TEHNIČKO REŠENJE Algoritam za određianje graničnih linija impedansi za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage M-85: Prototip, noa metoda, softer, standardizoan ili atestiran instrument, noa genetska proba, mikroorganizmi Autori: Dr Anamarija Juhas, Fakultet tehničkih nauka, Unierzitet u Noom Sadu, Dr Staniša Dautoić, Fakultet tehničkih nauka, Unierzitet u Noom Sadu, Dr Ladisla Noak, Indiana Uniersity, Computer Science Department, Bloomington, United States Godina 6 Podtip tehničkog rešenja: Softer - M85 Korisnik: Fakultet tehničkih nauka u Noom Sadu, za potrebe daljih istražianja Projekat u okiru koga je realizoano tehničko rešenje: Broj projekta: TR 36 Ministarsta prosete, nauke i tehnološkog razoja Republike Srbije Program istražianja u oblasti tehnološkog razoja za period -6. Tehnološka oblast: Nazi projekta: Rukoodilac projekta: Elektronika, telekomunikacije i informacione tehnologije Inoatine elektronske komponente i sistemi bazirani na neorganskim i organskim tehnologijama ugrađeni u robe i proizode široke potrošnje dr Ljiljana Žiano, redoni profesor Kako su rezultati erifikoani (od strane kog tela): Verifikacija tehničkog rešenja je izršena od strane: Naučno-nastanog eća Fakulteta tehničkih nauka, Unierzitet u Noom Sadu
. Opis problema koji se rešaa tehničkim rešenjem Oblast na koju se tehničko rešenje odnosi Teorija signala i sistema, teorija električnih kola, pojačaači snage Problem koji se tehničkim rešenjem rešaa U oom tehničkom rešenju razijeni su algoritmi za određianje graničnih linija impedansi na osnonom i drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. Granične linije se određuju za impedansu na osnonom harmoniku pri čemu je impedansa na drugom harmoniku poznata. Takođe se određuju za impedansu na drugom harmoniku pri čemu je impedansa na osnonom harmoniku poznata. Oe granične linije su ažne u dizajnu širokopojasnih i linearnih pojačaača snage, kao što su pojačaači snage u rezistino-reaktinoj klasi-b/j. Granične linije su određene analitičkim putem što je omogućilo da se raziju i softerski implementiraju algoritmi koji su remenski efikasni.. Stanje rešenosti tog problema u setu U analizi pojačaača snage, dizajn signala je karika koja poezuje tehnologiju, dizajn kola i performanse sistema []. Analitički modeli signala donose brojne prednosti u dizajnu pojačaača snage, npr. dizajn pojačaača postaje manje zaisan od tehnologije, lakše utrđianje i otklanjanje izobličenja signala koja loše utiču na preformanse pojačaača, itd. []. Rezistino-reaktina klasa-b/j pojačaača snage je uedena u radu [3], ali se ona pojaljuje i pod naziom rezistino-reaktina klasa-j u radu [4]. U rezistino-reaktinoj klasi-b/j pojačaača, signal napona je nenegatian signal sa remenski konstantnom komponentom, osnonim i drugim harmonikom, dok je signal struje tz. polusinusoidalan signal. Pojam graničnih linija (eng. clipping contours) impedanse na osnonom harmoniku za klasu-bj pojačaača snage pojaio se pri put u radu [5]. Granične linije predstaljaju granicu između nenegatinih signala sa jedne strane i signala koji to nisu sa druge strane. U [5] nije prikazan nikaka metod za generisanje graničnih linija. Kako je naedeno u kasnije objaljenom radu [3] iste istražiačke grupe, one su dobijene intenzinim numeričkim simulacijama. Grafici graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za klasu-bj pojačaača su takođe prikazani u [6], ali ni u tom radu nije opisano kako su one određene. Analitičko rešenje za određianje graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku kada je impedansa na drugom harmoniku čisto reaktina opisano je u našem ranijem tehničkom rešenju [7]. Opštiji problem od određianja graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za klasu-bj je određianja graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. Kod klase-bj, impedansa na drugom harmoniku je čisto reaktina, dok kod rezistinoreaktine klase-b/j impedansa na drugom harmoniku ima i rezistini i reaktini deo. U radu [3] je predložen postupak za generisanje graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za rezistinoreaktinu klasu-b/j pojačaača. Postupkom predloženim u [3] generišu se i tačke koje ne pripadaju graničnim linijama i koje je naknadno potrebno eliminisati. Tačke koje je potrebno eliminisati su tačke za koje odgoarajući signali nisu nenegatini i tačke koje ne obezbeđuju da impedansa na osnonom harmoniku bude pasina (za detalje ideti odeljak 3.3..3). U radu [3] takođe je predložen postupak za određianje graničnih linija za impedansu na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača, kada je impedansa na osnonom harmoniku zadata. I oaj postupak, osim tačaka na graničnoj liniji, generiše i tačke koje je potrebno naknadno eliminisati, jer ne odgoaraju nenegatinim signalima (za detalje ideti odeljak 3.3.3.). Osim za rezistino-reaktinu klasu-b/j, iako do sada nisu korišćene, granične linije impedansi na osnonom i drugom harmoniku mogu biti koristan alat u projektoanju pojačaača snage sa injektoanim drugim harmonikom [8]-[], kao i u projektoanju pojačaača snage sa proizoljnim impedansama u izlaznom kolu [].
3. Detaljan opis tehničkog rešenja (uključujući i prateće ilustracije i tehničke crteže) Normalizoan oblik signala sa remenski konstantnom komponentom, osnonim i drugim harmonikom (trigonometrijski polinom drugog stepena) glasi: T( ) acos bsin acos bsin. () Nenegatini signali tipa (), tj. oni za koje aži T ( ) za sako, modeluju naponski signal za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. Amplitude osnonog i drugog harmonika signala () su () a b, a b, (3) respektino. Signali tipa () mogu se napisati i u sledećem obliku: T( ) cos( ) cos( ), (4) gde je,, ( π,π] i ( π,π]. Relacije između koeficijenata a, b i parametara,, kao i koeficijenata a, b i parametara, glase: a cos, b sin, (5) a cos, b sin. (6) 3.. Opis nenegatinih signala sa osnonim i drugim harmonikom Prema klasičnom rezultatu o trigonometrijskim polinomima [3] (ideti takođe i [4]), si nenegatini trigonometrijski polinomi tipa () mogu se napisati kao: j j T( ) Re { H(e )} Im { H(e )}, (7) gde je j, j j j H(e ) c j d ( c j d)e ( c j d)e, (8) i parameteri c, c, c, d, d, d zadooljaaju sledeći uslo: c c c d d d. (9) Relacije koje poezuju koeficijente nenegatinih signala tipa () i oe parametre su: a ( cc cc dd dd), () a ( cc dd), () b ( dc dc cd cd ), () b ( cd cd). (3) Naedeni opis koeficijenata nenegatinih signala zahtea šest parametara c, c, c, d, d i d koji su poezani nelinearnom relacijom (9). Polazeći od rezultata [3], u [5] je pokazano da se koeficijenti nenegatinih signala sa osnonim i drugim harmonikom mogu izraziti u terminima četiri nezaisna parametra. Taj opis je dat u sledećem stau. Sta. Za se nenegatine signale tipa (), koeficijenti a, b, a i b mogu se izraziti u terminima četiri nezaisna parametra,, i kao a sin cos cos( ) sin cos( ), (4) b sin cos sin( ) sin sin( ), (5) a cos sin( )cos( ), (6) b cos sin( )sin( ). (7) Amplituda osnonog harmonika nenegatinih signala tipa () zadooljaa relaciju [3], [5]:. (8) Amplituda drugog harmonika nenegatinih signala tipa () zadooljaa relaciju [5]:. (9) Osim toga, za nenegatine signale tipa (), implicira [6]. 3
3.. Nenegatini signali sa bar jednom nulom Za pojačaače snage od posebnog interesa su nenegatini signali sa bar jednom nulom, ideti npr., [3], [6], [], [5], [6], [7]. Opis nenegatinih signala tipa () sa bar jednom nulom dat je u sledećem stau [5], [6]. Sta. Saki nenegatian signal tipa () sa bar jednom nulom može se izraziti u sledećem obliku gde su T ( ) cos( ) cos cos( ), (), cos () π. () Konerzijom signala () u aditinu formu dobijaju se njegoi koeficijenti: a (cos ) cos sinsin, (3) b ( cos ) sin sin cos, (4) a cos( ), (5) b sin( ), (6) gde zadooljaa () i π. Takođe, iz (5)-(6) i (6) sledi ( )modπ. (7) 3... Nenegatini signali sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i b U oom odeljku određeni su eksplicitni izrazi za koeficijente a i b nenegatinih signala tipa () sa bar jednom nulom, za zadate koeficijente a i b, a b. Koeficijenti a i b izraženi su preko koeficijenata a i b na drugom harmoniku i, gde označaa nulu signala. Interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian takođe je određen u eksplicitnom obliku. U našim ranijim radoima [6], [7] nije bio određen eksplicitan izraz za interal za. Rezultati oog odeljka su korišćeni za određianje graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klase-b/j pojačaača snage (odeljak 3.3.). Koeficijenti nenegatinih signala sa bar jednom nulom dati su izrazima (3)-(6). Jednačine (5) i (6) mogu se rešiti po cos i sin, cos a cos b sin, (8) sin a sin b cos. (9) Urštaanjem (8) i (9) u (3) i (4), koeficijenti a i b mogu se izraziti preko a, b i, a ( a) cos ( a cos bsin ) sin, (3) b ( a)sin ( asin bcos )cos. (3) Da bi se iz (3) i (3) odredili si paroi ( a, b ) nenegatinih signala sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i b, potrebno je odrediti interal za. Za zadate a i b, iz (6) se mogu odrediti amplituda a b i faza drugog harmonika: atan ( b, a). (3) Funkcija atan ( yx, ) je definisana kao arctan( y x) ako je x, atan ( yx, ) arctan( yx) π ako je x i y, (33) arctan( y x) π ako je x i y, i njen kodomen je ( π, π]. Iz (7) sledi ( )modπ, odakle je ( ) π, t (34) 4
gde je t ceo broj. Na osnou (), interal za cos zaisi samo od, cos. (35) Lako se može pokazati da je izraz (35) uek zadooljen ako je 3. Sa druge strane, za 3, na osnou () i (35), interal za jednak je arccos( ) π. Sledi da se interal za za signale tipa () može napisati kao g π, (36) gde je g arccos min(, ). (37) Iz (37) sledi g π, jer je kodomen funkcije arccos jednak [,π]. Uedimo oznake π ( g ), ( g ), (38) gde su g i dati sa (37) i (3), respektino. Iz (38) sledi, jer je g π. Za g π dobija se, i. Iz (36), (34) i (38) sledi da je interal za jednak [, ] [ π, π]. (39) Na osnou izloženog, za zadate koeficijente a i b, interal za može se odrediti iz (39). Urštaanjem izabrane rednosti u (3) i (3) dobijaju se koeficijenti a i b. Za 3 iz (37) se dobija g. U tom slučaju iz (38) sledi π i (39) postaje [, π]. Sledi da može uzeti se rednosti ako je 3. Za 3 podinterali u (39) su disjunktni. S obzirom da je g za π i g za (ideti (34) i (38)), iz (3)-(3) sledi a( ) a( ) a( π) a( π), (4) b( ) b( ) b( π) b( π), Relacije (4) pokazuju da je parametarski opisana kria (3)-(3) na interalu (39) neprekidna. Tačke i π odgoaraju nenegatinom signalu sa de nule. Takođe, tačke π i odgoaraju nenegatinom signalu sa de nule. Signal sa nulama u π i ima a, dok signal sa nulama u i π ima a [7]. Osim toga, iz a( ) a( ) i a( π) a( π) sledi da je koeficijent a dat sa (3) jednak nuli za bar jedno iz podinterala [, ] i bar jedno iz podinterala [ π, π], respektino. Na slici su prikazane zatorene krie u rani a, b koje odgoaraju nenegatinim signalima sa a, i bar jednom nulom, za pet rednosti koeficijenta b : b {,6;,3;,,3;,6}. Saka kria deli prostor a, b na unutrašnju i spoljašnju oblast. Tačke u unutrašnjoj oblasti odgoaraju nenegatinim signalima. Kada je 3 krie su glatke, dok u slučaju 3 krie imaju da rha (nisu glatke u tim tačkama). Te tačke odgoaraju nenegatinim signalima sa de nule (da globalna minimuma). Slika. Parametarski prostor ( a, b ) za a, i b {,6;,3;,,3;,6}. Koeficijenti a, b i b nenegatinih signala sa bar jednom nulom i a, formiraju zatorenu porš u koordinatnom sistemu ( a, b, b ), prikazanu iz da ugla na slici. Tačke unutar porši određuju nenegatine signale (koji nemaju nulu), tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu, dok tačke izan porši određuje signale koji nisu nenegatini. 5
Slika. Parametarski prostor ( a, b, b ) za a,. Tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu. 3... Specijalan slučaj kada je a Specijalan slučaj kada je a je ažan za modeloanje naponskog signala koji odgoara klasi-b/j pojačaača snage. Oaj poseban slučaj analiziran je i u našem ranijem tehničkom rešenju [7], ali interal za nije bio određen u eksplicitnom obliku. Ode je taj slučaj izeden iz rezultata prethodnog odeljka. Za a početna faza drugog harmonika je (π )sgn b, dok je amplituda b, b. U oom slučaju izrazi (3) i (3) postaju 3 a cos bsin, (4) 3 b sin bcos. (4) Interal za određuje se iz (39), gde su g, i na osnou (37) i (38) jednaki g arccosmin(, b ), (43) π π π g sgn b, g sgn b. (44) 4 4 3... Nenegatini signali sa nulom i zadatim koeficijentima a i b U oom odeljku rešen je problem određianja sih paroa koeficijenata ( a, b ) nenegatinih signala sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i, a b. Koeficijenti a i b izraženi su preko koeficijenata a i b na osnonom harmoniku i, gde označaa nulu signala. Interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian takođe je određen u eksplicitnom obliku. Rezultati oog odeljka su primenjeni za određianje graničnih linija impedanse na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage (odeljak 3.3.3). Za zadate koeficijente a i b, iz (5) se mogu odrediti amplituda a b i faza prog harmonika atan ( b, a), (45) gde je funkcija atan ( yx, ) data sa (33). Polazeći od (3) i (4), cos b i : cos acos bsin, (46) sin ( cos sin ). b a (47) Izrazi (5) i (6) mogu se napisati u obliku: a cos cos sin sin, (48) b cos sin sin cos. (49) Urštaanjem (46)-(47) u (48) i (49) dobija se a 3 3 cos a cos b sin, (5) 6
b sin a( cos ) sin b( sin ) cos. (5) Da bi se iz (5)-(5) odredili si paroi ( a, b ) nenegatinih signala sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i b, potreban je interal za. Kadriranjem (3) i (4) i njihoim sabiranjem dobija se ( cos ) (sin ). (5) Primetiti da je izraz () uek zadooljen za cos, jer je (ideti (9)). Lako se idi da je za cos izraz (5) minimalan iz čega sledi. (53) Za zadato, pri izod (5) po jednak je sin (3cos ). (54) S obzirom da je i (ideti (8)), implicira sin i/ili 3 cos. Razlikujemo da slučaja: 3i 3. Pro ćemo analizirati 3. Za 3 je 3 cos i prema tome implicira sin, tj. cos. Lako je pokazati da je za cos izraz (5) maksimalan, dok je za cos, kao što smo eć rekli, minimalan. Za 3, 3 cos implicira cos, za koje je izraz (5) maksimalan. Prema tome, 3. (55) Sada ćemo analizirati 3. Množenjem (5) sa tri i korišćenjem sin cos, jednačina se može napisati u obliku (3cos ) 4 3. (56) Iz 3 i () sledi da je cos i 3cos (3 ). Primetiti da su obe strane poslednje nejednakosti pozitine, jer je 3. Urštaanjem (56) u ( 3cos ) 4(3 ) dobija se ( ). Kako još mora biti i (ideti (53)) sledi ( ),, 3. (57) Izrazi (55) i (57) mogu se napisati i u sledećem obliku, 4 3, (58), 4 3. Na slici 3 prikazana je oblast (obojena siom bojom) mogućih paroa rednosti amplituda i nenegatinih signala tipa () sa bar jednom nulom. Grafik je nacrtan na osnou izraza (55) i (57), odnosno (58). Slika 3. Tačke u sio obojenoj oblasti predstaljaju moguće rednosti amplituda i nenegatinih signala sa bar jednom nulom. Označimo sa ( )modπ. (59) Takođe označimo sa 7
m arccos max,, (6) p arccos. (6) Iz (8) i dobija se π p 3π 4 m π. Primenom (7) i (59), T( ) se može napisati u obliku cos cos. (6) Razmotrićemo posebno slučajee 4 3 i 43. Razmotrimo pro slučaj 43. Na osnou (58), u oom slučaju je u interalu. (63) Krajnje tačke interala (63) odgoaraju signalima sa de nule, kod kojih je cos [7]. Urštaanjem cos u (6) dobija se cos ( ). Sledi da se krajnje tačke interala (63) dostižu za cos ( ), tj. za cos cos m ili cos cos p, gde su m i p dati sa (6) i (6), respektino (u oom slučaju je cos m ). Kosinus je opadajuća funkcija na interalu [,π] iz čega sledi p m. Označimo sa,, π, π. (64) p m 3 m 4 p Iz p m π sledi. Rešaanjem 3 4 p m po (ideti (59)) dobija se, 3, 4. (65) Za 43 podinterali u (65) su disjunktni. Primetiti da se za dobija, m p 3π 4, i 3 4 π (podinterali u (65) degenerišu u tačke). Razmotrimo sada slučaj 4 3. Na osnou (58), u oom slučaju je u interalu. (66) Relacija se dobija iz (6) za cos i cos. Sa druge strane, gornje ograničenje za je isto kao i u prethodnom slučaju, i oa tačka se dostiže za cos cos p, gde je p dato sa (6). Prema tome, relacija (66) je zadooljena za cos cos p, odnosno za p π. Rešaanjem oe nejednakosti po (ideti (59)) dobija se, 4, (67) gde su i 4 dati u (64). Primetiti da se za 4 3 iz (6) dobija m π. Urštaanjem m π u (64) dobija se. 3 Sledi da se interal (67) može dobiti iz (65) urštaanjem m π. Na osnou izloženog u oom odeljku: - za zadate koeficijente a i b take da a b 4 3, interal za može se odrediti iz (67). Urštaanjem izabrane rednosti u (5) i (5) dobijaju se koeficijenti a i b, - za zadate koeficijente a i b take da 43, interal za može se odrediti iz (65). Urštaanjem izabrane rednosti u (5) i (5) dobijaju se koeficijenti a i b. Kao primer, na slici 4 su prikazane zatorene krie u rani a, b i osenčene su oblasti koje odgoaraju nenegatinim signalima sa a,9 i pet rednosti koeficijenta b : b {,,,,}. Primer je tako izabran da ilustruje oba slučaja: 43i 43. Amplituda 43kada je b, dok je 43za b {,, }. Takođe, iz T () sledi a a, odakle se za a,9 dobija a,, što se može uočiti na grafiku. Koeficijenti a, b i b nenegatinih signala za zadatu rednost a.9 i bar jednom nulom formiraju zatorenu porš u koordinatnom sistemu ( a, b, b ) (prikazanu iz da ugla na slici 5). Tačke unutar porši određuju nenegatine signale (koji nemaju nulu), tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu, dok tačke izan porši određuje signale koji nisu nenegatini. 8
Slika 4. Parametarski prostor ( a, b ) za a.9 i b {,,,,}. Sio obojene oblasti odgoaraju nenegatinim signalima. Slika 5. Parametarski prostor ( a, b, b ) za a,9. Tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu. 3.3. Granične linije impedansi U oom odeljku, rezultati izloženi u odeljcima 3.. i 3.. su primenjeni za određianje graničnih linija impedansi pojačaača snage. Granične linije se određuju za impedansu na osnonom harmoniku pri čemu je impedansa na drugom harmoniku poznata ili obrnuto [3]. Granične linije razdajaju oblasti tako da tačke sa jedne strane odgoaraju nenegatinim signalima napona, dok tačke sa druge strane odgoaraju naponskim signalima koji nisu nenegatini. Oe granične linije su ažne u dizajnu linearnih pojačaača snage kod kojih signali napona moraju biti nenegatini [3], [5]. Za dobijanje korisnog alata za projektoanje pojačaača snage, idealno bi bilo da je određianje graničnih linija praktično trenutno, jer bi to omogućilo određianje graničnih linija impedansi na sim frekencijama od interesa nakon sakog podešaanja impedanse na prom ili drugom harmoniku [3]. 3.3.. Signali, impedanse i efikasnost pojačaača snage Za rezistino-reaktinu klasu B/J pojačaača snage, naponski signal je nenegatian signal tipa () sa bar jednom nulom. Strujni signal je tz. polusinusoidalni signal, eoma čest u analizi pojačaača snage, ideti npr. []-[8], [7]-[]. Razmotrimo električno kolo pojačaača snage prikazano na slici 6. Pretpostaimo da su signal napona ( ) i signal struje i( ) na izlaznom pristupu tranzistora nenegatini signali opisani sa: ( ) a cos b sin a cos b sin, (68) i( ) a cos a cos k, (69) i k gde označaa t. Oba signala su normalizoana u smislu da su remenski konstantne komponente napona i struje jednake V dc i I dc, respektino. Za remenski konstantnu komponentu, kondenzator C b (kalem L ch ) predstalja otorenu (kratku) ezu. Pod uobičajenim pretpostakama da se kondenzator C b ponaša kao kratak spoj, a kalem L ch kao otorena eza na prom i sim išim harmonicima, naponski i strujni signal na potrošaču su: ki 9
( ) a cos b sin a cos b sin, L i ( ) a cos a cos k. L i ki k U terminima koeficijenata naponskog signala (68) i strujnog signala (69) impedansa potrošača na osnonom harmoniku je z ( a j b ) a i, a na drugom harmoniku je z ( a j b ) a i. Na sim išim harmonici impedansa je jednaka nuli ( z k za k i k ). Realni i imaginarni deloi impedansi su označeni sa rk Re{ zk} i xk Im{ z k}, respektino. Normalizoana impedansa na k -tom harmoniku definisana je sa zkn zk Re{ z}. Za normalizoane signale (68)-(69), efikasnost pojačaača snage jednaka je srednjoj snazi na osnonom harmoniku (ideti npr. [6]), aa i. (7) Slika 6. Električni kolo pojačaača snage. Kao što je eć rečeno, signal struje je tz. polusinusoidalni signal. Normalizoan polusinusoidalni signal struje može se na osnonoj periodi opisati kao (ideti npr. [6]) πcos, π, i( ) (7), π π. S obzirom da je i( ) parna funkcija, njen razoj u Furijeo red sadrži samo remenski konstantnu komponentu ( I dc ) i kosinusne članoe na osnonom i sim išim harmonicima. Koeficijenti uz osnoni i drugi harmonik signala (7) su a i π, ai 3, (7) respektino. Očigledno je a i i ai. Iz (7), (7) i sledi a. (73) a i a sledi da je impedansa na osnonom Iz a sledi a [6]. Dalje, iz i harmoniku pasina, jer je r. Ako je impedansa potrošača pasina i na drugom harmoniku tada je i a, jer je ai. Važno je napomenuti da iz a sledi a [7]. Dalje iz a i (7) sledi a i. Za a i π dobija se π 4,7854 ( π 4,7854 je efikasnost pojačaača snage u idealnoj klasi-b). Veće efikasnosti mogu se dobiti injektoanjem drugog harmonika na izlaznom pristupu tranzistora [8]-[]. U tom slučaju impedansa na drugom harmoniku nije pasina. 3.3.. Granične linije impedanse na osnonom harmoniku Problem određianja graničnih linija na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na drugom harmoniku zadata, pri put je razmatran u radu [3]. U tom radu je predložen postupak za generisanje oih linija. Postupkom predloženim u [3] generišu se i tačke koje ne pripadaju graničnim linijama i koje je naknadno potrebno eliminisati (za detalje ideti odeljak 3.3..3). U oom odeljku je dato analitičko rešenje za problem određianja graničnih linija za impedansu na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na drugom harmoniku zadata. Kao specijalan slučaj oog rešenja, dobija se i rešenje u slučaju kada je impedansa na drugom harmoniku čisto reaktina (što odgoara klasi-bj pojačaača snage). Takođe je razijen i softerski implementiran algoritam za određianje graničnih linija impedansi na osnonom harmoniku. Zahaljujući analitičkom rešenju, razijeni algoritam je remenski efikasan, što omogućaa da bude koristan i ažan alat u dizajniranju širokopojasnih i linearnih pojačaača snage.
Signali u izlaznom kolu tranzistora rezistino-reaktine klase-b/j pojačaača su polusinusoidalni signal struje (7) i nenegatian signal napona tipa (68) sa bar jednom nulom. Granične linije na osnonom harmoniku određuju se za zadatu impedansu na drugom harmoniku, z r j x. S obzirom da je strujni signal poznat, koeficijenti naponskog signala na drugom harmoniku mogu se odrediti kao a rai i b, xa i gde je ai 3(ideti (7)). Sledi da se problem određianja graničnih linija na osnonom harmoniku može preformulisati kao problem određianja sih mogućih paroa ( a, b ) koeficijenata na osnonom harmoniku signala tipa (68) sa bar jednom nulom kada su koeficijenti a i b zadati, pri čemu je a. U odeljku 3.. je rešen problem određianja sih paroa koeficijenata na osnonom harmoniku signala tipa (68) sa bar jednom nulom kada su koeficijenti a i b zadati. Ostaje da se odoje oni signali koji zadooljaaju i dodatni uslo a. Amplituda i početna faza drugog harmonika mogu se odrediti iz koeficijenata a i b : a b, atan( b, a). (74) S obzirom da za nenegatine signale aži, i da implicira [6], [7], što nije od interesa za pojačaače snage, u nastaku teksta je. (75) Na osnou (3)-(3), koeficijenti osnonog harmonika nenegatinih signala tipa (68) sa bar jednom nulom mogu se napisati u obliku a ( a) cos ( a cos bsin ) sin, (76) b ( a) sin ( a sin bcos ) cos, (77) gde označaa nulu signala. Na osnou (39), pripada interalu [, ] [ π, π], (78) gde je π ( g ), ( g ), (79) dato sa (74) i arccos min(, ). (8) g Za, iz (8) sledi g π. Za zadate koeficijente a i b, primenom (74)-(8) mogu se odrediti si nenegatini signali tipa (68) sa bar jednom nulom. Među njima se nalaze nenegatini signali kod kojih je a, kao i oni kod kojih je a. 3.3... Određianje podinterala na kojem je a U nastaku ćemo odrediti podinteral interala (78) taka da se za se iz podinterala dobijaju nenegatini signali kod kojih je a. Razlikujemo da slučaja: a) b i b) b. a) Slučaj b. Iz (76), a i a sledi sin i 3 3 a ( a) cot ( 3 a) cot b sin, (8) gde je cot tan. Na osnou (8), a ako je 3 3 ( a) cot ( 3 a)cot b sin. (8) S obzirom da je a, nejednačina (8) može se napisati u obliku 3 3 cot 3pcot q sin, (83) gde su 3a b p, q. (84) 3( a) a Na osnou (83), (8), (76) i a, sledi da je a za r koje zadooljaa 3 cot r 3pcotr q. (85) Jednačina (85) je jednačina trećeg stepena po cot r. Njena diskriminanta jednaka je 3 D p q. (86) Iz a i (84) sledi sgn p sgn( 3 a ) i sgn q sgn b. Iz b sledi q.
Iz a ( ) a ( ) (ideti (4)) sledi da jednačina (85) ima bar jedno rešenje cot r tako da r [, ]. U nastaku ćemo pokazati da oa jednačina ima tačno jedno rešenje na interalu [, ] i odredićemo to rešenje. Iz cot( r π) cotr sledi r π [ π, π]. Kada je D, jednačina (85) ima samo jedno realno rešenje. To rešenje može da se odredi kao (ideti npr. [4]) 3 3 cotr q D sgn( q D) q D sgn( q D), D. (87) Kada je D jednačina (85) ima tri realna rešenja. Jednačina (85) takođe se može napisati kao cot r(cot r 3 p) q. (88) Pro ćemo pokazati da je cot r 3p za q. Iz (8) za r i cos (ideti ()) dobija se a cos r b sin r. Primenom identiteta cos r cos r i sin r sinr cosr izraz postaje cos r( acosr bsin r) a. (89) Urštaanjem a i r u (3) dobija se ( a) cosr ( acosr bsin r). (9) sin r Urštaanje (9) u (89) odi ka ( a) cos r ( a) sin r, odnosno a sin r. Primenom identiteta sin r ( cot r) dobija se cot r ( a), odnosno ( a) cot r 3 p, (9) a gde je p dato sa (84). Iz (9) sledi cot r 3p, (9) jer je a za b. Diskutoaćemo sledeće podslučajee i) q, ii) q. i) Podslučaj q ( b ). Iz (9) i (88) sledi cotr. Na osnou Dekartoog praila znakoa, jednačina (85) ima samo jedno negatino rešenje i to je rešenje koje tražimo. ii) Podslučaj q ( b ). Iz (9) i (88) sledi cotr. Na osnou Dekartoog praila znakoa, jednačina (85) ima samo jedno pozitino rešenje i to je rešenje koje tražimo. Kada je D rešenja jednačine (85) su 3 q sgnq i dostruko rešenje 3 q sgn q (ideti npr. [4]). Na osnou prethodne analize, za q rešenje jednačine koje tražimo (ono koje je odgoarajućeg znaka) je 3 q sgn q. Oo rešenje se takođe može dobiti urštaanjem D u (87). Sledi da se u slučaju kada je D rešenje jednačine (85) tako da r [, ] može odrediti kao 3 3 cot sgn( ) sgn( ),,. r q D q D q D q D D q (93) Kada je D jednačina (85) ima tri relna rešenja koja su oblika p cos( 3 ) (ideti npr. [4]), gde {, π 3, π 3} i 3 arccos q p. (94) Rešenje jednačine (85) koje tražimo (ono koje je odgoarajućeg znaka) je pcos( 3π 3), q, D, cotr (95) pcos( 3), q, D. Potrebno je još odrediti r iz cot r tako da r [, ]. S obzirom na znak q (tj. b ) dobija se acot(cot r ), q, r (96) acot(cot r ) π, q, gde acot označaa inerznu operaciju od cot r, čiji je kodomen ( π,π ]. Kad se r odredi na način opisan u (96) onda je π r i r π π. Kao što je ranije rečeno, jednačina (85) ima rešenje r na podinteralu [, ] i r π na podinteralu [ π, π] (ideti (78)). Na interalu (78) aži cot 3 3pcot q za 3 cot cotr i obrnuto, cot 3pcot q za cot cot r. Prema tome, nejednačina (8) na interalu (78) je zadooljena ako je
) sin i cot cot r, tj. za [ r,] (jer je π r ), ) sin i cot cot r, tj. za [, r π]. Slučajei ) i ) mogu se objediniti u [ r, r π]. Sledi da je traženi podinteral na kojem je a jednak preseku interala (78) i interala [ r, r π], [ r, ] [ π, r π], b. (97) b) Za b, iz (76) i a sledi a asin cos. (98) Razmotrimo pro a 3. Iz a 3 sledi a asin i nejednakost (98) je zadooljena kada je cos. Prema tome, traženi podinteral pripada preseku interala (78) i [ π, π ]. Lako se idi da je podinteral na kojem je a jednak [ π, ] [ π, π ], b, a 3. (99) Razmotrimo sada a 3. Iz a 3 i b sledi π, 3 i. a Iz π i (79) se dobija 3π, π. () g g Sa druge strane, polazeći od (8), 3, a i g π dobija se a cos( g ). () a Iz () i () sledi sin cos( g ), sin cos( g ) i a asin za sin sin i sin sin. Iz a dobija se a asin za sin sin sin. Osim toga, iz g π i () sledi cos na interalu (78). Vodeći računa o znaku cos, za traženi podinteral se dobija {, } [ π, π]. Tačka odgoara signalu sa a i de nule u i π. Slično, tačka odgoara signalu sa a i de nule u i π (ideti odeljak 3..). Da bi se odredili si nenegatini signali sa a dooljno je posmatrati interal [ π, π], b, a 3. () Slučajei b ( q ) i b ( q ) mogu se objediniti. Postupak određianja traženog podinterala na kojem je a može se formulisati na sledeći način. Pro se odredi cot r iz 3 3 q D sgn( q D) q D sgn( q D), D, cotr pcos( 3 π 3), q, D, (3) pcos( 3), q, D, gde su q i p dati sa (84), D sa (86) i sa (94). Zatim se odredi acot(cot r ), q, r (4) acot(cot r ) π, q, Traženi interal na kojem je a jednak je [, ] [ π, π]. (5) r r Lako se proerom pokazuje da su rešenja koja se dobijaju za b ( q ), ista kao rešenja data sa (99) kada je a 3 ( p, D ) ili sa () kada je a 3 ( p, D ). 3.3... Algoritam za crtanje graničnih linija na osnonom harmoniku S obzirom da za nenegatine signale sa a aži, dozoljene rednosti impedanse na drugom harmoniku određuju se iz usloa z ai. Za polusinusoidalni signal struje (7) je ai 3i prema tome z 3. U Algoritmu je prikazana procedura za računanje granične linije za impedansu na osnonom harmoniku za zadatu rednost impedanse z r jx na drugom harmoniku za pojačaače snage u rezistino-reaktinoj klasi-b/j. Algoritam je baziran na rezultatima prikazanim u oom odeljku. Algoritam : // ulazne eličine: a i π, ai 3; ) izaberi r i x tako da r i r x 3; // impedansa je pasina 3
) izračunaj a r, a b x, a 3) izračunaj 3a 4) izračunaj p, 3( a ) i i atan ( b, a );, a b g arccos min(, ), g q b 3, D p q ; a π ( ), ( g ) ; 3 3 5) ako je D izračunaj y q D sgn( q D) q D sgn( q D); ako je D i q izračunaj 3 arccos q ( p) i y p cos( 3 π 3); 3 ako je D i q izračunaj arccos q ( p) i y p cos( 3); 6) ako je q izračunaj r acot( y), ako je q izračunaj r acot( y) π; 7) izaberi prirodni broj k ; max 8) izaberi ( k) [ r, ] [ π, r π], k,, kmax; 9) za k,, kmax izračunaj a ( k) ( a)cos ( k) acos ( k) bsin ( k) sin ( k), b ( k) ( a)sin ( k) asin ( k) bcos ( k) cos ( k); ) za k,, kmax izračunaj z( k) a ( k) j b ( k) a i. Na slici 7.a su prikazane granične linije impedanse na osnonom harmoniku za r,3 i, 4 x, 4 sa korakom, za pojačaač snage sa normalizoanim polusinusoidalnim signalom struje (7) i nenegatinim signalom napona tipa (68) sa bar jednom nulom, što odgoara rezistinoreaktinoj klasi-b/j pojačaača snage. Na slici 7.b su prikazane granične linije (označene punom zadebljanom linijom) za x, x 34, x 34i x,3. Isprekidana linija na sakom od grafika odgoara maksimalnoj efikasnosti od 78,54% (linija na kojoj je a ). Tačke leo od granične linije odgoaraju rednostima impedansi na osnonom harmoniku za koje se dobijaju nenegatini signali napona. Za tačke na samoj liniji se dobijaju signali napona koji imaju nulu. Kao što je ranije rečeno, za normalizoane signale efikasnost je jednaka srednjoj snazi, i može se odrediti kao Re{ z} a i, gde je a i π (ideti (7)). Slika 7. Granične linije za impedansu na osnonom harmoniku za r,3 i a),4 x,4 i b) x {; 3 4;,3}. Radi poređenja, na slici 8 su prikazane granične linije impedanse na osnonom harmoniku za r i, 4 x, 4 što odgoara klasi-bj pojačaača snage [7]. 4
Slika 8. Granične linije za impedansu na osnonom harmoniku za r i a),4 x,4 i b) x {; 3 4;,3}. 3.3..3. Postupak za određianje graničnih linija na osnonom harmoniku predložen u radu [3] U radu [3] sugerisan je sledeći oblik nenegatinog naponskog signala sa bar jednom nulom ( ) cos( ) sin( ),. (6) Signal (6) nije normalizoan i njegoa remenski konstantna komponenta je ( )sin( ). Normalizoan oblik signala (6) glasi cos( ) sin( ) norm ( ). (7) ( )sin( ) Veza između parametara signala (7) i () može se napisati u sledećem obliku π,,. cos (8) Polazeći od (7), u [3] je predložen postupak za određianje graničnih linija na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, za zadate koeficijente a i b na drugom harmoniku. Predložen postupak, sa sim potrebnim usloima (koji nisu eksplicitno iskazani u [3]) izložen je u pet koraka. // Ulazni podaci: a i, b tako da a b (i a ako je impedansa pasina). i) za se [,π) izračunati acos bsin tan ; asin bcos ii) ako je a izračunati a, sin( ) a sin( ) u suprotnom b ; cos( ) b sin( ) iii) za one za koje je izračunati sin cos cos sin a, b ; ( )sin( ) ( )sin( ) i) izabrati samo one paroe ( a, b ) kod kojih je a ; ) izračunati z ( a j b ) a i. U radu [3] i naponski i strujni signal su pomereni za π u odnosu na signale u oom tehničkom rešenju, tako da je a i π, dok je a. To objašnjaa uslo a koji se pojaljuje u četrtom koraku. Lako se idi da postupak nije do kraja rešen analitički, jer nije određen interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian ( ) i da koeficijinet a bude nenegatian ( a ). Zbog toga je potrebno dodati ta da usloa i eliminisati tačke koje ne pripadaju graničnim linijama. Samim tim, opisan postupak ne omogućaa kontrolu broja tačaka za crtanje granične linije. Osim toga, potrebno je 5
dodati uslo a b koji ograničaa izbor ulaznih podataka. Takođe je potrebno dodati i uslo a ako je impedansa pasina. Za a u prom koraku dobija se tan tan odakle sledi sin( ) i pri izraz za u drugom koraku postaje tipa " ". Problem pri određianju može se preazići na način dat u drugom koraku postupka. 3.3..4. Validacija rezultata Deskriptini postupak za određianje graničnih linija impedanse na prom harmoniku predložen u [3] je dopunjen nedostajućim usloima opisanim u 3.3..3, algoritamski implementiran i iskorišćen za alidaciju Algoritma. Granične linije impedanse na osnonom harmoniku određene u oom tehničkom rešenju su potpuno u saglasnosti sa linijama koje se dobijaju rekonstrukcijom i dopunom postupka predloženog u [3]. 3.3.3. Granične linije impedanse na drugom harmoniku Problem određianja graničnih linija impedanse na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na osnonom harmoniku zadata, pri put je razmatran u radu [3]. U tom radu je predložen postupak za generisanje oih linija. Postupkom predloženim u [3] generišu se i tačke koje ne pripadaju graničnim linijama i koje je naknadno potrebno eliminisati (za detalje ideti odeljak 3.3.3.). U oom odeljku je dato analitičko rešenje za problem određianja graničnih linija impedanse na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na osnonom harmoniku zadata. Takođe je razijen i softerski implementiran algoritam za određianje i crtanje graničnih linija impedansi na drugom harmoniku. Zahaljujući analitičkom rešenju, razijeni algoritam je remenski efikasan. Podsetimo se da su signali u izlaznom kolu tranzistora rezistino-reaktine klase-b/j pojačaača snage polusinusoidalni signal struje (7) i nenegatian signal napona tipa (68) sa bar jednom nulom. Granične linije na drugom harmoniku određuju se za zadatu impedansu na osnonom harmoniku, z r j x. S obzirom da je strujni signal poznat, koeficijenti naponskog signala na osnonom harmoniku mogu se odrediti kao a ra i i b xa i, gde je a i π (ideti (7)). Sledi da se problem određianja graničnih linija na drugom harmoniku može preformulisati kao problem određianja sih mogućih paroa ( a, b ) koeficijenata na drugom harmoniku signala tipa (68) sa bar jednom nulom kada su koeficijenti a i b zadati. Taj problem je rešen u odeljku 3... Amplituda i početna faza osnonog harmonika mogu se odrediti iz koeficijenata a i b : a b, atan( b, a ). (9) Podsetimo se da za nenegatine signale aži (ideti (8)). () Na osnou (5)-(5), koeficijenti drugog harmonika nenegatinih signala tipa (68) sa bar jednom nulom mogu se napisati u obliku 3 3 a cos a cos b sin, () b sin a ( cos ) sin b ( sin ) cos, () gde označaa nulu signala. Na osnou (65), pripada interalu [, ] [ 3, 4], (3) gde je,, π, π, (4) p m 3 m 4 p dato sa (9) i m arccos max(, ), p arccos. (5) Za zadate koeficijente a i b, primenom (9)-(5) mogu se odrediti si nenegatini signali tipa (68) sa bar jednom nulom. 3.3.3.. Algoritam za crtanje graničnih linija na drugom harmoniku Dozoljene rednosti impedanse na osnonom harmoniku određuju se iz usloa da je, odnosno z a i. Za polusinusoidalni signal struje (7) je a i π i z π.9. U Algoritmu je prikazana procedura za računanje granične linije za impedansu na drugom 6
harmoniku za zadatu rednost impedanse z r jx na prom harmoniku za pojačaače snage u rezistino-reaktinoj klasi-b/j. Algoritam je baziran na rezultatima prikazanim u oom odeljku. Algoritam : // ulazne eličine: a i π, ai 3; ) izaberi r i x tako da r i r x π; // impedansa na osnonom harmoniku je pasina ) izračunaj a, ra, i b xa i, a b atan ( b, a ); 3) izračunaj arccos m max(, ), p arccos ; 4) izračunaj p, m, 3 π m, 4 π p; 5) izaberi prirodni broj k ; max 6) izaberi ( k) [, ] [ 3, 4], k,, kmax; 7) za k,, kmax izračunaj 3 3 a( k) cos ( k) a cos ( k) b sin ( k), b( k) sin ( k) ( a ) cos ( k) sin ( k) ( b ) sin ( k) cos ( k); 8) za k,, kmax izračunaj z( k) a( k) j b( k) ai i zn( k) zn( k) r. Na slici 9.a su prikazane granične linije impedanse na drugom harmoniku za r,6 ( a.945) i,6 x,6 sa korakom, za pojačaač snage sa normalizoanim polusinusoidalnim signalom struje (7) i nenegatinim signalom napona tipa (68) sa bar jednom nulom, što odgoara rezistinoreaktinoj klasi-b/j pojačaača snage. Na slici 9.b su prikazane granične linije (označene punom zadebljanom linijom) za x.6, x.6, x.3 i x. Tačke leo od granične linije odgoaraju rednostima impedansi na drugom harmoniku za koje se dobijaju nenegatini signali napona. Za tačke na samoj liniji se dobijaju signali napona koji imaju nulu. Crne tačke na oim graficima označaaju normalizoanu impedansu na osnonom harmoniku z n j x r. Slika 9. Granične linije impedanse na drugom harmoniku za r,6 i,6 x,6 i b) x {,6;,3;;,6}. Normalizoana impedansa na prom harmoniku označena je a) isprekidanom linijom i b) tačkom. Si grafici na slici 9 su nacrtani samo za pasinu impedansu na drugom harmoniku ( r ). Kada impedansa na drugom harmoniku nije pasina, tada granične linije postoje i izan Smitoog dijagrama, kao na slici. Na slici su prikazane granične linije impedansi na drugom harmoniku za x.9 π.57 i r {.9 π,.95 π, π} (brojni podaci su iz primera koji je analiziran u [3]). Tačke koje se nalaze unutar kriih odgoaraju nenegatinim signalima. 7
Slika. Granične linije impedanse na drugom harmoniku za x.9 π i r {.9 π,.95 π, π}. 3.3.3.. Postupak za određianje graničnih linija na drugom harmoniku predložen u radu [3] U radu [3] predložen je postupak za određianje graničnih linija na drugom harmoniku za rezistinoreaktinu klasu-b/j pojačaača snage, za zadate koeficijente a i b na osnonom harmoniku. Predložen postupak, sa sim potrebnim usloima (koji nisu naedeni u [3]) izložen je u tri koraka. // Ulazni podaci: a i, b tako da a b i a, i) za se [,π) izračunati a a cos cos b sin cos tan, sin a sin cos b b cos cos a ; sin( ) a sin( ) ii) za one paroe i za koje je izračunati ( )sin( ) ( )cos( ) a, b ; ( )sin( ) ( )sin( ) iii) izračunati z ( a j b) ai, r a a i i z. n z r Kao što smo ranije napomenuli, u [3] su i naponski i strujni signal pomereni za π u odnosu na signale u oom tehničkom rešenju, tako da je a i π, dok je a. To objašnjaa uslo a koji predstalja ograničenje u ulaznim podacima. Opisan postupak nije do kraja rešen analitički, jer nije određen interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian ( ). Zbog toga je potrebno dodati taj uslo i eliminisati tačke koje ne pripadaju graničnim linijama. Osim toga, dodat je uslo a b koji ograničaa izbor ulaznih podataka. Takođe je potrebno dodati i uslo a jer je impedansa na osnonom harmoniku pasina. U radu [3] postoji napomena da se mora biti pažlji pri primeni funkcije atan pri određianju (nakon prog koraka), ali bez daljeg objašnjenja. 3.3.3.3. Validacija rezultata Postupak za određianje graničnih linija impedanse na drugom harmoniku, koji je predložen u [3] i analiziran u prethodnom odeljku, iskorišćen je za alidaciju Algoritma. Granične linije impedanse na drugom harmoniku određene u oom tehničkom rešenju su potpuno u saglasnosti sa linijama koje se dobijaju postupkom predloženim u [3]. 3.4. Kako je realizoano tehničko rešenje i gde se primenjuje, odnosno koje su mogućnosti primene Predloženo tehničko rešenje koriste istražiači sa Fakulteta tehničkih nauka u Noom Sadu u aktinostima koje se odnose na analizu pojačaača snage, kao i za dalja istražianja. Tehničko rešenje obuhata analitičku metodu za određianje graničnih linija impedansi na osnonom ili drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. U okiru tehničkog rešenja su razijeni i softerski implementirani algoritmi za određianje graničnih linija impedansi pojačaača snage. Zahaljujući analitičkim rešenjima, razijeni algoritmi su remenski efikasni. Softer razijen u okiru oog tehničkog rešenja može se koristiti u projektoanju širokopojasnih linernih pojačaača snage, zahaljujući praktično trenutnom računanju graničnih linija impedansi na osnonom ili drugom harmoniku. Takođe se može koristiti u nastai, npr. za ežbe na računaru. 8
4. Literatura [] P. J. Tasker, Practical waeform engineering, IEEE Microw. Mag., ol., pp. 65-76, Dec. 9. [] P. J. Tasker, J. Benedikt, Waeform inspired models and the harmonic balance emulator, IEEE Microw. Mag., ol., pp. 38-54, Apr.. [3] T. Canning, P. J. Tasker, S. C. Cripps, Continuous mode power amplifier design using harmonic clipping contours: theory and practice, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, pp. -, Jan. 4. [4] C. Friesicke, R. Quay, A. F. Jacob, The resistie-reactie class-j power amplifier mode, IEEE Microw. Wireless Compon. Lett., ol. 5, pp. 666-668, Oct. 5. [5] P. Wright, J. Lees, J. Benedikt, P. J. Tasker, S. Cripps, A methodology for realizing high efficiency class-j in a linear and broadband PA, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 57, pp. 396-34, Dec. 9. [6] S. C. Cripps, Grazing zero [microwae bytes], IEEE Microw. Mag., ol., pp. 4-34, Dec.. [7] A. Juhas, S. Dautoić, L. Noak, Metoda za modeloanje signala pojačaača snage bazirana na nenegatinim trigonometrijskim polinomima drugog stepena, tehničko rešenje M85, erifikoano na NN Veću FTN 6. 7. 6. Vezano sa projektom TR 36, http://www.ftn.uns.ac.rs/n986/tehnicka-resenja-m-85. [8] A. AlMuhaisen, P. Wright, J. Lees, P. J. Tasker, S. C. Cripps, J. Benedikt, Noel wide band high-efficiency actie harmonic injection power amplifier concept, in IEEE MTT-S Int. Microw. Symp. Dig., May, pp. 664 667. [9] A. AlMuhaisen, P. Wright, J. Lees, P. Tasker, S. Cripps, J. Benedikt, Wide band high-efficiency power amplifier design, in Proc. Eur. Microw. Integr. Circuits Conf., Oct., pp. 84 87. [] A. Dani, Z. Popoić, PA efficiency and linearity enhancement using external harmonic injection, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, no., pp. 497-46,. [] M. Seo, H. Lee, J. Gu, H. Kim, J. Ham, W. Choi, Y. Yun, K. K. O, Y. Yang,, High-efficiency power amplifier using an actie second-harmonic injection technique under optimized third-harmonic termination, IEEE Trans. Circuit Syst. II, Exp. Briefs, ol. 6, pp. 549 553, Aug. 4. [] M. Roberg, Z. Popoić, Analysis of high-efficiency power amplifiers with arbitrary output harmonic terminations, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 59, pp. 37-48, Aug.. [3] L. Fejer, Über trigonometrische Polynome, (in German) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, ol. 46, pp. 53 8, 96. [4] G. V. Milanoić, D. S. Mitrinoić, Th. M. Rassias, Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities, Zeros, Singapore: World Scientific Publishing Co., 994. [5] A. Juhas, L. A. Noak, General description of nonnegatie waeforms up to second harmonic for power amplifier modelling, Math. Probl. Eng., ol. 4, Article ID 7976, 8 pages, 4. [6] A. Juhas, L. A. Noak, Conflict set and waeform modelling for power amplifier design, Math. Probl. Eng., ol. 5, Article ID 58596, 9 pages, 5. [7] A. Grebenniko, N. O. Sokal, M. J. Franco, Switchmode RF Power Amplifiers, nd edition, Academic Press, Elseier, USA,. [8] S. C. Cripps, P. J. Tasker, A. L. Clarke, J. Lees, J. Benedikt On the continuity of high efficiency modes in linear RF power amplifiers, IEEE Microw. Wireless Compon. Lett., ol. 9, pp. 665-667, Oct. 9. [9] V. Carrubba, A. L. Clarke, M. Akmal, J. Lees, J. Benedikt, P. J. Tasker, S. C. Cripps On the extension of the continuous class-f mode power amplifier, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 59, pp. 94-33, May. [] N. Tuffy, L. Guan, A. Zhu, T. J. Brazil A simplified broadband design methodology for linearized highefficiency continuous class-f power amplifier, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, pp. 95-963, June. [] S. Rezaei, L. Belostotski, M. Helaoui, F. M. Ghannouchi, Harmonically tuned continuous class-c operation mode for power amplifier applications, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, pp. 37-37, Dec. 4. 9