Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014.
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Voditelj: doc.dr.sc. Ivan Matić
Sažetak. Cilj ovog rada je pokazati važnost Fermatove metode beskonačnog spusta i prikazati važnije teoreme koji se mogu dokazati tom metodom. Fermat je baveći se matematikom samo u slobodno vrijeme došao do nekih zaključaka koji su temelj mnogih grana matematike već dugi niz godina. U radu ćemo pokazati kako na mnogo načina metodom spusta možemo dokazati da je neki broj iracionalan. Isto tako navest ćemo 3 važna teorema, poseban slučaj Fermatova posljednjeg teorema koji govori o rješenjima jednadžbe x n + y n = z n, rješenjima Markovljeve jednadžbe x + y + z = 3xyz te Lagrangeova terema o četiri kvadrata koji kaže da se svaki prirodan broj n može zapisati kao suma 4 kvadrata. Fermatova metoda beskonačnog spusta ima veliku ulogu i u geometriji pa u završnom dijelu ovog rada promatramo poznati Sylvestrov problem i njegovo rješenje te odgovore na Fermatova pitanja o površini pravokutnog trokuta. Ključne riječi: metoda spusta, kontradikcija, potpun kvadrat, cijeli broj, rješenje jednadžbe, minimalni element. Abstract. The goal of this paper is to showcase the importance of Fermat s method of infinite descent and to present some of the more important theorems which were proven through the aforementioned method. Fermet has managed to, while only dwelling into mathematics in his spare time, reach some conclusions which have been the basis of a couple of mathematical branches for quite some years now. In this paper we ll be demonstrating multiple ways of proving that a number is irrational and each will be proven through the method of descent. Similary, we will also mention three important theorem special case of Fermat s last theorem, which focuses on the solutions to the equation x n + y n = z, the solutions to Markov s equation x + y + z = 3xyz together with Lagrange s four-square theorem, which states that every natural number n can be written as the sum of four squares. Fermat s method of infinite descent had a major role in geometry as well; therefore we will use the closing part of this paper to observe the famous Sylvester s Problem and its solution alongside the answers to Fermat s questions about the surface of a right triangle. Keywords: method of descent, contradiction, perfect square, integer, solution to the equation, minimal element
Sadržaj 1 Uvod 1 Pierre de Fermat 3 Iracionalnost brojeva 3 4 Metoda spusta kao važan čimbenik pronalaska tvrdnji u teoriji brojeva 5 4.1 Fermatov posljedni teorem.......................... 5 4. Markovljeva jednadžba............................. 7 4.3 Lagrangeov teorem o četiri kvadrata...................... 8 5 Korištenje metode spusta u geometriji 10 5.1 Sylvestrov problem............................... 10 5. Površine pravokutnih trokuta......................... 11
Fermatova metoda beskonačnog spusta 1 1 Uvod Metodu beskonačnog spusta osmislio je Fermat. Ona služi pri dokazivanju tvrdnje da neka jednadžba nema ili ima nekoliko rješenja u skupu cijelih brojeva. Može se reći da je Fermatova metoda beskonačnog spusta jedan oblik indukcije. Prisjetimo se, u indukciji imamo 3 koraka. U prvom dokazujemo da tvrdnja vrijedi za najmanji element a iz skupa prirodnih brojeva. Zatim nastavljamo za sve ostale a + 1, a +,... Ideja spusta se može opisati na sljedeći način: Očito je da svaki konačan podskup skupa prirodnih brojeva mora imati najmanji element. Ako moramo pokazati da tvrdnja P (a) vrijedi za svaki a A, gdje je A konačan podskup skupa prirodnih brojeva, pretpostavit ćemo suprotno. Dakle, postoji barem jedan a A za koji izjava P (a) ne vrijedi. Označimo sa B skup svih elemenata x A za koje tvrdnja P (x) ne vrijedi. Očito je B neprazan podskup skupa A pa postoji minimalan element skupa B. Označimo ga s b. Kako je b B, znači da tvrdnja P (b) ne vrijedi. Sada nastojimo pronaći još manji broj c A (c < b) takav da P (c) ne vrijedi. To bi značilo da je c element skupa B koji je manji od b, a to je kontradikcija sa minimalnošću od b. Ovaj rad je osmišljen kao prikaz važnih teorema u odredenim granama matematike pri čijem je dokazivanju korištena metoda spusta. Počevši s poglavljem u kojem ćemo dokazivati naizgled trivijalnu tvrdnju, da je neki broj iracionalan pa sve do dokazivanja važnih geometrijskih tvrdnji.
Fermatova metoda beskonačnog spusta Pierre de Fermat Tajanstven i šutljiv, nije volio pričati o sebi ta nije bio sklon otkrivati drugima previše o svojim razmišljanjima... Njegove ideje, orginalne i neobične, nastale su u skladu s mogućnostima koje su bile usko ograničene prostorom i vremenom. Pierre Fermat je roden 17.08.1601. godine u gradu Beaumont-de-Lamagne u Francuskoj. Odrastao je u bogatoj obitelji, zajedno s bratom i dvije sestre u rodnom gradu. Pohadao je studij u Toulouseu te nakon završetka studija započeo je svoja prva važna matematička istraživanja o ekstremima. Nešto kasnije, Fermat je započeo u Orléansu studij prava te dobio diplomu iz gradanskog prava. Već 1631. je postao pravnik i vladin službenik u Toulouseu zbog čega mijenja ime u Pierre de Fermat. Kako su godine prolazile, Fermat je postajao sve uspješniji pa je 165. godine promaknut u suca kaznenog suda, što je bio najviši položaj tada. Uz sav posao, Fermat je uvijek pronalazio vremena za matematiku. Budući da su radili sličan posao te dijelili ljubav prema matematici, Fermat uskoro upoznaje Carcavija s kojim počinje diskutirati o svojim matematičim idejama. Carcavi, zainteresiran za njegov rad, spaja ga s Merssenom s kojim Fermat raspravljao o svojim otkrićima, ne govoreći mu tehnike kojima je došao do tih rezultata. To je upravo postao njegov princip: Izazvati druge da nadu rezultate za ono što je on već otkrio. Fermat je ubrzo postao jedan od najcjenjenjih matematematičara u svijetu iako većinu njegova rada nije dotad bila prikazana jer Fermat svoja otkrića nije sažeo u djelo. Onaj dio koji je objavljen, nalazio se kao dodatak u nekim važnim djelima. Na primjer, Fermatova metoda minimuma i maksimuma je bila dodatak djelu Cursus mathematicus. Pročitavši Descartesovo djelo La Dioptrique Fermat je pronašao svoju sljedeću zanimaciju. Naime, smatrao je da Descartes nije dobro opisao zakon refleksije svijetla. Naravno, Descartes to nije dobro primio, a još ga je dodatno razljutilo kada je vidio Fermatov rad o minimumima, maksimumima i tangentama koji je svojom pojavom smanjio važnost njegovog djela La Géometrie na koje je Descartes bio najviše ponosan. Tako ljut Descartes je pokušavao uništiti Fermatovu reputaciju blateći njegov rad i samog Fermata govoreći da nije pravi matematičar. Budući da je Descartes bio poštovan, to je uništilo Fermatovu reputaciju. Nakon 0 godina, Fermat se vratio tom problemu, dokazao svoju tvrdnju te pokazao da je Descartes pogriješio. Postavio je jedan od danas najvažnijih zakona optike, prema kojem svjetlost ide od jedne točke do druge putem za koji je potrebno najkraće vrijeme. U periodu od 1643. do 1654. godine Fermat nije bio u kontaktu sa svojim kolegama zbog gradanskog rata 1648. godine Fonde i kuge 1651. godine koja je i njega samoga zahvatila, no nasreću uspio se izliječiti. U to vrijeme Fermat je bio zaokupljen teorijom brojeva te došao do zaključka kojeg danas nazivamo Fermatov posljednji teorem. On kaže da jednadžba x n + y n = z n nema nenegativnih cjelobrojnih rješenja u slučaju kada je n >. Istinitost te tvrdnje tek je 1994. dokazao engleski matematičar Andrew Wiles. Tristo godina raznih pokušaji dokazivanja doveli su do mnogih otkrića u teoriji prstenova i ostalim granama matematike.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 3 Isto tako, Fermat je postavio niz tvrdnji da suma dva kuba ne može biti kub (poseban slučaj Fermatovog posljednjeg teorema), da postoje točno cjelobrojna rješenja jednadžbe x + 4 = y 3 te da jednadžba x + = y 3 ima samo jedno cjelobrojno rješenje. Nažalost, ostali matematičari tog vremena nisu bili baš zainteresirani za takve probleme jer teoriju brojeva nisu smatrali toliko važnom. Tek nakon nekog vremena Fermatu se javio Huygens te izrazio zanimanje za njegove radove u teoriji brojeva. Fermat mu je opisio svoju metodu beskonačnog spusta i dao primjer da ona može biti korištena u dokazu da svaki prosti broj oblika 4k + 1 može biti zapisan kao suma dvaju kvadrata. Sa sigurnošću možemo reći da je Fermat bio jedan od najvećih matematičara u povijesti i da su njegovi radovi u velikoj mjeri pridonijeli razvoju brojnih matematičkih otkrića. Fermat je umro 1.01.1665. godine u gradu Castresu u Francuskoj. 3 Iracionalnost brojeva U ovom poglavlju vidjet ćemo na koji način se dokazuje iracionalnost brojeva. Takve tvrdnje se mogu dokazati na više načina, a sve su bazirane na metodi spusta. No, prvo ćemo definirati pojam iracionalnog broja. Definicija 1. Broj koji se ne može zapisati u obliku m, m Z, n N naziva se iracionalan n broj. U nastavku slijedi teorem koji ćemo dokazati na dva načina i u oba slučaja koristeći metodu spusta. Teorem 1. Ako je d prirodan broj i d nije potpun kvadrat, tada je d iracionalan broj. Dokaz. 1.način: Pretpostavimo da je d racionalan. Kako d nije potpun kvadrat, njegov korijen se nalazi izmedu dva uzastopna pozitivna cijela broja. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je l takav da l < d < l +1. Sada d možemo zapisati u obliku d = l + m gdje su m n i n pozitivni cijeli brojevi za koje vrijedi 0 < m < 1, 0 < m < n. Kvadrirajući jednakosti n d = l + m te množenjem s nazivnika dobivamo n m = n (d l ) mnl što možemo zapisati u obliku m = nq gdje je q = n(d l ) ml. Kako su m i q pozitivni, slijedi da je m = q pa je d = l + m = l + q. Iz m = q i 0 < m < 1 slijedi da je 0 < q < m. n m n m n m n Razlomak q ima manji (pozitivni) nazivnik nego m pa smo od zapisa d = l + m dobili m n n
Fermatova metoda beskonačnog spusta 4 zapis d = l + q s manjim pozitivnim nazivnikom. Ponavljajući postupak dovoljno puta, m dolazimo do kontradikcije..način: ( ) 0 d Stavimo A =. Karakteristični polinom ove matrice je det(λi 1 0 A) = λ d, kojemu pripada svojstvena vrijednost ( ) d d te pripadni svojstveni vektor. Pretpostavimo da je d racionalan i zapišimo ga u obliku d = a gdje su a i b nenegativni cijeli 1 b brojevi. Znamo da je svaki svojstveni vektor pomnožen ( ) bilo ( kojim skalarom različitim od nule, d a ) opet svojstveni vektor te matrice. Stoga = b možemo zamijeniti vektorom 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a a 0 d db. Vrijedi da je A = = = ( ) a d. b b 1 0 a b Neka je l prirodan broj, takav da je l < ( ) a d < l + 1. Tada je (A li ) = ( ) ( ) b a a d l = ( ( ) a d l) ) gdje je d l izmedu 0 i 1. b b b ( ) a Iz gornje jednakosti vidimo da je svojstveni vektor matrice A li b sa svojstvenom ( ) a vrijednosti izmedu 0 i 1. Kako je svojstveni vektor matrice A li b, on je svojstveni vektor i od ((A) li ) r za svaki ( ) r 1, s pripadnom svojstvenom vrijednosti (d l) r, tj. a a (A li ) r = (d l) b r. b S lijeve strane, za sve r 1, imamo vektor iz Z jer je A matrica sa cjelobrojnim vrijednostima te l Z. Na desnoj strani imamo netrivijalan vektor jer su a, b i d l različiti od nule. Budući da je d l < 1, kako r raste desna strana teži u nulu pa tako dobivamo niz netrivijalnih vektora u Z čija duljina konvergira prema nuli. To je nemoguće pa dobivamo kontradikciju. Pogledajmo ovaj dokaz i na konkretnom primjeru. Primjer 1. Dokažimo da je iracionalan broj. Sukladno dokazu prethodnog teorema, pretpostavit ćemo da je racionalan. Kako je 1 < <, možemo pisati = 1 + m, n gdje su m i n pozitivni cijeli brojevi takvi da je 0 < m < 1, tj. 0 < m < n. n Kvadrirajući i rješavajući se nazivnika dobivamo da je n = n + mn + m pa je m = n mn = n(n m). Kako su m i n pozitivni, slijedi da je i n m pozitivan te vrijedi m = n m. Budući da je 0 < m < 1 slijedi da je 0 < n m < m. Dakle, n m n od zapisa broja kao m n m došli smo do drugog zapisa koji ima manji nazivnik. n m Nastavimo ovaj proces i nakon konačno mnogo puta doći ćemo do kontradikcije.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 5 Napomena: Tvrdnja Teorema 1. vrijedi i općenito. Ako je d Z i k (d > 0 ako je k paran) i d nije k-ta potencija, tada je k d iracionalan broj. Dokaz je analogan dokazu Teorema 1. uz pretpostavku da je k ( ) 0 d d = a, koristeći matricu A = te vektor b I k 1 0 a k 1 a k b v =.. b k 1 4 Metoda spusta kao važan čimbenik pronalaska tvrdnji u teoriji brojeva U ovom poglavlju ćemo pogledati neke važne teoreme koji su dobiveni koristeći se metodom spusta, odnosno njihove dokaze koji se svode na metodu spusta. Neki najbitniji od njih su Fermatov posljednji teorem, rješenje Markovljeve jednadžbe te Lagrangeov teorem o četiri kvadrata. 4.1 Fermatov posljedni teorem Fermatov posljednji teorem glasi: Ne postoje 3 pozitivna cijela broja x, y i z koji zadovoljavaju jednadžbu x n + y n = z n, gdje n. U ovom radu mi ćemo se bazirati na slučaj kada je n = 4. Radi pregleda iskazat ćemo teorem za taj slučaj, a potom ga dokazati. Teorem. Ne postoji pozitivno cjelobrojno rješenje jednadžbe x 4 + y 4 = z. Posebno, a 4 + b 4 = c 4 nema pozitivnih cjelobrojnih rješenja. Dokaz. Koristit ćemo parametrizaciju primitivnih Pitagorinih trojki. Prisjetimo se: rješenje jednadžbe a + b = c, gdje su a, b i c pozitivni cijeli brojevi te b paran dano je s a = k l, b = kl, c = k + l, gdje je k > l te m i n relativno prosti brojevi različite parnosti. Pretpostavimo sad da postoji rješenje (x, y, z) jednadžbe x 4 + y 4 = z gdje su x, y i z pozitivni cijeli brojevi. Ako je p zajednički prosti faktor od x i y tada p 4 z iz čega slijedi da p z te možemo pokratiti s p 4 i dobiti sličnu jednadžbu sa manjim pozitivnim vrijednostima x, y i z. Nastavljajući tako dovoljno puta možemo pretpostaviti da je (x, y) = 1 iz čega slijedi (x, z) = 1 i (y, z) = 1. Pronaći ćemo drugo, manje cjelobrojno pozitivno rješenje (x, y, z ) takvo da vrijedi
Fermatova metoda beskonačnog spusta 6 (x, y ) = 1. Kako je x 4 + y 4 = z i (x, y) = 1, barem jedan od x ili y je neparan (primijetimo da ne mogu oboje jer bi tada značilo da je z (mod 4)) što nije moguće). Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je x neparan i y paran, iz čega slijedi da je z neparan. Kako (x ) + (y ) = z, (x, y, z) je jedna primitivna Pitagorina trojka sa y parnim pa prema formuli za Pitagorine trojke možemo pisati x = k l, (1) y = kl, () z = k + l, (3) gdje k > l > 0 te su k i l relativno prosti. Sada imamo x + l = k, a kako su k i l relativno prosti (x, k, l) nam tvori još jednu primitivnu Pitagorinu trojku pa imamo x = a b, l = ab, k = a + b, gdje je b > a > 0 te (a, b) = 1. Iz (1),() i (3) slijedi da y = kl = (a + b )ab = 4(a + b )ab. Kako je y paran, ( y ) = (a + b )ab. Budući da (a, b) = 1, tri faktora sa desne strane jednakosti su u parovima relativno prosti. Svi su pozitivni, produkt im je potpun kvadrat pa je svaki od njih potpun kvadrat te ih možemo zapisati u obliku a = (x ), b = (y ), a + b = (z ), gdje su x,y i z pozitivni cijeli brojevi. Iz (a, b) = 1 i (x, y ) = 1, jednadžba za (z ) može biti napisana kao (z ) = (x ) 4 + (y ) 4 pa smo dobili drugo rješenje za našu polaznu jednadžbu. Usporedimo sada z i z. z (z ) = a + b = k k < z. Usporedujući pozitivna cjelobrojna rješenja (x, y, z) po z, metodom beskonačnog spusta dobivamo kontradikciju. Sljedeći korolar je direktna posljedica prethodnog teorema. Korolar 1. Jedino racionalno rješenje jednadžbe y = x 4 + 1 je (0, ±1). Dokaz. Napišimo x i y sa zajedničkim nazivnikom x = a c jednadžba iz iskaza korolara ima oblik i y = b, gdje je c 0. Sada c b c = a4 c 4 + 1.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 7 Množeći sa c 4 dobivamo da je (bc) = a 4 + c 4. Po prethodnom teoremu, ili a ili b ili bc je nula (pri čemu iz definicije c ne može biti nula). Stoga imamo slučaja: Ako je a = 0 tada je x = 0 i y = 1 te imamo rješenje jednadžbe (0, ±1). Ako je b = 0 onda je a 4 + c 4 = 0, a to je nemoguće jer bi tada bilo da je c = 0 to je kontradikcija pa je (0, ±1) jedino rješenje. 4. Markovljeva jednadžba Markovljeva jednadžba glasi x + y + z = 3xyz. Jedno rješenje ove jednadžbe je očito (1, 1, 1). Pitanje je: kako glase ostala? Stavimo li 3xyz na lijevu stranu, x možemo zapisati kao nultočka polinoma T (3yz)T + (y + z ) = 0. Da bi pronašli drugu nultočku pogledat ćemo relaciju izmedu korijena i koeficijenata. Ako označimo drugi korijen sa r, naš polinom poprima oblik (T x)(t r) = T (x+r)t +xr iz čega možemo zaključiti da je 3yz = x + r. Dakle, drugi korijen r je r = 3yz x. Od jednog rješenja (x, y, z) smo dobili drugo (3yz x, y, z). Kada bi zamijenili uloge od x, y i z analogno bi iz toga dobili još dva dodatna rješenja koja glase (x, 3xz y, z) i (x, y, 3xy z). Markov je dokazao da se sva rješenja u pozitivnim cijelim brojevima mogu dobiti na ovaj način, polazeći od očitog rješenja (1, 1, 1). Mi ćemo metodu spusta koristiti za dokaz teorema koji govori o specijalnoj ulozi broja 3 na desnoj strani Markovljeve jednadžbe. Taj teorem se pripisuje dvojici matematičara, Frobeniusu i Hurwitzu. Teorem 3. Za svaki pozitivan cijeli broj k, različit od 1 ili 3, jednadžba x + y + z = kxyz nema cjelobrojnog rješenja različitog od (0, 0, 0). Dokaz. Posebno ćemo pogledati slučajeve kada je k > 3 i kada je k =. Neka je k > 3. Pretpostavimo da brojevi a, b i c zadovoljavaju jednadžbu a + b + c = kabc. Ako je bilo koji od brojeva a, b ili c jednak nuli, u tom slučaju jednadžba govori da je suma dva ostala kvadrata jednaka nuli što nužno znači da su i oni 0. Dakle, pretpostavimo li da je (a, b, c) netrivijalna trojka to će značiti da su a, b i c svi različiti od nule. Takoder, barem jedan od njih je pozitivan jer bi u suprotnom desna strana jednadžbe bila negativna.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 8 Druga dva moraju ili oba biti pozitivna ili oba negativna. U slučaju negativnosti možemo promijeniti njihove predznake da bi dobili slučaj u kojem su svi pozitivni pa bez smanjenja općenitosti možemo odmah pretpostaviti da su svi pozitivni. Nadalje, brojevi a, b i c su medusobno različiti. Kako bi to dokazali, pretpostavit ćemo suprotno te bez smanjenja općenitosti stavimo da je a = b. Tada je a + c = ka pa c = a (kc ) iz čega slijedi da je kc kvadrat pa ga možemo zapisati kao kc = d, gdje je d 1. Sada je kc = + d pa je a + c = a ( + d ) te c = a (kc ) = a d iz čega slijedi da je c = da. Iz toga da je d = kc = k(da) te = kda d = d(ka d) slijedi da d pa je d ili 1 ili. U oba ta slučaja je ka = 3 što je kontradikcija s pretpostavkom da je k > 3. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je a > b > c 1. Trojka (kbc a, b, c) je takoder rješenje jednadžbe x + y + z = kxyz. Kako je a(kbc a) = b + c i a > 0 znamo da je kbc a pozitivan. Pogledajmo sada koja je od koordinata trojke (kbc a, b, c) najveća. Iz pretpostavke znamo da je b > c pa pogledajmo kakav je odnos izmedu b i kbc a. Definirajmo polinom f(x) = x (kbc)x + b + c. Korijeni ovog polinoma su a i kbc a te vrijedi f(b) = b + c kb b + c kb < 3b kb = (3 k)b < 0. Dakle, interval na kojem funkcija f poprima negativne vrijednosti se nalazi izmedu dvaju korijena pa b leži izmedu njih, odnosno b < a pa mora bti kbc a < b te vrijedi max(kbc a, b, c) = b < a = max(a, b, c). Ponavljajući ovaj postupak, metodom beskonačnog spusta dobivamo kontradikciju pa jednadžba a + b + c = kabc ima jedino rješenje (0, 0, 0) u cijelim brojevima kada je k > 3. Drugi slučaj je za k =. Pretpostavimo da je a + b + c = abc, gdje su a, b, c Z. Kako je izraz a + b + c paran, a, b i c nisu svi neparni. Ako je točno jedan paran tada, djelujući na obje strane jednadžbe s modulo 4, dobivamo 0 (mod 4) što je kontradikcija. Ako su točno parna tada, djelovanjem sa modulo, dobivamo 1 0 (mod ) što je opet kontradikcija pa su a, b i c svi parni te ih možemo zapisati kao a = a, b = b i c = c pri čemu početna jednadžba ima oblik a + b + c = 4a b c. To je slučaj kada je k = 4 za kojeg smo već pokazali da nema rješenja u cijelim brojevima različitog od (0, 0, 0). 4.3 Lagrangeov teorem o četiri kvadrata U ovom potpoglavlju razmatramo Lagrangeov teorem o četiri kvadrata. Iskaz i dokaz teorema slijede u nastavku. Teorem 4. Svaki prirodan broj n može se prikazati u obliku sume kvadrata četiri cijela broja, tj. u obliku n = x + y + z + w, gdje x, y, z,w Z.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 9 Dokaz. Uočimo da je (x + y + z + w )(a + b + c + d ) = (ax + by + cz + dw) + (ay bx + dz bw) + (az cx + bw dy) + (aw dx + cy bz), pa tvrdnju trebamo pokazati samo za proste brojeve. Za p = je očito jer = 1 + 1 + 0 + 0 pa pretpostavimo da je p neparan prost broj. Pogledajmo sada brojeve 0, 1,,..., ( p 1 ) te 1 0, 1 1, 1,..., 1 ( p 1 ). Za oba niza vrijedi da nikoja dva elementa u njima medusobno nisu kongruentna modulo p (reducirani sustav ostataka modulo p sastoji se od p 1 kvadratnih ostataka i p 1 kvadratnih neostataka). U ta dva niza ima ukupno p + 1 brojeva, a potpun sustav ostataka modulo p sadrži p brojeva, pa po Dirichletovom principu vrijedi da barem dva broja iz ova dva niza daju isti ostatak pri djeljenju sa p. To znači da postoje cijeli brojevi x i y takvi da je x 1 y (mod p) te vrijedi da je x + y + 1 < 1 + ( p ) < p. Iz toga slijedi da je mp = x + y + 1 za neki cijeli broj m, za koji vrijedi 0 < m < p. Neka je sada l najmanji prirodan broj takav da je lp = x + y + z + w, za neke x, y, z, w Z. Tada je l m < p. Uočimo da je l neparan jer u suprotnom bi medu brojevima x, y,z,w imali parno mnogo neparnih brojeva pa bi brojevi x + y, x y, z + w, z w mogli biti parni, no to nije moguće jer bi iz 1 lp = ( ) ( ) ( ) ( x + y x y z + w z w + + + dobili kontradikciju s pretpostavkom da je l minimalan. Dakle, trebamo dokazati da je l = 1. U tu svrhu pretpostavimo suprotno, tj da je l > 1. Neka su x, y, z, w najmanji ostaci po apsolutnoj vrijednosti pri dijeljenju brojeva x,y,z,w s l te neka je n = x + y + z + w. Tada je n 0 (mod l) i n > 0 jer bi inače l dijelio p. Kako je n neparan slijedi da je n < 4( l ) = l pa je n = kl za neki cijeli broj k za koji vrijedi da je 0 < k < l. Iz jednakosti sa početka dokaza ovog teorema dobivamo da se broj (kl)(lp) može zapisati kao suma kvadrata četiri cijela broja, od kojih je svaki djeljiv sa l. Pa iz toga zaključujemo da se i broj kp može prikazati kao suma četiri kvadrata što je u kontradikciji sa pretpostavkom da je l minimalan. )
Fermatova metoda beskonačnog spusta 10 5 Korištenje metode spusta u geometriji Osim u teoriji brojeva, Fermatova metoda beskonačnog spusta ima veliku ulogu i u geometriji. 5.1 Sylvestrov problem Ovaj problem je postavio Sylvester 1893. godine, ali ga nije nikada riješio. Napomenimo da postoje još mnogi poznatiji dokazi ovog problem, no mi ćemo proučiti samo onaj u kojem je korištena metoda spusta. Problem 1 (Sylvestrov problem) Neka n, (n 3) danih točaka u ravnini imaju svojstvo da pravac koji prolazi kroz bilo koje dvije točke prolazi i trećom točkom tog skupa od n točaka. Mora li svih n točaka ležati na istom pravcu? Rješenje: Dokazat ćemo ekvivalentnu tvrdnju. Ako je dano n, (n 3) točaka u ravnini takve da nisu sve na istom pravcu, tada postoji pravaca koji prolazi kroz točno dvije točke. Takvih pravaca postoji konačno mnogo. Pogledamo li jedan od tih pravaca, pravac l, zaključujemo da postoji barem jedna točka iz danog skupa točaka koje ne leži na njemu. Označimo udaljenosti točaka do pravca s d i. Dobivamo niz d 1 d... d m pri čemu nam d 1 označava najmanju udaljenost izmedu svih mogućih točaka i svih mogućih pravaca. Trebamo pokazati kako pravac l sadrži točno dvije točke iz danog skupa točaka. Stoga pretpostavimo suprotno. Neka točke B, C i D leže na pravcu l. Neka točka A ne leži na pravcu l. Povucimo točkom A pravac okomit na l. Sjecište tog pravca i pravca l označimo sa E. Pretpostavimo da je E = B. Slika 1 Označimo udaljenost točaka A i B sa d 1. Povucimo točkom B pravac okomit na AC, dobit ćemo udaljenost (označimo ju s d 0 ) koja je manja od d 1. To je kontradikcija sa minimalnošću od d 1.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 11 Analogno je za slučajeve kada točka E pada u C ili D. Kako se točka E ne podudara ni s jednom od 3 točke na pravcu, po principu golubinjaka vrijedi da dvije točke leže s lijeve, a dvije sa desne strane točke E. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da su točke C i D sa lijeve, a točka B sa desne strane. Pogledajmo sliku. Povucimo dva pravca Slika okomita na pravac odreden točkama A i D, jedan točkom E, drugi točkom C. Označimo sa d 0 udaljenost točke C do pravca AD te s d udaljenost točke E do pravca AD. Odnos izmedu udaljenosti u ovom slučaju je d 0 < d < d 1 pa smo ponovno dobili kontradikciju sa minimalnošću d 1. Dakle, l sadrži točno dvije točke. Napomena: Korištenjem Sylvestrovog problema riješen je sljedeći: Neka je dano n, (n 3) točaka u ravnini koje ne leže na istom pravcu. Pretpostavimo da smo nacrtali pravce kroz svake dvije točke danog skupa od n točaka. Treba pokazati da je broj takvih medusobno različitih pravaca veći ili jednak n. Problem je riješen matematičkom indukcijom i direktnom primjenom Sylvestrovog problema. To uvelike ukazuje na značajnost metode spusta. 5. Površine pravokutnih trokuta Fermat je razmatrao problema vezana uz površine pravokutnih trokuta: 1. Može li pravokutan trokut, kojemu su duljine stranica cijeli brojevi, imati istu površinu kao kvadrat kojemu su duljine stranica takoder cijeli brojevi?. Može li pravokutan trokut, kojemu su duljine stranica cijeli brojevi, imati dvostruku površinu kvadrata kojemu su duljine stranica takoder cijeli brojevi?
Fermatova metoda beskonačnog spusta 1 Algebarski gledano, ako je (a, b, c) Pitagorina trojka pitamo se može li ab kvadrat ili dvostruki potpun kvadrat. Prvo pitanje je povezano sa jednadžbom biti potpun Drugo pitanje je povezano sa jednadžbom Tu ćemo vezu pojasniti u sljedeće dvije tablice: x 4 y 4 = z. (4) x 4 + y 4 = z. (5) Tablica 1 a + b = c x 4 y 4 = z ab = d 1 x = c a = z y = d b = x y z = a b c = x 4 + y 4 d = xyz Tablica a + b = c x 4 + y 4 = z ab = d 1 x = b a = x y = d b = y z = bc c = z d = xy Prvi stupac Tablice 1 prikazuje kako pretvoriti Pitagorinu trojku (a, b, c), za koju je ab potpun kvadrat, u cjelobrojno rješenje jednadžbe x 4 y 4 = z. U drugom stupcu je prikazano kako pretvoriti rješenje (x, y, z) te jednadžbe u Pitagorinu trojku (a, b, c) za koju je ab potpun kvadrat. Prvi stupac Tablice prikazuje kako pretvorit Pitagorinu trojku (a, b, c), za koju je ab dvostruki potpun kvadrat, u pozitivno cjelobrojno rješenje jednadžbe x 4 + y 4 = z. U drugom stupcu prikazano je kako pretvoriti rješenje (x, y, z) te jednadžbe u Pitagorinu trojku (a, b, c) za koju je ab dvostruki potpuni kvadrat. U ovom stupcu je još važno uočiti da d nužno mora biti paran. Napomenimo da pretvaranje (a, b, c) u (x, y, z) i obratno nije inverz jedno drugome. Vratimo se sada na postavljena problema.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 13 Odgovor na drugo pitanje možemo pronaći u Teoremu ovoga rada. Naime, on kaže kako jednadžba x 4 + y 4 = z nema rješenja u cjelim brojevima pa zbog prethodnog objašnjenja veze izmedu te jednadžbe i drugog pitanja, slijedi da ne postoji trokut čije su duljine stranica cijeli brojevi takav da mu je površina dvostruki potpun kvadrat. Odgovor na drugo pitanje dat će nam sljedeći teorem. Teorem 5. (Fermat) Ne postoji rješenje jednadžbe x 4 y 4 = z u skupu prirodnih brojeva. Dokaz. Pretpostavimo da je x 4 y 4 = z, gdje su x, y i z N. Tada mora postojati takvo rješenje da su x, y i z u parovima relativno prosti (vrijedi isti argument kao i u Teoremu). Kako je x 4 y 4 = z > 0, slijedi da je x > y. Imamo slučaja, kada je z paran i z neparan. Pogledajmo prvo kada je z neparan. Kako je z + y 4 = x 4 i z je neparan znači da y mora biti paran jer bi u suprotnom x + x 4 1 + 1 (mod 4) ali to je nemoguće jer ne postoji ostatak pri dijeljenju četvrte potencije sa 4. Kako su x i y relativno prosti, (z, y, x ) je primitivna Pitagorina trojka sa y parnim pa prema formuli za primitivne Pitagorine trojke imamo a = k l, (6) b = kl, (7) c = k + l, (8) gdje je k > l > 0, (k, l) = 1 te su k i l različite parnosti. Iz (8) i toga da je (k, l) = 1 doznajemo kako je (k, l, x) primitivna Pitagorina trojka. Jedan od brojeva k i l je paran, a drugi neparan. U slučaju da je k neparan, po formuli za primitivne Pitagorine trojke imamo x = a b, (9) l = ab, (10) k = a + b, (11) gdje je a > b > 0 te (a, b) = 1. Ako je l neparan tada po istoj formuli imamo gdje je a > b > 0 te (a, b) = 1. l = a b, (1) k = ab, (13) x = a + b, (14) Koristeći bilo koji od prethodna dva sustava, (7) postaje y = 4(a b )ab. Kako je y paran, ( y ) = (a b )ab. Kako je (a, b) = 1, faktori na desnoj strani ove jednadžbe su u parovima relativno prosti. Svi su pozitivni pa kako je njihov produkt
Fermatova metoda beskonačnog spusta 14 kvadrat povlači da je svaki od njih kvadrat. Možemo ih zapisati kao a = x, b = y, a b = z gdje su x, y i z svi pozitivni. Iz (a, b) = 1 slijedi da je (x, y ) = 1. Jednadžbu za z možemo pisati kao z = x 4 y 4 pa smo pronašli drugo rješenje naše početne jednadžbe. Usporedimo sada z i z. Iz (9), (10), (11) imamo z z = a b = k k < z. Iz (1), (13), (14) imamo z z = a b = l 4a b = k < z. Kako je z < z 4, metodom spusta dolazimo do kontradikcije.. Pogledajmo još slučaj kada je z paran. Kako je y 4 +z = x 4, imamo primitivnu Pitagorinu trojku (y, z, x ) sa parnim z. Pa je y = m n, z = mn, x = m + n gdje su m i n pozitivni te (m, n) = 1. Množeći prvu i treću jednadžbu dobivamo (xy) = m 4 n 4 sa parnim xy što po prošlom slučaju daje kontradikciju. Kao posljedica ovog teorema dobivamo dva iduća korolora: Korolar. Ne postoji Pitagorina trojka u kojoj su dva člana potpuni kvadrati. Dokaz. Kada bi postojala, takva trojka davala bi rješenje jednadžbe x 4 + y 4 = z ili jednadžbe x 4 = y 4 + z u cijelim brojevima, što smo ranije pokazali da je nemoguće. Korolar 3. Jedina racionalna rješenja jednadžbi y = x 4 1 i u + v + u v = 1 su (x, y) = (±1, 0) i (u, v) = (±1, 0), (0, ±1).
Fermatova metoda beskonačnog spusta 15 Dokaz. Pretpostavimo da je y = x 4 1, gdje su x i y racionalni brojevi. Napišimo ih u obliku x = a i y = b, gdje je c 0. Rješavajući se nazivnika, dobivamo c c (bc) = a 4 c 4. Budući da je kvadrat razlika četvrtih potencija u Z, po teoremu iz ovog poglavlja slijedi da jedan član mora biti 0. Kako je c 0 znači da su ili a ili b nula. U slučaju da je b = 0, tada je y = 0 i x = ±1. U slučaju da je a = 0, imamo da je y = 1 što je kontradikcija. Pretpostavimo sada da je u + v + u v = 1, gdje su u i v racionalni brojevi. Zapišimo jednadžbu u obliku u (1 + v ) = 1 v. Množeći obje strane s 1 + v dobivamo (u(1 + v )) = 1 v 4 što nam govori da je kvadrat racionalnog broja razlika dvije četvrte potencije cijelih brojeva. Stoga, jedan od članova u ili v mora biti nula. Kada je u = 0, vrijedi da je (u, v) = (0, ±1). Kada je v = 0, dobivamo rješenje (±1, 0) što smo trebali i pokazati.
Fermatova metoda beskonačnog spusta 16 Literatura [1] K. Conrad, Proofs by descent, dostupno na: http://www.math.uconn.edu/kconrad/blurbs/ugradnumthy/descent.pdf [] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, skripta, Matematički odsjek, Sveučiliste u Zagrebu, 007. [3] L. Tat-Wing, The method of infinite descent, Mathematical Excalibur, Vol. 10, 4(005) [4] Fermat s biography, University of St Andrews, Scotland, December 1996. dostupno na: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/biographies/fermat.html