (nutná podmienka existencie inflexného bodu) Nech x 0 R je inflexný bod funkcie f a f je dvakrát diferencovatel ná v bode x 0. Potom f (x 0 ) = 0.

Inflexný bod funkcie (parafráza): Bod x 0 R je inflexný bod funkcie f, akk f je diferencovatel ná v x 0 a na okoliach sa f správa rozdielne v zmysle rýdzej konvexnosti/konkávnosti Veta (nutná podmienka existencie inflexného bodu) Nech x 0 R je inflexný bod funkcie f a f je dvakrát diferencovatel ná v bode x 0. Potom f (x 0 ) = 0. Ponaučenie: potenciálni ašpiranti na inflexné body sú tie body x 0 D f, v ktorých f (x 0 ) = 0 alebo f (x 0 ) neexistuje, ale existuje f (x 0 )!!! Vykrádanie myšlienok I: to, či je v stacionárnom bode extrém, sa určilo pomocou znamienka druhej derivácie. Ako je to tu? Veta V.26 Ak f (x 0 ) = 0 a f (x 0 ) 0, tak x 0 je inflexný bod funkcie f. Vykrádanie myšlienok II: Ak pri určení extrému bola druhá derivácia nulová, pozreli sme sa na vyššie derivácie. Ako je to tu? Tvrdenie V.27 Ak f je n-krát diferencovatel ná v bode x 0. Nech f (k) (x 0 ) = 0 pre každé k {2, 3,..., n 1} a f (n) (x 0 ) 0. (i) Ak n je nepárne, tak x 0 je inflexný bod funkcie f. (ii) Ak n je párne, tak x 0 nie je inflexný bod funkcie f. Zapamätat si to (extrém a inflexný bod) sa dá jednoducho na príklade f (x) = x 6.

Záver: Vyšetrenie priebehu funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie The extent of this calculus is immense: it applies to curves both mechanical and geometrical; radical signs cause it no difficulty, and even are often convenient;... and it gives rise to an infinity of surprising discoveries concerning curved or straight tangents, questions De maximis & minimis, inflexion points... Marquis de L Hospital: Analyse des infiniment petits (1696) (i) určit definičný obor a základné vlastnosti funkcie (párnost /nepárnost, periodičnost, nulové body, spojitost, body nespojitosti) (ii) určit intervaly monotónnosti funkcie (iii) určit intervaly konvexnosti/konkávnosti funkcie (iv) nájst všetky asymptoty grafu funkcie (v) na základe predošlých zistení načrtnút graf funkcie Úloha Vyšetrite priebeh funkcie f : y = x 1 + x 2.

Aproximácia čísel V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie Potom (Šalamún) urobil more z liatiny, desat lakt ov od jedného okraja k druhému, dookola okrúhle, pät lakt ov vysoké; dookola ho mohla obopät tridsat lakt ová stuha. Prvá kniha král ov (7. kapitola, 23. verš), okolo roku 1000 p.n.l. Iba Chuck Norris pozná poslednú cifru Ludolfovho čísla... História aproximácie (čísla π = 3,141592765358979323846264...): prvá zmienka o aproximácii čísla π je v Biblii, kde π 3; ARCHIMEDES ZO SYRAKÚZ (287 212 p.n.l.) okolo roku 250 p.n.l. použil aproximáciu 22 7 = 3,142857; indický matematik ARYABHATA (476 550) používal vzorec (4 + 100) 8 + 62000 = 62832 20000 20000 = 3,1416 čínsky matematik TSU CHUNG-CHIA (429 500) používal aproximáciu 355 113 = 3,14159292... ; okolo roku 1600 ADRIAAN ANTHONISZOON (1529 1609) aproximoval číslo π pomocou zlomku 333 106 = 3,14150943... ; Otázka: ako sa dá dopracovat k číslam 1 3, 22 7, 333 106 a 355? Majú nejaký hlbší súvis? 113

Aproximácia čísel V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie Otázka: ako sa dá dopracovat k číslam 3 1, 22 7, 333 106 a 355? Majú nejaký hlbší súvis? Použitím Euklidovho algoritmu máme 113 π = 3 + 1 α 0 a 0 = 3, α 0 = 1 π 3 = 7 + 1 α 1 a 1 = 7, α 1 = π 3 22 7π = 15 + 1 a 2 = 15, α 2 22 7π α 2 = 106π 333 = 1 + 1 a 3 = 1, α 3. Dostávame tak vyjadrenie čísla π pomocou (nekonečného) ret azového zlomku 1 π = 3 +, 1 7 + 15+ 1 1+... kde tzv. zblížené zlomky sú 3 1, 22 7, 333 106, 355 113, 103993 33102, 104348 33215,...

Aproximácia čísel V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie Zopakovanie zo zimného semestra: Čo je to číslo 2? 1 < 2 < 2 pretože 1 2 < 2 < 2 2 1,4 < 2 < 1,5 pretože 1,4 2 < 2 < 1,5 2 1,41 < 2 < 1,42 pretože 1,41 2 < 2 < 1,42 2 1,414 < 2 < 1,415 pretože 1,414 2 < 2 < 1,415 2. Odpoved : 2 = sup{1,4; 1,41; 1,414;... }. Problém: na praktické účely dost nepraktické!!! Pre l ubovol né a > 0 sa užitočnejšie zdá byt rekurentné vyjadrenie postupnosti (x n ) 1 v tvare x n+1 = 1 ) (x n + axn, 2 z ktorého sa dá jednoducho určit jej limita, t.j. lim n x n = a.

Aproximácia funkcie V. Diferenciálny počet Derivácia a diferencovatel nost funkcie Aproximovat = riešit zložitú matematickú úlohu postupnými približovacími krokmi. online Slovník cudzích slov (2016) Taylorova aproximácia: je pre funkcie tým, čím sú decimálne aproximácie pre čísla; napr. funkcia 1 + x je v celku dobrá aproximácia funkcie e x, ale 1 + x + x 2 x 2 2 je lepšia 1 + x + 2 + x 3 6 je ešte lepšia; Dôvody štúdia Taylorovej aproximácie: kvantitatívne: Taylorove aproximácie sú vel mi praktickým spôsobom výpočtu funkcií ako sú e x alebo cos x ručne alebo počítačom = ako sa dopracovat k hodnotám za desatinnou čiarkou pre čísla e alebo π? kvalitatívne: vrhajú nové svetlo na dve otázky: (i) Kol ko zo správania sa funkcie je zakódované iba v jej deriváciách v samotnom bode? (ii) Ako dobre sa dá správanie funkcie modelovat pomocou polynómu?

Taylorov polynóm I am amazed that it occurred to no one (if you except N. Mercator with his quadrature of the hyperbola) to fit the doctrine recently established for decimal numbers in similar fashion to variables, especially since the way is then open to more striking consequences... And just as the advantage of decimals consists in this, that when all fractions and roots have been reduced to them they take on in a certain measure the nature of integers; so it is the advantage of infinite variable-sequences that classes of more complicated terms... may be reduced to the class of simple ones: that is, to infinite series of fractions having simple numerators and denominators and without the all but insuperable encumbrances which beset the others. Newton: De methodis serierum et fluxionum (1671) Úloha: aproximujte funkciu f na okolí bodu x 0 polynómom 1. stupňa Požiadavky: P 1 (x 0 ) = f (x 0 ) a P 1 (x 0) = f (x 0 ) Riešenie: označme hl adaný polynóm P 1 (x) := αx + β. Potom P 1 (x) = α(x x 0 + x 0 ) + β = α(x x 0 ) + αx 0 + β = a 1 (x x 0 ) + a 0. Zo vstupných požiadaviek máme, že P 1 (x 0 ) = f (x 0 ) a 0 = f (x 0 ) P 1 (x 0) = f (x 0 ) a 1 = f (x 0 ) Záver: P 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), t.j. P 1 je dotyčnica ku grafu funkcie f v bode x 0!!!

Taylorov polynóm I am amazed that it occurred to no one (if you except N. Mercator with his quadrature of the hyperbola) to fit the doctrine recently established for decimal numbers in similar fashion to variables, especially since the way is then open to more striking consequences... And just as the advantage of decimals consists in this, that when all fractions and roots have been reduced to them they take on in a certain measure the nature of integers; so it is the advantage of infinite variable-sequences that classes of more complicated terms... may be reduced to the class of simple ones: that is, to infinite series of fractions having simple numerators and denominators and without the all but insuperable encumbrances which beset the others. Newton: De methodis serierum et fluxionum (1671) Úloha: aproximujte funkciu f na okolí bodu x 0 polynómom 2. stupňa Požiadavky: P 2 (x 0 ) = f (x 0 ), P 2 (x 0) = f (x 0 ) a P 2 (x 0) = f (x 0 ) Riešenie: označme hl adaný polynóm P 2 (x) := αx 2 + βx + γ. Potom P 2 (x) = α(x x 0 +x 0 ) 2 +β(x x 0 +x 0 )+γ = a 2 (x x 0 ) 2 +a 1 (x x 0 )+a 0. Zo vstupných požiadaviek máme, že P 2 (x 0 ) = f (x 0 ) a 0 = f (x 0 ) P 2 (x 0) = f (x 0 ) 2a 2 (x 0 x 0 ) + a 1 = f (x 0 ) a 1 = f (x 0 ) P 2 (x 0) = f (x 0 ) 2a 2 = f (x 0 ) a 2 = f (x 0 ) 2

Veta V.28 Nech f je n-krát diferencovatel ná v bode x 0, kde n N. Potom existuje práve jeden polynóm T n stupňa nanajvýš n taký, že T (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) pre k = 0, 1,..., n. Označenie a terminológia: polynóm tvaru T n(f, x 0 )(x) := f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 1! 2! n! nazývame Taylorov polynóm n-tého stupňa funkcie f v bode x 0 BROOK TAYLOR (1685 1731) COLIN MACLAURIN (1698 1746)

Niektoré Taylorove (Maclaurinove) polynómy: n x k T n (exp, 0)(x) = k!, x R; T n (sin, 0)(x) = k=0 E( n 1 2 ) k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!, x R; E( n 2) T n (cos, 0)(x) = ( 1) k x 2k (2k)!, x R; T n (ln(1 + ), 0)(x) = k=0 n ( 1) k+1 x k, x ( 1, 1 ; k k=1 Môžu vhodne poslúžit na aproximáciu číselných hodnôt, napríklad e 1 + 1 1! + 1 2! + + 1 n! ln 2 1 1 2 + 1 3 1 4 + + ( 1)n+1 n π 4 1 1 3 + 1 5 1 7 + + ( 1)n+1 2n + 1

Eulerovo číslo porovnanie rýchlosti konvergencie ( ) n n 1 + n 1 1 + 1! 1 + 2! 1 + + n! 1 1 2,000 2,0 2 2,250 2,5 3 2,370 2,66 4 2,441 2,708 5 2,488 2,7166 6 2,522 2,71805 7 2,546 2,718253 8 2,566 2,7182787 9 2,581 2,71828152 10 2,594 2,718281801 11 2,604 2,7182818261 12 2,613 2,71828182828 13 2,621 2,718281828446 14 2,627 2,7182818284582 15 2,633 2,71828182845899 16 2,638 2,7182818284590422 17 2,642 2,71828182845904507 18 2,646 2,718281828459045226 19 2,650 2,7182818284590452349 20 2,653 2,718281828459045235339 21 2,656 2,7182818284590452353593 22 2,659 2,718281828459045235360247 23 2,661 2,7182818284590452353602857 24 2,664 2,718281828459045235360287404 25 2,666 2,7182818284590452353602874687 26 2,668 2,71828182845904523536028747125 27 2,670 2,718281828459045235360287471349 28 2,671 2,71828182845904523536028747135254 Záver: na aproximáciu Eulerovho čísla je definícia dost nevhodná!

Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x T n (cos, 0)(x) = 1 x 2 2! + x 4 x 2k ( n ) + + ( 1)k 4! (2k)!, k = E 2

Príklad: Maclaurinov polynóm funkcie f (x) = cos x T n (cos, 0)(x) = 1 x 2 2! + x 4 x 2k ( n ) + + ( 1)k 4! (2k)!, k = E 2 Akej chyby sa dopustíme, ked namiesto f na okolí bodu x 0 vezmeme T n(f, x 0 )(x)?

Chyba aproximácie Taylorovým polynómom Príbeh zo života: Počas ruskej revolúcie bol IGOR TAMM zatknutý anti-komunistickými povstalcami ned aleko Odesy ako anti-ukrajinský komunistický agitátor. Pri vypočúvaní sa ho vodca povstalcov pýtal, kde pracuje. Tamm odpovedal, že je matematik. Ak je tak, napíš mi zvyšok po n-tom Taylorom polynóme. Ak to urobíš, si vol ný, ak nie, zastrelíme t a. Tamm napísal trasúcou rukou niekol ko formúl a podal ich vodcovi. Ten ho v zápätí prepustil na slobodu. IGOR JEVGENJEVIČ TAMM (1895 1971) nositel Nobelovej ceny za fyziku (1958)