Gimnazija Celje Center Danijela Marolt METRIČNA GEOMETRIJA V PROSTORU S PROGRAMOM PREZI PRACTICAL GEOMETRY WITH PREZI
Povzetek Metrična geometrija v prostoru je poglavje, ki ga običajno obravnavam pri matematiki v 3. letniku gimnazije. Nekaj zadnjih let z dijaki računamo površine in prostornine geometrijskih teles v času po odpisani zadnji pisni nalogi v tekočem šolskem letu. Temu času primerna je tudi utrujenost, zainteresiranost in nenazadnje tudi visoke temperature, ki destimulativno vplivajo na potek učne ure. Vsako leto poskušam dijake motivirati z drugimi, novimi metodami. Nazadnje je to bila obravnava nove snovi z uporabo brezplačnega programa Prezi. Ključne besede: matematika, površina, prostornina, geometrijska telesa, Prezi Abstract Lectures of practical geometry are discussed in mathematics in the third grade of secondary school. In the last few years we have been calculating areas and volumes of geometric objects after the last test in the school year. Students are tired, uninterested and temperatures are high which does not have a stimulating effect on lessons. I try to motivate students with other, new methods every year. The last such method was programme Prezi, which is free of charge. Key words: mathematics, area, volume, geometric object, Prezi
1 Uvod in teoretična izhodišča Geometrijska telesa delimo na okrogla in oglata. Medtem ko imajo okrogla vsaj eno ukrivljeno ploskev, pa imajo oglata geometrijska telesa vse ploskve ravne. Oglata telesa delimo na prizme in piramide. 1.1 Osnovni pojmi Slika 1: Osnovni pojmi (https://eucbeniki.sio.si/test/iucbeniki/mat5/696/index4.html) Mejne ploskve omejujejo telo. Ločimo osnovne in stranske ploskve. Rob je daljica, na kateri se stikata dve mejni ploskvi telesa oziroma daljica, ki povezuje dve sosedni oglišči. Osnovni robovi so stranice osnovne ploskve. Stranski robovi povezujejo oglišča ene osnovne ploskve z oglišči druge (prizma) oz. z vrhom (piramida). Oglišče je točka v kateri se stikajo vsaj trije robovi. Telo poimenujemo po številu stranic (= številu oglišč) osnovne ploskve. Telo je pravilno, če je osnovna ploskev pravilni večkotnik. Telo je enakorobno, če so vsi robovi (tako osnovni kot stranski) enako dolgi.
1.2 Oglata telesa Prizme Slika 2: Prizme (http://sl.wikipedia.org/wiki/prizma) Prizma je oglato telo, sestavljeno iz dveh osnovnih ploskev in plašča. Osnovni ploskvi sta dva skladna večkotnika, ki ležita na vzporednih ravninah. Plašč tvorijo stranske ploskve, ki so paralelogrami. Prizma je pokončna, če so stranski robovi pravokotni na osnovni ploskvi. Višina telesa je enaka stranskemu robu. V nasprotnem primeru je prizma poševna. Površina: P = 2S + pl Prostornina: V = Sv Piramide Slika 3: Piramide (http://sl.wikipedia.org/wiki/piramida_(geometrija))
Piramida je oglato telo, ki je sestavljeno iz osnovne ploskve in plašča. Osnovna ploskev je večkotnik, plašč pa tvorijo stranske ploskve, ki so trikotniki. Vrh piramide je stičišče stranskih robov. Piramida je pokončna, če je njena višina točno nad središčem osnovne ploskve. Stranski robovi so tako vsi enako dolgi. Piramida, ki ni pokončna, je poševna. Če piramido presekamo z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi, dobimo prisekano piramido. Površina: P = S + pl Prostornina: V = Sv 1.3 Okrogla telesa Valj Slika 4: Valj (https://eucbeniki.sio.si/test/iucbeniki/mat9/916/index.html) Valj je okroglo geometrijsko telo z dvema osnovnima ploskvama in plaščem. Osnovni ploskvi sta kroga, plašč pa pravokotnik. Valj je enakostraničen, če je 2r = v. Osni presek valja je presečišče valja in ravnine, ki gre skozi njegovo os. V splošnem je to paralelogram s stranicama 2r in s. Osni preseki pokončnega valja so vsi med seboj enaki. Značilni osni presek poševnega valja je presečišče valja in ravnine, ki gre skozi njegovo os in je pravokotna na osnovni ploskvi. P = 2πr 2 + 2πrv V = πr 2 v
Stožec Slika 5: Stožec (http://si.openprof.com/wb/sto%c5%beec?ch=138) Stožec je okroglo geometrijsko telo z eno osnovno ploskvijo in plaščem. Osnovna ploskev je krog, plašč pa krožni izsek. Osni presek stožca, presečišče stožca in ravnine, ki gre skozi njegovo os, je trikotnik. Enakostranični stožec ima osni presek enakostranični trikotnik, s = 2r. Značilni osni presek poševnega stožca je presečišče stožca in ravnine, ki gre skozi njegovo os in je pravokotna na osnovno ploskev. Če stožcu odrežemo vrh z rezom, vzporednim osnovni ploskvi, dobimo prisekani stožec. P = πr 2 + πrs V = πr2 v Krogla Slika 6: Krogla (http://si.openprof.com/wb/krogla?ch=139) Krogla je geometrijsko telo, ki ga omejuje krogelna lupina (sfera). Sfera je množica točk v prostoru, ki je natanko R oddaljena od središča. Krogelna plast nastane med dvema vzporednima ravninama krogelnih krogov.
Krogelna kapica je del krogle, ki ga omejuje mali krogelni krog. P = 4πR 2 V = πr3 1.4 Pedagoški okvirji Letni delovni načrt V letnem delovnem načrtu Gimnazije Celje Center za 3. letnik gimnazije je za tematski sklop metrična geometrija v prostoru namenjenih 20 učnih ur. Vsebinski cilji, ki jih pri tem zasledujemo se nanašajo na definicije geometrijskih teles, poznavanje in uporabo strokovne terminologije ter matematičnih formul za izračunavanje površin in prostornin teles. Procesni cilji, ki jih dosegamo, se nanašajo na znanje dijakov. Tako jim ne sme biti tuje opisati posamezno geometrijsko telo in narisati njegovo mrežo, poznati ustrezne merske enote ter izračunati neznane količine dane naloge. Kljub temu, da se otroci z osnovami stereometrije srečajo že v osnovni šoli, so naše ure namenjene spoznavanju novih vsebin in utrjevanju pridobljenega znanja. Pred koncem poglavja pa tudi preverjanju in ocenjevanju. Naloge so sestavljene nivojsko, tako da sledijo vsem taksonomskim stopnjam. Pri tem poskušam najti čim več povezav z drugimi znanostmi, največkrat s fiziko, kemijo (kristali, modeli spojin), arhitekturo in zgodovino (gradbeništvo starih civilizacij). Uporabljena učna sredstva se od tradicionalnih vedno bolj selijo v sodobne elektronske sfere. Pri svojem delu pa opažam, da so za dobro prostorsko predstavo mnogih dijakov nenadomestljivi klasični modeli geometrijskih teles. Minimalni standardi znanja Za vrednotenje pridobljenega znanja se učitelji sodobnega časa že dolgo ne moremo več zanašati le na intuicijo. Tako moramo imeti narejene natančne lestvice po katerih merimo znanje, da bi le to bilo ocenjeno kar se da objektivno. Med vsemi najbolj izstopajo ravno minimalni standardi znanja, ki so merilo za napredovanje posameznega dijaka. Pri sklopu metrična geometrija v prostoru morajo gimnazijci naše šole doseči naslednje minimalne standarde znanja: poznajo pojem merjenja: ploščina, višina, volumen s pojmi merjenja znajo računati in jih uporabljati v različnih nalogah,
znajo uporabljati lastnosti pokončnih teles (prizme, valja, piramide in stožca) in krogle, pri ustreznih danih podatkih znajo na preprostih primerih za dano telo izračunati višino telesa, stranski in osnovni rob, telesno diagonalo, plašč, ploščino osnega preseka, površino in prostornino, znajo izračunati kote, ki jih med seboj oklepajo robovi ali ploskve geometrijskega telesa in pri tem uporabiti žepno računalo. 2 Program Prezi Slika 7: Logotip (http://en.wikipedia.org/wiki/prezi) Beseda prezi je madžarski pogovorni izraz za predstavitev. Program Prezi je pripomoček za izdelavo virtualnih prosojnic. Njegova posebnost je dinamična nelinearna predstavitev z uporabo neomejenega prostora. Leta 2008 sta Kitchen Budapest in Magyar Telekom podprla izdelavo Prezi.com v želji po nadomestitvi običajnih drsnic. Za razvoj je skrbel madžarski Zui Labs, oz. njegovi trije soustanovitelji Péter Árvai, Szabolcs Somlai Fischer in Péter Halácsy, ki so leto 2009 uradno razglasili za ustanovni začetek te spletne aplikacije. Uporaba preproste palete orodij omogoča premikanje, približevanje ali oddaljevanje, vrtenje in prikazovanje predmetov. Pri tem lahko kombiniramo s slikami, videi, besedili ali drugimi predstavitvenimi mediji. Okvirji omogočajo združevanje medijev v en predstavitveni objekt. Poti so navigacijski deli, ki povezujejo predstavitvene predmete. Prezi omogoča tudi spletno sodelovanje največ desetih geografsko ločenih oseb pri oblikovanju in predstavitvi ene skupne predstavitve v istem časovnem terminu.
Z nakupom licence različnih paketov si lahko osnovni brezplačni paket razširimo tako glede orodij, kot tudi možnosti izdelave prezentacije brez spletne povezave in uporabe različnih stopenj zasebnosti shranjevanja. Program je izpopolnjen tudi za uporabo z ipad om. Možnosti uporabe programa Prezi so praktično neomejene. Množično ga uporabljajo v poslovnem svetu, za katerega je bil prvotno tudi razvit. Svoje priljubljeno mesto je našel tudi pri učencih, dijakih, študentih in učiteljih na vseh stopnjah in smereh izobraževanja. Kakor vedno, obstajajo tudi kritiki programa Prezi. Največja pomanjkljivost, na katero opozarjajo je, da ga ne morejo uporabljati osebe s posebnimi potrebami, ki za svoje delo z računalnikom potrebujejo bralnik. Prepričana sem, da bodo v razvojnem oddelku sodobnega programa kmalu našli rešitev tudi zanje. 3 Uporaba pri pouku Predstavitev sem si zamislila kot dopolnitev in popestritev običajnega frontalnega poučevanja zadnjega poglavja pri matematiki v 3. letniku gimnazije. Temu sem namenila pet učnih ur. Večji poudarek je na teoretičnem delu obravnave nove snovi, medtem ko so vaje dodane le za vzorec. Večji del vaj, ponavljanj in utrjevanja snovi bo opravljen za začetku prihodnjega šolskega leta. Takrat bodo dijaki spočiti in bolj motivirani za samostojno delo. Predstavitev je dostopna na povezavi: https://prezi.com/lmijadcmabsw/metricna geometrija v prostoru/ 4 Zaključek Dijakom program Prezi ni bil nov. Večinoma so ga poznali, čeprav ga mnogi še niso uporabljali. Za predstavitve v šoli bolj pogosto posegajo po programu PowerPoint, zato ker ga bolje poznajo in so spretnejši pri izdelavi drsnic. Tisti, ki so že uporabljali Prezi, pa so ga takrat, ko so imeli več časa za pripravo predstavitev in so hoteli doseči posebne učinke, ki jih le ta ponuja.
Ker sem v letošnjem šolskem letu učila dve paralelki tretjih letnikov, sem se odločila, da v eni uporabim pripravljeni program Prezi za obravnavo nove snovi, v drugi pa za ponavljanje predelane snovi. V razredu je bil nov način obravnave nove snovi dobro sprejet. Predstavitev jih je pritegnila, delovna vnema je bila zadovoljiva, ure pa so potekale v sproščenem vzdušju. (Na to je verjetno vplivalo tudi dejstvo, da so imeli ocene že zaključene.) V drugem razredu pa je bila večina snovi obravnavana frontalno. Na začetku prihodnjega šolskega leta, ko bo potrebno učno snov ponoviti, pa bom uporabila pripravljeni program. Program Prezi lahko uporabimo v vseh fazah poučevanja, pri vseh predmetih, kar govori v prid njegovi vsestranskosti. Pri pouku je potrebno paziti le na pravo mero doziranja novosti in posebnosti, da dijaki ne bi postali naveličani. 5Viri in literatura 1. BON Klanjšček, M., DVORŠAK, B., FELDA, D. Matematika 3. Učbenik za gimnazije. 1. izdaja. 1. natis. Ljubljana: DZS. 2011. 2. MATEMATIKA 5. [Online]. E učbenik za matematiko v 5. razredu osnovne šole. [Zadnja sprememba: 30. 3. 2015]. [Citirano 11. 5. 2015; 15.40]. Dostopno na spletnem naslovu: https://eucbeniki.sio.si/test/iucbeniki/mat5/696/index4.html. 3. METRIČNA geometrija v prostoru. [Online]. Matematika 3. Rešene vaje za 3. letnik gimnazije. Spletni učbenik. [Citirano 18. 5. 2015; 17.30]. Dostopno na spletnem naslovu: http://si.openprof.com/wb/knjiga:re%c5%a1ene_vaje_iz_matematike_za_tretji_letn ik_gimnazije/3/. 4. OBLAK, S. Oglata geometrijska telesa. [Online]. Virtualni učbenik. [Zadnja sprememba: 24. 9. 2005]. [Citirano 11. 5. 2015; 15.40]. Dostopno na spletnem naslovu: http://www.educa.fmf.unilj.si/izodel/sola/2002/dira/oblak/html/uvod2.htm.
5. PIRAMIDA. [Online]. Wikipedia: prosta enciklopedija. [Zadnja sprememba: 9. 3. 2013; 19.06]. [Citirano 18. 5. 2015; 15.55]. Dostopno na spletnem naslovu: http://sl.wikipedia.org/wiki/piramida_(geometrija). 6. PREZI. [Online]. Wikipedia: prosta enciklopedija. [Zadnja sprememba: 18. 5. 2015; 5.42]. [Citirano 18. 5. 2015; 18.32]. Dostopno na spletnem naslovu: http://en.wikipedia.org/wiki/prezi. 7. PRIZMA. [Online]. Wikipedia: prosta enciklopedija. [Zadnja sprememba: 25. 2. 2015; 20.44]. [Citirano 11. 5. 2015; 17.10]. Dostopno na spletnem naslovu: http://sl.wikipedia.org/wiki/prizma. 8. SPATIUM novum. Matematika za gimnazije. 1. izdaja. Ljubljana: Modrijan. 2013. 9. VALJ. [Online]. E učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole. [Zadnja sprememba: 24. 4. 2015]. [Citirano 18. 5. 2015; 17.03]. Dostopno na spletnem naslovu: https://eucbeniki.sio.si/test/iucbeniki/mat9/916/index.html.